YÜKSEK ÖĞRETİM KURULU DOKÜMANTASYON MERKEZİ TEZ VERİ FORMU. Tez No: Konu: Üniv. Kodu: Not: Bu bölüm merkeziniz tarafından doldurulacaktır.

Transkript

1 YÜKSEK ÖĞRETİM KURULU DOKÜMANTASYON MERKEZİ TEZ VERİ FORMU Tez No: Konu: Ünv. Kodu: Not: Bu bölüm merkeznz tarafından doldurulacaktır. Tezn yazarının Soyadı: OŞKUN Adı: Görkem Tezn Türkçe adı: KAUÇUK GÖVDELİ MOTOR TAKOZUNUN SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİYLE MODELLEME, SİMÜLASYON VE TESTLERİ Tezn Yabancı adı: FEA AND EXPERIMENTAL RESULTS OF A RUBBER ENGINE SUPPORT Tezn Yapıldığı Ünverste: İ.T.Ü. Ensttüsü: Fen Blmler Yılı: 4 Dğer Kuruluşlar: Tezn Türü: - Yüksek Lsans Dl: Türkçe Sayfa Sayısı 33 Tez Danışmanlarının Ünvanı: Doç. Dr. Adı: Ata Soyadı: MUĞAN Türkçe anahtar kelmeler: İnglzce anahtar kelmeler: - Doğrusal olmayan elastste - Non-lnear Elastcty - Hsterss - Hysterss 3- Vskoelastste 3- Vscoelastcty 4- Rjtlk kaybı 4- Loss of Stffness 5- Pşme Koşulları 5- urng Parameters

2 Tarh: İmza:

3 ÖNSÖZ Bu çalışmam dahl, başarabldğm ölçüde, hayatımda ortaya koyduğum her tür yapıtın kalıbı sayılablecek kşlk oluşumumun belkemğn teşkl etmş olan; ruhsal,sosyal ve akademk gelşmm çn madd ve manev her türlü olanağı sonuna kadar sağlamış bulunan anne ve babama, lkokuldan bu yana dağarcığıma brşeyler katablmş olan tüm hocalarıma, tez danışmanım Sn. Ata Muğan a, sağladığı manev destek, tez konusu kapsamında sanaynn akademsyenlerden beklents anlamında lojstk yönlendrme, yüksek lsans dersler ve tez yazımı süresnce okula devam hakkı çn verdğ müsaade, tahss ettğ test düzeneğ, test ve yazılım kullanma mkanlarından ötürü, başta Genel Müdür Yardımcısı Sn. Necm an Uslu, Grup Müdür Yardımcısı Sn. Ertan Yazıcı ve Şefm Sn. Nerman Erülker olmak üzere tüm Teklas Kauçuk AŞ yönetm ve çalışanlarına, MAR konusundak teknk desteğnden ötürü Sn Ender Koç ve Sn Ale Ramsey e çok teşekkür ederm. Mayıs 4 Görkem OŞKUN

4 İÇİNDEKİLER Sayfa No TABLO LİSTESİ ŞEKİL LİSTESİ SEMBOL LİSTESİ EK LİSTESİ ÖZET SUMMARY v v v.giriş. Taşıt Motoru.. Kauçuk Takozlara Uyguladığı Statk Yükleme Tpler 3. Kauçuk Takozlara Uyguladığı Mekank Ttreşmler 4.3 Kauçuk Takozlara Uyguladığı Sürekl Statk Yükleme 5.4 Kauçuk Takozlara Uyguladığı Sürekl Dnamk Yüklemeler 6.4. Düşük Frekanstak Sürekl Dnamk Yükleme 6.4. Yüksek Frekanstak Sürekl Dnamk Yükleme 3 3. Motor Takozu Statk Testlerne Dar Temel Kavramlar 3 3..Gerlme Tensörü: 3 3. Gernm Tensörü: Smetrnn Gernm ve Gerlme Tensörü Arasındak Bağıntılara Etks 3.4 Modül Tensörüna At Bağımsız Bleşen Sayısı 3.5 İzotropk Katılar İçn Genelleştrlmş Hook Prensb İdeal Elastk Sstemler İçn Genelleştrlmş Gerlme-Gernm İlşkler 4

5 3.7 Uyum Fonksyonları Arasındak İlşkler Gerlmenn Slndrk Koordnatlardak İfadelernn Çıkartılması dr eksen bleşenler çn fr = dθ eksen bleşenler çn f θ = denklem dz eksen bleşenler çn f z = auchy Gerlmes,. ve. Pola Krchoff Gerlmeler auchy Gerlme Tensörü smn Malzemeye Bağlı ve Anlık Konumlara Bağlı Kordnatları ve. Pola Krchhoff Gerlme Tensörler Gernm Enerjs Fonksüyonu Gernm Enerj Fonksyonu, Germe Oranına Göre Türev, Gerlme ve 7 3. Kauçuğun, Yay-Damper Sstem Tpleryle Temsl Mawell Model Kelvn-Vogt Model Zeener Model Malzeme özellğnn Tespt ve Sonlu Elemanlar Yazılımına Aktarımı Kauçuk Plaka ve Parça Testler, MAR ta Yapılan Çözümlemeler Denek Hazırlama Test Düzeneklernn Hazırlanması ve Testlern Yapılması Test Düzeneklernn Hazırlanması Test Sonuçları Tek Eksenl Çekme Test Sonuçları İk Eksenl Çekme Test Sonuçları 6..3 Düzlem Kayma Gerlmes Test Sonuçları 3 7 Test Sonuçlarının Yazılıam Grmek Üzere Hazırlanması 6 8. Grlen Sonuçlara Yazılımın Çakıştırdığı Eğrler 9

6 8.. Hacm Sabtlğne Dayanan Matematk Yaklaşımlar 8... Tek Eksenl Gerlme İçn Neo-Hookean ve Hook le Kıyası 8... Tek Eksenl Gerlme İçn Sabt Mooney Tek Eksenl Gerlme İçn Orjnal Mooney Tek Eksenl Gerlme İçn Mooney-Rvln Tek Eksenl Gerlme İçn Sgnorn Tek Eksenl Gerlme İçn Yeoh Tek Eksenl Gerlme İçn James-Green-Smpson 8.. Tek Eksenl Gerlme İçn Hacm Değşm Hesaba Katan Yaklaşımlar Tek Eksen İçn Ogden model 3 8. İk Eksenl Gerlme Durumu Hacm Sabtlğne Dayanan Matematk Yaklaşımlar İk Eksenl Gerlme İçn Neo-Hookean ve Hook le Kıyası İk Eksenl Gerlme İçn Sabt Mooney İk Eksenl Gerlme İçn Orjnal Mooney İk Eksenl Gerlme İçn Mooney-Rvln İk Eksenl Gerlme İçn Sgnorn İk Eksenl Gerlme İçn Yeoh İk Eksenl Gerlme İçn James-Green-Smpson İk Eksenl Gerlme İçn Hacm Değşmn Hesaba Katan Yaklaşımlar Düzlemsel Kayma Durumu Hacm Sabtlğne Dayanan Matematk Yaklaşımlar Düzlemsel Kayma İçn Neo-Hookean ve Hook le Kıyası Düzlemsel Kayma İçn Sabt Mooney Düzlemsel Kayma İçn Orjnal Mooney Düzlemsel Kayma İçn Mooney-Rvln 8 v

7 Düzlemsel Kayma İçn Sgnorn Düzlemsel Kayma İçn Yeoh Düzlemsel Kayma İçn James Green -Smpson Düzlemsel Kayma İçn Hacm Değşmn Hesaba Katan Yaklaşımlar 8.4 Sonuçların Yorumlanması 9. Nha Malzeme Modelnn Tayn 4. Vskoelastste 6. Vskoelastste - Kuramsal Altyapı 9.. Statk Vskoelastste Kuramsal Altyapı 9... Kayma ve Yığılma Relaksasyon Modüller 9... Kayma ve Yığılma Sürünmes Uyum Fonksüyonları Sürünme Testlernde Boltzmann Üstüste Ekleme Prensb Ayrık Bçm Sürekl Bçm Sürünme Testlernde Hafıza Etkler Relaksasyon Testlernde Boltzmann Üstüste Ekleme Prensb Ayrık Bçm Sürekl Bçm Relaksasyon Testlernde Hafıza Etkler Geçş Relaksasyon Modüller ve Geçş Uyum Fonksüyonları Öneml Eştszlkler Üstüste Ekleme Prensbnn Genelleştrlmes Vskoelastk FonksüyonlarArasındak Bağıntılar Frekansa Bağlı, Genelleştrlmş Gerlme-Gernm İlşkler 5... Herhang Br Smetr Dereces İçn Genelleştrlmş Bağıntılar Sayısal Örnekler 54 v

8 .. Dnamk Vskoelastste Kuramsal Altyapı Relaksasyon Modülü, Frekans ve Zaman Boyutu Komple Vskoelastste Dnamk Relaksasyon Testlernde Dspasyon Enerjs Dnamk Sürünme Uyum Fonksüyonu Uyum Fonksüyonu, Frekans ve Zaman Boyutu Dnamk Sürünme Testlernde Dspasyon Fonksüyonu Düşük Frekanslarda Kompleks Sürünme Uyum Fonksüyonu Düşük Frekanslarda Kompleks Relaksasyon Modülü DengeDurumu Vskoztes ve Durağan Konum Uyum Fonksüyon 7... Kröng-Kramers Bağıntıları Yığılma Sürünme Uyum Fonksüyonunun Elde Edlmes 75. Deneysel Relaksasyon evabının MAR Malzeme Modelne Aktarılması 77. Seçlen Malzeme Modelne Süreksz Hasar Özellğnn Eklenmes 78 Seçlen Malzemeye Süreğen Hasar Özellğnn Kazandırılması 8 3. Seçlen Malzeme Modelyle 3 Gerlme Durumuna At Sonuçlar Tek Elemanlı Model ve Çözümleme ve Test Sonuçlarının Kıyası Tek Elemanlı Tek Eksenl Çekme Tek Elemanlı İk Eksenl Çekme Tek Elemanlı Düzlem Kayması Basma ve Çekme Gerlmelerndek Olası Farklılık 9 4. Sürtünmesz Dsk Basma Test Sürtünmesz Dsk Basma Test Marc Analz 9 5. Ogden Malzeme Model ve Yığılma Modülü Yığılma Modülü Test Laboratuvar Denekler Testler 99 v

9 6..Laboratuvar Denekler Statk Testler Üç Gerlme Durumu, Gerçek Test Düzeneğnn Modellemes Gerçek Deney Model Tek Eksenl Çekme 6... Gerçek Deney Model İk Eksenl Çekme Gerçek Deney Model Düzlem Kayma 6.. Dnamk Laboratuvar Denek Testler ve Kuramsal Altyapısı Dnamk Kuramsal Altyapı Kauçuk Dsk Dnamk Test Malzeme Özellğnn Tanıtılması 6... Analzn Gerçekleştrlmes 3 7. Motor Takozu Testler Motor Takozu Statk Testler Motor Takozu Çözümleme ve Test Sonuçlarının Kıyası Test:mm/dk, 3 çevrm, ±mm Test:mm/dk, 3 çevrm, -mm lk Motor Takozu Dnamk Testler Hz lk ±.mm genlktek tarama Hz lk ±.5mm genlktek tarama 3 v

10 TABLO LİSTESİ Sayfa No Tablo E, G, K, arasındak bağıntılar 39 Tablo arasındak bağıntılar 44 Tablo 3 Tek Br Gerlme Durumu İçn Eğr Çakıştırma Performansı 4 J, D, B, Tablo 4 Üç Temel Gerlme Durumu İçn Eğr Çakıştırma Performansı v

11 ŞEKİL LİSTESİ Sayfa No Şekl. Motor takozlarının araç montaj konumları 3 Şekl. Kauçuktak gerlme, zaman ve yükleme çevrm sayısıyla lşks 8 Şekl.3 Kauçuğun karakterstk hsterss eğrs. 9 Şekl.4 Hızın artmaşı hsterss alanının arasındak ters orantı. Şekl.5 Kauçuk artan genlkl ardışık yüklemeler Şekl 3. Br csme etkyen gerlme 3 Şekl 3. Gerlme tetrahedronu 4 Şekl 3.3 Elastk csmn bçm beğştrmes 5 Şekl 3.4 Kayma kuvvetler 8 Şekl 3.5 Tek smetr düzlem 3 Şekl 3.6 Tek smetr düzlem ve eksen 6 Şekl 3.7 K ve K koordnat sstemler ve ortonormal bazları 33 Şekl 3.8 Yer değştrme vektörünün slndrk koordnatlarda gösterm 45 Şekl 3.9 Slndrk csmde gerlme durumları 47 Şekl 3. Slndrk koordnatlar, r eksen çn denge denklem 47 Şekl 3. Slndrk koordnatlar, θ eksen çn denge denklem 49 Şekl 3. Slndrk koordnatlar, z eksen çn denge denklem 5 Şekl 3.3 V hacm, ds brm yüzey ve yüzey normal brm vektörü n 53 Şekl 3.4. Kısm hacm, ds yüzey ve hattı 54 Şekl 3.5 V hacm, V brm hacm, üzerndek P noktası 55 Şekl 3.6 S* tarafından keslen süreğen hacm V 56

12 Şekl 3.7 P noktasına etkyen moment M 56 Şekl 3.8 Bleşke gerlme vektörü, brm vektörlerle gösterm 58 Şekl 3.9 auchy Gerlmes çn gerlme tetrahedronu 58 Şekl 3. Gerlme Tensörü bleşenler 59 Şekl 3. Yer değştren P noktası ve csmdek dğer br nokta Q 6 Şekl 3. Belrtlen kuvvetlern etksnde hareket halndek csm 66 Şekl 3.3 Referans konumu ve sonrasında ds yüzey 69 Şekl 3.4 Polmer zncrnn doğru parçaları çakıştırma yoluyla temsl 7 Şekl 3.5 Polmer zncrnn vektörel temsl 7 Şekl 3.6.Uçtan uca uzaklık, r bleşke vektör ve polmer zncr 73 Şekl 3.7 (a) ve (b) Vektör grubunun temsl ettğ polmer zncr 73 Şekl 3.8 Uçtan uca uzaklık ve olasılık fonksyonu P() 74 Şekl 3.9. r vektörünün oluşturduğu r yarıçaplı küre 75 Şekl 3.3. Poletlen, çapraz bağ oluşumu önces ve sonrası 76 Şekl 3.3 Doğal kauçuk, çapraz bağ oluşum önces (a) ve sonrası (b) 76 Şekl 3.3 Elastomer ağından ayırılıp ucu orjne ötelenmş polmer zncr 76 Şekl 3.33 smn her 3 eksendek yer değştrme oranları 78 Şekl 3.34 Makroyapıdak toplam oranının,y ve z bleşenler 79 Şekl 3.35 Tek eksenl gerlme, z yönünde uygulanan f yükü 8 Şekl Mühendslk Gernm /Mühendslk Gerlmes 83 Şekl 3.37 Komşu k noktadan p nn hızı v ve q nun v+dv 86 Şekl 3.38 Kauçuğun Mawell Moedlyle Temsl 9 Şekl 3.39 Kauçuğun Kelvn-Vogt Moedlyle Temsl 9 Şekl 3.4 Kauçuğun Zeener Moedlyle Temsl 93 Şekl 4.. Aynı hamur, farklı pşme yöntemler, mekank davranışları 94 Şekl 5.. Tek eksenl çekme test çn papyon denek ölçüler. 96 Şekl 5.. Düzlemsel Kaymal çekme test denek boyutları oranı. 96 Şekl 6.. Tek eksenl çekme düzenekler kıyası 97 Şekl 6. Düzlemsel Kaymal çekme düzenekler kıyası 97 Şekl 6.3. İk eksenl çekme düzenekler kıyası 98

13 Şekl 6.4 % Gernmdek Tek Eksenl Çekme Test Sonuçları 99 Şekl 6.5 % Gernmdek Tek Eksenl Çekme Test Sonuçları 99 Şekl 6.6 %3 Gernmdek Tek Eksenl Çekme Test Sonuçları Şekl 6.7 %4 Gernmdek Tek Eksenl Çekme Test Sonuçları Şekl 6.8 %5 Gernmdek Tek Eksenl Çekme Test Sonuçları Şekl 6.9 % Gernmdek İk Eksenl Çekme Test Sonuçları Şekl 6. % Gernmdek İk Eksenl Çekme Test Sonuçları Şekl 6. %3 Gernmdek İk Eksenl Çekme Test Sonuçları Şekl 6. %4 Gernmdek İk Eksenl Çekme Test Sonuçları 3 Şekl 6.3 %5 Gernmdek İk Eksenl Çekme Test Sonuçları 3 Şekl 6.4 % Gernmdek Düzlem Kayma Gerlmes Test Sonuçları 4 Şekl 6.5 % Gernmdek Düzlem Kayma Gerlmes Test Sonuçları 4 Şekl 6.6 %3 Gernmdek Düzlem Kayma Gerlmes Test Sonuçları 5 Şekl 6.7 %4 Gernmdek Düzlem Kayma Gerlmes Test Sonuçları 5 Şekl 6.8 %5 Gernmdek Düzlem Kayma Gerlmes Test Sonuçları 6 Şekl 7. Deneysel sonuç ve matematksel eğr 7 Şekl 7. Sabt hız ve gernmde kaydedlen mekank özellkler 8 Şekl 7.3 Ham deneysel sonuçları ve sıfıra ötelenmş haller 9 Şekl 8. Tek eksenl gerlme Şekl 8. Farklı malzeme modellernn kıyası 3 Şekl 8.3 İk eksenl gerlme 4 Şekl 8.4 Düzlemsel Kayma 7 Şekl 8.5 Matlab Program Satırları Şekl 8.6 Matlab çıktı grafğ 3 Şekl 8.7 % gernm çn Sgnorn eştlklerne at eğrler. 4 Şekl 9. Nha malzeme model olarak seçlen Ogden 5 Şekl 9. Üç temel gerlme durumu deneysel Ogden 6 Şekl.. İdeal Relaksasyon davranışı 8 Şekl.. İdeal Sürünme davranışı 8 Şekl.3 Gerçek Relaksasyon davranışı. 8

14 Şekl.4 Gerçek Sürünme davranışı 9 Şekl.5 Sonsuz küçük gernmlerde kayma relaksasyonu 9 Şekl.6 Logartmk eksenlerde relaksasyon modülü G(t) 3 Şekl.7 Doğrusal bölgeden, doğrusal olmayan bölgeye geçş 3 Şekl.8 Basamak fonksüyonu olarak σ ve σ ve kaydedlen gernmler 3 Şekl.9 ε (ta) ve ε (tb) n artan tahrk gernm boyunca değşmler 33 Şekl. sürünme uyum fonksüyonunun zamana bağlı değşm. 33 Şekl..a Doğrusal bölgede brm yerdeğştrmelern süperpozüsyonu 36 Şekl..b t=θ anında kayma gerlmesnn devre dışı kalışı 37 Şekl. Türev θ<t< θ süreksz gerlme fonksüyonu 38 Şekl.3 ψ (t), ψ (t θ) ve d ψ (t θ)/ d (t θ) nn t ye bağlı değşmler 4 Şekl.4 d J (t θ)/ d (t θ) rejm ve rastgele gerlme tatbk kaydı σ(θ) 4 Şekl.5 Türev θ <t< θ süreksz gernm fonksüyonu 4 Şekl.6 Ф (t), Ф (t θ) ve d Ф (t θ)/ d (t θ) nn t ye bağlı değşmler 44 Şekl.7 d G (t θ) /d (t θ) rejm ve rastgele gernm tatbk kaydı ε (θ) 44 Şekl.8... Örnek- 56 Şekl.9... Örnek-4 57 Şekl..a... Örnek-5 58 Şekl..b... Örnek-6 6 Şekl. Snüzodal yer değştrme tahrk δ kayıp açısı 64 Şekl. G*(ω) ve J(ω) 65 Şekl.3. Relaksasyon Deneyel Versne Çakıştırılan MAR Eğrs 78 Şekl. Süreksz hasar davranışı temsl gösterm 79 Şekl. Süreksz hasar davranışı deneysel 79 Şekl.3.a Süreksz hasar formülasyonunun garfk gösterm Şekl.3.b Formülasyon sonucu deneysel süreksz hasar ve MAR eğrs 8 Şekl. Süreğen hasar davranışı temsl gösterm 8 Şekl.3 Süreğen hasar davranışı deneysel ver-lk çevrm 8 Şekl.4 Süreğen hasar -çevrm sayısı-maks. gerlme değer eğrs grafğ 83

15 Şekl.5.a Şekl.4 dek grafğe MAR ın çakıştırdığı eğr. 84 Şekl.5.b Süreğen ve süreksz hasar davranışı skaler faktör kıyaslaması 85 Şekl 3. Tek elemanlı, tek eksenl çekme analz 86 Şekl 3. Tek elemanlı tek eksenl çekme analz sonucu grafk gösterm 87 Şekl 3.3 Tek elemanlı, k eksenl çekme analz 88 Şekl 3.4 Tek elemanlı k eksenl çekme analz sonucu grafk gösterm 88 Şekl 3.5 Tek elemanlı düzlem kayma analz 89 Şekl 3.6 Tek elemanlı düzlem kayma analz sonucu, grafk gösterm 89 Şekl 4. Kullanılan sürtünmesz dsk basma deney düzeneğ 9 Şekl 4. Önerlen sürtünmesz dsk basma deney düzeneğ 9 Şekl 4.3 Sürtünmesz dsk basma deney 9 Şekl 4.4 Dskn modellenmes ve analz şartlarının grlmes 93 Şekl 4.5 % gernm-dsk basma MAR analz ve deneysel sonuç 94 Şekl 4.6 % gernm-dsk basma MAR analz ve deneysel sonuç 94 Şekl 4.7 %3 gernm-dsk basma MAR analz ve deneysel sonuç 95 Şekl 4.8 %4 gernm-dsk basma MAR analz ve deneysel sonuç 95 Şekl 5. Yığılma modülü tayn test düzeneğ 97 Şekl 5. Hacmsel sıkıştırma-deneysel sonuç 98 Şekl 6. Gerçek deney modelyle tek eksenl çekme analz Şekl 6. Gerçek deney modelyle tek eksenl çekme analz sonucu Şekl 6.3. Gerçek deney modelyle k eksenl çekme analz Şekl 6.4. Gerçek deney modelyle k eksenl çekme analz sonucu Şekl 6.5 Gerçek deney modelyle düzlem kayma analz Şekl 6.6 Gerçek deney modelyle düzlem kayma analz sonucu 3 Şekl 6.7 Kütlel ve kütlesz Kelvn Vogt Model 3 Şekl 6.8 F(t), u(t) FT (t) n gerçel ve sanal eksende göstermler 8 Şekl 6.9 A, A, hsterss alanları, δ ve δ kayıp açılarıyla lşks 9 Şekl 6. Dsk denek Hz de ±.5 kn yük genlğnde dnamk test Şekl 6. Orjne ötelenmş hsterss Şekl 6. Hz ±.5kN kuvvet tahrkl dsk dnamk test 4

16 Şekl 6.3-5Hz ±.5kN dsk dnamk test, Frekans/ Kayıp Açı 6 Şekl 6.4-4Hz ±.5kN dsk dnamk test, Frekans/ Kayıp Açı 7 Şekl 6.5-5Hz ±.5kN dsk dnamk test, Frekans / [kns/mm] 8 Şekl 6.6-5Hz ±.5kN dsk dnamk test, Frekans / [kns/mm] 8 Şekl 6.7 Dsk dnamk test verlernn MAR a tanıtılması Şekl 6.8 Tanıtılan malzeme modelne uydurulan eğr (-5Hz) Şekl 6.9 Dsk analz sonucu, deneysel ver kyaslaması (-5Hz) 3 Şekl 6. Dsk analz sonucu, deneysel ver kyaslaması (-4Hz) 4 Şekl 7. Schenck Statk-Dnamk test chazına bağlı haldek motor takozu 5 Şekl 7. Motor takozu, statk testn yazılım üzerndek çözümlemes 6 Şekl 7.3 En krtk zorlanma yaşayan kısım-büyütülmüş 7 Şekl 7.4. Deneysel sonuç ve çözümleme sonuçları, grafk gösterm 8 Şekl 7.5. Motor takozu, yüke doyurma test analz 8 Şekl 7.6. Deneysel sonuç ve çözümleme sonuçları, grafk gösterm 9 Şekl 7.7 Motor takozu -5Hz, deneysel ver-çözümleme sonucu 3 Şekl 7.8 Motor takozu -5Hz, deneysel ver- çözümleme sonucu 3 v

17 SEMBOL LİSTESİ r : Radus vektörü Fo FT o f fo ω w W A, S n ustat udn H(ω) : Tahrk kuvvet genlğ : Kaydedlen en yüksek kuvvet : Frekans : Okunan kuvvet genlğ : Frekans [/s] ; Açısal Hız [rad/s] : Brm hacm başına enerj : Gernm enerjs fonksüyonu : Alan : Yüzey brm normal vektörü : Statk yer değştrme : Dnamk yer değştrme : udn / ustat : Gradyan Operatörü Δ : Laplasyen Operatörü Δ H(t) t θ θ δ δ L p P() t ν n n aj λ. : Hacm değşm oranı : Basamak fonksüyonu : Zaman : Zaman : Faz Açısı : Kayıp Açı : Kroenecker Deltası : Vskozte : Uzamaya dar vzkozte : Hdrostatk stress : Olasılık fonksüyonu : Tasarım alanı sınırına uygulanan kuvvet : Posson oranı : Ogden Modül Katsayılıarı : Ogden Üstel Kastayıları : Doğrultman kosnüsler : Lamé katsayısı v

18 λ ε,j,k ε σ j : Germe oranı : Dönel permütasyon çarpanı : Brm yer değştrme, brm uzama, mühendslk gernm : Gerlme : Modül Tensörü Bleşenler, : Mooney Katsayıları, : Mooney Rvln Katsayıları, 3 : Sgnorn ve Yeoh Katsayıları : Sönüm Katysayısı K : Yay katsayısı K : Yığılma modülü B : Yığılma Uyumu G : Kayma Modülü (Vskozte başlığı altında aynı zamanda relaksasyon modülü) J : Kayma Uyumu (Vskozte başlığı altında aynı zamanda sürünme uyumu) E : Elastste Modülü D : Çekme Uyumu K(t), K(ω) : Yığılma modülü fonksüyonu K* : Kompleks yığılma modülü K : Kompleks yığılma modülü gerçel bleşen K : Kompleks yığılma modülü sanal bleşen B(t), B(ω) : Yığılma uyumfonksüyonu B* : Kompleks yığılma uyumu B : Kompleks yığılma uyumu gerçel bleşen B : Kompleks yığılma uyumu sanal bleşen G(t), G(ω) : Kayma, relaksasyon modülü fonksüyonu G* : Kompleks Kayma, relaksasyon modülü G : Kompleks Kayma, relaksasyon modülü gerçel bleşen G : Kompleks Kayma, relaksasyon modülü sanal bleşen J(t), J(ω) : Kayma, Sürünme uyum fonksüyonu J* : Kompleks Kayma, Sürünme uyumu J : Kompleks Kayma, Sürünme uyumu gerçel bleşen J : Kompleks Kayma, Sürünme uyumu sanal bleşen E(t), E(ω) : Çekme modülü fonksüyonu E* : Çekme modülü E : Kompleks Çekme modülü gerçel bleşen v

19 E : Kompleks Çekme modülü sanal bleşen D(t), D(ω) : Çekme uyum fonksüyonu D* : Çekme uyumu D : Kompleks Çekme uyumu gerçel bleşen D : Kompleks Çekme uyumu sanal bleşen Ф(t) : Relaksasyon hafıza fonksüyonu ψ(t) : Sürünme hafıza fonksüyonu v

20 EK LİSTESİ EK A Deneysel Verlere MAR tarafından çakıştırılmış eğrlern kontrol parametreler ve çakışma hataları 34 v

21 ÖZET Kauçuk konstrüksüyon gelştrmede en büyük problem, kauçuğun doğrusal olmayan, zamana ve yük tekrar sayısına, pşme yöntem ve değşkenlerne bağlı mekank özellklerne amprk ve analtk olarak hakm olmanın güçlüğüdür, özellkle de ortada kesnleşmş br konstrüksüyon yokken. Bu çalışmada btmş konstrüksüyona htyaç duyulmaksızın, sabt kalınlıktak arıplakalardan standart ölçülerde keslmş denekler üzernde yapılan mekank test sonuçlarının, sonlu elemanlar yazılımına grlmes, ve yazılımda br defa doğru malzeme model elde edldkten sonra, bu malzemenn atandığı karmaşık konstrüksüyonların çeştllk arz eden testlernde dah, sanal ortamda tasarlananla, bu doğrultuda mal edlen btmş parçanın test sonuçlarının çakışacağını göstermektr. Böylelkle, stenen mekank davranış çerçevesndek nha konstrüksüyon yazılım üzernde oluşturulup, btmş parça çn prototp kalıp br defa üretlmş olur Anahtar Kelmeler:Olmayan Elastste, Hsterss, Vzkoelastklk, Rjtlk Kaybı, Pşme Koşull

22 SUMMARY The most dffcult problem n developpng a rubber constructon s the dffculty of amprcal and analytc control over the non-lnear and tme dependent mechancal behavour of the rubber beng hghely effected by the number of repettve loadng cycles, as well as by the type and parameters of curng. Partcularly f there sn t any certan completed constructon n use. In ths work, t s amed to show, that fnal-constructon-ndependant rubber materal propertes for an FEA software can be obtaned, usng the epermental resulsts of smple lab-slabs only. And once the approprate materal model s acqured, t s qute possble to obtan succesfully concdng load-dsplacement curves for the fnal shape of the real part and ts correspondng FEM model, even for dfferent sorts of mechancal tests of varyng complety. Hence the fnal constructon shape of the part can be completed thoroughly on a software platform, wthn any mechancal lmtatons requested by the clent, asdng the necessty of manfacturng several moulds for provsonal tral constructons before reachng the approprate fnal one. Keywords: Non-lnear Elastcty, Hysterss, Vscoelastcty, Loss of Stffness, urng Parameters.

23 .GİRİŞ Kauçuk konstrüksüyon gelştrmede en büyük problem, ortada henüz kesnleşmş br konstrüksüyon yokken,kauçuğun doğrusal olmayan, zamana ve yük tekrar sayısına, pşme yöntem ve değşkenlerne bağlı mekank özellklerne amprk ve analtk olarak hakm olmanın güçlüğüdür. sabt kalınlıktak plakalardan standart ölçülerde keslmş denekler üzernde yapılan mekank test sonuçlarının, sonlu elemanlar yazılımına grlmes, ve yazılımda malzeme model elde edldkten sonra, bu malzemenn atandığı karmaşık konstrüksüyonların çeştllk arz eden testlernde dah, sanal ortamda tasarlananla, bu doğrultuda mal edlen btmş parçanın test sonuçlarının çakışması hedeflenmştr. Böylelkle, stenen mekank davranış çerçevesndek nha konstrüksüyon yazılım üzernde oluşturulup, btmş parça çn prototp kalıp br defa üretlmş olur. Bunun çn öncelkle hamurdan yola çıkılarak test plakaları basılır, bu test plakalarında keslecek deneklerle üç temel şekl değştrme durumunu sınayan tek eksenl, k eksenl ve düzlemsel kayma çekme testler yapılır. Test sonuçları sonlu elemanlar çözümleme yazılımına aktarılır. Bu üç temel test çeşd çn,testn tek elemanlı temslnn ve gerçek denek konstrüksyonunun modellendğ programlar oluşturulup testler yazılım üzernde yaptırılır. Ednlen sonuçlar plaka numunelernn test sonuçlarıyla kıyaslanır. Mevcut malzeme eğrs oluşturma yaklaşımları çnde, bu üç test çeşd çn de ortak en tatmnkar çakışmayı veren model malzeme model olarak atanır. Btmş parça çn düşünülen konstrüksüyonlar modellenr, her br konstrüksüyon çn atanmış malzeme modelyle öngörülen mekank testler yazılım üzernde gerçekleştrlr. İhtyaç duyulan konstrüksüyonel yleştrmeler, sonlu elemanlar modelne uygulanır ve atanmış bulunan malzeme modelyle erşlen en y konstrüksüyonun mal çn prtototp kalıp yaptırılır. Yapılan prototp kalıpta, test plakaları çn kullanılmış olan karışım, aynı pşrme yöntem ve değşkenleryle (en temel olarak pşme sıcaklığı ve süres) kalıplanır. Ve uygun laboratuvar ortamında şartlandırılan parça, yazılımda btmş parça çn öngörülüp hesaplamaları yapılmış tüm testlern gerçeğne tâb tutulur. Btmş parçaya at gerçek test sonuçları, sonlu elemanlar modelyle hesaplanan yazılım üzerndek test sonuçlarıyla kıyaslanır.

24 . Taşıt Motoru Belrl kütlelere sahp hareketl ç aksamlarının, ağırlık merkezler kaçınılmaz olarak dönme eksennden kaçık br bçmde dönme hareket yaptıkları tahrk unsurları olan taşıt motorları, bu yolla yaydığı snüzodal ttreşmlerden ötürü, rjt bağlantı elemanlarıyla doğrudan aracın şassne bağlanamamaktadırlar. Dolayısıyla bağlantı elemanı olarak, br şas, dğer motora rjt olarak monte edlen bağımsız k metal parçayla, k ucu bu k metal parçaya kalıplama esnasında yapıştırılmış kauçuk gövdeden oluşan motor takozları kullanılır. Böylelkle seçlen bağlantı elemanı, belrl sınırlar dahlnde, altı serbestlk derecesne sahp br mafsal görev görmesnn yanısıra, motordan gelen ttreşmler de kauçuğun sönüm özellğ gereğ emmş olur. Motorun kaç yerden ve ne tp takozlarla şasye oturtulacağı, motorun tpne, ağırlığına, konstrüksüyon ve tp doğrultusunda ağırlığının göstereceğ dağılıma göre belrlenr. Tez kapsamında ncelenecek motor takozu, lgl aracın sahp olduğu 3 motor takozundan br tanesdr. Takozların lk, aracın soldan dreksyonlu tp çn, motoru, sürücü tarafındak şas bağlantı yernden asmakta (bkz. Şekl. dek ) ; kncs, motoru, orta kısmından şasye sabtleyerek, marşa basıldığında, motorun gösterdğ dönme eğlmne karşı elastk br burulma drenc gösterp, motorun uyguladığı bu moment tartmakta (bkz. Şekl. dek B), sonuncusu olan nceleme kapsamındak lgl takoz se, yne aracın soldan dreksyonlu tp çn, motorun yolcu tarafında kalan ayağını bağlamakta kullanılmaktadır. (bkz. Şekl. dek A).

25 Şekl. Motor takozlarının araç montaj konumları Motoru şasye bağlamakta kullanılan bu kauçuk gövdel bağlantı elemanlarının davranışını çözümlemeye geçmeden önce, lgl bağlantı elemanından beklenen görevler, bunun çn de motorun taşıta uyguladığı temel yükleme durumlarını ele almakta fayda vardır... Taşıt Motoru ve Kauçuk Takozlara Uyguladığı Statk ve Yol Kaynaklı Dnamk Yüklemeler: Motoru şasye bağlamakta, rjt bağlantı elemanları yerne, kauçuk gövdel bağlantı elemanlarının (motor takozlarının) kullanılmasındak temel nedenlerden bahsederken, takozun, belrl sınırlar dahlnde olmak kaydıyla, altı serbestlk derecesne sahp br mafsal görev görmesnden söz etmştk. Buradak belrl sınırlar dahlnde altı serbestlk dereces şunu fade etmektedr: Motor yaydığı mekank 3

26 ttreşmlerden ötürü, şasye kauçuk gövdel takozlarla bağlanablmekte; ancak yalnızca ttreşm emmekle kalmamakta, kauçuğun rjt olmayan malzeme özellğnden ötürü, motor kütlesnn uyguladığı statk ve dnamk yüklemeler karşısında, kaçınılmaz olarak belrl yer değştrmeler kaydetmektedr (dnamk yüklemey açımlamak gerekrse; hem motorun devr esnasında, belrl kütlelere sahp ç aksamlarının aldığı konumlar, hem de aracın seyr esnasında motor kütlesnn uyguladığı yol ve araç kaynaklı yer değştrmeler.) Kauçuk gövdenn, motor kütles karşısında, gerek çökme adı verlen bu yer çekm yön ve doğrultusundak yer değştrmes (motor statk yükü altında), gerekse bahsedlen dnamk yüklemelerden yol ve araç kaynaklı olanları karşısında kaydedeceğ farklı doğrultu ve yöndek yer değştrmeler esnasında, motorun dış gövdesne at rjt uzantılardan hç brs, kaporta altındak başka hçbr rjt aksama temas etmemeldr. Buradan yola çıkarak gerek yer çekm yönünde zn verleblecek en yüksek çökme (araç konumu çn -z yönü ), gerekse dğer sonsuz sayıdak yön ve doğrultudak zn verleblecek en yüksek yer değştrmelern, y ve z bleşenler hesaplanıp, kauçuk takozun, motor kütlesnn uygulayacağı bu yüklemeler karşısında lgl, y ve z doğrultularında, en fazla ne kadar yer değştrmesne müsade edleceğ belrlenr. İşte bu lgl üç yönde, öngörülen en yüksek yükleme [N] karşısında, kauçuk gövdenn en fazla ne kadarlık br yer değştrmede [mm] bulunması gerektğ, kauçuk gövdenn bu yöndek rjtlğ [N/mm] le fade edlr, k kauçuk motor takozuna at öngörülmüş bu üç yöndek statk test adıyla adlandırılan (kuşkusuz zamana bağlı olmasına rağmen nspeten düşük br hızda uygulandığı çn:mm/dk-5mm/dk) testlern sonlu elemanlar analz, motor takozu gelştrmenn esaslarından en önde gelenn oluşturmaktadır. Çünkü ttreşm sönümleme amacı altında, motorun devr ve aracın seyr esnasında rjt aksamların brbrlerne çarpmasına müsade edlemez, ve bu sebeptendr k bahs geçen yer değştrme sınırlamaları, ttreşm sönümünden daha öncelkldr.. Taşıt Motoru ve Kauçuk Takozlara Uyguladığı Motor Devnm Kaynaklı Dnamk Yüklemeler (Mekank Ttreşmler): Daha önce de özet olarak değnldğ üzere, motora at hareketl ç aksamlar, kaçınılmaz olarak, ağırlık merkezler dönme eksennden kaçık br bçmde dönme hareket yaptıklarından, bu yolla yaydıkları snüzodal ttreşmlern kauçuk gövdel bağlantı elemanlarıyla sönümlenmes hedeflenr. Motorun devr skalası dahlnde, 4

27 takozlara uygulayacağı snüzodal ttreşmlern frekans aralığı belrlenr. Bu frekans aralığı, sadece motorun kadranda görülen en yüksek devrnn frekansa çevrlmes çerçevesnde değl, aracı kadrandak en yüksek devrnde seyr ettrrken, motorda ttreşm yayablecek her nev aksamın, sanye başına en yüksek devr katedenn devr sayısının alınıp, belrl br emnyet katsayısıyla çarpılması yoluyla elde edlen br aralıktır. Konu kapsamındak motor takozu çn bu 4Hz olarak saptanmıştır. Dolayısıyla kauçuk takozlarının rezonansa grp grmeyeceğne dar sınama, harmonk analz yöntemyle yapılır. İlgl yükleme hassasyet ve frekans kapastesne sahp br dnamk test chazına bağlanan takoz, lk planda den 5Hz e kadar brer Hz lk adımlarla artarak belrl br yük ya da yer değştrme genlğnde ttreştrlr, ardından aynı şlem dan 4Hz e kadar ar Hz lk adımlarla tekrarlanır ve Hz başına düşen gerlme cevaplarını görüntüleyen eğrde, uygulanmış frekans adımlarının herhang brtanesndek gerlme cevabının an br yükselme (rezonans) gösterp göstermedğ sorgulanır. Daha sonra da ayrıntılarıyla açıklanacağı üzere, tez kapsamında, blnen harmonk analz yöntemyle, takozun lgl frekans aralığındak adımlardan herhagn brnde rezonansa grp grmeyeceğ değl, artan frekans doğrultusunda,kauçuk gövdenn, aynı tahrk genlğnde (yük ya da yer değştrme genlğ), ancak değşen yükleme hızları karşısında (frekans arttıkça yükleme hızı da artmış olacağından) verdğ gerlme cevabının -4Hz çn nasıl değştğ ncelenecektr..3 Taşıt Motoru ve Kauçuk Takozlara Uyguladığı Sürekl Statk Yükleme Br öncek bölümün son cümlesnden de tahmn edlebleceğ üzere, kauçuğun mekank davranışı zamana bağımlıdır. Örneklemek gerekrse, kauçuk br gövdeye uygulanacak mm lk br çökmenn,. sanye (Hz), sanye ve saatlk züre zarflarında tamamlanması hallernde, her üç durum çn de farklı brm yerdeğştrme-gerlme eğrler ve farklı en yüksek gerlme değerler elde edlr. Bu kauçuğun daha sonra ayrıntılarıyla açıklanacak olan vskoelastk yapısından kaynaklanmaktadır. Başlık kapsamında, sürekl statk yükleme dendğnde, statk konumdak motor yükü karşısında lgl motor takozunun göstereceğ yer değştrmenn hep aynı kalmayacağı anlaşılmalıdır, yan motorun lk monte edldğ anda, lgl motor takozu, örneğn 75kg lık motor kütlesnn uyguladığı yükleme karşısında,.5mm yer değştrsyse, saat sonra bu değern.65mm, gün sonra.68mm, hafta.7mm olduğu okunur. Sabt yük altında bekletlen kauçuğun yer 5

28 değştrme cevabının, azalan br vmeyle artmasına karşılık gelen bu eğlme Sürünme davranışı adı verlr ve kaynağı bahsedldğ üzere kauçuğun vskoelastk yapısıdır. Aynı eğlmn br başka fade edlş tarzı da, kauçuk gövdenn, tab tutulduğu sabt yer değştrme karşısında verdğ gerlme cevabının, azalan br vmeyle düşmes anlamına gelen Relaksasyon davranışıdır k her k kavram da vskoelastste kavramı çnde ncelenecektr..4 Taşıt Motoru ve Kauçuk Takozlara Uyguladığı Düşük ve Yüksek Frekanstak Sürekl Dnamk Yüklemeler Düşük ve yüksek dnamk yükleme çn kauçuk motor takozunun tab tutulduğu lgl test yöntemlernn farklı olmasından ötürü, bu ana başlığı düşük ve yüksek frekans çn k alt başlıkta ncelemek yernde olacaktır..4. Taşıt Motoru ve Kauçuk Takozlara Uyguladığı Düşük Frekanstak Sürekl Dnamk Yükleme ( Hızlandırılmış Ömür Test ) Kauçuğun mekank davranışı ardışık yüklemelern tekrar sayısına ve sıcaklığa bağımlıdır. Ardışık yüklemelern tekrarından kasıt, yükleme çevrmlernn peşsıra gerçekleşmes ve k çevrm arasında br duraksama gerçekleşmyor olduğu kastedlmektedr. Bu bağlamda, daha sonra ayrıntılarıyla nceleneceğ üzere, kauçuk gövde, aynı tahrk hızı ve yükleme genlğnde (örneğn bu durum çn yüklemenn mm lk çökme olduğunu kabul edelm),aynı hızda ve ardısıra gerçekleştrlen mm lk çökme ve bırakmalarda kaydedlecek en yüksek gerlmelern, lk mm lk çevrm çn 4MPa se, kncs çn 3.8MPa, üçüncüsü çn 3.76MPa, dördüncüsü çn 3.74 MPa, beşncs çn 3.73 MPa, altıncısı çn 3.77 MPa bçmnde lerleyeceğ görülecektr. Bu eğlmn br kısmı relaksasyon kavramıyla da lşklendrleblr, netcede lk çevrmn en yüksek çökme değerne ulaşmak çn harcanan zamanla, knc, üçüncü ve daha öte çevrmlern en yüksek çökme değerlerne ulaşmak çn harcanacak zaman arasında hep br fark olacaktır ve kauçuğun da sabt yer değştrme altında verdğ gerlme cevabı zamana bağlı olarak düşüş gösterdğnden, kauçuk gövde, lk mm ye ulaşmak çn harcayacağı zamanın ardından 4MPa lık br en yüksek gerlme değer kaydederken, knc, üçüncü ve sonrası mm lere ulaşmak çn harcayacağı zaman dlmlernn ardından, relaksasyonun etksyle, 4MPa dan daha düşük ve aynı relaksasyon davranışında olduğu gb, azalan vmeyle düşen br gerlme cevabı rejm zleyeceğ düşünüleblr. Br düşüşün kaydedleceğ ve bu 6

29 düşüşün relaksasyondak gb azalan vmel br düşüş olacağı kesndr; ancak bu düşüşün yegane etks kauçuğun relaksasyon eğlm değldr. Bunu daha açık br bçmde fade etmek üzere kıyaslamalı br örnek olarak, özdeş k kauçuk motor takozunun br tanes sanyede mm lk sabt br yerdeğştrmeye ulaştırılıp bu halde 8 sanye bekletlsn ve her 4 sanyede br ver toplanarak gerlme düşüşüne dar verden oluşan zamana bağlı br değşm grafğ elde edlsn. Dğer takozsa,.mm/s hızla ->mm gdş, ->mm dönüş toplam 4mm y 4 sanyede katedecek şeklde çevrmlere maruz kalsın ve 4 sanyede br ulaşacağı en yüksek yer değştrme olan mm lk yol karşılığı verdğ gerlme cevapları, 8/4= çevrm boyunca kaydedlerek yne 8 sanye boyunca sürecek olan, 4 sanyelk çevrmn çevrm sayısı olarak şleneceğ br yatay eksen doğrultusunca, en yüksek gerlmenn çevrm sayısına bağlı değşm grafğ çzlsn. Aşağıda yeralan Şekl. de, bahsedlen bçmde hazırlanmış k grafk üstüste yatırılmış halde verlmştr. Her k takozun yüklemesne aynı t anında başlandığı ve mm lk en yüksek yer değştrmeye aynı t=s anında ulaşmış, bu t anını takben her k grafk çn de aynı 4 sanyelk adımlarda, ve tamamen aynı t=6s, t3=s, t4=4s... ve t=8s anlarında ver toplanmış bulunmaktadır. Bu bağlamda t=s anında her k grafğn de aynı kabul edleblecek kadar yakın gerlme değern göstermş olmasına karşın, knc grafğn takp eden 4 ar sanyelk adımlarda, brncnn aynı 4 ar sanyelk adımlarındakne kıyasla daha düşük gerlme cevapları serglemş olması, relaksasyon eğlmnn harcnde, ardışık çevrmlern tekrar sayısına bağlı br gerlme düşüş rejmnn, kauçuğun değnlmes gereken ayrı br özellğ olduğuna şarettr. 7

30 Şekl. Kauçuktak gerlme cevabının zamana ve ardışık yükleme çevrm sayısına bağlı değşmnn kıyaslamalı olarak gösterm. Kauçuktak gerlme cevabının zamana ve ardışık yükleme çevrm sayısına bağlı değşmnn laboratuvar ortamında sorgulandığı teste hızlandırılmış ömür test adı verlr. Bu testn çevrm hızı ve sayısı belrlenrken, motor takozunu çn öngörülen çalışma ömrü, aracın kaçıncı klometresnde olacaksa, lgl klometredek araç seyrnn, belrl br hesap sonucunda, daha kısa br zaman dlmnde takoza yaşatılması fkr odak alınır. Örneğn takozun 4km önce değştrlmemes öngörülmüşse, bu 4km lk çalışma ömrü boyunca takozun maruz kalacağı düşünülen yükleme genlkler, her br genlk çn (genelde brden fazla tayn edlr) lgl yüklemenn hang hızda gerçekleşeceğ ve bu 4km lk seyr süresnce kaç çevrmlk yüklemeye maruz kalacağı hesap edlr; aynı takoz, aynı araçtak gerçek 8

31 çalışma ömrü süresnce ±8N çn toplam 6,, çevrm, ±5N çn toplam 4,, çevrm ve ±6N çn toplam 9,, çevrm gb, sonra bu lgl çevrm sayılarının laboratuvar ortamında hızlandırılmış bçmde uygulanacağı çevrm frekansları belrlenr. Bunun tayn çn parçaya yüklenen toplam enerjnn en az aynı kalması hedeflenr. Bu konudak örneklere devam etmeden önce kauçuğun en öneml mekank davranış özellklernden br olan hsterss davranışına değnmekte fayda vardır, hsterss davranışı, aşağıdak Şekl.3 de de görülebleceğ gb, yer değştrme/kuvvet grafğnde, yükleme ve boşaltma eğrlernn brbryle çakışık olmaması, arada belrgn br alanın kalması durumudur. Şekl.3 Kauçuğun karakterstk hsterss eğrs. Arada kalan bu alan, parçaya yüklenen enerj, br başka deyşle parça üzernde ısıya dönüşen ştr. Ömür testlernn laboratuvar ortamındak hızlandırılmış çevrmlerne at frekansın taynnde, şte bu arada kalan alanın araçtak gerçek takoz ömrü bayunca, gerçek yükleme hızıyla gerçekleşecek 6,, çevrm boyunca arada kalan alanlar toplamıyla, en az aynı olması hedeflenr, aynı 6,, çevrm sayısı,.hz yerne hızlandırılmış olarak Hz de uygulanmaz, yükleme hızı.hz den Hz e arttıkça,.hz gb düşük hızlarda oldukça etkn olan relaksasyon rejmne Hz gb yüksek hızlarda çok fazla fırsat tanınamaz hale geldğnden, hsterss ve arada hapsettğ alan daralır. 9

32 Ve. Hz de 6,, luk çevrm çn arada kalan toplam alan 6,,A se, Hz çn, arada kalan alan A nn A le olan lşks hesaplanır, örneğn bu durum çn, A=A olsun, o halde 6,,A=,,A olacağından, laboratuvar ortamında en az,, çevrm uygulanır ve bu öngörülen Hz çn,, sanye demektr k bu da 39 gün etmektedr. Gelştrc bu bağlamda test daha kısa sürsün, bunun çnde yen alan hesabının öngöreceğ çevrmde, çok daha kısa sürecek şeklde Hz de gerçekleşsn dyemez, çünkü çok daha kısa sürede btecek ve Hz çn yapılacak yen alan hesabına göre toplam alanların aynı olduğu bu testte, pstonun Hz lk hızla en yüksek yer değştrmeye çıkıp, durup ters yönde harekete başlaması esnasında hasıl olacak atalet kuvvetler çok daha yüksek olacağından, Hz çn stenlen ömür testn sağlayan parça Hz de beklenmedk ölçüde daha kısa br sürede kopmaya uğrayacaktır. Dğer yandan, kauçuğun gerlme cevabı, yükleme zamanı ve ardışık yükleme çevrm sayısının yanı sıra, aynı zamanda sıcaklığa da bağlıdır. Burada bahsedlen sıcaklık, gerçek araçtakn temslen, ısınan motordan yayılan ve taşıtın kullanıldığı klme bağlı olarak değşen takozun çnde bulunduğu kaporta altı ortam sıcaklığı değl, hızlandırılmış ömür test standart laboratuvar sıcaklığında yapıldığından dolayı, yukarıda değnlen bzzat hsterss çnde kalan alanla doğru orantılı olarak parça üzernde ısıya dönüşen ş sonucu artan kauçuk sıcaklığıdır. Br an çn araçtak gerçek takoz ömrü çn öngörülen.hz de 6,, çevrmlk br yüklemenn, motor ve kaporta altı ısınmalarını gözardı edeblmek adına, laboratuvar ortamında ve motor yerne test chazıyla yapıldığını farzedelm.bu durumda aynı ortam ve parça

33 sıcaklığında teste başlamış k takoza, alan hesabı sonucu.hz te ve Hz te toplam çevrm sayıları gözönünde bulundurulduğunda, aynı toplam enerj aktarılıyor olsa da, hızlandırılmış ömür testnde, A=A den.5 kadar daha az ısı katı daha kısa br yüklendğnden, dğer br deyşle üzerndek mevcut ısıyı atmaya / daha az zaman bulableceğnden, parça brm zamanda 5 kat daha fazla ısınacaktır. Kauçuğun eş yük genlğ ve hızdak yüklemelere verdğ yer değştrme cevabı, lerde ayrıntılarıyla açıklanacağı üzere, azalarak artan br eğr teşkl ettğnden, ısındıkça aynı ±8N altında daha çok yer değştrecek, kest alanı aynı ±8N altında daha düşük br kest alanı olmuş olacak ve aynı ±8N çn kendsnden soğuk dğer parçaya kıyasla üzernde daha yüksek gerlmeler hasıl olacağından, sıcak parça daha yüksek br kopma rskne haz olacaktır. İşte bu yüzdendr k gelştrc frma, ya yaptığı ömür test hesabı sonrası tayn ettğ bu yen frekans ve çevrm sayısına ek olarak bu ısınma etmenne karşı, laboratuvar ortamında da olsa parçayı hava akımına tutmayı önerecek, ya da bu ısınma faktörünün öne çektğ kopma çevrm sayısını gözönünde bulundurup, hızlandırılmış ömür testnden geçme şartı olarak atadığı çevrm sınır değern düşürecektr. Her k duruma at testlern de sonlu elemanlar programı olarak kullanılacak MAR ta nasıl gerçekleştrleceğne dar ayrıntılar lerde etraflıca ele alınacağı gb, bu k durum çn de kısa k açıklama aşağıda verlmştr. Havalandırmanın öngörüldüğü durum çn parça sıcaklığının laboratuvar ortamıyla aynı kaldığı kabul edlp, bu durumu temsl eden sonlu elemanlar çözümlemes çn MAR a sadece kauçuğun gerlme cevabının zamana ve ardışık yükleme çevrm sayısına bağlı değşm eğrler grlecek, parça sıcaklığının yükselmesn hesaba katan knc durum çnse, öncek k eğrye ek olarak, kauçuğun gerlme cevabının sıcaklığa bağlı değşm de MAR a grlecek ve çözümleme yöntem olarak ısıl-mekank bağlı (coupled) denklemlern kullanıldığı yöntem seçlecektr. Hızlandırılmış ömür testlernde, parçanın gerçek ömrünü temsl eden genlğn taynnde, genelde brden fazla yük genlğnn atandığına değnlmşt. Verlen ±8N çn toplam 6,, çevrm, ±5N çn toplam 4,, çevrm ve ±6N çn toplam 9,, çevrm örneğ çn konuşulacak olursa, lgl yüklemeler, mevcut ömür test yaklaşımları doğrultusunda, genellkle peşsıra 6 çevrmlk ±8N genlktek, 4 çevrmlk ±5N genlktek ve 9 çevrmlk

34 ±6N genlktek yüklemelernn oluşturduğu döngünün, kez tekrarlanması bçmnde uygulanır. Bu bağlamda ±5N, ±6N ve ±8N genlğndek yüklemeler brer çevrmlk ardışık sıra teşkl edecek bçmde yüklenmyor olsa da, br an çn bu şeklde yüklendğn farz ederek, aynı kauçuk gövdenn aynı şartlardak (hız dahl) brer çevrmden ±5N, ±6N ve ±8N lk bu ardışık yüklemelernde, her genlğe at hsterss eğrsnn dğerleryle nasıl br boyutsal lşkde olacağının ncelenmes gerekmektedr. Bu lşknn tpk br örneğ aşağıda yeralan Şekl.5 te; ancak daha bast br örnek üzernde fade etmek amacıyla, +5N/, +6N/ ve +8N/ lık yüklemeler olarak verlmştr. Şekl.5 Aynı kauçuk gövdenn aynı şartlarda brer çevrmden ardışık +5N/, +6N/ ve +8N/ lık yüklemelerne at hsterss eğrler Şekl.5 ncelendğnde, lgl yüklemelere at hstersslern yükleme eğrler çakışıkken, boşaltma eğrler, br üst gerlme değerne at çevrmn boşaltma eğrsnn, alt gerlme değerlerne at çevrmlern boşaltma eğrlernn altından geçecek bçmde kavs çzdğ görülecektr. Bu lşk sonlu elemanlar çözümlemesnden elde edlecek hstersslerde de böyle olmalıdır, zra ancak bu şeklde arada kalan alan yoluyla ısıya dönüşen ş ve parça üzernde yerattığı sıcaklık artışı, sonlu elemanlar yazılımı üzernde smule ettrlecek hızlandırılmış ömür testnde de doğru temsl edleblr.

35 .4. Taşıt Motoru ve Kauçuk Takozlara Uyguladığı Yüksek Frekanstak Sürekl Dnamk Yükleme ( Dnamk Relaksasyon ) Yüksek frekanstak sürekl dnamk zorlanmalarda se, br öncek bölümdek davranış özellklernden relaksasyon eğlm, uygulama hızlarının yükseklğnden ötürü, nspeten daha ger planda kalırken, kauçuğun yaşadığı dnamk ttreşmler karşısında daha düşük gerlme cevapları veren gevşek br tutum gösterme eğlm, dğer br deyşle dnamk relaksasyon kavramı ön plana çıkmaktadır k bu kavram lerk bölümlerde ayrıntılarıyla açıklanacaktır. 3. Kauçuk Gövdel Motor Takozu Statk Testlerne Dar Temel Kavramlar 3..Gerlme Tensörü: Gerlm ve bçm değştrme kavramlarına grşte, gerlm ve bçm değştrme tensörü, süreğen sstemlern mekanğnn sorgulanmasında temel kavramlar olduğundan, bu bölümde üzernde özet olarak durulacaktır. Gerlme blndğ üzere, elastk br csm üzerndek keyf br M noktasını üzernde bulunduran ve alanı alanı da olan br yüzeye etkyen F kuvvetn oluşturduğu tensörel br ncelktr. 3

36 Bu bağlamda σ(r,n) tensörünü n ve r ye bağımlı halden, sadece n ye bağımlı hale ndrgemek çn, M noktasının ağırlık merkeznde yeraldığı br tetrahedron çzelm. Tetrahedronun ağırlık merkeznn vmes a, brm kütleye etkyen kuvvet f [m/s ], tetrahedronun kütles dm, lgl yüzey alaları da, da, da3, dan ve yüzey brm normal vektörler n, n, n33, n olmak üzere Newton un. kanunundan adm= fdm+σ(n) dan σ() da σ() da σ(3) da3 (3. ) Tetrahedronun M noktasına küçülmesyle 3 σ(n) dan = σ() da + σ() da + σ(3) da3 =Σ σ() da = da = dan cos(n,) = n dan (3. ) (3. 3) Brm normal vektörü n olan yüzeye etkyen gerlme Asal gerlme kavramındak σ, σ, σ3 göstermyle karışmaması çn notasyon, σ(), σ(), σ(3) olarak verlmştr 4

37 3 σ(n) = Σ = σ() n = σ(n) stem eksenlerndek bleşenleryle gösterrsek (3. 4) σ(n)k = σ()k n σnk = σk n (3. 5) (3. 6) σn (,k=,,3 ) =k olduğu durumlar çn 3 normal ve k olduğu durumlar çn 6 teğetsel etkyen, toplam 9 gerlmelk br takımı temsl etmektedr. Ancak bu 9 gerlme brbrnden tamamen bağımsız değldr. Aşağıda belrtlen eksenler etrafında momentler alınırsa [8] (σ3 d d) d3 - (σ3 d d3) d = eksen etrafında (3. 7) (σ d d3) d - (σd d3) d = 3 eksen etrafında (3. 8) (σ3 d d3) d - (σ3d d) d3 = eksen etrafında (3. 9) Dolayısıyla σk = σk smetrk br tensördür ve 6 bağımsız bleşen vardır. 3. Gernm Tensörü: 5

38 6 Elastk br csm üzerndek A ve B gb k noktadan, konum vektörü r le tanımlanan A, ve A dan olan mesfes Δr tanımlanan B nn, u(r) fonksüyonuyla tanımlanan yen pozüsyonları A ve B olsun. Bu dört noktanın yarıçap vektörler r, Δr ve u(r) cnsnden tanımlanmış haller şekl 3 de verldğ gbdr. A ve B arasındak mesafe Δr le tanımlanmıştır. Buna göre Δr = A B = Δr + u(r+δr) - u(r) (3. ) Δr nn şddetndek değşm (Δr ) - (Δr) den hesaplanır. u(r) gerekl türevlernn tamamında sürekl br fonksyon olsun. u = u (,, 3 ) bçmnde ortogonal sstemdek bleşenler cnsnden fade edlmek üzere. ),, ( ),, ( u u (3.) k u (3.) ) ( ) ( r r (3.3) (3.) de her k tarafın karesn alarak ) ( ) ( ) ( ) ( k k k k u u (3.4) ) ( ) ( ) ( ) ( k k k k k k u u u (3.5),k,m=,,3 ndslernde gerekl düzenlemeler yapılırsa [7] k k k k k k m m u u u u ) ( ) ( (3.6) k k k k m m u u u u ) ( ) ( ) ( (3.7) k k k k m m u u u u r r ) ( ) ( ) ( (3.8)

39 7 k k k k m m u u u u u ) ( (3.9) dersek bu durumda k k u r r ) ( ) ( (3.) k m m u u (3.) gb. dereceden termn düşmesyle [7] k k k u u u ) ( (3.) elde edlr.bu bağlamda yer değştrme gradyan tensör bleşenler de şu şeklde fade edleblr. k k u Bu fadenn kesme kuvvetndek uygulamasını şekl 3.4 dek tasvrler yardımıyla ncelemek stersek, F kuvvet 3 eksenndek et kalınlığı hmal edleblecek kadar küçük nce

40 br csme [8] şekl 3.4(a) dak gb doğrultsu ve yönünde etkdğnde csmn lgl kenarı kadar yer değştrr k u u d tan (3.3) (3.4) ve küçük yer değştrmeler çn tan doğrultsu ve yönünde etkdğnde yer değştrme. F kuvvet şekl 3.4(c) dek gb u d u tan (3.5), yne küçük yer değştrmeler çn tan, bahs geçen k yönde uygulanan kuvvetlern oluşturduğu yer değştrmeler şekl 3.4(b) ve şekl 3.4(c) nn üst üste eklenmş hal şekl 3.4(e) de görüleblr ve 8

41 9 k k u u u u (3.6) şeklnde fade bulur. Eğer düşey yöndek kesme kuvvet doğrultsunda; ancak şekl 3.4(f) te görüldüğü üzere - yönünde etkrse, şekl 3.4(b) de verlen yer değştrmeyle üst üste eklendğnde şekl 3.4(h) dek yapı oluşur k bunun fades k k u u u u (3.7) olur. Her k kayma yer değştrmesnn şddet aynı olduğundan yer değştrme gradyan tensörü aşağıdak gb fade edleblr. k k k k k k k k u u u u u (3.8) k bu fadede yeralan k gernm tensörü ve ωk dönme tensörüdür ve aşağıdak gb fade edlr. k k k k k k u u u u (3.9) k=k olduğundan gernm tensörü smetrk, ωk= - ωk olduğu çn dönme tensörü antsmetrktr ve matrs bçmnde yazıldıklarında dagonaln dışında kalan ögeler kayma gernmler, dyagonalde yeralanlarsa normal gernmler olarak adlandırılırlar. Kayma gernmler açısal değşmler temsl ederken, normal gernmler boyca yer değştrmelern koordnat eksenlerne paralel olan brm uzunluklara oranlarını temsl ederler. Şekl 3.4(b) de gösterlen yapı bast kayma olarak adlandırılır k, yer değştrme gradyan tensörüyle gernm tensörünün arasındak lşk, sadece bu bast kaymayı fade ettğ durumlar çn, aşağıdak gb verleblr. u u (3.3), İknc dereceden br tensör olmasına rağmen smetrklğnden dolayı dokuz yerne altı tane brbrnden farklı elemana sahp olduğundan daha önce bahsedlen gernm tensörünün bu brbrnden farklı altı elemanı, u = u (,, 3 ) gb

42 yalnızca üç farklı yer değştrmeye bağlı olduklarından, brbrnden tamamıyla bağımsız değldr. Bu kavramı rdelemeye k boyutlu durumla başlayalım. u u u u (3.3) Gernm tensörü elemanlarının aşağıda gösterldğ şeklde knc türevler alınırsa u u u u (3.3) fadeleryle aşağıdak eştlk elde edlr. (3.33) Bu denklem düzlem gernm çn geçerl olan compatblty eştlğdr. Üç boyutlu durum çn gerkl şartlar aşağıda verldğ gbdr. (3.34) (3.35) (3.36) Ve (3.37) (3.38)

43 (3.39) 3.3 Smetrnn Elastk Sstemlerde Gernm ve Gerlme Tensörü Arasındak Bağıntılara Etks Katı csmler üzernde sonsuz küçük yer değştrmelerle yapılmış pek çok deney sonucu göstermektedr k gerlme tensörü, gernm tensörünün doğrusal br fonksyonudur. jkl (3.4) j jkl kl modül tensörü dördüncü dereceden br tensördür ve mevcut 8 bleşen de malzeme sabtlerdr. [8] Ancak bu 8 bleşenn tamamı brbrndenbağımsız değldr. Gerlme tensörü (σj= σj) ve gernm tensörü (j= j) smetrk olduklarından, modül tensörü de jkl= jlk bçmnde fade bulur ve bağımsız bleşen sayısı 36 ya düşer. Bağımsız bleşen sayısının daha öte ndrgeme çalışmalarına grmeden önce bçm değştrmeyle yapılan ş (W) fade eden eştlkler rdelememz gerekmektedr. W (3.4) fadedek nds ndrgemes şu şeklde fade edleblr j= ve kl=β ve smetrk tensör A β le antsmetrk tensör B β nn toplamı olan herhang br tensör yazılablr. Bu bağlamda A B (3.4) Bu defa da modül tensörü y A ve B tensörler cnsnden yazacak olursak A B (3.43.a) (3.43.a) denklem (3.4) de yerne konulursa W A B (3.43.b) 4 4

44 (3.43.a) denklemnn knc kısmın olan B (3.43.a) eştlğnn sağ tarafındak halnde yerne koyarsak fadesn, B β ın 4 B 4 4 (3.44) dolayısıyla (3.4) denklemnn yen hal aşağıdak gb olur. W A (3.45) (3.45) fadesndek A β tensörü smetrk olduğuna göre β de smetrktr. Dolayısıyla β = β ve ndrgenmş ndsler j= ve kl=β yerlerne konduğunda jkl= klj anlamına gelr ve bağımsız bleşen sayısı 36 da e düşmüş olur. Modul tensörünün bağımsız bleşenlernn adedne dar daha ler ndrgeme durumları, ncelenecek csmn konstrüksüyonundak smetr özellklerne bağlıdır ve temel k smetrk durum çn aşağıda ayrı ayrı ele alınacaktır. 3.4 Modül Tensörüna At Bağımsız Bleşenlern Sayısının Sstem Smetrsne Bağlı Değşm Gerekl ndrgenmş nds göstermler,, 33 3, 4, 3 5, 3 6 olacak şeklde gerlme ve gernm tensörler arasındak lşk matrs bçmnde aşağıdak gb fade edleblr (3.46) eştlk bçmnde fade edldğnde aşağıdak hal alır (3.47) (3.48)

45 (3.49) (3.5) (3.5) (3.5) anlamının yerleşmes açısından sadece bu defalk ndrgenmş ndslern yerne asılları konulacak olursa (3.53) (3.54) (3.55) (3.56) (3.57) (3.58) Aşağıda yeralan Şekl 5 te görüldüğü üzere sadece tek br smetr düzlem söz konusuysa (k bu şeklde öyle ve söz konusu smetr düzlem, 3 dolayısıyla aynı zamanda, 3 düzlem) gerlme tensörü bleşenlern,, 3 eksenler yerne,,, 3 eksenlernde fade etmek gerekrse 3

46 4 kl l j kl k kl l j kl k j a a ' ' (3.59) Doğrultman kosnüsler olan a k ve a jl nn değerler sstemn smetrs gözönünde bulundurularak matrs bçmnde yazılırsa, her k sstemde ortogonal ve 3, 3 ;, ve, - çakışık olduğu çn ), cos( ), cos( ), cos( ), cos( ), cos( ), cos( ), cos( ), cos( ), cos( '3 3' 3' '3 ' ' '3 ' ' ' ' a a a a a a a a a a a l j k (3.6) ve gerlme eştlkler aşağıdak hal alır. a a (3.6) a a (3.6) a a (3.63) a a (3.64) a a (3.65) a a (3.66) Aynı şeklde gernm tensörü çn de a a (3.67) a a (3.68) a a (3.69) a a (3.7) a a (3.7) a a (3.7) elde edlen yen fadeler (3.46) de yerne konulursa

47 (3.73) matrs eştlkler halnde yazılırsa γ γ (3.74) (3.75) (3.76) (3.77) (3.78) (3.79) (3.8) γ (3.8) (3.8) Yukarıdak denklemlerde koyu puntoyla vurgulanmış zıt şaretl fadelere rağmen brbrlerne eşt olan fadelern sağlanması, ancak koyu puntolu katsayıların sıfıra eşt olmasıyla mümkündür k bu durumda 4 = 6 = 4 = 6 = 34 = 36 = 45 = 56 = olup, bağımsız eleman sayısı den 3 e düşmüş olur. İfade matrs bçmnde aşağıdak haln alır (3.83) Benzer şeklde csmn örneğn br evvelkne ek olarak br de, yüzeyne göre smetrkse, doğrultman kosnüsler matrs a ' k a j' l a a a ' ' 3' a a a ' ' 3' a a a '3 '3 3'3 cos(, ) cos(, ) cos( 3, ) cos(, ) cos(, ) cos(, ) 3 cos(, cos(, cos(, ) ) ) (3.84) 5

48 olur ve aynı yöntemle 5 = 5 = 35 = 46 = 3 den 9 a düşmüş olur ve fade aşağıdak haln alır. çıkar, bağımsız eleman sayısı (3.85) Buna göre lgl eştlkler aşağıdak son haln almış olur (3.86) (3.87) (3.88) (3.89) (3.9) (3.9) İler aşamalarda statk ve dnamk basma zorlanması ncelenecek olan slndr denektek gerlme durumları, csmn slndrk smetr özellğne bnayen aşağıda açıklandığı gbdr. 6

49 daha önce fade edldğ gb doğrultman kosnüsler matrs a ' k a j' l a' a' a ' a' a3' a3' cos(, ) cos(, ) cos( 3, ) a'3 a '3 a3'3 cos(, ) cos(, ) cos( 3, ) cos(, 3) cos(, ) 3 cos( 3, 3) cos sn sn cos (3.9) Dğer yandan j a kl ' k σ,, şu şeklde fade edleblr. a j' l kl ve j a kl ' k a j' l kl olduğundan σ, a a ' k j' l kl ' k ' l kl ' ' kl kl a a a a a a a a a a ' k ' l kl ' ' ' '3 3 kl a a a ' k j' l kl ' k ' l kl ' ' kl kl a a a a a a a a a ' k ' l kl ' ' ' '3 3 kl cos 3 sn cos 3 sn (3.93) (3.94) (3.95) (3.96) Yukarıdak fadelern son haln nasıl aldığına dar br örnek sadece σ 33 çn aşağıda verlmştr. 33 kl a 3' k a 3' l kl a a a 3' 3' 3'3 a a a 3' 3' 3' a a a 3' 3' 3'3 a a a 3' 3' 3' a a a 3' 3' 3'3 a a a 3'3 3'3 3' (3.97) sn ( )sn cos sn (3.98) gerlme tensörünün smetrklğnden dolayı σ3=σ3 sn sn cos sn 3 33 (3.99) ndrgenmş nds göstermler,, 33 3, 4, 3 5, 3 6 le 5 sn 5 sn sn cos 3 sn sn cos 3 sn (3.) 7

50 8 kalan bleşenler de benzer şeklde hesaplanarak matrs bçmnde aşağıdak hal alır. sn cos cos )sn ( ) sn (cos sn cos cos sn cos sn cos sn sn cos k (3.) sn cos cos )sn ( ) sn (cos sn cos cos sn cos sn cos sn sn cos k (3.) fadeler sstemn eksen etrafında kadar döndürülmes sonucu aşağıdak hal alır k k (3.3) (3.85) dek fadede yeralan smetr şartları (bkz şekl 3.5) bu örnek çn de geçerl olduğundan(bkz şekl 3.6) lgl fade (3.85), σ k ve k cnsnden fade edlrse k

51 (3.4) matrs eştlğ denklem bçmde fade edlp, eştlğn dğer tarafına lgl denklemler yazıldığında = = = = = = (3.5) (3.6) (3.7) (3.8) (3.9) (3.) elde edlr k, buna göre 33=, 3=, 66= 44 ve jkl modül tensörünün bağımsız bleşen sayısı 9 dan 6 ya düşmüş olur. Ve gerlme tensörüyle gernm tensörü arasındak lşknn son hal aşağıdak gb fade edlr (3.) Ssteme br eksenel smetr özellğ daha eklenrse, örneğn 3 eksenne göre, bu sstemn zotropk olduğu anlamına gelr. Bu yen şart doğrultusunda, k tensörün 9

52 3 bleşenlern tejrar,, 3 eksenler yerne,,, 3 eksenlernde fade etmek gerekrse doğrultman kosnüsler matrs bu defa 3'3 3' 3' '3 ' ' '3 ' ' ' ' a a a a a a a a a a a l j k cos sn sn cos ), cos( ), cos( ), cos( ), cos( ), cos( ), cos( ), cos( ), cos( ), cos( (3.) σ k ve k tensörler bu bağlamda sn cos sn cos ) sn (cos cos )sn ( cos sn cos sn cos sn sn cos k (3.3) sn cos sn cos ) sn (cos cos )sn ( cos sn cos sn cos sn sn cos k (3.4) fadeler sstemn bu defa 3 eksen etrafında kadar döndürülmes sonucu aşağıdak hal alır k

53 (3.5) matrs bçm daha öncek gb eştlkler dzges olarak düzenlenp, eştlklern sağ tarafına, lgl denklemlernn, 33=, 3=, 66= 44 nden yararlanılarak düzenlenmş haller konursa = = = = = (3.6) (3.7) (3.8) (3.9) 44 6 (3.) = 55 5 (3.) Buna dayanarak 3=, =, 44= 55 olur k bu da jkl modül tensörünün bağımsız bleşen sayısı 6 dan 3 e düştüğü anlamına gelr. Buna ek olarak (3.3) ve (3.4) dek σ 4 ve 4 alınıp, modül tensöründek son durumda yerne konur ve eştlk bçmnde yazılırsa. 4 sn cos 4 cos sn sn cos cos 44 sn (3.) İfadedek yerne (3.6) ve (3.6) nn farkı yazılırsa 3

54 sn cos 4 cos sn 44 sn cos cos sn 4 (3.3) (3.89) dak eştlğnden yola çıkarak yukarıdak fadenn sol tarafı çn cos sn cos 4 sn 44 4 alınırsa sn cos 44 4 cos sn 44 sn cos 44 4 cos sn sn cos sn cos (3.4) (3.5) (3.6) (3.7) Bu sebepten stotropk katı csmler çn jkl modül tensörünün sadece k adet bağımsız bleşen vardır k bunlar ve dr. 3.5 İzotropk Katılar İçn Genelleştrlmş Hook Prensb ve gösterlrler katsayıları geleneksel olarak Lamé katsayıları olan ve G le G 44 G (3.7) G G G G G G 6 (3.8) veya farklı br fadeyle G j (3.9) j j Lamé sabt olan, lerde değnlecek olan germe oranı λ le karıştırılmamalıdır. 3

55 k bu denklemdek trace j 33 ve j Kronecker deltadır k anlamına aşağıda kısaca değnlecektr. Şekl 3.7 de görülen ortogonal sstemler K ve K ve ortonormal bazları,, 3 ve,, 3 olmak üzere [7] n le, n le, 3 n 3 le aralarındak açıları toplu halde lgl eksenlern brm vektörler yardımıyla edersek, bu aradak açıların kosnüsler de toplu halde k ve l arasındak açılar dzges olarak fade cos, k l olarak fade bulur k, özet br göstermle tanımlamak stenrse bu açıların kosnüsler daha öncedoğrultman kosnüsler matrsnde de fade edlmş olan notasyonuyla ak l bçmnde gösterlr. K ve K koordnat sstemlernn ortonormal bazları arasındak lşk [7] k a kl l (3.3) (3.3) k al k l bçmnde verlrse, K ve K koordnat sstemlernn herbrnn ortonormal bazlarının da kend aralarında skaler çarpımları alınırsa şddetler e eşt olduğundan.,, 3 ve,, 3 brm vektörlernn 33

56 k m a lk a lm (3.3) k m a k l a ml (3.33) haln alır. Ortogonal olan k sstemn herbrnn kend eksenler arasındak açılar da / olduğundan (3.3) ve (3.33) dek kosnüs çarpımları aşağıda belrtlmş şartlar doğrultusunda değer alarak toplu halde kronecker deltasıyla fade edlr. [7] km km km k k a lk m m a a a lm lk kl a a lm ml km k m k m k m k m a kl a ml (3.34) (3.35) İsotropk katılar çn elaststenn genelleştrlmş (3.9) e ger dönecek olursak, fadede yeralan anlamını tasvr çn ayrıtlarının serbest konumdak bıyları przma düşünelm, br dış kuvvet nedenyle ayrıtların yen boyları esas eştlğ olarak blnen trace j kavramının fzksel L, L L, 3 L, L L, olan br 3 olsun. Ufak yer değştrmeler çn gernm tensörü bleşenler aşağıdak gb tanımlanır. [9] L L L,,3 Bçm değştrmş csmn hacm V, serbest konumdak hacm V olmak kaydıyla V V L L L L L L (3.36) İfadenn sağ tarafının açılımda. derece ve yukarısı termler, çok ufak yer değştrmeler mevzu bahs olduğundan, hmal edlrse V V trace 33 j (3.37) olur k bu fade de aşağıdak gb düzenlendğnde, 34

57 V V trace j V V V ΔV V (3.38) Açıkça görüleceğ üzere değştrme oranını temsl eder ve ve gernm tensörü zotropk katı csmn yük altındak hacm j, yer değştrme tensörü j ve devatork tensör d j nn toplamı olarak fade edleblr. j j d j (3.39) Bu fadede yeralan j j dag 3,, 3 (3.4) ve devatork tensör de, d j j j (3.4) (3.9) eştlğndek gernm tensörü, bu defa yer değştrme ve devatorc bleşenleryle fade edlecek olursa (3.9) denklem aşağıdak haln alır. d j G j G j K j G 3 d j (3.4) Eştlktek bulk (yığılma) modülü dye adlandırılıan K değer şu şeklde fade edlr. K G 3 dolaysıyla (3.9) eştlğ aşağıdak gb düzenlenr. (3.43) 35

58 j G j G j 3 (3.44) Gernm tensörünün, bleşenler toplamı cnsnden yazılmasına benzeşen br uslupla gerlme tensörü de yer değştrme bleşen toplamı cnsnden fade edleblr. ve devatork bleşen d nn j j d j (3.45) gernm tensöründekne benzer bçmde, gerlme tensörünün yer değştrme bleşen j j dag 3,, 3 (3.46) ve fadede yeralan da aşağıdak gb fade edlr. trace j 33 (3.47) dolayısıyla devatork bleşen de d j j j (3.48) fade edldğnde aşağıdak denklemler de süregelen eştlklern kobnasyonuyla elde edlmş olur. j G j K j 3K 3 d j j j (3.49) G (3.5) k bu eştlklern yazılmasına yardımcı olan ve gernm le gerlme tensörler çn sağlanacağı aşkar k fade de aşağıda verlmştr. d j trace trace (3.5) d j 36

59 Eğer elastk br csm, sadece asal eksenlernden br doğrultudusunda br kuvvete maruz kalıyorsa, k bu örnekte seçlen eksen asal olsun. j j 33 (3.5) olur ve zotropk sstem çn = 33 olduğundan G (3.53) G (3.54) Bu fadelern sonucu (3.43) eştlğyle brleştrlre, elastklk modulü E yalnızca bu örnekte belrlenmş şartlar çn E 9KG 3K G (3.55) fades elastklk modülünü kayma modülüyle lşklendrr k K>>G çn fade 9KG 9KG E 3G E 3G 3K G 3K (3.56) Gernm tensörünün dyagonalndek bleşenlernn bu örnektek şartlar ve zotropk malzeme ( = 33) çn oranını aşağıdak gb fade edersek 33 3K 6K G G (3.57) oranı elde edlr k bu fadedek Posson oranı dye adlandırılır. Hacmn sabt kaldığı kabulüne uyan malzemelerden br kabul edleblecek olan, ve neredeyse sıkıştırılamaz olarak adlandırılan kauçuk çn de K>>G olduğundan fade. 5 olarak kabul edleblr. Kauçuğun sıkıştırılablrlğnn hesaba katıldığı durumlarda se formüllere yığılma modülü K nın da grmes gerekr, k bu yığılma modülü K nın ölçümü çn 37

60 lerde ayrıntılarıyla değnlecek olan ölçüm düzeneğ brazdan anlatılacak olan konunun fzksel örneğn teşkl etmektedr. Dyelm k elastk csm eksen doğrulrusunda basma ya da çekmeye maruz kalıyor ve ve 3 doğrultularında herhang br yer değştrmeye müsade edlmyor.bu durumda sotropk katılar çn gerlme ve gernm tensörler j j (3.58) bçmnde fade edlr ve (3.44) denklem bu şartlar doğrultusunda düzenlendğnde K G 3 G K 4 G 3 (3.59) ve lgl gerlme tensör bleşennn, gernm tensör bleşenne oranı 4 K G 3 (3.6) Dğer yandan K G 3 / oranı G ve bu örnekte olduğu çn 3K 3K G 4G (3.6) ve kauçukta K>>G olduğundan 3K G 3K 3K 4G 3K (3.6) ve bu örnek çn 33 olduğundan, 33 p bulunur k sstem hdrostatk basınç p nn altında olduğu anlamına gelr. İrdelenen bell başlı örnekler sonucu görülmüştür k elastk br csmn gerlme durumlarını fade etmekte kullanılan E, G, K, ncelklernn her br, herhang 38

61 dğer ks cnsnden fade edleblmektedr. Türetleblecek eştlkler çapraz konbnlenmş halde aşağıdak tabloda verlmştr. Tablo E, G, K, arasındak bağıntılar G ve E G ve K ve E K ve K ve G E ve K G E E G 9G G EG G E 3E 3 3 3KE K E 9K E 9KG 3K 3K G E 3 / K G 6K 3K G Dnamğn. kanunu olarak da anılan [8] elastklk çn yazmak stersek dv b dv ba eştlğn doğrusal elde edlr k bunun yardımıyla denge denklemlern yer değştrmeler cnsnden fade etmek gerekrse, csm ağırlığı ve ataletler hmal edldğnde aşağıdak eştlk elde edlr. j j (3.63) (.) eştlğndek ncelkler Tablo de verlen bağıntılarla düzenlenrse aşağıdak fade elde edlr. E j j kk (3.64) eştlğ (3.63) de yerne konursa aşağıdak denklem elde edlr. j (3.64) E j j E kk j (3.65) İfadedek kk değerler yerne konulduğunda uk k ve j değerler yerne u j u j E u j u j j E j uk k (3.66) 39

62 4 elde edlr k, ndslere dar gerekl değşkler yapılıp eştlk düzenlendğnde aşağıdak bçm alır.[8] k j k j u u (3.67) haln alır k blnen matematksel göstermler yardımıyla da daha kısa br bçmde fade edleblr. Bunun çn olan del ya da nabla olarak anılan myle uygulanan şlem olan gradyan [7] k k 3 3 (3.68) dverjans olarak adlandırılan [7] k k A A A A A A A dv A A (3.69) bleşk br şlem olan l k l k l l k k A A A A A dv A (3.7) ve le gösterlen Laplasyan şlemcs olarak blnen [7] l k l k l l k k (3.7) yukarıda örneklenen durum çn düzenlenmş halyle k k k k k k k k k..cos() (3.7) Bu hatırlatmalar ışığında (3.67) denklem yenden düzenlendğnde u u dv (3.73)

63 elde edlr k bu eştlk lteratürde, farklı notasyonlardak brkaç fade edlş bçm olmakla beraber, Naver denkelm olarak blnr.[8] 3.6 İdeal Elastk Sstemler İçn Genelleştrlmş Gerlme-Gernm İlşkler Eğer elastk br katı sonsuz küçük (nfntesmal) br temas kuvvetnn etksndeyse, gernm tensörünün gerlme tensörüne bağlı fades aşağıdak gbdr. j R jkl kl (3.74) İfadedek R jkl, uyum (complance) tensörü olarak adlandırılıp jkl le benzeşen br durumla sadece k bağımsız bleşene sahptr, bu ayrıntı ışığında, daha önce de değnlmş ndrgenmş nds göstermler,, 33 3, 4, 3 5, 3 6 yı da kullanarak aşağıdak matrs bçmyle fade edleblr. R R R R R R R 44 R R44 6 (3.75) Buna mukabl j jkl kl fadesnden yola çıkarak aşağıdak eştlk elde edlr. j j R j j (3.76) İfadede yeralan Rj, j matrsnn ters olup, j matrs sözde dagonal (pseudodagonal) br matrs olduğundan R44 bleşen aşağıdak fadeyle hesaplanır. k fadedek J G R G G J (3.77) olup kesme uyum fonksüyonu olarak anılır. [8] Ger kalan Rj bleşenler aşağıda verlen matrsn (modül tensörünün matrs fadesndek dyagonal olmayan kısım) ters alınarak hesaplanır. 4

64 4 (3.78) ve lgl Rj bleşenlern tanımlamak gerekrse R R (3.79) lgl fadelerde daha önce değnlmş olan, G, G J K G 3 yerlerne konulduğunda B J KG G K R ve J B KG K G R (3.8) bulunur k bu fadelerde yeralan K B yığılma uyum fonksyonu (bulk complance) olarak adlandırılır. Bu eştlklern ışığında matrs bçmndek (3.75) fades yenden düzenlenecek olursa J J J B J J B B J J B J B B J (3.8)

65 Bundan faydalanılarak gernm ve gerlme arasındak lşknn genelleştrlmş hal aşağıdak bçmde yazılablr. j B 9 J j 6 J j (3.8) İfadede yeralan trace j 33 dır. 3.7 Uyum Fonksyonları Arasındak İlşkler Yne tek eksenl gerlme durumunu örneklemek gerekrse, elastk katı csmn asal eksenlernden sadece de basma ya da çekme zorlanmasına maruz kaldığını düşünelm, bu durumda gerlme tensöründe sıfır olmayan tek bleşen σ olur ve le lşks aşağıdak gb fade edlr. B J 9 3 (3.83) Bu bağlamda çekme uyum fonksyonu dye anılan D aşağıdak gb fade edlr. D B 9 3 J (3.84) K bu durumda K kauçuk çn çok büyük br değer olduğundan kabul edlrse B J 3 B K olur. Tek eksenl gerlme durumu çn gernm tensörü olduğu j 33 nün, zotropk malzeme olduğu çn bu şartlar çerçevesnde brbrlerne eşt olan kalan bleşenler 33 B 9 J 6 (3.85) fadesyle bulunur k (3.83) yardımıyla Posson oranı aşağıdak şeklyle elde edlmş olur. 43

66 yukarıda fade edldğ sebepten ötürü oranı.5 33 B 9 B 9 B K J 6 J 3 (3.86) olduğu kabul edlrse Posson olur k bu kauçuk çn de çoğunlukla kabul gören sıkıştırılamazlık lkesn (hacm sabtlğ) fade eder. Bu bağlamda görülmüştür k J, D, B, ncelklernn her br, herhang dğer ks cnsnden fade edleblmektedr. Türetleblecek eştlkler çapraz konbnlenmş halde aşağıdak tabloda verlmştr. Tablo J, D, B, arasındak bağıntılar J ve D J ve D ve B ve D B ve B ve J B J D 9D 3J J D J 3J 3D D B 3D 3 B 3 B 6D 3 B B J 9 3 (3J B) (6J B) 3.8 Gerlmenn Slndrk Koordnatlardak İfadelernn Çıkartılması İlerde ncelenecek olan kauçuk dskn statk, dnamk ve ömür testlernde slndrk bçme haz br elemanın gerlme ve gernm lşkler nceleneceğnden yukarıda elde ettğmz gernm tensörü bleşenlern, slndrk koordnatlar çn yazmak gerekrse 44

67 sırasıyla Şekl 3.8 dek verlere bnayen radyal, açısal ve eksenel yer değştrmeler u, r, u u z olarak tanımlanacak olursa a ve b noktaları arasındak yer değştrme vektörün ab nn şddetnn radyal eksendek skaler bleşen olarak fade edlecek olursa u r dr r rr u r r (3.87) ad nn şddetnn açısal (teğetsel) ve eksenel koordnat eksenlerndek skaler bleşenler aşağıdak gb fade edlr. Dolayısıyla u u r u d rd u d u u d d (3.88) r r u r u ur d r u r (3.89) r yı bulmak çn Şekl 7 dek verler benzer bçmde düzenleyerek 45

68 46 b d a d a b dab r (3.9) (3.9) r u r u d u u r r r r (3.9) bu doğrultuda r u r u u r r r (3.93) benzer şeklde dr, dz düzlemnde çalışılırsa r u z u z u z r zr z zz (3.94) ve rdθ, dz de z z u r z u (3.95) elde edlr k örneğn, eksenel smetrye haz br örnekte, z eksen etrafındak br dönel smetr çn, gernm tensörü sadece r ye bağlıdır ve buna mukabl aşağıdak fadeler elde edlr. r u r u r rr (3.96) Buna paralel olarak slndrk br hacmn çok ufak br kesdnde denge denklemler elde edlmek stenrse aşağıda yer alan Şekl 8 dek verlerden faydalanarak r u r u r u dr u dr r u u a a

69 Şekl 3.9 dak yapıya radyal doğrultudak denge eştlğ olan f r yazmak çn 3 yönünde bakmak gerekrse, aşağıdak alt başlık kapsamında yeralan Şekl 3. da da görülebleceğ üzere 3.8. Slndrk Koordnatlarda denge denklem dr eksen bleşenler çn fr = 47

70 İlgl gerlme bleşenlern, etkdkler yüzey alanlarıyla çarpıp kuvvetler toplamını sıfıra eştlemek gerekrse r dr d cos d r drd dz rd dz d dr dz cos dr dz d d 3 dr sn dr dz sn dr dz 3 dz z dr r d dr dr r d dr b r r dr d dz 3 (3.97) İfadedek b r r dr d dz çok küçük değerler olduğundan aşağıdak kabuller yapılablr. hdrostatk bleşen olup eştlkte yeralan dθ ve dθ/ d d d tan d cos cos d d sn sn d d d tan sn d cos (3.98) Bu kabuller ışığında denge denklem yenden düzenlenecek olursa r d dz dr d dz r dr d dz r r d dr dz d dr dz dr dz dr dz d d r3d dr 3d dr dz dr dz dr dr r 3 dzd dr z 3 dzd z dr d dz rd dz (3.99) dr r 3d dr 3d br r dr d dz (3.) İfadedek knc dereceden termler hmal edlrse r d dz dr d dz r dr d dz rd dz dr dz r d d d dr dz dr dz dr dz dr dz 48

71 r 3 3d dr r dz d dr r 3d dr br r dr d dz z dr d dz r dr d dz d dr dz d dr dz r r 3 dz d dr br r dr d dz z (3.) (3.) Her k tarafı da b r r dr d dz ye bölersek r r 3 b r r z r (3.3) Benzer şeklde dθ eksen çn aşağıdak şekl 3. de yeralan verler doğrultusunda yazmak gerekrse f 3.8. Koordnatlarda denge denklem dθ eksen bleşenler çn fθ = d d d d cos dr dz cos dr dz d sn dr dz 49

72 d dr dr sn 3 dr dz 3 dz r d dr r d dr z 3 dr r r drd dz r d dr b r dr d dz (3.3) fade devam ettrlecek olursa d dr dz dr dz d d dr dz d dr dz 3 z 3 dz dr r d dr r d dr b r dr d dz 3 dr r d dr r dr r drd dz (3.4) dr dz d dr dz dr r 3 3 d dr z dr dz dr dz r d dr d dr dz d dr 3r d dr dr dz d dr dz r drd dz dr r drd dz r r d dr b r dr d dz (3.5) dr dz dr d dz r dr d dz z dr dz d dr dz d dr dz dr d dz r d dz dr d dz r dr d dz r r d dr dz 3 3 z dz dr d r d dz b r dr d dz (3.5) yne knc dereceden termler hmal edlr ve hesaplara devam edlrse d 3 dr d dz dr dz r dr d dz z dr d dz r dr d dz r d dr b r dr d dz r r d dz (3.6) (3.7) ve gerlme tensörünün smetr özellğnden ötürü olduğundan 5

73 dr d dz d dr dz z 3 r dr d dz r r dr d dz b r dr d dz (3.8) Ve yne her k tarafı da b r r dr d dz ye bölersek 3 b r r z r (3.9) doğrultusunda Aynı şeklde dz eksen çn aşağıdak Şekl 3. de yeralan verler f z yazmak gerekrse Koordnatlarda denge denklem dz eksen bleşenler çn fz = 3 z 3 dz dr r d dr 3 dr r d dr 3 3 d dr dz 3 dr dz r drd dz r d dz b r dr d dz 3 3 dr 3 r (3.) dr 3 dr dr 3 3r d dr r dz d dr 3r d dr 3 dr dz d dr dz 3 dr dz z 5

74 dr d dz r d dz b r dr d dz r d dz 3 dr d dz r dr d dz 3 z olur k buradan r r (3.) 3 3 dr 3 rdr d dz d dz d dr dz z z dr d dz r dr d dz dr d dz bzr dr d dz (3.) r r yne knc dereceden termler hmal edlrse 3 z 3 rdr d dz d dr dz 3 3 dr d dz r r dr d dz b r dr d dz z (3.3) Ve yne her k tarafı da b r r dr d dz ye bölersek 3 z r r r b z (3.4) elde edlr. 3.9 auchy Gerlme Tensörü, Malzemeye Bağlı (Materal oordnates) ve Anlık Konumlara Bağlı Koordnatlar (Spatal oordnates),. ve. Pola Krchoff Gerlmeler, Doğrusal ve Doğrusal Olmayan Kuramlardak İlşkler Polmer mekanğ gb doğrusal olmayan elastste kavramına dayanan br yaklaşıma grmeden önce, başlıkta geçen kavramları, süreğen sstemler dnamğnn temeln oluşturduklarından ötürü, ncelemek faydalı olacaktır. [8] Bahs geçen kavramların notasyonunun kavranablmes çn gerekl km hususlar aşağıda sırasıyla verlmştr. Permütasyon Sembolü eger, j, k,,3,,,3 j k eger, j, k 3,,,3,, (3.5),, eger, j, k keyf 5

75 Gauss ve Stokes Teoremler Şekl 3.3 V hacm, sonsuz küçük ds yüzey ve yüzey normal brm vektörü n Fzksel uzayın sonlu br bölümünde tanımlanmış, gereken türevlernn hepsnde sürekl br tensör alanı (feld) T,j,...k olsun, lgl hacm V ve bu hacm sınırlayan yüzey alanı S olmakla brlkte Şekl dek verlern ışığında aşağıda yeralan eştlk Gauss Dverjans Teorem olarak blnr. [8] (3.6) skaler ve vektörel alanlar çn bu teoremn km öneml sonuçları aşağıda hem nds gösterm hem de sembollerle fade edlmş halyle verlmştr. [8] (3.7) Gauss Dverjans Teorem kapalı br hacm üzernden ntegral tanımlarken, Stokes teoremyse açık br alan üzernden ntegral tanımlar. Ayrıntılarına geçmeden önce aşağıda yeralan Şekl 3.4 ü ncelemek gerekrse 53

76 Şekl 3.4 Kısm br hacm çn, hacm kısmen saran yüzey S, sonsuz küçük yüzey alanı parçası ds, yüzey normal brm vektörü n, hacmn kesd alınan kısımdak saran yüzey S n kenarını teşkl eden hat ve y oluşturan noktaların yarıçap vektörü ve boyunca teğetsel brm vektör d Stokes hattı üzernden açık br alan çn ntegral tanımlamaktadır, n vektörü S yüzeynden dışarı doğru ve S le üzernde tanımla herhang br vektör alanı v çn aşağıdak eştlkler Stokes Teorem olarak blnr. (3.8) (3.9) eğer tanımlanan v vektör alanı hız se, netgraln knc kısmı döngüsellk belrtr ve le fade edlr. [8] 3.9. auchy Gerlme Tensörü Daha önce ncelenen gerlme tensörü, auchy Gerlme Tensörü nün özel br hal olup, aslen auchy Green Gerlme Tensörünün nasıl çıkartıldığı aşağıda ncelenecektr; ancak buna grmeden önce hemen aşağıda verlmş notasyon lerleyen satırlarda değnlecek formüllern özet göstermler çn gerekldr. 54

77 grad curl v v v, j, j v j v jk jv jk, j jk Tj, k j T j k, (3.) (3.) dğer yandan b brm kütle başına kuvvet [(kg m/s )/kg= m/s ] ve p brm hacm başına kuvvet [(kg m/s )/ m 3 = kg/ m s ], f brm hacm başına kuvvet [(kg m/s )/ m = kg/ ms ], B br katı csm, hacm V ve S alanıyla çevrelenerek uzydak br Ro bölgesnde yer kaplasın, üzerndek çok küçük br hacm V ve sahp olduğu kütle m olmakla beraber bu V üzernde P gb br nokta olduğunu kabul edersek, ataletn kütleye sahp br csmn ncelğ olduğu ve csmn sahp olduğu harekette yapılmak stenen değşme karşı koyma eğlm bçmnde fzksel anlam bulacağını da dkkate alarak ortalama yoğunluk ave [kg/m 3 ] u yazmak gerekrse ve şekl 3.5 de görülebleceğ gb (3.) Şekl 3.5 V havmndek V gb çok küçük hacme sahp br kesdn üzernde yeralan P noktası Tüm V hacm P noktasına dek küçülürken yoğunluk (3.3) olarak yazılır ve başlangıçta belrtlen ncelklern brmler de gözönünde bulundurularak aşağıdak eştlkler yazılır. 55

78 (3.4) (3.5) elbette k yoğunluk genelde yere ve zamana bağlı skaler br fonksüyondur ve (3.7) (3.8) şeklnde fade bulur. Şmd de Şekl 3.5 de yeralan ncelklere ek olarak P noktasını üzernde barındıracak şeklde V hacmn k parçaya ayıran br S* yüzey olduğunu kabul edelm (bkz Şekl 3.6 ve 3.7) Şekl 3.6 S* tarafından keslen süreğen hacm V Şekl 3.7 Yüzey normal brm vektörü n olan S*yüzeyndek P noktasına etkyen moment M ve brm yüzey başına kuvvet f Şekldek verler ışığında auchy Gerlme Prensb, S* yüzey P noktasına küçülürken aşağıdak fadeler öngörmektedr. (3.9) (3.3) İlk fadedek ncelğ gerlme vektörü olarak adlandırılır ve P ^ noktasındak gerlme durumunun tayn çn kullanılır. Üzerndek n sembolü, yardımcı vektörü olan n le fzksel olarak anlamlandırıldığından eklenmştr. 56

79 Kesme yüzey dahlnde, I. kısmın II. ye uyguladığı kuvvetlerle, II. kısmın I. ye uyguladığı kuvvetlern brbrlern sıfırladığını, Newton un 3. kanununu olan etktepk prensbn gözönünde bulundurarak kabul edersek, ve Newton un. kanunu olan doğrusal momentum değşm doğrultusunda (lerde de değnleceğ üzere br csmn doğrusal momentum değşmnn zamana oranı o csme etkyen bleşke kuvvete eşttr.), v nn hız alanı (velocty feld) olduğunu hatırlatarak, aşağıdak eştlkler yazablrz. [8] (3.3) k buradak fadelerde yer alan ndslerden I ve II lgl hacm parçalarını fade etmektedr. SI ve SII dek brm normal vektörlernn, brbrlernn ters şaretls olduklarını göz önünde bulundurursak (3.3) SI ve SII nn her ks de S* üzernden ntegral olduğundan üzernde P noktasını taşıyan her nev kesme yüzeyyle ayırma şlem çn bu son fade aşağıdak haln alır. (3.33) Gerlme vektörünün kartezyen koordnatlarda fades aşağıdak verlen eştlklerdek gb olup brm vektörleryle (3.34) (3.35) (3.36) olup fzksel anlamını pekştrmek adına aşağıdak şeklde görsel olarak fade edlmştr. [8] 57

80 Şekl 3.8 Bleşke gerlme vektörünün her üç koordnatına at brm vektörlerle ayrı ayrı gösterm bu bağlamda yukarıdak üç fadey özet br göstermle fade etmek stersek (3.37) olur ve, olduğu dkkate alınırsa (3.38) elde edlr k bunu daha önce değnlen gerlme tetrahedronunun üzernde şekl 3.9 yardımıyla daha kapsamlı br bçmde gösterlecek olursa Şekl 3.9 Gerlme Tetrahedronu, auchy Gerlme Prensb doğrultusunca ayrıntılı gösterm Bu bağlamda göstermyle aşağıdak haln alır. Dğer yandan olduğunu gözönünde bulundurarak br öncek fade özet (3.39) vektörlernn toplama sürecne dahl olmasına zn verr ve h, P noktasından AB yüzeyne ne dkmenn büyüklüğü olmakla beraber (yan yükseklk), tetrahedronun hacmnn aşağıdak gb düzenleyeblrz. dv hds olduğunu dkkate alarak fadey 3 58

81 (3.4) ve h a gderken tüm tetrahedron P ye küçülmektedr, dolayısıyla elde edlr ve tanımlamak gerekrse (3.4) atamasının ardından fade nha göstermyle (3.4) ya da (3.43) haln alır k fadenn adı auchy Gerlmesdr k fadenn bleşenler. dereceden br tensör tanımlar ve matrs göstermyle yazılmak stendğnde [8] (3.44) şeklnde fade bulur k, daha önce belrtlen SI ve SII yüzeylernn çevreledğ VI ve VII hacmlernn, brbrn taban alanlarından öpen k tetrahedron olarak düşünülürse aşağıdak şekl 3.9 da yeralan göstermyle Şekl 3. Gerlme Tensörü bleşenler, artı yönlerndek göstermleryle 3.9. Ana smn Malzemeye Bağlı Kordnatları (Materal oordnates), sm Oluşturan Tanecklern Anlık Konumlara Bağlı Kordnatları (Spatal oordnates) 59

82 Bu kavramın kuramsal altyapısını ncelemeden önce ne denmek stedğn canlandırablmek adına kauçuk br denekten örnek verelm. Tek eksenl br çekme deneynde kauçuk br papyon denek boyca yer değştrmeye maruz kalsın, deneğe sabtlenmş ekstansyometrenn N altında boyca kaç mm yer değştreceğ kauçuğun reçetes ve pşme koşullarına bağlıdır, oysa ekstansyometre kesn olarak chazın çekme eksen doğrultusunca yer değştryor ve toplam mm mesafe katedyorken, polmer uçlarının hang doğrultu ve yönlerde yer değştrdğ ve ne kadar mesafe kaydettğ, polmer başlangıç ve sonlarının anlık konumları na göre belrleneblr. Kauçuk denekten bağımsız olarak, yne belrl br hacmdek csm bçm değştrsn, csm temsl eden P noktasının ekstansyometre gb N erşldğnde, çekme eksen doğrultusunda mm daha yukarıda olacağı kesndr (dyelm p noktasında), oysa csmn çndek br başka nokta olan Q noktası. s,.4s,.6s... anlarında hang doğrultu yön ve şddette yer değştrmeler sergleyecek ve N a erşldğ anda hang doğrultu ve yönde, ve hang nha şddette yer değştrmş olacak (dyelm q noktasına kadar), bu k farklı noktaya at k farklı davranışın ayrımını gözeten ve gözetmeyen k temel yaklaşıma geçmeden önce aşağıdak resm nceleyelm. Şekl 3. sm temslen, malzemenn elverdğ şeklde yer değştren P noktası ve csmdek dğer br nokta Q Şeklden de anlaşılableceğ büyük harfler malzemeye bağlı yer değştrmeler, küçük harflerse anlık konumlara bağlı yerdeğştrmeler fade edecek şeklde (3.45) 6

83 yer değştrme fonksyonları ve tersler (3.46) ters ve zamana bağlı olarak ters (3.47) ya da (3.48) ya da (3.49) yalnızca t= çn (3.5) Eğer csm temsl eden (malzemeye bağlı nha yer değştrmey takp eden) P noktasının yer değştrme fonksyonu X P ve konum vektörü X P olmak üzere (3.5) dğer yandan br vektör alanındak, y ve z den bakıldığında aynı hat üzernde gözüken vektörlern başlangıç noktalarından, lgl vektör, kend başlangıç noktasında o eğrye teğet olacak şeklde, geçen eğrlere akım hattı (stream-lne) dyecek olursak (stream-lne), bu eğrler vektör başlangıç noktalarından kesecek şeklde lgl vektörlerden dk geçen hatları da trajektuar olarak tanımlayablrz, örneğn dönen br dsk çn r ye bağlı olarak şddet artacak şeklde ve sürekl yarıçapa dk sıralanmış dönme hızı vektörlernden oluşan br vektör alanı olsun, dskle aynı merkezl ve hız vektörler onlara teğet olacak şeklde vektör başlangıç noktalarından geçerek oluşan çemberler akım hattı, merkezden geçen ve hız vektörlern başlangıç noktalarından kesen çaplar da trajektuar olmaktadır. Bu bağlamda yukarıdak fadenn trajektuarı zamana bağlı yer değştrmes olup v P hız olarak adlandırılacaktır. (3.5) ve lgl fade X lere bağlı yazıldığından, csmdek dğer (malzemeye göre hareket etmeyeblen) tüm noktalar çn fades de (hız alanı) yne olmaktadır, benzer şeklde vme alanı da (3.53) (3.54) 6

84 knematk özellğ olan hız v P gb, süreğen mekankte (katıda da ama daha çok sıvı ve gazlarda) yoğunluk da B gb br csmn knematk br özellğ olduğu çn, ve yne bu başlangıç konumuna ve zamana göre fad edlebleceğnden ve (3.55) şeklnde fade bulur k bu yukarıdak fadeye, zamanın yanı sıra, yer değştrme olarak sadece başlangıçtak malzeme esaslı konum vektörüne bağlı olduğu çn Langranjyen gösterm denr, öte yandan (3.56) bçmnde br düzenleme yapıldığında fadenn en sağındak ncelk zamanın yanı sıra, yne zamana bağlı anlık yerdeğştrmelern br fonksyonu olarak tanımlanır k bu gözterm tarzına da Euleryan gösterm denr.benzer şeklde hız da (3.57) bçmnde Euleryan şeklde fade edlr.benzer şeklde yer değştrme alanı u da (3.58) bahs geçen gösterm bçmlernden sırasıyla Lagranjyen ve Euleryen şeklde fade edlrse ve (3.59) ve yukarıda elde edlen hız fades aynı zamanda (3.6) Malzemeye at herhang fzksel ya da knematk br ncelğ tanımlayablecek Pj... (. dereceden tensör=skaler,. dereceden tensör=vektör veya. ya da daha yüksek dereceden br tensör olableceğnden her durumu kapsayan br göstermle Pj... ) olsun, bu durumda bu Pj... y Lagranjyen ve Euleryen göstermleryle fade etmek gerekrse [8] (3.6) (3.6) bu Pj... nn d/dt le göstereceğmz malzeme türev, csme at noktaların zamana bağlı değşmler olan herhang br ncelğ (örneğn yuklarıda ele alınan hız ve vme gb) temslen kullanılablr, bu bağlamda öncelkle Lagranjyen göstermyle [8] (3.63) 6

85 bçmnde fade edlr k Pj... nn burada bağlı olduğu yer değştrme X anlık değl, başlangıç konumna göre olduğu çn zamana göre türeve grmeyecek ve zamana göre türev, eştlğn sağ tarafında yapıldığı üzere, doğrudan kısm trev olarak fade edleblecektr. Öte yandan Euleryen göstermnde (3.64) olur k bu durmumda fadedek yerne ya da konulacak olursa (3.65) dolayısıyla malzeme türevn, bağdaştığı her ncelk çn kullanacağımızda aşağıdak gösterme başvuracağız. ya da (3.66) ve del operatörü bundan böyle aks belrtlmedkçe sürekl anlık yer değştrmelere göre kısm türev fade edecektr. Bunlara ek olarak Şekl 3. dek dx ve d çn, daha önce değnlen ya da da değerlenrmeye alınarak ve şddet de kares olarak bulunur. Benzer bçmde ve şddet de kares olarak şeklnde fadenn sağ tarafındak özet göstermyle brlkte verlmştr, k bu fadedek deformasyon gradyan tensörü ya da kısaca deformasyon gradyanı olarak anılır, fadedek F (uvvetle karıştırılmamalıdır) X konumundak bölgesel(lokal) bçm değştrmey tanımlar, k eğer F ncelğ açık br bçmde X e bağlıysa homojen değl, X den bağımsızsa homojen olarak adlandırılır ve aşağıdak gb fade edlr. ya da öyle k F ters alınablr ve ve fzksel anlamı Şekl 3 den takp edlmek üzere aşağıdak farkların kares cnsnden fade edlrse bçmnde yazılır ve Kronecker deltayı kullanarak göstermek gerekrse 63

86 (3.67) k fadedek smetrk tensör ya da Green Bçm Değştrme Tensörü dye anılır, dğer yandan aynı fadede yeralan de ya da bçmnde fade bulur ve bu fadedek Lagranj sonlu gernm tensörü olarak anılır. fadeyle de yazılmak stenrse fades anlık konumlara bağlı (3.68) ve bu defa fadedek smetrk tensör ya da auchy Bçm Değştrme Tensörü dye anılır, dğer yandan aynı fadede yeralan de ya da bçmnde fade bulur ve buradak e Euler sonlu gernm tensörü dye anılır. Yukarıda verlen Lagranj ve Euler sonlu gernm tensörler bçm değştrme gradyanlarıyla fade edmşt, aynı gernm tensörler bu defa yer değştrme gradyanlarıyla fade edlmek stenrse daha önce değnlen fadelerden çn ve çnse bçmnde düzenlenr, k bu doğrultuda Lagranj sonlu gernm tensörü olur ve bçmnde sadeleşr, öte yandan Euler sonlu gernm tensörü se şeklnde fade bulur ve sadeleşmş bçm haln alır, k değştrme gradyanlarıyla fade edlmş bu Lagranj ve Euler sonlu gernm tensörlerndek yer değştrmeler çok küçük kabul ederek. dereceden türevler ve kareler hmal edersek Sonsuz Küçük Bçm Değştrmeler Kuramı olarak anılan yaklaşımla Lagranj ve Euler sonlu gernm tensörler aşağıdak gb fade edlr. [8] 64

87 ve k yen halleryle Doğrusallaştırılmış Lagranj ve Euler sonlu gernm tensörler smn alırlar, bu doğrultuda (3.69) bçmnde br kabul yapılablr ve bunun çn aşağıdak lşkden yararlanılmış olur (3.7) sonsuz küçük yer değştrmeler kuramı doğrultusunca yapılan bu kabüldek, küçük yerdeğştrmeler dahlnde yer değştrme tensörlernn malzeme koordnatları ya da anlık konumlara bağlı koordnatlar cnsnden fade edlmesnn br fark yaratmadığı düşüncesne bnayen eşdeğer görece yerdeğştrme gradyanını veya ın herhang brsyle gösterebleceğmz de kabul dahlne almış oluruz. Dolayısıyla ve fadeler bu öngörüyle düzenlendğnde bçmnde fade bulur k harc br atama cab ederse yen sembölü le sonsuz küçük gernmler tensörü adı altında aşağıdak eştlkle fade bulur ve E, AB e j, j (3.7) smetrk tensörler olduklarından, daha önce gerlme tensörü çn de yapıldığı üzere matrs bçmnde göstermek stenrse gernm değşmezlern de eklemek gerekrse (3.7) (3.73) ve. Pola Krchhoff Gerlme Tensörler Kaldığımız yerden adım adım Pola Krchoff gerlmesne geçmek üzere, tanıtılan malzemeye ve anlık yerdeğştrmelere bağlı koordnatlar cnsnden yazılan fadelern ışığında doğrusal momentum prensb ve hareket denklemlern ele almak gerekrse aşağıda yeralan Şekl 3. dek verler ışığında 65

88 Şekl 3. Belrtlen kuvvetlern etksnde hareket halndek csm S yüzeysnn sardığı V hacmndek csm e maruz kalmakla beraber csm n t gerlmesnn etksnde ve yayılı yük hız alanının etksnde olduğunu düşünelm, bu durumda csmn doğrusal momentumu aşağıdak gb fade edlr.[8] (3.74) daha önce de değnldğ üzere doğrusal momentum prensb gereğ br csmn doğrusal momentum değşmnn zamana oranı o csme etkyen bleşke kuvvete eşttr. Bu kapsamda (3.75) ve olduğundan ntegranı (ntegrand) yardımıyla yüzey ntegraln havm ntegralne çevrerek ve süreğen sstemler mekanğnde yardımına sık başvurulan denklem ışığında lgl fade yen haln aşağıdak bçmyle alır. (3.76) (3.77) İfadedek dolayısıyla vme alanı olduğundan ve V keyf olduğu çn ntegrand düşer, (3.78) elde edlr k bu eştlk Euler bçmndek bölgesel (lokal) hareket denklemler olarak anılır. Eğer hız sıfır ya da sbtse, yan vme alanı sıfıra eştse lgl hareket denklemler denge denklemlerne dönüşür ve aşağıdak gb fade edlr. 66

89 (3.79) daha önce bçmnde fade edlmş olan auchy Gerlme Tensörü ndek fadede ve lgl Şekl 7 dak göstermlere dkkat edlecek olursa, tensör anlık koordnatlarda fade edlmşt. (bkz. Şekl 3 dek malzemeye Îj ve anlık konumlara bağlı koordnat eksenlernn brm vektörler êj ) auchy Gerlme Tensörü nün tanımındakne benzer br bçmde, bu defa herhang küçük br yüzeye değl, malzemeye bağlı olarak csmn tamamını temslen yer değştren çok küçük br yüzey parçası e at brm yüzey normal vektörü olmakla brlkte daha önce fade ettğmz auchy Gerlme Tensörü nü bu defa (3.8) k bu fadedek csme yüzeynden etkyen bleşke kuvvettr. Bu fadeler doğrusal momentum prensbndek eştlkte yerne koyarsak (3.8) k fadedek, ve ncelklerndek nds, bu ncelklern malzemeye bağlı olarak csmn tamamını temslen referans konumuna göre (harekete başlamadan, t= anında, anlık konumlara bağlı değl anlamında) olduklarını fade etmek çn eklenmştr. Örneklemek gerekrse (3.8) br yukarıdak fadede d/dt ntegral çne sokulmuş olup daha önce auchy Gerlme Tensörü nde yapıldığı bçmde SI ve SII yüzeylerndek kuvvetlern brbrlern sıfırladığı kabulüyle ve yne daha öncekne benzer br öngörüyle (3.83) (3.84) ev gerlme tensörü malzemeye bağlı olarak csmn tamamını temslen referans konumundak kordnat eksenlerndek brm vektörleryle tanımlanacak olursa (3.85) 67

90 olduğunu hatırlayarak tetrahedron P noktasına küçülürken (3.86) olur ve buna bnayen tanımını sunarsak (3.87) elde edlr k fades. Pola Krchoff Gerlme Tensörü nün bleşenlern tanımlar k bunlar, brm normal vektörü referans konumuna göre olan ay dk br yüzeye başına etkmekte olan kuvvet tanımlar ve doğrusal momentum prensb bu defa bçmnde yazılır ve daha önce değnlen dverjans teorem yardımıyla (3.88) (3.89) elde edlr k, bu eştlk her nev keyf hacm parçası çn sağlanmak zorunda olduğu çn ntergrant sıfırdır, dolayısıyla (3.89) fadesyle hareket denklem elde edlmş olur ve yne vme alanını sıfır yapan durumlar çn fade yen smn alarak denge denklem adı altında (3.9) haln alır. Denge durumu aynı zamanda momentlern toplamının da sıfır olacağını öngördüğünden orjne göre toplam moment yazmak stersek ve fadey aşağıdak gb sadeleştrrsek (3.9) (3.9) parantesn sağ alt köşesndek özet göstermyle fade edlmş olan A ya göre kısm türev uygularsak (3.93) yukarıda verlen denge denklem yardımıyla fade edlrse 68

91 (3.94) ve daha önce de temellendrldğ gb, fade keyf her nev hacm parçası çn sağlanmak zorunda olduğundan, ntegrant yok olur ve fade (3.95) haln alır, burdan yola çıkarak ve daha önce auchy Gerlmes çn de kullanılmış br formulasyonla elde edlr ve sembolünü sunacak olursak fade (3.96) (3.97) bçmnde yazılablr k bu yen fadede yeralan,. Pola Krchhoff dğer adıyla Smetrk Pola Krchhoff Gerlme Tensörü nün bleşenlern tanımlar. [8] Pola Krchhoff gerlmeler auchy gerlmeleryle lşklendrleblr, şöyle k,, bçm değştrmş br yüzeyne etkyen dferansyel br kuvvet olsun, bu bağlamda aynı ncelk Pola Krchhoff gerlme bleşenleryle fade edlmek stendğnde (3.98) (3.99) olarak fade edlr, bu noktada durup auchy Gerlmes n veren fadeler grubuna ger dönerek br hatırlatma yapmamız cab etmektedr, bunun çn aşağıda yeralan Şekl 3.3 ü nceleyecek olursak Şekl 3.3 Bçm değştrme önces (referans konumunda) ve sonrasında ds yüzey nın, ve cnsnden aşağıak gb fade edlebleceğn görürüz. (3.3) 69

92 bu fade, anlık konumlarıyla fade edlmek stenrse nn yardımıyla (3.3) bçmnde yazılablr, k her k taraf nn A (A=,,3) ya göre kısm turev anlamına gelen le çarpıldığında olur öte yandan (Jakobyan) fadesn kullanıma sokarak (3.3) (3.33) elde edlr ve her k tarafı le çarparsak (3.34) elde edlr k olduğundan (3.35) fadesne varılmış olunur. Bu hatırlatma ve formulasyonu takben kaldığımız yere, yan lgl dferansyel kuvvetn Pola Krchhoff gerlmeleryle fade edlmş hal olan (3.36) eştlğne ger dönecek olursak, hatırlatmada bulunduğumuz formulasyon yardımıyla (3.37) elde edlmş olur k lgl auchy gerlme fadesne başvurarak dferansyel kuvvet bçmnde yazılablr, k bu da kend çnde düzenlenecek olursa olur ve buradan da Pola Krchhof ve auchy gerlmeler arasındak lşk (3.38) (3.39) (3.3) bçmnde fade edlr k buna Pola Krchhoff un kend fades yı ekleyerek (3.3) elde edlmş olur k böylelkle auchy gerlmesyle. Pola Krchoff gerlmes arasındak bağıntı tanımlanmış olur. Şu ana dek ncelenen konulardan sonra polmer mekanğne geçeblrz. 7

93 3. Gernm Enerjs Fonksüyonu 3.. Gernm Enerj Fonksyonu, Germe Oranına Göre Türev, Gerlme ve Polmer Bünye Denklemler (onsttutve Equatons) Denge denklemlernden hareket eden analtk yaklaşımın yanı sıra, gerlmey yapılan şn (W), germe oranına göre türev alınarak da hesaplanablmektedr. (lerde ayrıntısıyla değnleceğ üzere [9] L L L W (3.3) Bu germe oranı λ ya bağlı enerj denklemnn polmerler çn nasıl türetldğn temelnden ele almak gerekrse polmer zncrn vektörel ncelklerle temsl etmek çn, öncelkle zncrn doğru çakıştırmaya müsat kısımlarından Şekl 3.4 dek çeştl gb doğrular geçrelm. [9] Şekl 3.4 Polmer zncrnn doğru parçaları çakıştırılması yoluyla temsl N adet doğru parçası ve tümünün başlangıç ve btş noktalarını tanımlamaya yardımcı olmak üzere toplam N+ nokta mevcut olduğundan sstem Şekl 3.5 dek gb temsl edleblr. [9] 7

94 Br kauçuk csmde, her br polmer zncrnn ayrı ayrı vektörel olarak temslnn tespt olanaksız olduğundan, nspeten daha erşleblr br ncelk olan uçtan uca uzaklık kavramını Şekl 3.5 de verlen toplamı olarak fade edecek olursak, vektörel toplam r l l, l..., 3 l N vektör grubunun r N l (3.33) Buradak amaç, aynı kauçuk polmernn, zamana bağlı olarak değşen uçtan uca uzaklığının rt farklı zamanalarda alacağı r t rt, rt r, t N..., değerlern ortalamasını bulmaktır. İlk bakışta farklı br fzksel anlamlandırma gb gözükse de, yukarıda farklı zamanlar çn farklı ncelkler sergleyen şddetnn ortalama değern, aynı t n r t gb nn anında N farklı polmer zncrnn sahp olduğu uçtan uca uzaklıkların ortalaması olarak düşüneblrz (ergodk kuram), bu bağlamda oluşturmak stedğmz matematk formulasyonda hçbr değşklk oluşmamaktadır ve bu kuramdan hareket ederek uçtan uca uzaklığın kares [9] r N N N l l (3.34) j Ortalama değer yardımıyla şddetn elde ettğmz r nn koordnat sstemndek bleşenleryle vektörel gösterm, polmer zncrn nasıl temsl ettğyle beraber aşağıda yeralan Şekl 3.6 da verlmştr. j 7

95 Şekl 3.6. Sddet uçtan uca uzaklık olan r bleşke vektör ve polmer zncr Bu bağlamda r yj zk olarak fade bulur. Yalnızca bleşke vektör olmasının yanı sıra, bu bleşke vektörün ne tür ve sayıdak vektörlern toplamı olduğu polmer zncrnn alableceğ bçmlern olasılığıdır. Bu olasılıkların matematksel fadelerne geçmeden önce aşağıda yeralan Şekl 5 n ncelenmes faydalı olacaktır. Şekl 3.7(a) ve (b) Bleşke vektörü oluşturan vektör grubunun temsl ettğ polmer zncrnn alableceğ bçmler; (a) tamamyıla doğrusal hal alacak şeklde yatırılmış (gerdrlmemş) zncrn bleşen, (b) herhang br konumdak mevcut olasılıklar. Bu blgler ışığında kolaylıkla anlaşılablmektedr k, polmer zncr açılarak düz br çzgye yatırıldığı 3.7(a) dak halnde alableceğ bçmlern olasılığı sadece br, 3.7(b) dek gb herhang br halde olasılıklar brden fazla ve bu k yorum doğrultusunda şekl 3.7 dek O ve P noktaları ne kadar yakınlaşırsa zncrn alableceğ bçmlern olasılığı o kadar fazla ve O le P nn çakıştığı ve aradak mesafe nün sıfır olduğu hal çn lgl olasılık en yüksek değerne ulaşmaktadır. Bu 73

96 olasılığın matematksel fades, temsl br uzaklık olmakla brlkte, Gauss Fonksüyonu olarak adlandırılmakta olup [9] p e (3.35) bçmndek fadede uçtan uca uzaklığın olasılıklarının çok küçük br d uzunluğu çn ve +d arasında doğrusal br değşme sahp kabul edlsn, bu durumda olasılıkların ve +d arasındak fades p e d d (3.36) olur k tanımlanan fzksel anlamı doğrultusunda, Şekl 3.8 dek grafkten de görülebleceğ gb, = da p() en yüksek değern almaktadır. Şekl 3.8 uçtan uca uzaklık e göre polmer zncrnn alableceğ bçmlern olasılık fonksyonu P() Yalnızca eksen bleşen çn yaptığımız matematksel yaklaşımı her üç eksen çn de genelleştrmek stersek, olasılığın her üç eksen çnde eşt dağılım gösterdğ ve r vektörünün yarıçapı r olan dv hacmndek br küre çnde geznebleceğ kabuluyle (bkz. Şekl 3.9) 74

97 Şekl 3.9. Polmer zncrnn br ucu orjnde, dğer ucu P ken r vektörünün alableceğ sonsuz sayıdak doğrultuyla oluşan r yarıçaplı küre fonksüyonun genelleştrlmş hal aşağıdak gb fade edlr. e p, y, z ddy dz y z ddy dz 3 e r 3 ddy dz (3.37) Bu fade ve şekl 3.9 ın ortak değerlendrlmesnden anlaşılablr k, r vektörünün doğrultusu ne olursa olsun şddet değşmeyp r kaldıkça, P() olasılık fonksyonun değer aynı olur. Ortalama uçtan uca uzaklığın olasılıklarının yanısıra, polmern dğe ucunun orjnden hang uzaklıkta olacağının (sabt r yarıçaplı br küre üzerndek yern değl) dar skaler değerne dar olasılıkları tanımlayan fonksyon se (3.37) den yola çıkarak, dr nn 3.9 dak tanımıyla ve kürenn hacm çn dv 4r dr konulduğunda aşağıdak bçmyle fade bulur. p r dv e r 3 4r 4 dr r 3 e r dr (3.38) Elastomer ağı, polmerlern, zncr uçlarının hareketn sınırlayan çapraz bağlarla brbrlerne bağlanmasıyla oluşur. Polmer zncrnn bu çapraz bağların oluşumundan önce ve sonrak temsl resmler şekl 3.3 da br polmer olan poletlen çn örneklendrlmştr. 75

98 Şekl 3.3. Poletlen, çapraz bağ oluşumu önces ve sonrası Tez kapsamında ncelemeye alacağımız doğal kauçuk çn çapraz bağların oluşumuna dar önces ve sonrası durumlar se aşağıdak şekl3.3 de gösterlmştr. Şekl 3.3 Doğal kauçuk, çapraz bağ oluşum önces (a) ve sonrası (b) Dolayısıyla elastomer ağına bağlı br polmer zncr, aşağıda yeralan şekl 3.3 de görülebleceğ üzere, br ucu orjne tuturulmuş dğer ucunda çok küçük kübk br hacm yerleştrlecek şeklde temsl edleblr. Şekl 3.3 Elastomer ağından ayırılıp br ucu orjne ötelenmş polmer zncr 76

99 Boltzmann eştlğ olarak blnen zncrnn alableceğ bçmlern olasılığı (3.37) eştlğnden yola çıkarak, brm hacm başına olasılık hacmle çarpılmış hal denklemdek düzenlendğnde. S kb ln p, y, z (3.38) eştlğnn sağ tarafını p y, z sabt olmak üzere S ln fades [9], lgl polmer k B olmak üzere, Şekl 3.3 dek verler ve p, y, z nn brm nın yerne grecek şeklde yenden dv (3.39), nn yerne koyarak ve fadedek keyf br S k B r k B 3 r r (3.3) k fadedek r Şekl 3.3 de yeralan gerlmesz haldek uçtan uca uzaklığın karesdr. (3.3) fadesnn yorumu şöyledr. Herhang br dış kuvvete maruz kalıp gerlmeye uğradığında r değer artacak pr fadesnn değer düşecek, zncrn alableceğ bçmlern olasılıkları azalacak ve entrop azalacak (matematksel olarak da r artınca (3.3) ün toplam değer azalacaktır), elastomer buna karşı koyarak esk haln almak steyecek ve bu yönde br ger gelme kuvvet uygulayacaktır. Br polmer ucunu r uzunluğundan r+dr uzunluğuna erştrmek çn harcanacak enerj Helmholtz enerjsndek değşme eşttr [9] ve aşağıdak gb fade edlr. dw dr df dr T ds dr (3.3) İçsel (nternal) enerjnn sabt olduğu kabulu ve (3.3) le (3.3) fadelernden yola çıkarak dw 3kT r (3.3) dr r ve uçtan uca mesafey r uzunluğunda korumak çn uygulanacak kuvvet 3k B T f r (3.33) r 77

100 Tüm bu verlern ışığında elastomer elaststesne grmeden önce yapılacak bell başlı kabuller aşağıda lstelenmştr. - Elastomer ağı, brm hacm başına N adet zncr çermektedr. - Ağda herhang br kopma olmamış olmalı, yan her zncr her k ucundan da farklı farklı zncrlere çapraz bağlanmış olmalı 3- Zncrler Gauss Formülü ne uyacak şeklde serbest (öngerlmesz) konumlarında ağ çnde yeralıyor olmalılar. 4- Serbest ve bçm değştrmş durumlarda zncrn br ucu lgl noktada sabtlenmş kabul edlecek 5- Uygulanan kuvvete cevaben, ağda yer alan her zncre at uçtan uca uzaklığı tanımlayan bleşke vektör aynı oranda değşme uğramalıdır. İlgl kabullerden 5. maddedek öngörüyü daha y örneklemek adına aşağıda yeralan Şekl ü ncelemek gerekrse Şekl 3.33 Serbest konumdak csmn, boyca gerlmesne cevaben, her 3 eksendek yer değştrme oranları Şekl 3.33 da yeralan csmn tamamı, y y, z 4 z oranında bçm değştrdyse, csmdek her br polmern uçtan uca uzaklığın tanımlayan vektörün ucunun,y ve z bleşenler aynı onda değşmş olmalıdır. Makroyapıyı 78

101 79 oluşturan her br mkroyapıdak yer değştrme oranı brbrne eşt ve makroyapıdak toplam yer değştrmeyle aynı olduğunun şeklsel fades aşağıdak Şekl 3.34 de fade edlmeye çalışılmıştır. Şekl 3.34 Makroyapıdak toplam yerdeğştrmeyle aynı ve herbr zncr çn eşt kabul edlen yer değştrme oranının,y ve z bleşenlernn temsl gösterm Böylelkle germe oranı L L L L L her üç eksen çn fade edldğnde [] z z y y z y (3.34) Bçm değştrme boyunca hacmn sabt kaldığı kabul edldğnden z y olur. (3.3) doğrultusunda serbest konumdak zncrn entrops [9] z y k S B (3.35) ken bçm değştrmş haldek entrops aşağıdak gb fade edlr. z y k S z y B (3.36) z y k S S S z y B (3.37) N z N y N B N z y k S S (3.38)

102 Tanım gereğ N N (3.39) fadedek serbest konumdak uçtan uca uzaklığı r nn kares olan fadesnn eksenndek bleşen olup, sonsuz sayıdak doğrultuya haz olablecek r vektörünün bleşenlernn eşt olduğu r y seçersek, y z, r y z r 3 (3.33) S N S k BN r 3 y z 3 (3.33) Dğer yandan r 3 olduğu dkkate alınarak k B N S y z 3 (3.33) Izotermal bçm değştrme kaynaklı hçbr enerj değşmnn olmadığı kabulunden ötürü w TS, k bu fadedek w, deformasyon esnasında yapılan ş, ya da deformasyon sonucu elastk csmn brktrdğ brm hacm başına düşen serbest enerjdr. w N k B T y z 3 (3.33) Bu denklem aşağıda verlen tek eksenl çekme durumu çn düzenlemek gerekrse ve zotropk malzemelerde tek eksenl gerlme durumu çn z ve y y z ve bu durumda y y [] w N k B T 3 (3.333) brm hacm başına düşen ş veren bu fadeden toplam enerjye geçmek çn W wv olduğu hesaba katılıp fadey hacmle çarpmak yeterldr. 8

103 W N k BTV 3 (3.334) Şekl 3.35 Tek eksenl gerlme, z yönünde uygulanan f yükü Şekl 3.35 dek f kuvvet aşağıdak gb fade edlr. f dw dl dw d d dl (3.334), (.37) denklemlern brlkte ele alarak f V N kbt l dğer yandan, sıkıştırılamazlık kabulünden (hacm sabtlğ) ötürü f V V V A l Ve olduğundan (3.336) aşağıdak şeklde fade edleblr. A A V l (3.335) (3.336) (3.337) (3.338) dak N k B T k T N B (3.338) çarpanını rdelemek gerekrse Hooke kanunundan başlayarak İfadedek E elastklk modülü olup, germe oranı se E (3.339) L L (3.34) 8

104 ve (3.338) dak gerdrme oranlarını çeren termde yern konulduğunda fadede yeralan (3.34) açılımını yazmak stersek, açılımdak knc ve daha yukarı derceden termler hmal ederek, çok küçük yer değştrmeler çn... 3 (3.34) Dolayısıyla (3.338) denklem aşağıdak haln alır. N k T 3 ve E den E N k T (3.343) Sıkıştıralamaz malzemeler çn B 3 v.5 yerne konulduğunda E G.5 3G, Tablo. dek eştlklerden B E G ve (3.343) da yerne konulduğunda E 3G 3N k B T G N k k fadedek G kayma modulu olarak anılır ve (3.338) da yerne konulduğunda B T (3.344) G (3.345) elde edlr. Bu koşulu sağlayan malzemeler Neo Hookean malzemeler olarak adlandırılırlar.[9] sm çok küçük bçm değştrmelere maruz kalıyorsa A başlangıç kest alanının bçm değştrme sonrası kest alanı A le üst üste çakıştığı kabul edleblr. Ancak kuauçuk gb yüksek germe oranlarına kadar elastk bçm değşmne uğratılablen csmler çn bçm değştrme sonrası kest alanı, başlangıç kest alanından oldukça farklıdır. Bu durumda (3.345) dek σ fadesn veren f/ A olmuş olduğundan (3.345) dek σ fades mühendslk gerlmes adını alır ve t dye anılan gerçek gerlmeden br hayl farklı değerler almaya başlar. Bu durumda t olur ve bu fade doğrultusunda (3.338) yenden düzenlendğnde t l f A l V f N kbt lo f A (3.346) (3.347) bu fadenn alacağı değerler (3.345) dek G ye kabul edeblmek çn 8

105 l l o l l o N k T N k T G B N k T G B B yapmakla mümkün olablrd k, böyle br kabul ancak nn yüksek germe oranları çn (l>>l) değernn deneysel verlerle çakıştırmak amacıyla özellkle düşürülmesnden geçer, k bu durumda A germe oranına bağlı olan deneysel sonuçlar doğrultusunda σt nn σ den ayrılma rejmne göre tayn edlen br katsayı olmakla brlkte hacm sabtlğ kabulüyle sadece (3.347) nn (3.345) e bölümüyle elde edleblr; yüksek gerdrme oranları çn yen hal A N kbt l l A ve (3.338) un (3.348) olur. Çıkartılan mühendslk gerlmes denklemne at eğrnn yüksek gerdrme oranları çn deneysel verden nasıl ayrıldığı aşağıda yeralan Şekl 3.36 da örneklenmştr. Şekl Mühendslk Gernm /Mühendslk Gerlmes σ eştlğne at eğr (-o-o-o-) ve deneysel sonuç ( ) 83

106 Belrl tek br katsayıyla ( A ) çarpmanın yanısıra, şekl 3.36 dek ayrılmayı denetm almaya çalışan yaklaşımın yanı sıra yarı amprk Mooney-Rvln fadesn vermek gerekrse k bu fadedek (3.348) ndrgenmş gerlme olarak anılır ve ve Mooney-Rvln katsayılarıdır. Bu katsayıların çok küçük yerdeğştrmelere at deney sonuçlarına göre türetlmşlern nceleyecek olursak, öyle k A A ve (3.338) geçerllğn korumak üzere, ndrgenmş gerlme amaçlı nın, büyük yer değştrmelerde, azaltma devreye alınma htyacı duyulan ve yne λ nn fonksüyonu olan termnden bağımsız olduğu düşünülürse yerne (3.348) yardımıyla alınablr ve N k B T N kbt N kbt (3.349) dolayısıyla N k T ve bulunur k bunun yorumu, malzeme tp B çeştllk gösterse ble,seçlen malzeme çn germe oranları küçüldükçe N kbt G ve olduğudur. Bu yorum lerde, aynı kauçuk denekte, küçük yer değştrmelerden büyük yer değştrmelere geçlrken, sonlu elemanlar programı MAR ın bulduğu Mooney-Rvln katsayılarının hang rejmde değştğn değerlendrmede yenden ele alınacaktır. Öte yandan hacm sabtlğ öngörüsüne dayanan Mooney-Rvln le kauçuğu br mktar sıkıştırılablr kabul eden Ogden modeller arasında kıyasa gtmeden önce Bu Mooney-Rvln ve Ogden ın MAR tak kullanımlarında MAR ın başvurduğu auchy Gerlmes formulasyonunun eldesne gdlecektr. Bunun çn öncelkle gernm enerjs fonksüyonu W y germe oranlarına bağlı yazablmemzn nasıl gerçekleştğ ve daha önce doğrudan grş yapılan Mooney-Rvln formulasyonunun mnasıl çıkartıldığına nmemz gerekmektedr. Bu bağlamda gernm enerjs fonksyonu W, artık (left) 84

107 bçm değştrme tensörü [8] dye anılan nn br fonksyonudur ve lk olarak Mooney(94) [8] tarafından ortaya atılmış ve bunu takben Rvln (948) [8] tarafından gelştrlmş olup, anlık zotropk (ntally sotropc) malzemenn, gernm enerjs fonksyonunun şlevsel bçmlerne lşkn km belrl smetr kurallarına uyduğu kabulune dayanır, bu doğrultuda gernm enerjs fonksüyonu W y,şlevsel bçm olarak, bçm değştrme tensörünün değşmezler cnsnden fade edecek olursak (3.35) ve değnlen fadesnn asal eksenler yukarıdak değşmezler olarak seçlrse, düzenlenr. olduğunu hatırlatarak, fadeler germe oranları cnsnden aşağıdak gb ve yne hacm değşmezlğ kabuluyle 3 (3.35) Bu spesfk hacm değşmezlğ kabulunu temslen, ancak daha genel br fadeyle; ancak bu defa sıfıra eştlemey bu koşulun garants olarak atayan matematksel br sınırlandırma fonksyonu olsun. olur (3.35) olarak tanımlanmasını takben aynı, ya da veya ya tekrar değnrsek olarak formule edleblecek Green bçm değştrme tensörünün fonksüyonu olarak yenden düzenlenecek olursa (yen düzenlemenn ayrımına göstermselolarak da varmak adına _ ) [8] (3.353) 85

108 bçmnde tanımlanablr k bu fadenn zamana göre türev olur k smetrk br tensörün kısm türev de smetrk br tensör oluşturacağından (3.354) (3.355) burada lgl fadeleredevam etmeden önce değnlmes gereken km formulasyonlar aşağıda verlmştr.blndğ üzere süreğen br sstemn vektör alanı ve anlık konumlara bağlı hız gradyanı dye anılan (3.356) bçmnde fade edlr k bunu smetrk ve çarpık smetrk (skew-symetrc) tensörün toplamı olarak yazmak gerekrse bçmnde fade edlr k bu toplamdak smetrk kısım (3.357) olup bçm değştrme oranı tensörü adını alır ve çarpık-smetrk kısım da (3.358) olup, spn tensörü dye anılır. Aşağıdak Şekl 3.37 de yeralan (3.359) Şekl 3.37 Komşu k noktadan p nn hızı v ve q nun v+dv 86

109 Verlern ışığında q nun p ye göre bağıl hızı dv öte yandan ya da (3.36) olduğunu gözönünde bulundurarak sembolk notasyonuyla (3.36) ve malzeme zaman türevyle malzeme gradyanı komutatf olduğundan yazılır ve gernm tensörü y kullanıma sokarak fadeler doğrultusunda k zaman göre türev alınacak olursa, yukarıda elde dlen (3.36) ya da bçmnde fade bulur k, y bıraktığımız yerden alıp bu son eştlğ çn benzer br formulasyon uygulayıp fadesnde yerne koyarsak fadesn elde ederz k buradak aşağıdak gb tanımlanır. (3.363) formulasyona devam etmeden önce y esas(consttutve) br cevaptan türetldğn ve nn de çsel br sınırdan sonuçlandığını kabul edelm. Eklenmş bu keyf gerlmesnn ş yapmadığını farz edersek bulunur ve da aynı sonucu verdğnden yazılır. Sıkıştırılamaz br malzeme çn olduğundan bu son fade bçmnde fade edleblr, bu durumda ve gerlme tensörü aşağıdak haln alır. (3.364) ve fadedek. term auchy Gerlmesnn esas cevap (consttutve response) bleşenleryle sonuçlanması sayesnde belrlenr [8] ve bu bağlamda 87

110 (3.365) elde edlr. Dkkat edlmes gereken br husus daha önce w le gösterlmş brm hacm başına gernm enerjsnn br yukarıdak ve bunu takp eden bölümlerde artıkw olduğu çn le gösterlecek olmasıdır. Sıkıştırılamazlık kabulünden ve ve türev gerlme bleşenlern verecektr. (3.366) ve daha önce verlen değşmezler bu defa (3.367) (3.368) bleşenlernn bağımsız ncelkler olduğunu göz önünde bulundurarak değşmezlern kısm türevlerne son haln vermek gerekrse (3.369) olur ve bu fadeler ışığında auchy Gerlme Tensörü bleşenler aşağıdak haln alır. (3.37) ve aşağıdak gb ayley-hamlton teoremn uygulayarak [8] fadey yen hal olan (3.37) 88

111 (3.37) bçmnde yazablrz.öte yandan sıkıştırılamazlıktan dolayı ve olduğundan ve de keyf gerlmey temsl eden parantez çersndek dğer term de - le gösterecek olursak fade yen haln ( yerne artık le göstererek) bçmnde alır, benzer br göseermle (3.373) (3.374) bçmnde fade edlr. auchy gerlmesnn, gernm enerjsnn I ve I değşmezlerne göre türevlerne bağlı fades tanımlanmıştır, ancak gernm enerjsnn I ve I ye bağlı ne tür br fonksüyon olduğu Rvln tarafından şekllendrlmş ve aşağıdak gb tanımlanmıştır. [8] (3.375) burada ve seçlrse W I 3 I 3 I (3.376) ve zotropk csmn tek eksenl gerlme durumu çn hacm sabtlğ kabulüyle ele alındığında 3 3 olduğundan ve 3 3 W 3 3 (3.377) W G (3.378) 89

112 9 k eştlğn en sağ kısmı (3.345) de Neo-Hookean adıyla tanıtılan fadenn aynısıdır, k bunun yorumu ve seçldğnde Rvln fadesnn NeoHookean ı verdğ ve kayma modülü G nn a eşt olduğu şeklndedr. Mooney-Rvln n yanısıra benzer bakış açısıyla türetlmş ve MAR ın malzeme model oluşturmakta kullandığı Sgnorn, Green-Smpson,Yeoh vb. gb, gernm enerjsnn ne tür br fonksüyonla I ve I ye bağlı olduğunu ortaya koyan farklı formulasyonların türevler ve çzdğ eğrlere, dolayısıyla brbrleryle olan farklılıklara lerde ayrıntılarıyla değnlecektr. Daha önce de yapılmak stenen kıyas bağlamında bahsedldğ üzere, fadesn kauçuğun br mktar sıkıştırılablrlğ üzerne kurmasıyla Mooney-Rvln den ayrılan Ogden, 97 yılında aşağıdak eştlğ ortaya atmıştır. [8] (3.379) k burada da n= alındığında ve seçlmesyle fade aşağıda görüleceğ gb [8] 3 3 n n n n n n W (3.38) ve W (3.38) fadenn, nn çarpanını teşkl ettğ parantez çndek kısmın pay ve paydasını 3 le çarpıp eştlğn tamamını yenden düzenlersek W (3.38) W

113 (3.38) hacm sabtlğ kabulüyle 3 dolayısıyla 3 3 çn W (3.383) yazılır k (3.384) yerne yerleştrlrse W I 3 I bulunur k bu MAR ın da kullandığı orjnal Mooney notasyonudur, ve 3 (3.385), =, ın döngüsel permütasyonu (= ken mutlaka ve = ken mutlaka ) olacak şeklde alınırsa W I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 (3.386) olur k fadenn sağ tarafınının toplam smges le gösterm daha önce de verlen Rvln n (968) [8] (3.387) bçmndek fadesdr.görüldüğü üzere n= alındığında ve seçlmesyle Ogden fades Mooney-Rvln e dönüşür k bu da lerde MAR ta oluşturulacak malzeme model eğrlernde Ogden katsayı adednn blnçl olarak ve seçlmesyle ve Mooney-Rvln malzeme model eğrsyle kıyaslamalı olarak örneklenecektr. [8] 3. Kauçuğun, Yay-Damper Sstem Tpleryle Temsl Bu bölümde kauçuğun davranışını temsl etmek üzere seçlen Mawell, Kelvn-Vogt ve Zeener Modellerne at hareket denklemlernden yay katsayısı K ve sönüm katsayısı nn çeklmes, tek eksenl gerlme durumu çn okunmuş br test sonucunun sınır değerler olarak grlmesyle, ve K katsayılarının sayısal 9

114 değerlernn tayn, bu değerlern yerne konduğu hareket denklemnn kuvvet cevabının deneysel sonuç ve Marc çözümleme sonuçlarıyla kıyaslanması, ayrıyetten sayısal değerler tayn edlecek K ve nn MAR Sönümleme Özellğ kısmına grlerek, MAR ın verdğ hsterss cevabında ne gb farklılıklar gösterdğnn üzernde durulacaktır. 3.. Mawell Model Aşağıdak şeklde görülebleceğ üzere, Mawell modelnde toplam yer değştrme, yay ve sönüm elemanı üzerndek yer değştrmelern toplamıdır. Kuvvet se her k eleman üzernde aynıdır. 3.. Kelvn-Vogt Model F F K F K F F K (3.388) (3.389) (3.39) Bu modelde, aşağıdak şeklde de görülebleceğ üzere, her k eleman üzerndek yer değştrmeler eşt, kuvvet se her k elemandaknn toplamıdır. 9

115 F t F F t F F K F K (3.39) (3.39) (3.393) 3..3 Zeener Model Aşağıdak şeklde yeralan model doğrultusunda lgl eştlkler öncek k modelle kıyaslamalı olarak yazılablr. F F F K 3 K F F K F K 3 F K F 3 (3.394) (3.395) (3.396) (3.397) 4. Malzeme özellğnn Tespt ve Sonlu Elemanlar Yazılımına Aktarımı 4. Kauçuk Plaka ve Parça Testler, MAR ta Yapılan Çözümlemeler Sonlu elemanlar yöntemyle doğrusal olmayan davranışa haz br konstrüksyon gelştrmek çn öncelkle hamurdan yola çıkılarak test plakaları basılır, bu test plakalarında keslecek deneklerle üç temel şekl değştrme durumunu sınayan tek eksenl, k eksenl ve düzlemsel kayma çekme testler yapılır. Test sonuçları sonlu elemanlar çözümleme yazılımına aktarılır. Bu üç temel test çeşd 93

116 çn,testn tek elemanlı temslnn ve gerçek denek konstrüksyonunun modellendğ programlar oluşturulup testler yazılım üzernde yaptırılır. Ednlen sonuçlar plaka numunelernn test sonuçlarıyla kıyaslanır. Mevcut malzeme eğrs oluşturma yaklaşımları çnde, bu üç test çeşd çn de ortak en tatmnkar çakışmayı veren model malzeme model olarak atanır. Btmş parça çn düşünülen konstrüksüyonlar modellenr, her br konstrüksüyon çn atanmış malzeme modelyle öngörülen mekank testler yazılım üzernde gerçekleştrlr. İhtyaç duyulan konstrüksüyonel yleştrmeler, sonlu elemanlar modelne uygulanır ve atanmış bulunan malzeme modelyle erşlen en y konstrüksüyonun mal çn prtototp kalıp yaptırılır. Yapılan prototp kalıpta, test plakaları çn kullanılmış olan karışım, aynı pşrme yöntem (Kompresyon, Ekstrüzyon veya Vulkanzasyon-kauçuk davranışına etkler çn bkz. Şekl 4..) Şekl 4.. Aynı hamur ve farklı pşme yöntemleryle basılmış deneklern yük altındak davranışlarının kıyası ve değşkenleryle (en temel olarak pşme sıcaklığı ve süres) kalıplanır. Ve uygun laboratuvar ortamında şartlandırılan parça, yazılımda btmş parça çn öngörülüp hesaplamaları yapılmış tüm testlern gerçeğne tâb tutulur. Btmş parçaya at gerçek test sonuçları, sonlu elemanlar modelyle hesaplanan yazılım üzerndek test sonuçlarıyla kıyaslanır. 94

117 Sonlu elemanlar yöntemyle doğrusal olmayan davranışa haz br konstrüksyon gelştrmek çn öngörülmüş bu tpk yöntemn doğruluğunu kalıp malne gerek kalmaksızın sınayablmek adına, şleme tersnden başlanmıştır. Btmş parçayla aynı reçeteye sahp hamurdan, aynı pşme tp (bu örnekte vulkanzasyon) ve koşullarında basılmış test plakalarından standart ölçülerde keslmş kauçuk denekler tek eksenl, k eksenl çekme ve düzlemsel kaymal çekme, tek eksenl relaksasyon, düzlemsel kaymal relaksasyon, tek eksenl sabt gernmde çok çevrml çekme, tek eksenl eş artımlı gernmde çekme deneylerne tâb tutulmuş, böylelkle kauçuğun doğrusal olmayan davranışı, yükleme ve boşaltma eğrlernn çakışık olmaması kaynaklı (hsterss) sönümleme özellğ, mekank özellklernn zamana bağlı oluşu (vskoelastste); aynı gernmde tekrarlanan çevrmler çn, test zamanından (vskoelaststeden) bağımsız olarak her tekrarda br öncekne kıyasla daha düşük br en yüksek gerlme değer vermes (çevrm tekrarına bağlı peklk kaybı) ve sıfır yükten geçerken br öncek çevrme kıyasla üzernde daha fazla br yerdeğştrme kalması (bçm değştrme); sabt hızda ve eş artımlardak gernmlere maruz bırakıldığındaysa, artan gernmler çn yükleme eğrler nspeten çakışıkken, yüksek gernmlerdek boşaltma eğrlernnn, düşük gernmlerdeklern altından geçecek bçmde çbükey kavsler çzmes (süreksz hasar davranışı); standart ölçülerde keslmş olması koşuluyla kauçuk deneklern düzlemsel kayma test sonuçlarınının, çft eksenl çekme test sonuçlarına göre daha düşük, tek eksenl çekme test sonuçlarına göre se daha yüksek gerlme değerler vermes gb mekank özellkler sergleyen plaka testlerne at deneysel sonuçlar, MAR sonlu elemanlar çözümleme yazılımına grlmş, deneklern tek elemanlı ve gerçek denek konstrüksüyonuna haz çok elemanlı modeller oluşturulmuş, oluşturulan malzeme modeller, deneklere at bu sonlu elemanlar modellernde çözümlemeye tâb tutulmuş, plaka test sonuçlarına en çakışık çözümleme sonucunu veren malzeme model, nha malzeme model olarak seçlmş ve lgl malzeme modelnn atandığı btmş konstrüksüyon olan hdrolk motor takozunun yağ dolumundan öncek halne, basma-çekme testler yne yazılım üzernde smule ettrlerek, elde edlen sonlu elemanlar çözümleme sonuçları, gerçek parça üzernde yapılan test sonuçlarıyla kıyaslanmıştır. Bahs geçen aşamalar aşağıda yer alan başlıklarda adım adım açıklanmıştır. 95

118 5. DENEK HAZIRLAMA Denek hazırlamada (vulkanzasyonda plakaların standart profllere haz bıçaklarla keslmes ve kesme hızları ve test önces şartlandırma, laboratuvar koşulları ve testlern tatbknde lgl ASTM şartnameler [], [] temel alınmıştır. Btmş parçadakyle aynı hamur reçetes ve vulkansazyon koşullarında basılan mm kalınlığındak plakalar, tek eksenl çekme deneyler çn Resm de öngörülen boyutlarda hazırlanmıştır. [] Şekl 5.. Tek eksenl çekme test çn papyon denek ölçüler. Düzlemsel Kayma test denekler çn Resm de verlen orantı [], tek eksenl çekme deneğnn et kalınlığı olan mm y sağlayacak bçmde k katı olarak alınmış ve 66mm ölçülernde hazırlanmıştır. Şekl 5.. Düzlemsel Kaymal çekme test denek boyutları oranı. İk eksenl çekme test çn, test düzeneğnn mal güçlüğünden ötürü, yazılımın öngördüğü daresel denekten farklı olarak, MAR ın yazılımcı şrket MS nn teknk danışmanı Sn. Ale Ramsey n yönlendrmesyle, kauçuk tedarkçs Dupont un uyguladığı gb mm lk kare br denek hazırlanmıştır. 96

119 6. Test Düzeneklernn Hazırlanması ve Testlern Yapılması 6. Test Düzeneklernn Hazırlanması Test düzenekler yazılımcı frmanın öngördüğü üzere [] mal edlmş ve kıyas teşkl etmes amacıyla, öngörülen aparatlarla brlkte Şekl 6., 6. ve 6.3 te serglenmştr. İlgl şekllerde yeralan resm çftlernden sağ taraftakler tez kapsamında yapılan testlere at gerçek düzenekler, soldakler se MAR I üreten yazılmcı şrket MS nn elastomer analz rehbernde öngördüğü test düzeneklerdr. Şekl 6.. Tek eksenl çekme düzenekler kıyası Şekl 6. Düzlemsel Kaymal çekme düzenekler kıyası 97

120 Şekl 6.3. İk eksenl çekme düzenekler kıyası Yukarıdak şekllerden sağda yeralan, MS kullanım klavuzunca öngörülmüş test düzeneğ olan, daresel dzlme sahp, eşdeğer k eksenl çekme chazının mal güçlüğünden ötürü, MS teknk danışmanı Ale Ramsey n tavsyesyle, tanınmış kauçuk tedarkçs Dupont un kullandığı 8383mm boyutlarındak kare denekler çn hazırlanmış k eksenl çekme düzeneğ kullanılmıştır. 6. Test Sonuçları Testler br öncek bölümüm başlıklarından da anlaşılableceğ üzere, tek eksenl çekme, k eksenl çekme ve düzlem gerlme durumu çn, %, %, %3, %4 ve %5 lk gernmlerde beş denek üzernden, mm/dk lık hızda yapılmıştır. Deneysel sonuçlar aşağıda, her temel gerlme durumu çn ayrı alt başlık altında, her denek çn ayrı olarak ve beş deneğn ortalamasına at eğryle üst üste çakıştırılmış halde verlmştr. 6.. Tek Eksenl Çekme Test Sonuçları 98

121 Şekl 6.4 % Gernmdek Tek Eksenl Çekme Test Sonuçları Şekl 6.5 % Gernmdek Tek Eksenl Çekme Test Sonuçları 99

122 Şekl 6.6 %3 Gernmdek Tek Eksenl Çekme Test Sonuçları Şekl 6.7 %4 Gernmdek Tek Eksenl Çekme Test Sonuçları

123 Şekl 6.8 %5 Gernmdek Tek Eksenl Çekme Test Sonuçları 6.. İk Eksenl Çekme Test Sonuçları İk eksenl çekme test de aynı şeklde %, %, %3, %4 ve %5 lk gernmlerde beş denek üzernden mm/dk lık hızda yapılmıştır sonuçları lgl gernmler çn aşağıda verlmştr. Şekl 6.9 % Gernmdek İk Eksenl Çekme Test Sonuçları

124 Şekl 6. % Gernmdek İk Eksenl Çekme Test Sonuçları Şekl 6. %3 Gernmdek İk Eksenl Çekme Test Sonuçları

125 Şekl 6. %4 Gernmdek İk Eksenl Çekme Test Sonuçları Şekl 6.3 %5 Gernmdek İk Eksenl Çekme Test Sonuçları 6..3 Düzlem Kayma Gerlmes Test Sonuçları Düzlem Kayma Gerlmes Testler de aynı şeklde %, %, %3, %4 ve %5 lk gernmlerde beş denek üzernden mm/dk lık hızda yapılmıştır. Sonuçları lgl gernmler çn aşağıda verlmştr. 3

126 Şekl 6.4 % Gernmdek Düzlem Kayma Gerlmes Test Sonuçları Şekl 6.5 % Gernmdek Düzlem Kayma Gerlmes Test Sonuçları 4

127 Şekl 6.6 %3 Gernmdek Düzlem Kayma Gerlmes Test Sonuçları Şekl 6.7 %4 Gernmdek Düzlem Kayma Gerlmes Test Sonuçları 5

128 Şekl 6.8 %5 Gernmdek Düzlem Kayma Gerlmes Test Sonuçları 7 TEST SONUÇLARININ MAR A GİRİLMEK ÜZERE HAZIRLANMASI Deneklern testler, btmş parçanın testlernde öngörüldüğü gb 3 er çevrmden mm/dk lık hızda, %, %, %3 ve %4 lık gernmlerde yapılmıştır. Btmş parçaya at deneylerde en fazla % lk br yer değştrme öngörülüyor ken, deneklerde nçn %4 lara varan gernmlerde test yapıldığı se şöyle açıklanablr: Btmş parçaya at sonlu elemanlar modelnde parça, yazılım üzernde örneğn % lk br gernme maruz bırakılırken, dzlmne göre km meşler % den çok daha yüksek gernmler kaydedeblrler. Doğrusal olmayan malzemeler temsl etmek üzere yazılımların malzeme model olarak çakıştırdığı eğrler se Hook eğrs gb malzeme kanunu değl yalnızca matematksel yaklaşımlardır. Dolayısıyla sıfırdan % gernme dek y br çakışma sağlamış br matematk model, tıpkı br polnomun tepe noktasından sonra nşe geçmes gb, bell br değerden sonra çok farklı cevaplar kaydedeblr. Bu yüzdendr k, btmş parça çn öngörülen gernmlern bell br emnyet katsayısıyla çarpılmış kadarını deneklere tab tutmak, ve yazılımdak matematksel model çakıştırmayı bu yüksek tutulmuş gerlmlerde gerçekleştrmek gerekr. Şekl, deneye at gernm aralığının dışında matematk eğryle, deneysel sonuçların brbrnden ayrıldığı bu durumu göstermektedr. Deneysel sonuç eğrsnn yanında yeralan d. dε> fades, eğrnn Druckers 6

129 kararlılık ölçütüne göre kararlı, matematk modeln yanındak d. dε< se kararsız olduğunu fade eder. MAR yazılımında, matematksel eğry oluşturma aşamasında, en baştan kararlı br eğr elde etmek çn d.dε> sorgulamasını otomatk olarak yapan sıfırdan büyük katsayılar kutucuğu etkn hale getrlmeldr. Şekl 7. Deneysel sonuç ve matematksel eğr Ayrıca, artı katsayılar yöntemyle Druckers kararlılığı sağlansa da, kararlı kılınmış matematksel eğr, lglenlen gernm aralığı dışında kauçuğun davranışına aykırı br yönelm sergleyeblr. Bunu denetlemek çn, matematk eğry gelştrmeden önce, lgl gernm aralığının artı ve eks kısımlarında yüzde kaçlık br ekstrapolasyonla matematk eğry devam ettreceğnn kullanıcı tarafından belrlendğ seçenek devreye sokulmalı, ve %4 lık gernmdek bu örnek çn dah, matematksel eğrnn, gernm aralığının ötesnde ve bersnde sergledğ görünümün, deneysel sonuçlara ve genel kauçuk davranışına uyup uymadığı gözden geçrlmeldr. Gernm aralığın ötesnde ve bersnde derken, ötesndeyle neyn kastedldğ açıktır; %4 lık br çekme brm yer değştrmes çn,.5 lk ötes %5 lk çekme brm yer değştrmesne karşılık gelmektedr. Bersyle kasıt se, örneğn.5 lk bers çn, atanan matematksel fadenn %4*.5=% luk basma brm yer değştrmesnde ne gb br gdşat serglendğnn denetm anlamına gelmektedr. Tez kapsamında gelştrlecek malzeme model eştlklernde se, btmş parçanın analznde, sonlu eleman modelnde yeralan meşlern hçbrsnn %5 den daha büyük brm yerdeğştrmelere maruz kalmayacağından, basma ve çekme yer 7

130 değştrmeler arasındak olası farklılıklar da tez kapsamında ayrıyetten ncelendğnden, lgl gernm aralığının ötes ve bersnn rdelenmesnde kullanılan bu özellk olan ekstrapolasyon devre dışı bıraklılacaktır. Tüm bu denetmlern ardından %4 lık gernm çn gştrlen matematksel eğr, % luk, %, %3, %4 ve%5 lk orjnal deneysel sonuç eğrleryle üst üste konulmalı ve çakışıp çakışmadığına bakılmalıdır. Lakn grş bölümünde de değnldğ üzere, farklı gernmlerdek deneysel sonuların yükleme eğrler çakışsa da, boşaltma eğrlernn çakışmayacağı kauçuğun doğası gereğdr. Bu unsur lerde süreksz hasar davranışı başlığı altında ayrıntılı olarak açıklanacaktır. Sonuçların MAR a grlmesnden önce dkkat edlmes gereken dğer br husus da, yne grş kısmında değnldğ üzere,. çevrmn yükleme eğrs sıfır yükte sıfır yer değştrme kaydederken, 3. çevrmn yükleme eğrs üzernde belrl br yer değştrmenn kalıyor olmasıdır.(bkz. Şekl 7.) Şekl 7. Sabt hız ve gernmde kaydedlen çevrmlerde sıfır yükte denek üzernde kalan gernm farklılıkları ve maksmum gernmde okunan kuvvetn çevrm sayısına bağlı olarak azalması. Bahsedlen ler çevrmlere at bu sıfır yüktek yer değştrme Şekl 4 te öngörüldüğü gb orjne ötelenmeldr. 8

131 Şekl 7.3. Aynı plakadan farklı deney tpler çn keslmş deneklern ham deneysel sonuçları ve sıfıra ötelenmş haller Ayrıca yne grş bölümünde değnldğ gb, eğrlern ötelenmş hallernde de Düzlemsel Kayma test sonuçlarınının, çft eksenl çekme test sonuçlarına göre daha düşük, tek eksenl çekme test sonuçlarına göre se daha yüksek gerlme değerler vermes gerekmektedr.(bkz. Şekl 4) 8. GİRİLEN DENEYSEL SONUÇLARA MAR TARAFINDAN ÇAKIŞTIRILAN MALZEME MODELİ EĞRİLERİ Bu bölümde MAR ın kullandığı matematk modeller çnde, hacm sabtlğ kabulune dayananlardan Neo Hookean, Sabt Mooney Bçm Değştrmes, Özgün Mooney Denklem, Mooney-Rvln Denklem, Sgnorn Enerj Fonksyonu, Yeoh Enej Fonksyonu, James-Green-Smpson Bçm Değştrme Eştlğ [] le hacmdek olası değşklkler hesaba katan Ogden Model nn [3] k katsayılı olanı üzernde durulacak, ve bu matematk yaklaşımlara at gerlme denklemlerne türev yoluyla nasıl ulaşıldığı, tek eksenl çekme, düzlemsel kayma ve k eksenl çekmeye at gerlme durumları çn analtk olarak ayrı ayrı ncelenecektr. Bu ayrıntılı 9

132 ncelemenn amacı, MAR ın nasıl malzeme karakterstğ atadığını tanımak ve stenrse, Marc tarafından örnek br deneysel sonuç çn atanmış katsayıların yerleştrlmesyle (ε) şeklnde ε ye bağlı br fonksyon haln alan malzeme model eştlklernn, Matlab gb br programda eğrlernn çıkartablmek, böylelkle MAR tan alınan eğrler ve deneysel sonuçlarla üst üste çakıştırma olanağı yaratmaktır. Son ölçüt olarak her üç gerlme durumunu da aynı katsayılarla optmum bçmde çıkartablecek olan matematk model, nha malzeme model olarak atanacaktır. 8. Tek Eksenl Gerlme Durumu Şekl 8.. Tek eksenl gerlme 8.. Hacm Sabtlğne Dayanan Matematk Yaklaşımlar = + ε,..3 = ve tek eksenl gerlme çn =, = 3 = / Tek Eksenl Gerlme İçn Neo-Hookean ve Hook le Kıyası W = ( G/ ) ( ) (8.) W = ( G/ ) ( + (/) + (/) -3) (8.) W = ( G/ ) ( + (/) - 3 ) (8.3) = dw/d = ( G/ ) ( - - ) = G ( - - ) (8.4) = G ( ( + ε ) - ( + ε ) - ) (8.5)

133 Burada ε nn (/) nın. dereceden fonksyonu olan, Hook ta yalnızca =Eε d Tek Eksenl Gerlme İçn Sabt Mooney Bçm Değştrme Denklem W= ( ) + ( (/) + (/) + (/) - 3 ) (8.6) W= ( + (/) + (/) -3) + ( + (/) + (/) -3) (8.7) W= ( + (/) - 3 ) + ( + (/) - 3 ) (8.8) = dw/d = ( - - ) + ( - -3 ) (8.9) Tek Eksenl Gerlme İçn Orjnal Mooney Denklem 4 I = (8.) I = (8.) I3 = 3= ( V=) (8.) W=W(I, I) 3 (8.3) W= ( I - 3) + (I 3) (8.4) Tek Eksenl Gerlme İçn Mooney-Rvln Denklem 4 W= ( I - 3) + (I 3) (8.5) alınacaktır. Benzer formülasyonlarından ötürü yalnızca Mooney-Rvln eştlğ çn türev W= ( ) + ( ) (8.6) W= ( + (/) - 3 ) + ( + (/) ) (8.7) = dw/d = ( - - ) + ( - -3 ) (8.8)

134 Tek eksenl gerlme çn 8... le aynı eştlğ vemektedr Tek Eksenl Gerlme İçn Sgnorn Denklem W= ( I - 3) + (I 3) + ( I - 3) (8.9) W= ( + (/) - 3 ) + ( + (/) ) + ( + (/) - 3 ) (8.) ( I - 3) + (I 3) kısmının türev daha önce alınmış bulunduğundan yalnızca, d ( + (/) - 3 ) /d = ( + (/) - 3 ) d ( + (/) - 3 )/d =4 ( + (/) - 3 ) ( - - ) (8.) = dw/d = ( - - ) + ( - -3 )+ 4 ( + (/) - 3 ) ( - - ) (8.) Tek Eksenl Gerlme İçn Yeoh Denklem W= ( I - 3) + ( I - 3) + 3 (I 3) 3 (8.3) Dğer kısımların türev daha önce alınmış bulunduğundan yalnızca, d 3 ( + (/) - 3 ) 3 /d = 3 3 ( + (/) - 3 ) d ( + (/) - 3 ) /d =3 3 ( + (/) - 3 ). ( - - ) =6 3 ( + (/) - 3 ) ( - - ) (8.4) = dw/d = ( - - ) )+ 4 ( + (/) - 3 ) ( - - ) + 63 ( + (/) - 3 ) ( - - ) (8.5) Tek Eksenl Gerlme İçn James-Green-Smpson Denklem W= ( I - 3) + ( I - 3) + ( I - 3) ( I - 3) + ( I - 3) + 3 (I 3) 3 Dğer kısımların türev daha önce alınmış bulunduğundan (8.6)

135 yalnızca, d ( I - 3) ( I - 3) /d= = d ( + (/) - 3 ) ( ) /d = ( - - )( )+( - -3 ) ( + (/) -3 ) (8.7) = dw/d= ( - - )+ ( - -3 )+ ( - - )( ) + ( - -3 ) ( + (/) - 3 ) + 4 ( + (/) - 3 ) ( - - ) + 63 ( + (/) - 3 ) ( - - ) (8.8) 8.. Tek Eksenl Gerlme İçn Hacm Değşmn Hesaba Katan Yaklaşımlar Bu kapsamda yalnızca şer α ve µ katsayısı çeren Ogen model ncelenecektr. Hacmn değşmnden ötürü..3, ler brbrler cnsnden fade edlememektedr. Dolayısıyla aşağıda verlen Ogden eştlğnn türevnn alınması bulk modülünün deneysel ya da MAR tarafından taynnden sonra, ve deneysel sonuçlardan J=((V+ΔV)/V) skaler değernn tesptnn ardından, ler arasında br oran kurulabldğnde sağlanablecektr. İk eksenl çekme ve düzlem kayma durumlarında da, bu kısım çn aynı açıklama tekrar edlmeyecek, sadece bu bölüme atıfta bulunulacaktır Tek Eksen İçn Ogden model W m J n n 3 n n n K J 3 n (8.9) 3

136 .8 Mühendslk Gerlmes [MPa] Deneysel Sonuç Neo Hookean Mooney-Rvln Sgnorn James-Green- Smpson Yeoh Ogden Mühendslk Gernm Şekl 8. Farklı malzeme modellernn kıyası Tablo 3.Şekl 8. dek matematk modellern denklemlerne MAR tarafından atanan modül tensörü bleşenler, br başka deyşle katsayıları James- Neo Mooney Sgnorn Smp. Hookean Rvln &Green Yeoh * * * * Çakışma Hatası Tablo de yıldız şaretl sıfır değerler daha önce değnlen artı katsayılar yöntem etkn kılındığı çn sıfıra eşt çıkmıştır. Bu özellk devre dışı bırakılsaydı lgl değerler sıfırdan küçük çıkacak, eğr lglenlen gernm aralığında daha çakışık görünse ble, d. dε< olacağından kararsız davranış sergleyecekt. Eğrlerdek 4

137 katsayılar sıfırlanınca, eğr kendnden br lkel eğryle aynı formüle sahp olmakta, dolayısıyla kalan katsayıları, grafkler ve çakıştırma hataları da aynı çıkmaktadır. Şekl 5'tek Ogden eğrs çn lgl katsayılar MAR tarafından µ=47.7,µ= , α=.36968, α=.36968, K= olarak tayn edlmştr. 8. İk Eksenl Gerlme Durumu Şekl 8.3. İk eksenl gerlme 8.. Hacm Sabtlğne Dayanan Matematk Yaklaşımlar..3 = ve k eksenl gerlme çn = = ve 3 = / İk Eksenl Gerlme İçn Neo-Hookean ve Hook le Kıyası W = ( G/ ) ( ) (8.3) W = ( G/ ) ( ) (8.3) = dw/d =( G/ ) ( ) (8.3) = dw/d =G ( - -5 )= G ( (+ε) (+ε) -5 ) (8.33) Hook ta yalnızca =Eε d İk Eksenl Gerlme İçn Sabt Mooney Bçm Değştrme Denklem W= ( ) + ( (/) + (/) + (/3) - 3 ) (8.34) W= ( ) + ( ) (8.35) 5

138 = dw/d= ( ) + ( ) (8.36) = dw/d= 4 ( ( - -5 ) - ( -3-3 )) (8.37) İk Eksenl Gerlme İçn Orjnal Mooney Denklem W= ( I - 3) + (I 3) (8.38) İk Eksenl Gerlme İçn Mooney-Rvln Denklem W= ( I - 3) + (I 3) (8.39) Yne yalnızca Mooney-Rvln eştlğ çn W= ( ) + ( ) (8.4) W= ( ) + ( ) (8.4) = dw/d= ( ) + ( ) (8.4) = dw/d= 4 ( ( - -5 ) ( -3-3 )) (8.43) Tek eksenldek asal eksenlerdek gerdrme oranlarının lşksnden farklı olarak k eksenldek = = ve 3 = /, bu defa k eksenl Mooney-Rvln (dolayısıyla Orjnal Mooney Denklemn de) Sabt Mooney eştlğyle aynı kılmıştır (bkz. 8..., ve dek sonuçlar.) İk Eksenl Gerlme İçn Sgnorn Denklem W= ( I - 3) + (I 3) + ( I - 3) W= ( ) + ( ) + ( ) W= ( )+ ( )+ ( ) Dğer kısımların türev daha önce alınmış bulunduğundan 6

139 yalnızca, d ( ) /d= ( ) d( ) =8 ( ) ( - -5 ) (8.44) = dw/d= 4 ( - -5 ) + 4 ( ) + 8 ( ) ( - -5 ) (8.45) = dw/d=4 ( - -5 ) + ( ) +.( ) ( - -5 ) (8.46) İk Eksenl Gerlme İçn Yeoh Denklem W= ( I - 3) + ( I - 3) + 3 (I 3) 3 (8.47) W = ( ) + ( ) + 3 ( ) 3 = ( )+ ( ) + 3 ( ) 3 (8.48) Dğer kısımların türev daha önce alınmış bulunduğundan yalnızca, d3 ( ) 3 /d= 33 ( ) d3 ( )/d =33 ( ) ( ) (8.49) = dw/d=4 ( - -5 ) + 8 ( ) ( - -5 ) + 3( ) ( - -5 ) (8.5) = dw/d=4 ( - -5 ) + ( ) + 33( ) (8.5) İk Eksenl Gerlme İçn James-Green-Smpson Denklem W= ( I - 3) + ( I - 3) + ( I - 3) ( I - 3) + ( I - 3) + 3 (I 3) 3 W = ( ) + ( ) (8.5) 7

140 + ( ) ( ) + ( ) + 3( ) 3 (8.53) W= ( )+ ( )+ ( ) ( ) + ( ) +3 ( ) 3 (8.54) yalnızca, Dğer kısımların türev daha önce alınmış bulunduğundan d ( ) ( ) /d= =4 ( - -5 ) ( ) + ( ) ( ) (8.55) = dw/d=4 ( - -5 ) +.( ) ( - -5 ) +3 3( ) ( - -5 ) + ( ) + 4 ( - -5 ) ( ) + ( ) ( ) (8.56) 8.. İk Eksenl Gerlme İçn Hacm değşmn hesaba katan yaklaşımlar Bkz. alt başlık Düzlemsel Kayma Durumu 8

141 Şekl 8.4 Düzlemsel Kayma 8.3. Hacm Sabtlğne Dayanan Matematk Yaklaşımlar..3 = ve düzlemsel kayma çn =, = ve 3 = / Düzlemsel Kayma İçn Neo-Hookean ve Hook le Kıyası W = ( G/ ) ( ) = ( G/ ) ( + - -) (8.57) = dw/d=( G/ )(- -3 ) = G (- -3 ) (8.58) Hook ta yalnızca =Eε d Düzlemsel Kayma İçn Sabt Mooney Bçm Değştrme Denklem W= ( ) + ( (/) + (/) + (/) - 3 ) (8.59) W=(+ )( + - -) (8.6) = dw/d = (+ )( - -3 ) = (+ )( - -3 ) (8.6) Düzlemsel Kayma İçn Orjnal Mooney Denklem W= ( I - 3) + (I 3) (8.6) Düzlemsel Kayma İçn Mooney-Rvln Denklem W= ( I - 3) + (I 3) (8.63) Yne yalnızca Mooney-Rvln eştlğ çn W= ( ) + ( ) (8.64) W= (+ ) ( + - -) (8.65) 9

142 = dw/d= (+ ) ( - -3 ) = (+ )( - -3 ) (8.66) Düzlemsel Kayma İçn Sgnorn Denklem W= ( I - 3) + (I 3) + ( I - 3) (8.67) W= ( ) + ( ) + ( ) (8.68) W= (+ ) ( + - -) + ( + - -) (8.69) yalnızca, Dğer kısımların türev daha önce alınmış bulunduğundan d ( + - -) /d=( + - -) d ( + - -)/d =4 ( + - -) ( - -3 ) (8.7) = dw/d=(+ )( - -3 ) + 4( + - -)( - -3 ) (8.7) = dw/d= ( - -3 ) (+ )+ ( + - -) (8.7) Düzlemsel Kayma İçn Yeoh Denklem W= ( I - 3) + ( I - 3) + 3 (I 3) 3 (8.73) W = ( ) + ( ) + 3 ( ) 3 (8.74) Dğer kısımların türev daha önce alınmış bulunduğundan yalnızca, d3 ( + - -) 3 /d=6( + - -) ( - -3 ) (8.75)

143 = dw/d= ( - -3 ) + ( + - -) + 33 ( + - -) (8.76) Düzlemsel Kayma İçn James Green -Smpson Denklem W= ( I - 3) + ( I - 3) + ( I - 3) ( I - 3) + ( I - 3) + 3 (I 3) 3 (8.77) W = ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) + 3( ) 3 (8.78) W= (+ ) ( + - -) + (+ ) ( + - -) + 3( + - -) 3 (8.79) Daha önce türev alınan fadelern yardımıyla = dw/d=( - -3 ) (+ ) + (+ ) ( + - -) + 33 ( + - -) (8.8) 8.3. Düzlemsel Kayma İçn Hacm değşmn hesaba katan yaklaşımlar Bkz. alt başlık Sonuçların Yorumlanması Tablo 3 tek katsayılar, MAR ın yalnızca tek eksenl gerlme eğrlerne çakıştırmak üzere bulduğu değerlerd. Oysa üç temel gerlme durumuna at denklemlern tamamı türetldkten sonra görülmüştür k, tek eksenl gerlme çn elde edlen katsayılar, aynı zamanda k eksenl gerlme ve düzlem kayma eştlklerne de çarpan olarak etkmektedr. Yan MAR, üç temel gerlme durumuna at eğrlerden yalnızca brne mükemmel çakışma hedefleyp, ona özel katsayılar türetrse, aynı ve, dğer gerlme durumlarına at denklemler de etkledğnden, dğer gerlme durumuna at eğrlerde çakışmayan görünümler ortaya çıkablmektedr. Bu yüzden MAR, her üç gerlme çn ortak ve üçüyle de optmum çakışmaya hzmet edecek katsayılar bulmalıdır. Türev alınarak elde edlen

144 denklemler çerçevesnde, Şekl 8. ve Tablo 3 dek değerlern güncellenmş haln, Şekl 8.7 ve Tablo 4 te tekrar değerlendrmek gerekrse. Tablo 4. 3 Temel Gerlme Durumu İçn Eğr Çakıştırma A-Poztf Katsayılar-Sadece Tek Eksenl Deney Sonucu Hedeflenerek B- Poztf Katsayılar-3 Gerlmenn Deney Sonuçları Hedeflenerek -Negatf Katsayılar- Tek Eksenl Deney Sonucu Hedeflenerek Tablo 4 dek değerlern ayrıntışı ncelenmesne geçmeden, önce Tablo3 dek halleryle nasıl br çakışma performansı gösterdklern ve Marc ın eğrler nasıl çakıştırdığını daha y kavramak adına, 8. bölümde tek eksenl gerlme durumu çn çıkartılan formüller, MatLab programına aşağıdak gb grelm, eştlkler grerken, gerdrme oranı λ yerne + grlecektr. Bu durumda aslen gernm olan, elde

145 edlecek eğrnn eksenn teşkl edeceğnden, MatLab a grerken yerne tekrar yazmamız gerekecektr. Dolayısıyla MATLAB formulasyonundak n yer değştrme değl, brm yer değştrme yan gernm () olduğunu hatırlatmakta fayda vardır. Modül tensörü bleşenler olan katsayılarını da, eştlklerdek lgl termlere çarpan olarak atarken, Tablo3 dek değerler alıp, aşağıda verldğ üzere, MATLAB n verdğ grafklerdek çakışma rejmlern zleyelm. Şekl 8.5 Matlab Program Satırları Bu grafğn görünümü aşağıda verldğ gb olacaktır. 3

146 Şekl 8.6 Matlab çıktı grafğ Dğer yandan Tablo4 de yeralan ve belrtlen doğrultuda güncellenmş katsayılardan, modül tensörü bleşenkler hem sıfırdan küçük, hem de sıfırdan büyük katsayılar çn mevcut olan, ve en düşük yakınsama hatasından, oldukça yüksek br yakınsama hatasına kadar genş br çakışma rejm aralığı sergledğnden, Sgnorn model çn türetlmş olanları seçlmş ve bu doğrultuda sadece kıyas amaçlı olarak, malzeme model çakıştırmanın, hem sadece tek eksenl gerlme sonuçları, hem de her üç temel gerlme durumu çn hedeflendğ modül tensörrü bleşenler kullanılarak çzlen eğrler şekl 8.7 de verlmştr. 4

147 Şekl % gernmdek deneysel sonuçlar çn farklı MAR seçenekler kullanılarak gelştrlmş Sgnorn eştlklerne at eğrler. 9. Nha Malzeme Modelnn Tayn Malzeme model olarak %4 lık gernmdek 3 gerlme durumu çn de çakışma performansı Şekl da verlen Ogden model atanmıştır. Bu seçmn yapılması esnasındak ayrıntılara değnlecek olursa, % luk, % lk, %3 luk, %4 lık ve %5 lk gernmler çn (toplam 5 farklı değşken), 8. Bölümde türevler alınan malzeme modellernden Neo Hookean, Mooney<> (Mooney Orjnal Notasyonu ve ), Mooney<3> (Mooney-Rvln Notasyonu, ve e ek olarak ), Yeoh, Sgnorn,. dereceden bçm değştrme model (,,,), 3. dereceden bçm değştrme model (James-Green&Smpson) (,,, ve 3) nn yanı sıra Ogden ve Ogden 3 malzeme modeller çn (toplam 9 farklı değşken), tek eksenl gerlme, k eksenl gerlme, düzlem kayma gerlmes deney ayrı ayrı çakışmanın hedeflendğ ve her üçüne (3R olarak gösterlecek) toplu 5

148 halde çakışmanın hedeflendğ (3+ toplam 4 farklı değşken) ve bu değşkenlern sıra ayrımı gözetmeyen kombnasyonu hesaplanacak olursa, nha malzeme model 5*4*9=8 farklı malzeme çakıştırma denemesnn ardından tayn edlmştr k bu 8 nha malzeme model adayının lgl hata katsayıları ve deneysel verlerle üst üste çakışmış haller EK A da verlmştr. EK A nın daha y değerlendrleblmes adına, bahs geçen bu 8 adaydan, nha malzeme model olarak seçlen adayın çakışma performansının serglendğ lgl MAR penceres aşağıda verlmştr. Şekl 9. Nha malzeme model olarak seçlen Ogden malzeme modelne at çakışma performansının serglendğ lgl MAR penceres Aşağıda yeralan Şekl 9. de se 8 aday arasından seçlen her üç gerlme durumu çn ortak modül tensörü bleşenlernn atandığı nha malzeme modelne (Ogden ) at eğrnn, üç gerlme durumna at deneysel sonuçlarla çakışma rejm verlmştr. 6

149 Şekl 9.. Üç temel gerlme durumu deneysel sonuçları ve üçü nü de sağlayan ortak katsayılarla çakıştırılmış Ogden malzeme modelne at eğrler.. Vskoelastste Mükemmel elastk bçm değştrme ve mükemmel vskoz akış, sadece belrl sınırlandırma ve kabuller dahlnde, ve ancak belrl yaklaşıklıklarla yakınsanablen dealzasyonlardır. Gerçekte se malzeme gördüğü mekank etkye cevaben yaşağdığı bçm değştrme ya da uyguladığı gerlmey, mekank tahrkn bell br değere kadar çıkıp orada sabtlendğ andan tbaren, sabt br cevap olarak sürdüremez ve yapı belleğndek br denge değerne doğru süzülerek yakınsar. Bu bağlamda zaman, br malzemenn ne kadar elastk, ne kadar vskoz olduğunun ayrımında ölçüt teşkl etmeye başlar,örneğn katı csmler uygulanan mekank etk karşısında, etk br değerde sabtlenr sabtlenmez, verdkler cevabı da çok kısa br süre sonucunda belrl sabt br değere oturturlar ve etk devam ettkçe, çok uzun br gözlem süres boyunca dah, cevabın da lgl değernde sabt kaldığı görülür ve tahrk sabt 7

150 değerde süreğenlğn sürdürdükçe önces durumlarına ger dönemez kabul edlrler, deal sıvı se, mekank tahrk çok yüksek frekanslı değlse, tahrk bell br değere erşp o değere sabtlendkten hemen sonra verdkler cevabı sıfıra ndrrler ve tahrk önces durumlarına an br hızla ger dönerler. Tahrk, kuvvet cnsnden se cevap yer değştrmedr, k tahrk ve sonrasındak tahrk önces konumuna dönme eğlmne sürünme davranışı ve bu eğlmn br süre boyunca gözlemlenmesne dayanan teste sürünme test denr. Tahmn edlebleceğ gb tahrk yer değştrme ve bunun bell br değerde sabtlenmesnden oluşuyorsa, buna verlen cevabın kuvvet olacaktır (ya da gerlme), ve belrl br gözlem süres boyunca ne lk çıktığı kuvvet değernden, sıfır değerne ger dönme açlığı ve bu yolda kararlı br değere oturma rejmne reklaksasyon ve sabt ve süreğen yerdeğştrme tahrk altında, belrl br süre zarfınca bu eğlmn gözlemlendğ teste de relaksasyon test denr. Br csmn ne kadar elastk ve ne kadar vskoz olduğu yargısında zamanın ölçüt teşkl ettğnden bahsetmştk. Örneğn cam kısa br gözlem süres çn elastk, ancak on yıllar mertebesndek br gözlem süres zarfında br mktar vskozdur. Br sıvı frekansı aşırı yüksek olmayan sabt değerde ve süreğen br yer değştrme tahrkne maruz kalsın, tahrk değerne ulaşıp sabtlendğ anı takp eden ve sıvının yenden sıfır kuvvet konumuna ger döndüğü o kısacık zaman dlmne tger dyecek olursak, bu olayı gözlemlemeye s boyunca devam ettğmz deney süresnede tden dersek, bunların brbrne oranı ND= tger / tden oranı Deborah sayısı oalrak anılır k bu deal sıvı çn sıfıra yakınsar, deal katı çnse tger, s olan tden n çok çok sonrasında ble sıfır kuvvete erşmemş olacağından, ve br gün erşeceğ düşünülse de bunun gerçekleşeceğ tger zamanının tden e göre ölçülemez mertebede büyük olduğu aşkar kabul edldğnden, ND deal katılar çn sonsuza ıraksar. İşte bu ND değernn, sıfır ve sonsuz değerler değl de, tger le tden n kıyaslanableceğ makul değerler aldığı malzemelere vskoelastk malzemeler denr. Gerçek katıların ve sıvıların sürünme ve relaksasyon testlerndek cevaplara geçmeden önce, deal katı ve sıvıların bu testler altında kaydedecekler düşünülen cevapları aşağıda verlmş Şekl. ve Şekl. üzernde nceleyelm. 8

151 Şekl.. Sabt değerde ve süreğen yer değştrme tahrk altında deal sıvı ve katının gerlme cevabının zamana bağlı değşm (Relaksasyon davranışı) Şekl.. Sabt değerde ve süreğen yer kuvvet (ya da gerlme) tahrk altında deal sıvı ve katının yer değştrme cevabının zamana bağlı değşm (Sürünme davranışı) Gerçek katı ve sıvıların relaksasyon davranışı se aşağıdak gb olur. Şekl.3. Sabt değerde ve süreğen yer değştrme tahrk altında gerçek sıvı ve katının gerlme cevabının zamana bağlı değşm. Dğer yandan gerçek katı ve sıvıların sabt süreğen yük altında yer değştrme cevaplarının zamana bağlı sergledğ rejm olarak sürünme davranışıysa aşağıdak şekl.4 de verldğ gbdr. 9

152 Şekl.4. Sabt değerde ve süreğen yer kuvvet (ya da gerlme) tahrk altında gerçek katı, gerçek sıvı ve vskoelastk malzemenn yer değştrme cevabının zamana bağlı değşm. Vskoelastste - Kuramsal Altyapı.. Statk Vskoelastste Kuramsal Altyapı Şekl.5 Çok küçük gernmlere haz doğrusal kayma relaksasyonu testler çn basamak fonksüyonu olarak uygulanan kayma gernm tahrkler ve alınan kayma gerlmes cevapları... Kayma ve Yığılma Relaksasyon Modüller Çok küçük gernmler söz konusu olduğunda Şekl.5 te görülen gerlmegernm lşkler çn, doğrusal malzemelerde geçerl olduğunun altını çzerek, aşağıda yeralan fadeler yazılablr (.) 3

153 k bu fadede yeralan G(t) relaksasyon modülüdür. Katı csmlerde zaman eksennde lerledkçe kayma gerlmes cevabı azalan br vmeyle düşüş eğlmndedr ve bu düşüş nha relaksasyon modülü değer Ge ye ulaşılıncaya kadar devam eder. (.) Yukarıdak fadede yeralan Ge =σ / ε olup, Ф(t) normalze edlmş sürekl azalan br fonksüyondur, k t= çn Ф(t)= ve t= çn Ф(t)= değerlern almaktadır. G(t) nn sıvılar ve katılar çn zamana bağlı değşm aşağıda yeralan şekl.7 de, logartmk eksenlerde verlmştr. Şekl.6 Logartmk eksenlerde relaksasyon modülü G(t) nn sıvılar ve katılar çn zamana bağlı değşm Eğer vskoelastk kütle her yönden yer değştrmeye zorlanıyorsa (p kadar br hdrostatk basınç karşılığında kaydedlecek br yereğştrmenn, doğrudan yerdeğştrme tahrk olarak uygulandığını farzedersek) gerlme ve gernm tensörlernn köşegenlernde yeralan bleşenler sıfırdan farklı değerler alırlar ve uygulanan yegane yükleme buysa, gerlme ve gernm tensörlernn köşegenlernde yeralan bleşenler ==33 ve σ= σ= σ33= σ= -p olur. Aşağıdak eştlkte yeralan p(t) hdrostatk basıncın, bahsedlen her yönde uygulanan yer değştrme tahrk karşısında alınan gerlme cevabının zamana bağlı değşm ve Δ =(V-V)/V hacmsel sıkışma mktarı olmak üzere, aşağıdak fade yazılablr. (.4) 3

154 Şekl.7 Doğrusal bölgeden, doğrusal olmayan bölgeye, vskoelastk katı çn br başka deyşle çok küçük yer değştrmelerden büyük yerdeğştrmelere geçşte, şekl.5 te verlmş σ (tb) ve σ (ta) gerlmeler arasındak farkın, artan brm yer değştrmeler karşısındak değşm Dğer yandan aşağıda fades verlen yığılma relaksasyon modülü K(t) de zamana bağlı olarak azalan vmeyle düşüş gösteren br fonksüyondur. (.5) k bu fadede yeralan Ф (t) de daha önce değnlen Ф(t) le aynı özellklere sahp br fonksüyondur. H(t)ε gb tek eksenl br çekme yer değştrmes tahrk karşısında kaydedlen gerlmenn zamana bağlı değşm aşağıdak gb fade edlr k bu fadede yeralan E(t) çekme relaksasyon modülü olarak anılır ve (.6) (.7) bçmnde br eştlkle fade edlr, buna mukabl yukarıdak fadede yeralan Ф (t) de daha önce değnlen Ф(t) le aynı özellklere sahp br fonksüyondur. Vskoelastk sıvılar çn E= olacağı hatırlatılmalıdır.... Kayma ve Yığılma Sürünmes Uyum Fonksüyonları Kaynağı relaksasyon kavramıyla aynı, yan vskoelastste olan sürünme se, bu defa sabt br gerlmenn basamak fonksüyonu olarak uygulanması karşısında 3

155 kaydedlen yerdeğştrme cevabının zamana bağlı olarak azalan br vmeyle artmakta olan br fonksüyon eğrs çzmes anlamına gelmektedr. Bu durumdaysa, H(t)σ gb çok küçük gernmler yaratacak br kayma gerlmesnn basamak fonksüyonu olarak uygulanması karşısında kaydedlecek kayma gernm ve brm yer değştrme sırasıyla aşağıdak gb fade edlr. (.8) k bu fadede yeralan J(t) kayma uyum fonksüyonudur ve aşağıda yeralan eştlkler dkkate alındığında, uygulanan sabt gernm karşısında, kaydedlen gernmn zamana bağlı değşmyle doğru orantılı olduğundan, kayma uyum fonksüyonu J(t) de zamana bağlı olarak azalarak artan br eğr çzecektr (.9) (.) lgl eştlklerde yeralan σ ve σ, aşağıda yeralan şekl.8 de görülebleceğ üzere, değerler farklı şddetlerde basamak fonksüyonu olarak uygulanmış, çok küçük gernmler yaratacak kayma gerlmeler ve J(ta) ve J(tb) de sürünme uyum fonksüyonunun farklı anlarda kayedlmş değerlerdr. Şekl.8 Doğrusal bölgede kalacak şeklde, çok küçük gernmler yaratacak farklı şddetlerdek kayma gerlmeler σ ve σ n basamak fonksüyonu olarak uygulanması karşısında kaydedlen kayma gernmlernn zamana bağlı değşmler. 33

156 Verlen fadeler yazarken, doğrusal bölgede kalındığına dar sıkça yapılan uyarıların ardından, doğrusal olan bölgeden, doğrusal olmayan bölgeye geçşte, şekl.8 de zamana bağlı değşm verlen ε(ta) ve ε (tb) lern, artan tahrk gernm boyunca nasıl br değşm sergledkler aşağda yeralan şekl.9 da verlmştr. Şekl.9 Doğrusal olan bölgeden, doğrusal olmayan bölgeye geçşte, şekl.8 de zamana bağlı değşm verlen ε(t a ) ve ε (t b ) lern, artan tahrk gernm boyunca sergledkler değşm. Aşağıda yeralan Şekl. da se, katı ve sıvılar çn sürünme uyum fonksüyonunun zamana bağlı değşm, her k ncelğn de logartması alınmış değerlernn sırasıyla düşey ve yatay eksenler oluşturduğu br grafk göstermle verlmştr. Şekl. Logartmk eksenlerde katı ve sıvılar çn sürünme uyum fonksüyonunun zamana bağlı değşm. Doğrusal bölgedek fadelernden farklı olarak, doğrusal olmayan bölgede sürünme uyum fonksüyonunun fades katılar çn (.) 34

157 bçmnde yazılır k bu fadede yeralan ψ(t) normalze edlmş azalan vmeyle sürekl artan br fonksüyondur, k t= çn ψ (t)= ve t= çn ψ (t)= değerlern almaktadır, öte yandan doğrusal olmayan bölgede sürünme uyum fonksüyonunun fades sıvılar çn (.) olup bu fadede yeralan vskoztedr. Bu verler ışığında Jg camsı (Hookean) sürünme uyumu ve Jd de en yüksek elastk entrop sürünme uyumu olmakla beraber, aşağıdak fadede yeralan (.3) Je se bçm değştrmesne maruz kalmış elastc sstemn brktrebleceğ en yüksek elaststenn br ölçütüdür. Yanısıra vskozte se, akış esnasında polmerde kayba uğrayacak (dsspe olacak) en yüksek enerj mktarıyla lşkldr. Uluslararası Reoloj Topluluğu Komtes katılar çn Je nn denge durumu sürünme uyumu (equlbrum complance) ve sıvılar çn de Je o nun durağan-durum sürünme uyumu (steady-state complance) olarak adlandırılmasını tavsye etmektedr. ( [9] sf. 6) Sabt br p değerndek hdrostatk basıncın basamak fonksüyonu olarak uygulandığı br csm çnse, cevap olarak kaydedlecek gernme tensörünün zamana bağlı değşm gösterecek olan trası, aşağıdak fadeyle yazılablr (.4) k bu fadede yeralan B(t) yığılma sürünmes uyum fonksüyonu olarak anılmaktadır. J(t) nn, <t< aralığında belrgn değşmler kaydedeblmesne karşın, B(t) aynı zaman aralığında, daha az değşmler serglemektedr. B(t) y sürünme uyum fonksüyonundakne benzer br yaklaşımla aşağıdak gb fade edecek olursak (.5) k bu fadede yeralan ψ (t), (.) fadesnde gösterlşnn ardından özellkler açıklanan ψ(t) le özdeş br fonsüyondur. Dğer yandan σh(t) gb br çekme gerlmesnn basmak fonksüyonu şeklnde uygulandığı csmn cevabı aşağıdak fadeyle verlecek olursa 35

158 (.6) bu fadede yeralan D(t) nn çekme sürünmes uyum fonksüyonu olarak anıldığının altı çzlmeldr, k D(t) bu kayma sürünmes uyum fonksüyona benzer br bçmde aşağıdak gb fade edleblmektedr. (.7) k bu fadede yeralan Dg,Hookean katkısı (Hookean contrbuton [9] sf. 7 eştlk 5.), L boyca uzamaya dar vskozte (elongatonal vscosty [9] sf. 7 eştlk 5.) ve ψ (t) se, (.) fadesnde gösterlşnn ardından özellkler açıklanan ψ(t) le özdeş br fonsüyondur....3 Boltzmann Üstüste Ekleme Prensb Sürünme Testlerndek Uygulaması...3. Ayrık Bçm Çeştl yüklemelere maruz kalan vskoelastk sstemde hasıl olan entrop değşmlernden ötürü, yükleme karşısında kaydedlmş bulunan cevapların vskoelastk ssteme olan etkler, yükleme kaldırıldığında kaybolmaz. Dolayısıyla basamak fonksüyonu olarak uygulanmış bulunan br yükleme karşısında kaydedlmş bçm değştrme söz konusuyken de aynı şeklde, lgl bçm değştrme, sadece halühazırda hasıl olan anlık gerlmelern değl, geçmşnde maruz kaldığı gerlmelernn tümünün br fonksüyonudur. Doğrusal davranış rejmnde, uygulanan yüklemeler bütünü karşısında kaydedlmş cevaplar üstüste ekleneblmektedr. Vskoelastk csme θ ve θ anlarında uygulanan gerlmeler (θ ve θ bölüm.. ve.. kapsamında zamanı fade etmekte olup,, Dnamk Laboratuvar Denek Testler ve Kuramsal Altyapısı başlıklı bölüm 6. de faz açısı olarak geçecek θ yla karıştırılmamalıdır.) karşısında kaydedlen gernmler, br altta yeralan şekl..a da ncelenebleceğ üzere aşağıdak bçmde fade edleblmektedr. (.8) 36

159 Şekl..a Doğrusal bölgede, uygulanmış bulunan gerlmelern tümü karşısında kaydedlmş brm yerdeğştrmelern üstüste eklenmes Şekl..a dak verler ışığında fade aşağıdak gb düzenleneblr (.9) dolayısyla adet farklı anlarda gerçekleştrlmş gerlmeler karşısındak gernm fades (.) bçmnde yazılır k bu durumda ve çn, anında (.) eştlğ elde edlr. İlgl anında kayma gerlmes devre dışı kaldığından çn kayma gernmnn fades aşağıdak haln alır. (.) anında kayma gerlmesnn devre dışı kalışının fzksel anlamını pekştrmek adına, bu andak gernmn zamana bağlı değşmn vskoelastk katı ve sıvılar çn veren aşağıdak Şekl..b nceleneblr. 37

160 Şekl..b t=θ anında kayma gerlmesnn devre dışı kalışıyla gernmn zamana bağlı değşmndek düşüşün vskoelastk katı ve sıvılar çn gösterm (.) fadesnde t -θ=u değşken dönüşümü yapılırsa (.3) Eğer nha sürünme uyum değerne erşlmemş se, sürünme uyum fonksüyonu zamana bağlı olarak azalarak artan br değşm gösterdğnden J(t+θ)>J(t) yazılablr ve yukarıdak fade bu bağlamda (.4) haln alır. Eğer nha sürünme uyum değerne, t=θ anında erşldğ düşünülürse, (.3) fades aşağıdak haln alır. (.5) ve fadede yeralan J()=J (+u) olduğundan, toparlanma (recovery) uyum fonksüyonu Jr(t) ([9] sf. 9 eştlk 5.9), şayet toparlanma, nha uyumun erşlmesnn ardından kaydedlmşse, lgl lmt değer çn, uyum fonksüyonuna eştlenmş olur. 38

161 Dğer yandan Boltzmann üstüste ekleme prensb, tab tutulduğu hdrostatk basınç, ya da çekme gerlmelern tümünü temslen, vskoelastk csm çn uygulandığında Δ(t)= trace εj (t) olmak kaydıyla fadeler elde edlr. (.6)...3. Sürekl Bçm Eğer kayma gerlmes, zamana bağlı olarak, çok küçük adımlarla değşm gösteryorsa, σ nın zamanın sürekl br fonksüyonu olduğu kabul edlr ve sürünme testler çn Boltzmann üstüste ekleme prensbnn sürekl bçme haz fades aşağıdak gb yazılır. (.7) Aşağıda yeralan şekl. de görüldüğü üzere, σ (t) fonksüyonu - < t < θ ve θ < t < aralıklarında sürekl, θ t θ aralığınaysa sabtse, (.6) fades bu aralıkta türev sıfır olacağından yazılamaz. Şekl. θ t θ aralığında sabt, kalan aralıklarda gerekl tüm türevlernde sürekllk arz eden gerlme fonksüyonunun zaman bağlı değşm Bu bağlamda (.6) fades, gerlmenn sabt olduğu aralığı dışarıda bırakacak şeklde parçalı fonksüyon bçmnde yazıldığında 39

162 (.8) haln alır, k bu fadede σ (-) = öngöründen hareketle t=θ=u değşken dönüşümü yapılıp, gl termlern ntegraller alınacak olursa (.9) elde edlmş olur. Benzer şeklde hdrostatk basınç karşısında vskoelastk sstemn sergledğ cevap, Δ(t)= trace j (t) olmak üzere (.3) bçmnde fade edleblr. Son olarak da çekme gerlmelernn tümünü temslen kaydedlmş çekme brm yerdeğştrmeleryse aşağıdak gb fade bulur. (.3)...4 Sürünme Testlernde Hafıza Etkler (Memory Effects) Vskoelastk csmn hafıza etklernn (uygulanmış tüm gerlmeler karşısında vermş bulunduğu gernm cevaplarının tamamının tarhçesnn kayıtlanıp halühazırdak ve gelecektek cevaplara etkmes) daha y kavranması adına brm yer 4

163 değştrme fonksüyonunu, (.9) eştlğnden yola çıkarak, Jg ve Jd cnsnden yenden yazmak gerekrse (.3) elde edlr k vskoelastk sıvılar çn formüle edlmş bu bağıntı çn vskoelastk aktıları temsl eder hale gelmş olur. Deneysel sonuçların gözlemnden yapılmış br çıkarım olarak J(t) (t/) Jg nn t çn Jd ye ndrgenr. ([9] sf. ) ψ (t) nn zamana bağlı artışı, şekl.3 te yeralan grafklern sağ üst köşesndeknde vermştr. Buna karşın ψ (t θ) fadesnnse, matematksel olarak, yne şekl.3 ün sağ üst köşesnde yeralan grafğnde görülebleceğ gb, artarak azalan br fonksüyon olacağı aşkardır. Şekl.3 ψ (t), ψ (t θ) ve d ψ (t θ)/ d (t θ) fadelernn θ, t,anına yaklaşırkenk değşmler Dğer yandan artarak azalan ψ (t θ) fadesn, br nev vmes, yan zamana göre türev olan d ψ (t θ)/ d (t θ) nnse şekl.3ün altında yeralan grafkte verldğ gb, θ, t anına yaklaştığında anden dkleşecek bçmde br eğr çzdğ vurgulanmalıdır. Burada matematksel olarak şöyle br yorum yapılmaktadır, vskoelastk csm yüklemeyle lk karşılaşmasının hemen ardından, şekl..a da gözlemlenebleceğ gb (θ zamanının hemen ardından), an br açlıkla esk halne dönmeye çalışmakta, bu akut durum zamanla azalmakta ve yükleme önces denge durumuna ger dönüş gtgde yavaşlamaktadır (θ anına yaklaşmakta), muhtemel dğer br yükleme, br öncek yüklemenn ardından yaşanan denge konumuna dönüş 4

164 çabalarının oldukça yavaş seyreden br anına (θ anı ) denk geldğnden, bu doğal fzksel sonuç, matematkçlerce, bellek fonksüyonu ψ (t), br sonrak θn anına yaklaştıkça belleğ zayıflar bçmnde yorumlanmakta, bu zayıflayan belleğe br sonrak θn anına yaklaşırkan artan br fonksüyon türetmek çn de, türlü formülasyonlardan sonra, Şekl.3 de yeralan d ψ (t θ)/ d (t θ) ya da aşğıdak şekl.4 de yeralan d J (t θ)/ d (t θ) fadeler ortaya konulmuştur. Şekl.4 Rastgele yükleme tarhçes σ(θ) ve d J (t θ)/ d (t θ) nın br sonrak θ n anına yaklaştığındak kaydettğ an yükselş...5 Boltzmann Üstüste Ekleme Prensb Relaksasyon Testlerndek Uygulaması...5. Ayrık Bçm Vskoelastk csmn Δε (θ) H (t- θ), Δε (θ) H (t- θ) bçmndek ve kayma gernm tahrklerne tab tutulduğunu farzedelm. Ek olarak t = θ3 anında, Δε (θ3) kadarlık br kayma gernm tahrknn anden uygulamadan kaldırıldığını düşünelm. Vskoelastk csmn gerlme-gernm lşks bu bağlamda aşağıdak gb fade edleblecektr. (.33) Yukarıdak fdeden de takp edlebleceğ gb, t = θ3 anında, Δε (θ3) kadarlık br kayma gernmnn kaldırılmasının, o anda aks yönde aynı şddette br kayma gernmnn uygulanması bçmnde de değerlendrleblr. Dolayısıyla Boltzmann üstüste ekleme prensbnn ayrık bçmdek fades bu örnek çn aşağıdak gb yazılablr. 4

165 (.34) Daha önce de benzer yollarla fade edldğ üzere, θ anlarında, her yönden aynı oranda tab tutulduğu yer değştrme tahrklerne (hdrostatk basınç karşılığı) karşı verdğ gerlme cevaplarının aynı prensp doğrultusundak fades aşağıda verldğ gbdr. (.35) Benzer bçmnde, θ anlarında maruz kaldığı çekme gernmler karşısında verdğ gerlme cevaplarının tarhçesn zamana bağlı olarak fade eden eştlk aşağıdak gb yazılablr Sürekl Bçm (.36) Δε (θ3) gernm tahrk şddetler eğer çok küçükse, kayma gerlmesnn zamana bağlı değşmn veren fade aşağıdak gb yazılablr. (.37) Ancak bu eştlk, gernmn sabt kaldığı aralıklarda, türev sıfır olduğu çn, uygun sonuçlar verememektedr. (bkz..5) Şekl.5 θ t θ aralığında sabt, kalan aralıklarda gerekl tüm türevlernde sürekllk arz eden gernm fonksüyonunun zaman bağlı değşm 43

166 Bu bağlamda (.37) eştlğ, lgl aralığı dışarıda bırakacak bçmde parçalı fonksüyon olarak yazılacak olursa (.39) ε(-)= ve sıvılar çn Gg=G()=Gd ve katılar çn Gg= Ge +Gd olduğu gözönünde bulundurulup, t = θ = u değşken dönüşümünün uygulanmasının ardından, (.39) dak lgl termlern ntegraller alınırsa (.4) fades elde edlmş olur. Her θ çn şddet değşen hdrostatk basınçlar karşısında kaydedlen gerlme cevaplarının tümünün zamana bağlı fades aşağıdak gb yazılablr. (.4) Benzer şeklde her θ anı çn, farklı şddettek br çekme gerlmesne maruz kalan vskoelastlk csmn kaydettğ çekme gernmler zamana bağlı olarak fade eden bağıntı aşağıdak gb yazılablr. (.4)...6 Relaksasyon Testlernde Hafıza Etkler (Memory Effects) Relaksasyon testlerndek hafıza etklernn ncelenmes çn öncelkle (.4) fades, θ = t u değşken dönüşümü yapılarak yenden yazılacak olursak (.43) 44

167 elde edlr k bu bağlamda zamana bağlı, azalan br vmeyle düşüş gösteren br fonksüyon olan Ф (t) nn grafk gösterm şekl.6 da yeralan grafklern sağ üst köşesndeknde vermştr. Buna karşın Ф (t θ) fadesnnse, matematksel olarak, yne şekl.6 nın sağ üst köşesnde yeralan grafğnde görülebleceğ gb, artan br vmeyle artan br fonksüyon olacağı aşkardır. Şekl.6 Ф (t), Ф (t θ) ve d Ф (t θ)/ d (t θ) fadelernn θ, t,anına yaklaşırkenk değşmler Dğer yandan artan vmeyle yükselş kaydeden Ф (t θ) fadesn, br nev vmes, yan zamana göre türev olan d Ф (t θ)/ d (t θ) nnse şekl.6 nın altında yeralan grafkte verldğ gb, θ, t anına yaklaştığında anden dkleşecek bçmde br eğr çzdğ görüleblmektedr. Şekl.7 Rastgele yükleme tarhçes ε (θ) ve d G (t θ)/ d (t θ) nın br sonrak θn anına yaklaştığındak kaydettğ an yükselş. 45

168 Yukarıda yeralan şekl.7 çn yapılacak yorum, bölüm...4 dek şekl.4 çn yapılmış yorumun aynısıdır....7 Geçş Relaksasyon Modüller ve Geçş Uyum Fonksüyonları Arasındak Laplace Dönüşüm İlşkler (.7) ve (.37) eştlklerne Laplace dönüşümler uygulanarak aşağıdak fadeler elde edlr. (.44) k bu fadelerdek termlern üzernde yeralan çzgler Laplace dönüşümü olduklarını fade etmektedr. (.44) fadeler aşağıdak eştlğ verecek şeklde düzenlenecek olursa (.45) bçmnde elde edlen eştlk kayma uyum fonksüyonunun, relaksasyon modülü yardımıyla hesaplanablmesn sağlar. Öte yandan (.4) ve (.4) denklemlernn Laplace dönüşümler de aşağıdak fadeler vermektedr. Bu eştlkler de aşağıdak fade çerçevesnde düzenlenrse elde edlen (.46) (.47) bağıntısı yardımıyla, yığılma sürünmes uyum fonksüyonu ya da yığılma relaksasyon modülünden brnn blnmes halnde dğernn değer fadeden çekleblr, benzer şeklde (.3) ve (.4) fadelernde lgl Laplace dönüşümler yapılacak olursa (.48) bağıntısı elde edlmş olur k, bu fade yardımıyla da çekme gerlmes uyum fonksüyonu ve çekme relaksasyon modülünden brnn blnmes halnde dğer elde edleblmektedr. 46

169 ...8 Öneml Eştszlkler (.45) fadesnn ters Laplace dönüşümünden elde edlen (.49) fadesnde Lebntz kuralı uygulanırsa, u=t-θ değşken dönüşümü sonucunda fadenn zamana gore türev aşağıdak gb yazılır. Dğer yandan aşağıda yeralan k eştlk, (.5) (.5) (.5) sırasıyla (.49) dak fadelerde yerlerne konursa, aşağıda yeralan eştlkler elde edlmş olur. (.53) k bu bağlamda, J(t) nn sürekl artan ve G(t) nn de sürekl azalan zamana bağlı fonksüyonları olduğu hatırlanacak oluırsa, J (t u ) J (t) ve d G(t) / d t, aynı nedenden ötürü G (t u ) G (t), d J (t) / d t olduğundan ve bu verlern (.53) fadeleryle ortak değerlendrlmesyle aşağıdak eştszlk elde edlr. (.54) Öte yandan t= çn (.53) fadelerndek ntegraller kaybolur ve JgGg= fades elde edlr. Vskoelastk katılar çn, t ken J (t u ) J (t) ve G (t u ) G (t) de kaybolur ve J e G e = elde edlr. Vskoelastk sıvılar çnse t ken dj(t)/dt=/ ve G(t)= olur, k bu durumda (.53) dek knc fade aşağıdak haln alır. 47

170 (.55) Dğer taraftan (.47) ve (.48) fadelernn de ters Laplace dönüşümler alınacak olursa, sırasıyla aşağıda yeralan eştlkler elde edlmş olur, (.56) k bu durumda aşağıda yeralan eştszlklern de sağlanacağı aşkardır. (.57)...9 Üstüste Ekleme Prensbnn Genelleştrlmes (.58) Üst üste ekleme prensb doğrultusunda, vskoelastk sstemler çn, gernm tensörünün gerlme tensörünü çeren bağıntısı aşağıdak gb fade edleblr. (.59) k bu fadedek Σ = trace σ j dr. Dğer yandan gerlme tensörünün gernm tensörünü çeren bağıntısı se aşağıdak verldğ bçmde yazılablr. (.6) k bu fadede yeralan Δ = trace j dr ve...5. bölümlernde değnldğ üzere, zamana bağlı değşmler boyunca, θ - θ zaman aralıklarında, sabt fonksüyon özellğ gösteren gerlme ve gernmn (.59) ve (.6) fadelerndek türevl termlern, lgl zaman aralığında sorun yaratacaklarından, bahs geçen (.59) ve (.6) fadelernde kısm ntegral kullanılmıştır. Doğrusal vskoelststedek genelleştrlmş gerlme-gernm lşkler, doğrudan genelleştrlmş Hook kanunundan da elde edleblr. ( [9] sf. ) Bu 48

171 bağlamda (3.44) ve (3.8) fadelernde, gerlme analzne dar elastk cevabın blndğ durumlar karşısında, kompleks vskoelastk çözüme, elastk ncelkler yerne, s le çarpılmış Laplace dönüşümlernn konulması yoluyla ulaşılableceğn öngören prensp doğrultusunda ("correspondence prncple" [9] sf ) şlem yapılacak olursa, (3.44) fades aşağıdak eştlğ verecektr. (.6) k bu fadenn yenden dönüşümünün (.6) ı vereceğ açıktır. Benzer bçmde aynı prensbn (3.8) fadesne uygulanmasıyla aşağıdak eştlk elde edlr (.6) k bu fadenn de yenden dönüşümü (.59) u vermektedr. Dğer taraftan (.6) fadesndek j çeklp, elde edlen bu yen eştlğn sağ tarafına (.6) fades yazılırsa aşağıdak denklem elde edlmş olur. Öte yandan gözönünde bulundurulmak üzere fade etmek gerekrse (.63) olur k lgl düzenleme yapıldığında aşağıdak fade elde edlmş olur. (.64) (.65)... Vskoelastk FonksüyonlarArasındak Öneml Bağıntılar yazılablr. Çekme gerlmes altındak br sstem çn (.6) fades aşağıdak gb k bu fadeden yola çıkarak aşağıdak eştlk yazılablr. (.66) 49

172 (.67) bu fadenn ters Laplace dönüşümü sonucunda aşağıdak eştlğn elde dldğ görülecektr. (.68) Dğer br deyşle, doğrusal bölgedek vskoelastk tarhçeden bağımsız olarak, çekme uyum fonksüyonu, kayma ve yığılma uyum fonksüyonlarından elde edleblmektedr. (.48) fadesnden çekme relaksasyon modülünün Laplace dönüşümlü halnn çeklmes sonucu, fadenn sağ tarafında kalan çekme uyum fonksüyonunun Laplace dönüşümlü fades yerne, (.68) eştlğn Laplace dönüşümü yapılmış hal konulursa, fade aşağıdak haln alır. k fade, lgl düzenlemeler sonucu aşağıdak haln alır. (.69) (.7) k bu fadenn sol tarafını oluşturan relaksasyon uyum modülüne (3.55) nde correspondence prensbnn uygulanması yoluyla erşlebleceğ hatırlatılmalıdır. ([9] sf. 3). (.7) fades se gerçek zamana bağlı fadesyle aşağıdak bçmyle (.7) yazılacak olursa, bu fadedek verler ışığında çekme modülünün, kayma ve yığılma relaksasyon modüllernn her ksne de açık (eplct) br bağımllık arz etmyor olduğu görülecektr. Bu bağlamda da K(t)>>G(t) ve E(t) 3G(t)olduğu görülecektr. Öte yandan çekme gerlmes durumunda, σ, σ= σ33= ve, = 33 olduğu dkkate alınırsa, (.63) fadesnden dğer asal eksenlerdek gernmlern, çekme asal eksenne at gernmn çeren bağıntıları, aşağıda verldğ bçmdedr. 5

173 (.7) bu bağlamda Posson oranının Laplace dönüşümü yapılmış hal aşağıdak gb fade edlr. (.73) fadede comple ν (t) nn vskoelastk fonksüyonlara bağlı oluşuna rağmen, Posson oranının sınır değerler rahatlıkla elde edleblmektedr. Anlık (ntal) ve nha (fnal) değerler kuramı doğrultusunca ( [9] sf 4) eğer f (t) fonksüyonunun br lmt varsa, aşağıdak fadeler sağlanmak durumundadır. k bu bağlamda (.73) fades aşağıdak yen halyle yazılablmektedr. (.74) (.75) İlgl fadede yeralan ν g, kısa vadedek, dğer br deyşle camsı mertebedek (glasy-lke state) Posson oranını (s), ν e se uzun vadedek (s), farklı br deyşle, denge durumu Posson oranını temsl etmektedr. K e >>G e olduğundan, (.75) fadelernden kncs ν e =.5 olmasını öngörür. amsı mertebedeyse K e ve G e nspeten brbrlerne daha yakın değerlere sahp olduklarından (K e =.67G e ) (.75) fadelernden lk ν e =/3.33 olmasını öngörür, k bu bağlamda J(t), D(t) ve B(t) gb, Posson oranı da zamana bağlı olarak verlen sınır değerler çerçevesnde sürekl artan br fonksüyon arz etmektedr. 5

174 asal eksen doğrultusunda tek eksenl br çekme gerlmesne maruz kalan zotropk elastk katı çn Posson oranı, ν=/ olup, correspondence prensb gereğnceaşağıdak eştlk elde edlr. k lgl fade zaman boyutunda yazılacak olursa aşağıdak haln alır. (.76) (.77) Buradan yola çıkarak, çekme ve kayma modülü arasındak bağıntıyı, Posson oranı cnsnden yazmak stersek, E=(+ ν)g olduğunu gözönünde bulundurarak aynı correspondence doğrultusunda elde edlmş olur k bu fadenn de ters Laplace dönüşümü sonucunda (.78) (.79) bağıntısı elde edlmş olur, k bu eştlktek [ν ()] camsı Posson oranı olarak anılmakta ( [9] sf. 5 ) ve correspondence prensbnn (.79) a uygulanmasıyla, yığılma relaksasyon modülünün, en azından kuramsal olarak, ölçümler sonucu kaydedlen çekme relaksasyon modülü ve Posson oranından yola çıkarak hesaplanmasına zn veren aşağıdak fade elde edlmş olur. (.8) k bu fadey yazarken Tablo de verlen K=E/(3(- ν)) lşksnden de yararlanılmış bulunulmaktadır. İfadeden, çekme relaksasyon modülünün Laplace dönüşümü uygulanmış hal çeklecek olursa eştlk (.8) 5

175 haln alır k fade, gerçek zaman eksenne yenden aktarılmasıyla, aşağıdak bçmn almış olur. (.8)... Frekansa Bağlı, Genelleştrlmş Gerlme-Gernm İlşkler Harmonk cevap çn s=ω dönüşümü (.6) ve (.6) fadelernde uygulanacak olursa j j j j (.83) 3 * * * K G G B 9 J 6 * fadeler elde edlr k bu eştlklerden (.83) de yeralan yeralan nn açılımları aşağıda verlmştr. * j * J j (.84) ve (.84) de (.85) (.86) Bu bağlamda harmonk çekem gerlmesne tab tutulmuş br csm çn gerlme tensörü aşağıda verldğ gb yazılır. j k bu durumda lgl gernm tensörü de şu şeklde yazılmaktadır. etmek stersek (.87) j (.88) 33 Öte yandan (.87) ye at bleşenler (.83) fadesnden yola çıkarak fade 53

176 * * * K G G 3 * K G 3 * * G (.89) (.9) Buna mukabl (.87) ve (.88) n lgl bleşenler (.7) fadesnde yerlerne konduğunda (.9) elde edlmş olur k bu bağıntı kompleks çekme relaksasyon modülünün, kompleks yığılma ve kayma modülleryle olan lşksn vermektedr. Benzer br bçmde (.68) den yola çıkarak (.9) fades elde edlr k bu bağıntı da kompleks çekme uyum fonksüyonunun, kompleks yığılma ve kayma uyum fonksüyonlarıyla lşksn tanımlamaktadır. Buna ek olarak K * (ω)>>g * (ω) ve B * (ω)<<j * (ω) fadeler ışığında (.9) ve (.9) eştlklernde gerekl düzenlemeler yapılacak olursa (.93) fadeler elde edlmş olur. Kompleks vskoelastk fonksüyonlar arasındak lşkler Tablo ve Tablo de verlenlere genel anlamda benzemekte olup, en belrgn farklılıkları, fonksüyon olarak frekansa bağlı olarak yazılmış olmalıdır k bunun doğal sonucu olarak, reel bleşenlernn yanısıra majner bleşenlere de sahptrler.... Herhang Br Smetr Derecesne Sahp Vskoelastk Sstemler İçn Genelleştrlmş Gerlme-Gernm İlşkler Laplce dönüşümleryle yapılacak çözümlemeler devam ettrlerek, bölüm 3.3 de smetr derecelerne dar verlen açıklamaların ışığında, herhang br smetr derecesnden bağımsız olarak aşağıdak eştlkler yazılablr. 54

177 gerçek zaman eksenne taşındığında bu fadeler aşağıdak hallern almış olurlar. (.94) (.95) Bu fadelerden yararlanarak, bölüm 3.3 de aşama aşama sahp olacağı en yüksek smetr derecesne çıkarılmış lgl elastk csmn herhang br smetr dereces çn analtk çözümlenmesne zemn hazırlanmış olur. Bölüm.. de sunulan kuramsal altyapıya dar bazı sayısal örnek aşağıda yeralan altbaşlık kapsamında toplanmıştır.... Bölüm.. Kapsamınca Verlmş Kuramsal Altyapıya Dar Sayısal Örnekler... Örnek- Aşağıdak üç fonksyonunun doğrusal ya da doğrusal olmayan fonksyon olduklarını göstermemz gerekrse: (.96.a) çn; böylece (.96) (.97) (.98) buradan (.96.a) fadesnn doğrusal olduğu görülmektedr. (.96.b) çn; (.99) buradan (.96.b) fadesnn doğrusal olmadığı görülmektedr. (.96.c) çn; (.) 55

178 (.) (.) (.3) buradan da (.96.c) fadesnn doğrusal olduğu görülmektedr.... Örnek- Aralarında h=,5 [mm] mesafe olan paralel plaka arasında burulmaya maruz kalmış br vskoelastk malzeme [s]de alcak şeklde dönmektedr. Moment [Nm], plakaların yarıçapı [cm] olduğuna göre t=[s]dek uyumu bulmak gerekrse: Eylemszlk kuvvetler hmal edldğnde ve uzamalar sonsuz küçükse, gerlme-uzama lşks sstemn geometrk karakterndek kuvvet-yer değştrme lşks olarak açıklanablr. Küçük yer değştrmeler çn gerlme moment le lşklendrlrse: Dğer yandan gerlme-uzama lşksnden, uzama: (.4) (.5) hareketl plakanın dönme açısıdır. İntegrasyondan sonra aşağıdak denklem elde edlr: (.6) (.7) 56

179 Şekl.8,... Örnek- Böylece R.[ m], h.5[ m] ve 36, J( s) 4.4 Pa 8 olmaktadır.... Örnek-3 Andrade denklemne uyan br malzeme çn, J () t At 3, burulma açısı t t anında ken, Andrade eştlğ: t 8t anında olduğunu göstermek gerekrse: ve (.8) Bu yüzden (.9) ve böylece: (.) (.)... Örnek-4 Aşağıdak şeklde görülen kon-plaka düzeneğnde burulmaya maruz bırakılmış br vskoelastk malzeme vardır ve aynı moment altında kat daha büyük dönme açısı elde etmek çn konnn tabanında ne kadarlık br değşm yapılması gerektğne bakılırsa: 57

180 Şekl.9,... Örnek-4 Bu durumda ve gerlme-uzama lşks aşağıdak bçmn alır: Çok küçük değerler çn h r tan r, ve: (.) Yukarıdak eştlkten elde edlr. Eğer stenyorsa: (.3) (.4) (.5) Yarıçap % oranında küçültülmeldr. (.6)... Örnek-5 Sürünme uyum fonksyonu J( t) [ ep(.568 t)] MPa 9 olarak verlmş br vskoelastk malzemeden elde edlmş slndrk br kolun t=[s], 6[s], [s], 8[s] ve 36 [s]anındak burulma açısını elde etmek çn: Slndrn boyutları l=[cm] ve r=[mm]dr. Aşağıdak şekllerde verlern grafğ görülmektedr. (.7) 58

181 Şekl..a,... Örnek-5 çn; (.8) Burulma açısı se sırasıyla farklı zamanlarda farklı değerler alır: (.9) 59

182 (.)... Örnek-6 [cm] boyunda ve [mm] yarıçapında br slndrk kol düşünülürse ve bu kolun kayma modülü: (.) 6

183 (.96.a)t=[s], [mn], [s], 3[mn] ve [h] anındak gerlmeler bulmak gerekrse: bu örnekte radyan olarak burulma açısını göstermektedr. (.) Şekl. b,... Örnek-6 çn (.3) (.4) 6

184 Sırasıyla: (.5) Gerlmedek bu artış hafıza etksnn daha öncek uzamalardan kaynaklandığını gösterr. Gerlmenn sıfır olduğu zaman se: (.5) yaklaşık olarak t=.6[s]. Bu zamanda poztf gerlme adımı negatf olan adımla dengelenmş ve gerlme sıfır olmuştur.... Örnek-7 olduğunu göstermek gerekrse: (.6) 6

185 Üsttek eştlğn sağ tarafı aşağıdak gb yazılablr: (.7) Eştlk aşağıdak formu alır: (.8) (.9) Üsttek eştlkte dg( t ) dt dg( t ) d ve Gg G() olduğu göz önünde bulundurulmuştur. edlr: ut değşken dönüşümü yapılarak aşağıdak eştlk elde (.3)... Örnek-8 Aşağıdak eştlğ şartları (.3) bçmnde tanımlanmış br vskoelastk malzeme çn elde etmek stersek: Bçm değştrmey zamana bağlı olarak veren eştlk: (.3) Gerlmey uzamanın br fonksyonu olarak yazmak stersek yukarıdak eştlk aşağıdak bçm alır: 63

186 (.33) Böylece: (.34) elde edlr.... Örnek-9 Vskoelastk malzeme çn, Ht () olduğunda, Ht () brm basamak fonksyonu olmak üzere, bu malzemenn aşağıdak eştlğ doğruladığını göstermek gerekrse: Aşağıdak eştlkte: (.35) Ht () olduğundan stenen eştlk sağlanmış olur. (.36).. Dnamk Vskoelastste Kuramsal Altyapı genlk ve açısal hız [rad/s] olmak üzere t) sn t ( şeklnde br snüzodal yer değştrme tahrknn, vskoelastk br katıya, kayma gerlmes cevabı oluşturacak bçmde uygulandığını düşünürsek, lerde ayrıntılarıyla değnleceğ üzere, csmn kaydettğ yer değştrmeyle, okunan kuvvet arasındak kayı açı (faz açısı değl) δ nın da eştlğe grmesyle, gerlme cevabı aşağıdak haln alır. (.37) Bölüm 6.. de ayrıntılarıyla değnleceğ üzere, lgl yer değştrme tahrk ve okunan gerlme cevabı arasındak lşk, aşağıdak grafkte verldğ gb olur. 64

187 Şekl. Snüzodal yer değştrme tahrk ve hasıl δ kayıp açısına haz okunan gerlme cevabı t u ve G( t) Ge Gd ( t) değşken dönüşümü yapılıp, u ya göre sıfırdan sonsuza kadar ntegre edldğnde (zaman sonsuza ıraksarken gerlme cevabındak değşm görmek adına) eştlk aşağıdak gb elde edlr. Buradak dkkat edlmes gereken unsur, bu bölümde yer alan tüm θ ların, br öncek bölüm olan.. de de değnldğ üzere, zamanı fade ettğdr, k bu θ, Dnamk Laboratuvar Denek Testler ve Kuramsal Altyapısı başlıklı bölüm 6. de faz açısı olarak geçecek θ yla karıştırılmamalıdır. Bu bölümde faz açısı φ le gösterlecek ve bölüm 6. de, tekrar θ yla fade edlmeye başlandığına dar ek br uyarıda bulunulmayacaktır. (. 38) fadeden G ( ) çn G( t) Ge Gd ( t) majner bleşen G ( ) ve G ( ) eştlğnde t yapılırsa, reel ve (. 39.a) 65

188 (.39.b) Yukarıdak k fade, gerlm veren eştlk (.) da yerlerne konulursa G ve G, kompleks relaksasyon modülü * G Aşağıda yeralan şekl.. de, kompleks relaksasyon modülü uyum fonksüyonu J (.4) nn bleşenlerdr. * G ve bleşenler vektörel göstermleryle verlmştr.,kompleks Şekl. kompleks relaksasyon modülü * G,kompleks uyum fonksüyonu bleşenlernn vektörel göstermler. Yatay eksen gernm, düşey eksen gerlme J ve Kompleks fade edlş bçm kullanıldığında, snüzodal yer değştrme tahrk ve okunan gerlme cevabı sırasıyla * t Ime ve 66

189 * t Im e bçmnde yazılır. Bu doğrultuda kayma gerlmes ve brm yer değştrme arasındak lşk aşağıdak haln alır. (. 4)... Relaksasyon Fonksüyonunun Frekans Boyutundan Zaman Boyutuna Çevrlmes (.39.a) ve (.39.b) fadeler, G ve G nn, relaksasyon modülüne at snüs ve kosnüs Fourer dönüşümler olduklarını fade eder. İlntl eştlkler yazmak gerekrse (. 4) Yukarıdak fadelerde yeralan Fs ve Fc, snüs ve kosnüs Fourer dönüşümler sembollerdr. Relaksasyon modülü Gt 4) nn ters Fourer dönüşümünden de elde edleblr.,aşağıda verldğ üzere, eştlk (. (. 43)... Komple Vskoelastste Vskoelaststenn verlmş bulunan tanımıyla uyumlu olarak, kompleks kayma gerlmes, komple kayma brm yerdeğştrmes ve kompleks vskozte * (ω) le aşağıdak gb lşklendrleblmektedr. (.44) 67

190 İfadeden kompleks vskozte * (ω) çeklp, bulundurulursa * * * G olduğu gözönünde (.45) Bu bağlamda kompleks vskozte * (ω) nn reel ve majner bleşenlern ayrı ayrı yazmak gerekrse sırasıyla (. 46) (.47) (. 46) fades, sıvıların vskoztesnn, dnamk testlern sonuçlarından, sıfır kayma oranında, aşağıdak fade yardımıyla hesaplanableceğn öngörür....3 Dnamk Relaksasyon Testlernde Dspasyon Enerjs * t Im e (. 48) gb snüzodal br yer değştrme tahrkne maruz kalan br csmn çevrm başına yaptığı ş aşağıda verlen fadeyle hesaplanır. k bu fadedek parantezlern açılımıyla ortaya çıkacak çarpan olduğu gözönünde bulundurulmalıdır. İfadedek Şekl * ın (.49) * d * (.5) dt G l ntegral çn, G. dek brm yer değştrme boyunca, sıfır gerlmede seyr ettğ n 68

191 hatırlanacak olursa, çevrmn yükleme ve boşaltma eğrlernne at G bleşenlernn çakışık ve zıt yönlü k vektör oldukları anlaşılacak, bu k çakışık vektörün seyr boyunca sıfır gerlmede kalmasının doğruduğu doğal br sonuç olarak, G l ntegraln değernn sıfır olduğu netlk kazanacaktır. Dolayısıyla, brktrlen enrj mktarıyla lşkl olduğundan, relaksasyon modülü dye anılacaktır. G G brkme (storage) se kayıp relaksasyon modülü dye anılır ve böylelkle, aşağıda fade edldğ üzere, tüm br çevrmde yapılan toplam ş, dspasyon enerjsn temsl eder. k bu fadede * d dt dt d * olduğu hatırlatılmalıdır. (.5)...4 Dnamk Sürünme Uyum Fonksüyonu sn t gb snüzodal br kayma gerlmesne maruz kalan br csmn, yer değştrme cevabını veren fadede, aşağıda verldğ üzere, φ kadar br geckme hasıl olur. (faz açısı) t t Im e nın sn t t t Ime sürünme uyum fonksüyonu denr ve aşağıdak gb fade edlr. J (.5) a olan oranına kompleks * J J e cos sn Buradan yola çıkarak aşağıdak eştlkler elde edlr. J cos J sn (.5) J tan (.53) J Kompleks dnamk sürünme uyum fonksüyonunun vektörel bleşenlernn grafk gösterm daha önce verlmş bulunan Şekl. üzernde nceleneblr. 69

192 Verlmş bulunan fadeler arasında lgl karşılaştırmalar yapıldığında aşağıdak k eştlğn yazılableceğ aşkardır. (.54) Bu doğrultuda dnamk sürünme fonksüyonun reel ve majner bleşenler, dnamk relaksasyon fonksüyonunun lgl reel ve majner bleşenler cnsnden aşağıda verldğ gb fade edleblr. çn J J (. 55) G tan Bu son k fadeden J G G J çok küçük olduğu yüksek frekanslarda, cotan, çn J G ve (.56) J haln alır. Br başka deyşle, dspasyon enerjsnn J, G de n resprokal olmaya yaklaşır (yukarıdak (. 55) eştlğnde, ω ken tan δ (ω) olduğundan), düşük frekanslarda se (.56) eştlğnde, ωπ/ ken cotan δ (ω) olduğundan, J, / G aşağıdak eştszlkler geçerldr. ya yaklaşır. < ω < aralığındaysa genel olarak (.57)...5 Vskoelastk Katılar İçn Uyum Fonksüyonunun Frekans Boyutundan Zaman Boyutuna Çevrlmes Boltzman üst üste ekleme (süperpozüsyon) prensb doğrultusunda, vskoelastk malzemenn, harmonk br kayma gerlmes altında sergledğ kayma bçm değştrmes aşağıdak gb fade edleblmektedr. 7

193 (.58) k bu fadedek J t J g J d ψ( t), Je J g J d ψ( ), (bkz. Bölüm.. dek lgl fadeler) Bu bağlamda yukarıdak eştlk (.59) haln alır ve u t değşken dönüşümü yapılırsa (.6) (.6) eştlkler aşağıdak gb fade edleblr. (.6) (.63) fadeler, Bölüm... dek gb snüs ve kosnüs Fourer dönüşümler cnsnden yazılmak stenrse (.64) 7

194 (.64) fadesnn ters fourer dönüşümü, sürünme uyum fonksüyonunun frekans boyutundan zaman boyutuna çevrlmş fadesn, aşağıda görüldüğü gb, elde etmemz sağlar. (.65) (.66)...6 Dnamk Sürünme Testlernde Dspasyon Fonksüyonu sn t gb snüzodal br kayma gerlmesne maruz kalan vskoelastk br csmde çevrm başına yapılan ş aşağıdak gb fade edlr. (.59) eştlğ gözönünde bulundurulursa fade aşağıdak haln alır. (.67) İfadedek J l ntegral çn, J (.68) n Şekl. dek brm yer değştrme boyunca, sıfır gerlmede seyr ettğ hatırlanacak olursa, çevrmn yükleme ve boşaltma eğrlernne at J bleşenlernn çakışık ve zıt yönlü k vektör oldukları anlaşılacak, bu k çakışık vektörün seyr boyunca sıfır gerlmede kalmasının doğruduğu doğal br sonuç olarak, J olduğu netlk kazanacaktır. Bu bağlamda yukarıdak fade l ntegraln değernn sıfır W çevrm J (.69) bçmnde yazılablr, k eştlğn bu son hal ncelenecek olursa, dspasyon enerjsnn, tahrk kayma gerlmesnn genlğnn kares ve kayıp kayma uyum fonksüyonuyla doğru orantılı olduğu görülür. 7

195 ...7 Kompleks Sürünme Uyum Fonksüyonunun Düşük Frekanslardak Çözümlemes (.6) ve (.63) fadeler doğrultusunda, katı csmler çn ω ken, sürünme uyum fonksüyonunun reel ve majner bleşenler sırasıyla aşağıdak gb fade edleblr. (.7) ω ken J J e t sn t ve ve cos t (.7) olduğundan yukarıdak k fade J haln alır. Düşük frekanslarda, katı csmler çn aşağıdak k fade geçrllğn korumaya devam eder. Bu k fadenn lkn (.7) J J e bçmnde düzenlersek, sürünme fonksüyonunun reel bleşennn frekansın kares kadar br farkla azaldığı, buna karşın knc fadedek kayıp sürünme fonksüyonunun frekansla doğru orantılı arttığı görülür....8 Kompleks Relaksasyon Modülünün Düşük Frekanslardak Çözümlemes (.43) fadesndek snüslü term ntegralden cosnüs olarak çıkacağı ve ω ken cos(ω) olduğundan (.43) fades doğrultusunda G ve (b) fadesndek cosnüslü term ntegralden snüs olarak çıkacağı ve ω ken sn(ω) olduğundan (b) fades doğrultusunda edlr. Ge olur G bçmnde elde...9 Sıfır Kayma Yer Değştrmes Durumundak Vskozte ve Durağan Konumdak Sürünme Uyum Fonksüyonunun Vskoelastk Fonksüyon Termler nsnden İfade Edlmes ω ken (b) fadesnn lmt alınacak olursa 73

196 lm G lm Gt cos t dt Gt dt (.73) eştlğ ede edlr ve berabernde (. 48) fadesnn gözönünde bulundurulursa, sıfır kayma yer değştrmes durumundak vskozteyle kayma relaksasyon modülü arasındak bağıntı aşağıdak gb elde edlr. (.74) Dğer br öneml bağıntı da durağan konumdak sürünme uyum fonksüyonundan elde edlr. J * olduğundan, kompleks relaksasyon * G modülünün reel ve majner bleşenler, kompleks sürünme uyum fonksüyonunklerle aşağıda verlen lşkye haz olur. (.75) Düşük frekanslar çn kompleks relaksasyon modülünün reel bleşen aşağıdak gb fade edleblr. k bu fadede 6.9b) Bu doğrultuda ken J Je olduğundan (.76) olduğu öngörülmüştür. ([9]sf. 48 eştlk (.77) fades elde edlr. Bu fade denge konumundak sürünme fonksüyonunun relaksasyon modülü bleşenler cnsnden fade edlşdr. Bu fade, vskoelastk 74

197 sıvıların düşük frekanslardak relaksasyon modülüne at reel bleşen çn, ω ken lmt alınmış hal olan lm G lm Gt sn t dt tgt dt (.78) fadesyle brarada değerlendrldğnde (.77) eştlğ aşağıdak haln alır. (.79)... Kröng-Kramers Bağıntıları Doğrusal vskoelastste kuramı, kompleks relaksasyon modülü bleşenlernn brnn dğer cnsnden fade edlebleceğn, dğer br deyşle brnn deneysel verlerden yola çıkarak hesaplanmasının ardından, dğerne Kröng-Kramers bağıntıları yardımıyla ulaşılableceğn öngörür. Bu bağlamda (.43) ve (.39.a) fadeler brarada değerlendrldğnde aşağıda yeralan eştlk yazılablr. yanısıra (.8) olduğu dkkate alınırsa (.8) fades aşağıdak haln alır. (.8) (.8) Bu fadedek kosnüslü termlern ntegrallernn sıfır olacağı gözönünde ken G G fadesnn bulundurulmalıdır. İfadedek relaksasyon, e lmtnn alınmasıyla, aşağıda verldğ üzere, hesaplanablr. 75

198 (.83) Bu fadesnden çıkacak Ge değer (.8) fadesnde yerne konulduğunda ([9] sf54 eştlk 6.57 ve 6.58) aşağıdak fade ortaya çıkar. G ve G arasındak dğer br bağıntı olan Aynı şeklde (.39.a) eştlğnden çeklen konulduğunda aşağıdak bağıntı elde edlr. G t Ge (.84) (.b) fadesnde yerne Aynı şlemler G çn tekrarlanırsa aşağıdak eştlk elde edlmş olur. (.85) (.86) (.8) ve (.85) fadeler, taranan tüm frekans aralıklarındak kayıp relaksasyon modülü blndğnde, brkme relaksayon modülünün hesaplanmasında kullanılır.... Yığılma Sürünme Uyum Fonksüyonunun Elde Edlmes Neredeyse sıkıştırılamaz kabul edlen kauçuk, hamur reçetes ve pşme parametreler ölçüsünde oranı değşmekle beraber, br mktar sıkıştırılablmektedr. Bölüm 5 te ayrıntılarıyla açıklanıp, deneysel verlerden yola çıkılarak (.87) fades doğrultusunda hesaplanacak olan yığılma modülü (p uygulanan en yüksek basma gerlmes V başlangıç hacm ve ΔV hacm değşm, K yığılma modülü) le lşkl olarak, her yönden aynı basıncın (hdrostatk basınç) basamak fonksüyonu olarak uygulandığı vskoelastk csmn yığılma modülünün zamana bağlı değşmn veren fonksüyon olan yığılma sürünme uyum fonksüyonu B(t) nn yanısıra, aynı 76

199 hacmsel sıkıştırma, snüzodal olarak uygulanırsa, yığılma cevabını veren fonksüyon B * (ω) komple yığılma uyum fonksüyonu olarak anılır ve aşağıdak gb fade edlr. k fadede yeralan B ve B (.88), sırasıyla yığılma btkme ve yığılma kayıp uyum fonksüyonları olarak anılırlar. Aralarındak faz açısı se (uygulanan tahrk gerlme olduğu ve alınan cevap olan yığılma modülü, hacm değşmnden, hacm değşmyse, test maknesne at pstonun kaydettğ okunan yer değştrmeden çıkartıldığından, okunan cevap olan kompleks yığılma sürünme fonksüyonundak reel ve majner bleşenler arasındak açı farkı da φ (faz açısı olduğu çn) le gösterlecektr. Dkkat edlecek olursa, tezn tamamı çerçevesnde, tahrk kuvvet le karşılığnda okunan yer değştrme arasındak açı farkının hep faz açısı, okunan yer değştrmeyle, kauçuğun sönümlemesnn arta kalan (okunan) kuvvetle arasındak açı farkınınsa hep kayıp açı olarak adlandırıldığı görülecektr. tan B B B (.89) Bu bağlamda Posson oranının da, yığılma sürünmes uyum, çekme sürünme suyum ve kayma sürünmes uyum fonksüyonları gb, zamana bağlı olarak azalan vmeyle artan br fonksüyon olduğu ( relaksasyon fonksüyonununsa azalan vmeyle azalan br fonksüyon olduğu) gözönünde bulundurulur ve olablcek en yüksek değerne (relaksasyon çn en düşük değerne) sonsuz zaman sonra ulaşacağı dkkate alınırsa, frekansa bağlı değşmn gösteren fadesyle Posson oranı aşağıdak gb verlr. (tahrk, yer değştrme, cevap se okunan gerlme yoluyla elde edlmş olan Posson oranı değşm olduğu çn açı farkı kayıp açı ve fade edldğ sembol δ) (.9) k bu durumda da kayıp açının tanjantı da şu şeklde fade bulur tan (.9) Aynı şeklde snüzodal tahrk karşısındak hacm değşm cevabı kompleks yığılma relaksasyon modülü K * (ω)olarak fade bulur (tahrk gerlme, cevap relaksasyon yan 77

200 yer değştrme yoluyla elde edlen br fade olduğundan, açı farkı burada kayıp açı olarak fade edlp δ le fade edlmştr.) Aynı şeklde lgl kayıp açının tanjantı aşağıdak gb fade edlr. (.9) (.93) Son olarak, kompleks çekme sürünmes uyum fonksüyonu D * (ω), tek eksenl snüzodal çekme yer değştrmes karşısında okunan gerlme cevabından yola çıkarak açı farkı δ le gösterlecek, nha çekme relaksasyon modülü E * (ω) se tek eksenl snüzodal çekme gerlmes karşısında okunan yer değştrme cevabından yola çıkarak hesaplandığından açı farkı φ le gösterlecek, lgl eştlkler sırasıyla (.94) ( ) E E E e E * ~ E (.95) ve lgl kayıp açı ve faz açısı tanjantı sırasıyla aşağıda verldğ gb fade edlr. tan D D D ve tan E E E (.96) İlgl kayıp açı ve faz açıları arasında aşağıda verlmş bağıntıların bulunduğu gözönünde bulundurulmalıdır. tan ve D t tan E K B (.97). Malzemeye At Relaksasyon Rejmnn MAR Malzeme Modelne Aktarılması Bu konu kapsamında verlen şekllerdek grafklerden yorumlanableceğ üzere vskoelastk br malzemenn relaksasyon davranışı da, yukarıda verlen kauçuğun sürünme davranışının br nev ayna görüntüsü olacaktır k bu aşağıda tarflenen süreç çn MAR tan alınmış kıyaslamalı eğrlerden de takb edleblr. 78

201 Tek eksenl gerlme denekler sabt yer değştrmeye 8s boyunce tabî tutulup, kuvvet cevabındak düşüş rejm MAR a grlmş, MAR ın çakıştırdığı Prony sers (Şekl.3) seçlen malzeme modelne zamana bağımlı relaksasyon davranışı olarak eklenmştr. Şekl.3. Relaksasyon Deneyel Versne Çakıştırılan MAR Eğrs. Seçlen Malzeme Modelne Süreksz Hasar Özellğnn Eklenmes Bu özellk kauçuğun gernm eş artımlı ardışık çevrmlerde, br sonrak gernmn yükleme eğrler nspeten çakışıkken, boşaltma eğrlernn, büyük gernml olan küçük gernmlnn altından geçecek şeklde br davranış serglemesdr.(şekl.) Bu özellğn MAR a grlmes, deneysel verlern (Şekl.) Şekl.3 (a) dak formülasyonla br grafk halne getrmes ve MAR ın buna.3 (b) dek gb br eğr çakıştırmasıyla gerçekleşr, k bu özellğn hedef, brbrn zleyen değşken genlkl ömür test hstersslernde, hsterssn çnde kalan alanın ısıya dönüşen enerj olduğu çn, ve kauçuğun rjtlk kaybı ve kırılma mekanğ de 79

202 soğurup kend çnde ısıya dönüştürdüğü enerjden etklendğnden, malzeme modelne uygun br thermoreolojk cevap özellğ kazandırmak çn kullanılır. Şekl. Süreksz Hasar Davranışı (Kırmızı MAR ın bu özellğ devre dışıyken, syah da devredeyken alınan çözümleme sonuçları) 8 6 Mühendslk Gerlmes [MPa] Mühendslk Gernm [%]. %_ÇEKME %_BOSALTMA %_ÇEKME %_BOSALTMA %3_ÇEKME %3_BOSALTMA %4_ÇEKME %4_BOSALTMA %5_ÇEKME %5_BOSALTMA %6_ÇEKME %6_BOSALTMA %7_ÇEKME %7_BOSALTMA %8_ÇEKME %8_BOSALTMA %9_ÇEKME %9_BOSALTMA %_ÇEKME %_BOSALTMA Şekl. Şekl.3 (a) dak formülasyona grmek üzere eş artımlı gernme at deneysel sonuçlar (Şekl. de yeralan deal çözümleme sonuçlarındak yükleme eğrlernn eşartımlı ardışık genlkler çn çakışık olma durumuve bu şeklde egörüldüğü üzere, gerçekte, br genlktek hsterssten dğerne geçerken harcanan zamanda kauçuğun relakse olması kaynaklı, kaçınılmaz gerlm cevabı kayıplarının artan genlklerdek ardışık çevrmlernn yükleme eğrlern de brbrnden ayrık kılması) 8

203 Şekl.3. (a) İlgl formülasyonun garfk gösterm destekl fades 8

204 Şekl.3.(b) İlgl Formülasyon doğrultusunda oluşturulmuş eğr ve buan çakıştırılan MAR eğrs Seçlen Malzemeye Süreğen Hasar Özellğnn Kazandırılması Sabt gernmn tekrarlanan çevrmlernde, çevrm başına okunan en yüksek gerlme değernn gt gde düşüş göstermes anlamına gelen bu süreğen hasar özellğ malzeme modelne, ömür testlen smule etmek amacıyla, şekl. ve. de açıklandığı gb kazandırılır. 8

205 Mühendslk Gerlmes [MPa] Mühendslk Gernm Şekl. İlk çevrme at yükleme eğrler.kırmızı MAR ın bu özellğ devre dışıyken, syah da devredeykenk çözümleme sonuçları ÇEVRİM YUKLEME.ÇEVRİM YUKLEME 3.ÇEVRİM YUKLEME 4.ÇEVRİM YUKLEME ÇEVRİM YUKLEME 6.ÇEVRİM YUKLEME 7.ÇEVRİM YUKLEME 8.ÇEVRİM YUKLEME 9.ÇEVRİM YUKLEME ÇEVRİM YUKLEME.ÇEVRİM YUKLEME.ÇEVRİM YUKLEME 3.ÇEVRİM YUKLEME 4.ÇEVRİM YUKLEME ÇEVRİM YUKLEME 6.ÇEVRİM YUKLEME 7.ÇEVRİM YUKLEME 8.ÇEVRİM YUKLEME 9.ÇEVRİM YUKLEME 59.5.ÇEVRİM YUKLEME Şekl.3 Mühendslk Gernm / Mühendslk Gerlmes_ çevrme at deneysel sonuçların yükleme eğrler-detay görünüm 83

206 çevrme at deneysel sonuçların yükleme eğrlernde formülasyon çn gereken maksmum değerlern çevrm sayısına bağlı değşmn şmdden gözlemleyeblmek adına büyütülmüştür. Bu maksmum değerlern çevrm sayısına bağlı grafğ, MAR programına bu özellğ kazandırmak çn grlecek grafk olup aşağıdak şeklde yeraldığı gbdr..635 Okunan Ma M. Gerlmes [MPa] Çevrm Sayısı Şekl.4Çevrm Sayısı-Ma Gerlme Değer Eğrs grafğ MAR ın bu grafğe hang yakınsaklıkla br eğr çakıştırabldğ kıyaslamalı olarak aşağıdak şeklde verlmştr. 84

207 Şekl.5a Şekl.4 dek grafğe MAR ın çakıştırdığı eğr. Br sonrak kısm geçmeden önce, malzemeye dar değnlen bu süreğen hasar (contnous damage) [] ve süreksz hasar (dscontnous damage) [] verlernn her ksnn de MAR a aynı malzeme model çn de grlmes konusunda br uyarı yapmakta fayda görülmektedr. Bu özellklern her br çn MAR, 5 farklı katsayı atamakta ve bu katsayıalr yardımıyla br yukarıdak resmde çakıştırdığı eğrnn matematksel fadesne katmaktadır. Bu katsayıalrdan lk 4 ü süreğen ve süreksz hasar vers çn brbrlernden bağımsız olup, son 5. se her k özellk çn ortak olmak zorundadır ve her k özellk aynı malzeme model çn, ks de aynı anda geçerl olmak üzere MAR a grldğnde bu skaler faktör (scalar faktor) dye anılan bu 5. katsayı k özellk çn türetlen k farklı denklem brbrne bağlı (coupled) kılar. Mamafh buradak çelşk, tek tek grldğnde brbrnden oldukça farklı değerler olarak atanan bu skaler faktörler (tek başına süreksz hasar çn.5 ve tek başına süreğen hasar çn.9) her k hasar versnn aynı anda grlmesyle k denklem bağlı hale getren bu 5. katsayının atanması, tamamen hasar verlernn grş sırasına bağlı olup, sonra grlenn tek başına grldğzamank bağımsız 85

208 değern, denklemler brbrne bağlayan ortak katsayı olarak çözüme sokmaktadır k, bu durumdak tesadüflğn ncelenme adına, hem her k hasar versnn tek başlarına grlmesyle ayrı ayrı atanmış skaler faktörün değer, hem de ksnn ortalaması, k hasar versnn br arada grlmesyle ortak hale gelen 5. katsayı çn dışarıdan harc olarak yazılacak ve bu üç durum çn çözümleme sonuçlarının deneysel sonuçlarla çakışma performansı mercek altına alınacaktır.(bkz bölüm 4) Ne demek stendğnn daha rahat anlaşılablmes çn, MAR ın lgl sayfalarından alınmış prnt-screen görünümlern brarada sunulduğu aşağıdak şekl.5.b y ncelemek faydalı olacaktır. 3. Seçlen Malzeme Modelyle 3 Gerlme Durumuna At Testlern Sonlu Elemanlar Analz. 86

209 3.. Üç Gerlme Durumunun Tek Elemanlı Modellerle Temsl -ve Test le Çözümleme Sonuçlarının Kıyası 3.. Tek Elemanlı Tek Eksenl Çekme Bu analzn modellenmesnde ayrıtları mm olan br küp oluşturulup, nodların dzlm, meş boyutu ve meşlern brbryle olan lşksnden bağımsız kılmak amacıyla, 8 nodlu Hermann yapısındak tek br elaman oluşturulmuş ve kübün zorlanma önes ve sonrasındak kest alanlarındak fark gözardı edlerek, genlk en yüksek değerndeyken okunan kuvvet, halen =mm kaldığı kest alanına bölünerek, doğrudan test chazının yük hücresnden okunup deney sonucu olarak elde edlen mühendslk gerlmesyle kıyaslanmıştır. Küp üst ve alt yüzeylernden %4 lık br gernme çeklmş ve bu yer değştrme, gerçekleştrlen deneyde olduğu gb mm/dk hızla smule ettrlmştr, dolayısla gernm zamanı eşt kılındığı çn gerçek denekten alınarak elde edlen relaksasyon özellğ de, uzun sürel br test olmamamasına karşın, bu durumdada ödün vermekszn temsl edlmş olur. Şekl 3. Tek elemanlı tek eksenl çekme analz sonucu,model üzernde gösterm 87

210 _ O G D _ M A L Z E.7 Mühendslk Gerlm [MPa] Mühendslk Gernm DENEYSEL VERİ OLUŞTURULAN ME_MODELİ SONLU ELEMANLAR ÇÖZÜMLEME SONUU Şekl 3. Tek elemanlı tek eksenl çekme analz sonucu, grafk gösterm 3.. Tek Elemanlı İk Eksenl Çekme İk eksenl çekme durumunu temslen, mm boyutlarındak br küp, brbrlerne komşu k yanal yüzeylernden sürtünmesz olarak sabtlenmş, yne Hermann elemanı oluşturulmuş ve sabtlenme dışı kalan k yanal yüzeynden eş genlktek yerdeğştrmelere maruz bırakılmıştır. EN yüksek genlğe tekabül eden kuvvet cevabı, her br rjt plakada F se, her k eksende karşılıklı olarak F er Newtonluk kuvvet, yan yük hücresnde (bkz deney düzeneğ) toplam 4F lk kuvvet okunacaktır. Grafkte yeralan deneysel sonçla kıyaslama önces, MAR ta plaka başına okunan kuvvet dörtle çarpılmıştır; ancak gerlmenn eldes çn kuvvetn uygulandığı yne toplam 4 yüzey olduğundan değşen br şey olmamaktadır. 88

211 _ O G D _ M A L Z E Şekl 3.3 Tek elemanlı k eksenl çekme analz sonucu, model üzernde gösterm.4 Mühendslk Gerlm [MPa] Mühendslk Gernm DENEYSEL VERİ OLUŞTURULAN ME_MODELİ SONLU ELEMANLAR ÇÖZÜMLEME SONUU Şekl 3.4 Tek elemanlı k eksenl çekme analz sonucu, grafk gösterm 89

212 _ O G D _ M A L Z E 3..3 Tek Elemanlı Düzlem Kayması Düzlem kayması gerlmelern temslen, cdenek boyutlarından ötürü, csmn hmal edlecek kadar az bçm değştren asal eksen aşağıda görüldüğü üzere sürtünmesz sabtlendğ karşılıklı k yüzeyn sağladığı kısıtlamayla smule ettrlmş, çözümleme sonucu gerdrme uygulayan rjt plakadak kuvvet deney sonucuyla kıyaslamalı olarak verlmştr. Şekl 3.5 Tek elemanlı düzlem kayma analz sonucu, model üzernde gösterm. Mühendslk Gerlm [MPa] Mühendslk Gernm DENEYSEL VERİ OLUŞTURULAN ME_MODELİ SONLU ELEMANLAR ÇÖZÜMLEME SONUU Şekl 3.6 Tek elemanlı düzlem kayma analz sonucu, grafk gösterm 9

213 4. Basma ve Çekme Gerlmelerndek Farklılığın Tahkk ve Sürtünmesz Dsk Basma Test Mukavemettek Bauschnger etksne kısmen benzer br bçmde (br csmn eşgenlkl yük ya da yer değştrme zorlanmalarına, basma ve çekme tahrklerne farklı cevaplar vermes) kauçukta az da olsa farkedlmektedr, ancak km bakış açısına göre zaten az olan bu farklılığın br mktarının da kauçuğun vskoelastk yapısı gereğ önce çekldğnde br mktar ş pekleşmesne uğraması (work hardenng) ve bunu takp eden basmada, çekmedekne özdeş mekank cevabı verememes, ya da önce basılması ve yne aynı ş pekleşmes sebebyle, takp eden çekmede aynı cevabı verememes olarak da yorumlanmaktadır. Her halukarda, şmdye kadar, laboratuvar plaka test deneklernn nce et kalınlıklarından ötürü, sadece çekme testler sonucunda elde edlmş deney verler üzerne kurulmuş br malzeme modelnn, sadece basmada ve yüzey sürtünmelernden muhaf tek eksenl br basma zorlanmasında deneysel sonuçlarını nasıl temsl edeceğnn tahkk çn aşağıda yeralan sürtünmesz kauçuk dsk basma testn tanıtmakta fayda vardır. 4. Sürtünmesz Dsk Basma Test Aşağıdak şeklde fotoğrafı verlen test düzeneğnde, sürtünme katsayısının çok düşük olmasıyla blnen k teflon plakara at, hem ağırlı teşkl etmeyecek hem de yük altında deforme olmayacak optmum kalınlıkta mal edlmş, kauçuğa temas edecek yüzeylern yüzey kaltes ek sürtünmelere mahal vermeyecek düzeyde ve laveten kaydırıcı nce br yağ kullanılmıştır. Her k kare kestl plakanında kauçuğa temas edecek yüzeylernn en ve boyca merkezne, başı dışarıda.5 mm kalacak şeklde ğne çakılmış ve k plaka arasına sıkıştırılan dskn sürtünmes en aza ndrlmş ve kayganlaştırıcı yağ mevcudyetndek ortamda, basma zorlanması altında kaymaması sağlanmıştır. 9

214 Şekl 4. Sürtünmesz dsk basma deney düzeneğ, ortasına ğne çakılmış alt ve üst teflon plakalar Blndğ gb basılan dske temas yüzeylernce ne denl sürtünme kuvvet uygulandığı, gernm esnasında dskn slndrk yüzeynn ne denle slndr eksenne paralel kaldığı ya da fıçılaşmaya uğradığıyla tahkk edleblr, bunu açıklamak çn aşağıdak resmden faydalanılablr. Şekl 4. Hasas yüzey kaltesyle şlendğ yüzeynn parlaklığından da bell olan alt ve üst basma plakaları, sol üstte sürtünmesz sıkıştırılmış ve sol altta basma yüzeylernde sürtünmeye maruz kalarak sıkıştırılmış kauçuk dsk. [] Bu bağlamda bzm gerçekleştrdğmz testte te eşadımlı artan ardışık gernmlerle basılan dskn, sıfır yük ve yer değştrme konumuyla, çalışılmış ma gernmdek testn en yüksek basma yer değştrmesndek konumu aşağıdak şeklde yan yana kıyaslamalı olarak verlmştr, en yüksek basma yerdeğştrmes halnde dah yanal yüzeylern konumu yukarıdak şeklde sürtünmesz sıkıştırılmış dsknkne yakındır k bu durumda MAR ta yapılacak çözümlemede sürtünme katsayısının oldukça küçük br değer olarak grlmes rahatlıkla karara bağlanablr. 9

215 Şekl 4.3 Serbest ve ma gernm konumlarındak kauçuk dsk, en aza ndrlmş sürtünmelern sonucu baskı altındak dskn yanal duvarlarındak korunmuş slndrklk. 4.. Sürtünmesz Dsk Basma Test Marc Analz Plaka testlernn üç temel gerlme durumu çn yalnızca çekme testleryle elde edlmş deneysel sonuçların MAR a aktarılmasıyla oluşturulmuş malzeme modelnn, lk kez br basma smulasyon sonucuyla sınanacağı tek eksenl sürtünmesz dsk basma test %, %, %3, %4 lık basma gernmler çn (%4 tan sonrak gernmlerde yanal slndrk yüzeyde fıçılanma gözlemlendğ çn gernmdek artış %4 da bırakılmıştır.) aşağıdak gb modellenp analz edlmş ve sonuçları her gernm oranı çn ayrı ayrı yorumlanmıştır. Bu arada. bölümün sonunda değnlen ve süreğen ve süreksz hasar verlernn aynı malzeme modelne brarada tanıtılmasında karşımıza çıkan 5. ve ortak katsayı skaler faktörün atanmasındak tesadüflk ve bunun hasar versnn malzeme modelne tanıtılış sırasına bağlı oluşu karşısında, tek başına süreğen hasar vers grldğnde atanan skaler faktör,, tek başına süreksz hasar hasar vers grldğnde atanan skaler faktör, ve ksnn artmetk ortalamasının ayrı ayrı grlmes sonucunda çözümleme sonucunun deneysel verlerle ne ölçüde çakıştığının ncelenmes de bu dsk basma testler sonuçları kısmaında ele alınacaktır. 93

216 Şekl 4.4 Dskn modellenmes ve analz şartlarının grlmes Analz sonuçları her gernm çn aşağıda ayrı ayrı raporlanmıştır, en kapsamlı malzeme modelyle, sürtünme katsayısının kombnasyonlarının en kapsamlı değerlendrlmes %3 luk gernm çn gerçekleştrlmş ve bu doğrultuda alınan ehven sonuçlara at bell başlı malzeme kombnasyonları dğer gernm oranları çn de sorgulanmıştır. Grafklern eğr tanım bölümlernde yeralan fadelerden scnt (scalar factor ONTINIUOS DAMAGE) süreğen hasar versnn tek başına grldğ durumda atanan skaler faktör, scdsnt (scalar factor DISONTINIUOS DAMAGE) süreksz hasar versnn tek başına grldğ durumda atanan skaler 94

217 faktör, scort da ksnn artmetk ortalaması anlamına gelmektedr.bu blgler ışığında aşağıdak dört grafğ değerlendrmek gerekrse Şekl 4.5 % gernmdek sürtünmesz dsk basma test, MAR analz ve deneysel sonuç Şekl 4.6 % gernmdek sürtünmesz dsk basma test, MAR analz ve deneysel sonuç 95

218 Şekl 4.7 %3 gernmdek sürtünmesz dsk basma test, MAR analz ve deneysel sonuç Şekl 4.8 %4 gernmdek sürtünmesz dsk basma test, MAR analz ve deneysel sonuç Bu değerlendrmeler doğrultusunda, süreğen ve süreksz verlern malzeme modelne brarada tanıtıldığı durum çn, her dört gernm oranında de en ehven 96

219 çakışmayı sağlayan sürtünme._ogd_3r_%--_sc.5 kodlu ve ortalama skaler faktör olan.5 değernn dışarıdan harc grldğ malzeme model nhay model olarak atanmıştır. Ayrıca tek elemanlı kübk modellern üç temel gerlme durumu çn y br çakışma performansı sergleyen aynı OGD nn (n= alarak, ve, l Ogden malzeme model), sadece çekme test sonuçlarında elde edlmş verler üzerne yapılandırılmış br model olmasına karşın tek eksenl sürtünmesz dsk basma deneynn sonuçlarıylada oldukça y br çakışma sağladığı gözlemlenmştr. 5. Ogden Malzeme Model, Hacmde Br Mktar Sıkıştırılablrlk ve Yığılma Modülü Seçlen malzeme model Ogden olduğunda, hesaba katılması gereken br etmen de, hacmn br parça sıkıştırılablr olduğu kabulüdür. Daha önce verlen geleneksel Ogden eştlğnn, braz modfye edlmş hal olan ve MAR ın kullanıma soktuğu bçmyle [] Ogden fades aşağıdak gbdr. (5.) ve buradak yığılma modülü aynı kullanım kılavuzundan alıntı yapılacak olunursa [] (5.) bçmndedr. Daha önce malzeme modelne karar vermek üzere değerlendrmeye alındığından bahsedlen 6 aday modelden (bkz EK A) Ogden lere bakılırsa, lgl prnt-screen görüntülerde yığılma modülünün (bulk modulus) MAR tarafından belrl br formüle göre otomatk atandığı görülmektedr. MAR bunu, dışarıdan harc br bçmde yığılma modülü grlmedğ durumlarda, yukarıda da verlen Ogden formülünün matematğ gereğ şletleblmes çn kends atamaktadır, k otomatk atanan bu değern, EK A da artan gernm çn takp edldğnde, gernmden gernme br hayl farklılık gösterdğ görülecektr k yığılma modülü gernmden gernme bu denl değşmemeldr. Bunun kontrol altına alınıp, km matematksel gerekllklerden otomatk olarak atanmak durumunda kalmamış, 97

220 dzksel anlamını temsl eden yığılma modülünün harc olarak yukarıdak K yı veren formüle göre hesaplanıp MAR a, kend atadığı değern üzerne yaz yaparak grlmes gerekmektedr, aks halde yukarıda br lkez daha verlen Ogden Gernm Enerjs eştlğ gereğ, türev alınarak elde edlecek gerlmenn, asıl olması gerekenden bambaşka değerler alma rsk mevcuttur.bu yüzden yığılma modülünü, düzenek ve yöntem aşağıda tanıtılmış test yardımıyla, fzksel anlamını temsl ettğ bçmyle tespt edeceğz. 5. Yığılma Modülü Test Aşağıdak şeklde görüldüğü üzere, Şekl 5. Yığılma Modülü tayn test düzeneğ kauçuk br dsk boşluksuz br bçmde çne alan hayl kalın (kauçuğun çok az sıkıştırılablrlğnden ötürü oldukça rjt olması gerekr, k kauçuğa uygulanacak kuvvet ç duvrlarına yansıdığında hmal edleblcek kadar az şekl değştrsn ve test chazına at pstonak en ufak yer değştrmelern dah kauçuğun kend sıkışmasına at olduğundan şüphe duyulmasın.) br alt aparatla, kauçuğu çne alan ç yüzey gb, basan tokmağın dış yüzeynn de oldukça hassas br yüzey kaltesyle şlendğ üst 98

221 aparatın (k kauçuk le aparat ç duvarlarının sürtünmes elde edlen kuvvete yansımasın) arasında hacmsel olarak sıkıştırılmaya mm/dk hızla zorlanan kauçuğun 5N olan chaz üst sınırına kadar sıkıştırılması sonucu chaz ekranında okunan mm cnsndek çökme değer l, taban alanı sabt kalmaya zorlandığından ( l/l)= ( V/V), doğrudan dskn (Ø368mm) başlangıç yükseklğ olan 8mm ye bölünür ve bu oran, =F/A=5/( (8 )) ya bölündüğünde K bulunmuş olur. Bunun çn lgl testn kuvvet yol grafğn nceleyecek olursak Şekl 5. Hacmsel sıkıştırma-deneysel sonuç Grafktek ve test tanımındak verlern gerekl olanları yığılma modülü formülünde yerne konacak olursa. (Eğrnn başlangıcındak düz çzg, uygulanmaya başlanmış kuvvet karşısında kauçuğun aparattak boşluklarda lerleyerek yerleşmeye devam ettğ bölge olduğu çn, l değer olarak, eksennde okunan en yüksek değer olan.5mm değl, kuvvetn yükselmeye başladığı değer.3 ün bu değreden farkı; yan l=.5-.3=.mm alınmıştır.) 99

222 K V V F maks A l A l A F A l l maks F A l l maks 736,53Mpa (5.3) 6. Laboratuvar Denekler Testler 6..Laboratuvar Denekler Statk Testler 6.. Üç Gerlme Durumu, Gerçek Test Düzeneğne Özdeş Modelleme, Test ve Çözümleme Sonuçları Basma zorlanması cevabının çekme deneyler sonucu elde edlmş verler üzerne kurulu br malzeme modelyle temsl edlp edlemeyeceğ sınamasını ve yığılma modülü deneylern, üç temel gerlme durumunu gerçek deneklern modellernn analznden önce yapılmasının neden gerekl görüldüğü şu şeklde açıklanablr. Aşağıdak plaka test deneklern ncelenecek olursa, 3. bölümde ncelenmş bulunan tek elamanlı temsl modellernden farklı olarak, deney düzeneğne sıkıştırılarak tutturulmaktadır. Bu bağlamda örneğn tek eksenl çekme deney çn keslen papyon denekn ekstansyometre bağlanacak kısımları, sıkılma önces pozüsyonlamanın ardından, kıskaçların sıkma şlem sona erdğnde kulak kısımlarında vuku bulan yastıklanmadan ötürü deneğn gövde kısma salmakta ve tekrar bell belrsz r artı kuvvet hssedlnceye değn sarkması pstonu haffçe yukarı alarak gderlen denekte, sıfıt kuvvete erşldğnde kıskaçtan kıskaca gövde kısmının uzunluğu br denekte farklı ötek denekte farklı çıkmaması çn, her papyon denekn kıskaçlar kapatılmadan öncek serbest konumunda yerleştrleceğ referans pozüsyonu bell ve aynı olması gerektğ gb, sıkılan kıskaçların sıkma şlem sonrası aynı kıskacın k kenet arasındak mesafe ölçülerek kontrol altında tutulmalı ve her denek aynı ölçüde yastıklandırılmalıdır. Bu prensbe smulasyonda da dkkat edlmel, sıfır konumda, henüz kıskaçlar sıkılmaya başlamadan öncek halde analz başladığından kıskaçların brbrne ne kadar mesafe kala duracağı, bu esnada gerçekleşen yastıklanmanın ne kadar olacağı, papyonun gövde kısmında ne kadar br salma yapacağı ve bu salmanın analzde

223 F= a ger getrldkten sonra nha sıfır konumunda smulasyondak denek gövdes uzunluğunun gerçek denek gövdesnn aynı durumdak uzunluğuyla ne kadar örtüştüğü konuları tatmn edc br çakışmaya oturtulduktan sonra çekme şlemne geçlmeldr k sayılan tüm bu unsurlar çn, hem kauçuğun basma davranışının elde edlen malzeme modelyle ne oranda temsl edlebldğne, hem de kauçuğu kısmen sıkıştırılablr kabul eden malzeme modelmzn kauçuğun sıkışmasına ne ölçüde zn verdğ gb blglere gerek duyulmaktadır Gerçek Deney Model Tek Eksenl Çekme Yne Hermann elemanı olarak, verlen boyutlardak meşlemeyle % dan %4 a dek çekme bırakma zorlanmasına tab tutulmuş ve sonuçlar br alt şeklde Mühendslk Gernm / Mühendslk Gerlmes grafk bazında kıyaslanmıştır Şekl 6.. Gerçek deney modelyle tek eksenl çekme analz sonucu, model üzernde gösterm

224 .5 M. Gerlmes [MPa] Deneysel Ver Oluşturulmuş OGD eğrs Çözümleme Sonucu.5. Mühendslk Gernm Şekl 6.. Gerçek deney modelyle tek eksenl çekme analz sonucu, grafk gösterm 6... Gerçek Deney Model İk Eksenl Çekme Şekl 6.3. Gerçek deney modelyle k eksenl çekme analz sonucu, model üzernde gösterm

225 .8 M. Gerlmes [MPa] DENEYSEL SONUÇ GELİŞTİRİL E N G D E N E Ğ R İ S İ ÇÖZÜMLE ME SONUU 5 5 Mühendslk Gernm Şekl 6.4. Gerçek deney modelyle k eksenl çekme analz sonucu, grafk göster Gerçek Deney Model Düzlem Kayma Şekl 6.5 Gerçek deney modelyle düzlem kayma analz sonucu, model üzernde gösterm 3

226 .9 Mühendslk Gerlmes [MPa] DENEYSEL SONUÇ OLUŞTURULAN O G D E N ÇÖZÜMLEME SONUU Mühendslk Gernm Şekl 6.6 Gerçek deney modelyle düzlem kayma analz sonucu, grafk gösterm 6.. Dnamk Laboratuvar Denek Testler ve Kuramsal Altyapısı 6.. Dnamk Kuramsal Altyapı Bu alanda daha fazla lerlemeden önce temel dnamk kavramlarla, kauçuğun dnamk testlernde kauçuk davranışını temsl etmek üzere kullanılan km termler arasında lşk kurmakta fayda vardır. Bu kavramlar arasında br köprü kurmak adına öncelkle kauçuğun kütlesnn hesaba katıldığı ve hmal edldğ k durum çn de Kelvn-Vogt temsl modeln zorlanmış ttreşmlere haz br sstemde resmetmek gerekrse İlgl şekllere bnayen hareket denklemler, ve lşkl fadeler de sırasıyla t mu ( t) u ( t) K u( ) F sn t (6.) 4

227 t u ( t) K u( ) F sn t (6.) u( t) Acos t t Bsn t u e (6.3) t t B cos t u e u ( t) Asn (6.4) t t u ( t) Acos t Bsn t u e u e (6.5) F sn t t t t mu e u e K u e F sn t m Acos t Bsn t Asn t Bcos t K Acos t Bsn t (6.6) (6.7) t F A m K B A F m K B (6.8) t F sn t m Acos t Bsn t Asn t Bcos t K Acos t Bsn t (6.9) B A K B A B K m F m (6.) A B F A m K A F m K (6.) (6.) Br yukarıdak fadede F m K m K t ve brbrlernn yerne konulursa (6.3) t Fou e m K u e (6.4) F o u seçelm (6.5) f 5

228 6 Dğer yandan tahrk kuvvet fonksüyonunu t e f t ) ( F bçmnde fade etmş olsaydık t t t t K u e e u e mu e f (6.6) K m ue e f t t (6.7) Br yukarıda verlen t t o e u K m F u e fadesnn aynısını elde etmş olacaktık, o halde eştlklere K m ue e f t t le devam edersek. K K m uk f (6.8) K K m K f K K m K f u (6.9) K m f K m f u (6.) m K (6.) Kütlenn hmal edldğ durum çnse tek fark K f K f u (6.) K (6.3) Olup fadenn devamındak ve lı formülasyonlarda br değşklğe yol açmamaktadır. f f f f u Kompleks sayılara lşkn br kaç hatırlatma yaplmak gerekrse b a z b a z (6.4) İfadeye kalan yerden devam edecek olursak

229 7 f f f u (6.5) udn tanıtmak gerekrse f u u dn (6.6) Dğer yandan f f u u H stat dn (6.7) Ve aşağıdak formülasyonda pay ve paydayla çarpılan L ncelğ H olarak seçlrse cos sn cos sn tan H H L L (6.8) cos sn L L (6.9) t t f e f ue t t t sn cos ) ( u (6.3) t t t t f t sn cos sn cos ) ( u (6.3) t t t t f t sn cos sn cos ) ( u (6.3) t L t L t L t L f t sn sn cos sn sn cos cos cos ) ( u (6.33) t t t t L f t cos sn sn cos sn sn cos cos ) ( u (6.34)

230 8 H L ve H yukarıdak fadede yerlerne konursa t t t t H H f t cos sn sn cos sn sn cos cos ) ( u (6.35) t t H f t t H H f t sn cos sn cos ) ( u (6.36) ) ( ) ( t t e H f ue t u (6.37) Bu bağlamda yer değştrme fonksüyonunun zamana göre türevler alınırsa ) ( ) ( t e H f t u (6.38) ) ( ) ( ) ( t t e H f e H f ut (6.39) Bu fadeler kullanarak, tahrk kuvvet t F e f t t sn ) ( F nn yanısıra, yük hücresne etkyen kuvvet, yan okunan kuvvet FT(t) y yazmak stersek ) ( ) ( ) ( t K t t m t T u u u F (6.4) ) ( ) ( ) ( t t t e H f K e H f e H f m t F T (6.4) ) ( t e K m H f t F T (6.4) ve fadey kütlenn olmadığı durum çn yenden yazmak gerekrse ) ( t e K H f t T F (6.43) K (6.44) t t t t H f t T sn cos sn cos F (6.45)

231 F F T T t f H cos t sn t cos t sn t (6.46) t f H cos t sn t sn t cos t (6.47) tan sn cos sn cos (6.48) F T F t f H cos cos t sn sn t cos sn t sn cos t t f H e t f H cos t t T sn (6.49) (6.5) eştlğnn yanısıra, k bu fadenn yük hücresnden okunan kuvvet, yan kauçuğun soğurması sonrasında arta kalan kuvvet olduğunun altını önceden çzmştk, daha önce bulunan fadelerden oknan yer değştrme ve tahrk kuvvet t u( t) ue f H ( t ) ( t ) e u e F( t) de gerçel ve sanal eksenlerde göstermek gerekrse. f e t (6.5) (6.5) 9

232 Şeklde fzksel anlamı belrtlen δ kayıp açı olarak adlandırılıp (bkz şekl 6.8), kauçukta hsterss alanının darlığını ya da genşlğn tanımlar, k hsterssn yükleme ve boşaltma eğrler arasında kalan bu alan soğurulan enerjy verdğnden, kayıp açı δ, parçanın ttreşm emme yeterllğyle doğrudan lgldr. Şekldek verler ışığında, dnamk rjtlk adı verlen kavram Kdyn, dnamk test chazlarının yazılımında (Instron-Schenck, MTS) yeralan hesaplama formulasyonuyla fade edlecek olursa [] F K dn u T T (6.53) k bu durumda yukarıdak şekl çn K F F T T dn K u dn T u T (6.54) Buradan kayıp açı δ y çeren formülasyona geçş çn test chazındak yazılım aşağıdak eştlkten yararlanır.[] A hsterssn kapladığı alan olmak üzere 4A 4A sn sn (6.55) FT u T FT u T Buradan daha önce analtk yaklaşımla elde edlmş açılımlarda yeralan, ve kavramına geçş yapmak gerekrse [] K stat K cos ve K stat K dn K dn sn (6.56)

233 Bu k fadenn brbryle yapacağı formulasyonlar sonucunda K K K K stat dn stat dn cos sn K dn cos sn K dn (6.57) (6.58) K K stat dn K dn cos sn K stat K dn (6.59) K K K K dn stat dn stat (6.6) İfadeler elde edlmş olur. İlgl şekl ncelenecek olursa, aynı Kdyn değerne haz ancak, kayıp açısı brbrnden farklı kauçuk karışımlara rastlanableceğ görülecektr. Statk rjtlğ aynı ble olsa, kayıp açı δ s farklılık gösteren dğer bazı karışımların mekank davranışları da farklı olur, bunlardan br olan soğrulan enerjnn ısıya dönüşmes ve ömür testyle lşksne aşağıda değnlmştr. Arada kalan alanın büyüklüğüyle doğru orantılı olarak soğrulan bu enerj ısıya dönüştüğü çn, kauçuğun büyük br δ ya sahp olması, büyük br hsterss alanına sahp olduğu anlamına gelr, ve paralelnde ısıya dönüştürmek üzere soğurduğu enerj mktarının fazla olacağı ve ömür test gb çok tekrarlı çevrmlerde, parçanın depoladığı ısıyı aynı hızla atamayacağı, dolayısıyla parçanın ısınacağına şarettr. Dğer yandan kauçuğun rjtlğ ortam sıcaklığından oldukça fazla etklendğnden ( Tortam [ ] K [N/mm] ), ısınan parça aynı yük altında, düşen rjtlğnden ötürü, gttkçe daha büyük br yerdeğştrme kateder hale gelecek, özellkle ömür testnn lerleyen safhalarında, aynı yük altında daha fazla yer değştrme, aynı yük altında, yer değştmeyle orantılı olarak kest alanının daha da daralması,ve kauçuğun teşkl etğ brm alan üzerndek gerlme değernn bu bçmde gtgde yükselmes, yorulma ve kopma rskn arttıracaktır.

234 Yukarıda verlen matematksel fadeler sayısal örneklerle desteklenecek olursa, deneysel verlerle brebr kıyaslama yapılacağından, öncelkle dnamk test chazının ölçüm yöntem olarak kullandığı sn A F 4 T u T (6.6) İfadelerndek hsterssn çevreledğ alan olan A ın deneysel verlerden yola çıkarak hesaplanablmes adına deney sonuçlarının lk çevrmne at hsters aşağıdak şekl doğrultusunda ele alalım. (Normalde statk testlerde en az 3. çevrm, dnamk testlerde se frekansa bağlı olmak üzere daha yukarı sayıdak çevrmler hesaplama çn kullanılamktayken, bu örnekte lk çevrmn hang maksatla terch edldğ daha sonra açıklanacaktır.) Dnamk Test Hz ±.5kN Deneysel Ver Kuvvet / Yer Değştrme.6 Kuvvet [kn] Kuvvet/Yer Değştrme_Yükleme Eğrs Deneysel Ver Kuvvet/Değştrme_Boşaltma Eğrs Deneysel Ver -.6 Yer Değştrme [mm] Şekl 6. Dsk denek Hz de ±.5 kn yük genlğnde dnamk test Hsterssn çnde kalan alanı hesaplamak çn, yükleme ve boşaltma eğrlerne ayrı ayrı. dereceden polnomlar çakıştırılacaktır. Daha sonra bu polnomların ntegraller alınacak ve arada kalan alan ntegrallern farkı olarak elde edlecektr. Ancak eksden artıya geçşlerdek şlem fazlalıklarından kurtulmak adına, arada kalan alanın skaler değern değştrmeyeceğnden, hsterssn mnmum noktası orne ötelenecek ve bahs geçen şlemler bu aşamadan sonra gerçekleştrlecektr.hsterss öteleme şlem ve çakıştırılan polnom eğrler, matematksel fadeleryle brlkte aşağıdak şeklde verlmştr.

235 Kuvvet [kn] Dnamk Test Hz ±.5kN Deneysel Ver_Orjne Ötelenmş Yer Değştrme [mm]..4.6 Kuvvet/Yol_Yükleme Eğrs Deneysel Ver Kuvvet/Yol_Boşaltma Eğrs Deneysel Ver Kuvvet/Yol_Yükleme Eğrs Çakıştırılan Eğr y = -.734^ +.8 Kuvvet/Yol_Boşaltma Eğrs Çakıştırılan Eğr y =.94^ +.53 Şekl 6. Orjne ötelenmş hsterss İlgl polnomların ntegraller, sıfırdan.57 ye kadar ntegre edlrse, öncelkle yükleme eğrs çn Y d D.57 (6.6) Orjne ötelenmş hstersste yükleme ve boşaltma eğrler çn = ken y= olduğu çn, lgl ntegral sabt D yükleme ve boşaltma eğrs çn de sıfır olacaktır. Y (6.63) Y Dğer yandan boşaltma eğrs çn d D (6.64) A Y Y mm (6.65) Öte yandan Hz lk testte br tam çevrm (>π lk daresel br döngü).s süreceğnden, ele alınan lk çevrm sonunda okunan yer değştrme tam olarak.s de değl ( t ) u ( t) u e fades gereğnce, θ kadar br geckmeyle sıfıra erşecektr. Okunan yer değştrmenn sıfıra ulaştığı sanye değernden. çıkartılıp, bulunan fark. e bölünür ve π le çarpılırsa θ nın radyan cnsnden değer elde 3

236 edlmş olur. Bu örnekte θ =.5374 [rad] = [ ] olarak bulunmuştur. Tahrk kuvvet ve okunan yer değştrmenn zamana bağlı değşmne at grafk göstermne geçmeden önce br uyarı yapmak faydalı olacaktır; okunan yer değştrme tam olarak.s de değl, θ kadar br geckmeyle sıfıra erşecektr fades kullanıldığında her ne kadar okunan yer değştrme, zaman eksennde. sanyeden daha sonra eksenyle kesşecek gb br beklent oluşsa da u( t) u sn ( t fades, sadece kıyas maksadıyla u( t) u sn ( ) gb br fadeyle brlkte herhang t br matematk yazılımına grlp grafkler alınacak olursa, θ kadar br geckmeye haz u( t) u sn ( t ) fadesnn eksenn daha önce kestğ görülecektr. Bu trgonometrk br sonuçtur ve her ne kadar lk planda fzksel beklentyle çelşkl gb gözükse de geckmenn zaman eksenndek yansımasına mutlak değer olarak bakıldığında, eğrlern brbrlern hang geckme rejmnde takp ettğnn yorumlanamsında br aykırılık yaratmamaktadır. Bu uyarı ışığında, grafk gösterme geçmeden önce uygulanan tahrk kuvvet F( t) f sn ( t) ve okunan yer değştrme ) u( t) u sn ( t ) f H sn ( t ) ardından yük hücresnden okunan kuvvet nn yanısıra, kauçuğun soğurmasının F T t f H sn t fadesnde yeralan kayıp açı δ nın da fadeye eklenmes sonucu, lgl ncelğn zamana bağlı değşmn gösteren eğrnn eksenn dğer k eğrden de önce kesecek olduğunu hatırlatalım. Öte yandan sn 4A FT sn F 4 u T A okunanm AX u okunanm AX (6.66) fadesyle kayıp açının hesabına grlecek olursa 4* *.9794 *.57 o sn.764 rad (6.67) bunu takben K dn F u okunanm AX okunanm AX kn/mm (6.68) k buradan da sönüm katsayısı y elde etmek çn (f=hz) (6.69) K.76 dn K sn dn sn sn kns/mm *f * (6.7) 4

237 Son olarak hareket denklemnde yay katsayısı olarak yerne konacak olan K=Kstat ı elde etmek çn K kn/mm K stat K dn cos.76 *cos (6.7) Hz ±.5kN KUVVET TAHRİKLİ DİSK DİNAMİK TESTİ.3 Deneysel Ver_YOL / ZAMAN_Kuvvet Tahrkl Test_Okunan Yer Değştrme_f=Hz.. Kuvvet [kn], Yerdeğştrme [mm] δ θ Hesaplanan YOL/ZAMAN (+Faz açısı_kuvvet Tahrkl Test_Okunan Yerdeğştrme Karşılığı) U(t)=Uo*SIN(wt+FAZ) U(t)=.78*SIN(3.4**t+.54) FAZ=.54[rad] Deneysel Ver_KUVVET / ZAMAN_Okunan Kuvvet Hesaplanan_KUVVET / YOL_(Faz Açısı ya da Kayıp Açı eklenmemş_kuvvet Tahrkl Test_ Tahrk Kuvvet Karşılığı) F(t)=*{dU(t)/dt}+Kstat*U(t) =.68 Kstat=. U(t)=Uo*SIN(wt) du(t)/dt=uo*w*os(wt) Zaman [s] Hesaplanan_KUVVET / YOL_(+Faz Açısı ve Kayıp Açı_Kuvvet Tahrkl Test_Okunan Kuvvet Karşılığı ) F(t)=*{dU(t)/dt}+Kstat*U(t) U(t)=Uo*SIN(wt+FAZ+KAYIP) du(t)/dt=uo*w*os(wt+faz+kay IP) FAZ=.54[rad] KAYIP=.76[rad] Şekl 6. Hz ±.5kN kuvvet tahrkl dsk dnamk test 5

238 Yukarıdak şeklde yeralan garfk göstermle lgl açıklamalara geçmeden önce yapılması gereken br hatırlatma da θ ve δ açılarının okur tarafından rahat nceleneblmes çn kuvvet-zaman eğrlernn tümünün aynı oranda ölçeklendrlerek garfğe aktarıldığıdır. Skaler değerler göze alındığında θ ve δ açılarının eksen üzernde kaplayacakalrı mesafenn daha küçük olduğu aşkardır. Dğer br ön açıklama da, zaman eksennn. çevrme neden t=.65s de başladığına dar olacaktır. Bu aradak süre chazın teste başlamasının ardından, denek dskn monte edlrken üzernde kalan ön yükü sıfıra ger getrmek çn harcadığı süredr, zra bu süre, zaman eksennn çevrm btmne at değer olan t=.365 ten çıakrtılacak olursa t-t= =.s bulunur k bu da Hz n sanye cnsnden karşılığıdır. (t=/f=/hz=.s) Daha önce açıklanacağından bahsedlmş olan, grafğe aktarılmak üzere neden lk çevrmn seçlmş olduğunun neden se şudur: Yukarıdak grafkte hesap yoluyla bulunan kuvvet-zaman eğrlernn sahp olduğu geckmeler da ve π de, yan zaman eksennde fade edlecek olursa.65. ve.365. sanyelerde aynıdır, hatta t= ken u= sınır şartı kullanılarak elde edlmş hesaplanan okunan kuvvet eğrs de matematksel yapısı gereğ t= ken u= dan geçmemektedr. Oysa kauçuktak yerdeğştrme, ωt=π de ya da t=.365s de tahrk kuvvetne göre br geçkmeye sahpken, t= da u= dır. Kauçuğun, hareket denklemlerndek fadelerle tam olarak karşılanamayan bu özellğn vurgulamak adına lk çevrm seçlmştr, ntekm sonrak çevrmlerde tahrk kuvvet ve okunan yer değştrmenn, deneysel sonuçlarda da aynı t anında çevrme başlamayacakları aşkardır. İlerde dsk ve nha parçanın artan frekanstak taramalarında, den 5Hz e ve dan 4Hz e kadar değşen frekans aralığında ncelemeye müsat pek çok frekans adımı olmasına rağmen nçn Hz n örneklendğnn açıklaması şudur: Hz, gerek düşük frekans taraması dye adlandırılan -5Hz artan frekans tetsnde, gerekse yüksek freakans taraması dye anılan -4Hz artan frekans testnde katedlen br frekans adımıdır. Hz lk br ttreşmde, düşük frekans taramasında,.5kn karşılığı katedlen yer değştrme ±.8mm de, yüksek frekans taramasında.85kn karşılığı katedlen yer değştrme ±.5mm de çok küçük yerdeğştrmeler olduklarından, aynı Hz de tahrk edldkler çn, okunan en yüksek kuvvet değerler farklı da olsa, okunan bu en yüksek kuvvet değerlernn onunan en yüksek 6

239 yer değştrmelere oranı, yan dnamk rjtlkler Hz lk adımda brbrne çok yakındır. Bu anlamda -5Hz lk testn. Hz ne dar elde edlen deneysel, analtk ve sonlu elemanlar analz sonuçlarının, -4Hz lk teste at Hz nde bulunanlarla karşılaştırması ve br nev yönetm ve şlemlern sağlaması yapılmış olur. Hz lk adımlara at bahsedlen deneysel, analtk ve sonlu elemanlar analz sonuçlarının skaler değerler, lerd verlecek olan grafklerde, bu yüksek ve alçak frekanstak taramalar arasında da kıyaslanablr. Bu aşamaya geçmeden önce, Hz çn akışı verlen analtk yönteme haz şlem dzs, -5Hz lk düşük frekanstak taramanın tamamı çn 5Hz lk adımlarla, ve -4Hz lk yüksek frekanstak taramanın bütünü çn 5Hz lk adımlarla devam ettrlecek olursa, öncelkle lgl frekans adımlarına at hstersslern çevreledğ alanları ntegral yöntemyle tek tek hesaplayıp, bu alanlara at skaler değerlern yeraldığı sn 4A FT sn F 4 u T A okunanm AX u okunanm AX (6.7) fadesnden yola çıkarak lgl frekans adımları çn analtk yöntemle elde edlen kayıp açılar, chazın hesapladıklarının üzerne çakıştırmalı olarak aşağıdak grafk göstermlerde, düşük ve yüksek frekans taramaları çn ayrı ayrı verlmştr. 6-5Hz ±.5kN Dsk Denek_Dnamk Test 5 Kayıp Açı [ ] 4 3 Deneysel ver Analtk Sonuç Frekans [Hz] Şekl 6.3-5Hz ±.5kN kuvvet tahrkl dsk dnamk test, Frekans [Hz] / Kayıp Açı [ ] 7

240 8-4Hz Dnamk Test 7 6 Kayıp Açı [ ] Deneysel ver Analtk Sonuç Frekans [Hz] Şekl 6.4-4Hz ±.5kN kuvvet tahrkl dsk dnamk test, Frekans [Hz] / Kayıp Açı [ ] Bu şlemn ardından K dn F u okunanm AX okunanm AX fadesyle lgl dnamk rjtlkler hesaplanır. Dnamk rjtlklere at analtk sonuçların deneysel sonuçlarla çakıştırmalı grafkler, her üç sonucunda aynı anda karşılaştırılablmes amacıyla, sonlu elemanlar sonuçlarının da açıklandığı bölümde, toplu olarak verlecektr. K dn Bunu takben, elde edlen dnamk rjtlklern yeraldığı fade olan sn eştlğ yardımıyla frekansa bağlı olarak değşen sönüm katsayısı değerler elde edlr. Yne düşük ve yüksek frekanstak taramalar çn ayrı ayrı olmak kaydıyla, nn frekansa bağlı değşmnn analtk yöntemle elde edlmş değerler aşağıdak grafklerde verlmştr. 8

241 .6-5Hz Dnamk Test Frekans_Sönüm Katsayısı =Kdyn*sn(Kayıp Açı))/w Sönüm Katsayısı [kns/mm] Analtk Sonuç Frekans [Hz] Şekl 6.5-5Hz ±.5kN kuvvet tahrkl dsk dnamk test, Frekans [Hz] / Sönüm Katsayısıı [kns/mm] Sönüm Katsayısı [kns/mm] Hz Dnamk Test Frekans_Sönüm Katsayısı =Kdyn*sn(Kayıp Açı))/w Analtk Sonuç Frekans [Hz] Şekl 6.6-5Hz ±.5kN kuvvet tahrkl dsk dnamk test, Frekans [Hz] / Sönüm Katsayısıı [kns/mm] 9

242 Yukarıdak grafklerden sönüm katsayısının frekansa bağlı değşm ncelenecek olursa, özellkle brnc basmaktan kncye geçşte çok büyük değşm yaşandığı farkedlr, bunun neden sönüm katsayının hesap edldğ formül K dn sn dek paydanın, fadenn değern doğrudan etklemesnden ötürüdür. Buna rağmen hesaplanan dnamk rjtlklerde aynı belrgn değşm gözlenmeyecektr, bunun neden haraket denklemnden yola çıkarak da temellendrleblr. K dn F u okunanm AX okunanm AX FT u M AX M AX u cos ( ) K stat u sn ( ) u sn ( ) (6.73) Netcede toplanan k termden lkne çarpan olan sönüm katsayısı nn kendsnn, dğer terme kıyasla çok küçük değerlere haz olması (bkz yukarıdak k grafk) ve ek olarak sönüm katsayısı nn yeraldığı lgl termdek dğer br çarpan olan sn (.54) cos ( ).5397 ( sn ) nın da.54 rad çn gb çok küçük br değer almasıdır. Buna mukabl dğer termdek Kstat=.7kN/mm, br öncek termn çarpanı ye göre çok büyük br değere sahp olmasının yanısıra, Kstat ın yeraldığı bu termdek sn ( ) cos ( ) nın.54 rad çn cos (.54) gb e çok yakın br değer almasıdır. Bu verler ışığında br sonrak adım olan kauçuk dnamk test kavramına geçleblr. 6.. Kauçuk Dsk Dnamk Test En başta kauçuk gövdel ttreşm emc takozlardak dnamk kavramını, blnen bell başlı dnamk analzler olan, modal analz, harmonk analz ve geçş analznden ayıralım. Kauçuk takozlarda ana sanaynn tedarkçlerden bekledğ, araçtan araca değşmekle beraber, bnek araçlar çn genelde 5Hz, 5Hz ve 5Hz komşuluklarında kauçuk takozun sergledğ Kdyn cevabının müşterce tayn edlmş sınırlar dahlnde kalması (kauçuk ve motor takozları söz konusu olduğunda genelde ±%5) ve buna ek olarak Hz den başlayarak 5Hz e kadar er Hz lk adımlarla

243 artan ve Hz den 6Hz e kadar ar Hz lk adımlarla artan dnamk taramalarda, kauçuk parçanın rezonansa grmemes, ve her frekans adımı başına tayn edlmş Kdyn cevabının müşterce belrlenmş sınırlar dahlnde kalması, ve konu kapsamında ncelenecek harmonk analzde taranacak frekanslar (>>5Hz ve >>4Hz) dahlnde kauçuk takozun rezonansa grmedğ( brnc doğal frekansı, n e dah erşmedğ) deneysel sonuçlar doğrultusunda kesn olarak blndğnden, analzmzde, müşternn bzden knc beklents olan, lgl frekans adımlarında, Kdyn nn müşterce saptanmış sınır değerler çnde kalıp kalmadığı sorgulanacaktır. Dolayısıyla bzm htyaçlarımız doğrultusunda, blndk harmonk analzlerdek, rezonansa grecek frekansın tayn değl de, er Hz lk adımlarla - 5Hz lk ve Hz lk adımlarla -4Hz lk artan frekans karşısında rjtlk cevabı taramalarında, hang frekans adımında rezonans yaşayacağı değl, uygulanan tahrkn uygulama hızı (frekansı) arttırıldıkça rjtlğnn frekans bazında, hang eğmde artış göstereceğ ncelenecek, ve statk testlerde olduğu gb, nha konstrüksüyona haz olmayan br test plakası (bu durumda dsk), üzernden alınan verlerle MAR tak malzeme modelne tanıtılacak frekans adımlarına bağlı dnamk rjtlk değşm dyebleceğmz br özellğn, nha konstrüksüyonun aynı frekanslardak taramalarından çıkan rjtlkcevaplarıyla uyuşup uyuşmadığını sorgulamak olacaktır Malzeme Özellğnn Tanıtılması Öncelkle statk testlernden tanıdığımız Ø368mm lk dsk, bu defa alt ve üst yüzeylernn vulkanzasyon esnasında yapıştırıldığı metal plakalara sabtlenmes, ardından da üst plakanın test chazının tahrk koluna, alt plakanın da yük hücresne monte edlmesn takben, ±.mm lk br genlkte Hz den 5Hz e dek er Hz lk adımlarla ve ±.5mm lk genlklerde Hz den 4Hz e ar Hz lk adımlarla dnamk testler gerçekleşecek, her k tarama aralığı çn eksen lgl frekans adımları ve y eksen, o frekans adımında okunan dnamk rjtlk (Fdyn/Sdyn [N/mm]) (bkz Şekl 6.7)

244 .3-5Hz Dnamk Test Dnamk Rjtlk (Ma. Kuvvet/Genlk) [kn/mm] Deneysel ver Frekans [Hz] Şekl 6.7 Dsk denek üzernden dnamk malzeme model oluşturulacak vernn alınması -5Hz lk tarama Ve Hz başına lgl frekans değern e bölüp sanye cnsnden elde ettğmz zamanı, ±mm nn toplam yol açılımının altına payda olarak yazıyoruz ve her Hz çn bu yöntemle tayn edlen 5 farklı hızla yapılacak 5 analzden elde edlen gerlme değerlern, MAR ın deneysel sonuçlara uyuşacak şeklde vermes çn, V hızıyla yükleme yaptığında, V hızına karşılık gelen gerlmeye gt; V hızıyla yükleme yaptığında, V hızına karşılık gelen gerlmeye gt... V5 hızıyla yükleme yaptığında, V5 hızına karşılık gelen gerlmeye gt mantığını yazılıma verecek br eğr çzyoruz. Bu eğrde en düşük hızın Hz den, en yüksek hızınsa 5Hz den elde edleceğ aşkardır. Hazırlayacağımız eğr test hızına bağlı gerlme cevaplarını taşıdığı çn, MAR a (OGDEN malzeme model söz konusu olunca) ancak relaksasyon eğrsn grdğmz Vscoelastcty modülünden grleblmektedr. (Mooney malzeme modeller çn Rate Effect modülünden de tanıtılablr; ancak bu durumda adım sayısı 5 le sınırlanır). Bu örnekte lgl eğr OGDEN malzeme modeln kullanıp Vscoelastcty modülünden grleceğ çn, bu modülün kabul edebleceğ eğr tp olan Prony Sers nn azalma rejmne uymak adına, en yüksek hıza karşılık gelen gerlme, en yüksek gerlme olacağından bu gerlmey y olarak atayıp, yanısıra yne aynı en yüksek hıza en kısa test süres olan t=/5hz=.s karşılık geldğnden, bu değer,yan eksennn lk değer olarak atanmalıdır.

245 Benzer şeklde 49Hz e karşılık gelecek en yüksekten br düşük gerlme değer y olarak atanıp, en kısa test süresnden br uzun süre olan t=/49hz=.4s de olarak atanacaktır. Ancak bu şeklde Prony Sersne at azalma rejmn temsl eden br eğr elde edleblr. Bu şeklde elde edlen eğr Vscoelastcty modülüne grldğ vakt, 5Hz çn V hızıyla yükleme yaptığında; yan testn t süresne geldğnde σ gerlmesne kadar düş, 49Hz çn V hızıyla yükleme yaptığında; yan testn t süresne geldğnde σ gerlmesne kadar düş...ve Hz çn V5 hızıyla yükleme yaptığında; yan testn t5 süresne geldğnde σ5 gerlmesne kadar düş mantığı, lgl eğryle yazılıma grlr. Tarf edlen eğry örneklemek gerekrse Şekl 6.8 Dsk denek üzernden -5Hz lk taramayla alınan verlerden malzeme modelne tanıtmak üzere oluşturulan eğr, eksennde yer alan germe değerler, eksenn yukarısında yeralan (.) baresnden de anlaşılacağı üzere * - bçmnde fade edlmştr. Br öncek şekl olan Şekl 6.7 dek 5Hz e karşılık gelen gerlme değer.84 kn/mm, y değer olarak atanır (bkz. Şekl 6.8), değer se lgl 5Hz lk testn br çevrmnn tamamlanma süres olan t=/5hz=.s olarak belrlenr. (bkz. Şekl 6.8) Benzer şeklde 49Hz, 48Hz, 47Hz... çn gereken y ve değerler hesaplanarak grafğe grlr, atanacak son değer çft olan Hz e at y5 ve 5 nn nasıl hesaplandığı örneklenecek olursa, yne Şekl 6.7 dek Hz e karşılık gelen gerlme değer.546 kn/mm, y5 değer olarak atanır (bkz. Şekl 6.8), 5 3

246 değer de lgl Hz lk testn br çevrmnn tamamlanma süres olan t=/hz=s olarak hesaplanır. (bkz. Şekl 6.8) Dolayısıyla 5Hz e karşılık gelen V hızında analz t=/5hz=.s süreceğnden, MAR, OGDEN formülasyonu doğrultusunda elde ettğ.mm dek gerlme değern, Prony Sersnde t=.s ye karşılık olarak grlen gerlme değerne kadar düşürecektr. Benzer şeklde 49Hz e karşılık gelen V hızında analz t=/49hz=.4s süreceğnden, MAR,.mm çn elde ettğ gerlme değern, Prony Sersnde t=.4s ye karşılık olarak grlen gerlme değerne kadar düşürecek, analzler, bu bçmde, lgl frekansların tekabül ettğ hızlar çn ardısıra gerçekleştrldğnde en son Hz e karşılık gelen V5 hızında analz t5=/hz= s süreceğnden, MAR,.mm çn elde ettğ gerlme değern, Prony Sersnde t5=s ye karşılık olarak grlen gerlme değerne kadar düşürecektr Analzn Gerçekleştrlmes Bahsedlen şlem -5Hz ve -4Hz çn,öncelkle dsk deneyn smule ettrerek gerçekleştrecek, çözümleme sonuçları, deneysel verlerle örtüştüğü takdrde, nha br konstrüksüyona haz olmayan br dskten elde ettğmz bu verlerle oluşturduğumuz malzeme model özellğnn, nha konstrüksüyona sahp fnal parçanın deneysel sonuçalrıyla örtüşüp örtüşmeyeceğn sorgulayacağız. Dskn smulasyon sonuçlarına dönüp, lgl analz sonuçlarını -5Hz ve -4Hz çn dske at deneysel sonuçlarla kıyaslamak stersek,.3-5hz Dnamk Test Deneysel ver Dnamk Rjtlk (Ma. Kuvvet/Genlk) [kn/mm] Frekans [Hz] Analtk Çözüm Sonlu Elemanlar Çözümleme Sonucu Nha parça çn müşter tarafından tayn edlmş ±%5'lk sınırın dsk deney sonuçlarına uyarlandığı tolerans aralığı Şekl Hz de ±.5kN genlğndek kuvvet tahrkl test çn dsk deney versnden elde edlmş malzeme modelyle yapılan analz sonuçları ve analtk sonuçların, dskn deneysel sonuçlarıyla kıyaslanması 4

247 Kıyaslama sonucunun olumlu olup olmayacağına dar genel br yargıya daha çabuk ulaşmak adına, sonlu elemanlar çözümlemes ve analtk yöntemler lk planda 5Hz lk adımlar çn gerçekleştrlmştr. Çakışma performansının olumlu olduğu hükmüne varılırsa nha parça söz konusu olduğunda lgl şlemler her frekans adımı çn gerçekleştrlecektr. Aşağıda yeralan şekl 6. dak -4Hz lk taramaya at sonuçalrın çakışma performansı da uygun olduğundan, analz yöntem nha parçanın sonlu elemanlar analz çn de uygun bulunmuştur..3-4hz Dnamk Test Deneysel ver Dnamk Rjtlk (Ma. Kuvvet/Genlk) [kn/mm] Analtk Sonuç Sonlu Elemanlar Çözümleme Sonucu Nha parça çn müşter tarafından.5 tayn edlmş ±%5'lk sınırın dsk deney sonuçlarına uyarlandığı Frekans [Hz] tolerans aralığı Şekl 6. -4Hz de ±.85kN genlğndek kuvvet tahrkl test çn dsk deney versnden elde edlmş malzeme modelyle yapılan analz sonuçları ve analtk sonuçların, dskn deneysel sonuçlarıyla kıyaslanması 5

248 7. Btmş Parça Testler 7. Instron- Schenck Statk-Dnamk test chazına bağlı haldek motor takozu 7..Btmş Parça Statk Testler İlgl testler olan mm/dk, 3. çevrm, ±mm genlğndek statk test ve, mm/dk, 3 çevrm, -mm lk yer değştrmedek doyurma testler, remedldğ üzere Instron Schenck chazlarında gerçekleştrlerek analz sonuçları, deney sonuçlarıyla karşılaştırılmalı olarak raporlanmıştır Btmş Parça Çözümleme Sonuçlarının Deneysel Sonuçlarla Kıyaslanması MAR ta modellenen motor takozuna, şartnamesnde tanımlanan btmş parça testler (mm/dk da 3 çevrmlk ±mm ve -mm k test) yazılımda smule ettrlmş ve çözümleme sonuçları, btmş parçaya at deneysel sonuçlarla kıyaslanmıştır. 6

249 7... Test:mm/dk, 3 çevrm, ±mm Şekl 7..Eksenel smetrk modellemede statk konum ve en yüksek gernmdek gerlme dağılımı, model üzernde gösterm 7

250 Şekl 7.3 En krtk zorlanma yaşayan kısım-büyütülmüş Bu kısım parça serbest konumundeyken de rjt üst dayanağına br parça batık vazyette durduğundan. Daha yukarı çeklmek stendğnde,ezlmek üzere, rjt alt aksam alt sınırına dağn, çok az et kalınlığında br kauçuk bırakılmış olduğundan, eğr artı kısmında anden dkleşmekte ve eks kısma geçerkende, parça serbest konumunda br mktar batık halde olduğuna değnlen mantar kısım battığı yerden boşalırken rjtlkte an düşmeler olmaktadır. Bu olayın smulasyonunda dkkat edlecek br husus da, parça serbest konumunda, yan sıfır gerlmede kalmaya devam ederken, sadece mantar kısmın tepesndek rjt elemana batırılacağı ve buradak ön yer değştrmenn br test başlangıç koşulu olduğu; kaçınılmaz br şeklde t= ve = dayken br ön gerlme doğuracağı ve bu ön gerlmenn mktarının y tespt edlp, analz sonucu test sonucuyla karşılaştırılmadan önce aynı mktardak gerlmenn çıkartılarak (çünkü başta çekyordu ve çekme gerlmes gereğ şaret artıydı) raporlanmadan önce yenden sıfıra ötelenmes gerektğ unutulmamalıdır. 8

251 Mühendslk Gerlmes [MPa] Mühendslk Gernm Deneysel Sonuç Çözümleme Sonucu Şekl 7.4. Deneysel sonuç ve çözümleme sonuçları, grafk gösterm 7... Test:mm/dk, 3 çevrm, -mm lk Bu test doyurma test dye adlandırılıp parçanın yaşayableceğ öngörülen en yüksek yer değştrmenn la 3 katı kadarı yaşatılır. Şekl 7.5.Eksenel smetrk modellemede en yüksek gernmdek gerlme dağılımı, model üzernde gösterm 9

252 5 Mühendslk Gerlmes [MPa] Deneysel Sonuç Çözümleme Sonucu Mühendslk Gernm -5 Şekl 7.6. Deneysel sonuç ve çözümleme sonuçları, grafk gösterm 7..Btmş Parça Dnamk Testler Btmş parça çn de, dsk çn yapılan -5Hz lk ±.mm genlktek taramayla, 4-4Hz lk ±.5mm genlktek taramanın aynısı yapılırsa, elde edlen analz sonuçları, deney sonuçlarıyla kıyaslamalı olarak aaşağıdak b raporlanır. 3

253 7.. -5Hz lk ±.mm genlktek tarama Hz Dnamk Test Deneysel ver Ma. Kuvvet [N] Frekans [Hz] Sonlu Elemanlar Çözümleme Sonucu Nha parça çn müşter tarafından tayn edlmş ±%5'lk tolerans aralığı Şekl 7.7 Btmş Parça -5Hz, deneysel ver-analz sonucu Hz lk ±.5mm genlktek tarama Hz Dnamk Test Deneysel ver Ma. Kuvvet [N] Frekans [Hz] Sonlu Elemanlar Çözümleme Sonucu Nha parça çn müşter tarafından tayn edlmş ±%5'lk tolerans aralığı Şekl 7.8 Btmş Parça -5Hz, deneysel ver-analz sonucu 3

254 SONUÇ Btmş parçaya at testlern çözümleme sonuçlarıyla çakışması göstermştr k, yalnızca test plakalarından keslmş kauçuk deneklerden yola çıkarak, kauçuk davranış özellklern her br MAR a gerçeğ temsl edecek bçmde grldğnde, elde edlen malzeme model btmş konstrüksüyonun test sonuçlarını sağlamaktadır. Bu sonuç, hakühazırda belrl br konstrüksüyonun olmadığı durumlarda da, malzeme modelnn MAR ta doğru tesptnn ardından, yazılım üzernde güvenlr sonuçlara haz nha konstrüksüyonların tasarlanableceğne şarettr. Böylelkle motorun htyaç duyduğu özelllerdek takoz, yazılım üzernde tasarlanıp, konstrüksüyonu stenen mekank özellkler anlamında güvenlrlk arz eden bu tasarım çn prototp kalıp br defa mal ettrlr ve tek kalıp masrafıyla, deneme yanılmalara en aza ndrerek, htyaç duyulan konstrüksüyon elde edlmş olacaktır. 3

255 KAYNAKLAR [] MS Software, 3 MAR Epermental Elastomer Analyss, 3. [] MS Software, 3 MAR Advanced ourse User Manual. [3] Edted by D. Boast and V. A. oveney, 999, Fnte Element Analyss of Elastomers, Proffesonal Engneerng Publshng. NY [4] Perre Ladevèze, 996 Mècanque Non Lnèare Des Structures, Hermè, [5] M. Remer, J. Bauer, W. Wedg, 993 Mathematsche Methoden Der Technschen Mechank, Sprnger Verlag [6] Aleksey D. Drozdov, 998 Mechancs of Vscoelastc Solds, John Wley & Sons [7] A.I.Borshenko and I.E.Tarapov (Rchard A. Slverman),Vector and Tensor Analyss Wth Applcatons, 968, Dover Publcatons, Inc. [8] ontnuum Mechancs for Engneers, 998, Mase George E., Mase Thomas.G, R Press LL [9] Rande, Daz-alleja,Prolongo, Masegosa, Salom, Polymer Vscoelastcty- Stress & Stran n PractceMarcel Dekker, Inc. [] ASTM D 4-98a (Reapproved ) (Secton 9. edtorally updated n January 3) Standart Test Methods for Vulcanzed Rubber and Thermoplastc Elastomers-Tenson [] ASTM D Standart Test Methods for Rubber Deteroraton Dynamc Fatgue [] M.D.Rao, S. Gruenberg, D. Grffths,998, Measurement of Dynamc Parameters of Automotve Ehaust Hangers, NV- Socety of Automotve Engneers 7,

256 ÖZGEÇMİŞ..977 de İzmr de doğdum. İlkokulun ardından eğtm hayatımı988 de grdğm İzmr Bornova Anadolu Lses Almanca Bölümünde devam ettrdm. 995 de Goethe Insttut un Almanya merkez şubesnden tüm Alman ünverstelerndek olası eğtm hakkı önces dl ön hazırlık muhafyet belges olan Sprachdplom u almaya hak kazandım ve aynı sene ÖYS Türkye 68. s olarak İstanbul Teknk Ünverstes Makne Fakültes Tekstl Bölümüne grdm. İlk sene Maçka Dl Fakültes nglzce hazırlık sınıfından. lk ödülüyle çıkmamın ardından Lsans eğtmm yılında tamamladım ve takp eden İ.T.Ü Makna Fakültes Yüksek Lsans dönem mülakatlarında Konstrüksüyon, Konstrüksüyon ve İmalat Bölümlerne kabul edldm. Terchm konstrüksüyon bölümü yönünde kullandığım yüksek lsans eğtmm süresnce Teklas Kauçuk A.Ş. de Proje Mühendlslğne ek olarak, yne aynı kuruluşta İnglzce, Almanca ve Fransızca (999- seneler arası Fransız Kültür Merkez ve özel ders) dllernde yazılı ve sözlü teknk tercümanlık görevm halen devam ettrmekteym. 34

257 EK-A Deneysel Yolla Elde Edlmş Brm Yerdeğştrme-Mühendslk Gerlmes (MPa) Eğrlerne MAR Ttarafından Çakıştırılan Malzeme Model Eğrlernn Modül Tensör Bleşenle ve Çakışma Sapma Oranını (Error) Gösteren İlgl MAR Pencereler Tek Eksenl Çekme % luk Gernm 35

258 36

259 37

260 38

261 39

262 % lk Gernm 4

263 4

264 4

265 43

266 %3 luk Gernm 44

267 45

268 46

269 47

270 %4 lık Gernm 48

271 49

272 5

273 5

274 %5 lk Gernm 5

275 53

276 54

277 55

278 İk Eksenl Çekme % luk Gernm 56

279 57

280 58

281 59

282 % lk Gernm 6

283 6

284 6

285 63

286 64

287 %3 luk Gernm 65

288 66

289 67

290 68

291 %4 lık Gernm 69

292 7

293 7

294 7

295 %5 lk Gernm 73

296 74

297 75

298 76

299 77

300 Düzlemsel Kayma % luk Gernm 78

301 79

302 8

303 8

304 % lk Gernm 8

305 83

306 84

307 85

308 %3 luk Gernm 86

309 87

310 88

311 89

312 %4 luk Gernm 9

313 9

314 9

315 93

316 %5 lk Gernm 94

317 95

318 96

319 97

320 Her Üç Temel Gerlme Durumu İçn Ortak Olarak Gelştrlen Malzeme Modeller Alt alta yerleştrlmş hata oranı pencerelernde, eğr denklemne ar katsayıları aynı olanların, doğal olarak grafkler de aynı olmaktadır, bundan dolayı, lgl beş gernm oranına at hata oranı penceresnde katsayıları aynı görünen malzeme tplernn (artı katsayılar yöntem etkn kılındığı çn böyle olmaktadır.) grafkler ortak tek br grafk halnde sunulacaktır Bu artı katsayılar yöntemnn, kestrlen modül tensörü değerlene nasıl etkdğ, % gernme at 3. dereceden bçm değştrme yaklaşımında örneklendrlmştr. % luk Gernm 98

321 99

322 3

323 3

324 % lk Gernm 3

325 33

326 34

327 Bu gernm çn, OGDEN ve 3 ün hata oranı pencerelernde, katsayı aded farklı da olsa, eğrye büyük ölçüde etkyen katsayıların yakın değerde ve her k malzeme model tpne at eğrlern brbrlerne hemen hemen çakışık olduğu gözlemlenmştr. Takp eden gernmler çn benzer durumlarda OGDEN veye 3 arasında, hata oranı en az, dolayısıyla deneysel verye en yakın olan tek br tanesnn hata penceres ve grafğ sunulacaktır. %3 luk Gernm 35

328 36

329 37

330 38

331 %4 lık Gernm 39

332 3

333 3

334 %5 lk Gernm 3

335 33

336 34

337 35