II.1 KUVVETLER -VEKTÖRLER-SISTEM

Transkript

1 II. KUVVETLE -VEKTÖLE-SISTEMİ: Brden fazla kuvvet ya da vektörden meydana gelmş br sstemdr. Bz bu sstemden bahsederken vektörler sstem yerne kuvvetler sstem dye bahsedeceğz. Br kuvvetler sstemn belrleyen k temel unsur vardır. Bunlar sstemn bleşkes ve momentdr. Her sstem tek tek kuvvetlern br araya gelmesyle ortaya çıktığına göre öncelkle br tek kuvvetn etksnden bahsetmek yernde olacaktır. Bu etk, a) Br tek kuvvetn br noktaya göre moment. b) Br tek kuvvetn momentne at nakl teorem. c) Br tek kuvvetn br eksene göre moment, başlıkları altında ncelenmeldr. KUVVET: Hareket eden br csm durduran, duran br csm hareket ettren, csmlern şekl, yön ve doğrultularını değştren etkye kuvvet denr. Kuvvet kayan br vektördür. Bu kayan vektörü tanımlamak çn yön, doğrultu, şddet ve tesr çzgsnn verlmes gerekr. ÖNEK: Şddet N olan, A (,, 7) ve B (,, ) noktalarından geçen tesr çzgs üzernde bulunan A dan B ye yönlenmş kuvvet yazınız. Koordnat brmler metredr. F= Fe F e F : Kuvvet vektörüne at brm vektör. ef= eab AB= j k m AB= ( ) + ( ) + ( ) = + + 9= 7 m j k j k eab= = j k j k F= = N e = a) Br tek kuvvetn br noktaya göre moment. Br F kuvvetnn uzayın herhang br keyf noktasına göre moment M = A F fades le tanımlanır. A noktası F kuvvetnn tesr çzgs olur. B= A+ AB olarak yazılableceğnden M M A AB = + F AB AB AB üzernde br noktadır. Burada "A noktasının kuvvetnn üzerndek konumu keyf mdr?" şeklnde br soru sorulablr. Bu soruya cevap vermek çn F kuvvetnn tesr çzgs üzernde keyf br B noktası seçerek aynı noktasına göre moment hesaplayalım. Eğer hesaplanan her k moment brbrne eştse tesr çzgs üzernde seçlen noktanın yernn keyf olduğuna karar Şekl verrz. M = B F F

2 olarak elde edlr. arantez açılırsa, M = A F M = A F+ AB F bulunur. AB // F olduğundan eştlğn sağındak knc term sıfırdır. Böylece, M = A F elde edlr. ÖNEK: Şddet N olan, A (.. 7) ve B (,, ) noktalarından geçen tesr çzgs üzernde bulunan A dan B ye yönlenmş kuvvetn (,, 8) noktasına göre momentn ve moment alınan noktanın kuvvetn tesr çzgsne olan uzaklığını hesaplayınız. Koordnat brmler metredr. j k A= + j k m M= A F= Nm 7 M ( 5 ) = + j+ k Nm M = = = = Nm noktasının kuvvetn tesr çzgsne olan uzaklığı: M h= = =. 578 m F b) Br tek kuvvetn momentne at nakl teorem. O noktası yerne başka br noktası seçelm. noktasındak moment, Şmd noktasına göre hesapladığımız moment Q noktasına nakletmek styoruz. M = QA F Q olarak yazılır. QA= Q+ A olduğundan. yazılarak, M = Q+ A F= Q F+ A F Q ( )

3 M = M + Q F Q bulunur. Bu fadeye br br noktaya göre momentne at nakl teorem denr.bu teoreme göre, verlen br F kuvvetnn, verlen br noktasına göre M Q moment, M moment blnyor se, verlen br Q noktasına göre M = M + Q F Q bağıntısına göre hesaplanablr. c) Br tek kuvvetn br eksene göre moment. Br vektörün br eksene göre moment, bu vektörün söz konusu eksen üzernde alınan br noktaya göre hesaplanan moment vektörünün bu eksen üzerndek z düşümüne denr. Br kuvvetn br eksene göre moment, eksen üzernde alınan br noktaya göre hesaplanan moment vektörünün eksen üzerndek z düşümüne denr. noktasına göre moment dkkate alarak, λ= M cosθ= M e = ( A F) e Q Q elde edlr. Br eksene göre hesaplanan moment skaler br büyüklüktür. Acaba eksen üzerndek noktasının yer özel mdr? Yoksa keyf mdr? Bunu araştırmak çn Q noktasını dkkate alarak ekene göre moment denklemn yazalım. λ = M cosθ= M e = M + Q F e ( ) Q Q Q Q ( Q F) eq olacağundan ( Q F) e Q = yazılarak λ = M eq elde edlr. Böylece, λ = M e = λ Q bulunur k, bu sonuç noktanın eksen üzerndek yernn keyflğne şaret eder. ÖNEK: Şddet N olan, A (.. 7) ve B (,, ) noktalarından geçen tesr çzgs üzernde bulunan A dan B ye yönlenmş kuvvetn (,, 8) ve Q (, 5, 7) noktalarından geçen eksene göre momentn ve moment alınan eksenn kuvvetn tesr çzgsne olan uzaklığını hesaplayınız. Koordnat brmler metredr.

4 j k A= + j k m M= A F= Nm 7 M ( 5 ) = + j+ k Nm 7 Q + j k j k e= e= = + Q ( ) + + ( ) j k M ( 5 ) λ= 7 Nm eq= + j+ k + ( + 5 ) λ= Nm 7 9 λ= = 5. 8 Nm 7 elde edlr. λ= F H bağıntısı kullanılarak, eksen le kuvvetn tesr çzgs arasındak uzaklık, 5. 8 H= =. 58 Nm bulunur. Şmd de br kuvvetler sstemne at tanımlanmış büyüklükler üzernde duralım. Bunlar, dır. d) Br kuvvetler sstemnn bleşkes. e) Br kuvvetler sstemnn br noktaya göre moment. f) Br kuvvetler sstemnn br eksene göre moment. g) Br kuvvetler sstemnn momentne at nakl teorem. h) Br kuvvetler sstemnn nvaryantı. ) Br kuvvetler sstemnn eksen, d) Br kuvvetler sstemnn bleşkes: Bleşke serbest br vektör olup, sstem oluşturan kuvvetlern vektörel toplamıdır. F F F F F n = n= = e) Br kuvvetler sstemnn br noktaya göre moment: Sstem oluşturan kuvvetlern söz konusu noktaya göre ayrı ayrı hesaplanan moment vektörlern toplamıdır. Bu nokta noktası olsun.

5 5 n M = A F+ A F+ A F+ + A F = A F n n = Bu denklemlerde görülen A her br kuvvet vektörünün tesr çzgs üzerndek keyf noktadır. f) Br kuvvetler sstemnn br eksene göre moment. Br kuvvetler sstemnn br eksene göre moment, sstem oluşturan kuvvetlern her brnn söz konusu eksene göre hesaplanan momentlernn toplamı şeklnde tanımlanır. Bunun matematksel fades, n λ = A F e = dır. Burada eksen üzerndek keyf alınan br noktadır. g) Br kuvvetler sstemnn momentne at nakl teorem. Söz konusu sstemn br Q noktasına göre moment n M= A F = şeklnde verlmşt. Buna göre bu sstemn başka br noktaya - dyelm k noktasına - göre moment, n MQ= QA F şeklnde yazılablr. kames yapılırsa. A yerne elde edlr. arantezler açılırsa, bulunur. Sonuç olarak, M = QA= Q+ A n = Q + A F Q = n n M = Q F + A F Q = = n M = M + Q F = M + Q Q = elde edlr. Buna br kuvvetler sstemnn momentne at nakl teorem denr. Bu nakl teoremnn sonuçlarına gelnce:. Br kuvvetler sstemnn bleşkes ve uzayım br noktasına göre moment blnyor se bu kuvvetler sstemnn uzayın bütün noktalarına göre moment blnyor demektr.. Br kuvvetler sstemnn bleşkes sıfır se uzayın bütün noktalarına göre momentler brbrlerne eşttr. MQ= Q + M= M

6 6. Br kuvvetler sstemnn hem bleşkes sıfır ve hem de uzayın br noktasına göre moment sıfır se uzayın bütün noktalarına göre momentler sıfırdır. MQ= Q + M =. Br kuvvetler sstemnn sıfırdan farklı fakat Q = M = M Q sıfır se yan O//, Elde edlr k, bu bleşkeye paralel doğrular üzernde alınan noktalara göre hesaplanan momentler değşmez demektr. h) Br kuvvetler sstemnn nvaryantı. Şmd momentlern nakl teorem fadesnn her k yanını sstemn bleşkes le skaler olarak çarpalım. M = M O+ O O olduğundan O = dır. olayısıyla, I= M = M verlen sstem çn uzayın bütün noktaları çn sabttr. Buna İNVAYANT denr ) Br kuvvetler sstemnn eksen. Bleşkes sıfırdan farklı br kuvvetler sstemnn bulunduğu uzayda öyle noktalar vardır k, bu noktalara göre moment ya sıfırdır ya da bleşkeye paraleldr. Bu noktalar br doğru üzerndedr. İşte bu noktalara sstemn eksen denr. Eksen üzerndek keyf noktalardan br tanes (,, ) O E xyz olsun. Bu noktaya göre moment, M = M + EO = λ E O dr. Yan ME// λ dr. Burada λ br katsayıdır. Acaba λ nedr? Bunu hesaplamak çn nvaryantı yazalım. I= M E= M O= λ Buradan, I λ= bulunur. Şmd, M = M + EO = λ denklemn, şeklnde yenden düzenlersek, E O OE = M λ O

7 7 OE = M λ buluruz. Geometrk bölme problemnde olduğu gb fadenn her k tarafını le vektörel çarptıktan sonra blnmeyen OE yalnız bırakılacak olursa, MO MO OE= µ + λ = µ + elde edlr. Burada µ parametres değştkçe OE nn uç noktası br doğru çzer. İşte bu aranılan eksenn vektörel denklemdr. O II. KUVVETLE SİSTEMİNİN ENKLİĞİ. Farklı sayıda kuvvetlerden meydana gelmş k kuvvet sstemnn br brne denk olablmes çn bleşkelernn, = ve aynı noktaya göre momentlernn, M = M şeklnde eşt olması gerekr. İk kuvvet sstem br brne denk se k sstemn ortak noktalara göre hesaplanmış momentler brbrne eşttr. İk sstem çn nakl teorem fades yazılırsa, M Q= M+ Q M = M + Q Q olduğu görülür. Bu denklemlerdek nds brnc sstem, nds knc sstem şaret etmektedr. Bu denklemlerde sağ taraflar eşt olduğundan sol taraflarda eşttr. Yan, M = M elde edlr. Br kuvvetler sstemnn bleşkes ve br noktaya göre moment sıfır se bu kuvvetler sstem sıfıra denktr denr. Sıfıra denk br kuvvetler sstemnn uzayın bütün noktalarına göre hesaplanan momentler sıfırdır OBLEM: Aynı doğru üzernde olmayan üç noktaya göre br kuvvetler sstemnn moment sıfır se bu kuvvetler sstem sıfıra denktr. Gösternz.

8 8 MA= MB+ AB M = M + CB C B MA = MB = M = C olduğuna göre AB = CB = olmalıdır. Bu durum ya, olmasını gerektrr. Veya AB// ve CB// AB = CB = = olmasını gerektrr. AB// ve CB// olamaz. Çünkü bu durum AB// CB// demektr k bu mkansızdır. AB= ve CB= de olamaz. Gerye kalan tek şart = şartıdır. II. ÖZEL KUVVETLE -VEKTÖLE-SISTEMİ: II.. üzlemsel kuvvetler sstem. Tesr çzgler aynı düzlemde bulunan sstemlerdr. Sstemn bleşke vektörü de aynı düzlemde bulunur. Sstemn moment se söz konusu düzleme dktr. Yan, M O dır. Bleşke vektörü moment vektörüne dk olduğuna göre, M O= dır. Yan düzlemsel sstemlerde nvaryant sıfırdır. İnvaryant sıfır olduğuna göre düzlem dışında alınan br noktaya göre hesaplanan moment çn de nvaryant sıfırdır. Bu demektr k düzlemsel kuvvetler sstemnde uzayın bütün noktalarına göre hesaplanan momentler dame bleşkeye dktr ve düzlemsel kuvvetler sstem br tek kuvvete ndrgeneblr.

9 9 II.. Kuvvet çft. Şddetçe eşt şaretçe ters k kuvvetn oluşturduğu özel br düzlemsel kuvvet sstemdr. Sstemn bleşkes sıfırdır. Sstemn br O noktasına göre moment se, F = + F = M = AA F elde edlr. Çarpma şlemne katılan A vea kuvvetlern tesr çzglernn üzerlern olan noktalardır. A vea ve F sıfırdan farklı olduğu müddetçe M sıfırdan farklıdır. Ancak bleşke sıfır olduğu çn nvaryant sıfırdır. Bleşke sıfır olduğu çn br kuvvet çftnn uzayın bütün noktalarına göre moment br brne eşttr. II.. Kesşen kuvvetler sstem. Tesr çzgler br noktada kesşen kuvvetlerdr. Sstemn br noktaya göre moment, sstemn bleşkesnn aynı noktaya göre momentne eşttr. Buna VAIGNON TEOEMİ denr. Sstemn O noktasına göre moment, n M = OA F= OA = Sstemn moment vektörü bleşke vektörüne dktr. Buna göre, sstemn nvaryantı sıfırdır. Buna göre br noktada kesşen kuvvet sstem br tek kuvvete ndrgeneblr. II.. aralel kuvvetler sstem. Tesr çzgler br eksenne paralel olan kuvvet vektörlernn oluşturduğu sstemdr. eksennn brm vektörü u olsun. Şmd kuvvetler F= Fuşeklnde yazılablr. Burada u, eksen üzernde br brm vektördür. Sstemn bleşkes, n = ( F) u= u = şeklnde bulunur. Buradan anlıyoruz k, Bleşke vektörü de eksenne paraleldr. Sstemn moment se, n n n M= OA F= OA Fu= OAF u = = = şeklnde elde edlr. Bu denklemlerden anlaşılmaktadır k, moment vektörü bleşke vektörüne dktr. olayısıyla paralel kuvvetler sstemnn nvaryantı sıfırdır ve paralel kuvvetler sstem br tek kuvvete ndrgeneblr. II... Bağlı ve paralel kuvvetlerden oluşan br sstemn merkez. aralel kuvvetler sstemnde nvaryant sıfır olduğundan, sstemn eksen üzernde bulunan keyf E noktası çn nakl teorem kullanılarak yazılan M = M + EO = λ denklemnde nvaryant sıfır olduğundan, E O

10 M = M + EO = halne gelr. Bu denklemde O noktasına göre moment gösteren EO yalnız bırakılırsa, M = OE elde edlr. aralel kuvvetler sstemnn bleşkes olan yerne = u M yerne, denklem kame edlrse, n = E O O n M= OAF u = OAF u= OE u= OE u bulunur. Eştlğn sağında ve solundak fadelern eşt olablmeler çnu brm vektörünün solunda bulunan parantez çndek vektörel fadelern de brbrlerne eşt olmaları gerekr. Bunları brbrne eşt yazarak, n OAF OE = = buluruz. Bu denklemden de OE yalnız bırakılırsa, n OAF = OE= elde edlr. Bu denklem bze merkezn yan E noktasının koordnatlarını verr. Gerçekten, OE= X + Y j+ Zk OA= OA + OA j+ OA k x y z X= Y= n = n ( OA F) x ( OAyF) = n ( OA F) = Z= şeklnde merkezn -aynı zamanda ağırlık merkeznn, kütle merkeznn ya da hacm merkeznnkoordnatları elde edlr. Buradak OA ve OA sstem oluşturan her br vektörün üzernde alınan OAx y z z keyf A noktasına at yer vektörünün x, y ve z bleşenlerdr.

11 Yukarıdak fadeler keskl sstemler çndr. Eğer sstem sürekl se yerne şaret, F yerne dfferensyel kuvvet df, OAxOAyve OA z yerne se dferensyel büyüklüğün bulunduğu lokasyona at yer vektörünün koordnatları gelr. Bu koordnatlar, x,y ve z dr O zaman söz konusu merkez, yukarıda bahsedldğ gb sürekl sstemn ağırlık merkeznn veya kütle merkeznn ya da hacm merkeznn koordnatlarına tekabül edecektr. Bu koordnatlar, Z = zdf df X Y = = xdf df ydf df ÖNEK: Şeklde olduğu gb ayrıtlarının uzunluğu m olan br kübün köşelernde şddetler tabloda verlen paralel ve bağlı kuvvetler vardır. Bu kuvvetlern merkezn bulunuz. x [ m] y [ m] z [ m] F [ m] x F [ Nm] y F [ Nm] z F [ Nm] O A B C E F G F [ ] x [ Nm] y [ Nm] z [ Nm] x F[ Nm] [ m ] F [ N] y F [ Nm] [ m ] F [ N] z F [ Nm] [ m ] F [ N].5.6.7

12 ÖNEK: Hdrostatk basınç kuvvetler uygulandıkları yüzeye dktr. Bu sebeple düzlemsel br yüzeye gelen basınç kuvvetler paralel kuvvetlerdr. aralel kuvvetlern de br merkez vardır. Hdrostatk basınç kuvvetlernn merkezn bulunuz. Basınç merkez: df= pda p= γ x da= Bdx df= γ x Bdx df= B γ xdx H x = df= B γ xdx x F= B γ H H F= B γ xdf= γ x Bdx H x dx xdf= B γ x xdf= B γ H H xdf= B γ H xdf B γ x= = df H B γ x= H elde edlr. xdf df

13 ÖNEK: Bara j kapağına gelen toplam basınç kuvvetn ve hdrostatk basınç merkezn hesaplayınız. Basınç merkez: df= pda p= γ x da= ydx x df= γ x ydx df= γ x ydx x H + y = ( ) y= = ( x H) xdf df df= γ x ( x H) dx H+ H df= γ x ( x H) dx x H= u dx= du x= H+ u= x= H u=

14 F= γ u H u du + F= γ u H u du + F= γ u u du H u + du F= γ ( u) u du H u + du H F= γ ( u) + ( arcsnu+ u u ) arcsn() arcsn( ) ( ) ( ( ) ) H F= γ ( ) ( ) H π π F γ = π F= γ H xdf= γ x ydx H+ xdf= γ x ( x H) dx H x H= u dx= du x= H+ u= x= H u= xdf= γ u H u du + xdf= γ u Hu H u du + + xdf= γ u u du+ H u u du+ H u du

15 5 xdf arcsnu u( u) u u = γ ( u) arcsnu u u + H + H + xdf= γ arcsn() arcsn( ) + H arcsn() arcsn( ) 8 π π xdf= γ + H 8 π H xdf= γ + π + 6H xdf= γ π + 6H γ xdf x= = df π γ H + 6H x= H = H H + 6H x= H x= H=. 5H ÖNEK:Şekldek dare dlmnn ağırlık merkezn bulunuz. ( ) da= x x dy da y y tan = ( θ) dy y tan sn( θ) da= y dy y= ( θ) y arcsn y y y A= + tan ( θ) sn( θ)

16 6 θ A= sn( θ) y yda= y y dy y= tan( θ) sn ( θ) ( y) y yda= tan ( θ) sn( θ) ( snθ) yda= ( ) ( sn θ) tanθ = cos θ sn θcosθ = cosθ( cos θ+ sn θ) yda= ( cosθ) yda y= = da y= ( cosθ) θ ( cosθ) θ + + da= x x dy= y dy x+ x snθ y da= ( y ) dy tan ( θ) snθ x+ x y y da= y tan ( θ) = snθ sn θ sn θ tan θ ( x ) ( ) x snθ x x snθ ( ) y ( ) tan( θ) ( ) ( ) = snθ sn θ cos θ = snθ ( sn θ+ cos θ)

17 7 ( + ) x x da = sn θ x+ x da snθ x= = da θ snθ x= θ ÖNEK:Şekldek taralı alanın ağırlık merkezn bulunuz. x [ m] [ m] O π π A m y π π π π x A m π π y A m π π A m x A m m y F ( π ) ( π) x A m [ ] m y A m A m A m ( π ) ( π) [ m ]

18 8 ÖNEK:Şekldek çember dlmnn ağırlık merkezn bulunuz. dl= + y dx y= x x y = x + y = x snθ snθ dl = + y dx = dx x snθ x snθ dl= arcsn = arcsn L= θ xdl= x + y dx snθ snθ x xdl = x + y dx = dx x snθ xdl= x = sn θ ( θ) xdl= cos xdl cos x= = dl θ x= ( cosθ) θ ( θ) ydl= y + y dx sn sn x ydl = θ x + θ y dx dx sn θ = dx x = snθ ydl= x = ydl snθ y= = dl θ snθ

19 9 snθ y= θ ÖNEK: Yandak şekl dörtte br kondr. Bu hacmn merkezn bulunuz. z = zdv dv dv= H πr z= H z r = H z r= H dz π = H z dv z= dz H π H z dv= H H π dv= H z= H π H z π H z H H z zdv= z = + = dz z = dz z H H z H z= H π = + H H z H z= π H zdv= zdv z= = dv z = H π H π H

20 ÖNEK: Yandak şekl dörtte br küredr. Bu hacmn merkezn bulunuz. z = zdv dv dv= πr z= dz r = z π dv= z dz ( ) z= π z dv= z π dv= 6 z= π π ( ) z zdv= z z dz= z z= π zdv= 6 z= π zdv z= = 6 dv π 6 x= y= z = 8 II... Guldnus-appus teoremler. İk teoremden barettr.. Teorem: üzlemsel br yüzeyn kendsn kesmeyen br eksen etrafında dönmesyle meydana gelen şekln hacm, düzlemsel yüzeyn alanı le aynı yüzeyn ağırlık merkeznn dönme esnasında çzdğ yörüngenn uzunluğu çarpımına eşttr. Bu düzlemsel yüzeyx,y düzlemnde olsun. üzlemsel yüzeyn x eksen etrafında dönmesyle meydana gelen şekln hacm : V x üzlemsel yüzeyn y eksen etrafında dönmesyle meydana gelen şekln hacm : V y üzlemsel yüzeyn alanı :A üzlemsel yüzeyn ağırlık merkeznn koordnatları : :X ve Y olmak üzere, yazılırsa teoremn matematksel fades, V = πya V = πxa x y

21 şeklndedr. Bu denklemler ayrı ayrı ele alınırsa her br denklem bze brer blnmeyen elde etme mkanı verr. Bu blnmeyenler ya dönel şekln hacm, ya düzlemsel yüzeyn alanı ya da ağırlık merkeznn koordnatlarıdır. Gerçekten düzlemsel br yüzeyn y eksen etrafında dönmesyle meydana gelen şekln hacm, Vx= π xda dır., olduğundan, yerne kame yapılırsa, ve benzer olarak bulunur. xda= X da= XA V = πxa x V = πya y. Teorem: üzlemsel br eğr parçasının kendsn kesmeyen br eksen etrafında dönmesyle meydana gelen yüzeyn alanı, düzlemsel eğr parçasının uzunluğu le aynı eğr parçasının ağırlık merkeznn dönme esnasında çzdğ yörüngenn uzunluğu çarpımına eşttr. Bu düzlemsel eğr parçasıx,y düzlemnde olsun. üzlemsel eğr parçasının x eksen etrafında dönmesyle meydana gelen şekln hacm: : A x üzlemsel eğr parçasının y eksen etrafında dönmesyle meydana gelen şekln hacm : A y üzlemsel eğr parçasının uzunluğu : L üzlemsel eğr parçasının ağırlık merkeznn koordnatları :X ve Y olmak üzere, yazılırsa teoremn matematksel fades, A = πyl A = πxl x şeklndedr. bu denklemler ayrı ayrı ele alınırsa her br denklem bze brer blnmeyen elde etme mkanı verr. Bu blnmeyenler ya dönel şekln yüzeynn alanı, ya düzlemsel eğr parçasının uzunluğu ya da ağırlık merkeznn koordnatlarıdır. Gerçekten düzlemsel br eğr parçasının y eksen etrafında dönmesyle meydana gelen şekln yüzey alanı, Ay= π xdl dır. olduğundan xdl xdl X= = dl L y A = πxl y bulunur. üzlemsel eğr parçasının x eksen etrafında dönmesyle meydana gelen yüzeyn alanı çn de benzer şeklde br spat yapılır.

22 ÖNEK: Br smdn hacmn hesaplayınız. V= π πr V= πr ÖNEK: Br smdn dış yüzeynn alanını hesaplayınız. S= π πr S= πr II. KUVVETLE -VEKTÖLE- SISTEMİNİN ENKLİĞİ: Genel olarak farklı sayıda kuvvetlerden ya da vektörlerden oluşmuş k sstemn bleşkeler ve br noktaya göre momentler eşt se bu k sstem denktr denr. Brnc sstemn bleşkes knc sstemn bleşkes brnc sstemn keyf br O noktasına göre moment M O, knc sstemn aynı O noktasına göre moment M O se k sstemn brbrne denk olması çn gerek ve yeter şart, = olmasıdır. M = M O O Bleşke ve momentlern eştlğ şartından en az br gerçekleşmyorsa sözkonusu sstemlern denklğnden söz edlemez. Kuvvet sstemlernn denklğ le lgl teoremler şöyledr. TEOEM. Brbrne denk k kuvvet sstemnn, uzayın bütün noktalarına göre momentler brbrne eşttr. Brnc ve knc sstem çn keyf noktasındak momentler nakl teorem yan (.98) denklem dkkate alınarak yazılırsa, M= MO+ O M = M + O ve denklk kavramı gereğ denklemlern sağ tarafı kend aralarında eşt olduğundan M = M elde edlr. Teoremn tersnn, bu k sstemn denk olduğu anlamına geldğ de spatlanablr. O

23 Eğer br sstemn bleşkes ve keyf br O noktasına göre moment se sstem sıfıra denktr denr. TEOEM. Sıfıra denk br kuvvet sstemn uzayın her noktasına göre moment sıfırdır. M = M + O O Teorem denklemn sağtarafının sıfır olduğunda denklemn sıfır olması gerektğn söylemektedr k, bu doğrudur. noktası keyf br nokta olduğuna göre bu fade uzayın bütün noktaları çn geçerldr. TEOEM. Br kuvvet sstemnn üçü aynı doğru üzernde olmayan A, B ve C noktalarına göre momentler sıfırsa bu sstem sıfıra denktr yan sstemn bleşkes sıfırdır denr. Bu sstemn A, B ve C noktalarına at moment, MB= MA+ BA MC= MA+ CA MB= MA= MC= se ya = olmalıdır, ya da BA = ve CA = olmalıdır. BA = ve CA = se bu BA// ve CA// anlamına gelr. Bu se BA// CA// demektr. Bu se mümkün değldr. Zra A, B ve C aynı doğru üzernde değldr. Öyleyse = dır. II. KUVVETLE -VEKTÖLE- SISTEMİNİN İNİGENMESİ: Br kuvvet sstem verlsn. Bu kuvvet sstemne denk başka br kuvvet sstem bulalım. Öyle k, yen kuvvet sstemn oluşturan kuvvetlern sayısı, verlen sstem oluşturan kuvvetlern sayısından az olsun. Bu durumda verlen sstem başka br ssteme ndrgenmş olur. İndrgeme le lgl teoremler aşağıdadır. TEOEM. Br kuvvetler sstemnn nvaryantı sıfırdan farklı se, bu sstem br tek kuvvet -kayan vektör- le sıfırdan farklı br çfte ndrgeneblr. Bleşke kuvvet sstem öteleme hareket yapmaya, çft se sstem bleşkenn tesr çzgs etrafında döndürmeye çalışır. Bu yüzden bu kuvvet-kuvvet çft klsne kuvvet vdası da denlmektedr. Bleşkenn tesr çzgs de vda eksen adını alır. Herhang br kuvvetler sstemnde, ME// olmak üzere dama, ME= λ yazılablmektedr. I, sstemn nvaryantını göstermek üzere λ, I λ= olarak bulunur ve vda adımı adını alır. TEOEM. Br kuvvetler sstemnn nvaryantı sıfır, bleşkes sıfırdan farklı se, bu sstem tek br kayan vektöre ndrgeneblr. Bu kayan vektör sstemn bleşkesne eşttr ve söz konusu kayan vektörün tesr çzgs sstemn eksendr.