BÖLÜM IV SİNÜZOİDAL KARARLI-DURUM (STEADY-STATE) ANALİZİ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BÖLÜM IV SİNÜZOİDAL KARARLI-DURUM (STEADY-STATE) ANALİZİ"

Transkript

1 BÖLÜM IV SİNÜZOİDAL KARARLI-DURUM (STEADY-STATE) ANALİZİ Bağılı veya bağısız bir sinüzoidal kaynak, zaana bağlı olarak sinüzoidal şekilde değişen bir gerili üretir. Bu tip kaynaklara ait gerili ifadesi kosinüs fonksiyonu kullanılarak Denkle (3.1) de ki gibi ifade edilir. V V cos( ) wt (4.1) Kaynağın frekansı ise; f 1 (4.2) T burada frekans, sinyalin bir saniyedeki döngü sayısını ifade eder ve birii hertz (Hz) olarak tanılanır. Ayrıca T ise periyodu tesil eder. 1

2 Açısal frekans ise; 2 w2 f ( rad / sn) (4.3) T Ayrıca belirtilecek olursak 2 rad 360 dir ve Denkle (4.1) de yer alan kaynağın faz açısını, V ise kaynağın aksiu genliğini tesil eder. t 0 da sinüzoidal fonksiyonun değeri faz açısındaki değerdir yani V V cos( ) dir. Faz açısındaki değişi, sinüzoidal fonksiyonu kaydır fakat fonksiyonun genliğini veya açısal frekansını değiştirez. Fonksiyonun zaan düzleinde ne kadar kaydığı wt 0 t p şeklinde bulunur. w 2

3 Sinüzoidal kaynağın diğer bir öneli karakteristiği, kendisinin RMS değeridir. Sinüzoidal kaynağın RMS değeri aşağıdaki gibi bulunur. 1 to T 2 2 Vrs V cos ( wt ) dt T to V 2 dir. Sinüzoidal kaynağın RMS değeri sadece kaynağın aksiu genliği V e bağlıdır. 3

4 4.1 Sinüzoidal Cevap: R it () V S Şekil 4.1: Sinüzoidal kaynakla beslenen RL devresi Şekil 4.1 de yer alan RL devresi, Denkle (4.4) de verilen sinüzoidal kaynakla beslenektedir. V cos( ) S V wt (4.4) Şekil 4.1 de yer alan devre için başlangıç koşulları sıfır alınarak ve KVL kullanılarak, Denkle (4.5) de yer alan diferansiyel denkle elde edilir. 4

5 di L Ri V cos( ) wt (4.5) dt Denkle (4.5) in çözüünün sonucunda; V ( RLt ) V i cos( ) e cos( wt) R w L R w L I II (4.6) 1 wl elde edilir. Burada tan ( ) dir. R Denkle (4.6) da; I, geçici duru bileşeni (transient coponent), II ise; kararlı duru bileşenidir (steady state (ss) coponent). (II) de belirtilen kararlı duru bileşeni için; i. Kararlı duru çözüü sinüzoidaldir. 5

6 ii. Cevabın (ss) frekansı, kaynağın frekansı ile aynıdır. Bu duru lineer devrelerde R, L, C sabit olduğu sürece doğrudur. Eğer frekanslar farklı ise devrede lineer olayan bir elean var deektir. iii. SS (steady state) cevabın aksiu genliği kaynağın aksiu genliğinden farklıdır. Teel devre için (başta verilen devre) aksiu genlik V R w L dir. iv. Cevabın faz açısı, kaynağın faz açısından farklıdır. Örneğin tartıştığıız devre için akıın faz açısı aa gerili kaynağının faz açısı dir. Eğer sadece SS cevap aranıyorsa aksiu genlik ve faz açısının (cevabın) bulunası yeterlidir. Cevabın dalga foru ve frekansı da biliniyor. 6

7 4.2 Fazör Fazör, bir sinüzoidal fonksiyonun genlik ve faz açısı bilgisini içeren kopleks bir sayıdır. Bir exponansiyel fonksiyon; Euler eşitliği kullanılarak Denkle (4.7) de olduğu gibi trigonoetrik fonksiyon cinsinden yazılabilir. e j cos jsin (4.7) burada j cos Re e ve sin Ie j olarak ifade edilir. Denkle (4.7) kullanılarak, Denkle (4.1) de yer alan sinüzoidal fonksiyon aşağıdaki gibi ifade edilir. V V cos( ) wt V Re e j( wt ) 7

8 jwt j V Re e e V j jwt ReV e e (4.8) j burada Ve ifadesi genlik ve faz bilgisi verir. 8

9 4.1.1 Fazör Transforu j Ve ifadesi kopleks bir sayı olduğundan bu ifade Fazör transforu kullanılarak aşağıdaki gibi tanılanabilir. j V Ve P V cos( wt) (4.9) Fazör transforu, sinüzoidal fonksiyonu zaan doeninden karaşık sayı doenine transfer eder. V kutupsal (polar) biçi j Ve V V cos jv sin dikdörtgen (rectangular) biçi Fazör analizinde yukarıdaki iki denklede kullanılır. Kısalta: V j Ve açısal notasyon. 9

10 4.1.2 Ters Fazör Transforu Devre Teorisi Ders Notu Ters fazör transforu, fazör doeninden sinüzoidal fonksiyona geçişi sağlar. Denkle (4.10) ters fazöre ait bir örnektir. TFT V 10026V 100cos( wt26 ) (4.10) Fazörden w değerini çekeeyiz. Fazör sadece genlik ve faz bilgisi içerir. P 1 j Re j jwt Ve Ve e Kararlı duru çözülerinde geçici bileşen, zaanla yok olur ve SS cevap kalır. Dolayısıyla SS cevabı, diferansiyel denklelerde yerine koyarsak eşitlik sağlanır. Sinüzoidal kaynakla sürülen lineer devrelerde SS cevap sinüzoidaldir. SS cevabın çözüü; 10

11 Re j jwt Ae e (4.11) burada A aksiu genlik, ise cevabın faz açısıdır. R it () V S Şekil 4.2: Sinüzoidal kaynakla beslenen RL devresi Şekil 4.2 deki devreye ait kararlı duru (ss) çözüü: j jwt i () Re ss t Ie e. (4.12) 11

12 di L Ri V cos( ) wt de Denkle (4.12) yerine konulursa; dt j jwt j jwt j jwli jwt e e RIe e Ve e Re Re Re (4.13) Denkle (4.13) düzenlenecek olur ise; j jwt j jwt jwl R I e e Ve e Re ( ) Re (4.14) Böylece; j j ( jwl R) I e V e (4.15) veya I e j elde edilir. j Ve ( jwl R) (4.16) 12

13 Eğer zaan doeninde; V V1V2... Vn ise; Fazör doeninde bu ifade V V1V2... V n olarak ifade edilir. Örnek 4.1: y1 20cos( wt 30 ), y2 40cos( wt 60 ) olduğuna göre y y1 y2 ifadesini a) Trigonoetrik birilerle bulunuz. b) Fazör ile bulunuz. Cevap: a) cos( a b) cos( a)cos( b) sin( a)sin( b) trigonoetrik ifadesini kullanarak y1 20cos( wt)cos(30 ) 20sin( wt)sin(30 ) y2 40cos( wt)cos(60 ) 40sin( wt)sin(60 ) olarak ifade edilir. Böylece y; 13

14 y(20cos(30 ) 40cos(60 ))cos( wt) (20sin(30 ) 40sin(60 ))sin( wt) 37.32cos( wt) 24.64sin( wt) olarak bulunur. Şekil 4.3 kullanılarak y de yer alan iki teri bileştirilecek olur ise; Şekil 4.3: y nin çözüünde kullanılan bir üçgen y cos( wt) sin( wt) cos(33.43 ) sin(33.43 ) 14

15 y 44.72cos( wt 33.43) b) y y1 y2 ifadesi fazör doeninde aşağıdaki gibi elde edilir. YY Y (17.32 j10) (20 j34.64) j Ters fazör kullanılarak; y 1 1 j33.43 P {Y} P {44.72 e } j33.43 jwt Re{44.72 e e } 44.72cos( wt ) 15

16 4.3 Fazör Doeninde Pasif Devre Eleanları (R, L, C) Resistör (R) için akı-gerili ilişkisi Oh kanunundan; direnç (R) üzerindeki akı zaanla sinüzoidal olarak değişiyorsa yani i I cos( wt ) ise, R nin uçlarındaki voltaj; V R[ I cos( wt )] i RI [cos( wt )] (4.17) i burada I akıın aksiu genliği i ise akıın faz açısı. Gerili fazör transforu ise; i 16

17 Vi, V i i V ( q = 60 ) i t Şekil 4.4: Direnç uçlarındaki akı ve geriliin zaana göre değişii Şekil 4.4 den görüldüğü gibi akı ile gerili arasında faz kayası yoktur. Maksiu ve iniu noktaları gerili ve akı için aynı anda oluşaktadır. Fakat genlik değerleri farklıdır. 17

18 4.3.2 İndüktör (L) için akı-gerili ilişkisi Bobin gerilii; i I cos( wt ) akı ifadesi kullanılarak; i di V L wlisin( wt i) (4.19) dt Denkle (4.19) da elde edilen bobin gerilii, kosinüs fonksiyonu kullanılarak aşağıdaki gibi yeniden yazılır. V wli cos( wt 90 ) Denkle (4.20) nin fazörü ise; i (4.20) V i wli e j( 90 ) wli e j i e j90 j90 ( e cos(90) jsin(90) j) j i jwli e V jwli. (4.21) 18

19 jwl Şekil 4.5: Bobinin frekans doeni eşdeğer devresi Vi, V i t ( q = 60 ) i Şekil 4.6: Bobin uçlarındaki akı ve geriliin zaana göre değişii 19

20 Şekil 4.6 dan görüldüğü gibi akı ve gerili arasındaki faz farkı 90 dir V ( wl90 ) I i wli 90 i Akı, gerilii 90 farkla geriden takip eder (periyodun 1 4 ü). 20

21 4.3.3 Kapasitör (C) için akı-gerili ilişkisi Kapasitör akıı; i dv C, V Vcos( wt v) gerilii kullanılarak; dt i wcv sin( wt ) (4.22) v Denkle (4.22) da elde edilen kapasitör akıı, kosinüs fonksiyonu kullanılarak aşağıdaki gibi yeniden yazılır. i wcv cos( wt 90 ) Denkle (4.23) ün fazörü ise; v j( v 90 ) I wcve j90 ( e cos(90) jsin(90) j I j jwcv e v V ) (4.23) I jwcv (4.24) 21

22 Kapasitöre ait gerili ise; Devre Teorisi Ders Notu V I (4.25) jwc i V t ( q = 60 ) i Şekil 4.7: Kapasitör uçlarındaki akı ve geriliin zaana göre değişii Şekil 4.7 den görüldüğü gibi gerili akıı 90 geriden takip eder. 22

23 V Devre Teorisi Ders Notu 1 I 90 Ii i 90 wc wc Aynı zaanda o Z C V ZI dır ve burada Z epedansı tesil eder. 1 kapasitör epedansı (). jwc o ZL jwl bobin epedansı (). o wl, indüktif reaktans () (j yok). o 1 wc, kapasitif reaktans () (j yok). Epedans kopleks sayı olsa da Fazör değildir. Fazörler kopleks sayılar Fazörler kopleks sayılar (Her zaan değildir.) 23

24 4.4 Fazör Doeninde Kirchhoff Kanunları Kirchoff un geriliri kanuna (KVL) göre kapalı bir çevrideki (devrede) gerililerin toplaı sıfırdır. V1V2... V n 0 (4.26) Sinüzoidal kararlı duru için ise; V cos( wt ) V cos( wt )... V cos( wt ) 0 (4.27) n n Denkle (4.27), Euler eşitliği kullanılarak; j 1 jwt j n jwt V 1e e Vne e Re... Re Re ( j j... j V e V e V e n ) e jwt 0 veya 1 2 n 1 2 (4.28) Re ( V V jwt... V ) e 0 (4.29) n 24

25 olarak elde edilir. jwt Denkle (4.29) da e 0, dolayısıyla V1V2... V n 0 (4.30) olur. Sonuç olarak KVL fazör doeninde de geçerlidir. Kirchoff un akı kanuna (KCL) göre bir düğüe giren ve çıkan akıların toplaı sıfırdır. Yani i 1 i 2... i n 0 ise fazör doeninde; I1I2... I n 0 dır. (4.31) 25

26 4.5 Seri, Paralel ve Yıldız-Üçgen (Delta to Wye) Sadeleştire Seri Epedans Devresi: a V ab b Z1 Z2 Şekil 4.8: Seri epedans devresi I Zn Vab Z1IZ2 I... ZnI V ab ( Z Z... Z ) I 1 2 n Z ab Zab V I ab 26

27 Örnek W 32 H V s 5F Şekil 4.9: Örnek 4.2 ye ait devre Şekildeki devrede kaynak gerilii V 750cos(5000t 30 ) s a) Fazör eşdeğer devresini çıkarınız. b) Fazör yönteini kullanarak kararlı duru (steady state (ss)) akıını bulunuz. ise; 27

28 Cevap: Devre Teorisi Ders Notu a) Devrenin kaynağı incelendiğinde, açısal frekans w 5000 rad / sn dir. Bobin ve kapasitöre ait epedans değerleri ise; Z jwl j x j L (32 10 ) 160, Z C j j40 jwc 5000x5. Sinüzoidal kaynak fözör transaforu kullanarak; FT V V s s 90W 32 H 75030V 5F Şekil 4.10: Frekans doenindeki eş değer devresi 28

29 b) Z 90 j160 j40 90 j ab Böylece; I A Akıın kararlı duru ifadesi ise; 29

30 Paralel Epedans Devresi: a Z ab V I Z1 Z2 I2 Z n In b Şekil 4.11: Paralel epedans devresi Z Z Z Z ab 1 2 I I1I2... I n V V V... V Z Z Z Z ab 1 2 n n 30

31 1 Z epedansı aynı zaanda Aditans (Y) olarak tanılanır. Yani 1 Y Z (Sieens) ifadesi aditans kullanılarak Z Z Z Z ab 1 2 Yab Y1Y2... Yn olarak ifa edilir. Bobinin epedansı ZL Y L n jwl, aditans kullanılarak 1 1 aditans ( indüktif susceptance) jwl wl Kapasitörün epedansı 1 jwc, aditans kullanılarak YC jwc aditans (wc kapasitif susceptance) 31

32 Örnek 4.3: i 3 I s V i 1 10W i 2 6W 1F 40H Şekil 4.11: Örnek 4.3 e ait devre Şekildeki devreye ait akı kaynağı i 8cos( t) A olduğuna göre; a) Fazör eşdeğer devresini çıkarınız. b) Vii, 1, 2, i 3 için SS ifadelerini çıkarınız. s 32

33 a) I s 8 0 A. Z jwl j x x j L Devre Teorisi Ders Notu 1 1 j5 jwc j200000(1x10 ) , ZC 6 I 3 I s V I 1 10W I 2 6W j8w -j5w 1 b) Y Y j j j

34 Y 3 1 j5 j0.2 Böylece aditansların toplaı; Y Y1Y2 Y j Aditanstan epedansa geçilecek olur ise; 1 Z Y Gerili; V ZI 4036,87V Böylece her bir koldaki akı ifadeleri; I 1 V 4036,87 436,873.2 j2.4a Z

35 I I Devre Teorisi Ders Notu V 4036,87 490j4A Z 6 j8 V 4036, j6.4a Z I=I +I I j2.4 j4 4.8 j6.4 8 j0 Geriliin ve akıların kararlı duru zaan doeni ifadeleri ise; V 40cos(200000t36.87 ) V i1 4cos(200000t36.87 ) A i2 4cos(200000t90 ) A i3 8cos(200000t53.13 ) A 35

36 4.6 Yıldız-Üçgen Dönüşüü Devre Teorisi Ders Notu a Z c b Z 1 n Z 2 Z b Z a Z 3 c Şekil 4.12: Yıldız üçgen dönüşüü 36

37 Üçgen-Yıldız Z Z Z ZZ b c Z Z Z a b c ZZ c a Z Z Z a b c ZZ a b Z Z Z a b c 37

38 Yıldız-Üçgen Z Z Z a b c ZZ ZZ ZZ Z ZZ ZZ ZZ Z ZZ ZZ ZZ Z

39 Örnek 4.4: 1W j3w 0.2W j0.6w 40 0 V 9W 10W -j3w -j19w V o Şekil 4.13: Örnek 4.4 e ait devre Şekildeki devrede V o geriliini bulunuz. Cevap: Devrede kaynak dönüşüü yapılacak olur ise akı kaynağı; I (1 j 3) 4 j 12 A. 1 j

40 0.2W j0.6w 4- j12 1W j3w 9W 10W -j3w -j19w V o Şekil 4.14: Kaynak dönüşüünden sonra örnek 4.4 e ait devre Şekil 4.14 de yer alan paralel kolların eşdeğer epedansı; (1 j3)(9 j3) Z 1.8 j2.4 bulunur. 10 Daha sonra tekrar kaynak dönüşüü yapılarak gerili kaynağının değeri; V (4 j12)(1.8 j2.4) 36 j12v. 40

41 1.8W j2.4w 0.2W j0.6w 36- j12v I o 10W -j19w V o Şekil 4.15: Kaynak dönüşüünden sonra devrenin son hali Deveye ait akı ise; V 36 j12 12(3 j) Io 1.56 j1.08 A Z 12 j16 4(3 j4) T Böylece V o gerilii; V I Z (1.56 j1.08)(10 j19) j18.84v o o o 41

42 Örnek 4.5: 12W -j40w 120W a V 60W Vx 10V x Şekil 4.16: Örnek 4.5 e ait devre Şekildeki devrenin a ve b uçlarına göre Thevenin eşdeğerini bulunuz. b 42

43 Cevap: Devre Teorisi Ders Notu Şekil 4.16 daki devrede, kaynak dönüşüü yapılacak olur ise akı kaynağı değeri; A olarak bulunur. 10 A 12W 60W Şekil 4.17: Örnek 4.5 e ait devrenin kaynak dönüşüünden sonraki hali Şekil 4.17 de yer alan devrede eşdeğer direnç 12 x dur

44 Tekrar kaynak dönüşüü yapılacak olur ise devrenin son hali Şekil 4.18 deki gibi elde edilir. -j40w I 10W 120W a V Vx 10V x V Th Şekil 4.18: Devrenin kaynak dönüşüünden sonraki hali Şekil 4.18 de yer alan devre analiz edilecek olur ise; I j40i 120I 10V (130 j40)i 10V x Vx I ifadesi yukarıdaki eşitlikte yerine yazılır ve böylece; 44 x b

45 900 I A 30 j40 Vx I 208 j144v Devre Teorisi Ders Notu Böylece a ve b noktaları arasındaki Thevenin gerilii; VTh 10Vx 120I 2080 j (18) j V. Thevenin eşdeğer epedansı için; gerili kaynakları kısa devre, akı kaynakları açık devre; 45

46 10W 12W -j40w I a 120W a 60W V x I b 10V x I T V T b Şekil 4.19: Thevenin eşdeğer epedansının hesaplanasında kullanılan devre Şekil 4.19 da yer alan devre analiz edilecek olur ise; I I a b VT, 10 j40 V 10VT VT VT 10Vx 1 j x 10VT VT 10Ia 10 j40 1 j4 46

47 V j4v 10V 120(1 j4) T T T V(9 T j4) 120(1 j4) II I a b VT 9 j4 (1 ) 10 j40 12 V(3 T j4) 12(10 j40) Z Th VT 91.2 j 38.4 I T 47

48 91.2W -j38.4w a 784- j288v Şekil 4.20: Örnek 4.5 e ait devrenin Thevenin eşdeğeri b 48

49 4.7 Fazör Diyagraı Devre Teorisi Ders Notu Fazör diyagraı, devrede SS sinüzoidal işlein analizi için kullanılan bir yöntedir. Fazör diyagraı, kopleks sayılar düzleinde her bir fazör niceliğinin genlik ve açı bilgisini gösterir Şekil 4.21: Örnek fazör diyagraı 49

50 -7 - j3 Şekil 4.22: 7 j fazör diyagraı ile gösterii 50

51 R jwl 1 1 Ia Ib Ic Vs I V L R 2 jwl 2 1 jwc Şekil 4.23: Bir dağıtı hattı devresi Şekil 4.23 deki devre; bir dağıtı hattının seri R 1 ve L1 ile tesil edildiği ve yük olarak da R 2 ve L 2 (paralel) yükünün olduğu bir durudur. Devrenin sonuna bir kapasitör (C ) eklenerek V s değiştirilse de V L nin (hat geriliinin) sabit kalası sağlanır. 51

52 Kapasitör (C) yokken: Devre Teorisi Ders Notu i. Yük voltajı V L yi sabit tutak istediğiizden, V L referans; V L ii. I a, V L ile aynı fazdadır ve genliği V L R dir. 2 I a V L iii. I b, V L yi 90 geriden takip eder ve genliği V L wl dir. 2 I a V L I b 52

53 iv. Hat akıı I Ia Ib dir. Devre Teorisi Ders Notu I a V L I b v. R 1 üzerine düşen gerili I ile aynı fazdadır. L 1 üzerine düşen gerili ( jwl1i ) hat akıından 90 öndedir. 90 jwl1 I I a V L I b vi. Kaynak voltajı, Vs VL ( R1 jwl1) I ise; 53

54 jwl1 I V s jwl1 I 90 I a V L I b Kapasitör (C) bağlanırsa: I c Ia VL I b 54

55 I c V s V s Ia VL I b C yi şönt olarak ekledik V L değişez. Sadece V s değişir. 55

56 Kaynak Devre Teorisi Ders Notu J. W. Nilsson and S. Riedel, Electric Circuits, Pearson Prentice Hall. 56