TÜREVİN UYGULAMALARI. Maksimum ve Minimum Değerler. Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun.

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "TÜREVİN UYGULAMALARI. Maksimum ve Minimum Değerler. Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun."

Transkript

1 Maksimum ve Minimum Değerler Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun. TÜREVİN UYGULAMALARI D içindeki her x elemanı için f(c) f(x) ise f fonksiyonunun c noktasında mutlak maksimumumu vardır. f(c) sayısına f nin D deki maksimum değeri denir. Benzer olarak, D içindeki her x için f(c) f(x) ise f fonksiyonunun c noktasında mutlak minimumu vardır ve f(c) sayısına f nin D deki minimum değeri denir. f nin maksimum ve minimum değerlerine f nin uç değerleri denir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 1/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 2/ 107 Maksimum ve Minimum Değerler Şekil 1, d noktasında mutlak maksimuma ve a noktasında mutlak minimuma sahip olan bir f fonksiyonunun grafiğini göstermektedir. Bu grafik üzerindeki en üstteki noktanın (d,f(d)) ve en alttaki noktanın (a, f(a)) noktası olduğuna dikkat ediniz. Şekil 1: Maksimum ve Minimum Değerler Tanım : x noktası c ye yakın olduğunda f(c) f(x) ise f fonksiyonunun c noktasında bir yerel maksimumu (ya da göreli maksimum) vardır denir. [ Bunun anlamı c yi içeren bir açık aralık içindeki her x için ] f(c) f(x) olmasıdır. Benzer olarak, x noktası c ye yakın olduğunda f(c) f(x) ise f nin c noktasında bir yerel minimumu vardır denir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 3/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 4/ 107

2 : Her x için ve herhangi bir n tamsayısı için 1 cosx 1 cos2nπ = 1 olduğundan, f(x) = cos x fonksiyonu (yerel ve mutlak) minimum değeri olan 1 i sonsuz kez alır. Benzer olarak herhangi bir n tamsayısı için cos(2n+1)π = 1 : f(x) = x 2 ise her x için x 2 0 olduğundan f(x) f(0) dır. Dolayısıyla f(0) = 0 değeri f nin mutlak (ve yerel) minimum değeridir. Bu y = x 2 parabolü üzerindeki en alttaki noktanın başlangıç noktası olduğu gerçeğine karşılık gelir. fonksiyonun minimum değeridir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 5/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 6/ 107 : Şekil 2 de gösterilen f(x) = x 3 fonksiyonunun grafiğinden, fonksiyonun hem mutlak maksimum hem de mutlak minimum değerlerinin olmadığını görüyoruz. Aslında yerel uç değerleri yoktur. Bununla beraber, parabol üzerinde en üst nokta yoktur ve bu yüzden bu fonksiyonun maksimum değeri de yoktur. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 7/ 107 Şekil 2: Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 8/ 107

3 : Şekil 3 de f(x) = 3x 4 16x 3 +18x 2 1 x 4 fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 9/ 107 Şekil 3: Buradan f(1) = 5 in yerel maksimum ve f( 1) = 37 nin mutlak maksimum olduğunu görürüz. [Bu mutlak maksimum bir yerel maksimum değildir. Çünkü uç noktada oluşmuştur.] Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 10/ 107 Uç Değer Teoremi Teorem : f fonksiyonu bir [a,b] kapalı aralığında sürekli ise, c ve d sayıları, [a, b] kapalı aralığında olmak üzere, f(c) mutlak maksimum değerini ve f(d) mutlak minimum değerin alır. Ayrıca f(0) = 0 yerel minmum ve f(3) = 27 hem yerel hem de mutlak minimumdur. Burada f nin x = 4 de ne yerel ne de mutlak maksimum olmadığına dikkat ediniz. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 11/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 12/ 107

4 Uç Değer Teoremi Maksimum ve Minimum Değerler Uç Değer Teoremi bir kapalı aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun bir maksimum ve bir minimum değere sahip olduğunu söyler, fakat bu uç değerlerin nasıl bulunacağı konusunda bir şey söylemez. Yerel uç değerleri arayarak işe başlayalım. Şekilde, Uç Değer Teoreminin hipotezlerinden birini kaldırdığımızda (süreklilik ya da kapalı aralık) fonksiyonun uç değerlere sahip olması gerekmediğini gösterir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 13/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 14/ 107 Maksimum ve Minimum Değerler Şekil 4, c de bir yerel maksimumu ve d de bir yerel minimumu olan bir f fonksiyonunun grafiğini göstermektedir. Maksimum ve minimum noktalarda teğet doğruları yataydır ve bunun sonucu olarak her birinin eğimi 0 dır. Türevin teğet doğrusunun eğimi olduğunu biliyoruz. Bu nedenle f (c) = 0 ve f (d) = 0 dır. Fermat Teoremi Fermat Teoremi : Eğer f, c noktasında yerel maksimuma ya da minimuma sahip ve f (c) varsa f (c) = 0 dır. f (c) = 0 olduğunda f nin c noktasında maksimumu ya da minimumu olması gerekmez. (Diğer bir deyişle, Fermat teoreminin tersi genelde doğru değildir.) Şekil 4: Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 15/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 16/ 107

5 Fermat Teoremi Fermat Teoremi Şekil 5: f (0) = 0 fakat maksimum yada minimum yok Şekil 6: f(0) = 0 minimum değer fakat f (0) yok. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 17/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 18/ 107 Tanım : f(x) = x 3/5 (4 x) fonksiyonunun kritik sayılarını bulunuz. Tanım : f bir fonksiyonu ve c sayısı f nin tanım kümesi içinde olsun. Eğer f (c) = 0 ya da f (c) yoksa c ye f nin bir kritik sayısı denir. Çözüm : Çarpım kuralı ile f (x) = 3 5 x 2/5 (4 x)+x 3/5 ( 1) = 3(4 x) 5x 2/5 x 3/5 = 3(4 x) 5x 5x 2/5 = 12 8x 5x 2/5 olur. [Aynı sonuç, ilk olarak f(x) = 4x 3/5 x 8/5 yazılarak elde edilebilir.] Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 19/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 20/ 107

6 Fermat Teoremi Böylece, f (x) = 0 dan f (x) = 12 8x 5x 2/5 Kritik sayının tanımından sonra Fermat teoremi aşağıdaki gibi de yazılabilir: olur. Buradan x = x = 0 elde ederiz. x = 0 noktasında türev yoktur. Eğer f nin c de bir yerel maksimumu ya da minimumu varsa, c noktası f nin bir kritik sayısıdır. Sonuç olarak, 3 2 ve 0 kritik sayılardır. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 21/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 22/ 107 Kapalı Aralık Yöntemi Bir [a, b] kapalı aralığında tanımlanan bir sürekli fonksiyonun mutlak maksimum ya da minimum değerlerini bulmak için: 1 f nin (a, b) deki kritik sayılardaki değerlerini bulunuz. 2 Aralığın uç noktalarında f nin değerlerini bulunuz ve 2. adımlardaki değerlerin en büyüğü mutlak maksimum değeri, en küçüğü ise mutlak maksimum değeridir. : f(x) = x 2sinx, 0 x 2π fonksiyonunun mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini tam olarak bulunuz. Çözüm : f(x) = x 2sinx fonksiyonu [0,2π] aralığında süreklidir. f (x) = 1 2cosx olduğundan, cosx = 1 2 f (x) = 0 olur. Bu x = π/3 ya da 5π/3 iken olur. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 23/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 24/ 107

7 Ortalama-Değer Problemi Bu kritik noktalardaki f değerleri dir. f(π/3) = π 3 2sin π 3 = π f(5π/3) = 5π 3 2sin 5π 3 = 5π Uç noktalarda f nin aldığı değerler f(0) = 0 ve f(2π) = 2π 6.28 dir. Bu dört değeri karşılaştırdığımızda mutlak minimum değeri f(π/3) = π 3 3, mutlak maksimum değeri ise f(5π/3) = 5π olarak bulunur. Teorem : Eğer f fonksiyonu [a, b] aralığında türevlenebilir bir fonksiyon ise a ve b arasında ya da denk olarak f (c) = f(b) f(a) b a f(b) f(a) = f (c)(b a) eşitliğini sağlayan bir c sayısı vardır. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 25/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 26/ 107 Ortalama-Değer Problemi Bu teoremin akla uygun olduğunu geometrik bir yorumla görebiliriz. Şekil 7 türevlenebilir iki fonksiyonun grafikleri üzerinde A(a, f(a)) ve B(b, f(b)) noktalarını göstermektedir. Şekil 7: Türevler ve Bir Eğrinin Eğimi Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 27/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 28/ 107

8 Artan ve Azalan Fonksiyonlar Artan/Azalan Testi (a) Bir aralıkta f (x) > 0 ise, bu aralıkta f artandır. (b) Bir aralıkta f (x) < 0 ise, bu aralıkta f azalandır. Bu testin adına kısaca Ar/Az Testi diyelim. : f(x) = 3x 4 4x 3 12x 2 +5 fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz. Çözüm : f (x) = 12x 3 12x 2 24x = 12x(x 2)(x+1) Ar/Az Testi ni kullanmak için nerede f (x) > 0, nerede f (x) < 0 olduğunu bilmek zorundayız. Bu f (x) in çarpanlarının işaretlerine bağlıdır. Bu çarpanlar, 12x, x 2 ve x+1 dir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 29/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 30/ 107 Gerçel doğruyu uç noktaları 1, 0, 2 kritik sayıları olan aralıklara bölelim ve çalışmamızı bir çizelgeye yerleştirelim. Dolayısıyla f(x) = 3x 4 4x 3 12x 2 +5 fonksiyonunu (, 1) aralığında AZALAN, ( 1, 0) aralığında ARTAN, (0, 2) aralığında AZALAN, Azalan Artan Azalan Artan (2, ) aralığında ise ARTAN dır. Artı işareti, verilen ifadenin pozitif, eksi işareti, verilen ifadenin negatif olduğunu gösterir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 31/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 32/ 107

9 Yerel Minimum/Maksimum Noktaları Yerel Minimum/Maksimum Noktaları Daha önce f nin c de bir yerel maksimumu ya da minimumu varsa, c nin f nin bir kritik sayısı olması gerektiğini(fermat Teoremi), fakat her kritik sayıda bir maksimum ya da minimumun ortaya çıkmayacağını hatırlayalım. Bunun sonucu olarak bir kritik sayıda f nin bir yerel maksimumu ya da minimumu olup olmadığını anlayacağımız bir teste ihtiyacımız var. Birinci Türev Testi Bir f sürekli fonksiyonunun bir kritik sayısının c olduğunu varsayalım. (a) Eğer f türevi c de pozitiften negatife değişirse, f nin c de bir yerel maksimumu vardır. (b) Eğer f türevi c de negatiften pozitife değişirse, f nin c de bir yerel minimumu vardır. (c) Eğer f türevi c de işaret değiştirmezse (f, c nin iki yanında pozitif ya da negatif ise), f nin c de yerel maksimumu ve minimumu yoktur. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 33/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 34/ 107 Yerel Minimum/Maksimum Noktaları : f(x) = 3x 4 4x 3 12x 2 +5 fonksiyonunun yerel minimum ve maksimum değerlerini bulunuz. Çözüm : Bu fonksiyonun önceki örnekteki fonksiyon olduğunu anımsayınız. O örnekteki çizelgeden f türevinin 1 noktasında negatiften pozitife değiştiğini görürüz. Dolayısıyla f( 1) = 0, Birinci Türev Testi ile bir yerel minimum değeridir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 35/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 36/ 107

10 Bükeylik Bir f fonksiyonunun f türevi bir I aralığı üzerinde artan bir fonksiyon ise f fonksiyonu (ya da grafiği) I üzerinde dışbükeydir denir. Benzer şekilde f türevi, 2 de negatiften pozitife değişir. Burada f(2) = 27 de bir yerel minimum değeridir. Eğer f türevi bir I aralığı üzerinde azalan bir fonksiyon ise f fonksiyonu I üzerinde içbükeydir denir. Ayrıca f(0) = 5 bir yerel maksimum değeridir, çünkü f türevi 0 da pozitiften negatife değişir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 37/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 38/ 107 Bükeylik Bükeylik Bir eğrinin bükeyliğinin yönünün değiştiği noktaya büküm noktası denir. Şekildeki eğri P de dışbükeylikten içbükeyliğe ve Q da içbükeylikten dışbükeyliğe değişir. Dolayısıyla P ve Q noktaları eğrinin büküm noktalarıdır. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 39/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 40/ 107

11 Bükeylik Bükeylik Bükeylik Testi (a) I aralığındaki her x için f (x) > 0 ise I üzerinde f nin grafiği dışbükeydir. (b) I aralığındaki her x için f (x) < 0 ise I üzerinde f nin grafiği içbükeydir. Bükeylik Testi nin bir sonucu maksimum ve minimum değerleri veren aşağıdaki testtir. İkinci Türev Testi f türevinin c nin yakınında sürekli olduğunu varsayalım. (a) f (c) = 0 ve f (c) > 0 ise f nin c de bir yerel minimumu vardır. (b) f (c) = 0 ve f (c) < 0 ise f nin c de bir yerel maksimumu vardır. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 41/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 42/ 107 NOT f (c) = 0 olduğunda İkinci Türev Testi sonuç vermez. Diğer bir deyişle, bu noktada bir maksimum veya bir minimum olabilir ya da her ikisi de olmayabilir. Bu test f (c) tanımlı olmadığında da geçerli değildir. : y = x 4 4x 3 eğrisinin bükeyliğini, büküm noktalarını, yerel maksimum ve yerel minimum değerlerini tartışınız. Bu bilgileri kullanarak eğrinin grafiğini çiziniz. Çözüm : Eğer f(x) = x 4 4x 3 ise f (x) = 4x 3 12x 2 = 4x 2 (x 3) Böyle durumlarda Birinci Türev Testi kullanılmalıdır. Her iki testin kullanılabildiği durumlarda Birinci Türev Testi ni kullanmak çoğu kez daha kolaydır. olur. f (x) = 12x 2 24x = 12x(x 2) Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 43/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 44/ 107

12 Kritik sayıları bulmak için birinci türevi 0 a eşitleriz. f (x) = 4x 3 12x 2 = 4x 2 (x 3) = 0 Buradan x = 0 ve x = 3 elde ederiz. İkinci türev testini kullanabilmek için f nü kritik sayılarda hesaplarız. f (0) = 0 f (3) = 36 > 0 f (3) = 0 ve f (3) > 0 olduğu için f(3) = 27 yerel minimumdur. f (0) = 0 olduğu için ikinci türev testi 0 kritik sayısı için bir bilgi vermez. Fakat x < 0 ve 0 < x < 3 için f (x) < 0 olduğu için birinci türev testi f(x) in 0 da yerel minimum veya maksimumunun olmadığını söyler. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 45/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 46/ 107 İkinci türevin köklerini: f (x) = 12x(x 2) = 0 x = 0 veya x = 2 olarak buluruz. (, 0) (0, 2) (2, ) Dış Bükey İç Bükey Dış Bükey (0, 0) noktası büküm noktasıdır, çünkü ikinci türev bu noktada işaret değiştirir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 47/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 48/ 107

13 Gerçel doğruyu uç noktaları 0, 4, 6 kritik sayıları olan aralıklara bölelim ve çalışmamızı bir çizelgeye yerleştirelim. : f(x) = x 2/3 (6 x) 1/3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm : Fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerini hesaplayalım. f (x) = 4 x x 1/3 (6 x) 2/3 f (x) = 8 x 4/3 (6 x) 5/3 x = 4 olduğunda f (x) = 0 ve x = 0 ya da x = 6 olduğunda f (x) tanımlı olmadığından 0, 4, 6 noktaları kritik sayılardır. Azalan Artan Azalan Azalan Artı işareti, verilen ifadenin pozitif, eksi işareti, verilen ifadenin negatif olduğunu gösterir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 49/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 50/ 107 f, x = 0 da işaret değiştirdiği için f(0) = 0 yerel minimumdur. f nü inceleyelim f, x = 4 te işaret değiştirdiği için f(4) = 2 5/3 yerel maksimumdur. f, x = 6 da işaret değiştirmediği için burada yerel maksimum/minimum yoktur. f 8 (x) = x 4/3 (6 x) 5/3 İkinci türev testi yalnızca x = 4 te kullanılabilir, çünkü x = 0 da ve x = 6 da f yoktur. (, 0) (0, 6) (6, ) İç Bükey İç Bükey Dış Bükey (6, 0) noktası büküm noktasıdır, çünkü ikinci türev bu noktada işaret değiştirir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 51/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 52/ 107

14 : f(x) = e 1/x fonksiyonunun asimptotlarla birlikte birinci ve ikinci türevlerini kullanarak grafiğini çiziniz. Çözüm : f nin tanım kümesi {x x 0} kümesidir. Dolayısıyla x 0 iken f nin sağdan ve soldan limitlerini hesaplayarak düşey asimptotlarını kontrol edebiliriz. Eğrinin (0, 0) ve (6, 0) noktalarında düşey teğetleri olduğuna dikkat ediniz. Çünkü, x 0 ve x 6 iken f (x) Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 53/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 54/ 107 olduğunu biliyoruz. Buradan x 0 + iken 1/x lim x 0 +e1/x = çıkar. Bu x = 0 ın düşey asimptot olduğunu gösterir. olduğunu biliyoruz. Buradan çıkar. x 0 iken 1/x lim = 0 x 0 e1/x Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 55/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 56/ 107

15 x, iken 1/x 0 ve lim x e1/x = e 0 = 1 dır. Yani y = 1 yatay asipmtottur. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 57/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 58/ 107 Şimdi f nin birinci türevini hesaplayalım. Zincir kuralı ile f (x) = e1/x x 2 dir. Her x 0 için x 2 > 0 ve e 1/x > 0 olduğundan, her x 0 için f (x) < 0 dır. Dolayısıyla f fonksiyonu, (, 0) ve (0, ) aralıklarında azalandır. Kritik sayı olmadığından, f nin yerel maksimum/minimum u yoktur. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 59/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 60/ 107

16 İkinci Türev: f (x) = x2 e 1/x ( 1/x 2 ) e 1/x (2x) x 4 = e1/x (2x+1) x 4 e 1/x > 0 ve x 4 > 0 olduğundan, ve x > 1 2 x < 1 2 (x 0) iken f (x) > 0 iken f (x) < 0 olur. Böylece eğri (, 1 2 ) aralığında iç bükey, ( 1 2,0) ve (0, ) aralıklarında dış bükeydir. ( 1 2,e 2 ) noktası büküm noktasıdır. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 61/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 62/ 107 L Hospital Kuralı a noktasının yakınında (belki a noktası dışında), f ve g fonksiyonlarının türevlenebilir ve g (x) 0 olduğunu varsayalım. lim f(x) = 0 ve lim g(x) = 0 x a x a Belirsizlik Durumları ve L Hospital Kuralı ya da lim f(x) = ± ve lim g(x) = ± x a x a olsun.(diğer bir ifadeyle 0 0 ya da belirsizliği olsun.) O zaman, sağ taraftaki limit varsa (ya da veya ise), olur. f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x) Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 63/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 64/ 107

17 NOT : lim x 1 lnx x 1 limitini bulunuz. L Hospital Kuralı aynı zamanda tek yönlü limitler, sonsuzdaki ve eksi sonsuzdaki limitler için de geçerlidir. Diğer bir ifadeyle x a yerine x a +, x a, x ve x sembollerinden biri gelebilir. Çözüm : lim lnx = ln1 = 0 ve lim (x 1) = 0 x 1 x 1 olduğundan L Hospital Kuralı nı uygulayabiliriz: lim x 1 lnx x 1 = lim x 1 1 = lim x 1 x = 1 d dx (lnx) 1/x = lim d dx (x 1) x 1 1 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 65/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 66/ 107 e x : lim limitini hesaplayınız. x x2 Çözüm : olduğundan L Hospital Kuralı ile lim x ex = ve lim x x2 = e x lim x x 2 = lim e x x 2x dir. x iken e x ve 2x olduğundan L Hospital Kuralı uygulanabilir: buluruz. e x lim x x 2 = lim e x x 2x = lim e x x 2 = sinx : lim x π 1 cosx limitini bulunuz. Çözüm : Eğer burada L Hospital Kuralı nı koşullarını kontrol etmeden uygularsak lim x π elde ederiz. Bu yanlıştır! sinx 1 cosx = lim x π cosx sinx = Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 67/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 68/ 107

18 Belirsiz Çarpımlar lim x π sinx 1 cosx x π iken paydaki sinx 0 olmasına rağmen paydadaki 1 cosx ifadesi sıfıra yaklaşmaz. Dolayısıyla burada L Hospital Kuralı uygulanamaz. Aslında bu limiti hesaplamak kolaydır, çünkü fonksiyon süreklidir ve payda π de sıfırdan farklıdır: lim x π sinx 1 cosx = sinπ 1 cosπ = 0 1 ( 1) = 0 Eğer ise lim f(x) = 0 ve lim g(x) = (ya da ) x a x a lim f(x)g(x) x a limitinin değerinin, eğer varsa, ne olacağı açık değildir. Bu tür limit, 0 türü belirsizlik olarak adlandırılır. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 69/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 70/ 107 Belirsiz Çarpımlar : lim limitini hesaplayınız. x 0 +xlnx f g çarpımını bölüm şeklinde yazarak bu durumu ele alabiliriz: f g = f 1/g ya da f g = g 1/f Verilen limiti 0 0 ya da türü belirsizliğe dönüştürüp böylece L Hospital Kuralı nı kullanabiliriz. Çözüm : Verilen limit belirsizdir. Çünkü x 0 + için birinci çarpan (x), 0 a yaklaşırken ikinci çarpan (lnx), a yaklaşır. x = 1/(1/x) yazarak x 0 + iken 1/x elde ederiz. Dolayısıyla L Hospital Kuralı nı uygulayarak lnx lim = lim x 0 +xlnx x 0 + 1/x = lim x 0 + = lim x 0 +( x) = 0 1 x 1 x 2 buluruz. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 71/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 72/ 107

19 Belirisiz Farklar NOT Bu örneği çözerken bir başka seçenek x lim = lim x 0 +xlnx x 0 + 1/lnx yazmak olabilirdi. Bu 0 0 türü belirsizlik verir, ama L Hospital Kuralı nı uygularsak baştakinden daha karmaşık bir ifade elde ederiz. Genelde belirsiz bir çarpımı yeniden yazarken daha basit bir limit elde edeceğimiz durumu seçmeye çalışırız. ise lim f(x) = ve lim g(x) = x a x a lim [f(x) g(x)] x a limiti türü belirsizlik olarak adlandırılır. Farkı bölüme çevirerek 0 0 ya da türü belirsizlik elde etmeye çalışırız. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 73/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 74/ 107 Belirsiz Kuvvetler : lim limitini hesaplayınız. x (π/2) (secx tanx) Çözüm : x (π/2) iken secx ve tanx olduğundan verilen limit belirsizdir. Burada ortak paydayı kullanırız: ( 1 lim x (π/2) (secx tanx) = lim x (π/2) cosx sinx ) cosx 1 sinx = lim x (π/2) cosx cosx = lim x (π/2) sinx = 0 x (π/2) iken 1 sinx 0 ve cosx 0 olmasının, L Hospital Kuralı nı uygulamayı haklı çıkardığına dikkat ediniz. lim x a [f(x)]g(x) limitinden çeşitli belirsizlik durumları ortaya çıkar. lim f(x) = 0 ve lim g(x) = 0 x a x a lim f(x) = ve lim g(x) = x a x a lim f(x) = 1 ve lim g(x) = ± x a x a 1 00 türü 0 türü türü Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 75/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 76/ 107

20 Belirsiz Kuvvetler Bu üç durumdan her biri ya doğal logaritma alarak: y = [f(x)] g(x) ise lny = g(x)lnf(x) yada üstel fonksiyon şeklinde yazarak: aşılabilir. [f(x)] g(x) = e g(x)lnf(x) (Bu yöntemlerin her ikisinin de bu fonksiyonların türevlerini bulurken kullanıldığını anımsayınız.) : lim x 0 +(1+sin4x)cotx limitini hesaplayınız. Çözüm : İlk olarak x 0 + iken 1+sin4x 1 ve cotx olduğundan verilen limitin belirsiz olduğuna dikkat ediniz. olsun. O zaman y = (1+sin4x) cotx lny = ln[(1+sin4x) cotx ] = cotx ln(1+sin4x) Her iki durumda da 0 türü g(x)lnf(x) belirsiz çarpımını elde ederiz. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 77/ 107 olur, = ln(1+sin4x) tanx Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 78/ 107 ln(1+sin4x) lim = lim x 0 +lny x 0 + tanx dolayısıyla L Hospital Kurali ile = lim x 0 + 4cos4x 1+sin 4x sec 2 x = 4 ( 0 0 belirsizliği) buluruz.buraya kadar ln y nin limitini hesapladık. Fakat biz y nin limitini bulmak istiyoruz. Bunu bulmak için y = e lny olduğunu kullanalım: lim = lim = lim = e x 0 +(1+sin4x)cotx x 0 +y 4 x 0 +elny : lim x 0 +xx limitini bulunuz. Çözüm : Herhangi bir x > 0 için 0 x = 0, ama herhangi bir x 0 için x 0 = 1 olduğundan bu limitin belirsiz olduğuna dikkat ediniz. Fonksiyonu üstel şekilde yazarak devam edebiliriz: x x = (e lnx ) x = e xlnx daha önce L Hospital kuralını kullanarak lim = 0 olduğunu x 0 +xlnx gösterdik. Dolayısıyla lim = lim = e 0 = 1 dir. x 0 +xx x 0 +exlnx Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 79/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 80/ 107

21 Optimizasyon Problemleri : 2400 ft çiti olan bir çiftçi, bu çit ile bir kenarı ırmağa sınır olan dikdörtgensel bir arazi çevirmek istiyor. Irmak boyunca çit çekmesine gerek yoktur. En büyük alana sahip arazinin boyutları nedir? Sığ, geniş bölgeleri ya da derin, dar bölgeleri denediğimizde küçük alanlar elde ettiğimizi görüyoruz. En büyük alanı arada bulunan şeklin vereceği akla yatkındır. Şekil 8 genel durumu göstermektedir. Dikdörtgenin A alanını maksimum yapmak istiyoruz. x ve y sırasıyla dikdörtgenin derinliği ve genişliği olsun. Çözüm: Bu problemde neler olduğunu hissetmek için birkaç özel durumu deneyelim. Aşağıda (ölçeklenmemiş), 2400 ft lik teli kullanmanın olası yollarından üçünü göstermektedir. Şekil 8: Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 81/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 82/ 107 Bu durumda A yı x ve y cinsinden ifade ederiz: A = xy A yı tek değişkenli fonksiyon olarak ifade etmek istiyoruz. Bu nedenle y yi x cinsinden yazarak yok edeceğiz. Bunun için, telin toplam uzunluğunun 2400 ft olduğu bilgisini kullanırız. Buradan, 2x+y = 2400 olur. Bu denklemden y = x elde ederiz ve buluruz. A = x(2400 2x) = 2400x 2x 2 A = 2400x 2x 2 x 0 ve x 1200 (aksi takdirde A < 0) olduğuna dikkat ediniz. Şimdi A(x) = 2400x 2x 2 0 x 1200 fonksiyonunu maksimum yapmak istiyoruz. Türev A (x) = x dir. Kritik sayıları bulmak için, x = 0 denklemini çözerek, x = 600 buluruz. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 83/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 84/ 107

22 A nın maksimum değeri ya bu kritik sayıda ya da aralığın bir uç noktasında oluşur. A(0) = 0, A(600) = ve A(1200) = 0, olduğundan, Kapalı Aralık Yöntemi maksimum değeri A(600) = olarak verir. : 1 L yağ koymak için silindir biçiminde bir teneke kutu yapılmak isteniyor. Metal maliyeti minumum olan kutu üretmek için boyutları bulunuz. Çözüm : Şekil 9 deki gibi, yarıçapı r ve yüksekliği h olan bir silindir çiziniz. [Alternatif olarak, her x için A (x) = 4 < 0 olduğundan A daima iç bükeydir ve x = 600 deki yerel maksimum bir mutlak maksimum olmalıdır.] Sonuç olarak, dikdörtgensel bölgenin derinliği 600 ft ve genişliği 1200 ft olmalıdır. Şekil 9: Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 85/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 86/ 107 Metal maliyetini minimum yapmak için, silindirin toplam yüzey alanını (alt, üst ve yan) minumum yaparız. Şekil 10 den, kenarların, boyutları 2πr ve h olan bir dikdörtgensel levhadan yapıldığını görürüz. Bu nedenle silindirin yüzey alanı A = 2πr 2 +2πrh olur. h yi yok etmek için hacmin 1L olarak verildiğini, 1000 cm 3 alarak kullanırız. Böylece πr 2 h = 1000 den olur. h = 1000 (πr 2 ) Şekil 10: Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 87/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 88/ 107

23 Bunu A nın ifadesinde yerine koyarsak ( ) 1000 A = 2πr 2 +2πr πr 2 elde ederiz. Şimdi A(r) = 2πr r fonksiyonunu minimum yapmak istiyoruz. = 2πr r r > 0 Kritik sayıları bulmak için A(r) nin türevini alırız: A (r) = 4πr 2000 r 2 = 4(πr3 500) r 2 Burada πr 3 = 500 olduğunda A (r) = 0 olur. Bu nedenle tek kritik sayı r = π dir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 89/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 90/ 107 A nın tanım kümesi (0, ) olduğundan bir önceki örnekteki gibi uç noktaları kullanamayız. 500 Ama r < 3 π için A (r) < 0 ve r > π için A (r) > 0 olduğunu, dolayısıyla A nın kritik sayısının solundaki her r için azaldığını ve sağındaki her r için arttığını gözlemleyebiliriz. [Alernatif olarak, r 0 + iken A(r) ve r iken A(r) olduğundan, A(r) nin bir minumum değeri olmalı ve bu minimum değer kritik sayıda meydana gelmelidir. Bkz. Şekil 11] Böylece, r = π mutlak minimumu vermelidir. Şekil 11: Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 91/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 92/ 107

24 : y 2 = 2x parabolü üzerinde (1,4) noktasına en yakın olan noktayı bulunuz. r = π değerine karşılık gelen h değeri h = 1000 πr 2 = π(500/π) 2/3 = 2 3 π = 2r dir. Böylece kutunun maliyetini minimum yapmak için yarıçap 3 cm ve yükseklik yarıçapın iki katı, yani çap olmalıdır. 500 π Çözüm : (x,y) ve (1,4) noktaları arasındaki uzaklık d = (x 1) 2 +(y 4) 2 ile verilir. (Bkz. Şekil 12) Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 93/ 107 Şekil 12: Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 94/ 107 Ama, (x,y) parabolün üzerindeyse, x = y 2 /2 dir ve d nin ifadesi (1 ) 2 d = 2 y2 1 +(y 4) 2 olur. (İkinci seçenek, y = 2x alarak d yi yalnızca x cinsinden ifade edebilirdik.) d yi minimum yapmak yerine karesini minimum yapacağız: d 2 = f(y) = ( ) y2 1 +(y 4) 2 (d 2 nin minimumu ile d nin minimumunun aynı noktada meydana geldiğine, ama d 2 ile çalışmanın d ile çalışmaktan daha kolay olduğuna dikkat ediniz.) Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 95/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 96/ 107

25 Türev alırsak f (y) = 2 ( ) 1 2 y2 1 y +2(y 4) = y 3 8 elde ederiz, dolayısıyla y = 2 olduğunda f (y) = 0 olur. y < 2 için f (y) < 0 ve y > 2 için f (y) > 0 olduğunu gözlemleyiniz. Karşı gelen x değeri x = y 2 /2 = 2 dir. Böylece y 2 = 2x parabolü üzerinde (1,4) noktasına en yakın olan nokta, (2, 2) noktasıdır. Buradan Mutlak Uç Değerler için Birinci Türev Testi ne göre mutlak minimum y = 2 de meydana gelir. (Yalnızca, problemin geometrik yapısından ötürü en yakın noktanın olduğunun fakat en uzak noktanın olmadığının açık olduğunu söyleyebilirdik.) Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 97/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 98/ 107 Bir Fonksiyonun İlkeli Bir Fonksiyonun İlkeli Örneğin, f = x 2 olsun. Eğer Kuvvet Kuralı nı aklımızda tutarsak, f nin bir ilkelini bulmak zor değildir. Tanım: Eğer bir I aralığındaki her x için F (x) = f(x) ise, F fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir. F(x) = 1 3 x3 ise F (x) = x 2 = f(x) dir. Fakat G(x) = 1 3 x fonksiyonu da G (x) = x 2 yi sağlar. Böylece hem F hem de G fonksiyonları f nin ilkelleridir. Gerçekten, C bir sabit olmak üzere, H(x) = 1 3 x3 +C biçimindeki her fonksiyon f nin bir ilkelidir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 99/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 100/ 107

26 Bir Fonksiyonun İlkeli : Aşağıdaki fonksiyonların en genel ilkellerini bulunuz. Teorem: F fonksiyonu bir I aralığı üzerinde f nin bir ilkeli ise, C herhangi bir sabit olmak üzere, f nin I üzerindeki en genel ilkelidir. F(x)+C (1) (a) f(x) = sinx (b) f(x) = 1/x (c) f(x) = x n, n 1 Çözüm : (a) F(x) = cosx ise F (x) = sinx olur. Bu nedenle sinx in bir ilkeli cosx dir. Teoremden en genel ilkeli G(x) = cosx+c dir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 101/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 102/ 107 (b) d dx (lnx) = 1 x olduğunu anımsayınız. Bu nedenle (0, ) aralığında 1/x in genel ilkeli lnx+c dir. Aynı zamanda, her x 0 için olduğunu öğrenmiştik. d dx (ln x ) = 1 x Teorem, f(x) = 1/x in genel ilkelinin sıfırı içermeyen herhangi bir aralıkta ln x +C olduğunu söyler. Özel olarak, (, 0) ve (0, ) aralıklarının herbirinde bu doğrudur. Böylece f nin genel ilkeli { lnx+c F(x) = 1 eğer x > 0 ln( x)+c 2 eğer x < 0 dir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 103/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 104/ 107

27 İlkel Formüllerin Tablosu (c) x n nin ilkelini bulmak için Kuvvet Kuralı nı kullanırız. Aslında, n 1 ise, ( ) d x n+1 = (n+1)xn = x n dx n+1 n+1 dir. Böylece f(x) = x n nin genel ilkeli F(x) = xn+1 n+1 +C olur. f(x) = x n bir aralık üzerinde tanımlı olduğundan bu n 0 için geçerlidir. Eğer n negatif (fakat n 1) ise bu 0 ı içermeyen herhangi bir aralıkta geçerlidir. Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 105/ 107 Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 106/ 107 İlkel Formüllerin Tablosu Öğr.Gör.Dr.Meltem Altunkaynak MAT 1009 Matematik I 107/ 107

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol Artan ve Azalan Fonksiyonlar Tanım: a,b aralığında tanımlı bir onksiyonu verilsin., a,b ve için, ise onksiyonu a,b aralığında artan, ise

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

Mat Matematik II / Calculus II

Mat Matematik II / Calculus II Mat - Matematik II / Calculus II Çalışma Soruları Çok Değişkenli Fonksiyonlar: Seviye eğri ve yüzeyler, Limit ve süreklilik wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için: x

Detaylı

Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti

Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti Fonksiyonun Limiti x in 2 sayısına yakın değerleri için f(x) = x 2 x + 2 ile tanımlanan f fonksiyonun davranışını inceleye. Aşağıdaki tablo, x in 2 ye yakın fakat 2 den farklı değerleri için f(x) değerlerini

Detaylı

MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM

MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. 10+10 p.) 2. 15 p.) 3. 7+8 p.) 4. 15+10 p.) 5. 15+10 p.) TOPLAM 1. a) NOT: Tam

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

MAT MATEMATİK I DERSİ

MAT MATEMATİK I DERSİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital

Detaylı

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2 1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-II

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-II HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-II Fonksiyonların Bükeyliği Maksimum - Minimum Problemleri Belirsiz Haller MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Fonksiyonların grafiklerinin

Detaylı

Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti

Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti Fonksiyonun Limiti x in 2 sayısına yakın değerleri için f(x) = x 2 x+2 ile tanımlanan f fonksiyonun davranışını inceleye. Aşağıdaki tablo, x in 2 ye yakın fakat 2 den farklı değerleri için f(x) değerlerini

Detaylı

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7.

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik -Bilgisayar Bölümü MB00 Analiz I 3 Aralık 03 Final Sınavı Öğrenci Numarası: Adı Soyadı: - Taatlar: Sınav süresi 0 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz.

Detaylı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada

Detaylı

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır.

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır. TÜREV UYGULAMALARI Bölüm içinde maksimum, minimum, artan ve azalan fonksiyonlar, büküm noktası, teğet, normal ve belirsizliğin türev yardımıyla giderilmesi işlenmektedir. 11.1 Maksimum ve Minimum (Ekstremum)

Detaylı

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1 . ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında

Detaylı

MAT MATEMATİK I DERSİ

MAT MATEMATİK I DERSİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital

Detaylı

MAT 101, MATEMATİK I, ARA SINAV 13 KASIM (10+10 p.) 2. (10+10 p.) 3. ( p.) 4. (6x5 p.) TOPLAM

MAT 101, MATEMATİK I, ARA SINAV 13 KASIM (10+10 p.) 2. (10+10 p.) 3. ( p.) 4. (6x5 p.) TOPLAM TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, ARA SINAV 13 KASIM 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. (10+10 p.) 2. (10+10 p.) 3. (10+10+10 p.) 4. (65 p.) TOPLAM NOT: Tam puan almak için

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 19, 20, 21, 25, 27, 28, 29, 30, 33-b.

Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 19, 20, 21, 25, 27, 28, 29, 30, 33-b. Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir:,,,, 5, 6, 7, 9,,, 5, 7, 8, 9,, -b. MAT -MATEMATİK (- GÜZ DÖNEMİ) FİNAL ÇALIŞMA SORULARI. Tabanı a büyük eksenli, b küçük eksenli elips ile sınırlanan

Detaylı

1. Hafta Uygulama Soruları

1. Hafta Uygulama Soruları . Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında

Detaylı

MAT1009 Matematik I. Ders Notları. Dokuz Eylül Üniversitesi

MAT1009 Matematik I. Ders Notları. Dokuz Eylül Üniversitesi MAT9 Matematik I Ders Notları Dokuz Eylül Üniversitesi 26 2 İçindekiler Fonksiyonlar 5. Polinomlar................................................. 7.2 Trigonometrik Fonksiyonlar.......................................

Detaylı

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3 Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =

Detaylı

Aralıklar, Eşitsizlikler, Mutlak Değer

Aralıklar, Eşitsizlikler, Mutlak Değer ARALIKLAR Gerçel sayıların, aralık olarak adlandırılan bazı kümeleri kalkülüste sık sık kullanılır ve geometrik olarak doğru parçalarına karşılık gelir. Örneğin, a < b ise, a dan b ye açık aralık, a ile

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz.

Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz. Kısmi Türevler Genel olarak, f, x ve y değişkenlerinin iki değişkenli bir fonksiyonu olsun ve b bir sabit olmak üzere, y = b olacak şekilde y yi sabit tutalım ve yalnızca x in değişmesine izin verelim.

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur.

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur. Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri x, x. f(x) x ise fonksiyonu için,, x olduğuna göre, a b kaçtır? lim + x f ( x) a ve lim x f ( x) b A) B) C) D) E) Çözüm x x için

Detaylı

g(a + h) g(a) g (a) = lim Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz. olduğundan, Denklem 1

g(a + h) g(a) g (a) = lim Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz. olduğundan, Denklem 1 Kısmi Türevler Kısmi Türevler Genel olarak, f, x ve y değişkenlerinin iki değişkenli bir fonksiyonu olsun ve b bir sabit olmak üzere, y = b olacak şekilde y yi sabit tutalım ve yalnızca x in değişmesine

Detaylı

Örnek 1: 2 x = 3 x = log 2 3. Örnek 2: 3 2x 1 = 2 2x 1 = log 3 2. Örnek 3: 4 x 1 = 7 x 1 = log 4 7. Örnek 4: 2 x = 3 2 x 2 = 3

Örnek 1: 2 x = 3 x = log 2 3. Örnek 2: 3 2x 1 = 2 2x 1 = log 3 2. Örnek 3: 4 x 1 = 7 x 1 = log 4 7. Örnek 4: 2 x = 3 2 x 2 = 3 Soru : f(x) = log x 4 5 fonksiyonunun tanım aralığını bulunuz? a x = b eşitliğinde a ve b belli iken x i bulmaya logaritma işlemi denir. Üstel fonksiyon bire bir ve örten olduğundan ters fonksiyonu vardır.

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ 1

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.S.S. 7 MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * (+i) işleminin sonucu nedir? A) + 8i B) - 8i C) 8 + i

Detaylı

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan; . Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş

Detaylı

MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ

MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ 1 MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ En büyük veya en küçük olması istenen değer (uzunluk, alan, hacim, vb.) tek değişkene bağlı bir fonksiyon olacak şekilde düzenlenir. Bu fonksiyonun türevinden ekstremum noktasının

Detaylı

SÜREKLİLİK. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları

SÜREKLİLİK. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları SÜREKLİLİK Bu bölümde süreklilik kavramı, süreksizlik, sürekli fonksiyonların özellikleri ile buna ilişkin teoremler örnekler ve grafiklerle açıklanmaktadır. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları Tanım

Detaylı

TÜREVİN ANLAMI Bu Konumuzda türevin fiziksel, geometrik anlamını ve Ekstremum olayını anlatacağız. İyi Çalışmalar... A. TÜREVİN FİZİKSEL ANLAMI Bir hareketlinin t saatte kaç km yol aldığı, fonksiyonu ile

Detaylı

Bir Fonksiyonun İlkeli. fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir.

Bir Fonksiyonun İlkeli. fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir. Bir Fonksiyonun İlkeli Tanım: Eğer bir I aralığındaki her x için F (x) = f(x) ise, F fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir. Bir Fonksiyonun İlkeli Örneğin, f = x 2 olsun. Eğer Kuvvet Kuralı nı aklımızda

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN

Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYIN KURULU Hazırlayanlar Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

Ders Çözümler: 9.2 Alıştırmalar Prof.Dr.Haydar Eş. 2. Prof.Dr.Timur Karaçay /1a: Kritik noktalar:

Ders Çözümler: 9.2 Alıştırmalar Prof.Dr.Haydar Eş. 2. Prof.Dr.Timur Karaçay /1a: Kritik noktalar: 100 Bölüm 9 Ders 09 9.1 Çözümler: 1. Prof.Dr.Haydar Eş 2. Prof.Dr.Timur Karaçay 9.2 Alıştırmalar 9 1. 215 /1a: Kritik noktalar: f (x) = 3x 2 + 6x = 0 = x 1 = 0, x 2 = 2 Yerel max değer: ( 2,1) Yerel min

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

π a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri

π a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) 7 Haziran 7 Matematik II Soruları ve Çözümleri. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * ( + i) işleminin sonucu

Detaylı

( ) 1. Alt kenarı bir konveks çokgenin iç açılarının toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 3. x in hangi aralıktaki değeri ( ) 2

( ) 1. Alt kenarı bir konveks çokgenin iç açılarının toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 3. x in hangi aralıktaki değeri ( ) 2 . lt kenarı bir konveks çokgenin iç açılarının toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) 6 dik açı B) 4 dik açı C) 8 dik açı D) dik açı E ) dik açı Bir konveks çokgenin iç açıları toplamını veren bağıntı

Detaylı

Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar

Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar Üç değişkenli bir f fonksiyonu, bir D R 3 tanım kümesindeki her (x, y, z) sıralı üçlüsüne, f(x, y, z) ile gösterilen

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 4x > 9 b) x 4

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-I Artan ve Azalan Fonksiyonlar Fonksiyonların Maksimum ve Minimumu Birinci Türev Testi İkinci Türev Testi Türevin Geometrik Yorumu Türevin Fiziksel Yorumu MATEMATİK-1

Detaylı

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500 984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)

Detaylı

Konik Kesitler ve Formülleri

Konik Kesitler ve Formülleri Konik Kesitler ve Formülleri Konik Kesitler ve Formülleri B 1 (0, b) P (x, y) A 2 ( a, 0) F 2 ( c, 0) F 1 (c, 0) A 1 (a, 0) B 2 (0, b) Şekil 1: Elips x2 a 2 + y2 b 2 = 1. Konik Kesitler ve Formülleri B

Detaylı

f fonksiyonuna bir üç değişkenli fonksiyon adı verilir. Daha çok değişkenli fonksiyonlar benzer şekilde tanımlanır.

f fonksiyonuna bir üç değişkenli fonksiyon adı verilir. Daha çok değişkenli fonksiyonlar benzer şekilde tanımlanır. Çok Değişkenli Fonksiyonlar Tanım 1. D düzlemin bir bölgesi, f de D nin her bir (x, y) noktasına bir f(x, y) reel sayısı karşılık getiren bir fonksiyon ise f fonksiyonuna bir iki değişkenli fonksiyon adı

Detaylı

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?

12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır? . SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)

Detaylı

Ders 05. Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler. 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay

Ders 05. Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler. 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 48 Bölüm 5 Ders 05 Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Soru 1 Aşağıda verilen soru işaretlerinin yerine gelmesi gereken değerleri

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu ünite çalışıldıktan sonra, Üstel fonksiyonun tanımı öğrenilecek Üstel fonksiyonun

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş Dr. Özgür Kabak Doğrusal Olmayan Programlama Eğer bir Matematiksel Programlama modelinin amaç fonksiyonu ve/veya kısıtları doğrusal değil

Detaylı

Trigonometrik Fonksiyonlar

Trigonometrik Fonksiyonlar Trigonometrik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 6 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; açı kavramını hatırlayacak, açıların derece ölçümünü radyan ölçümüne ve tersine çevirebilecek, trigonometrik

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56

7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56 , 006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@ahoo.com.tr Türev TEST I 7. f() = sin cos fonksionunun. f()= sin( + )cos( ) için f'() nin eşiti nedir? A) B) C) 0 D) E) için erel minimum değeri nedir? A) B)

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki

Detaylı

Türev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi

Türev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi 1 2 Bölüm 9 Türev Uygulamaları 9.1 Ortalama Değer teoremi Türevin çok farklı uygulamaları vardır. Bunlar arasında çok önemli olan bazılarını ele alacağız. Ortalama Değer Teoremi ni daha önce görmüştük.

Detaylı

28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31

28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31 SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.

Detaylı

LYS YE DOĞRU MATEMATİK TESTİ

LYS YE DOĞRU MATEMATİK TESTİ MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 75 dakikadır.. a, b ve c birer rakam

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. ise fonksiyonu için, = b olduğuna göre, a b kaçtır? = 1 olur.

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. ise fonksiyonu için, = b olduğuna göre, a b kaçtır? = 1 olur. Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri. f (x) + x lim f ( x) a x x ve, x ise fonksiyonu için,, x lim f ( x) b olduğuna göre, a b kaçtır? x A) B) C) D) E) Çözüm x x için,

Detaylı

MAT101 MATEMATİK I BÖLÜM 13 EĞRİ ÇİZİMİ

MAT101 MATEMATİK I BÖLÜM 13 EĞRİ ÇİZİMİ MAT101 MATEMATİK I BÖLÜM 13 EĞRİ ÇİZİMİ Yrd. Doç. Dr. Furkan BAŞER Ankara Üniversitesi Uygulamalı Bilimler Fakültesi Eğri-Çizme Teknikleri Bu konuda ele alacağımız 3 alt başlık yer alır. Alt Başlıklar

Detaylı

18 Sağ son örnek x 3 yerine 3 x yazılacak 20 5 Soru denkleminin reel köklerinin olacak

18 Sağ son örnek x 3 yerine 3 x yazılacak 20 5 Soru denkleminin reel köklerinin olacak MAT 1 Hata 73 1 C 135 8 A 137 7 D şıkkına parantez konacak 143 Sol üst örnek Sıkça yapılan yanlış ün son cümlesi O halde. 144 Son örnek tam yerine doğal 208 9 18 yerine 18 8 5 225 2 A 246 6 Doğru cevap:

Detaylı

Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar

Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar Üç değişkenli bir f fonksiyonu, bir D R 3 tanım kümesindeki her (x,y,z) sıralı üçlüsüne, f(x,y,z) ile gösterilen tek

Detaylı

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta GİRİŞ OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta Mühendislik açısından bir işin tasarlanıp, gerçekleştirilmesi yeterli değildir. İşin en iyi çözüm yöntemiyle en verimli bir şekilde yapılması bir anlam ifade eder.

Detaylı

11. SINIF. No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ TRİGONOMETRİ Yönlü Açılar Trigonometrik Fonksiyonlar

11. SINIF. No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ TRİGONOMETRİ Yönlü Açılar Trigonometrik Fonksiyonlar 11. SINIF No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ Ders Saati Ağırlık (%) 11.1. TRİGONOMETRİ 7 56 26 11.1.1. Yönlü Açılar 2 10 5 11.1.2. Trigonometrik Fonksiyonlar 5 46 21 11.2. ANALİTİK GEOMETRİ 4 24 11 11.2.1.

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan

Detaylı

Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması

Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması Projenin Adı: Trigonometrik Oranlar için Pratik Yöntemler Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması GİRİŞ: Matematiksel işlemlerde, lazım olduğunda,

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

Bir Fonksiyonun Dört Farklı Gösterimi

Bir Fonksiyonun Dört Farklı Gösterimi Bir Fonksiyonun Dört Farklı Gösterimi Bir Fonksiyonun Dört Farklı Gösterimi 2. P ile gösterilen dünya nüfusu, t zamanına bağlıdır. Tablo, Dünya nufusu P(t) yi t yıllarında yaklaşık olarak vermektedir.

Detaylı

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR.

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR. Ö S Y M T.C. YÜKSEKÖĞRETİM KURULU ÖĞRENCİ SEÇME VE YERLEŞTİRME MERKEZİ LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 BU SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 LYS MATEMATİK

Detaylı

ÖRNEK LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - 1 GEOMETRİ TESTİ. Ad Soyad : T.C. Kimlik No:

ÖRNEK LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - 1 GEOMETRİ TESTİ. Ad Soyad : T.C. Kimlik No: LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - GEOMETRİ TESTİ ÖRNEK Ad Soyad : T.C. Kimlik No: Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının Metin Yayınları nın yazılı

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x.

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x. - TÜREV KAVRAMI - TÜREV KAVRAMI 7 iadesinin türevini alınız. Çözüm lim lim 7 7 lim 7 7 lim lim onksionunun türevini alınız. Tanım onksionunda değişkeni artımını alırken de kadar artsın. oranının giderken

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr.

Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr. Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr. Ömer Akın) AYRILABİLİR DENKLEMLER Birinci mertebeden dy = f(x, y) (1)

Detaylı

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 4- LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Matematikte veya hidrolik, dinamik, mekanik, elektrik

Detaylı

CEVAP ANAHTARI POLİNOMLAR - 4 POLİNOMLAR - 2 POLİNOMLAR - 1 POLİNOMLAR - 3. b) zaferbalci.com. 2. zaferbalci.com

CEVAP ANAHTARI POLİNOMLAR - 4 POLİNOMLAR - 2 POLİNOMLAR - 1 POLİNOMLAR - 3. b) zaferbalci.com. 2. zaferbalci.com POLİNOMLAR POLİNOMLAR POLİNOMLAR POLİNOMLAR. zaferbalci.com. zaferbalci.com. zaferbalci.com.. zaferbalci.com.. zaferbalci.com. 99 +..,,,,,,,. x x. x 0.... zaferbalci.com. (x + ).Q(x) + 0. E. x +. 0. a)

Detaylı

CEVAP ANAHTARI. Tempo Testi D 2-B 3-A 4-A 5-C 6-B 7-B 8-C 9-B 10-D 11-C 12-D 13-C 14-C

CEVAP ANAHTARI. Tempo Testi D 2-B 3-A 4-A 5-C 6-B 7-B 8-C 9-B 10-D 11-C 12-D 13-C 14-C 01. BÖLÜM: FONKSİYONLARLA İLGİLİ UYGULAMALAR - 1 1-E 2-D 3-C 4-E 5-B 6-C 7-C 8-B 9-C 10-D 11-C - 2 1-D 2-E 3-C 4-D 5-E 6-E 7-C 8-D 9-E 10-B - 3 1-E 2-A 3-B 4-D 5-A 6-E 7-E 8-C 9-C 10-C 11-C 1-A 2-B 3-E

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

Cebir Notları. Trigonometri TEST I. 37π 'ün esas ölçüsü kaçtır? Gökhan DEMĐR,

Cebir Notları. Trigonometri TEST I. 37π 'ün esas ölçüsü kaçtır? Gökhan DEMĐR, , 00 M ebir Notları Gökhan EMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Trigonometri. TEST I π 'ün esas ölçüsü kaçtır? ) p ) p ) p ) π p. tanθ = ) ) olduğuna göre, sinθ değeri kaçtır? ) ). 0 'nin esas ölçüsü kaçtır?. θ

Detaylı