FEM ile, Hapsolmuş Kuantum Mekaniksel Sistemlerin Çözümü

Transkript

1 FEM ile, Hapsolmuş Kuantum Mekaniksel Sistemlerin Çözümü Yöntem 8-Mayıs-24 (9-Mayıs-24) Bir boyutlu bir problem için ölçeklenmiş (boyutsuz) niceliklerle yazılmış Schrodinger denklemi ve Hamiltoniyen Hψ(z) = Eψ(z) () H = d d + V (z) (2) 2 idi. () in çözümü olan ψ(z) yerine g(z) yaklaşık çözüm fonksiyonunu alalım. Çözüm olarak bu fonksiyonun kullanılmasıyla () Hg(z) = Eg(z) (3) haline gelir. () i soldan çözüm fonksiyonunun kompleks eşleniği ile çarpıp çözüm aralığında integre edelim g (z)hg(z) E G = g (z)hg(z) E g (z)g(z) = (4) g (z)g(z) (5) ile tanımlanan G varyasyon ile minimize edilecek. Çözülecek olan sistem kuşatılmışsa, yani uzayın belli bir bölgesine hapsolmuşsa sisteme ait dalga fonksiyonu uzayın hapsolduğu kısmının sınırlarında sıfır olmalıdır. Bu koşul sistemin kesin çözümü olan ψ için geçerli olduğu gibi yaklaşık çözüm olan g için de geçerlidir. (5) de (2) yazılsın G = g d (z) 2 [ İlk terime kısmi integrasyon uygulanırsa g( ) = g(z b ) = (6) ] dg(z) + z b g (z)v (z)g(z) E g (z)g(z) (7) G = 2 g + ( ) dg z b + 2 g V (z)g E g g ( dg ) ( ) dg (8) olacaktır. (6) dan g ( ) = g (z b ) = olduğu kullanılırsa (8) G = ( dg 2 ) ( ) dg + haline gelir. (9) un minimizasyonu yapılacak (Ritz yöntemi). udv = uv zb vdu; u = g (z), dv = d [ z b ] dg(z) g V (z)g E g g (9)

2 2 Sonsuz Kuyu Potansiyeline Uygulama İki sonsuz potansiyel duvarı arasında L = z b genişlikli ve içinde V (z) = olan kuyu. Bu problem için (9) da V (z) = ve = m yazılacak. Dolayısıyla minimize edilecek nicelik, G = ( )( ) dg dg E g g () 2m olur. Çözüm uzayını z = ve z N+ = z b olmak üzere N + parçaya bölelim. [,z b ] [z,z ] + [z,z 2 ] + [z j,z j+ ] + [z N,z N+ ] () g(j), fonksiyonun (j + ). bölgedeki hali olmak üzere çözüm fonksiyonunu içeren integraller haline gelir. s = şeklinde tanımlanan dönüşüm ile de olacaktır. Dolayısıyla (2) olur. Tüm bunlardan sonra () N G = 2mL j j= N j= z j+ z j (2) z z j z j+ z j, L j = z j+ z j = L j ds (3) z j+ z j N j= z j+ z j L j ( dg j ds ds N j= L j ds (4) )( ) dgj EL j ds ds (5) dsgjg j halini alır. (3) dönüşümüyle geçilen [, ] uzayında FEM bazları (ϕ lerin kümesi) oluşturulabilir. Bu uzayın n parçaya bölünmesi ile uzayda n. dereceden polinomla verilebilen n+ tane baz fonksiyonu oluşturuluyordu. [,] [s,s ] + [s,s 2 ] + [s k,s k+ ] + [s n,s n ] (7) Burada s = ve s n = dir. Baz fonksiyonları ϕ i (s) = k= (6) n (s s n k ) (k i) (i,k =,2,...,n) (8) (s i s k ) k= ile tanımlıydı. n =,2,3 için baz fonksiyonları : (5) den görülebilir ki çözüm uzayının (j + ). bölgesi, s uzayının n parçaya bölünmesi ile n parçaya bölünmüştür. Dolayısıyla () den görünen, çözüm uzayında (N +).n+ nokta olduğudur. () in çözümü olan ψ nin bu noktalardaki değerleri ψ,ψ,ψ 2, ψ (N+)n (9) 2

3 s Şekil : s uzayının bire (n = ) bölünmesi ile oluşan baz fonksiyonları s Şekil 2: s uzayının ikiye (n = 2) bölünmesi ile oluşan baz fonksiyonları olsun. (6) gereği ψ = ψ (N+)n = olacaktır. (3) ile verilen g(z) fonksiyonunun (j + ). bölgedeki hali, g j (s) = n ψ jn+k φ k (s) (2) k= şeklinde yazılabilir. Burada φ k lar (8) ile tanımlanan baz fonksiyonları, ψ j ler ise (9) daki çözüm fonksiyonunun uzaydaki noktalarda aldığı bilinmeyen değerlerdir. (2) ile verilen fonksiyonlar ve (3) ile verilen parça uzunlukları (L j ) ler (6) da yerlerine yazıldığında, sistemin çözümü için minimize edilmesi gereken G niceliği oluşmuş olur. Bu işlemlerden sonra G şunlara bağlı olacaktır: ψ,ψ 2, ψ (N+).n ψ,ψ 2, ψ (N+).n m,l j,e Problemin çözümü için gerekenler enerji özdeğerleri (E) ve çözüm fonksiyonunun uzayın bölünmesi sonucu oluşan (N + )n sayıda noktada aldığı değerler. (6) nın minimizasyonu G nin ψk lara göre türevlerinin sıfıra eşitlenmesi sonucu olur.2 G ψ k = ; k =,2, (N + )n (2) 2 G nin ψ k lara göre türevi alınıp da sıfıra eşitlenebilir. Bu sefer elde dilen denklem sisteminde çözülmesi gereken değişkenler ψk lar olacaktır. 3

4 s.2 Şekil 3: s uzayının üçe (n = 3) bölünmesi ile oluşan baz fonksiyonları (2) in uygulanması sonucu (N + )n bilinmeyen (ψ,ψ 2, ψ (N+).n ) ve (N + )n denklemden oluşan bir sistem elde edilir. Bu sistem matris formunda yazılabilir. Burada K. ψ = E M. ψ (22) K : denklem sistemindeki E içermeyen katsayıların matrisi ((N + )n ) ((N + )n ) boyutunda ψ : denklem sistemindeki bilinmeyenler matrisi ((N + )n ) boyutunda E : skaler M : denklem sistemindeki E içeren katsayıların matrisi ((N + )n ) ((N + )n ) boyutunda Enerji özdeğerlerinin bulunması M. K ψ = E ψ (23) ile olur. Enerji özdeğerleri M. K matrisinin özdeğerleri olacaktır. 3 Sonuçlar (23) de m =, = 5, z b = alınıp çözüm uzayı eşit uzunluktaki parçalara ayrılarak farklı N ve n ler için enerji özdeğerleri hesaplandı. Problemin kesin enerji özdeğerleri E n = h2 π 2 2mL 2 n2 (24) ile veriliyordu. İlk özdeğerin sabit n için farklı N sayılarına göre ve sabit N için farklı n sayılarına göre değişimi şöyle : 4

5 Şekil 4: Farklı N sayıları için n = alınarak çözüm uzayının N + parçaya bölünmesi sonucunda ilk enerji özdeğeri Şekil (4) den görüldüğü gibi çözüm uzayı daha fazla sayıda parçaya bölündükçe ilk özdeğer belli değerlere yakınsamaktadır. N artıkça eğriler arasındaki ayrım da azalmaktadır. Şekil (5) den de yukarıdakine benzer bir yorum yapılabilir. Buradaki tek fark artan n ler için elde edilen özdeğerlerin gerçek değerlere daha çabuk yakınsamasıdır. Şekilden görüldüğü gibi n = 4 ve n = 5 için elde edilen özdeğerler birbirine çok yakındır. 5

6 Şekil 5: Farklı n sayıları için N = alınarak s uzayının n parçaya bölünmesi sonucunda ilk enerji özdeğeri 6