BÖLÜM XIII. FOURİER SERİLERİ VE FOURİER TRANSFORMU Periyodik fonksiyon

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BÖLÜM XIII. FOURİER SERİLERİ VE FOURİER TRANSFORMU Periyodik fonksiyon"

Pembe Suvari
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Devre erisi Ders Ntu BÖLÜM XIII FOURİER SERİLERİ VE FOURİER RANSFORMU Periydik fksiy f( t) f( t ),,,... ve periyt. f ( t )- f( t - ) f( t + ) - f( t + )... Pratikte birçk elektriksel kayak periydik dalga frmları üretir. Öreği, siüzidal bir kayakla sürüle filtrelememiş dğrultucular (tam dalga veya yarı dalga) siüzidal lmaya ama periydik çıkış üretirler. Labratuarlarda sıkça kulladığımız silatörler, siyal jeeratörleri kare dalga, üçge dalga veya dikdörtge dalga periydik işaretler üretirler. Bir başka pratik örek, güç jeeratörleridir. Her e kadar siüzidal dalga üretmeleri içi tasarlasa da tam siüzidal işaret üretmezler. Ayrıca, siüzidal lmaya periydik fksiylar elektriksel lmaya sistemlerde de öemlidir. Mekaik titreşim, sıvı akışı, ısı akışı hepsi periydik fksiylarla ilişkilidir. Furier (768-83) bir periydik fksiyu trigmetrik seri temsilii ısı akışı içi kullamış ve böylece periydik uyartıma (elektrik devrelerii) kalıcı-durum (steady-state) cevabı bulmada bir başlagıç lmuştur. Periydik f () t fksiyu içi Furier serisi; f ( t) a + a cs( w t) + b si( w t),,,3... å ( ) larak ifade edilir. v Burada av, a ve b Furier katsayıları lup f () t kullaılarak hesaplaır. w p ise f () t periydik fksiyu temel (fudametal) frekasıdır. w ı katları w,3 w,4 w,... f () t i harmik frekaslarıdır. w ici harmik, 3w 3 ücü harmik, w ici harmik vs. Bir periydik fksiyu Furier serisie açılabilmesi içi (yai yakısak Furier serisi içi) Dirichlet kşullarıı sağlaması gerekir. i. f () t, tek-değerli (sigle-valued) lmalıdır. ii. f () t, bir periytta slu sayıda süreksizlik ktasıa sahip lmalıdır. iii. f () t, bir periytta slu sayıda maksima ve miima içermelidir.

2 Devre erisi Ders Ntu t + iv. f() t dt< lmalıdır (mutlak itegrali alıabilir). t Dirichlet kşulları yeter kşullardır, gerek kşullar değildir. Böylece, f () t bu özellikleri taşıyrsa Furier serisie açılabilir. f () t i gerek kşullar bilimemektedir. av, a ve b Furier katsayıları buludukta sra, periydik kayak; a v DC kayağı ve a ve b de luşa AC kayakları tplamı larak devreyi (lieer) sürer. Süperpzisy tekiği uygulaarak sırayla kararlı-durum (steady-state) cevabı buluabilir. Her bir kayağa karşılık gele cevaplar tplaarak suca gidilir. Her bir kayak dediğimiz Furier i temsili kayaklarıdır. Periydik ama siüzidal lmaya kayak, Furier serisi ile siüzidal hale getirilmiştir. Bu yüzde kararlı durum cevabı, fazör aalizi ile klaylıkla buluabilir. 3. Furier Sabitleri av t t + f() t dt t + ak f()cs( t kwt) dt t t + bk f()si( t kwt) dt t Çift-fksiy simetrisi (eve-fucti): f () t f( - t) av f() t dt 4 ak f()cs( t kwt) dt bk, " k. ek-fksiy simetrisi (dd-fucti) f () t -f( - t) ak a v, " k 4 bk f()si( t kwt) dt

3 Devre erisi Ders Ntu 3. Furier Serisii Ekspasiyel (Üstel) Frmu f() t å Ce - jw t t + - jwt C f() t e dt t j Nt: Euler deklemleride ( e q csq jsi q ) öceki frma geçilebilir. MSE: N f() t SN() t å Ce -N e () t f() t - S () t e N t + e t () tdt jw t f () t i kısmi tplamıı katsayıları Furier katsayıları ise MSE ÖZE: miimumudur. Furier serisi, bir sistem periydik bir siyalle uyarılırsa, sistemi steady-state cevabıı tahmi etmek içi kullaılır. Furier serisi, ssuz bir seridir ve ssuz sayıda harmik ilişkili siüs ve ksiüs tplamlarıda luşur. Furier serisi steady-state cevabı (periydik uyartıma karşılık) bulumasıda aalizi frekas dmeie taşımamıza müsaade eder. 3.3 Furier rasfrmu Furier trasfrmu periydik lmaya işaretleri frekas dmeide taımlamasıı sağlar. Furier trasfrmu, çift yalı Laplace trasfrmuu özel halidir. Burada kmpleks frekası reel kısmı sıfıra kurulur. Furier trasfrmu, Furier serisii sıırlı halidir. - t F( w) F{ f ( t)} f ( t) e dt - t f () t F( w) e dw p - Furier trasfrmu içi; i. f () t tam-davraa (well-behaved) fksiy lmalıdır. 3

4 Devre erisi Ders Ntu ii. - f() t dt < iii. f () t i süreksizlik sayısı slu lmalıdır. Pratikte, Furier trasfrmuu (strict sese de) lmadığı fksiyları mevcuttut. Bular; sabitler, Ku() t basamak fksiyu, siüzidal fksiylar ( cs( wt ) ) dır. Fakat bu tip fksyilar, devre aalizide öemli bir yere sahiptir. Bu yüzde bu fksiylara e yakı fksiy taımlaır ve F alıarak limitie bakılır. i. Bir Sabiti Furier rasfrmu (-, ): Bir sabite üstel bir fksiyla yaklaşılabilir. - t f() t Ae e, e > e, f ( t) A. Böylece mümkü lduğuca küçük bir ( e > ) ile f () t sabit A larak temsil edilir. et -t -et -t F( w) Ae e dt+ Ae e dt - A A ea Fw ( ) + e- e+ e + w ea dw dw 4eA pa e + w e + w - f () t i limitide f () t A ya yaklaşır. F( w ) ise, pad ( w) darbe fksiyua yaklaşır. F{ A} pad( w) 4

5 Devre erisi Ders Ntu ii. Limitte Furier rasfrmu: a) sg( t ) i Furier rasfrmu: + t - sg( t) u( t) -u(- t) ì +, t > ü sg( t) ï í ï ý ïî-, t < ïþ -e sg( ) lim[ t et t e u( t) -e u( - t)] e Nt: Limitte sg( t ) ye yaklaşa fksiy taımla F al. sg( t ) i Furier trasfrmu var çükü Furier itegrali yakısıyr. + e -et u() t -et e u( -t) t - f () t tek fksiy; F{ f( t)} - s+ e s+ e s s e - + e w + e e, f () t sig() t F{sg( t)} 5

6 Devre erisi Ders Ntu b) ut () i Furier rasfrmu: ut () + sgt () F{ A} pd( w) F{sg( t)} F{ ut ( )} F{ } + F{ sg( t)} F{()} ut pd( w) + c) F{ e t } pd( w- w ) F{cs( wt )} F{ e } + F{ e - } t t ( ) ( - ) + ( + ) [ pd w w pd w w ] [ pd( w w ) pd( w w )] Laplace rasfrmuda Furier rasfrmuu Bulmak F() s i bütü kutupları s-düzlemii sl tarafıda ise Furier itegrali yakısar. Eğer sağ tarafta veya ekseide kutup varsa f () t dt> lur. - + i) Eğer f() t, t ise; s ile F alıır. F{ f( t)} L{ f( t )} s + ii) Eğer f() t, t³ ise; s- ile F alıır. F{ f( t)} L{ f( - t )} s- iii) Eğer f () t çift fksiy ise; F{ f( t)} L{ f( t)} + L{ f( t)} s s- Eğer f () t çift fksiy ise; F{ f( t)} L{ f( t)} - L{ f( t)} s s- 6

7 Devre erisi Ders Ntu Örek: ig () t W ig () t 3W H i () t sg() t A ise; i () t? g æ ö 4 Ig ( w) F{ sg( t) } ç çè I H( w) I 4 + g æ4 öæ ö I( w) Ig( w) H( w) çè è ç 4+ 4 K K I( w) + (4 + ) K, K I ( w) { } i t I w t e u t - -4t ( ) F ( ) 5sg( )- ( ) i () t 5 5sg( t) i 5sg( t) t -5 4t e - - Örek: Bir öceki örekte kayak i () t 5cs(3) t A lması durumuda i () t yi F kullaarak buluuz. [ d ] i ( w) 5 pd( w- 3) + ( w+ 3) g Hw ( ) 4 + g 7

8 d( w- 3) + d( w+ 3) I( w) 5p 4 + Devre erisi Ders Ntu 5 p é - d( w- 3) + d( w+ 3) ù t i() t F { I( w) } e dw p - ë ê 4+ û ú æ j3t - j3t e e ö 5 + ç è 4 + j j 3 æ j3t j j3t j36.87 e e e e ö 5 + ç çè 5 5 [ t ] 5 cs( ) i ( t) cs(3t ) Fazör aalizi ile de çözülerek suç dğrulaabilir. 3.5 Parseval eremi Parseval terem slu eerjisi la zama dmeie ilişki eerji ile fksiyu frekas dmeie ilişki Furier trasfrmu arasıdaki ilişkiyi belirler. Yai zama dmeideki slu eerji, frekas dmeideki karşılığı arasıdaki ilişkiyi taımlar. f () t i W luk bir direç üzeride geçe bir akım veya üzerie düşe bir gerilim larak düşüürsek; Bu f () t ye ilişki eerji; W () - W f t dt lur. Parseval eremi buu F ile; - - f () tdt Fw ( ) dw p ilişkiledirir. Yai her iki dmede de eerji (her iki itegral lmak şartı ile) hesaplaabilir. Örek: 4W luk bir direçte geçe akım -t i e u( t) A ise w 3 rad / s frekas badıa ilişki harcaa eerji raı ( 4W üzeride) edir? 4W da harcaa tplam eerji -4t W4 W 4 4e dt - -4t e 6 4 J -4 Parseval teremi ile dğrularsak; 8

9 Devre erisi Ders Ntu Fw ( ) + F( w) 4 + w W æ ö ta - w W dw p 4+ w p çè 8 æpö ç 4 J p çè w 3 rad / s W dw 6 æ w ö 4 ta - W p 4+ w p ç 8 æpö 8 ç p çè3 ø 3 J 8 3 h % 4 Kayak çè J. W. Nilss ad S. Riedel, Electric Circuits, Pears Pretice Hall. ø 9

Benzer belgeler

Bölüm I Sinyaller ve Sistemler

Bölüm I Sinyaller ve Sistemler - Güz Haberleşme Sisemleride emel Bilgiler Güz - uay ERŞ. Haa Bölüm I Siyaller ve Sisemler emel Bilgiler Siyaller ve Sııladırılması Güç ve Eerji Furier Serileri Furier rasrmu ve Özellikleri Dira Dela Fksiyu