ÇOK DEĞİŞKENLİ ÇOKLU DOĞRUSAL REGRESYON ANALİZİNİN İNCELENMESİ Nazlı Elif GÜNAŞDI Yüksek Lisans Tezi Zootekni Anabilim Dalı Biyometri ve Genetik

Transkript

1 ÇOK DEĞİŞKENLİ ÇOKLU DOĞRUSAL REGRESYON ANALİZİNİN İNCELENMESİ Nazlı Elif GÜNAŞDI Yüksek Lisans Tezi Zootekni Anabilim Dalı Biyometri ve Genetik Bilim Dalı Doç Dr Mehmet TOPAL 2014 Her hakkı saklıdır

2 ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ ÇOK DEĞİŞKENLİ ÇOKLU DOĞRUSAL REGRESYON ANALİZİNİN İNCELENMESİ Nazlı Elif GÜNAŞDI ZOOTEKNİ ANABİLİM DALI Biyometri ve Genetik Bilim Dalı ERZURUM 2014 Her hakkı saklıdır

3 TC ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TEZ ONAY FORMU ÇOK DEĞİŞKENLİ ÇOKLU DOĞRUSAL REGRESYON ANALİZİNİN İNCELENMESİ Doç Dr Mehmet TOPAL danışmanlığında, Nazlı Elif GÜNAŞDI tarafından hazırlanan bu çalışma // tarihinde aşağıdaki jüri tarafından Zootekni Anabilim Dalı Biyometri ve Genetik Bilim Dalı nda Yüksek Lisans tezi olarak oybirliği/oy çokluğu ( / ) ile kabul edilmiştir Başkan : İmza : Üye : İmza : Üye : İmza : Yukarıdaki sonuç; Enstitü Yönetim Kurulu // tarih ve / nolu kararı ile onaylanmıştır Prof Dr İhsan EFEOĞLU Enstitü Müdürü Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaklardan yapılan bildirişlerin, çizelge, şekil ve fotoğrafların kaynak olarak kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir

4 ÖZET Yüksek Lisans Tezi ÇOK DEĞİŞKENLİ ÇOKLU DOĞRUSAL REGRESYON ANALİZİNİN İNCELENMESİ Nazlı Elif GÜNAŞDI Atatürk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Zootekni Anabilim Dalı Biyometri ve Genetik Bilim Dalı Danışman: Doç Dr Mehmet TOPAL Regresyon analizi, bağımlı (Y 1, Y 2,,Y q ) ve bağımsız ( 1, 2,, p ) değişkenler arasındaki fonksiyonel ilişkiyi belirleyen istatistiksel yöntemdir Regresyon modelinde bir bağımlı (Y 1 ) ve bir bağımsız değişken ( 1 ) var ise basit doğrusal regresyon, bir bağımlı (Y 1 ) birden fazla bağımsız değişken ( 1, 2,, p ) var ise çoklu doğrusal regresyon ve birden fazla bağımlı (Y 1, Y 2,,Y q ) birden fazla bağımsız değişken ( 1, 2,, p ) var ise çok değişkenli çoklu doğrusal regresyon analizi kullanılır Regresyon analizinde temel amaç bağımlı değişkeni veya değişkenleri tahmin edecek en iyi modelin belirlenmesidir Veri setleri arasındaki ilişkinin incelenmesinde kullanılan kanonik korelasyonun yanında çok değişkenli çoklu doğrusal regresyon analizi yöntemiyle de elde edilen fonksiyon ile hangi bağımsız değişkenin bağımlı değişken üzerinde nasıl bir etki yaptığı tespit edilebilir Araştırmada kullanılan veri setinde İvesi koyunlarının canlı ağırlıkları (CA) ve soğuk karkas ağırlıkları (SKA) bağımlı değişken, göğüs derinliği (GD), cidago yüksekliği (CY), but çevresi (BÇ), alın uzunluğu (AU) ve baş genişliği (BG) değerleri bağımsız değişken setleri olarak alınmıştır Bağımlı ve bağımsız değişkenler arasındaki ilişkinin belirlenmesinde kanonik korelasyon katsayısı ve çoklu belirleme katsayısı kullanılmıştır 2014, 44 sayfa Anahtar Kelimeler: Çok Değişkenli Çoklu Doğrusal Regresyon, Çoklu Regresyon, Doğrusal İlişki, Kanonik Korelasyon i

5 ABSTRACT MS Thesis EAMINATION OF MULTIVARIATE MULTIPLE LINEAR REGRESSION ANALYSIS Nazlı Elif GÜNAŞDI Ataturk University Gradute School of Natural and AppliedSciences Department of Animal Science Biometry and Genetics Department Supervisor: Assoc Prof Dr Mehmet TOPAL Regression analysis is a statistical method determining the functional relationship between dependent (Y 1, Y 2,, Y q ) and independent ( 1, 2,, p ) variables In regression model, if there are one dependent (Y 1 ) and one independent ( 1 ) variables, the simple liner regression is used, if there are one dependent variable (Y 1 ) and more than one independent variables ( 1, 2,, p ), multiple linear regression model is used, and if there are more than one dependent (Y 1,Y 2,, Y q ) and more than one independent variables ( 1, 2,, p ) multivariate multiple linear regression model is used The fundamental purpose of regression analysis is to determine the best method in order to predict the dependent variable or variables Besides canonical correlation used for analyzing the relationship among data sets, the function obtained by multivariate multiple linear regression analysis can also determine the effect of which independent variable on dependent variable In the study data sets, Ivesi sheeps live weight, (LW), cold carcass weight (CCW), refer to dependent variable, chest depth, (CD), height at withers (HW), thigh circumference (TC), forehead length (FL), and head width (HW/), refer to independent variable Canonical correlation coefficient and multiple determining coefficient have been used in order to determine the relationship between dependent and independent variables 2014, 44 pages Key Words: Multivariate Multiple Linear Regression, Multiple Linear Regression, Coefficient Estimation, Simple Linear Regression ii

6 TEŞEKKÜR Bu tezin planlanması, hazırlanması ve yürütülmesi aşamalarında desteklerini esirgemeyen yüksek lisans tez danışmanım, kıymetli hocam Sayın Doç Dr Mehmet TOPAL a çok teşekkür ederim Bu tezde materyal olarak verilerini kullanmama izin veren Sayın Prof Dr Nurinisa ESENBUĞA hocama ayrıca teşekkürlerimi sunarım Hayatımın her aşamasında maddi ve manevi desteklerini hissettiğim annem Emine İÇOĞLU ve babam Ali İÇOĞLU na, yüksek lisans aşamasında ihtiyaç duyduğum her an yanımda olan kayınvalidem Mine GÜNAŞDI ya şükranlarımı ve teşekkürlerimi sunarım Çalışmalarım sırasında benden fedakârlığını ve sabrını hiçbir zaman esirgemeyen değerli eşim Yavuz GÜNAŞDI ya ve bu aşamada bazı zamanlar kendilerini ihmal etmek zorunda kaldığım çocuklarım İpek ve Göktürk e çok teşekkür ederim Nazlı Elif GÜNAŞDI Aralık, 2014 iii

7 İÇİNDEKİLER ÖZET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR iii SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ v ÇİZELGELER DİZİNİ vi 1 GİRİŞ 1 2 KAYNAK ÖZETLERİ 3 3 MATERYAL ve YÖNTEM 7 31 Materyal 7 32 Yöntem Basit doğrusal regresyon analizi 7 321a Basit doğrusal regresyonda katsayıların tahmini b Basit doğrusal regresyon katsayılarının matris sistemiyle bulunması Çoklu doğrusal regresyon analizi a Çoklu doğrusal regresyon analizinde katsayıların tahmini b Çoklu doğrusal regresyonda katsayıların matris sistemiyle bulunması Çok değişkenli çoklu doğrusal regresyon a Çok değişkenli çoklu doğrusal regresyon katsayılarının tahmini b Çok değişkenli çoklu doğrusal regresyonda katsayıların matris sistemi ile bulunması c Çok değişkenli çoklu doğrusal regresyonda verilerin standartlaştırılması d Çok değişkenli çoklu doğrusal regresyon katsayılarının hipotez testleri e Bağımlı ve bağımsız değişkenler arasındaki ilişkinin ölçüsü 25 4 ARAŞTIRMA BULGULARI ve TARTIŞMA 29 5 SONUÇ 39 KAYNAKLAR 41 ÖZGEÇMİŞ 45 iv

8 SİMGELER ve KISALTMALAR DİZİNİ AU BÇ BG CA Cov CY GD HKO HKT HSD r R 2 S SKA Z σ : Alın Uzunluğu : But Çevresi : Baş Genişliği : Canlı Ağırlık : Kavoryans : Cidago Yüksekliği : Göğüs Derinliği : Hata Kareler Ortalaması : Hata Kareler Toplamı : Hata Serbestlik Derecesi : Korelasyon Katsayısı : Belirlilik Katsayısı : Örnek Veriler İçin Kovaryans Matrisi : Soğuk Karkas Ağırlığı : Standardize Değerler Matrisi : Varyans : Standart Sapma : Popülasyon Verileri İçin Kovaryans Matrisi v

9 ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 41 Uygulama Verileri 29 Çizelge 42 Canlı ağırlığa ait regresyon katsayıları tablosu 36 Çizelge 43 Soğuk karkas ağırlığa ait regresyon katsayıları tablosu 37 vi

10 1 1 GİRİŞ Ziraat, ekonomi, eğitim, tıp gibi uygulamalı bilim dallarında değişkenlerden bir ya da daha fazlasının diğer bir veya daha fazla değişkeni ne ölçüde etkilediğini araştırmak için çeşitli istatistiksel modeller kullanılmaktadır (Çankaya 2005) Bir araştırmada incelenen problemi açıklarken tek değişkenli istatistiklerin kullanılması yeterli değildir Tek değişkenli istatistiksel analizlerde faktörlerin birçoğu deneysel olarak kontrol altında tutulup her seferinde tek bir faktörün etkisi incelenir Bu tek değişkenli istatistiksel analizlerin en önemli kısıtlayıcı varsayımıdır Araştırılan problemi etkileyen çok sayıda değişken vardır Bu değişkenler birbirleriyle ilişkili olabilirler Güvenilir ve tutarlı sonuçlar elde edebilmek için bu değişkenlerin hepsi araştırmaya dahil edilmelidir Bu ihtiyaçtan dolayı çok değişkenli istatistiksel analiz yöntemleri doğmuştur Çok değişkenli varyans analizi,, kümeleme analizi, temel bileşenler analizi, Hotelling in T2 testi, faktör analizi, ayırma analizi, kanonik korelasyon analizi; çok değişkenli analizlere örnek olarak verilebilir Regresyon terimi ilk olarak 19 yüzyılın ikinci yarısında Sir Francis Galton tarafından ortaya atılmıştır Galton yaptığı çalışmada, ana-babaların ve çocuklarının boy uzunlukları arasındaki ilişkiyi araştırmış ve sonuç olarak, boyları çok uzun veya çok kısa olan ailelerin çocuklarının boy uzunluklarının grup ortalamasına doğru eğilim gösterdiğini ileri sürmüştür ve buna regresyon adını vermiştir (Neter1996; Serper 2004) Regresyon terimi günümüzde ise bağımlı ve bağımsız değişkenler arasındaki ilişkiyi açıklamak için kullanılır Aralarında sebep-sonuç ilişkisi bulunan iki veya daha fazla değişken arasındaki fonksiyonel ilişkiyi belirlemek ve bu fonksiyonel ilişkiyi kullanarak o konu ile ilgili tahminler ya da kestirimler yapabilmek amacıyla regresyon analizi kullanılır Regresyon analizinde değişkenler arasındaki fonksiyonel ilişkiyi açıklamak için kullanılan matematiksel modele regresyon modeli denir

11 2 Bağımlı değişken(ler) ile bağımsız değişken(ler) arasında kurulan matematiksel model doğrusal ise bu değişkenler arasındaki regresyona doğrusal (linear) regresyon, eğer matematiksel model doğrusal değilse bu tip regresyona doğrusal olmayan (nonlinear) regresyon denilmektedir (Özdamar 2004) Regresyon analizi ile bilinen bulgulardan gelecekteki bilinmeyen olaylarla ilgili tahminler yapılabilir Bağımlı ve bağımsız değişkenler arasındaki ilişki belirlendikten sonra, bağımsız değişken(ler)in sonucu bilindiğinde bağımlı değişken(ler)in sonucu tahmin edilebilir Yani fonksiyonel bir bağıntı olan regresyon; bağımsız değişkenlerdeki değişimin bağımlı değişkenleri hangi yönde ve ne miktarda etkilediğini belirler Regresyonun asıl amacı değişkenler arasındaki fonksiyonel bağıntıyı en iyi ifade eden matematik denklemi bularak, istatistik analizlerde ve bağımlı değişkenlerin değerlerinin tahminde bu denklemi kullanmaktır Regresyon denkleminde bağımlı ve bağımsız değişken sayısı bir ise basit regresyon modeli, bir bağımlı ve birden fazla bağımsız değişken varsa çoklu regresyon modeli, bağımlı ve bağımsız değişken sayısı birden fazlaysa çok değişkenli çoklu regresyon modeli oluşturulur Bu çalışmanın amacı; değişkenler arasındaki fonksiyonel ilişkinin belirlenmesinde basit doğrusal regresyon analizi, çoklu doğrusal regresyon analizi ve çok değişkenli çoklu doğrusal regresyon analizi yöntemleri açıklandıktan sonra çok değişkenli çoklu doğrusal regresyon analizinin faraziyeleri, regresyon katsayılarının önemlilik testleri, değişken setleri arasındaki ilişkinin tespiti, bir veri seti üzerinde uygulanması ve yorumlanması olarak özetlenebilir

12 3 2 KAYNAK ÖZETLERİ Basit, çoklu doğrusal ve çok değişkenli çoklu doğrusal regresyon analizleri kullanılarak birçok alanda çeşitli çalışmalar yapılmıştır Mendeş (2011), temel bileşenler skorları üzerinden uygulanan çok değişkenli çoklu doğrusal regresyon analizinin iki değişken seti arasındaki ilişkilerin araştırılmasında nasıl kullanılabileceğini göstermek amacıyla bir çalışma yapmıştır Çalışmasında Ross 308 hattından etlik piliçlere ilişkin bazı kesim öncesi ve sonrası özellikleri kullanarak bir uygulama yapmıştır Temel Bileşenler Analizini (PCA), bağımsız değişkenler arasındaki çoklu bağlantı problemini gidermek için kullanmıştır Çok değişkenli çoklu doğrusal regresyon analizi sonucunda incik genişliği, göğüs çevresi ve canlı ağırlığın kesim sonrası özellikleri tahmin etmedeki doğrusal etkilerinin benzer olduğunu bulmuştur (P=0746) Sonuç olarak, kesim öncesinde incik genişliği, göğüs çevresi ve canlı ağırlığı fazla olan hayvanların kesim sonrası özelliklerinin de fazla olmasının beklendiği yargısına ulaşmıştır Muller (1981), yaptığı çalışmasında fazlalık analizinin niteliğini açıklamak için ilişkili olduğu kanonik korelasyon ve çok değişkenli çoklu doğrusal regresyon analizini kullanmıştır Sonuç olarak çok değişkenli çoklu doğrusal regresyon analizinin orijinal bir alandan diğer orijinal alana tek bir dönüşüm sağladığını tespit etmiştir Quick (2013), çok değişkenli çoklu doğrusal regresyon modelinin özelliklerini ve temellerini açıklayarak atletizm verileri üzerine bir uygulamasını yapmıştır Çerçi (2010), Türkiye piyasasında faaliyet gösteren GSM mobil telekomünikasyon işletmecilerinin faturalı ve ön ödemeli abonelerinden elde ettikleri gelir; abone sayısı, haberleşme trafik yoğunluğu, tarife birim fiyat ortalaması ve baz istasyon sayısı değişkenleri arasındaki ilişkiyi çok değişkenli regresyon analizi yöntemi kullanılarak açıklamıştır

13 4 Hamzaoğlu (2013), yaptığı çalışmasında sık kullanılan regresyon analizi yöntemlerinden basit doğrusal regresyon, çoklu doğrusal regresyon, ikili lojistik regresyon ve Poisson regresyon yöntemlerinin her biri için örnek bir uygulama yapıp güç analizlerini hesaplamıştır Bakın (2007), çalışmasında çok değişkenli çoklu regresyon modelinin tahminlenmesinde en küçük kareler yöntemine alternatif olan mutlak sapmaların en küçüklenmesi (MİNMAD) yöntemini çalışmış ve bu yöntemin özellikle çoklu bağlantı problemi olduğunda en küçük kareler yönteminden daha etkin sonuçlar verdiğini ifade etmiştir Yüksek (2007), yaptığı çalışmada hava kirliliği tahmini için yapay sinir ağları, çoklu doğrusal regresyon analizi ve bulanık sinir ağları yaklaşımları için model kurmuş ve bu modellerden elde ettiği sonuçları karşılaştırmıştır Her yaklaşımın avantaj ve dezavantajlarını değerlendirerek yapılan çalışmalarda hangi modelin seçilmesinin daha uygun olacağı ile ilgili bir çalışma yapmıştır Uğurlu (2011), çalışmasında dünyada başlıca enerji kaynağı olan elektrik, doğal gaz ve petrol talebini Türkiye açısından çok değişkenli doğrusal regresyon modelini kullanarak birlikte incelemiştir Deryakulu (2004), öğrencilerin öğrenme ve ders çalışma stratejileri ile epistemolojik inançları arasındaki ilişkileri incelediği araştırmasında verileri standart çoklu doğrusal regresyon analizi ile değerlendirmiştir Demir ve Aral (2010), yaptığı çalışmalarında materyal olarak Kars ili nde bulunan süt sanayi işletmelerinin faaliyet yıllarına ait verileri kullanmışlardır Kaşar peyniri üretiminde input-output ilişkilerini değerlendirmek amacıyla yıllarına ait verilere regresyon analizi yapmışlardır

14 5 Keskinoğlu vd (2006), sosyoekonomik düzeyi düşük bir bölgede yaşlılardaki depresif belirtiler ve risk etmenlerini araştırdıkları çalışmalarında veri çözümlemesinde T-testi, Mann Whitney-U testi ve Çoklu Linear Regresyon analizini kullanmıştır Bağımlı değişken olarak Depresif Belirtiler Ölçeği (DBÖ) ile belirlenen depresif belirtiler alınmıştır Bağımsız değişkenler ise yaşlıların demografik, ekonomik ve sağlıkla ilgili özellikleri olarak seçilmiştir Sonuç olarak sosyoekonomik düzeyi düşük bir bölgede depresif belirtileri etkileyen en önemli etmenin yakınları-dostları ile görüşme sıklığı olduğu belirlenmiştir Bacanlı (2012), kariyer karar verme güçlükleri ve meslek seçimine ilişkin akılcı olmayan inançların ilişkisini incelediği çalışmasında kariyer karar verme güçlüklerini cinsiyete, yaşa, algılanan sosyoekonomik düzeye, algılanan akademik başarı düzeyine, meslek seçimi kararını verme ve vermeme durumlarına göre karşılaştırmıştır Verileri analiz etmek için çoklu doğrusal regresyon analizini ve t testini kullanmıştır Analiz sonucunda araştırma grubundaki öğrencilerin meslek seçimine ilişkin akılcı olmayan inançlarının (mükemmeliyetçilik, dışsal kontrol, yanlış çıkarımlar, genellemeler ve özsaygı) kariyer karar verme güçlüklerine ilişkin toplam varyansın %30 unu açıkladığını bulmuştur Turan vd (2011), Üniversite yapısı içerisinde öğrenen örgüt ve örgütsel bağlılık ilişkisi üzerine bir araştırma yapmışlardır Araştırma verileri değerlendirilirken çoklu doğrusal regresyon analizi yöntemi kullanılmıştır Karasu ve Ümit (2007), Kaynaştırmadaki işitme engelli öğrencilerin yazılı anlatım beceri düzeylerini değerlendirdikleri çalışmalarında ilköğretim 4, 5, 6, 7 ve 8 sınıflara devam eden 25 işitme engelli kaynaştırma öğrencisinin yazılı anlatım beceri düzeyi ile bu beceri düzeyi üzerinde etkisi olabileceği düşünülen işitme kaybı ortalaması, işitme cihazı kullanımına başlama yaşı, işitme cihazı kullanımı süresi ve takvim yaşını incelemişlerdir Verileri basit ve çoklu doğrusal regresyon analizi ve Pearson korelasyon katsayısı kullanılarak analiz etmişlerdir Araştırma sonucunda İşitme kaybı

15 6 ortalaması ve işitme cihazı kullanımına başlama yaşının yazılı anlatım puanı üzerindeki değişimin %81 ini açıkladığını belirlemişlerdir Karadavut vd (2011), Konya ili yem bitkileri üreticilerinin sosyo-ekonomik yapıları ile başarılı üretimi etkileyen faktörleri belirledikleri çalışmalarında çoklu regresyon ve faktör analizine yöntemlerini kullanışlardır Araştırma sonucunda, Konya ilindeki yem bitkileri üretiminde başarıyı etkileyen en önemli faktörlerin gelir, sulama, gübreleme, eğitim seviyesi ve ailelerin geleneksel bakış açıları olduğu belirlenmiştir Sayılı vd (1999), Tokat - Merkez İlçede balık tüketimini etkileyen faktörlerin ekonometrik analizini yaptıkları araştırmalarında Tokat - Merkez ilçede yaşayan haneler ile yaptıkları anket görüşmesi sonucu hanelerin balık tüketimi incelemişler, hane başına ve kişi başına balık tüketimi ile bunları etkileyen faktörler arasındaki ilişkileri ve bu ilişkilerin derecelerini belirlemek için çoklu doğrusal regresyon analizi yöntemini ve korelasyon yöntemini kullanmışlardır Takma vd (2012); yapmış oldukları çalışmada Siyah Alaca ineklerin laktasyon süt verimleri üzerine laktasyon süresi (LS), buzağılama yılı (BY) ve servis periyodunun (SP) etkisini çoklu regresyon ve yapay sinir ağı (YSA) ile modellemiş ve modellerin uyum yeteneklerini karşılaştırmışlardır Akdemir vd (2013), sürekli ölçüm cihazıyla saatlik olarak ölçülen ozon ve meteorolojik parametreler arasındaki ilişkiyi çoklu regresyon analizi yöntemi ile incelemişlerdir Ölçümlerde kullandıkları meteorolojik parametreler sıcaklık, nisbi nem, rüzgar hızı, güneş radyasyonu ve dış ortam basıncıdır Analiz sonucunda ozon ölçümleri ile sıcaklık arasında ve güneş radyasyonu arasında zayıf ilişki olduğunu gözlemlemişlerdir

16 7 3 MATERYAL ve YÖNTEM 31 Materyal Bu çalışmada uygulama verisi olarak Atatürk Üniversitesi Koyunculuk Şubesinde 2013 yılında yapılan bir çalışmadan alınan veriler kullanılmıştır İvesi koyunlarının canlı ağırlıkları ve soğuk karkas ağırlıkları bağımlı değişken, göğüs derinliği, cidago yüksekliği, but çevresi, alın uzunluğu ve baş genişliği değerleri bağımsız değişken olarak alınmıştır 32 Yöntem Bu çalışmada regresyon analiz tekniklerinden Basit Doğrusal Regresyon Analizi, Çoklu Doğrusal Regresyon Analizi ve Çok Değişkenli Çoklu Doğrusal Regresyon Analizi yöntemleri incelenip çok değişkenli çoklu doğrusal regresyon analizinin uygulaması yapılmıştır 321 Basit doğrusal regresyon analizi Basit doğrusal regresyon modelinde bir bağımlı (Y) ve bir bağımsız değişken () vardır Regresyon analizinde temel amaç bağımlı değişkeni tahmin edecek en iyi modelin tahmin edilmesidir Bir diğer ifadeyle bağımlı değişkendeki varyasyonu en iyi açıklayan denklemin oluşturulmasıdır Regresyon modelindeki bağımsız değişkenin üs değeri 1 ise bu model doğrusal model olarak ifade edilir Bağımlı değişken tahmin edilen bağımsız değişken ise açıklayıcı değişkendir Bağımsız değişken araştırıcının kontrolündedir fakat bağımlı değişkene araştırıcının bir etkisi yoktur

17 8 Basit doğrusal regresyon modelinin faraziyeleri aşağıdaki gibidir 1- Bağımsız değişken sabit değişkendir Yani araştırıcı tarafından peşim hükümlü olarak alınır Diğer bir deyişle şans değişkeni değildir Fakat şansa bağlı değişkende olsa regresyon analizi yapılabilir 2- Bağımlı ve bağımsız değişkenler hatasız ölçülmelidir Ölçümlerde hata payı olduğundan en az hatayla ölçülmelidir 3- Bağımsız değişkenlerin her bir değeri için bağımlı değişkenlerin bir alt populasyonu vardır Hipotez testlerinin ve tahminlerin sağlam yapılabilmesi için alt populasyonların normal dağılışa uygunluk göstermesi gerekir Yani Y değerleri normal dağılışa uygun olmalıdır 4- Bağımlı değişken Y nin alt popülasyonlarının varyansları eşit ve ortalamaları doğrusal olmalıdır Populasyon verileri için ( i, Y i ) gözlemlerine ait basit doğrusal regresyon modeli Y i = i + ε i, i = 1,2,, n şeklinde yazılır Burada; :Bağımsız değişken Y:Bağımlı değişken α:regresyon doğrusunun Y eksenini kestiği değer β:regresyon doğrusunun eğimidir ε: şansa bağlı hata değeridir ε'nun ortalamasının sıfır, varyansının olduğu ve normal dağılış gösterdiği varsayılır Bu bir hata değerinin başka bir hata değerinden etkilenmediği anlamına gelir Yani hata terimleri arasında otokorelasyon yoktur ε, ve Y değişkenleri arasında bulunduğu varsayılan doğrusal ilişkiyi bozduğu düşüncesiyle hata terimi olarak adlandırılır ε değerleri kesin olarak bilinmeyen, pozitif veya negatif değerler alabilen rassal bir

18 9 değişkendir (Anderson et al 1981; Gujarati 2005) Hata terimi Y bağımlı değişkenini etkileyen diğer değişkenlerin modele dahil edilmemesi, modelin yanlış seçilmesi, bilgi kaynağının homojen olmaması ve ölçme yanlışlıklarından dolayı ortaya çıkmaktadır (Kılıçbay 1980; Johnson and Wichern 1998; Gujarati 2005) Örnek verileri için bağımsız değişken ile bağımlı Y değişkeni arasındaki basit doğrusal regresyon modeli, = a + b +e şeklinde yazılır Eşitlikte a ve b istatistik değerleri α ve β nın sapmasız tahmincileridir (Hines and Montgomery 1990) Aynı popülasyondan şansa bağlı çekilen örnekler için hesaplanan a değerlerinin ortalaması α ya ve b değerlerinin ortalaması da β ya eşittir Buna göre, μ a = α 2 a 2 2 Y i 2 n ( i ) μ b = β 2 b 2 Y ( ) 2 i 2 olur (Neter et al 1989; Hines and Montgomery 1990) Eşitliklerde Y hata kareler ortalamasıdır

19 10 321a Basit doğrusal regresyonda katsayıların tahmini Regresyon katsayılarının tahmini en küçük kareler metoduna göre yapılır Bu yöntemde, regresyon denklemindeki α ve β katsayıları hata kareler toplamı en küçük olacak şekilde tahmin edilmelidir Bunun için önce doğrusal regresyon denkleminden çekilir şeklinde bulunur Bu eşitlikte her iki tarafın karesi alınıp toplanırsa, elde edilir Burada α ve β nın ayrı ayrı kısmi türevleri alınıp sıfıra eşitlenip çözülürse, β parametresinin tahmin edicisi b aşağıdaki gibi bulunur (Hines and Montgomery 1990; Yıldız ve Bircan 1994) b= ve benzer şekilde a = bulunur Daha sonra bu değerler y = a + bx denkleminde yerine konularak doğrusal regresyon denklemi oluşturulur En küçük kareler metoduna göre uydurulmuş regresyon doğrusunun özelliklerini aşağıdaki gibi sıralayabiliriz (Neter et al 1989)

20 11 1- Hataların toplamı sıfırdır e i Y i ( a b i ) n e i i Hataların kareleri toplamı minimumdur n e i i1 2 = minimum 3- Bağımlı değişkenlerin (Y i ) toplamı uydurulan regresyon modeline göre tahmin edilen değerlerin ( Yˆ ) toplamına eşittir i n i1 n Y i Yˆ i1 i 4- i değerdeki hatanın ağırlığı i değerdeki bağımsız değişkene göre alındığında hataların toplamı veya hata değerleri ile bağımsız değerlerin çarpımları toplamı sıfırdır n i1 i e i 0 5- Hata değerleri ile uydurulan modele göre tahmin edilen değerlerin çarpımlarının toplamı sıfırdır n i1 Y ˆ e i i =0 6- Regresyon doğrusu (, Y ) noktasından geçer

21 12 321b Basit doğrusal regresyon katsayılarının matris sistemiyle bulunması Bağımlı Y ve bağımsız değişkenine ait doğrusal regresyon modeli; Y i = i + ε i, i = 1,2,, n şeklindedir Basit doğrusal regresyon modeli n gözlem için Y 1 = 2 + ε 2 Y 2 = 2 + ε 2 Y n = n + ε n şeklinde yazılır Bağımlı değişken vektörü Y, bağımsız değişken matrisi, hata terimleri vektörü ε ve regresyon katsayıları vektörü β aşağıdaki gibi tarif edilir; n n Y Y Y Y n n 1 2 n n ve doğrusal regresyon modeli matris notasyonuyla olarak yazılır (Hines and Montgomery 1990)

22 13 Matris sisteminde regresyon katsayılarının en küçük kareler tahmincisi; n i i 2 i a b Yi iyi şeklinde hesaplanır (Alpar 2011) 322 Çoklu doğrusal regresyon analizi Basit doğrusal regresyon analizinde bir bağımlı ve bir bağımsız değişken arasındaki fonksiyonel ilişki incelenirken, çoklu doğrusal regresyon analizinde bir bağımlı ve birden fazla bağımsız değişken arasındaki fonksiyonel ilişki incelenmektedir Çoklu doğrusal regresyonda araştırmacının iki genel amacı vardır Bunlardan birisi bağımlı değişkeni etkilediği belirlenen değişkenler vasıtasıyla bağımlı değişkenin değerini tahmin etmek, bir diğeri; bağımlı değişkeni etkilediği düşünülen bağımsız değişkenlerden hangisinin veya hangilerinin bağımlı değişkeni daha çok etkilediğini tespit etmek ve aralarındaki ilişkiyi tanımlamaktır (Alpar 2003) Yapılan araştırmalarda daha sağlam sonuç elde edebilmek için ele alınan faktörü etkileyen bütün faktörleri gözlemek ve bağımsız değişkenlerin bağımlı değişkeni ne yönde ve nasıl etkilediğini tespit etmek önemlidir Örneğin; yumurta tavuklarında yumurta verimine havanın sıcaklığı, tavuğun yaşı, verilen yem miktarı ve ışıklandırma süresi gibi faktörler etkili olmaktadır Bu faktörlerden hangisinin daha çok etkili olduğunu ve bu faktörlere göre aylık yumurta verimini tahmin etmek için çoklu

23 14 regresyon analizi kullanılır Çoklu doğrusal regresyon modelinde en az iki bağımsız değişken bulunur Y bağımlı değişkeni ile p sayıda bağımsız değişken arasındaki ilişki doğrusalsa ve Y ve lere ait n tane gözlem değeri varsa çoklu doğrusal regresyon modeli; Y b 0 b1 i1 b2 i2 b p ip ei, (i=1,2,,n) Y= şeklindedir Burada b 0, b 1,,b p bilinmeyenleri kısmı regresyon katsayıları veya kısaca regresyon katsayılarıdır 322a Çoklu doğrusal regresyon analizinde katsayıların tahmini Çoklu doğrusal regresyon analizinde genel regresyonda uyulması gerekli şartlara ilave olarak bağımsız değişkenler arasında çoklu bağımlılık (multicollinearity) olmaması şartı aranır Hatalar rasgele değişkenler olduğu için hatalara ilişkin bazı varsayımlarda bulunmak gerekir Bu varsayımlar: 1 E( ) = 0, nin beklenen değeri sıfırdır 2 Var( ) = dir 3 Cov( ) = 0, j k dır Burada ε vektöründeki hata terimlerinin normal dağılım gösterdiği varsayılır Çoklu doğrusal regresyon modelinde bulunan β parametrelerinin tahmin edicisi olan p+1 tane b istatistik değerleri EKK yöntemi yardımıyla

24 15 formülü kullanılarak bulunurβ parametrelerine ilişkin güven aralıklarının oluşturulmasında, yokluk ve alternatif hipotez testlerinde serbestlik derecesi n-(p+1) olan t dağılımından faydalanılır Çoklu doğrusal regresyon modelinin varsayımları aşağıdaki gibidir (Kılıçbay 1980; Koutsoyiannis 1992; Çömlekçi 1998; Gujarati 2005) 1 Bağımlı değişken bir rastgele değişkendir ve normal dağılım gösterir 2 Bağımsız değişkenler rastgele değişken değildir Bağımsız değişkenlerin değerleri araştırmacı tarafından önceden belirlenmiş veya isteğe bağlı olarak seçilmiş ya da sabit değerlerdir 3 Hatalar birbirinden bağımsızdır Yani aralarında otokorelasyon yoktur 4 Tahminlerin hataları rastgeledir ve birbirleriyle ilişki göstermez (Cov( )) = 0 Aynı zamanda varyansı V(ε) = ve ortalaması sıfırdır Bu matrisin köşegen elemeanları olup diğer elemanları sıfırdır 5 Bağımsız değişkenlerle hata terimi arasında bir ilişki yoktur 6 Cov(ε ) = 0, j=1,2,,p ve i= 1,2,,n dir 7 Bağımsız değişkenler arasındaki basit doğrusal korelasyon katsayıları 0 veya 0 a çok yakın olmalıdır Bu varsayıma çoklu doğrusal bağlantı (multicollinearity) olmama adı verilmektedir 8 Hipotez testlerini yapmak ve güven aralıklarını oluşturabilmek için hataların normal dağılıma sahip olduğu varsayılır Çoklu doğrusal regresyon analizinde bağımlı değişken ve bağımsız değişkenler arasındaki ilişkinin gücünü açıklamak için R ile gösterilen çoklu korelasyon katsayısı kullanılır Ancak çoklu determinasyon (belirleme) katsayısı olan bu ilişki hakkında yorum yapmak için daha uygundur Toplam varyasyonun açıklanan kısmı / Toplam varyasyon olarak yazılır Yani

25 16 formülü ile bulunur (Ertek 2000) Teorik olarak bağımlı değişkeni açıklayabilen sonsuz sayıda bağımsız değişken bulunabilir Fakat uygulamada 1 ya da 2 bazen 3 tane bağımsız değişken bağımlı değişkendeki varyansın büyük bir kısmını açıklar değerinin 0,80 dolaylarında olması yeterli sayılır (Ünver and Gamgam 2008) 322b Çoklu doğrusal regresyonda katsayıların matris sistemiyle bulunması Çoklu doğrusal regresyon modelinde analizi basitleştirmek için matris yaklaşımı kullanılmaktadır Böylece çoklu doğrusal regresyon modeline ilişkin faraziyeler, katsayı tahminleri, tahminlerin özellikleri ve varyansları ayrıca regresyon denklemi ile ilgili diğer analizler daha kolay anlaşılıp ispatlanabilmektedir (Çerçi 2010) Çoklu regresyon denklemi matris notasyonunda şeklinde yazılır Burada Y = β + e Y: n 1 boyutlu bağımlı değişken vektörü : n (p+1) boyutlu girdi matrisi (bağımsız değişken matrisi) : (p+1) 1 boyutlu katsayılar vektörü e: n 1 boyutlu hata vektörüdür Daha açık bir şekilde yazacak olursak;

26 17 Y 1 b p Y 1 b p Yn 1 b n1 n2 np 0 1 e1 e2 en p şeklini alır Çoklu doğrusal regresyon denkleminde regresyon katsayılarının tahmini basit doğrusal regresyonda olduğu gibi en küçük kareler metoduna göre yapılır Katsayılar b ( ) 1 Y eşitliğine göre hesaplanır (Rencher 2002) Buradaki çarpımı matris notasyonunda aşağıdaki gibi yazılabilir (Alpar 2011) n n2 1p 2p np 1 ( p1) xn n 1 2 p p p p n1 ( p1)( p1) n2 1p 2p 3p np nx( p1)

27 18 regresyon katsayılarının varyans-kovaryans matrisi ise S 2 2 S (b0 ) S(b1, b0 ) ( b) S( b p, b0 ) S(b, b ) 2 0 p 1 1 S ( b ) S(b, b ) 1 S(b, b 2 0 S(b, b 1 S ( b ) p ) p ) p ( p1)( p1) şeklinde yazılabilir S 2 (b) nin varyans-kovaryans matrisinin köşegen elamanları regresyon katsayılarının varyansını köşegen dışı elemanlar ise regresyon katsayıları arasındaki kovaryansı vermektedir 323 Çok değişkenli çoklu doğrusal regresyon Basit doğrusal regresyon modeli bir bağımlı ve bir bağımsız değişken, çoklu doğrusal regresyon modeli bir bağımlı ve birden fazla bağımsız değişken içerir Bazı durumlarda bağımsız değişken sayısı birden fazla olduğu gibi bağımlı değişken sayısı da birden fazla olabilir Bu gibi durumlar da bağımlı ve bağımsız değişkenler arasındaki doğrusal ilişkileri incelemek için çok değişkenli çoklu regresyon analiz yöntemi devreye girmektedir Çoklu (multiple) regresyon modeli çok değişkenli bir model değildir Çok değişkenli regresyonda bağımlı değişken sayısı önemli olup birden fazladır (Özdamar 2004) Yani çok değişkenli çoklu regresyon modelinde bağımlı ve bağımsız değişken sayısı birden fazla olmalıdır Bağımlı ve bağımsız değişkenler sürekli değişken özelliğinde iseler bağımlı ve bağımsız değişken setleri arasındaki doğrusal ilişkinin incelenmesinde çok değişkenli çoklu doğrusal regresyon kullanılır (Dattalo 2013) Bağımlı değişken sayısının iki ve daha fazla olduğu durumlar için çoklu doğrusal regresyon analizinin genelleşmiş şekli olan çok değişkenli çoklu doğrusal regresyon analizi kullanılır Burada modelin geçerliliğini belirlemek için gerekli olan kareler

28 19 toplamının hesaplanması ve katsayı tahminleri çoklu doğrusal regresyon analizi ile benzerlik göstermektedir (Özdamar 2004) Çok Değişkenli Çoklu Doğrusal Regresyon Analizinin Faraziyeleri 1- Bağımlı değişkenlerin dağılımı çok değişkenli normal dağılıma uygun olmalıdır 2- Örnekleme şansa bağlı yapılmalıdır 3- Bağımlı ve bağımsız değişkenler arasında ve kendi içlerinde çoklu bağlantı (multicollinearity) olmamalıdır 4-Varyanskovaryans matrisi homojen olmalıdır Çok değişkenli çoklu doğrusal regresyon denklemi matris notasyonunda şeklinde yazılır Y=β+ε Regresyon katsayılar matrisi aşağıdaki gibi tahmin edilir Burada, ; regresyon katsayılar matrisi nın en küçük kareler tahmincisidir, ; bağımsız değişken matrisinin transpozudur matrisinin birinci sütunu 1,, p değişkenleri üzerinden Y 1 in regresyon katsayılarını verirken ikinci sütunu Y 2 ve q cu sütunu Y q bağımlı değişkenine ait regresyon katsayılarını vermektedir

29 20 323a Çok değişkenli çoklu doğrusal regresyon katsayılarının tahmini Çok değişkenli çoklu doğrusal regresyonda parametrelerin tahmini en küçük kareler tahmin yöntemine göre elde edilirler En küçük kareler yöntemine göre regresyon parametreleri öyle tahmin edilmeli ki hata kareler ortalaması en küçük bulunsun nın En Küçük Kareler Tahminlerinin Özellikleri 1 nın tahmini sapmasızdır, E( )= dir Yani aynı popülasyondan çekilen şansa bağlı örneklerde nin ortalaması eşit olur, 2 Doğrusal sapmasız tahminciler arasında da nın en küçük kareler tahmincileri minimum varyansa sahiptir, 3 ler arasındaki ve Y ler arasındaki korelasyonlar nedeniyle deki ların tümü birbiriyle ilişkilidir (Rencher 2002) Bağımsız değişkenlerin doğrusal kombinasyonlarına dayanan bağımlı değişkenlerin varyansını tahmin etmek için özellikle en küçük kareler regresyonu kullanılır En küçük kareler regresyonu bir veya daha fazla bağımsız değişkenden bağımlı değişkeni en iyi tahminleyen modele ait regresyon katsayılarının tahminlenmesini sağlar Regresyon denklemindeki bağımsız değişkenlere ait katsayılar bağımsız değişkendeki her bir birimlik değişimin bağımlı değişkeni hangi yönde ve ne miktarda etkilediğini belirler Regresyon katsayısı pozitif ise bağımsız değişken arttıkça bağımlı değişken artarken eğim (regresyon katsayısı) negatif ise, bağımsız değişken arttıkça bağımlı değişken azalır

30 21 323b Çok değişkenli çoklu doğrusal regresyonda katsayıların matris sistemi ile bulunması n gözlemin olduğu bir örnekte bağımlı değişken sayısı q ve bağımsız değişken sayısı p olmak üzere her bir bağımlı değişken için regresyon modelleri aşağıdaki gibi yazılabilir (Quick 2013; Dattalo 2013) Y=β+ε; çok değişkenli çoklu doğrusal regresyon denklemi matris notasyonunda; = [ ] + [ ] [ ] [ ] şeklinde yazılır (Rencher 2002) Burada; Y: n q boyutlu bağımlı değişken matrisi (q bağımlı değişken sayısı ve n örnek büyüklüğü) : n (p+1) boyutlu bağımsız değişken matrisi (p bağımsız değişken sayısı) : (p+1) q boyutlu katsayılar matrisi ɛ: n q boyutlu hata matrisidir

31 22 323c Çok değişkenli çoklu doğrusal regresyonda verilerin standartlaştırılması Bağımlı ve bağımsız değişkenler standardize edilerek standart veriler üzerinden uydurulan regresyon modelindeki katsayılara standart regresyon katsayıları denir Standart regresyon katsayıları bağımsız değişkendeki bir standart sapmalık değişimin bağımlı değişkendeki değişim miktarını gösterir Standartlaştırılmış regresyon katsayıları dikkate alınarak modele en fazla katkı yapan bağımsız değişken belirlenebilir Bir değişkenin standardize edilmiş regresyon katsayısı ne kadar büyük olursa o değişkenin regresyon modeline katkısı o kadar yüksek olur Standardize edilmiş veriler üzerinden tahmin edilen çok değişkenli çoklu doğrusal regresyon modeli Y= ε şeklinde yazılır Her bir bağımlı değişken için regresyon modelleri; şeklinde ifade edilir Modellerdeki ler standartlaştırılmış regresyon katsayılarıdır Regresyon modellerinde, standardize edilmiş verilerin ortalaması sıfır ve varyansı bir olduğu için regresyon denklemindeki kesişim parametresi sıfır ( ) olur = 0-( ) =0

32 23 Standart regresyon katsayıları 2 farklı şekilde hesaplanabilir 1- Bağımlı ve bağımsız değişkenlerin tümü standardize edilerek standardize edilmiş veriler üzerinden standart regresyon katsayıları elde edilir Verileri standardize ederken veri setindeki her bir değerden o veri setinin ortalaması çıkarılır ve standart sapmasına bölünür İki standardize edilmiş değişken arasındaki regresyon katsayısı standardize edilmiş verilerin kovaryansına eşittir (Allen 1997), İki değişken arasındaki kovaryans aynı ve her iki değişkenin varyansı da 1 e eşit olduğu için, standardize edilmiş değişkeni üzerine standardize edilmiş Y değişkeninin standart regresyon katsayısı ( ), standardize edilmiş Y değişkeni üzerine standardize edilmiş değişkeninin standart regresyon katsayısına ( ) eşittir (Allen 1997) Yani; = 2- Regresyon katsayılarının standartlaştırılmanın ikinci yolu ise, orijinal veriler üzerinden hesaplanmış regresyon katsayılarını bağımsız değişkenin standart sapması ( ) ve bağımlı değişkenin standart sapması ( ) arasındaki oran ile çarpmaktır

33 24 Verileri standartlaştırmanın temel amacı grupları aynı ölçü birimiyle birbirleriyle karşılaştırmak ve asimetrik olan bir veri dağılımını simetriğe yaklaştırmaktır (Bluman, 2004) 323d Çok değişkenli çoklu doğrusal regresyon katsayılarının hipotez testleri Regresyon katsayılarının önemlilik testinde sıfır hipotezi bağımlı ve bağımsız değisken setleri arasında doğrusal ilişkinin olmadığı veya β matrisindeki eğim katsayılarının tümünün sıfıra eşit olduğu şeklinde kurulur (Dattalo 2013) tahminlerinin önemli olup olmadığının kontrolü çoklu regresyonda olduğu gibi çok değişkenli çoklu doğrusal regresyondada hipotez testleri aracılığıyla yapılır Basit ve çoklu doğrusal regresyon modellerinde sıfır hipotezi ve alternatif hipotez : 0 şeklinde kurulurken çok değişkenli çoklu doğrusal regresyon modelinde 0 sıfır matrisi olmak üzere hipotezler; H 0 :β 1 =0 ve alternatif hipotez H 1 :β 1 0 şeklinde kurulup sıfır hipotezleri alternatif hipotezlere karşı test edillir Basit ve çoklu doğrusal regresyon modellerinde regresyon katsayılarının önem testi için her bir parametere tahmininin varyansı kullanılır Her bir regresyon katsayısının önemliliği için t testi kullanılır hakkında yorum yapılır (Özdamar 2004) test istatistiği t(α,sd) kritik değeriyle karşılaştırılarak önemlilik Çok değişkenli çoklu doğrusal regresyon katsayılarının önemliliğinin test edilmesinde Wilks istatistiği kullanılır ve 0 sıfır matris olmak üzere hipotezler;

34 25 H 0 :β 1 =0 H 1 :β 1 0 şeklinde kurulur Wilks değeri aşağıdaki eşitlikler kullanılarak hesaplanır; veya Eğer α,q,p,n-p-1 ise H 0 hipotezi red edilir ve regresyon katsayılarının önemli olduğu ifade edilir (Rencher 2002) 323e Bağımlı ve bağımsız değişkenler arasındaki ilişkinin ölçüsü Bağımlı ve bağımsız değişkenler arasındaki ilişkinin belirlenmesinde en yaygın kullanılan ilişki ölçüsü kanonik korelasyondur Kanonik Korelasyon Analizi, bağımsız değişken grubu ile bağımlı değişken grubu arasındaki ilişkinin derecesini (korelasyonunu) ortaya koyan çok değişkenli istatistiksel analiz tekniğidir (Tekin 1993) Yani kanonik korelasyon analizi çoklu regresyon analizinin bir uzantısıdır Çoklu regresyon analizinde bağımsız değişken kümesi p tane, bağımlı değişken kümesi q=1 tane değişken içerirken kanonik korelasyon analizinde bağımsız değişken kümesi p tane ve bağımlı değişken kümesi q>1 olmak üzere p tane değişken içerir Kanonik korelasyon analizde, bağımsız değişken kümesi içerisindeki değişkenlerin doğrusal kombinasyonları ile bağımlı değişken kümesi içerisindeki değişkenlerin doğrusal kombinasyonları arasındaki korelasyon katsayıları araştırılır (Gürbüz 1989; Tatar ve Eliçin 2002) Kanonik korelasyon analizinde amaç, her bir

35 26 kümede yer alan rassal değişkenlerin maksimum korelasyonlu ve birim varyanslı doğrusal bileşenlerini elde etmektir Daha sonra bulunan bu çiftten, bağımsız maksimum korelâsyonlu ve birim varyanslı ikinci bir doğrusal bileşim çifti bulunmaktadır Bu işlemlere küçük değişken kümesindeki değişken sayısı kadar yeni doğrusal bileşim çifti elde edilinceye kadar devam edilmektedir Burada, değişken kümelerinden elde edilen doğrusal bileşenler birbirinden bağımsızdır (Tatlıdil 2002) Eğer araştırmada incelenen özellikler üç farklı değişken kümesi meydana getiriyor kısmi kanonik korelasyon analizi kullanılır Kısmi kanonik korelasyon analizinde, amaç değişken kümelerinden birinin etkisi sabit tutulduğunda diğer iki değişken kümesi arasında maksimum korelasyonlu ve birim varyanslı doğrusal bileşenler elde etmektir (Timm 2002) Kanonik korelasyon analizi çok boyutlu ana kütleden çekilen iki veya daha çok değişken kümesi arasındaki ilişkiyi inceler Ayrıca rassal değişkenler kümesinin doğrusal fonksiyonları arasındaki en büyük korelasyonları hesaplamaya çalışır Kısaca kanonik korelasyon ile rassal değişkenler kümesinin maksimum korelasyonlu ve birim varyanslı doğrusal bileşimi elde edilmek istenir (Şen ve Kalyoncu 2001) Kanonik korelasyon analizinde en iyi yaklaşım, değişkenler setlerine (iki veya daha fazla) ait doğrusal bileşenler arasındaki kovaryansı maksimum kılacak biçimde her değişkenler seti için bu bileşenleri oluşturmaktır (Mirtaghizadeh 1990) Eğer değişken sayısı az ise değişken çiftleri arasındaki basit korelasyonlar elde edilip genelleştirilerek bir yorum yapılabilir Ancak değişken kümeleri çok sayıda değişken içeriyorsa elde edilen korelasyon ölçüleri ile bir genelleme yapmak oldukça zordur (Çınar 2002) Kanonik korelasyon analizi yapabilmek için gerekli olan varsayımlar verilerin çok değişkenli normal dağılım göstermesi, ele alınan özellikler arasında çoklu bağlantı (multicolinearity) olmaması ve güvenilirlik bakımından örnek genişliğinin mümkün olduğunca büyük alınması (değişken sayısının 5 katı kadar) gerektiği şeklindedir

36 27 Bağımsız değişken seti ve bağımlı değişken seti olarak alınırsa bunların doğrusal kombinasyonları; Z = W = şeklinde olur (Tatsuoka 1971; Sharma 1996; Özdamar 2004; Mendes et al 2005; Çankaya 2005) Katsayıların matrisleri ise; U=[ ] ve V= [ ] olarak alındığında, iki doğrusal kombinasyon arasında en büyük kombinasyon olarak U ve V nin bir fonksiyonu olarak r zw aşağıdaki gibi ifade edilir (Johnson and Wichern 2002; Özkan vd 2008) Ayrıca çoklu belirleme katsayısı da ( ) değişkenler arasındaki ilişkinin belirlenmesinde kullanılabilir kovaryans matrisi olmak üzere ilişki katsayısı aşağıdaki formüle göre hesaplanır ( )

37 28 eşitlikte, matrislerinin çarpımlarının determinantı ve ; matrisinin determinantıdır (Rencher 2002)

38 29 4 ARAŞTIRMA BULGULARI ve TARTIŞMA Çalışmada İvesi koyunlarının canlı ağırlıkları, soğuk karkas ağırlıkları, göğüs derinliği, cidago yüksekliği, but çevresi, alın uzunluğu ve baş genişliği değerleri kullanılmıştır Canlı ağırlık ve soğuk karkas ağırlıkları bağımlı değişken, göğüs derinliği, cidago yüksekliği, but çevresi, alın uzunluğu ve baş genişliği değerleri bağımsız değişken olarak alınmışlardır İvesi koyunlarına ait değerler aşağıdaki çizelgede verilmiştir Çizelgede İvesi koyunlarının canlı ağırlıkları (CA), soğuk karkas ağırlıkları (SKA), göğüs derinliği (GD), cidago yüksekliği (CY), but çevresi (BÇ), alın uzunluğu (AU) ve baş genişliği (BG) ile gösterilmiştir Çizelge 41 Uygulama Verileri CA SKA GD CY BÇ AU BG Çok değişkenli çoklu doğrusal regresyon analizinin uygulanabilmesi için gerekli olan bağımlı değişken matrisi (Y) ve bağımsız değişken matrisi () aşağıdaki gibi oluşturulmuştur Y matrisinde birinci sütunda canlı ağırlık ve ikinci sütunda soğuk karkas ağırlık değerleri bulunmaktadır

39 30 62,0 59,0 58,5 58,0 58,0 Y = 62,0 60,0 55,5 58,0 58,5 27,0 26,2 27,6 26,2 28,1 28,6 27,6 25,6 27,8 26,2 matrisinin birinci sütununda sabit değer 1 den oluşan sütun vektör, ikinci sütununda göğüs derinliği, üçüncü sütunda cidago yüksekliği, dördüncü sütunda but çevresi, beşinci sütunda alın uzunluğu ve altıncı sütunda baş genişliği değerleri bulunmaktadır = 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 45,0 44,0 42,0 40,0 40,0 41,0 41,0 40,0 39,0 42,0 71,0 76,0 72,0 69,0 70,0 78,0 73,0 70,0 71,0 72,0 22,0 21,5 20,0 22,0 20,0 22,0 20,5 23,0 20,0 21,0 8,0 9,0 8,0 7,0 7,0 7,0 8,0 8,0 10,0 7,0 15,0 11,0 10,0 9,0 8,0 9,0 9,0 9,0 10,0 9,0 matrisinin tarnspozu alınarak ' matrisi aşağıdaki gibi oluşturulur ı = 1,0 45,0 71,0 22,0 8,0 15,0 1,0 44,0 76,0 21,5 9,0 11,0 1,0 42,0 72,0 20,0 8,0 10,0 1,0 40,0 69,0 22,0 7,0 9,0 1,0 40,0 70,0 20,0 7,0 8,0 1,0 41,0 78,0 22,0 7,0 9,0 1,0 41,0 73,0 20,5 8,0 9,0 1,0 40,0 70,0 23,0 8,0 9,0 1, ,0 20,0 10,0 10,0 1,0 42,0 72,0 21,0 7,0 9,0

40 31 ' matrisi ile matrisi çarpılarak elde edilen ( ) matrisin inversi alınır = ve = 222,4620 3,8231 0,0478 3,0996 3,9281 3,6470 3,8231 0,1524 0,0346 0,0281 0,0934 0,1333 0,0478 0,0346 0,0220 0,0103 0,0245 0,0308 3,0996 0,0281 0,0103 0,1246 0,0632 0,0466 3,9281 0,0934 0,0245 0,0632 0,2017 0,1115 3,6470 0,1333 0,0308 0,0466 0,1115 0,1529 matrisinin transpozu ile Y matrisi çarpılarak ( Y) matrisi elde edilir ( ı Y) = Regresyon katsayılar matrisi β β () 1 (Y) eşitliği kullanılarak aşağıdaki gibi elde edilir

41 32 61,2391 0,7857 0,6072 0,7588 1,4763 1, ,6927 0,7293 0,3137 0,7753 0,6913 0,6906 Buna göre regresyon denklemleri; CA= 61,2391-0,7857GD CY BÇ 1,4763AU +1,4286BG SKA= 49,6927-0,7293GD CY BÇ 0,6913AU +0,6906BG Elde edilen regresyon denklemlerine göre bağımlı değişken matrisi Y nin beklenen değerleri matrisi; 61, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,7454 matrisinde birinci sütun CA ve ikinci sütun SKA değişkenlerine ait beklenen değerlerdir Gözlenen bağımlı değişkenler matrisi (Y) ile uydurulan modellere göre elde edilen beklenen değerler matrisi ( ) arasındaki fark alınarak hata matrisi ε elde edilir

42 33 ε = Y- ε = Y- 0,0757 0,0652 0,7630 0,4574 0,2388 0,2221 1,1522 0,4147 0,0602 0,0518 0,0793 0,0473 0,0800 0,2874 0,4388 0,0182 0,1152 0,2655 0,2116 0,5454 Hata matrisinde her bir sütunun kareleri alınıp toplanırsa Hata Kareler Toplamları (HKT) ve HKT hata serbestlik derecesine (HSD) bölünerek (HSD=bağımsız değişken sayısı-1) Hata Kareler Ortalamaları bulunur CA için HKT=2,4135 ve HKO= 0,6034 SKA için HKT= 0,7163 ve HKO=0,1791 Hata değerlerinin küçüklüğü uydurulan modelin gerçek değerleri açıklayıcısının bir göstergesidir Hata değerlerinin kareleri alınıp toplam hata sayısına bölündüğünde elde edilen Hata Kareler Ortalaması modellerin karşılaştırılmasında bir kriter olarak kullanılır Hata kareler ortalaması ne kadar küçükse uydurulan modelin o derece iyi olduğu ifade edilir Uydurulan modeller karşılaştırıldığında soğuk karkas ağırlığı için elde edilen modelin canlı ağırlık için elde edilen modelden daha açıklayıcı olduğu söylenebilir Bağımlı ve bağımsız değişkenler arasındaki ilişkinin belirlenmesinde en yaygın kullanılan ilişki ölçüsü kanonik korelasyondur

43 34 Bağımlı ve bağımsız değişkenler arasındaki kanonik korelasyon katsayısı 096 olarak bulunmuş olup istatistik olarak önemli olduğu tespit edilmişti (P<005) Buna göre iki değişken grubu arasındaki doğrusal ilişkinin çok önemli olduğu söylenebilir Ayrıca çoklu belirleme katsayısının kovaryans matrisinin parçalanmasıyla hesaplanmasından oluşan ilişki katsayısıda değişkenler arasındaki ilişkinin belirlenmesinde kullanılabilir ilişki katsayısı aşağıdaki formüle göre hesaplanır Eşitlikte, matrislerinin çarpımlarının determinantı ve ; matrisinin determinantıdır Uygulama veri setinin kovaryans matrisi 3,858 1,038 2,078 S = 3,233 0,011 0,283 1,994 1,038 0,992 0,384 1,002 0,598 0,023 0,234 2,078 0,384 3,600 1,800 0,411 0,044 2,933 3,233 1,002 1,800 7,956 0,233 0,133 0,133 0,011 0,598 0,411 0,233 1,122 0,256 0,467 0,283 0,023 0,044 0,133 0,256 0,989 0,656 1,994 0,234 2,933 0,133 0,467 0,656 3,878 S YY = 3,858 1,038 1,038 0,992 S Y = 2,078 0,384 3,233 1,002 0,011 0,598 0,283 0,023 1,994 0,234

44 35 S Y = 2,078 3,233 0,011 0,2830 1,9940 0,384 1,002 0,5980 0,023 0,234 S = 3,600 1,800 0,411 0,440 2,933 1,800 7,956 0,233 0,133 0,133 0,411 0,233 1,122 0,256 0,467 0,044 0,133 0,256 0,989 0,656 2,933 0,133 0,467 0,656 3,878 3,5903 1,0648 = 1,0648 0,9135 Matrisinin determinantı ve matrisinin determinantı = ve =07804 olur değeri olarak bulunmuş olup bu değerin 1 e yakın olması bağımlı ve bağımsız değişkenler arasındaki ilişkinin önemli olduğunu göstermektedir Yani bağımlı değişkenlerdeki varyasyonun %7804 nün bağımsız değişkenler tarafından açıklandığı söylenebilir

45 36 Regresyon katsayıları bireysel olarak test edildiğinde t dağılışı kullanılır Canlı ağırlık ve soğuk karkas ağırlığı için uydurulan modellerdeki regresyon katsayıları, regresyon katsayılarının standart hataları, standardize edilmiş regresyon katsayıları ve regresyon katsayılarının önemlilik durumları Çizelge 42 ve 43 de verilmiştir Çizelge 42 Canlı ağırlığa ait regresyon katsayıları tablosu Modeldeki değişkenler β S β Beta t P Sabit 61, ,586 5,286 0,006 GD -0,7887 0,303-0,759-2,591 0,061 CY 0,6072 0,113 0,872 5,270 0,006 BÇ -0,7588 0,274-0,409-2,767 0,050 AU -1,4763 0,349-0,747-4,231 0,013 BG 1,4286 0,304 1,432 4,704 0,009 S β : Regresyon katsayısının standart hatası; Beta: Standardize edilmiş regresyon katsayısı Çizelge 42 incelendiğinde; canlı ağırlığa CY ve BG pozitif yönde istatistiksel olarak çok önemli etki etki yaparken, GD, BÇ ve AU nun negatif yönde önemli etki yaptıkları görülmektedir Dolayısıyla CY ve BG değerlerindeki artış canlı ağırlığın artmasına, GD, BÇ ve AU değişkenlerindeki artış canlı ağırlığın azalmasına sebep olmaktadır Beta katsayıları incelendiğinde en önemli etkiyi sırasıyla BG, CY, GD, AU ve BÇ nin yaptığı tespit edilmiştir

46 37 Çizelge 43 Soğuk karkas ağırlığa ait regresyon katsayıları tablosu Modeldeki değişkenler β S β Beta t P Sabit 49,6927 6,312 7,873 0,001 GD -0,7293 0,165-1,389-4,414 0,012 CY 0,3137 0,063 0,888 4,998 0,007 BÇ -0,7753 0,149-0,825-5,190 0,007 AU -0,6913 0,190-0,690-3,637 0,022 BG 0,6906 0,165 1,365 4,174 0,014 Çizelge 43 incelendiğinde; soğuk karkas ağırlığına CY ve BG pozitif yönde istatistiksel olarak çok önemli etki etki yaparken, GD, BÇ ve AU nun negatif yönde önemli etki yaptıkları dolayısıyla CY ve BG değerleri arasında doğrusal bir ilişkinin olduğu ve canlı ağırlıkla GD, BÇ ve AU değişkenleri arasında ters yönde bir ilişkinin olduğu ifade edilebilir Beta katsayıları incelendiğinde en önemli etkiyi sırasıyla BG, GD, CY, BÇ ve AU nun yaptığı tespit edilmiştir Çok değişkenli çoklu doğrusal regresyon katsayılarının önemliliğinin test edilmesinde hipotezler; H 0 :β 1 =0 H 1 :β 1 0 şeklinde kurulur Wilks değeri = = olarak hesaplanır

47 38 001,2,5, = 001,2,5,4 =0017 =00074 < 001,2,5,4 =0017 olduğu için H 0 hipotezi ret edilir ve regresyon katsayılarının önemli olduğu ifade edilir Buna göre uydurulan çok değişkenli çoklu doğrusal modellerin canlı ağırlık artışını ve soğuk karkas ağırlığını önemli derecede açıkladığı kanısına varılır