KOMPLEKS ANALİZ (MAT 472) DERS NOTLARI

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "KOMPLEKS ANALİZ (MAT 472) DERS NOTLARI"

Transkript

1 KOMPLEKS AALİZ (MAT 47) DERS OTLARI Prof. Dr. AYHA ŞERBETÇİ

2 GİRİŞ Komples düzlemde bir bölgede medana gelen bir fizisel problem örneğin ararlı drm sıcalıları eletrostati ideal sıvı aışı vs. bazı oşlların sağlanması drmnda bir harmoni fonsion ile ifade edilebilmetedir. Verilen bir bölgede harmoni olan ve bölgenin sınırı üzerinde bazı oşlları sağlaan bir ( ) fonsionn blma problemine Dirichlet problemi adı verilir. Eğer ii reel değişenli ve reel değerli bir ( ) fonsion basit bağlantılı bir D bölgesinde harmoni ise b drmda ( ) nin D de bir ( ) harmoni eşleniği vardır. B drmda F( z) ( ) i ( ) analiti fonsionna omples potansiel adı verilir. F (z) omples potansielinin bir ço fizisel orm vardır. Örneğin sıvı aışında ( ) sabit denlemi eşpotansiellere ve ( ) sabit denlemi aıntı doğrlarına arşılı gelirler ve bnlar birbirini di eserler. Konform dönüşüm bir bölgedei açıları ön ve büülü baımından oran bir analiti fonsiondr. Bir onform dönüşüm ile z-düzleminde bir D bölgesindei problemin çözümünün olaca elde edilebilmesi için b bölge w-düzlemindei bir G bölgesine dönüştürülür. B drmda eğer bir bire-bir onform dönüşüm w f ( z) ( ) iv( ) ve ( ) D de harmoni bir fonsion ise ters dönüşüm ile elde edilen ( v) ( v) ( v) fonsion da G de harmonitir. Yani onform dönüşüm altında Laplace denlemi ve sınır oşlları değişmez alır. Bölece D dei bir sınır değer problemi w f (z) onform dönüşümü ile G üzerinde eni bir sınır değer problemine arşılı getirilmiş olr. Problemin çözümü b bölgelerden birisinde elde edildiğinde diğeri üzerindei çözüm ters dönüşüm ile olaca elde edilir. Brada incelenmiş olan onform dönüşüm tenileri ile çözülebilen fizisel problemler (ararlı drm ısı aışı eletrostati ve ideal sıvı aışı) gerçe haattai glamalardır ve çözümleri üç-botl artezen zada verilir. Böle problemler genellile üç değişenli Laplace denlemi üç-botl vetör fonsionlarının crl ve divergensini içerir. Komples analiz ve değişenlerini içerdiğinden -düzlemine di esen bonca oordinatlı notalarda çözümün değişmediği özel drm göz önüne alınmatadır. B ders not Anara Üniversitesi Fen Faültesi Matemati Bölümü dördüncü sınıf öğrencilerine otlmata olan bir arı ıllı Komples Analiz dersi için hazırlanmıştır. Bnn için özellile Mathews J.H. and Howell R.W. [] ve Özın İ.K. [3] nın itaplarından geniş ölçüde ararlanılmıştır. Prof.Dr. Ahan ŞERBETÇİ Anara 5

3 . Ö BİLGİLER.. Analiti Fonsionlar Tanım... D omples düzlemde bir bölge ve f D üzerinde tanımlı omples değerli bir fonsion olsn. Eğer bir z D için lim zz f z f z z z limiti varsa b drmda f e z da diferensiellenebilirdir denir. B limite f nin z dai türevi denir ve f z ile gösterilir. Tanım... D omples düzlemde bir bölge ve f D üzerinde tanımlı omples değerli bir fonsion olsn. Eğer bir z D için f z mevct ve z ın bir omşlğndai her notada f z türevi varsa b drmda f e z da analititir denir. Eğer f D nin her notasında analiti ise vea eşdeğer olara f D nin her notasında diferensiellenebilir ise b drmda f e D de analiti denir Tanım..3. D omples düzlemde bir bölge ve f D üzerinde tanımlı omples değerli bir fonsion olsn. Eğer bir z D için f z da analiti değil faat z ın her omşlğndai en az bir notada analiti ise b drmda z a f nin bir singüler notası denir. Eğer f bir z singüler notasının bir omşlğnda blnan her notada analiti ise z a arı singüler nota adı verilir. Tanım..4. C omples düzlemin tamamında analiti olan bir fonsiona tam fonsion denir. Teorem..5. Eğer w f z ( ) iv( ) fonsion bir D bölgesinde analiti ise b drmda reel değerli ve v fonsionları D bölgesinde harmonitir. Yani ve v nin D de süreli birinci ve iinci mertebeden ısmi türevleri vardır ve brada iinci ısmi türevler için v v Laplace denlemi sağlanır. Teorem..6. Eğer D omples düzlemde basit bağlantılı bir bölge ve ( ) D de harmoni bir fonsion ise b drmda ( ) nin D de daima bir v ( ) harmoni eşleniği vardır. Yani öle bir v ( ) reel değerli fonsion blnabilir i w f z ( ) iv( fonsion D de analititir. ).. Konform Dönüşümler

4 z Tanım... w f z notasının bir omşlğnda tanımlı bir dönüşüm olsn. Eğer f z dan geçen önlendirilmiş eğriler arasındai açıları ön ve büülü baımından ororsa b drmda w f z dönüşümüne z da onformdr denir. z Teorem... w f z notasının bir omşlğnda tanımlı bir dönüşüm olsn. Eğer f( z ) ise b drmda f z da onformdr. Z Örne..3. z e f dönüşümü omples düzlemin tamamında onformdr. Z Z Çözüm. z C için f z e oldğ açıtır. Çünü e e cos ie sin olması drmnda anı anda cos sin olması gereir i b mümün değildir. Dolaısıla f omples düzlemin tamamında onformdr. Örneğin birbirini di esen a ve b doğrlarının görüntüleri de di esişirler: z i e e Z i e. e e i e a oldğndan e den a e b b (ani orijin merezli e a a arıçaplı çember ve orijinden çıan pozitif reel esen ile b açısı apan ışın) elde edilir. e ve b arasındai açı ditir çünü merezden çıan bir ışın ile çemberi estiği notadai teğet doğrs birbirine di olr. Örne..4. w f ( z) sin z dönüşümü R düşe şeridini bire-bir ve onform olara v ve v ışınları bonca esilmiş w-düzlemi üzerine dönüştürür. i Çözüm. iv sin z sin cosh i cos sinh denleminden sin cosh v cos sinh dir. Bradan a R olma üzere a doğrlarının görüntüleri odaları ( ) v olan hiperbolleridir. a doğrsnn görüntüsü a pozitif ien sin a cos a hiperbolün sağ dalı ve a negatif ien hiperbolün sol dalıdır. doğrsnn görüntüsü v- esenidir (Benzer düşüncele b ata doğr parçaları odaları ( ) olan v elipsleri üzerine dönüşür. b doğr parçasının görüntüsü b pozitif cosh b sinh b ien elipsin üst arısı ve b negatif ien elipsin alt arısıdır). Verilen şerit üzerinde f ( z) cos z oldğndan dönüşüm onformdr. 3

5 Örne..5. Ters sinüs fonsionnn esas değeri olan w f ( z) Arc sin z fonsion: i sin w sin cosh v i cos sinh v den dir. Eğer sabit abl sin cos edilirse b denlem -düzleminde odaları ( ) olan hiperbol gösterir. Odalara olan zalılar farı sin dr. Dolaısıla hiperbol üzerinde blnan bir ( ) notası için sin ( ) ( ) denlemi sağlanır. Bradan ( ) ( ) ( ) Arc sin elde edilir. B denlemde llanılan fonsion için Arc sin t eşitsizliği sağlanmatadır. Benzer düşüncele denleminde v sabit abl cosh v sinh v edildiğinde odaları ( ) ve büü esen znlğ coshv olan elips elde edilir. Dolaısıla elips üzerinde blnan bir ( ) notası için cosh v ( ) ( ) denlemi sağlanır. Bradan v ( ) (sgn ) Arc cosh elde edilir. ( ) ( ) Örne..4. de z ve w nin rollerini değiştirdiğimizde görürüz i w Arcsin z fonsion ve ışınları bonca esilmiş z-düzlemini bire-bir ve onform olara v R düşe şeridi üzerine dönüştürür. Arıca w Arcsin z dönüşümü altında Im z üst arı-düzleminin v arı sonsz şeridine ve Im z alt arı-düzleminin v arı sonsz şeridine dönüştüğü olaca görülebilir. Örne..6. w log z ln z i arg z fonsion r a ve r b çemberleri arasındai hala bölgei w -düzlemindei ln a ln b sonsz şeridi üzerine dönüştürür. Çözüm. z re i log z iv ln r i r v ln r 4

6 oldğndan a r b ln a ln b v R sonsz düşe şeridi elde edilir. Tanım..7. D ve D omples düzlemde ii bölge olsn. Eğer bir f : D D birebir ve üzerine onform dönüşümü varsa b drmda D ve D e onform eşdeğerdir denir. G omples düzlemin basit bağlantılı bir alt bölgesi ise b drmda G D birim dairesine onform eşdeğerdir. Teorem..8. (Riemann Dönüşüm Teoremi) Eğer C az b Tanım..9. a b c d omples sabitler ve ad bc olma üzere S z cz d biçimindei bir dönüşüme esirli lineer dönüşüm vea Mobiüs dönüşümü denir. Bir esirli lineer dönüşüm çemberler ve doğrları ine çemberler ve doğrlara dönüştürür. az b Teorem... Bir S z esirli lineer dönüşümü cz d bir birebir ve onform dönüşümdür. C d c den a C üzerine c i( z) Örne... w esirli lineer dönüşümü z birim disini Im w üst arıdüzlemine dönüştüren bir bire-bir onform z dönüşümdür. Çözüm. Gerçeten i( z) w z z w i w i w i w i i( v ) i( v ) v Yani Im Arıca w elde edilir. Verilen bölgede w z oldğndan dönüşüm onformdr. i( z) w iv i (.) z ( ) ( ) z w i v i w i ( v) ( v) i denirse b drmda (.) denlemine göre üst arım çemberi üzerinde blnan z i notaları pozitif -eseni üzerine dönüşür. Benzer şeilde alt arı çember negatif -eseni üzerine dönüşür. 5

7 . LAPLACE DEKLEMİİ DEĞİŞMEZLİĞİ VE HARMOİK FOKSİYOLAR İÇİ SIIR DEĞER PROBLEMLERİ.. Laplace Denleminin Değişmezliği Aşağıdai teorem gn bir onform dönüşüm altında Laplace denleminin nasıl değişmez aldığını göstermetedir. z - düzlemindei bir D bölgesini w -düzlemindei bir G bölgesine dönüştüren birebir ve üzerine bir onform dönüşüm olsn. Eğer D üzerinde süreli birinci ve iinci mertebeden ısmi türevlere sahip bir fonsion ise b drmda z f w ters dönüşümü fonsion Teorem... (Laplace denleminin değişmezliği) w f z iv ardımıla v v v ve f f bileşe fonsionna dönüşür. B fonsion G üzerinde süreli iinci ısmi türevlere sahiptir ve v sağlanır. B drmda Laplace denlemi değişmez alır. Yani dır. vv İspat. w f z iv birebir ve üzerine oldğndan z f w vardır. v v dir. v v v v v v v ters dönüşümü denleminden v v ve v v dir. Bradan v v v v v v v f iv analiti oldğndan v v Cach-Riemann denlemleri sağlanır ve v v ani ile v D de harmonitir. Arıca f z iv v v f z vv v 6

8 dir. Bradan f z vv elde edilir. f D de onform oldğndan f ( z) dır dolaısıla Laplace denlemi onform dönüşüm altında değişmez alır. Örne... fonsion ve w iv Log z dönüşümünü göz önüne alalım. Im z üst arı-düzleminde Log z esas logaritma fonsion Teorem.. in şartlarını sağlar. B fonsionn tersi dir. Bölece i e w e cosv i sin v e cos v ve e sin v dir. bileşe fonsion v e cos ve sin v e cos v sin v dir. w Log z altında Im z ın görüntüsü v şerididir. Kolaca v de şeritte harmonitir. gösterilebilir i üst arı-düzlemde ve Örne..3. Arc tan fonsionnn z de harmoni oldğn gösteriniz. i z Çözüm. f z dönüşümünü göz önüne alalım. B dönüşüm z birim dairesini i z Re w sağ arı-düzlemi üzerine bir bire-bir onform dönüşümdür. i z f z i i z v Arc tan Arg iv i v v fonsion Re w da harmonitir. Bradan v Arc tan v Arc tan fonsion Laplace denleminin değişmezliğinden dolaı harmoni olr. 7

9 .. Belirli Sınır Koşllarını Sağlaan Bir Harmoni Fonsionn Blnması Örne... a z b öle i a ve b değerlerini alsın. Re düşe şeridinde harmoni olan bir Çözüm: Sezgisel olara fonsion blnz düşe doğrları üzerinde sırasıla a U ve b U sınır nin sadece in bir fonsion oldğn ve biçimindei düşe doğrları bonca sabit değerler aldığını düşünürüz. Yani P a b R dir ve Laplace P olmasını geretirir. Bradan m ve n sabit olma üzere denlemi P m n dir. a Pa U ve b Pb U sınır oşllarının sağlanabilmesi için olmalıdır. U U U a b a Şeil ot: Eğer bir eğri bonca bir harmoni fonsion sabit alırsa b eğrie nin düze eğrisi denir. -düzlemindei bir C düze eğrisi bir w f z iv onform dönüşümü altında v -düzleminde ( v C düze eğrisine dönüşür. B drmda özel olara -düzlemindei bir bölge üzerinde nin sabit bir değer aldığı herhangi sınır parçası endisine v -düzleminde arşılı gelen öle bir eğrie dönüşür i b eğri bonca nin değeri sabit alır. Yani il problemdei C 8

10 oşl dönüştürülmüş problem üzerine taşınır. Daha açı olara bir onform dönüşüm ile üzerindei sınır oşlları değişmez alır. Örne... Arg z daire esmesinde harmoni olan bir fonsion blnz öle i sınır değerlerini alsın. C C r Çözüm. Arg z fonsion verilen daire esmesinde harmonitir ve orijinden çıan ışınlar bonca sabittir (Şeil ). a ve b reel sabitler olma üzere bir çözümün a b Arg z C oldğn görürüz. Sınır oşllarından C Arg z oldğ ortaa çıar. C Şeil E. Arg z daire esmesinde harmoni olan bir fonsion blnz öle i sınır değerlerini alsın. C r C r Cevap. ( ) C C C ( Argz). 9

11 Örne..3. z R halasında harmoni olan bir fonsion blnz öle i z ien K z R ien K sınır değerlerini alsın. Çözüm. Örne.. deine benzer düşünce ile ln z z için harmonitir. Bradan K K K ln z ln R blnr. Şeil 3 de görüldüğü gibi sabit düze eğrileri iç içe çemberlerdir. E. R z R Şeil 3 halasında harmoni olan bir z R z R sınır değerlerini alsın. K ien K ien K K Cevap. ( ) K (ln z ln R ). ln R ln R fonsion blnz öle i

12 .3. Dirichlet Problemi D omples düzlemde bir bölge olsn ve D nin sınırının ç ca birleştirilmiş parçalı düzgün eğrilerden olştğn abl edelim. Dirichlet problemi D de harmoni ve D nin sınırı üzerinde belirli değerleri alan bir fonsion blma problemidir. Örne.3.. Gösteriniz i v v Arc tan Arg w fonsion Im w üst arı-düzleminde harmonitir ve için için sınır oşllarını sağlar. ln Çözüm. g w Log w w Arg w fonsion Im w üst arı-düzleminde analititir ve dolaısıla onn imajiner ısmı olan Arg w fonsion harmonitir. i ot: Brada Arc tan t fonsion değer ümesi Arc tan t olan ters tanjant fonsionn gösterir ve Arc tan dir. Bölece v v Arc tan çözümünü elde ederiz. Teorem.3.. (Üst arı-düzlem için -değer Dirichlet problemi)... tane reel sabit olma üzere v a a a Arg w a a a v Arc tan (.) fonsion Im w üst arı-düzleminde harmonitir ve

13 ... a a a sınır oşllarını sağlar. Şeil 4 İspat: (.) denlemindei toplamın her bir terimi Im w da harmoni oldğndan de brada harmonitir. nin belirtilen sınır oşllarını sağladığını gösterme için j i sabit ttalım ve j j dielim. Örne.3. den j Arg ve j Arg dir. B denlemleri (.) denleminde erine azarsa j j için j j j j j j j a a a a a a a a a a a a a... elde edilir. ve için Arg Arg oldğ göz önüne alınara alan sınır oşllarının sağlandığı olaca gösterilebilir. Örne.3.3. Im z üst arı-düzleminde harmoni olan öle bir fonsion blnz i aşağıdai Şeil 5 de belirtilen sınır oşllarını sağlasın.

14 Şeil 5 Çözüm. B Im z üst arı-düzleminde bir 4-değer Dirichlet problemidir. z -düzlemi için (.) denlemi 3 a3 a a Arg z olr. a 4 a a 3 a3 ve 3 değerlerini b denlemde erine azarsa Arg z Arg z Arg z 3 Arc tan Arc tan Arc tan elde ederiz. Örne.3.4. Im öle i z üst arı-düzleminde harmoni olan bir fonsion blnz sınır oşlları sağlansın. Çözüm. B 3-değer Dirichlet problemidir a a a ve dir. (.) denleminden istenen fonsion Arg z Arg z Arc tan Arc tan biçimindedir. 3

15 .4. Basit İrtibatlı Bir Bölge İçin -Değer Dirichlet Problemi D basit irtibatlı bir bölge C D nin sınırı olan basit apalı çevre ve z z z C üzerinde blnan ve pozitif önde sıralanmış tane nota olsn. için C nin z ve z notaları arasındai parçasını C ile ve z ile z arasındai parçasını C ile gösterelim. Son olara a a a reel sabitler olsn. " D de harmoni ve D C C fonsion blma istiorz öle i C üzerinde süreli bir a z ic a z ic sınır oşlları sağlanır." a z ic Şeil 6 i blma için bir öntem D i Im w üst arı-düzlemine dönüştüren bir w f ( z) ( ) iv( ) onform dönüşümü blmatır öle i b dönüşüm ile tane z z z notaları w-düzleminde -eseni bonca için f ( z ) notalarına ve z de üzerine dönüşür. Laplace denleminin değişmezliği teoremini llanırsa w f (z) onform dönüşümü ile Im w üst arı-düzleminde eni bir -değer Dirichlet problemi elde edilir. Eğer a a denirse b drmda D dei Dirichlet probleminin arıda verilen sınır oşllarını sağlaan çözümü v a a aarg f( z) v ( ) tan ( ) a a a Arc 4

16 dir. B öntem D i Im w üst arı-düzlemine dönüştüren bir onform dönüşümün blnabilmesine bağlıdır. Riemann dönüşüm teoremi böle bir onform dönüşümün varlığını garanti eder. Örne.4.. z birim disinde harmoni olan ve ( ) ( ) z i e z i e i i sınır oşllarını sağlaan bir ( ) fonsion blnz. Çözüm. Örne.. da gösterildiği gibi i( z) w iv i z ( ) ( ) (.) fonsion z birim disini Im w üst arı-düzlemine dönüştüren bir bire-bir onform dönüşümdür. (.) denlemine göre üst arım çemberi üzerinde blnan z i notaları pozitif -eseni üzerine dönüşür. Benzer şeilde alt arı çember negatif -eseni üzerine dönüşür. Arıca w f (z) onform dönüşümü ile eni bir Dirichlet problemi ortaa çıar: " Im w üst arı-düzleminde harmoni olan ve ( ) ( ) sınır oşllarını sağlaan bir ( v) fonsion blnz". Şeil 7 Örne.3. dei sonc ve (.) denlemini llanırsa elde ederiz. v( ) ( ) Arc tan Arc tan ( ) 5

17 Örne.4.. H :Im z z üst arı-disinde harmoni olan ve ( ) ( ) z i e i sınır oşllarını sağlaan bir fonsion blnz. i( z) Çözüm. w iv dönüşümü H arı-disini Q : v birinci bölgesi üzerine z dönüştürür. doğr parçası üzerinde blnan z i notaları da pozitif v- eseni üzerine dönüşür. Şimdi Q dai eni Dirichlet problemi "Q da harmoni olan ve ( ) ( v) v sınır oşllarını sağlaan bir ( v) fonsion blnz" şelindedir. B drmda öncei esimdei Örne.. dei ( v) fonsionnn blnması öntemi ile elde edilir. ( v) Arg w Arg w Arc tan v Şeil 8 H dai Dirichlet probleminin çözümü (.) den olr. v( ) ( ) Arc tan Arc tan ( ) 6

18 Örne.4.3. G : z çere disinde harmoni olan ve ( ) ( ) ( ) z i e i sınır oşllarını sağlaan bir ( ) fonsion blnz. Çözüm. w iv z i fonsion çere disi H : v w üst arı disinin üzerine dönüştürür. H dai eni Dirichlet problemi Şeil 9 da gösterilmiştir. Şeil 9 Örne.4. dei sonçtan H dai v dir. v Arc tan v w z den v blnr. çözümü v ve v 4 dir bradan G dei çözümü Arc tan 4 7

19 .5. Üst Yarı-Düzlem İçin Poisson İntegral Formülü Im z üst arı-düzlemi için Dirichlet problemi; üst arı-düzlemde harmoni ve sınır değerlerine sahip olan bir fonsion blmatır brada bir reel değişenli ve reel-değerli fonsiondr. t her t R için parçalı süreli ve sınırlı reel- Teorem.5.. (Poisson İntegral Formülü) değerli bir fonsion olsn. B drmda t dt (.3) t fonsion Im z üst arı-düzleminde harmonitir ve süreli ien sınır değerine sahiptir. İspat. (.3) denlemini -değer Dirichlet probleminin sonçlarından belirleme oladır. t t t -eseni bonca erleştirilmiş tane notaı göstersin. * * * * * t t t için t t t olaca biçimde seçilmiş tane nota olsn. B drmda -değer Dirichlet probleminden * * * t t t Arg z t fonsion üst arı-düzlemde harmonitir ve sınır değerlerini alır. * t t * t t * t t t Şeil 8

20 9 Bir omples saının argümentinin özellilerini llanırsa * * * t z Arg t t z t z Arg t t z Arg t azabiliriz. Bradan değeri (ağırlı anlamında) t * ile verilir brada için açıları toplamı dir. B arıda Şeil da gösterilmiştir. tan t dt d t Arc t z Arg değişen değişimi apılırsa t t t * * elde edilir. B Riemann toplamının limiti t dt t genelleştirilmiş integrali olr. Bölece teorem ispatlanmıştır. Örne.5.. Im z üst arı-düzleminde harmoni olan bir fonsion blnz öle i sınır değerlerine sahip olsn. Çözüm. Poisson integral formülünden tan tan tan Arc Arc t Arc t dt t dt t

21 dt ( t) elde edilir. Brada dt t integrali ( ) t d d dt t t arctan arctan ( ) t değişen değişimi ile hesaplanmıştır. Örne.5.3 Im öle i z üst arı-düzleminde harmoni olan bir sınır değerlerine sahip olsn. Çözüm. Poisson integral formülünden ln tdt tdt dt t t t Arc tan Arc tan elde edilir. fonsion üst arı-düzlemde harmonitir. üzerinde de süresizliğe sahiptir. fonsion blnz fonsion reel esen Örne.5.4. Im öle i z üst arı-düzleminde harmoni olan bir sınır değerlerine sahip olsn. Çözüm. -değer Dirichlet problemindei öntemi llanara v Arc tan Arc tan fonsionn blrz. B fonsion üst arı-düzlemde harmoni ve fonsion blnz için v için v ve için v sınır değerlerine sahiptir. B fonsion Örne.5.3 de blnan fonsiona elendiğinde

22 tan tan ln Arc Arc blrz.

23 . İKİ BOYUTLU MATEMATİKSEL MODELLER.. Genel Bilgiler Şimdi onform dönüşüm tenileri ile çözülebilen ararlı drm ısı aışı eletrostati ve ideal sıvı aışı ile ilgili problemleri göz önüne alacağız. Konform dönüşüm bir bölgedei problemin çözümünün olaca elde edilebilmesi için b bölgei diğer bir bölgee dönüştürür. Bizim çözümlerimiz sadece ve ii değişenli oldğndan modelin geçerliliği için önce temel bir abl apmalıız. Brada inceleeceğimiz fizisel problemler gerçe haattai glamalardır ve çözümleri üç-botl artezen zada verilir. Böle problemler genellile üç değişenli Laplace denlemi üç-botl vetör fonsionlarının crl ve divergens ini içerir. Komples analiz ve değişenlerini içerdiğinden düzlemine di esen bonca oordinatlı notalarda çözümün değişmediği özel drm göz önüne alacağız. Kararlı drm ısı aışı ve eletrostati için b demetir i T sıcalığı vea V potansieli sadece ve ile değişir. Bölece ideal sıvı aışı için z -düzlemine paralel herhangi bir düzlemde sıvı hareeti anıdır. " z -düzlemindei eğri çizimleri z -düzlemine di sonsz silindire arşılı gelen çapraz esitler olara ormlanır ". Bir sonsz silindir bir zn fizisel silindirin limit drmdr bölece bizim vereceğimiz matematisel model "eteri adar zn bir fizisel silindiri içeren üç botl problemin ç notalardai etisi ihmal edilme oşl ile geçerlidir. Öncei ısımlarda harmoni fonsionlar için blnacağını göstermişti. Uglamalar için K : K bir reel sabit ailesini ve harmoni eşleni fonsion ve onn K : K düze eğrileri ailesini göz önüne almamız gerelidir. F z i fonsionna omples potansiel adını vereceğiz. çözümlerinin nasıl düze eğrileri bir reel sabit analiti Aşağıdai teorem düze ailelerinin ortogonalliği ile ilgilidir. B teoremi göz önüne alacağımız fizisel glamalarla ilgili fiirleri geliştirme için llanacağız. Teorem... (Düze eğrilerinin ortogonal aileleri) onn harmoni eşleniği ve F z i drmda K ve K K ve K eğrileri a b de esişiorsa ve eğer a ib drmda b ii eğri di esişirler. bir D bölgesinde harmoni omples potansiel olsn. B düze eğrileri aileleri ortogonaldir. Yani F ise b İspat. K bir düzlem eğrisinin bir apalı denlemi oldğndan b hesaplanan grad gradient vetörü a b de eğrie ditir. B vetör a b i a b ile verilir. Benzer biçimde vetörü a notasında

24 a b i a b ile tanımlanır ve b vetör a b de K eğrisine ditir. Cach-Riemann denlemlerini llanırsa ile nin iç çarpımı. dır. Bna e olara a b a b. a b a b. a b a b a b a b a b F oldğndan a b i a b olr. Cach-Riemann denlemleri ve a b a b olması hem ve hem de nin sıfırdan farlı oldğn gösterir. Bölece. olması in e di olmasını geretirir. Dolaısıla b eğriler ortogonaldir. Teoremin ispatı tamamlanmış olr. z i F omples potansieli birço fizisel ormlara sahiptir. Örneğin; abl edelim i ararlı drm sıcalığında bir problem çözmüş olalım. B drmda anı sınır oşlları ile eletrostatite izotermalleri eşpotansiel eğrileri ve ısı aış doğrlarını aı doğrları olara ormlaara bir benzer probleme çözüm blabiliriz. Bradan "ısı aışı ve eletrostati diret olara birbirine arşılı gelir" diebiliriz. Bir sıvı aışı problemini çözmüş olalım. B drmda sıvı aışında eşpotansielleri izotermaller ve aı doğrlarını ısı aış doğrları olara ormlaara benzer bir probleme çözüm blabiliriz. Aşağıdai tabloda düze eğrileri ailelerinin değişi ormları ve aileler arasındai eşlemeler özetlenmiştir. Fizisel Olalar sabit sabit Isı aışı İzotermaller Isı aış doğrları Eletrostati Eşpotansiel eğrileri Aı doğrları Sıvı aışı Eşpotansieller Aıntı doğrlar Yerçeimi alanı Yerçeimi potansieli Kvvet doğrları Manetizm Potansiel Kvvet doğrları Difüzon Konsantrason Aış doğrları Elastisite Gerilim fonsion Şiddet doğrları Eletri aımı Potansiel Aış doğrları 3

25 .. Kararlı Drm Sıcalıları Isı iletimi teorisinde ısının sıcalığın azaldığı öne doğr atığı abl edilir. Diğer bir abl de ısının bir üze alanı bonca aaren zaman oranı ile üze alanına di öndei sıcalı gradientinin bileşeninin orantılı olmasıdır. Eğer T sıcalığı zamandan bağımsız ise b drmda notasındai ısı aışı V K grad T K T it vetörü ile verilir brada K ortamın ısı iletenliğidir ve sabit oldğ abl edilir. Eğer s znlğnn düz-doğr parçasını z ile gösterirse b drmda bir birimli zaman aralığında aan ısı mitarı V. s dir brada doğr parçasına di birim vetördür. Eğer bölgede üretilen a da o edilen termal enerjinin blnmadığını abl ederse b drmda ve znlları tarafındai önlü herhangi bir üçü didörtgen bonca aan ısının net mitarı özdeş olara sıfırdır. B T nin bir harmoni fonsion oldğn gösterir. Aşağıdai düşünce Şeil T nin Laplace denlemini sağladığını gösterme için sıça llanılır. V. s ifadesini llanara şeildei didörtgenin sağ enarının dışına ısı aışının mitarı alaşı olara V s K K T ve sol enarın dışına ısı aışının mitarını da T it. i V s. K K T T it. i olara elde ederiz. B ii denlemi taraf tarafa toplarsa 4

26 T T K K T blrz. Benzer şeilde üst ve alt enarlar dışına ısı aış mitarı için T T K K T blrz. B ii denlemdei mitarlar toplanırsa didörtgenin dışına net ısı aışı alaşı olara K T T denlemi ile verilir. B da T nin Laplace denlemini sağladığını ve dolaısıla bir harmoni fonsion oldğn gösterir. T nin tanımlandığı bölge basit bağlantılı bölge ise b drmda bir S harmoni eşleni fonsion vardır ve Eğer z T is F T K eğrilerine izotermaller denir ve bnlar anı S eğrilerine ısı aış doğrları denir ve b eğriler bonca üse sıcalıtai notalardan düşü sıcalıtai notalara ısı aışı oldğ düşünülür. Kararlı drm sıcalıları için sınır değer problemleri Dirichlet problemi olara göz önüne alınabilir brada T harmoni fonsionnn değeri notasındai sıcalı olara ormlanır. bir analiti fonsiondr. sıcalıtai notaları birleştiren doğrlardır. K Şeil 5

27 Örne... İi paralel düzlemin z -düzlemine di ve sırasıla a ve b ata doğrlarından geçtiğini ve b düzlemler üzerinde sıcalığın T a T ve T b T değerlerinde sabit ttldğn abl edelim. B drmda T nin ile verilebileceğini gösteriniz. T T T T a b a Çözüm. doğrsndan geçen düzlem üzerindei tüm notalarda sıcalığın sabit oldğn abl edebiliriz. Bradan T t dir brada t sadece nin bir fonsiondr. Laplace denlemi t olmasını geretirir ve Örne.. dei öntem T çözümünü blabiliriz. ile Şeil 3 T izotermallerinin ata doğrlar oldğ olaca görülür. Eşleni harmoni fonsion S dir ve T T b a S ısı aış doğrları ata doğrlar arasındai düşe doğr parçalarıdır. Eğer T T ise b drmda Şeil 3 de görüldüğü gibi ısı a dan geçen düzlemden b den geçen düzleme b doğr parçaları bonca aar. Örne... Im i -eseni bonca sıcalı olsn. T T z üst arı-düzlemindei her bir notada T T T sıcalığını blnz öle 6

28 T bir harmoni fonsion oldğndan b problem bir Dirichlet problemi örneğidir. Örne.. den Çözüm. oldğ görülür. T T T T Arg z Şeil 4 T izotermali orijinden çıan ışınlardır. Eşleni harmoni fonsion S dir ve T T ln z S ısı aış doğrları orijin merezli arım çemberlerdir (Şeil 4). Eğer T T ise b drmda ısı arım çemberler bonca saat önünün ters önünde aar. H üst arım disindei her bir notadai Örne..3. : Im z z blnz öle i b sıcalı sınır üzerindei notalarda T sıcalığını T T i z 5 oşllarını sağlasın. Çözüm. Örne.4. de belirtildiği gibi e i i z w iv z i 7

29 fonsion H arım disini Q : v birinci bölge üzerine birebir onform olara * dönüştürür. Bradan eni problemimiz : " T v T T v 5 v sıcalığını blnz öle i * sınır oşlları sağlansın" biçiminde olacatır. Örne.. den T v T * v olara elde edilir. O halde T dir. T C 5 Arg w Arc tan Arc tan v harmoni fonsion izotermalleri Şeil 5 de görüldüğü gibi notalarından geçen çemberlerdir. Şeil 5 8

30 .3. Sınırı Üzerinde Yalıtılmış Bir Parça Olan Bölgelerdei Sıcalılar B esimde sınırı C C ve C 3 gibi ç ca birleştirilmiş üç eğriden olşan basit irtibatlı bir D bölgesinin içinde T ararlı drm sıcalı fonsionn blma problemini inceleeceğiz. Brada C bonca T T C bonca T T dir ve bölge C 3 bonca alıtılmıştır. C 3 bonca ısı aışının sıfır olması V K grad T olmasını geretirir brada C3 e ditir. Bölece ısı aışının önü sınırın b parçasına paralel olmalıdır. Başa bir deişle C 3 bir S sabit ısı aış doğrsnn bir parçası olmalı ve T sabit izotermallerini di olara esmelidir. B problemi D den G : v arı-sonsz şeridi üzerine bir z iv w f onform dönüşümü blara çözebiliriz öle i C eğrisinin görüntüsü v ışınıdır C eğrisinin görüntüsü v ile verilen ışınıdır ve termal olara alıtılmış C 3 eğrisi eseninin termal olara alıtılmış parçası üzerine dönüştürülür. Şeil 6 * G dei eni problem T v problemidir öle i ararlı drm sıcalı fonsionn blma T T * * v T v v T v 9

31 sınır oşlları sağlanır. Sınırın bir parçasının alıtılmış olma oşl matematisel olara * T v nin normal türevinin sıfır olması ile ifade edilebilir. Yani T n * T * v dir brada n doğr parçasına di bir oordinat ölçüsüdür. Kolaca görülür i v T T T * T fonsion G bölgesi için aranan sıcalı fonsionnn şartlarını sağlar. Dolaısıla D dei çözümü w f z den T T T T olara blrz. T sabit izotermalleri ve onların f z arıda Şeil 6 da gösterilmiştir. w altındai görüntüleri Örne.3.. : Im z öle i T D üst arı-düzlemi için T T n T sınır oşlları sağlansın. Çözüm. Örne..4 den bilinmetedir i arı-sonsz şeridi üzerine dönüştürür brada eni problem blmatır öle i * T v v * T v v T n * T * v T ararlı drm sıcalığını blnz w Arcsin z dönüşümü D i v * T v ararlı drm sıcalığını * sınır oşlları sağlanır. Örne.. in soncn llanara olaca T v blabiliriz. Dolaısıla D dei çözüm çözümünü 3

32 T Re Arc sin z Arc sin Brada Şeil 7 Arc sin t Arc sin t değerlerine sahip olan ters sinüs fonsiondr. B T sıcalığı T drmda T T sınır oşllarını sağlar. 3

33 .4. İi Botl Eletrostati Bir ii botl eletrostati alan ülü tellerin tabaaların ve z -düzlemine di silindiri iletenlerin bir sistemi ile üretilir. Teller tabaalar ve silindirler öle zn abl edilir i ç notalardai etiler ihmal edilebilir. B abl ile bir E eletri alanını notasına erleştirilmiş bir birimli eletri üüne eti eden vvet olara ormlanabilir. Eletrostati çalışmalarında E vetör alanının onservatif olara fonsionndan türetilebildiği bilinmete ve b eletrostati potansiel denilen bir E olara ifade edilebilmetedir. grad i Eğer D bölgesi içinde üün olmadığını e olara abl ederse b drmda eletrostati alanlar için Gass ann geretirir i D de blnan herhangi bir üçü didörtgen etrafında alınan E nin dış normal bileşeninin eğri integrali özdeş olara sıfırdır. erine T alınara ararlı drm sıcalığı için benzer düşünce llanılabilir. Görülür i eğri integralinin değeri dir ve b sıfırdır bölece nin harmoni oldğ ortaa çıar. harmoni eşleniği ise F z i omples potansieldir. K eğrilerine eşpotansiel eğrileri ve K doğrları adı verilir. Eğer bir üçü test üüne izni verilirse b drmda b ü bir aı doğrs bonca gezecetir. nin eğrilerine de aı E alanının etisi altında hareet etme potansiel fonsion için sınır değer problemleri matematisel olara ararlı drm ısı aışındai ile olan Dirichlet probleminin glamasıdır. anıdır ve bnlar harmoni fonsion Örne.4.. İi paralel ileten düzlemi göz önüne alalım öle i bnlar z düzlemine di ve a ile b doğrlarından geçsinler ve sırasıla U ve U potansiellerde ttlmş olsnlar. B drmda Örne.. den eletri potansieli biçimindedir. U U U a b a 3

34 Örne.4.. r a ve r b sonsz silindirleri arasındai bölgedei sırasıla U ve U eletri potansielini blnz. potansiellerinde ttlan Çözüm. Örne..5 de gösterildiği gibi w log z ln z i arg z fonsion r a ve r b çemberleri arasındai hala bölgei w -düzlemindei ln a ln b sonsz şeridi v potansieli her v için üzerine dönüştürür. Sonsz şerittei ln a v U ve ln b v U sınır değerlerine sahiptir. Yarıdai Örne.4. i llanırsa U U v U ln a ln b ln a eletri potansielini elde ederiz. ln z oldğndan dir. sabit U U U ln z ln a ln b ln a eşpotansielleri orijin merezli eşmerezli çemberlerdir ve aı doğrları orijinden çıan ışın parçalarıdır. Eğer U U ise b drm aşağıda Şeil 8 de gösterilmiştir. Şeil 8 Örne.4.3. z -düzlemine di ve ve ışınlarından geçen ülü ii eletri potansielini blnz. Brada düzlemler sabit arı düzlem tarafından üretilen 3 3 potansiellerinde ttlmatadır. 33

35 Çözüm. Örne..4 de gösterildiği gibi w Arcsin z fonsion ve ışınları bonca esilmiş z -düzleminden düşe şeridi üzerine bir bire-bir onform dönüşümdür. Şimdi şerit üzerindei eni sınır değer problemi " v için v 3 ve v 3 sınır değerlerine sahip bir v dir. z -düzlemindei çözüm potansieli blnz" biçiminde olacatır. Örne.. den 3 3 v Re w 6 Re Arc sin z 6 Arc sin dir. Eşpotansiellerin bir ısmı Şeil 9 da gösterilmiştir. Şeil 9 34

36 Örne.4.4. D : z disinde i 8 z i C z e : i z i C z e : sınır oşllarını sağlaan eletri potansielini blnz. z iz i Çözüm. w S dönüşümü D den Im w üst arı-düzlemi üzerine bir z birebir onform dönüşümdür öle i C negatif -eseni üzerine ve C de pozitif -eseni v potansieli eni üzerine dönüştürülür. Üst arı-düzlemdei 8 sınır oşllarını sağlar ve 8 8 v v Argw Arc tan (.) ile verilir. Bir doğrdan hesaplama ile iv S z i oldğ görülür. (.) denleminden istenen çözüm 8 Arc tan biçimindedir. Üst arı-düzlemdei v birim distei düze eğrisi orijinden çıan bir ışındır ve ön görüntüsü ve i notalarından geçen bir çember aıdır. Bir ısım düze eğrileri Şeil de gösterilmiştir. Şeil 35

37 .5. İi Botl Sıvı Aışı Kabl edelim i omples düzlem üzerinde bir sıvı amatadır ve notasında b sıvının hızı z i p iq V (.) hız vetörü ile verilmetedir. Hızın zamandan bağımsız ve p ve q bileşenlerinin süreli ısmi türevlere sahip olmasını isteriz. (.) denlemindei vetör alanının divergensi divv p q ile verilir ve z i notası civarında zalaşan hız alanının büülüğünün ölçüsüdür. Biz sadece divergensi sıfır olan sıvı aışlarını göz önüne alacağız. B oşl herhangi bir basit apalı çevre bonca net aışın özdeş olara sıfır olması biçiminde daha esin olara araterize edilir. Şeil Eğer Şeil de gösterilen üçü didörtgenin dışındai aışı göz önüne alırsa b drmda dışarı doğr aış oranı V nin didörtgenin enarlarında elde edilmiş olan dış normal bileşenin eğri integraline eşittir. Dış normal bileşen alt enar üzerinde q sağ enar üzerinde p üst enar üzerinde q ve sol enar üzerinde p ile verilir. Sonçlanan net aış integre edilip sıfıra eşitlendiğinde p t p tdt q t q t dt sağlanır. Hem p hem de q süreli diferensiellenebilirdir. Bölece ortalama değer teoremini llanırsa p q t p t p t t q t q t (.3) 36

38 elde ederiz brada ve dir. (.3) denlemindei ifadeleri arıdai integralde erine azar ve her ii tarafı ile bölerse p tdt q t dt blrz. B denlemi ve integraller için ortalama değer teoremini llanırsa p q elde ederiz brada alınırsa ve dir. B denlemde ve p q olr i bna sürelili denlemi denir. V p iq crlv q p vetör alanının crl ü büülüğüne sahiptir ve bir nota civarında vetör alanının nasıl döndüğünün bir göstergesidir. notasında bir "sıvı elementi" nin aniden dondğn ve daha sonra avaş avaş sıvılaştığını düşünelim. Sıvı elementi q p crl V ile verilen bir açısal hız ile dönecetir. Biz sadece crl ü sıfır olan sıvı aışları ile ilgileneceğiz. B tür sıvı aışlarına irrotasonel sıvı aışı denir. B oşl herhangi bir basit apalı çevre bonca V nin teğetsel bileşeninin eğri integralinin özdeş olara sıfır olması biçiminde daha esin olara araterize edilir. Eğer arıdai Şeil 3 dei didörtgeni göz önüne alırsa teğetsel bileşen alt enar üzerinde p sağ enar üzerinde q üst enar üzerinde p ve sol enar üzerinde q ile verilir. Sonçlanan sirülason integrali hesaplanıp sıfıra eşitlendiğinde q t q tdt p t p t dt sağlanır. Öncei gibi ortalama değer teoremini glar ve her ii tarafı q tdt p t dt ile bölerse 37

39 denlemini blrz. q p eşitliğini elde etme için b türden denlemli integraller için ortalama değeri llanabiliriz. ve alındığında q p sağlanır. p q oldğ da göz önüne alınırsa f z p iq fonsionnn Cach-Riemann denlemlerini sağladığı ve bir analiti fonsion oldğ görülür. Eğer f z nin antitürevini F z ile gösterirse b drmda F z i olr i b aışın omples potansielidir ve F z i p iq V özelliğine sahiptir. p ve q oldğndan p iq V grad dir bölece aış için hız potansielidir ve K denir. fonsionna aıntı fonsion denir. K denir ve sıvı partiüllerinin eğrilerini tanımlar. B sonc açılama için K d türevini alırız ve bir teğet vetörün eğiminin d oldğn da göz önüne alırsa eğrie teğet olan vetörü eğrilerine eşpotansieller eğrilerine aıntı doğrları nın ile verildiğini blrz. T i p iq V olara blrz. B incelemelerde diati çeen fiir "Eğer F z i analiti fonsion ise b drmda doğrlarını gösterir" dir. bir K eğrilerinin ailesi bir sıvı aışının aıntı Bir ideal sıvı aışı için sınır oşl V nin sıvıı içeren sınır eğrisine paralel olmasıdır (sıvı abın dvarlarına paralel olara aar). Başa bir deişle eğer F z i denlemi aış için omples potansiel ise b drmda sınır eğrisi bir K sabiti için ile verilmelidir. Yani sınır eğrisi bir aıntı doğrs olmalıdır. K w -düzlemindei bir G bölgesinde bir sıvı aışı için omples potansieli göstersin brada hız Teorem.5.. (Aışın değişmezliği) F w v i v V v F w dir. Eğer w S z iv fonsion z -düzlemindei bir D bölgesinden G üzerine bir birebir onform dönüşüm ise b drmda z S z v i v F F 38

40 bileşe fonsion D dei bir sıvı aışı için omples potansieldir brada hız V v F z dir. B drm Şeil de gösterilmetedir. Şeil F w nin analiti oldğ açıtır. Analiti fonsionların bileşesi de analiti İspat. oldğndan v ve v fonsionları D dei aış için sırasıla eni hız potansieli ve aıntı fonsiondr. F z D dei bir sıvı aışı için istenen omples potansieldir. z -düzlemindei bir K aıntı doğrs vea doğal sınır eğrisi w S z dönüşümü ile w -düzleminde bir v K aıntı doğrs vea doğal sınır eğrisi üzerine dönüştürülür. z -düzlemindei bir D bölgesi içindei bir aışı blma için bir öntem D w - düzlemindei aışı bilinen bir G bölgesi üzerine onform olara dönüştürmetedir. Bir düzgün oğnll ideal sıvı için Bernolli denleminin aşağıdai özel drm ile ilgilidir. p V sabit p sıvı basıncı ve Hız en düşü oldğnda basıncın en büü oldğna diat edilmelidir. V hızı 39

41 Örne.5.. F z a ibz omples potansieli sırasıla a b ve b a hız potansieli ve aıntı fonsionna sahiptir ve omples düzlemin tamamında bir V F z a ib düzgün paralel hıza sahiptir. Aıntı doğrları b a sabit denlemi ile verilen paralel b doğrlardır ve Şeil 3 de gösterildiği gibi bir Arc tan açısı ile eğimlidir. a Şeil 3 A Örne.5.3. A bir pozitif reel saı olma üzere F z z omples potansielini göz önüne alalım. Hız potansieli ve aıntı fonsion sırasıla A ve A ile verilir. sabit aıntı doğrları oordinat esenleri bonca asimptotl bir hiperboller ailesi olştrr. V Az hız vetörü Im z üst arı-düzleminde sıvı aıntı doğrları bonca aşağı doğr aar ve Şeil 4 de gösterilen biçimde eseni bonca dışarı doğr bir dvar arşısındamış gibi aılır. Şeil 4 4

42 Örne.5.4. Komples düzlemde soldan sağa doğr z birim çemberi etrafında bir ideal sıvı aışı için omples potansieli blnz. S z z onform dönüşümünün z : z Çözüm. w D bölgesini v z doğr parçası bonca esilmiş w -düzlemi üzerine birebir ve üzerine olara dönüştürmesi gerçeğini llanırız. w -düzleminde b esite paralel bir düzgün ata aış için omples potansiel F w Aw dir brada A bir pozitif reel saıdır. w -düzlemindei aış için aıntı v dir öle i v aıntı doğrs bonca esit vardır. fonsion Av z z F F S bileşe fonsion D bölgesindei sıvı aışını belirler brada omples potansiel A olma üzere F z A z dir. F z i ifade etme için z tpsal oordinatları llanabiliriz. F r r dır. A r sin i z F re A r cos ia r sin r aıntı doğrs eseni bonca r r ve r ışınlarından ve r eğrisinden i b r birim çemberidir olşr. Bölece birim r çember sıvı aışı için bir sınır eğrisi olara göz önüne alınabilir. F z A z Az alaşımı z nin büü değerleri için geçerlidir. Bölece b z aış ile orijinden za notalarda V A hızına sahip bir düzgün ata aışı alaştırabiliriz. sabit aıntı doğrları ve bnların w S z v sabit. görüntüleri Şeil 5 de gösterilmiştir. z dönüşümü altında z Şeil 5 4

43 KAYAKLAR. Hahn L. S. and Epstein B. (996) Classical Comple Analsis Jones And Bartlett Pblishers Boston.. Mathews J.H. and Howell R.W. () Comple Analsis Jones And Bartlett Pblishers Boston 3. Özın İ.K. (989) Komples Fonsionlar Teorisi Ders otları Anara. 4. Saff E.B. and Snider A.D. () Fndamentals of Comple Analsis with Applications Prentice Hall J. 4

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

2. İKİ BOYUTLU MATEMATİKSEL MODELLER

2. İKİ BOYUTLU MATEMATİKSEL MODELLER . İKİ BOYULU MAEMAİKSEL MODELLER.. Genel Bilgiler Şimdi konform dönüşüm teknikleri ile çözülebilen kararlı durum ısı akışı elektrostatik ve ideal sıvı akışı ile ilgili problemleri göz önüne alacağız. Konform

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matemat Deneme Sınavı. ii basamalı doğal saıdır. 6 en büü saısı ile en üçü saısının toplamı açtır? 8 89 8 6. için, 9 ( ) ifadesinin sonucu aşağıdailerden hangisidir? 6. ile saıları arasındai çift saıların

Detaylı

1 (c) herhangi iki kompleks sayı olmak üzere

1 (c) herhangi iki kompleks sayı olmak üzere KOMPLEKS FONKSİYONLAR TEORİSİ UYGULAMA SORULARI- Problem. Aşağıdaki (a) ve (b) de olmak üere (a) olduklarını gösterini. (b) (c) Imi Re Çöüm (a) i olsun. i i (b) i olsun. i i i i i i i i i i Im i Re i (c)

Detaylı

SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (2009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK

SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (2009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK SAÜ Fen Edebiyat Dergisi (009-II) ÜÇ BOYUTLU LORENTZ UZAYI L DE TIMELIKE MANNHEİM EĞRİ ÇİFTİ ÜZERİNE A. ZEYNEP AZAK Saarya Üniversitesi, Fen-Edebiyat Faültesi Matemati Bölümü, 5487, SAKARYA apirdal@saarya.edu.tr

Detaylı

1991 ÖYS. )0, 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 123 B) 432 C) 741 D) 864 E) 987

1991 ÖYS. )0, 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 123 B) 432 C) 741 D) 864 E) 987 99 ÖYS.,8 (, ), işleminin sonucu açtır? A) B) C) D) E) 7. Raamları sıfırdan ve birbirinden farlı, üç basamalı en büyü sayı ile raamları sıfırdan ve birbirinden farlı, üç basamalı en üçü sayının farı açtır?

Detaylı

h h P h h Şekil 2.1. Bir kapta bulunan sıvının yüksekliği ile tabana yaptığı basınç arasındaki ilişki

h h P h h Şekil 2.1. Bir kapta bulunan sıvının yüksekliği ile tabana yaptığı basınç arasındaki ilişki 11. DENKLEMLER Değişenlerin arşılılı ilişilerini ifade eden matematisel denlemler ii gruba arılabilir: Cebirsel denlemler ve diferensiel denlemler. Cebirsel bir denlem türev olara ifade edilen bir değişen

Detaylı

İ.Ü. Fen Fakültesi Matematik Bölümü Diferansiyel Denklemler I (örgün i.ö)

İ.Ü. Fen Fakültesi Matematik Bölümü Diferansiyel Denklemler I (örgün i.ö) İÜ Fen Fakültesi Matematik Bölümü Diferansiel Denklemler I (örgün iö) Ekim04 Ödevler - Çalışma Sorları - Arasınav Hazırlık Sorları Hazırlaan: YrdDoçDr Serkan İLTER http://avesistanbledtr/ilters/dokmanlar

Detaylı

BÖLÜM 6 GERÇEK AKIŞKANLARIN HAREKETİ

BÖLÜM 6 GERÇEK AKIŞKANLARIN HAREKETİ BÖLÜM 6 GERÇEK AKIŞKANLARIN HAREKETİ Gerçek akışkanın davranışı viskoziteden dolayı meydana gelen ilave etkiler nedeniyle ideal akışkan akımlarına göre daha karmaşık yapıdadır. Gerçek akışkanlar hareket

Detaylı

[ 1, 1] alınırsa bu fonksiyon birebir ve örten olur. Bu fonksiyonun tersine arkkosinüs. f 1 (x) = sin 1 (x), 1 x 1

[ 1, 1] alınırsa bu fonksiyon birebir ve örten olur. Bu fonksiyonun tersine arkkosinüs. f 1 (x) = sin 1 (x), 1 x 1 ..3 Ters Trigonometrik Fonksionlar Önceki kesimde belirtilen bütün trigonometrik fonksionlar perodik olduklarından görüntü kümesindeki her değeri sonsuz noktada alırlar. Bölece trigonometrik fonksionlar

Detaylı

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır.

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır. -A Adı Soadı kulu Sınıfı LYS- MATEMATİK TESTİ Bu Testte; Toplam Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 7 dakikadır. Süre bitiminde Matematik Testi sınav kitapçığınızı gözetmeninize verip Geometri Testi

Detaylı

BİR FONKSİYONUN FOURİER SERİSİNE AÇILIMI:

BİR FONKSİYONUN FOURİER SERİSİNE AÇILIMI: FOURIER SERİERİ GİRİŞ Elastisite probleminin çözümünde en büyü zorlu sınır şartlarının sağlatılmasındadır. Bu zorluğu gidermenin yollarından biride sınır yülerini Fourier serilerine açmatır. Fourier serilerinin

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

Tremalarla Oluşum: Kenar uzunluğu 1 olan bir eşkenar üçgenle başlayalım. Bu üçgene S 0

Tremalarla Oluşum: Kenar uzunluğu 1 olan bir eşkenar üçgenle başlayalım. Bu üçgene S 0 SİERPİNSKİ ÜÇGENİ Polonyalı matematiçi Waclaw Sierpinsi (1882-1969) yılında Sierpinsi üçgeni veya Sierpinsi şapası denilen bir fratal tanıttı. Sierpinsi üçgeni fratalların il örneğidir ve tremalarla oluşturulur.

Detaylı

ANALİZ CEBİR. 1. x 4 + 2x 3 23x 2 + px + q denkleminin kökleri (a, a, b, b) olacak şekilde. ikişer kökü aynı ise ise p ve q kaçtır?

ANALİZ CEBİR. 1. x 4 + 2x 3 23x 2 + px + q denkleminin kökleri (a, a, b, b) olacak şekilde. ikişer kökü aynı ise ise p ve q kaçtır? ANALİZ CEBİR. x + x x + px + q denleminin öleri a, a, b, b) olaca şeilde iişer öü aynı ise ise p ve q açtır? x + x x + px + q = x - a) x - b) = x ax + a )x bx + b ) = x a+b)x +a +ab+b )x aba+b)x +a b a

Detaylı

DENEY 3. HOOKE YASASI. Amaç:

DENEY 3. HOOKE YASASI. Amaç: DENEY 3. HOOKE YASASI Amaç: ) Herhangi bir uvvet altındai yayın nasıl davrandığını araştırma ve bu davranışın Hooe Yasası ile tam olara açılandığını ispatlama. ) Kütle yay sisteminin salınım hareeti için

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

) ile algoritma başlatılır.

) ile algoritma başlatılır. GRADYANT YÖNTEMLER Bütün ısıtsız optimizasyon problemlerinde olduğu gibi, bir başlangıç notasından başlayara ardışı bir şeilde en iyi çözüme ulaşılır. Kısıtsız problemlerin çözümü aşağıdai algoritma izlenere

Detaylı

a : Uydu yörüngesinin büyük yarı ekseni, b: Uydu yörüngesinin küçük yarı ekseni,

a : Uydu yörüngesinin büyük yarı ekseni, b: Uydu yörüngesinin küçük yarı ekseni, Kepler Kannları Nota onmlarının belirlenmesi için bilgi alınan ydların yörüngelerinin ve b yörüngedei onmlarının bilinmesi gereir. Uyd yörüngeleri ve b yörüngedei hareetlerini belirleme için Kepler annlarından

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Chapter 1 İçindekiler

Chapter 1 İçindekiler Chapter 1 İçindekiler Kendinizi Test Edin iii 10 Birinci Mertebeden Diferansiel Denklemler 565 10.1 Arılabilir Denklemler 566 10. Lineer Denklemler 571 10.3 Matematiksel Modeller 576 10.4 Çözümü Olmaan

Detaylı

2. TRANSFORMATÖRLER. 2.1 Temel Bilgiler

2. TRANSFORMATÖRLER. 2.1 Temel Bilgiler . TRANSFORMATÖRLER. Temel Bilgiler Transformatörlerde hareet olmadığından dolayı sürtünme ve rüzgar ayıpları mevcut değildir. Dolayısıyla transformatörler, verimi en yüse (%99 - %99.5) olan eletri maineleridir.

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan

Detaylı

2.2 Bazıözel fonksiyonlar

2.2 Bazıözel fonksiyonlar . Bazıözel fonksionlar Kuvvet fonksionu, polinomlar ve rasonel fonksionlar, mutlak değer ve tam değer fonksionları, pratik grafik çizimleri. 1-) Lineer fonksionlar: m ve n sabit saılar olmak üzere f()

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı a da bir kısmı, azarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,

Detaylı

UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER

UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER GİRİŞ Birçok mühendislik, fizik ve sosal kökenli problemler matematik terimleri ile ifade edildiği zaman bu problemler, bilinmeen fonksionun bir vea daha üksek mertebeden

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM Taşkın, Çetin, Abdullaeva FONKSİYONLAR.. FONKSİYON KAVRAMI Tanım : A ve B boş olmaan iki küme a A ve b B olmak üzere ( ab, ) sıralı eleman çiftine sıralı ikili denir. ( ab, ) sıralı ikilisinde a

Detaylı

1. BÖLÜM VEKTÖRLER 1

1. BÖLÜM VEKTÖRLER 1 1. BÖLÜM VEKTÖRLER 1 Tanım:Matematik, istatistik, mekanik, gibi çeşitli bilim dallarında znlk, alan, hacim, yoğnlk, kütle, elektriksel yük, gibi büyüklükler, cebirsel krallara göre ifade edilirler. B tür

Detaylı

ile plakalarda biriken yük Q arasındaki ilişkiyi bulmak, bu ilişkiyi kullanarak boşluğun elektrik geçirgenlik sabiti ε

ile plakalarda biriken yük Q arasındaki ilişkiyi bulmak, bu ilişkiyi kullanarak boşluğun elektrik geçirgenlik sabiti ε Farlı Malzemelerin Dieletri Sabiti maç Bu deneyde, ondansatörün plaalarına uygulanan gerilim U ile plaalarda birien yü Q arasındai ilişiyi bulma, bu ilişiyi ullanara luğun eletri geçirgenli sabiti ı belirleme,

Detaylı

ÖABT LİSE MATEMATİK KPSS 2016 ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER. Eğitimde

ÖABT LİSE MATEMATİK KPSS 2016 ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER. Eğitimde ÖABT LİSE KPSS 2016 Pegem Aademi Sınav Komisyonu; 2015 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 40'ın üzerinde soruyu olaylıla çözebildiğini açıladı. MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER Eğitimde

Detaylı

9. İZOMORFİZMA TEOREMLERİ VE EŞLENİK ELEMANLAR. Aşağıdaki teorem Homomorfizma teoremi olarak da bilinir.

9. İZOMORFİZMA TEOREMLERİ VE EŞLENİK ELEMANLAR. Aşağıdaki teorem Homomorfizma teoremi olarak da bilinir. 9. İZOMORFİZMA TEOREMLERİ VE EŞLENİK ELEMANLAR Aşağıdai teorem Homomorfizma teoremi olara da bilinir. Teoremi 9.. (.İzomorfizma Teoremi) f : G H bir grup homomorfizması olsun. Şu halde ( ) dir. Özel olara,

Detaylı

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır? . SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)

Detaylı

ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KPSS 2016 ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER. Eğitimde

ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KPSS 2016 ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER. Eğitimde ÖABT İLKÖĞRETİM KPSS 206 Pegem Aademi Sınav Komisyonu; 205 KPSS ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 40'ın üzerinde soruyu olaylıla çözebildiğini açıladı. MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER

Detaylı

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 1 E) x x. x x = x

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 1 E) x x. x x = x Ö.S.S. MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. olduğuna göre, kaçtır? A B C D E Çözüm. -. : ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A B C D E Çözüm :... :....... . olduğuna göre, - ifadesinin

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

LYS Y ĞRU MTMTİK TSTİ. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.., y reel sayılar

Detaylı

k olarak veriliyor. Her iki durum icin sistemin lineer olup olmadigini arastirin.

k olarak veriliyor. Her iki durum icin sistemin lineer olup olmadigini arastirin. LINEER SISTEMLER Muhendislite herhangibir sistem seil(ref: xqs402) dei gibi didortgen blo icinde gosterilir. Sisteme disaridan eti eden fatorler giris, sistemin bu girislere arsi gosterdigi tepi ciis olara

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MTEMTİK TESTİ. Bu testte soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. d + n - d + n d - + n- d + + n işleminin sonucu kaçtır?., R olmak üzere, + +

Detaylı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada

Detaylı

ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİZ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı a da bir kısmı, azarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik, fotokopi a da herhangi bir

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

10. DİREKT ÇARPIMLAR

10. DİREKT ÇARPIMLAR 10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü

Detaylı

EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3-2 Yıl: 2010 199-206

EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3-2 Yıl: 2010 199-206 99 EÜFBED - Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi Cilt-Sayı: 3- Yıl: 99-6 İKİNCİ MERTEBEDEN BİR DİFERENSİYEL DENKLEM SINIFI İÇİN BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMİNİN DİFERENSİYEL DÖNÜŞÜM YÖNTEMİ İLE TAM ÇÖZÜMLERİ THE

Detaylı

ITAP Fizik Olimpiyat Okulu

ITAP Fizik Olimpiyat Okulu Ei Aralı Seviyesinde Denee Sınavı. Uzunluğu R/ olan bir zincirin ucu yarıçapı R olan pürüzsüz bir ürenin tepe notasına bağlıdır (şeildei ibi). Bilinen bir anda bu uç serbest bıraılıyor. )Uç serbest bıraıldığı

Detaylı

EGZOS EMİŞ AĞZI ETRAFINDAKİ AKIŞIN SAYISAL HESABI

EGZOS EMİŞ AĞZI ETRAFINDAKİ AKIŞIN SAYISAL HESABI Yapım Matbaacılı Ltd., İstanbl, 1999 Editörler :A. İ. ALDOĞAN Y. ÜNSAN E BAYRAKTARKATAL GEMİ İNŞAATI VE DENİZ TEKNOLOJİSİ TEKNİK KONGRESİ 99 BİLDİRİ KİTABI EGZOS EMİŞ AĞZI ETRAFINDAKİ AKIŞIN SAYISAL HESABI

Detaylı

İLKÖĞRETİM MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER

İLKÖĞRETİM MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÖABT 05 Soruları aalaan omison tarafından hazırlanmıştır. ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER Editör: Doç. Dr. Haan Efe Konu Anlatımı Özgün Sorular Arıntılı

Detaylı

TÜREV TANIMI TÜREV ALMA KURALLARI FEN LĠSESĠ ÖĞRETĠM PROGRAMINA GÖRE DERS ANLATIM FÖYÜ 1

TÜREV TANIMI TÜREV ALMA KURALLARI FEN LĠSESĠ ÖĞRETĠM PROGRAMINA GÖRE DERS ANLATIM FÖYÜ 1 TÜRE TNIMI TÜRE LM KURLLRI FEN LĠSESĠ ÖĞRETĠM PROGRMIN GÖRE DERS NLTIM FÖYÜ Ortalama Değişim Oranı Bu itte dönüşümü apılırsa olur. f(b) B d f() f(b) f(a) Bu durumda iken olur. Buna göre, f() fonksionunun

Detaylı

BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜMÜ

BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜMÜ BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜMÜ DÜZLEM-BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME 3D durumda, bir noktadaki birim şekil değiştirme durumu 3 normal birim şekildeğiştirme bileşeni,, z, ve 3 kesme birim şekildeğiştirme bileşeninden,

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. n olmak üzere; n n toplamı ten büük n nin alabileceği tamsaı değerleri kaç tanedir? 9 B) 8 7.,, z reel saılar olmak üzere; ( 8) l 8 l z z aşağıdakilerden hangisidir? B) 8. tabanındaki

Detaylı

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR Fonksionlar ve Özel Tanımlı Fonksionlar Özel tanımlı fonksionlar konusu fonksionların alt bir dalıdır. Bu konuu daha ii anlaabilmemiz için fonksionlar ile ilgili bilgilerimizi

Detaylı

Kuvvet kavramı TEMAS KUVVETLERİ KUVVET KAVRAMI. Fiziksel temas sonucu ortaya çıkarlar BÖLÜM 5 HAREKET KANUNLARI

Kuvvet kavramı TEMAS KUVVETLERİ KUVVET KAVRAMI. Fiziksel temas sonucu ortaya çıkarlar BÖLÜM 5 HAREKET KANUNLARI BÖLÜM 5 HAREKET KANUNLARI 1. Kuvvet avramı. Newton un 1. yasası ve eylemsiz sistemler 3. Kütle 4. Newton un. yasası 5. Kütle-çeim uvveti ve ağırlı 6. Newton un 3. yasası 7. Newton yasalarının bazı uygulamaları

Detaylı

ELEMANLARI DENK KÜMELER OLAN VE HER FARKLI İKİ ELEMANININ SİMETRİK FARKINI İÇEREN KÜMELERİN ELEMAN SAYILARININ EN BÜYÜK DEĞERİ

ELEMANLARI DENK KÜMELER OLAN VE HER FARKLI İKİ ELEMANININ SİMETRİK FARKINI İÇEREN KÜMELERİN ELEMAN SAYILARININ EN BÜYÜK DEĞERİ ÖZEL EGE LİSESİ ELEMANLARI DENK KÜMELER OLAN VE HER FARKLI İKİ ELEMANININ SİMETRİK FARKINI İÇEREN KÜMELERİN ELEMAN SAYILARININ EN BÜYÜK DEĞERİ HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: ATAHAN ÖZDEMİR DANIŞMAN ÖĞRETMEN: DEFNE

Detaylı

ON COMPOSITE LAMINATED PLATES WITH PLANE LOADED ELASTIC STRESS ANALAYSIS

ON COMPOSITE LAMINATED PLATES WITH PLANE LOADED ELASTIC STRESS ANALAYSIS Doğu Anadolu Bölgesi Araştırmaları; 7 DÜZLEMSEL YÜLÜ TABAALI OMPOZİT PLAALARDA ELASTİ GERİLME ANALİZİ *Hamit ADİN, **Bahattin İŞCAN *Dicle Üniversitesi Şırna Mesle Yüseoulu ŞIRNA **Batman Üniversitesi

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 13. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 13. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 1. x,y,z pozitif tam sayılardır. 1 11 x + = 8 y + z olduğuna göre, x.y.z açtır? 3 B) 4 C) 6 D)1 3 1 4. {,1,1,1,...,1 } 1 ümesinin en büyü elemanının diğer 1 elemanın toplamına oranı, hangi tam sayıya en

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

MATRİS DEPLASMAN YÖNTEMİ

MATRİS DEPLASMAN YÖNTEMİ SAARYA ÜNİVERSİTESİ M İNŞAAT MÜHENİSİĞİ BÖÜMÜ epartment of Civil Engineering İNM YAI STATIĞI II MATRİS EASMAN YÖNTEMİ Y.OÇ.R. MUSTAA UTANİS tanis@saarya.ed.tr Saarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü

Detaylı

doğru orantı doğru orantı örnek: örnek:

doğru orantı doğru orantı örnek: örnek: doğru orantı Kazanım :Doğru orantılı ii çolu arasındai ilişiyi tablo veya denlem olara ifade eder. Doğru orantılı ii çoluğa ait orantı sabitini belirler ve yorumlar. doğru orantı İi çolutan biri artaren

Detaylı

LYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MECHANICS OF MATERIALS

MECHANICS OF MATERIALS 00 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. T E CHAPTER 7 Gerilme MECHANICS OF MATERIALS Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf Dönüşümleri Fatih Alibeoğlu 00 The McGraw-Hill

Detaylı

KABLOSUZ İLETİŞİM

KABLOSUZ İLETİŞİM KABLOSUZ İLETİŞİM 805540 KÜÇÜK ÖLÇEKLİ SÖNÜMLEME SÖNÜMLEMENİN MODELLENMESİ İçeri 3 Sönümleme yapısı Sönümlemenin modellenmesi Anara Üniversitesi, Eletri-Eletroni Mühendisliği Sönümleme Yapısı 4 Küçü ölçeli

Detaylı

TRAFİK SİMÜLASYON TEKNİKLERİ

TRAFİK SİMÜLASYON TEKNİKLERİ TRFİK SİMÜLSYON TEKNİKLERİ 3. HFT Doç. Dr. Haan GÜLER (2015-2016) 1. TEMEL TRFİK KIM PRMETRELERİ RSINDKİ İLİŞKİ Kesintisiz aımlarda; Hız, Yoğnl ve ım oranı (hacim) arasındai ilişi aşağıdai şeillerde gösterilmiştir.

Detaylı

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2 1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemesi İstatistiksel Mekanik II: Alanların İstatistiksel Fiziği 2008 Bahar

MIT Açık Ders Malzemesi İstatistiksel Mekanik II: Alanların İstatistiksel Fiziği 2008 Bahar MIT Açık Ders Malzemesi http://ocw.mit.ed 8.334 II: Alanların İstatistiksel Fiziği 8 Bahar B malzemeye atıfta blnmak ve Kllanım Şartlarımızla ilgili bilgi almak için http://ocw.mit.ed/terms ve http://tba.acikders.org.tr

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği HEDEFLER İÇİNDEKİLER GRAFİK ÇİZİMİ Simetri ve Asimtot Bir Fonksionun Grafiği MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR Bu ünitei çalıştıktan sonra; Fonksionun simetrik olup olmadığını belirleebilecek, Fonksionun

Detaylı

f(1)=1 2-4 x 1+20=17 f ' (x)=2 x- 4 f ' (1)=2 x 1-4= -2 y= -2 x (-2) x y= -2x +19

f(1)=1 2-4 x 1+20=17 f ' (x)=2 x- 4 f ' (1)=2 x 1-4= -2 y= -2 x (-2) x y= -2x +19 Notlar: - dzleminde iki on vardir. 1)pozitif on, 2)negatif on Ornek olarak =f()= 2-4+20 fonksion icin 0 =10 noktasindan pozitif onnde gidersek ( e artan degerler verirsek) fonksionn degeri artar, negatif

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar 2008 Güz

MIT Açık Ders Malzemeleri Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar 2008 Güz MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.112 Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar 2008 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak ya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak Akıl LYS MATEMATİK DENEME SINAVI 0505- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barbaros GÜR Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN

Detaylı

1977 ÜSS. 2 y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1 x. 2 y. 1 y. 1 y. 1 x. 2 x. 2 x. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y 2 C) 4 E)

1977 ÜSS. 2 y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1 x. 2 y. 1 y. 1 y. 1 x. 2 x. 2 x. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y 2 C) 4 E) 77 ÜSS. ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?. C) 4 E). Şekilde a+b+c+d açılarının toplamı kaç dik açıdır? (açılar pozitif önlüdür.) 4 C) 6 7 E) 8 Verilen şekilde açıların ölçüleri verilmiştir. En

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. A.. n saısının tamsaı bölenlerinin saısı olduğuna göre, n 0. R de tanımlı " " işlemi; ο ο işleminin sonucu 0. (6) 6 (6) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 6 6 (6)

Detaylı

DERS 1: TEMEL KAVRAMLAR

DERS 1: TEMEL KAVRAMLAR DERS : TEMEL KAVRAMLAR Dersin Amacı: Diferansiel denklemlerin doğasını kavramak, onları tanımlamak ve sınıflandırmak, adi diferansiel denklemleri lineer ve lineer olmama durumuna göre sınıflandırmak, bir

Detaylı

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri

MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri 1. KOMPLEKS SAYILAR 1.1. Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri Tanım 1. x, y R olmak üzere (x, y) sıralı ikililerine kompleks sayı denir. Burada x, z nin reel kısmı, ve y, z nin imajiner

Detaylı

BÖLÜM 5: MATEMATİKSEL KARTOGRAFYA HARİTA PROJEKSİYONLARI KURAMI

BÖLÜM 5: MATEMATİKSEL KARTOGRAFYA HARİTA PROJEKSİYONLARI KURAMI Kartografya Ders Not Bölüm 5 BÖLÜM 5: MATEMATİKSEL KATOGAFYA HAİTA POJEKSİYONLAI KUAMI Türkay Gökgöz (www.yildiz.ed.tr/~gokgoz) 5 Kartografya Ders Not Bölüm 5 İÇİNDEKİLE 5. Harita Projeksiyonlarında Deformasyon.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 19, 20, 21, 25, 27, 28, 29, 30, 33-b.

Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 19, 20, 21, 25, 27, 28, 29, 30, 33-b. Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir:,,,, 5, 6, 7, 9,,, 5, 7, 8, 9,, -b. MAT -MATEMATİK (- GÜZ DÖNEMİ) FİNAL ÇALIŞMA SORULARI. Tabanı a büyük eksenli, b küçük eksenli elips ile sınırlanan

Detaylı

ÇÖZÜMLÜ SORULAR. ÇÖZÜM Boşluk miktarı: 100,25 100 2 Mil ile yatağın temas alanı : e 2. Hız gradyanı: Kayma gerilmesi:

ÇÖZÜMLÜ SORULAR. ÇÖZÜM Boşluk miktarı: 100,25 100 2 Mil ile yatağın temas alanı : e 2. Hız gradyanı: Kayma gerilmesi: LÜ SOULA SOU. Şekilde gösterilen D m = mm çapında bir mil D =,5 mm çapında ve L = mm genişliğinde bir atak içerisinde eksenel doğrltda kp lk bir kvvetle anak,5 m/s ızla areket ettirilebilior. Bna göre

Detaylı

JFM 301 SİSMOLOJİ ELASTİSİTE TEORİSİ Elastisite teorisi yer içinde dalga yayılımını incelerken çok yararlı olmuştur.

JFM 301 SİSMOLOJİ ELASTİSİTE TEORİSİ Elastisite teorisi yer içinde dalga yayılımını incelerken çok yararlı olmuştur. JFM 301 SİSMOLOJİ ELASTİSİTE TEORİSİ Elastisite teorisi yer içinde dalga yayılımını incelerken çok yararlı olmuştur. Prof. Dr. Gündüz Horasan Deprem dalgalarını incelerken, yeryuvarının esnek, homojen

Detaylı

KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ:

KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ: KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ: Genel düzlemsel hareket yapmakta olan katı cisim üzerinde bulunan iki noktanın ivmeleri aralarındaki ilişki, bağıl hız v A = v B + v B A ifadesinin zamana göre türevi

Detaylı

Fonksiyonlar ve Grafikleri

Fonksiyonlar ve Grafikleri Fonksionlar ve Grafikleri Isınma Hareketleri Aşağıda verilenleri inceleiniz. A f f(a) 7 çocuk baan f: Çocukları annelerine götürüor. Fonksion olma şartı: Her çocuğun annesi olmalı ve bir tane olmalı. (

Detaylı

Gerilme Dönüşümü. Bölüm Hedefleri

Gerilme Dönüşümü. Bölüm Hedefleri Gerilme Dönüşümü Bölüm Hedefleri Bu bölümde, belirli bir koordinat sisteminde tanımlı gerilme bileşenlerinin, farklı eğimlere sahip koordinat sistemlerine nasıl dönüştürüleceği üzerinde durulacaktır. Gerekli

Detaylı

Titreşim Hareketi Periyodik hareket

Titreşim Hareketi Periyodik hareket 05.01.01 Titreşi Hareeti Periyodi hareet Belirli bir zaan sonra, verilen/belirlenen bir durua düzenli olara geri dönen bir cisin yaptığı hareet. Periyodi hareetin özel bir çeşidi eani sistelerde olur.

Detaylı

HİDROTERMAL GERİLME VE ŞEKİL DEĞİŞTİRME BAĞINTILARI

HİDROTERMAL GERİLME VE ŞEKİL DEĞİŞTİRME BAĞINTILARI Kopozit alzee eaniği Ders otları Doç.Dr. Cesi Ş HİDRORL RİL ŞKİL DĞİŞİR BĞIILRI Kopozit bir apı ea parçanın gerile-şeil değiştire analizleri apılıren ne e sıcalığın etisi de göz önüne alınalıdır. Yani,

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte 5 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. - - ^- h + c- m - (-5 )-(- ) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 5 E).

Detaylı

KARMAŞIK SAYILAR Test -1

KARMAŞIK SAYILAR Test -1 KARMAŞIK SAYILAR Test -. i olmak üere, i olduğuna göre, Re() kaçtır? B) C) 0 D) E). i olmak üere, 00 0 06 i i i işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine i B) i C) i + D) E) i. i olmak üere, i olduğuna

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

f fonksiyonuna bir üç değişkenli fonksiyon adı verilir. Daha çok değişkenli fonksiyonlar benzer şekilde tanımlanır.

f fonksiyonuna bir üç değişkenli fonksiyon adı verilir. Daha çok değişkenli fonksiyonlar benzer şekilde tanımlanır. Çok Değişkenli Fonksiyonlar Tanım 1. D düzlemin bir bölgesi, f de D nin her bir (x, y) noktasına bir f(x, y) reel sayısı karşılık getiren bir fonksiyon ise f fonksiyonuna bir iki değişkenli fonksiyon adı

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x.

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x. - TÜREV KAVRAMI - TÜREV KAVRAMI 7 iadesinin türevini alınız. Çözüm lim lim 7 7 lim 7 7 lim lim onksionunun türevini alınız. Tanım onksionunda değişkeni artımını alırken de kadar artsın. oranının giderken

Detaylı

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ A. PERİYODİK FONKSİYONLAR A, düna ve güneşin hareketleri, a ve güneş tutulmaları her 7 ılda bir Halle kuruklu ıldızının dünamızı ziareti periodik olarak medana gelen

Detaylı

MIXED REGRESYON TAHMİN EDİCİLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI. The Comparisions of Mixed Regression Estimators *

MIXED REGRESYON TAHMİN EDİCİLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI. The Comparisions of Mixed Regression Estimators * MIXED EGESYON TAHMİN EDİCİLEİNİN KAŞILAŞTIILMASI The Comparisions o Mixed egression Estimators * Sevgi AKGÜNEŞ KESTİ Ç.Ü.Fen Bilimleri Enstitüsü Matemati Anabilim Dalı Selahattin KAÇIANLA Ç.Ü.Fen Edebiyat

Detaylı

27310 Gaziantep 27310 Gaziantep. Tel : 0342 360 1200/2412 Tel : 0342 360 1200/2423 Fax : 0342 360 1107 Fax : 0342 360 1107

27310 Gaziantep 27310 Gaziantep. Tel : 0342 360 1200/2412 Tel : 0342 360 1200/2423 Fax : 0342 360 1107 Fax : 0342 360 1107 BATIK YATAY JETLERİN NÜMERİK İMÜLAYONU Yrd.Doç. Dr. Msafa Günal Arş. Gör. Aaç Güen Gazianep Üniersiesi Gazianep Üniersiesi İnşaa Müh. Bölümü İnşaa Müh. Bölümü 73 Gazianep 73 Gazianep gnal@ganep.ed.r agen@ganep.ed.r

Detaylı

2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.

2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz. ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07 UZY GEMETRİ İÇİNDEKİLER Safa No Test No UZY KSİYMLRI... 001-00... 01-0 UZYD DGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 0-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-01... 0-07 PRİZMLR... 015-0... 08-1 KÜP... 05-00... 1-15 SİLİNDİR...

Detaylı