1. BÖLÜM VEKTÖRLER MOMENT DENGE PARALEL KUVVETLER KÜTLE MERKEZİ BASİT MAKİNALAR

Transkript

1 1. ÖLÜ VETÖRLER OENT DENGE PRLEL UVVETLER ÜTLE EREZİ SİT İNLR Yaza : D. Tafun Demitük E-posta: tdemituk@pau.edu.t 1

2 i fizik poblemini çözmee başlamadan önce ele aldığımız poblemde kullanılan ifadelein ne tü nicelik olduğunu bilmemiz kullanacağımız matematik dili için çok önemlidi. Çünkü he iki nicelik içinde kullanılan matematik dili faklıdı. Sözün özü, fizikte, iki tü nicelik bulununu. 1. Skale nicelikle: Sadece büüklük ve biim ile ifade edilen nicelikledi. unladan bazılaı: Önekle Simge üüklük iim ütle m 3 kg Zaman t 8 saat Eneji E 500 kw.saat İş W 300 joule Güç P 80 watt Elk. Yükü q -3 coulomb Hacim V 2 lite lan S 5 cm 2 Uzunluk l 3 mete Süat s 25 m/sn Yol d 30 km Skale niceliklede kullanılan matematik basit cebisel işlemledi (toplama, çıkama, çapma ve bölme gibi). u işlemlede işaetlein kullanılması çok önemlidi, çünkü işleme dâhil edilile. Önek: 3 kge + 5 kge = 8 kge 8 kge 2 kge = 6 kge 6 kge 3 = 2 kge 2 kge * 200 Tl/kgE = 400 Tl 2

3 2. Vektöel nicelikle: üüklük ve biimi dışında bide ön ile ifade edilen nicelikledi, kısaca önlü büüklükledi. Önekle Simge üüklük iim Yön uvvet F F 80 N sağa Yedeğiştime X X 25 m kuze Hız V V 30 km/h batı İvme a a 10 m/sn 2 güne oment 25 N.m Hehangi bi ifadenin, vektöel bi nicelik olduğunu belitmek için, simgesinin üzeine bi ok işaeti koulu a da kou enkte gösteili. i ifadenin vektöel bi nicelik olabilmesi için şu döt koşulunda belitilmesi geeki. i. aşlangıç noktası iv ii. iii. iv. Doğultusu Yönü üüklüğü i iii ii Vektöle, simgesel olaak ok ile gösteili. Vektöel niceliklede toplama (bileşke bulma) apılıken atık skale işlemlede olduğu gibi basit cebisel işlemlei kullanmak tek başına eteli olmaabili. Vektölede kullanılan matematik çoğunlukla geometinin ve tigonometinin esaslaına daanı, onun için bazı geometik ve tigonometik kaidelei çok ii bilmeliiz. 3

4 COSİNÜS TEOREİ Hehangi bi üçgende iki kenaın büüklüğü ve aalaındaki açı biliniosa bilinmeen üçüncü kenaı bulmak için kullanılı. a b c = b = c = a c + a + b b. c. Cos 2. c. a. Cos 2. a. b. CosC c b a Sin = b Sin = c SinC = sabit Göüldüğü gibi, ve C iç açıladı. a C SİNÜS TEOREİ Hehangi bi üçgende iki açının değei ve en az bi kenaın uzunluğu biliniosa bilinmeen diğe kenalaın uzunluğunu bulmak için kullanılı. Yani, bi üçgende he bi kenaın uzunluğunun, gödüğü açının Sinüs üne oanı daima sabit ve bibiine eşitti. üük açı üük kena üçük açı üçük kena PİSGOR TEOREİ Sadece dik üçgenle için ugulanı. Hehangi bi dik üçgende, dik kenalaın kaeleinin toplamının kaekökü hipotenüsü vei. α b C a c + α = 90 o c = a b aıca b Sin = = Cosα c a Cos = = Sinα c b Tan = = Cotα a a Cot = = Tanα b Tanımladanda anlaşılacağı gibi bibiini 90 o deecee tamamlaan açılaın Sin ve Cos değelei bibiine eşitti. 4

5 ıca bazı tigoneometik açılımlaıda hatılamada fada va: bunladan bazılaı, Sin(+) = Sin.Cos+Sin.Cos Sin(-) = Sin.Cos-Sin.Cos Cos(+) = Cos.Cos-Sin.Sin Cos(-) = Cos.Cos+Sin.Sin azı Fonksionlaın Tanım Şekli ve Gafikleinin Çizilmesi: = ± c 1 ve = ± c 2 ( c hehangi bi sabit saı) +c1 +c2 -c2 -c1 = m + n (1. deeceden bi polinom) m doğunun ata () eksenle aptığı açının tanjantı ani eğimi (m=tan), n doğunun düşe eksen () i kestiği nokta eğim + eğim - n n -n/m +n/m 5

6 = a 2 + b + c (2. deeceden bi polinom) (a,b,c bie eel saıdı) Eğe a pozitif i (4ac-b 2 )/(4a) c 2 c -b/2.a 1 2 -b/2.a 1 (4ac-b 2 )/(4a) b ± Δ = 1,2 2. a 2 Δ = b 4. a. c Eğe a negatif i = a 2 +b+c (a,b,c bie eel saıdı) 1 1 c 2 2 c 6

7 VETÖRLERDE TOPL İŞLEİ : vektöü vea II : vektöünün büüklüğü die okunula. Vektöle anı doğultu ve önlü isele: şağıdaki şekilde göüldüğü gibi, bi cismin üzeine anı doğultu ve önlü olaak etkien iki kuvvet vektöümüz olsun. F 2 F 1 R İki vektöün doğultu ve önlei anı ise bileşke vektöün büüklüğü bu vektölein büüklüklei toplamına eşitti. ıca, bileşke vektöde diğe vektölele anı doğultu ve önlüdü. ileşke ( R ) = Toplam ( ) F 1 F 2 R= F+ F R= F + F ileşke (Toplam) Vektö Notasanu ileşke vektöün büüklüğünün bulunması Vektöle anı doğultulu fakat tes önlü isele: şağıdaki şekilde göüldüğü gibi, bi cismin üzeine anı doğultulu fakat tes önlü olaak etkien iki kuvvet vektöümüz olsun. F 2 F 1 R F 2 F 1 İki vektö anı doğultulu fakat tes önlü ise bileşke vektöün büüklüğü bu vektölein büüklüklei fakına eşitti aıca bileşke vektö büük kuvvet ile anı doğultu ve önlüdü. R = F 1 + F2 R = F1 F2 ileşke (Toplam) Vektö Notasanu ileşke vektöün büüklüğünün bulunması 7

8 Vektöle anı doğultulu değil isele: Peki a bizim vektöleimiz anı doğultulu değil ise, ne apmamız geekio? İşte böle bi duumda kısaca, iki vektöün bileşkesinin büüklüğü vektölein büüklüklei fakından a büük-eşitti ada büüklüklei toplamından küçük-eşitti deni. F + 1 F2 R F1 F2 Yukaıdaki bu duum, hatılasanız, bi üçgendede hehangi bi kenaın uzunlugu diğe iki kenaın uzunluklaı fakından büük a da uzunluklaı toplamındanda küçüktü pensibile uuşmaktadı. b c a-b < c < a+b a Sou: Hehangi üç vektöün bileşkesinin büüklüğünün alabileceği ma ve min değelei için ne söleebiliiz? Cevap: He üç vektöde anı önlü isele, bileşke maimumdu: F 1 F 2 F 3 R ma =F 1 +F 2 +F 3 dü. R min i bulma testi: R min i bulmak için önce bileşkenin sıfı olup olmaacağını kontol etmeliiz. unun için öncelikle bu üç vektöden hehangi ikisi seçili ve bu iki vektöün ma ve min bileşke değelei bulunu. Eğe geide kalan 3. vektöün büüklüğü bulduğumuz min ve ma bileşke değelein aasında ise bize veilen bu üç vektöün bileşkesinin min değei kesinlikle sıfıdı aksi takdide değildi. u takdide bileşkenin min değei en büük vektöden diğe iki küçük vektöün büüklüklei çıkatılaak bulunu. F1, F2 F3 R ma =F 1 +F 2 R min =F 1 -F 2 Eğe, [F 1 -F 2 F 3 F 1 +F 2 ] ise bileşke (R) ani R min sıfıdı. ksi takdide: R min = F 3 - (F 1 +F 2 ) di. (F 1 ve F 2 en küçük büüklüklee sahip olmak koşulula) 8

9 Şimdide vektölein doğultulaı faklı ise bileşke vektöün önü ve büüklüğü nasıl bulunu buna bakalım. Şekildeki gibi iki vektöümüz olsun. + = R nin doğultusu, önü ve büüklüğü nedi? ileşke vektöü bulmak için bikaç öntem vadı, bunladan bazılaı: 1. Uç- Uca ekleme öntemi. Şekildeki gibi iki vektöümüz olsun. + = R nin doğultusu, önü ve büüklüğü nasıl bulunu? Önce vektöle doğultu, ön ve büüklüklei değiştiilmeden biinin başlangıç noktası diğeinin bitim noktasına gelecek şekilde eniden çizili. iinci vektöün başlangıcından diğe vektöün bitimine doğu çizilen doğu bileşke vektödü. iinci vektöün başlangıcı bileşkeninde başlangıcı, diğe vektöün bitim noktasıda bileşkenin bitim noktasıdı., ve bilinenleile C ve α=? : dış açı α C C 2 = Cos(180-) Cos(180-) = - Cos C 2 = Cos Göüldüğü gibi bu şekil bi üçgendi, hemen üçgenledeki COS teoemini hatılaaak bilinmeen üçüncü kena ani bileşke vektöün büüklüğünü bulabiliiz. Peki, bileşkenin büüklüğünü bulduk ama doğultusunu (bileşke vektöün hehangi bi eksenle aptığı açı) bulabilimiiz. Evet, nasılmı? Tabiki SİNÜS vea COS teoemini tekadan ugulaaak. u sefe; 2 = C C..Cos(α) Cos(α) = [C ] / [2.C.] 9

10 2. Paalel ena öntemi. Şekildeki gibi iki vektöümüz olsun. + = R nin doğultusu, önü ve büüklüğü nasıl bulunu? Önce vektöle, başlangıç noktalaı çakışacak şekilde doğultu, ön ve büüklüklei değiştiilmeden eniden çizili. Daha sona vektölein bitim noktalaından diğe vektöe paalel doğula çizili. Vektölein başlangıç noktalaından paalel doğulaın kesişim noktasına çizilen doğu bileşke vektödü. Vektölein başlangıcı bileşkeninde başlangıcı, paalel doğulaın kesişim noktası ise bileşkenin bitim noktasıdı., ve bilinenleile C =? C : dış açı C 2 = Cos(180-) Cos(180-) = - Cos C 2 = Cos Göüldüğü gibi paalel kenaın bi kısmı uç-uca ekleme önteminde oluşan üçgenin anısıdı. undan aalanaak ani COSİNÜS teoemini ugulaaak bileşke vektöün büüklüğü bulunu. Özel duumla: azı özel duumla vadıki matematikteki çapım tablosunu bilmek gibi bunlaı önceden bilmek bize hem işlem kolalığı hemde zamandan kazanç sağla. esela: Eğe iki vektöün büüklüklei anı ise, bileşke vektö daima açıota doğultusundadı. R= 2.F R= 3.F R=F F R F R F R F F F 10

11 VETÖRLERDE ÇIR İŞLEİ Evet, anlış okumadınız vektöledede çıkama, hatta çapma ve bölme işlemide va, bunlaı zamanla sıası geldikçe anlatacağız. Vektölede çıkama işlemine gimeden önce Negatif Vektö kavamını öğenelim: Negatif Vektö: Hehangi bi vektöün doğultusu ve büüklüğü değiştiilmeden önü 180 deece çevilmiş (ani tes döndüülmüş) olan haline o vektöün negatif vektöü deni. Öneğin: - - C -C Şimdide şu iki vektöün fakını bulalım: =? iz bunu şu şekildede azabiliiz ve anlamda bi değişiklik olmaz: - = + (-) Dolaısıla buda, vektöünün - vektöü ile toplamıdı. Sizin anlaacağınız çaktımadan fak işlemini negatif vektö tanımınıda kullanaak daha onceden öğendiğimiz toplama işlemine dönüştümüş olduk. Şimdi bu işlemin ugulamasını göelim. Önek sou: C = - i bulun. - Uç-uca ekleme öntemini ugulasak, 11

12 , ve bilinenleile C 2 = Cos C - : iç açı Umaım buada dikkat edilecek hususu hemen hatıladınız değilmi. Hani şu iç açı, dış açı meselesi. PLI VETÖR DİGRLRI apalı bi vektö diagamında, vektölein önlei dikkate alınaak apılan toplamı daima sıfıa eşitti. Peki bu işlemi nasıl ugulaız: Önce diagam üzeinde kendimize bi sabit nokta ve diagam üzeinde dolanmak için bi haeket onü tespit edeiz. Seçtiğimiz nokta ve haeket önünde vektöle üzeinde haeket ede iken eğe vektö bizim haeket önümüz ile anı önlü ise onu pozitif (+) bi vektö, haeketimiz ile tes önlü ise onu negatif (-) bi vektö kabul edeek vektöel toplama apaız, haeket noktamıza gei gelincee kada. Haekete başladığımız noktaa gei dondüğümüzdede azdığımız bu toplamın sonucunu sıfıa eşitleiz. G F E D I) C G + H = 0 + H = + C + G II) D + E + F C = 0 H I III C II D + E + F = C III) C + D + E G + H = 0 + D + E + H = + C + G 12

13 Şu ana kada hep iki vektöün bileşkesini bulmaı gödük. Peki, ikiden fazla vektöümüz olsadı ve bunlaın bileşkesini bulmak istesedik hala COS teoemini ugulamakta ısamı edecektik. esinlikle haı, eğe COS teoemini ugulaaak çoklu vektölein bileşkesini bulmaa eltensedik bu bize vakit kabından ve ızdıaptan başka bi şee mal olmazdı. Peki, bu duum kaşısında ne apacağız. İşte bu gibi duumla için eni bi metod daha öğeneceğiz. İLEŞENLERİNE YIR ETODU i vektöün kendisini medana getiebilecek en az iki dik vektö cinsinden ifade edilmesine bileşenleine aıma deni (bu saı illa iki mi olmak zoundadı?). Ya da, bi vektöün, hehangi bi koodinat sistemine eleştiilmiş iken, bu vektöün he bi koodinat ekseni üzeindeki dik izdüşümleine o vektöün dik bileşenlei deni. Dolaısıla, bi vektöü, kendisini medana getiebilecek sonsuz saıda dik bileşenle cinsinden ifade etmek mümkündü. Nasılmı? Sadece vektöün başlangıç noktasına eleştieceğiniz koodinat sistemini biaz çeviin göeceksiniz α = + =.Cos+.Sin = + =.Cosα+.Sinα Şimdi bi vektöü eleştieceğimiz koodinat sistemine göe bileşenleine aımasını göelim. α α α+=90 Sin = = Cosα =. Sin ada =. Cosα Cos = = Sinα =. Cos ada =. Sinα i dik üçgendeki SİN ve COS tanımlaından aalanısak: 13

14 Dikkat: i açının komşuluğundaki dik kenaın uzunluğunu hesaplaken omşu kelimesi size COS inüsün, açının kaşısındaki dik kenaın uzunluğunu hesaplakende aşı kelimesi size SİN üsün kullanılacağını hatılatmalı. Şimdide bileşenleine aıma önteminden aalanılaak bileşke vektöün nasıl bulunacağına bi bakalım. Sou: + + C =? X Y +.Cos +.Sin α -.Sinα +.Cosα C 0 - C R R R C R =.Cos -.Sinα R =.Sin +.Cosα C sonucun işaeti + fazedelim sonucun işaeti + fazedelim R ve R dik bileşkelei eni bi katezen koodinat sistemine taşı ve buadanda bileşke sonuç vektöünün büüklüğünü ve doğultusunu hesaplaız. R 2 = R 2 + R 2 R R R = (R 2 + R 2 ) ½ Φ R tanφ = R / R İşte bu işlemle apılaak bileşke vektöün büüklüğü, doğultusu ve önü bulunu. Önek: şağıdaki istenen sonuç vektöleini bulunuz? -2+C=? C ++C+D=? C D 14

15 F 3 F 1 F 2 Şekildeki noktasal cismin dengede kalabilmesi için ugulanması geeken 4. kuvvetin önünü, doğultusunu ve büüklüğünü bulunuz. F 1 F 1 +F 2 F 3 vektöünü bulunuz. F 2 +F 3 UNUTYLI Eğe bi cismin üzeine etkien kuvvetlein toplamı sıfı ise bu cisim a duuodu a da sabit bi hızla haeket ediodu. ΣF=0 ise V=0 duuo ada V=sabit hızla i cisim daima üzeine etki eden kuvvetlein bileşkesi doğultusu ve önünde haeket ede. F 1 R Cismin haeket doğultusu F 2 Eğe bi cismin üzeine etkien kuvvetlein toplamı sıfı ise (bu cisim a duuodu, a da sabit hızla haeket ediodu), cismin üzeine etkien bu kuvvetlein bileşenlei toplamıda sıfıdı. ΣF =0 V = 0 duuo ΣF = 0 ise ve ada ΣF =0 V = sabit hızla Vektölede toplama işleminde edeğiştime özelliği vadı. Yani: + = + dı. 15

16 Eğe bi cisim üç kuvvetin etkisi altında ve dengede (cisim duuo vea sabit hızla haeket edio) ise kuvvetleden hehangi ikisinin bileşkesinin büüklüğü üçüncü kuvvete eşit fakat tes önlüdü. F 1 +F 2 = -F 3 Dengede ise ΣF=F 1 +F 2 +F 3 =0 F 2 +F 3 = -F 1 F 1 +F 3 = -F 2 ıca buadaki (üç kuvvetin etkisi altında olan cisim için) denge ile ilgili işlemle için SİNÜS teoemini kullanmak çok büük kolalık sağla, buda. F F F 1 2 = = 3 di. Sin Sinα Sinβ Tabiki bileşenleine aıma öntemini ugulaaak hebi bileşkei sıfıada eşitliebilisiniz. Sinüs teoemi sadece üç kuvvetin etkisinde ve dengede olan cisimle için geçelidi. şağıdaki şekilde, Sinüs teoeminin bi ugulaması ve ispatı göülmektedi. F β 180-α F 3 F 2 F1 F2 F3 = = Sin( 180 ) Sin( 180 α ) Sin( 180 β ) F 2 β F 1 F F 1 Not: Sin(180-φ)=Sin(φ) F 3 α F 3 F F F 1 2 = = 3 Sin Sinα Sinβ Dengenin iinci Şatı: Eğe bi cismin üzeine etkien kuvvetlein toplamı (bileşke kuvvet a da net kuvvet de denebili) sıfı ise bu cisim a duuodu a da sabit hızla bi doğu bounca haeket ediodu deni. 16

17 VETÖRLERDE ÇRP: Evet, anlış okumadınız, vektölede çapma die bi işlem vadı ve hatta ileide vektölede bölme işleminide göeceğiz. 1. i vektöün skale bi nicelikle çapılması: i vektö skale bi büüklükle a da skale bi nicelikle çapıldığı zaman ine bi vektö elde edeiz. Elde ettiğimiz bu vektö çapılan vektöle anı doğultuludu, önü ise çapanın işaetine bağlıdı. Eğe çapan pozitif bi büüklük ise elde edilen vektö çapılan vektö ile anı önlüdü, eğe çapan negatif bi büüklük ise elde edilen vektö çapılan vektö ile tes önlüdü. Önek veecek olusak: İki vektöün skale çapımı: İki vektöün skale çapımı sonucu skale bi nicelik elde edili. İki vektöün skale çapım aptığını. işaetinden anlaız ve buna skale çapım opeatötü deni. Şekildeki gibi iki vektöümüz olsun.. =.. Cos : ile vektölei aasındaki açı ısaca: iki vektöün skale çapımında esas olan vektöleden hehangi biisinin büüklüğü ile diğe vektöün bu vektöe göe olan paalel bileşeninin büüklüklei çapımına eşitti ve sonuç teka hatılatıoum skale bi büüklük vea nicelikti. ıca, skale çapma işleminde e değiştime özelliği vadı. Yani:. =. dı. 17

18 Önek veecek olusak, fizikte kullandığımız İŞ (W) fomülünü hatılaalım. F F F F // X W 0 F X W = 0 W = F. X = F.X.Cos F: X: Vektö Vektö W: Skale X 3. İki vektöün vektöel çapımı: İki vektöün vektöel çapımı sonucu, eğe sonuç sıfıdan faklı ise, bi vektö elde edili ve elde edilen bu vektö diğe iki vektöede anı anda dikti. Şekildeki gibi iki vektöümüz olsun: düzlem Şekildeki bu iki vektöün vektöel çapımı sonucu C gibi bi vektö elde edili ve elde edilen bu vektöün büüklüğü: C C = =.. Sin : ile vektölei aasındaki açı ile bulunu, peki a bu elde edilen vektöün önü nasıl bulunu. İşte önü bulmak için Sağ el kualı die adlandıılan bi öntem ugulaız. Şunuda belitmeliimki vektöel çapma işleminde skale çapma işleminde olduğu gibi e değiştime özelliği oktu. Vektölein elei değiştiileek apılan vektöel çapma işleminde eni bi vektö elde edili ani: = - 18

19 Sağ el kualı: şağıda belitilen vektöel çapıma göe bu öntemin nasıl ugulandığını göelim. ve bibiine paalel olmaan ve büüklüklei sıfıdan faklı iki vektö olsun. C = 1. Önce sağ elin ilk üç pamağı (baş, işaet ve ota pamakla) bibiine dik konuma getiili. + dönme önü + dönme önü + dönme önü 2. Seçilecek pamakladan hehangi biisi (mesela işaet pamağı) vektöünün önünü göstesin, 3. bu pamaktan sona saatin tesi önünde (pozitif haeket önü) haeket edeken astladığımız diğe pamak (ota pamak) vektöünün önünü gösteecek şekilde elimizi aalasak + dönme önü 19

20 4. çıkta kalan üçüncü pamak (başpamak) elde edilen C sonuç vektöünün önünü otomatikman gösteecekti. C C + dönme önü + dönme önü : Safa düzleminden aşağı doğu : Safa düzleminden ukaı doğu Fomule göe pamaklaın tanımlanma sıası C = Şimdi benze souu şöle soalım. C = Vektöünün önü nasıl gösteili? -C = -C Göüldüğü gibi, { = - } dı, ani: vektöel çapma işleminde edeğiştime özelliği oktu. Not: Dikkat edilecek olusa, iki vektöün vektöel çapımından elde edilen büüklük bize o iki vektö taafından oluştuulan bi paalelkenaın alanını tanımlamaktadı. 20

21 Peki, bu vektöel çapım işlemini Fizikte neede kullanıız? Vektöel çapım işleminin biçok ede ugulaması vadı bunladan bazılaı: oment, magnetik kuvvet,..gibi hesaplamalada sıklıkla kullanılı. oment ile ilgili bi önek veecek olusak: d F = = F d F. d. Sin : F ile d vektölei aasındaki açıdı. Peki, moment vektöünün önü nedi? Hadi bunuda siz bulun. 21

22 İRİ VETÖR NOTSYONU şağıdaki şekilde göüldüğü gibi, bi vektöümüz ve bu vektöünün başlangıç noktasınada, üç boutlu bi dik (katezen) koodinat sistemi eleştiilmiş olsun. Şekilde göülen i, j, k vektölei sıasıla,, z koodinat sisteminde tanımlanmış biim vektöleimiz olmuş olsun. iim Vektö: üüklüğü 1 biim olaak kabul edilen vektöe deni, (i, j, k). uada, i : ekseni üzeindeki biim vektö, j : ekseni üzeindeki biim vektö, k : z ekseni üzeindeki biim vektö dü. azen i, j, k biim vektölei e 1, e 2, e 3 vea ˆ, ŷ, ẑ gibi başka simgelelede ifade edilebili. Dolaısıla, hehangi bi vektöü kendisini medana getiebilecek dik bileşenle cinsinden ifade edebileceğimiz gibi anı vektöü biim vektöle cinsinden de ifade edebiliiz. esela, şekilde göülen vektöünü: = + + z şeklinde ifade edebildiğimiz gibi, = i + j + z k şeklindede ifade edilebili. z vektöü = i + j + k z vektöünün büüklüğü II = = ( ) 1/2 k : vektöünün dik bileşeni : vektöünün dik bileşeni z : vektöünün z dik bileşeni j i 22

23 iim vektö notasanu ile vektölede Toplama ve Çıkama işlemi: z vektöü = i + j + z k (,, z ) vektöü = i + j + z k C vektöü C = C i + C j + C z k (,, z ) k j Olduğunu kabul edesek, + = + = ( + )i + ( + )j + ( z + z )k i C - = - + = ( - )i + ( - )j + ( z - z )k ( C, C, C z ) + + C = ( + + C )i + ( + + C )j + ( z + z + C z )k Genel olaak: şeklinde işlem apılı. ± ± ± C = (± ± ± C )i + (± ± ± C )j + (± z ± z ± C z )k dı. R R R z R, R ve R z dik bileşenlei bulunduktan sona bileşke R: R = (R 2 + R 2 + R 2 z ) 1/2 işlemile bulunu. Yada; R vektöünün dik bileşenlei R,, φ ve γ bilinenleile R = R.Cos.Cosφ R = R.Cos.Sinφ R z = R.Cosγ ile bulunu. R R z z γ φ R R R vektöünün doğultusu R,, φ ve γ bilinenleile Tanφ = R / R Cos = {(R 2 + R 2 ) 1/2 } / R Cosγ = R z / R ile bulunu. 23

24 iim vektö notasanu ile vektölede Çapma ve ölme işlemi: Skale Çapma ( ) : İki vektöün skale çapım aptığını beliten simge iki vektöün aasına koulan basit bi nokta işaetidi ( ). iim vektö notasonula bilikte skale çapma apaken aşağıdaki tablonun sonuçlaına dikkat etmeliiz. i. i = 1 j. i = 0 k. i = 0 i. j = 0 j. j = 1 k. j = 0 i j k i. k = 0 j. k = 0 k. k = 1 i i j k ve i // i, j // j, k // k Dik vektölein skale çapımlaının sonucu sıfıdı. j Paalel a da bibileine paalel bileşenlei olan k vektöelein skale çapımlaı sonucu sıfıdan faklıdı. İki vektöün skale çapımı sonucu skale bi büüklük elde edili. İki vektö bibileine dikse skale çapımlaının sonucu sıfıdı. İki vektö bibileine paalel ise sonuç sıfıdan faklıdı. Önek: = i + j + z k ve = i + j + z k gibi iki vektöümüz olsun ve bunlaın skale çapımlaını apalım, umaım paantez açmaı hala hatılıosunuzdu, eğe hatılıosanız eğe üşenmeden şu aşağıdaki paantezi açın bakalım : = ( i + j + z k ) ( i + j + z k) 1 = ( i i + i j + z i k ) ( j i + j j + z j k ) ( z k i + z k j + z z k k ) 0 0 = + + z z sonucu elde edili ve göüldüğü gibi sonuç sadece bi büüklüktü, ani vektö değildi. 24

25 Vektöel Çapma (): İki vektöün vektöel çapım aptığını beliten simge iki vektöün aasına koulan bi çapı işaetidi (). iim vektö notasonula bilikte vektöel çapma apaken aşağıdaki tablonun sonuçlaına dikkat etmeliiz. i i = 0 j i = -k k i = j i j = k j j = 0 k j = -i i k = -j j k = i k k = 0 i j k ve i // i, j // j, k // k Paalel vektölein vektöel çapımlaının sonucu sıfıdı. Dik a da bibileine dik bileşenlei olan vektöelein vektöel çapımlaı sonucu sıfıdan faklıdı ve bu çapım sonucu eni bi vektö elde edili. Elde edilen bu vektö de bibileile çapılan iki vektöede anı anda dikti. i j k i 0 k -j j -k 0 i k j -i 0 İki vektöün vektöel çapımı sonucu eğe sonuç sıfıdan faklı ise vektöel bi nicelik (büüklük) elde edili. İki vektö bibileine paalelse vektöel çapımlaının sonucu sıfıdı. İki vektö bibileine dik ise sonuç sıfıdan faklıdı ve sonuç bi vektö tanımla. Önek: = i + j + z k ve = i + j + z k gibi iki vektöümüz olsun ve bunlaın vektöel çapımlaını apalım, umaım paantez açmaı hala hatılıosunuzdu, eğe hatılıosanız üşenmeden şu aşağıdaki paantezi açın bakalım : = ( i + j + z k ) ( i + j + z k) = C = ( ii+ ij+ z ik)+( ji+ jj+ z jk)+( z ki+ z kj+ z z kk) 0 k -j -k 0 i j -i 0 = ( z - z )i + ( z - z )j + ( - )k = C olaak bulunu. u paantez açma işlemi matis-deteminant hesaplamasılada bulunabili. atis öntemini ve deteminant hesaplamasınıda umaım hatılıosunuz. 25

26 26 = ( z - z )i + ( z - z )j + ( - )k = C Olduğuna göe C vektöünün büüklüğünü, C = {( z - z ) 2 + ( z - z ) 2 + ( - ) 2 } 1/2 İfadesinden bulabiliiz. ıca C vektöünün büüklüğü, C =..Sin dı. uada, ile vektölei aasındaki açıdı. Dolaısıla açısını bulmak istesek ) ( * ) ( ) ( ) ( ) ( z z z z z z C Sin = = ifadesinden aalanıız. Not: nı düzlemli ve gibi iki vektöün vektöel çapımı sonucu C gibi bi vektö elde ediliosa elde edilen bu vektöün büüklüğü: C=..Sin, ile veileceğini ve elde edilen bu sonuç vektöünün diğe iki çapım vektöünede anı anda dik olacağını daha önce sölemiştik. Şekildende dikkat edilecek olusa, sonuç vektöünün büüklüğü anı zamanda ve vektölei taafından oluştuulan paalel kenaın alanına eşitti. C Paalel kenaın alanı=..sin z z k j i = = z z k j i + z z k j i + z z k j i = ( z - z )i - ( z - z )j + ( - )k + + -

27 OENT: uvvetin cisimle üzeindeki etkilei bikaç tülüdü; bunladan ilki süükleme (öteleme), titeştime ve bi diğeide döndüme etkisidi. İşte kuvvetin cisimle üzeinde medana getidiği bu döndüme etkisine moment deni ve moment vektöel bi nicelikti. = = F F d. d. Sin ve önü sağ el kualı vea vektö notasonu ile bulunu. F.Sin F nin d e göe dik bileşeni F = F. d. Sin = F. d. Sinα d α F.Cos = F Sin. d F nin d e göe dik bileşeni oment alınan noktanın kuvvetin etki dogultusuna olan dik uzaklığı d.sin = F. d123. Sin oment alınan noktanın kuvvetin etki dogultusuna olan dik uzaklığı F kuvvetinin etki doğultusu Göüldüğü gibi momentin büüklüğünü hesaplamada bi zoluk ok ama önünü buluken sağ el kualını ugulamada bazı zoluklaın olduğu açıktı. ununla ilgili şöle bi kolalık düşünülebili: Eğe kuvvet vektöleinin hepsi anı düzlem üzeinde etkiolasa, sonuç moment vektöüde bu düzleme dik olacağından, kuvvetlein düzlem üzeinde medana getidiklei döndüme etkileine bakaak momentinin önüne ve işaetine kaa veebiliiz. esela, eğe kuvvet vektöü cismi safa düzlemi üzeinde saatin tesi önünde dönmee zoluosa bu kuvvetin medana getieceği moment vektöü safa düzleminden ukaı doğu olacağı için bu moment vektöünün işaetini ve önünü +z olaak kabul edebiliiz. Eğe kuvvet vektöü cismi safa düzlemi üzeinde saat önünde dönmee zoluosa bu kuvvetin medana getieceği moment vektöü safa düzleminden aşağı doğu olacağı için bu moment vektöününde işaetini ve önünü -z olaak kabul edebiliiz. 27

28 Önek: Şekildeki sistemin o noktasına göe toplam momentini inceleecek olusak: + + moment (döndüme) önü o d 1 d 2 F 1 F 2-0 = -F 1.d 1 + F 2.d 2 di. Eğe, 0 ın sonucu, pozitif ise çubuk o noktasına göe saatin tesi önünde dönmekte ve moment vektöü safa düzleminden ukaı doğudu. 0 ın sonucu, negatif ise çubuk o noktasına göe saat önünde dönmekte ve moment vektöü safa düzleminden aşağı doğudu 0 = 0 ise F 1.d 1 = F 2.d 2 olaak bulunu. uda sistem dengede demekti - moment (döndüme) önü Unutmaalım: Dönme noktası a da momenti alınan nokta üzeine etkien kuvvetlein momente ani dönmee bi etkilei oktu. ıca etki doğultusu moment alınan nokta üzeinden geçen kuvvetleinde momentlei sıfıdı. DENGENİN İİNCİ ŞRTI: Eğe bi sistem dengede ise bu sistemin üzeine etkien kuvvetlein hehangi bi noktaa göe momentlei toplamı (vektöel olaak) sıfıdı. = 0 oment almak için seçilecek noktanın bilinmeenlein en fazla olduğu noktanın üzeinden alınması akıllıcadı. i sistemin dengede olabilmesi için, sistemde bulunan he bi cismin üzeine etkien tüm bu kuvvetlein bileşkesi ani toplamı (dikkat, vektöel toplam) sıfı olmalıdı hemde anı zamanda bu kuvvetlein hehangi bi noktaa göe toplam momentlei sıfı olmalıdı. Yani he iki koşulda anı anda sağlanmalıdı. Şaet, bu iki koşuldan biisi sağlanmaz ise sistem dengede saılmaz. Şimdide, aşağıdaki sistemlein o noktalaına göe toplam momentleini inceleelim. 28

29 F 4 + F 3 h a h c o b F 2 0 = -F 1.b - F 3.h - F 1 + F 4 o F 3 F F = F 1.X/2 + F 3.[(X 2 +Y 2 ) 1/2 ]/2 - F 4.Y/2 - + α F 1 F 2 o F 3 0 = -F 1.X.Sin + F 2.X.Sinα - F 3.Y.Sin - 29

30 DENGE İLE İLGİLİ PROLELERİ ELE LIREN: 1. Önce sistemi oluştuan he bi cisim üzeine etkien a da etkiebilecek kuvvetlei cisim üzeinde göstein. 2. He bi cisim hangi düzlem üzeinde duuosa dik koodinatla sisteminizi o düzlem üzeine eleştiin. 3. Vasa kuvvet vektöleinizi bu koodinat sistemine göe bileşenleine aıın. 4. Sistem dengede olduğu için dengenin he iki şatınıda eine getimee çalışın. Dengenin 1. Şatı Dengenin 2. Şatı F = 0 ve F = 0 F = 0 koşullaının he ikiside anı anda sağlanmalıdı. = 0 Tepki uvveti (N): He etkie kaşı daima bi tepki vadı. Unutmaın, tepki kuvveti hiç bi zaman etkiden büük olamaz ve daima cismin bulunduğu (ani değdiği) düzleme dikti. ğılık vektöüde daima e düzlemine dikti. Eğe bi cisim hehangi bi düzleme a da cisme temas etmiosa tepki kuvveti oktu çünkü etki oktu. T T T N T N m.g.cos m.g.sin mg mg N N F N F mg mg mg 30

31 Paalel uvvetlein ileşkesi ve Ugulama Noktasının ulunması: Paalel kuvvetle anı önlü ise: Şekildeki gibi ağılıksız bi çubuğun üzeine paalel kuvvetle etkimiş olsun. İşte bu çubuğun üzeine etkien kuvvetlein medana getidiği etkii tek başına apabilen kuvvete bileşke kuvvet deni. Peki, bu bileşke kuvveti needen ugulaacağız. -R dengeleici kuvvet -R R=F 1 +F 2 F 1 // F 2 R ileşke l l -R Dengeleici F 1 // F 2 F 1 l- R=F 1 +F 2 Desteğe göe oment F 2 R ileşke kuvvet F 1 R l- F 2 Desteğe göe oment F 1.(l-).Sin90 = F 2..Sin90 F 1.(l-) = F 2. dı. buadanda istenen bulunu. F 1..Sin = F 2.(l-).Sin F 1. = F 2.(l-) sonucu elde edili. Önek: Şekildeki teazinin denge duumunu inceleelim. -R l 1 l 2 m b : binicinin kütlesi (kol üzeinde haeket edebilen ek kütle. m c : bilinmeen kütle (cismin kütlesi) m : bilinen kütle m c o m b m m b g m c g R mg Destek ani o noktasına göe moment alısak: m c g.l 1 = mg.l 2 + m b g. m c.l 1 = m.l 2 + m b. m c = m.(l 2 /l 1 ) + m b.(/l 1 ) 31

32 Sonuç: Paalel kuvvetle anı önlü ise bileşke kuvvetin ugulama noktası kuvvetlein aasında, büük kuvvete daha akın ve kuvvetlele anı önlüdü. Eğe bileşke kuvvetin ugulama noktasından bileşkee eşit ve tes önlü bi kuvvet ugulasak çubuk (sistem) dengede olacaktı, işte bileşkee eşit ve tes önlü olan bu kuvvete dengeleici kuvvet deni. Diğe bi ifadele işte bu paalel kuvvetlein bileşkesinin ugulama noktası bi nevi çubuğun (sistemin) denge noktasıdı ileide cisimlein kütle mekezleini bulmaa çalışıkende bu mantığı kullanacağız. Paalel kuvvetle tes önlü ise: Şekildeki paalel ve tes önlü kuvvetlein bileşkesi ve ugulama noktası neededi? F 1 F 1 R : ileşke kuvvet F 1 // F 2 ileşke R R -R: Dengeleici kuvvet l o o F 1 // F 2 F 2 R=F 1 -F 2 o a göe moment -R Dengeleici kuvvet -R l F 1.X = F 2.(l+X) dı buadanda istenen bulunu. R=F 1 -F 2 o a göe moment F 2 F 1.X.Sin = F 2.(l+X).Sin F 1.X = F 2.(l+X) dı buadanda istenen bulunu. 32

33 Sonuç: Paalel ve tes önlü kuvvetlein bileşkesinin ugulama noktası kuvvetlein aasında değil, kuvvetlein dışında ve büük kuvvete akın olan taaftadı. ileşke kuvvet büük kuvvetle anı önlüdü. ileşke kuvvetin ugulama noktasından bileşkee eşit ve tes önlü bi kuvvet ugulanısa sistem dengee geli. Dolaısıla, bileşke kuvvetin ugulama noktası anı zamanda sistemin denge noktasıdı. Önek: Şekildeki sistemin denge duumunu inceleelim. T l N o Desteğe ani o noktasına göe moment alısak mg. = T.l bulunu, buadanda istenen bulunu. mg 33

34 ÜTLE & ĞIRLI EREZİ DENGE NOTSI PRLEL UVVETLERİN İLEŞESİNİN UYGUL NOTSI: ütle mekezi ile ilgili poblemle bie denge diğe bi ifadele paalel kuvvetlein bileşkesinin ugulama noktasını bulma poblemidi. i sistemin kütle mekezi bulunuken şu aşağıdaki kuallaın takip edilmesi bizlee çok büük kolalıkla sağla. 1. Önce sistemde bulunan he bi cismin ağılığı kendi ağılık (kütle) mekezinden gösteili. Eğe sistemi medan getien cisimle homojen ve tüdeş ince levhaladan medan gelmiş ise, levhalaın alanlaı ağılıklaı eine alınabili. Eğe sistemi medan getien cisimle homojen ve tüdeş ince çubuk şeklinde ise, çubuklaın uzunlulaı ağılıklaı eine alınabili. Eğe sistemi medan getien cisimle homojen ve tüdeş kalın cisimle şeklinde ise, cisimlein hacimlei ağılıklaı eine alınabili. Eğe sistemi medan getien cisimle tüdeş değil ise mutlaka ve mutlaka cisimlein ağılıklaı tanımlanmalıdı. 2. Eğe sistemden bi paça çıkaılıosa, çıkaılan paçanın ağılığı kendi den tes önlü bi ağılık vektöü olaak gösteili. 3. Eğe sisteme bi paça ekleniosa, eklenen paçanın ağılığı kendi den gösteili. 4. Göüleceği gibi tüm bu ağılık vektölei paalel kuvvetledi. İşte bu paalel kuvvetlein bileşkesinin ugulama noktası, sistemin ani bizim aadığimız di. 5. i cisim hangi noktasından asılısa asılsın, asıldığı noktanın e düzlemine olan dik doğultusu cismin den geçe. 6. Eğe bi cisim inin bulunduğu bi noktadan asılısa e düzlemine paalel olaak dengede kalı, ani asıldığı gibi kalı. 34

35 d 3 d 4 7. Eğe bi cisim inin bulunduğu bi noktadan destek üzeine otutulusa ine e düzlemine paalel olaak dengede kalı. 8. i cisim faklı noktaladan bikaç kez asılaak dengee getiildiğindede, he bi asılım noktasından e düzlemine doğu çizilen dik doğulaın kesişim noktası bize cismin ini tanımla. Geometik apısı bilinen bazı cisimlein inin gösteilmesi. 2h/3 h/3 Önek: Şimdi bi sistemin inin nasıl bulunduğunu bi önek üzeinde göelim. -R G 5 çıkatılan paça o ' X=? d 5 d 1 d 2 o G 1 G 2 G 3 Eklenen paça G 4 R=G 1 +G 2 +G 3 +G 4 -G 5 Şaet o' noktasına göe moment alısak: G. d + G. d + G. d + G. d = G. d + R. X G. d + G. d + G. d + G. d G. d X = G + G + G + G G kütle mekezinin o' noktasına olan uzaklığı bulunu 35

36 Noktasal cisimlein inin bulunması: Y -R (X 3,Y 3 ) (X 2,Y 2 ) X,Y (X 4,Y 4 ) (X 1,Y 1 ) (X 5,Y 5 ) X Önce seçilen bi koodinat sistemine göe he bi cismin koodinatlaını tanımlaalım. Daha sona bu paçacıklaın üzeine etkien kuvvetlein bileşkesini bulalım, işte bu bileşkenin ugulama noktası bize sistemin kütle mekezini (denge mekezi) tanımla. unun için hem OX hemde OY eksenine göe moment alaak dengenin şatını eine getimemiz icab edecekti. OX eksenine göe moment alısak: 1 g.x g.x g.x n g.x n - R.X = 0 R = 1 g + 2 g + 3 g + + n g nı işlemi OY eksenine göe teka edeek moment alısak, 1 g.y g.y g.y n g.y n - R.Y = 0 R = 1 g + 2 g + 3 g + + n g u denklemlein düzenlenmesile, X X 1. X X X n. X X olaak bulunu, anı şekilde OYeksenine göe moment alısak: Y Y = = = = 1. Y Y Y n. Y Y olaak bulunu. n n n n n n n n n n 36

37 SİT İNLR: ize iş apma kolalığı sağlaan, fakat ideal şatlada apılan İŞ ten tasauf sağlamaan aaçlaa basit makina deni. i basit makina, kuvvetten hangi oanda kazanç sağlıosa oldanda anı oanda kabede dolaısıla apılan iş sabit kalı. (kounumlu, doğultusu, önü ve büüklüğü değişmeen, bi kuvvetin aptığı iş oldan bağımsızdı.) İŞ=UVVET*YOL asit makina ile ilgili poblemle dengenin şatlaı eine getiileek a da apılan iş daima sabitti (kounumlu, ani doğultusu, önü ve büüklüğü değişmeen bi kuvvetin etkisi altında apılan iş oldan bağımsızdı) ilkesinden aalanaak çözülü ve analiz edili. akaalada kuvvetten kazanç oanlaı hesaplanıken makaa ağılıklaı üke ve kuvvete dâhil edilmez. i basit makina kuvvetten hangi oanda kazanıosa, oldanda anı oanda kabede. O = YO = F P uk dengeleici (makaala ağılıksız kabul edilecek) 37

38 1. Sabit makaa: ize sadece iş apma kolalığı sağlaan, kuvvetten hehangi bi kazanç sağlamaan, sadece ugulama kuvvetinin önünü değiştien, ük ile bilikte haeket etmeen makaalaa deni. T T o P m T F=? h m P=m T = T + P m + F o a göe moment T. = F. F = T = P T = 2P + P m olu. h O = P/P = 1 h = h T=P=mg 2. Haeketli akaa: Yük ile bilikte haeket eden makaalaa deni. Haeketli makaala bize kuvvetten kazanç sağla iken oldanda kaıba sebep olu, bu oan nedi? T F=? T + F = T + P m o a göe moment T. = F. F = T o P m T T m P=mg h h F + F = P + P m F = ( P + P m )/2 olu. O = P/(P/2) = 2 h = h/2 T = P = mg 38

39 3. Palangala: Sabit ve haeketli makaaladan oluşmuş sisteme deni. şağıdaki palanga sistemleini dikkatlice he olasılığı değelendieek incelein. F=? h m h h F=? m h 39

40 4. Çıkık: d h: ükselme ada alçalma miktaı n: silindiin ada kolun devi saısı : silindiin aıçapı d: silindii çevien kolun uzunluğu m h=n.2π Çıkık ile ilgili poblemle ugulama kuvvetinin aptığı iş üke kaşı apılan işe eşitti ilkesinden a da dengenin pensipleinden aalanılaak analiz edili. Unutmaın: Çıkık kolu bi tam devi aptığında silindide bi tam devi apa. i tam devi sonunda apılan İŞ o d W F = W mg F.2πd = mg.2π F.d = mg. Yada dengenin şatını eine getimek için o a göe moment alınısa F=? F.d = mg. m 5. Vida ve iko: F bastıma F döndüme d a Vida kolu bi tam devi aptııldığında vida düşe doğultuda bi vida adımı a kada ol alı, dolaısıla bi tam devi sonunda F döndüme (ugulama) kuvvetinin aptığı iş F bastıma (Yük) kuvvetine kaşı apılan işe eşitti. W döndüme = W bastıma F döndüme.2πd = F bastıma.a u eşitliktende istenen ne ise kolaca bulunu. h = n.a a: vida adım uzunluğu n: vidanın devi saısı h: vidanın ükselme ada alçalma miktaı 40

41 6. asnak: asnakla haeket aktaımı ve devi saısı değişimi sağlaan düzenekledi. Şekildeki kasnağı bi taktöe benzetelim!!! n 1 n 2 t süede ön ve aka tekelein aldıklaı olla bibiine eşitti düşüncesinden ola çıkasak; 1 2 X 1 = X 2 a da V 1.t = V 2.t X 1 X 2 n 1.2π 1 = n 2.2π 2 n 1. 1 = n 2. 2 ağıntısını elde edeiz. Önek: asnaklala haeket aktaımı incelemesi: n 1 n n 1. 1 = n 2. 2 n 2. 2 = n 3. 3 ise n 1. 1 = n 3. 3 azılabili, buadanda n 1. 1 =n 2. 2 = n 3. 3 olu. n 3 3 Dikkat : n devi saısı ile dönme açısı doğu oantılıdı. 41

42 7. Eğik Düzlem: N m V = sabit s F 2 F 1 = mg h F 1 F 1.h = F 2.s F 2 = mg.h/s m V = sabit hız P=mg mg.sin m F 2 s mg.cos P=mg h Yeçekimi kuvvetine kaşı apılan iş oldan bağımsızdı. 8. Dişli Çak a n 1 k 1 n k 2 a Dişlile adımıla haeket aktaımı sağlaan makinaladı. uada dikkat edilmesi geeken husus haeket aktaımındaki devi saısı dişli aıçapına () bağlı değildi fakat dişli saısına (k) tes oantılı olaak bağlıdı. n1.k1 = n2.k2 ncak dişli çaktaki dişle geometik olaak özdeş ise diş saılaı çakın çevesi ile doğu, diş adım uzunluğu (a) ile tes oantılı olacağından aktaımdaki devi saısı kasnakladada olduğu gibi dişli çaklaın aıçaplaı ile doğu oantılı olaak kabul edili. n1.1 = n2.2 42

43 9. Dönme ve Öteleme Haeketi: Sadece Öteleme: X F F X Sadece Dönme: h 1 = n.2π h 2 = n.2π 2 h 3 = n.2π 3 n : devi saısı h 3 h2 h 1 Dönme+Öteleme: h 1 = n.2π 1 + X = n.2π 1 + n.2π 3 = 2πn.( ) 2 1 h 2 = n.2π 2 + X = n.2π 2 + n.2π 3 = 2πn.( ) h 3 = n.2π 3 + X = n.2π 3 + n.2π 3 = 4πn. 3 3 n : devi saısı h 3 h2 h 1 X X=2πn. 3 43

44 LIŞTIR 1 Vektölede Toplama 1. Şekildeki ve L vektöleinin bileşkesini paalel kena ve uçuca ekleme metodlaını kullanaak çiziniz. 5. Şekildeki, L, vektöleinin bileşkesini bileşenlee aıma metodu ile bulunuz. 2. Şekildeki ve vektöleinin toplamı olan R v = + vektöünü kae düzleme çiziniz. 6. Şekildeki ve L vektöleinin bileşkesinin. 3. Şekildeki hebi kaenin bi kenaı bi v biimdi. una göe, R = + L + vektöünün uzunluğu kaç biimdi? a) Yata bileşeni ( bileşeni) kaç biimdi? b) Düşe bileşeni ( bileşeni) kaç biimdi? c) üüklüğü kaç biimdi? 7. Şekildeki ve vektöleinin bileşkesi kaç biimdi? (Cos60 0 = 1/2) 4. Şekildeki,, C, D vektöleinin bileşkesini bulunuz. 8. Şekildeki vektölein bileşkesi kaç biimdi? (Cos120 0 = -1/2) 44

45 v 9. R = + L + vektöü kaç biimdi? 3. Şekildeki düzleme D = C vektöünü çiziniz. v 10. R = + + C + D + E vektöünün uzunluğu kaç biimdi? (aenin bi kenaının uzunluğu 1 biimdi.) C + 4. Yandaki şekle göe vektöünü çiziniz. (Cos120 0 = -1/2) =2b O =4b LIŞTIR - 2 Vektölede işlemle 1. Şekildeki düzlemde, a) vektöünü b) vektöünü çiziniz. 5. Şekle göe 2 vektöünün uzunluğu kaç biimdi? (Cos60 0 = 1/2) O 60 0 =4b =5b 2. Şekildeki düzleme L vektöünü çiziniz. 6. Şekildeki vektölee göe vektöünü kae düzleme çiziniz. C R = 2 2 C 45

46 7. + ve vektölei şekilde veildiğine göe, vektöünü kae düzleme çiziniz Sütünmesiz ata düzlemdeki O noktasal cismine F 1,F 2, F3 kuvvetlei ugulanıo. Üç kuvvetin bileşkesi R olduğuna göe, F 3 kuvvetini çiziniz. F 1 F 2 O R LIŞTIR - 3 esişen kuvvetlein ileşkesi 1. Noktasal cismine sütünmesiz ata düzlemde F 1,F 2, F3 kuvvetlei şekildeki gibi ugulanıo. Cisme etki eden bileşke kuvveti çiziniz ve bileşkenin ata, düşe bileşenleini bulunuz Şekildeki düzlemde F 1 F2 ve F 1 F 2 kuvvetlei veilmişti. una göe F 1 kuvvetini çiziniz. F 1 +F 2 O F 1 F3 F 1 -F 2 F 2 2. Sütünmesiz ata düzlemdeki F 1,F 2, F3 kuvvetlei şekildeki gibi O cismine ugulanıo. Cismin dengeleici kuvvetini çiziniz. 5. nı düzlemdeki F 1 + F2, F 2 + F3 ve F 1 + F3 kuvvetlei şekilde veildiğine göe R = F1 + F2 + F3 kuvvetini çiziniz. F 1 F 1 +F 2 O F 2 F 3 F 2 +F 3 F 1 +F 3 46

47 +, 3 F2, 6. Şekilde anı düzlemli 2F 1 F2 F 2 F 1 + F 3 kuvvetlei veilmişti. una göe F 1 kuvvetini bulunuz. 3. Şekildeki eşit bölmeli ve ağılıksız çubuğa P ve 2P ağılıklı ükle şekildeki gibi asılıo. Çubuğun dengede kalabilmesi için needen asılması geeki? 2F 1 +F 2 P 2P F 3-2F 2 F 1 +F 3 LIŞTIR - 4 Paalel kuvvetlein ileşkesi 4. Şekildeki L çubuğuna F 1 ve F 2 kuvvetlei ugulanıo. una göe bileşkenin ugulama noktası L den kaç cm ileidedi? L 1. Şekildeki 20 cm uzunluğundaki çubuğa iki ucundan F 1 ve F 2 kuvvetlei ugulanıo. una göe, bileşke kuvvetin F 1 e uzaklığını ve büüklüğünü bulunuz. 30 cm 60 0 F 2 =2N 20 c m F 1 =1N F 1 = 2 N F 2 = 3 N 2. Eşit bölmeli çubuğa 3F ve F şiddetindeki kuvvetle şekildeki gibi ugulanıo. una göe bileşke kuvvetin ugulama noktası hangi nokta üzeindedi? 5. Eşit bölmeli çubuk iplele tavana şekildeki gibi asıldığında, ipledeki geilme kuvveti 3T ve 5T oluo. una göe, çubuğun ağılık mekezi neededi? L N O 3T 5T F 1 =3F F 2 =F L N O 47

48 6. Şekildeki çubuğa F 1 ve F 2 kuvvetlei ugulandığında, bileşke kuvvet F 2 den kaç cm ileide olu ve büüklüğü kaç N olu? 2. Şekildeki F kuvvetinin O noktasına göe momentinin işaetile bilikte büüklüğü kaç N.m di? F 1 =4 N + - O 30 c m 2m 3m F=1N F 2 = 1 N 7. ou 32 cm olan çubuğa F 1,F 2, F3 kuvvetlei şekildeki gibi ugulanıo. ileşke kuvvetin büüklüğü kaç N du ve F 1 den kaç cm ileidedi? 3. Şekildeki F kuvvetinin O noktasına göe momenti işaetile bilikte kaç N.m di? + - F 3 =3N F=20N 20 cm 30 0 O F 1 =2N F 2 =3N 12 cm 80 cm LIŞTIR - 5 oment ve ileşke oment 1. Şekildeki F kuvvetinin O noktasına göe momenti kaç N.m di? O 20 cm 4. Şekildeki F 1 ve F 2 kuvvetleinin O noktasına göe bileşke momenti işaetile bilikte kaç N.m di? O + 2m F 1 =10N 3m F=5N F 2 =4N 48

49 5. Şekildeki F 1 ve F 2 kuvvetleinin O noktasına göe bileşke momenti kaç N.m di? F 1 =2N F 2 =3N Şekildeki F 1 ve F 2 kuvvetleinin O noktasına göe bileşke momenti kaç N.m di? (Vektöle ölçekli çizilmişti.) O 1m 2m 1b F 2 F 1 =1N 1b 6. Şekildeki F 1,F 2, F3 kuvvetleinin O noktasına göe bileşke momentlei işaetile bilikte kaç N.m di? X ve Y cisimlei ağılıksız makaalala şekildeki gibi dengededi. una göe X in ağılığının Y ninkine oanı P /P nedi? F 1 =10N F 3 =10N 30 0 O m 1m F 2 =4N 2 m X Y 7. Şekildeki kaelein bi kenaı 1 m di. una göe; a) F 1 kuvvetinin P noktasına göe momenti kaç N.m di? b) F 2 kuvvetinin P noktasına göe momenti kaç N.m di? c) uvvetlein P noktasına göe bileşke momentleinin büüklüğü kaç N.m di? 10. Şekildeki hebi makaanın ağılığı 10 N, cisminin ağılığı ise 30 N du. Sistem dengede olduğuna göe L nin ağılığı kaç N du? P F 2 F1 =1N L 1m 1m 49

50 1) şağıdaki nicelikleden hangilei vektöseldi? ) Eneji ) Zaman C) omentum D) ütle E) Sıcaklık 2) Şekildeki vektöle anı düzlemdedi. u vektölein bileşkesi aşağıdakileden hangisine eşitti? 5) Şekilledeki vektölein bileşkeleinin büüklüklei eşit olduğuna göe, L, vektöleinin büüklükleini kaşılaştıan doğu ifade aşağıdakileden hangisidi? ) =L= ) L>> C) >>L D) >L> E) >L> 6) Şekildeki anı düzlemli vektölein bileşkesinin şiddeti kaç biimdi? L L ) X ) 2X C) Y D) 2T E) T X Y T Z ) 3 ) 4 C) 6 D) 7 E) 8 4b 2b 60 o 6b 60 o 3) i Çocuk önce kuzee 10 mete, sona doğua 40 mete daha sona günee 40 mete haeket ettiğinde kaç mete e değiştii? ) 40 ) 45 C) 50 D) 60 E) 90 7) Şekildeki anı düzlemli vektölein bileşkesi aşağıdakileden hangisine eşitti? ) ) C) D) E) 4) Şekildeki he bi vektöün büüklüğü b di. Tüm vektölein bileşkesi kaç b di? ) 1/2 ) 2 C) 2 2 D) 2 3 E) 4 8) alaında açısı bulunan iki vektöün büüklüğü 5 ve 12 biimdi. 0 <180 o olduğuna göe bileşke vektöün büüklüğü hangi değei alamaz? ) 7 ) 11 C) 15 D) 16 E) 17 50

51 9) Şekildeki vektöle anı düzlemdedi. una göe v a vektöü aşağıdakileden hangisidi? 12) Şekildeki vektölein bileşkesinin sıfı olması için dödüncü vektö olan F 4 vektöü aşağıdakileden hangisidi? ) ) v b ) ) F 1 F 2 C) D) v a+ c v v b+ c C) D) F 3 E) E) 10) Şekildeki anı düzlemli vektöle için aşağıdaki eşitlikleden hangilei doğudu? v v v = L N I. = L + N v II. L + = v III. ) Yalnız I ) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III N L 13) Sütünmesiz ata düzlem üzeindeki cisminin X ekseni doğultusunda haeket etmesi için ugulanması geeken en küçük kuvvet kaç Newton olmalıdı? (Düzlem ata ve sütünme ok) (Sin37=0,6 ; Cos37=0,8) ) 1 ) 2 C) 3 D) 5 E) 7 30N +Y 13N +X 37 o 20N 11) Şekildeki anı düzlemli kuvvetlein bileşkesi kaç Newton du? ) 1 ) 2 C) 3 D) 3 3 E) 4 2 7N 4N 1N 14) Şekildeki vektölein bileşkesi sıfı olduğuna göe bu vektölein büüklükleini kaşılaştıan doğu ifade aşağıdakileden hangisidi? ) > > C ) > C > C) > > C D) > C > E) C > > o C 51

52 15) alaında 120 o lik açı bulunan İki vektöün bileşkesi 10 3 biimdi. üçük olan bileşen vektö bileşke vektöe dik olduğuna göe büük bileşen vektöün şiddeti kaç biimdi? ) 5 ) 8 C) 10 D) 15 E) 20 19) Şekildeki vektöleden he biinin büüklüğü a dı. una göe tüm vektölein bileşkesinin büüklüğü kaç a dı? ) 1 ) 2 C) 3 D) 4 E) 5 16) Şekildeki vektöünün p ve t eksenlei üzeindeki bileşenleinin büüklüklei oanı ( t / p ) kaçtı? ) 1 ) 2 C) 3 D) 2 E) 3 p t 20) Şekildeki vektöle anı düzlemdedi. una göe v F 1 vektöü aşağıdakileden hangisidi? ) ) C) v v F + F 1 3 v v F + F 2 3 v v F + F ) Şekildeki vektölein bileşkesi kaç Newton du? ) 3 ) 5 C) 10 D) 16 E) 18 18) Şekildeki,, C vektöleinin bileşkesinin büüklüğü ( + + C ) kaç biimdi? ) 4 ) 5 C) 6 D) 7 E) 8 9N =7 =2 3N 60 o 4N 8N 6N C=9 10N D) E) 21) üüklüklei 3, 6, 8 biim olan üç vektöün bileşkesinin büüklüğü aşağıdakileden hangisi olamaz? ) Yalnız I ) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) II ve III I. 0 II. 10 III

53 22) Şekildeki R vektöünün ve L eksenlei üzeindeki bileşenleinin oanı R /R L kaçtı? ) 0 ) 1/2 C) 3 D) E) o R L 25) Şekildeki küpün bi kenaının uzunluğu v v a dı. R = + L ise R kaç a dı? ) 10 ) 6 C) 2 D) 3 E) 2 a a L a 23) Şekildeki vektöle için I. = L N II. = + L III. N = + İfadeleinden hangilei doğudu? ) Yalnız I ) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) II ve III L N 26) Şekildeki vektöle anı düzlem üzeindedi. una göe + L + aşağıdakileden hangisine eşitti? ) L ) 2L C) 3L D) 4L E) 5L 27) noktasal cismi (şekil-1) deki üç kuvvetin etkisindedi. Cismin + doğultusunda haeket etmesi için (şekil-2) deki kuvvetleden hangilei ugulanabili? L 24) F 1, F 2, F 3, kuvvetleinin etkisinde kalan cisminin + ekseni doğultusunda haeket etmesi için ugulanacak en küçük kuvvet ne olmalıdı? ) + (2 b) ) + (2 b) C) - (1 b) D) + (1 b) E) + (1 b) F 2 +Y F 1 +X ) Yalnız I ) Yalnız II C) II ve III D) IV ve V E) I, II ve III I V II Şekil-2 III IV F 3 +Y Şekil-1 F1 F 2 +X F 3 53

54 28) Şekildeki,, C vektöleinin bileşkesi kaç biimdi? ) 15 ) 18 C) 20 D) 24 E) 30 C=16 30 o 30 o =16 =12 31) Şekildeki vektö diagamında R = L+ + N + P di. una göe, R aşağıdakileden hangisine eşitti? ) 0 ) P C) 2 L D) E) 2P P N L 29) C, +, + C vektölei şekilde veilmişti. una göe, vektöü aşağıdakileden hangisidi? 32) Şekildeki vektölein bileşkesi aşağıdakileden hangisine eşitti? ) C +C + ) 2 ) 2+ 2S C) S D) 2 2S E) 2 S N L S P C) D E) 30) Şekildeki anı düzlemli kuvvetlein etkisinde kalan cismi sütünmesiz üzede hangi önde haeket ede? 33) Şekildeki vektölein bileşkesi kaç Newton du? ) 5 ) 7 C) 9 D) 13 E) 15 20N + 30 O 30 O 11N 20N 12N + ) I ) II C) III D) IV E) V V I 5f f 5f 2f II 4f 6f IV III 54

55 34) Şekildeki kuvvetlein O noktasına göe momentleini kaşılaştıan doğu ifade aşağıdakileden hangisidi? 37) Şekildeki kuvvetlein O noktasına göe momentleinin büüklükleini kaşılaştıan doğu ifade aşağıdakileden hangisidi? F 1 ) 1 > 2 > 3 ) 2 > 1 > 3 C) 2 > 3 > 1 D) 3 > 2 > 1 E) 1 = 2 = 3 F 3 O ) 2 > 1 > 3 ) 1 > 2 > 3 C) 2 > 3 > 1 D) 3 > 2 > 1 E) 1 = 2 = 3 O F 1 F 2 F 3 F 2 35) Şekildeki kaesel levha kuvvetlein etkisi altında dengededi. una göe noktasına ugulanacak üçüncü kuvvet aşağıdakileden hangisidi? ) ) C) F 1 38) Şekildeki sistem dengededi. İpledeki geilme kuvvetlei olan T 1, T 2 ve T 3 aasında aşağıdaki ilişkileden hangisi vadı? ) T 1 >T 2 >T 3 ) T 2 >T 1 >T 3 C) T 2 >T 3 >T 1 D) T 3 >T 2 >T 1 E) T 1 =T 2 =T 3 T 1 T 3 G 40 o T 2 D) E) F 2 36) Şekildeki kuvvetlein noktasına göe toplam momentlei kaç (biim) 2 di? ) 1 ) 2 C) 3 D) 4 E) 5 F 3 F 2 F 1 39) Şekildeki sistem dengededi. İpledeki geilme kuvvetlei olan T 1, T 2 ve G aasında aşağıdaki ilişkileden hangisi vadı? ) T 1 >T 2 >G ) T 2 >T 1 >G C) T 2 >G>T 1 D) G>T 2 >T 1 E) T 1 =T 2 =G 30 T 1 G T

56 40) Şekildeki sistemle dengededi. İpledeki geilme kuvvetlei olan T 1, T 2 ve T 3 aasındaki ilişki aşağıdakileden hangisidi? (β>α) ) T 2 >T 3 >T 1 ) T 1 =T 2 =T 3 C) T 1 >T 2 >T 3 D) T 3 >T 2 >T 1 E) T 2 >T 1 >T 3 T 1 G T 2 α G T 3 β G 43) Şekildeki homojen küe destek ve ip adımıla dengededi. una göe küenin ağılığı olan G, desteğin küee uguladığı tepki kuvveti F ve ipteki geilme kuvveti T aasında aşağıdaki ilişkileden hangisi doğudu? (α<45) ) F>T>G ) T>F>G C) F>G>T D) G>F>T E) F>T=G T F α 41) Şekildeki sütünmesiz sistem dengededi. G 1 = 5N, G 3 =13 N ise G 2 kaç N du? ) 5 ) 7 C) 9 D) 10 E) 12 G 3 G 1 G 2 44) ve L destekleinin ağılıksız kalasa uguladıklaı tepki kuvvetlei kaça Newton du? (ölmele eşit aalıklıdı.) 70N L ) ) C) D) E) F F L ) Şekildeki homojen küenin ağılığı G olup düşe duvaın küee uguladığı tepki kuvveti F, ipteki geilme kuvveti T di. una göe F, G ve T aasında aşağıdaki ilişkileden hangisi mevcuttu? ) F>T>G ) T>F>G C) F>G>T D) G>T>F E) T>G>F 50 o 45) Şekildeki sistem dengede olup kalas ağılığı önemsizdi. una göe T/G oanı kaçtı? (ölmele eşit aalıklıdı. Sin53=0,8 ; Sin37=0,6) ) 1/3 ) 2/3 C) 1 D) 2 E) 3 53 o T G 56

57 46) Homojen kalasın ağılığı P olup sistem dengededi. una göe T/P oanı kaçtı? (ölmele eşit aalıklıdı.) ) 4 ) 3 C) 2 D) 1 E) 1/2 T P 49) Şekilledeki sistemle denge duumuna gelincee kada Şekil-1 deki a 1 kada Şekil-2 deki a 2 kada uzamaktadı. una göe ( 1 / 2 ) kaçtı? (Yala özdeşti) ) 1/4 ) 1/2 C) 1 D) 2 E) 4 X 1 G Şekil-1 X 2 Şekil-2 2G 47) Şekildeki homojen kalasın ağılığı 50 N olduğuna göe 100N luk P cisminin bağlandığı ipteki geilme kuvveti kaç N du? (ölmele eşit aalıklıdı.) ) 30 ) 50 C) 75 D) 80 E) 90 P T 50) Şekildeki kuvvetlein O noktasına göe momentleinin büüklükleini kaşılaştıan doğu ifade aşağıdakileden hangisidi. ) 1 > 2 > 3 ) 1 = 2 > 3 C) 1 = 2 = 3 D) 1 > 3 > 2 E) 3 > 1 = 2 F 2 F 1 O F 3 48) Homojen küenin ağılığı G di. üei şekildeki gibi basamaktan atlatacak küe üzeine teğet olan en küçük kuvvet kaç N du? ) G/4 ) G/2 C) G. 2 2 /2 asamak 51) Şekildeki homojen küenin ağılığı 10 N du. una göe, desteğin küee uguladığı kuvvet kaç Newton du? ) 4 ) 6 C) 8 D) 10 E) 12,5 53 o 53 o İp Destek D) E) G. G

58 52) Şekildeki sütünmesiz sistem ağılığı ihmal edilen makaa ile dengededi. Eğe P iki katına çıkaılıp denge F 1 ile anı doğultudaki başka bi F 2 kuvveti ile dengelenise α açısı kaç katına çıka? (F 1 ata doğultudadı.) ) 1/3 ) 1/2 C) 1 D) 2 E) 3 İp α İp p F 1 55) ae şeklindeki homojen levhaı safa düzlemi içinde en kola biçimde deviebilmek için şekildeki kuvvetleden hangisi ugulanmalıdı? ) F1 ) F2 C) F3 D) F4 E) F5 F 1 F 2 F 5 F 3 F 4 53) Şekildeki sistem dengededi. una göe ipledeki geilme kuvvetlei T 1, T 2 ve T 3 aasında ne tü bi ilişki vadı? 56) Şekildeki sistem ağılıksız kalas ile dengededi. una göe, ipteki geilme kuvveti kaç G olu? (Sin37=0.6, Cos37=0.8) ) T 1 >T 2 >T 3 ) T 3 >T 2 >T 1 C) T 1 =T 2 >T 3 D) T 1 >T 3 >T 2 E) T 3 >T 2 =T 1 G T 3 T 2 T 1 G ) 1/3 ) 3/4 C) 4/3 D) 3/2 E) 7/2 İp 37 o G 54) Şekildeki sistem dengede olup ipteki geilme kuvveti T=8 Newton du. una göe aı geen kuvvet kaç newton du? ) 1 ) 2 C) 3 D) 4 E) 5 30 o T=8N Ya 30 o G=6N 57) Şekildeki sistem dengede olduğuna göe G 2 kaç N du? ) 8 ) 10 C) 13 D) 16 E) 22 G 2 G 1 =12N G 3 =20N 58

59 58) Şekildeki sistem homojen kalasla dengededi. una göe, ipteki geilme kuvvetinin kalasın ağılığına oanı nedi? 61) Şekildeki sistem ağılıksız kalas ile dengede olduğuna göe G kaç kg dı? (Sin37=0.6) ) 1/4 ) 1/2 C) 2/3 D) 2 E) 4 İp ) 10 ) 14 C) 18 D) 24 E) 30 G 21kg 37 o 59) Şekildeki sistem ağılıksız kalas ile dengededi. una göe, P/G oanı nedi? (Sin37=0.6, Cos37=0.8) ) 1/3 ) 3/4 C) 1 D) 16/9 E) 2 P 53 o 53 o G 62) Şekildeki sistem dengede olup β>α dı. una göe, ipledeki geilme kuvvetlei T 1, T 2, ve T3 aasında ne tü bi ilişki vadı? (α+β>90) ) T 1 >T 2 >T 3 ) T 1 <T 2 <T 3 C) T 1 =T 2 =T 3 D) T 1 =T 2 <T 3 E) T 1 <T 2 =T 3 β T 2 T 3 G T 1 α 60) Şekilledeki sistemle kendi içinde dengededi. una göe, G/W oanı kaçtı? ) 3/4 ) 4/3 C) 5/3 D) 6/4 E) 2 G 6 4 P W P 63) Şekildeki sistem dengededi. şağıdakileden hangisinin değişmesile denge bozulmaz? ) 1 ) 2 C) 3 D) G' nin ei E) P ağılığı G 1 P

60 64) Şekildeki sistemle kendi aalaında dengededi. una göe, T 1, T 2, T 3 aasında ne tü bi ilişki vadı? ) T 1 <T 2 <T 3 ) T 1 >T 2 >T 3 C) T 1 =T 2 =T 3 D) T 1 <T 2 =T 3 E) T 1 =T 2 >T 3 40 o T 1 G T 70 o 50 o T 2 G T 3 60 o 70) Şekildeki kütlelein kütle mekezinin koodinatlaı aşağıdakileden hangisine eşitti? ) (3;2) ) (2;3) C) (2;2) D) (2;1) E) (1;3) Y 3m 2m 4m X 65) Şekildeki sistemde homojen eşit bölmeli kalasın ağılığı W dı. i X cismi ucuna asıldığında kalas devilebilmektedi. X kaldıılıp başka bi Y cismi ucuna asıldığında kalas ine devilmektedi. una göe, en küçük X ağılığının en küçük Y ağılığına oanı X/Y nedi? ) 2 ) 3/2 C) 1 D) 3/4 E) 1/2 L 71) Homojen kaesel levha dokuz eşit paçaa bölündükten sona taalı paçala kesilip atılıo. Oluşan eni sistemin kütle mekezi neededi? ) -O aasında ) N-O aasında C) P-O aasında D) L-O aasında E) P-N aasında P O L N 66) Şekildeki sistem dengede olup kalas noktası etafında kolaca dönebilmektedi. una göe, ipteki geilme kuvvetinin homojen kalasın ağılığına oanı nedi? (Sin37=0.6, Sin53=0.8) 72) O 1 mekezli homojen daieden O 2 mekezli taalı olan daie kesilip şekildeki gibi apıştıılıo. una göe, kütle mekezi kaç e değiştii? ) 3/10 ) 1/2 C) 3/5 D) 1 E) 2 37 o İp ) 0.1 ) 0.25 C) 0.5 D) 0.75 E) 1 O 2 O 1 2 O 2 60