Matematik. Dünyas ndan. Sevgili Matematikseverler,

Transkript

1 Matematik Sevgili Matematikseverler, Dünyas ndan Bu sat rlar srail den yaz yorum. Kudüs te, brani Üniversitesi nde ve güzelliklerden flaflk na dönmüfl bir durumday m. Binbir çeflit a aç, bitki, sarmafl k, çiçek ve yemyeflil bir çim. nek olup otlayamad ma hay fland m, öylesine ifltah aç c. Orda burda ünlü heykeltrafllardan heykeller, koridorlarda özgün tablolar, duvarlarda kabartmalar, oyunbaz ferforjeler, sanki saklanmaya çal flan sevimli kahveler... Binalar tafltan ve insanc l, en çok üç katl. Hiçbir fley gösteriflli de il, ama her fley o kadar itinayla, zevkle, incelikle, düflünülerek ve belli ki sevgiyle yap lm fl ki... Nedir bu kavga gürültü anlam fl de ilim. Gökyüzü ve toprak alabildi ine, su da bol. Daha baflka ne ister ki insano lu? *** Yirmi y ll k bir dostum burada, ta ö rencilik y llar m zdan tan fl r z. Efli benzeri az bulunan, dahi diye niteledi im matematikçilerdendir. Üstelik dünya güzeli bir insand r. Bu dostum genç bir matematikçi aday na flunlar söylemifl: Birçok kifli neyi bilmedi ini bilmez. Sen neyi bilmedi ini biliyorsun, bu büyük bir avantajd r. Bana ne biliyorsun diye sorsalar, ne bilmedi imi biliyorum, derim... Önemli olan insan n kendine dürüst olmas d r. Matematikçi aday genç bana bunlar aktard nda çok flafl rd m, çünkü bir iki gün önce ben de aynen böyle düflünüyordum, hem de ayn terimlerle: Bana ne biliyorsun diye sorsalar, neyi bilmedi imi biliyorum derim diye düflünüyordum, en az ndan matematikte... Gerçekten de, tamam yla zihinsel bir u rafl oldu undan, aksiyomlar ndan tan mlar na, kan tlama yöntemlerinden teoremlerine dek her fleyini biz yaratt m zdan, matematikte bir fley ya bilinir ya bilinmez. Bunun orta yolu, biraz anlad m, eh iflte, flöyle böyle si filan yoktur. Bu kendinden emin olabilme sadece matemati- e özgüdür. Bu yüzden matematik büyük ölçüde tek kiflilik bir u raflt r. Uzun yaln zl k ve yo un çal flmadan öte, insan n kendisiyle ac mas zca dürüst olmas n gerektirir. Hiç de kolay de ildir bu. Bunun sonucu olarak da matematikçi baflkalar yla de il kendisiyle yar fl r. Matematik, bu yönüyle, insan n kendi kendisiyle didiflmesidir. Ve gene bunun sonucu olarak matematikçi, yarat c her insan gibi, yalan söylemez. Ne kendine ne de baflkas na... Bu yüzden de ana babadan, konu komfludan, apolet ve düdükten, ö retmen ve müdürden korkulan, yani yalan n bir kendini koruma mekanizmas olarak içsellefltirildi i toplumlardan matematikçi ç kmaz. Neyse ki biz böyle bir toplum de iliz! Ödüm patlad bir an. 1 md@math.bilgi.edu.tr

2 çindekiler SAH B : Türk Matematik Derne i ad na Prof. Dr. Tosun Terzio lu SORUMLU YAZI filer MD.: Prof. Dr. Ali Nesin Matematik Dünyas, Türk Matematik Derne i taraf ndan, stanbul Bilgi Üniversitesi nin deste iyle üç ayda bir yay mlanmaktad r. Milli E itim Bakanl Talim Terbiye Kurulu Baflkanl n n 20 Haziran 1991 gün ve 660 YKD. Bas. K.I.fib. Müd say l karar yla okullara tavsiye edilmifltir! YAYIN KURULU: Ali Nesin, Ahmet Do an, Haluk Oral, Mustafa Ya c (Geometri), Özlem Beyarslan, Selçuk Demir, Semih Poroy, fiafak Alpay, Tayfun Akgül ABONEL K: Y ll k TL. En az 10 kiflilik (tek adresli) gruplar için abone bafl na y ll k TL. TMD üyelerine TL. Yurtd fl abonelik TL. Y ll k abone ücretinin Türk Matematik Derne i nin Matematik Dünyas Dergisi ad na açt rd no lu Posta Çeki hesab na ya da Türkiye fl Bankas Parmakkap fiubesi (fiube kodu 1042) no lu Matematik Dünyas Dergisi hesab na yat r larak, dekontunun bir örne inin yaz flma adresine gönderilmesi yeterlidir. ABD Dolar Hesab : Türkiye fl Bankas, Galata fiubesi, Euro Hesab : Türkiye fl Bankas, Galata fiubesi, Derginin eski say lar n elde etmek için: Prof. Dr. Hülya fienkon Sabanc Üniversitesi Karaköy letiflim Merkezi Bankalar Cad Karaköy stanbul tmd@sabanciuniv.edu.tr hsenkon@iku.edu.tr (0212) / 1506 (0212) / 2216 KAR KATÜRLER: Tayfun Akgül TASARIM: Kadir Abbas / Maraton Dizgievi BASKI: Kad köy Matbaa ISSN: X Kapak: Kadrali letiflim Adresimiz Matematik Dünyas stanbul Bilgi Üniversitesi Kurtulufl Deresi Cd Dolapdere / STANBUL Tel : (0212) Faks : (0212) E-Posta : md@math.bilgi.edu.tr Web : 1 Matematik Dünyas ndan Ali Nesin 3 K sa K sa fiafak Alpay 5 Okurlardan 7 Bas nda Matematik 8 Duyduk Duymadik Demeyin! 9-46 Kapak Konusu: Modüler ve p-sel Say lar 9 mkâns z Baflarmaya Çal flmak 12 Bildi imiz Toplama ve Çarpmayla Daha Neler Neler Toplay p Çarp l r! 13 Modüler Say lar 16 Z/nZ Halkas n Parçalamak 24 Z/p k Z Halkalar n n Resmi 26 Z/p k Z Halkalar n n Geçit Resmi: p-sel Tamsay lar 33 Fermat n n Küçük Teoremi 34 Euler in Teoremi ve Cisimlerin Çarp msal ve Sonlu Altgruplar Mehmet K ral ve Ali Nesin 37 Wilson Teoremi nin Bir Baflka Kan t 38 Hensel Önsav 42 Gerçel Say larla p-sel Tamsay lar Aras ndaki Benzerlik 46 p-sel Say lar Cismi Matematik Tarihi 47 Matematik Bir nanc n da Temeli Olabildi Ercan Kumcu 50 ki Mektupla Bedri Rahmi Haluk Oral Genel Matematik 53 Ak l Oyunlar Hal R. Varian 55 Teoremlerin S n rlar Zekai Sezai Geometri - Analiz - Topoloji 56 Diklik Merkezi Mustafa Ya c 62 Kaybolan Aç lar (Bir Kar nca Hikâyesi) Alexandre Borovik 65 Küreselleflen Geometri 1: Kar ncalar n Yürüyüflü Tosun Terzio lu Problemler ve Yar flmalar 72 Problemler ve Çözümleri Refail Alizade 76 Do ufl Ü. Mat. Yar flmas Bireysel 2003 Yan tlar 82 Do ufl Ü. Mat. Yar flmas Bireysel 2004 Sorular 84 IX. Antalya Matematik Olimpiyat Birinci Seçme S nav lham Aliyev ve arkadafllar Bilgisayar 88 Sonsuz Listelerin S ralanmas Chris Stephenson ve Ali Nesin Felsefe 95 Avrupamerkezcilik K skac nda Evrensel Bir Etkinlik: Matematik Bekir S. Gür Çeflitli 100 Abrakadabra (Sihirbazl k) Murat Kipel ve Asl Nesin 101 Eureka (Zeka Sorular ) Murat Kipel ve Asl Nesin 103 Ailenizin Matematik Köflesi: Beyincik Asl Nesin 104 Yay n Dünyas : Lise 3 Matematik Ders Kitab Devesi Ali Nesin 107 Yeni Yay nlar 108 Satranç Köflesi: Tanr n n Hamleleri: Oyunsonu Veritabanlar Eflref Eflkinat 111 Internet Köflesi: ki Platonik Cisim Sitesi Vebi Derya 112 Pes Do rusu! Piref Ökkefl 2

3 çindekiler SAH B : Türk Matematik Derne i ad na Prof. Dr. Tosun Terzio lu SORUMLU YAZI filer MD.: Prof. Dr. Ali Nesin Matematik Dünyas, Türk Matematik Derne i taraf ndan, stanbul Bilgi Üniversitesi nin deste iyle üç ayda bir yay mlanmaktad r. Milli E itim Bakanl Talim Terbiye Kurulu Baflkanl n n 20 Haziran 1991 gün ve 660 YKD. Bas. K.I.fib. Müd say l karar yla okullara tavsiye edilmifltir! YAYIN KURULU: Ali Nesin, Ahmet Do an, Haluk Oral, Mustafa Ya c (Geometri), Özlem Beyarslan, Selçuk Demir, Semih Poroy, fiafak Alpay, Tayfun Akgül ABONEL K: Y ll k TL. En az 10 kiflilik (tek adresli) gruplar için abone bafl na y ll k TL. TMD üyelerine TL. Yurtd fl abonelik TL. Y ll k abone ücretinin Türk Matematik Derne i nin Matematik Dünyas Dergisi ad na açt rd no lu Posta Çeki hesab na ya da Türkiye fl Bankas Parmakkap fiubesi (fiube kodu 1042) no lu Matematik Dünyas Dergisi hesab na yat r larak, dekontunun bir örne inin yaz flma adresine gönderilmesi yeterlidir. ABD Dolar Hesab : Türkiye fl Bankas, Galata fiubesi, Euro Hesab : Türkiye fl Bankas, Galata fiubesi, Derginin eski say lar n elde etmek için: Prof. Dr. Hülya fienkon Sabanc Üniversitesi Karaköy letiflim Merkezi Bankalar Cad Karaköy stanbul tmd@sabanciuniv.edu.tr hsenkon@iku.edu.tr (0212) / 1506 (0212) / 2216 KAR KATÜRLER: Tayfun Akgül TASARIM: Kadir Abbas / Maraton Dizgievi BASKI: Kad köy Matbaa ISSN: X Kapak: Kadrali letiflim Adresimiz Matematik Dünyas stanbul Bilgi Üniversitesi Kurtulufl Deresi Cd Dolapdere / STANBUL Tel : (0212) Faks : (0212) E-Posta : md@math.bilgi.edu.tr Web : 1 Matematik Dünyas ndan Ali Nesin 3 K sa K sa fiafak Alpay 5 Okurlardan 7 Bas nda Matematik 8 Duyduk Duymadik Demeyin! 9-46 Kapak Konusu: Modüler ve p-sel Say lar 9 mkâns z Baflarmaya Çal flmak 12 Bildi imiz Toplama ve Çarpmayla Daha Neler Neler Toplay p Çarp l r! 13 Modüler Say lar 16 Z/nZ Halkas n Parçalamak 24 Z/p k Z Halkalar n n Resmi 26 Z/p k Z Halkalar n n Geçit Resmi: p-sel Tamsay lar 33 Fermat n n Küçük Teoremi 34 Euler in Teoremi ve Cisimlerin Çarp msal ve Sonlu Altgruplar Mehmet K ral ve Ali Nesin 37 Wilson Teoremi nin Bir Baflka Kan t 38 Hensel Önsav 42 Gerçel Say larla p-sel Tamsay lar Aras ndaki Benzerlik 46 p-sel Say lar Cismi Matematik Tarihi 47 Matematik Bir nanc n da Temeli Olabildi Ercan Kumcu 50 ki Mektupla Bedri Rahmi Haluk Oral Genel Matematik 53 Ak l Oyunlar Hal R. Varian 55 Teoremlerin S n rlar Zekai Sezai Geometri - Analiz - Topoloji 56 Diklik Merkezi Mustafa Ya c 62 Kaybolan Aç lar (Bir Kar nca Hikâyesi) Alexandre Borovik 65 Küreselleflen Geometri 1: Kar ncalar n Yürüyüflü Tosun Terzio lu Problemler ve Yar flmalar 72 Problemler ve Çözümleri Refail Alizade 76 Do ufl Ü. Mat. Yar flmas Bireysel 2003 Yan tlar 82 Do ufl Ü. Mat. Yar flmas Bireysel 2004 Sorular 84 IX. Antalya Matematik Olimpiyat Birinci Seçme S nav lham Aliyev ve arkadafllar Bilgisayar 88 Sonsuz Listelerin S ralanmas Chris Stephenson ve Ali Nesin Felsefe 95 Avrupamerkezcilik K skac nda Evrensel Bir Etkinlik: Matematik Bekir S. Gür Çeflitli 100 Abrakadabra (Sihirbazl k) Murat Kipel ve Asl Nesin 101 Eureka (Zeka Sorular ) Murat Kipel ve Asl Nesin 103 Ailenizin Matematik Köflesi: Beyincik Asl Nesin 104 Yay n Dünyas : Lise 3 Matematik Ders Kitab Devesi Ali Nesin 107 Yeni Yay nlar 108 Satranç Köflesi: Tanr n n Hamleleri: Oyunsonu Veritabanlar Eflref Eflkinat 111 Internet Köflesi: ki Platonik Cisim Sitesi Vebi Derya 112 Pes Do rusu! Piref Ökkefl 2

4 K sa K sa... fiafak Alpay* / safak@metu.edu.tr Matematik Dünyas, 2004 Güz Henri Cartan Temmuz da 100 yafl na girdi. Frans z Matematik Derne i ünlü matematikçi Cartan n yaflgünü nedeniyle bir toplant düzenledi. Toplant n n program, kat lanlar, Cartan n yaflamöyküsü gibi bilgiler için: emath.fr/viesociete/rencontres/ Journeecartan/ Henri Cartan Sözü geçmiflken Frans z Matematik Derne- i nden de sözedelim de kurulan dernek bugün 5000 üyeye sahip. Birçok yay n ndan üçü: 1873 den beri Bulletin de la SMF (Société Mathématique de France) adl dergi, 1964 ten beri Mémoires de la SMF adl ek ve 1973 ten beri Astérisque adl bir baflka dergi. Bu son dergi Bourbaki seminerlerinin ve uluslararas büyük konferanslar n kitapç görevini üstleniyor. Derne in uluslararas toplant lar n yapt bir de araflt rma merkezi var ( Derne in e-adresi: Bu ba lamda CIRM nin Luminy deki (Marsilya) yerleflkesinde 24 Ocak ta bafllayacak ve befl hafta sürecek tekillikler adl etkinli ini haber vermek isteriz. Program flöyle: 24 Ocak-28 Ocak, Tekillikler Kuram na girifl; 31 Ocak-4 fiubat, Tekillikler Konferans ; 7-11 fiubat, Tekilliklerin Uygulamalar ; fiubat, Young Tekillikleri; fiubat, Tekilliklerin Geometri ve Topolojileri. Elektronik adres: colloques/sing2005/sing2005fr.htm. Avrupa Matematik Derne i nce düzenlenen Kamuoyunun Dikkatini Matemati e Çekme konulu yaz yar flmas na 14 ülkeden 26 yar flmac kat lm fl ve yar flmay Portekizli Nuño Crate kazanm flt r. Crate nin ödül kazanan makalesine adresinden ( ngilizce veya Portekizce) ulaflabilirsiniz. * ODTÜ Matematik Bölümü ö retim üyesi. 3 Barselona daki CRM matematik merkezi bu y l kuruluflunun yirminci y l n kutluyor. CRM te etkinliklerini Geometry of the Word Problem a, da da Arakalov Geometrisi ve Shimura varyeteleri ne ay rm fl durumda. Elektronik adres: Say lar ve sonlu cisimler kuram ve uygulamalar otoritelerinden Singapur Üniversitesi ö retim üyesi Avusturyal Harald Niederreiter 6-17 Eylül tarihleri aras nda stanbul dayd. Prof. Niederreiter Sabanc Üniversitesi nde üç konuflma verdi. Londra Matematik Derne i nin (LMS) bu y lki ödülleri 18 Haziran da aç kland. Ödüllerden ikisine yer veriyoruz. Oxford Üniversitesi nden Roger Penrose a Londra Matematik Derne i nin (LMS) verdi i en prestijli ödül olan De Morgan Madalyas birçok alanda yapt katk lar nedeniyle verildi. Bunlar aras nda, görecelilik kuram ndaki katk lar ve kara delik- Roger Penrose ler kavram n n daha iyi anlafl lmas n sa layan Twistor Kuram ad yla gelifltirdi i kuramsal matematik ve matematiksel fizi in klasik denklemlerine yepyeni bak fl aç s kazand rmas say labilir. Senior Berwick Ödülü, Exponential sums equations and the Schanuel conjecture adl makalesinden ötürü Oxford Üniversitesi nden Boris Zilber e verildi. Bu makale sayesinde, mant n bir dal olan modeller kuram nda birçok araflt rmac Schanuel San - s na yönelmifl durumda. Boris Zilber Schanuel San s. E er a 1,..., a n karmafl k say lar Q üzerine lineer ba ms zsa, o zaman Q(a 1,..., a n, e a 1,..., e a n) cisminin Q cismi üzerine aflk nl k (transandans) boyutu en az n dir. E er san do ruysa, ƒ(e, π) = 0 eflitli ini sa layan ve katsay lar kesirli olan sadece ƒ = 0 polinomu vard r.

5 Okurlardan Bir ö renci velisinden: Özel X dersanesinden çocu uma flöyle bir soru verildi: Bu konuda yorumunuz nedir? MD. Matemati i ö rencilere sevdirmek için dehfletengiz bir çaba... Daha hâlâ matemati i sevmeyen ö rencilere art k ne yapmal bilmiyorum. Derya Derviflo lu ndan 11. s n fta okuyan bir lise ö rencisiyim. Derginizi yaklafl k iki y ld r takip ediyorum. Beni bu dergiyle tan flt ran matematik ö retmenim Mehmet Çal flkan'a ve dergide eme i geçen herkese teflekkür etmek istiyorum... Derginiz, matemati i, her yafltan ve her kesimden insan n okuyup anlay p zevkle takip edilebilece i bir sadelik ve s cakl kla anlat yor. Bunu nereden mi anl yorum? Bunu anlamak için matematik profesörü olmaya gerek yok ki! Madem ki ben bir lise ö rencisi olarak bu dergiyi zevkle okuyabiliyorum, demek ki dergi gerçekten sade bir dille yaz l - yor. Bu yüzden dergiyi, matemati i seven sevmeyen herkese öneriyorum. Ço u kez de Yahu bu matematik s rf bize derslerde anlat ld gibi bir fley de ilmifl. Asl nda gayet zevkli bir u raflm fl gibi yan tlar al yorum ve sanki matemati i insanlara sevdirme görevini baflar yla üstlenmifl gibi mutlu oluyorum. Sevgilerimle. MD. Sevgiler bizden. Baflar lar... Mustafa Özdemir den Ankara Atatük Lisesi (Çankaya Anadolu Lisesi) 11. s n f ö rencisiyim. S k bir MD takipçisiyim. MD yle tan flmam tamamen kendi araflt rmalar m sayesinde oldu. Matemati e karfl küçük yafltan beri bir ilgim var. Matematikle u raflmay çok seviyorum. MD, hayat mda bir bofllu u doldurdu. Bir gün gazete bayiinde magazin vs. gibi dergilere de- il de bana daha yararl olacak dergilere bakmaya karar verdim. Gözüme ilk iliflen MD nin çizgeler özel say s oldu. Zaten matematikle ilgili bir dergi oldu unu ö renince hemen almak istedim ama yan mda yeterli para bulunmad için sevincimi bir müddet ertelemek zorunda kald m. Art k hiçbir say s n kaç rm yorum. Bu aralar ÖSS ye yo unlaflmak zorunda kald m için vaktimi pek baflka fleylere ay ram yorum. Geçen gün son iki tane kalm fl olan MD lerden birini alma flans n yakalad m ve çok mutlu oldum. Ama bundan sonra belki yakalayamam diye abone olmaya karar verdim. Ben flu ana kadar üniversitede hep bilgisayar bölümüne girmeyi istedim ama sanki matematik bölümü bana daha do ruymufl gibi geliyor. Sizden iste im beni matematik konusunda ayd nlatman zd r. fiimdiden teflekkürler. MD. Galiba gerçekten bir bofllu u doldurduk... Son iste inizi de elimizden geldi ince bu dergiyle yapmaya çal fl yoruz. Elif Tuncer den Fatih Koleji haz rl kta okuyorum. Matematik olimpiyatlar na girdim. Matematik Dünyas dergisini al yorum. Zaten matematikçi olmak istiyordum ama geçen say daki matematikçilerin zenginli i hakk ndaki baflyaz y okuyunca kesin karar m verdim. Üniversiteyi Princeton da okumay çok istiyorum. Bir de John Nash n odas nda kalabilsem süper olurdu. Ad n Vermemifl Bir Okurdan: slm derginize al yorum gerçekten çok guzel ama ne bu internet sitesi böyle? biraz daha güzel bir site size yak fl r. MD. lykmslm. Vebi Derya ya iletece im mesaj n z. 5

6 Bir Aras ra Okur dan fiu ana kadar Matematik Dünyas n n sadece iki say s n ald m, 2004 ün bahar ve yaz say lar n. Ben biyolo um. Lisede matematik bölümündeydim. Liseden sonra matematik görmedim. (89 dan beri). Üniversitede kimya ve istatistik derslerini gördüm. Derginiz çok güzel fakat bana a r gelmekte. Bildi im tan mlar ve terimleri unuttu um için anlayam yorum. Biyolog oldu um için dergiyi alsam m? Ona da karar veremiyorum. Bunlar sadece içimi dökmek için yaz yorum. Halka, polinom, türev, integral bunlar unuttum. Q, R, Z say lar hangi say lar içermekte bilmiyorum. Biraz geometriden anl yorum. Geometride baz teoremleri hat rl yorum. Biyolog oldu um için matematik benim neyime diyorum. Anlasam öyle demeyece- im. Bir insan n akl orda burda geziyorsa, matematik çal flt r n. Bu söze de kat l yorum. Bundan sonraki hayat n zda baflar lar diliyorum. Derginiz Türkiye'de bilimin geliflmesine yard mc olmaktad r. MD. Derginin baz bölümleri baz okurlara a r gelebilir, ama her yeri de il herhalde I ve II say lar - m z tükendi. Bu say lar n art k antika de eri oldu u rivayet ediliyor... Yat - r m olarak al n dergiyi! Ad n Vermeyen Bir Okurdan Sevgili MD lgilileri, Ben matematik son s n f ö rencisiyim. Bir MD okuru ve abonesi olarak derginizi çok takdir ediyorum. Bununla birlikte tenkid etti im taraflar da var. Bu konuda sizlerle biraz konuflmak istiyorum. Bilindi i gibi bir yay n kuruluflunun kaç n lmaz bir olgusudur reklam. Fakat flu var ki; bir dergi, özellikle matematikle ilgili bir dergi okurunun kültürel geliflimine katk sa lad gibi ahlaki de- erlerine de destek vermeli ve okurunun ahlaki geliflimine sayg göstermelidir. Bu ba lamda sizin arka sayfada verdi iniz reklam bizim ahlaki de erlerimize taban tabana z tt r. Bu flekilde bir reklam okurun ahlaki geliflimine de- il tamamen ahlaks z bir birey olarak yetiflmesine neden olur. Bilindi i gibi bu dergiyi okuyanlar genellikle genç kesimdir. Bu tür reklamlar gençleri tahrik eder ve nazarlar n matematikten çeker, o reklam üzerine yo unlaflt r r. Bu ise sizin amaçlar n z n tam aksinin meydana gelmesi demektir. E er gerçekten gençlerin matematik birikiminin artmas n ve matemati e olan sevgilerinin daha üst düzeye ulaflmas n istiyorsan z - ki bu sizin en büyük amac n z olsa gerek - gençlerin dikkatlerini ve nazarlar n matematikten çekecek giriflimlerden uzak durman z ve içinde bulundu unuz toplumun bütün fertlerinin ahlaki yap s n düflünerek davranman z gerekir. Bu da ald n z reklamlar n müstehcen içerikli olmamas yla gerçekleflir. Bu tür reklamlar n derginin bünyesine al nmas n fliddetle k n yor ve bir dahaki reklamlar n bu flekilde ç kmamas n bekliyoruz. Aksi takdirde birçok okurunuzun nefretini kazanacak ve onlar n derginizden vazgeçmesine neden olacaks n z. Bu düflüncelerimizi dikkate alaca n z umuyor yay n hayat n zda sizlere baflar lar diliyoruz. MD. Pani e mahal yok! Ahlak bu kadar kolay bozulsayd, bugün yeryüzünde esamesi okunmazd. Öte yandan, özellikle geçen say n n arka kapak reklam bence de kötü bir zevk ve düflük bir kültür düzeyi sergiliyordu. Gerçekten rahats z oluyorsan z (ki anlayabiliyorum rahats zl ) umursamamaya ya da görmezden gelmeye çal fl n derim. Her yerde yok mu bunlardan? Protesto edilecek bir biz mi kald k Allahaflk na! Ön kapak nas l ama? Sevgiler, baflar lar. Volkan Y ld r m dan Size matemetikle ilgili bir soru soraca m, yan t verirseniz cok sevinirim. Boflkümenin altküme say s ve özaltküme say s kaçt r? Bu soru test kitaplar n n n birinde karfl ma ç kt. Soruda boflkümenin özaltküme say s kaçt r diyor cevap olarak 0 (s f r) olan seçene ini iflaretledim ama do ru cevab kitap 1 olarak gösteriyor. Acaba kitapta m yanl fll k var yoksa gerçekten de öyle mi? MD. Yanl fll k kitapta... Siz hakl s n z. Bir Hayrandan Haluk Oral n yaz lar na ne oldu? Art k yazmayacak m? Severek izliyorduk. MD. Y ll k izninin yar s n kullanan yazar - m z Haluk Oral, 9 ayl k bir aradan sonra bu say yla okurlar yla tekrar kucaklaflm flt r. 6

7 Korku filmi ne kadar korkunç? Milliyet (ve tüm bas n) - 17 A ustos 2004 Korku filmlerinin korkunçlu u nu ölçmek için matematiksel formül gelifltirildi. Art k korkunun da matematiksel bir ölçümü var. Bir korku filminin gerçekten korkunç olup olmad art k ölçülebiliyor. ngiliz bilim adamlar, filmin korkutucu lu unu hesaba döken bir formül gelifltirdiler. Londra daki Kraliyet Koleji matematik uzmanlar ndan Anna Sigler, formülde, yarat lan gerginlik, çevrenin özellikleri, akan kan miktar gibi de erleri kullan yor. Formülde, müzik, ani efekt, bilinmeyen ve kovalamaca sahneleri gibi gerginli i art ran unsurlar dikkate al n yor. Filmi korkunç yapan unsurlar aras nda, olaylar n gerçe e yak nl ve çevrenin görünüflü de önemli rol oynuyor. Eylemin gerçekçili i ve sahnenin karanl kl da, korkutucu lu u art r yor. Araflt rmac lar, filmde görülen kan miktar n n da çok önemli oldu unu, do ru yer, zaman ve miktardaki kan n gerginli i art rd n, ancak fazla kan akan filmlerin korkutucu özelliklerini yitirdiklerini belirtiyor. KORKUNUN FORMÜLÜ Korkunçluk Oran = (es + u + cs + t) 2 + s + (tl + ƒ)/2 + (a + dr + ƒs)/n + sin x 1. es = gerginlik yaratan müzik u = bilinmeyen, cs = kovalamaca sahnesi t = oyuncunun tuza a düfltü ü sahne s = ani efektler, tl = gerçek hayat ƒ = hayal, a = oyuncunun yaln z olmas dr = karanl k mekân, fs = dekorasyon n = görülen oyuncu say s x = görülen kan ve parçalanm fl organlar sin = stereotip Bu formülle hesapland nda, Stephen King in roman ndan beyazperdeye aktar lan Ç l k (The Shining), beyazperdenin en korkunç korku filmi. Kantin De il Uygulamal Briç Dersi Radikal, 30 Ekim 2004, Burak Gezen ÇANAKKALE - Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi (ÇOMÜ), ö rencileri yo un ders program stresinden uzaklaflt rmak amac yla seçmeli ders program na briç de koydu. lk y l nda derse, ço u matematik bölümünde okuyan 90 ö renci kay t yapt rd. Briçin geçer notu CC, yani 60 puan. Bünyesinde su ürünleri piflirme teknikleri, amatör bal kç l k, seramik tak lar, moda tasar m gibi birçok ilginç seçmeli ders bulunan ÇOMÜ, bunlara bu y l da briçi ekledi. Derse ilgi çok olunca, Çanakkale Belediyespor Briç Tak m oyuncusu da olan Ziraat Fakültesi Toprak Bölümü ö retim üyesi Doç. Dr. Hasan Özcan, ö rencilere haftada bir saat briç dersi vermeye bafllad. Briçi ö rencilerine bilimsel yöntemlerle anlatan Özcan, derslerin bir bölümünü uygulamaya ay rd. Bunun sonucunda da s n fta kafe görüntüleri olufltu. Baz ö renciler, Üniversitede, s n fta kâ t oyunu oynayarak ders yapaca m z söyleseler, çok gülerdik diye konufltu. Özcan, [...] Briç, matematik, istatistik, mant k, felsefe, sosyoloji, psikoloji, h zl düflünme ve 7 do ru karar verme gibi birçok özelli i içeren bir beyin sporu. Bu yüzden ö rencilere seçmeli ders olarak sunmak istedik dedi. Ö retmene 497 milyon dayak cezas Radikal, 21 Ekim 2004 AA - ZM R - Sordu u soruyu bilemeyen ö rencisini dövdü ü gerekçesiyle yarg lanan ö retmene para cezas verildi. Çeflme Asliye Ceza Mahkemesi nde dün yap lan duruflmaya, ö renci velisi Jale Çilcan kat l rken, ö renciye dayak att ileri sürülen ve bu y l zmir de baflka bir liseye atand bildirilen matematik ö retmeni Hamdi Y. gelmedi. Mahkeme, Hamdi Y. nin, ö renciyi dövmesi nedeniyle 497 milyon lira a r para cezas na çarpt r lmas na ve bu cezan n taksitlendirilmeden tahsil edilmesine karar verdi. Veli Jale Çilcan, e itim-ö retim y l nda, o lunun matematik dersinde sorulan bir soruyu cevapland ramamas nedeniyle matematik ö retmeni Hamdi Y. taraf ndan dövüldü ünü ileri sürerek dava açm flt.

8 Duyduk Duymad k Demeyin! Bu bölümde yer almas n istedi iniz her türlü duyuruyu bize yollayabilirsiniz. Küçük ilanlar s n f na giren ve kâr amac tafl yan duyurulardan ücret talep edilebilir. Dergide yay mlanmas editörlerce do ru bulunmayan duyurular gerekçe gösterilmeden reddedilebilir. Mant k, Matematik ve Felsefe II. Ulusal Sempozyumu Eylül 2004 te Assos ta yap ld. Felsefe, biyoloji, fizik, kimya ve mühendislikten 100 den fazla kat l mc n n yer ald toplant - da kaos konusunda 33 bildiri sunuldu. Felsefeciler, Eski Yunan düflünürlerinin kaos a yükledi i anlam üzerinde dururken, temel bilimciler kaos un matematiksel anlam üzerinde durdular. Felsefecilerle temel bilimcilerin kavramlar üzerinde uzlaflmalar zor oldu. Ciddi tart flmalar sergilendi. Temel bilimciler, felsefecileri kavramlar ayd nl a kavuflturmamakla ve Eski Yunan dan günümüze gelememekle, felsefeciler ise temel bilimcileri esnek olmamakla ve farkl düflüncelere sayg duymamakla suçlad lar. Bu farkl iki alan n öznitelikleri bunu kaç n lmaz k l yordu. Üçüncü günden sonra, farkl alanlarda çal flanlar n, ayn dili konuflmasalar bile, bir araya gelmelerinin ve tart flmalar n n çok yararl oldu u anlafl ld. Herkes baflka alanlardan bir fleyler ö renerek ayr ld. Ayr ca, 22 Eylül akflam, Ayvac k ta halkla bilim adamlar bir araya geldi. Kaz Da lar n n floras yla ilgili bir dia gösterisinden sonra e itim, ekonomi, politika konufluldu. 18 Mart Üniversitesi rektör yard mc s, Assos ta Aristoteles Akademisi kuracaklar müjdesini verdi. Ayvac k belediye baflkan da, Assos un bir bilim merkezi olmas için her çabay göstereceklerini söyledi. Umar z ki, Akdeniz Üniversitesi Perge de Apollonius Akademisi ni, Ayd n Üniversitesi de Milet te Thales Akademisi ni kurarlar. Timur Karaçay Örnekleme Teorisi ve Uygulamalar. Ondokuz May s Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümünce Temmuz 2005 aras nda gerçekleflecek olan Sampling Theory and Applications (SampTA05) isimli uluslararas bir çal fltay düzenlenmifltir. Bu çal fltay iki y lda bir Amerika da ve Avrupa da düzenli olarak matematikçilerle mühendislerin (özellikle elektrik-elektronik mühendislerinin) ortaklafla düzenledikleri bir çal fltay olup, amac örnekleme ve onun Fourier analizi, harmonik, fonksiyonel ve kompleks analiz, diferansiyel denklemler, iflaret ve görüntü iflleme gibi çeflitli alanlar na uygulamalar yla ilgili karfl l kl bilgi al flveriflidir. Bu çal fltaya ön kay tlar bafllam fl olup, ön kay t baflvuru formunu ve çal fltayla ilgili detayl bilgileri adresinden bulabilirsiniz. Turan Gürkanl / gurkanli@omu.edu.tr Dr. Janet Akyüz Mattei An s na Amatör Astronomi Sempozyumu. stanbul Kültür Üniversitesi, Haziran 2005 te Amatör Astronomi Sempozyumu düzenleyecektir. Bu sempozyum ülkemizin yetifltirdi i en de erli amatör astronom olan sevgili arkadafl m z Dr. Janet Akyüz Mattei an s na gerçeklefltirilecek ve sempozyumun fleref konu u olarak da hem Janet'in arkadafl hem de Shoemaker-Levy kuyruklu y ld z n keflfeden ünlü amatör astronom David LEVY aram zda olacakt r. Sempozyuma dinleyici olarak veya çal flmalar n z bildiri ya da poster fleklinde sunarak kat labilirsiniz. Amatör Astronomi Sempozyumu hakk nda daha fazla bilgi ve baflvuru için Dursun Koçer / d.kocer@iku.edu.tr Ayflegül F. Teker / a.teker@iku.edu.tr Haluk Oral, Türkiye Tavla Birincisi Dünya Tavla Federasyonu nun (WBF, Worldwide Backgammon Federation) Türkiye flubesi Türkiye tavla s ralamas nda editörlerimizden Haluk Oral modern tavla da birinci s raya yerlefltirmifltir. sitesinde flöyle yazmaktad r: 55 kat l mc n n yer ald stanbul aya nda I. Küme de bir önceki sezonun flampiyonu üstat HALUK ORAL k - r lmas zor bir rekora imza atarak bir kez daha flampiyonlu a ulaflm flt r. 8

9 Kapak Konusu: Modüler ve p-sel Say lar mkâns z Baflarmaya Çal flmak I. Bu Bir. lk olarak, son derece basit bir denklem çözece iz, X + 1 = 0 denklemini. Tamsay larda çözüm çok kolay oldu undan, denklemi do al say larda, yani N = {0, 1, 2,... } kümesinde çözmeye çal flal m. Nitekim, bu denklemi negatif say lar n da bulundu u tamsay lar kümesi Z de herkes çözer (x = 1 tek çözümdür); zor olan, bu denklemi Z de de il, negatif say lar n bulunmad N de çözmektir! fieytan azapta gerek! Bu yaz y bir masal gibi okumal s n z. Hayal aleminde bir yolculuk yapaca z. Görmedi iniz, duymad n z, iflitmedi iniz bambaflka bir dünyaya do ru yola ç kaca z. lerde, baflka yaz larda bu dünyay infla edece iz. X + 1 = 0 denkleminin do al say larda çözümü yoktur diyenlerin bir defa daha yaz n n bafll - n dikkatlice okumalar n öneririm. Çözümü bulmayaca z, bulmaya çal flaca z! Denklemin olas çözümüne x diyelim, bakal m bafl m za neler gelecek. x, bir do al say, bunu unutmayal m. Madem ki x bir çözüm, o zaman, x + 1 = 0. (1) Bu eflitlikten x in tek say olmak zorunda oldu u ç kar, çünkü e er x çift say olsayd, o zaman x + 1 tek say olurdu ve elbette bir tek say 0 a eflit olamaz; demek ki x bir tek say. x tek say oldu undan, bir x 1 N için, x = 1 + 2x 1 (2) eflitli i geçerlidir. Bu denklemi (1) e yerlefltirelim: 0 = x + 1 = (1 + 2x 1 ) + 1 = 2x = 2(x 1 + 1). Ard ndan 2 yi sadelefltirelim: x = 0 (3) buluruz; aynen (1) deki denklem, sadece x yerine x 1 var. (1) denklemini çözmek için gene (1) denklemini çözmek gerekti i gibi yolumuza tafl koyacak her türlü düflünceye kulaklar m z t kay p devam edelim. x için yapt m z x 1 için yapal m. (3) denkleminden x 1 in tek say olmak zorunda oldu u ç kar, çünkü e er x 1 bir çift say olsayd, o zaman x tek say olurdu ve elbette bir tek say 0 a eflit olamaz. x 1 in tek say olmas gerekti ini bulduk. Demek ki, bir x 2 N için, x 1 = 1 + 2x 2 (4) eflitli i geçerli. Bu denklemi (3) e koyal m: 0 = x = (1 + 2x 2 ) + 1 = 2x Ard ndan 2 yi sadelefltirelim. x = 0. (5) buluruz. Hiç durmadan devam edelim. Ayn döngüyü tekrar tekrar yaflayaca z, x 2 nin belli bir x 3 için 1 + 2x 3 e eflit oldu unu, x 3 ün de belli bir x 4 için 1 + 2x 4 e eflit oldu unu,... buluruz. Bulduklar m z yazal m: x = 1 + 2x 1 x 1 = 1 + 2x 2 x 2 = 1 + 2x 3 x 3 = 1 + 2x 4 x 4 = 1 + 2x 5... ve bunlar teker teker yerlerine koyal m: x = 1 + 2x 1 = 1 + 2(1 + 2x 2 ) = 1 + 2(1 + 2(1 + 2x 3 )) = 1 + 2(1 + 2(1 + 2(1 + 2x 4 ))) = 1 + 2(1 + 2(1 + 2(1 + 2(1 + 2x 5 ))))... Açal m bunlar : x = 1 + 2x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5... = n n x n... X + 1 = 0 denkleminin bir çözümünü bulduk gibi. Yukardaki hesaplar sonsuza kadar götürürsek (masal bu ya!) x = buluruz. (En sondaki x n yi koyacak yer kalmad!) Sa lamas n yapal m, bakal m gerçekten 1 + x = 0 eflitli i do ru mu? Yukardaki eflitliklerin sa - 9

10 na ve soluna 1 ekleyip biraz aritmetik yapmak yeterli: 1 + x = 2 + 2x 1 = 4 + 4x 2 = 8 + 8x 3 = x 4 = x 5... = 2 n + 2 n x n... Görüldü ü gibi 1 + x say s, 2 ye 4 e, 8 e, 16 ya ve genel olarak her 2 n say s na bölünüyor, yani 0 a eflit. Demek ki 1 + x = x = 0 eflitli ini bir de flöyle görebiliriz: 1 + x = 1 + ( ) = = = = kinin güçleri gittikçe sa a kay yorlar ve sonsuzda kayboluyorlar! Bundan da flu ç kar: 1 + X denkleminin do al say larda bir çözümü olsayd, bu çözüm say s na eflit olurdu. Buldu umuz çözümü x = olarak yaz p, 1 + x = 0 eflitli inin bir defa daha sa lamas n yapal m. x i 2 yle çarp p 1 ekleyelim: x = x = x = Görüldü ü gibi 1 + 2x = x, yani 1 + x = 0. Bu çözümün ne kadar do ru oldu u, zaten, üniversiteye haz rlanan her gencin bildi i eflitli inden de bellidir. Bu eflitlikte (hakk m z olmayarak, ama hak istenmez al n r!) t = 2 al rsak, aynen, buluruz! II. Bu ki. stim üzerinde oldu umuzdan zaman kaybetmeden daha büyük baflar lara imza atal m. Bu kez, yukardakinden çok daha zor bir denklem olan X = 0 denklemini çözmeye çal - flal m. fli karmafl klaflt rman n alemi yok, çözümü do al say larda arayal m. Çözüme x diyelim. x = 0 oldu undan, x 10 tek say olmal d r. (E er x çift olsayd, x 2 de çift olurdu, o zaman da x tek olurdu ve 0 a eflit olamazd!) Madem ki x bir tek say, o zaman, bir x 1 için, x i 1 + 2x 1 fleklinde yazabiliriz: x = 1 + 2x 1. fiimdi x in sa lamas gereken x = 0 denklemine x in bu de erini yerlefltirelim: 0= x = (1 + 2x 1 ) = (1 + 4x 1 + 4x 1 2 ) + 1 = 2 + 4x 1 + 4x 1 2. Sa taraftan 2 yi sadelefltirelim: 1 + 2x 1 + 2x 1 2 = 0 buluruz. Bu kez çetin bir cevize çatt k: x 1 ne olursa olsun sol taraftaki bir tek say d r ve s f ra eflit olamaz. Dolay s yla 1 + 2x 1 + 2x 1 2 = 0 denklemini sa layan bir x 1 bulunamaz. X = 0 denklemi do al say larda çözülemez deyip pes edece imizi sananlar yan l yorlar. Demek ki yanl fl yöntem seçmifliz! Araflt rmam za baflka bir yön çizelim. III. Olmad Bafltan. Yukarda X = 0 denklemine modülo 2 bakt k (x in tekli i ya da çiftli i üzerine düflündük) ve baflaramad k. Bu sefer modülo 3 bakal m. x gene X = 0 denkleminin bir çözümü olsun. x i 3 e böldü ümüzde kalan say 0, 1 ya da 2 dir. Yani x, ya 3x 1 ya 3x ya da 3x biçiminde yaz l r. i = 0, 1 ya da 2 için, x = 3x 1 + i yazal m. Demek ki, 0= x = (3x 1 + i) = 9x x 1 i + i Bundan 3 ün i i bölmesi gerekti i ç kar. i = 0, 1, 2 oldu undan, teker teker deneyelim: i i 2 i Bir kez daha hüsrana u rad k! i 2 + 1, i ne olursa olsun 3 e bölünmüyor. Baflar s zl ktan y lmayal m. Zaten daha bafl ndan beri baflaramayaca m z bilmiyor muyduk! Yenilen pehlivan gürefle doymazm fl! Çözüm aramaya devam edelim. IV. Rövanfl. fiimdi modülo 5 deneyelim. Gene X = 0 denklemini çözmeye çal flaca z ve çözümü gene do al say larda arayaca z! Olas çözüme x diyelim. Demek ki,

11 x = 0, (6) dolay s yla, x 2 = 1 4 mod 5. Modülo 5, sadece 2 ve 3 ün karesi 4 tür. Yani x, 5 e bölündü ünde kalan 2 ya da 3 olmal d r. Dolay s yla, ya x 2 mod 5 ya da x 3 mod 5 olmal d r. Yani bir x 1 için, ya x = 2 + 5x 1 ya da x = 3 + 5x 1. Önce, x = 2 + 5x 1 (7) ile deneyelim, olmazsa di erini deneriz. x in bu de- erini x = 0 denklemine yerlefltirip x 1 için elde edece imiz koflula bakal m: 0 = 1 + x 2 = 1 + (2 + 5x 1 ) 2 = 1 + (4 + 20x x 2 1 ) = x x e bölerek, 0 = 1 + 4x 1 + 5x 2 1 (8) elde ederiz. Modülo 5 al rsak x 1 (mod 5), ve her iki tarafa da x 1 ekleyerek x 1 1 (mod 5) buluruz. Demek ki, bir x 2 için, x 1 = 1 + 5x 2. (9) x 1 in bu de erini (8) e koyup x 2 için elde edece imiz koflulu görelim: 0 = 1 + 4x 1 + 5x 2 1 = 1 + 4(1 + 5x 2 ) + 5(1 + 5x 2 ) 2 = x 2 + 5(1 + 5x 2 ) 2. 5 i sadelefltirirsek, 0 = 1 + 4x 2 + (1 + 5x 2 ) 2, yani x x 2 2 = 0 (10) elde ederiz. Bu denklemi modülo 5 görelim: 2 + 4x 2 0 (mod 5). Her iki tarafa da x 2 eklersek, x 2 2 (mod 5) bulunur. Demek ki bir x 3 için, x 2 = 2 + 5x 3. (11) Bu de eri (10) a koyup, 0 = x x 2 2 = (2 + 5x 3 ) (2 + 5x 3 ) 2 = x (2 + 5x 3 ) 2. 5 le sadelefltirerek, 0 = x 3 + 5(2 + 5x 3 ) 2. ve biraz hesapla, x x 2 3 = 0 (12) buluruz. Modülo 5 alal m: 1 + 4x 3 0 (mod 5). Her iki tarafa da x 3 eklersek, x 3 1 (mod 5) bulunur. Demek ki bir x 4 için, x 3 = 1 + 5x 4. (13) Bu de eri (12) ye koyup, 0 = x x 2 3 = (1 + 5x 4 ) (1 + 5x 4 ) 2 = x (1 + 5x 4 ) 2 eflitli ini elde ederiz. 5 i sadelefltirelim: x (1 + 5x 4 ) 2 = 0. (13) Modülo 5 alal m: 3 + 4x 4 0 (mod 5). Her iki tarafa da x 4 ekleyelim: x 4 3 (mod 5). Demek ki bir x 5 için, x 4 = 3 + 5x 5. (14) Belli ki hiç durmadan hep devam edebilece im, hissettim bunu, içime do du! Buraya dek bulduklar m z toparlayal m. x = 2 + 5x 1, x 1 = 1 + 5x 2, x 2 = 2 + 5x 3, x 3 = 1 + 5x 4, x 4 = 3 + 5x 5. Daha devam etmemiz laz m ama her fleyin bir s n r oldu u gibi bu derginin sayfa say s da s n rl. Bulduklar m z yerine koyal m: x = 2 + 5x 1 = 2 + 5(1 + 5x 2 ) = 2 + 5(1 + 5(2 + 5x 3 )) = 2 + 5(1 + 5(2 + 5(1 + 5x 4 ))) = 2 + 5(1 + 5(2 + 5(1 + 5(3 + 5x 5 )))), ya da x = x 5. Hesaplara devam etmedik ama bir baflka yaz - da kan tlayaca m z üzere devam edebilirdik ve önümüze ç kan denklemleri sonsuza dek çözebilirdik. Devam etseydik, sonunda, x = 0 denkleminin x = a 0 + a a a a a biçiminde sonsuza dek uzanan bir çözümünü bulacakt k. Biz sadece a 0, a 1, a 2, a 3, a 4 ü bulup daha fazla sabredemeyerek geri kalan katsay lar bulmay okura b rakt k. En az ndan x in x = diye bafllay p sonsuza kadar devam etti ini biliyoruz (daha do rusu devam etti i içimize do du! 5 4 ün katsay s 3 yerine 2 olsayd tümevar mla malum fleyi kan tlamaya çal flabilirdik, ama ne yaz k ki umdu umuz sonuç ç kmad.) 11

12 V. Bafl m za Tafl Ya acak! Çok tuhaf say lar bulduk yukarda. Biraz önce bulunan say, 0, 1, 2, 3 ya da 4 e eflit olabilen a 0, a 1, a 2, a 3,... say lar için, a 0 + a a a a a biçiminde yaz l yordu. Toplam sonsuza kadar gidebilir de. Toplam sonsuza kadar gitmeyip durursa (yani a i katsay lar bir zaman sonra hep 0 olursa) say bildi imiz do al say olur (o do al say n n befl taban nda aç l m n yazm fl oluyoruz.) Madem fantezi dünyas nda yol al yoruz, bu tuhaf say lardan birini alal m. Diyelim, say s n ald k. Bu say ya x diyelim: x = fiimdi x le 5 i çarp p sonuca 1 ekleyelim: x = x = x = buluruz, yani 1 + 5x = x, yani 1 + 4x = 0, yani x = 1/4, bu da baflka bir numara! Bir baflka say alal m: y = y yi 5 le çarpal m: 5y = Sonra y yle 5y yi altalta yaz p toplayal m: y = y = y = = ( ) = ( 1/4) = 1 15/4 = 11/15. (Son sat rda bir üst paragrafta buldu umuzu kulland k.) Demek ki y = 11/90. Bu say lara p-sel say denir (burada p = 5). Daha söz edece iz bunlardan. Bildi imiz Toplama ve Çarpmayla Daha Neler Neler Toplay p Çarp l r! Herhangi iki do al say y toplayal m: Diyelim, ile say lar n toplayaca- z. Ne yapmam z gerekti ini biliyoruz: Bu iki say y altalta yaz p toplamaya sa basamaktan bafllay p sola do ru gideriz: Elde 1 vard r. Toplamaya sa dan ikinci basamaktan devam ederiz: Bu böyle devam eder. Dikkat ettiyseniz toplad m z iki say n n en sol basamaklar n n olmas na gerek yok... Toplayaca m z say lar sol tarafa do ru sonsuza dek uzatabiliriz. Biz sa basamaktan bafllad m zdan toplam gene hesaplayabilirdik. Örnek olarak, say s yla, say s n toplayal m. Bunlar, bizim bildi imiz anlamda say lar de il, sol taraflar hiç durmadan sonsuza dek gidiyor, ama olsun, gene de biraz say ya benziyorlar. flte bu iki say n n toplam flöyle bafllar: Toplama ifllemini bildi imiz yöntemle yapt k, en sa basamaktan bafllayarak sola do ru gittik. Hiç durmayaca z belki, belki toplamay hiç bitiremeyece iz, ama ne önemi var? Önemli olan bitirmek de il, bafllayabilmek! En soldaki basamaklar olmasa da olur, yeter ki en sa daki basamaklar olsun, ki iflleme nereden bafllayaca m z bilelim. Bu iflleme devam edelim, bakal m biraz daha gidince tekrar edecek mi? Evet, say s sola do ru tekrar ediyor ve bu sonsuza dek öyle gidecek. Yukarda, say s yla, say s n toplad k. Bu say lara p-sel say ad n verece iz ilerde. (Burada p = 10). Tahmin etti iniz üzere p-sel say lar çarpabilece iz de. 12

13 Kapak Konusu: Modüler ve p-sel Say lar Modüler Say lar Tamsay lar n dört sütun halinde yaz ld yandaki çizelgeye bir göz at n. lk sütunda 4 e tam olarak bölünen say lar var. Onun sa ndaki sütunda 4 e bölündü ünde 1 kalan say lar var. Onun da sa ndaki sütunda 4 e bölündü ünde 2 kalan say lar ve en sa daki sütunda 4 e bölündü ünde 3 kalan say lar var. Sütunlara soldan sa a do ru s f r nc, birinci, ikinci, üçüncü diye adland ral m. 0, 1, 2, 3 say lar n n kendi adlar yla an - lan sütunlarda oldu una dikkatinizi çekerim: 0, s f r nc sütunda, 1, birinci sütunda vs. Birinci ve ikinci sütunlardan birer say alal m, diyelim 13 ve 22. Bu iki say n n toplam (örnekte 35) hep üçüncü sütunda olacakt r. Birinci sütundan hangi say y al rsak alal m, bu say n n ikinci sütundan herhangi bir say yla toplam flafl las fley hep üçüncü sütunda ç kacakt r. E er say lar çarparsak bu kez çarp m hep ikinci sütunda ç kacakt r. Baflka iki sütundan birer say alal m. Bu iki say n n da toplam ve çarp m hep ayn sütunlarda olacakt r. Say lar n toplam n n ya da çarp m n n bulundu u sütun, toplan lan ya da çarp lan say lardan ziyade, bu say lar n bulunduklar sütunlara göre de ifliyor. Böylece, say lar n toplam ve çarp m sayesinde, sütunlar n toplam n ve çarp m n tan mlayabiliriz. Birinci ve ikinci sütunlar n toplam üçüncü sütun, çarp m da ikinci sütun olsun, çünkü say lar n toplam ve çarp m bize bu kural f s ld yor. Ayn ak l yürütmeyle iki sütunun fark n da tan mlayabiliriz. E er a bir tamsay ysa, a, a n n sütununu simgelesin. 33, 45 ve 1 ayn (birinci) sütunda olduklar ndan, sütunlar ayn d r, yani 1 = 3 3 = 4 5 eflitlikleri geçerlidir. Daha genel olarak, aralar ndaki fark 4 olan say lar ayn sütundad rlar:... = 7 = 3 = 1 = 5 = 9 =... Sütunlar soldan sa a do ru 0, 1, 2, 3 olarak adland rd k. Tabii bu sütunlar ayn zamanda (s ras yla) 8, 5, 6, 7 olarak da ya da bin (ne bini!) de iflik flekilde yaz - labilirler, ama malum nedenlerden olabildi ince bir önceki yaz l m kullanaca z. Tan ma göre, a ile b nin toplam (yani a n n bulundu u sütunla b nin bulundu u sütunun toplam ) a + b nin bulundu u sütundur: a + b = a + b (1) Çarp m da ayn flekilde tan mlanm flt r: a b = a b (2) Bunun gibi, a b de, a b = a b (3) olarak tan mlan r. Bu toplama, ç karma ve çarpma a ve b den ziyade, a ve b ye göre de iflir. Yani, a 1 = a 2 ve b 1 = b 2 ise, o zaman, a 1 ± b 1 = a 2 ± b 2 ve a 1 b 1 = a 2 b 2. Zaten sütunlar toplamay, ç karmay ve çarpmay bu sayede tan mlayabildik, bu eflitlikler geçerli olmasayd böyle bir tan m yapmaya hakk m z olmazd. Yukardaki tan mlara göre, = = = = = = = = = = = 1 3 = 3. Asl nda burada yapt m z flu: Diyelim 3 3 ile 2 3 ü çarpmak istiyoruz. O zaman 33 le 23 ü çar- 13

14 p p bu çarp m n bulundu u sütunu yazar z. Ama 33 le 23 ün çarp m n bulmak kolay olmad ndan, 33 ün ve 23 ün sütunlar ndan çarpmas çok daha kolay olan say lar seçeriz, yukarda 1 i ve 3 ü seçtik. Negatif say lar n sütunlar n da toplay p çarpabilece imizi unutmayal m. Örne in, 7 6 = 1 2 = 2, ya da 7 6 = 4 2 = 2. Sütunlar kümesi Z/4Z olarak tan mlan r: Z/4Z = { 0, 1, 2, 3}. Bu küme üzerine tan mlad m z toplama ve çarpma ifllemlerini afla daki tabloda gösterdik: Z/4Z kümesinin elemanlar n n ne olduklar n da unutmayal m: 0 = {..., 8, 4, 0, 4, 8, 12,...}, 1 = {..., 7, 3, 1, 5, 9, 13,...}, 2 = {..., 6, 2, 2, 6, 10, 14,...}, 3 = {..., 5, 1, 3, 7, 11, 15,...}. Görüldü ü gibi, Z/4Z nin elemanlar n n herbiri Z nin bir altkümesi; genel kabul gören yerleflik kan - n n tersine Z/4Z nin elemanlar 0, 1, 2, 3, say lar de- il, Z nin 0, 1, 2, 3 ile simgelenen altkümeleridir. Bu altkümeler (sütunlar yani) flöyle de gösterilebilir: 0 = 4Z, 1 = 4Z + 1, 2 = 4Z + 2, 3 = 4Z + 3. Burada, 4Z, yaz l m n da belirtmek istedi i gibi, 4 ün katlar olan, yani 4 e bölünen say lar kümesi demek. 4Z + 1 ise, 4 ün katlar na 1 eklendi inde elde edilen, yani 4 e bölündü ünde 1 kalan say lar kümesi demek. Kolayca görülece i üzere, 0 = 4Z = 4Z + 4 = 4Z + 8 = 4Z 4 = 4, 1 = 4Z + 1 = 4Z + 5 = 4Z 3 = 5, 2 = 4Z + 2 = 4Z + 6 = 4Z 2 = 6, 3 = 4Z + 3 = 4Z + 7 = 4Z 1 = 7, Yukarda 4 için yapt klar m z herhangi bir pozitif n do al say s için de yapabiliriz. O zaman Z/nZ kümesini elde ederiz: Z/nZ = { 0, 1,..., n 1}. Bu kez 0, nz ile simgelenen n nin katlar, yani n ye bölünen say lar kümesidir. flte Z/nZ kümesinin elemanlar : nz = 0 = {0, ±n, ±2n, ±3n,...} nz + 1 = 1 = {1, ±n + 1, ±2n + 1, ±3n + 1,...} nz + 2 = 2 = {2, ±n + 2, ±2n + 2, ±3n + 2,...}... nz + n 1= n 1= 1 = {n 1, ±n + n 1, ±2n + n 1,...} Bu nz + a ya da a kümelerine modülo n ya da modüler say lar denir. Bunlar bildi imiz anlamda say de iller elbet. Ama afla da görece imiz üzere, aynen say lar gibi toplan p ç kar l p çarp l rlar. Modülo n say lar da aynen n = 4 örne inde oldu u gibi, a ± b = a + b (1) a b = a b (2) kurallar yla toplay p ç kar p çarpar z. Genellikle a b yerine a b yaz l r. (1) ve (2) tan mlar sayesinde Z deki toplama ve çarpman n birçok özelli i Z/nZ ye yans r. Örne- in, Z/nZ de de, aynen Z deki gibi, x(y + z) = xy + xz eflitli i geçerlidir. Bunu kan tlayal m. x, y, z Z/nZ olsun. O zaman, a, b, c Z için, x = a, y = b, z = c dir. (1) ve (2) den dolay : x(y + z) = a( b + c) = a(b + c) = a(b + c) = ab + ac = a b + a c = a b + a c = xy + xz. Okur, bu kan ttan hareketle, her x, y, z Z/nZ ve her a Z için, x + (y + z) = (x + y) + z x + y = y + x x + 0 = 0 + x = x a + a) ( = 0 x(yz) = (xy)z xy = yx 1x = x 1 = x 0x = x 0 = 0 x(y + z) = xy + xz eflitliklerini kolayl kla kan tlayabilir. Üçüncü ve yedinci eflitliklerden dolay, 0 a Z/nZ nin toplama için, 1 e de çarpma için etkisiz elemanlar denir. Bunlara s ras yla Z/nZ nin s f r ve birim eleman adlar da verilir. Dördüncü özellikten dolay, a eleman n ço u zaman a olarak yazar z. Yukardaki dokuz özelli i sa layan bir yap ya de iflmeli halka denir. Demek ki (Z/nZ, +,, 0, 1) 14

15 bir de iflmeli halkad r. Matemati in bu önemli yap - lar ndan son üç say d r söz ediyoruz. Ama gözünüz korkmas n, bu yaz da soyut halka kavram n kullanmayaca z. Üstelik, de iflmeli bir halka, elinden geldi ince tamsay lara benzemek isteyen son derece do al bir yap d r. Kolayl k olsun diye, de iflmeli halka yerine k saca halka deyimini kullan yoruz. Her ne kadar a Z say s modülo 4 ve 5 ayn flekilde, a ile gösterilmiflse de, bu elemanlar eflit de- ildirler. Örne in a = 0 ise, Z/4Z de 0 = 4Z, ama Z/5Z de 0 = 5Z. Dolay s yla a yaz l m n kullan rken dikkatli olunmal d r, e er herhangi bir kar fl kl a neden olma olas l varsa, a yerine nz + a ya da (a mod n) yaz l m ye lenmelidir. Yukardaki tart flmadan da anlafl laca üzere, e er n m ise, Z/nZ Z/mZ = dir. Ama daha sonra görece iz ki, e er m, n yi bölüyorsa, o zaman Z/mZ yi Z/nZ nin bir altkümesi (üstelik güzel bir altkümesi) olarak görmenin bir yolu vard r. Bir somut örnek daha verelim: Z/5Z = {5Z, 5Z +1, 5Z + 2, 5Z + 3, 5Z + 4} = { 0, 1, 2, 3, 4}, ve 5Z = {..., 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15,...} 5Z + 1 = {..., 14, 9, 4, 1, 6, 11, 16,...} 5Z + 2 = {..., 13, 8, 3, 2, 7, 12, 17,...} 5Z + 3 = {..., 12, 7, 2, 3, 8, 13, 18,...} 5Z + 4 = {..., 11, 6, 1, 4, 9, 14, 19,...}. flte Z/5Z nin toplama ve çarp m tablolar : Z/4Z nin toplama tablosuyla Z/5Z nin toplama tablolar aras nda büyük bir ayr m yok, ama çarp m tablolar aras nda çok önemli bir ayr m var. Z/4Z de 2 2 = 0 ama Z/5Z de 0 olmayan elemanlar n çarp m s f r olam yor. Bu çok önemli bir ayr md r. S f r olmayan elemanlar n çarp m n n s - f r olmad halkalara taml k bölgesi denir. Örne- in, Z/6Z bir taml k bölgesi de ildir, çünkü s f r olmayan 2 ve 3 elemanlar n n çarp m bu halkada s f rd r. Kolayca kan tlanaca üzere, Z/nZ nin bir taml k bölgesi olmas için gerek ve yeter koflul n nin bir asal olmas d r. Geçen say larda da kan tlad m z üzere, e er p bir asalsa, Z/pZ halkas nda, 0 a eflit olmayan her b eleman için by = 1 eflitli ini sa layan bir y vard r. [MD-2004-II, sayfa 11, Önsav 7 de a = p al n.) En son tan m olarak, Z nin bir eleman yla Z/nZ nin bir eleman n çarpabilece imize dikkatinizi çekerim. Nitekim, e er m Z ve a Z/nZ ise, m a çarp m n Z/nZ nin ma eleman olarak tan mlayal m: m a = ma. Elbette 2 a = a + a, 3 a = a + a + a vs. Do all k, her yerde oldu u gibi burada da kendini gösteriyor. Her m, m 1, m 2 Z ve her x, y Z/nZ için, afla- daki eflitliklerin geçerli oldu unu kan tlamak çok kolay: m(x + y) = mx + my (m 1 + m 2 )x = m 1 x + m 2 x m(xy) = (mx)y = x(my) m 1 (m 2 x) = (m 1 m 2 )x m 1 = m nx = 0 ( 1)x = x. Bir sonraki yaz da birkaç n için Z/nZ halkas n inceleyece iz. Önce n = 4 ile bafllayaca z incelememize. Yaz l mda kolayl k olmas için, al flageldi i üzere Z/4Z halkas n n 0, 1, 2, 3 elemanlar yerine 0, 1, 2, 3 yazaca z ama lütfen bunlar n tamsay olduklar n sanmay n. Tamsay larda, = 0 eflitli i herkesin bildi i üzere yanl flt r. Z/4Z halkas nda, yanl fl olan = 0 eflitli i yerine, durumu kurtarmak için, mod 4 yaz l r ço u zaman. Bunun gibi, gene Z/4Z halkas nda mod 4 gibi denklik ler yaz l r. Bu denkliklerin anlam bellidir: 5, 1, 9 ve 3 say lar n n ayn sütunda (birincisinde) olduklar n söyler. Genel tan m ve olgular flöyle: a b mod n ancak ve ancak n, a b yi bölüyorsa, ancak ve ancak nz + a = nz + b ise ancak ve ancak Z/nZ de a = b ise. Sonraki yaz larda Z/nZ ye çok daha ayr nt l bir biçimde e ilece iz. 15

16 Kapak Konusu: Modüler ve p-sel Say lar Z/nZ Halkas n Parçalamak I. Örnekler. Z/nZ halkas nda x 2 = x gibi son derece basit bir denklemi çözmeye çal fl n. Ya da Z/nZ halkas ndaki karelerin say s n bulmaya çal fl n. E er bu yaz da Eflgüçlüler E er x 2 = x ise, her k > 0 do al say s için, x k = x dir elbette. Bu yüzden bu denklemi sa layan elemanlara eflgüçlü elemanlar denir. Z/180Z yap s nda 8 eflgüçlü vard r: S ras yla, 0, 36, 100, 136, 45, 81, 145, 1. Çözümlerin hangi s - rayla yaz ld klar n ancak bu yaz y okuyan anlayabilecektir! basit halkalara indirgeyece iz. Örneklerle yola ç kal m. yapacaklar m z önceden bilmiyorsan z, bu sorular n hiç de kolay olmad n göreceksiniz, ki bunlar oldukça basit sorulard r, Z/nZ halkalar yla ilgili çok daha zor sorular vard r. Bu yaz da Z/nZ halkas nda x 2 = x denklemini çözmeye yarayacak ve bu tür cebirsel sorular n yan tlanmas nda son derece yararl bir sonuç ve yöntem görece iz. Z/nZ halkas n parçalayarak, Z/nZ halkas üzerine sordu umuz sorular daha Örnek 1. Tamsay lar afla daki gibi bir çizelge halinde modülo 4 ve modülo 3 yazal m. Birinci sütuna Z nin elemanlar n yazd k; ikinci ve üçüncü sütunlara da tamsay lar n modülo 4 ve 3 de erlerini. Z Z/4Z Z/3Z Z/4Z Z/3Z (0, 0) (1, 1) (2, 2) (3, 0) (0, 1) (1, 2) (2, 0) (3, 1) (0, 2) (1, 0) (2, 1) (3, 2) (0, 0) (1, 1) (2, 2) Son sütunda bu iki de eri bir parantez içinde belirttik. Böylece en soldaki sütun olan Z den en sa daki sütun olan Z/4Z Z/3Z e giden bir fonksiyon elde ederiz. Örne in bu fonksiyonun 5 teki de eri (1, 2) dir, daha do rusu ( 1, 2) dir, yaz l mda kolayl k olsun diye say lar n üstüne koymam z gereken çizgileri koymad k. Buradaki ( 1, 2) nin ilk koordinat olan 1, Z/4Z kümesindedir ve 4Z + 1 anlam na gelmektedir; ikinci koordinat olan 2 ise Z/3Z kümesindedir ve 3Z + 2 anlam na gelmektedir. Belki de fonksiyonun 5 te ald de eri, (1, 2) yerine (5 mod 4, 5 mod 3) olarak, yani (1 mod 4, 2 mod 3) olarak göstermek daha do ru olurdu. Bu fonksiyona ϕ ad n verelim. ϕ : Z Z/4Z Z/3Z fonksiyonunun ald de erlerin birkaç n yandaki çizelgede yazd k. Bu çizelgeden de görülece i üzere 12 den sonra bir döngü elde ediyoruz, her 12 say da bir fonksiyonun ald de erler yineleniyor. Bunun nedeni basit: n hangi tamsay olursa olsun, n + 12 n (mod 3) ve n + 12 n (mod 4) dir. Yani, her n Z için, ϕ(n) = ϕ(n + 12). Bu sayede, Z den Z/4Z Z/3Z e giden ϕ fonksiyonu Z/12Z den ϕ(0) = (0, 0) ϕ(1) = (1, 1) ϕ(2) = (2, 2) ϕ(3) = (3, 0) ϕ(4) = (0, 1) ϕ(5) = (1, 2) ϕ(6) = (2, 0) ϕ(7) = (3, 1) ϕ(8) = (0, 2) ϕ(9) = (1, 0) ϕ(10) = (2, 1) ϕ(11) = (3, 2) ϕ(12) = (0, 0)... Z/4Z Z/3Z e giden bir fonksiyon do urur. Nitekim, yukarda tan mlanm fl olan ϕ : Z Z/4Z Z/3Z fonksiyonunun yard m yla, her a Z/12Z için, ϕ( a) = ϕ(a), yani ϕ(a mod 12) = (a mod 4, a mod 3) kural sayesinde, ϕ( 0) = ϕ(0) = (0, 0) ϕ(1) = ϕ(1) = (1, 1) ϕ( 2) = ϕ(2) = (2, 2) ϕ( 3) = ϕ(3) = (3, 0) ϕ( 4) = ϕ(4) = (0, 1) ϕ( 5) = ϕ(5) = (1, 2) ϕ( 6) = ϕ(6) = (2, 0) ϕ( 7) = ϕ(7) = (3, 1) ϕ( 8) = ϕ(8) = (0, 2) ϕ( 9) = ϕ(9) = (1, 0) ϕ( 1 0) = ϕ(10) = (2, 1) ϕ( 1 1) = ϕ(11) = (3, 2) 16

17 ϕ : Z/12Z Z/4Z Z/3Z fonksiyonunu tan mlayabiliriz: Yaz l m yo unlaflmas n diye en sa daki ϕ de- erlerinin koordinatlar n n üstüne çizgi çekmedik. Bunlar n birinci koordinatlar n n Z/4Z de, ikincisinin Z/3Z de oldu unu unutmayal m. ϕ fonksiyonunu afla daki flekildeki gibi resmedebiliriz. Gri alan içinde Z/4Z Z/12Z Z/12Z nin elemanlar n görüyorsunuz, 0 dan 11 e kadar ( 0 dan 1 1 e kadar olmal asl nda.) ki eksenden dikey ola n Z/4Z yi, yatay olan di eri Z/3Z Z/3Z yi simgeliyor. Gri alan içindeki bir eleman n bu iki eksen üzerindeki izdüflümleri, eleman n ϕ de ald - de erin iki koordinat n veriyor. Bu flekilden ya da yukardaki yapt klar m zdan, ϕ nin bir eflleme oldu u anlafl l yor. Zaten hem Z/12Z nin hem de Z/4Z Z/3Z nin 12 fler tane eleman var, dolay s yla bu iki küme aras ndaki birebir her fonksiyon örten, örten her fonksiyon birebir olmak zorunda, ve ϕ nin de birebir oldu unu kan tlamak çok kolay. Örnek 2. Yukar da yapt m z sadece 3 ve 4 le de il, iki ya da daha fazla do al say yla da yapabiliriz, en az ndan bir yere kadar yapmaya çal flabiliriz. Örne in, Z den Z/4Z Z/9Z Z/30Z ye giden do al (yani tahmin edilece i gibi say lar s ras yla modülo 4, 9 ve 30 al narak tan mlanan) ϕ fonksiyonunu ele alal m: ϕ(35) = (3, 8, 5), ϕ(325) = (1, 1, 25), ϕ(835) = (3, 7, 25). Her 180 say da bir bu fonksiyon ayn de eri al r, yani fonksiyonun periyodu 180 dir (yukardakinin 12 ydi.) Asl nda ϕ, her 360 ya da 540 say da bir de ayn de eri al r, ama en küçük periyodu bulmak daha ekonomik. Böylece, ϕ : Z Z/4Z Z/9Z Z/30Z fonksiyonu bize, her a Z/180Z için, ϕ( a) = ϕ(a), yani, ϕ(a mod 180) = (a mod 4, a mod 5, a mod 30) kural yla tan mlanm fl ϕ : Z/180Z Z/4Z Z/9Z Z/30Z fonksiyonunu verir. ϕ de il ama ϕ birebirdir, çünkü e er ϕ( a) = ϕ( b) ise, a b say s 4 e, 9 a ve 30 a bölünür, dolay s yla bu say lar n en küçük ortak kat olan 180 e bölünür. ϕ birebirdir ama örten olamaz, çünkü fonksiyonun imgesi olan Z/4Z Z/9Z Z/30Z kümesinde = 1080 tane eleman var, kalk fl kümesinin tam 6 misli kadar. Örnek 3. Bu kez, gene do al bir biçimde tan mlanm fl olan, ϕ : Z Z/4Z Z/9Z Z/5Z fonksiyonuna bakal m. Örne in, ϕ(325) = (1, 1, 0), ϕ(834) = (2, 6, 4). Gene 180 say da bir fonksiyon kendini yineler, ϕ nin periyodu 180 dir. Dolay s yla ϕ fonksiyonu sayesinde, ϕ : Z/180Z Z/4Z Z/9Z Z/5Z fonksiyonunu ϕ( a) = ϕ(a) kural yla tan mlayabiliriz: ϕ(a mod 180) = (a mod 4, a mod 9, a mod 5). Tan mlanan bu ϕ fonksiyonunun bu kez bir eflleme oldu u aynen yukarda birinci örnekte yapt - m z gibi kan tlanabilir. II. Ana Teorem. lk üç örnekte tan mlanan ϕ fonksiyonlar n n önemli bir özelli i vard r: Matematiksel deyiflle, ϕ fonksiyonu toplamaya, ç karmaya ve çarpmaya sayg duyar. Burada tam ne demek istedi imizi anlatmak için biraz tan ma ihtiyac m z var. Yukardaki Z/4Z Z/3Z örne ine geri dönelim. Z/4Z ve Z/3Z kümeleri üzerinde toplama, ç karma ve çarpma ad n verdi imiz üç ifllem tan mlam flt k geçen yaz da. Benzer bir yap y Z/4Z Z/3Z kümesinde de tan mlayaca z. Ve bunu son derece do- al bir biçimde yapaca z. Z/nZ Z/mZ kümesinden iki (a, b), (a, b ) eleman alal m. Bunlar toplamak, birbirinden ç karmak ve birbirleriyle çarpmak istiyoruz. Çok kolay! Koordinatlar ayr ayr toplay p ç kar p çarpal m: (a, b) ± (a, b ) = (a ± a, b ± b ) (a, b)(a, b ) = (aa, bb ). Böylece Z/nZ Z/mZ kümesi üzerine toplama, ç karma ve çarpma ad n verdi imiz üç ifllem tan mlam fl oluruz ve bu ifllemler sayesinde Z/nZ Z/mZ kümesi cebirsel bir yap ya bürünmüfl olur, 17

18 Dikkat! kinci ve üçüncü örneklerde ϕ fonksiyonunu tan mlamak için ϕ nin periyodu olan 180 i seçmemiz rastlant de ildi. 180 yerine 180 in herhangi bir kat n da alabilirdik ve birebir olmasa da gene bir fonksiyon bulabilirdik, ama 180 in katlar d fl nda bir say alamazd k, çünkü o zaman bir fonksiyon bile elde etmezdik. Benzer sorunu modülo n yaz lm fl say lar modülo m almak istedi imizde yaflar z. Örne in n = 7, m = 5 olsun ve ϕ : Z/7Z Z/5Z fonksiyonunu, ϕ(a mod 7) = (a mod 5) kural yla do al olarak tan mlamaya çal flal m. O zaman, (7 mod 5) = ϕ(7 mod 7) = ϕ(0 mod 7) = (0 mod 5), yani 7 0 mod 5 gibi saçmasapan bir sonuç ç - kar. Demek ki tan mlamaya çal flt m z fonksiyon yoktur, olamaz. Genel olarak, ϕ(a mod n) = (a mod m) kural n n Z/nZ den Z/mZ ye giden bir fonksiyon tan mlayabilmesi için, her a ve b tamsay s için, a b mod n koflulunun, a b mod m sonucunu do urmas gerekmektedir, ki bu da ancak m, n yi bölüyorsa mümkündür (okura al flt rma.) Örne in, Z/24Z den Z/8Z ye giden do al bir fonksiyon vard r (çünkü 8, 24 ü böler) ama Z/24Z den Z/7Z ye giden do al bir fonksiyon yoktur. üstelik Z/nZ ve Z/mZ nin cebirsel yap lar n yans - tan cebirsel bir yap ya, sayfa 14 teki halka özelliklerini sa layan bir yap ya... Nas l Z nin, Z/nZ nin ve Z/mZ nin çarpma için etkisiz elemanlar varsa, ki böyle bir elemana birim eleman ad verilir, Z/nZ Z/mZ nin de çarpma için bir etkisiz eleman vard r: ( 1, 1). Z/nZ Z/mZ bu cebirsel yap s da, Z, Z/nZ ve Z/mZ ninkiler gibi halka özelliklerini sa lar, yani bir halkad r. fiimdi flunu kan tlamak istiyoruz: E er n ve m birbirine asal iki do al say ysa, Z/nmZ cebirsel yap s yla yukarda tan mlanan Z/nZ Z/mZ cebirsel yap s aras nda hemen hemen hiç fark yoktur. Örne in, birinci yap da x 2 = x denkleminin kaç tane çözümü varsa, ikinci yap da da o kadar vard r. Ya da, birinci yap daki karelerin say s ikinci yap daki karelerin say s ne eflittir. Böylece, Z/nmZ halkas üzerine sorulan cebirsel bir soruyu Z/nZ Z/mZ yap s - na indirgemifl olaca z. Öte yandan, Z/nZ Z/mZ yap s, Z/nZ ve Z/mZ yap lar taraf ndan belirlenir. Sonuç olarak, Z/nmZ yap s üzerine sorulan cebirsel bir soruyu, Z/nZ ve Z/mZ yap lar na indirgemifl olaca z. lerde daha fazla ayr nt ve örnek verece iz. Önce, cebirsel yap lar aras nda hemen hemen hiç fark yoktur teoremini yaz p kan tlayal m. Teoremin kendisi uzun ama kan t bu aflamada oldukça k sa. Z/14Z de Kareler 0 2 = = = = = = = = = = = = = = 1 Demek ki Z/14Z halkas nda sadece 0, 1, 2, 4, 8, 9 ve 11 bir kare, baflka da yok. Toplam yedi tane. Bu say daki yaz lardan Z/nZ deki kare say s bulunabilir. Ana Teorem. n ve m iki pozitif do al say olsun. ϕ, Z den Z/nZ Z/mZ ye giden ve ϕ(a) = (a mod n, a mod m) kural yla do al olarak tan mlanm fl fonksiyon olsun. ϕ fonksiyonu toplamaya, ç karmaya ve çarpmaya sayg duyar, yani her a, b Z için, ϕ(a ± b) = ϕ(a) ± ϕ(b) ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) eflitlikleri geçerlidir ve ϕ, Z nin birim eleman olan 1 i Z/nZ Z/mZ nin birim eleman olan ( 1, 1) e götürür. Ayr ca, bu fonksiyonun en küçük periyodu ekok(n, m) dir. Yani e er ekok(n, m) = k ise ve a, b Z say lar a b mod k denkli ini sa larlarsa, o zaman, ϕ(a) = ϕ(b) eflitli i geçerlidir. Dahas, k, bu eflitli in her a ve b için sa land en küçük pozitif do al say d r. Dolay s yla ϕ fonksiyonu, her a Z/kZ için, ϕ( a) = ϕ(a) kural yla tan mlanm fl ϕ : Z/kZ Z/nZ Z/mZ fonksiyonunu do urur. ϕ fonksiyonu da ϕ gibi toplamaya, ç karmaya ve çarpmaya sayg duyar ve Z/kZ nin birim eleman olan 1 i Z/nZ Z/mZ nin birim eleman olan ( 1, 1) e götürür.dahas ϕ fonksiyonu birebirdir. Son olarak, ϕ fonksiyonunun örten (yani eflleme) olmas için yeter ve gerek koflul n ve m say lar - n n birbirine asal olmas, yani k = nm eflitli idir. 18

19 Kan t: Kan t çok basit, her fley tan mlardan ç - k yor. Biz gene de birkaç ayr nt y yazal m. ϕ(a) = (a mod n, a mod m) kural yla tan mlanm fl ϕ : Z Z/nZ Z/mZ fonksiyonun toplamaya, ç karmaya ve çarpmaya sayg duydu u ve birim eleman birim eleman na götürdü ü, ϕ nin ve Z/nZ Z/mZ üzerine koydu umuz cebirsel yap n n tan mlar ndan hemen ç kar. fiimdi ϕ( a) = ϕ(a) kural yla ϕ : Z/kZ Z/nZ Z/mZ fonksiyonunu tan mlayabilece imizi kan tlayal m. Bunun için, her a, b Z için, Z/kZ yap s ndaki a = b eflitli inin, Z/nZ Z/mZ yap s nda, ϕ(a) = ϕ(b) eflitli ini do urdu unu kan tlamal y z, yoksa ϕ diye bir fonksiyon tan mlayamay z. Yani a b mod k denkli inin, a b mod n ve a b mod m denkliklerini do urdu unu kan tlamal y z. Yani e er k, a b yi bölüyorsa, n ve m nin a b yi böldü ünü kan tlamal y z. Ama k = ekok(n, m) oldu- undan, bu bariz. Demek ki yukardaki gibi, ϕ( a) = ϕ(a) kural yla tan mlanm fl ϕ : Z/kZ Z/nZ Z/mZ fonksiyonu gerçekten var. ϕ( a) = ϕ(a) eflitli inden ve ϕ nin toplama, ç - karma ve çarpmaya sayg duydu undan, ϕ foksiyonu da bu ifllemlere sayg duyar. Ayn nedenden ϕ foksiyonu birim eleman n birim eleman na götürür. ϕ fonksiyonunun birebir oldu unu kan tlayal m flimdi. ϕ( a) = ϕ( b) eflitli ini varsayal m. Demek ki, ϕ(a) = ϕ(b), yani ϕ nin tan m ndan dolay, (a mod n, a mod m) = (b mod n, b mod m), yani a b mod n ve a b mod m, yani n ve m say lar a b say s n bölüyor, demek ki ekok(a, b), yani k, a b say s n bölüyor, yani Z/kZ halkas nda a = b. Böylece ϕ fonksiyonunun birebir oldu- u kan tlanm fl oldu. Bir üst paragrafta birebir oldu unu kan tlad - m z ϕ fonksiyonunun örten olmas için k = Z/kZ = Z/nZ Z/mZ = nm olmal, yani ekok(n, m) = nm olmal, yani n ile m birbirine asal olmal. Okur dikkat etmiflse, yukardaki teoremde tan mlanan ϕ fonksiyonu sadece k = ekok(n, m) için de il, ekok(n, m) nin tüm tam katlar için de tan mlanabilir, ama ϕ nin birebir olmas için illa ve illa k = ±ekok(n, m) olmal d r. III. Eflyap sall k. Ana Teorem de, e er n ve m birbirine asalsa, Z/nmZ ile Z/nZ Z/mZ yap lar - n n birbirine çok benzedi i kan tland, yani Z/nmZ den Z/nZ Z/mZ ye giden, toplama, ç karma ve çarpmaya sayg duyan ve birim eleman n birim eleman na götüren bir efllemenin varl kan tland. Bu durumda, Z/nmZ ve Z/nZ Z/mZ halkalar na eflyap sal denir, cebirsel ifllemlere ve birim elemana sayg duyan efllemeye de eflyap dönüflümü ad verilir. ki halkan n eflyap sal olmas demek, iki halka aras nda pek az bir ayr m vard r demektir, hatta elemanlar n n adlar d fl nda, toplama, ç karma ve çarpma sözkonusu oldu unda, aralar nda hiçbir ayr m yoktur demektir. Bu durumda, hemen hemen eflit anlam nda, Z/nmZ Z/nZ Z/mZ yazar z. Örne in, Z/6Z Z/2Z Z/3Z, Z/12Z Z/4Z Z/3Z, Z/50Z Z/2Z Z/25Z, Z/30Z Z/2Z Z/3Z Z/5Z, Z/60Z Z/4Z Z/3Z Z/5Z. E er n ve m birbirine asal iki pozitif tamsay ysa, Z/nmZ halkas ndan Z/nZ Z/mZ halkas - na giden bir eflyap dönüflümü (yani toplamaya, ç karmaya ve çarpmaya sayg duyan ve birim eleman birim elemana götüren bir eflleme) oldu- unu gördük. Buldu umuz bu eflyap dönüflümü, Z/nmZ halkas n n (x mod nm) eleman n Z/nZ Z/mZ halkas n n (x mod n, x mod m) eleman na götürüyordu. Bu iki halka aras nda, bundan baflka da eflyap dönüflümü olamaz. Çünkü ϕ bir eflyap dönüflümüyse, ϕ(1), Z/nZ Z/mZ halkas n n (1, 1) birim eleman na eflittir ve Z/nmZ halkas n n her x eleman 1 in kendisiyle birkaç kez toplam yla elde edildi inden, ϕ(x) in ne oldu u bellidir: ϕ(x) = ϕ( ) = ϕ(1) ϕ(1). IV. Eflyap sall k Ne fle Yarar? A ve B iki eflyap - sal halka olsun. Aralar ndaki eflyap sal dönüflüme ϕ diyelim. Demek ki ϕ, A dan B ye giden bir eflleme ve her a, a A için, ϕ(a ± a ) = ϕ(a) ± ϕ(a ) ϕ(aa ) = ϕ(a)ϕ(a ) ϕ(1 A ) = 1 B eflitlikleri sa lan yor. (Burada 1 A, A n n, 1 B ise B nin birim elemanlar d r.) 19

20 Diyelim B de x 2 = x denklemini çözmek istiyoruz. Ayn denklemi A da çözüp, A daki çözümlerin ϕ-imgelerini alarak B deki tüm çözümleri bulabiliriz. Nitekim, e er a, x 2 = x denkleminin A da bir çözümüyse, yani a 2 = a denklemi A da sa lan yorsa, o zaman b = ϕ(a) yaz p hesaplayal m: b 2 = ϕ(a) 2 = ϕ(a)ϕ(a) = ϕ(aa) = ϕ(a 2 ) = ϕ(a) = b eflitli ini elde ederiz. Demek ki b, x 2 = x denkleminin B de bir çözümüdür. Bunun tersi de do rudur. E er b, x 2 = x denkleminin B de bir çözümüyse, o zaman, a = ϕ 1 (b) ayn denklemin A daki bir çözümüdür. Bunun kan t da oldukça kolayd r ve okura b rak lm flt r. Özetleyecek olursak, denklemin A daki ve B deki çözüm kümeleri, ϕ eflyap dönüflümü sayesinde birbirlerine tekabül ederler, yani e er Ç A ve Ç B denklemin A daki ve B deki çözüm kümeleriyse, o zaman ϕ(ç A ) = Ç B ve ϕ 1 (Ç B ) = Ç A d r. Sonuç olarak, denklemi B de çözebiliyorsak, ϕ sayesinde ayn denklemi A da da çözebiliriz. E er A da çözebiliyorsak, ϕ sayesinde ayn denklemi B de de çözebiliriz. Bu dedi imiz sadece x 2 = x denklemi için de il, (3x 2 5y)z = 4xy gibi toplama, ç karma, çarpma ve tamsay lar kullan larak yaz lan bir ya da daha çok bilinmeyenli her denklem ya da denklem ailesi için de geçerlidir. Bir sonraki paragrafta, yukardaki düflünceyi Z/nZ ye uyarlay p, x 2 = x denkleminin Z/nZ deki çözüm say s n bulaca z. Ama önce afla daki sonuca ihtiyac m z var. Afla daki sonucun, yukardaki Ana Teorem den hareketle, n yi bölen asal say lar n say s üzerine tümevar mla nas l kan tlanaca bariz olmal. için, bu denklemi, asal p ve pozitif k ler için Z/p k Z yap s nda çözebilmek yeterlidir. Daha sonraki yaz - lardan birinde (Hensel Önsav yaz s ), hepsi olmasa da birçok denklemi Z/p k Z halkas nda çözebilmek için, bu denklemin Z/pZ halkas nda özel bir çözümü oldu unu kan tlaman n yeterli oldu unu görece iz. Örne in, Z/p k Z halkas nda hangi elemanlar n kare oldu unu anlamak için, Z/pZ halkas nda hangi elemanlar n kare oldu unu anlamak yeterlidir. Ama bu konuya daha sonra de inece iz. Umar m burada yapt klar m z n zevkine ve güzelli ine var yorsunuzdur. Bugün olmazsa da yar n var rs n z, bu yaz y yar n bir daha okuyun! Notlar. 1. Bir A halkas ndan bir B halkas na giden bir ϕ efllemesinin sadece toplamaya ve çarpmaya sayg duymas, efllemenin ç karmaya sayg duymas için yeterlidir. Bunu kan tlayal m. Her fleyden önce ϕ(0 A ) + 0 B = ϕ(0 A ) = ϕ(0 A + 0 A ) = ϕ(0 A ) + ϕ(0 A ) eflitli inden, ϕ(0 A ) = 0 B elde ederiz (MD-2004-II, sayfa 22, Önsav 1.i). Buradan da, her x A için, ϕ(x) + ( ϕ(x)) = 0 B = ϕ(0 A ) = ϕ(x + ( x)) = ϕ(x) + ϕ( x) ve dolay s yla ϕ( x) = ϕ(x) elde edilir (MD-2004-II, sayfa 22, Önsav 1.i). Buradan da, her x, y A için, ϕ(x y) = ϕ(x + ( y)) = ϕ(x) + ϕ( y) = ϕ(x) + ( ϕ(y)) = ϕ(x) ϕ(y) elde edilir. Demek ki ϕ ç - karmaya da sayg duyuyor. 2. Toplamaya sayg duyan ve Z/nZ nin birim eleman n ϕ(z/nz) nin birim eleman na götüren her ϕ : Z/nZ B fonksiyonu çarpmaya da sayg duyar. Bunun tümevar mla kan t oldukça kolayd r ve okura b rak lm flt r. (Dikkat: ϕ(z/nz) nin birim eleman B nin birim eleman olmak zorunda de ildir.) Sonuç. n > 1 bir do al say olsun. n yi asallar na ay ral m: n = p 1 k 1... p r k r. Burada p 1,..., p r, n yi bölen birbirinden de iflik asallard r. O zaman, Z/nZ Z/p 1 k 1 Z... Z/p r k r Z. Ayr ca, Z/nZ nin bir (x mod n) eleman n, Z/p 1 k 1Z... Z/p r k rz nin (x mod p 1 k 1,..., x mod p r k r ) eleman na götüren fonksiyon bir eflyap dönüflümüdür. Bu sonuç flu anlama gelir: Z/nZ yap lar n anlamak için, asal p ler ve pozitif k do al say lar için, Z/p k Z yap lar n anlamak yeterlidir. Bir baflka deyiflle, Z/nZ yap s nda herhangi bir denklemi çözmek 20 V. Devede Kulak Bir Uygulama. x 2 = x denklemini Z/nZ halkas nda çözmeye çal flal m. Önce n yi asallar na ay rarak, yukardaki sonuçtaki gibi bir Z/nZ Z/p 1 k 1 Z... Z/p r k r Z eflyap sall k bulal m (ki böyle bir eflyap dönüflümü biliyoruz: Bu dönüflüm, Z/nZ nin modülo n elemanlar n, her i = 1,..., r için modülo p i k i yaz yor. Bir önceki sayfadaki gri karede bundan baflka bir eflyap dönüflümü olmad n kan tlam flt k.) fiimdi, x 2 = x denklemini Z/nZ halkas nda çözmek yerine, ayn denklemi, daha kolay hesap yapabilece imizi umdu umuz ve bu halkaya eflyap sal olan Z/p 1 k 1 Z... Z/p r k rz halkas nda çözelim.