Bu kitabın tüm basım ve yayın hakları Ömer ALSAN a. aittir. Kısmen de olsa alıntı yapılamaz. Metin ve sorular,

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Bu kitabın tüm basım ve yayın hakları Ömer ALSAN a. aittir. Kısmen de olsa alıntı yapılamaz. Metin ve sorular,"

Transkript

1

2 Bu kitabın tüm basım ve aın hakları Ömer ALSAN a aittir. Kısmen de olsa alıntı apılamaz. Metin ve sorular, Ömer ALSAN ın önceden izni olmaksızı n elektronik, mekanik, fotokopi a da herhangi bir kaıt sistemile çoğa l- tılamaz, aımlanamaz. Copright B Ömer ALSAN GÖL ANADOLU ÖĞRETMEN LİSESİ MATEMATİK ÖĞRETMENİ Bu kitabı temin etmek için aşağıdaki t elefonlardan vea e mail adreslerinden sipari ş verebilirsiniz. Ömer ALSAN

3 Sevgili Öğrenciler, Karşılaştığımız herhangi bir duruma verdiğimiz düşünsel tepkiler; matematik dediğimiz şein ta kendisidir. Farkında olalım a da olmaalım aşadığımız her an matematiksel ilişkilerle doludur. Bu sebepten, temel matematik bilgisi her birein olmazsa olmaz gereksinimidir. Matematiği oluşturan parçalar arasında sürekli bir etkileşim vardır. Dolaısıla; matematik derslerinde zirvei hedefleenler, kavramlar arasındaki ilişkilerin analiz ve sentezini ii apacak şekilde kendilerini etiştirmelidir. Zirvei Hedefleenlere Matematik Kitapları Serisini, bu süreçte sizlere ışık olur düşüncesile hazırlamaa karar verdim. Problemleri çözerken; her problemin, çözümünün özeti olduğunu sakın aklınızdan çıkarmaın Hedeflerinize ve özlemlerinize kavuşmanız dileğile Ömer ALSAN Ağustos 008 KASTAMONU

4

5 Değerli Eğitimciler, Bu kitap, 9. sınıf matematik programındaki ilk üç bölümü içermektedir. Kitaptaki konu anlatımları ve sorular, halen Orta Öğretim Kurumlarında ugulanmakta olan MEB matematik programı ve ÖSYM nin üniversitee öğrenci erleştirme sınavlarında kullandığı matematik soruları baz alınarak özgün bir biçimde oluşturulmuştur. Kitaptaki bölümler, alt bölümler ve konu başlıkları tasarlanırken MEB Matematik Programı ve Kazanımları kanak alınmıştır. Konu açıklamaları, örnekler ve çözümlü sorular kavramsal öğrenme sürecine ugun hazırlanmış ve problem çözebilme becerisi kazandırmak amaçlanmıştır. Kitapta, öğrenme sürecinin takibi için ölçme gücü üksek 8 adet, 0 şer soruluk 9. sınıf matematik deneme sınavı mevcuttur. Gene davranışların daha etraflıca özümsenmesi amacıla, her alt bölüm sonlarında, konunun genişliği ölçüsünde, özgün sorulardan oluşan 0 ar soruluk toplam 0 adet mini konu testi vardır. Unutulmamalıdır ki matematik eğitiminin ana hedefi: Biree, karşılaşacağı herhangi bir problemde, değişik çözüm algoritmaları oluşturabilme davranışını verebilmektir. Ömer ALSAN Ağustos İSTANBUL

6

7 İ Ç İ N D E K İ L E R SAYFA NO MANTIK 9-6 ÖNERMELER - TEST - 4 BİLEŞİK ÖNERMELER 5-0 TEST - TEST - 4 AÇIK ÖNERMELER 5-6 TEST İSPAT YÖNTEMLERİ 9-0 TEST 5 - TEST 6-4 TEST KÜMELER 7-76 TEMEL KAVRAMLAR 9-44 TEST TEST KÜMELERDE İŞLEMLER 49-6 TEST TEST TEST TEST TEST DENEME SINAVI 7-76 BAĞINTI FONKSİYON İŞLEM KARTEZYEN ÇARPIM TEST TEST

8 SAYFA NO BAĞINTI TEST TEST DENEME SINAVI 0-06 DENEME SINAVI 07-0 FONKSİYON - 4 TEST TEST TEST 9-0 TEST - DENEME SINAVI 4-6 DENEME SINAVI İŞLEM 4-46 TEST TEST TEST DENEME SINAVI FONKSİYONLARDA İŞLEMLER TEST TEST TEST TEST TEST DENEME SINAVI DENEME SINAVI CEVAP ANAHTARI 89-90

9 BÖLÜM MANTIK

10

11 9.SINIF MATEMATİK MANTIK.. ÖNERMELER Terim Bir bilim, sanat vea meslek dalıla ilgili özel bir anlamı olan kelimelerin her birine terim denir. Örnek Polinom, özdeşlik, orantı, fonksion, önerme, üçgen, nokta, düzlem, uza, sık kullandığımız matematik terimleridir. Tanımlı Terim, Tanımsız Terim Tanımı net olan terime tanımlı terim; tanımı net olmaan (hislerimizle algıladığımız) terime de tanımsız terim denir. Örnek Tanımlı terimler: fonksion, üçgen, parabol, Tanımsız terimler: nokta, düzlem, uza, Örnek Daire kelimesinin; matematik, apı bilimi ve müzikolojide farklı terim anlamları vardır. I. Kazı çalışmalarında tarihi değere sahip bir küp buldular. II. Tavla zarı küp biçimindedir. III. Hacmi metre küp olan küre şeklinde bir balon aptırmışlar. IV. Küp kökü olan saı 8 dir. V. Küpü olan üç varklı karmaşık saı vardır. Önerme Doğru vea anlış, kesin bir argı bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler genellikle p, q, r, s, t gibi küçük harflerle gösterilir. p : Dünanın en kalabalık ülkesi Çin dir. q : Dünanın en derin gölü Tanganika dır. r : Bütün düna buna bir inansa s : ++=.. t : 0!=0 Yukarıdaki ifadelerden kaç tanesi doğru önermedir? A) 5 B) 4 C) D) E) r ifadesi dilek bildirir, hüküm bildirmez. Bu üzden önerme değildir. Diğer ifadeler hüküm bildirdiğinden önermedir. p ve s önermeleri doğru, q ve t önermeler ise anlış hüküm bildirir. Cevap D Doğruluk Değeri, Doğruluk Tablosu Bir önermenin doğruluk değeri,önerme doğrusa anlışsa 0 dır. Önermelerin doğruluk değerlerile işlem apılırken genellikle doğruluk tabloları hazırlanır. Örnekler. Tek önermenin doğruluk değeri için iki farklı durum vardır; önerme a doğrudur a da anlıştır: Yukarıdaki cümlelerin kaç tanesinde, küp kelimesi matematik terimi olarak kullanılmıştır? A) B) C) D) 4 E) 5 Küp kelimesi, birinci cümlede; Geniş karınlı dibi dar toprak kap anlamında kullanılmıştır. Dolaısıla birinci cümlede matematik terim anlamı bulunmamaktadır. Diğer cümlelerin her birinde farklı matematik terim anlamı vardır; İkincide geometrik cisim, üçüncüde ölçü birimi, dördüncü ve beşincide ise iki farklı işlem anlamı vardır. Cevap D Uarı Bir kelime, farklı bilim dallarında, farklı terim anlamları üstlenebilir vea bir kelime anı bilim dalında, kullanıldığı ere göre farklı terim anlamları alabilir. Bu nedenle kelimelerin terim anlamı (varsa) ait olduğu cümle içinde değerlendirilmelidir.. İki önerme için dört farklı durum vardır. p 0 4 p q

12 9.SINIF MATEMATİK. Üç önerme için sekiz farklı durum vardır. 8 p q r Bir önermenin Olumsuzu(değili) MANTIK Bir önermenin hükmünü değiştirdiğimizde, olumsuzunu almış oluruz. Dolaısıla doğru hüküm bildiren bir önermenin olumsuzu anlış hüküm bildirmeli; anlış hüküm bildiren bir önermenin olumsuzu ise doğru hüküm bildirmeli. p önermesinin olumsuzu (değili) p ile gösterilir. p önermesinin olumsuzunun tekrar olumsuzunu aldığımızda (değilinin değili) kendisini elde ederiz. ( p ) p p p (p ) Uarı n tane deği- n tane önermenin doğruluk değeri için şik durum vardır. Kaç önermenin doğruluk değeri, 04 tane değişik durum oluşturur? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) n 0 n 0 Cevap E tane önerme, belirli 4 tanesinin doğruluk değeri biliniorsa kaç değişik durum oluşturur? A) 8 B) C) 8 D) 56 E) 00 belirli 4 tanesinin doğruluk değeri bilindiğinden 4 8 tanesi farklı durumları oluşturur p ve q önermeleri denk değil ise aşağıdaki ifadelerden hangisi anlıştır? A) p q B) q p C) p q D) p q E) p q p ve q önermeleri denk değil ise biri diğerinin tersidir. Cevap D p r ve q s olduğuna göre p,q,r ve s önermeleri için kaç farklı doğruluk durumu vardır? A) B) C) 4 D) 8 E) 6 p ve r önermeleri için iki farklı durum vardır; a ikisi de 0 a da ikisi de dir. q ve s önermeleri için de iki farklı durum vardır; q0 ise s olur a da q ise s0 olur. Dolaısıla =4 farklı durum oluşur. Denk Önermeler Cevap D Anı doğruluk değerine sahip önermelere denk önermeler denir. p ve q önermeleri denk ise p q şeklinde ifade edilir. p q r s Cevap C

13 9. SINIF MATEMATİK TEST. Aşağıdaki cümlelerin hangisinde doğru sözcüğü, geometri terimi olarak kullanılmıştır? 4. I. 5 ise 6 dır. A) Doğru dürüst olmalı haatta başarıı akalamak için II. 0 ise vea dir. B) Dediğin çok doğru aslında! III. ise vea dir. C) Bu önermenin doğru olduğunu ispatladım. D) Doğrular eğimleri eşit olduğu için paraleldir. E) Bu ifadelerin kimisi doğru, kimisi anlış hüküm bildirir. IV. V. 4 7 Yukarıdaki matematiksel ifadelerden kaç tanesi doğru hüküm bildirir? A) 5 B) 4 C) D) E). Aşağıdaki cümlelerden hangisi önermedir? A) Sıcaklar adamı bunaltıor. B) Hangisi daha doğru acaba? C) Yarın, maçta enebilirsek bu iş tamam. D) Evah anlış düşmee bastın! E) Matematikçi ikna etmez ispat eder p : 4 q :! r : 4. Aşağıdaki cümlelerden hangisi doğru hüküm bildiren bir önermedir? s :! 0! 0 t : 0,4 0, A) Karesi 5 ten küçük 5 farklı doğal saı vardır. B) Her dikdörtgen anı zamanda bir karedir. C) Şubat aı bazen 0 gün çeker. D) İki asal saının toplamı da asal saıdır. Yukarıdaki önermelerden hangisinin doğruluk değeri 0 dır? A) t B) s C) r D) q E) p E) Herhangi bir saının arısı, çereğinin iki katıdır.

14 9. SINIF MATEMATİK TEST 6. p : a b a ba b q : a b a b ab r : a b a b ab 8. 5 önermeden belirli tanesinin denk önermeler olduğu bilinmektedir. Buna göre, 5 önermenin doğruluk değeri için kaç farklı durum oluşur? A) 4 B) 8 C) 6 D) E) 64 s : a b a b ab t : a b a b ab Yukarıdaki önermelerden hangisinin doğruluk değeri dir? A) p B) q C) r D) s E) t 9. p, q ve r önermeleri için p q r olduğuna göre, aşağıdaki denkliklerden hangisi doğrudur? A) r q B) r p C) r p D) p q E) q r 7. p : 0, q : 4 6 r : Yukarıda verilen p,q ve r önermeleri için aşağıdaki denkliklerden hangisi doğrudur? A) p q B) q r C) r p D) p r E) p q 0. Her ağaç ilkbaharda çiçek açar önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir? A) Her ağaç ilkbaharda çiçek açmaz. B) Bazı ağaçlar sonbaharda çiçek açmaz. C) Bazı ağaçlar sonbaharda çiçek açar. D) Bazı ağaçlar ilkbaharda çiçek açmaz. E) Her ağaç sonbaharda çiçek açar. 4

15 9.SINIF MATEMATİK MANTIK.. BİLEŞİK ÖNERMELER Bütün mantıksal bağlaçların tek tabloda gösterimi: Bileşik Önerme İki vea daha fazla önermenin mantıksal bağlaçlarla bağlanmasından oluşan eni önermee bileşik önerme denir. Mantıksal Bağlaçlar İki önermei birleştirmek için kullanılır. : (ve) : (vea : (ise) 4: (ancak ve ancak) Mantıksal Bağlaçların Doğruluk Tabloları Ve bağlacının doğruluk tablosu: p q pq Vea bağlacının doğruluk tablosu: p q pq İse bağlacının doğruluk tablosu: Örnek p q pq pq pq pq (p q) p q ise p q p bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir? Ortak tablo incelenirse (p q) p q denkliğinin sadece p0 ve q0 koşulunda gerçekleştiği görülür. p q p bulu nur. Örnek p q p q ise p q q p bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir? Ortak tablodan p q p q denkliğinin sadece p ve q koşulunda gerçekleştiği görülür. p q q p bulunur. p q pq Ancak ve ancak bağlacının doğruluk tablosu: p q pq Örnek p q bileşik önermesile p q bileşik önermesinin doğruluk değerlerini tablo ardımıla karşılaştırınız. p q p pq p q Tablodan da görüleceği üzere p q p q denkliği mevcuttur. 5

16 9.SINIF MATEMATİK Örnek pq(pq)(qp) denkliğini tablo ardımıla gösterin. p q pq qp (pq)(qp) pq p q ( p q ) ( q p ) Totoloji ve Çelişki MANTIK Bir bileşik önerme, bileşenlerinin bütün doğruluk değerleri için daima doğru değer üretiorsa bu bileşik önermee totoloji (uuşma) denir.bir bileşik önerme, bileşenlerinin bütün doğruluk değerleri için daima anlış değer üretiorsa bu bileşik önermee çelişki (çelişme) denir. Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi çelişkidir? (p p) p B) p p p A) B) p q C) p q p q E) p p' p p ( p p ) q bileşik önermesinin doğruluk değeri aşağıdakilerden hangisine denktir? A) B) 0 C) p D) q E) p p nin her değeri için p doğruluk değeri 0 dır. p p 0 p bileşik önermesinin q nun her değeri için 0 q bileşik önermesinin doğruluk değeri dir. 0 q Cevap A p 0 q p p bileşik önermesinin doğruluk değeri aşağıdakilerden hangisine denktir? A) B) 0 C) p p 0 q p p D) q E) p p nin her değeri için p 0 0 ve p p dir. 0 q q bulunur. Cevap B p p p p p p p p p p pq pq p q olduğundan pq p q p p pp olduğundan p p pp 0 p q r 0 Cevap E olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri dir? A) q p r B) p q r C) p q r D) p' q r E) p q r p q r 0 ise p 0, q ve r 0 olmalıdır. Bu değerler seçeneklerde erine azıldığında C seçeneğindeki bileşik önermenin doğru diğer seçeneklerin ise anlış olduğu görülür. Cevap C p q p p p bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p B) p C) q D) q E) 6

17 9.SINIF MATEMATİK p q p p p p q p 0 p 0 p ' Cevap B Mantıksal Bağlaçların Özellikleri. Tek kuvvet özelliği: ve, vea bağlaçlarında vardır. p p p p p p MANTIK p q p q pq (p q) p q İse, ancak ve ancak bağlaçlarının kullanıldığı bileşik önermelerin olumsuzu (Değili): p q p q p q p q p q p q. Değişme özelliği: ve, vea, ancak ve ancak bağlaçlarında vardır. p q q p p q q p p q q p. Birleşme özelliği: ve, vea, ancak ve ancak bağlaçlarında vardır. p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r 4. Dağılma özelliği: a. ve nin vea üzerine dağılması: p (q r) (p q) (p r) b. vea nın ve üzerine dağılması: p (q r) (p q) (p r) c. ise nin vea üzerine dağılması: p (q r) (p q) (p r) d. ise nin ve üzerine dağılması: p (q r) (p q) (p r) e. vea nın ise üzerine dağılması: vea ise üzerine dağılırken ve e dönüşür. p (q r) (p q) (p r) f. ve nin ise üzerine dağılması: ve ise üzerine dağılırken vea a dönüşür. p (q r) (p q) (p r) 7. Mantıksal bağlaçlara ait diğer özellikler: a. p q p q Örnek b. p q p q q p c. p p 0 p p p d. p p p 0 0 p p 0 e. p p 0 p p p p p f. p q p q p 0 p p p p p 0 p p p : " 4 4 : 4 5" q : " 0,6 " 5. De Morgan Denklikleri: ve, vea bağlaçlarının kullanıldığı bileşik önermelerin, olumsuzunu (değilini) alırken kullanılır. Bu denklikler, doğruluk tabloları apılarak rahatlıkla görülebilir. p q p q p q p q p q p q pq (p q) p q önermeleri için; p q 0 p bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. p ve q önermelerindeki eşitlikler doğru olduğundan p q dir. p ve q erine doğruluk değerlerini azarak sonuca ulaşırız. p q 0 p bulunur. 7

18 9.SINIF MATEMATİK Örnek p q r 0 p p q p r bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. olduğuna göre, MANTIK Örnek p q r r olduğuna göre r r p q bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir? p q r p p q p r 0 0 bulunur Örnek p q 0 olduğuna göre, p q p bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. p q 0 ifadesi sadece p ve q 0 için doğrudur. p qp bulunur. Örnek p q p q bileşik önermesini sadeleştirerek, doğruluk değerini bulunuz. r r 0 olduğundan r r 0 olur. p q r r p q dolaısıla r r p q 0 0 p q olmalı. p q isep q 0 dır. Buradan p ve q 0 bulunur. Bulduğumuz değerleri sorulan ifadede kullanalım bulunur. p q p bileşik önermesi, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisine denktir? A) p q B) p q C) p D) p q E) p q q (p q) p q olduğundan, p q p q p q (p q ) p p q q q bulunur. Bu tür sorular, bazen tablo ardımıla daha rahat çözülür. Biz hem tablo ardımıla hem de sadeleştirerek soruu çözelim Tablo ardımıla: p q qp p(qp) Tabloda çıkan değerlerin pq bileşik önermesine ait oduğu net görülüor. 8

19 9.SINIF MATEMATİK Sadeleştirerek: p q p p q p q p p p q p q p p p p q q p p q q p p p q p q p p p q q p p q p p q bulunur. Cevap A Uarı MANTIK Olumsuz(Değil), karşıt, ters, karşıt ters kavramları birbirinden farklı kavramlardır. pq bileşik önermesinin; Olumsuzu (değili) : p q Tersi : p q Karşıtı : qp Karşıt tersi : q p İki Yönlü Koşullu Önerme Ancak ve ancak ile bağlanan bileşik önermelere, iki önlü koşullu önerme denir. Çift Gerektirme pq iki önlü koşullu önermesi doğrusa çift gerektirme denir. pq bileşik önermesi çift gerektirme ise; p için gerek ve eter koşul q dur. denir. Koşullu Önermeler ve Gerektirme İse bileşik önermesinin diğer bir ismi de koşullu önermedir. Doğruluk değeri olan koşullu önermelere gerektirme denir. pq koşullu önermesinde, p önermesine; q için eter koşul ve q önermesine; p için gerek koşul deriz. Dolaısıla pq önermesi için aşağıdaki ifadelerden herhangi biri kullanılabilir. p ise q dur. p, q u gerektirir. q için, p eterlidir. p, q için gerektir. Hipotez(Varsaım), Hüküm(Sonuç) pq koşullu önermesinde p e hipotez, q a hüküm denir. p q koşullu önermesi gerektirme olduğuna göre aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi anlıştır? A) q p B) p q C) q D) p q E) p q p q önermesi gerektirme ise p q olur. p q 0 p q 0 p q 0 olur. p Cevap A Teorem Hipotezi doğru olan gerektirmelere teorem denir. Yani bir koşullu önermenin hem hipotezi hem de hükmü doğrusa bu koşullu önerme bir teoremdir. Ters, Karşıt ve Karşıt Ters p q önermesine, pq önermesinin tersi denir. q p önermesine, pq önermesinin karşıtı denir. q p önermesine, pq önermesinin karşıt tersi denir. Bir koşullu önerme her zaman karşıt tersine denktir. p q q p q p koşullu önermesinin karşıt tersi nedir? A) p q B) p q C) q D) q p E) p q q p nin karşıt tersi p (q ) önerm esidir. p (q ) p q (p ) q p q bulunur. p Cevap A 9

20 9.SINIF MATEMATİK MANTIK p q iki önlü koşullu önermesinin çift gerektirme olduğu bilindiğine göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangileri doğrudur? I. p q II. p q III. p q IV. q A) I ve II B) III ve IV C) I ve III D) II ve IV E) II ve III p q ise p q p q iken p q q p p: Esma düzenli çalışır q: Esma devamsızlık apmaz s: Esma başarılı olur p Cevap B olmak üzere (pq)s koşullu önermesinin tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) Esma düzenli ders çalışmaz ve devamsızlık aparsa başarılı olmaz. B) Esma düzenli ders çalışmaz ve devamsızlık apmazsa başarılı olur. C) Esma başarılı olursa düzenli ders çalışır ve devamsızlık apmaz. D) Esma başarılı olmazsa düzenli ders çalışmaz vea devamsızlık apar. E) Esma düzenli çalışmaz vea devamsızlık aparsa başarılı olmaz. p q r Koşullu önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) p q r B) p q r C) q r p D) q r p E) q r p önerme sinin karşıt tersi dir. q r q r q r p p q r p bulunur. Kar ağmazsa ağmur ağar. Cevap E Koşullu önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) Kar ağarsa ağmur ağmaz. B) Kar ağmazsa ağmur ağmaz. C) Yağmur ağarsa kar ağmaz. D) Yağmur ağmazsa kar ağar. E) Yağmur ağmazsa kar ağmaz. p ' : Esma düzenli ders çalışmaz q : Esma devamsızlık apar s : Esma başarılı olmaz p q s nin tersi p q s p q s Esma düzenli ders çalışmaz vea devamsızlık aparsa başarılı olmaz. Cevap E Öncelikle verilen koşullu önermei çözümleelim; p : "kar ağmaz " q : " ağmur ağar " olmak üzere, amacımız p q nun karşıt tersini azmak p q nun karşıt tersi q p dir. p : "kar ağar " q : " ağmur ağmaz " q p " Yağmur ağmazsa kar ağar." olur. Cevap D 0

21 9. SINIF MATEMATİK TEST.. p q p r I. II. 0 0 III. 0 0 IV. 0 0 V. 0 Yukarıdaki bileşik önermelerden kaç tanesinin doğruluk değeri dir? Bileşik önermesi p,q ve r nin hangi değerleri için doğru olur? p q r A) 0 B) 0 C) 0 0 D) 0 0 E) 0 0 A) B) C) D) 4 E) 5 4. p q. p q q r Bileşik önermesi p,q ve r nin hangi değerleri için doğru olur? önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p q B) p q C) p q D) p q E) p q p q r A) B) 0 C) 0 D) 0 E) Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi anlıştır? A) B) 0 C) D) 0 0 E) 0

22 9. SINIF MATEMATİK TEST 6. p q p q olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi doğrudur? A) p q p B) p q p 9. q p p q olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi, kesinlikle anlıştır? A) p q B) p q C) p q D) p q E) p q C) p q q D) q p q E) p q p 7. p q İki önlü koşullu önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p q q p B) p q q p C) p q q p D) p q q p 0. Aşağıdaki denkliklerden hangisi her durumda doğru değildir? E) p q q p 8. p q p q olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi anlıştır? A) p q q B) p q p C) p q q D) p q p E) p q p A) p q q p B) p q p q C) p q p q q p D) p q q p q E) p q p q p q

23 9. SINIF MATEMATİK TEST. p q p Bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) C) p D) q E) p 4. Aşağıdakilerden hangisi çelişkidir? A) p p p p B) p p p p C) p p p p D) p p p p E) p p p p. q p p p q p Bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) C) p D) q E) q 5. p q r Bileşik önermesinin doğruluk değerinin 0 olduğu bilindiğine göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri dir? A) p q r. Aşağıdakilerden hangisi totolojidir? A) p q q p B) p q p q C) p q q p B) p r q C) p q p r D) p q r E) p q p D) p q p E) p q q p

24 9. SINIF MATEMATİK TEST 6. p p p q olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri 0 olur? A) p q B) p q C) p q D) p q q 9. Aşağıdaki denkliklerden hangisi anlıştır? A) p q r p q p r B) p q r p q p r C) p q r p q p r D) p q r p q p r E) p q r p q p r E) p q p q 7. p 0 q p q Bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) C) p D) q E) p 0. p q Koşullu önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir? A) p q B) q p C) p q D) p q 8. p 0 p p p q E) p q Bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) C) p D) q E) p 4

25 9.SINIF MATEMATİK.. AÇIK ÖNERMELER Açık Önerme ve Doğruluk() Kümesi İçinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlerin aldığı değerlere göre doğru a da anlış olduğu sölenebilen önermelere açık önerme denir. p() : e bağlı p açık önermesi q(,,z) :, ve z e bağlı q açık önermesi r(a,b) :a ve b e bağlı r açık önermesi p() açık önermesini doğru apan değerlerinin bulunduğu kümee p() in doğruluk kümesi(çözüm kümesi) denir. Örnekler 4" açık önermesinin Z deki doğru-. p() : " luk kümesi 4 MANTIK p() : " " önermesinin doğal saılardaki çözüm kümesinin elemanları toplamı kaçtır? A) 0 B) C) 5 D) E) Z deki çözüm kümesi 9,,,, 9 Ndekiçözümkümesi,9 9 Cevap D,. q(a,b): a b Z deki çözüm kümesi,,,,,,, N deki çözüm kümesi, NZ deki çözüm kümesi 9 açık önermesinin Varlıksal ve Evrensel Niceleiciler Varlıksal niceleici: Bazı vea En az bir anlamı taşır ve sembolüle gösterilir. Evrensel niceleici: Her vea Bütün anlamı taşır ve sembolüle gösterilir. Varlıksal ve Evrensel Niceleicili Önermeler p() açık önermesi, A kümesindeki her(bütün) değerini(değerlerini) kullanıorsa; bu durum aşağıdaki gibi ifade edilir: A,p,,, ZN deki çözüm kümesi,,,. r() : " 6 0" açık önermesinin Z deki çözüm kümesi, Z daki çözüm kümesi,,,4,5 p() açık önermesi, A kümesindeki en az bir(bazı) değerini(değerlerini) kullanıorsa; bu durum aşağıdaki gibi ifade edilir: A,p Evrensel vea varlıksal niceleicili önermelerin olumsuzu(değili) şöle alınır: A,p A, p A,p A, p 5

26 9.SINIF MATEMATİK Uarı Sık kullandığımız bazı sembollerin olumsuzları(değilleri) şöledir: R için 0 MANTIK Önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) R için 0 R için 0 R için 0 R için 0 R için 0 Örnekler. p() :" o" önermesi, bütün reel saıları için doğru olduğundan, bu durum in olumsuzu ün olumsuzu tir. dolaısıla; R için 0 ifade sinin olumsuzu R için 0 olur. Cevap C R, 0 şeklinde ifade edilir.. q(, ) :" 6" önermesi bazı, tamsaıları için doğru olduğundan, bu durum, Z, 6 şeklinde ifade edilir.. N, 5 N, 5 p() : " 0, N" olmak üzere p() açık önermesinin doğruluk kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A),,,0,,, B),, C),, 4 D) 0,,, E) 0,,,,5,6,7,8,9 4. Q, 5 9 Q, p : ",, 5" ise p : ",, 5" N ve 0 4 olduğundan ifadesi 0,,, değerlerini alabilir. Cevap D 6

27 9. SINIF MATEMATİK TEST 4. p : " 7, Z " olduğuna göre, p() açık önermesinin doğruluk kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A)9 B) 9,9 C) 5,9 D)5,9 E)7, 4. R,.a 0 önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir? A) R,.a 0 B) R,.a 0 C) R,.a 0 D) R,.a 0 E) R,.a 0 8. p : " " olduğuna göre, p() açık önermesinin doğal saılardaki çözüm kümesinin eleman saısı kaçtır? A) B) C) 4 D) 6 E) 8 5., R, 0 0. p, : " 5 " olmak üzere, aşağıdaki sıralı ikililerden hangisi N deki çözüm kü- p(,) açık önermesinin mesinin bir elemanıdır? A), B), C) 5,0 D) 4, E), önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir? A), R, 0 0 B), R, 0 0 C), R, 0 0 D), R, 0 0 E), R, 0 0 7

28 9. SINIF MATEMATİK TEST 4 6. p q koşullu önermesinin karşıtı aşağıdakilerden hangisidir? A) p q B) q p C) q p D) p q E) p q 9. p q gerektirmesi aşağıdakilerden hangisile ifade edilemez? A) p ise q dur. B) p, q u gerektirir. C) q için p eterlidir. D) p, q için gerektir. E) p, q için gerek ve eterdir. 7. p q koşullu önermesinin tersi aşağıdakilerden hangisidir? 0. A) p q B) q p C) p q D) p q E) q p p : Sinem planlıdır. q : Sinem başarılıdır. olmak üzere, p q önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) Sinem başarılı ise planlı değildir. B) Sinem planlı ise başarılı değildir. C) Sinem planlı değil ise başarılı değildir. D) Sinem başarılı ise planlıdır. E) Sinem başarılı değil ise planlı değildir. 8. Aşağıdaki koşullu önermelerden hangisi, kesinlikle gerektirmedir? A) p p B) p 0 C) p D) p p E) p p 8

29 9.SINIF MATEMATİK MANTIK.4. İSPAT YÖNTEMLER İ Tanım, Aksiom, Teorem ve İspat(Kanıt) Matematiğin kanağı(ana Malzemesi) tanım ve aksiomlardır. Bir kavramın niteliklerini eksiksiz olarak belirtmek tanım, Doğru olduğu ispatsız olarak kabul edilen önermeler aksiom, Tanım ve aksiomlar kullanılarak bulunan bütün sonuçlar teorem, Teoremin doğruluğunun ifade edilmesi ispattır. Örnekler. Mükemmel saının tanımı: Kendisinden farklı pozitif bölenlerinin toplamına eşit olan saılara mükemmel saı denir.. Matematikte çok kullanılan bir Aksiom: a,b,c saıları için a=b ve b=c ise a=c olur.. Euclid in ünlü bir teoremi: Sonsuz tane asal saı vardır. İspat(Kanıt) Yöntemleri. Tümevarım. Tümdengelim.. Doğrudan İspat.. Dolalı İspat... Olmaana Ergi... Çelişki... Deneme..4. Aksine Örnek Verme Örnek İki tane çift tamsaının toplamı çift tamsaıdır. teoremini doğrudan ispat öntemile ispatlaınız. Doğrudan ispat önteminde pq teoreminde p nin doğruluğundan hareketle q nun doğru olduğu sonucuna ulaşılır. p: a ve b çift tamsaı q: a+b toplamı çift tamsaı p(hipotez) q(hüküm) p önermesinin doğru olduğunu varsaarak q önermesinin doğru olduğu sonucuna ulaşacağız: a ve b çift tamsaı ise a=k ve b=r olacak şekilde k ve r tamsaıları vardır. a+b=k+r a+b=(k+r) k ve r tamsaı olduklarından k+r de bir tamsaıdır. Dolaısıla (k+r) çift tamsaıdır. Buradan a+b nin çift tamsaı olduğu sonucuna ulaşılır. Örnek Bir doğal saının karesi tek ise kendiside tektir teoremini olmaana ergi öntemile ispatlaınız. Olmaana ergi önteminde önermenin kendisinin değil de karşıt tersinin doğru olduğu gösterilir.. p : " a tek doğal saıdır " q : " a tek doğal saıdır " amacımız; p q q p denkliğinden ararlanarak p doğruken q nun da doğru olacağını göstermek erine, q doğruken p nin doğru olacağını göstermek: p : " a çift doğal saıdır " q : " açift doğalsaıdır " a çift doğal saısa a=k olacak k doğal saısı vardır. a k a 4k dolaısıla Örnek a çift tamsaıdır. A 0,, olmak üzere A ise 5 dir. teoremini deneme öntemile ispatlaınız. Deneme önteminde değişkene farklı değerler vererek sonucun doğru olduğu görülür. 0 için 0 5 için 5 için 5 olduğu görülür. Örnek Sonsuz tane asal saı vardır. teoremini çelişki öntemile ispatlaınız. Çelişki önteminde pq teoreminde q nun anlış olduğunu kabul ederek p nin doğruluğula çelişen bir durum akalanır. Asal saıların sonlu tane olduğunu kabul edelim ve en büük asal saımız olsun, den e kadar olan asal saılarla bir A kümesi oluşturalım, A,,5,7,,..., kabulümüz gereği A kümesinin elemanı olmaan bir asal saı bulunamaz(çünkü hepsini A kümesine azdık!) Şaet A kümesinin elemanı olmaan en az bir tane asal saının varlığını kanıtlaabilirsek, asal saıların sonlu tane olduğuna dair kabulümüzü çürütmüş, dolaısıla sonsuz tane asal saı olduğunu kanıtlamış oluruz. 9

30 9.SINIF MATEMATİK MANTIK Şimdi, A kümesindeki elemanların çarpımının fazlasına eşit olan bir saısı tanımlaalım. = > olduğu açıktır. ve en büük asal saıı kabul ettiğimizden asal saı olamaz. asal saı değilse A kümesinin elemanlarından en az bir tanesi nin asal çarpanıdır. fakat = eşitliğinden de rahatlıkla görülebileceği üzere,,5,7, asal saılarından hiçbiri i tam bölemez. Dolaısıla saısının, asal çarpanı a da çarpanları A kümesinin elemanı olmaz. Ulaştığımız bu sonuç bütün asal saıların A kümesinde bulunduğu kabulüle çelişir. p q teoreminin ispatı, olmaana ergi öntemile apılırken aşağıdaki önermelerden hangisi kullanılır? A) p q B) q p C) p D) q p E) p q Olmaana ergi öntemile ispat apılırken teoremin kendisi değil karşıt tersi kullanılır. Cevap D Doğal saılarda tanımlı teoremlerin, tüm doğal saılar için doğru olduğunu ispatlamakta kullanılan oldukça pratik bir öntemdir. Bu öntemde, teoremin önce için doğru olduğu gösterilir, daha sonra n doğal saısı için doğru olduğu varsaılır ve n+ doğal saısı için doğru olduğu gösterilir, Bölece bütün doğal saılar için doğru olduğu gösterilmiş olur Yukarıda açıklanan ispat öntemi aşağıdakilerden hangisidir? A) Tümevarım B) Doğrudan İspat C) Olmaana ergi öntemile ispat D) Çelişki öntemile ispat E) Deneme öntemile ispat q p: +a=5 q: a =5 Olmak üzere, p önermesinin doğru olması, q önermesinin doğru olmasını gerektiriorsa kaçtır? A) B) C) 5 D) E) 5 +a=5 eşitliği için a =5 eşitliği gereklimiş. a =5 ise a= olur. +a=5 eşitliğinde a= azılırsa = bulunur. Cevap D Futbol onarsa sağlığı bozulur bileşik önermesinin karşıtı aşağıdakilerden hangisidir? A) Futbol onamazsa sağlığı bozulmaz. B) Futbol onarsa sağlığı bozulmaz. C) Sağlığı bozulursa futbol onar. D) Sağlığı bozulursa futbol onamaz. E) Sağlığı bozulmazsa futbol onar. p: Futbol onar q: Sağlığı bozulur pq bileşik önermesinin karşıtı qp bileşik önermesidir. Cevap C Tamsaılarda tanımlı p, : ". 6" " " bileşik önermesinin çözüm kümesinin eleman saısı kaçtır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 p, bileşik önermesinin doğru olması için, hem. 6 hem de bileşik önermelerinin doğru olması gerekir. Buna göre p(,) bileşik önermesinin da açıklanan tümevarım öntemidir. Doğal saılarda tanımlı toplamsal eşitliklerin doğruluğunu gösterilirken sık kullanılır. n.(n ) Örneğin,... n eşitliğinin varlığı tümevarım öntemile gösterilir. Cevap A çözüm kümesi:,6,, 6,,8,, 8,,,,, 4,9, 4, 9 şeklinde bulunur. Cevap D 0

31 9. SINIF MATEMATİK TEST 5. p q p q bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p q B) p q C) p q D) p q E) q p 4. p : " R için 0 " olmak üzere 0 çin 0 0 bulunur. 0 R fakat p 0 0 olduğundan p açık önermesi anlıştır. Yukarıda, p() açık önermesinin anlış olduğu gösterilirken kullanılan öntem aşağıdakilerden hangisidir? A) Tümevarım B) Olmaana ergi C) Çelişki. p q koşullu önermesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? D) Deneme E) Aksine örnek verme A) Olumsuzu, tersine denktir. B) Olumsuzu, karşıtına denktir. C) Olumsuzu, karşıt tersine denktir. D) Tersi, karşıtına denktir. E) Karşıt tersi, karşıtına denktir. 5. Doğruluğu ispatsız kabul edilen önermelere ne denir? A) Gerektirme. Aşağıdaki ispat öntemlerinin hangisinde p q q p denkliği kullanılır? A) Tümevarım B) Tanım C) Çift gerektirme D) Aksiom E) Teorem B) Aksine örnek verme C) Deneme D) Çelişki E) Olmaana ergi

32 9. SINIF MATEMATİK TEST 5 6. R için 0 önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir? A) R için 0 B) R için 0 C) R için 0 D) R için 0 E) R için 0 9. p : Selim başarılı olur. q : Selim çok çalışır. r : Selim planlı olur. olmak üzere, q r p koşullu önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) Selim başarılı olmazsa çok çalışmaz vea planlı olmaz. B) Selim başarılı olmazsa çok çalışmaz ve planlı olmaz. C) Selim başarılı olmazsa çok çalışır ve planlı olur. D) Selim çok çalışmaz vea planlı olmazsa başarılı olur. E) Selim çok çalışır vea planlı olursa başarılı olmaz. 5 p : " 0, Z " 5 7. olmak üzere, p() açık önermesinin doğruluk kümesinde kaç eleman vardır? A) B) 0 C) 9 D) 8 E) 7 0. p q bileşik önermesinin doğruluk değeri ise aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi kesinlikle doğrudur? 8. p, : ",, Z " olmak üzere, p(,) açık önermesinin çözüm kümesinin eleman saısı aşağıdakilerden hangisidir? A) p q B) p q C) p q D) p q E) p q A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

33 9. SINIF MATEMATİK TEST 6. p q koşullu önermesi gerektirme ve p q iki önlü koşullu önermesi çift gerektirme olduğuna göre, aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri olur? A) p q p q B) p q p C) p q p D) p q q p p q q E) 4. p q p bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) q p p B) p q p C) p q p D) p q p E) p q q. I.Tersi, karşıtına denktir. II.Tersi, karşıt tersine denktir. III.Karşıtı, karşıt tersine denktir. IV.Karşıt tersi kendisine denktir. Koşullu önermeler için ukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur? A) I ve II B) II ve III C) III ve IV D) II ve IV E) I ve IV 5. q. p q 0 olduğuna göre, aşağıdaki koşullu önermelerden hangisi gerektirmedir? A) p q p q B) q p C) p q p q p Yukarıdaki tablo mantıksal bağlaçlarla oluşturulmuş işlemine aittir. Buna göre, işlemi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p q B) p q C) p q D) q p E) p p q D) p q E) p q

34 9. SINIF MATEMATİK TEST 6 6. p q p q bileşik önermesi, aşağıdakilerden hangisine denktir? A) B) p C) q D) p E) q 9. Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur? A) p p 0 B) p 0 p C) p p D) p 0 p E) p p 0 7. p q q r bileşik önermesinin doğruluk değeri, aşağıdaki denkliklerin hangisi için 0 olur? A) p q r 0 B) p q r C) p q r 0 D) p q r E) p q r 0 0. Aşağıdaki ifadelerden hangisi anlıştır? A) p q r p q q r p q p q B) p q p q C) 8. Aşağıdaki denkliklerden hangisi anlıştır? A) p q p q p q p q D) p q p p E) B) p p C) p 0 p D) p p E) p 0 p 4

35 9. SINIF MATEMATİK TEST 7. R, R, bileşik önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir? A) R, R, B) R, R, C) R, R, 4. Ahmet in Sevgi den büük olması, Sevgi nin Mehmet ten küçük olmasını gerektirir Yukarıdaki gerektirmenin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) Sevgi nin Mehmet ten küçük olmaması, Ahmet in Sevgi den büük olmamasını gerektirir. B) Sevgi nin Ahmet ten büük olması, Mehmet in Sevgiden küçük olmasını gerektirir. D) R, R, E) R, R, C) Sevgi nin Mehmet ten büük olması, Ahmet in Sevgi den küçük olmasını gerektirir. D) Ahmet in Sevgi den küçük olması, Sevgi nin Mehmet ten büük olmasını gerektirir. E) Ahmet in Sevgi den büük olmaması, Sevgi nin Mehmet ten küçük olmamasını gerektirir.. p q q p bileşik önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir? A) p q B) p q C) q p D) p q E) q p 5. 5 olması, olmasını gerektirir. Yukarıdaki gerektirmenin karşıtı aşağıdakilerden hangisidir?. Her saı, mutlak değere sahiptir Önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir? A) Bazı saılar mutlak değere sahip değildir. B) Bazı saılar mutlak değere sahiptir. C) Bazı saılar birden fazla mutlak değere sahiptir. A) olması, 5 olmasını gerektirir. B) olması, 5 olmasını gerektirir. C) 5 olması, olmasını gerektirir. D) olması, 5 olmasını gerektirir. E) 5 olması, olmasını gerektirir. D) Her saı mutlak değere sahip olmaabilir. E) Her saı mutlak değere sahip değildir. 5

36 9. SINIF MATEMATİK TEST 7 6. c a 5 b 5 9. Kar ağar ise hava soğuk olur önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? 7 A) Hava soğuk ise kar ağar. Yukarıdaki işlem şemasına göre c nin değeri nedir? A) 5 B) 0 C) D) 5 E) 7 B) Kar ağmaz ise hava soğuk olmaz. C) Havanın soğuk olması, kar ağmasını gerektirir. D) Kar ağması için havanın soğuk olması eterlidir. 7. p p p p p p 0 p 0 p p p p p p p p p 0 p 0 E) Hava soğuk olmaz ise kar ağmaz. p p 0 p p 0 Yukarıda, mantıksal bağlaçlarla oluşturulmuş ve işlem tabloları verilmiştir. Buna göre, ve erine aşağıdaki mantıksal işleçlerden hangisi getirilmelidir? A) B) 0. p : Ekonomi ii q : Alım gücü üksek r : Kargaşa ok C) D) E) olmak üzere, p q r önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) Alım gücü üksek ve kargaşa ok ise ekonomi iidir önermesini ifade etmek için aşağıdakilerden hangisi kullanılmaz? A) 4 olması için olması eter. B) olması C) ise 4 D) olması için 4 olmasını gerektirir. olur. 4 olması gerektir. B) Ekonomi ii değilse kargaşa vardır vea alım gücü üksek değildir. C) Kargaşa var vea alım gücü az ise ekonomi kötüdür. D) Kargaşa ok değil vea alım gücü üksek değil ise ekonomi ii değildir. E) Kargaşa ok değil ve alım gücü üksek değilse ekonomi ii değildir. E) 4 olması olmasını gerektirir. 6

37 BÖLÜM KÜMELER

38

39 9.SINIF MATEMATİK KÜMELER.. TEMEL KAVRAML AR Kümelerin Gösterilişi Kümeler gösterilirken, liste, ortak özellik, venn şeması öntemleri kullanılır. Örnek saısında kullanılan rakamların kümesi A olsun, A kümesini liste, ortak özellik, venn şeması öntemlerile ifade ediniz. Liste : A 0,,4,6,8 Ortak özellik : A : çiftrakam Venn şeması : Örnek A,,5,7 B,,5,7,9 C 0,,4,6,8 Kümelerini ortak özellik ve venn şeması öntemlerile ifade ediniz. Ortak özellik: A : asal rakam B : tek rakam C : çift rakam Venn şeması: A A B C..9 Eşit Küme, Denk Küme, Arık Küme Anı elemanlara sahip kümelere eşit kümeler, Eleman saıları eşit kümelere denk kümeler, Ortak elemanı bulunmaan kümelere de arık kümeler denir. Örnek A : 0, N B :5 0, Z C :bir rakam ve 4 tenbüük değil Kümelerinden eşit, denk ve arık olanları belirleiniz. A 0,,,, 4 B 5, 6,7,8,9 C 0,,,,4 A ve C kümeleri anı elemanlara sahip olduklarından eşit kümelerdir. A=C s(a)=s(b)=s(c) olduğundan üçü de birbirine denktir. ABC B ve C kümelerinde ortak eleman olmadığı için, B ve C arık kümelerdir. B C Benzer şekilde A ve B kümeleri de arıktır. A B Sonlu, Sonsuz Kümeler Sonsuz saıda elemana sahip kümelere sonsuz küme, Sonlu saıda elemana sahip kümelere sonlu küme denir. Örnek A : n,n N B :rakam C :, R Kümelerini inceleelim: A kümesi tek doğal saıları ifade eder dolaısıla sonsuz kümedir. B kümesi rakamların kümesidir. dolaısıla sonlu kümedir. C kümesi den büük ve den küçük reel saıları ifade eder dolaısıla sonsuz kümedir. Saılabilir, Saılamaz Kümeler Doğal saılar kümesile bire bir eşleme apabildiğimiz kümelere saılabilir; apamadığımız kümelere saılamaz kümeler denir. Örnek Saılabilir Kümeler: Doğal Saılar, Tam Saılar, Rasonel Saılar..., Saılamaz Kümeler: Reel Saılar, Karmaşık Saılar... 9

40 9.SINIF MATEMATİK KÜMELER Boş Küme Elemanı olmaan kümelere boş küme denir. A boş bir kümese A vea A= azılır. Boş kümelerin eleman saısı 0 dır. Aşağıdakilerden hangisi boş küme değildir? A) : 0, N B) :4 5, Z C) : 0, R D) :, Z E) : N, N Sıfırda küçük doğal saı olmadığından, : 0, N = 4 ile 5 arasında tamsaı bulunmadığından, :4 5, Z = Karesi negatif reel saı olmadığından, : 0, R = Karesinin karekökü kendisine eşit olan negatif tamsaı olmadığından, :, Z = Kendisi ve karekökü doğal saı olan sonsuz tane doğal saı vardır. : N, N Uarı Cevap E Elemanı boş küme olan küme, boş küme değildir. Alt Küme, Öz Alt Küme A için B oluorsa, A kümesi B kümesinin alt kümesidir. A kümesinin, B kümesinin alt kümesi olduğunu ifade etmek için A B azılır. A B ve AB ise A kümesine B kümesinin öz alt kümesi denir. Dolaısıla, her küme kendisinin öz olmaan alt kümesidir. Uarılar. Boş küme her kümenin alt kümesi kabul edilir. A. Her küme kendisinin alt kümesidir. A A. Eşit iki kümeden biri diğerini her zaman kapsar. A B (A B) (B A) 4. A kümesi B kümesinin ve B kümesi de C kümesinin alt kümesi ise A kümesi C kümesinin alt kümesidir. (A B) (B C) A C 5. Her kümenin sadece tane öz olmaan alt kümesi vardır o da kendisidir. Örnek A a,b,c kümesinin alt kümelerini azınız. ) ) a 5) a,b 8) a,b,c ) b 6) a,c 4) c 7) b,c Yukarıdaki alt kümelerden ilk 7 tanesi öz alt kümeler, 8. si (Kendisi) ise öz olmaan alt kümedir. Aşağıdaki ifadelerden hangisi anlıştır? A) Her küme kendisinin alt kümesidir. B) Boş küme her kümenin alt kümesidir. C) Her kümenin en az tane öz alt kümesi vardır. D) Bir kümenin elemanlı alt küme saısı, kümenin eleman saısına eşittir. E) Her kümenin sadece tane öz olmaan alt kümesi vardır. Boş kümenin öz alt kümesi bulunmamaktadır. Cevap C Kuvvet Kümesi Bir kümenin alt kümelerinden oluşan kümee kuvvet kümesi denir. Bir A kümesinin kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir. Örnek A, P(A),,,, Alt Küme, Öz Alt Küme Saısı n n elemanlı bir kümenin tane alt kümesi vardır; Bu alt kümelerden tanesi(kendisi) öz olmaan alt küme diğerleri de öz alt kümedir. n n elemanlı bir kümenin tane öz alt kümesi vardır. Alt küme saısı, eleman saısının 4 katı olan kümenin, kaç tane öz alt kümesi vardır? A) B) 7 C) 5 D) E) 6 40

41 9.SINIF MATEMATİK KÜMELER Seçeneklerden hareketle cevaba ulaşalım; Öz alt küme saısı 5 olan bir kümenin, alt küme n saısı 5+=6 olur. 6, eleman saısı 4 olur. Cevap C Alt küme saısıla öz alt küme saısının toplamı 0 olan kümenin elemanlı kaç alt kümesi vardır. A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) n elemanlı bir kümenin, n tane elemanlı alt kümesi vardır. n elemanlı bir kümenin alt küme saısı n öz alt küme saısı n n 0 n n 04 n. 04 n 5 n 9 n 9 bulunur. n Faktörielli Saılar Cevap C n N olmak üzere den n e kadar olan doğal saıların çarpımı n! ile gösterilir. 0!= kabul edilir. Örnek 5!=5.4...=0 4!=4...=4!=..=6!=.=!= 0!=0 5!=5.4!=5.4.!=5.4..!= n!=n.(n-).(n-) n!=n.(n-)!=n.(n-).(n-)! (n )! n! n! 0!? 0! 9! A) B) 0 C) 9 D) 0 9 E)! 0!.0! 0! 0! 9! 0.9! 9! 0! 9!(0 ) (n )! n!? (n )! 0.9!.0 9! Cevap A A) n! B) n C) n.(n-) D) n.(n+) E) n (n )! n! (n ).n! n! (n )! (n )! n!(n ) (n )! n!.n (n )! n.(n )!.n (n )! n.n n bulunur. Cevap B n n! eşitsizliğini sağlaan kaç tane n doğal saısı vardır? A) B) C) D) 4 E) 5 0!=, 0 0!= ve 0 0! olur. olduğundan!!= ve 4 olduğundan!=6 ve 9 olduğundan!! n> için n n! olur. Sonuçta n= ve n= için soruda verilen eşitsizliğin sağlandığı görülür. Cevap B 4

42 9.SINIF MATEMATİK KÜMELER Kombinason n r olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r elemanlı kombinasonu denir. Kombinason Saısının Hesabı n elemanlı bir kümenin r elemanlı kombinasonlarının (r elemanlı alt kümelerinin) saısı, n C(n,r) vea şeklinde gösterilir. r n n! Cn,r r n r!.r! Örnekler. 5 elemanlı bir kümenin elemanlı alt küme saısı: 0 tanedir. 5 5! 5! 5.4.! (5 )!.!!.!!.!. 6 elemanlı bir kümenin 4 elemanlı alt küme saısı: 5 tanedir. 6 6! 6! 6.5.4! 4 (6 4)!.4!!.4!!.4!. a+ elemanlı bir kümenin a elemanlı alt küme saısı: a a! a a a!. a! a.(a).(a )!!. a! a a A a,b,c,d,e,f,g olmak üzere, A kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin taç tanesinde, A kümesindeki bütün sesli harfler bulunur? A) B) 5 C) 0 D) 5 E) A kümesindeki sesli harfler a ve e dir. Dolaısıla soruda istenen 4 elemanlı alt kümelerin elemanı net olarak bellidir. a e?? Belli olmaan elemanı A kümesindeki diğer 5 elemandan ani b, c, d, f içinden seçeriz. 5 elemandan eleman C(5,)=0 farlı şekilde seçilir. Cevap C C(n,r) nin özellikleri. n n n n n n n n n a b n a b n n a b n vea a b a b n n n n n... 0 n n n n r r r elemanlı bir kümenin 5 elemanlı alt kümelerinin saısı ise elemanlı bir kümenin, 4 vea 5 elemanlı kaç alt kümesi vardır? A) B) C) D) + E) Cevap A 5 elemanlı bir kümenin 4 ten az elemanlı kaç alt kümesi vardır? A) B) 6 C) 5 D) 0 E) Cevap B olmak üzere elemanlı bir kümenin, elemanlı alt küme saısıla elemanlı alt küme saısı eşit ise. en çok kaç olur. A) 49 B) 48 C) 4 D) 6 E) iken ise olur. Toplamları olan iki sama saısının çarpımları en çok 6.7= 4 olur. Cevap C elemanlı bir kümenin, - elemanlı alt küme saısı 6 ise kaçtır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 4

43 9.SINIF MATEMATİK KÜMELER bulunur. Cevap B A,,,4,5,6,7 kümesinin, alt kümelerinin kaç tanesinde bulunur; ama 5 bulunmaz? A) 64 B) C) 5 D) 0 E) 5 bulunacak, 5 bulunmaacak dolaısıla gerie kalan 5 elemanla farklı küme oluşturulur. 5 Cevap B A,,,4,5,6,7 kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde bulunur; ama 5 bulunmaz? A) 64 B) C) 5 D) 0 E) 5 Seçilecek 5 elemandan tanesi belli.???? 5 elemanının kullanılmasına soru müsaade etmediğinden; diğer 4 elemanı seçerken, ve 5 dışındaki 5 tane eleman kullanılır. 5 5 tane elemandan 4 tanesi 5 farklı şekilde seçilir. 4 Cevap E A,, B,,, 4,5, 6,7 olduğuna göre, B kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinin, A alt kümesi olur? A) 6 B) 5 C) 8 D) 5 E) 4 Bizden istenen kümeler, A kümesini kapsar ve anı zamanda B kümesi tarafından kapsanır. B nin elemanlarından 4 tanesi A da bulunmamaktadır. Dolaısıla bu 4 elemandan oluşturulan alt kümeler A kümesine ilave edilirse soruda istenen kümeler elde edilir. Bu da 6 farklı şekilde apılır. 4 Cevap A A a,b,c B a,b,c,d, e, f,g,h olduğuna göre, B kümesinin öz alt kümelerinden kaç tanesi A kümesini kapsar? A) B) C) 6 D) 5 E) 8 s(b) s(a)=8 s(b) s(a)=5 5 Cevap B ten az elemanlı alt kümelerinin saısı, 5 ten çok elemanlı alt kümelerinin saısına eşit olan bir küme kaç elemanlıdır? A) B) 0 C) 9 D) 8 E) 7 Aranankümenin eleman saısı olsun, Cevap D A,,,4,5 kümesinin, elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinin, elemanlarının çarpımı çift saıdır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 n tane tamsaının çarpımının çift olması için içlerinden en az tanesinin çift olması eterlidir. Dolaısıla n tane tamsaının çarpımı tek ise bu saıların hepsi tek saıdır. A kümesinin elemanlı alt kümelerinden, elemanlarının tamamı tek saı olan sadece,,5 kümesi vardır. Diğer elemanlı alt kümelerinin hepsinde en az tane çift saı vardır Cevap A 4

44 9.SINIF MATEMATİK KÜMELER Pascal Üçgeni, Alt Küme İlişkisi Pascal üçgeninin n. satırı, n n n,,..., n dizisindeki saılardan oluşur Uarı Pascal üçgeninden n n n r r r özdeşliği rahatlıkla görülebilir ,, satır().satır().satır(4) 4.satır(8) 5.satır(6) 6.satır() Pascal üçgeninin n. satırındaki saıları topladığımızda n elemanlı kümenin alt küme saısını buluruz. Pascal üçgeninde n.satırındaki soldan r.saı, n - elemanlı kümenin r elemanlı alt küme saısını verir. 5 elemanlı bir kümenin elemanlı kaç alt kümesi vardır? A) 5 B) 0 C) 5 D) 0 E) 5 5+=6 +=4 Pascal üçgeninde 6. satırdaki soldan 4. saı sorumuzun cevabıdır. Cevap B 44

45 9. SINIF MATEMATİK TEST 8. A 0,, 6,,0,0 olmak üzere, A kümesinin ortak özellik öntemile ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? A) A : n, n N B) A : n, n N C) A : n n, n N D) A : n n, n Z. SARIMSAK kelimesindeki harflerin kümesi A olduğuna göre, aşağıdaki kümelerden hangisi A kümesine eşit değildir? A) KARASIRMA kelimesindeki harflerin kümesi B) SAKARIM kelimesindeki harflerin kümesi C) KIRIKASMA kelimesindeki harflerin kümesi D) KISRAK kelimesindeki harflerin kümesi E) MARKASI kelimesindeki harflerin kümesi E) A : n n, n N 4. A : n, n 5, n Z olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi A kümesine denktir?. A,,,4 A),,,4,5 B, C 4,5,6 B) : n, n 5, n Q C) : n, n, n Z olduğuna göre, A, B ve C kümeleri için en ugun ortak şema aşağıdakilerden hangisidir? A) A C B) A B B D) SARMASAR kelimesindeki harflerin kümesi E) telefon numarasında kullanılan rakamların kümesi C C) A B C D) A B 5. Aşağıdakilerden hangisi sonlu kümedir? A) : 00, N C B) :, R E) A B C C) : 0, Q D) :, Z E) : 4, N 45

46 9. SINIF MATEMATİK TEST 8 6. Aşağıdaki saı kümelerinden hangisi saılamaz sonsuz kümedir? A) Sama Saıları Kümesi B) Doğal Saılar Kümesi C) Tam Saılar Kümesi D) Rasonel Saılar Kümesi E) İrrasonel Saılar Kümesi 9. A ve B kümeleri için aşağıdakilerden hangisi anlıştır? A) A A B) C) A B A B B A D) A E) A B B C A C 7. Aşağıdakilerden hangisi boş küme değildir? A) :!, N B) :, R C) :, N D) : 0, R E) : 0, R 0. A, olmak üzere, aşağıdakilerden hangisi A kümesinin alt kümesi değildir? A) B) C) D) E), 8. A,,,, olmak üzere, A kümesinin öz alt küme saısı kaçtır? A) B) 7 C) 5 D) E) 6 46

47 9. SINIF MATEMATİK TEST 9. Bir kümenin kuvvet kümesinin alt küme saısı aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) B) 4 C) 8 D) 6 E) a,b,c,d,e,f kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde, a ve b bulunur fakat c bulunmaz? A) 6 B) 4 C) D) 0 E) 8. 5 elemanlı alt küme saısı 7 elemanlı alt küme saısına eşit olan bir kümenin, elemanlı alt küme saısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 7 B) 66 C) 60 D) 56 E) A : bir rakam olmak üzere, A kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde, en az bir tane asal rakam bulunur? A) 75 B) 80 C) 85 D) 90 E) elemanlı bir kümenin, en çok elemanlı kaç alt kümesi vardır? A) 56 B) 69 C) 7 D) 9 E) 96 47

48 9. SINIF MATEMATİK TEST elemanlı alt küme saısı elemanlı alt küme saısından çok olan bir küme, en az kaç elemanlıdır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 9. A, B,,, 4,5 olmak üzere, A C B şartını sağlaan kaç farklı C kümesi vardır? A) 4 B) 6 C) 8 D) 0 E) elemanlı bir kümenin, tek saıda elemana sahip kaç alt kümesi vardır? A) 64 B) 7 C) 80 D) 88 E) n tek saı olmak üzere, n n n n n 8 eşitliğini sağlaan, n saısının değeri nedir? A) B) 5 C) 7 D) 9 E) 8. a,b,c,d,e,f,g,h kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a vardır fakat h oktur? A) 5 B) 7 C) 8 D) 0 E) 48

49 9.SINIF MATEMATİK.. KÜMELERDE İŞLEMLER Evrensel Küme Bir işlemde, olada, problemde,... geçen bütün kümeleri kapsaan kümee evrensel küme denir. Evrensel küme E harfile gösterilir. Örnek Aşağıdaki şemada, E evrensel kümesi ve A,B,C kümeleri verilmiştir. E A C B s(e)=++z+t= s(a)=+=7 s(b)=+z= t= KÜMELER ++z= ++z=0 =9, =8, ve z=4 Sadece futbol vea sadece basketbol onaanların saısı +z= bulunur. Cevap C Tümleen Küme E evrensel kümesi içindeki bir A kümesi için, A kümesinde bulunmaan elemanların oluşturduğu kümee A kümesinin tümleen kümesi denir. A kümesinin tümleenini gösterirken A kullanılır. Evrensel Küme E: Evrensel Küme A kümesi Kişilik bir sınıfta 7 kişi futbol kişi basketbol onamaktadır. kişi her iki ounu da onamadığına göre, kaç kişi sadece futbol vea sadece basketbol onamaktadır? A (Taralı Alan) A) 7 B) 9 C) D)4 E)5 kişiden tanesi herhangi bir oun onamadığına göre = tanesi futbol vea basketbol onamaktadır. Futbol onaanlarla basketbol onaanların toplamı 7+=0 olduğundan bazı öğrenciler hem futbol hem de basketbol onamaktadır. E: Sınıftaki öğrenciler (Evrensel küme) A: Futbol onaanlar B: Basketbol onaanlar. : Sadece futbol onaanların saısı : Hem futbol hem de basketbol onaanların saısı z: Sadece basketbol onaanların saısı t: Futbol ve basketbol onamaanların saısı Örnek E a,b,c,d,e,f,g A a,b, e B b,c,e,f,g olduğuna göre A ve B kümelerini bulunuz. E kümesinde olan fakat A kümesinde olmaan elemanlar A kümesini oluşturur. A c,d, f,g E kümesinde olan fakat B kümesinde olmaan elemanlar B kümesini oluşturur. B a,d E A t z B Uarı. Bir kümenin, tümleeninin tümleeni kendisidir. A A. A ve A kümeleri arık kümelerdir.. s(a)+s( A )=s(e) 4. E, E 5. A B A B 49

50 9.SINIF MATEMATİK KÜMELER A ve B, E evrensel kümesinin alt kümesidir. s(e) =.s(a).s(e) = 4.s(B ) s( A ) s(b) = 0 olduğuna göre s(e) kaçtır? A) 8 B) 40 C) 44 D) 46 E) 48.s(E) 9.s(A) 4.s(B ) s(e) olsun, s(a) 4 s(a ) 4 8 s(b ) 9 s(b) 9 s(a ) s(b) s(a).4 48 bulunur. A ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s(a)+s(b )= s( A )+s(b)=7 olduğuna göre s(e) kaçtır. Cevap E A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 Verilen eşitlikleri taraf tarafa toplaalım, s(a) s(a ) s(b) s(b ) 7 s(e) s(e) 0 s(e) 5 bulunur. Cevap A A ve B kümeleri E evrensel kümesinin arık iki alt kümesidir..s(b) s(a), s(a ) s(b ) E kümesindeki bütün elemanlar, A vea B kümesinde olduğuna göre s(e) kaçtır? A) B) 7 C) 5 D) E) 9 da verilenlerden A B olduğu görülür. dolaısıla s(e) s(a) s(b) olur..s(a).s(b) s(a) s(b). s(b).s(b).s(b) 6.s(B) s(b) 7 ve s(a) 5 bulunur. s(e) s(a) s(b) s(e) 7 5 s(e) bulunur. Birleşim İşlemi (Vea) Cevap D A ve B kümeleri için, A B : ( A) ( B) kümesine, A ve B kümelerinin birleşim kümesi denir. Örnekler s(a)=+ s(b)=+z s( A B )=++z. A,,, 4, B, 4,5,6,7 A B,,,4,5,6,7 s(a)=4 s(b)=5 s( A B )=7 s( A B )<s(a)+s(b). A a,b,c, B a,b,c, d,e A B a,b,c, d, e A A B A B B s(a)= s(b)=5 s( A B )=s(b) z B A B (Taralı Alan) 50

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48 İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri

Detaylı

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER Sunum ve Sistematik. ÜNİTE: MANTIK KONU ÖZETİ Bu başlık altında, ünitenin en can alıcı bilgileri, kazanım sırasına göre en alt başlıklara ayrılarak hap bilgi niteliğinde konu özeti olarak sunulmuştur..

Detaylı

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler . ÜNİTE: MANTIK . ÜNİTE: MANTIK... Önerme Tanım (Önerme) BÖLÜM.. - Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı veriler. Örneğin Bir hafta 7 gündür. (Doğru) Eskişehir Türkiye'nin başkentidir.

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNERMELER BİLEŞİK ÖNERMELER AÇIK ÖNERMELER İSPAT YÖNTEMLERİ

İÇİNDEKİLER ÖNERMELER BİLEŞİK ÖNERMELER AÇIK ÖNERMELER İSPAT YÖNTEMLERİ - MANTIK İÇİNDEKİLER Safa No Test No ÖNERMELER...-... - BİLEŞİK ÖNERMELER...-... -6 AÇIK ÖNERMELER...-6... 7-8 İSPAT YÖNTEMLERİ...7-8... 9-9 - KÜMELER KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR...9-4... - KÜMELERDE İŞLEMLER...5-6...

Detaylı

LİSE 1 MANTIK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ

LİSE 1 MANTIK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ LİSE 1 MANTIK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ 1 ÖNERMELER Kesin olarak doğru ya da yanlış hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler p ve q gibi harflerle ifade edilirler.bir önerme doğru ise, doğruluk değeri

Detaylı

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER MANTIK MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER İçerisinde değişken olan ve değişkenin değerlerine göre doğru ya da yanlış olabilen önermelere açık önerme denir. Açık önermeler değişkenine göre P( x), Q( a)

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 1.KONU Sembolik Mantık; Önermeler, Niceyiciler, Olumsuzluk, İspat yöntemleri KAYNAKLAR 1. Akkaş, S., Hacısalihoğlu, H.H., Özel, Z., Sabuncuoğlu, A.,

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. Üç basamaklı doğal saılardan kaç tanesi, 8 ve ile tam bölünür? 8 9. ile in geometrik ortası z dir. ( z). ( z ). z aşağıdakilerden hangisidir?. 9 ifadesinin cinsinden değeri

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. n olmak üzere; n n toplamı ten büük n nin alabileceği tamsaı değerleri kaç tanedir? 9 B) 8 7.,, z reel saılar olmak üzere; ( 8) l 8 l z z aşağıdakilerden hangisidir? B) 8. tabanındaki

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012

Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012 Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. A.. n saısının tamsaı bölenlerinin saısı olduğuna göre, n 0. R de tanımlı " " işlemi; ο ο işleminin sonucu 0. (6) 6 (6) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? 6 6 (6)

Detaylı

LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI

LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI LYS GENEL KATILIMLI TÜRKİYE GENELİ ONLİNE DENEME SINAVI LYS- MATEMATİK (MF-TM). Bu testte Matematik ile ilgili soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz..

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR Fonksionlar ve Özel Tanımlı Fonksionlar Özel tanımlı fonksionlar konusu fonksionların alt bir dalıdır. Bu konuu daha ii anlaabilmemiz için fonksionlar ile ilgili bilgilerimizi

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında ılmaarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören çocuklarımızın ana ve babalarına da avrularının öğreniminin tamamlanması

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

Fonksiyonlar ve Grafikleri

Fonksiyonlar ve Grafikleri Fonksionlar ve Grafikleri Isınma Hareketleri Aşağıda verilenleri inceleiniz. A f f(a) 7 çocuk baan f: Çocukları annelerine götürüor. Fonksion olma şartı: Her çocuğun annesi olmalı ve bir tane olmalı. (

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır.

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır. -A Adı Soadı kulu Sınıfı LYS- MATEMATİK TESTİ Bu Testte; Toplam Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 7 dakikadır. Süre bitiminde Matematik Testi sınav kitapçığınızı gözetmeninize verip Geometri Testi

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır?

Örnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır? KÜMELER 2 İKİ KÜMENİN BİRLEŞİMİ A ve B gibi iki kümeden, A' ya veya B' ye ait olan elemanlardan oluşan yeni kümeye A ile B' nin birleşimi denir ve AUB ile gösterilir. Bu gösterim A birleşim B di ye okunur.

Detaylı

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları...

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları... ÜNİTE Safa No............................................................ 79 98 Fonksionlar Konu Özeti...................................................... 79 Konu Testleri ( 8)...........................................................

Detaylı

LYS MATEMATİK-2 SORU BANKASI LYS. M. Ali BARS. çözümlü sorular. yıldızlı testler. Sınavlara en yakın özgün sorular

LYS MATEMATİK-2 SORU BANKASI LYS. M. Ali BARS. çözümlü sorular. yıldızlı testler. Sınavlara en yakın özgün sorular LYS LYS 6 Sınavlara en akın özgün sorular MATEMATİK- SORU BANKASI çözümlü sorular ıldızlı testler M. Ali BARS M. Ali Bars LYS Matematik Soru Bankası ISBN 978-65-8-7-9 Kitapta er alan bölümlerin tüm sorumluluğu

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

DERS 2. Fonksiyonlar

DERS 2. Fonksiyonlar DERS Fonksionlar.1. Fonksion Kavramı. Her bilim dalının önemli bir işlevi, çeşitli nesneler vea büüklükler arasında eşlemeler kurmaktır. Böle bir eşleme kurulması tahmin ürütme olanağı verir. Örneğin,

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a

- 2-1 0 1 2 + 4a a 0 a 4a İKİNCİ DERECEDEN FNKSİYNLARIN GRAFİKLERİ a,b,c,z R ve a 0 olmak üzere, F : R R f() = a + b + c şeklinde tanımlanan fonksionlara ikinci dereceden bir değişkenli fonksionlar denir. Bu tür fonksionların grafikleri

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler 9. SINIF SONUÇ YYINLRI 9. Sınıf Kümeler Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması,

Detaylı

YAZILI ÇALIŞMA TEKNİKLERİ. w w w. g e o m e t r i g o r m e t e k n i k l e r i. c o m. { } : boþ küme demek deðildir. ÇÖZÜMÜ:

YAZILI ÇALIŞMA TEKNİKLERİ. w w w. g e o m e t r i g o r m e t e k n i k l e r i. c o m. { } : boþ küme demek deðildir. ÇÖZÜMÜ: KONU BİLGİSİ 1.KÜME TNIMI VE GÖSTERÝM ÞEKÝLLERÝ Belli özellikleri saðlayan nesneler topluluðuna küme denir. Kümede tüm elemanlar net olmalýdýr. Kümeler büyük harflerle gösterilir. Bir kümede bir eleman

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 1. 2,31 0,33 0,65 0,13 + 3,6 0,6 işleminin sonucu kaçtır? A)0,5 B) 0,8 C)0,9 D)5 E)8 4. Üç basamaklı ABB doğal sayısı 4 e ve 9 a kalansız bölünmektedir. Buna göre, A+B toplamının

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. abba dört basamaklı, ab iki basamaklı doğal saıları için, abba ab. a b eşitliğini sağlaan kaç farklı (a, b) doğal saı ikilisi vardır? 7 olduğuna göre, a b toplamı kaçtır? 9.,,

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

1 MATEMATİKSEL MANTIK

1 MATEMATİKSEL MANTIK 1 MATEMATİKSEL MANTIK Bu bölümde ilk olarak önerne tanımıverilip ispatlarda kullanılan düşünce biçimi incelenecektir. Tanım 1 Bir hüküm bildiren ve hakkında doğru veya yanlış denilmesi anlamlı olan ifadelere

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.

Detaylı

ÖZEL ÇORUM ADA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK 3 BİLİM GRUBU ÇERÇEVE PROGRAMI

ÖZEL ÇORUM ADA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK 3 BİLİM GRUBU ÇERÇEVE PROGRAMI ÖZEL ÇORUM ADA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK 3 BİLİM GRUBU ÇERÇEVE PROGRAMI 1.KURUM ADI: Özel Çorum Ada Özel Öğretim Kursu 2. KURUMUN ADRESİ: Yavruturna Mah. Kavukçu Sok. No:46/A ÇORUM/MERKEZ 3. KURUCUNUN

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

1977 ÜSS. 2 y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1 x. 2 y. 1 y. 1 y. 1 x. 2 x. 2 x. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y 2 C) 4 E)

1977 ÜSS. 2 y ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 1 x. 2 y. 1 y. 1 y. 1 x. 2 x. 2 x. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y. 1 x. 1 y 2 C) 4 E) 77 ÜSS. ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?. C) 4 E). Şekilde a+b+c+d açılarının toplamı kaç dik açıdır? (açılar pozitif önlüdür.) 4 C) 6 7 E) 8 Verilen şekilde açıların ölçüleri verilmiştir. En

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI LYS - 1 MATEMATİK

TÜRKİYE GENELİ DENEME SINAVI LYS - 1 MATEMATİK TÜRKİY GNLİ SINVI LYS - 1 7 MYIS 017 LYS 1 - TSTİ 1. u testte 80 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz. + k+ n 15 + 10 1. : = + 6 16 + 8 0 + 8 olduğuna

Detaylı

2005 ÖSS Soruları. 5. a, b, c gerçel sayıları için 2 a = 3 3 b = 4 4 c = 8 olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır?

2005 ÖSS Soruları. 5. a, b, c gerçel sayıları için 2 a = 3 3 b = 4 4 c = 8 olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır? . + c m 9 + c9 m 9 9 20 ) ) 9 ) 27 ) ) 82 9 5. a, b, c gerçel saıları için 2 a = b = c = 8 olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır? ) ) 2 ) ) ) 5 6. a, b, c gerçel saıları için, a.c = 0 a.b 2 > 0 2. 2 2 +

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

( 2x+1, 3y 1. Örnek...4 : A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} kümeleri için, AxB ve BxA kümelerini liste biçimde yazınız.

( 2x+1, 3y 1. Örnek...4 : A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} kümeleri için, AxB ve BxA kümelerini liste biçimde yazınız. SIRALI İKİLİ a ve b'nin (a,b) biçiminde tek bir eleman olarak yazılmasına sıralı ikili ya da kısaca ikili denir. Burada a' ya ikilinin birinci bileşeni, b' ye ise ikinci bileşeni denir. Örneğin ; (4, 3)

Detaylı

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08 LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SRU KİTPÇIĞI 08 U SRU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SRULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik Testi

Detaylı

TEMEL SAYMA. Bill Gates

TEMEL SAYMA. Bill Gates Bölüm 1 TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ Firmamızın sahip olduğu tek şey insan düş gücüdür. Bill Gates Bu bölümde fazla kuramsal bilgi gerektirmeyen sayma problemleri üzerinde duracağız. Bu tür problemlerde sayma;

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı

Matematik A A ile B nin Kartezyen Çarpımı: A Kümesinden B nin Farkı: A Kümesinden B ye Fonksiyon: Açı: Açık Önerme: Açıortay: Açısal Bölge: Aksiyom:

Matematik A A ile B nin Kartezyen Çarpımı: A Kümesinden B nin Farkı: A Kümesinden B ye Fonksiyon: Açı: Açık Önerme: Açıortay: Açısal Bölge: Aksiyom: Matematik A A ile B nin Kartezyen Çarpımı: Birinci bileşeni A dan, ikinci bileşeni B den alınarak elde edilen ikililerin kümesidir. A Kümesinden B nin Farkı: A kümesinin B kümesi ile ortak olmayan elemanlarından

Detaylı

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir?

2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir? MC www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir3@ahoo.com.tr. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler- TEST I A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1. 1/ = 0 denkleminin köklerinin toplamı aşağıdakilerden

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte 5 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. - - ^- h + c- m - (-5 )-(- ) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 5 E).

Detaylı

Saygın KIRILMAZ, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN

Saygın KIRILMAZ, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYIN KURULU Hazırlayanlar Saygın KIRILMAZ, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK &

Detaylı

Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar

Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar Önermeler mantığındaki biçimsel kanıtlar David Pierce 26 Aralık 2011, saat 11:48 Bu yazının ana kaynakları, Burris in [1] ve Nesin in [4] kitapları ve Foundations of Mathematical Practice (Eylül 2010)

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-III ÇERÇEVE PROGRAMI. : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA

ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-III ÇERÇEVE PROGRAMI. : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK-III ÇERÇEVE PROGRAMI 1.KURUMUN ADI 2.KURUMUN ADRESİ 3.KURUCUNUN ADI :Tercih Özel Öğretim Kursu : Kesikkapı Mah. Atatürk Cad. No 79 Fethiye /MUĞLA : ARTI ÖZEL EĞİTİM ÖĞRETİM

Detaylı

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 015-01 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI SÜRE: MANTIK(30) ÖNERMELER VE BİLEŞİK ÖNERMELER(18) 1. Önermeyi, önermenin

Detaylı

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 NİSAN 21 DENEMESİ 1) ABCD dikdörtgeninin AB kenarı üzerindeki M noktasından geçen ve CM doğrusuna dik olan doğru AD kenarını E noktasında kesiyor. M noktasından CE doğrusuna indirilen dikmenin ayağı P

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır? . SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10.

8. 2 x+1 =20 x. 9. x 3 +6x 2-4x-24=0 10. MAT-1 EK SORULAR-2 1. 6. A)7 B)8 C)15.D)56 E)64 Olduğuna göre x.a)1 B)2 C)3 D)4 E)6 7. 2. Birbirinden farklı x ve y gerçek A)5.B)6 C)7 D)8 E)9 sayıları için; x 2 +2009y=y 2 +2009x eşitliği sağlandığına

Detaylı

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 1. ve y aralarında asal iki doğal sayıdır. 7 y 11 olduğuna göre, y farkı 5. 364 sayısının en büyük asal böleni A) 3 B) 7 C) 11 D) 13 E) 17 A) B) 3 C) 4

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI 9 Eylül- Eylül 0-07 TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 0. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Veri, Sayma ve Sayma. Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. Sıralama

Detaylı

Cebir Notları. Kümeler. Gökhan DEMĐR, KÜME KAVRAMI

Cebir Notları. Kümeler. Gökhan DEMĐR, KÜME KAVRAMI , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Kümeler KÜME KVRMI Kümenin tanım yoktur. undan dolayı kümeyi tanıtmaya çalışalım. Küme kavramında bir topluluk, bir kolleksiyon ifadesi vardır.

Detaylı

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41

Detaylı

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi YGS MATEMATĠK DENEMESĠ-1 Muharrem ġahġn TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi Eyüp Kamil YEġĠLYURT Gökhan KEÇECĠ Saygın DĠNÇER Mustafa YAĞCI Ġ:K Ve TMÖZ üyesi 14 100 matematik ve geometri sevdalısı

Detaylı

ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı a da bir kısmı, azarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak kıl YGS MTMTİK DNM SINVI 0- Ortak kıl dem ÇİL han YNĞLIBŞ Barış DMİR Celal İŞBİLİR Deniz KRDĞ ngin POLT rsin KSN üp BULUT Fatih TÜRKMN Hakan BKIRCI Kadir LTINTŞ Köksal YİĞİT Muhammet YVUZ Muharrem

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

MERKEZİ ORTAK SINAV KAZANDIRAN MATEMATİK FÖYÜ

MERKEZİ ORTAK SINAV KAZANDIRAN MATEMATİK FÖYÜ MERKEZİ ORTAK SINAV KAZANDIRAN MATEMATİK FÖYÜ ÖRNEK: 18 sayısının pozitif çarpanları nelerdir? Çarpımları 18 olan sayılar arayalım. 18 = 1. 18 18 =. 9 18 =. 6 Her doğal sayı iki doğal sayının çarpımı şeklinde

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

8.SINIF CEBirsel ifadeler

8.SINIF CEBirsel ifadeler KAZANIM : 8..1.3. Özdeşlikleri modellerle açıklar. Özdeşlik 3 + = + 3 eşitliğinin özdeşlik olup olmadığını inceleelim. İçerdiği değişken vea değişkenlerin alabileceği her gerçek saı değeri için doğru olan

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1...

İÇİNDEKİLER. Tekrar Zamanı TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÇÖZÜMLÜ TEST 1... 52 ÇÖZÜMLÜ TEST 2... 54 MAKS. - MİN. PROBLEMLERİ. Uygulama Zamanı 1... İÇİNDEKİLER TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Teğet ve Normal Doğruların Eğimi... Teğet Doğrusunun Eğim Açısı... Teğet ve Normal Denklemleri... Eğrinin Teğetine Paralel ve Dik Doğrular... Grafikte Teğet I... 5

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR A: SAYI Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Ör: 0,1,2,3,4,5,6 Rakamların çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeler ifadesine sayı denir.

Detaylı

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç Not: Starboard programında dosya aç kısmından dosyayı seçerek açabilirsiniz. Yazı karakterlerinde bozulma oluyorsa program kapatılıp tekrar açıldığında yazı düzelecektir. Ben yaptığımda düzelmişti. Andropi

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde

MATEMATİK SORU BANKASI. ezberbozan serisi GEOMETRİ 30. KPSS tamamı çözümlü. eğitimde ezberbozan serisi MATEMATİK GEOMETRİ KPSS 2017 SORU BANKASI eğitimde tamamı çözümlü 30. Kerem Köker Kenan Osmanoğlu Levent Şahin Uğur Özçelik Ahmet Tümer Yılmaz Ceylan KOMİSYON KPSS EZBERBOZAN MATEMATİK

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR İÇİNDEKİLER HEDEFLER GRAFİK ÇİZİMİ. Simetri ve Asimtot Bir Fonksiyonun Grafiği HEDEFLER İÇİNDEKİLER GRAFİK ÇİZİMİ Simetri ve Asimtot Bir Fonksionun Grafiği MATEMATİK-1 Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR Bu ünitei çalıştıktan sonra; Fonksionun simetrik olup olmadığını belirleebilecek, Fonksionun

Detaylı