Cahit Arf Matematik Günleri 10

Transkript

1 Cahit Arf Matematik Günleri 0. Aşama Sınavı 9 Mart 0 Süre: 3 saat. Eğer n, den büyük bir tamsayı ise n n sayısının asal olamayacağını gösteriniz.. Çözüm: Eğer n çiftse n 4 +4 n ifadesi de çift ve den büyük olur. Dolayısıyla asal olamaz. Eğer bir k tamsayısı için n = m + ise 4 n = 4 m+ = 4(4 m ) = 4( ) m = 4( m ) 4 n n = n 4 + 4( m ) 4 = (n n m + ( m ) )(n + n m + ( m ) ) eşitliği sağlanıyor. Son ifadenin çarpanları den büyük, çünkü n sayısı den büyük. Yani n n bu durumda da asal olamaz. İç açıları θ, θ ve θ olan bir üçgende ikiz kenarların uzunluğu ise diğer kenarın uzunluğu nedir? Çözüm: Bu üçgene ABC üçgeni diyelim. İkiz kenarlar AB ve AC olsun. B açısının açı ortayının AC kenarını kestiği nokta D noktası olsun. Verilenlerden BAD ve ABD açıları θ ya eşit. Dolayısıyla AD ve BD aynı uzunlukta. Diğer yandan, gene verilenlerden, BDC ve DCB açıları da θ ya eşit. Dolayısıyla BD ve BC de aynı uzunlukta. AD nin uzunluğu olarak verilmiş; AD, BD ve BC nin ortak uzunluğuna x diyelim. ABC ve BCD üçgenleri benzer olduğundan AB / BC = BC / CD, yani /x = x/(x ) olmalı. Demek ki x = x. Buradan da, x pozitif olduğundan, x = ( 5 )/ çıkıyor. 3. α = olmak üzere P (α) = 0 koşulunu sağlayan ikinci dereceden tamsayı katsayılı bir P polinomu bulunuz. Çözüm: Kökün içideki ifadeyi kareye tamamlarsak α = = = ( + ) = + elde ederiz. Yani P (x) = (x ( + ))(x ( )) = x 4x + istenen özellikleri sağlıyor.

2 4. a, b ve c sayıları birbirlerinden farklı reel sayılar olsunlar. 3 a b + 3 b c + 3 c a = 0 olamayacağını gösteriniz. Çözüm: Genel olarak x 3 + y 3 + z 3 = (x + y + z) 3 3(x + y + z)(xy + xz + yz) + 3xyz eşitliği doğru. Bu eşitlikte x = 3 a b, x = 3 b c ve x = 3 c a alalım. Diyelim ki x + y + z = 0. Bu durumda sağlanmalı. Ama x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz x 3 + y 3 + z 3 = (a b) + (b c) + (c a) = 0 0 = 3xyz = 3 3 (a b)(b c)(c a). Bu son eşitliğin doğru olması için ya a = b ya b = c ya da a = c sağlanmalı. 5. x + y + z = ve x, y, z > 0 ise olduğunu gösteriniz. Çözüm: Elbette (x + )(y + )(z + ) 64xyz ( + ) ( + ) ( + ) 64 x y z eşitsizliğini göstermek yeterli. Eğer a,b ve c pozitifse, aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğinden ve eşitsizlikleri geçerli. Dolayısıyla a + b + c 3 3 abc ab + bc + ac 3 3 (ab)(bc)(ac) = 3 3 abc ( + a)( + b)( + c) = + (a + b + c) + (ab + ac + bc) + abc abc abc + 3 abc 3 =( + 3 abc) 3 Şimdi a = /x, b = /y ve c = /z alalım. Bu bize ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 3 x y z 3 xyz verir. Aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğini x, y ve z ye uygularsak = x + y + z 3 3 xyz 3 xyz elde ederiz. Bu da istenen eşitsizliği verir. 3

3 6. m > ve θ = π/m olmak üzere olduğunu gösteriniz. Çözüm: Öncelikle cos x = + cos θ + + cos ((m )θ) = m +cos x olduğunu hatırlarsak + cos θ + + cos ((m )θ) ( ) ( ) ( ) + cos 0 + cos(θ) + cos((m )θ) = = m + ( + cos(θ) + cos(4θ) + + cos((m )θ))) = m + R ( (e θi ) 0 + (e θi ) + (e θi ) + + (e θi ) m ) = m + ( ) e θmi R e θi = m + 0 = m. Burada son kısımda θm = 4π ve m > verildiğinden e θi 0 olduğunu kullandık. 7. Tüm x, y reel sayıları için f(x) f(y) = x y ve f(0) = 0 şartlarını sağlayan bütün f : R R fonksiyonlarını bulunuz. Birinci çözüm: Öncelikle y = 0 alırsak her x için f(x) = f(x) 0 = f(x) f(0) = x 0 = x olduğu görülür. Buradan her x için f(x) = x ya da f(x) = x olduğu çıkar. Dolayısıyla f() = ya da f() = dir. Eğer f() = ise tum x ler için f(x) = x olduğunu iddia ediyoruz. Bir x için f(x) = x olduğunu varsayalım. O halde f(x) f() = x = x çıkar ki bu da x = x ya da x + = x verir. İkinci durumda çözüm yoktur (yani bu durum mümkün değildir), birincide ise x = 0 elde edilir ki bu durumda f(x) = x şartı da sağlanmış olur. O halde tüm x değerleri için f(x) = x sağlanmak zorundadır. Benzer şekilde eğer f() = ise tüm x ler için f(x) = x olmalıdır, eğer bir x değeri için f(x) = x oluyorsa yukarıdakine benzer şekilde f(x) f() = x + = x denklemi elde edilir ki bu ilk durumdaki denklemin aynısıdır, tek çözüm olan x = 0 için f(x) = x sağlandığından her x için f(x) = x eşitliğinin sağlandığı söylenebilir. Her iki fonksiyon da aranan şartları sağladığı için sorunun iki çözümü vardır, f(x) = x ve f(x) = x. 3

4 İkinci çözüm: İlk çözumdeki gibi her x için f(x) = x olduğu gözlendikten sonra her x ve y için f(x)f(y) = f(x) + f(y) f(x) f(y) kullanılarak her x için = x + y x y = xy f(x) = f( x) = f()f(x) = f()x olur, yani f doğrusal bir fonksiyon olmak zorundadır. Burada f() = ± olduğu için f(x) = x ya da f(x) = x olabilir. Bu iki fonksiyon da istenen şartları sağladığı için çözüm kümesi bu iki fonksiyondur. 8. Her n tamsayısı için n k= ( ) ( ) n k n + olduğunu gösteriniz (Burada, tan : ( π/, π/) R fonksiyonunun ters fonksiyonudur). Çözüm: Öncelikle tan(x + y) = tan x+tan y tan x tan y tan( x + y) = x + y xy olduğunu kullanarak ( ) x + y x + y xy elde ederiz. Tümevarım kullanacağız. Eşitliğin n = için doğru olduğu aşikâr. Bir n değeri için doğru olduğunu varsayalım: n+ ( ) k k= = n k= ( k ( n n + ) ( + ) + ( n n+ + (n+) n n+ (n+) ) (n + ) ( ) (n + ) ) ( (n + )(n ) + n + ) n 3 + 6n + 5n + ( (n + )(n ) + n + ) (n + )(n + n + ) n(n+)+ (n+) (n+) 3 n (n+) 3 ( ) n +. n + 4

5 9. Bir pozitif n tamsayısının tüm pozitif tam bölenlerinin çarpımı sayısına eşittir. Bu n sayısını bulunuz. Çözüm: Verilen bilgilerden sayının n = a 5 b şeklinde oldugunu anlıyoruz. Pozitif tam bölenleri şöyle bir tablo halinde yazabiliriz: b b.... a 5 0 a 5 a 5 b Bu tabloda i. sütunun (i = 0,,..., b olmak üzere) çarpımı S i := a(a+) 5 (a+)i olur. O halde tüm çarpım olur, bu da a(a+) b(b+) (b+) S 0 S S b = (a+) 5 a(a + ) b(b + ) (b + ) = 40 ve (a + ) = 30 verir, buradan (eşitlikleri taraf tarafa bölerek) a/b = 4/3 çıkar. Basit bir denemeyle a = 4 ve b = 3 için denklemlerin sağlandığı görülür. Dolayısıyla çözüm n = sayısıdır. 0. ABCD ve CXY Z birer karedir (Köşeler saatin ters yönünde sıralanmıştır). DX ve BZ doğru parçaları, P noktasında kesişmektedirler. DP Z açısını bulunuz. Çözüm: DCX açısı DCB ve BCX açılarının toplamına, BCZ açısı da BCX ve XCZ açılarının toplamına eşit. DCB ve XCZ açıları eşit olduğundan (ikisi de 90 derece) DCX ve BCZ açıları eşit. Diğer yandan DC ile BC ve CX ile CZ eş uzunlukta. Demek ki DCX üçgeniyle BCZ üçgeni eş. Buradan da CDX ve CBZ açılarının eşit olduğu çıkıyor. Yani BP D ve BCD açıları da eşit. Ama BCD açısı 90 derece. Bu da demek oluyor ki BP X açısı da 90 derece. 5