MATEMATİK TARİHİ. 2. Dönem: Yunan Matematiği Dönemi

Transkript

1 MATEMATİK TARİHİ 2. Dönem: Yunan Matematiği Dönemi

2 M. Ö M.S. 500 yılları Yunan Matematiği dönemi olarak bilinmektedir.

3 Yunan Medeniyeti

4 ESKİ YUNAN MEDENİYETİ

5 Eski Yunan Medeniyetine kısa bir bakış Yunanların M.Ö yıllarında kitleler hâlinde Balkan Yarımadası'nın güneyine göç ettiklerine inanılır. M.Ö. 23. ve 17. yüzyılları Proto-Grek dönemi. M.Ö. 1600'den 1100'e kadar olan dönem, Homeros'un epiklerinde masallaştırdığı Truva'ya karşı savaşan Kral Agememnon'un başında olduğu Miken Yunan Çağı'dır. M.Ö. 1100'den M.Ö. 8. yüzyıla olan hiçbir yazılı eserin günümüze ulaşmadığı, sadece yetersiz arkeolojik kalıntıların bulunduğu Karanlık Çağ olarak adlandırılır.

6 Antik Yunan Çağı'nın Büyük İskender'in (ölümü: M.Ö. 323) hükümdarlığının başlaması ile sona erdiği kabul edilir. Büyük İskender in dönemine Helenistik Çağ adı verilir. Karanlık Çağ da okur yazarlık kaybolmuş ve Miken yazısı unutulmuş. M.Ö. 8. yüzyıldan itibaren kültürel-toplumsal alanda büyük canlanmalar başladı. M.Ö. 8. yüzyılda Miken Uygarlığı'nın çöküşe geçmesi ile Yunanistan, Karanlık Çağından çıkmaya başlamış Yunanlar Fenike Alfabesi'nden Yunan Alfabesini yarattılar. M.Ö. 800'lerde ilk yazılı kayıtlar görülmeye başladı.

7 M.Ö 1200 yıllarında Dorlar'ın Yunanistan'ı işgal etmesiyle Polis adını vermiş oldukları şehir devletleri kurulur. Bunların en önemlileri Atina, Isparta, Korint ve Tebai'dir.

8 Yunan Matematiği ve bazı Yunan Matematikçileri M.Ö. 550 yıllarında Persler, Anadolu ve Mısır olmak üzere Ortadoğunun hakimi idiler. M.Ö. 480 yıllarında Persler, Atina yı ele geçirirler ama bir yıl sonra Yunanlılar Persleri Yunan yarım adasından atarlar. Bu tarih, yani M.Ö. 479 yılı, Yunan medeniyetinin başlangıcı olarak bilinir. Elbette Yunan matematiği bu yıllardan çok önce başlamıştır. Tales ve Pisagor Yunan matematiğinin babası olarak bilinmektedirler

9 Tales Milet (Aydın) da doğdu, Mısır da geometri öğrendiği biliniyor. Tales teoremini kullanarak piramidin yüksekliğini hesapladığı kitaplarda yazılmıştır. Piramidin gölgesinin uzunluğunu ölçmüş ve kendi boyunun gölgesi ile oranından piramidin uzunluğunu bulmuştur. Mısır dan Milet e geri geldiği zaman bir grup kurarak onlara geometriyi öğretmiştir. Akıl yürütmeye dayanan soyut ispatın (deneye dayanmayan) matematiğe Tales ile geldiği kabul görür ve Tales tarihin ilk filozofu olarak da bilinmektedir.

10 TALES TEOREMİ : İkiz kenar üçgenin taban açıları bir birine eşittir. Ters açılar eşittir. Bir kenarı ve o kenara bitişik açıları eşit olan iki üçgen birbirine eşittir. Çapı gören çevre açı 90 derecedir. Benzer üçgenlerde, eşit açılar karşısında bulunan kenarlar orantılıdır. Bir çember, çapı tarafından iki eşit parçaya bölünür.

11 Pisagor Susam adasında doğmuştur. Tales in yanında bir süre kaldıktan sonra Mısır a gidip Mısır tapınaklarında dini bilgiler edindiği daha sonra ise Mısırda Perslere esir düştükten sonra Babil e götürüldüğü bilinmektedr. Babil de matematik, müzik ve dini bilgiler edindiği biliniyor. Sisam a geri gelince okul oluşturarak bilgilerini aktarmaya çalışmıştır. M.Ö 518 de buradan ayrılarak Güney İtalya ya yerleşmiştir. Burada ise mistik-bilimsel tarikat gibi bir okul oluşturmuştur.

12

13

14 Pisagor Okulu Pisagor okuluna göre herşey sayılara indirgenebilir. Sayılar arasında raslantı olamayacak kadar mükkemmel bir ahenk var ve bu ahenk ilahidir. O yıllarda bilinen sayılar 1,2,3 gibi tam sayılar ve ½ ¾ gibi bir parçanın bütününe oranını belirten kesirli sayılardır. Pisagor teoremi ile irrasyonel sayılar ortaya çıkmış ve bu keşif beraberinde ilk matematik krizini getirmiştir. O dönem yunan matematiği temelinde aslında Mısır ve Mezopotamya matematiği vardır.

15 Eflatun ve Akademisi Atina da matematiğin eğitimi Eflatun ile başlar (Platon M.Ö ). Sokrat ın öğrencisi olan Eflatun onun ölümü ile Mısır, Sicilya ve İtalya da kalır. Bu sayede pisagorculardan matematik öğrenir. Matematiğin önemini anlayan Eflatun M.Ö.387 de geri dönmesi üzerine Atina da bir okul kurar, ve okuluna Akademius adını verir. Akademius Pers-Yunan savaşları kahramanlarından birinin ismidir. Bu okulda felsefe, geometri, müzik ve jimnastik ağırlıklı dersler verilmekte idi. Geometri doğru düşünmeyi öğrenmenin temel aracı olarak kabul görmekte, felsefe ile birbirine yakın konular olarak görülmektedir. Bu okul M.S. 529 yılına kadar eğitim verecek ve çok sayıdan matematikçi yetiştirecektir. Platon (Eflatun)

16 Bu okulda yetişen ilk önemli matematikçi Öklid (Euclid M.Ö ). Son önemli matematikçi ise Proclus (M.S ) dur. M.Ö yıllarının en önemli matematikçisi Eudoxus dur. Pisagorcuların sayı kavramını değiştirmiş ve sayıyı iki uzunluğun oranı olarak tanımlayan ve bu tanıma uygun bir sayılar aritmetiği geliştirerek, irrasyonel sayıların keşfi ile matematiği içine düştüğü krizden kurtarmıştır. Exahaution yöntemini geliştirmiş ve evrensel olarak bir modeli ilk tasarlayan Eudoxus. Exahaution yöntemi nedir: Şekli düzgün olmayan, alanı yada hacmi bilinmeyen bir cismin alan veya hacmini, alanı veya hacmi bilinen şekillerle doldurup alanı yada hacmi hesaplama yöntemi.

17 Büyük İskender ve İmparatorluğu M.Ö. 335 ten sonra Makedonyalı Büyük İskender,12-13 yıl Pers İmparatorluğunu ele geçirir. 322 de Hindistan dönüşü Babil de ölünce İmparatorluk üçe bölünür. Afrika daki topraklar (Mısır ve Libya) general Ptolemaios a, Asya daki topraklar general Seleukos a ve Avrupa daki topraklar da Antigonos e düşer. Böylece, daha sonra Yunan kültür bölgeleri olan Yunan uygarlığının gelişeceği üç bölge ortaya çıkar. Bunlar Yunanistan-Makedonya, Anadolu-Suriye ve Mısır-Libya dır.

18 Makedonya krallığında Eflatun un Akademisi, Aristo nun Lisesi gibi okullar eğitimlerini felsefe ağırlıklı olarak sürdürürler. Anadolu da tıp ve astronomide Galenos ve Hipparkhos gibi önemli bilginler yetişir. Galenos un tıp konusunda 500 civarında kitap (papirüs) yazdığı bilinmektedir. Galenos, Hipokrat ın yaşadığı dönemle İbni Sina nın zamanı arasında yaşamış en önemli tıp adamıdır.

19 İskenderiye ve Museum Matematik alanında en önemli merkez İskenderiye dir. Ptolemaios, Zeus un sanat tanrıçaları (esin perileri) olarak bilinen kızlarına verilen Muse isminden esinlenerek, İskenderiye de tarihin en ünlü üniversitelerinden biri olan Museum u kurar. Bu kurum, 700 yıldan fazla bir süre ileri bilimler merkezi olarak eğitim ve araştırma faaliyetlerini sürdürür ve ücretler devlet hazinesi tarafında ödendiğinden burada birçok bilim adamı çeşitli dallarda eğitim vermiş ve araştırma yapmıştır. Zamanla çok zengin bir kütüphane oluşturulmuş, botanik bahçesine ve bir gözlemevine sahip olmuşlardır. Yunan kültür bölgelerinden önemli bilim adamları burayı ziyaret edip, bir süre kalmışlardır.

20 ÖKLİD Museum da ders veren ilk önemli matematikçi Öklid dir. Öklid in en önemli eseri Öklid in Elementleri olarak bilinen on üç kitaplık matematik dizisidir. O tarihlerdeki kitap uzunlukları bir papirüslüktür. Yani 20 ila 50 sayfa arasında bir kitaba karışılık geliyor. Bu kitaplarda Öklid o zamanlarda bilinen matematiğinin sistematik bir derlemesini sunar. Bu eserin önemi Öklid in geometriye yaklaşımında ve konuları sunuşundadır. Öklid, geometride önce evrensel geçerliliği olan beş aksiyom verir. Bunlar: A = B ve B = C ise A = C gibi kurallar. Sonra nokta, doğru, düzlem gibi kavramların ne olduğunu belirten 31 tanım verir.

21 Öklid Daha sonra da Öklid geometrisinin önemli 1) İki noktadan bir doğru geçer. 2) Bir doğru parçası sınırsız uzatılabilir. 3) Bütün dik açılar birbirine eşittir. 4) Bir nokta ve bir uzunluk bir çember belirler. 5) Bir doğruya onun dışındaki bir noktadan sadece bir paralel çizilir Gibi tanımları verir.

22 Mantıki çıkarım yoluyla, bu tanımlardan çıkarabildiği sonuçları teorem ve önerme olarak mantıksal bir sırada sunar. Bu yaklaşım bugünkü matematiğin ve bilimin temelini oluşturur. Ünlü düşünür Bertrand Russell a göre, hiçbir eser batı düşünce sisteminin oluşmasında bu kitap kadar etkili olmamıştır. Öklid in Elementeri birçok dile çevrilmiş, binden fazla basım yapmış, bütün uygarlıkların okullarında okutulmuş, insanlığın en önemli başyapıtlarından biri olmuştur.

23 Arşimed Arşimed: Bütün zamanların en büyük bilim adamlarından biri olarak kabul edilen Siraküs lü Arşimed (M.Ö ) de Museum da yetişmiştir. En azından bir süre burada kaldığı bilinmektedir. Arşimed icat ettiği mekanik aletlerinin yanısıra, Öklid in geometride yaptığını mekanikte yapmış, mekaniğin ve hidro-statiğin temel ilkelerini yasalaştırmaya çalışmıştır. Matematiğe katkıları, silindir ve küre hakkında çalışmaları; Exhaustion yöntemiyle birçok şeklin alanını hesaplamış olmasını sayabiliriz.

24 Bu, bugün matematikte integral olarak bilinen kavramın başlangıcıdır. Günümüze bu yöntemi ilk kullanan Eudox tan hiçbir eser kalmamıştır. Bu nedenle, belgeli olarak, bu yöntemin ilk olarak kullanıldığı yer Arşimed in eserleridir. Arşimed bu yöntemle, bir dairenin içine ve dışına düzgün 96 kenarlı çokgenler çizip, onların alanlarını hesaplayarak, π sayısının 3,10/71 ile 3,10/70 arasında bir değeri olduğunu hesaplamıştır, dolayısıyla π nin virgülden sonra ilk üç rakamını doğru olarak vermiştir. O zamana kadar π sayısının bilinen değerleri deneysel yolla elde edilen değerlerdi.

25 Ptolemaios: Museum da yetişen ve tarihin en önemli astronomlarından biri olarak kabul edilen bir bilimadamı. Batılıların Ptolemaios, Doğuluların Batlamyüs olarak bildiği Claudius Potolemy dir (M.S ). Batlamyüs, uzun yıllar süren gözlemlerden sonra, Hipparkhos gibi daha önce yaşlamış olan başka astronomların da gözlemlerini de kullanarak, tutarlı bir evren sistemi oluşturmuş; geniş astronomik ölçüm cetvelleri ve bir yıldız kataloğu hazırlamıştır. Batlamyüs ün sisteminde dünya merkezdedir; güneş, ay ve diğer gezegenler dünya etrafında çembersel bir yörüngede dönmektedirler. Arapların, en büyük anlamına gelen almagest dedikleri ve Yunanca ismi matematica olan ünlü astronomi kitabı on beş asır boyunca astronomiyle ilgilenen bütün bilimadamlarının başucu kitabı olarak kalmıştır.

26 HYPATIA (M.S ) İskenderiye okulunun son düşünürü ve matematik tarihinin ilk kadın matematikçisidir. Felsefeci ve matematikçi Theon un kızıdır. Diophantus un Aritmatikasını, Apollonius un Koniklerini, Ptolemaios un Astronomisini yorumladı ve kaleme aldı. İskenderiye papazı Cyrille nin kışkırttığı halk tarafından taş ve sopalarla dövülmüş, derisi midye kabuğu ile yüzülerek tüm vücudu parçalanmış ve sokaklara atılmıştır.

27 Yunan matematiği döneminde bugün biz nasıl matematik yapıyorsak öyle yapılıyordu. Örneğin Öklid in verdiği ispatlar bugün için de geçerlidir, dolayısıyle günlük hayatta işe yararlı olsun diye matematik yapılmıyordu. Bu dönemin sonu: Roma imparatorluğunun yükselişi ve bu imparatorluğun resmi dininin Hıristiyanlık oluşudur.

28 M.Ö. 150 yıllardan itibaren Roma imparatorluğu genişlemeye başlamış. M. Ö. 30 lu yıllara gelindiğinde her üç Yunan kültür bölgesi de Romalıların idaresi altındadır. Bu tarihten sonra, Kilise sosyal ve eğitime hükmetmeye başlamış, (yani Hristiyan öğretisinin dışında hiç bir öğretiye hoş bakmamaya başlamıştır). 390 de Kril (Cril) isimli bir papazın İskenderiye kütüphanesini ateşe vermesi sonrasında museum da çalışan bilim insanlarına saldırılar olmuştur; Museum da ders veren ve tarihin ilk kadın matematikçisi olarak bilinen Hypatia yobaz Hrıstiyanlar tarafından linç edilerek öldürülmüştür.

29 Bu olaydan sonra Museum kapanmış. Bu okulun kapanmasından sonra, Museum da çalışan bilim adamları kitaplarını alarak, Sasanilerin hakim oldukları güneydoğu Anadolu (Harran, Urfa) ve Mezopotamya içlerine, Cundişapur a (şimdiki Beth- Lapat), göçmüşlerdir. 529 yılında da Bizans imparatoru Jüstinyen Atina bulunan Platon un akademisini kapatmıştır.

30 Bu tarih Yunan kültürünün hakim olduğu dönemin bitişi, karanlık çağın başlangıcıdır. Akademinin kapanmasından sonra orada çalışan bilim insanlarının bir kısmı doğuya göçmüşler. Bugün olduğu gibi o günlerde de bilim adamları az sayıda idiler. Doğuya göç eden bu bilim adamları, Yunan kültürüne aşina olan ortamlarda, özellikle Nestorien- Süryani toplumlarında daha uzun yıllar öğretilerini sürdürmeye devam etmişler. İslam biliminin temelinde bu insanların emeği, onların yaptıkları çeviriler vardır. Böylelikle yeni döneme, Müslümanların hakim olduğu döneme gelmiş bulunuyoruz.

31 Yunan Sayı Sistemi Yunanlılar alfabelerinin harflerini rakam olarak kullandıklarından bir rakam sistemine ihtiyaç duymamışlardır. Bu sistemde sayıların yazılışı Romen rakamlarına benziyordu fakat Romen rakamlarından daha gelişmiş bir sistem idi.

32 YUNAN SAYI SİSTEMİ (M.Ö. 5.Yüzyıl İYONYA) Büyük sayılar için; Birim sayının soluna yerleştirilen virgül işareti, verilen sayının bin ile çarpılmış halinin gösteriyordu. Örnek olarak,β sayısı 2000 sayısını gösteriyordu a kadar olan sayıların sağına yerleştirilen M harfi sayının ile çarpılmış halini gösteriyordu. Örnek olarak δm sayısı sayısını, ρνm sayısı sayısını gösteriyordu. Daha da büyük sayılar için sayısının üstleri kullanıldı. Örnek olarak εmm sayısı 5x sayısını gösteriyordu. Sayının alfabeden ayırdedilebilmesi için sayının sonunda bir tırnak işareti veya rakam gösteren harflerin üstüne çizgi konuyordu. Örnek olarak 1085 sayısı aşağıdaki gibi yazılıyordu.

33 YUNAN SAYI SİSTEMİ (M.Ö. 5.Yüzyıl İYONYA) Sayıları yazarken en solda en büyük rakamı ve en sağda ise en küçük rakamı kullanıyorlardı. Sayı yeteri kadar açık olduğu zaman virgül işaretini kullanma ihtiyacı duymuyorlardı. Örnek olarak; Çarpma işlemini, önce büyük sayıların çarpımı ile başlayarak küçüklerin çarpımı ile işlemi bitiriyor ve daha sonra bunların tümünü toplayarak çarpımı elde ediyorlardı.

34 YUNAN SAYI SİSTEMİ (M.Ö ATTİK) Yunanlılar tarafından M.Ö. 450 ile M.Ö.85 yılları arasında kullanılan bir diğer sayı sistemi ise ATTİK veya HERODONİAN diye isimlendirilen sistem idi. Bu sistem 1, 5, 10 ve on un üstlü katlarından oluşuyordu

35 YUNAN SAYI SİSTEMİ (M.Ö ATTİK) 5 sayısını gösteren sembol, diğer sembollerle birleştirilerek, 50, 500, 5000 ve için semboller kullanılıyordu.

36 YUNAN SAYI SİSTEMİ (M.Ö ATTİK) Diğer sayılar bu sayıların toplamı şeklinde elde edilirdi. Sayıları yazarken küçük sayılar büyük sayılardan sonra (büyük sayının sağına) yazılırdı. Her sembol 4 defadan fazla tekrarlanmadan sayılar yazılabiliyordu.

37 EUCLID ALGORİTMASI BÖLME TEOREMİ: b > 0 olan, a ve b tamsayıları için, a = qb + r, 0 r < b. olacak şekilde q ve r tamsayıları vardır. r n = EBOB(a,b) olur.

38 EUCLID ALGORİTMASI Örnek: EBOB(12378, 3054) bulmak için, Euclid algoritması kullanılırsa; böylece EBOB(12378, 3054) = 6 olur.

39 EUCLID İN SAYILAR KURAMI İLE İLGİLİ TEOREMİ TEOREM: Her ikisi de sıfır olmayan a ve b tamsayıları için EBOB(a,b) = ax + by olacak şekilde x ve y tamsayıları vardır. Örnek: EBOB(12378, 3054) = 6 olduğuna göre, 6 = 12378x y olacak şekilde x ve y tamsayılarını bulunuz. EBOB(12378, 3054) = 6 olduğu elde edilirken sondan bir öncekinden başlayarak bölen ve kalan değerleri kullanılmak üzere;