EME 3117 SISTEM SIMÜLASYONU. Üçgensel Dağılım. Sürekli Düzgün Dağılım. Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar

Transkript

1 0..07 EME 37 SISTEM SIMÜLASYONU Simulasyonda İstatistiksel Modeller-II Ders 5 Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar Sürekli Düzgün (Uniform) Dağılım Normal Dağılım Üstel (Exponential) Dağılım Erlang Dağılımı Gamma Dağılımı Weibull Dağılımı Lognormal Dağılım Beta Dağılımı Ügensel (Triangular) Dağılım Sürekli Düzgün Dağılım Ügensel Dağılım 3 4 f (x) = b- a F(x) = x - a b- a Parametreler: a=minimum değer; b=maximum değer a x b a<x<b Simulasyon denemelerinin işletilip sonular alınmasında, sürekli düzgün dağılım kullanılması simulasyon tekniğinin vazgeilmez bir ögesidir. Herhangi rastgele seilmiş dağılımdan örnek alma işlemi uygulanmasında sürekli düzgün dağılım önemli bir rol oynar. Kullanılan bir genel yöntem ters dönüşümlü örnekleme yöntemidir ì (x- a) ( b- a) ( c- a) F(x) = í (b- x) - b- a î ( )( b- c) a x c c x b Parametreler: a= minimum değer: b= maksimum değer: c= mod Ügensel dağılım, tipik olarak sınırlı sayıda örneklem verisiyle bir ana kitlenin tanımlanmasında, özellikle de değişkenler arasındaki ilişkilerin bilindiği, ancak verinin yetersiz olduğu durumlarda kullanılır. Ügensel dağılım özellikle proje yönetiminde PERT analizinde bir minimum ve maksimum değer aralığı ile tanımlanan olayları modellemek iin kullanılır.

2 0..07 Normal Dağılım Normal Dağılım 6 Tanım: Sürekli bir X rasgele değişkeni iin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi ise X normal dağılımı sahiptir denir. Parametreler: f ( x).e x m : Ana Kitle Ortalaması,- <x<, - <, 0 s s : Ana Kitle Varyansı Normal dağılımı ortalaması: µ ve varyansı: σ olan X~N(µ, σ) simgesiyle göstereceğiz. Birok psikolojik ölümler ve fiziksel olay, normal dağılım kullanılarak ok iyi yaklaşık olarak aıklanmaktadır. Doğa ve davranış bilimleri iinde bulunan birok olayın modellenmesinde normal dağılımın kullanılmasına neden, merkezsel limit teoreminin uygulanmasından doğmaktadır. Lognormal Dağılım Üstel Dağılım 7 8 Log-normal dağılım, logaritması normal dağılım gösteren herhangi bir rassal Tanım : değişken iin tek-kuyruklu bir olasılık dağılımdır. f (x) = l e- l x, x ³ 0 f ( x) = (ln( x)-m ) - e xs p s l=, x>0 a Parametre: l = Birim zamandaki ortalama olay sayısı Tanım : æ ö - x f (x) = e è a ø, x ³ 0 Y e X ~ LogN, X ~ Norm, a Parametre: a = Olaylar arası ortalama süre Sabit ortalama değişme hızında ortaya ıkan bağımsız olaylar arasındaki zaman aralığını modellerken, bir üstel dağılım doğal olarak ortaya ıkar.

3 0..07 Gamma Dağılımı Erlang Dağılımı 9 0 Gamma dağılımı iki parametreli bir dağılımdır. θ: Ölek parametresi k: Şekil parametresi Eğer k tam sayı ise, Gamma Dağılımı, k tane üstel dağılım gösteren rassal değişkenlerin toplamını temsil eder ve rassal değişkenlerin her birinin üstel dağılımı iin parametre /θ olur. Erlang dağılımı, Üstel ve Gamma dağılımları ile yakından ilişkili sürekli bir dağılımdır. Eğer k pozitif tamsayı ise, Erlang dağılımıyla aynıdır. G( k) = ( k -)! k pozitif tamsayı iin Weibull Dağılımı Beta Dağılımı Beta dağılımı [0,] aralığında iki tane pozitif şekil parametresi (tipik olarak α ve β) ile normalize edilmiş bir sürekli olasılık dağılımıdır. Mühendislikte üretim ve mal teslim zamanlarını temsil etmek iin modellemelerde Weibull dağılımı kullanılmaktadır. Bunun yanısıra bakım-arıza analizi iin istatistiksel modellere temel olmaktadır. f ( x) = G( a + b ) G( a )G( b ) xa - ( - x) b- = B( a,b ) xa - ( - x) b- Beta dağılımı, özellikte endüstriyel mühendislik ve yöneylem araştırması bilim alanlarında, belirli bir minimum değer ile belirli bir maksimum değer aralığı iinde sınırlanmş olayların ortaya ıkması şeklindeki pratik sorunların modellenmesi iin kullanılır. Özellikle CPM tipi proje idaresi ve kontrolu kuramında, beta dağılımı ve ügensel dağılım ile birlikte özellikle olasılık gösteren aktivite uzunluklarının tahmini iin kullanılmaktadır. 3

4 0..07 Sürekli Dağılımlar () Sürekli Dağılımlar () 3 4 Dağılım Uniform (a,b) Birikimli Dağılım Fonksiyonu F(x) x - a b- a a<x<b E[X] a+ b V[X] (b- a) Dağılım Weibull (β,α) Birikimli Dağılım Fonk. F(x) E[X] - e -(x/b b )a a G è a ø æ ö V[X] b a G æ ö è a ø - a G ì æ æ öö ü í è è a ø ø ý î ý Normal (µ,σ ) Üstel (λ) Erlang (λ, k) Gamma (β,α) Kapalı form yok k pozitif tamsayı ise, Erlang k Değilse, Kapalı form yok m s - e -lx / l / l k- e - klx (klx) n -å k / l k / l n! n=0 ab ab Lognormal (µ l,σ l ) Beta (α,α ) Ügensel a=minimum b= maksimum c= mode Kapalı form yok ( ) (( ) / m l ) e m+ m = ln m l / s l + m l s = ln s l + m l Kapalı form yok ì (x - a) a x c ( b- a) ( c- a) í (b- x) - c x b ( b- a) ( b- c) î a s e m+s æ e s - ö è ø ( ) a a a + a (a +a ) a +a + a+ b+ c 3 a + b + c - ab - ac - bc 8 5 Örnek: Varsayalım ki X marka florasan lambaların ömrü λ=0,5 yıl parametreli üstel dağılıma uyan bir rassal değişken olsun. Rasgele seilen bir X marka florasan lambanın a) Beklenen ömrü ne kadardır? (Diğer bir deyişle bu lambanın ortalama ömrü ne kadardır?) b) Lambanın yıldan daha kısa bir sürede tükenme olasılığı nedir? c) Lambanın ömrünün en az,5 yıl olması olasılığı nedir? d) Lambanın yıldır alıştığını varsayın. Lambanın en az,5 yıl daha alışması olasılığı nedir? 6 ì f (x) = í î ì F(x) = P( X x) = í î l.e -lx x>0 0 baska yerlerde ò 0 x l.e -lt dt = - e -lx x ³ 0 iin 0 x<0 iin Bu durumda P( X > x) = e -lx bulunur. 4

5 X : Lambanın ömrünü göstersin (yıl). X~Üstel(l = 0.5) X : Lambanın ömrünü göstersin (yıl). X~Üstel(l = 0.5) a)e[ X] =? [ ] = m = x.f (x)dx = ò E X + ò x.le -lx dx = ò x.0.5e -0.5x dx = = yıl l d)p(x >,5) =? p(x >,5) = P(X <,5) = - F(,5) = - (- e -(0,5).(,5) ) = e -0,75» 0,47 b)p(x < ) =? ò P(X < ) = f (x)dx = 0.5e dx = - e -0.5 x=0 ò x=0 P(X < ) = F() = - e -lx = - e -0.5» 0.40 b)p(x >,5 X >) =? P(X >,5 X >) = P(X >,5) (Hafızasızlık Özelligi) P(X >,5)» 0,47 (c sıkkından) 9 Gelişlerarası Süre ve Servis Süresinin Modellenmesi () 0 Gelişlerarası Süre ve Servis Süresinin Modellenmesi () Teorem: Olayların gerekleşmesi ortalaması λ(olay/br.zaman) olan poisson sürecine uyuyorsa, olayların olusları arasında geen süre ortalaması /λ (br.zaman/olay) olan Üstel dağılıma uyar. Örnek: Müşteriler sisteme ortalaması 0 (müşteri/saat) olan Poisson Sürecine uygun olarak geliyorsa, müşteri gelişleri arasında geen süre ortalaması /0 (saat/musteri) olan Üstel dağılıma uyar. Eğer süreler tamamen rassalsa, simulasyonda oğu zaman Üstel dağılımla modellenir. Süreleri modellemek iin Gamma ve Weibull dagilimlari da kullanilabilir (Üstel dağılım, bu iki dağılımın özel bir durumudur). 5

6 0..07 Gelişlerarası Süre ve Servis Süresinin Modellenmesi (3) Arızaya Kadarki Sürenin Modellenmesi () Pratikte servis süreleri Üstel Dağılımın aıklayabildiginden daha uzunsa, servis süresinin modellenmesinde Weibull dağılımı daha uygun olabilir. Sürekli Rassal Değişkenleri modellemede Normal Dağılım kullanılırken negatif değerler alabildiği göz önünde bulundurulmalıdır. Arıza zamanları Üstel, Gamma ve Weibull gibi bir cok dağılımla modellenebilir. Eğer arızalar tamamen rassal olarak oluyorsa, arızaya kadarki süre Üstel dağılımla modellenebilir. Gamma dağılımı, her paranın arızaya kadarki sürelerinin üstel oldugu yedek parcaların bulundurulduğu durumda modellemede kullanılır. Arızaya Kadarki Sürenin Modellenmesi () Veri Seti Yetersiz yada Veri Yoksa 3 4 Sistemde bir ok para varsa ve arıza seri bağlı bir ok parcadaki hatalardan dolayı oluşuyorsa genellikle arızaya kadarki süreyi modellemek icin Weibull dağılımı uygundur. Çoğu arıza aşınmadan kaynaklanıyorsa, normal dağılım modelleme iin olduka uygun olabilir. Gelişlerarası yada servis süresinin rassal oldugu biliniyorsa, fakat dağılımıyla ilgili bilgi yoksa Rassal degiskenin en küük, en büyük ve en sık gerekleşen değerleri hakkında varsayım yapılabılıyorsa Bazı para tipleri iin arızaya kadarki süreleri modellemek iin Lognormal dağılım kullanılabilir. Ceşitli dağılım formlari sağladiği iin veri yoksa Beta dağılıma da kullanılabilir. 6