Pareto I Daılımının lk Bozulma Sansürlü Örnekleme Planına Dayalı Parametrelerinin Tahmini ve Beklenen Test Süresi *

Transkript

1 S.Ü. e Edebyat aültes e Dergs Sayı 4 ( KONYA Pareto I Daılımıı l Bozulma Sasürlü Öreleme Plaıa Dayalı Parametreler Tahm ve Belee Test Süres * Cou KU Mehmet eda KAYA Özet: Bu çalımada l bozulma sasürlü öreleme plaı ele alımıtır. Pareto I daılımıı parametreler ye tahm edcler Meo u [8] yöteme bezer olara elde edlm ve özelller Mote Carlo smulasyo çalıması yapılara celemtr. Parametreler ç güve aralıları ve güve bölgeler elde edlmtr. Ayrıca l bozulma sasürlü öreleme plaıa dayalı belee test süres hesaplamı ve tam öreleme plaı le arılatırılmıtır. Aahtar Kelmeler: Belee test süres güve aralıı l bozulma sasürlü öreleme plaı orta güve bölges Pareto I daılımı. Parameter Estmato of the Pareto I Dstrbuto ad Expected Test Tme based o rst alure-cesored Samplg Pla Abstract: I ths study frst falure-cesored samplg pla s cosdered. Estmators of the parameters of Pareto I dstrbuto are obtaed paralel to Meo s [8] method ad ther propertes are vestgated va Mote Carlo smulato. Cofdece tervals ad jot cofdece regos for the parameters are gve. Also expected test tme s calculated based o frst falure-cesored samplg pla ad t s compared wth expected test tme of complete samplg pla. Keywords: Expected test tme cofdece terval frst falure-cesored samplg pla jot cofdece rego Pareto I dstrbuto. Gr ( λ Pareto I daılımıa sahp br rasgele dee olasılı youlu ve daılım fosyoları sırasıyla λ λ f x λ x x > > 0 λ > 0 λ λ ( x x eldedr. Bu daılım gerçete Pearso Tp-VI daılımıı özel br haldr. Bozulma oraı fosyou h( x λ x olup azaladır. Pareto I daılımıı belee deer ve varyası sırasıyla E ( λ( λ λ > Var { } λ > ( λ ( λ ( λ bçmdedr. Pareto I daılımı ayı zama da Lomax daılımı olara da blr. Lteratürde Pareto I daılımıı parametreler le lgl statstsel souç çıarımı haıda br ço maale ve aya tap vardır. Bularda bazıları Väma [] Lawless [7] Arold ve Press [] Ouyag ve Wu [9] Balarsha ve Aggarwala [] Solma [0] Johso ve ar. [5] ve Wu [] dur. * Bu maale Cou Ku u dotora tez [6] br ısmıdır. Selçu Üverstes e-edebyat aültes statst Bölümü 4075 Kampüs / KONYA e-mal: cosu@selcu.edu.tr

2 Pareto I Daılımıı l Bozulma Sasürlü Öreleme Plaıa Dayalı Parametreler Tahm ve Belee Test Süres Meo [8] Webull daılımıı parametreler ç tam öreleme dayalı ye tahm edcler taımlamı ve bu tahm edcler özelller celemtr. Bu çalımada Balasoorya [3] tarafıda öe sürüle l bozulma sasürlü öreleme plaı ele alımıtır. Pareto I daılımıı parametreler ye ota tahm edcler Meo u [8] yöteme bezer olara elde edlm ve özelller Mote Carlo smulasyo çalıması yapılara celemtr. Ayrıca parametreler güve aralıları ve güve bölgeler elde edlm l bozulma sasürlü örelem plaıa dayalı belee test süres hesaplamı ve tam örelem durumu le arılatırılmıtır. l Bozulma Sasürlü Örelem Balasoorya [3] tarafıda geltrle l bozulma sasürleme model u elde taımlaır: hacml tae baımsız(örelem grup olsu. Her br grup l bozulma gerçeleceye adar teste tab tutulsu. Elde edle hacml öreleme l bozulma sasürlü örelem der. Bu taım u elde de verleblr: Κ hacml. örelem ve bu. örelem sıra statstler Κ sürel daılım fosyoua sahp : : : Λ olma üzere örelem de brbrde baımsız olması oulu altıda : Κ öreleme l bozulma sasürlü örelem der. Balasoorya [3] parametrel üstel daılım ç hacml öreleme dayalı l bozulma sasürlü öreleme plaıı celem harcaa test zamaı baımıda l bozulma sasürlü öreleme plaıı hacml tam öreleme plaıda daha avatajlı olduuu göstermtr. Pareto I Daılımı Parametreler ç Ye Tahm Edcler : : : daılıma sahp br tlede alımı hacml örelem brc sıra statstler olsu. Aaıda döüümü göz öüe alalım. Z : λ : Κ Κ Pareto I( λ Kolayca görüleblr Z : her Κ ç deedr. Böylece E( Z: ve Var( Z: λ ( Var( Z λ Var{ ( } Z : : : : sasürlü öreleme dayalı br tahm edcs / ortalamalı üstel daılıma sahp br rasgele olur. Bu durumda fades ullaılara λ parametres l bozulma ˆ λ ˆ Var{ ( : } / { ( : } ( : olara taımlaablr. Burada ˆ ar{ } ( (... / ( V : varyasıdır. Ya V ˆar : : : : { ( } ( { ( } ( : : bçmdedr. Ayrıca λ ( E( Z λ{ E[ ( ] ( } örelem ç örelem Z : : : : fades ullaılara parametres l bozulma sasürlü öreleme dayalı br tahm edcs ˆ { } ˆ : ˆ exp E λ exp ( ( ˆ : λ ( olara elde edlr. Burada E{ ( } ( Smulasyo Çalıması ˆ bçmdedr ve λˆ ( de taımlıdır. : Delph 5 programlama dl ullaılara ve 500 durumları ç 000 er ez I( 4 : Pareto daılımda örelemler üretld ve bu örelemlere dayalı olara 0

3 Cou KU Mehmet eda KAYA el. Pareto I daılımıı parametres l bozulma sasürlü öreleme dayalı ˆ tahm edcs 0 durumuda 000 deeme soucu aldıı deerler Normal P-P çztler

4 Pareto I Daılımıı l Bozulma Sasürlü Öreleme Plaıa Dayalı Parametreler Tahm ve Belee Test Süres el. Pareto I daılımıı λ parametres l bozulma sasürlü öreleme dayalı λˆ tahm edcs 0 durumuda 000 deeme soucu aldıı deerler Normal P-P çztler

5 Cou KU Mehmet eda KAYA λˆ ve ˆ tahm edcler aldıı deerler hstogramları ve Normal P-P çztler Mtab 3. paet programı vasıtasıyla çzdrld. el ve el de görüldüü gb deer arttıça λˆ ve ˆ tahm edcler aldıı deerler ortalaması sırasıyla 4 e ve ye yalamata stadart sapması ve Aderso-Darlg (AD statst aldıı deer üçülmetedr. Smulasyo soucu olara λˆ ve ˆ tahm edcler asmptot yasızlı tutarlı ve asmptot ormall özelllere sahp olduu söyleeblr. Bu özelller teor olara gösterlmes problem hale açıtır. Ye Güve Aralıı ve Güve Bölges : : : : : : örelem ve Κ baımsız ve ayı I( λ Pareto daılımıda alımı l bozulma sasürlü Λ bu örelem sıra statstler olsu. Κ baımsız ve ayı I( λ : : : Pareto daılımıda alımı brml tam örelem gb görüleblecede Pareto I daılımıı parametreler l bozulma sasürlü öreleme dayalı güve aralıları ve güve bölgeler aaıda gb elde edleblr. Aaıda döüüm göz öüe alısı. { ( Y : λ : } Κ Gösterleblr ( Y Λ Y ortalamalı üstel daılıma sahp br tlede alımı sıra statstlerdr. ( Y : Y : : : ( Y Y : : (3 Μ ( ( ( Y: Y: döüümü göz öüe alısı. Κ baımsız ve ortalamalı üstel daılıma sahptr. Böylece κ Y: ~ ve ( ( ( ε Y Y ( : : ~ dr. Ayı zamada açıtır ε ve κ baımsız rasgele deelerdr. ξ ve η rasgele deeler aaıda gb taımlası ξ ε ( κ ( ( ( Y Y : : ( Y : η ε κ ( Y : Lemma. ξ daılımıa ve η ( daılımıa sahptr. Ayı zamada ξ ve η baımsızdır (Johso ve ar.[4]. 3

6 Pareto I Daılımıı l Bozulma Sasürlü Öreleme Plaıa Dayalı Parametreler Tahm ve Belee Test Süres ve δ δ sa-uyru olasılılı ve δ ve δ serbestl derecel daılımıı yüzdel ( Κ olsu. : : : : Teorem. ( Λ I( λ : : : Pareto daılımıa sahp br tlede alımı l bozulma sasürlü örelem sıra statstler olsu. Bu durumda verle 0 ç parametres 00( % lı br güve aralıı : : eldedr. Burada : : ( : t exp t elde taımlıdır. ( [ ] t spat. Lemma de pvot ( ( Y: Y: : ξ Y : { } ( { : } { } daılımıa sahptr. 0 ç { } ( : : ( : { } { } ( : olayı : : olayıa detr. Bu da spatı tamamlar. Br baa seçeete ı üst 00( % lı güve lmt ul buluablr. O zama ı üst 00( % lı güve aralıı ( ul Souç. 0 olur. ( Λ I( λ : : : Pareto daılımıa sahp br tlede alımı l bozulma sasürlü örelem sıra statstler olsu. Bu durumda verle 0 ç parametres 00( % lı üst güve lmt ( : ( : t Teorem de gb taımlıdır. eldedr. Burada δ sa-uyru(rght-tal olasılılı ve δ serbestl derecel K-are daılımıı yüzdel olsu. ve λ parametreler 00( % lı güve bölges aaıda teoremle verlmtr. 4

7 Cou KU Mehmet eda KAYA 5 Teorem. : : : Λ λ I Pareto daılımıa sahp br tlede alımı l bozulma sasürlü örelem sıra statstler olsu. Bu durumda verle 0 ç ve λ parametreler % 00 lı orta güve bölges aaıda etszller çözümüde elde edlr. : : λ : : Burada t : Teorem de gb taımlıdır. spat. Lemma de pvot { } Y : : λ η daılımıa sahptr ve ξ de baımsızdır. 0 ç ξ P ve η P eldedr. Burada { } λ : : : : P Bu se aaıda fadeye detr. : : λ : : Bu da spatı tamamlar.

8 Pareto I Daılımıı l Bozulma Sasürlü Öreleme Plaıa Dayalı Parametreler Tahm ve Belee Test Süres Souç. ( : : : Λ I( λ Pareto daılımıa sahp br tlede alımı l bozulma sasürlü örelem olsu. O zama verle 0 ç ve λ parametreler 00( % lı orta güve bölges aaıda etszller çözümüde elde edlr. ( : 0 ( ( ( λ : : : t Teorem de gb taımlıdır. Burada Belee Test Süres Κ I( λ belee test zamaı Pareto daılımıda brml tam örelem olsu. Bu durumda E : dr. : rasgele dee olasılı youlu fosyou λ λ λ { } ( λ x x λ x f eldedr. Böylece brml tam örelem belee test zamaı aaıda gbdr. E 0 λ λ λ { } ( λ x x λ x λ örelem ve test zamaı : dx λ j 0 j j λj λ ( j x dx j λ ( λ( j (4 j 0 j : : : I : : : ( E( : dır. Κ ( λ : : : Pareto daılımıda alımı brml brc bozulma sasürlü Λ bu örelem sıra statstler olsu. Bu durumda belee Κ baımsız ve ayı I( λ Pareto daılımıda alımı brml tam örelem gb görüleblecede (4 de brc bozulma sasürlü örelem plaı durumuda belee test zamaı aaıda gb elde edlr. ( ( j E : λ ( λ( j (5 j 0 j el 3. l bozulma sasürlü ve tam örelem durumuda belee test süres 6

9 Cou KU Mehmet eda KAYA (4 ve (5 de Κ 30 λ 3 ç l bozulma sasürlü örelem plaı ve tam örelem plaı belee test süreler grafler yuarıda gb elde edlmtr. Grafe dat edlrse l bozulma sasürlü örelem plaıa dayalı test zamaı Pareto I daılımıı e(treshold parametrese yalamatadır. Ayrıca arttıça tam öreleme dayalı test süres artare l bozulma sasürlü öreleme dayalı test süres azalmatadır. Bu da l bozulma sasürlü öreleme dayalı test plaıı süre baımıda e adar avatajlı olduuu göstermetedr. Uygulama Teorem ve Teorem de souçları öreledrme ç I( 3 Pareto daılımıda 5 ve 0 durumuda l bozulma sasürlü örelem üretld. Üretle örelem aaıda tablodadır. Tablo. Üretle l bozulma sasürlü örelem x : ( ve ( ullaılara ve λ parametreler tahmler sırasıyla ˆ ve ˆ λ olara bulumutur. parametres 95 % l güve aralııı elde etme ç gerel ola yüzdeller Mtab 3. paet programı ullaılara aaıda gb elde edlmtr. 0.05( ( ve 0.05( Teorem ve Souç ullaılara parametres 95 % l güve aralıları sırasıyla ( ve ( olara buluur. ve λ parametreler 95 % l orta güve bölges elde etme ç gerel ola yüzdeller Mtab 3. paet programı ullaılara aaıda gb elde edlmtr. 0.07( ( ve 0.053( ( ve.9873( el 4. ve λ parametreler (6 da 95 % l orta güve bölges Teorem ve Souç ullaılara ve λ parametreler % 95 l orta güve bölgeler aaıda gb elde edlr. 7

10 Pareto I Daılımıı l Bozulma Sasürlü Öreleme Plaıa Dayalı Parametreler Tahm ve Belee Test Süres ve λ 0 0 :5 : λ 0 0 :5 :5 5 5 (6 el 4 de ve λ parametreler (6 da 95 % l orta güve bölges görülmetedr. büyüdüçe güve bölges gelemetedr. Kayalar [] Arold B.C. Press S.J. Bayesa Estmato ad Predcto for Pareto Data Joural of the Amerca Statstcal Assocato 84: (989. [] Balarsha N. Aggarwala R. Progressve Cesorg:Theory Methods ad Applcatos Bosto Brhauser (000. [3] Balasoorya U. alure-cesored Relablty Samplg Pals for the Expoetal Dstrbuto. Joural of Statstcal Computatos ad Smulato 5: (995. [4] Johso N.L. Kotz S. Balarsha N. Cotuous Uvarate Dstrbutos Vol d ed. New Yor Wley (994. [5] Johso N.L. Kotz S. Balarsha N. Cotuous Uvarate Dstrbutos vol. secod ed. Joh Wley ad Sos New Yor (995. [6] Ku C. Bazı Yaam Zamaı Daılımlarıı Parametreler Tam ve Sasürlü Verlere Dayalı Tahm Dotora Tez Selçu Üverstes e Blmler Esttüsü (004. [7] Lawless J.. Statstcal Models ad Methods for Lfetme Data New Yor Wley (98. [8] Meo M.V. Estmato of the Shape ad Scale Parameters of The Webull Dstrbuto Techometrcs 5: 75-8 (963. [9] Ouyag L.-Y. Wu S.-J. Predcto Itervals for a Ordered Observato rom a Pareto Dstrbuto. IEEE Trasactos o Relablty 43:64-69 (994. [0] Solma A.A. Bayes Predcto A Pareto Lfetme Model wth Radom Sample Szes. The Statstca (000. [] Väma K. Estmators based o Order Statstcs from a Pareto Dstrbuto J.Amer.Stat. Assoc. 7: (976. [] Wu S.-J. Estmato for the Two-Parameter Pareto Dstrbuto uder Progressve Cesorg wth Uform Removals J. Stat. Comp. Smul. 73:5-34 (003. 8