Potansiyel Enerji. Fiz Ders 8. Kütle - Çekim Potansiyel Enerjisi. Esneklik Potansiyel Enerjisi. Mekanik Enerjinin Korunumu

Transkript

1 Fiz Ders 8 Potansiyel Enerji Kütle - Çekim Potansiyel Enerjisi Esneklik Potansiyel Enerjisi Mekanik Enerjinin Korunumu Korunumlu ve Korunumsuz Kuvvetler Enerji Diyagramları, Sistemlerin Dengesi

2 Potansiyel Enerji Herhangi bir parçacık sistemini dikkate alacak olursak, cisimler arasında karşılıklı kuvvetler bulunmaktadır. Eğer sistemin durumu değiştirilirse (veya değişirse) sistem üzerinde bir iş yapılır (veya sistemdeki iç kuvvetler bir iş yapar). Cismin hızı sıfırsa W + W g = 0 olur. W = F y > 0 Wg = G y < 0 Sistemin iş yapabilme yeteneğine sistemin potansiyel enerjisi denir.

3 Kütle Çekim Potansiyel Enerjisi m kütlesi serbest bırakıldığında dünya tarafından mg kuvveti ile aşağı çekilecek ve bu kuvvetin etkisinde hız kazanacaktır. (kinetik enerjisi artacaktır.) m kütleli cismin, h i konumundan h s konumuna hareket ettiğinde yerin cisme uyguladığı kuvvetin yaptığı iş Wg = G y Wg = mg j h s h i j y = G = mg j h s h i j Wg = mg h s + mg h i Burada mgh ifadesine özel olarak yerçekimi potansiyel enerjisi denir ve U ile gösterilir. Wg = U s U i = U Bu sonuçtan, kütle-çekim kuvvetinin herhangi bir cisim üzerinde yaptığı işin, sistemin kütle-çekim potansiyel enerjisindeki değişimin negatifine eşit olduğunu söyleyebiliriz.

4 Esneklik Potansiyel Enerjisi Yatay ve sürtünmesiz bir düzlem üzerinde, m kütleli bir cismi, şekildeki gibi bir F kuvveti uygulayarak gerelim (veya sıkıştıralım); F kuvvetinin yaptığı iş; W F = F dx cos 0=1 = kx dx = 1 2 kx x s x i = 1 2 kx s kx i 2 W F = U U = 1 2 kx Esneklik Potansiyel Enerjisi F yay kuvvetinin yaptığı iş; Wyay = F yay dx cos 180 = 1 = kx dx = 1 2 kx x s x i = 1 2 kx s kx i 2 Wyay = U F kuvvetinin yaptığı iş, yayda depolanır. Yayda depolanan enerjiye esneklik potansiyel enerjisi denir.

5 Örnek 8.1 Serway Ö7.5/190 Bir yay 0,55 kg'lık bir kütleye sahip bir nesne asıldığında 2,00 cm uzadığı görüldüğüne göre a) yayın kuvvet sabiti (k esneklik sabiti) nedir? b) bu süreçte yayda depolanan enerji kaç joule dür? Sonuç : a) k = 2, N/m b) U = 5, J

6 Örnek 8.2 Hooke sınırları içerisinde, bir yay doğal uzunluğundan 10,0 cm gerilince 4,00 J lük iş yapıyorsa, 10,0 cm daha germek için fazladan ne kadar daha iş yapılmalıdır? Sonuç : k = 800 N/m W = 12,0 J

7 Mekanik Enerjinin Korunumu Şekildeki gibi yerden h yüksekliğinde serbest bırakılan bir cismi inceleyelim. Cisim serbest bırakıldığı anda cismin potansiyel enerjisi mgh, kinetik enerjisi sıfırdır. Hava direncini ve sürtünmeler gibi kuvvetlerin olmadığını varsayalım. E P.E. = mgh E K.E. = 0 E Toplam = E Kinetik E. + E Potansiyel E. E P.E. = mgh i A E T = 0 + mgh E K.E. = 1 2 mv i 2 B C D E T = 1 2 mv i 2 + mgh i E T = 1 2 mv s 2 + mgh s E T = 1 2 mv2 E P.E. = mgh s E K.E. = 1 2 mv s 2 E P.E. = 0 E K.E. = 1 2 mv2

8 B ile C arasında kinetik ve potansiyel enerjilerin değişimini inceleyelim. m kütleli cisme uygulanan kütle çekim kuvvetinin yaptığı iş, cismin sahip olduğu kinetik enerji değişimine eşit olduğundan; Wg = G y = E KE Yerçekimi kuvvetinin yapmış olduğu iş kütle-yer sisteminin potansiyel enerjisindeki değişimin negatifine eşit olduğundan; Wg = G y = mg j h s h i j = mg h s + mg h i = U E KE = U 1 2 mv s mv i 2 = mg h s mg h i 1 2 mv s 2 + mg h s = 1 2 mv i 2 + mg h i E T ilk = E T Son

9 Örnek 8.3 Serway ö8.2/222 Serbest Düşen Top Şekilde görülen 2,00 kg kütleli bir top h = 200 m kadar yükseklikten serbest bırakılmıştır. a) Hava direncini ihmal ederek, yerden y = 80, 0 m yükseklikte iken topun süratini bulunuz. b) Top h yüksekliğinde aşağı yönde v = 12, 0 m/s hızı ile atılsa idi y yüksekliğindeki sürati ne olurdu. Sonuç : a) v = 2g(h y) = 48,5 m/s b) v = 2g h y + v i 2 = 50,0 m/s

10 Örnek 8.4 Serway ö8.2/222 Sarkaç Şekilde görüldüğü gibi L = 2, 50 m uzunluklu hafif bir ipin bir ucu P noktasında bulunan bir mile diğer ucuna da m = 1, 00 kg kütleli bir cisim bağlanarak bir sarkaç oluşturuluyor. Cisim C noktasında (dikeyle 30º derecede ) serbest bırakılırsa, a) A ve B noktalarından geçerken cismin hızı nedir. b) Bu noktalarda iken iplerde oluşan gerilmeleri bulun. Sonuç : a) v B = 2gL 1 cos θ A = 48,5 m/s v C = 0 b) T B = mg 3 2 cos θ A = 11,1 N T C = mg cos θ A = 8,50 N

11 Bunge-Jumping Örnek 8.5 Serway p8.20/241 Tehlikeli bir spor olan bunge atlayışında, bir sporcu şekilde görüldüğü gibi vücuduna bağlı özel tasarlanmış esnek bir ip ile balondan atlıyor. Halatın gerilmemiş uzunluğu 25,0 m, sporcunun ağırlığı 700 N ve balon göl yüzeyinden 36,0 m yukarıdadır. Sporcunun göl yüzeyinden 4,00 m yukarıda durması için ipin uzama sabiti ne olmalıdır?

12 Korunumlu ve Korunumsuz Kuvvetler Şekildeki m kütleli bir cirmin üç farklı yoldan C noktasına gittiğini düşünelim. Cisme uygulanan yerçekimi kuvvetinin bu cisim üzerinde yaptığı işleri üç farklı yol için hesaplayalım. ABC yolu ABC AC yolu ADC yolu o 0 ( 90 ) mg h ( 0 ) W G x G y mg h AC AB yolu BC yolu W G r G x G y ADC mg h o o 0 ( 90 ) o mg h ( 0 ) o mg h ( 0 ) 0 ( 90 ) W G y G x mg h AD yolu o DC yolu

13 Korunumlu ve Korunumsuz Kuvvetler m kütleli cisim üç farklı yoldan A noktasından C noktasına gitmesine rağmen yerçekimi kuvvetinin yaptığı iş aynıdır. Yani yapılan iş yoldan bağımsızdır. Kütle-çekim kuvveti, yaya bağlı herhangi bir cisme uygulana kuvvet ve elektrostatik kuvvet vb. korunumlu kuvvetlere örneklerdir. Bir kuvvetin, herhangi iki nokta arasında hareket eden bir parçacık üzerinde yaptığı iş, parçacığın aldığı yoldan bağımsızsa kuvvet korunumludur. Kapalı bir yol boyunca korunumlu bir kuvvetin parçacık üzerinde yaptığı iş sıfırdır. Eğer ortamdaki sürtünme, hava direnci vb. kuvvetler olsaydı, bu kuvvetlerde cisim üzerinde iş yapardı. Yalnız bu kuvvetlerin yaptığı işler yola bağlıdır. Bu tür kuvvetlere Korunumsuz kuvvetler denir. ABC yolu W F x N ( x x ) ABC s AB BC AC yolu 180 W F x N x o AC s AC 180 Yapılan işler birbirinden farklıdır. o

14 Korunumsuz Kuvvetlerin Yaptığı iş Şekilde görüldüğü gibi sürtünmeli bir yüzey üzerinde v i ilk hızı ile harekete başlayan m kütleli bir cisim, cisme etkiyen kinetik sürtünme kuvveti, cismin hareketine karşı koyar ve cisim yavaşlayarak x kadar sürüklendikten sonra durur. İş Kinetik enerji teoreminden W s = f s x = E K.E. E K.E. = f s x Eğik düzlem durumunda İş Kinetik enerji teoreminden W = N + G + f s x = E K.E. N x 0 + G x f s x = E K.E. E P.E. = U E Toplam = U + E K.E. = f s x

15 Eğik düzlemde kayan sandık Örnek 8.6 Serway ö8.4/225 3,00 kg'lık bir sandık bir rampada aşağı doğru kaymaktadır. Rampanın uzunluğu 1,00 m olup şekilde görüldüğü gibi 30 eğimlidir. Kasa rampanın tepesinde serbest bırakıldığında 5,00 N'lik sabit bir sürtünme kuvveti ile kaymaya başlıyor. Rampayı terk ettikten sonra, yatay zemin üzerinde kısa bir mesafe daha hareket etmeye devam eder. Rampanın altındaki kasanın v f hızını belirleyiniz. Sonuç : v f = 2,54 m/s

16 Eğik düzlemde kayan sandık Örnek 8.7 Serway ö8.5/226 m = 3, 00 kg kütleli bir çocuk, şekilde görüldüğü gibi h = 2, 00 m yüksekliğinde düzensiz şekilde eğilmiş bir kaydırakta kaymaktadır. Çocuk tepe noktadan ilk hızsız olarak harekete başlıyor. a) Sürtünmenin olmadığı varsayarak çocuğun tabandaki süratini bulunuz? b) Çocuğa bir kinetik sürtünme kuvveti etki ederse çocuk ne kadarlık bir mekanik enerji kaybeder? v s = 3, 00 m/s Sonuç : v f = 2,54 m/s