ÇUKUROVA ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ

Transkript

1 ÇUKUROVA ÜNVERSTES FEN BMER ENSTTÜSÜ DOKTORA TEZ lker Fatih KARA BETONARME YAPIARIN ÇATAMA ETKS GÖZ ÖNÜNE AINARAK NEER OMAYAN ANAZ N"AAT MÜHENDS$ ANABM DAI ADANA, 7

2 ÇUKUROVA ÜNVERSTES FEN BMER ENSTTÜSÜ BETONARME YAPIARIN ÇATAMA ETKS GÖZ ÖNÜNE AINARAK NEER OMAYAN ANAZ KER FATH KARA DOKTORA TEZ NAAT MÜHENDS ANABM DAI Bu tez. /. / 7 Tarihinde A-a./daki Jüri Üyeleri Taraf/ndan Oybirli.i/Oyçoklu.u le Kabul Edilmi-tir. mza: mza: mza:. Prof. Dr. Cengiz DÜNDAR Prof. Dr. A. Kamil TANRIKUU Doç. Dr. smail H. ÇAATAY DANIMAN ÜYE ÜYE mza:.. Yrd. Doç. Dr. M. Hakan SEVERCAN ÜYE mza:. Yrd. Doç. Dr. Seren (AKAVCI) GÜVEN ÜYE Bu tez Enstitümüz n-aat Mühendisli.i Anabilim Dal/nda haz/rlanm/-t/r. Kod No: Prof. Dr. Aziz ERTUNÇ Enstitü Müdürü Bu Çal/-ma Çukurova Üniversitesi Bilimsel Ara-t/rma Projeleri Birimi Taraf/ndan Desteklenmi-tir. Proje No: MMF 4 D11 Not: Bu tezde kullanlan özgün ve baka kaynaktan yaplan bildirilerin, çizelge, ekil ve fotoraflarn kaynak gösterilmeden kullanm, 5846 sayl Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

3 ÖZ DOKTORA TEZ BETONARME YAPIARIN ÇATAMA ETKS GÖZ ÖNÜNE AINARAK NEER OMAYAN ANAZ lker Fatih KARA ÇUKUROVA ÜNVERSTES FEN BMER ENSTTÜSÜ NAAT MÜHENDS ANABM DAI Danman: Prof. Dr. Cengiz DÜNDAR Yl : 7 Sayfa : 4 Jüri: Prof. Dr. Cengiz DÜNDAR Prof. Dr. A. Kamil TANRIKUU Doç. Dr. smail H. ÇA ATAY Yrd. Doç. Dr. M. Hakan SEVERCAN Yrd. Doç. Dr. Seren (AKAVCI) GÜVEN Bu çal89mada kiri9 ve kolonlarda olu9an çatlamalar göz önünde bulundurularak betonarme çerçevelerin rijit diyafram modeli ile üç boyutlu analizi için iteratif yönteme dayal8 bir bilgisayar program8 geli9tirilmi9tir. Betonarme yap8ya etkiyen yatay ve dü9ey yüklerden dolay8 kiri9 ve kolon elemanlar8n8n çatlamas8 halinde etkili atalet momentlerinin hesab8nda ACI, CEB ve olas8l8aa dayal8 etkili rijitlik modelleri kullan8lm89t8r. Analizde kayma deformasyonlar8n8n etkisi de göz önünde bulundurulmu9 olup etkili kayma modüllerinin hesab8nda literatürde mevut olan deai9ik yöntemler kullan8lm89t8r. Çal89mada, deneysel çal89malar8 daha öneden yap8lan, yatay ve dü9ey yükler etkisi alt8ndaki betonarme çerçeve örnekleri geli9tirilen bilgisayar program8 ara8l8a8 ile çözümlenmi9 ve elde edilen sonuçlar8n deneysel sonuçlarla kar98la9t8r8lmas8ndan oldukça uyumlu sonuçlar elde edilmi9tir. Çal89ma kapsam8nda ayr8a kiri9 ve kolon elemanlarda olu9an çatlamalar8n etkisiyle birlikte geometrik nonlineerlik etkiler de göz önünde bulundurularak betonarme çerçevelerin üç boyutlu analizi için bir bilgisayar program8 daha geli9tirilmi9tir. Yatay ve dü9ey yükler etkisi alt8ndaki üç boyutlu betonarme çerçeve örneklerinin geli9tirilen bilgisayar program8 ile çözümlenmesinden çatlamalarla birlikte geometrik nonlineerlik etkilerin yap8 davran898na olan etkisi ayr8nt8l8 bir 9ekilde irdelenmeye çal898lm89t8r. Betonarme yap8ya uygulanan yatay ve dü9ey yüklere baal8 olarak özellikle tasar8mda proje mühendisleri için önemli olabileek, elemanlardaki çatlamalar8n olu9um s8ras8 ve elemanlar8n eailme rijitliainde olu9an deai9imler de bu çal89mada elde edilebilmektedir. Anahtar kelimeler: Üç boyutlu analiz, betonarme çerçeveler, etkili atalet momenti, etkili kayma modülü, yatay deplasmanlar. I

4 ABSTRACT Ph. D THESIS NONINEAR ANAYSIS OF REINFORCED CONCRETE FRAMES CONSIDERING THE CRACKING EFFECTS lker Fatih KARA DEPARTMENT OF CIVI ENGINEERING INSTITUTE OF NATURA AND APPIED SCIENCES UNIVERSITY OF ÇUKUROVA Supervisor : Prof.Dr. Cengiz DÜNDAR Year : 7 Page : 4 Jury : Prof.Dr. Cengiz DÜNDAR Prof.Dr. A. Kamil TANRIKUU Doç. Dr. smail H. ÇA ATAY Yrd. Doç. Dr. M. Hakan SEVERCAN Yrd. Doç. Dr. Seren (AKAVCI) GÜVEN In this study, a omputer program based on the iterative proedure has been developed using rigid diaphragm model for the three dimensional analysis of reinfored onrete frames with raked beam and olumn elements. ACI, CEB and probability-based effetive stiffness models are used for the effetive moment of inertia of the raked members. In the analysis, shear deformations whih an be large following rak developments are taken into aount and the variation of the shear rigidity due to raking is onsidered by redued shear stiffness models. The results of the omputer program have been ompared with the experimental data of tests on full-size strutural subassemblages and found to be in good agreement. In the present study, a omputer program has also been developed for the three dimensional analysis of reinfored onrete frames onsidering the geometrial nonlinearity and raking effets in the analysis. The influene of geometrial nonlinearity and raking effet on the behavior of reinfored onrete frames has been investigated. The most signifiant feature of the proposed iterative proedures developed in the present study is that the variations in the flexural stiffness of beams and olumns an be observed expliitly. Keywords: Three dimensional analysis, reinfored onrete frames, effetive moment of inertia, effetive shear modulus, lateral defletions. II

5 TE,EKKÜR Önelikle, doktora program8na ba9lad8a8m günden itibaren tez konumun belirlenmesinde ve çal89malar8mda beni yönlendiren ve benden yard8mlar8n8 esirgemeyen, dan89man hoam say8n Prof. Dr. Cengiz DÜNDAR a te9ekkürlerimi sunar8m. Ayr8a, ara9t8rmalar8mda bana yard8m8 olan say8n hoam Prof. Dr. A. Kamil TANRIKUU na te9ekkür ederim. Çal89malar8mda beni her yönden destekleyen Dr. Serkan TOKGÖZ ve Ara9t8rma Görevlisi arkada9lar8m Selahattin KOCAMAN, Ali DO AN, Tar8k BARAN, Hasan GÜZE ve diaer Ara9t8rma Görevlisi arkada9lar8ma te9ekkür ederim. Son olarak, her zaman bana destek olan ve yard8mlar8n8 esirgemeyen aileme özel te9ekkürlerimi sunar8m. III

6 ÇNDEKER SAYFA ÖZ... I ABSTRACT... II TEEKKÜR... III ÇNDEKER IV ÇZEGEER DZN... VII EKER DZN... VIII SMGEER VE KISATMAAR... XII 1. GR ÖNCEK ÇAIMAAR MATERYA VE METOD Giri Çekme Rijitle mesi ve Moment E+rilik li kisi Formülasyonda Kullanlan Modeller Etkili E+ilme Rijitli+i çin Kullanlan Modeller Etkili Kayma Rijitli+i çin Kullanlan Modeller Geli tirilen Analitik Yöntem Temel Denklemler Kullanlarak Problemin Formülasyonu Esneklik Katsaylar ve Yük Vektörlerinin Elde Edilmesi Eleman Rijitlik Katsaylarnn Elde Edili i Rijit Diyafram Modeli Rijit Diyafram Modelinin Uygulanmas çin Elde Edilen Denklemler Yöntemin Algoritmas Bilgisayar Program Bilgisayar Programnn Yaps Veri Hazrlama Klavuzu Genel Bilgiler Eleman Özellikleri Koordinatlar Mesnet artlar Yükler IV

7 3.11. Türk Deprem Yönetmeli+inde Belirtilen Kontroller kini Mertebe Etkilerinin Kontrolü Göreli Kat Ötelemelerinin Snrlandrlmas GEOMETRK NONNEERK VE ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN BOYUTU ANAZ Giri Do+rusal Olmayan Eleman Rijitlik Matrisi ve Yük Vektörünün Elde Edilmesi Rijitlik Katsaylarnn Elde Edilmesi Eksenel Kuvvetin Basnç Olmas Durumu Eksenel Kuvvetin Çekme Olmas Durumu Yük Vektörlerinin Elde edilmesi Düzgün Yayl Yük Durumu Eksenel Kuvvetin Basnç Olmas Durumu Eksenel Kuvvetin Çekme Olmas Durumu Tekil Yük Durumu Bilgisayar Program ARATIRMA BUGUARI Giri Örnekler Örnek Örnek Örnek Örnek Örnek Örnek Örnek SONUÇAR VE ÖNERER KAYNAKAR ÖZGEÇM ÜÇ V

8 EK-Çatlamalarn Etkisi Göz Önünde Bulundurularak Betonarme Çerçevelerin Üç Boyutlu Analizi için Geli tirilen Bilgisayar Program 13 VI

9 ÇZEGEER DZN SAYFA Çizelge 3.1. Etkili eilme rijitliinde kullanlan modeller için çekme rijitlemesi fonksiyonlar Çizelge 3.. Farkl modeller için etkili kayma rijitlii fonksiyonlar Çizelge 5.1. Betonarme çerçeve örnei ile ilgili gerekli bilgiler Çizelge 5.. Betonarme çerçeve örneine ait bilgiler Çizelge 5.3. ineer elastik model ve çatlamalarn etkisi göz önünde bulundurularak elde edilen göreli kat ötelemeleri Çizelge 5.4. ineer elastik model ve çatlamalarn etkisi göz önünde bulundurularak elde edilen ikini mertebe gösterge deerleri Çizelge 5.5. Betonarme yapya ait gerekli bilgiler Çizelge 5.6. ineer elastik model ve çatlamalarn etkisi göz önünde bulundurularak elde edilen göreli kat ötelemeleri Çizelge 5.7. ineer elastik model ve çatlamalarn etkisi göz önünde bulundurularak elde edilen ikini mertebe gösterge deerleri Çizelge 5.8. Betonarme çerçeve örnei ile ilgili gerekli bilgiler VII

10 EKER DZN SAYFA ekil 3.1. Çatlamann olutuu ve olumad durumlarda betonarme kesitlerin davran ekil 3.. Betonarme kesitlerde moment erilik ilikisi ekil 3.3. Yükler etkisi altndaki basit mesnetli bir kirite eilme momentinden dolay oluan çatlayan ve çatlamayan bölgeler ekil 3.4. Düzgün yayl yük ve ara tekil yüklerden dolay bir elemanda oluabileek uç deplasmanlar ve bunlara karlk gelen kuvvetler ekil 3.5. Konsol bir kirie uygulanan birim kuvvet yönleri ekil 3.6. Konsol bir kirie uygulanan d kuvvetler ekil 3.7. Herhangi bir kiri veya kolon elemannda genel olarak eilme momentinden dolay oluabileek çatlayan ve çatlamayan bölgeler ekil 3.8. Rijit diyafaram modeli ekil 3.9. Herhangi bir elemanda global eksen takmnda ilgili yönlerde oluan deplasmanlar ekil 3.1. Bilgisayar program ak diyagaram ekil 4.1. Eksenel basnç kuvveti için d 8 =1 durumunda rijitlik katsaylar ekil 4.. Eksenel basnç kuvveti için d 1 =1 durumunda rijitlik katsaylar ekil 4.3. Eksenel basnç kuvveti için d 7 =1 durumunda rijitlik katsaylar ekil 4.4. Eksenel basnç kuvveti için d 1 =1 durumunda rijitlik katsaylar ekil 4.5. Eksenel basnç kuvveti için d 3 =1 durumunda rijitlik katsaylar 6 ekil 4.6. Eksenel basnç kuvveti için d 6 =1 durumunda rijitlik katsaylar VIII

11 ekil 4.7. Eksenel basnç kuvveti için d =1 durumunda rijitlik katsaylar ekil 4.8. Eksenel basnç kuvveti için d 5 =1 durumunda rijitlik katsaylar ekil 4.9. Eksenel çekme kuvveti için d 8 =1 durumunda rijitlik katsaylar ekil 4.1. Eksenel çekme kuvveti için d 1 =1 durumunda rijitlik katsaylar ekil Eksenel çekme kuvveti için d 7 =1 durumunda rijitlik katsaylar 68 ekil 4.1. Eksenel çekme kuvveti için d 1 =1 durumunda rijitlik katsaylar ekil Eksenel çekme kuvveti için d 3 =1 durumunda rijitlik katsaylar ekil Eksenel çekme kuvveti için d 6 =1 durumunda rijitlik katsaylar ekil Eksenel çekme kuvveti için d =1 durumunda rijitlik 73 katsaylar ekil Eksenel çekme kuvveti için d 5 =1 durumunda rijitlik katsaylar ekil Eksenel basna maruz düzgün yayl yük etkisi altndaki bir kiri ekil Eksenel çekmeye maruz düzgün yayl yük etkisi altndaki kiri ekil Eksenel basna maruz düzgün tekil yük etkisi altndaki kiri ekil 4.. Bilgisayar program ak diyagaram ekil numaral düümdeki düey deplasmanlarn kayma deformasyonlar etkisinin ihmal edilmesi durumunda uygulanan yüke göre deiimi IX

12 ekil 5.1. Yatay ve düey yükler etkisi altndaki iki katl betonarme çerçeve örnei ekil 5.. Deneysel ve analitik çalma sonuçlarndan elde edilen yatay deplasmanlarn karlatrlmas ekil 5.3. Etkili atalet momenti hesabnda farkl modeller kullanlarak elde edilen yatay deplasmanlarn karlatrlmas ekil 5.4. Kiri ve kolonlarn etkili atalet momentlerinin yatay yüke göre deiimi ekil 5.5. Yatay deplasmann iterasyon saysna göre deiimi ekil 5.6. Etkili atalet momentlerinin iterasyon saysna göre deiimi. 95 ekil 5.7. Kayma deformasyonlar etkisinin yatay deplasmanlar üzerine 96 olan etkisi ekil ki katl betonarme çerçeve örnei ekil 5.9. Deneysel ve analitik çalma sonuçlarndan elde edilen yatay deplasmanlarn karlatrlmas ekil 5.1. Etkili atalet momenti hesabnda farkl modeller kullanlarak elde edilen yatay deplasmanlarn karlatrlmas ekil Kiri ve kolonlarn etkili atalet momentlerinin yatay yüke göre deiimi ekil 5.1. Yatay deplasmann iterasyon saysna göre deiimi ekil Etkili atalet momentlerinin iterasyon saysna göre deiimi. 11 ekil Kayma deformasyonlar etkisinin yatay deplasmanlar üzerine 1 olan etkisi ekil Dört katl betonarme çerçeve örnei ekil ineer analiz ve çatlamalarn etkisi göz önünde bulundurularak elde edilen rölatif yatay ötelemelerin karlatrlmas ekil ineer analiz ve çatlamalarn etkisi göz önünde bulundurularak 1 numaral düümde elde edilen yatay deplasmanlarn karlatrlmas X

13 ekil Kiri ve kolonlarn etkili atalet momentlerinin yatay yüke göre deiimi ekil Kayma deformasyonlar etkisinin rölatif yatay ötelemeler üzerine olan etkisi ekil 5.. Yatay deplasmann düzgün yayl yüke göre deiimi ekil Katl betonarme çerçeve örnei ekil Kat kolon yerleim plan ekil 5.3. ( i ) maks. /h i nin yatay yüklere göre deiimi ekil Katl betonarme çerçeve örnei ekil Kat kolon yerleim plan(m) ekil 5.6. ( i ) maks. /h i nin yatay yüklere göre deiimi ekil 5.7. Yatay ve düey yükler etkisi altndaki dört katl betonarme çerçeve örnei ekil 5.8. Maksimum rölatif yatay ötelemenin uygulanan yatay yüke göre deiimi ekil 5.9. Kiri ve kolonlarn etkili atalet momentlerinin yatay yüke göre deiimi ekil 5.3. Eilme momentinin yatay yüke göre deiimi ekil Yatay ve düey yükler etkisi altndaki iki katl betonarme çerçeve örnei ekil 5.3. Deneysel ve analitik çalma sonuçlarndan elde edilen yatay deplasmanlarn karlatrlmas ekil Geometrik nonlineerlik etkilerinin yatay deplasmanlar üzerine olan etkisi ekil Kiri ve kolonlarn etkili atalet momentlerinin yatay yüke göre deiimi ekil C3 kolonunun eilme momentinin yatay yüke göre deiimi 1 ekil C4 kolonunun eilme momentinin yatay yüke göre deiimi 1 XI

14 SMGEER VE KISATMAAR A : Kesit alan A i : Tekil yükün sol mesnetten olan uzakl E : Elastisite modülü f : Betonun karakteristik basnç dayanm f t : Betonun çekme dayanm f r : Betonun eilmedeki çekme dayanm F ts : Çekme rijitle#mesi fonksiyonu F ss : Kayma rijitlii fonksiyonu G : Elastik kayma modülü G : Etkili kayma modülü G ts : Çekme rijitle#mesi fonksiyonuna bal bir fonksiyon G ss : Kayma rijitlii fonksiyonuna bal bir fonksiyon I eff : Etkili atalet momenti I g : Brüt beton kesit atalet momenti I : Burulma atalet momenti I 1 : Çatlamam# kesitin atalet momenti I : Kesitin tamamen çatlam# haldeki atalet momenti : Elemann boyu r : Çatlam# bölge uzunluu M : Eilme momenti M r : Çatlama annda kesitte olu#an eilme momenti N : Eksenel kuvvet P : Tekil kuvvet q : Yayl yük 1 r eff : Etkili kesit erilii 1 r 1 : Çatlamam# kesit erilii XII

15 1 r : Tamamen çatlam# haldeki kesit erilii S : 3ekil katsays T s : Çekme donatsndaki kuvvet T sr : Çatlama annda çekme donatsndaki kuvvet V : Kesme kuvveti y t : Kesitin en alt yüzünden arlk merkezine olan uzakl 5 : Çatlayan ve çatlamayan bölgeleri ifade eden boyutsuz büyüklük 6 : Çekme #ekil dei#tirmesi deeri 7 v : Eksenel basnç gerilmesi 6 1, 6 : Yaknsaklk kriterleri A r : Çatlayan bölgelerin alanlar toplam A unr : Çatlamayan bölgelerin alanlar toplam P r : Elemana ait kesitlerin çatlama olasl P unr : Elemana ait kesitlerin çatlamama olasl XIII

16 1. GR lker Fatih KARA 1. GR Betonarme tay sistemlerin, yatay ve düey yükler etkisi altndaki yapsal analizi, malzeme davrannn do"rusal elastik oldu"u kabulüne dayanan hesap yöntemleri ile yaplmasna karn, kesit hesaplarnda beton ve çeli"in elastik ötesi davranlar göz önüne alnmaktadr. Betonun çekme dayanmnn düük olmas nedeniyle betonarme elemanlarda çatlama kaçnlmaz bir olay olup, sistematik olarak gelimemekte ve açklk boyuna büyük de"iimler gösterebilmektedir. Çatlamalarn etkisi de hesaba katlarak, betonarmenin gerçek özelli"i olan do"rusal olmayan davranlarnn dikkate alnmasyla, yapda oluaak iç kuvvet ve yer de"itirme de"erleri lineer analiz sonuçlarna göre önemli de"iimler gösterebilmektedir. Bu de"iimlere neden olan en büyük etken ise çatlamadan sonra elemanlarn açklklar boyuna büyük de"iiklik gösteren e"ilme ve kayma rijitlikleri de"erleridir. Betonarme yaplarn projelendirilmesindeki temel amaç, yapya etkiyen yükler netiesinde kesitte oluan zorlamalarn güvenli bir ekilde karlanmasyla birlikte, kullanm yükleri altnda elemanlarn fonksiyonlarn yerine getirebilmesi için ekil de"itirme ve dolaysyla yer de"itirmelerin küçük kalmas ve belli de"erleri amamasdr. Bu amaçla düey yükler etkisi altnda bulunan kirilerde oluan çökmelerin gerçe"e daha yakn olarak hesaplanabilmesi için çatlamadan sonra bu elemanlarn e"ilme ve kayma rijitliklerinde oluan de"iimler önemli olmaktadr. Yaplar düey yükler yannda deprem ve rüzgâr etkisi nedeniyle oluan yatay yüklere de maruzdurlar. Bu yüklerden dolay gerek yapda meydana gelen yatay yer de"itirmelerin, gerekse ikini mertebe momentlerinin hesaplanmasnda kolonlarda çatlamadan sonra oluaak etkili e"ilme ve kayma rijitlikleri de önem kazanmaktadr. Yapya uygulanan yatay ve düey yüklerden dolay betonarme elemanlarda oluan çatlamalar, elemanlarn ve yapnn rijitli"inin azalmasna ve buna ba"l olarak deplasmanlarn artmasna neden olmaktadr. Betonarme yapda oluan yatay deplasmanlarla, elemanlarda oluan çökmelerin gerçe"e daha yakn olarak hesaplanabilmesi için yap içerisindeki çatlayan elemanlarn belirlenmesi ve bu elemanlarn etkili e"ilme ve kayma rijitliklerinin elde edilmesi gerekmektedir. Bu 1

17 1. GR lker Fatih KARA de"erleri uygun yöntemlerle elde ederek gelitirilen analiz yöntemleri çatlamalarn etkisini göz önünde bulundurmadan gelitirilen lineer analiz yöntemlerine göre daha gerçekçi sonuçlar ortaya çkarabilir. Yap sistemleri yapya uygulanan yüklerin çok düük oldu"u düzeylerde lineer olarak davranmalarna karn, yükler ve deformasyonlar yeterine artt"nda e"ilme momentleri ve eksenel kuvvetlerin birbirlerinin rijitliklerini etkilemelerinden ve dü"üm noktalarnn yükleme esasna göre de"imesi nedeniyle oluan ikini mertebe etkilerden dolay lineer olmayan bir davran göstermektedirler. Yaplarn lineer elastik analizinde, yap elemanlarnn rijitlik ve esnekliklerinin sabit oldu"u kabul edilmekte ve yük deplasman ilikisi do"rusal bir davran göstermektedir. Gerçekte, bir yapsal eleman üzerine etkiyen eksenel kuvvet elemann rijitlik matrisini ve dolaysyla esneklik matrisini de"itirmektedir. Bu olay ikini mertebe etkilerinin, yani denge denklemlerinin ekil de"itirmemi sistem üzerinde de"il, ekil de"itirmi sistem üzerinde yazlmas gere"inden ortaya çkmaktadr. Ço"u kez düük yükleme kademelerinde yapsal deplasmanlarn yapnn boyutlarna kyasla çok küçük olmalar nedeniyle, denge denklemlerinin ekil de"itirmemi sistem üzerinde yazlmas, büyük hatalara neden olmamaktadr. Yapya uygulanan yük seviyesi arttkça çatlamalarn etkisiyle de yapda oluan deplasmanlar artmakta ve yapnn yer de"itirmi dü"ümlerine uygulanan yükler de ilave momentler do"masna neden olmaktadr. Oluan bu momentler yapnn çubuk kuvvetlerini ve kritik yükünü etkilemektedir. Bu nedenlerden dolay ikini mertebe etkilerin bir di"er ifadeyle geometrik nonlineerlik etkilerin analizlerde göz önünde bulundurulmas sonuçlarn daha gerçekçi bir ekilde elde edilmesi açsndan oldukça önemli olmaktadr. Sunulan çalmada ilk etapta kiri ve kolon elemanlarda oluan çatlamalar göz önünde bulundurularak betonarme çerçevelerin rijit diyafram modeli ile üç boyutlu analizine yönelik analitik bir yöntem gelitirilmi ve bu yönteme dayal olarak bir bilgisayar program oluturulmutur. Yapya etkiyen yatay ve düey yüklerden dolay kiri ve kolon elemanlarnn çatlamas halinde etkili atalet momentlerinin hesabnda ACI, CEB ve olasl"a dayal etkili rijitlik modelleri

18 1. GR lker Fatih KARA kullanlmtr. Analizde kayma deformasyonlarnn etkisi de göz önünde bulundurulmu olup etkili kayma modüllerinin hesabnda literatürde mevut olan de"iik yöntemler kullanlmtr. Çatlamalardan sonra betonarme elemanlarn e"ilme ve kayma rijitli"indeki de"iimler göz önünde bulundurularak betonarme çerçevelerin üç boyutlu analizi için gelitirilen formülasyonlar rijitlik matrisi yöntemine dayandrlarak oluturulmutur. Gelitirilen yöntemde çatlamalarn etkisi sonlu elemanlar metodunda oldu"u gibi elemanlar parçalara ayrp göz önüne alarak çözüme ulamak yerine, tek bir elemanda çatlayan ve çatlamayan bölgeler belirlenip rijitlik matrisi yöntemine dayandrlarak gelitirilen formülasyonlar " altnda elemanlarn esneklik katsaylar ve yük vektörleri ile rijitlik matrisi de"erleri elde edilerek, sonlu elemanlar yöntemine göre daha çabuk ve etkili bir ekilde sonua ulalmaktadr. Bu çalmada literatürde mevut olan ve deneysel çalmalar daha öneden yaplan yatay ve düey yükler etkisi altndaki betonarme çerçeve örnekleri gelitirilen bilgisayar program aral" ile çözümlenmi ve elde edilen sonuçlar deneysel sonuçlarla karlatrlarak gelitirilen yöntemin do"rulu"u ve uygulanabilirli"i belirlenmeye çallmtr. Ayra de"iik boyut ve farkl katlara sahip yatay ve düey yükler etkisi altndaki üç boyutlu betonarme çerçeve örnekleri gelitirilen bilgisayar program aral" ile çözümlenerek, katlarn rölatif yatay ötelemelerinin lineer analize göre nasl bir de"iim gösterdi"i ve TDY de verilen maksimum rölatif yatay öteleme artnn sa"lanp sa"lanmad" kontrol edilmitir. Betonarme yapya uygulanan yatay ve düey yüklere ba"l olarak özellikle tasarmda proje mühendisleri için önemli olabileek, elemanlardaki çatlamalarn oluum sras ve elemanlarn e"ilme rijitli"inde oluan de"iimler de elde edilmitir. Çalma kapsamnda kiri ve kolon elemanlarda oluan çatlamalarn etkisiyle birlikte geometrik nonlineerlik etkiler de göz önünde bulundurularak betonarme çerçevelerin üç boyutlu analizi için bir bilgisayar program daha gelitirilmitir. Analizde, eksenel kuvvet ve e"ilme momentlerinin birbirlerinin rijitliklerini etkilemelerinden dolay ve dü"üm noktalarnn yükleme esasna göre de"imesi nedeniyle oluan ikini mertebe etkiler göz önünde bulundurulmutur. Çatlamalardan 3

19 1. GR lker Fatih KARA sonra elemanlarn etkili atalet momentlerinin hesabnda olasl"a dayal etkili rijitlik modeli kullanlm olup, kayma deformasyonlar etkisi analizde göz önünde bulundurulmamtr. Yatay ve düey yükler etkisi altndaki üç boyutlu betonarme çerçeve örneklerinin gelitirilen bilgisayar program ile çözümlenmesinden çatlamalarla birlikte geometrik nonlineerlik etkilerin yap davranna olan etkisi ayrntl bir ekilde irdelenmeye çallmtr. 4

20 . ÖNCEK ÇAIMAAR lker Fatih KARA. ÖNCEK ÇAIMAAR Betonarme yap!lar!n analizinde çatlamalar!n etkisi ve malzemelerin lineer olmayan davran!'! genellikle literatürde mevut olan de,i'ik çatlama ve malzeme modelleri ile göz önünde bulundurulup, sonlu elemanlar yöntemine dayand!r!larak gerçekle'tirilmektedir. Çatlamalar!n etkisi ayr!a literatürde bulunan de,i'ik etkili rijitlik modelleri ile de göz önünde bulundurulabilmektedir. Yatay ve dü'ey yükler etkisi alt!ndaki betonarme çerçevelerin analizinde, gerek geometrik nonlineerlik etkiler gerekse malzemelerin lineer olmayan davran!'! ile çatlamalar!n etkisi birlikte göz önünde bulundurup sonlu elemanlar metoduna dayand!r!larak geli'tirilen çal!'malar da yap!lm!'t!r. Anak betonarme yap!lar!n analizinde çatlamalar ve/veya geometrik nonlineerlik etkiler göz önünde bulundurulup rijitlik matrisi yöntemine dayand!r!larak geli'tirilen çal!'malar ise literatürde s!n!rl! say!da bulunmaktad!r. Branson (1963), yap!ya uygulanan yüklerden dolay! betonarme elemanlarda olu'an momentin çatlamay! meydana getiren M r momentini a'mas! halinde, atalet momentinin çatlaman!n olu'tu,u bölgelerde nas!l bir de,i'im gösterdi,ini yapt!,! çal!'mada inelemi' ve a'a,!daki e'itli,i ortaya ç!karm!'t!r. p p M r M r I eff = I1+ 1 I M M (.1) Bu denklemdeki, I eff, kesitin etkili atalet momentini, I 1 ve I ise s!ras!yla çatlamam!' haldeki kesit atalet momentini ve tamamen çatlam!' haldeki kesitin atalet momentini ifade etmektedirler. Ayn! denklemde deneysel çal!'ma sonuçlar!yla uyumlu olaak 'eklide p=4 al!nmaktad!r. Sakai ve Kakuta (198), e,ilme ve eksenel yük etkisi alt!ndaki betonarme elemanlarda moment e,rilik ili'kisini elde etmek için Branson (1963) taraf!ndan verilen etkili atalet momenti ifadesini eksenel yük durumunu içereek 'ekilde genelle'tirerek, bu denklemdeki M r /M in yerine çekme donat!s!ndaki kuvvetleri 5

21 . ÖNCEK ÇAIMAAR lker Fatih KARA içeren T sr /T r oran!n! kullanm!'lard!r. Çal!'malar!nda etkili atalet momentini a'a,!daki denklemdeki gibi ifade etmi'lerdir. p p T sr T sr I eff = I1 1 I T + s T s (.) Bu denklemdeki T sr çatlama an!ndaki, T s ise verilen yük düzeyindeki ilgili kesitteki çekme donat!s!ndaki kuvvetleri göstermektedir. I 1 ve I ise s!ras! ile brüt ve çatlam!' beton kesitin atalet momenti de,erleridir. Sakai ve Kakuta geli'tirdikleri bu modelin do,rulu,unu kan!tlamak için, sadee e,ilme momentine ve e,ilme momenti ile eksenel yüke maruz betonarme elemanlar!n moment e,rilik ili'kisini elde etmek için iki farkl! deneysel çal!'ma yapm!'lard!r. Deney sonuçlar!yla geli'tirdikleri modele ba,l! olarak elde ettikleri sonuçlar!n kar'!la't!r!lmas!ndan uyumlu sonuçlar elde etmi'lerdir. Pulmano ve Young (1986), betonarme kiri'lerle birlikte öngerilmeli kiri'lerde uzun süreli ve k!sa süreli yüklemelerden dolay! olu'an deplasmanlar! hesaplayabilen sonlu elemanlar metoduna dayal! analitik bir yöntem geli'tirmi'lerdir. Analizde çatlamalardan dolay! olu'an lineer olmayan etkiler ve zamana ba,l! olarak sünme ve büzülmeden dolay! olu'an etkiler göz önünde bulundurulmu'tur. Çatlamalardan sonra elemanlar!n atalet momentlerinin hesab!nda Branson (1963) taraf!ndan önerilen etkili atalet momenti ifadesi kullan!lm!'t!r. Çal!'malar!nda literatürde mevut olan ve deneysel çal!'malar! yap!lm!' ani ve uzun süreli yüklemeler alt!ndaki tek aç!kl!kl! ve sürekli kiri' örneklerini çözümleyerek elde ettikleri sonuçlar! deneysel sonuçlarla kar'!la't!rm!'lard!r. Geli'tirdikleri yöntemde, statikçe belirsiz kiri' elemanlarda olu'an iç kuvvet da,!l!mlar!n! elde ederek bu de,erlerin deneysel sonuçlarla kar'!la't!r!lmas!ndan oldukça uyumlu sonuçlar elde etmi'lerdir. Çal!'mada geli'tirilen yöntem sadee statikçe belirli ve belirsiz kiri'lerin analizine yönelik bir yöntem olmakla birlikte uygun sonuçlar elde edilebilmesi için kiri'leri çok say!da elemanlara bölmek gerekmekte ve eleman say!s! artt!kça sonuçlara 6

22 . ÖNCEK ÇAIMAAR lker Fatih KARA ula'abilmek ve bu sonuçlar! de,erlendirmek de zahmetli ve zaman al!! olabilmektedir. El-Metwally ve Chen (1988) çal!'malar!nda yatay ve dü'ey yükler etkisi alt!ndaki betonarme çerçevelerde geometrik nonlineerlik ve malzeme nonlineerli,i ile birlikte dü,ümlerin lineer olmayan davran!'lar!n! göz önünde bulunduran analitik bir yöntem geli'tirmi'lerdir. Analizde betonun lineer olmayan gerilme birim deformasyon ili'kisi için Salmon taraf!ndan önerilen model göz önünde bulundurulmu' olup kayma deformasyonlar! etkisi ihmal edilmi'tir. Malzeme nonlineerli,inin betonarme yap!lar!n davran!'! üzerinde önemli bir etkiye sahip oldu,unu ve yatay yükler etkisi alt!ndaki betonarme çerçevelerde geometrik nonlineerlik etkilerin de çerçevede olu'an deplasmanlar ve çerçevenin davran!'! üzerinde önemli olabilee,ini elde etmi'lerdir. Çal!'malar!nda deneysel çal!'mas! daha öneden yap!lan, yatay ve dü'ey yükler etkisi alt!ndaki betonarme çerçeve örne,ini geli'tirdikleri model ile çözümlemi' ve elde ettikleri sonuçlar! deneysel sonuçlarla kar'!la't!rm!'lard!r. Teorik model sonuçlar! ile deneysel sonuçlar!n kar'!la't!r!lmas!ndan, malzeme nonlineerli,inin gerek betonarme çerçevede olu'an deplasmanlar gerekse çerçevenin ta'!ma güü yükünün ve k!r!lma mekanizmas!n!n gerçe,e daha yak!n ve do,ru olarak elde edilebilmesi aç!s!ndan analizlerde göz önünde bulundurulmas!n!n oldukça önemli oldu,u sonuuna varm!'lard!r. Bununla birlikte betonarme çerçevede yük deformasyon ili'kisinin ve çerçevenin dayan!m de,erinin gerçe,e daha yak!n olarak elde edilebilmesi için geometrik nonlineerlik etkilerin malzeme nonlineerli,i ile birlikte analizde göz önünde bulundurulmas!n!n gerekli oldu,unu deneysel sonuçlarla teorik model sonuçlar!n kar'!la't!r!lmas!ndan elde etmi'lerdir. Geometrik nonlineerli,in özellikle yatay yükler etkisi alt!ndaki çok katl! yap!larda ve narin kolonlar içeren betonarme yap!larda önemli olabilee,ini geli'tirdikleri çal!'ma sonuçlar!ndan elde etmi'lerdir. Cosenza (1989) yapt!,! çal!'mada dü'ey yükler etkisi alt!ndaki betonarme kiri'leri, çatlamalar!n etkisini göz önünde bulunduraak 'ekilde sonlu elemanlar yöntemiyle analiz etmi'tir. Çal!'mas!nda betonun çekme direninin e,ilme rijitli,ine katk!s!n! ACI, CEB, sabit çekme rijitle'mesi ve lineer çekme rijitle'mesi gibi modellerle göz önünde bulundurmu'tur. Esneklik katsay!lar!n!n elde edilmesinde 7

23 . ÖNCEK ÇAIMAAR lker Fatih KARA düzgün yay!l! yüklü basit mesnetli bir kiri' kullanm!' ve analizde çatlamalardan sonra betonarme elemanlar!n davran!'! üzerinde önemli bir etkiye sahip olabileek kayma deformasyonlar!n!n etkisini göz önünde bulundurmam!'t!r. Çal!'mas!nda ayr!a, deneysel çal!'mas! Washa ve Flok (1956) taraf!ndan yap!lan, de,i'ik donat! oranlar!na sahip düzgün yay!l! yükler etkisi alt!ndaki iki aç!kl!kl! sürekli bir kiri' örne,ini geli'tirdi,i yöntemle çözümlemi' ve elde etti,i sonuçlar! deneysel sonuçlarla kar'!la't!rm!'t!r. Sun ve ark. (199), düzlemsel betonarme çerçevelerin analizi için sonlu elemanlar metoduna dayand!r!lan, lineer olamayan bir analiz yöntemi geli'tirmi'ler ve bu yönteme dayal! olarak bir bilgisayar program! olu'turmu'lard!r. Analizde malzemenin lineer olmayan davran!'! ile geometrik nonlineerlik etkiler göz önünde bulundurulmu' olup, kayma deformasyonlar! etkisi ihmal edilmi'tir. Betonarme çerçeveye yükler ad!m ad!m uygulanm!' ve her yük ad!m!nda iteratif i'lemlere ba'vurulmu'tur. Sonlu elemanlar yönteminde, elemanlara ait kesitin derinli,i boyuna malzeme özelli,indeki de,i'imi modelleyebilmek ama!yla, kiri' ve kolon elemanlar! için tabakal! model seçilmi' ve çözümlemelerde gauss integrasyon yöntemi kullan!lm!'t!r. Çal!'malar!nda ayr!a deneysel çal!'mas! daha öneden yap!lm!' tek katl! ve tek aç!kl!kl! betonarme çerçeve örne,ini geli'tirdikleri bilgisayar program! ara!l!,! ile çözümleyerek elde ettikleri sonuçlarla deneysel sonuçlar! kar'!la't!rm!'lard!r. Betonarme çerçevede kat say!s! ve eleman say!s! artt!kça geli'tirilen yöntemle gerek sonua ula'!lmas! gerekse sonuçlar!n de,erlendirilmesi zahmetli ve zaman al!! olabilmektedir. Vehio ve Emara (199), düzlemsel betonarme çerçevelerin analizinde geometrik nonlineerlik ve malzeme nonlineerli,i ile birlikte kayama deformasyonlar! etkisini de göz önünde bulunduran sonlu elemanlar metoduna dayal! analitik bir yöntem geli'tirmi'ler ve bu yönteme dayal! olarak bir bilgisayar program! olu'turmu'lard!r. Analizde kayma deformasyonlar! etkisini iki boyutlu gerilme durumunu göz önünde bulunduran tabakal! kesit analizi yöntemi ile ele alm!'lard!r. Kayma deformasyonlar! etkisinin gerek betonarme çerçevede olu'an deplasmanlar! gerekse betonarme çerçevenin yük ta'!ma kapasitesi ve k!r!lma mekanizmas! üzerine olan etkisini ara't!rm!'lard!r. Çal!'malar!nda ayr!a iki katl! tek aç!kl!kl! yatay ve 8

24 . ÖNCEK ÇAIMAAR lker Fatih KARA dü'ey yükler etkisi alt!ndaki betonarme çerçeveyi de yüklemeye tabi tutmu'lar ve elde ettikleri sonuçlar! deneysel sonuçlarla kar'!la't!rm!'lard!r. Deneysel çal!'ma sonuçlar!ndan kiri'lerin k!r!lma mekanizmas!n!n e,ilmeden dolay! olu'mas!na ra,men özellikle yatay yükler etkisi alt!nda büyük kesme 'ekil de,i'tirmelerinin olu'tu,unu gözlemlemi'lerdir. En büyük kesme 'ekil de,i'tirmelerinin kiri' ve kolonlar!n birle'ti,i dü,üm noktalar! ivar!nda olu'tu,unu ve buna ba,l! olarak bu bölgelerde büyük diyagonal çatlaklar gözlemlemi'lerdir. Deneysel çal!'mada elde ettikleri sonuçlarla teorik model sonuçlar!n!n kar'!la't!r!lmas!ndan kesme gerilmelerinin elemanlar!n e,ilme ve kayma rijitli,ini azaltt!,!n! ve buna ba,l! olarak dönme ve eksenel 'ekil de,i'tirmelerle birlikte deplasmanlar! önemli dereede artt!rd!,!n! elde etmi'lerdir. Kayma deformasyonlar! etkisinin çerçeveye uygulanan yatay yükün artmas!na ba,l! olarak yatay deplasmanlar üzerinde önemli bir etkiye sahip oldu,u ve ta'!ma güü yükü seviyesinde k!r!lman!n e,ilmeden dolay! olsa bile çerçevenin yatay deplasman!n! yakla'!k olarak % artt!rd!,!n! elde etmi'lerdir Al-Shaikh ve Al-Zaid (1993), tekil yük etkisi alt!ndaki basit mesnetli betonarme kiri'lerin etkili atalet momentlerinin hesab!nda donat! oranlar!n!n etkisini inelemi'lerdir. De,i'ik donat! oranlar!na sahip kiri'ler üzerine yapt!klar! deneysel çal!'ma sonuçlar!yla Branson un (1963) yapt!,! çal!'malar netiesinde ortaya ç!kard!,! ve ACI taraf!ndan da benimsenen etkili atalet momenti denklemlerinin ortaya ç!kard!,! sonuçlar! kars!la't!rm!'lar ve önemli farklar oldu,unu gözlemlemi'lerdir. Branson un önerdi,i etkili atalet momenti denklemindeki p katsay!s!n!n yapt!klar! deneysel çal!'ma sonuçlar!n!n de,erlendirmesinden, kesitteki donat! oran!na ba,l! olarak, m=3-.8 K (.3) 'eklinde ifade etmi'lerdir. Bu e'itlikteki K kesitteki donat! oran!n! gösteren de,erdir. Çal!'malar!nda ayr!a tekil yük etkisi alt!ndaki basit mesnetli betonarme kiri'lerin etkili atalet momentlerinin hesab!nda yeni bir model geli'tirmi'lerdir. Bu modelde etkili atalet momentini, 9

25 . ÖNCEK ÇAIMAAR lker Fatih KARA m m r r I eff = I1+ 1 I (.4) 'eklinde çatlama uzunlu,una ( r ) ve kesitteki donat! oran!na göre de,i'en bir katsay!ya (m') ba,l! olarak ifade etmi'lerdir. Yukar!daki denklemdeki r, M momentinin çatlamay! meydana getiren M r momentini a'mas! halinde çatlam!' bölge uzunlu,unu, eleman!n boyunu, I 1 ve I ise s!ras! ile brüt ve çatlam!' beton kesitin atalet momentini ifade etmektedirler. Bu e'itlikteki m' de,eri ise M m'=.8 M r (.5) olarak belirtilmi' olup, bu e'itlikteki M r ve M çatlama an!ndaki ve verilen yük düzeyindeki ilgili kesitlerdeki e,ilme momenti de,erlerini göstermektedir. Tezan ve ark. (1995), yatay ve dü'ey yükler etkisi alt!ndaki betonarme yap!larda olu'an hasarlar!n kontrolünü inelemeye yönelik olarak bir çal!'ma geli'tirmi'lerdir. Çal!'malar!nda betonarme çerçevelerde olu'an kat ötelemelerine ba,l! olarak çe'itli ülkelerin deprem yönetmeliklerindeki göreli kat deplasmanlar!na göre hasar kontrolünü yapm!'lard!r. Kat ötelemelerine getirilen s!n!rland!rman!n ta'!y!! olmayan bina elemanlar!nda olu'abileek hasarlar! önlemeye yönelik oldu,unu ve bu göreli kat deplasmanlar!n!n perde gibi rijit yap! elemanlar! ara!l!,! ile engellenmedi,i zaman ta'!y!! olmayan elemanlarda hasarlar!n olu'abilee,ini çal!'ma sonuçlar!ndan elde etmi'lerdir. Bununla birlikte ta'!y!! olmayan elemanlardaki hasarlar! kontrol etmeye yönelik hasar kontrol endeksi ve deplasman kriteri de,erini elde etmi'lerdir. Polak (1997) çal!'mas!nda betonarme plaklarda olu'an deplasmanlar! elde etmek için sonlu elemanlar metoduna dayal! basit bir yöntem geli'tirmi'tir. Çatlamalardan sonra elemanlar!n etkili atalet momentlerinin hesab!nda Branson (1963) taraf!ndan önerilen denklem kullan!lm!' olup, eleman rijitlik matrisinin elde edilebilmesi için, olu'turulan denklemlerin çözümlenmesinde gauss integrasyon yöntemi kullan!lm!'t!r. Çal!'mas!nda literatürde mevut olan ve deneysel çal!'mas! 1

26 . ÖNCEK ÇAIMAAR lker Fatih KARA yap!lm!' gerek yükleme gerekse s!n!r 'artlar! bak!m!ndan de,i'ik özellikteki plaklar! geli'tirdi,i yöntem ara!l!,! ile çözümlemi' ve elde etti,i sonuçlar! deneysel sonuçlarla kar'!la't!rm!'t!r. Betonarme plaklar!n analizine yönelik geli'tirilen yöntemin sonlu elemanlar yöntemiyle birle'tirilmesinin oldukça kolay oldu,u görülmü'tür. Shuraim (1997) betonarme çerçevelerin yatay yüklere kar'! davran!'lar!n! belirlemek ve dayan!mlar!n! elde etmek ama!yla sonlu elemanlar yöntemine dayanan lineer olamayan bir analiz yöntemi geli'tirmi' ve bu yönteme dayal! olarak bir bilgisayar program! olu'turmu'tur. Analizde malzemenin lineer olmayan davran!'! ile birlikte geometrik nonlineerlik etkileri göz önünde bulundurmu'tur. Çal!'mas!nda literatürde mevut olan ve deneysel çal!'mas! yap!lm!' betonarme çerçeve örne,ini geli'tirdi,i bilgisayar program! ara!l!,! ile çözümlemi' ve gerek ta'!ma güü de,erlerini gerekse yük deformasyon ili'kisini deneysel sonuçlarla uyum içerisinde elde etmi'tir. Geli'tirdi,i yönteme ba,l! olarak yük deformasyon ili'kisini betonarme çerçevenin ta'!ma güü yükünün %8 oldu,u düzeye kadar deneysel sonuçlarla uyum içerisinde elde etmi'tir. Ayn! 'ekilde elde etti,i ta'!ma güü yükü de,eri ise deneysel sonuçlardan elde edilen de,erin %9 sine kar'!l!k gelmektedir. Çal!'mas!nda ayr!a de,i'ik yükleme ve donat! düzeylerine göre olu'turulan betonarme çerçevelerde dayan!m, süneklilik, momentlerin yeniden da,!l!m!, eksenel kuvvet ve yatay rijitlilik etkilerini ineleyeek 'ekilde parametrik bir çal!'ma yapm!'lard!r. Elde ettikleri sonuçlara göre tüm çerçevelerde ba'lang!çta tasarlanan ta'!ma güü yükü de,erlerine göre daha fazla ta'!ma güü de,erleri edilmi' ve ve bu durumun kiri'ler tasarlan!rken eksenel kuvvet etkisinin ihmal edilmesinden ve tasar!m a'amas!nda momentlerin yeniden da,!l!m!n!n göz önünde bulundurulmamas!ndan kaynaklanabilee,ini ifade etmi'lerdir. Parametrik çal!'mada ayr!a çerçeveye uygulanan yükün ba'lang!çtan ta'!ma güü yüküne eri'mesine kadar, çatlaklar!n olu'mas!, geli'mesi ve ilerlemesiyle birlikte kiri' elemanlarda olu'an momentlerin da,!l!m! inelenmi'tir. Bununla birlikte eksenel kuvvetin elemanlar!n ve çerçevenin ta'!ma güü yükü de,erleri üzerine olan etkisini de inelemi'ler ve eksenel bas!nç kuvvetinin elemanlar!n e,ilme rijitli,ini azaltt!,!n! elde etmi'lerdir. Kesitte di,er yüklemelerden dolay! çekme 'ekil de,i'tirmesi 11

27 . ÖNCEK ÇAIMAAR lker Fatih KARA olu'mas! halinde eksenel bas!nç etkisinin bu çekme 'ekil de,i'tirmesinden dolay! çatlak olu'umunu geiktirdi,ini ve eksenel bas!nç kuvvetinin bu etkisinin çerçevenin ta'!ma güü yükünü artt!rd!,!n! elde etmi'lerdir. Ayr!a elemanlar!n e,ilme rijitli,i de,erinin uzunluklar! boyuna büyük de,i'imler gösterdi,ini ve çerçeve ta'!ma güüne eri'ineye kadar elemanlar!n e,ilme rijitli,inde büyük azalamlar olu'tu,unu elde etmi'lerdir. Kesitteki donat! düzeyinin de eleman!n e,ilme rijitli,i de,erini önemli dereede etkiledi,i sonuuna varm!'lard!r. Çal!'mas!nda ayr!a lineer analizden elde etti,i yatay rijitlilikle nonlineer analizden elde edilen yatay rijitlili,i çerçeveye uygulanan yatay yük düzeyinin artmas!na ba,l! olarak kar'!la't!rm!' ve yatay rijitlili,in yükün artmas!na ba,l! olarak azald!,!n!, betonarme çerçeve ta'!ma güüne ula't!,!nda ise minimum de,ere ula't!,!n! elde etmi'tir. Bununla birlikte eksenel yükün yatay rijitlili,e olumlu katk! yapt!,!n! ve eksenel kuvvetin daha yüksek düzeyde bulundu,u çerçevelerde daha büyük yatay rijitlilik de,eri elde etmi'tir. Çal!'malar!nda ayr!a ACI taraf!ndan önerilen e,ilme rijitlikleri temel al!narak yap!lan analizler sonuu elde edilen yatay rijitlilikle nonlineer analiz sonuu elde edilen yatay rijitlilik de,erlerini kar'!la't!rm!'t!r. ACI taraf!ndan önerilen kabullere göre elde edilen de,erler aras!nda büyük farkl!l!klar olu'tu,unu ve yatay rijitlilik de,erlerinin elde edilebilmesi için sadee bir kabulün göz önünde bulundurularak hesaplar!n yap!lmas!n!n do,ru olamayaa,!n! ifade etmi'lerdir. Ning ve ark. (1999) çal!'malar!nda yatay ve dü'ey yükler etkisi alt!ndaki betonarme perdelerin davran!'lar!n! belirlemeye yönelik olarak analitik bir yöntem geli'tirmi'lerdir. Perde elemanlar!n çatlamadan sonraki etkili atalet momentlerini olas!l!,a dayal! etkili rijitlik yöntemiyle elde etmi'lerdir. Çal!'mada geli'tirdikleri analitik yöntem, etkili rijitlik modeli ile sonlu elemanlar yöntemini birle'tiren iteratif bir yönteme dayand!r!lm!'t!r. Çal!'malar!nda yatay ve dü'ey yükler etkisi alt!ndaki gerek içerisinde bulunan donat! düzeyi gerekse uygulanan dü'ey gerilmelerle, yüksekli,inin geni'li,ine olan oran! yönünden farkl!l!klar gösteren perde elemanlar!n! deneysel olarak yüklemeye tabii tutmu'lard!r. Deneysel sonuçlarla geli'tirdikleri yöntemden elde ettikleri sonuçlar!n kar'!la't!r!lmas!ndan perde elemanlara etkiyen yatay yük düzeyinin ta'!ma güü yükünün %5 sinden fazla oldu,u durumlarda gerek e,ilmeden dolay! olu'an deplasmanlar! gerekse e,ilme 1

28 . ÖNCEK ÇAIMAAR lker Fatih KARA rijitli,indeki azalmalar! deneysel sonuçlarla uyum içerisinde elde etmi'lerdir. Kayma deformasyonlar!n!n oldukça önemli düzeyde oldu,u yüksekli,i az olan perdelerde bile deplasmanlar! deneysel sonuçlarla uyum içerisinde elde etmi'lerdir. Çal!'ma sonuçlar!ndan ayr!a kesme-e,ilme çatlaklar!n!n perde elemanlar!n!n e,ilme rijitli,ini azaltt!,!n! ve buna ba,l! olarak deplasmanlar!n artt!,!n! gerek geli'tirdikleri yöntem gerekse deneysel sonuçlardan elde etmi'lerdir. Ayr!a donat! düzeyindeki ve dü'ey yük seviyesindeki art!'!n perde dayan!m!n! önemli ölçüde artt!rd!,! sonuuna varm!'lard!r. Chan ve ark. () yatay ve dü'ey yükler etkisi alt!nda betonarme yap! içerisindeki elemanlarda olu'an çatlamalar!n etkisini göz önünde bulunduran ve genel bir yöntem olan olas!l!,a dayal! etkili rijitlik modelini geli'tirmi'lerdir. Bu modelde etkili atalet momentlerini, yatay ve dü'ey yükler etkisi alt!ndaki betonarme yap!da, elemanlarda olu'an moment diyagram!ndaki çatlayan ve çatlamayan bölge alanlar!na ba,l! olaak 'ekilde elde etmi'lerdir. Çal!'malar!nda ayr!a çok katl! betonarme yap!lar!n analizi için yük art!m metodu ve direkt rijitlik yöntemi olmak üzere iki farkl! analiz algoritmas! geli'tirmi'lerdir. Geli'tirilen analiz yöntemleri olas!l!,a dayal! etkili rijitlik modeli ile sonlu elemanlar metodunu birle'tiren iteratif yöntemlere dayand!r!lm!'t!r. Analizlerde özellikle çatlamalardan sonra betonarme yap!n!n davran!'! üzerinde önemli bir etkiye sahip olabileek kayma deformasyonlar! etkisi ise göz önünde bulundurulmam!'t!r. Çal!'malar!nda yatay ve dü'ey yükler etkisi alt!ndaki iki katl! tek aç!kl!kl! betonarme bir çerçeveyi de deneysel olarak yüklemeye tabii tutmu'lard!r. Geli'tirdikleri analiz yöntemlerine dayal! olarak elde ettikleri yatay deplasmanlar! kullan!labilirlik yük düzeyinde deneysel sonuçlarla uyum içerisinde elde etmi'lerdir. Servis yükleri düzeyinden sonra, betonarme çerçevenin ta'!ma güüne de yakla'!ld!kça, teorik sonuçlarla deneysel sonuçlar aras!nda büyük farkl!l!klar elde etmi'lerdir. Tanr!kulu ve ark. (), kiri'lerdeki çatlamalar! göz önünde bulundurarak betonarme çerçevelerin iki boyutlu analizi için analitik bir yöntem bir yöntem geli'tirmi' ve bu yönteme dayal! olarak bir bilgisayar program! olu'turmu'lard!r. Geli'tirdikleri yöntemde formülasyonlar! rijitlik matrisi yöntemine dayand!rarak olu'turmu'lard!r. Analizde kayma deformasyonlar!n!n etkisini de hesaba katarak 13

29 . ÖNCEK ÇAIMAAR lker Fatih KARA çatlayan elemanlar!n etkili atalet momentlerinin hesab!nda ACI ve CEB modellerini etkili kayma modüllerinin hesab!nda ise literatürde mevut olan de,i'ik yöntemleri kullanm!'lard!r. Çatlaman!n düzgün yay!l! yük ve ara tekil yük etkisi alt!ndaki kiri' elemanlarda olu'tu,unu kolonlarda ise lineer elastik modelin geçerli oldu,unu kabul etmi'lerdir. Oysaki yatay yükler etkisi alt!ndaki betonarme çerçevelerde gerek yatay deplasmanlar!n gerekse ikini mertebe momentlerinin hesab!nda kolonlarda çatlamalardan sonra olu'aak etkili e,ilme ve kayma rijitlikleri büyük bir öneme sahip olmakta ve analizlerde kolonlarda da olu'an çatlamalar!n göz önünde bulundurulmas! sonuçlar!n daha gerçekçi bir 'ekilde elde edilebilmesi aç!s!ndan önemli olmaktad!r. Akso,an O. ve Erdem H. (1) üç boyutlu çerçevelerin analizinde ba,lant!lar!n nonlineer davran!'!n! ve çubuklardaki eksenel kuvvetler ve dü,ümlerin yerde,i'tirmesi (P-O etkisi) nedeniyle olu'an ikini mertebe etkilerini birlikte göz önünde bulundurarak inelemi'lerdir. Çal!'malar!nda, ba,lant!lar!n nonlineer M-P r ba,!nt!s! için Rihard modelini kullanarak malzeme davran!'!n!n lineer elastik oldu,unu kabul etmi'lerdir. kini mertebe analize ait tanjant rijitlik matrisini, çubuk eleman!n moment-e,rilik ili'kisini idare eden lineer difransiyel denklemin eksenel kuvvet ve yar! rijitlik etkileri de göz önünde bulundurarak s!n!r 'artlar! için çözümünden elde etmi'lerdir. Nonlineer denge denklemlerinin çözümünde ad!m ad!m yükleme ile iterasyon yöntemini kullanm!'lard!r. Çal!'ma sonuunda, ba,lant! davran!'!n!n gerçekçi olarak tan!mlanmas!n!n ve eksenel kuvvetlerin e,ilme rijitliklerine ve e,ilme momentlerinin eksenel rijitliklere etkilerinin hesaba kat!lmas!n!n güvenilir sonuçlar!n elde edilmesi için önemli olaa,!n! elde etmi'lerdir. Tikka (5), çal!'mas!nda yatay ve dü'ey yükler etkisi alt!ndaki düzlemsel betonarme çerçevelerde yük deformasyon ili'kisini ve dayan!m! elde etmek ama!yla malzeme nonlineerli,i ve geometrik nonlineerlik etkileri göz önünde bulundurarak lineer olmayan bir analiz yöntemi geli'tirmi' ve bu yönteme dayal! olarak bir bilgisayar program! olu'turmu'tur. Betonun gerilme birim 'ekil de,i'tirme ili'kisi için Kent ve Park modelini kullanm!' olup kayma deformasyonlar! etkisini analizde göz önünde bulundurmam!'t!r. Çal!'mas!nda literatürde mevut olan ve deneysel çal!'malar! yap!lm!', gerek beton dayan!m! gerekse kolonlar!n narinlik oranlar! 14

30 . ÖNCEK ÇAIMAAR lker Fatih KARA bak!m!ndan farkl!l!klar gösteren betonarme çerçeve örneklerinden elde edilen yük deformasyon ili'kisi ve dayan!m de,erlerini geli'tirdi,i bilgisayar program!ndan elde etti,i sonuçlarla kar'!la't!rm!'t!r. Gerek dayan!m de,erlerini gerekse yük deformasyon e,rilerini belirli bir yakla'!kl!kla deneysel sonuçlarla uyum içerisinde elde etmi'tir. Çal!'mas!nda ayr!a kolonlar!n narinlik oran!n!n, betonun dayan!m!n!n, kolonlardaki eksantiritenin ve elemanlardaki donat! düzeylerinin çerçevelerin dayan!m! üzerine olan etkisini ara't!rm!'t!r. Chan ve ark. (5), betonarme çerçevelerin analizinde çatlamalar!n etkisini göz önünde bulunduran analitik bir yöntem geli'tirmi'lerdir. Çatlamalar!n olu'mas!ndan sonra kiri', kolon ve perde elemanlar!n!n etkili atalet momentlerini olas!l!,a dayal! etkili rijitlik modeli ile elde etmi'lerdir. Bu modelde etkili atalet momentlerini, yatay ve dü'ey yükler etkisi alt!nda yap!da betonarme elemanlarda olu'an moment diyagram!ndaki çatlayan ve çatlamayan bölge alanlar!na ba,l! olaak 'ekilde elde etmi'lerdir. Geli'tirilen yöntem sonlu elemanlar metodu ile etkili rijitlik modelini yük art!m metodu ile birle'tiren iteratif bir yönteme dayand!r!lm!'t!r. Çal!'malar!nda ayr!a yatay ve dü'ey yükler etkisi alt!ndaki iki farkl! betonarme çerçeve örne,ini dü'ey yükler sabit kalmak üzere artan yatay yükler etkisi alt!nda deneysel olarak yüklemeye tabii tutmu'lard!r. Geli'tirdikleri yönteme dayal! olarak elde ettikleri sonuçlar ile deneysel sonuçlar!n kar'!la't!r!lmas!ndan, kullan!labilirlik yük düzeyinde çerçevede olu'an yatay deplasmanlarla, elemanlar!n çatlama s!ras!n! ve çatlamay! olu'turan yük de,erini deneysel sonuçlarla uyum içerisinde elde etmi'lerdir. Ayr!a deneysel olarak elde edilen yatay deplasmanlar!n lineer analiz sonuu elde edilen yatay deplasmanlara göre oldukça büyük de,i'imler gösterdi,ini gözlemlemi'lerdir. Dündar ve Kara (6) çal!'malar!nda kiri' ve kolonlarda olu'an çatlamalar ve eksenel kuvvetler nedeniyle olu'an ikini mertebe etkileri göz önünde bulundurularak ta'!y!! sistemi çerçevelerden olu'an betonarme yap!lar!n üç boyutlu analizi için bir bilgisayar program! geli'tirilmi'tir. Çal!'malar!nda formülasyonlar! rijitlik matrisi yöntemine dayand!rarak olu'turmu'lard!r. Yap!ya etkiyen yatay ve dü'ey yüklerden dolay! kiri' ve kolon elemanlar!n!n çatlamas! halinde etkili atalet momentlerinin hesab!nda olas!l!,a dayal! etkili rijitlik modelini kullanm!'lard!r. 15

31 . ÖNCEK ÇAIMAAR lker Fatih KARA Geli'tirdikleri bilgisayar program! ara!l!,! ile gerek iki boyutlu gerekse üç boyutlu betonarme çerçeve örneklerinin çözümlenmesinden, çatlamalar ve ikini mertebe etkiler göz önünde bulundurularak elde edilen yatay deplasmanlar!n lineer analiz sonuu elde edilen yatay deplasmanlara göre yatay yük düzeyinin artmas!na ba,l! olarak büyük de,i'imler gösterdi,ini elde etmi'lerdir. Çal!'malar!nda ayr!a betonarme çerçeveye uygulanan yatay yükün artmas!na ba,l! olarak elemanlar!n e,ilme rijitliklerinde çatlamalar!n etkisiyle büyük azalmalar olu'tu,unu elde etmi'lerdir. Dündar ve Kara (7), kiri' ve kolon elemanlardaki çatlamalar! göz önünde bulundurarak betonarme çerçevelerin üç boyutlu analizi geli'tirdikleri analitik yönteme dayal! olarak bir bilgisayar program! olu'turmu'lard!r. Geli'tirdikleri yöntemde formülasyonlar! sonua daha çabuk ve kolay ula'!labilmesi için rijitlik matrisi yöntemine dayand!rarak olu'turmu'lard!r. Çal!'malar!nda betonarme yap!ya etkiyen yatay ve dü'ey yüklerden dolay! kiri' ve kolon elemanlar!n!n çatlamas! halinde etkili atalet momentlerinin hesab!nda ACI, CEB ve olas!l!,a dayal! etkili rijitlik modellerini kullanm!'lard!r. Analizde çatlamalardan sonra betonarme yap!n!n davran!'! üzerinde önemli bir etkiye sahip olabileek kayma deformasyonlar! etkisini de göz önünde bulundurmu' olup etkili kayma modüllerinin hesab!nda ise literatürde mevut olan de,i'ik yöntemleri kullanm!'lard!r. Geli'tirdikleri yöntemde betonarme çerçeveye uygulana yüklere ba,l! olarak elemanlardaki çatlamalar!n olu'um s!ras! ve elemanlar!n e,ilme rijitli,inde olu'an de,i'imleri de elde etmi'lerdir. Çal!'malar!nda ayr!a yatay ve dü'ey yükler etkisi alt!ndaki betonarme yap!da kayma deformasyonlar!n!n yatay deplasmanlar üzerine olan etkisini de inelemi'lerdir. 16

32 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA 3. MATERYA ve METOD 3.1. Giri Deprem ve rüzgar gibi yatay yüklerle birlikte dü#ey yükler etkisi alt%ndaki betonarme yap%larda, elemanlarda olu#an çatlamalar e+ilme ve kayma rijitliklerinde önemli azalmalar meydana getirmekte ve bu etkiler de deplasmanlar%n artmas%na ve iç kuvvetlerin yeniden da+%l%m%na neden olarak yap%n%n davran%#%n% önemli ölçüde etkileyebilmektedirler. Elemanlardaki eksenel kuvvetler ve e+ilme momentlerinin birbirlerinin rijitliklerini etkilemesi ve dü+ümlerin yükleme esas%na göre yer de+i#tirmesi nedeniyle olu#an geometrik nonlineerlik etkilerin analizlerde göz önünde bulundurulmas% da yap% davran%#%n%n daha gerçekçi bir #ekilde elde edilebilmesi aç%s%ndan önemli olmaktad%r. Bu çal%#mada bu amaçla kiri# ve kolon elemanlarda olu#an çatlamalar ve/veya geometrik nonlineerlik etkiler göz önünde bulundurularak betonarme çerçevelerin üç boyutlu analizine yönelik analitik yöntemler geli#tirilmi# ve bu yöntemlere dayal% olarak bilgisayar programlar% olu#turulmu#tur. Bu bölümde ilk etapta çatlamalar%n olu#mas%yla birlikte elemanlar%n e+ilme rijitli+inde olu#an de+i#imler irdeleneek ve çatlamalardan sonra gerek e+ilme gerekse kayma rijitli+i için daha öneden geli#tirilen modellere ba+l% olarak betonarme çerçevelerin rijit diyafram modeli ile üç boyutlu analizi için geli#tirilen analitik yöntemde formülasyonlar%n olu#turulmas%na ayr%nt%l% bir #ekilde yer verileektir. Daha sonra ise rijitlik matrisi yöntemine dayand%r%larak olu#turulan formülasyonlara göre geli#tirilen bilgisayar program%n%n yap%s% ayr%nt%l% bir #ekilde tan%t%laakt%r. Çatlamalar%n etkisiyle birlikte geometrik nonlineerlik etkiler göz önünde bulundurularak geli#tirilen yöntem ve bu yönteme dayal% olarak olu#turulan bilgisayar program% ise di+er bölümde ayr%nt%l% olarak irdeleneektir. 17

33 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA 3.. Çekme Rijitlemesi ve Moment Erilik likisi Betonarme ta#%y%% sistemin kendisinden beklenen i#levi yerine getirebilmesi için göçme durumuna kar#% belirli bir güvenli+e sahip olmas%n%n yan%nda, servis yükleri alt%nda büyük yer de+i#tirmeler yapmamas% hatta bu de+erlerin belli s%n%rlar%n alt%nda kalmas% gerekmektedir. Kiri# veya kolonlarda meydana gelen yer de+i#tirmelerin hesab%nda en önemli sorun moment e+rilik ili#kilerinin tan%mlanmas%ndan kaynaklanmaktad%r. Yatay ve dü#ey yükler etkisi alt%nda betonarme yap%da elemanlar%n herhangi bir kesitinde olu#an M momentinin çatlamay% meydana getiren M r momentinden küçük olmas% halinde kesit çatlamam%#t%r ve atalet momenti I 1 ile tan%mlanmaktad%r. Tamamen çatlam%# durumdaki kesit atalet momenti ise I ile tan%mlanmaktad%r. I g ile ifade edilen ve donat%n%n etkisini hesaba katmayan brüt beton kesitin atalet momenti ise I 1 ile tan%mlanan atalet momentinden küçük bir de+er almaktad%r. Yükler etkisi alt%ndaki elemanlar%n herhangi bir kesitinde olu#an M momentinin M r momentinden büyük olmas% halinde, kesitte çatlama meydana gelmi#tir ve bu bölgelerdeki kesitlerde atalet momentleri I 1 ve I s%n%r de+erleri aras%nda olan ve etkili atalet momenti (I eff ) olarak adland%r%lan bir atalet moment ile temsil edilmektedir. I eff e kar#% gelen kar#% gelen 1/r eff e+rili+i, I 1 ve I ye kar#% gelen 1/r 1 ve 1/r e+rilikleri aras%nda kalan bir de+erdir ve e+ilmeden öne düzlem olan kesitler e+ilmeden sonra da düzlem kal%r dü#ünesi göz önünde bulundurulursa 1 M = E Ieff r eff (3.1) e#itli+i sa+lanmaktad%r. :ekil 3.1 deki kesitlerde etkili atalet momenti ve e+rilikle ilgili bilgiler görülmektedir. I < I eff < I 1 1/r 1 < 1/ r eff < 1/r I 1 I g I 1/r 1 ekil 3.1. Çatlaman%n olu#tu+u ve olu#mad%+% durumlarda betonarme kesitlerin davran%#% 18 1/r

34 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA :ekil 3.1 den görüldü+ü gibi çatlaklar%n olu#mas% ile birlikte, çatlayan bölge çekme etkisinde çatlamam%# beton ile birbirinden ayr%lmakta ve bununla birlikte bu bölgedeki rijitlikte bir miktar art%# gözlenmektedir. Çekme bölgesindeki betondan kaynaklanan bu rijitlik art%#% olay%na çekme rijitle#mesi ad% verilmi# ve bu durumun eleman üzerindeki etkisi :ekil 3. deki I 1, I, I g ve I eff atalet momenti de+erlerine ba+l% olarak moment e+rilik ili#kisi grafi+inden görülmektedir. M 1 g I eff 1 E I 1 1 E I M r 1/r ekil 3.. Betonarme kesitlerde moment e+rilik ili#kisi :ekilden, M momentinin çatlamay% meydana getiren M r momentinden büyük olmas% halinde beton kesitin gerçek yani etkili olarak adland%r%lan davran%#% görülmekte ve bu davran%#% temsil eden e+ri s%n%r de+erler olan 1 ve do+rular% aras%nda olu#maktad%r. :ekildeki 1, ve g do+rular% matematiksel e#itliklerle ifade edilmekte olup, çatlama durumunda olu#an e+ri (I eff ) bu çal%#mada da kullan%lan ve deneysel çal%#ma sonuçlar%ndan elde edilen matematiksel modellerle ifade edilmi#lerdir. 19

35 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA 3.3. Formülasyonda Kullan(lan Modeller Etkili Eilme Rijitilii için Kullan(lan Modeller Yatay ve dü#ey yükler etkisi alt%ndaki yap%da kiri# ve kolon elemanlar%n%n çatlamas% halinde etkili atalet momenti de+erleri ACI, CEB ve olas%l%+a dayal% etkili rijitlik modelleri taraf%ndan verilen (1), () ve (3) denklemleri ara%l%+% ile göz önünde bulundurularak analize dahil edilmi#lerdir. ACI Modeli: m m M r M r I eff = I1+ 1 I, M M M M r (3.a) I eff =I 1, M < M r (3.b) CEB Modeli: I eff 1@ M M r 1 I 1 + M M r 1 I 1, M M r (3.3a) I eff = I 1, M<M r (3.3b) Bu denklemlerdeki I 1 ve I s%ras% ile kesitin çatlamadan öneki ve tamamen çatlam%# haldeki atalet momenti de+erleridir. Yine ayn% denklemlerde geçen 1. yüklemeye ve donat% özelliklerine ba+l% olaak #ekilde de+i#mekte ve yüksek aderansl% donat% çeli+i ve ilk yükleme durumlar%nda bu de+erin ( 1. ).8 olarak al%nmas% CEB taraf%ndan önerilmektedir. Bu e#itliklerde ayr%a deneysel sonuçlarla uyumlu olaak #ekilde m=4 olarak al%nmaktad%r.

36 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA Olas%l%+a Dayal% Etkili Rijitlik Modeli: Yap%ya etkiyen yüklerden dolay% çatlayan kiri# ve kolon elemanlar%n%n etkili atalet momenti de+erleri bu elemanlarda olu#an moment diyagram%ndaki çatlayan ve çatlamayan bölge alanlar%n%n toplam alana oran%na ba+l% olaak #ekilde elde edilerek analize dahil edilmi#lerdir (:ekil 3.3.). iteratürde olas%l%+a dayal% etkili rijitlik #eklinde de belirtilen bu yöntemde etkili atalet momentleri (3.4) denklemlerindeki gibi elde edilmektedir. A A = A1 + A = M(x) < M M(x r unr ) = A3 = M(x) M M(x r r ) A = A r + A unr (3.4a) (3.4b) (3.4) P P A unr < r (3.4d) A [ M(x) M ] unr = [ M(x) M ] r r = I = P I + P eff unr 1 r I A r A (3.4e) (3.4f) A A 1 M r A 3 M maks. M(x) ekil 3.3. Yükler etkisi alt%ndaki basit mesnetli bir kiri#te e+ilme momentinden dolay% olu#an çatlayan ve çatlamayan bölgeler M r (3.4) denklemlerdeki P unr bir kiri# veya kolon eleman%nda olu#an moment da+%l%m%na ba+l% olarak M momentinin M r momentinden küçük olma olas%l%+%n%, P r ise M momentinin M r momentini a#ma olas%l%+%n% yani elemana ait kesitlerin çatlama 1

37 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA olas%l%+%n% ifade etmektedir. (3.), (3.3) ve (3.4) e#itliklerindeki M, ilgili kesitteki e+ilme momentini M r ise çatlama an%ndaki e+ilme momentini ifade etmekte olup, ( f ) r v M r = + y t I 1 (3.5) #eklinde her iterasyon sonuunda elde edilen eksenel yük düzeyine ba+l% olarak de+i#en formda hesaplanmaktad%r. (3.6) denklemlerindeki f r, betonun e+ilmedeki çekme dayan%m%n%, y t kesitin en alt yüzünden a+%rl%k merkezine olan uzakl%+%n%, F v ise eksenel bas%nç gerilmesini ifade eden de+erlerdir. ACI ve CEB modelleri taraf%ndan verilen denklemler genellikle kiri#lerin etkili atalet momentlerinin elde edilmesinde kullan%lmakta olup, bu çal%#mada çatlama momenti M r nin hesaplanmas%nda eksenel yük de+eri göz önünde bulundurularak kolonlar için de kullan%lm%#t%r. Bununla birlikte kiri#lerdeki eksenel yük düzeyi her ne kadar kolonlara göre çok daha dü#ük düzeyde de olsa kiri#lerin M r momentinin hesaplanmas%nda bu elemanlarda olu#abileek eksenel kuvvet etkisi de göz önünde bulundurulmu#tur. ACI ve CEB modelleri inelendi+inde formülasyonlarda ve kullan%lan katsay%larda farkl%l%klar olmas%na kar#%n baz% de+erlerin ortak oldu+u görülmektedir. Bu de+erler ortak bir e#itli+in de+i#kenleri olarak tan%mlan%p, çatlama olay%n% ifade eden 1 E I eff = 1 E I M I 1 Fts,, M r I1 (3.6) #eklinde bir denklem elde edilmektedir. Bu denklemdeki F ts çekme rijitle#mesi fonksiyonu olarak adland%r%lan ve M/M r, I /I 1 ve modellere ait katsay%lar% ifade eden G de+erlerine ba+l% boyutsuz bir büyüklüktür. G katsay%s% ACI modelinde p, CEB modelinde 1.@ de+erlerine kar#%l%k gelmektedir. Bu modeller için çekme rijitle#mesi fonksiyonlar% Çizelge 3.1 de görülmektedir.

38 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA Çizelge 3.1. Etkili e+ime rijitli+inde kullan%lan modeller için çekme rijitle#mesi fonksiyonlar% MODE ÇEKME RJTEMES FONKSYONU M r I CEB Modeli F ts = 1 1 M I1 ACI Modeli F ts = M M r M 1+ M r p I1 1 I p I1 1 I Eleman yük vektörü ve rijitlik matrisinin elde edilmesinde kullan%lan formülasyonlar içerisinde, etkili e+ilme rijitli+i hesab%nda ACI ve CEB modellerinin göz önünde bulundurulmas% halinde, normal ve çatlak durumdaki analizlerde meydana gelen farkl%l%k yukar%da sözü edilen modellerin tarifledi+i çekme rijitle#mesi fonksiyonlar%na ba+l%d%r. Geli#tirilen programlarda gerek yaz%l%m kolayl%+% sa+lamak, gerekse i#lem fazlal%+%n% gidermek ama% ile çatlak olu#mayan bölgelerde de normal de+erlendirme sonuçlar%n% vereek bir çekme rijitle#mesi fonksiyonu tan%mlanabilir. Bu #ekilde elemanlarda, çatlayan ve çatlamayan bölgeler tespit edilip, bu bölgelere göre olu#turulaak çekme rijitle#mesi fonksiyonlar% kullan%larak eleman yük vektörleri ve rijitlik matrisleri elde edilebilir. Çekme rijitle#mesi fonksiyonu atalet momenti de+i#imlerini ifade etmekte olup, de+i#ken kesitli kiri#lerin yap%sal analizinde, atalet momentleri çekme rijitle#mesine benzer bir fonksiyon ile ifade edilebilir. Bu #ekilde olu#turulan fonksiyonlarla, kesiti de+i#en elemanlar içeren yap%lar%n analizi için bir yöntem geli#tirilebilir. 3

39 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA Etkili Kayma Rijitlii için Kullan(lan Modeller Elemanlardaki çatlamalar göz önünde bulundurularak geli#tirilen bu ilk yöntemde, özellikle çatlamalardan sonra yap% davran%#% üzerinde büyük bir öneme sahip olabileek kayma deformasyonlar% etkisi de hesaba kat%lm%#t%r. Elemanlar%n en alt yüzünde olu#an çekme #ekil de+i#tirmesi de+erinin, çatlama an%ndaki çekme #ekil de+i#tirmesi de+erini a#mas% halinde, etkili kayma modülleri literatürde mevut olan ve a#a+%daki denklemlerde görülen çe#itli modeller ara%l%+% ile analize dâhil edilmi#tir. Al Mahaidi Modeli: G =.4G J /J r, r (3.7a) G = G, < r (3.7b) Cedolin ve Dei Poli Modeli: G =.4 G (1-5 1 ), r (3.8) Yüzügüllü ve Snobrih Modeli: G =.5 G, r (3.9) Bu denklemlerdeki G, betonun elastik kayma modülünü, J ilgili kesitteki çekme #ekil de+i#tirmesini, J r ise çatlama an%ndaki çekme #ekil de+i#tirmesini ifade etmektedirler. Geli#tirilen bilgisayar programlar%nda her üç model de göz önünde bulundurulabilmektedir. Bu modeller inelendi+inde, etkili e+ilme rijitli+i hesab% için kullan%lan modellerdeki gibi, formülasyon ve katsay%larda farkl%l%klar olmas%na kar#%n 4

40 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA baz% de+erlerin ortak oldu+u görülmektedir. Bu de+erler bir öneki bölümde oldu+u gibi ortak bir e#itli+in de+i#kenleri olarak tan%mlan%p, çatlama olay%n% ifade eden ve kayma rijitli+i fonksiyonunu içeren (F ss ) G 1 A = F ss ( J /J ) G A r (3.1) #eklinde bir denklem elde edilmektedir. Farkl% modeller için kayma rijitli+i fonksiyonlar% Çizelge 3. den görülmektedir. Geli#tirilen bilgisayar programlar%nda yaz%l%m kolayl%+%n% sa+lamak ve i#lem fazlal%+%n% gidermek ama% ile çatlak olu#mayan bölgelerde de normal de+erlendirme sonuçlar%n% veren bir fonksiyon (F ss =1) yaz%labilir. Bu #ekilde olu#turulan fonksiyonlar yard%m% ile gerek çatlayan, gerekse çatlamayan bölgelerde kayma deformasyonlar% etkisi göz önünde bulundurularak, rijitlik matrisi ve yük vektörlerine katk%s% sa+lanmaktad%r. Model Al-Mahaidi Çizelge 3.. Farkl% modeller için etkili kayma rijitli+i fonksiyonlar% Cedolin ve Dei Poli Kayma Rijitli+i Fonksiyonlar. F ss = F ss = Yüzügüllü ve Shnobrih F ss = 4 / r ( 1 5 ) 3.4. Gelitirilen Analitik Yöntem Çatlamalar%n etkisi göz önünde bulundurularak betonarme çerçevelerin üç boyutlu analizi için bu çal%#mada geli#tirilen yöntemde, kiri# ve kolon elemanlarda çatlamalar olu#tuktan sonra meydana geleek uç kuvveti da+%l%m%n%n bilinmemesinden ve elemanlar%n çatlayan bölgelerindeki atalet momenti ve kayma modüllerinin de+i#iminin yap%daki iç kuvvet de+erlerinin yeniden da+%l%m%n% zorunlu k%lmas%ndan dolay% analizde iteratif bir yöntem uygulanarak çözüme gidilmi#tir. 5

41 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA teratif yöntemin gereklili+inden dolay% yatay ve dü#ey yükler etkisi alt%ndaki betonarme yap% ba#lang%çta lineer elastik model göz önünde bulundurularak çözümlenmektedir. Daha sonra lineer analiz sonuu elde edilen moment de+erlerine ba+l% olarak kiri# ve kolon elemanlarda olu#an çatlayan ve çatlamayan bölgeler belirlenmekte ve bu bölgelere ba+l% olarak bu çal%#mada geli#tirilen formülasyonlar %#%+% alt%nda esneklik katsay%lar% ile eleman rijitlik matrisi ve yük vektörü de+erleri elde edilmektedir. Sisteme ait gerekli dönü#üm ve çözümlemeler yap%ld%ktan sonra sistem deplasmanlar% ile her eleman%n uç kuvvetleri ile deplasmanlar% elde edilmektedir. Bu #ekilde birini iterasyon sonuu elde edilen uç kuvvetleri ile lineer analiz sonuu elde edilen uç kuvvetleri aras%nda daha öneden belirlenen yak%nsakl%k kriteri sa+lan%yorsa iterasyonlara son verilir. Aksi takdirde di+er iterasyonlara geçilir ve birbirini izleyen iki iterasyondaki uç kuvvetleri aras%nda yeterli yak%nsakl%k kriteri sa+lan%naya kadar i#lemelere ayn% #ekilde devam edilmektedir Temel Denklemler Kullan(larak Problemin Formülasyonu Betonarme yap%y% olu#turan çerçevelerin çubuk elemanlardan olu#tu+u kabul edilerek çubuklar%n aç%kl%klar% boyuna yerel z ekseni do+rultusundaki düzgün yay%l% yük ve ara tekil yükler etkisi alt%nda olabileekleri göz önünde bulundurulmu#tur (:ekil 3.4.). y z Z Y P P 1, d 1 P 5, d 5 P P 7, d P, d 6, d 6 P 1, d 1 7 P 4, d 4 P P 3, d 8, d 8 3 P 11,d 11 x P 9, d 9 P 1, d 1 a X ekil 3.4. Düzgün yay%l% yük ve ara tekil yüklerden dolay% bir elemanda olu#abileek uç deplasmanlar% ve bunlara kar#%l%k gelen kuvvetler 6

42 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA Bu çal%#mada, üç boyutlu analiz için rijit diyafram modelinin göz önünde bulundurulmas%ndan dolay% kiri# elemanlarda sadee yerel y ekseni do+rultusundaki e+ilme momentlerinden dolay% çatlama olu#maktad%r. Bununla birlikte kolonlarda ise yerel y ve z eksenleri do+rultusundaki e+ilme momentleri nedeniyle çatlama olu#abilee+i göz önünde bulunduruldu+undan, bir öneki bölümde verilen etkili atalet momenti denklemlerinde geçen I eff, M r, M, I 1, I ve etkili kayma modelleri denklemlerinde geçen J ve J r de+erleri, her iki eksene ait e+ilme ve kayma ile ilgili de+erlerdir. Geli#tirilen analitik yöntemde formülasyonlar sonua daha çabuk ve kolay ula#%labilmesi aç%s%ndan rijitlik matris yöntemine dayand%r%larak olu#turulmu#tur. Problemin formülasyonunda ilk etapta birim yüklemeler uygulanarak esneklik katsay%lar% elde edilmi# daha sonra ise uygunluk #artlar% ve denge denklemleri kullan%larak baz% bölgelerinde çatlama olu#abileek kiri# ve kolon elemanlar%n%n rijitlik matrisi ve yük vektörü de+erleri bulunmu#tur Esneklik Katsay(lar( ve Yük Vektörlerinin Elde Edilmesi Genel olarak üç boyutlu bir eleman için esneklik katsay%lar% konsol bir kiri# eleman%na ilgili yönlerde birim kuvvetler uygulan%larak elde edilmektedir (:ekil 3.5) z y x ekil 3.5. Konsol bir kiri#e uygulanan birim kuvvet yönleri Uygunluk denklemlerinden de faydalan%larak esneklik katsay%lar%n% a#a+%daki e#itlik matris formunda elde edilmektedir. içeren 7

43 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA f 11 f f 3 f f 3 33 f f f f P P P P P f99 P d d d = d d d (3.11) (3.11) ifadesindeki f ij, j do+rultusunda bir birimlik kuvvet uygulanmas% sonuu i do+rultusunda olu#an deplasman olup, a#a+%daki denklemden görüldü+ü gibi virtürel i# prensibinden yararlan%larak elde edilmektedir. f ij M = E zi I M zj M + E yi I M yj Vyi V + G A yj V s + G V A M s + G effz effy o zi zj bi M I bj Ni N j + dx (3.1) E A Bu e#itlikteki M zi, M zj, M yi, M yj, M bi, M bj, V zi, V zj, V yi, V yj, N i ve N j de+erleri, i ve j do+rultusunda bir birimlik kuvvet uygulanmas% sonuu olu#an e+ilme momenti, burulma momenti, kesme kuvveti ve normal kuvvet de+erleridir. Yine ayn% denklemdeki A, E, s, G I ve G ise, kesit alan%, elastisite modülü, #ekil katsay%s%, etkili kayma modülü, burulma atalet momenti ve elastik kayma modülü de+erleridir Yap%y% olu#turan elemanlar üzerine etkiyen düzgün yay%l% yük ve ara tekil yüklerden dolay% olu#an uç kuvvetleri uygunluk #artlar% ve denge denklemleri kullan%larak a#a+%daki e#itliklerdeki gibi bulunmaktad%rlar. P 7 = -(f 88 f 7 - f 78 f 8 ) / (f 77 f 88 f 78 f 87 ) P 8 = -(f 77 f 8 - f 78 f 7 ) / (f 77 f 88 f 78 f 87 ) P 1 = - (q +P+ P 7 ) P 1 = - (q / + P (-a) + P 7 + P 8 ) P 1 = P = P 3 = P 4 = P 5 = P 6 = P 9 = P 11 =. (3.13a) (3.13b) (3.13) (3.13d) (3.13e) Bu denklemlerdeki f i de+erleri d%# yüklerden dolay% i do+rultusunda olu#an deplasmanlar olup (3.14) ifadesindeki gibi virtürel i# prensibinden yararlan%larak hesaplanmaktad%r. 8

44 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA M f i = E yi I M effy Vzi V + s dx G A (3.14) Bu e#itlikteki M ve V de+erleri eleman%n yerel z ekseni do+rultusundaki d%# kuvvetlerden dolay% olu#an e+ilme momenti ve kesme kuvveti de+erleridir. Esneklik katsay%s% terimleri içerisinde bulunan e+ilme momenti, kesme kuvveti ve burulma momenti de+erleri ilgili yönlerde birim kuvvetler uygulanmas% sonuu a#a+%daki e#itliklerdeki gibi elde edilmektedir. M (x)=x ; V (x)=1 (3.15a) M 3 (x)=-1 ; V 3 (x)= (3.15b) M 7 (x)=-x ; V 7 (x)=1 (3.15) M 8 (x)=-1 ; V 8 (x)= (3.15d) M 9 (x)=-1 ; V 9 (x)= (3.15e) (3.14) denklemindeki e+ilme momenti ve kesme kuvveti de+erleri ise konsol bir kiri# eleman%na yerel z ekseni do+rultusundaki d%# kuvvetlerin uygulanmas% sonuu (3.16) ifadelerindeki gibi elde edilmektedir. q P z a y x ekil 3.6. Konsol bir kiri#e uygulanan d%# kuvvetler! q x " x " a M (x) = q x P (x a), a < x "! qx, " x " a V (x) = qx + P, a < x " (3.16a) (3.16b) 9

45 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA Analizde etkili e+ilme rijitli+i için ACI ve CEB modellerinin göz önünde bulundurulmas% halinde esneklik katsay%lar% f = 1 E f 3 = E f 33 = E f 77 = E f 78 = f 88 = E f 7 = 1 1 x s 1 dx + dx I A (3.17a) G effz ( x) dx I effz 1 I effz x I dx 1 effy 1 E x I effy 1 q E 1 I effy 3 s 1 dx + A G dx dx a dx (3.17b) (3.17) (3.17d) (3.17e) (3.17f) x qs x P x (x a) s P dx + dx dx dx I A + G E + I A (3.17g) G effy a effy a f 8 = q E x I effy dx + P E (x a) dx I a effy (3.17h) formunda elde edilmektedir. Etkili e+ilme rijitli+i hesab%nda olas%l%+a dayal% etkili rijitlik modelinin kullan%lmas% halinde ise esneklik katsay%lar% 3 f = 3E I effz f 3 = E I f 33 = E I effz s 1 + dx (3.18a) A G effz (3.18b) (3.18) 3

46 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA f 77 = 3E I 3 f 78 = E I f 88 = E I effy q f 7 = 8E I 4 effy effy effy s 1 + dx (3.18d) A G a (3.18e) (3.18f) q s x P 3 3 s P + dx ( a / 3a /) dx A G 3E I A (3.18g) G effy q P f 8 = + ( / + a / a) (3.18h) 6E I E I 3 effy effy a #eklinde elde edilmektedirler. ACI ve CEB modelleri göz önünde bulundurularak elde edilen denklemlerde, çatlaman%n olu#tu+u bölgeleri ve bu bölgelerdeki esneklik katsay%lar%n%n daha kolay hesap edilebilmesi için eleman%n sol mesnedinden uzakl%+%n%n eleman boyuna olan oran% # gibi boyutsuz büyüklükle ifade edilirse, (3.15) ve (3.16) ifadelerindeki e+ilme momenti ve kesme kuvveti de+erleri a#a+%daki e#itliklerdeki gibi elde edilmektedir. M 7 (#)=-# ; V 7 (#)=1 (3.19a) M 8 (#)=-1 ; V 8 (#)= (3.19b)! q M (V) = q ( V ) ( V ) P! q V, " V " a/ V (V) = q V + P, a/ < V " 1 " V " a/ ( V a), a/ < V " 1 (3.19) (3.19d) Bu denklemlerdeki e+ilme momenti ve kesme kuvveti de+erleri ile etkili e+ilme rijitli+i ve etkili kayma rijitli+ininin (3.6) ve (3.1) ifadelerindeki de+erleri, (3.17) e#itliklerinde yerlerine konulursa esneklik katsay%lar%, 31

47 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA 1z f = V ( 1 F ) dv + V dv E 3 1 I s 1 ts I1z Iz G A 1 I1z f 3 = ()( V 1 Fts )dv E I I E I 1z z I I 1z f 33 = ( V )( 1 F )dv 1z z 1 I I f 77 = V ( 1 F ) dv + V dv E 3 s 1 1y ts I1y y G A 1 I1y f 78 = ()( V 1 Fts )dv E I I E I 1y y I I 1y f 88 = ( V )( 1 F )dv 1y y ts ts (3.a) (3.b) (3.) (3.d) (3.e) (3.f) f 7 P + E I q = E I y a/ I I 1y y 1 I I 1y 1y y V 3 ( 1 F ) ts q s 1 dv + V F G A P s 1 ( V ( a/) V)( 1 F ) dv + V F dv (3.g) ts G ss A dv a/ ss 3 q 1 I P 1 1y I1 f 8 = ( V )( 1 F ) dv + ( V ( a/) V )( 1 F )dv E I I 1y y ts E I I 1 a/ ts (3.h) #eklinde elde edilmektedirler. Esneklik katsay%lar%n% elde etmek için kullan%lan yukar%daki denklemlerdeki # say%lar%n% ayr% ayr% integraller olarak dü#ünüp a#a+%daki gibi genel olarak sade bir formda ifade edebilir. 1 I I 1 # n 1 n + 1 ( 1 Fts ) d# = + Jn (3.1) 3

48 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA Bu e#itlikteki ilk terim 1/(n+1), çatlamam%# haldeki eleman%, ikini terim J n ise çatlak ile birlikte deformasyon kabiliyetindeki art%#% göstermektedir. ntegraller # lere göre parçalan%p üs de+erlerine n katsay%s% verilerek genelle#tirilmi#tir. J n olarak adland%r%lan ve çatlaktan kaynaklanan etkileri yani deformasyon kabiliyetindeki art%#lar% ifade eden denklem a#a+%daki formda yaz%labilir. J n = 1 V n I I 1 1 dv 1 V n I I 1 F ts dv (3.) Bu ifadedeki ilk terim, eleman%n tamamen çatlam%# olarak dü#ünüldü+ünde meydana gelen deformasyon kabiliyetindeki art%#%, ikini terim ise deformasyon kabiliyetinin çekme rijitle#mesine ba+l% azalmas%n% ifade etmektedir. Ayn% #ekilde, esneklik katsay%lar%n% elde etmek için kullan%lan (3.) denklemlerindeki kesme kuvvetinden kaynaklanan integral de+erleri de 1 n V Fss dv = R n (3.3) #eklinde ifade edilmektedir. Bu e#itlikteki R n, özellikle çatlayan bölgelerdeki kayma deformasyondan kaynaklanan art%#lar% göstermektedir. Kiri# ve kolon elemanlar%n%n çatlayan ve çatlamayan bölgelerindeki esneklik katsay%lar%n%n elde edilmesinde kullan%lan integral de+erleri her bölge için ayr% ayr% hesaplanmaktad%r. Çatlaman%n olu#tu+u bölgelerdeki etkili atalet mometleri ve etkili kayma modülü de+erleri e+ilme momentine ba+l% olarak de+i#ti+inden bu bölgelerdeki integral çözümleri nümerik integrasyondan faydalan%larak yap%lmaktad%r. Çatlak olu#mayan bölgelerde ise nümerik integrasyona gerek kalmamaktad%r. Bu #ekilde bütün bölgelerin esneklik katsay%lar%na etki ve katk%lar% sa+lanm%# olmaktad%r. Bilgisayar program% olu#turulurken yaz%l%m kolayl%+% aç%s%ndan esneklik katsay%lar%n% içeren ifadeler analizde etkili atalet momentlerinin hesab%nda ACI ve CEB modellerinin göz önünde bulundurulmas% halinde J n ve R n insiden 33

49 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA 3 s f = ++ ( 1 3J ) ( ) z R 3E I1z G A f = + ( 1 ) 3 J1z E I1z f += ( 1 ) 33 z E I J 1z s ( 1 3J ) ( ) 3 77 = y R 3E I1y G A f ++ (3.4a) (3.4b) (3.4) (3.4d) ( 1 ) 78 = J1y E I1y f + ( 1 ) f += f 88 y E I J 1y 7 q = 8E I q s + G A f 4 3 P ( 1+ 4J ) + ( a/) P s G A 6E I (3.4e) (3.4f) 3 [( + 6J ) a/( 3 3( a/) + 6J )] ( R ) + ( R ) (3.4g) 1 1y 3y 1y P 1 ( 1+ 3J ) + 1 ( a/) y ( + J ) a/( 1 a/) + 3 q 8 = y 1y Jy 6E I1y E I1 1y (3.5h) denklemlerindeki gibi elde edilmektedir. Etkili e+ilme rijitli+i hesab%nda olas%l%+a dayal% etkili rijitlik modelinin göz önünde bulundurulmas% halinde ise esneklik katsay%lar% R n insinden 3 s R 3 E I effz G A ( ) f += f f 3 33 = E I = E I effz effz (3.5a) (3.5b) (3.5) 34

50 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA 3 s f += f ( ) 77 R 3E Ieffy G A 78 = E I effy (3.5d) (3.5e) f 88 = E I effy (3.5f) f 7 q = 8E I q s + G A 4 effy + q s A a x G P s G A P dx + 3E I ( + a / 3a /) ( R ) + ( R ) (3.5g) 1 effy 3 3 q P f 8 = + ( / + a / a) (3.6h) 6E I E I 3 effy effy formunda elde edilmektedirler. Genel olarak bir kiri# veya kolon eleman%nda olu#abileek çatlayan ve çatlamayan bölgeler eleman%n mesnetlenme #ekline ve yük durumuna ba+l% olarak de+i#mektedir. Bir elemanda genel olarak olu#abileek bu bölgeler :ekil 3.7 de gösterilmi#tir. P q i a j M i M j M r M r M r M r , 3, 5 çatlayan bölgeler, 4 çatlamayan bölgeler ekil 3.7. Herhangi bir kiri# veya kolon eleman%nda genel olarak e+ilme momentinden dolay% olu#abileek çatlayan ve çatlamayan bölgeler 35

51 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA :ekilden görüldü+ü gibi 1, 3 ve 5 çatlayan, ve 4 çatlamayan bölgeleri ifade etmektedir. Bu bölgelerin s%n%rlar% boyutsuz bir büyüklük olan # i (i=1,6) ile belirtilmekte olup, bu de+erlerden # 1 =, # 6 =1 olmaktad%r. Bu bölgeler ayr% ayr% göz önünde bulundurularak, genel olarak ifade edilen J n ve R n de+erleri de integral formdan toplam forma getirilerek, a#a+%daki ifadeler elde edilmektedir. 5 n+ 1 n+ 1 I 5 1 # i+ 1 # i I1 n = 1 $ ts,n i+ 1 i= 1 I n + 1 i= 1 I [ G (# ) G ( )] J $ ts,n # i (3.6) 5 [ G (# ) G ( )] R = $ # (3.7) n i= 1 ss,n i+ 1 ss,n i (3.6) ifadesindeki G ts,n çekme rijitle#mesi fonksiyonuna ba+l% bir fonksiyon olup, aç%l%m% a#a+%daki denklemden görülmektedir. G ts, n = V n F ts dv (3.8) (3.7) denklemindeki G ss,n ise G ss, n = V n F ss dv (3.9) #eklinde kayma rijitli+i fonksiyonuna ba+l% bir fonksiyondur. Çatlaman%n olu#mad%+% bölgelerde bu fonksiyonlar%n kullan%lmas%na gerek yoktur. Fakat bilgisayar program%n%n olu#turulmas%nda gerek yaz%l%m kolayl%+%n% sa+lamak, gerekse i#lemlerin belirli bir düzende ilerlemesi için F ts =1-I /I 1 ve F ss =1 #eklinde uygun fonksiyonlar yaz%l%p normal analizle ayn% de+erler elde edilmektedir. Çatlayan bölgelerde ise Çizelge 3.1 ve Çizelge 3. de verilen fonksiyonlar kullan%lmaktad%r. 36

52 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA 3.6. Eleman Rijitlik Katsay(lar(n(n Elde Edilii Üç boyutlu bir eleman için (1x1) boyutundaki eleman rijitlik matrisi ise, (3.11) denklemindeki esneklik katsay%lar%n% içeren matrisin tersi al%narak ve denge denklemleri kullan%larak a#a+%daki denklemlerdeki gibi elde edilmektedir. k 11 = E A / k 44 = k 11 k 41 = -k 11 k = f 33 / (f f 33 f 3 f 3 ) k 3 = k 3 = - f 3 / (f f 33 f 3 f 3 ) k 33 = f / (f f 33 f 3 f 3 ) k 77 = f 88 / (f 77 f 88 f 87 f 78 ) k 78 = k 87 = - f 78 / (f 77 f 88 f 87 f 78 ) k 88 = f 77 / (f 77 f 88 f 87 f 78 ) k 99 = G I / k 5 = -k 55 = -k k 6 = -k 56 = -k 3 - k 5 k 53 = -k 3 k 63 = -k 33 - k 53 k 65 = -k 35 - k 55 k 66 = -k 36 k 56 k 17 = -k 11 = -k 77 k 17 = -k 11 = k 17 - k 87 k 18 = -k 78 k 18 = k 18 - k 88 k 11 = k 11 - k 81 k 1111 = k 99 k 119 = -k 99 k 1 = k 13 = k 17 = k 18 = k 19 =k 7 =k 8 = k 9 = k 37 = k 38 = k 39 = k 79 = k 89 = (3.3a) (3.3b) (3.3) (3.3d) (3.3e) (3.3f) (3.3g) (3.3h) (3.3i) (3.3j) (3.3k) (3.3l) (3.3m) (3.3n) (3.3o) (3.3p) (3.3q) (3.3r) (3.3s) (3.3t) (3.3u) (3.3v) (3.3y) (3.3z) 37

53 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA Sonuç olarak, k d + P = P (3.31) formunda elde edilmektedir. Bu e#itlikteki k (1x1), d (1x1), P (1x1) ve P (1x1) de+erleri eleman rijitlik matrisi, deplasman vektörü, d%# kuvvetlerden dolay% olu#an uç kuvvet vektörü ve sonuç uç kuvvet vektörü de+erleridir. Bu de+erler eleman eksen tak%m%nda (x,y,z) olup, transformasyon matrisi ara%l%+% ile global eksen tak%m%na (X,Y,Z) çevrilmektedirler Rijit Diyafram Modeli Yap%lar%n üç boyutlu analizi için geli#tirilen rijit diyafaram modelinde dö#emelerin düzlemi içerisinde sonsuz rijit oldu+u yani #ekil de+i#tirmedi+i kabul edilmektedir. Böylee dö#eme üzerinde seçilen bir Master Noktas% n%n birbirine dik iki yatay öteleme ve dö#eme düzlemine dik eksen etraf%nda dönme deplasmanlar%n%n bilinmesi durumunda, dö#eme üzerindeki di+er dü+ümlerin deplasmanlar%, master noktas% deplamanlar%na ba+l% olarak hesaplanabilmektedir (:ekil 3.8). Kolon, kiri# ve rijit diyafaram dö#emelerinden olu#an yap%larda her katta; 3*(Dü+üm Say%s%)+3 adet bilinmeyen deplasman bulunmaktad%r. Dolay%s% ile N katl% bir yap%da, Bilinmeyen say%s%=n*(3*j+3) (3.3) j: Kattaki dü+üm say%s% olaakt%r. :ekil 3.8 in inelenmesinden görülee+i gibi dö#emeye ait j noktas%ndaki deplasmanlar, master noktas% deplasmanlar% insinden d 3 = d 3 m (3.33a) 38

54 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA d 1 = d m 1 - d m 3 (y j - y m ) d = d m + d m 3 (x j - x m ) (3.33b) (3.33) ba+%nt%lar% ile hesaplanabilir. Dü+üm noktalar%na ait di+er deplasmanlar ise (3*j) dü+ümlerin iki yatay eksen etraf%ndaki dönme ve dü#ey eksen (z) do+rultusundaki öteleme deplasmanlar% olup, bu deplasmanlar master noktas% deplasmanlar%ndan ba+%ms%zd%r. Ayr%a, bu modelde kiri#ler rijit diyafram içinde kald%+%ndan bu elemanlarda eksenel deformasyon meydana gelmemektedir. Rijit diyafram modelinde yap%lan kabullerin sa+lad%+% en önemli avantaj, bilinmeyen say%s%nda büyük azalman%n sa+lanmas% ve çözümün kolayla#mas%d%r. d d 3 d 1 d 1 d d m j d 3 m d 1 m d 3 m m x m y j x m xj ekil 3.8. Rijit diyafaram modeli 39

55 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA 3.8. Rijit Diyafaram Modelinin Uygulanmas çin Elde Edilen Denklemler Elemanlarn kendi eksenlerine göre elde edilmi" olan rijitlik denklemi transformasyon matrisi aral( ile global koordinat sistemine çevrildikten sonra a"a(daki formda olu"maktadr. P' P' A B k' = k' AA BA k' k' AB BB d' d' A B (3.34) Bu denklemdeki k' AA (6x6), k' AB (6x6), k' BA (6x6), k' BB (6x6) ve d' A (6x1) ve d' B (6x1) de(erleri 5ekil 3.9 da gösterilen ilgili yönlerdeki global koordinat sisteminde elemanda olu"an rijitlik matrisi ve deplasman de(erleridir (i) X ekil 3.9. Herhangi bir elemanda global eksen takmnda ilgili yönlerde olu"an deplasmanlar (j) A=1-6 B=7-1 Z Y d' 1, d', d' 3, d' 4, d' 5 ve d' 6 deplasmanlarn içeren d' A vektörü global koordinat sisteminde olup, analizde kullanlan rijit diyafram modeli "( altnda i uu m i master noktas ve j uu m j master noktas deplasmanlarna (3.35) denklemlerindeki gibi ba(ldr. d' 1 = d' mi mi 1 (y i - y mi ) d' 3 d' = d' mi mi + (x i - x mi ) d' 3 mi d' 3 = d' 3 d' 4 = d' mj mj 1 (y j - y mj ) d' 3 (3.35a) (3.35b) (3.35) (3.35d) 4

56 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA d' 5 = d' mi + (x j - x mj ) d' 3 mj d' 6 = d' 3 mi (3.35e) (3.35f) Bu denklemlerdeki x i, y i ve x j, y j de(erleri elemann i ve j uunun x ve y mi koordinatlarn, d' (j) k elemann i (j) uunun ba(l oldu(u master noktasnn k nolu deplasmann (k=1,, 3) belirtmektedir. Bu ifadeler, matris formunda yazlrsa a"a(daki gibi bir e"itlik elde edilmi" olur. d' d' d' d' d' d' = 1 y x mi i y x 1 mi 1 1 y x mj j y x 1 j mj d' d' d' d' d' d' mi 1 mi mi 3 mj 1 mj mj 3 (3.36) Bu ifade kompakt formda ise, d' A = B d' m (3.37) "eklinde elde edilmektedir. Bu denklemdeki B i* i (i = 1,6), ilgili yönlerdeki deplasmanlar master noktas deplasmanlar insinden elde etmeye yarayan dönü"üm matrisini, d' m ise master noktas deplasmanlarn içeren vektörü ifade etmektedir. (3.34) e"itli(indeki d' B, 5ekil 3.9 dan görüldü(ü gibi global koordinat sisteminde, elemann d' 7, d' 8, d' 9, d' 1, d' 11 ve d' 1 deplasmanlarn içeren vektörüdür. Ayn e"itlikteki P' A ve P' B de(erleri, ilgili yönlerdeki global koordinat sistemindeki elemann uç kuvvet vektörleri olup, P' A = k' AA d' A + P' B = k' BA d' A + k' k' AB BB d' d' B B (3.38a) (3.38b) 41

57 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA denklemlerindeki gibi ifade edilmektedir. Bu e"itliklerdeki d' A yerine ilgili yöndeki deplasmanlar master noktas deplasmanlar insinden ifade eden (3.37) denklemindeki ( B d' m ) yazlr ve (3.38a) ifadesi dönü"üm matrisinin transpozu ( B T ) ile çarplrsa a"a(daki e"itlikler elde edilir. B T P' A T T = B k' B d' + B k' d' (3.39a) AA m AB B P' B = k' BA B d' m + k' BB d' B (3.39b) Bu denklemdeki P' m B T P' ile belirtilirse (3.39a) ifadesi A ifadesi kuvvetlerin master noktasndaki e"de(eri olup, P' = B k' B d' T m AA m + B T k' AB d' B (3.4) "eklinde olu"maktadr. Bu denklemler matris formunda yazlrsa a"a(daki e"itlik elde edilmektedir. P' P' m B T B k' AA B k' BA B B T k' k' AB BB B d' d' m B (3.41) Bu denklem kompakt fomda ise, P' mb = k' mb d' mb (3.4) "eklinde belirtilmektedir. Yapy olu"turan bütün elemanlarda bu i"lemler adm adm uygulanmakta ve her elemandan gelen katklar göz önünde bulundurularak, sistem boyutundaki rijitlik matrisi ve yük vektörleri elde edilmektedir. Bu de(erlerden de sistem boyutundaki deplasmanlarla her elemann uç kuvvetleri ve deplasmanlar elde edilmektedir. 4

58 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA 3.9. Yöntemin Algoritmas Bu çal"mada çatlamalarn etkisi göz önünde bulundurularak betonarme çerçevelerin rijit diyafram modeli ile üç boyutlu analizi için geli"tirilen bilgisayar programnda analiz admlar ksaa maddeler halinde a"a(daki gibi özetlenmi"tir. 1. Analizlerde iteratif yöntem uygulanmasndan dolay betonarme yap ilk etapta, kiri" ve kolon elemanlarda çatlak olu"mad( kabul edilerek lineer analizle çözümlenmektedir.. Elemanlarda olu"an moment da(lmlarna ba(l olarak E i koordinatlar da göz önünde bulundurularak çatlayan ve çatlamayan bölgeler belirlenmektedir. 3 J, J 1, J, J 3 ve R ve R 1 katsaylar, E i boyusuz büyüklükleri integral snrlar olmak üzere daha öneki bölümde verilen toplam formülleriyle elde edilmektedir. 4. Analizde etkili atalet momentlerinin hesabnda ACI veya CEB modelinin göz önünde bulundurulmas halinde f ii, f ij, f ji, f jj, f io, f jo esneklik katsaylar J n ve R n katsaylar kullanlarak elde edilmektedir. Etkili atalet momentlerinin hesabnda olasl(a dayal etkili rijitlik modelinin göz önünde bulundurulmas halinde ise f ii, f ij, f ji, f jj, f io, f jo esneklik katsaylar R n de(erleri ile birlikte (3.3) denklemleri aral( ile elde edilmektedir. 5. Esneklik katsaylar kullanlarak eleman rijitlik matrisi ve yük vektörleri elde edilmekte ve daha sonra bu de(erler transformasyon matrisleri aral( ile global koodinat sistemine çevrilmektedirler. 6. Her elemandan gelen etki ve katklar göz önünde bulundurularak sistem rijitlik matrisi ve sistem yük vektörü de(erleri elde edilmektedir. Daha sonra sistem denklemi çözülerek, sistem deplasmanlar ile her elemann uç kuvvetleri ve uç deplasmanlar elde edilmektedir. 7. Her iterasyonda. admdan ba"lamak üzere bu i"lemler adm adm uygulanmakta ve birbirini izleyen iki iterasyondaki uç kuvvetleri arasnda yeterli yaknsaklk sa(lanna i"lemlere son verilmektedir. Bilgisayar program ak" diyagram ve programn yaps bir sonraki bölümde ayrntl "ekilde irdelenmi"tir. 43

59 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA 3.1. Bilgisayar Program Kiri" ve kolonlardaki çatlamalar göz önünde bulundurularak betonarme çerçevelerin üç boyutlu analizi için iteratif yönteme dayal olarak geli"tirilen bilgisayar program Fortran 77 dilinde yazlm" olup, çözüm algoritmasnn ak" diyagram 5ekil 3.1 da gösterilmi"tir. Yap ve eleman özelliklerinin girilmesi D yüklerin girilmesi Yapnn lineer analizle çözümlenmesi Kolonlarda eksenel yük düzeylerine ba)l olarak çatlama momenti M r nin hesaplanmas Eleman uç kuvvetlerinin kullanlarak kiri ve kolon elemanlarda çatlayan ve çatlamayan bölgelerin belirlenmesi Etkili atalet momenti ve etkili kayma modülü de)erleri kullanlarak eleman rijitlik matrisi, eleman yük vektörü ve sistem rijitik matrisinin elde edilmesi Deplasmanlarn ve eleman uç kuvvetlerinin hesaplanmas Bir öneki iterasyonlardan yararlanlarak uç kuvvetlerinin hesab Hayr P n i P P i n n1 i Evet Sonuçlarn çkt dosyasna yazlmas I 1 ekil 3.1. Bilgisayar program ak" diyagaram 44

60 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA Analizde her iterasyonda bir öneki iterasyondaki eleman uç kuvveti de(erleri kullanlarak çözümlemelerin yaplmasyla uç kuvvetleri arasnda belirlenen yaknsakl(a ula"lmas zaman al olabilmektedir. Herhangi bir iterasyonda baz elemanlarn rijitli(indeki büyük azalmalar, bu elemanlara daha az iç kuvvet transferine ve buna ba(l olarak di(er iterasyonda rijitliklerinin a"r ölçüde artmasna neden olabilmektedir. Rijitlikteki bu art" bu elemanlara daha fazla iç kuvvet aktarmna ve buna ba(l olarak tekrar rijitli(inde ani azalmalara neden olabilmektedir. Rijitlikteki bu dalgalanmalar artan iterasyonlarla önlenmedi(i takdirde sonua ula"mak zaman al olabilmektedir. Bu nedenden dolay geli"tirilen yöntemde her iterasyonda o iterasyondan öneki uç kuvveti de(erlerinin ortalamas kullanlarak kiri" ve kolon elemanlarnn çatlayan ve çatlamayan bölgeleri belirlenmekte ve bu bölgeler göz önünde bulundurulup elemanlarn esneklik katsaylar ile rijitlik matrisi ve yük vektörleri elde edilerek çözümlemeler yaplmaktadr. Geli"tirilen programlarda, P n i P n1 Pi n i I 1 (3.43) "eklinde bir yaknsaklk kriteri kullanlm"tr. Bu denklemdeki I 1 yaksaklk kriterini, n iterasyon numarasn, P n i ve P n-1 i n. ve (n-1). iterasyonlarda elemanda olu"an uç kuvveti de(erleridir Bilgisayar Programnn Yaps Yatay ve dü"ey yükler etkisi altndaki betonarme yapda kiri" ve kolonlardaki çatlamalar göz önünde bulundurularak geli"tirilen bilgisayar program 11 bölümden olu"maktadr. Bu bölümler 1. Ana program. Input Data dosyasnn okunmas 3. Tx Her eleman için transformasyon matrisinin hesab. 4. Kontrol1 Yapy olu"turan kiri" elmanlarnda olu"abileek çatlayan ve 45

61 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA çatlamayan bölgelerin belirlenmesi 5. Beamoll Elemanlara ait rijitlik matrisinin elde edilmesi 6. Sistem Sistem rijitlik matrisi ve sistem yük vektörünün olu"turulmas 7. Bansol Yapya ait sistem denkleminin çözülerek sistem deplasmanlarnn elde edilmesi 8. Bfore Elemanlara ait uç kuvveti de(erlerinin elde edilmesi 9. Kontrol Birbirini izleyen iki iterasyondaki eleman uç kuvvetleri arasndaki yaknsakl(n elde edilmesi 1. Hava Eleman uç kuvvetlerinin çkt dosyasna yazlmas 11. Ndisp Her elemana ait elde edilen deplasmanlarn çkt dosyasna yazlmas "eklinde olup, gerekti(inde ana program tarafndan ça(rlarak i"lemelere devam edilmektedir Veri Hazrlama Klavuzu Bilgisayar programlarna veri giri"i herhangi bir editör yazlm ile hazrlanabilen ve data bloklarndan olu"an data dosyas ile yaplmaktadr. Data dosyas genel bilgiler, eleman özellikleri, koordinatlar, mesnet 3artlar ve yükler olmak üzere be" bölümden olu"maktadr Genel Bilgiler Genel bilgiler data blo(unun birini satrnda, Np, Nm, Ik, Ikk, Est "eklinde, Np:Yapdaki toplam dü(üm says Nm: Yapdaki toplam eleman says Ik: Çatlamay kontrol eden parametre Ikk: Kayma deformasyonlarn kontrol eden parametre Est: Çeli(in elastisite modülü 46

62 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA de(erleri girilmektedir. Çatlamay ve kayma deformasyonlarn kontrol eden parametreler 1 olarak girilmi"se, analizde çatlama ve kayma deformasyonlar etkisi göz önünde bulundurulaaktr. Bu de(erler sfr olarak girildi(inde ise çatlama ve/veya kayma deformasyonlar etkisi analizde göz önünde bulundurulmayaaktr. Bu data blo(unun ikini satrnda, etkili atalet momenti hesabnda kullanlaak model ve parametreler, üçünü satrda ise etkili kayma modülü hesabnda kullanlaak model girilmektedir Eleman Özellikleri Data blo(unun bu ksmnda a"a(daki de(erler sras ile girilmektedir. K Id Jd Mi Mj Bw H PP Em Ftk As Asp Nb N Asgv Buradaki, K: Eleman numaras Id: Elemann i uunun dü(üm numaras Jd: Elemann j uunun dü(üm numaras mi: elemann ba(l bulundu(u i uunun master noktas dü(üm numaras mj: elemann ba(l bulundu(u j uunun master noktas dü(üm numaras bw: Kesit geni"li(i H: Kesit yüksekli(i pp: Paspay E m : Betonun elastisite modülü Ftk: Betonun karakteristik çekme dayanm As: Kesitteki çekme donats alan Asp: Kesitteki basnç donats alan Nb: Basnç donats says N: Çekme donats says Asgv: Kesitteki gövde donats alan 47

63 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA de(erleridir. E(er çekme donats alann belirten de(erler sfr olarak girilmi"se çatlama o eleman için göz önünde bulundurulmayp, lineer elastik model kullanlaaktr Koordinatlar Koordinatlar data blo(unda bilgi giri"i iki "ekilde olmaktadr. E(er dü(üm noktalarnn koordinatlarn herhangi bir "ekilde türetme imkan yoksa, K1 Pkoor1 Pkoor Pkoor3 "eklinde, elemann dü(üm numaras ve o dü(ümün x, y ve z koordinatlar girilmektedir. Koordinatlar türetme imkân varsa, K1 K R X Y Z U "eklinde, K1: Türetmesi yaplaak ilk dü(ümün numaras K: Türetmesi yaplaak son dü(ümün numaras R: Türetme miktar X: Türetmesi yaplaak dü(ümün x koordinat Y: Türetmesi yaplaak dü(ümün y koordinat Z: Türetmesi yaplaak dü(ümün z koordinat U: Türetmesi yaplaak dü(üm noktalar aras uzaklk de(erleri girilmektedir. Burada do(rusal bir türetme yaplabilmekte ve türetmesi yaplaak dü(üm noktalarnn bir do(ru üzerinde bulunmas ve ara mesafelerinin e"it olmas gerekmektedir Mesnet artlar Gerek kiri"lerde, gerekse kolonlarda olu"abileek çatlamalar göz önünde bulundurularak çerçevelerin üç boyutlu analizi için geli"tirilen bilgisayar programnda data blo(unun bu bölümünde, dü(üm numaras ve o dü(ümün mesnet "artlarn ifade eden de(erler girilmektedir. Bilgi giri"i dü(ümlerin mesnet "artlarnda 48

64 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA türetme olup olmamasna ba(l olarak iki "ekilde yaplmaktadr. E(er türetme söz konusu de(ilse dü(üm numaras ve o dü(ümün mesnet "artlarn belirten de(erler girilmektedir. Dü(ümlerin mesnet "artlarn türetme imkan varsa, R1 R Rm Rx Ry Rz Rxx Ryy Rzz "eklinde, R1: Türetmesi yaplaak ilk dü(ümün numaras R: Türetmesi yaplaak son dü(ümün numaras Rm: Türetme miktar Rx: Türetmesi yaplaak dü(ümün x yönündeki deplasmann ifade eden mesnet "art Ry: Türetmesi yaplaak dü(ümün y yönündeki deplasmann ifade eden mesnet "art Rz: Türetmesi yaplaak dü(ümün z yönündeki deplasmann ifade eden mesnet "art Rxx: Türetmesi yaplaak dü(ümün x ekseni etrafndaki dönmesini ifade eden mesnet "art Ryy: Türetmesi yaplaak dü(ümün y ekseni etrafndaki dönmesini ifade eden mesnet "art Rzz: Türetmesi yaplaak dü(ümün z ekseni etrafndaki dönmesini ifade eden mesnet "art de(erleri girilmektedir Yükler Yükler data blo(unda bilgi giri"i, yayl yükler ve dü(üm yükleri olmak üzere iki ksmdan olu"maktadr. Elemanlar üzerine gelen yayl yükler biribirinine e"it olduklar zaman bir öneki data bloklarnda oldu(u gibi bu de(erler türetme yaplarak a"a(daki gibi girilebilir. Kb Ks Ft Yyuk Tek Ai Buradaki, Kb: Türetmesi yaplaak ilk elemann numaras 49

65 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA Ks: Türetmesi yaplaak son elemann numaras Kt: Türetme miktar Yyuk: Eleman üzerindeki yayl yük Tek: Elemana etkiyen tekil yük Ai: Tekil yükün sol mesnetten olan uzakl( de(erleridir. E(er türetme sözkonusu de(ilse K1 Uyuk Tek Ai formunda, de(erleri girilmektedir. Yükler data blo(unun dü(üm yükleri bölümünde ise Ky Y1 Y Y3 Y4 Y5 Y6 "eklinde, Ky: Dü(üm Numaras Y1: Dü(üme x yönünde etkiyen kuvvet Y: Dü(üme y yönünde etkiyen kuvvet Y3: Dü(üme z yönünde etkiyen kuvvet Y4: Dü(üme etkiyen burulma momenti Y5: Dü(üme etkiyen y ekseni etrafndaki e(ilme momenti Y6: Dü(üme etkiyen z ekseni etrafndaki e(ilme momenti de(erleri sras ile girilmektedir Türk Deprem Yönetmeli8inde Belirtilen Kontroller Bu bölümde bu çal"ma kapsam içerisinde kullanlaak olan ve Türk Deprem Yönetmeli(inde (TDY) belirtilen göreli kat ötelemesi ve ikini mertebe etkileri kontrollerine de(inileektir. 5

66 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA kini Mertebe Etkilerinin Kontrolü Ta"y sistem elemanlarnn do(rusal elastik olmayan davran"n esas alan daha kesin bir hesap yaplmadkça, ikini mertebe etkileri a"a(da belirtilen "artlara göre göz önüne alnabilir. Y i (X = i ) i N ort j= 1 V h W i j (3.44a) i.1 (3.44b) Burada (X i ) ort, i ini kattaki kolon ve perdelerde hesaplanan göreli kat ötelemelerinin kat içindeki ortalama de(erini ifade etmekte olup (3.45) denklemi yardmyla (X i ) ort = ((X i ) max + (X i ) min ) / (3.45) "eklinde elde edilmektedir. (3.44) ve (3.45) denklemlerindeki (X i ) max : Binann i ini katndaki maksimum göreli kat ötelemesi, (X i ) min : Binann i ini katndaki minimum göreli kat ötelemesi. V i h i N j= 1 j : i ini kattaki kesme kuvveti, : i ini kattaki kat yüksekli(i, W : i ini katn üstündeki kat a(rlklar toplamn göstermektedir. Göz önüne alnan deprem do(rultusunda her bir katta, ikini mertebe gösterge de(eri, Y i nin (3.44) denklemi ile verilen ko"ulu sa(lamas durumunda, ikini mertebe etkileri, yürürlükteki betonarme ve çelik yap yönetmeliklerine göre de(erlendirileektir. 51

67 3. MATERYA ve METOD lker Fatih KARA kini mertebe de(eri, Y i de(erinin herhangi bir katta.1 den büyük olmas durumunda ta"y sistem rijitli(i yeterli ölçüde arttrlarak sistemin deprem hesab tekrarlanmaldr Göreli Kat Ötelemelerinin Snrlandrlmas Herhangi bir kolon veya perde için, ard"k iki kat arasndaki yer de(i"tirme farkn ifade eden göreli kat ötelemesi X i, (3.46) denklemindeki gibi elde edilmektedir. X i = d i -d i-1 (3.46) Bu denklemde d i ve d i-1, binann i ini ve (i-1) ini katlarnda herhangi bir kolon veya perdenin uçlarnda hesapla elde edilen rölatif yatay yer de(i"tirmelerini göstermektedir. Her bir deprem do(rultusu için, binann herhangi bir i ini katndaki kolon veya perdede, (3.46) denklemi ile hesaplanan göreli kat ötelemelerinin kat içindeki en büyük de(eri (X i ) max, (3.47) denklemlerinde verilen ko"ulu sa(lamaldr. ( i ) h. / R / max i (3.47) (3.47) verilen ko"ulun binann herhangi bir katnda sa(lanamamas durumunda, ta"y sistemin rijitli(i arttrlarak deprem hesab tekrarlanaaktr. Anak verilen ko"ul sa(lansa bile, yapsal olmayan gevrek elemanlarn (ephe elemanlar vb.) elde edilen göreli kat ötelemeleri altnda kullanlabilirli(i hesapla do(rulanmaldr. 5

68 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERNN ÜÇ BOYUTU ANAZ 4.1. Giri Betonarme yap+lar+n projelendirilmesinde kesit hesaplar+nda beton ve çeli1in elastik ötesi davran+3lar+n+n göz önüne al+nmas+na kar3+n, yap+sal analizde lineer elastik hesap yöntemleri kullan+lmaktad+r. Anak betonarme elemanlar+n do1rusal olmayan davran+3lar+n+n, özellikle çatlamadan sonra e1ilme rijitliklerinde olu3aak azalmalar+n göz önüne al+nmas+, hem yap+da olu3aak iç kuvvetlerin da1+l+m+n+ hem de yer de1i3tirme de1erlerini önemli ölçüde etkileyebilmektedir. Rijitlikteki azalmalar+n yüklerin artmas+yla birlikte çatlamalar+n ilerlemesine ba1l+ olarak artt+1+ da dü3ünülürse, betonarme bir elemanda çatlamadan sonraki e1ilme rijitlikleri büyük bir öneme sahip olmakta ve e1ilme rijitli1indeki azalmalar yap+da olu3an deplasmanlar+n önemli dereede artmas+na neden olabilmektedir. Yap+ sistemleri yüklerin dü3ük oldu1u düzeylerde lineer bir davran+3 göstermelerine kar3+n, yüklerin artmas+yla kiri3 ve kolon elemanlarda çatlamalar+n olu3mas+ ve buna ba1l+ olarak deplasmanlar+n artmas+yla birlikte, dü1üm noktalar+n+n yer de1i3tirmesi ve e1ilme momentleri ve eksenel kuvvetlerin birbirlerinin rijitliklerini etkilemesi nedeniyle olu3an geometrik nonlineerlik etkiler yap+ davran+3+ üzerinde önemli bir etkiye sahip olabilmektedir. Bu bölümde gerek çatlamalar+n etkisi gerekse geometrik nonlineerlik etkiler göz önünde bulundurularak betonarme çerçevelerin üç boyutlu analizi için geli3tirilen di1er analitik yöntem ayr+nt+l+ bir 3ekilde ele al+naakt+r. Geli3tirilen yöntemde formülasyonlar rijitlik matrisi yöntemine dayand+r+larak olu3turulmu3tur. Çatlamalardan sonra elemanlar+n etkili atalet momentlerinin hesab+nda olas+l+1a dayal+ etkili rijitlik modeli kullan+lm+3 olup, analizde kayma deformasyonlar+ etkisi göz önünde bulundurulmam+3t+r. 53

69 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA 4.. Do"rusal Olmayan Eleman Rijitlik Matrisi ve Yük Vektörünün Elde Edilmesi Geometrik nonlineerlik içeren yap+ analizleri genelde ikini mertebe analiz olarak adland+r+lmaktad+r. Geometrik nonlineerlikler yükleme s+ras+nda dü1ümlerin yer de1i3tirmesi ve eksenel kuvvet ve momentlerin birbirlerinin rijitliklerini etkilemesi nedeniyle meydana gelmektedir. Bu durumda lineer olmayan analiz için rijitlik matrisi eksenel kuvvet etkisi alt+ndaki çubuk eleman+n davran+3+n+ idare eden denklemin s+n+r 3arlar+ alt+nda çözümünden elde edilmekte ve eksenel kuvvetin bas+nç, çekme ve s+f+r olmas+ durumlar+ için farkl+ 3ekilde bulunmaktad+rlar. Daha öneki bölümde ifade edildi1i gibi üç boyutlu halde çubuk elemanlar+n her bir uunda asal eksenler do1rultusunda üç deplasman ve bu eksenler etraf+nda üç dönme olu3maktad+r. Ayr+a bu deplasmanlar ve dönmeler yönünde kuvvetler ve momentler etkimektedir. Üç boyutlu durumda kuvvetler ve deplasmanlar aras+ndaki temel ili3kiyi belirten eleman rijitlik denklemi a3a1+daki denklemdeki gibi ifade edilmektedir. k d + P = P (4.1) Bu e3itlikteki k (1x1), d (1x1), P (1x1) ve P (1x1) de1erleri eleman rijitlik matrisi, deplasman vektörü, d+3 kuvvetlerden dolay+ olu3an uç kuvvet vektörü ve toplam uç kuvvet vektörü de1erleridir. Bu de1erler eleman eksen tak+m+nda (x,y,z) olup, transformasyon matrisi ara+l+1+ ile global eksen tak+m+na (X,Y,Z) çevrilmektedirler. (4.1) denklemindeki k ve P de1erleri gerek çatlamalar+n gerekse e1ilme momentleri ve eksenel kuvvetlerin etkile3imi nedeniyle olu3an etkiler göz önünde bulundurularak elde edilmi3lerdir. Çatlamalardan sonra kiri3 ve kolon elemanlar+n e1ilme rijitli1inde olu3an de1i3imler olas+l+1a dayal+ etkili rijitlik modeli ile göz önünde bulundurulmu3 olup, etkili atalet momentlerinin elde edilebilmesi için bir öneki bölümde bu modele ba1l+ olarak verilen formülasyonlar kullan+lm+3t+r. Rijitlik etki katsay+lar+ eksenel kuvvet etkisi alt+ndaki konsol bir kiri3 eleman+na ilgili yönlerde birim deplasmanlar verilerek o eleman+n davran+3+n+ idare eden denklemin 54

70 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA s+n+r 3art+ alt+ndan çözümünden elde edilmekte ve eksenel kuvvetin bas+nç, çekme ve s+f+r olmas+ durumlar+ için farkl+ 3ekilde bulunmaktad+rlar Rijitlik Katsaylarnn Elde Edilmesi Eksenel Kuvvetin Basnç Olmas Durumu(N>) Eksenel kuvvetin bas+nç olmas+ halinde rijitlik etki katsay+lar+ bu eksenel kuvvet etkisi alt+ndaki konsol bir kiri3 eleman+na ilgili yönlerde birim deplasmanlar verilerek eleman+n davran+3+n+ idare eden denklemin s+n+r 3artlar+ alt+nda çözümünden elde edilmi3lerdir. d 8 =1 durumu: z N k 88 d 8 =1 -z k 18 N x z y x k 78 k 18 x 9ekil 4.1. Eksenel bas+nç kuvveti için d 8 =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ Eleman+n davran+3+n+ idare eden difransiyel denklem k = N EI effy (4.) olmak üzere E I z'' = N z k x ++ k (4.3a) effy k z' ' + k z += EI effy x k EI effy 88 (4.3b) 55

71 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA 3eklinde elde edilmektedir. Bu diferansiyel denklemin genel çözümü z = A sinkx + Boskx + Cx + D (4.4) 3eklinde olmakta ve a3a1+daki denklemlerde verilen s+n+r 3artlar+ uygulanarak x= z= z'=1 (4.5a) x= z= z'= (4.5b) A, B, C ve D katsay+lar+ u=k, =osk, s=sink, H=us+- (4.6) de1erleri olmak üzere us + 1 A = kh s - u B = D = kh 1- C = (4.7) H 3eklinde elde edilmektedirler. Bu katsay+lar da kullan+larak diferansiyel denklemin çözümü z = - (us + 1) sinkx (u s)oskx ( 1) kx u + s kh (4.8) formunda elde edilmekte olup, x= ve x= de M=EIz"(x=, x=) de1erleri ve denge denklemleri ara+l+1+ ile rijitlik katsay+lar+n+n ilgili terimleri u (u s) EIeffy k 88 = H u (s u) EIeffy k18 = H k 88 + k18 k 78 = k18 = = u (1- ) EI H effy (4.9a) (4.9b) (4.9) 56

72 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA 3eklinde elde edilmektedirler. Bu a3amadan sonra eleman rijitlik katsay+lar+n+n di1er terimleri konsol bir kiri3e di1er yönlerde birim deplasmanlar verilmesiyle ayn+ i3lem ad+mlar+ ayn+ s+ra ve düzende uygulanarak elde edilmektedirler. d 1 =1 durumu: z N k 81 z d 1 =1 N x z y x k 11 k 71 k 11 x -x 9ekil 4.. Eksenel bas+nç kuvveti için d 1 =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ N Eleman+n davran+3+n+ idare eden diferansiyel denklem ( k = ): EI effy z' ' + k z = k ( x) k EI EI 11 effy 11 effy (4.1) S+n+r Partlar+: x= z= z'= (4.11a) x= z= z'=1 (4.11b) Elde edilen A, B, C, D katsay+lar+ ve diferansiyel deklemin çözümü : (u=k, =osk, s=sink, H=us+-) 1 A = kh B = D = u - s kh 1- C = H (4.1a) 57

73 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA z = ( 1) sinkx + (u s) oskx ( 1) kx u + s kh (4.1b) M=EIz"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+1+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: k k u (u s) EI = H u (s u) EI = H effy effy + k k 71 = k11 = = k u (1- ) EI H effy (4.13a) (4.13a) (4.13) d 7 =1 durumu z k 87 N k 17 z y d 7 =1 z N x x k 77 x k 17 9ekil 4.3. Eksenel bas+nç kuvveti için d 7 =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ N Eleman+n+ davran+3+n+ idare eden diferansiyel denklem( k = ): EI effy k EI z' ' + k z = x ++ effy k EI effy N EI effy (4.14) 58

74 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA S+n+r Partlar+: x= z=1 z'= (4.15a) x= z= z'= (4.15b) Elde edilen A, B, C, D katsay+lar+ ve diferansiyel deklemin çözümü: (u=k, =osk, s=sink, H=us+-) A = z = s H s H 1, B =, H ks C =, H us + 1 D = H 1 ks us + 1 sinkx + oskx x + H H H (4.16a) (4.16b) M=EIz"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+1+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: u ( 1) k 87 = k17 = H 3 u s EI k 17 = k 77 = 3 H effy EI effy (4.17a) (4.17b) d 1 =1 durumu: k 11 k 81 N z y N z d 1 =1 x x k 71 k 11 x -x 9ekil 4.4. Eksenel bas+nç kuvveti için d 1 =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ 59

75 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA N Eleman+n+ davran+3+n+ idare eden diferansiyel denklem( k = ): EI effy k11 ( x) k11 z' ' + k z = + EI EI effy effy N EI effy (4.18) S+n+r Partlar+: x= z= z'= (4.19a) x= z=1 z'= (4.19b) Elde edilen A, B, C, D katsay+lar+ ve diferansiyel deklemin çözümü: (u=k, =osk, s=sink, H=us+-) A = z = s H s H 1-, B =, H ks C =, H 1 D = H 1 ks 1 sinkx oskx + x + H H H (4.a) (4.b) M=EIz"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+1+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: k k = k 11 = k 71 u ( 1) EI = H 3 u s EIeffy = 3 H effy (4.1a) (4.1b) d 3 =1 durumu: y N d 3 =1 y k 63 N x k 33 k 3 k 53 x 9ekil 4.5. Eksenel bas+nç kuvveti için d 3 =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ 6

76 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA Eleman+n+ davran+3+n+ idare eden diferansiyel denklem: E I effz y'' = N y + k x k (4.a) k y' ' + k y = EI N k = EI effz 3 effz 3 k x EI 33 effz 33 (4.b) (4.3) Diferansiyel denklemin genel çözümü: y = A sinkx + Boskx + Cx + D (4.4) S+n+r Partlar+: x= y= y'=1 (4.5a) x= y= y'= (4.5b) Elde edilen A, B, C, D katsay+lar+ ve diferansiyel deklemin çözümü: A = us + 1 kh B = D = u s kh 1 C = (4.6a) H u=k, =osk, s=sink, H=us+-. (us + 1) sinkx + (u s)oskx + ( 1) kx u + s y = kh (4.6b) (4.6) M=EIy"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+1+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: k k u (u s) EI = H u (s u) EI = H effz effz (4.7a) (4.7b) 61

77 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA k 3 = k 53 = k 33 + k 63 = u ( 1) EI H effz (4.7) d 6 =1 durumu: y N k 66 N x k 36 k 6 -y d 6 =1 k 56 x -x 9ekil 4.6. Eksenel bas+nç kuvveti için d 6 =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ N Eleman+n davran+3+n+ idare eden diferansiyel denklem( k = ): EI effz E I y'' = N y + k ( x) + k (4.8a) effz effz 56 k 56 ( x) k y' ' + k y = + EI EI 66 effz 66 (4.8b) S+n+r Partlar+: x= y= y'= (4.9a) x= y= y'=1 (4.9b) Elde edilen A, B, C, D katsay+lar+ ve diferansiyel deklemin çözümü: (u=k, =osk, s=sink, H=us+-) 1 A = kh B = D = s - u kh 1 C = (4.3a) H 6

78 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA y = (1- ) sinkx (u s)oskx + ( 1) kx + u - s kh (4.3b) M=EIy"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+1+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: k k 36 6 u (s u) EI = H = k 56 k = 66 effz + k 36 k 66 u = u (u s) EI effz = (4.31a) H ( 1) EI H effz (4.31b) d =1 durumu: k 3 N k 6 d =1 y N x k x k 5 9ekil 4.7. Eksenel bas+nç kuvveti için d =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ N Eleman+n davran+3+n+ idare eden diferansiyel denklem( k = ): EI effz k 3 y' ' + k y = x + EIeffz EIeffz k N EI effz (4.3a) S+n+r Partlar+: x= y=1 y'= (4.33a) x= y= y'= (4.33b) 63

79 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA Elde edilen A, B, C, D katsay+lar+ ve diferansiyel deklemin çözümü: (u=k, =osk, s=sink, H=us+-) A = y = s H s H 1, B =, H ks C =, H us + 1 D = H 1 ks us + 1 sinkx + oskx x + H H H (4.34a) (4.34b) M=EIy"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+1+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: k k 3 u ( 1) EI = k 6 = H 3 u s EI effz = k 5 = 3 H effz (4.35a) (4.35b) d 5 =1 durumu: k 65 k 35 N N y d 5 =1 x k 55 k 5 x -x 9ekil 4.8. Eksenel bas+nç kuvveti için d 5 =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ N Eleman+n davran+3+n+ idare eden diferansiyel denklem( k = ): EI effz k 55( x) k 65 N y' ' + k y = ++ EI EI EI effz effz effz (4.36a) 64

80 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA S+n+r Partlar+: x= y= y'= (4.37a) x= y=1 y'= (4.37b) Elde edilen A, B, C, D katsay+lar+ ve diferansiyel deklemin çözümü: (u=k, =osk, s=sink, H=us+-) A = s H, 1 B =, H C = ks, H D = 1 H (4.38a) y = s H 1 ks 1 sinkx oskx + x + H H H (4.38b) M=EIy"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+1+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: u ( 1) k 35 = k 65 = H 3 u s EI k 5 = k 55 = 3 H. effz EI effz (4.39a) (4.39b) 65

81 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA Eksenel Kuvvetin Çekme Olmas Durumu(N<) Eksenel kuvvetin çekme olmas+ halinde ise rijitlik katsay+lar+ yine ayn+ /ekilde konsol bir kiri/ eleman+na ilgili yönlerde birim deplasmanlar verilerek eleman+n davran+/+n+ idare eden denklemin s+n+r /artlar+ alt+nda çözümünden ayn+ i/lem ad+mlar+ uygulan+larak elde edilmektedirler. d 8 =1 durumu: z N k 88 d 8 =1 -z k 18 N x z y x k 78 k 18 x Eleman+n davran+/+n+ idare eden diferansiyel denklem:!ekil 4.9. Eksenel çekme kuvveti için d 8 =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ E I z'' = N z k x ++ k (4.4a) effy k z' ' k z x += EI effy k EI effy 88 N k = (4.4b) EI effy Diferansiyel denklemin genel çözümü: z = A'sinhkx + B' oshkx + C' x + D' (4.41) S+n+r Cartlar+: x= z= z'=1 (4.4a) x= z= z'= (4.4b) 66

82 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA Elde edilen A', B', C', D' katsay+lar+ ve diferansiyel deklemin çözümü: us + 1 u - s -1 A' = B' = D' = C'= kh kh H u=k, =oshk, s=sinhk, H=us-+. - (us + 1) sinhkx + (u s) oshkx + ( 1) kx u + s z = kh (4.43a) (4.43b) (4.43) M=EIz"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+k+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: u (u s) EIeffy k 88 = H u (s u) EIeffy k18 = H k 88 + k18 k 78 = k18 = = u (1- ) EI H effy (4.44a) (4.44b) (4.44) d 1 =1 durumu: z N k 81 z d 1 =1 N x z y x k 11 k 71 x -x k 11!ekil 4.1. Eksenel çekme kuvveti için d 1 =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ N Eleman+n davran+/+n+ idare eden diferansiyel denklem( k = ): EI effy z' ' k z = k ( x) k EI EI 11 effy 11 effy (4.45) 67

83 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA S+n+r Cartlar+: x= z= z'= (4.46a) x= z= z'=1 (4.46b) Elde edilen A', B', C', D' katsay+lar+ ve diferansiyel deklemin çözümü: (u=k, =oshk, s=sinhk, H=us-+) 1- A'= kh (1 z = s - u -1 C'= H B' = D' = kh ) sinhkx + (s - u)oshkx + ( 1) kx + u s kh (4.47a) (4.47b) M=EIz"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+k+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: u (u s) EIeffy k11 = H u (s u) EI effy k 81 = H k11 + k 81 k 71 = k11 = = u (1- ) EI H effy (4.48a) (4.48b) (4.48) d 7 =1 durumu: z k 87 N k 17 z y d 7 =1 z N x x k 77 x k 17!ekil Eksenel çekme kuvveti için d 7 =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ 68

84 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA N Eleman+n davran+/+n+ idare eden diferansiyel denklem( k = ): EI effy z' ' k z = k EI 77 effy k x + EI 87 effy N EI effy (4.49) S+n+r Cartlar+: x= z=1 z'= (4.5a) x= z= z'= (4.5b) Elde edilen A', B', C', D' katsay+lar+ ve diferansiyel deklemin çözümü: (u=k, =oshk, s=sinhk, H=us-+) A' = s, H 1- B' =, H C' = ks, H D' = us + 1 H (4.51a) z = s H 1 ks us + 1 sinhkx oshkx x + H H H (4.51b) M=EIz"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+k+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: k k u ( 1) EI = k17 = H 3 u s EIeffy = k 77 = 3 H effy (4.5a) (4.5b) d 1 =1 durumu: k 81 k 11 N z y N z d 1 =1 x x k 11 k 71 x -x!ekil 4.1. Eksenel çekme kuvveti için d 1 =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ 69

85 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA N Eleman+n davran+/+n+ idare eden diferansiyel denklem( k = ): EI effy z' ' k z = k 11 EI ( x) effy k EI 11 effy N EI effy (4.53) S+n+r Cartlar+: x= z= z'= (4.54a) x= z=1 z'= (4.54b) Elde edilen A', B', C', D' katsay+lar+ ve diferansiyel deklemin çözümü: (u=k, =oshk, s=sinhk, H=us-+) s -1 ks 1- A' =, B' =, C', D' == (4.55a) H H H H z = s H 1 ks 1 sinhkx + oshkx + x H H H (4.55b) M=EIz"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+k+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: u ( 1) k 81 = k11 = H 3 u s EI k 11 = k 71 = H effy 3 EI effy (4.56a) (4.56b) 7

86 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA d 3 =1 durumu: y N d 3 =1 y k 63 N x k 33 k 3 k 53 x!ekil Eksenel çekme kuvveti için d 3 =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ Eleman+n davran+/+n+ idare eden diferansiyel denklem: y' ' k y = k EI 3 effz k x EI 33 effz N EI k = (4.57) effz Diferansiyel denklemin genel çözümü: y = A'sinhkx + B' oshkx + C' x + D' (4.58) S+n+r Cartlar+: x= y= y'=1 (4.59a) x= y= y'= (4.59b) Elde edilen A', B', C', D' katsay+lar+ ve diferansiyel deklemin çözümü: (u=k, =oshk, s=sinhk, H=us-+) A' = us + 1 kh B' = D' = s - u kh 1- C'= H (4.6a) 71

87 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA y = (us + 1) sinhkx + (s - u)oshkx + (1- ) kx + u s kh (4.6b) M=EIy"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+k+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: k k k u (u s) EI effz = H u (s u) EI effz = H k 33 + k = k 53 = 63 = u ( 1) EI H effz (4.61a) (4.61b) (4.61) d 6 =1 durumu: y N k 66 N x k 36 k 6 -y d 6 =1 k 56 x -x!ekil Eksenel çekme kuvveti için d 6 =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ N Eleman+n davran+/+n+ idare eden diferansiyel denklem( k = ): EI effz k 56 ( x) k y' ' k y = + EI EI effz 66 effz (4.6) S+n+r Cartlar+: x= y= y'= (4.63a) 7

88 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA x= y= y'=1 (4.63b) Elde edilen A', B', C', D' katsay+lar+ ve diferansiyel denklemin çözümü: (u=k, =oshk, s=sinhk, H=us-+) 1 A' = kh B' = D' = u - s kh 1- C'= H ( 1) sinhkx + (u - s) oshkx + (1- ) kx (u s) y = kh (4.64a) (4.64b) M=EIy"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+k+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: k k 36 6 u (s u) EI effz = H k 66 + k = k 56 = 36 u (u s) EI effz k 66 = H (4.65a) u ( 1) EI effz = H (4.65b) d =1 durumu: k 3 N k 6 d =1 y N x k x k 5!ekil Eksenel çekme kuvveti için d =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ N Eleman+n davran+/+n+ idare eden diferansiyel denklem( k = ): EI effz y' ' k y = k EI effz x k EI 3 effz N EI effz (4.66) 73

89 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA S+n+r Cartlar+: x= y=1 y'= (4.67a) x= y= y'= (4.67b) Elde edilen A', B', C', D' katsay+lar+ ve diferansiyel deklemin çözümü: (u=k, =oshk, s=sinhk, H=us-+) A' = s, H 1- B' =, H C' = ks, H D' = us + 1 H (4.68a) y = s H 1- sinhkx + H oshkx ks us + 1 x + H H (4.68b) M=EIy"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+k+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: u ( 1) k 3 = k 6 = H 3 u s EI k = k 5 = H EI effz 3 effz (4.69a) (4.69b) d 5 =1 durumu: k 35 k 65 N N y d 5 =1 x k 55 k 5 x -x!ekil Eksenel çekme kuvveti için d 5 =1 durumunda rijitlik katsay+lar+ 74

90 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA N Eleman+n davran+/+n+ idare eden diferansiyel denklem( k = ): EI effz y' ' k y = k 55( x) k + EI EI effz 65 effz N EI effz (4.7a) S+n+r Cartlar+: x= y= y'= (4.71a) x= y=1 y'= (4.71b) Elde edilen A', B', C', D' katsay+lar+ ve diferansiyel deklemin çözümü: (u=k, =oshk, s=sinhk, H=us-+) s 1 ks 1- A' =, B' =, C', D' == (4.7a) H H H H y = s sinhkx H 1 ks 1 + oshkx + x H H H (4.7b) M=EIy"(x=, x=) ve denge denklemleri ara+l+k+ elde edilen rijitlik katsay+lar+: k 35 = k 65 u = ( 1) H EI effz (4.73a) k 5 = k 55 3 u s = H EI effz 3 (4.73b) Analizde eksenel kuvvetin burulma rijitlikine olan etkisi göz önünde bulundurulmad+k+ndan rijitlik katsay+lar+n+n diker terimlerinden burulma rijitlik katsay+s+ ile ilgili dekerleri lineer analizden elde edilen dekerlerle ayn+ olmaktad+rlar (Denklem 3.3j). Bununla birlikte betonarme elemanlar+n+n kesit özelliklerinden dolay+ ekilme nedeniyle olu/an eksenel deformasyonlar betonarme yap+larda genellikle çok önemli olmad+k+ndan analizde göz önünde bulundurulmam+/lard+r. Bu 75

91 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA 76 nedenle rijitlik katsay+lar+n+n eksenel rijitlik katsay+s+ ile ilgili dekerleri de lineer analizden elde edilen dekerlerle ayn+ olmaktad+rlar (Denklem 3.3a). Sonuç olarak geometrik nonlineerlik ve çatlamalar+n etkisi göz önünde bulundurularak, üç boyutlu bir eleman için rijitlik matrisi dekerleri S ve t ifadelerine bakl+ olaak /ekilde genel olarak = k k k k k (4.74a) = z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z 11 S t S t t S t S ) N ( ) t (S t S ) N ( ) t (S AE AE t t S S t S t S ) N ( ) t (S t S ) N ( ) t (S AE AE k (4.74b) = y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y S t S t t S GJ GJ t S ) N ( ) t (S t S ) N ( ) t (S GJ GJ t t S S t S t S ) N ( ) t (S t S ) N ( ) t (S k (4.74) k k 1 1 = = (4.74d) H s)) (u (u EI S m m m effm m = H )) u (s (u EI t m m m effm m = (4.74e)

92 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA u m N = k m k m = s = sin u = os u H m = u ms + ( ) ( ) m=y,z (4.74f) EI effm formunda elde edilmi/lerdir. Bu denklemlerde, eksenel kuvvetin (N) bas+nç olmas+ halinde =1, çekme olmas+ halinde ise =-1 al+nmaktad+r. Yine ayn+ e/itliklerde eksenel kuvvetin çekme olmas+ durumunda sinu ve osu ifadelerinin yerini sinhu ve oshu ifadeleri almaktad+r. Bununla birlikte ayn+ denklemlerdeki A, E ve J dekerleri ise kesit alan+, elastisite modülü ve burulma atalet momentini ifade etmektedirler Yük Vektörlerinin Elde edilmesi kini mertebe etkiler göz önünde bulundurularak düzgün yay+l+ yük ve ara tekil yük etkisi alt+ndaki bir elemanda ankastrelik uç kuvvetleri, eksenel kuvvetin etki ettiki eleman+n davran+/+n+ idare eden denklemin s+n+r /artlar+ alt+nda çözümünden elde edilmektedir. Eksenel kuvvetin bas+nç ve çekme olmas+ durumlar+na göre bu uç kuvvetleri ayr+ ayr+ olarak elde edilmi/lerdir Düzgün Yayl Yük Durumu Eksenel Kuvvetin Basnç Olmas Durumu(N>) z q P 8 P 1 N z N q P 7 = - q P 1 = - x!ekil Eksenel bas+na maruz düzgün yay+l+ yük etkisi alt+ndaki bir kiri/ 77

93 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA Düzgün yay+l+ yüklü eksenel bas+na maruz bir eleman+n davran+/+n+ idare eden difransiyel denklem EI q qx z'' = M = -Nz - x + P8 (4.75) effy + formunda elde edilmekte ve bu denklemin genel çözümü z = A sinkx + Boskx + Cx + Dx + F (4.76) /eklinde olmaktad+r. Genel çözümden elde edilen bu denklem ve z" ifadesi (4.75) e/itlikinde yerine koyulursa C, D ve F katsay+lar+ EI [- Ak Sinkx- Bk Coskx+C ] = -N[ ASinkx+ BCoskx+Cx ] q qx + Dx+ F - x + P8 (4.77a) q qx - x + P8 (4.77b) effy + EI C = -N Cx { + Dx + F} effy + - q D = N C = q N EI F = - N effy q P8 + (4.78) N denklemlerindeki gibi elde edilmektedirler. Bu dekerler de göz önünde bulundurularak genel çözümü ifade eden denklem z = ASinkx + Boskx + q N x q EIq P EI 8 effyq - x - + (4.79) N N N N /eklinde elde edilmektedir. A ve B katsay+lar+ ile P 8 dekeri ise x= z= (4.8a) x= z'= (4.8b) x= z= (4.8) 78

94 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA denklemlerinde verilen s+n+r /artlar+ göz önünde bulundurularak ve olmak üzere (4.81) ve (4.8) e/itliklerindeki gibi elde edilmektedirler. k = N EI effy P8 B = - N EI + N effy q, A = q kn (4.81) EI q effy us q us P8 = 1+ = 1 + u=k =osk s=sink (4.8) N ( -1) u ( -1) Moment dengesi de göz önünde bulundurularak P 1 dekeri EI q effy us q us P1 = P8 = 1+ = N (4.83) ( -1) u ( -1) /eklinde elde edilmektedir Eksenel Kuvvetin Çekme Olmas Durumu(N<) Düzgün yay+l+ yük etkisi alt+ndaki çekme kuvvetine maruz bir elemanda ankastrelik uç kuvvetleri ise bir öneki bölümde olduku gibi ayn+ i/lem ad+mlar+ uygulanarak elde edilmektedirler. Z q P 8 P 1 N z N q P 7 = - q P 1 = - x!ekil Eksenel çekmeye maruz düzgün yay+l+ yük etkisi alt+ndaki kiri/ 79

95 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA Düzgün yay+l+ yüklü eksenel çekmeye maruz bir eleman+n davran+/+n+ idare eden difransiyel denklem EI q z' ' = M = Nz - x + P effy 8 + qx (4.84) /eklinde elde edilmekte ve bu denklemin genel çözümü z = A'sinhkx + B'oshkx + C' x + D' x + F' (4.85) olarak bulunmaktad+r. Genel çözümden elde edilen denklem (4.84) e/itlikinde yerine koyulur ve gerekli düzenlemeler yap+l+rsa C', D' ve F' katsay+lar+ C' = - q N D' = q N F' = - EI effy N q P8 (4.86) N /eklinde elde edilmektedirler. Bu dekerler (4.85) e/itlikinde yerine koyulursa genel çözümü ifade eden denklem z = A'sinhkx + B'oshkx - q N x q EIeffyq P8 + x - (4.87) N N N formunda elde edilmektedir. A' ve B' katsay+lar+ ile P 8 dekeri x= z= (4.88a) x= z'= (4.88b) x= z= (4.88) verilen s+n+r /artlar+ da göz önünde bulundurularak u=k =oshk s=sinhk (4.89) 8

96 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA olmak üzere B = EI effy N q f 8 - q + A = (4.89) N kn q us P8 = -1 (4.9) u ( -1) /eklinde elde edilmektedirler. Moment dengesi de göz önünde bulundurularak P 1 dekeri = q us P1 -P8 = - 1- (4.91) u ( -1) Sonuç olarak düzgün yay+l+ yüklü çekme veya bas+nç kuvvetine maruz bir elemanda çatlamalar ve ikini mertebe etkiler göz önünde bulundurularak ankastrelik uç kuvvetleri a/ak+da verilen denklemdeki gibi elde edilmi/tir. P1 P P3 P4 P 5 P6 P = P 1 = P = P 3 = P 4 = P 5 = P 6 = P 9 = P 11 = (4.9) P7 P8 P 9 P1 P11 P 1 81

97 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA Tekil Yük Durumu z P 8 P P 1 N P 7 x a z 1 z N P 1!ekil Eksenel bas+na maruz düzgün tekil yük etkisi alt+ndaki kiri/ Tekil yük etkisi alt+ndaki eksenel bas+na maruz bir eleman+n davran+/+n+ idare eden difransiyel denklemler EI z + (4.93a) 1' ' = -Nz1 + P7 x P8 EI z (4.93b) '' = -Nz + P1 ( - x) P1 /eklinde elde edilmekte ve N EI k = olmak üzere bu diferansiyel denklemlerin effy genel çözümleri a/ak+daki denklemlerdeki gibi elde edilmektedirler. z z 1 = A1sinkx + B1oskx + C1x + D1 = Asinkx + Boskx + Cx + D (4.94a) (4.94b) Genel çözümden elde edilen bu denklemler ve x= z 1 = z 1 ' = (4.95a) x=a z 1 =y z 1 ' = z ' z 1 ''= z '' EI effy z '''=EI effy z '''-P (4.95b) x= z = z ' = (4.95) 8

98 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA /eklinde verilen s+n+r ko/ular+ göz önünde bulundurularak (A - A1)sinka + (B - B1)oska + (C - C1)a + D - D1 = (4.96a) (A - A1) koska - (B - B1)ksinka + C - C1 = (4.96b) - (A - A1) k sinka - (B - B1) k oska = (4.96) 3 3 P - (A - A1) k oska + (B - B1) k sinka = EI (4.96d) A sink + Bosk + C + = D (4.96e) A kosk - Bksink + = C (4.96f) A k = C (4.96g) B1 + 1 = D. (4.96h) denklemleri elde edilmektedirler. Bu denklemlerin çözümünden edilen katsay+lar (4.94a) e/itlikinde yerine konur ve elde edilen dekerin (4.93a) denkleminde yerine koyularak x= noktas+nda çözümünden P 8 dekeri, ayn+ denklemin türevi al+narak ayn+ noktada (x=) çözümünden de P 7 dekeri elde edilmektedir. u=k, H=us+-, a=d ve b=1-d olmak üzere N P 8 = - (buosu - sinu + sindu + sinbu - u osbu + du) (4.97) uh /eklinde elde edilmektedir. P 1 ve P 1 dekerleri ise denge denklemleri ara+l+k+ ile elde edilmektedirler. Tekil yük etkisi alt+ndaki çekme kuvvetine maruz bir elemanda ankastrelik uç kuvvetleri ise ayn+ i/lem ad+mlar+ uygulanarak ilk etapta u=k, H=us-+, a=d ve b=1-d olmak üzere N P 8 = - (buoshu - sinhu + sinhdu + sinhbu - u oshbu + du) (4.98) uh 83

99 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA dekeri elde edilmektedir. Yük vektörünün diker terimleri ise eksenel bas+nç durumundaki gibi, benzer i/lem ad+mlar+ uygulanarak ve denge denklemleri ara+l+k+ ile elde edilmektedirler Bilgisayar Program Çatlamalar ve ikini mertebe etkiler göz önünde bulundurularak betonarme çerçevelerin üç boyutlu analizi için geli/tirilen bilgisayar program+ Fortran 77 dilinde yaz+lm+/ olup çözüm algoritmas+n+n ak+/ diyagram+ Cekil 4.19 da gösterilmi/tir. Programda, yükler yap+ya ad+m ad+m uygulan+p her yük ad+m+nda iteratif i/lemlere ba/vurulmaktad+r. lk yük ad+m+n+n ba/lang++nda yap+ lineer elastik analiz göz önünde bulundurularak çözümlenmekte ve bu çözümleme sonuunda kiri/ ve kolon elemanlarda olu/an moment dekerlerine bakl+ olarak çatlayan ve çatlamayan bölgeler belirlenip geli/tirilen formülasyonlar +/+K+ alt+nda deplasmanlarla eleman uç kuvvetleri elde edilmektedir. Her iterasyonda sonua daha çabuk ve kolay ula/+labilmesi için bu iterasyondan öneki iterasyonlardaki uç kuvveti dekerlerinin ortalamas+ kullan+larak çözümlemeler yap+lamaktad+r. Her yük ad+m+nda birbirini izleyen iki iterasyondaki eleman uç kuvvetleri aras+ndaki belirlenen yak+nsakl+k+n saklan+na iterasyonlara son verilmekte ve diker yük ad+m+na geçilmektedir. Programda P n i P n1 Pi n i R (4.99) /eklinde yak+nsakl+k kriterleri tan+mlanm+/t+r. Bu denklemdeki R eleman uç kuvvetleri aras+ndaki yak+sakl+k kriterini, n iterasyon numaras+n+, P n i ve P n-1 i yük ad+m+ içerisindeki n. ve (n-1). iterasyonlarda elemanda olu/an uç kuvveti dekerlerini ifade etmektedirler. 84

100 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA Yap" ve eleman özelliklerinin girilmesi D", yüklerin girilmesi Yap"n"n ba,lang"ç yük durumu için lineer analizle çözümlenmesi nad=1 Kolonlarda eksenel yük düzeylerine bal" olarak çatlama momenti M r nin hesaplanmas" Eleman uç kuvvetlerinin kullan"larak kiri, ve kolon elemanlarda çatlayan ve çatlamayan bölgelerin belirlenmesi Etkili atalet momenti ve etkili kayma modülü deerleri kullan"larak eleman rijitlik matrisi, eleman yük vektörü ve sistem rijitik matrisinin elde edilmesi Deplasmanlar"n ve eleman uç kuvvetlerinin hesaplanmas" Bir öneki iterasyondan yararlan"larak uç kuvvetlerinin hesab" Hay"r n P i P i P n i n1 R Bir öneki yük ad"m"ndaki son iterasyondan yararlan"larak uç kuvvetlerinin hesab" Evet nad>n1 Evet Sonuçlar"n ç"kt" dosyas"na yaz"lmas" Hay"r Yükün art"m"n"n yap"lmas" nad=nad+1!ekil 4.. Bilgisayar program+ ak+/ diyagaram+ 85

101 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA Çatlamalar ve ikini mertebe etkiler göz önünde bulundurularak betonarme çerçevelerin üç boyutlu analizi için geli/tirilen program, gerek bilgi giri/i gerekse program+n yap+s+ yönünden bir öneki bölümde de ayr+nt+l+ bir /ekilde aç+klanan, çatlamalar+n etkisi göz önünde bulundurularak geli/tirilen programa benzerlik göstermektedir. Bu programda da veri giri/i herhangi bir editör yaz+l+m+ ile haz+rlanabilen ve data bloklar+ndan olu/an data dosyas+ ile yap+lmaktad+r. Data dosyas+ bir öneki programda olduku gibi genel bilgiler, eleman özellikleri, koordinatlar, mesnet 7artlar ve yükler olmak üzere be/ bölümden olu/makta ve sadee genel bilgiler ve yükler k+sm+nda bilgi giri/i yönünden diker programa göre baz+ farkl+l+klar içermektedir. Çatlamalarla birlikte ikini mertebe etkiler göz önünde bulundurularak geli/tirilen yöntemde diker yöntemden farkl+ olarak elemanlar+n etkili atalet momentlerinin hesab+nda sadee olas+l+ka dayal+ etkili rijitlik modelinin kullan+lmas+ ve analizde kayma deformasyonlar+ etkisinin göz önünde bulundurulmamas+ nedeniyle genel bilgiler data blokunda bilgi giri/i diker programa göre farkl+l+k göstermektedir. Bu data blokuna Np Nm Ik Ikk Est Gn /eklinde, Np:Yap+daki toplam düküm say+s+ Nm: Yap+daki toplam eleman say+s+ Ik: Çatlamay+ kontrol eden parametre Est: ÇeliKin elastisite modülü Gn: Geometrik nonlineerlik etkisini kontrol eden parametre dekerleri girilmektedir. Çatlamay+ ve geometrik nonlineerliki kontrol eden parametreler 1 olarak girilmi/se, analizde çatlama ve geometrik nonlineerlik etkisi göz önünde bulundurulaakt+r. Bu dekerler s+f+r olarak girildikinde ise çatlama ve/veya geometrik nonlineerlik etkisi analizde göz önünde bulundurulmayaakt+r. Data dosyas+n+n eleman özellikleri, koordinatlar, mesnet /artlar+ data bloklar+na bilgi giri/i ise öneki bölümde ayr+nt+l+ /ekilde aç+klanan programla ayn+ 86

102 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA /ekilde yap+lmaktad+r. Yükler data blokunda ise baz+ farkl+l+klar olu/maktad+r. Bu data blokunda bilgi giri/i, yay+l+ yükler ve düküm yükleri olmak üzere iki k+s+mdan olu/maktad+r. Elemanlar üzerine gelen yay+l+ yükler birbirine e/it olduklar+ zaman bu dekerler türetme yap+larak a/ak+daki gibi girilebilir. Buradaki, Kb Ks Kt Yyukb Tekb Ai Yyart Tekart N1 Kb: Türetmesi yap+laak ilk eleman+n numaras+ Ks: Türetmesi yap+laak son eleman+n numaras+ Kt: Türetme miktar+ Yyukb: Eleman üzerindeki yay+l+ yükün ba/lang+ç dekeri Tekb: Elemana etkiyen tekil yükün ba/lang+ç dekeri Ai: Tekil yükün sol mesnetten olan uzakl+k+ Yyart: Yay+l+ yük art+m dekeri Tekart: Tekil yük art+m dekeri N1: Yük ad+m say+s+ dekerleridir. EKer türetme sözkonusu dekilse K1 Yyukb Tekb Ai Tekart Yyart N1 formunda, dekerleri girilmektedir. Yükler data blokunun düküm yükleri bölümünde ise /eklinde, Ky Y1 Y Y3 Y4 Y5 Y6 Y1art Yart Y3art Y4art Y5art Y6art Ky: DüKüm Numaras+ Y1: DüKüme x yönünde etkiyen kuvvetin ba/lang+ç dekeri Y: DüKüme y yönünde etkiyen kuvvetin ba/lang+ç dekeri Y3: DüKüme z yönünde etkiyen kuvvetin ba/lang+ç dekeri 87

103 4. GEOMETRK NONNEERK ve ÇATAMAARIN ETKS GÖZ ÖNÜNDE BUUNDURUARAK BETONARME ÇERÇEVEERN ÜÇ BOYUTU ANAZ lker Fatih KARA Y4: DüKüme etkiyen burulma momentin ba/lang+ç dekeri dekeri dekeri Y5: DüKüme etkiyen y ekseni etraf+ndaki ekilme momentinin ba/lang+ç Y6: DüKüme etkiyen z ekseni etraf+ndaki ekilme momentinin ba/lang+ç Y1art: DüKüme x yönünde etkiyen kuvvetin art+m dekeri Yart: DüKüme y yönünde etkiyen kuvvetin art+m dekeri Y3art: DüKüme z yönünde etkiyen kuvvetin art+m dekeri Y4art: DüKüme etkiyen burulma momentin art+m dekeri Y5art: DüKüme etkiyen y ekseni etraf+ndaki ekilme momentinin art+m dekeri Y6art: DüKüme etkiyen z ekseni etraf+ndaki ekilme momentinin art+m dekeri s+ras+yla girilmektedirler. 88

104 5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA 5. ARATIRMA BUGUARI 5.1. Giri Bu bölümde ilk etapta, çatlamalardan sonra kiri' ve kolonlar)n e*ilme ve kayma rijitli*inde olu'an de*i'imler göz önünde bulundurularak betonarme çerçevelerin üç boyutlu analizi için geli'tirilen analitik yöntemin do*rulu*unu ve uygulanabilirli*ini belirlemek ama)yla literatürde mevut olan ve deneysel çal)'malar) yap)lm)' yatay ve dü'ey yükler etkisi alt)ndaki betonarme çerçeve örnekleri, geli'tirilen bilgisayar program) ara)l)*) ile çözümlenmi' ve elde edilen sonuçlar deneysel sonuçlarla kar')la't)r)lm)'t)r. Daha sonra ise yatay ve dü'ey yükler etkisi alt)ndaki üç boyutlu betonarme çerçeve örne*i, kiri' ve kolonlarda olu'an çatlamalar göz önünde bulundurularak analiz edilmi' ve gerek yap)da olu'an rölatif yatay ötelemeler, gerekse yatay deplasmanlar)n uygulanan yüklere ba*l) olarak de*i'imi elde edilerek, bu de*erlerin lineer analiz sonuçlar)na göre nas)l bir de*i'im gösterdi*i görülmeye çal)')lm)'t)r. Ayr)a de*i'ik kat ve farkl) boyutlara sahip üç boyutlu betonarme çerçeve örnekleri de çatlamalar)n etkisi göz önünde bulundurularak analiz edilmi'tir. Bu örneklerde e'de*er deprem yüküne göre elde edilen ve katlar)n master noktalar)na etkiyen yatay yükler belirli oranlarda artt)r)larak çatlamalar)n göz önünde bulundurulmas) ve bulundurulmamams) durumlar) için yap)da olu'an maksimum rölatif yatay ötelemelerin uygulanan yatay yüklere göre de*i'imi inelenmi' ve TDY de verilen s)n)r de*erlerin a')p a'mad)*) kontrol edilmi'tir. Bu bölümde son olarak yatay ve dü'ey yükler etkisi alt)ndaki betonarme çerçeve örnekleri geometrik nonlineerlik ve çatlamalar)n etkisi göz önünde bulundurularak geli'tirilen bilgisayar program) ara)l)*) ile çözümlenmi' ve elde edilen yatay deplasmanlar)n yatay yüklerin artmas)na ba*l) olarak lineer analiz sonuçlar)na göre nas)l biri de*i'im gösterdi*i görülmeye çal)')lm)'t)r. Ayr)a çatlamalarla birlikte geometrik nonlineerlik etkilerin yap) davran)') üzerine olan etkisi irdelenmeye çal)')lm)'t)r. Yatay ve dü'ey yükler etkisi alt)ndaki gerek iki boyutlu gerekse üç boyutlu betonarme çerçeve örneklerinin bu çal)'mada geli'tirilen 89

105 5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA bilgisayar program) ara)l)*) ile çözümlenmesinden, özellikle proje mühendisleri için önemli olabileek elemanlardaki çatlamalar)n olu'um s)ras) ve uygulanan yüklere ba*l) olarak elemanlar)n e*ilme rijitli*inde olu'an de*i'imler de elde edilmi'tir. 5.. Örnekler Örnek 1 Chan ve ark.() taraf)ndan gerek deneysel çal)'mas) yap)lm)' gerekse geli'tirdikleri modeller ara)l)*) ile çözülen bu örnek yatay ve dü'ey yükler etkisi alt)ndaki iki katl) betonarme çerçeveden olu'maktad)r. Betonarme yap) alt) elemandan olu'aak 'ekilde modellenmi' olup gerek betonarme yap)ya gerekse elemanlara ait özellikler ekil 5.1 de gösterilmi'tir. kn kn B B B 6 Q C3 C A 3 A C1 B1 B B A A 4 C A-A kesiti A A A 1 3 A 3 5 B-B kesiti 5 ekil 5.1. Yatay ve dü'ey yükler etkisi alt)ndaki iki katl) betonarme çerçeve örne*i (mm) Örnekte yap)ya etkiyen eksenel yükler sabit kalmak üzere yatay yükler (Q) betonarme çerçeve ta')ma güüne eri'ineye kadar artt)r)larak, 6 numaral) dü*ümde olu'an yatay deplasmanlar elde edilmi'tir. Analizde etkili atalet momentlerinin 9

106 5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA hesab)nda ACI ve olas)l)*a dayal) etkili rijitlik modeli, etkili kayma modüllünün hesab)nda ise Al-Mahaidinin önermi' oldu*u yöntem kullan)lm)'t)r. Betonun elastisite modülü ve e*ilmedeki çekme dayan)mlar)n)n elde edilebilmesi için ACI taraf)ndan a'a*)da verilen denklemler kullan)lm)'t)r. f tf =.6 E =473 f (N/mm ) (5.1) f (N/mm ) (5.) Bu denklemlerdeki f ve f tf de*erleri betonun karakteristik bas)nç dayan)m) ve e*ilmedeki çekme dayan)m) de*erleridir. Bu çal)'mada çatlamalar)n etkisi göz önünde bulundurularak geli'tirilen analitik yönteme ba*l) olarak çerçevenin 6 numaral) dü*ümünde elde edilen yatay deplasmanlar)n gerek lineer elastik analiz, gerekse di*er analitik model ve deneysel çal)'ma sonuçlar)yla kar')la't)r)lmas) ekil 5. de gösterilmi'tir. Yatay yük(kn) Yatay deplasman(mm) Deneysel sonuçlar ineer analiz Çatlama göz önünde bulunduruluyor(aci modeli) Chan ve ark.() ekil 5.. Deneysel ve analitik çal)'ma sonuçlar)ndan elde edilen yatay deplasmanlar)n kar')la't)r)lmas) ekilden görüldü*ü gibi lineer analiz sonuu elde edilen yatay deplasman de*eri ile gerek deneysel gerekse bu çal)'mada elde edilen de*erler aras)nda, çerçeveye 91

107 5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA uygulanan yatay yükün artmas)na ba*l) olarak büyük farkl)l)klar olu'tu*u görülmektedir. Betonarme çerçeveye uygulanan yatay yükün çerçevenin ta')ma güü yükünün %7 ine ula't)*) anda lineer analiz sonuu elde edilen yatay deplasmanlar deneysel olarak elde edilen de*erin %41 ine e'it olmaktad)r. Ayn) yatay yük düzeyinde bu çal)'mada elde edilen deplasman de*eri ise deneysel olarak elde edilen de*erin %9 sine kar')l)k gelmektedir. Yatay yükün betonarme çerçevenin ta')ma güü yükünün %5 sine e'it oldu*u düzeyde ise lineer analiz sonuu elde edilen yatay deplasmanlar deneysel olarak elde edilen de*erin %51 ine kar')l)k gelirken bu çal)'mada elde edilen deplasman de*eri ile deneysel olarak elde edilen de*er yakla')k olarak birbirine e'it olmaktad)r. Elde edilen bu sonuçlara ba*l) olarak kullan)labilirlik yük düzeyinde bile betonarme elemanlar)n çok dü'ük yük düzeyinde çatlamas)ndan dolay) e*ilme ve kayma rijitliklerinde olu'an azalmalar nedeniyle lineer elastik modelin ne kadar yanl)' sonuçlar verdi*i aç)kça görülmektedir. Bununla birlikte bu çal)'mada geli'tirilen analitik yöntem deplasman de*erlerini çerçevenin ta')ma güü yükünün %78 ine kadar deneysel sonuçlarla büyük bir yak)nl)k içerisinde elde etmektedir. Bu yük düzeyinden sonra bu çal)'mada elde edilen sonuçlarla deneysel sonuçlar ars)nda büyük bir farkl)l)k olu'tu*u görülmü'tür. Bu farkl)l)*)n olu'mas)n)n en büyük nedenleri ise kullan)labilirlik yük düzeyinden sonra özellikle ta')ma güüne de yakla')ld)kça beton ve çelik malzemelerin lineer olmayan davran)'lar)n)n daha etkin hale gelmesi ve kiri' ve kolon uçar)nda plastik mafsallar)n olu'mas)yla birlikte dü*üm noktalar) ivar)nda büyük deplasmanlar)n meydana gelmesi 'eklinde ifade edilebilir. Yatay ve dü'ey yükler etkisi alt)ndaki betonarme çerçeve örne*i ayr)a çatlamalardan sonra kiri' ve kolon elemanlar)n)n etkili atalet momentlerinin hesab)nda de*i'ik modeller kullan)larak analiz edilmi' ve elde edilen yatay deplasman de*erlerine ba*l) olarak bu modellerin kar')la't)r)lmas) ekil 5.3 de gösterilmi'tir. Etkili atalet momentlerinin hesab)nda farkl) modeller kullan)lmas)na kar')n elde edilen deplasman de*erlerinin birbirine oldukça yak)n oldu*u görülmektedir 9

108 5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA Yatay yük(kn) Yatay deplasman(mm) Deneysel sonuçlar Çatlama göz önünde bulunduruluyor(aci modeli) Çatlama göz önünde bulunduruluyor(olas/l/a dayal/ etkili rjitlik modeli) ekil 5.3. Etkili atalet momenti hesab)nda farkl) modeller kullan)larak elde edilen yatay deplasmanlar)n kar')la't)r)lmas) 1.8 I eff /I Yatay yük(kn) C1 kolonu C kolonu C3 kolonu C4 kolonu B1 kiri3i B kiri3i ekil 5.4. Kiri' ve kolonlar)n etkili atalet momentlerinin yatay yüke göre de*i'imi 93

109 5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA Betonarme çerçeveye uygulanan yatay yükün artmas)na ba*l) olarak elemanlardaki çatlamalar)n olu'um s)ras) ve elemanlar)n e*ilme rijitli*inde olu'an de*i'imler analizde etkili atalet momentlerinin hesab)nda olas)l)*a dayal) etkili rijitlik modeli göz önünde bulundurularak elde edilmi' ve ekil 5.4 de gösterilmi'tir. ekilden görüldü*ü gibi ilk olarak betonarme çerçevenin birini ve ikini kat)ndaki kiri'lerde yatay yükün ve 3 kn oldu*u düzeylerde çatlama olu'makta ve yatay yükün bu de*erinden sonra kiri'lerin e*ilme rijitliklerinde oldukça h)zl) bir 'ekilde azalma meydana gelmektedir. Yatay yükün 45 kn ve 48 kn oldu*u seviyelerde ise, kolonlardan ilk olarak yatay yükün uyguland)*) taraftaki C4 ve C kolonlar) s)ras) ile çatlamakta olup, yükün bu düzeyinde birini ve ikini kattaki kiri'lerin atalet momenti de*erleri çatlamam)' kesit atalet momenti de*erlerinin s)ras) ile %5 ve %61 ine e'it olmaktad)r. Kiri'lerin çatlamas)yla birlikte yüklerin büyük bir k)sm) C ve C4 kolonlar)na aktar)lm)' ve sonuç olarak bu kolonlarda çatlama olu'mu'tur. Yatay yükün uyguland)*) noktan)n kar') taraf)ndaki kolonlar ise bu yük düzeyinden farkl) olarak s)ras) ile 55 kn ve 6 kn luk yatay yük düzeylerinde çatlam)'t)r. Bu kolonlar)n di*er kolonlara göre daha büyük bir yatay yük düzeyinde çatlamas)n)n nedeni ise bu kolonlarda olu'an eksenel kuvvetin di*er kolonlara göre daha büyük olmas)ndan kaynaklanmakta olup en büyük eksenel kuvvet en son çatlayan C1 kolonunda olu'maktad)r. Ayr)a ekil 5.4 den görüldü*ü gibi betonarme çerçeveye uygulanan yatay yükün çerçevenin ta')ma güü yükünün %5 sine ula't)*) anda birini ve ikini kattaki kiri'lerin atalet momenti çatlamam)' kesit atalet momenti de*erlerinin s)ras) ile %46 ve %51 ine e'it olurken, ikini kattaki C3 ve C4 kolonlar)n)n atalet momentleri çatlamam)' kesit atalet momentlerinin %71 ve %67 sine e'it olmaktad)r. Ayn) 'ekilde birini kattaki C1 ve C kolonlar)n)n atalet momenti de*erleri ise çatlamam)' kesit atalet momenti de*erlerinin %7 ve %61 ine kar')l)k gelmektedir. Bununla birlikte yatay yük çerçevenin ta')ma güü yükünün %78 ine ula't)*) anda C1, C, C3 ve C4 kolonlar)n)n atalet momenti de*erleri çatlamam)' kesit atalet momenti de*erlerinin s)ras) ile %6, %53, %6 ve %55 ine e'it olurken, birini ve ikini kattaki kiri'lerin atalet momenti de*erleri çatlamam)' kesit atalet momenti de*erlerinin %45 ve %46 s)na kar')l)k gelmektedir. Elde edilen bu sonuçlara göre betonarme çerçevelerde çatlamalar)n etkisinin analizlerde, 94

110 5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA kiri'lerin atalet momentinin çatlamam)' kesit atalet momentinin %5 si, kolonlar)n atalet momentlerinin çatlamam)' kesit atalet momentlerinin %8 i al)narak yatay deplasmanlar)n elde edilmesi (Stafford ve Coull, 1991) her zaman emniyetli yönde kalan bir yöntem olmad)*) görülmektedir. Yatay deplasman(mm) terasyon says ekil 5.5. Yatay deplasman)n iterasyon say)s)na göre de*i'imi 1.9 I eff /I 1 I eff /I 1 Ieff/I Iterasyon says C1 kolonu C kolonu C3 kolonu C4 kolonu B1 kiri3i B kiri3i ekil 5.6 Etkili atalet momentlerinin iterasyon say)s)na göre de*i'imi ekil 5.6. Etkili atalet momentlerinin iterasyon say)s)na göre de*i'imi ekil 5.5 ve ekil 5.6 de betonarme çerçeveye uygulanan yatay yükün 155 kn oldu*u düzeyde artan iterasyonlara ba*l) olarak yatay deplasman ve etkili atalet momentinde olu'an de*i'imler görülmektedir. ekilden gerek deplasmanlar)n gerekse etkili atalet momenti de*erlerinin 5 iterasyondan sonra sonua ula't)*) 95

111 5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA görülmektedir. Rijitlik matrisi yöntemine dayand)r)larak geli'tirilen yöntem gerek deplasmanlar) gerekse etkili atalet momenti de*erlerini oldukça h)zl) bir 'ekilde elde edebilmektedir. Yatay ve dü'ey yükler etkisi alt)ndaki betonarme çerçevede kayma deformasyonlar) etkisinin çerçevenin 6 numaral) dü*ümünde olu'an yatay deplasmanlar üzerine olan etkisi ekil 5.7 de gösterilmi'tir. ekilden çerçeveye uygulanan yatay yükün çerçevenin ta')ma güü yükünün %78 oldu*u düzeyde kayma deformasyonlar) etkisinden kaynaklanan deplasman)n toplam yatay deplasman)n yakla')k olarak %14 nü olu'turdu*u ve yatay yükün bu düzeyinden sonra ta')ma güüne yakla')lmas)yla birlikte bu yüzdenin daha da artt)*) görülmektedir. Ayr)a çatlamalardan sonra elemanlar)n e*ilme ve etkili kayma rijitli*indeki de*i'imler göz önünde bulundurularak bu çal)'mada geli'tirilen yöntemle elde edilen sonuçlar)n, Chan ve ark. () taraf)ndan çatlamalardan sonra kayma rijitli*inde olu'an de*i'imler göz önünde bulundurmadan geli'tirdikleri yöntemlerden elde ettikleri sonuçlara göre daha iyi oldu*u görülmektedir (ekil 5.). Yatay yük (kn) Yatay deplasman(mm) Kayma deformasyonlar/ göz önünde bulunduruluyor Kayma deformasyonlar/ göz önünde bulundurulmuyor ekil 5.7. Kayma deformasyonlar) etkisinin yatay deplasmanlar üzerine olan etkisi 96

112 5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA 5... Örnek Bu örnek deneysel çal)'mas) Vehio ve Emara (199) taraf)ndan yap)lm)' yatay ve eksenel yükler etkisi alt)ndaki iki katl) betonarme çerçeveden olu'maktad)r. Betonarme yap) 6 elemandan olu'aak 'ekilde modellenmi' olup, yap) ve elemanlara ait özellikler ekil 5.8 den görülmektedir. Örnekte betonarme çerçeveye uygulanan dü'ey yükler sabit kalmak üzere yatay yükler (Q) yap) ta')ma güüne eri'ineye kadar artt)r)larak çerçevenin ikini kat)ndaki 5 numaral) dü*ümde olu'an yatay deplasmanlar elde edilmi'tir. Analizde etkili atalet momentlerinin hesab)nda ACI ve olas)l)*a dayal) etkili rijitlik modeli, etkili kayma modüllerinin hesab)nda ise Al-Mahaidi nin önermi' oldu*u yöntem kullan)lm)'t)r. Q A 3 A 7 kn 7 kn B 5 B B 6 C3 C4 A A A A B1 B 4 B A A C1 C A-A Kesiti B-B Kesiti ekil 5.8. ki katl) betonarme çerçeve örne*i 5 97

113 5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA Çatlamalar)n etkisi göz önünde bulundurularak bu çal)'mada geli'tirilen analitik yönteme ba*l) olarak betonarme çerçevenin 5 numaral) dü*ümünde elde edilen yatay deplasmanlar)n gerek lineer analiz, gerekse di*er analitik model sonuçlar) ve deneysel çal)'ma sonuçlar) ile kar')la't)r)lmas) ekil 5.9 da gösterilmi'tir. ekilden çerçeveye uygulanan yatay yükün artmas)na ba*l) olarak lineer analiz ile elde edilen deplasman de*erleri ile gerek deneysel gerekse bu çal)'mada elde edilen sonuçlar aras)nda büyük farkl)l)klar olu'tu*u görülmektedir. Yatay yük(kn) Yatay deplasman(mm) Deneysel sonuçlar Çatlama göz önünde bulunduruluyor (ACI modeli) ineer analiz Vehio ve Emara(199) Yatay yük(kn) Yatay deplasman(mm) Deneysel sonuçlar Çatlama göz önünde bulunduruluyor (ACI modeli) Chan ve ark.() ekil 5.9. Deneysel ve analitik çal)'ma sonuçlar)ndan elde edilen yatay deplasmanlar)n kar')la't)r)lmas) 98

114 5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA Betonarme çerçeveye uygulanan yatay yükün 7 kn oldu*u düzeye kadar bu çal)'mada elde edilen sonuçlarla deneysel sonuçlar)n oldukça uyum içerisinde oldu*u görülmektedir. Bununla birlikte yatay yükün 7 kn oldu*u düzeyden sonra Vehio ve Emara n)n (199) geli'tirdikleri yönteme ba*l) olarak elde ettikleri sonuçlarla deneysel sonuçlar)n büyük bir yak)nl)k içerisinde oldu*u görülmektedir. Fakat bu çal)'mada, yatay yükün 7 kn oldu*u düzeye kadar Vehio ve Emara taraf)ndan elde edilen sonuçlara göre daha iyi sonuçlar elde edilmi'tir. Yatay yükün bu de*erinden sonra özellikle çerçevenin ta')ma güü yüküne yakla')ld)kça deneysel sonuçlarla bu çal)'mada elde edilen sonuçlar aras)nda büyük farkl)l)*)n olu'tu*u görülmektedir. Bu farkl)l)*)n en önemli nedenleri ise çerçeveye uygulanan yükün kullan)labilirlik yük düzeyini a'mas) ve ta')ma güü yüküne yakla')lmas)yla birlikte malzeme nonlineerli*inin yap) davran)') üzerinde daha önemli bir etkiye sahip olmas) ve kiri' ve kolon uçlar)ndaki plastik mafsal olu'umlar)n)n etkisi 'eklinde aç)klanabilir. Yatay yük(kn) Yatay deplasman(mm) Deneysel sonuçlar Çatlama göz önüde bulunduruluyor (ACI modeli) Çatlama göz önünde bulunduruluyor (Olas/l/a dayal/ etkili rijitlik modeli) ekil 5.1. Etkili atalet momenti hesab)nda farkl) modeller kullan)larak elde edilen yatay deplasmanlar)n kar')la't)r)lmas) Betonarme çerçeve örne*i ayr)a kiri' ve kolon elemanlar)n)n etkili atalet momentlerinin hesab)nda farkl) modeller kullan)larak da analiz edilmi' ve elde edilen 99

115 5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA yatay deplasmanlara ba*l) olarak bu modellerin kar')la't)r)lmas) ekil 5.1 da gösterilmi'tir. Çatlamalardan sonra elemanlar)n etkili atalet momentlerinin hesab)nda farkl) modeller kullan)lmas)na kar')n elde edilen sonuçlar)n birbirine oldukça yak)n oldu*u görülmektedir. Betonarme çerçeveye uygulanan yatay yüke ba*l) olarak elemanlardaki çatlamalar)n olu'um s)ras) ve elemanlar)n e*ilme rijitli*inde olu'an de*i'imler analizde etkili atalet momentlerinin hesab)nda olas)l)*a dayal) etkili rijitlik modelinin göz önünde bulundurulmas) halinde elde edilmi' ve ekil 5.11 de gösterilmi'tir. ekilden görüldü*ü gibi ilk olarak çerçevenin birini ve ikini kat)ndaki kiri'ler yatay yükün s)ras) ile 4 kn ve 65 kn oldu*u düzeylerde çatlamaktad)rlar. Daha sonra çerçevenin birini kat)ndaki C1 ve C kolonlar)nda yatay yükün 85 kn ve 95 kn oldu*u düzeylerde çatlama olu'maktad)r. En son olarak ikini kattaki C3 ve C4 kolonlar) yatay yükün 15 kn ve 135 kn oldu*u düzeylerde çatlamaktad)rlar. 1.8 I eff /I Yatay yük(kn) C1 kolonu C kolonu C3 kolonu C4 kolonu B1 kiri3i B kiri3i ekil Kiri' ve kolonlar)n etkili atalet momentlerinin yatay yüke göre de*i'imi ekil 5.11 den ayr)a görüldü*ü gibi betonarme çerçeveye uygulanan yatay yükün çerçevenin ta')ma güü yükünün %8 ine ula't)*) anda birini ve ikini kattaki kiri'lerin atalet momenti çatlamam)' kesit atalet momenti de*erlerinin s)ras) ile %45 1

116 5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA ve %47 sine e'it olurken, birini kattaki C1 ve C kolonlar)n)n atalet momenti de*erleri ise çatlamam)' kesit atalet momenti de*erlerinin %55 ve %58 sine kar')l)k gelmektedir. Ayn) yük düzeyinde ikini kattaki C3 ve C4 kolonlar)n)n atalet momentleri ise çatlamam)' kesit atalet momentlerinin %6 ve %65 ine e'it olmaktad)r. Betonarme çerçeveye uygulanan yatay yükün 7 kn oldu*u düzeyde artan iterasyonlara ba*l) olarak yatay deplasmanda ve etkili atalet momentinde olu'an de*i'imler ekil 5.1 ve ekil 5.13 de görülmektedir. ekillerden gerek deplasmanlar)n gerekse etkili atalet momenti de*erlerinin 4 iterasyondan sonra çok çabuk bir 'ekilde sonua ula't)*) görülmektedir. Yatay deplasman (mm) terasyon says ekil 5.1. Yatay deplasman)n iterasyon say)s)na göre de*i'imi 1.9 I eff /I 1 Ieff/I terasyon says C1 kolonu C kolonu C3 kolonu C4 kolonu B1 kiri'i B kiri'i ekil Etkili atalet momentlerinin iterasyon say)s)na göre de*i'imi 11

117 5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA Yatay ve dü'ey yükler etkisi alt)ndaki betonarme çerçevede kayma deformasyonlar) etkisinden kaynaklanan deplasman)n toplam yatay deplasmana olan katk)s) ekil 5.14 de gösterilmi'tir. ekilden görüldü*ü gibi, çerçeveye uygulanan yatay yükün artmas)na ba*l) olarak kayma deformasyonlar) etkisinden kaynaklanan deplasmanlar)n toplam deplasmana olan katk)s)n)n artt)*) ve çerçeveye uygulanan yatay yükün çerçevenin ta')ma güü yükünün %8 oldu*u düzeyde kayma deformasyonlar) etkisinden kaynaklanan deplasman)n toplam deplasman)n %1 unu olu'turdu*u görülmü'tür. Bununla birlikte çerçevenin ta')ma güü yüküne eri'ilmesiyle birlikte kayma deformasyonlar)n) etkisinin toplam deplasmana yakla')k olarak %1 katk) yapt)*) elde edilmi'tir. Yatay yük(kn) Yatay deplasman(mm) Kayma deformasyonlar/ göz önünde bulunduruluyor Kayma deformasyonlar/ göz önünde bulundurulmuyor ekil Kayma deformasyonlar) etkisinin yatay deplasmanlar üzerine olan etkisi 1

118 5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA Örnek 3 Bu örnekte yatay ve dü'ey yükler etkisi alt)ndaki dört katl) betonarme çerçeve çatlamalar)n etkisi göz önünde bulundurularak geli'tirilen bilgisayar program) ara)l)*) ile analiz edilmi'tir (ekil 5.15). Üç boyutlu betonarme yap)ya her katta kiri'ler üzerinde bulunan dü'ey yükler ve master noktalar)na da yatay yükler etkimektedirler. Betonarme çerçevenin elemanlar)na ait özellikler ve yüklemeye ait bilgiler Çizelge 5.1 de verilmi'tir. Analizde etkili atalet momenlerinin hesab)nda ACI ve olas)l)*a dayal) etkili rijitlik modeli, etkili kayma modüllerinin hesab)nda ise Al-Mahaidinin önermi' oldu*u yöntem kullan)lm)'t)r Z C3 B3 B4 5 C1 Y B1 X B C ekil 5.15 Dört katl) betonarme çerçeve örne*i (m) 13

119 5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA Çizelge 5.1 Betonarme çerçeve örne*i ile ilgili gerekli bilgiler 1. Kat. Kat 3. Kat 4. Kat Kiri3 boyutlar/ 3*5 mm 3*5 mm 3*5 mm 3*5 mm Kolon boyutlar/ 5*5 mm 5*5 mm 5*5 mm 5*5 mm Düzgün yay/l/ yük (kn/m) q q q.8*q Master noktalar/na etkiyen yatay yükler P P 3P.5*P Betonarme çerçeve ilk etapta her katta kiri'ler üzerinde bulunan (q=3 kn/m) dü'ey yükler sabit kal)rken master noktalar)na etkiyen ve P ye ba*l) olarak ifade edilen yatay yükler ba'lang)çtan kn a kadar artt)r)larak çatlamalar)n etkisi göz önünde bulundurularak geli'tirilen bilgisayar program) ara)l)l)*) ile çözümlenmi'tir. Çatlamalar)n etkisinin analizde göz önünde bulundurulmas) ve bulundurulmamas) durumlar)nda betonarme yap)n)n ikini kat)nda olu'an maksimum rölatif yatay ötelemelerinin yatay yüke göre de*i'imi ekil 5.16 da gösterilmi'tir. Yatay yük(p,kn) Rölatif yatay öteleme(mm) Çatlama göz önünde bulunduruluyor (ACI modeli) ineer Analiz Çatlama göz önünde bulunduruluyor (Olas/l/a dayal/ etkili rijitlik modeli) ekil ineer analiz ve çatlamalar)n etkisi göz önünde bulundurularak elde edilen rölatif yatay ötelemelerin kar')la't)r)lmas) 14

120 5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA ekilden betonarme yap)ya uygulanan yükün artmas)na ba*l) olarak çatlamalar)n etkisi göz önünde bulundurularak elde edilen de*erlerle lineer analiz sonuu elde edilen de*erler aras)ndaki fark)n artt)*) görülmektedir. Betonarme çerçeveye uygulanan yatay yükün P= kn oldu*u düzeyde bu fark)n %7 e ula't)*) görülmü'tür. Yatay yük(kn) Yatay deplasman(mm) ineer analiz Çatlama göz önünde bulunduruluyor (ACI modeli) ekil ineer analiz ve çatlamalar)n etkisi göz önünde bulundurularak 1 numaral) dü*ümde elde edilen yatay deplasmanlar)n kar')la't)r)lmas) ekil 5.17 de ise betonarme çerçeveye uygulanan yatay yüke ba*l) olarak 1 numaral) dü*ümde olu'an yatay deplasmanlar)n de*i'imi verilmi'tir. Bu dü*ümde olu'an yatay deplasmanlar)n, rölatif yatay ötelemelerin de*i'imine benzer bir de*i'im gösterdi*i görülmektedir. 15

121 5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA I effy /I Yatay yük(p,kn) C1 kolonu C kolonu C3 kolonu' B1 kiri3i B kiri3i B3 kiri3i B4 kiri3i ekil Kiri' ve kolonlar)n etkili atalet momentlerinin yatay yüke göre de*i'imi Betonarme yap)ya uygulanan yatay yükün artmas)na ba*l) olarak de*i'ik elemanlar)n e*ilme rijitli*inde olu'an de*i'imler ekil 5.18 de gösterilmi'tir. ekilden görüldü*ü gibi kiri'lerinin atalet momentlerinin çatlamam)' kesit atalet momentlerinin %5 sine e'it oldu*u anda birini kattaki C1 ve C kolonlar)n)n atalet momentleri çatlamam)' kesit atalet momentlerinin %57-61 ine e'it olmaktad)r. Yatay ve dü'ey yükler etkisi alt)ndaki betonarme yap)da kayma deformasyonlar) etkisinin yap)da olu'an maksimum rölatif yatay ötelemeler üzerine olan etkisi 'ekil 5.19 da gösterilmi'tir. ekilden de görüldü*ü gibi kayma deformasyonlar) etkisinden kaynaklanan deplasmanlar)n yatay deplasmanlara yakla')k olarak %1 luk bir katk) yapt)*) elde edilmi'tir. 16

122 5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA Yatay yük(p,kn) Rölatif yatay öteleme(mm) Bu örnekte ayr)a betonarme çerçevenin her kat)ndaki master noktalar)na etkiyen yatay yükler sabit kal)rken kiri'ler üzerinde bulunan dü'ey yükler q=1 kn/m den 45 kn/m ye kadar artt)r)larak analiz edilmi'tir. ineer elastik model ve çatlamalar)n etkisi göz önünde bulundurularak betonarme yap)n)n 1 numaral) dü*ümünde olu'an yatay deplasmanlar)n uygulanan dü'ey yüklere göre de*i'imi ekil 5. de gösterilmi'tir. ekilden yatay yüklerin sabit tutulmas)na ra*men ve sadee dü'ey yüklerin artmas)na ba*l) olarak yatay deplasmanlar)n artt)*) görülmektedir. Dü'ey yüklerin artmas)yla birlikte kiri'lerde olu'an çatlamalar yap)n)n toplam yatay rijitlili*inin azalmas)na ve bu da yatay deplasmanlar)n artmas)na neden olmaktad)r. 14 Kayma deformasyonlar/ göz önünde bulunduruluyor Kayma deformasyonlar/ göz önünde bulundurulmuyor ekil Kayma deformasyonlar) etkisinin rölatif yatay ötelemeler üzerine olan etkisi Yatay deplasman(mm) Düzgün yayl yük(q,kn/m) ineer analiz Çatlama göz önünde bulunduruluyor(aci modeli) ekil 5.. Yatay deplasman)n düzgün yay)l) yüke göre de*i'imi 17

123 5. ARATIRMA BUGUARI lker Fatih KARA Örnek 4 Bu örnekte, ekil 5.1 de gösterilen ve simetrik olmayan 7 katl* betonarme çerçeve modeli, yatay ve dü.ey yükler etkisi alt*nda gerek lineer analizle, gerekse kiri. ve kolonlardaki çatlamalar göz önünde bulundurularak çözülmü.tür. Betonarme yap*ya ait kiri. ve kolon elemanlar*n*n boyutlar*, kat yükseklikleri ve her katta master noktalar*na etkiyen yatay yükler Çizelge 5. de verilmi.tir. ekil Katl* betonarme çerçeve örnei 18