2006 yýlýnda "Ýstatistiksel Test

Transkript

1 Ýyileþtime süeçleinde çok deðiþkenli istatistik Ronald J.M.M. Does ve bi önek Setleaasý Koelasyon Analizi - Canonical Coelation Analysis Pof. D. Halit KASA Son yýllaýn yaygýn söylemleinden biisi olan, deðiþmeyen tek þey deðiþimdi saptamasý, deðiþkenlik de deðiþmelidi þeklinde anlaþýlmalýdý. Zia, kaçýnýlmaz olaak kabullendiðimiz astgele deðiþkenliðin de deðiþtiilmesi, özellikle de Okan Ünivesitesi, Endüsti Mühendisliði Bölümü küçültülmesi olanaðý vadý. 006 yýlýnda "Ýstatistiksel Test uygulamalaýnda yöntem seçimi ve youmlamaya yönelik öneile." baþlýklý bi makalesini yayýnladýðýmýz Pof. D. Halit Kasa'nýn Altý Sigma Foum degisi - Sayý: 9 yeni bi makale çalýþmasýný okulaýmýzýn ilgisine sunuyouz. Altý Sigma Foum degisinin 4. sayýsýnda yayýnladýðýmýz "Kanonik Koelasyon Analizini Kullanmak" baþlýklý çevii makaleden haeket edeek, Pof. D. Halit KASA'nýn "konuyu biaz daha ayýntýlý açýklamak ve bi endüstiyel uygulama öneði vemek suetiyle konunun anlaþýlmasýna katký saðlamak" amacýyla hazýlamýþ olduðu bu makalenin okulaýmýza katký saðlayacaðýna inanýyouz..0 Giiþ Altý sigma metodoloisinin son yýllada yaygýnlaþaak uygulama buluyo olmasý, istatistiksel yöntemlein de daha bilinçli ve bilgiye dayalý olaak uygulanmalaý geeðini gündeme getiiyo. Deðiþkenliðin ve buna baðlý belisizliðin kaçýnýlmaz olaak yaþandýðý geçek yaþam otamlaýnda sounlaa taný koyma, kaa veme, soun çözme/iyileþtime süeçleinin önemli aaçlaýndan olan istatistiksel yöntemlein öneminin de daha iyi anlaþýlmýþ olmasýný umuyouz. Atýk, öylesine bi istatistik eðitimi veme/alma dönemi sona emelidi. Altý Sigma Foum degisinin 4.cü sayýsýnda Kanonik Koelasyon Analizini Kullanmak baþlýðý altýnda bi makale çeviisi yayýmlandý. Bu konuyu biaz daha ayýntýlý olaak açýklamak ve bi endüstiyel uygulama öneði vemek suetiyle konunun anlaþýlmasýna katký saðlamak umudu ile bu çalýþma sunuluyo. Ýzleyen bölümlede, deðiþkenlik ve deðiþim, istatistik ve çok deðiþkenli istatistik konulaýna özet olaak deðinildikten sona, setleaasý koelasyon analizi açýklanmakta ve bi e n d ü s t i y e l u y g u l a m a s ý ö z e t o l a a k tanýtýlmaktadý.. Deðiþkenlik ve Deðiþim Yaþamýmýzda hemen he zaman kaþýlaþtýðýmýz temel bi olgu deðiþkenlikti. Ayný tüden olayla, bize göe ayný sayýlan, ayný olduðunu sandýðýmýz koþullada bile az ya da çok faklýlýk gösteile. Koþullaýn deðiþmesi ile bu faklýlaþmalaýn daha da büyüyüp, beligin hale geldiðini göüüz. Bu faklýlaþmala genel olaak deðiþkenlik olaak adlaný ve hemen he koþulda kaçýnýlmaz bi þekilde kaþýmýza çýka. Deðiþkenlik iki bileþenli bi büyüklüktü. Bu bileþenle þunladý:. Kaynaðý Belilenebilen Deðiþkenlik KBD ve. Rastgele astlantýsal, assal deðiþkenlik RD. Kaynaðý belilenebilen deðiþkenlik, Ýnsan, Makine, Malzeme, Metot, Otam þeklinde veilebilen temel üetim etmenleinin, bi ya da daha çoðunun, deðiþmiþ olmasý sonucu otaya çýkan bi faklýlaþma olaak düþünülü. Bu tü faklýlaþmalaýn deðiþkenliðin özelliklei þöyle sýalanabili: Nomal koþullada oluþandan daha büyüktü ve genellikle belili bi yönde faklýlaþma þeklinde otaya çýka. Bu sayede fak edili, Ýstenise nedeni belilenebili, dolayýsýyla önlenebili, yönetilebili, Ýsteðimiz dýþýnda oluþuyosa, hata ya da sapma olaak deðelendiili, Ýsteðimiz ile oluþuyosa, baþaý ya da iyileþme anlamýna geli. Adý ne olusa olsun, sonuç deðiþme ya da deðiþim di. Yani, Koþulla deðiþmiþti, Sistemin paametelei ve dolayýsýyla davanýþlaý deðiþmiþti, Sistemin çýktýsý deðiþmiþti. Rastgele deðiþkenlik, pek çok nedenin deðiþik yönledeki çok küçük etkileinin astlantýsal bi bileþiminin etkisiyle oluþtuðu düþünülen faklýlaþmaladý. Geek nedenlei ve geekse bunlaýn etkilei ayý ayý belilenemez. Bu yüzden astgele deðiþkenlik olaak adlaný. Bu faklýlaþmanýn tipik özelliklei 4 Altý Si g ma Foum Altý Sigma Foum S A Y I S A Y I - 5

2 þöylece veilebili: Genellikle çok küçük, astgele atý ve eksi yönde oluþabilen faklýlaþmaladý, Bi daðýlýma olasýlýk daðýlýmýna sahipti. Bu daðýlým sayesinde olasýlýk ölçeðinde ölçülebili, Bize göe deðiþmemiþ sayýlan koþullada oluþu, dolayýsýyla sistem/ paametelei ve çýktýsý deðiþmemiþti. Aaþtýma-Geliþtime ile küçültülebili. Ýnsan, makine, malzeme, metot, otam açýsýndan iyileþtimele, Bilinç, bilgi, motivasyon, teknoloi desteklei açýsýndan katkýla, Katýlýmcý yönetim anlayýþýný yaþama geçimek gibi önlemle geekli olmaktadý. Rastgele deðiþkenlik olaak algýladýðýmýz deðiþkenlik, gelecekte keþfedilmeyi bekleyen kaynaðý belilenebilen deðiþkenliði de içei. Bu keþifle yapýldýkça astgele deðiþkenlik olaak kabullenmek zounda kalacaðýmýz deðiþkenlik de küçülecekti. Son yýllaýn yaygýn söylemleinden biisi olan, deðiþmeyen tek þey deðiþimdi saptamasý, deðiþkenlik de deðiþmelidi þeklinde anlaþýlmalýdý. Zia, kaçýnýlmaz olaak kabullendiðimiz astgele deðiþkenliðin de deðiþtiilmesi, özellikle de küçültülmesi olanaðý vadý. Bilgi, deneyim, teknoloi ve bunlaý kullanma beceimizin geliþmesi ile, bi anlamda bilinçli olaak deðiþkenlikle baþ etmeye çalýþmak suetiyle, kaçýnýlmaz saydýðýmýz astgele deðiþkenliðin önemli bi kýsmýnýn aslýnda kaynaðý belilenebilen tüden bi deðiþkenlik olaak önlenebileceðini göüüz. Son yýllada ünlenen ve uygulamasý yaygýnlaþan Altý Sigma metodoloisi, özellikle deðiþkenliði iyileþtime yoluyla baþaýyý aayan bi yaklaþým olaak haklý bi saygýnlýk kazanmýþtý. Deðiþkenliðin deðiþtiilebileceðine ve iyileþtiilmesi geeðine iliþkin göüþümüzü aþaðýdaki þekille Þekil- ifade etmiþ/vugulamýþ olmak istiyouz. Bu þekilden de göüldüðü gibi, eskiden kabullenmek zounda olduðumuz, daha doðusu astgele deðiþkenlik olaak algýladýðýmýz deðiþkenliðin önemli bi bölümünü belili nedenlee dayandýaak, nedenleini keþfedeek, önleme olanaðýna kavuþmuþ duumdayýz. Hatta bu deðiþkenliðin tamamýnýn önlenmesini bile hedefleyebiliiz. Nitekim sýfý kusu ve sýfý toleans atýk çaðdaþ kalite hedeflei aasýnda ye almaktadý. Biliyouz ki, önleyemediðimiz bi deðiþkenlik vasa, kaçýnýlmaz olaak buna uygun bi teknik toleansýmýz da olmak zoundadý. Sonuç olaak, hedefimiz deðiþkenliði kade olaak kabullenmemek, onu yok etmeye çalýþmak olmalýdý. Kuþkusuz, kusulu oanýnýn sýfý olmasýný ya da sýfý toleansý güvenceye alacak bi sistem oluþtumayý hedeflemekten öte, bunu geçekleþtiici adýmlaý atmak geekiyo. Bu hedef ne kada geçekleþtiilebili? Bu sounun geçekçi olaak yanýtlanabilmesi için önce þu soulaý yanýtlamamýz geekiyo: Kullandýðýmýz teknoloi ne kada sapmayla çalýþmaya uygundu? Uymak zounda olduðumuz ulusal ya da uluslaaasý standatlaa göe zounlu toleansla en az ne kadadý? Kullandýðýmýz gidile ne denli sapmasýz olabilecekti? Uyguladýðýmýz yöntemle ne denli sapmalýdý? Çalýþanlaýn bilgi, deneyim, becei, motivasyon düzeyi ne denli sapmasýzlýða uygundu? Yönetim sistemimiz katýlýmcýlýðý, bieysel geliþmeyi ne ölçüde saðlayabilmektedi? Aaþtýma-geliþtime/ iyileþtime kültüümüz ne ölçüde geliþmiþti ve kususuzluk / sapmasýzlýk aayýþýnda katkýsý ne olacaktý? Geliþen ve deðiþen bilgi kaynaklaý ile ne denli buluþabiliyouz ve bunun geliþmemize katkýsýný ne ölçüde güvenceye alabiliyouz? Baþkalaýndan, daha iyi olanladan ne denli öðenebiliyouz?... R a s t g e l e D e ð i þ k e n l i k Þekil - : Deðiþikliðin deðiþimi Geçmiþte kabullenmek zounda kaldýðýmýz göece büyük astgele deðiþkenliðinbüyük standat sapma ve daha geniþ toleans aalýðý önemli bi bölümü atýk önlenebilmekte, standat sapma ve toleans aalýðý geniþliði zamanla küçültülebilmiþ olmaktadý. KBD: Kaynaðý belilenebili, önlenebili deðiþkenlik, RD : Rastgele deðiþkenlik. Ta : Toleans aalýðý alt sýnýý, Tü : Toleans aalýðý üst sýnýý. K B D 6 Altý Si g ma Foum Altý Sigma Foum S A Y I S A Y I - 5

3 Bu soulaa, kendi geçekleimize uygun olaak veeceðimiz yanýtla, standat sapmamýzýn sigmamýzýn ne kada büyük olabileceðini, dolayýsýyla ne oanda kusuluya azý olmamýz geekeceðini belileyici olacaktý. Kalite yönetimi açýsýndan deðiþkenlik, özellikle büyük boyutlu deðiþkenlik, en önemli soun olaak göülmelidi. Bunu önlemek için, süeçlei baþaý ile yönetmek, istenmeyen deðiþmelein ve astgele deðiþkenliðin nedenleinin keþfedileek, süekli olaak küçültülmesine çalýþmak geekmektedi. Kaynaðý belilenebilen deðiþkenlik, sistemlein / paametelein / koþullaýn ve dolayýsýyla çýktýlaýn deðiþmiþ olduðu anlamýna geli. Dolayýsýyla bu bi deðiþme/deðiþim olaak deðelendiili. Oysa astgele deðiþkenliðin sonucu bi deðiþme deðildi, he þey öngöüldüðü gibi demekti. Deðiþim, deðiþmenin, yani kaynaðý belilenebilen ve önlenebilen/yönetilebilen bi deðiþkenliðin geçekleþmiþ olmasý duumudu. Zamanla, içinde yaþanýlan koþullaýn deðiþmesinin sonucu olaak yaþanan evimsel deðiþim dýþýnda, bizi asýl ilgilendien deðiþim, bilinçli, planlý ve sistemli çalýþmalala saðlamayý hedeflediðimiz geliþtime / iyileþtime baðlamýndaki deðiþimledi. Bu kavam, son yýllada deðiþim yönetimi adý altýnda önemli bi konuma da gelmiþ bulunmaktadý.. Ýstatistik ve Çok Deðiþkenli Ýstatistik Deðiþkenlik önemli bi belisizlik nedenidi. Deðiþkenliðin geçeli olduðu koþullada bi tek ölçüm/gözlem yetmez, zia he deðe yalnýzca kendini yansýtý. Ýlgilendiðiz kitle düzeyinde bilgiye ulaþmak için göece çok sayýda ölçüm / gözlem / vei geeki. Bu veilein delenme, deðelendime ve kaa veme süeçleinin vazgeçilmez aacý da istatistikti. Ýstatistik, deðiþkenlik içeen çok sayýdaki veiyi deðelendieek bunlaýn betimlenmesi, bunla yadýmýyla hedef kitlenin paameteleinin saptanmasý ya da kestiilmesi ve ilgilendiðimiz sounlaa iliþkin vasayýmlaýmýz hipotezleimiz hakkýnda istatistiksel testle yadýmýyla kaala veilmesi þeklindeki uygulamalaý içei. Bu uygulamalada belileyici olan, göeceli olaak çok sayýdaki veinin nasýl delendiðidi. Bu baðlamda temel iki yaklaþým bulunmaktadý: Tam sayým%00-kontol, Önekleme. Tam sayým, ilgilendiðimiz konunun geçeli olduðu kitledeki hedef kitle bütün biimlein ölçme/sayma kapsamýna alýnmasýdý. Bu yaklaþýmýn istenmeyen þu özelliklei bulunmaktadý: Genellikle yüksek maliyetlidi, Uzunca bi vei deleme ve sonuca ulaþma süesi geektii, Kimi duumlada uygulanmasý anlamsýz ve olanaksýzdý. Öneðin ölçme/sayma iþleminin bozucu tahibatlý deneyle olmasý halinde ölçme ile bütün biimle bi þekilde tahip olacaðý için anlamsýz bi uygulama olacaktý. Tam sayým yoluyla delenen veile kullanýlaak ilgili kitle hakkýndaki istatistiksel bilgi/bulgulaa doðudan ulaþýlmýþ olu. Baþkaca bi ölçme/ hesaplama vb hata yapýlmamýþsa, kitle hakkýndaki kesin bilgilee bu yolla ulaþýlmýþ olacaktý. Bu uygulamada istatistiksel testlee hipotez testlei ve tahminlee geek kalmaz. Önekleme, ilgili kitlenin yapýsal özellikleini yansýtan, göece küçük bi kesitinin incelenmesi suetiyle kitlenin anakitle/hedef kitle tamamý hakkýnda, istetistiksel tahmin ve testle yoluyla, bilgiye ulaþýlmasýný saðlayan bi metodoloidi. Öneklemeyi çekici kýlan önemli nedenle þunladý: Ekonomikti, Hýzlý/kýsa süede sonuç almaya uygundu, Hatasý hesaplanabili. Kabul edilebili düzeydeki bi hata ile çalýþabilmek için geekli önek hacmi hesaplanabili. Böylece, ne denli hatasýz çalýþmak istediðimize ve ekonomik ve/veya teknik olanaklaýmýza uygun bi önekleme uygulanmasýný geçekleþtiebiliiz.. Ýstatistiksel yöntemle, ayný anda deðelendimeye alýnan deðiþken sayýsý açýsýndan, Bi deðiþkenli istatistik univaiate statistics, Çok deðiþkenli istatistik multivaiate statistics þeklinde sýnýflandýýlý. Çok deðiþkenli istatistik multivaiate statistics, multivaiate statistical methods, multivaiate statistical analysis,, ayný anda biden çok deðiþken içeen deðiþken setleini astgele vektöle, içediði deðiþkenlein iç baðlantýlaýný da gözadý etmeksizin incele. Bu nedenle, geçekçi çözümlein üetilmesinde son deece önemli ve geekli yöntemledi. Bu ailede kimi ünlü yöntemle þunladý: Çok deðiþkenli vayans analizi Multivaiate ANalysis Of VAiance: MANOVA, Çoklu/Çok deðiþkenli egesyon analizi Multivaiate egession analysis, Setleaasý koelasyon analizi Canonical coelation analysis, Ayýma analizi Disciminant analysis, Kümeleme analizi Cluste analysis, Faktö analizi Facto analysis..0 Setleaasý Koelasyon Analizi Setleaasý koelasyon analizi canonical coelation analysis, iki deðiþken seti aasýndaki iliþkinin çözümlenmesine yönelik bi çok deðiþkenli istatistik yöntemidi. He bii iki ya da daha çok deðiþken içeen, iki deðiþkenle seti aasýndaki iliþkiyi, setledeki deðiþkenle aasý basit koelasyon katsayýlaý ile ölçüp, youmlamak, deðiþken sayýsýnýn fazla olmasý halinde oldukça zodu. Bu zoluk setleaasý koelasyon analizi ile bi ölçüde aþýlabilmektedi. Bu yöntemde deðiþkenlein bie set vektö halinde alýnýyo olmasý, bunla aasýndaki yapýsal baðlaýn da gözadý edilmemesi sonucunu doðuacaðýndan, saðlýklý ve geçekçi bi yaklaþým olmaktadý. Setleaasý koelasyon analizi ile, ayný biimlede gözlenen iki gup deðiþken aasýndaki iliþkinin deecesinin belilenebilmesi yanýnda, setledeki deðiþkenleden he biinin bu iliþkiye katkýsý ve bi setteki deðiþkenle yadýmýyla diðe setteki deðiþkenlein kestiilebilmesi olanaðý da saptanabilmektedi. Setleaasý koelasyon analizinin uygulanabilme koþullaý, basit ve çoklu koelasyon analizinde olduðu gibidi. Yani deðiþkenlein nomal daðýlýma uymalaý koþulu, buada çok boyutlu nomal daðýlýma uygunluk þeklinde aanmaktadý. Bunun sonucu olaak da deðiþkenle aasýndaki iliþkinin doðusal olmasý geekmektedi. Deðiþken setleinden biisi p sayýdaki X, X,..., X p deðiþkenleinden, diðei de q sayýdaki Y, Y,..., Y q deðiþkenleinden oluþuyo olsunla. Üzeinde bu deðiþkenlein ölçüldüðü n sayýdaki biimin he bii, bu deðiþkenlein doðusal kombinasyonlaý ile ifade edilebili. Bu doðusal kombinasyonla iliþkilein saptanmasýnda temel yapýladý ve kanonik deðiþkenle canonical vaiates olaak da adlanýla. Setle aasýndaki koelasyonun ölçüsü, kanonik deðiþkenle aasýndaki basit koelasyon katsayýsýdý. Bu deðiþkenle aþaðýda gösteildiði gibi belilenile: X - deðiþkenle setindeki biinci doðusal kombinasyon ve Y - deðiþkenlei setindeki biinci doðusal kombinasyon Y o þekilde belilenile ki, X ile Y aasýndaki koelasyon katsayýsý X Y enbüyük maksimum olsun. X ve Y kombinasyonlaýndan sona ikinci kademede oluþtuulacak olan X ve Y doðusal kombinasyonlaý da yine kalan iliþki açýsýndan X Y enbüyük maksimum, fakat X X = 0 ve Y Y = 0 olacak þekilde belileni. Bu þekilde aþamalý olaak belilenebilecek setleaasý koelasyon katsayýsý sayýsý k = minp, q olup, bunla aasýnda büyüklük açýsýndan iliþki þöyledi: k k X Y X X... X Y. X 8 Altý Si g ma Foum Altý Sigma Foum S A Y I S A Y I - 5

4 Yukaýdaki açýklamaladan da anlaþýlmýþ olacaðý gibi, he aþamada oluþtuulan doðusal kombinasyon, bu aþamaya kada açýklanamayan kalan iliþkinin açýklanmasýna yönelikti. Böylece tüm iliþki açýklanýncaya kada doðusal kombinasyonla belilenecek demekti. Ancak bunlaýn sayýsý ençok k=minp,q kada olabilecekti. X ile Y aasýndaki koelasyon u ve v vektöleinin fonksiyonudu ve aþaðýdaki gibi veili: X ve Y kanonik deðiþkenleine ait aðýlýk vektölei de u R R v ve Test için seçilen önem düzeyi 'ya iliþkin sýný kitik deðei bu daðýlýmdan yansýtýldýðý gibi belileni. olaak aþaðýdaki þekilde Bi i'nci biim üzeinde X-deðiþken setinden 'nci deðiþkene ait ölçüm deðei gözlenen deðe X i ve benze þekilde Y- deðiþken setine ait 'nci deðiþkenin gözlenen deðei Y i olmak üzee, söz konusu doðusal kombinasyonla aþaðýdaki gibi veilebilile: x = u x + u x u x ; y = v y + v y v y p p q q x = u x + u x u x ; y = v y + v y v y i i i p ip i i i q iq X = Xu ve Y = Yv ifadeleinin de standat hale otalamasý sýfý ve vayansý bi getiilmiþ olmalaý koþulu altýnda u Ru = ve v Rv = olduðundan, di. R R R R I v 0 eþitlikleinden belilenecekti. Diðe olanaklý kanonik koelasyon katsayýlaý da benze þekilde belileni x = u x + u x u x ; y = v y + v y v y n n n p np n n n q nq Bu ifadele matis þeklinde þöyle yazýlabili: u = [u, u,..., u ] ; v = [v, v,..., v ] p q X = x i np ; Y = y i nq X = Xu ; Y = Yv Buadaki u ve v vektölei aðýlýkla vektöüdüle. Bunla, X ile Y aasýndaki koelasyon katsayýsý maksimum olacak þekilde belilenile. Bunun saðlanabilmesi için geekli baðýntý ve çözüm yaklaþýmlaý þöyle özetlenebili: X ve Y aasýndaki olanaklý koelasyonlaýn koelasyon matisi R di: X Y 'yi enbüyükleyen u ve v vektöleini belileyebilmek için Langange çapanlaý / ve / yadýmýyla tanýmlanan Fu, v = u R v - / u R u-- v R v- / fonksiyonunu enbüyükleyen u ve v vektöleini belilemek geek ve yetedi. Matis eþitlikleinden gideek Buada olmak üzee ve matisinin özdeðeidi. Bu özdeðein en büyüðü ile gösteilsin. en büyük kanonik koelasyon katsayýsýnýn kaesine eþitti. Dolayýsýyla, Y ˆ di. Belilenmiþ olan kanonik koelasyon katsayýlaýnýn önem testleinin de yapýlmasý geeki. Bunun için, test edilecek olan sýfý vasayýmý Kanonik koelasyon katsayýlaýnýn hepsi sýfýdý, yani H ˆ ˆ ˆ ˆ... ˆ ˆ 0 : XY X Y X k Y k 0 Kaþýtaltenatif vasayým H, H : Koelasyon katsayýlaýndan en az biisi sýfýdan faklýdý þeklinde olacaktý. Test daðýlýmý, sebestlik deecesi pq olan Ki-Kae daðýlýmýdý. Test istatistiði ˆ, ˆ n [ pq 0.5 p Buadaki lambda, Wilk lambdasý olaak anýlý ve k i i þeklinde tanýmlaný/hesaplaný. q ] ln Þekil - : Sebestlik deecesi pq olan bi Ki-Kae daðýlýmýnda, önem düzeyi ya kaþýlýk gelen sýný kitik deðe. ˆ pq ; ise, bütün koelasyon katsayýlaý sýfýa eþitti þeklindeki sýfý vasayýmý eddedileek, koelasyon katsayýlaýndan en az biisinin sýfýdan faklý olduðu sonucuna vaýlý. Sýfýdan faklý olacak olan da doðal olaak en büyük koelasyon katsayýsý olan biinci kanonik koelasyon katsayýsýdý. Bundan sona diðelei için de sýayla önem testi uygulanaak önemsizlik sonucuna eiþilinceye kada uygulama südüülü. Ýkinci kanonik koelasyon katsayýsý için test istatistiði, ˆ [ n 0.5 p q ] ln ve k i olmak üzee, i ˆ [ p q ; ] ise biincisi dýþýndaki 40 Altý Si g ma Foum Altý Sigma Foum S A Y I S A Y I - 5

5 diðe koelasyon katsayýlaý sýfýa eþitti vasayýmý eddedileek, bunladan en az biisinin sýfýdan faklý olduðu sonucuna vaýlý. Bu da ikinci en büyük koelasyon katsayýsý olan ikinci kanonik koelasyon katsayýsý olacaktý. Öneðin, ˆ ˆ ˆ X X [ ˆ XX X X X X] ölçütü, ˆX kanonik deðiþkeninin X X,, X deðiþkenleinin vayanslaý toplamýný ne oanda açýklayabildiðini ölçe. Test uygulamasý sonunda önemli anlamlý bulunan koelasyon katsayýlaýnýn youmu için ise aþaðýdaki gibi bi süeç izleni: He setteki deðiþkenlein bu sete ait kanonik deðiþkenlele iliþkisini ölçen koelasyon katsayýlaý X ˆ ˆ i X ve YiY ve buna baðlý olaak bi deðiþkenin deðiþkenliðinin ilgili kanonik deðiþkenle ne oanda açýklandýðý X ˆ i X ve YY ˆ i deðelei ile ölçülü. Bunlaa iliþkin koelasyon matislei R X ve R Y aþaðýda p = q = için veilmiþledi: Benze þekilde, bi deðiþkenle setindeki deðiþkenlele diðe sete ait kanonik deðiþkenle aasýndaki iliþkile ve bu kanonik deðiþkenlein diðe setteki deðiþkenle setindeki deðiþkenlei açýklayabilme oanlaý da R Y ve R X matislei ile saptaný: Bu matislede de bi kanonik deðiþkenin diðe setteki toplam vayansý ne oanda açýkladýðý aþaðýdaki baðýntýlala saptaný: Y [ Y q Y... Y q ] Bu matisledeki koelasyon katsayýlaýnýn kaelei belililik katsayýsý anlamýnda youmlaný. Öneðin R X matisindeki X in kaesi, X in deðiþkenliðinin vayansýnýn X kanonik deðiþkeni ile ne oanda açýklanabildiðini yansýtý. Benze þekilde diðe koelasyon katsayýlaý da youmlanacaktý. Öneðin, ˆ XY [ X p ˆ Y X... X p ] Bu matisledeki son satýda ye alan ˆ ve XX Y deðelei X Y [ X p [ q Y X Y... X þeklinde belilenmektedi. Bunla ilgili kanonik deðiþkenin ait olduðu setteki tüm deðiþkenlein vayanslaý toplamýný ne oanda açýklayabildiðini yansýtýla. Zia buada deðiþkenle standat hale getiilmiþ olduklaýndan he biinin vayansý bie eþitti. Dolayýsýyla setteki deðiþkenlein vayanslaý toplamý o setteki deðiþken sayýsýna eþitti. Bu nedenle yukaýdaki ifadele ilgili setteki deðiþken sayýsýna bölünmektedi.... Y p q ] ] ˆ ˆ [ ˆ YX ˆ Y X Y X Y X ] ölçütü, ˆX kanonik deðiþkeninin Y, Y, Y deðiþkenleinin vayanslaý toplamýný ne oanda açýklayabildiðini ölçe. Buna kaþý, Y ˆ X, ˆX kanonik deðiþkeninin Y deðiþkeninin vayansýný ne oanda açýkladýðýný yansýtmaktadý. 4 Altý Si g ma Foum Altý Sigma Foum S A Y I S A Y I - 5

6 .0 UYGULAMA ÖRNEÐÝ * Taafýmýzdan yapýlan kapsamlý bi çalýþmada, aðýlýklý olaak çok deðiþkenli istatistik kullanýlaak, malzeme homoenliði ve bunun istatistiksel süeç kontolu ve genel olaak malzeme kalite kontolunda doðuacaðý sounla aaþtýýlmýþtý. Özellikle malzemenin neesinden kaç noktada ölçüm yapýlmasý geekeceði, yanýnda, üetim süeçleinde üün kalitesinin oluþumu/deðiþimi kestiilmeye çalýþýlmýþtý. Buada amaç kalitenin kestiiminde uygulamaya yaalý/ patik bi yol çizebilmekti. Bu aaþtýmalada setleaasý koelasyon analizi de kapsamlý olaak uygulama bulmuþtu. Bu uygulamalaýn küçük bi kesiti önek olaak aþaðýda açýklanmaktadý. Koelasyon matisinden göüldüðü gibi, geek X ve Y setlei içindeki koelasyonla oldukça yüksek ve hepsi de 0.9 dan büyüktü. Ayýca X ile Y deðiþkenlei aasýnda da 0.8 den büyük koelasyonla vadý. Bütün koelasyon katsayýlaý 0.99 güven olasýlýðý =0,0 düzeyinde önemli olduklaý uygulanan önem testi sonunda saptanmýþtý. Bu veilele belilenmiþ olan kanonik koelasyon katsayýlaý ve bunlaýn önem testi de aþaðýdaki çizelgede yansýtýlmaktadý: Çizelge-: Setleaasý kanonik koelasyon katsayýlaý ve - önem testi. Levha þeklinde ve büyük boyutlu olaak 70 x 550 cm üetilen bi malzemede levha ota eksenleine göe simetik konumlu noktalaýn fiziksel özellikle yönünden eþdeðe nitelikte olduðu saptanmýþtý. Bu malzemeye uygulanacak iki faklý iþlem A ve B iþlemlei aasýnda malzeme özellikleindeki deðiþme açýsýndan bi iliþki olup olmadýðý aaþtýýlmaktadý. Bu amaçla he iki iþlemin uygulandýðý levhala yüzeyinde seçilmiþ 66 þa adet simetik konumlu noktadaki kalýnlýk, özgül aðýlýk ve eðilme dayanýmý deðelei ölçülmüþtü. Bu veilele iþlemle aasýndaki iliþki ölçülmek istenmektedi. Bu amaca uygun yöntemleden biisi setleaasý koelasyon analizidi. Aþaðýda bu yöntemin uygulamasý özet olaak yansýtýlmaktadý. Sýa no... Setleaasý koelasyon katsayýlaý Wilk Lambdasý x - Hesap x Sebestlik Deecesi SD 9 4 x - Tablo x SD ; = Çizelge-: Setle, X = [ X, X, X ] ve Y = [ Y, Y, Y ] Bu çizelgedeki deðele aþaðýdaki gibi hesaplanmýþladý: X ; Kalýnlýk mm X ; Özgül Aðýlýk g/cm X ; Eðilme Dayanýmý kgf/cm A Ýþleminde Ölçüm Sayýsý n = 66 A ˆ i [ ][ 0.8 ][ ] i [ ]ln Y ; Kalýnlýk mm Y ; Özgül Aðýlýk g/cm Y ; Eðilme Dayanýmý kgf/cm B Ýþleminde n = 66 B ˆ ln ; 0.05 olduðundan sýfý vasayýmý, H : "Kanonik koelasyon katsayýsý 0 sýfýdý." vasayýmý eddedili. Bu deðiþkenle aasýndaki olanaklý ikili basit koelasyon katsayýlaý aþaðýdaki koelasyon matisinde veilmiþledi. Koelasyon matisi Buna göe, biinci kanonik koelasyon katsayýsý istatistiksel anlamda önemlidi. Yani, bunun sýfýdan faklýlýðý, astlantý esei olabilecek bi faklýlýk düzeyinin ötesindedi. Bununla açýklanabilenden ata kalan iliþki için de diðe kanonik koelasyonla katsayýlaýnýn test edilmesi geekiyo: i [ 0.8 ][ ] i ˆ [ ]ln ˆ ; 0.05 olduðundan ikinci ve bundan sonaki koelasyon katsayýlaýnýn önemli olmadýklaý, sýfýdan faklýlýklaýnýn astlantýsal olduðu sonucuna vaýlý. 44 Altý Si g ma Foum Altý Sigma Foum S A Y I S A Y I - 5

7 Bu duumda istatistiksel anlamda önemli bulunan yalnýzca biinci koelasyon katsayýsýdý ve dolayýsýyla biinci kanonik deðiþkenledi. Diðeleinin önemli bi katkýlaý olmayacaðý anlaþýldýðýnda yalnýzca biinci kanonik deðiþkenlee ait aðýlýk vektölei aþaðýda veilmiþledi: Çizelge-: X ve Y kanonik deðiþkenleine ait u, u, u ve v, v, v aðýlýklaý X X X X Buna göe biinci kanonik deðiþkenle aþaðýdaki gibidile: Y Y Y Y X X Y Y Y Deðiþkenlein kanonik deðiþkenledeki aðýlýklaýna bakaak, he bi deðiþkenin setle aasýndaki iliþkiye katkýsýný youmlamak ancak deðiþkenlein baðýmsýz olmalaý halinde olanaklýdý. Deðilse, bu aðýlýklaa göe bi youm kolay deðildi. Yukaýdaki önekte, deðiþkenle aasýnda yüksek koelasyonla bulunduðu, koelasyon matisi R de gözükmektedi. Deðiþkenlein, kanonik deðiþkenlele olan koelasyonlaý da aþaðýdaki çizelgede veilmektedi: Çizelge-4: Setledeki deðiþkenlele kanonik deðiþkenle aasýndaki koelasyon katsayýlaýný içeen koelasyon matislei R X R Y R X, R Y, R Y, R X ˆ X Y ˆX R Y ˆ XX Y Y X X X Y Y Y R X Y Y Y X X X X Bu matislede göülmektedi ki, X kanonik deðiþkeni X setindeki deðiþkenlein toplam vayansýný % oanýnda ve Y setindeki deðiþkenlein toplam vayansýný % oanýnda açýklayabilmektedi; Y kanonik deðiþkeni ise Y setindeki deðiþkenlein toplam vayansýný %95.95 ve X setindeki deðiþkenlein toplam vayansýný da %7.555 oanýnda açýklayabilmektedi. Ayýca setledeki he bi deðiþkenin kanonik deðiþkenlele olan koelasyonlaýnýn oldukça yüksek olduðu da göülüyo. Bu duum deðiþkenle aasýndaki yüksek koelasyonun bi sonucudu. Baþlangýçtaki koelasyon matisinde bu koelasyonla yansýtýlýþtý. 4.0 SONUÇ Yaþamýmýzýn kaçýnýlmaz geçeði, he koþulda deðiþkenliðin va olmasýdý. Bu geçeðin doðal sonucu da istatistiðin vazgeçilmezliðidi. Ýstatistik yükseköðetimde needeyse he pogamda az/çok ye alýyo olmakla beabe, soun çözmede güçlü bi aaç olacak düzeyde öðetilemiyo olduðu da bi baþka geçekti. Altý sigmanýn saygýnlýk/etkinlik kazanmasý, istatistiðin öneminin de daha iyi anlaþýlmasý sonucunu doðuuyo. Bu umut veici bi geliþmedi. Geçekçi çözümlee ulaþýlmasý büyük ölçüde çok deðiþkenli istatistik yadýmýyla baþaýlabilmektedi. Ülkemizde hem eðitimi ve hem de uygulamasý hayli eksik olan bu alanýn da atýk daha etkin bi þekilde iyileþtime süeçleimizde ye almasý geekiyo. Altý sigma uygulamalaýnýn bu konuda da çok yaalý bi katký saðlayacaðýný umuyo ve bekliyouz. Kaldý ki, günümüzdeki bilgi teknoloisi ve yazýlým desteklei açýsýndan sahip olduðumuz olanakla, atýk çok deðiþkenli istatistiðin kolaylýkla uygulanmasýný olanaklý hale getiiyo. Ancak bu alandaki en önemli eksiklik, belki de bu tü çözümlei uygulayabilmiþ deneyimli eðitici / akademisyen kadolaýmýzýn yetesizliði olabili. Ülkemizde genellikle, kuamsal bilgi açýsýndan iyi donatýlmýþ olanla, uygulama ile yeteince buluþamamýþ olabiliyola ve mesleksel uygulamayý iyi bilen uygulamacýlaýn da kendi alanlaý dýþýndakiistatistik gibi kuamsal bilgilele donatýlmaya zamanlaý olmuyo. Oysa çözümde baþaý, kuamsal bilgi ve uygulamasýnýn buluþma baþaýsýna baðlýdý. Bu baðlamda öncelik, akademisyenlein/eðiticilein uygulama konusunda da yeteli donanýma sahip olmalaýnýn saðlanmasýnda olsa geeki. Va gücümüzle, indekse giecek yayýn yapmayý teþvik etmekle ülke sounlaý çözülmüyo. Ülkemizde çözüm bekleyen sayýsýz soun ilgi bekliyo. Bu sounlaýn çözümüne saðlanacak bi katký, uluslaaasý bilimsel yayýn sayýlaýindekse gien yayýn sayýlaý sýalamasýnda iyi bi ye edinmek kada yaalý ve geekli bi çaba olsa geeki. Kaynakça. Quoc Hao Mach ve Ratvinde Singh Gewal Çevii: Altý Sigma Foum: Kanonik Koelasyon Analizini Kullanmak. Altý Sigma Foum Sayý 4, Yýl 4, 008, S Halit Kasa: Toplam Kalite Yönetimi ve Altý Sigma Buluþmasý; KalDe Foum Yýl, Sayý 6, Nisan-Mayýs- Hazian 00.. Hans Pete Litz: Multivaiate Statistische Methoden. Oldenbug Velag, München Halit Kasa: Ýstatistik Yöntemleinin Liflevha Kalite Kontolu Sounlaýna Uygulanmasý Üzeine Bi Deneme. Doçentlik Tezi -980, Yayýmlanmadý. 5. Naayan C. Gii: Multivaiate Statistical Infeence. Academic Pes, NewYok, San Fancisco, London William W. Cooley-Paul R. Lohnes: Multivaiate Data Analysis. John Wiley and Sons. IncNew Yok, London, Sidney, Toonto, Altý Si g ma Foum Altý Sigma Foum S A Y I S A Y I - 5

8 S.P.A.C. Altý Sigma Danýþmanlýk fimasýnýn 45 Tük fimasýndaki Altý Sigma uygulamalaý sonucu elde ettiði deneyimleini kaleme aldýðý bu kitapta; Altý Sigma'ya baþlamadan önce - hazýlýkla, Üst yönetimin soumluluklaý, Kitik baþaý faktölei, Kaakuþak poelei nasýl seçilecek? Kaakuþakla nasýl seçilecek? Poel Yönetimi ve uygulama planý, Süeç Yönetimi'nin önemi, Yalýn Altý Sigma, TRIZ, Altý Sigma Uygulamasýný ölçmek gibi konula hakkýnda bilgi edinebilisiniz. S.P.A.C. Altý Sigma Danýþmanlýk fimasýnýn, Tük iþ dünyasýna metodoloiyi anlatmak, Altý Sigma'nýn temel pensipleini ve aaçlaýný tanýtmak amacýyla kaleme aldýðý bu kitapta; Altý Sigma felsefesi Müþtei-Tedaikçi iliþkisi Sigma seviyesi Üün kalitesi-süeç kalitesi DMAIC Aþamalaý ve aaçlaý Uygulama öneklei - ANOVA - Loistik Regesyon - Deney tasaýmý konulaýnda bilgi sahibi olabilisiniz. Altý Sigma Vizyonu Yazala: Akýn POLAT Kaakuþak Biol CÖMERT Uzman Kaakuþak Tüme ARITÜRK Uzman Kaakuþak Altý Sigma Nedi? Yalýn Altý Sigma Nedi? Yazala: Mike GEORGE Dave ROWLANDS Bill KASTLE Yalýn Altý Sigma konusunda Dünya lidei Geoge Goup Consulting fimasýnýn kuucusu ve sahibi olan Michael Geoge'un Yalýn Altý Sigma kitaplaý, Dünya'da en çok satan iþ yönetimi kitaplaý aasýnda ye almaktadý. Bu kitabýn amacý, sizlee Yalýn Altý Sigma'yý tanýtmaktý. Anahta konulaa odaklanmaktadý ve efeans kýlavuzu olmasý amacýyla yazýlmamýþtý. Altý Sigma'nýn, Yalýn ile desteklenmesinin saðlayacaðý avantalaý ve faklýlýklaý Michael Geoge'un Yalýn Altý Sigma Nedi adlý bu kitabýndan öðenebilisiniz. Yaatýcý Tasaým Geliþtime Teoisi TRIZ TRIZ - Yaatýcý Poblem Çözümü Teoisi'nin babasý olaak bilinen Genich Altshulle taafýndan yazýlan ve SPAC taafýndan Tükçe'ye çevilen bu kitap konu hakkýndaki tek Tükçe yayýndý. Kalite çalýþanlaý, Üün geliþtime iþiyle uðaþanla, Üetim ve tasaým süecinde çalýþanla, Yaatýcýlýk-patent-buluþ konulaýyla ilgilenenle, Akademisyenle ve mühendislik öðencileinin zevkle okuyaak TRIZ tekniðinin temel pensipleini öðenebileceklei önemli bi kaynak. Yazala: Akýn POLAT Kaakuþak Biol CÖMERT Uzman Kaakuþak Tüme ARITÜRK Uzman Kaakuþak Yaza: Genich Altshulle TRIZ tekniðinin yaatýcýsý