Tanım: Kök yer eğrisi sistem parametrelerinin değişimi ile sistemin kapalı döngü köklerinin s düzlemindeki yerini gösteren grafiktir.

Transkript

1 Kök Yer Eğrileri

2 Kök Yer Eğrileri Bir kontrol tasarımcısı sistemin kararlı olup olmadığını ve kararlılık derecesini bilmek, diferansiyel denklem çözmeden bir analiz ile sistem performansını tahmin etmek ister. Geri beslemeli kontrol sistemleri tasarımında açık döngü sistemin analiz edilmesi, kapalı döngü sistemin nasıl davranacağı hakkında bilgi edinilebilmesi açısından çok önemlidir. Daha önceki konularda, karakteristik denklemin köklerinin s- düzleminde yeri ile geribildirimli sistemlerin başarımı arasındaki ilişkiyi incelemiştik. Sistem parametreleri akıllıca seçildiği takdirde kapalı çevrim geribildirimli bir sistemin yanıtı istenen başarımı sağladığı görülür. Bu yüzden bir parametreyi değiştirdikçe, köklerin s düzleminde nasıl hareket edeceğini belirlemek çok yararlı olacaktır. Yöntemlerden bir tanesi sistem için kök yer eğrisinin oluşturulması ve yorumlanmasıdır.

3 Kök Yer Eğrileri Tanım: Kök yer eğrisi sistem parametrelerinin değişimi ile sistemin kapalı döngü köklerinin s düzlemindeki yerini gösteren grafiktir. Köklerin s düzlemindeki geometrik yeri grafiksel bir yöntemle belirlenebilir de Evans tarafından önerilen bu grafiksel yönteme kök yer eğrisi çizimi adı verilir. Kök yer eğrisi, geri bildirimli sistemlerin analizi ve tasarımında oldukça yararlı bir araçtır. Kök yer eğrisi bize grafiksel bir bilgi verir. Parametre değişimine bağlı olarak kökler nasıl ve ne yönde değişir, gidiş eğilimleri ne tarafa doğrudur, hangi bölgelerde hızlı değişimler yaparlar, nerelerde parametre değişimlerine duyarsızdırlar bunları yaklaşık olarak bilmek analiz ve tasarım için yeterlidir. Çoğu zaman kökün sayısal olarak tam değerinin bulunması gerekmeyebilir. Hangi parametre değerlerinde sistem kararlıdır, hangi değerlerde kararsızdır, hangi değerlere çıkarsak kökler daha kararlı bir noktaya taşınır bilmek ve buna göre sistem hakkında yorum yapmak için kök yer eğrisini genel hatlarıyla elle bir eskizini çizmek yeterli olacaktır.

4 Kök Yer Eğrileri Kapalı döngü sistemlerin geçici rejim cevap karakteristikleri kapalı döngü kutuplarının yerlerine bağlıdır. Eğer sistem değişken kazanca sahipse, kapalı döngü sistemin kutupları seçilen kazanca göre değişir. Dolayısıyla kontrol tasarımcısının döngü kazancı değiştikçe kapalı döngü sistemin kutuplarının nasıl hareket ettiğini bilmesi önemlidir. Amaç:İstenilen sistem cevabını elde edebilmek için uygun kutuplar seçmek ve dolayısıyla bu kutuplar için sistem kazancını belirlemektir.

6 Kök Yer Eğrileri Verilen kamera sistemi için kazancın fonksiyonu olarak sistemin kapalı döngü transfer fonksiyonunun kutupları

7 Kök Yer Eğrileri a:tabloda verilen kazanç değerine göre hesap edilen kutupların karmaşık düzlemde yerleşimi b: Gösterilen kamera sisteminin kök yer eğrisi

8 Ör: Kök Yer Eğrileri

14 Kök Yer Eğrisi Kavramı Kapalı çevrim bir kontrol sisteminin dinamik davranışı aşağıdaki transfer fonksiyonuyla ifade edilebilir. (1) p(s) ve q(s) pay ve payda polinomlarıdır. q(s) karakteristik denkleminin kökleri sistem yanıtını belirlemektedir. Şekil deki gibi birim geribildirimli bir sistemin transfer fonksiyonu ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( s q s p s R s Y s T = = Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr birim geribildirimli bir sistemin transfer fonksiyonu ve karakteristik denklemi 1+G(s)H(s) =0 (2) şeklindedir. ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( s H s G s G s q s p s R s Y s T + = = =

15 s bir karmaşık sayı olduğundan, Denklem 2 aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir. G ( s) H ( s) = 1+ j0 Kutupsal gösterim ile: (3) (4) 4 nolu denklem, kapalı-döngü kutubunun kök yer eğrisi üzerinde olabilmesi için açı koşulu ve modül koşulu olmak üzere iki koşulu belirler. Burada G(s)H(s) in bir karmaşık sayı fonksiyonu olarak açı ve modül olmak üzere iki unsuru vardır.

16 Kök Yer Eğrisi Kavramı Açı koşulu: G(s)H(s) = 180 (2k+1), k = 0, 1, 2,... (5) - G(s)H(s) in açısı 180 nin tek katları olmak zorundadır. Modül (büyüklük) koşulu: G(s)H(s) = 1 (6) - G(s)H(s) modülü birim değere eşit olmalıdır. Açı ve modül koşullarını sağlayan s değerleri özyapısal denklemin kökleri veya kapalı-döngü kutuplarıdır.

17 Kök Yer Eğrisi Kavramı Karmaşık açı koşulunu sağlayan noktaların çizdiği eğri köklerin geometrik yerinin eğrisi veya kısaca kök-yer eğrisidir. Kazancın belirli bir değerine karşılık gelen özyapısal denklemin kökleri ise modül koşulundan belirlenir. Belli bir sistemin kök-yer eğrisinin çizimi karmaşık düzlemde açık-döngü kutupları ve sıfırlarının bulunması ve bunların karmaşık sayı düzlemine yerleştirmesi ile başlar. Kök-yer eğrisi üzerinde yer alan diğer noktaları bulmak için çeşitli test noktaları bulunur ve bu noktalarının açı koşulunu sağlayıp sağlamadığına bakılır.

18 Kök Yer Eğrisi Kavramı Karmaşık düzlemde herhangi bir test noktasındaki G(s)H(s) açısı çeşitli kutup ve sıfırlardan bu noktaya olan açıların ölçülmesi yoluyla bulunur. Örnek olarak açık-döngü transfer fonksiyonu aşağıda verilen kapalı-döngü sistemini ele alalım. Belirli bir s E test noktasında G(s)H(s) in değeri: olur.

19 Kök Yer Eğrisi Kavramı Bu durum grafiksel olarak şekildeki gibi gösterilebilir. Burada yer alan vektörler:

20 Kök Yer Eğrisi Kavramı

21 Kök Yer Eğrisi Kavramı Ör: Yandaki sistem için açı koşulundan K değerini bulunuz.

22 Kök Yer Eğrisi Kavramı Koşul sağlanmıyor! Dolayısıyla s 1 =-2+j3 noktası kök yer eğrisi üzerinde değil. Başka bir deyişle bu nokta hiçbir kazanç değeri için bir kapalı çevrim kutbu değildir.

23 Kök Yer Eğrisi Kavramı Aynı testi için uyguladığımızda açı koşulunun sağlandığını görürüz. Bu noktadaki kazanç değeri aşağıdaki gibi bulunabilir.

24 Kök Yer Eğrisi Kavramı Prensip olarak bu koşulları sağlayan tüm kök değerleri tespit edilip köklerin geometrik yeri çizilebilir. Ancak tek tek noktaların sorgulanmasının ne kadar uzun sürecektir. Zaten bu kadar detaylı bir çizime de gerek yoktur. Bu nedenle köklerin geometrik yerini genel hatlarıyla çizmek için çoğunlukla bir dizi işlemden oluşan bir prosedürü takip etmek yeterli olacaktır.

25 Kök Yer Eğrisi Çizim Kuralları Karakteristik denklemin köklerinin sistemin yanıtını anlamada önemli bir yeri olduğunu söylemiştik. Aşağıdaki adımlar, kökleri grafiksel olarak s düzlemine yerleştirerek kök-yer eğrisini hızlı bir şekilde çıkarmamızı kolaylaştırır.

26 Örnek: İkinci dereceden geri beslemeli bir sistemin karakteristik denklemi: ) ( 1 2 = = + s s s K s GH Kök Yer Eğrisi Çizim Kuralları Karakteristik denklem aşağıdaki gibi düzenlenebilir. Önce GH (s) in kutup ve sıfırlarını yerleştirelim. K değerinin z 1 = -2 de sonsuz, p 1 =0, p 2 = -4 de sıfır olduğunu biliyoruz (Şekil.8.5) ( ) ( ) 0 4 s s 2 s 2 K 1 s s s K 1 2 = = + + +

27 Kök Yer Eğrisi Çizim Kuralları Gerçel eksen üzerinde, 0 noktasındaki kutup ile -2 noktasındaki sıfırın arasında geometrik yere ait bir parça yer almaktadır. Çünkü bu parçanın sağında sadece bir tane kutup vardır. Gerçekten de bu bölgedeki her hangi bir noktaya 0 daki kutuptan gelen vektörün açısı 180 dir. -4 deki kutup ve -2 deki sıfırdan bu noktaya uzanan vektörlerin açıları ise Imaginary Axis dir. Dolayısıyla toplam açı 180 dir ve açı koşulunu sağlar. Bu parça (dal) K nın 0 olduğu 0 noktasındaki kutuptan başlark nın sonsuz olduğu -2 deki sıfıra kadar uzanır. 180 o Real Axis Şekil.8.5. GH(s) in kutup ve sıfırlarının s düzlemine yerleştirilmesi

28 Kök Yer Eğrisi Çizim Kuralları Benzer şekilde K=0 dan a giderken, -4 deki kutuptan - daki sıfıra uzanan ikinci bir ikinci dal, sağ tarafında 3 tane kutup+sıfır (- 4, -2 ve 0) bulunduğundan geometrik yer olarak çizilir. K nın artış yönü Şekil.8.6 da oklarla gösterilmiştir. Imaginary Axis K K Geometrik yer üzerindeki herhangi bir noktada K değerinin ne olduğunu bulabilmek için genlik koşulunu kullanıyorduk. Örneğin s=s1=-1 noktasındaki K kazancı: Real A xis Şekil.8.6. Đkinci dereceden sistemde köklerin gerçel eksen üzerindeki geometrik yerine ait iki dal F(s) K s + z = s + p 1 1 s + z s + p s + z...s + p M N = 1 2K s s 1 s = 1 ve buradan K = s 1 s 2 s = = 3 2

29 Kök Yer Eğrisi Çizim Kuralları

33 Kök Yer Eğrisi Çizim Kuralları s( s + 2) ÖrnekŞekil.8.2 deki sistemi - tekrar ele alalım. Karakteristik K Şekil.8.2. K parametreli birim geribildirimli denetim sistemi denklem 1 + = 0 s(s + 2) idi. N-M=2 olduğundan, sonsuzda sıfırı olan iki dal vardır. Bu dalların asimptotları kutuplar sifirlar σ A = = N M + R(s) K 1 Y (s) (( 0) + ( 2) ( 0) ) = 1 ağırlık merkezinden geçerler. Birbirleri arasındaki açılar dir. φ = ( N M) = Gerçel eksenle yaptığı açılar sırasıyla q=0 için 0 q=1 için dir. φ A = 270 φa = 90 0 ve

34 Kök Yer Eğrisi Çizim Kuralları Örnek: Geri bildirimli bir kontrol sisteminin karakteristik denklemişuşekildedir. K( s + 1) 1+ KGH ( s) = 1+ s( s + 2)( s + 4) 2 GH(s) in kutupları ve sıfırları şekilde verilmiştir. Gerçel eksen üzerindeki geometrik yer tek sayıda kutup ve sıfır sağda kalacak şekilde çizilmiştir. s=- 4 te çift kutup bulunduğunu bu yüzden bu noktadan önce sağ tarafta 3 kutup ve sıfır bu noktadan sonra da 5 kutup ve sıfır olduğundan geometrik yerde bir kesinti olmadığını unutmayalım. N-M =4-1= 3 olduğundan 3 asimptot vardır. Asimptotların kesişme (ayrılma) noktası σ A = (( 0) + ( 2) + ( 2 * 4) ) ( 1) 4 1 bulunur. 9 = 3 = 3

35 Kök Yer Eğrisi Çizim Kuralları o o 360 = En küçük açı q=0 için 180 φ, oasimptotlar arası açı A = = 60 φ = 3 Dolayısıyla q=1 için 3 ve q=2 için bulunur. o φa = = 180 o o o φa = = 300 o o 120 o 1 Pole-Zero Map 5 Root Locus Imaginary Axis Çift katlı kutup Imaginary Axis Ayrılma noktası Asimptot Real Axis Real Axis Şekil.8.8. (a) GH(s) in kutupları ve sıfırları (b) köklerin geometrik yeri

37 Kök Yer Eğrisi Çizim Kuralları Ör:Birim geri bildirimli bir sistemin karakteristik denklemi: K 1 + G( s) = 1+ = ( s + 2)( s + 4) 0 Denklemin s=-2 de ve s= -4 de kutupları vardır. Bu noktalarda K=0 idi. K nın değeri, bu iki noktanın arasında iki eğrinin karşılaşacağı bir s i noktasına kadar artacak, karşılaştıkları noktada artık o eksen için alabileceği en büyük değeri alacak, daha sonra o eksenden ayrılarak yine sonsuza doğru artmaya devam edecektir. Örneğin bu sistemde ayrılma noktasından sonra K arttıkça s in sadece imajiner bileşeni değişmektedir.

38 Kök Yer Eğrisi Çizim Kuralları Karakteristik denklemde K yı yalnız bırakarak yeni bir polinom oluşturalım. Denklem aşağıdaki şekliyle yeniden yazılabilir. K=p(s)=-(s+2)(s+4) (8.32) Bu yeni polinomun, polinom kökleri olan [-4,-2] aralığında bir noktada en büyük değeri alacağı bellidir. Örneğin s=-4 kökünde K=0 dır. s değerleri sağa doğru arttıkça (-3.9, -3.8,.) oluşturduğumuz K polinomunun aldığı değer giderek artacak, bir noktadan sonra tekrar azalarak s=-2 noktasında yine K=0 olacaktır. Gerçekten de K polinomunu bu aralıkta çizdirirsek, s=-3 noktasında en büyük değeri aldığı görülecektir(şekil 8.9).

39 Kök Yer Eğrisi Çizim Kuralları Şekil.8.9. (a) K polinomunu çizdiren program (b) elde edilen grafik. Analitik olarak düşündüğümüzde bu tepe noktası bir ekstremum noktasıdır ve burada K polinomunun s e göre türevi sıfırdır. Ayrılma noktası buradan da bulunabilir. dk dp(s) = = (2s + 6) = 0 s=-3 bulunur. ds ds

40 Kök Yer Eğrisi Çizim Kuralları Örnek: daki geri bildirimli kontrol sisteminin karakteristik denklemi aşağıdaki gibidir. K( s + 1) 1 + G( s) H ( s) = 1+ = 0 n=n-m=2 olduğu için s( s + 2)( s + 3) o = 180 ( 2 k + 1) formülünden φ A N M k=0 için k=1 için R(s) + - K(s + 1) Y (s) s ( s + 2) Buna göre 90 ve 270 de iki asimptotumuz vardır. Asimptotların ağırlık merkezi: bulunur. σ A ( 1) o o φ A = 180 = 90 2 φ A = ( 2 *1 + 1) o o = P( s)' in kutupları N M = 270 s Şekil Kapalı çevirim bir kontrol sistemi P( s)' in sifirlari = ( 0) + ( 2) + ( 3) ( 1) 2 4 = 2 = 2

41 Asimptotlar ve gerçel eksen üzerindeki köklerin geometrik yerleri Şekil.8.11.a da verilmiştir Root Locus Asimptotlar üst üste çakışmıştır (b) Real Axis (a) Şekil a) Köklerin geometrik yeri b) K=P(s) in grafiği c) grafiği çizen program Serhat YILMAZ, serhaty@kocaeli.edu.tr (c)

42 s=-2 deki kök ile s=-3 deki arasında bir yerde köklerin ayrılma noktası vardır. Ayrılma noktasını hesaplamak için K yı karakteristik denklemde yalnız bırakan yeni bir polinom oluşturalım. Bunun için K( s + 1) 1 + = 0 s( s + 2)( s + 3) + K( s + 1) = 0 s( s + 2)( s + 3) + K( s + 1) = 0 s( s + 2)( s + 3) s + 1 s( s + 2)( s + 3) K = P(s) = s + 1 P(s) i -3 ile 2 arasındaki çeşitli noktalardaki s değerleri için değerlendirdiğimizde en büyük değere s=-2.46 da ulaştığı görülür (Şekil.8.11.b). Alternatif olarak K nın türevi alınıp ekstremum nokta bulunabilir ( s + 2)( s + 3) ( s + 5s + 6s) ( s + 1)( 3s + 10s + 6) dk d s 3 2 = = = 2s + 8s + 10s + 6 = 0 2 ds ds s + 1 ( s + 1) bulunur. Türevi sıfır yapan s değerleri analitik olarak veya hesap makinesiyle bulunabilir. Aşağıdaki matlab komutuyla da polinomun köklerini hemen bulabiliriz. roots([28106]) Kökler sırasıyla , i, i bulunur. s=-2 ile s=-3 aralığında olan ve bu nedenle ayrılma noktasını sağlayan tek kökün s=-2.46 olduğu görülmektedir.

45 Kök Yer Eğrisi Çizim Kuralları Örnek: 3. dereceden bir açık çevrim transfer fonksiyonunu ele alalım: Kutup yerleşimleri ve karmaşık kutuplardan biri (p1) civarındaki bir s1 noktasına olan vektör açıları Şekil de verilmiştir. Geometrik yer eğrisi üzerinde, örneğin p1 e çok yakın bir test noktası olan bir s1 noktasında, açı koşulları sağlanmalıdır. p1 in karmaşık eşleniği olan p2 den, bu noktaya gelen vektörün yaptığı açı olan yaklaşık olarak θkarmaşık 2 eşlenik köke dik bir şekilde geldiğinden 90 olacaktır. θ F(s) = G(s)H(s) = K 2 2 ( s + p )( s + 2ζ ω + ω ) 3 ns X p 1 X p 3 0 X p 2 Şekil p 1 e çok yakın bir s 1 test noktası o 1 + θ2 + θ3 = θ θ3 = 180 s 1 n

46 Kök Yer Eğrisi Çizim Kuralları o θ1 = 90 θ3 bulunur. Bu durumda p1 den çıkacak eğri gerçel eksenle o 90 θ3 açı yapacaktır. p1 in karmaşık eşleniği olan p2 den çıkış açısı da θ 1 ile aynı fakat zıt işaretli olacaktır. Benzerşekilde bir sıfıra varış açısı da yine açı koşulundan bulunabilir: Çıkış vektörü X p X p 3 0 X p o Şekil p 1 den çıkış açısı θ 1 = 90 θ3

59 MATLAB ile Kök Yer Eğrisi Çizimi Elle çizilmesi zor olan Kök-Yer eğrileri MATLAB yardımıyla kolaylıkla çizilebilir. Kök Yer Eğrisinin MATLAB ile çizilmesi için izlenecek yol şöyledir: 1- Payı tanımlayın (num veya pay) 2-Paydayı tanımlayın(den veya payda). 3- Kök yer eğrisini çizdirin (rlocus (num, den))

60 MATLAB ile Kök Yer Eğrisi Çizimi Örnek: Aşağıda verilen transfer fonksiyonunun kök yer eğrisini çiziniz. G(s) = k / ( s )*( s^2 + 4s + 8 ) Gerekli Matlab kodu: num = [1]; den = conv ([1 0], [1 4 8]); rlocus (num, den); Grid

61 MATLAB ile Kök Yer Eğrisi Çizimi Root Locus is Im a g in a r y A x i Real Axis

62 MATLAB ile Kök Yer Eğrisi Çizimi Ör:Aşağıda verilen transfer fonksiyonun kök yer eğrisini çiziniz. num = [13]; den = conv ([1400],[145]); rlocus (num, den); grid

63 MATLAB ile Kök Yer Eğrisi Çizimi Root Locus Imaginary Axis Real Axis

64 MATLAB ile Kök Yer Eğrisi Çizimi Ör:Aşağıda verilen transfer fonksiyonun kök yer eğrisini çiziniz. num = [1]; den = conv ([110],[1712]); rlocus (num, den); grid

65 MATLAB ile Kök Yer Eğrisi Çizimi Root Locus Imaginary Axis Real Axis

66 MATLAB ile Kök Yer Eğrisi Çizimi Ör:Aşağıda verilen transfer fonksiyonun kök yer eğrisini çiziniz. pay = [1]; payda = conv ([140],[1832]); rlocus (pay, payda); grid

67 MATLAB ile Kök Yer Eğrisi Çizimi Im aginary Ax is Root Locus Real Axis

68 MATLAB ile Kök Yer Eğrisi Çizimi Aşağıda verilen transfer fonksiyonlarının kök yer eğrilerini MATLAB programını kullanarak çiziniz. Ayrıca istediğiniz 2 TF nin kök yer eğrilerini kendiniz çizerek karşılaştırınız.