DO RUNUN ANAL T K NCELENMES

Transkript

1 II. ÖLÜM D RUNUN NL T K NELENMES Düzleme vea uzaa noktalar n erinin belirtilmesi amac la çeflitli sistemler gelifltirilmifltir. Geometrinin temel eleman olan nokta, sa ikilisi vea üçlüsüle temsil eilmifltir. az özellikleri olan noktalar kümesinin oluflturu u üzgün geometrik flekiller (o ru, çokgen, çember, elips...) iki vea üç bilinmeenli enklemlerle ifae eilebilmekteir. elirtilen üflünce o rultusuna geometrik flekiller, sa lar ve enklemlerle ifae eilerek matemati in eni bir al olan analitik geometri oluflturulmufltur. ölece baz geometri problemlerinin e iflik bir aklafl mla aha basit çözüm ollar bulunmufltur. u üflüncei ilk kez, 6 l na Frans z matematikçisi ve fiozofu olan Rena Descartes (Rone Dekart ) gelifltirmifl ve çal flmalar n La Geometrie al kitab na a nlanm flt r. Daha sonra gelifltirilen sistemleren en çok kullan lan ik koorinat sistemine Dekart isminen ola kartezen koorinat sistemi e enilmifltir. fiimi ik koorinat sistemini inceleelim. NL T K DÜZLEM Dik Koorinat Sistemi afllang ç noktas na birbirine ik olan iki sa o rusunun oluflturu u sisteme ik koorinat sistemi enir. fiekile; e ata eksen (apsisler ekseni vea ekseni), e üfle eksen (orinatlar ekseni vea ekseni). noktas na bafllang ç noktas (orijin) ve ik koorinat sisteminin belirtili i üzleme ise analitik üzlem a verilir. nalitik üzlemin üzerineki her noktaa R R kümesinin bir eleman (reel sa ikilisi). R R kümesinin her eleman na a üzleme bir nokta karfl l k gelir. Düzleme al nan bir noktas n n ekseni üzerineki ik iz üflümü (a) ve ekseni üzerineki ik iz üflümü (b) noktalar ise (a, b) ile gösterilir. (a, b) R R ikilisine ise, eksenine apsisi a olan noktaan ç k lan ikme ile eksenine orinat b olan noktaan ç k lan ikmelerin kesim noktas karfl l k gelir. Koorinat sistemi analitik üzlemi ört bölgee a r r. nalitik üzleme (a, b) noktas verilsin. noktas ; I. bölgee ise, a > 0 b > 0, II. bölgee ise, a < 0 b > 0, III. bölgee ise, a < 0 b < 0, VI. bölgee ise, a > 0 b < 0, üzerine ise, a R b = 0, üzerine ise, a = 0 b R, noktas ile çak fl k ise, a = 0 b = 0 olur. 4 b (0, b) (a, b) (a, 0) 4 a 4 4 II. ölge I. ölge III. ölge IV. ölge 9

2 Örnek : (, ), (, ), (, ), D(, ), E(4, 0), F(, 0), G(0, ), H(0, ) ve (0,0) noktalar verilior. (,) G(0,) (,) F(,0) E(4,0) (0,0) 4 4 u noktalar anaki analitik üzleme gösterilmifltir. nceleiniz. (, ) H(0, ) D(, ) Örnek : (a, b) noktas analitik üzlemin II. bölgesine ise ( a, b a) noktas hangi bölgeeir? Çözüm : noktas, analitik üzlemin ikinci bölgesine ise a < 0 ve b > 0 r. a > 0 ve b a > 0 olur. u uruma, noktas analitik üzlemin birinci bölgesineir. K NKT RSINDK UZKLIK (, ) ve (, ) verilen iki nokta olsun. [] n n uzunlu unu hesaplaal m: fiekilen; = =, = = olur. ik üçgenine Pisagor teoreminen; = + = ( ) + ( ) (, ) ve (, ) noktalar aras naki uzakl k; = ( ) + ( ) bulunur. (0, ) (0, ) (, ) (, 0) (, 0) (, ) } Örnek : (, 7) ve (, 4) noktalar aras naki uzakl bulal m. Çözüm : (, 7) ve (, 4) noktalar aras naki uzakl k, = ( ) + ( ) = (+ ) + (4 7) = = 5 = 5 birim bulunur. Örnek : (, ) ve (, a) noktalar verilior. = 5 birim ise a e erlerini bulal m. ( Çözüm : = ) +( ) = ( ) +(a +) = 6+(a +) = 5 6+(a +) = 0 (a +) = 4 a += en, a = vea a = bulunur. Örnek : (, ) ve (, a) ve (, ) noktalar verilior. = ise a reel sa s n bulal m. Çözüm : = ( ) +( a) = ( ) +( a) a + a = a + a a = a = bulunur. 0

3 R D RU PRÇSINI VER LEN R RND ÖLEN NKTLRIN KRD NTLRI D [] ve = k ise noktas [] n k oran na içten bölen; D D, D [] ve ise D = n D noktas na a [] n n oran na fltan bölen nokta neir. ir Do ru Parças n elli ir rana çten ölen Noktan n Koorinatlar (, ) ve (, ) noktalar verilsin. [] n k oran na içten bölen ( 0, 0 ) noktas n n koorinatlar n bulal m. = k olsun. fiekilen; D E (.. benzerlik teoremi) D E = D E = = k D E = 0 0 r. = k k k 0 = 0 + k = 0 (+k) 0 (, ) ( 0, 0 ) 0 D 0 0 (, ) E 0 0 = + k + k 0 D E = 0 0 = k k k 0 = 0 + k = 0 (+k) [] n, 0 = + k + k bulunur. = k oran na içten bölen ( 0, 0 ) noktas n n koorinatlar ; 0 = + k + k ve 0 = + k + k olur. ir Do ru Parças n n rta Noktas n n Koorinatlar (, ) ve (, ) noktalar verilsin. [] n n orta noktas ( 0, 0 ) ise; (, ) = olu unan, = k = ir. (, ) ( 0, 0 ) 0 = + k ve 0 = + k eflitliklerine, k= al n rsa; + k + k ( 0, 0 ) noktas n n koorinatlar, 0 = + ve 0 = + bulunur.

4 ir Do ru Parças n elli ir rana D fltan ölen Noktan n Koorinatlar (, ) ve (, ) noktalar için [] n, koorinatlar ; D D = k oran na fltan bölen D( 0, 0 ) noktas n n flekile E = DE D = D D D E D (.. benzerlik teoremi) = k olu unan; E = k 0 = k = 0 0 = k k DE = k = k 0 = k 0 bulunur. D = 0 k 0 (, ) (, ) 0 D( 0, 0 ) 0 E Örnek : (, 4) ve (5, 5) noktalar verilior. [] o ru parças n, = oran na içten bölen nokta noktas n n koorinatlar n bulal m. (, 4) Çözüm : = olu unan, 0 = + k = + k = 9 = ( 0, 0 ) (5, 5) 0 = + k = 4 +.( 5) = 6 bulunur. [] o ru parças n, = oran na içten bölen + k + = nokta (, ) ir. Örnek : (, 4), (, 7) ve (, 9) noktalar verilior. üçgeninin [] kenar na ait kenarorta uzunlu unu bulal m. Çözüm 0 = + : [] n n orta noktas D( 0, 0 ) olsun. = 4 ve 0 = 7 9 UYGULMLR = 8 en D(4, 8) olur. (, 4) bulunur. D = (4 +) + ( 8 4) = = 69 = birim (, 7) D( 0, 0 ) (, 9) Örnek : (, ), (, ), (, ) ve D( 4, 4 ) noktalar verilsin. D paralelkenar ise + = + 4 ve + = + 4 olu unu gösterelim. Çözüm : D paralelkenar na [] [D]= {} olsun. Paralelkenar n köflegenleri birbirini ortala nan; = ve = D olur. ( 0, 0 ) olsun. D( 4, 4 ) ( 0, 0 ) (, ) 0 = + = = + 4 (, ) (, ) 0 = + = = + 4 bulunur.

5 Örnek : (, ), (4, ), ( 7, ) ve D(a, b) noktalar verilior. D paralelkenar na a ve b reel e erlerini bulal m. [D] köflegen uzunlu u ile bu paralelkenar n çevresini hesaplaal m. Çözüm : ir önceki örnekten; + ( 7) = 4 + a a= 0 + = + b b= 6 ve D( 0, 6) olur. ve D noktalar aras naki uzakl k ise; D(a, b) ( 7, ) D = (4+0) +( 6) = 4 +4 = 96+6 = = 5 birim bulunur. = ( 4) +( ) = = 4 birim, (, ) (4, ) = (4 + 7) +( ) = + 8= 0 birim olu unan; Ç(D) = ( + )= ( 4 + 0) = birim bulunur. Örnek : D paralelkenar na; (, 7), (6, ), (a, 4) ve D(, b) ir. E = E ve [DE] []= {P} ise P noktas n n koorinatlar n bulal m. Çözüm : D paralelkenar na, +a = 6 en, a = 6 ve (6, 4) bulunur. E = ve EP DP (.. benzerlik teoremi) en E D(, b) 4k (a, 4) P( 0, 0 ) (, 7) k E k (6, ) E D = P P = 4 P( 0, 0 ), [] n = P P = 4 oran na içten bölen nokta olu unan; + 0 = = = = = = 40 7 P 0 7, 40 7 bulunur. Örnek : Yanaki flekile; E(, ), (, ) ve (, 5) noktalar verilior. E = E ve = D ise ve D noktalar n n koorinatlar n bulal m. Çözüm : ( 0, 0 ) olsun. E, [] o ru parças n n orta noktas olu unan; D E(, ) + 0 = = 5 ve = = 0 (, ) (, 5) ( 5, ) ir. D(a, b) noktas [] o ru parças n, a = b = k.( 5) = = 4 k = 7 k.( ) 0 k k =.( ) D D = 0 = 0 D( 7, 0) = oran na fltan böler. bulunur.

6 LIfiTIRMLR. ( ), (b) ve (5) noktalar verilior. = ise b kaçt r?. fla aki noktalar an analitik üzleme gösteriniz. (, 5) (, ) (, ) D(, 4) E(0, 5) F( 4, 0) G(5, 0) H(0, ). (m n, m.n) noktas analitik üzlemin IV. bölgesine ise (n, m) noktas hangi bölgeeir? 4. fla aki noktalar aras naki uzakl klar bulunuz. a. (, ), (, 4) b. (a, b), (a+, b ) c. (+ñ, ), (ñ+, ) 5. (, 5), (, ) ve (a, a+) noktalar verilior. = ise a e erini bulunuz. 6. Köfleleri (, 4), (4, ) ve (5, 5) olan üçgeni verilior. üçgeninin ikizkenar üçgen olu unu gösteriniz. 7. Köfleleri (, 0), (6, 4) ve (, ) olan üçgeni verilior. u üçgeninin ikizkenar ik üçgen olu unu gösteriniz. 8. (, 0), (, 0) ve (a, b) noktalar verilior. eflkenar üçgen ise b nin pozitif e erini bulunuz. 9. (, ), (a, ) noktalar ve = birim ise a n n alaca e erleri bulunuz. 0. (, ), (, ) ve (a, ) noktalar verilior. = ise a n n tam sa e eri için kaç birimir?. (, ), (a, ) ve (, b) noktalar verilior. noktas [] n n orta noktas ise a ve b e erlerini bulunuz.. (, m+), (, ) ve (n, n ) noktalar o rusal r. = ise kaç birimir?. (, ), ( 7, 5) ve (a, ) noktalar n köfle kabul een üçgeninin köflesinen geçen kenarorta uzunlu u 5 birim ise a n n alaca e erler toplam n bulunuz. 4

7 4. (0, ), (a, a+), (6, 0) ve D(b, a) noktalar verilior. D paralelkenar ise D kaç birimir? 5. fiekileki D ikörtgenine; = D ve P = P ise P noktas n n koorinatlar n bulunuz. D(0,) (,0) P 6. (a+, a+) ve (a, a+) noktalar verilior. P(, ) noktas [] n n orta noktas ise ve aras naki ba nt bulunuz. 7. Yanaki üçgenine; D = D ve E = E ir. D(, ) E(,5) Verilenlere göre noktas n n (,4) koorinatlar n bulunuz. R D RUNUN E M ÇISI VE E M Dik Üçgene Dar ç n n Trigonometrik ranlar fiekileki ik üçgenine; m(ë)= 90, m(ë)= α olsun. α n n tirgonometrik oranlar ; sinα= karfl ik kenar uzunlu u hipotenüs uzunlu u = = b c, c b cosα= komflu ik kenar uzunlu u hipotenüs uzunlu u = = a c, α a tanα= karfl ik kenar uzunlu u olur. komflu ik kenar uzunlu u = = b a, Yukar a az l oranlaran; sinα cosα tanα= (cosα 0), cotα=, (sinα 0) ve cotα= olu u görülür. cosα sinα tanα Tümler aç laran olan birinin sinüsü i erinin kosinüsüne, birinin tanjant i erinin kotanjant na eflittir. 5

8 az özel aç lar n trigonometrik oranlar n bulal m. ir kenar uzunlu u birim olan eflkenar üçgenini ve [H] üksekli ini çizelim. H ik üçgenine; m(ë) =60, m( Hé) = 0, = birim, H = birim ve Pisagor teoremien; H = ñ birim olur. H H sin 0 =, sin 60 =, = = 0 cos 0 = H, cos 60 = H, = = H H tan 0 =, tan 60 =, H = = H = H 60 cot 0 =, cot 60 = tür. tan60 = tan0 = Dik kenarlar n n uzunluklar eflit ve birim olan ik üçgenini çizelim. m(ë)= m(ë)= 45 ve Pisagor teoreminen, = ñ birim olur. sin 45 = = = 45 cos 45 = = = tan 45 = = 45 cot 45 = tan 45 = ir. R M (T RGNMETR K) ÇEMER Merkezi orijin ve ar çap birim olan çembere birim çember enir. irim çember üzerine bir P noktas alal m. [P n n noktas na çembere te et olan o ruu kesti i nokta T olsun. m(ét)= α ise; P noktas n n apsisine α aç s n n kosinüsü; orinat na, α aç s n n sinüsü ve T noktas n n orinat na a α aç s n n tanjant enir. (0,) P α P T(, tanα) (,0) P(cosα, sinα) ve T(, tanα) r. P noktas ile çak fl k ise, α= 0 ir. (, 0) olup; sin0 = 0, cos0 = ve tan0 = 0 r. P noktas ile çak fl k ise, ve α= 90 ve (0, ) olup; sin 90 =, cos90 = 0 ve tan90 tan ms z r. ([] // [T]) fiekile; P = cosα, PP = sinα, T = tanα, = ve 6

9 P P T (.. benzerlik teoremi) olu unan, uraan, tanα = sinα cosα olu u görülür. P P T = P sinα tanα = cosα bulunur. PP ik üçgenine, P + PP = P cos α + sin α = ir. [P orijin etraf na önürülü üne, P noktas n n apsisleri ve orinatlar [, +] aral na olu unan; sinα, cosα ve tanα R ir. fiimi e genifl aç lar n trigonometrik oranlar n, ar aç lar n trigonometrik oranlar cinsinen ifae eelim: 0 < α < 90 olmak üzere; 80 α aç s na, birim çember üzerine karfl l k gelen nokta Q olsun. fiekilen; P P Q Q (ik üçgen eflli i) QQ = PP ve sin (80 α) = sinα, QP = QQ ve cos (80 α) = cosα r. T T (ik üçgen eflli i) T = T ve tan(80 α) = tanα, cot(80 α) = cotα olur. Q 80 α α Q α P P T T Örnek : Ölçüleri 0, 5 ve 50 olan aç lar n trigonometrik oranlar n, ar aç lar n tirgonometrik oranlar cinsinen azarak hesaplaal m. Çözüm : sin0 = sin(80 60 ) = sin60 =, sin5 = sin(80 45 ) = sin45 =, cos0 = cos(80 60 ) = cos60 = ±, cos5 = cos(80 45 ) = cos45 =, tan0 = tan(80 60 ) = tan60 = ñ, tan5 = tan(80 45 ) = tan45 = olur. 50 nin trigonometrik oranlar n siz bulunuz. ir Do runun E im ç s ve E imi Tan m : nalitik üzleme bir o runun eksenile pozitif öne apt aç a, o runun e im aç s ve bu aç n n tanjant na a o runun e imi enir. ir o rusunun e im aç s α ise, bu o runun e imi m= tanα r. α α 0 < α < 90 ise m= tanα > 0 olur. 90 < α < 80 ise m= tanα < 0 olur. 0 ve α= 0 ise m= tanα = 0 olur. 0 ve α= 90 ise m= tan90 tan ms z r. 7

10 Örnek : Yanaki flekile verilen ve o rular n n e imlerini bulal m. Çözüm : o rusu ekseni ile pozitif öne; 80 0 = 50 lik aç apt nan e ik aç s α = 50 ve e imi, m = tanα = tan50 = tan(80 0 ) = tan0 = o rusu ekseni ile pozitif öne; olur. 5 θ 0 α 80 5 = 45 lik aç apt nan e im aç s θ = 45 ve e imi, m = tanθ = tan45 = olur. D RUNUN DENKLEM ir o rusu üzerineki herhangi bir nokta P(, ) olsun. ve aras naki ba lant a bu o runun enklemi enir. ir o runun enklemi, e imi ve herhangi bir noktas vea farkl iki noktas bilini ine belirliir. E imi ve ir Noktas ilinen Do runun Denklemi (, ) noktas nan geçen ve e imi m olan o rusu üzerine herhangi bir nokta P(, ) olsun. P(,) m P = m ise; m= olu unan, (, ) noktas nan geçen ve e imi m olan α (, ) o runun enklemi, = m( ) ir. Örnek Çözüm : (, 5) noktas nan geçen ve e imi m = olan o ru enklemini azal m. : E imi m ve (, ) noktas nan geçen o ru enklemi, = m( ) ir. = m( ) 5 = (+) = + vea += 0 bulunur. Örnek : (, ) noktas nan geçen ve e im aç s n n ölçüsü α = 0 olan o runun enklemini azal m. Çözüm : m = tanα = tan0 = tan(80 60 ) = tan60 = ñ ür. = m( ) = ñ( ) = ñ+ñ+ en, istenen o runun enklemi, ñ + ñ = 0 olur. 8

11 ki Noktas ilinen Do runun Denklemi Farkl iki noktas (, ) ve (, ) olan o rusu üzerine herhangi bir nokta P(, ) olsun. (, ) P(,) m = m P = olup (, ) (, ) ve (, ) noktalar nan geçen o runun enklemi, = olur. Örnek : (, ) ve (, 5) noktalar nan geçen o runun enklemini azal m. Çözüm : (, ) ve (, 5) noktalar nan geçen o runun enklemi; = + 5 = = = 0 bulunur. vea m = 5 + = 7 4 e imli ve (, ) noktas nan geçen o ru enklemi, = m( ) + = 7 7 ( ) = 7+4 = 0 flekline e bulunabilir. Eksenleri Kesti i Noktalar ilinen Do runun Denklemi eksenini (a, 0) ve eksenini (0, b) noktalar na kesen o runun enklemi, = a a 0 = 0 0 b a = b b bulunur. a + b = a Örnek : Yanaki flekile verilen o rusunun enklemini azal m. Çözüm : = ve a + b a =, b = olu unan; flekileki o runun enklemi, + = + = 6 vea +6 = 0 olur. 9

12 Eksenine Paralel Do rular n Denklemi eksenine paralel o rusu eksenine orinat b olan noktaa ik olsun. u o ru üzerineki bütün noktalar n orinatlar b ve o runun e imi m = 0 olur. (0, b) noktas nan geçen ve e imi 0 olan o runun enklemi b = 0 vea = b ir. Özel olarak; ekseninin enklemi = 0 olur. b P(,) Eksenine Paralel Do rular n Denklemi eksenine paralel o rusu, eksenine apsisi a olan noktaa ik olsun. u o ru üzerineki bütün noktalar n apsisleri a ve P(,) o runun e imi tan ms z r. m P = 0 a ifaesinin tan ms z olabilmesi için, a = 0 = a olmal r. eksenine paralel, apsis eksenini (a, 0) noktas na kesen o runun enklemi, = a r. Özel olarak; ekseninin enklemi = 0 olur. a rijinen Geçen Do rular n Denklemi =m rjinen geçen ve e imi m olan o ru üzerine P(,) herhangi bir nokta P(, ) olsun. (0, 0) en geçen ve e imi m olan o ru enklemi, 0 = m( 0) vea = m fleklineir. Özel olarak; = m o rusuna m= ise = = e im aç s 45 olaca nan, = o rusuna, I. aç orta o rusu ve m = ise e im aç s 5 olaca nan, = o rusuna a II. aç orta o rusu enir. Örnek : (, ) noktas nan geçen ve an zamana; a. eksenine paralel, b. eksenine paralel, c. rijinen geçen o ru enklemlerini azal m. Çözüm : a. eksenine paralel, (, ) noktas nan geçen o runun enklemi; = b en, = ir. b. eksenine paralel, (, ) noktas nan geçen o runun enklemi; = a an, = tür. c. (0, 0) ve (, ) noktas nan geçen o runun enklemi; = m en, = m m = ve = vea + = 0 olur. 40

13 Denklemi ilinen Do runun E imi (, ) noktas nan geçen ve e imi m olan o runun enklemi; = m( ) = m m + ir. u eflitlikte m = n enirse; = m+n enklemi ele eilir. uraaki m, o runun e imiir. r ca bir o ru; a ve b en en az biri s f ran farkl olmak üzere, a + b + c= 0 flekline ifae eilebilir. Denklem, = önüflür. a b c b, (b 0) flekline üzenlenirse; = m+n o ru enklemine a c Denkleme, m= ve n= olu una ikkat eilmeliir. b b Örnek : Denklemi = ñ + 5 olan o runun e imini ve e im aç s n n ölçüsünü bulal m. Çözüm : = ñ + 5 o rusunun e imi m = ñ ve m = tanα = ñ olu unan, α = 0 bulunur. Örnek bulal m. : Denklemi ñ + = 0 olan o runun e imini ve e im aç s n n ölçüsünü Çözüm : ñ + = 0 o rusunun e imi m = a ve b = = olu unan; e im aç s α = 0 olur. m = tanα = Örnek : (p + 4) + (p ) + = 0 o rusunun e im aç s n n ölçüsü 45 ise p e erini bulal m. Çözüm a p + 4 : m = = ve m = tan45 = olu unan; p + 4 b p p = p + 4 = p p = en, p = bulunur. irbirine Paralel vea Dik lan Do rular n E imleri ras naki a nt lar α θ θ α // α = θ r. (önefl aç lar) α = 90 + θ tanα = tanθ an. tanα = tan(90 + θ) m = m olur. tanα = tanθ tanα.tanθ = m.m = ve o rular paralel ise e imleri eflittir. m = m olur. ve o rular ik ise e imleri çarp m ir. m. m = olur. 4

14 Örnek bulal m. Çözüm : : + (p + ) = 0 ve : + (p ) + 5 = 0 o rular paralel ise p e erini : : + (p + ) = 0 ve : + (p ) + 5 = 0 o rular n n e imleri; m = ve m = ir. // olu unan; m = m ir. p + p p + = p p 6= p + en, p= 8 bulunur. Örnek : = o rusu, a + (a ) + = 0 o rusuna ik ise a n n e erini bulal m. a Çözüm : = m = ve a + (a ) + = 0 m = olur. a Do rular ik olu unan; m.m =. a a = a = a en, a = bulunur. Örnek : (, 4) noktas nan geçen ve + 5 = 0 o rusuna paralel olan o runun enklemini bulal m. Çözüm : + 5 = 0 o rusunun e imi m = ir. u o rua paralel olan o runun e imi m = m = olur. (, 4) noktas nan geçen ve e imi olan o runun enklemi; 4 = ( + ) 8= + 9 an, + 7 = 0 bulunur. Örnek Çözüm : fiekileki P(, ) noktas na [P] na ik olan o rusunun enklemini bulal m. : (0, 0) ve P(, ) olu unan; m P = ir. [P] ise m = = = ir. m P P(, ) noktas nan geçen ve e imi m = olan o runun enklemi; = ( + ) en, + 5 = 0 bulunur. P(,) DENKLEM VER LEN D RUNUN GRF. Denklemi = m + n içimine lan Do runun Grafi i = m + n o rusu üzerineki bütün noktalar kümesi; β = {(, ) = m + n, m, n R ve (, ) R R} ba nt s n n elemanlar r. β ba nt s n n elemanlar n n analitik üzlemeki gürüntüler kümesine, = m + n o rusunun grafi i enir. ir o ru farkl iki noktas bilini ine belirli olu unan; o runun grafi ini çizmek için herhangi iki noktas bulunur. u noktalar analitik üzleme belirlenerek grafik çizilir. Genellikle bu iki noktan n o runun eksenleri kesti i noktalar olmas grafik çizimine kolal k sa lar. unun için o runun enklemine, = 0 için ve = 0 için e erleri bulunarak o runun eksenleri kesti i (0, ) ve (, 0) noktalar ele eilir. u noktalar analitik üzleme belirtilerek birlefltirilirse o runun grafi i çizilmifl olur. 4

15 Örnek : Denklemi = + 4 olan o runun grafi ini çizelim. = + 4 Çözüm : = + 4 enklemine; = 0 için = 4, = 0 için = olu unan; verilen o runun eksenleri kesti i noktalar olan (0, 4) ve (, 0) noktalar analitik üzleme belirtilerek birlefltirilirse grafik çizilmifl olur. (,0) (0,4). Denklemi a + b + c = 0 lan Do runun Grafi i a) a + b + c = 0 enklemine; a 0, b 0 ve c 0 ise o runun eksenleri kesti i = 0 = ve 0, c c ile b b = 0 = ve c noktalar bulunur. a, 0 c a u noktalar analitik üzleme belirtilerek birlefltirilirse grafik çizilmifl olur. Örnek : + 6= 0 o rusunun grafi ini çizelim. (0,) Çözüm : + 6= 0 enklemine; = 0 için = ve (0, ), = 0 için = ve (, 0) noktalar bulunur. (,0) u noktalar analitik üzleme belirtilerek grafik çizilir. + 6= 0 b) a + b + c = 0 enklemine; a 0, b 0 ve c = 0 ise enklem, a + b = 0 vea = a b olur. u enklemin e imi m = a b olan ve orijinen geçen o rular belirtir. Örnek : = 0 enklemi ile verilen o runun grafi ini çizelim. Çözüm : = 0 enklemine; = 0 için = 0 ve (0, 0) = için = ve (, ) olur. u noktalaran geçen o rusunun grafi i flekileki gibiir. = 0 (,) 4

16 c) a + b + c = 0 enklemine; a = 0, b 0 ve c 0 ise enklem, b + c = 0 ve = olur. u o ru eksenine paralel 0, c c noktas nan geçen b b o ruur. Örnek : + = 0 enklemi ile verilen o runun grafi ini çizelim. Çözüm : = ise, 0, noktas nan geçen eksenine paralel o runun grafi i flekileki gibiir. 0, = ) a + b + c = 0 enklemine; a 0, b = 0 ve c 0 ise enklem, a + c = 0 ve = olur. u o ru, eksenine paralel c noktas nan geçen a, 0 c a o ruur. Örnek : = 0 enklemi ile verilen o runun grafi ini çizelim. Çözüm : = ise, noktas nan geçen, 0 eksenine paralel o runun grafi i flekileki gibiir., 0 = e) a + b + c = 0 enklemine; a = 0, b 0 ve c = 0 ise enklem, b = 0 vea = 0 olur. u o runun grafi i ekseniir. f) a + b + c = 0 enklemine; a 0, b = 0 ve c = 0 ise enklem, a = 0 vea = 0 olur. u o runun grafi i ekseniir. Örnek : (, ) ve (, 4) noktalar nan geçen o runun eksenleri kesti i noktalar aras na kalan o ru parças n n uzunlu unu hesaplaal m. Çözüm : o rusunun enklemi; 4 + m = en, + = ( ) + 5 = 0 bulunur. = Eksenleri kesti i noktalar; 5 = 0 için = ve P 0, 5 5 = 0 için = ve Q 5 olur., 0 uraan PQ = =.5 6 = 5 6 birim bulunur. 44

17 Örnek : fiekile; = ve üçgeninin alan birimkare ise grafi i verilen o rusunun enklemini bulal m. Çözüm : a R ve b R + olmak üzere; (a, 0), (0, b) ir. = a, = b, b = a a ( ) =. = ( a).b = ( a). = a = 48 a = 6 a = 4 ve b = 6 bulunur. ( 4, 0), (0, 6) noktalar nan geçen o rusunun enklemi, = + = 0 vea + = 0 olur. LIfiTIRMLR. fla a verilen nokta çiftlerinen geçen o rular n e imlerini bulunuz. a. (0, ) b. (4, ) c. E(, ). G(, 4) (, 0) D(, 5) F(, ) H(, ). ( 5, 4) ve (, ) noktalar verilior. o rusunun e im aç s n bulunuz.. (ñ, ) ve ( ñ, n) noktalar verilior. o rusunun e im aç s n n ölçüsü 50 ise n sa s n bulunuz. 4. (, 4), (, ) ve (n, n ) noktalar an o ru üzerine ise n sa s n bulunuz. 5. fla a bir noktas ve e imi verilen o ru enklemlerini az n z. a. (, ) b. (, 5) c. (4, ). D(0, ) m = m = m = 0 m = 6. fla a bir noktas ve e im aç lar n n ölçüsü verilen o rular n enklemlerini az n z. a. (, 5) b. (, 4) c. (, ). D(, 0) α = 0 α = 45 α = 90 α = 0 7. fla aki nokta çiftlerinen geçen o rular n enklemlerini az n z. a. (, 0) b. (, ) c. E(, ). K(5, ) (0, ) D(, 4) F(, ) L(5, 5) 8. ( 4, ) noktas nan geçen ve an zamana a. eksenine paralel, b. eksenine paralel, c. rijinen geçen o rular n enklemlerini bulunuz. 9. ( 5, ) noktas, + p + p = 0 o rusu üzerine ise p kaçt r? 0. fla aki grafikleri verilen o rular n enklemlerini az n z. a. b. c fla a enklemleri verilen o rular n grafiklerini çiziniz. a. + = 0 b. = c. 6 = = 0. fla a enklemleri verilen o rular n e imlerini bulunuz. a. = 5 b. = ñ + 4 c = = 0. a (a + ) = 0 o rusunun e im aç s n n ölçüsü 60 ise a e erini bulunuz. 45

18 4. (, ), (, 5) ve (4, ) noktalar verilior. a. üçgeninin kenar na ait o rular n n, b. üçgeninin kenarorta o rular n n enklemlerini az n z. 5. (5, 6), (, ), (a, 5) ve D(, a + ) noktalar verilior. // D ise a bulunuz. 6. (, 5), (, ) ve (m, ) noktalar verilior. ise m kaçt r? 7. (m ) m + 5 = 0 ve = m o rular birbirine paralel ise m kaçt r? = 0 o rusu ile m + (m + ) 5 = 0 o rusu birbirine ik ise m kaçt r? 9. ( 5, 4) noktas nan geçen ve = o rusuna paralel olan o runun enklemini az n z. 0. (0, ) noktas nan geçen ve = 0 o rusuna ik olan o runun enklemini az n z.. (, ) ve (, 4) noktalar na eflit uzakl kta bulunan noktalar n geometrik erinin enklemini az n z.. Yanaki flekile; verilior. P noktas n n koorinatlar n bulunuz. P. Yanaki flekile; = {},, (, ) ve D(0, 5) ise kaç birimir? (, ) D(0, 5) 4. Yanaki flekile; = {},, = 4 verilior. üçgeninin alan kaç birimkareir? (0, 4) s 5. Yanaki flekile, bir a ac n t ( l) zaman na ba l olarak s (metre) bounun e iflimini veren grafi i çizilmifltir. u a ac n 5 l sonra bou kaç metre olur? 4 (, 4) t 46

19 K D RUNUN R R NE GÖRE DURUMLRI : a + b + c = 0 ve : a + b + c = 0 o rular verilsin: a a) = b = c ise ve o rular n n eksenleri kesti i noktalar an olu unan bu a b o rular çak fl kt r ( = ). a b) ise a = a = b c m = m olur. a b b u uruma, ve o rular paralelir ( // ). a c) b ise m m olu unan, o rular bir noktas na kesiflir. noktas n n a b c c koorinatlar o ru enklemleri ortak çözülerek bulunur. b Örnek : : + = 0 ve : = 0 o rular n n çak fl k olu unu gösterelim. Çözüm : + = = 0 enklemlerine kat sa lar aras na; = 4 = 6 oran olu unan o rular çak fl kt r. Yani = ir. Do rular n çak fl k olu unu grafiklerini e çizerek gösterelim. + = 0 enkleminen; = 0 için = ve 0,, = 0 için = ve (, 0) olur = 0 enkleminen e = 0 için = ve 0,, = 0 için = ve D(, 0) eksenleri kesti i noktalar bulunur. ile ve ile D an noktalar olu unan, o rular n grafikleri an r. Örnek : : = 0 ve : a + (a ) 6 = 0 o rular paralel ise a e erini bularak grafiklerini çizelim. Çözüm : // a = 4 ve a = a o rusunun enklemi, = 0 bulunur = 0 enklemine, = 0 için = 4, = 0 için = olur = 0 enklemine, = 0 için =, = 0 için = ulunan noktalar eksenlere belirtilerek o rular n grafikleri çizilir. olur. 4 47

20 Örnek : : + = 0 ve : ++ = 0 o rular n n grafiklerini çizerek kesim noktas n n koorinatlar n bulal m. Çözüm : + = 0 enkleminen, = 0 için =, = 0 için = olur. ++ = 0 enkleminen, = 0 için =, = 0 için = bulunur. Grafikte; = {} ise, ve o rular n n enklemlerini ortak çözerek noktas n n koorinatlar n bulal m; + = 0 + += 0 Denklemler taraf tarafa toplan rsa +=0 = ve = olur. Do rular n kesim noktas ise (, ) bulunur. Örnek : Yanaki flekile ve o rular n n grafikleri verilmifltir. = {} ir. a. noktas n n koorinatlar n, b. ve ED üçgenlerinin alanlar n, c. E örtgeninin alan n bulal m. Çözüm : a. o rusunun enklemi, o rusunun enklemi, bulunur. Denklemleri ortak çözelim. + 6=0 4=0 Denklemler taraf tarafa toplan rsa b. üçgeninin [] kenar na ait üksekli i n n orinat n n mutlak e eri olan birimir. 4 = birim olu unan, (ÿ) = birimkareir. ED üçgeninin [DE] kenar na ait üksekli i n n apsisinin mutlak e eri olan DE = 5 birim olu unan, (ÿed) = + = + 6 = 0, 4 + = 4 = 0 4 = 0 = 5 ve = 4 bulunur. 5, olur = = 5 4 birimkareir. Siz e üçgenlerin köflelerinin koorinatlar nan ararlanarak bu alanlar hesapla n z. c. (E) = (ÿe) (ÿ) = birimkare bulunur = 4 48 D E 4 4 birimir.

21 Örnek : Köflelerinin koorinatlar (, ), (, ) ve (, ) olan üçgeni verilior. Üçgenin üksekliklerini tafl an o rular n enklemlerini azarak kesim noktas n n koorinatlar n bulal m. (, ) Çözüm D o rusuur. : noktas nan geçen üksekli i tafl an o ru, m = = ve [D] [] olu unan; E H m D = ir. (, ) noktas nan geçen ve üksekli i tafl an (, ) D (, ) o runun enklemi, + = ( ) + 5 = 0 r. enzer flekile; m = + = 5 ve (, ) noktas nan geçen üksekli in e imi, [] [E] olu unan, m = tir. E o rusunun enklemi ise = ( +) = 0 olur. E 5 5 ir üçgenin ükseklikleri bir tek noktaa kesiflece inen, iki üksekli in kesim noktas n bulmak eterliir. + 5 = 0 ve 5+6 = 0 enklemleri ortak çözülürse; = 7 ve = 7 olu unan üksekliklerin kesim noktas, H bulunur. 7, 7 Siz e [] kenar na ait ükseklik enklemini az n z. u üksekli in H noktas nan geçti ini gösteriniz. Örnek : Yanaki flekile, (, ) ve (0, 4) noktalar verilior. una göre, o rusunun eksenlerle oluflturu u üçgenin alan n bulal m. Çözüm : (, ), (0, 4) noktas nan geçen o rusunun e imi, m = 4, m = ir. 0 + = (, ) noktas nan geçen ve e imi m = olan o rusunun enklemi, = (+) = + olur. Eksenleri kesti i noktalar, =0 için =, =0 için = ve (0, ), D(, 0) olur. uraan (ÿd) =. D =.. = birimkare bulunur. 4 H(0, ) D K D RU RSINDK ÇI Denklemleri : a + b + c = 0 ve : a + b + c = 0 olan ve o rular verilsin. o rusunun e imi ve e im aç s α ise, m = tanα r. o rusunun e imi m = a m = a ve b e im aç s β ise m = tanβ olur. 49 b

22 ve o rular aras naki aç laran birisinin ölçüsü θ olsun. fiekileki üçgenine; α = θ+β θ = α β tanθ = tan(α β) olacakt r. tanα tanβ tan(α β)= olu unu matematik ersine trigonometri + tanα.tanβ konusuna göreceksiniz. tanα = m ve tanβ = m e erleri erine az l rsa; β θ α ve o rular aras naki aç n n tanjant, tanθ= m m olur. +m.m tanθ > 0 ise, ve o rular aras naki aç laran ar olan n, tanθ < 0 ise, ve o rular aras naki aç laran genifl olan bulunur. θ = 0 ise, tanθ = 0 olu unan m = m // ve θ = 90 ise, tanθ tan ms z olu unan m.m + = 0 olu unu görürüz. Örnek : +5 = 0 ve + = 0 o rular aras naki ar aç n n ölçüsünü bulal m. Çözüm : +5 = 0 m = + = 0 m = ir. tanθ = m m = +m.m +. = 5 5 = olu unan; tan45 = olup, u uruma verilen o rular aras naki ar aç n n ölçüsü θ = 45 bulunur. Örnek : : ñ +6 = 0 ve : + = 0 o rular aras naki aç n n ölçüsünü bulunuz. Çözüm : m = = = tanα α = 60 m = = = tanθ θ = = 60 = 5 olur. LIfiTIRMLR. a + (b ) + 6 = 0 ve (a 6) + ( b) = 0 o rular çak fl k ise a ve b sa lar n bulunuz.. fla a verilen o ru çiftlerinin kesim noktalar n bulunuz. a. = b. = 4 c. = = 0 ++ = 0 +5 = = 0 + = 0. +m = 0 ve n +5 = 0 o rular ekseni üzerine ik kesifliorlar ise, m ve n e erlerini bulunuz. 50

23 4. Yanaki flekile, = m ve = o rular ile ekseninin oluflturu u üçgenin alan birimkare ise m e eri kaçt r? = m = 5. Yanaki flekile;, = {} ir. Verilenlere göre noktas n n koorinatlar n bulunuz. 6. (, ), ( 5, 4), (, 6) noktalar verilior. üçgeninin köflesinen geçen ükseklik ile köflesinen geçen kenarorta n kesim noktas n bulunuz. 7. Yanaki flekile; ve o rular n n grafikleri verilmifltir. a. = {} ise, noktas n n koorinatlar n, b. D ve E üçgenlerinin alanlar n, c. D örtgeninin alan n bulunuz. 5 5 D 4 E 8. (, ), (, 9) noktalar verilior. [] n n orta ikmesinin eksenlerle oluflturu u üçgenin alan n bulunuz. 9. Yanaki flekile; ve bankalar na at r lan paralar n faizi ile birlikte e iflimini t( l) zaman na ba l olarak veren grafik çizilmifltir. Kaç l sonra bankalaraki toplam para miktarlar eflit olur? s (bin TL) t ( l) = 0 ve + = 0 o rular aras naki ar aç n n tanjant n bulunuz.. = m+ ve = ñ+ o rular aras naki genifl aç n n ölçüsü 50 ise m e eri kaçt r? 5

24 R NKTNIN R D RUY LN UZKLI I (, ) noktas n n a + b + c= 0 o rusuna olan uzakl ; H = a + b + c a + b olur. a+b+c = 0 (, ) H Örnek : (, 5) noktas n n 4 + 8= 0 o rusuna olan uzakl n bulal m. Çözüm : = a + b + c 4. ( 5)+ 8 = = 5 birimir. a + b 4 +( ) 5 = 7 Örnek : (, a) noktas n n + = 0 o rusuna olan uzakl ñ birim ise a e erlerini bulal m. Çözüm : = + a + = ñ a = 6 a = 6 a = 8 vea a = 6 a = 4 bulunur. Örnek : (, ) noktas n n k= 0 o rusuna uzakl birim ise k sa lar n bulal m. Çözüm : 5.( )+. + k = 5 + = 9 + k = k = 6 k = 7 vea 9 + k = 6 k = 45 olur. Örnek : (, ), (4, ) ve (, ) noktalar n köfle kabul een üçgeninin üksekliklerinin uzunluklar n bulal m. Çözüm : noktas nan geçen üksekli in uzunlu u, noktas n n [] na olan uzakl r. nin enklemi = 0 olur. + = 4 4 an geçen üksekli in uzunlu u h a = + = = + ( ) Di er köfleleren geçen üksekliklerin uzunluklar n a siz bulunuz. birimir. Örnek : + 5 = 0 o rusunun (, ) noktas na en ak n noktas n n koorinatlar n bulal m. Çözüm : (, ) noktas n n + 5 = 0 o rusuna en ak n + 5= 0 noktas olsun. noktas. noktas n n bu o ru üzerine ik iz üflümüür. m = m = olu unan; o rusunun enklemi, = + = 4 olur. (, ) = 4 ve + = 5 enklemlerinin ortak çözümünen; 9 = ve = en, olur., 9 5

25 Paralel ki Do ru ras naki Uzakl k : a + b + c = 0 ve : a + b + c = 0 paralel o rular verilsin. // olu unan o rular n biri üzerine al nan herhangi bir noktan n i er noktaa olan uzakl, bu o rular aras naki uzakl verir. (, ) noktas o rusu üzerine herhangi bir nokta ise; ve o rular aras naki uzakl k; Vea verilen enklemlere ve nin katsa lar eflitlenirse; : a + b + c = 0, : a + b + c = 0 ve (, ) noktas o rusu üzerine bir nokta olu unan a + b = c ir. u eflitlik, noktan n o rua uzakl na ugulan rsa; = a + b + ve = c - flekline a + b a + b e bulunur. Örnek : Denklemleri + 4 = 0 ve 4 7 = 0 olan o rular aras naki uzakl bulal m. Çözüm : + 4 = 0 ise m =, 4 7 = 0 ise m = ve m = m olu unan o rular paralelir. +4 = 0 o rusu üzerine, = 0 = 4 ve (0, 4) noktas n alal m. (0, 4) noktas n n 4 7 = 0 o rusuna uzakl, istenen uzunluk olur. = = 5 = ( ) 5 = a + b + c a + b birim bulunur. olur. (, ) Örnek : Denklemleri m = 0 ve + + k = 0 olan paralel o rular aras naki uzunluk ñ5 birim ise m ve k e erlerini bulal m. Çözüm : Do rular n paralelli inen, m = m = 6 r = 0 o rusu üzerine, = 0 = ve 0, 5 5 noktas n ele alal m k 0, 5 noktas n n + + k = 0 o rusuna uzakl ; = ñ5 5 = 5 + k k = 5 k = vea 5 + k = 5 k= bulunur. LIfiTIRMLR. fla aki noktalar n anlar na verilen o rulara olan uzakl klar n bulunuz. a. (, ), = 0 b. (, ), = 0 c. (, ), =. D( ñ, 5), = ñ +. ( 5, ) noktas n n + k = 0 o rusuna olan uzakl birim ise k reel sa lar n bulunuz.. (, ) noktas n n m = 0 o rusuna olan uzakl birim ise m reel sa lar n bulunuz. 5

26 4. (, 5), (, ) ve (, 5) noktalar köfle kabul een üçgeni verilior. Üçgenin üksekliklerinin uzunluklar n bulunuz. 5. (, ) noktas na + 5 = 0 o rusunun en ak n noktas olsun. noktas n n koorinatlar n bulunuz = 0 ve m 6 + = 0 paralel o rular verilior. Do rular aras naki uzakl bulunuz k = 0 ve = 0 o rular aras naki uzakl k birim verilior. k reel sa lar n bulunuz. 8. ir köflesi (, 0) ve 6 birim uzunlu unaki köflegeni + ñ + 5 = 0 o rusu üzerine olan eflkenar örtgenin alan n bulunuz. 9. a R - olmak üzere, köfleleri (a, ), (, ) ve (4, ) olan üçgeninin [] kenar na ait ükseklik uzunlu u ñ birimir. una göre, verilen üksekli i tafl an o runun uzunlu unu bulunuz. R N DEREEDEN K L NMEYENL Efi TS ZL KLER ir o ru, içine bulunu u üzlemi iki ar üzleme a r r. nalitik üzleme; a + b + c= 0 enklemi bir o ruu a + b + c < 0 ve a + b + c > 0 eflitsizlikleri e bu o runun üzleme a r ar üzlemleri gösterir. Eflitsizliklerin çözüm kümesini analitik üzleme göstermek için, a + b + c = 0 o rusunun grafi i çizilir. Yar üzlemlerin biri üzerine al nan P(, ) noktas ; verilen eflitsizli i sa l or ise bu ar üzlem, sa lam or ise i er ar üzlem taran r. Örnek : β = {(, ) + 6 < 0 (, ) R } kümesinin analitik üzleme gösterelim. Çözüm : + 6 = 0 o rusuna; = 0 için = ve (0, ), = 0 için = ve (, 0) r. Eflitlik verilmei inen, o ru kesik çizgilerle çizilir. (0, 0) noktas n n koorinatlar, + 6 < 0 eflitli ine erine az l na 6 < 0 olaca nan, eflitsizli in sa lanma görülür. u uruma görüntü kümesi, orijinin bulunma i er ar üzlemir. Örnek gösterelim. : + 0 eflitsizli ini sa laan P(, ) noktalar kümesini analitik üzleme + = 0 Çözüm : + = 0 o rusunun eksenleri kesti i (0, ) ve (, 0) noktalar bulunarak grafik çizilir. (0, 0) noktas n n koorinatlar, + 0 eflitsizli ine erine az l na, 0 olu unan eflitsizlik sa lan r. Do ru ve orijini içine bulunuran ar üzlem, P(, ) noktalar kümesiir. 54

27 > Örnek : eflitsizlik sistemini sa laan P(, ) noktalar kümesini gösterelim. + 0 Çözüm : = o rusu, orijinen ve (, ) noktas nan geçer. + = 0 o rusu, eksenleri (0, ) ve (, 0) noktalar na keser. Denklemleri verilen o rular çizilir. l nan herhangi bir D(0, 4) noktas n n koorinatlar : > eflitsizli ine az l na, 4 > 0 olur ve eflitsizlik sa lan r. Noktan n bulunu u bölge taran r. + 0 eflitsizli ine az l r ise, 0 olur ve eflitsizlik sa lanmaz. Noktan n bulunma bölge taran r. > eflitsizli ini sa laan noktalar ile + 0 eflitsizli ini sa laan noktalar kümesinin ara kesiti, eflitsizlik sistemini sa laan P(, ) noktalar kümesiir. D(0,4) (0,) = (,) (,0) + = 0 Örnek : Yanaki flekile, çözüm kümesi taral olarak verilen eflitsizlik sistemini azal m. Çözüm : o rusunun enklemi =, o rusunun enklemi + 6 = 0 bulunur. Görüntü kümesi üzerine al nan (, 4) noktas n n koorinatlar enklemlere erine az l rsa; + = + = 0 + 6=.( ) = 5 0 olu unan; (,4) istenen eflitsizlik sistemi, + 0 olur LIfiTIRMLR. fla aki eflitsizliklerin çözüm kümelerini analitik üzleme gösteriniz. a. < b. > c. >. < 6 e f. 0 g. < 4 h. + 5 > 0. fla aki eflitsizlik sistemlerinin çözüm kümelerini analitik üzleme gösteriniz. a. > b. c < + 4 < > + < < +. nalitik üzleme; 0, + 0 ve eflitsizlikleri verilior. Sistemi sa laan bölgenin alan n bulunuz. 4. fla a çözüm kümesi taral olarak gösterilen eflitsizlikleri az n z. a. b. c. (,4) 55

28 5. fla a çözüm kümeleri taral olarak verilen eflitsizlik sistemlerini az n z. a. b. c. TEST. (a b, ab) noktas analitik üzlemin III. bölgesine bir nokta ise (a b, ab a ) noktas analitik üzlemin hangi bölgesine bulunur? ) I. bölgee ) II. bölgee ) III. bölgee D) IV. bölgee E) eksenler üzerine. (a, ), (, a) ve (, 5) noktalar verilior. ikizkenar üçgeninin tepe noktas ise a e erlerinin toplam kaçt r? ) 4 ) ) D) E) 0. (0, 0), (5, 0), (8, a) ve (b, c) noktalar verilior. eflkenar örtgen ise a + b + c nin pozitif e eri kaçt r? ) 8 ) 9 ) 0 D) E) 4. Yanaki flekile; D karesinin iki köflesi ( 5, 0) ve (0, 4) ise köflesinin koorinatlar toplam neir? D ) 5 ) 4 ) D) E) (0,4) ( 5,0) 5. Yanaki üçgenine; D = D ve E = E ise noktas n n koorinatlar afla akileren hangisiir? ) ( 7, ) ) ( 5, ) ) (7, ) D) (5, ) E) ( 7, ) E(,) (, ) D(,0) 56

29 D (4, ) 6. Yanaki flekile, D paralelkenar ve [DE] []= {P} ir. P P oran kaçt r? P E(,a) ) ) ) D) E) 4 5 (,) (,5) 7. Yanaki flekile, verilenlere göre örtgeninin alan kaç birimkareir? (0,) ) ) ) D) 4 E) 5 (4,0) 8. (, 5), (m, ) ve (m, ) noktalar o rusal ise kaçt r? ) ) ñ ) ñ D) E) ñ5 9. a + b + c= 0 o rusunun eksenile pozitif öne apt aç n n ölçüsü 60 ir. Do ru eksenini (0, ) noktas na kesior ise a c e eri kaçt r? ) ) ) D) 5 E) 6 8= 0 0. Yanaki flekile; o rusunun enklemi, 8= 0 r. (6, 0) ve [] [] ise noktas n n apsisi kaçt r? (6,0) ) 5 ) ) 6 D) E) 7. Yanaki flekile, [] ve (, ) verilior. üçgeninin alan kaç birimkareir? (,) ) 6 ) 5 ) 4 D) E) 0 57

30 . Yanaki flekile; = a +, =, = ve ekseninin s n rla örtgenin alan 0 birimkareir. Verilenlere göre a kaçt r? = a + = = ) 5 ) 4 ) D) E). Yanaki flekile; (, ), 5, ve = 5 4,0 (,) birimir. Verilenlere göre noktas n n koorinatlar toplam kaçt r? ) 9 ) 0 ) D) E) 5 4, 0 4. Yanaki flekile; PQRS kare,, (0, 6), ( 4, 0) r. S, R ve P ile Q noktalar ekseni üzerine ise R noktas n n apsisi kaçt r? S (0,6) R ) ) ) D) E) ( 4,0) P Q 5. Yanaki flekile ve o rular n n grafikleri verilmifltir. = {} ise, noktas n n eksenlere uzakl klar toplam kaç birimir? 6 ) 4 ) ) D) E) Yanaki flekile, E ve DE karesinin alan 4 birimkare ise noktas n n orinat kaçt r? 5 7 ) ) ) D) 4 E) 9 ( 6,0) E D 58

31 7. Yanaki flekile ve o rular n n grafikleri verilior. [D] ve D ise D noktas n n orinat kaçt r? D (0,5) P(,) 4 ) ) ) D) E) (,0) (bo) 8. Yanaki flekile ve fianlar n n bolar n n alara göre e ifliminin grafi i verilmifltir. Fianlar ikilikten kaç a sonra bolar fark 0 cm olur? ) 6 ) 5 ) 4 D) E) 6 4 (a) 9. Yanaki flekile [H], (, 0) ve H = 5 birim ise noktas n n orinat kaçt r? ) ) ) 4 D) 5 E) 6 H (,0) 0. irbirine ik olan 5 + 7= 0 ve a + = 0 o rular verilior. (, n) noktas, bu o rularan eflit uzakl kta ise n R - sa s kaçt r? ) ) ) D) 4 E) eflitsizlik sistemini sa laan bölgenin alan 6 birimkare verilior. una göre a kaçt r? + a 0 ) ) ) D) 4 E) 5. + > 0 + < < 0 eflitsizlik sistemi verilior. u sistemin çözüm kümesinin bir eleman afla akileren hangisiir? ) (, ) ) (, ) ) (0, 0) D) (, ) E) (, ) -D - -D E 7-8-E 9-0-D - -D - 4-E D 8-E D - 59

32 TEST. Yanaki taral bölge, afla aki eflitsizlik sistemlerinin hangisini sa lar? ) m + n > 0 ) m n > 0 )m. n > 0 > m + n > m + n < m + n D)m. n > 0 E) m + n > 0 m + n m + n = m + n. = {(, ) 4 +,, R} = {(, ). 0,, R} kümeleri verilior. kümesinin s n rla bölgenin alan kaç birimkareir? ) 0 ) 9 ) 8 D) 7 E) 6. (a +, a 5) noktas analitik üzlemin 4. bölgesine ise noktas n n eksenlere uzakl klar toplam kaçt r? ) 6 ) 7 ) 8 D) 9 E) 0 4. (, 0), (6, 0), P(a, b) noktalar n n oluflturu u üçgen, eflkenar üçgen ise P noktas n n apsisi kaçt r? 5 7 ) ) ) D) 4 E) 5. Köfle noktalar n n koorinatlar (, ), (5, ) ve (, 0) olan üçgeninin [] kenar n tafl an o ru üzerineki iki noktan n orinatlar fark 9 ise apsisleri fark kaçt r? ) ) ) D) 0 E) 9 6. Koorinat üzlemine, ve o rular ile s n rlanan ( ) kaç birim kareir? ) ) ) 4 D) 5 E) 6 7., 50, 4, noktalar verilior. [] üzerie koorinatlar tam sa olan kaç tane nokta var r? ) ) ) D) 4 E) 5 8. nalitik üzleme (, 4), (, ) noktalar [] ve olu una göre, [] n = 4 en itibaren oran na bölen nokta D, en itibaren oran na bölen nokta E ise [ED] n n orta noktas nan geçip o rusuna ik olan o ru enklemi afla akileren hangisiir? ) 7 = 0 ) + 7 = 0 ) +7 = 0 D) ++7 = 0 E) + 7 = 0 60

33 9. rijinen geçen bir o ru + 0 = 0 o rusunu ik kesmekteir. Kesim noktas n n apsis ve orinat çarp m afla akileren hangisiir? ) ) ) D) 4 E) 5 0. fiekileki ik koorinat sistemine D ise a + b kaçt r? D(0,b) ) 8 ) 9 ) 0 D) E) (,a) (,0) (7,0). (, 4) ve (5, 4) noktalar nan eflit uzakl kta ve 0= 0 o rusu üzerine bulunan noktan n orinat afla akileren hangisir? ) ) ) 0 D) E) (0,7). Yanaki flekile; D, (0, 7), (7, 0) ve = 5 ise D noktas n n orinat kaçt r? ) 4 ) ) D) E) 0 D (7,0). = o rusu, (, 4) ve (, 6) koorinatlar ile verilen o ru parças n noktas na kesmekteir. una göre oran kaçt r? ) ) ) D) E) 4 4. m + = 0 o rusu (m ) + (m + ) + = 0 o rusuna paralel ise m nin alaca e erlerin çarp m kaçt r? ) 9 ) 8 ) 7 D) 8 E) 9 5. Yanaki D eflkenar örtgenine (, ) ve (, 5) noktalar verilior. [D] n n tafl c s n n enklemi afla akileren hangisiir? ) = 0 ) = 0 ) = 0 D) = 0 E) 4 0 = 0 (,5) D (,) 6

34 6. Yanaki flekile ikörtgen, =, ikörtgenin köflegenlerinin kesim noktas P(4, ) ise noktas n n koorinatlar toplam kaçt r? 4 5 ) ) ) D) E) P 7. Köfle koorinatlar (p, ), (, 4) ve (7, 0) olan ÿ nin [] kenar na ait ükseklik uzunlu u 4 birim ise bu üksekli i tafl an o runun enklemi afla akileren hangisiir? (p R - ) 5 ) = 0 ) + 4= 0 ) + 4= 0 D) + + 4= 0 E) 4= 0 8. Yanaki flekile; [] ve (, ) ise o rusunun enklemi afla akileren hangisiir? ) 7= 0 ) + + 5= 0 ) + 7= 0 D) = 0 E) + 5= 0 (,) =0 o rusu üzerine (, 6) noktas na en ak n olan noktan n orinat kaçt r? ) ) 0 ) D) E) m ( ) n n = 0 0. enklem sistemini sa laan sonsuz sa a (, ) ikilisi olu una göre m +n = 0 m nin alabilece i e erlerin çarp m kaçt r? ) ) ) D) E) D D D D 8-E