Sprott_94_A Kaotik Sisteminin Senkronizasyonu ve Bilgi Gizlemede Kullanılması

Transkript

1 Sprott_9_A Kaotik Siteminin Senkronizayonu ve Bilgi Gizlemede Kullanılmaı İhan Pehlivan, ılmaz Uyaroğlu, M. Ali alçın, Abdullah Ferikoğlu Özet Doğrual olmayan otonom Sprott_9_A kaotik denklem itemi matematikel olarak baittir, fakat çok çeşitli komplek kaotik çekiciler üretmektedir. Bu çalışmada, Sprott_9_A iteminin kaotik enkronizayon ve kaotik bilgi gizleme devreleri MatlabSimulink ve PSpice programları kullanılarak gerçekleştirilmiştir. Simülayon onuçları, Sprott_9_A kaotik iteminin enkronizayon ve kaotik bilgi gizlemedeki etkinliğini götermektedir. Anahtar Kelimeler Sprott_9_A Çekii, Kaotik Sitem, Senkronizayon, Kaotik Gizleme, Bilgi Güvenliği I. GİRİŞ AOTİK davranış, çok bait ve küçük boyutlu bir K doğrual olmayan item de ola her yerde oluşabilir. Son yirmi yıl boyunca, dinamik itemlerde determinitik kaoa olan ilgi artmıştır. Poincare Bendixon teoremi [], bir otonom ürekli zamanlı durum uzayı modelinin ınırlı kaotik çözümlere ahip olabilmei için en az üç boyutlu olmaını gerektirmektedir. Diğer taraftan, otonom olmayan itemler için, kao iki boyutlu modellerde ortaya çıkabilir. Kaotik itemlerin Lorenz [], ve Röler [, ] itemleri gibi çok geniş bir şekilde çalışılan pek çok örneği vardır. İki adet doğrual olmayan elemandan oluşan elektronik devreler, teorik öngörüleri doğrulamak için kullanılabilir. Örnek olarak, doğrual olmayan Duffing oilatörleri deneyel olarak araştırılmıştır []. Deneyel olarak kurulan ve incelenen diğer bir popüler örnek, doğrual olmayan Chua devreidir []. Şimdiye kadar, çeşitli kaotik itemler tanıtılmıştır[]. Kao kavramının ve kaotik item özelliklerinin ortaya konmaıyla literatürde kao olayıyla ilgili çalışmalar iki ana bölümde odaklanmıştır. Bunlardan ilki, kaoun ve kaotik davranışın olumuz olarak algılandığı ve bu tür davranışların görülmemei arzulanan item yapılarında kaotik kontrol çalışmalarıdır []. Kao ve kaotik item dinamiği ile ilgili ikinci ana çalışma alanı ie; bu derece ilginç özelliklere ahip kaotik işaretler ve itemlerden olumlu yönde yararlanma fikri doğrultuunda yapılan çalışmalar olmuştur. İ. Pehlivan, Sakarya Üniveritei, Fen Bilimleri Entitüü, Elektrik Elektronik ABD da doktoraını bitirdi( ipehlivan@ akarya.edu.tr). Uyaroglu, Mühendilik Fakültei, ElektrikElektronik Müh. Bölümü, Sakarya Üniveritei, Eentepe,Sakarya( uyaroglu@akarya.edu.tr) M. A. alçın, Mühendilik Fakültei, ElektrikElektronik Müh. Bölümü, Sakarya Üniveritei, Eentepe,Sakarya( yalcin@akarya.edu.tr) A. Ferikoğlu, Teknik Egitim Fakültei, Elektronik ve Bilgiayar Egit. Bölümü, Sakarya Üniveritei, Eentepe,Sakarya( af@akarya.edu.tr) Bu çalışmalar özellikle kaotik işaretlerin ve itemlerin enkronizayonu ile bu enkronize kaotik itemlerin güvenilir ve gizli haberleşme amaçlı taarım ve uygulamalarda kullanılabilme olaılığını kapamaktadır. Kaotik işaretlerin yayılı pektruma ahip olmaı, mühendileri bu işaretleri haberleşmede kullanmanın haberleşme açıından güvenli ve gürültüye bağışık kılacağı fikrine itmiştir[]. Fakat ilk başlarda kaotik itemlerin bu tür haberleşme uygulamalarında kullanılabilmeleri için enkronizayonlarının ağlanmaı, bu konunun önündeki en büyük engel olarak görülüyordu. Pecora ve Carroll'un [] yapacakları bir çalışmaya kadar, başlangıç şartları ve item parametrelerine haa bağımlı olmalarından dolayı iki yada daha fazla kaotik itemin enkronize olamayacağı düşünülüyordu. Pecora ve Carroll bu düşünceyi ortadan kaldıran çalışmalarında [], ele aldıkları orijinal bir kaotik itemi keyfi olarak iki ayrı kıma ayırıp bunları ürücü ve cevaplayıcı altitemler olarak adlandırmışlardır. Alıcı modülde cevaplayıcı altitemin aynıı oluşturularak bu altitemin orijinal itemin ürücü kımıyla ürülmei durumunda, kaotik enkronizayonun ağlanabileceğini yani, alıcı modülde üretilen kaotik işaretin orijinal itemden gelen kaotik işarete yakınayacağını gerek teorik gereke deneyel olarak götermişlerdir. Kaotik itemlerin enkronizayonuyla ilgili çalışmalar, kaotik devre ve dinamikler kullanılarak güvenilir ve gizli haberleşme amaçlı elektronik item taarımı ve gerçekleştirilmei ile ilgili çalışmalar için bir dönüm noktaı olmuştur. Cuomo ve Oppenheim ın [] bir bilgi işaretine kaotik işaret ekleyerek, enkronizayon kavramının bildiri işaretinin makelenmeinde naıl kullanılabileceğini götermei, kaotik haberleşme item taarımında ilk uygulamalar olmaı açıından önemlidir. Cuomo ve Oppenheim ın Lorenz devreini kullanmalarına karşın, aynı kavramal yaklaşımı Kocarev ve arkadaşları[] kaotik item olarak Chua devreini kullanarak gerçekleştirmişlerdir. Bu ilk çalışmalardan onra on onbeş yılda kaotik itemlerin enkronizayonu ve enkronize kaotik itemlerin güvenilir haberleşme amaçlı kullanımı ile ilgili çok ayıda çalışma yapılmıştır []. Literatürdeki, kaotik itemlerin enkronizayonu ve enkronize kaotik itemlerin güvenilir haberleşme amaçlı kullanımı ile ilgili yapılan çalışmalara bakıldığı zaman Chua, Lorenz, Roler, Duffing gibi itemlerin daha fazla kullanıldığı görülmektedir. Bu itemler, bu alanda çalışan kimelerin çok iyi bildikleri, üzerinde çok uzun yıllar çalışılmış olan itemlerdir. Örneğin Chua devreinin kaşifi Leon Chua nın kendi internet ayfaında [] verdiği bilgilere göre eneine kadar Chua devrei ile ilgili adet ululararaı bilimel yayın yapılmıştır. Konu, güvenli ve gizli haberleşme olunca da, dinamik yapıları çok iyi bilinen üzerinde çok fazla çalışılmış

2 itemlerin bu amaçla kullanılmaı güvenlik açıından dezavantaj oluşturabilecektir. Güvenli haberleşmede alternatif olarak kullanılabilecek olan yeni kaotik itemlerin bulunmaı çalışmaları on yirmi yılda popülerliğini hiç kaybetmemiştir. Bu arayışlarla Sprott, 99 yılında ağ tarafda den az terim bulunan üç boyutlu otonom kaotik itemleri bulmak için geniş çaplı bir araştırma yaptı[] ve A S araı iimlendirdiği 9 adet kaotik denklem itemi buldu. Sayıal araştırmalar onucu binlerce kaotik durum bulmaına karşın bunlardan 9 tanei bir diğerine dönüşüm olmayacak şekilde belirginleşti, ve A dan S ye kadar etiketlendi. Bu 9 denklemden, A E araı olan denklem, adet ikinci derecedendoğrual olmayan terim olmak üzere toplam terimli, F S araı olan denklem ie bir adet ikinci derecedendoğrual olmayan terim olmak üzere toplam terimli denklemlerdir. Bu çalışmada terimden az olupta ikinci derecedendoğrual olmayan ve kaotik davranış göteren duruma ratlanılmamıştır. Bu 9 durumdan A durumu konervatif(hacimkorumalı) akış, diğer durum ie dağıtık (hacim büzülmeli) akış olup tuhaf çekici göterirler. Daha onraları, Hoover 99 yılında[], Sprott un bulduğu konervatif A durumunun, Hamilton kao ergilediği daha önceden 9 da göterilen[] Noé Hoover termotat dinamik iteminin özel bir durumu olduğuna dikkat çekmiştir. Sprott tan onra pek çok yeni kaotik item tanıtılmıştır. Örnek olarak Chen 999 da yeni bir kaotik item kurdu[]. Bunu Lü itemi[] ve benzerleri[] [] takip etti. Bu çalışma kaotik bilgi gizleme, güvenli haberleşme için özdeş enkronizayon ve uygulamalarına odaklanmaktadır. İkinci bölümde, Sprott_9_A çekiciinin Simulink ve Ppice devre imülayonları elde edilmiştir. Üçüncü bölümde PecoraCarroll (PC) yöntemi kullanılarak, Simulink ve Ppice devre imülayonları ile Sprott_9_A iteminin enkronizayon uygulamaları yapılmıştır. Dördüncü bölümde ie, Sprott_9_A itemi ile kaotik bilgi gizleme uygulamaları yine Simulink ve Ppice devre imülayonları kullanılarak gerçekleştirilmiştir. Bölüm ie onuçları içermektedir. II. SPROTT_9_A ÇEKİCİSİNİN SIMULINK VE PSPICE SİMÜLASONLARI Sprott un 99 yılında tanıttığı 9 adet kaotik denklemden birincii olan A durumuna ait denklemler aşağıda verilmiştir. x = y y = x y z () z = y Sprott_9_A iteminin Lyapunov ütelleri.,, ve. dir. ani, bir pozitif Lyapunov üteli vardır. To Workpace ' ' To Workpace To Workpace ' (c) Şekil : Sprott_9_A itemi Simulink modeli ve x =, y =., z = iken, xy, xz, (c) yz kaotik çekicileri Şekil, Sprott_9_A çekiciini gerçekleyen devre şemaını götermektedir. Pice devre imülayonları için TL opamplar, Analog Device ADJN analog çarpım entegreleri, uygun değerde direnç ve kondanatörler kullanılmıştır. Devre ± V güç kaynağı ile belenmiştir. AD çarpım entegreinin kabul edilebilir giriş değerleri V ile V araıdır. R R araı dirençler ve CC araı kapaitörler nominal değerleri ile Şekil de göterilmiştir. Ayrıca Şekil, devrenin Ppice imülayon onuçlarını da götermektedir. Ppice ve MatlabSimulink imülayonlarının (Şekil ve Şekil ) aynı onuçları verdiği görülmektedir.

3 R K C n R K C n TL R K TL R K TL R K AD/AD M W V V V V M AD/AD R K W C TL n R K V V V V (c) (d) (e) Şekil : Sprott_9_A itemini gerçekleyen devre ve Sprott_9_A çekiciinin PSpice imülayon onuçları, kaotik x, y, z inyallerinin zamana göre değişimi, (c) xy, (d) xz, (e) yz kaotik çekicileri III. SPROTT_9_A ÇEKİCİSİNİN SENKRONİASONU Kaotik itemler araındaki enkronizayon çok fazla ilgi çeken bir konu olup haberleşme uygulamalarına yol açmıştır. Özdeş kaotik itemlerin kuplajı ve enkronize edilmeleri için iki ea metot vardır; peş peşe bağlama metodu ve tek yönlü kuplaj metodu. Bu metotlarla bir meaj inyali, verici tarafından, enkronizayonda bulunan bir kaotik inyalin güdümü altında, alıcıda yeniden oluşturulabilecek şekilde gönderilir. Bu bölüm Sprott_9_A iteminin ayıal ve

4 elektronik devre olarak enkronizayonunun imülayon onuçlarını unmaktadır. Kullanılan metod PecoraCarroll (PC) metodu olup, ürücü altitem ve cevap altitemleri oluşturulmuştur. Şekil, bu peş peşe bağlanmış enkronizayon iteminin blok diyagramını, Şekil ie, Sprott_9_A çekiciinin Simulink PecoraCarroll enkronizayon modelini götermektedir. Kao enkronizayonu bize güvenli haberleşme ve inyal işleme için potaniyel uygulamalar ağlamaktadır. difference Drive Sytem PC Synchro ubytem ' '' To Workpace ' '' ' ' ' drive repone ' PC Synchro ubytem r To Workpace ' To Workpace e ' r To Workpace Şekil : Sprott_9_A çekiciinin PecoraCarroll Senkronizayonunun Blok Diyagram ve Simulink Modellemei. Sprott_9_A iteminin PecoraCarroll enkronizayonunun imülayon onuçları Şekil te göterilmiştir. İki alt itemin ilk şartları farklıdır. Sürücü iteminin ilk şartları (,., ), cevap altitem in ilk şartları (., ) ve alt item nin (, ) dır. Simülayon onuçları iki alt itemin iyi bir şekilde enkronize olduğunu götermektedir(şekil ). Şekil, Sprott_9_A iteminin PecoraCarroll enkronizayonunun uygulanmaı için taarlanan devre şemaını götermektedir. Ppice devre imülayonları için yine TL opamplar, Analog Device ADJN analog çarpım entegreleri, uygun değerde direnç ve kondanatörler kullanılmıştır. Devre ± V güç kaynağı ile belenmiştir. Şekil, enkronizayon devreinin Ppice imülayon onuçlarını götermektedir. Sprott_9_A iteminin Simulink ve PSpice devre enkronizayonunun imülayonları (Şekil ve Şekil ) aynı onuçları vermektedir. r Time r (c) (d) Şekil : Sprott_9_A iteminin PecoraCarroll enkronizayonunun imülayon çıktıları, Senkronizayondan önce ürücü ve cevap itemi kaotik inyalleri, Senkronize edilmemiş durum, (c) Senkronizayondan onra ürücü ve cevap itemi kaotik inyalleri, (d) ve r araındaki enkronizayon r r Time

5 C n Drive Circuit R K R9 K Cn TL R K TL R K TL R K AD/AD M W V V V V M9 AD/AD R W K C n TL V V R V K V C n R PC, Repone Sub_Circuit K TL R K AD/AD M W V V ' M R W K AD/AD C n ' V V TL R K V V V V '' R K r ' R K R TL K TL C n PC, Repone Sub_Circuit '' V V M AD/AD R W K C n TL R K V V V V Şekil : Sprott_9_A çekiciinin PC Senkronizayonu için taarlanan devre (c) (d) Şekil : Sprott_9_A çekicii PC Senkronizayon devreinin Ppice imülayon çıktları Senkronizayondan önce ürücü ve cevap itemi kaotik inyalleri Senkronize edilmemiş durum (c) Senkronizayondan onra ürücü ve cevap itemi kaotik inyalleri (d) ve r araındaki enkronizayon

6 IV. SPROTT_9_A ÇEKİCİSİNİN BİLGİ GİLEMEDE KULLANILMASI Çıkış inyalinin giriş inyalini tekrar elde edebilmei gerçeği, bir kaotik item için güvenli haberleşmeyi gerçekleştirmenin mümkün olduğunu götermektedir. Şekil, Sprott_9_A çekiciinin kaotik bilgi gizleme tekniği kullanarak gerçekleştirilen güvenli haberleşme itemi genel prenip şemaını ve Simulink de yapılan modelini götermektedir. Chaotic tranmitter x(t) Chaotic receiver S(t) xr(t) r r r Information ignal ' ' it To Workpace (t) Tranmitter ' S(t) To Workpace St To Workpace r ic To Workpace9 ' S(t) r ' ir(t) r(t) Receiver ' e To Workpace r r To Workpace Şekil : Kaotik bilgi gizleme itemi genel prenip şemaı ve Sprott_9_A çekicii için yapılan Simulink modeli Verici ve alıcı itemler ilk şartlar dışında özdeştirler. Verici itemin ilk şartları.,, ve alıcı itemin ie,, ve dır. Kaotik bilgi gizleme haberleşmeini uygulamak için verici ve alıcı parametrelerinin eşit olduğundan emin olunmalıdır. Alıcıda temiz bir şekilde ürücü inyali yeniden oluşturmak için ürücü devrenin kaotik inyaline düşük eviyeli bir bilgi inyali eklenmektedir. Böylelikle bilgi inyali, Sprott_9_A çekiciinde peş peşe bağlama enkronizayonu yoluyla bilgi gizleme yöntemi kullanılarak mükemmel bir şekilde tekrar elde edilmektedir. Bilgiayar imülayon onuçları Sprott_9_A çekiciinin kaotik bilgi gizleme ve meaj dönüştürmedeki performanını götermiştir. Gönderilen bilgi inyali. volt genliğinde ve KHz frekanlı bir inü dalgaıdır. Sinü dalga şeklindeki bilgi inyali, vericide oluşturulan kaotik x inyaline eklenir, ve S(t) = x toplam iletilen inyal alıcıya x(t) xr(t) Time x S(t) gönderilir. Alıcıda enkronize olarak üretilen kaotik x r inyali, gönderilen inyali tekrar elde etmek için bait bir çıkarma işlemi ile [x] den çıkartılır. [x] x r = olmaı için x = x r olmaı yani verici devre ile alıcı devrenin kaotik x ve x r inyallerinin enkronize olmaı yeterlidir. Şekil (c) gönderilen ve tekrar alınan bilgi inyallerini götermektedir. Şekil 9 da Sprott_9_A çekiciinin kaotik gizleme yöntemini kullanan haberleşme devre şemaı görülmektedir. Şekil ie bu kaotik gizleme haberleşme devreinin Ppice imülayon onuçlarını götermektedir. Gönderilen inyal. Volt genlikli, KHz frekanlı bir inü dalgaıdır. Verici ve alıcı devreler ilk şartlar haricinde özdeş devrelerdir. Şekil 9 daki verici devrenin ilk şartları.,, ve alıcı devrenin ilk şartları ie,, ve dır. Kaotik bilgi gizleme devreinin Simulink ve Ppice imülayonları(şekil ve Şekil ) aynı onuçları vermektedir. Time x Time (c) Şekil : Sprott_9_A çekiciinin kaotik bilgi gizleme tekniği kullanan Simulink modelinin imülayon çıktıları, Sürücü (x) ve cevap (xr) itemi kaotik inyallerinin zamana göre değişimi, İletilen inyal, S(t) = x(t), (c) Bilgi inyali ve tekrar elde edilen ir(t) inyalleri (.V, KHz).. ir(t)

7 i ( t ) C R K AD/AD M W Information ignal n R K R S C n TL TL B k TL R TL R TL K K 9 R R k k M AD/AD W R9K V V V V B R TL R R9 k k K R TL k C9 TL A n R k R K V Summer & Inverter V V Tranmitter R k V S( t ) A TL R K R K C n AD/AD M W TL V V Receiver R K V V TL R R K TL k Subtraction ic(t) Retrieved Information ignal M AD/AD R W K C n R K R K V Cn TL V Şekil 9. Sprott9 Durum A Çekici Kaotik Makeleme Haberleşme Devrei Şekil. Sprott9 Durum A Çekici Makeleme Haberleşme Devreinin PSpice çıktıları amana karşı Sürücü itemi x inyali ve anıtlama itemi xr inyali Bilgi ve kurtarılan inyal (. V, KHz)

8 V. SONUÇLAR Bu makalede Sprott_9_A kaotik iteminin özdeş enkronizayonu, ve bilgi inyali gizleme metodu ile güvenli haberleşme uygulamaları üzerinde çalışılmıştır. Sprott_9_A kaotik iteminin Simulink modellemei yapılmış ve elektronik oilatörü taarlanmıştır. Sayıal imülayon onuçları(şekil ) ve Ppice imülayon onuçlarının(şekil ) aynı onuçları verdiği görülmektedir. Ayrıca PecoraCarroll özdeş peş peşe bağlama enkronizayon metodu ile MatlabSimulink de ayıal imülayon olarak(şekil ), Ppice programı ile de elektronik devre imülayonu(şekil ) olarak Sprott_9_A kaotik iteminin enkronize olduğu göterilmiştir. Sayıal ve elektronik devre olarak Sprott_9_A kaotik iteminin enkronize olduğunun görülmei güvenli bilgi iletimi amaçlı uygulamalar için uygun olabileceğini götermektedir. Son olarak yine Sprott_9_A çekiciinin, kaotik gizleme tekniği kullanarak MatlabSimulink de kaotik bilgi gizleme modeli ve elektronik devre olarak da yine aynı teknikle güvenli haberleşme itemi taarlanarak imülayonları gerçekleştirilmiştir. Simulink deki ayıal imülayon onuçları(şekil ) ile Ppice programı yardımıyla elde edilen elektronik devre imülayon onuçlarının(şekil ) aynı olduğu görülmektedir. Sonuç olarak, Sprott_9_A kaotik itemi bilgi gizleme amaçlı uygulamalarda kullanılabilir, bu makaledeki Sprott_9_A kaotik oilatörü kullanılarak değişik metotlarla bilgi gizleme amaçlı yeni itemler taarlanabilir. KANAKLAR [] A Nayfeh, B Balanchandran, Applied Nonlinear Dynamic, John Wiley, New ork, 99 [] E.N. Lorenz, Determinitic nonperiodic flow, J. Atmo. Sci., vol., pp., 9. [] O.E. Roler, An equation for continuou chao, Phy. Lett. A, vol, pp. 99, 9. [] O.E. Roler, An equation for hyperchao, Phy. Lett. A, vol, pp., 99. [] C. Hayahi, Nonlinear Ocillation in Phyical Sytem McGrawHill, New ork, 9 [] R.N. Madan, Chua Circuit: A Paradigm for chao, World Scientific, Singapore, 99. [] A.M. Rucklidge, Chao in model of double convection, J. Fluid Mech., vol, pp. 99, 99. [] J.C. Sprott, Some Simple Chaotic Flow, Phyical Review E, vol. (), pp., 99. [9] J.C. Sprott, Simple chaotic ytem and circuit, Am. J. Phy. Vol., pp.,. [] J. Lü,; G Chen, D. Cheng, A New Chaotic Sytem and Beyond: the Generalized Lorenzlike Sytem, Int. J. of Bifurc. and Chao, vol. (), pp.,. [] K. Murali, M. Lakhmanan, L.O. Chua, Controlling and Synchronization of Chao in the Simplet Diipative Nonautonomou Circuit, Int. J. of Bifurc. And Chao, :, 99. [] M.J. Ogarzalek, Taming Chao PartI Synchronization IEEE Tran. Cir. Sy. CAS I, ():999, 99. [] L.M. Pecora, T.L. Carroll, Synchronization in Chaotic Sytem, Phy. Rev. Lett., :., 99. [] L.M. Pecora, T.L. Carroll, Driving ytem with chaotic ignal, Phyical Rev. A, :, 99. [] K.M. Cuomo, A.V. Oppenheim, Circuit Implementation of Synchronized Chao with application to Communication, Phy. Rev. Lett., :, 99. [] K.M. Cuomo, A.V. Oppenheim, S.H. Strogatz, Synchronization of Lorenzbaed chaotic circuit with application to communication, IEEE Tran. Circuit Syt., ():, 99. [] L. Kocarev, K.S. Halle, K. Eckert, L.O. Chua, U. Parlitz Experimental Demontration of Secure Communication via Chaotic Synchronization, Int. J. of Bifur.&Chao, :9, 99. [] A.A. Alexeyev, M.M. Green, Secure Communication Baed on Variable Topology of Chaotic Circuit, Int. J. of Bifurcation and Chao, :9, 99 [9] M. Itoh, Spread Spectrum Communication via Chao, International J. of Bifurc. and Chao, 9:, 999. [] İ. Pehlivan, Uyaroğlu, Rikitake Attractor and it ynchronization application for ecure communication ytem, Jour. of Applied Science, ():,. [] İ. Pehlivan,. Uyaroğlu, Simplified Chaotic Diffuionle Lorenz Attractor and it Application to Secure Communication Sytem, IET Communication. (In pre,october ). [] L.O. Chua, Chua' Circuit and Chua Equation, [] W.G., Remark on Some imple chaotic flow,phyical Review E, :9, 99. [] H.A. Poch, W.G. Hoover, F.J. Veely, Canonical dynamic of the Noé ocillator: tability, order, and chao, Phyical Review A, :, 9. [] G. Chen., T Ueta, et another chaotic attractor, Int. J. Bifurc. and Chao, 9:, 999. [] J. Lü, G. Chen, A new chaotic attractor coined, Int. J. Bifurc. & Chao, :9,. [] J. Lü, G. Chen, D. Cheng and S. Celikovky, Bridge the gap between the Lorenz ytem and the Chen ytem, Int. J. Bifurc. and Chao, :99,. [] G. Qi, S. Du and G. Chen, On a fourdimenional chaotic ytem, Chao, Soliton and Fractal, :,.