KARAYOLU VE DEMİRYOLU PROJELERİNDE ORTOMETRİK YÜKSEKLİK HESABI: EN KÜÇÜK KARELER İLE KOLLOKASYON

Transkript

1 TMMOB Harita ve Kadatro Mühendileri Odaı 13. Türkiye Harita Bilimel ve Teknik Kurultayı 18 Nian 011, Ankara KARAYOLU VE DEMİRYOLU PROJELERİNDE ORTOMETRİK YÜKSEKLİK HESABI: EN KÜÇÜK KARELER İLE KOLLOKASYON Ayhan Ceylan 1, Aydın Ütün 1, Serkan Doğanalp 1, H.Bora Güre 1 Selçuk Üniveritei, Mühendilik Mimarlık Fakültei, Harita Müh.Bölümü, Konya, aceylan@elcuk.edu.tr, autun@elcuk.edu.tr, doganalp@elcuk.edu.tr Selçuk Üniveritei Fen Bil. Entitüü, Konya ÖZET Günümüzde mühendilik hizmetlerine yönelik projelerde nokta yükekliklerinin veya yükeklik farklarının belirlenmeinde uygulanan en geçerli yöntem GPS/Nivelman tekniğidir. Söz konuu teknik, uygulamada doğrudan doğruya kullanılamayan GPS elipoidal yükekliklerinin ortometrik yükekliklere dönüştürülmei eaına dayanır. B.Ö.H.H.B.Ü. Yönetmeliğinde bu iki yükeklik itemi araındaki dönüşüm için işaret edilen yöntemlerde, elde edilecek onuçların doğruluğu eçilen dayanak noktalarının ağ içeriindeki konumuna bağlıdır. Karayolu, demiryolu, kanal vb. mühendilik projelerindeki yer kontrol noktaları, genellikle ınırlı (1 km genişlikte şeritvari bir alan içeriinde dağılmaı nedeniyle çalışma alanı içeriinde ağlıklı bir yüzey modelinin oluşturulmaını güçleştirmektedir. Bu tür şeritvari mühendilik projelerinde, geçki boyunca polinom yüzeyi modeline alternatif olarak ardışık dayanak noktalarından En Küçük Kareler (EKK yöntemine göre kollokayon ile geçirilecek polinom eğrii modeli bir yaklaşım olarak düşünülebilir. Bu çalışmada, yaklaşık 10 km uzunluğundaki Konya Polatlı (Ankara Hızlı Tren Projeine ait GPS/Nivelman verileri En Küçük Kareler ile kollokayon (EKKK yöntemini ea alan polinom eğrii yaklaşımını inceleme amacıyla kullanılmıştır. Projeye ait yer kontrol noktaları, bu çalışmanın amacına uygun olarak dayanak ve kontrol olmak üzere ınıflandırılarak, kontrol noktaların ortometrik yükeklikleri, farklı dereceden eğri ve yüzey polinomu geçirmek uretiyle elde edilen yerel jeoit modeli yardımıyla heaplanmıştır. Ayrıca, aynı noktalardaki ortometrik yükeklikler, bu çalışmada önerilen EKKK kollokayon ile polinom eğrii yaklaşımı ile heaplanmıştır. Uygulama alanında dayanak noktalarının yüzeye dağılımı uygun olmadığından yüzey modelinde üt derecelere çıkılamamıştır. 1. ve. derece yüzey modelleri ile elde edilen değerler ile gerçek değerler araındaki farklara ilişkin tandart apma ±10.0 cm, eğri yaklaşımında ie daha üt dereceden (6.dereceye kadar polinonum eğrii geçirilebilmeine rağmen farklara ilişkin tandart apma ±7. cm heaplanmıştır. Diğer yandan,. dereceden eğri polinomu ile EKK göre kollokayon yaklaşımında ie farklara ait tandart apma ±1. 9 cm olarak elde edilmiştir. Anahtar Sözcükler: GPS/GNSS, Nivelman, Mühendilik Ölçmeleri, Kollokayon, Ortometrik Yükeklik ABSTRACT ORTHOMETRIC HEIGHT DETERMINATION IN STRIP MAP PROJECTS: COLLOCATION WITH LEAST SQUARES Today, in engineering project the current method for determining orthometric height or height difference at vertical control tation i well know GPS/leveling technique. Thi technique i baed on the converion of ellipoidal height which they can not been ued in the engineering urvey into the orthometric height. In the Technical Intruction of Large Scaled Map Production for Turkey, the accuracy of reult to be derived from the method pointed out in the intruction for height tranformation between both ytem depend on the ditribution of reference tation. It i hard or very limited to find thi kind of tation within the zone along project of road, railway, pipeline and etc. In uch project, alternatively a polynomial curve in order to approximate a polynomial urface model can be thought when the ditribution of reference tation i poor along the project line. In thi tudy, GPS/leveling data et of the Konya Polatlı (Ankara Fat Train Project of 10 km length wa utilized in order to invetigate the polynomial approximation baed on the leat quare collocation technique. The project data et wa claified eparately a reference and tet. The orthometric height of the tet tation were computed from the curve and urface model etimated by the leat quare and collocation approximation. The collocation procedure wa performed for curve fitting only. Due to uneven ditribution of reference tation within the project area, the high degree polynomial how ill poed reult at the tet tation. In the urface model with the firt and econd degree, the tandart deviation of the agreement i ±10.0 cm, wherea the polynomial curve model which can be computed up to 6th degree ha given the bet reult with the tandard deviation of ±7. cm. On the other hand, with the collocation method baed on the econd degree polynomial curve, the tandard deviation at the tet tation wa found to be ±1. 8cm. Keyword: GPS/GNSS, Leveling, Survey Engineerimg, Collocation, Orthometric Height 1. GİRİŞ Konum ölçmelerinde nokta yükekliklerinin veya yükeklik farklarının belirlenmei, yatay konum belirlemeye göre kımen daha zor bir ödevdir. Mühendilik hizmetlerine yönelik projelerde bir Harita Mühendiliği uygulamaı olarak yükeklik belirlemeleri için uygulanan yöntemler,

2 Karayolu ve Demiryolu Projelerinde Ortometrik Yükeklik Heabı: En Küçük Kareler İle Kollokayon 1 Geometrik Nivelman Trigonometrik Nivelman 3 GPS/Nivelmanı olarak ıralanmıştır (B.Ö.H.H.B.Ü.Y, 005. Günümüzde uygulanan en geçerli yöntem GPS/Nivelman tekniğidir (Ütün, 00. Söz konuu teknik, uygulamada doğrudan doğruya kullanılamayan GPS elipoidal yükekliklerinin ortometrik yükekliklere dönüştürülmei eaına dayanır. B.Ö.H.H.B.Ü. Yönetmeliğinde bu iki yükeklik itemi araındaki dönüşüm için aşağıdaki yöntemlerden biriyle oluşturulacak jeoit modeli işaret edilmektedir. Bunlar; TG 03 jeoidinin doğrudan kullanılmaı, TG 03 jeoidinin yerel GPS/Nivelman ölçüleriyle güncelleştirilerek kullanılmaı, baz vektörler boyunca elipoit ve TG 03 jeoit yükeklik farklarından heaplanacak ortometrik yükeklik farklarının bir nivelman ağı şeklinde dengelenmei ve yerel GPS/Nivelman jeoit modelinin oluşturulmaıdır. İlki dışında diğer üç yöntemde, onuçların doğruluğu eçilen dayanak noktaların çalışma ahaı içeriindeki konumuna bağlıdır. Öte yandan yukarıda işaret edilen yöntemler belirli bir bölgeye ilişkin topografik haritaların üretimini ea almaktadır. Bu kapamda gerçekleştirilmiş uygulamalara bakıldığında, yönetmelik hükümlerine uygun davranıldığında itenilen doğruluk ölçütlerinin karşılandığı görülmektedir (Kartal, 001; Şanlıoğlu vd., 00; Kılıçoğlu ve Fırat, 003. Ancak, karayolu, demiryolu, kanal vb. şeritvari mühendilik projelerinde yönetmelikte ifade edilen durumların dışına çıkma zorluğu ile karşılaşılır. Şeritvari uygulamalarda, yükeklik bilgiinin üretilmei, genellikle ınırlı ayıda tepit edilebilen veya gerektiğinde bir geçki boyunca nivelman yapılarak ıklaştırılmış dayanak noktalarıyla mümkün olabilmektedir. Bu durum, dar bir alan içeriinde ağlıklı yüzey modelinin oluşturulmaını başka bir deyişle yerel jeoit modelini doğru olarak temil edecek uygun dayanak noktalarının bulunmaını güçleştirmektedir. Bu tür şeritvari mühendilik projelerinde ortometrik yükeklikler, geçki boyunca polinom yüzeyi yerine ardışık dayanak noktalarından EKK yöntemine göre kollokayon (EKKK yüzey eğrii yaklaşımı ile heaplanabilir. Bu araştırmada, şeritvari projelerde elipoidal yükekliklerin ortometrik yükekliklere dönüşümünde uygulanan polinom yüzeyi yaklaşımında karşılaşılan problemlere çözüm getirilmei amaçlanmaktadır. Bunun için Konya Polatlı (Ankara Hızlı Tren Projeine ait veriler yukarıda öz edilen durumun ortaya konulmaı amacıyla kullanılmış ve EKKK yöntemine göre eğri yaklaşımının bir çözüm olarak değerlendirilip değerlendirilemeyeceği ayıal uygulamalar ile irdelenmeye çalışılmıştır.. EN UYGUN ENTERPOLASYON POLİNOMUNUN BELİRLENMESİ Yerel GPS/Nivelman jeoit modelinin oluşturulmaında, ilgili çalışma bölgeinde yeterli ayı ve dağılımda Helmert ortometrik (H ve GRS80 elipoidine göre elipoidal yükekliği (h bilinen dayanak noktalarından yararlanılır. Doğruluk eviyei yükek (birkaç cm böylei noktalara dayanılarak, analitik bir enterpolayon polinomu ile yerel jeoit modeli oluşturulabilir. Dayanak noktalarının dağılımı ve alanın büyüklüğü göz önüne alınarak fonkiyonun enterpolayon polinomu, 3 N ( x = a + a x + a x + a x + L (Eğri ( N ( x, y = a o + a x + a y + a x + a xy + a y + L (Yüzey ( 1 eşitlikleriyle göterilebilir. Jeoit modelini oluşturmak için n adet dayanak noktaında jeoit yükekliği; N = h H (3 eşitliği ile heaplanır. (1 eşitliğine göre bilinmeyenlerin bir fonkiyonu olarak ölçüler, k 1 x 1 x 1...x 1 a 0 N 1 k 1 x x...x a 1 N k A = 1 x 3 x 3...x 3 x = a l = N 3 ( k 1 x n x n...x n a n N n biçiminde düzenlenir. Dayanak noktalarının ayıı bilinmeyen parametre ( a i ayıına eşit olduğu durumlarda A katayılar matrii kare matri çıkar ve problemin tek anlamlı bir çözümü vardır. Ölçü ayıının, bilinmeyen ayıını aştığı durumlarda ie kararız çözüm ortaya çıkar ve tek anlamlı çözüm EKK yöntemi ile 3 4 5

3 T 1 T Ceylan vd. x = ( A A ( A l (5 elde edilebilir. Aranan a i katayılarının belirlenmeiyle eğri denklemi oluşturulmuş olur. Yukarıdaki çözümde ölçülerin başka bir deyişle GPS/Nivelman verilerinin ağırlıklarının eşit olduğu varayılmaktadır. Buna göre, dengeleme onucunda ölçülere gelecek düzeltmeler ve birim ağırlıklı ölçünün tandart apmaı; v = A x l T v v (6 m 0 = n u eşitlikleri yardımıyla heaplanır. Eğri modelinin oluşturulmaından onra güzergah içeriinde jeoit yükekliği bilinmeyen p ayıda nokta için ketirim işlemi uygulanabilir. Bunun için öncelikle ketirim yapılacak noktaların katayılar matrii, k 1 x 1 x x 1 k = 1 x x x A p ( k 1 x p x p x p oluşturulura ketirim onuçları, l p = A p x (8 matri çarpımı ile elde edilir. (4 (8 eşitlikleriyle eğri polinomu için verilen EKK çözümü, ( yüzey polinom eşitliğine dayalı olarak yeniden kolayca düzenlenebilir..1 Polinomun Dereceinin Belirlenmei Yerel jeoit belirleme uygulamalarında, çalışma bölgeine hangi dereceden bir yüzey veya eğri polinomu ile yaklaşılacağı ilk bakışta ketirilemez. Polinomun derecei için üt ınır, ölçü ayıı ve buna karşın bilinmeyen ayıı ile belirlene de uygun polinom derecei genellikle deneyel yollarla aranır. Birinci dereceden başlayarak dengeleme onuçlarının onal itatitikel büyüklükleri (model ve bilinmeyen parametrelerin hata değerleri bu analiz için uygundur. Teorik olarak polinomun derecei arttıkça model ile verilerin birbirine daha fazla yaklaşmaı başka bir deyişle modele ilişkin onal varyan değerinin küçülmei beklenir (Ütün, 001. Ancak kondüyon bozukluklarına bağlı olarak ketirilen parametrelerdeki duyarlık kayıpları model derecei arttıkça model hataının da büyümeine neden olabilmektedir. Bu nedenle model hataının büyümeye başladığı polinom dereceinin bir ekiği uygun polinom derecei olarak görülebilir. Bu durumlar göz önüne alınarak yükek dereceli polinom eçimi onucu oluşabilecek duyarlık kayıplarına karşı doğru eçim yapmaya özen göterilmelidir. Bilindiği üzere en küçük karelerle dengelemede fonkiyonel modeli oluşturan bilinmeyenlerin en uygun değerleri, normal dağılımda olduğu varayılan ölçülerin hatalarının karelerinin toplamının minimum olmaı koşuluna göre belirlenir. Normal dağılımlı olduğu varayılan ölçülerle ketirilen parametreler tet edilmelidir. Uygulanabilir temel itatitikel tetler; model, ketirilen parametreler için anlamlılık ve uyuşumuz ölçü tetleridir (Yiğit, Model Teti m ˆ 0, n ayıdaki ölçünün dengelenmei onucunda elde edilen birim ağırlıklı ölçünün varyanı (onal varyan olun. Model teti, m ˆ 0 onal varyanının dengeleme önceinde ketirilen önel varyan m 0 ile karşılaştırılmaına dayanır ve ıfır hipotezi; m ˆ H 0, 0 m 0 yada m ˆ 0 m 0 (tek yönlü (9 biçiminde öngörülür. χ dağılımlı; ( n u m ˆ 0 T = χ (10 m 0 tet büyüklüğü oluşturulur. Burada u, bilinmeyen parametre ayııdır. T tet büyüklüğü ile anlamlılık düzeyi α ve erbetlik derecei (fazla ölçü ayıı f = n u ya bağlı χ f, 1 α ınır değeri araında T χ f, 1 α eşitizliği geçerli ie hipotez kabul edilir ve modelin uygun olduğuna; model hataı olmadığına karar verilir. Aki durumda öngörülen hipotez reddedilir. Bu, kurulan modelin hatalı olduğu anlamına gelir. Hata, ölçüler ile bilinmeyenler araındaki ilişkiyi tanımlayan fonkiyonel model veya ölçülerin varyan kovaryanlarını tanımlayan tokatik model ekikliğinden kaynaklanabilir. Model hataları, parametreler için anlamlılık teti ve uyuşumuz ölçü teti yapılarak araştırılır (Yiğit, 003.

4 Karayolu ve Demiryolu Projelerinde Ortometrik Yükeklik Heabı: En Küçük Kareler İle Kollokayon.1. Parametreler için Anlamlılık Teti Ketirilen bir parametre x i ve tandart apmaı m ˆ i olun. Parametrenin beklenen değerinin ıfır kabul edilip edilmeyeceğine karar vermek için, H 0 = E ( x i = 0 (11 ıfır hipotezi oluşturulur. Bu hipotez, H 0 = E ( x i 0 (1 eçenek hipotezi karşıında tet edilir. x i tet büyüklüğü t dağılımlıdır. Tet büyüklüğü, t dağılımının erbetlik derecei ve α anlamlılık düzeyine bağlı m ˆ x i f, 1 α güven ınır değerinden küçük çıkara; t x i t f, 1 α / (13 m ˆ x i ıfır hipotezi kabul edilir; ilgili terim polinomdan ilinir. Seçenek hipotezinin geçerli olmaı durumunda ie ketirim değerinin anlamlı olduğu kararına varılır (Ütün, 001; Yiğit, EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİNE GÖRE KOLLOKASYON 3.1 Kollokayon Enterpolayon için kullanılan fonkiyonel model, ölçüleri çoğu kez yeterli incelikte temil etmez. Böyle durumlarda, bait bir fonkiyonel model ile birlikte ölçülerin bu modelden apmalarını ifade eden tokatik model (=kollokayon öngörülmelidir. En genel anlamıyla kollokayon, dengeleme ayeinde bilinmeyen parametrelerin ve enterpolayon problemlerinin bir arada çözüldüğü matematikel bir modeldir. Dolaylı ölçüler yönteminin fonkiyonel modeli, l + v = A x (14 eşitlikleriyle bu modele tokatik bir büyüklük, inyalin eklenmei ile, l + v = A x + (15 biçiminde genişletilebilir. Bu eşitliğe bait kollokayonun fonkiyonel modeli denir. Burada; l : v : n= v : : A x : ölçü vektörünü ölçülere ilişkin ragele dağılımlı korelayonuz hatalar vektörünü, ragele dağılımlı korelayonuz ölçü hatalarını (noie, ragele dağılımlı korelayonlu hatalar vektörünü (inyal, trend, determinitik bölümü temil etmektedir. Kollokayon problemi; Bir dengeleme onucu bir ölçüye ilişkin düzeltmeyi inyal ve gürültü olmak üzere iki bileşene ( v = + n ayırarak, ölçülerden adece korelayonuz hataları (n=noie üzmek Fonkiyonel modeldeki bilinmeyen parametreleri (a 0, a 1, a, belirlemek Ölçü yapılmamış (ketirim yapılacak noktalardaki enterpolayon işlemini gerçekleştirmek Ölçülerin ve aranan büyüklüklerin ortalama hatalarını heaplamak şeklinde özetlenebilir (Demirel, En Küçük Kareler Yöntemine Göre Enterpolayon ve Kollokayon En Küçük Kareler (EKK yöntemine göre kollokayon uygulamalarında tüm işlemler, 1. Trendin belirlenmei. Deneyel kovaryanların heaplanmaı 3. Ketirim yapılacak noktaların inyallerinin ketirilmei olmak üzere üç aşamalı gerçekleştirilir Trendin Belirlenmei En Küçük Kareler yöntemine göre kollokayon işlemine başlamadan önce, ölçüleri modelleyen bir analitik fonkiyon belirlenerek ölçüler bu model üzerinden incelenir. Bir ön dengeleme ile ölçülerden determinitik kımın çıkartılmaıyla

5 Ceylan vd. elde edilen tokatik büyüklükler bize, eçilen fonkiyonun ölçülere ne kadar uygun olacağını göterecektir. Genel olarak ortalama hataı en küçük olan fonkiyonlar eçilir. Seçilebilecek fonkiyon türü, doğru, polinom, pline, veya trigonometrik veya daha yükek dereceden bir fonkiyon da olabilir. Ancak, fonkiyonun dereceinin artmaı fonkiyonel modeldeki bilinmeyen ayıının artmaına neden olacaktır. 3.. Deneyel Kovaryanların Heaplanmaı Kollokayonu, EKK yöntemine göre dengelemeden ayıran özellik, fonkiyonel modele inyallerin eklenmeidir. Aralarında korelayon bulunan inyallerin ve deneyel kovaryanlardan heaplanan kovaryan matrilerinin dengelemeye dahil edilmei gerekir. Bu nedenle dengelemeye başlanmadan önce deneyel kovaryanlardan, ölçü ve ketirim yapılacak noktaların birbirlerine olan uzaklıklarından heaplanan kovaryan matrileri ortaya konulmalıdır. Kovaryan matrilerinin heaplanmaında, ölçülere veya modele uyan deneyel kovaryan fonkiyonlarından yararlanılır. Değişik uzaklık ( q parametrelerine bağlı kovaryan değerlerinin elde edildiği fonkiyona kovaryan fonkiyonu denir. Kullanılan q parametreine bağlı birkaç kovaryan fonkiyonu: a q C = C 0 e (Gau fonkiyonu C 0 C = (Hirvonen fonkiyonu (16 q 1 + q 0 C 0 C = (Lauer fonkiyonu q 0 q Hirvonen fonkiyonu jeodezik çalışmalarda yaygın olarak kullanılır. Bu fonkiyonun kullanılabilmei için C 0, q 0 büyüklüklerinin ketirilmei gerekmektedir. Bunun için, ilk olarak, yapılan n ayıdaki ölçü ve aptanan model fonkiyonu ile EKK yöntemine göre dengeleme yapılır ve bilinmeyenler (5 yardımıyla heaplanır. Stokatik değerler, başka bir deyişle ölçüler ve trend araındaki farklar, z = l A x (17 öngörülen q aralıklarına göre, q Δ q q r q + Δ q (18 değerleri gruplandırılır. Ön dengeleme işleminden elde edilen düzeltmeler yardımıyla (18 aralıklarındaki her bir deneyel kovaryan, [ z i z j ] C z z ( q r = (19 i j n u r eşitliği ile heaplanır. Burada, q r : öngörülen aralığı temil eden uzaklık, n r : bu aralıktaki kenar ayııdır. q aralığının belirlenmeinde noktalar araındaki toplam uzunlukların, toplam kenar ayıına bölünmei yoluna gidilebilir. İlk kovaryan değeri için q r değeri ıfır alınmakta ve; ( q 0 [ z z ] C z i z i r = = (0 n u eşitliği ile deneyel kovaryan heaplanır. Sıraıyla heaplanan bu deneyel kovaryan değerleri gittikçe azalma eğilimi göterirler ve makimum kenar uzunluğu göz önüne alındığında kovaryan değeri ıfıra yaklaşır (Şekil 1. i i Şekil 1:Kovaryan fokiyonu 3..3 Ketirim Yapılacak Noktalardaki Sinyallerin Belirlenmei Ketirim, değerleri bilinen ya da ölçülmüş noktalardan yararlanılarak bilinmeyen noktaların değerlerinin heaplanmaıdır. Kollokayon modelinde ketirilen büyüklükler inyallerdir ve bilinen noktaların inyallerinden ve aralarındaki korelayondan yararlanılır.

6 Karayolu ve Demiryolu Projelerinde Ortometrik Yükeklik Heabı: En Küçük Kareler İle Kollokayon Ön dengeleme ile ölçülerden determinitik kımın çıkarılmaıyla kalan tokatik büyüklük (z, gürültü (n ve inyalden ( oluşmaktadır. Amaç bu tokatik büyüklüklerden inyallerin ayrıştırılmaıdır. Bunun için deneyel kovaryanlar yardımıyla oluşturulan kovaryan fonkiyonu ile inyaller araındaki korelayonu göteren kovaryan matrileri heaplanır. Ölçü (dayanak noktalarındaki inyallere ( iç inyaller, ketirim noktaındakilere ( p dış inyaller denir. Sinyal ölçü hataı gibi ralantıal hata niteliğindedir ve ortalama değeri (ümit değeri ıfıra eşittir. ve p lerin heabı için inyallere ilişkin korelayonlar ya da ağırlık katayıları verilmiş olmalıdır. l i ölçüünün ortalama hataı μ i ie, uygun olarak eçilecek µ abiteiyle ve eçilen kovaryan fonkiyonu ile ölçü noktalarının kendi aralarındaki, ölçü noktaları ile ketirilecek noktalar araındaki ve ketirilecek noktaların kendi aralarındaki korelayon matrileri heaplanır. Ketirilecek nokta ayıı m, ölçü ayıı n ie, iç ve dış inyallerin öz kovaryan matrileri; C ( 0 C... C C 1 1 n ( 0 C... C 1 1 m = C C ( 0... C 1 n C, C C ( 0... C 1 m C = (1 p p C C... C ( 0 n 1 n 1 C C... C ( 0 m 1 m 1 iç ve dış inyaller araındaki çapraz kovaryan matrii ie; C ( 0 C... C 1 1 n = C C ( 0... C 1 n C ( p C C... C ( 0 m 1 m 1 dir. Eşit doğrulukta ve ortalama hataları μ olan ölçülerin kovaryan matrii, C ll = μ n E ( E : Birim matri (3 köşegen matritir. Kovaryan matrileri μ değerine bölündüğünde; Q = C / μ, Q = C / μ, Q = C p p / μ, Q = C p ll ll / μ (4 p p ter ağırlık katayıları matrileri elde edilir. Ölçüler ve inyallerin kovaryan matrileri araında korelayon bulunmadığından hata yayılma kuralı ile, Q = Q + Q (5 ll elde edilir. EKK yöntemine göre dengelemeye geçildiğinde bilinmeyenler; T 1 T 1 x = A Q A A Q (6 bulunur ve inyaller; eşitliklerinden i ve i ( l k = Q 1 ( l A x p (7 n = Q k (8 ll = Q k (9 n elde edilmiş olur. Ketirim yapılacak noktaların inyal değerleri; = Q k (30 p eşitliğiyle, ketirim yapılacak noktaların aranan değerleri ie; L p = A p x + p (31 ile elde edilir. Birim ağırlıklı ölçünün ortalama hataı ie m 0 = ± l k n u (3 bağıntıı ile heaplanır (Wolf, 1977; Öztürk ve Şerbetçi, UYGULAMA 4.1 Uygulama Alanı Uygulama alanı, Konya Polatlı (Ankara Hızlı Tren Projeidir. Proje uzunluğu yaklaşık 10 km dir. Proje alanındaki noktaların 70 i dayanak 40 ı ie kontrol noktaı olarak eçilmiştir (Şekil. p T

7 Ceylan vd. 4. Heaplamalar Şekil : Uygulama alanı 4..1 Yüzey ve Eğri Polinomları Yaklaşımı ile Jeoit Modelinin Oluştur ulmaı Uygulama alanı için eçilen 70 adet dayanak noktaına ait koordinatlar ve jeoit yükeklikleri kullanılarak farklı derecelerden polinom yüzeyi geçirilmiş ve her modele ait tandart apmalar (m 0 heaplanmıştır. Bu aşamada onuçların anlamlılığı model ve parametre tetleri ile ınanmıştır. Oluşturulan her yüzey modeli için 40 kontrol noktaının jeoit yükeklikleri heaplanmış ve gerçek değerler ile karşılaştırılmıştır (Tablo 1. Yüzey polinomu bu uygulama alanında adece 1. ve. deceden geçirilebilmiş daha üt dereceli çözümler için bilinmeyen parametrelerin anlamız onuçlar verdiği görülmüştür. Dayanak noktalarının güzergah üzerinde bulunmaı yani nokta dağılımının düzeniz oluşu yüzey yaklaşımını olumuz etkilemiştir. Gerek model itatitikleri gereke kontrol noktalarında heaplanan ve bilinen jeoit yükeklikleri araındaki karşılaştırmalardan yükeklik hatalarının oldukça büyük değerler verdiği anlaşılmaktadır (Ceylan vd., 010. Tablo 1: Polinom yüzeyi modeline göre model itatitikleri ve kontrol noktaları için karşılaştırma itatitikleri Model itatitikleri Jeoit yükeklik farkları Polinom derecei min max m o min max ort. rm (cm (cm (cm (cm (cm (cm (cm ± ± ± ±10.03 Uygulama alanı için geçki boyunca eçilen 70 adet dayanak noktaına ait kilometreler api, jeoit yükeklikleri ordinat değerleri olarak alınmak uretiyle polinom eğrii geçirilmiştir. Yüzey modeline göre bilinmeyen parametre ayıının az olmaı ayeinde model 6. dereceye kadar yükeltilebilmiştir. Daha üt dereceli yaklaşımlarda parametrelerin anlamlılıkları azalmaktadır. Model hataları polinomun derecei arttıkça beklendiği gibi giderek küçülmüştür. 40 noktada yapılan karşılaştırmalar eğri yaklaşımı ile elde edilen ortalama hata büyüklüğünün (rm yaklaşık ±7cm civarında çıkmaını ağlamıştır. Eğri yaklaşımına ilişkin model itatitikleri ve jeoit yükekliği karşılaştırma onuçları Tablo de verilmiştir. Dayanak noktalarında yüzey ve eğri polinomlarının gerçek jeoit keitine göre uyumu Şekil 3 de göterilmektedir (Ceylan vd., 010. Tablo : Polinom eğrii modeline göre model itatitikleri ve kontrol noktaları için karşılaştırma itatitikleri Polinom Model itatitikleri Jeoit yükeklik farkları derecei min max m o min max ort. rm (cm (cm (cm (cm (cm (cm (cm ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ±7.0

8 Karayolu ve Demiryolu Projelerinde Ortometrik Yükeklik Heabı: En Küçük Kareler İle Kollokayon 4.. EKKK ile Jeoit Modelinin Oluştur ulmaı Şekil 3: Jeoit yükekliklerinin değişimi Ölçü noktalarındaki ( ve ketirim yapılacak noktalardaki ( p inyallerini heaplamak için bunlar araındaki korelayonu tanımlayan bir kovaryan fonkiyonu belirlenmiştir. Kovaryan fonkiyonunun belirlenmeinde deneyel yöntemlerle elde edilmiş varyan ve kovaryan değerleri kullanılmıştır. Bunun için, GPS ve nivelman ölçülerinin önceki doğruluk ölçütlerinden gürültü bileşenine ilişkin varyan değeri μ n = C n ( 0 = 3. 6 cm, inyal ve gürültü bileşenlerini içeren tokatik büyüklüklerin varyanı μ z = C z ( 0 = cm alınmıştır. İkinci büyüklük.dereceden bir polinom eğrii ile gerçekleştirilen ön dengeleme işleminin onal varyan değerine karşılık gelmektedir (Tablo. Bu iki büyüklük araında korelayon olmadığından ölçü noktalarında inyallerin varyan değeri kovaryanların yayılımı kuralı gereğince, ( 0 C = μ = μ z μ n (33 eşitliğinden heaplanabilir. Buna göre inyallerin varyanı C ( 0 = 11. cm dir. Dayanak noktalarında inyaller araı kovaryan değerleri, 4, 8, 10, 0 ve 30 km aralıklarında heaplanmıştır. Noktalar araı uzaklığın fonkiyonu olarak kovaryan değerleri ve bu değerlere uygun Hirvonen fonkiyonu Şekil 4 de görülmektedir. Deneyel kovaryanlar yardımıyla Hirvonen fonkiyonu için elde edilen kritik uzaklık değeri q 0 =8.1 km dir. Şekil 4: Kovaryan fonkiyonu Şekil 5: Jeoit yükekliklerinin değişimi, trend ve kollokayon modeli Seçilen kovaryan fonkiyonuna göre ölçü noktaları ile ketirilecek noktalar araındaki öz ve çapraz kovaryan matrileri (1 (3 eşitlikleri ile heaplanmıştır. Kovaryan matrileri (4 gereğince, (33 den heaplanmış μ değerine bölünerek korelayon matrileri heaplanmıştır. EKK yöntemine göre dengeleme yapılarak bilinmeyenler, inyaller, gürültüler, ketirim yapılacak noktalara ilişkin inyaller ve enterpolayon değerleri (6 (31 eşitlikleri ile bulunmuş, dengeleme işleminin birim ağırlıklı ölçünün ortalama hataı ± cm olarak belirlenmiştir. Dayanak noktalarında kollokayon ile elde edilen değerlerin gerçek jeoit keitine göre uyumu Şekil 5 de göterilmektedir. Jeoit keitinin yön değiştirdiği yerler dışında, kollokayon modeli gerçek jeoit değerleriyle oldukça iyi uyum ağlamıştır. Enterpolayon noktalarına ait gerçek değerler ile EKKK ile elde edilen değerler karşılaştırıldığında, minimum fark 3.9 cm, maximum fark 6.7 cm, farkların ortalamaı 0.4 cm ve farklara ait tandart apma ±1.9 cm olarak elde edilmiştir. Farkların değişimi Şekil 6 da göterilmiştir. Farkların büyük oranda cm ve + cm aralığında toplandıkları şekilden anlaşılmaktadır.

9 Ceylan vd. Şekil 6: Gerçek değer ile EKKK araındaki farklar 5. SONUÇ VE ÖNERİLER Karayolu, demiryolu vb. şeritvari projelerde harita çalışmalarını yürütmek için eçilen dayanak noktaları genellikle proje güzergahı boyunca ilerleyen bir dağılım ergiler. Böylei bir nokta dağılımı GPS/Nivelman yöntemine dayalı yükeklik belirlemeleri için yüzey modeli oluşturulmaını zora okmaktadır. B.Ö.H.H.B.Ü.Y. de yerel jeoit modelinin belirlenmeine ilişkin ealar daha çok belirli bir bölgeye düzgün dağılmış noktalar içindir. Şeritvari projelerde olduğu gibi bir geçki boyunca dağılmış noktalar için yüzey modeli yerine EKKK yöntemine göre yüzey eğrii yaklaşımı izlenebilir. Bu çalışmada gerçek proje verilerine dayalı olarak jeoit modeline polinom eğrii ile yaklaşılmaı amaçlanmıştır. Söz konuu yaklaşım, 10 km uzunluğunda bir geçki olup 70 dayanak, 40 kontrol noktaından oluşmaktadır. Uygulama alanının topografik durumu az engebeli niteliktedir. Uygulama alanında dayanak noktalarının yüzeye düzgün dağılmak yerine bir geçki boyunca eçilmiş olmaı nedeniyle yüzey modelinde üt derecelere çıkılamamıştır. 1. ve. derece modellerden elde edilen değerler ile gerçek değerler araındaki farklara ait tandart apma ±10 cm, eğri yaklaşımında ie daha üt dereceden (6. dereceye kadar polinom eğrii geçirilebilmeine rağmen farklara ait tandart apma ±7. cm olduğu gözlenmiştir. Diğer yandan,. dereceden eğri polinomu ile EKKK yöntemine göre yüzey eğrii yaklaşımında ie farklara ait tandart apma ±1.9 cm olarak elde edilmiştir. Sonuçlar götermektedir ki; karayolu, demiryolu vb. geçki boyunca gerçekleştirilecek projelerde GPS/Nivelman tekniğine dayalı ortometrik yükeklikler, polinom yüzeyi yerine EKKK yöntemine göre yüzey eğrii yaklaşımından daha yükek doğrulukta elde edilebilmektedir. Burada, EKKK yöntemine göre yüzey eğrii yaklaşımında modelden arta kalan düzeltmeler inyallerinin ketirilmeinde önemli bir avantaj ağlamaktadır. Bu ayede ortometrik yükeklikler, modelden elde edilen değer ve ketirilen inyalin toplamı biçiminde ifade edilmektedir. Hirvonen fonkiyonunda geçen kritik uzaklık değeri deneyel yolla aptanmış ve en iyi onuçlara 8.1 km lik kritik uzaklık değeri ile ulaşıldığı görülmüştür. Kollokayon yönteminin bir diğer avantajı da polinom dereceinin çok yükek eçilmei zorunluluğunu ortadan kaldırmaıdır. Bu iş için. dereceden bir polinoma dayalı EKK ile kollokayon uygulamaı yeterli doğruluğu ağlamıştır. KAYNAKLAR Ceylan A., Güre H.B., Ütün A., Doğanalp S., 010. Şeritvari Projelerde Ortometrik Yükeklik Heabı için Polinom Eğrii Yaklaşımı, Harita ve Kadatro Mühendileri Odaı, Mühendilik Ölçmeleri STB Komiyonu, 5. Ulual Mühendilik Ölçmeleri Sempozyumu, 0 Ekim 010, Zonguldak. Ceylan S., 007. Büyük Ölçekli Harita Üretim Çalışmalarında Güncellenmiş Türkiye Jeoidi (TG99A ve Yeni Türkiye Jeoidi (TG 03 ün Doğrudan Kullanılabilirliğinin Araştırılmaı, Selçuk Üniveritei, Fen Bilimleri Entitüü, Yükek Lian Tezi, Konya. Demirel H., Kollokayon, Harita Kadatro Mühendiler Odaı Dergii, (45 47:75 98, Ankara. Demirel H., En Küçük Kareler Yöntemine Göre Predikiyon ve Kollokayon, İ.D.M.M.A., İtanbul (Yayınlanmamış. Kartal A., 001. GPS İle Yükeklik Belirlemede İnterpolayon Yöntemlerine Ait Bir Uygulama, YTÜ Dergii, (1: 7 41, İtanbul.

10 Karayolu ve Demiryolu Projelerinde Ortometrik Yükeklik Heabı: En Küçük Kareler İle Kollokayon Kılıçoğlu A., Fırat O., 003. Büyük Ölçekli Harita Üretiminde GPS İle Ortometrik Yükeklik Belirlemeye Yönelik Jeoid Modelleme ve Uygulamalar, TUJK 003 Yılı Bilimel Toplantıı, Coğrafi Bilgi Sitemleri ve Jeodezik Ağlar Çalıştayı, 4 6 Eylül 003, Konya. Öztürk E., Şerbetci M., 199. Dengeleme Heabı Cilt III, Karadeniz Teknik Üniveritei, Mühendilik Mimarlık Fakültei, yayın no:40, , Trabzon. Şanlıoğlu İ., Ceylan A., İnal C., Çorumluoğlu Ö., 00. Konya Bölgei İçin GPS İle Elde Edilen Elipoidal Yükekliklerden Ortometrik Yükekliklerin Heaplanmaı, Selçuk Üniveritei Jeodezi ve Fotogrametri Mühendiliği Öğretiminde 30. Yıl Sempozyumu,16 18 Ekim 00, Konya. Ütün A., 001. GPS Nivelmanı Yardımıyla Ortometrik Yükekliklerin Elde Edilmeine Yönelik Jeoit Belirleme Yöntemleri. YTÜ Dergii, (1: 6 8, İtanbul. Ütün A., 00. Bölgeel ve Global Yükeklik Sitemlerinin Oluşturulmaında GPS nin Katkıı Üzerine Bir İnceleme: Antalya Samun Mareograf İtayonları Araında GPS Nivelmanı Örneği, Yıldız Teknik Üniveritei, Fen Bilimleri Entitüü, Doktora Tezi, İtanbul. Ütün A., 007. Jeodezide Yaklaşım Yöntemleri: Enterpolayon ve Kollokayon, Yükek Lian Der notları, Konya, (Yayınlanmamış. Wolf H., Kollokayon und Augleichungrechnung, Yıldız Üniveritei Dergii, İtanbul. Yiğit C.Ö., 003. Elipoidal Yükekliklerin Ortometrik Yükekliğe Dönüşümünde Kullanılan Enterpolayon Yöntemlerinin Karşılaştırılmaı, S.Ü. Fen Bil. Entitüü, Y.L. Tezi, Konya. B.Ö.H.H.B.Ü.Y., 005. Büyük Ölçekli Harita ve Harita Bilgileri Üretim Yönetmeliği, Harita ve Kadatro Müh. Odaı, Ankara.