ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ"

Transkript

1 ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ GİRİŞ Önceki bölümde cisme etkiyen kuvvetlerin dengesi incelenerek gerilme kavramı geliştirildi. Bu bölümde ise şekil değiştiren cisim mekaniğinin en önemli kavramlarından biri olan şekil değiştirme incelenecektir. Bu kavram sayesinde, riit cisim mekaniği ile çözülemeyen problemler çözülür hale gelmektedir. Bir cismin şekil değiştirmesi, üzerine etkiyen dış kuvvetler nedeniyle olduğu gibi başka nedenlerle de olabilir; örneğin sıcaklık değişimi, kimyasal etkiler gibi. Bu etkiler cismin boyutlarını ve/veya biçimini değişir. Bir cismin şekil 4.1 de görülen yer değiştirmesini inceleyelim. İnceleme için cisim üzerinde alınan A, B ve C noktalarını göz önüne alalım. Cismin yer değiştirmesinden sonra bu noktalar A 1, B 1 ve C 1 konumlarına gelsinler. AA 1, BB 1 ve CC 1 vektörleri sıra ile A, B ve C noktalarının yer değiştirmelerini gösterir. Bu nedenle bu vektörlere yer değiştirme vektörleri adı verilir. Bir cismin yer değiştirmesi iki tip yer değiştirmenin toplamıdır: Birinci tip yer değiştirme cismin bir bütün olarak ötelenmesi ve/veya dönmesidir. Bu tip yer değiştirmede cismin noktalarının birbirlerine göre konumları değişmez; dolayısıyla cismin boyutları ve şekli değişmez, sadece cisim olduğu gibi yer değiştirir. Bu nedenle, bu tip yer değiştirmelere riit cisim yer değiştirmeleri veya riit cisim hareketi adı verilir. Şekil 4.2 (a) da bir ötelenme tipi yer değiştirme, şekil 4.2 (b) de bir dönme tipi riit yer

2 2 Elastisite değiştirme görülmektedir. Şekil 4.2 (c) de ise riit ötelenme ve dönmenin toplamından oluşan bir riit yer değiştirme görülmektedir. Ötelenme tipi yer değiştirmede bütün noktalardaki yer değiştirme vektörleri eşittir. Dönme tipi yer değiştirmede cismin bütün noktaları bir eksen etrafında daireler çizerek ayni θ açısı çizerek dönerler. Sonlu dönmeler vektör ile gösterilemez. İkinci tip yer değiştirmede ise cismin noktalarının birbirlerine göre konumları değişir. Bu tip yer değiştirmeler cisimde şekil değiştirmeye yol açar bu nedenle bu tip yer değiştirmelere şekil değiştirme adı verilir. Şekil 4.1 de görülen A, B ve C noktaları arasındaki AB, BC, CA uzaklıklarını ve BAC açısını düşünelim. A, B ve C noktaları A 1, B 1 ve C 1 konumlarına geldiklerinde AB uzunluğu A 1 B 1 uzunluğundan farklı ise A noktasının konumu B ye göre değişmiştir ve burada bir şekil değiştirme vardır. Bazı hallerde AB nin uzunluğu A 1 B 1 ye göre değişmemekle birlikte ABC açısı değişebilir. Bu durumda bir şekil değiştirmedir. Birinci durumdaki şekil değiştirmeye uzama şekil değiştirmesi veya uzunluk şekil değişmesi veya boy değişimi, ikinci durumdaki şekil değiştirmeye ise açısal şekil değişimi veya kayma şekil değiştirmesi adı verilir. Şekil 4.3 (a)-(b) de sadece şekil değiştirmeler vardır; riit yer değiştirmeler bulunmamaktadır.

3 Şekil Değiştirme Hali 3 Riit cisim yer değiştirmeleri cismin konumunu, şekil değiştirmeler ise cismin geometrisini değiştirir. Riit cisim yer değiştirmeleri küçük veya büyük olabilir buna karşın şekil değiştirmeler küçüktür. Riit cisim yer değiştirmelerinin incelenmesi dinamik için şekil değiştirmelerin incelenmesi ise mukavemet için önemlidir. ŞEKİL DEĞİŞTİRMENİN ELEMANTER OLARAK İNCELENMESİ Yukarıda belirtildiği gibi, bir cismin şekil değiştirmesi, boyutlarının veya biçiminin değişmesi şeklinde iki tipte olmaktadır. Dolayısıyla şekil değiştirmenin farklı iki elemanı bulunmaktadır. Bu elemanların ölçümleri de farklı olacaktır. Cismin boyutlarının değişmesi, uzunlukların değişmeleri ile ölçülür. Biçiminin değişmesi ise açılarının değişmeleri ile ölçülür. Şekil 4.4 de görüldüğü gibi x ekseni üzerinde A ve B noktalarını alalım. Şekil değiştirmeden sonra bu noktalar A 1 ve B 1 konumlarına gelsinler.

4 4 Elastisite AB AB AB 1 1 = (4.1) Yukarıda verilen eşitlik ile tarif edilen boyutsuz büyüklüğe birim uzama veya uzama oranı adı verilir. Bu değer A ve B noktaları arasında ortalama birim uzamadır. Bu büyüklüğün değeri küçüktür (mühendislikte kullanılan bir çok malzeme için). B noktasını A ya yaklaştırıp limite geçildiğinde AB AB lim AB 1 1 x = (4.2) B A olarak elde edilen büyüklük A noktasında x doğrultusunda birim uzamayı gösterir. değeri artı olduğunda boy uzamasını, eksi olduğunda ise boy kısalmasını gösterir. Açısal şekil değişiminin ölçülmesi için şekil 4.5 de görüldüğü gibi bir dik açı alınır. A noktasında açı değişimi diklikten sapmanın ölçüsü olarak aşağıdaki şekilde tarif edilir. π γ xy = lim( CAB 1 1 1) (4.3) B A 2 C A Yukarıda görüldüğü gibi açı değişimi, iki indis ile gösterilmektedir. Göz önüne alınan doğrultular eksenler ile aynı doğrultuda ve açı azalıyor ise γ xy >0 dir. γ xy değerine kayma açısı adı da verilir.

5 Şekil Değiştirme Hali 5 Şekil değiştirme hali: Cismin içinde bir A noktasında boy değişiminden veya açı değişiminden bahsedilemez. Bunlardan bahsedebilmek için A noktasından geçen bir doğrultunun veya yönlendirilmiş bir açının verilmesi gerekir. A noktasından geçen üç doğrultudaki boy değişimi ve üç açının değişimini bilinirse herhangi bir doğrultudaki boy değişimi ve herhangi bir açının değişimi bulunur. A noktasında şekil değiştirmeyi analiz etmek için şekilde görülen boyutları çok küçük dikdörtgen bir prizma alalım. Bu prizmanın kenarlarındaki birim uzamalar x, y, z ve açı değişimleri γ xy, γ xz, γ yz değerleri ile verilsin. Verilen herhangi bir doğrultudaki uzunluk değişimi ve açı değişimi, geometrik esastan hareket edilerek, verilen bu altı değerden bulunabilir. Bu altı değer, gerilme halinde olduğu gibi, aşağıda verilen bir tabloda toplanabilir. 1 1 x 2γ xy 2γ xz 1 1 2γ yx y 2γ yz (4.4) 1 1 2γ zx 2γ zy z Bu değerlere şekil değiştirme halinin bileşenleri adı verilir. Detaya inmeden, şekli değiştirme halinin simetrik bir tansörel büyüklük olduğunu belirtelim; ispatı ileride yapılacaktır. Bir noktada, bir doğrultu ile ona dik bütün doğrultular arasındaki açı değişimi sıfır ise bu doğrultuya asal doğrultu ve bu doğrultudaki uzamaya asal uzama adı verilir. Bir noktadan geçen bir eksen takımında açı değimlerinden üçü birden sıfır ise böyle takıma asal takım, doğrultularada asal uzama doğrultuları adı verilir. Kenarları asal uzama doğrultularına paralel olan elemanların açıları bozulmaz sadece kenar boyları değişir.

6 6 Elastisite Açı değimlerinin ve simetrinin açıklanması: Prizmanın xy düzlemindeki tabanının açı değişimi şekil 4.7 (a) da görüldüğü gibi γ xy =α+β dır. Prizmayı z ekseni etrafında kenarları x ve y eksenleri ile eşit açılar yapacak şekilde döndürelim; yani (α-β)/2 açısı kadar; şekil 4.7 (b). Dönme riit olduğundan bu döndürmenin şekil değiştirmeye etkisi yoktur. Bu durumda yeni açılar α*=β*=γ xy /2 dir. α* açı değişimi, x koordinatları y doğrultusunda hareket ettirdikleri için, xy olarak tanımlanır. Aynı şekilde; β* açı değişimi ise y koordinatları x doğrultusunda hareket ettirdikleri için yx olarak tanımlanır. Şekil 4.7 (b) de görüldüğü gibi xy = yx =γ xy /2 dir. Şekil 4.8 de zy, yz, zx ve xz açı değişimleri görülmektedir. Kayma açılarının artı yönleri kayma gerilmelerinin artı yönleri ile uyum sağlamalıdır. Yukarıda görüldüğü gibi altı değer şekil değiştirme halinin bileşenleridir. Şekil değiştirme halinin tansörel bir büyüklük olduğu ilerde ispat edilecektir yalnız burada bu tansörün simetrik olduğunu söyleyebiliriz.

7 Şekil Değiştirme Hali 7 Bir noktada altı büyüklük x, y, z, xy = yx, yz = zy, xz = zx bilindiğinde verilen herhangi bir doğrultudaki uzunluk değişimi ve açı değişimi, geometrik esastan hareket ederek bulunur. Altı büyüklük toplama gösterilimine uyum sağlaması için 11, 22, 33, 12 = 21, 13 = 31, 23 = 32 şeklinde de gösterilir. Altı değere, şekil değiştirme halinin bileşenleri adı verilir ve gerilme halinde olduğu gibi, aşağıda verilen bir tabloda toplanabilir. γ γ E = = = (4.5) 1 1 xx 2 xy 2 xz xx xy xz γ yx yy 2γ yz yx yy yz γ zx 2γ zy zz zx zy zz Yukarıda görülen altı değer simetrik bir tansörün bileşenleridir. Bu tansöre şekil değiştirme tansörü adı verilir. Mühendislik hesaplarında, karışık bileşen olarak kayma açısı γ i (i, i=1,3;=1,3) kullanılır; tansör hesaplarında ise kayma şekil değiştirmesi i (i, i=1,3;=1,3) kullanılır.

8 8 Elastisite ŞEKİL DEĞİŞTİRMENİN GENEL OLARAK İNCELENMESİ Kapalı bir R bölgesi ile belirlenen bir cismi göz önüne alalım. Bu cisim şekil değiştirdikten sonra bölge R* bölgesinde bulunsun. Cisim üzerinde alınan P noktası P* gelsin. P noktasının komşuluğundan bulunan noktalar P* noktasının komşuluğunda da olsun. Kısaca bu şekil değiştirme esnasında noktaların komşuluğu değişmesin. Örneğin P ve Q noktaların komşuluğu aynı kalsın. R bölgesinin ve şekil değiştirdikten sonra bulunduğu R* bölgesinde tanımı genel olarak iki farklı koordinat sistemleri ile yapılmaktadır. R bölgesi (x 1, x 2, x 3 ) veya (x,y,z) koordinatları ile, R* bölgesini ise (ξ 1, ξ 2, ξ 3 ) veya (ξ, η, ζ ) koordinatlar ile tanımlayalım. Burada bu koordinatların bağlı olduğu A,B gibi iki farklı referans çerçevesi bulunmaktadır. R bölgesindeki bir P (x 1, x 2, x 3 ) noktası, koordinat dönüşümleri yardımı ile R* bölgesindeki P* (ξ 1, ξ 2, ξ 3 ) dönüşmektedir.

9 Şekil Değiştirme Hali 9 Bu iki koordinat takımı arasında x = x ( ξ, ξ, ξ, t) i = 1,2,3 i i ξ = ξ ( x, x, x, t) i = 1,2,3 i i bağıntı vardır. Bu bağıntılar kullanılırken zamana göre değişimler ihmal edileceğinden zaman parametresi kullanılmayacak. Ayrıca dönüşümün tek değerli olması için aşağıda verilen bağıntı sağlanmalıdır. J ξ1 ξ1 ξ 1 x1 x2 x 3 ξ ξ ξ ξ x x1 x2 x 3 ξ3 ξ3 ξ 3 x1 x2 x3 i 2 = = 0 İki koordinat takımı arasında bire bir dönüşüm vardır. (ξ 1, ξ 2, ξ 3 ) fonksiyonları (x 1, x 2, x 3 ) değişkenlerine göre sürekli ve türeve haiz olmaları gerekir. Aksi halde ortamda bir yırtılma bulunacaktır. Bağımsız değişken olarak x i veya ξ i değişkenleri seçilebilir. Akışkanlar mekaniğinde x i değerleri seçilirse bunun anlamı belirli parçacığın hareketinin takibidir. Bu koordinatlara maddesel veya Lagrange koordinatları adı verilir. ξ i değişkenleri bağımsız değişken olarak (ξ 1, ξ 2, ξ 3 ) noktasını veya belirli bölgeyi sabitlemiş olmaktayız. Dolayısıyla belirlenen (ξ 1, ξ 2, ξ 3 ) noktasından geçen parçacıklara ait değerler incelenir. Bu koordinatlara Euler koordinatları veya uzaysal koordinatlar adı verilir. Bir büyüklük S(x 1, x 2, x 3 ) şeklinde maddesel koordinatlar ile veya S (ξ 1, ξ 2, ξ 3 ) şeklinde uzay koordinatları ile incelenir. Akışkanlar mekaniğinde, genelde, uzaysal koordinatlar hız, ivme gibi büyüklüklerin belirlenmesinde kullanılır. Katı cisim mekaniğinde de büyük yer değiştirmelerde de uzay koordinatlar kullanılır. Bazı kolaylıklar sağlamasına karşın sınırların önceden bilinmemesi problem çıkartır.

10 10 Elastisite Şekil değiştirme, yukarıda tanımlanan iki farklı A ve B çerçevelerinde iki eğrisel koordinat kullanılarak genel olarak incelenebilir. Bazı problemlerde şekil değiştirmeler, iki eksen takımı almayı gerektirmez iki çerçeveyi üst üste alıp dik kartezyen koordinatları kullanarak incelenebilir. Birinci sistemdeki yay elemanı ds ikinci sistemdeki yay elemanı ds* olsun. Bu büyükler aşağıda verilen şekilde yazılır. x x x dx = dξ + dξ + dξ = x dξ dx = x dξ , i i, ξ1 ξ2 ξ3 ξ ξ ξ dξ = dx + dx + dx = ξ dξ dξ = ξ dx , i i, x1 x2 x3 ds = dx + dx + dx = dx dx = δ dx dx ds = dxkdxk dxk = xk, id i = xk, d ξ ξ 2 ds = xki, xk, d id i i i i ξ ξ ( ds*) = dξ + dξ + dξ = dξdξ = δ dξdξ ( *) ds = dξkdξk dξk = ξk, idxi = ξk, dx ( ds*) 2 = ξ ξ dx dx ki, k, i i i i i ( ds*) ds = ξk, iξk, dxidx δidxidx = ( ξk, iξk, δi) dxidx ( ds*) ds = 2 Eidxidx Ei = ( ξk, iξk, δi )/2 Yukarıda verilen E i tansörüne Green birim şekil değiştirme tansörü adı verilir. Yukarıda verilen bağıntılar uzaysal koordinatlar ile yazıldığında ( ds*) ds = δidξidξ xk, xk, idξidξ = ( δi xk, xk, i) dξidξ ( ds*) ds = 2 idξidξ i = ( δi xk, xk, i )/2

11 Şekil Değiştirme Hali 11 Elde edilen i tansörüne Cauchy birim şekil değiştirme tansörü adı verilir. Cisim riit hareket yapıyorsa yukarıda belirtilen iki tansör sıfırdır. Green ve Cauchy tansörlerinin yer değiştirmeler cinsinden ifadesi: Şekilde görüldüğü gibi aynı koordinat takımı alındığında yer değiştirme ifadesi u = ξ x i i i şeklinde yazılır. Bu bağıntı kullanılarak aşağıda verilen bağıntılar elde edilir. xi ui xi = ξi ui = δi xi, = δi ui, ξ ξ ξi ui ξi = ui + xi = + δi ξi, = ui, + δi x x yukarıda verilen bağıntılar Green ve Cauchy tansörlerinde yerlerine konulduğunda u ui uk uk Ei = [( uk, i + δik )( uk, + δk ) δi ] = ( u, i + ui, + uk, iuk, ) = ( + + ) 2 x x x x i i u ui uk uk i = [ δi ( δk uk, )( δki uk, i )] = ( u, i + ui, uk, iuk, ) = ( + + ) 2 ξ ξ ξ ξ i i elde edilir. Küçük yer değiştirmeler için yani

12 12 Elastisite u i x u 1 1 ξ i için ikinci mertebeden çarpımlar ihmal edilir ve ui ui xm ui ui um ui = ( ) = [ ( ξm um)] = ( δm ) ξ x ξ x ξ x ξ x m m m bağıntısı kullanır ise aşağıda verilen sonuçlar elde edilir. 1 u u 1 E = = ( + ) = ( u + u ) i i i, i i, 2 xi x 2 Yukarıda bulunan sonucun x,y ve z koordinat takımında açılmış hali aşağıda verilmiştir. u 1 1 u v xx = xy = γ xy = ( + ) x y x v 1 1 v w yy = yz = γ yz = ( + ) y z y w 1 1 u w zz = zx = γ zx = ( + ) z z x i= E i tansörünün elemanlarına anlam vermeye çalışalım. x ekseni doğrultusunda bir doğru alalım. dy=dz=0 ve ds=dx olacaktır. Bu durumda aşağıda verilen bağıntılar yazılır. ( *) ( ) = 2 xx ( * )( * + ) = 2xx ds ds dxdx ds ds ds ds dsds ( ds * ds)( ds * + ds) ( ds * ds)2ds = 2xx 2 dsds dsds ds * ds xx ds xx

13 Şekil Değiştirme Hali 13 Görüldüğü gibi xx daha önce tanımlanan x ekseni doğrultusunda birim şekil değiştirmeyi göstermektedir. Karışık bileşenler aşağıda belirtilen şekil değiştirmeler ile yer değiştirmeler arasındaki bağıntının geometrik analizden bulunur. Şekil değiştirme bileşenleri ile yer değiştirmeler arasındaki bağıntıların geometrik olarak elde edilmesi: Şekil değiştirme bileşenleri ile yer değiştirme bileşenleri arasındaki bağıntıyı düzlemsel halde bulmak için kenarları x, y olan ABCD elemanını göz önüne alalım; şekil Bu elemanın A, B, C ve D noktaları şekil değiştirmeden sonra sıra ile A 1, B 1, C 1, D 1, konumlarına gelsinler. AA 1 vektörü A noktasının yer değiştirme vektörüdür. Yer değiştirme vektörünün x, y doğrultularındaki bileşenleri sıra ile u ve v olsun. A noktasından x kadar uzakta olan B noktasının yer değiştirmesinin bileşenleri sıra ile u+( u/ x) x ve v+( v/ x) x olacaktır. Aynı şekilde D noktasının yer değiştirme bileşenleri u+( u/ y) y ve v+( v/ y) y dir. Şekil 4.27 de görülen α 1 ve α 2 açıları küçük olduğundan

14 14 Elastisite [ x + u+ ( u/ x) x u] x u x = = x x [ y+ v + ( v/ y) y v] y v y = = x y bulunur. Açı değişimi aşağıda verilen şekilde bulunur. v + ( v/ x) x v u+ ( u/ y) y u γ xy = α1+ α2 = + x y v u γ xy = + x y Bu bağıntılar yer değiştirme şekil değiştirme bağıntılarıdır. (4.31) (4.32) Sonsuz küçük dönmeler: u i, tansörü 1 1 ui, = ( ui, + u, i) + ( ui, u, i) Şeklinde yazılır. Yukarıda verilen birinci terim i birim şekil değiştirme tansörünü vermektedir. İkinci terim ise ω i ile gösterilen sonsuz küçük dönme tansörünü vermektedir. Bu tansör antisimetriktir. u i, tansörü birim şekil değiştirme ve dönme tansörü ile aşağıda verilen şekilde yazılır. u = + ω i, i i Uygunluk şartları:(4.31) eşitliği ile (4.32) arasında türev alınarak yer değiştirmeler yok edildiğinde aşağıda verilen bağıntı elde edilir. 2 x y γ xy + = y x x y (4.33) Bu bağıntıya uygunluk şartı adı verilir. Yukarıda (4.31), (4.32) ve (4.33) eşitlikleri ile verilen şekil değiştirme yer değiştirme bağıntıları ile uygunluk şartı kolaylıkla üç boyutlu hale genişletilebilir. Üç boyutlu halde yer değiştirme vektörünün x, y ve z doğrultularındaki bileşenleri sıra ile u,v ve w olduğuna göre; üç boyutlu hal için aşağıda verilen bağıntılar elde edilir.

15 Şekil Değiştirme Hali 15 u v w x = y = z = x y z u v v w u w γ xy = + γ yz = + γ zx = + y x z y z x (4.34) y γ x xy xy + = = 2 y x xy xy γ y z yz yz + = = 2 z y y z y z z x γ zx zx + = = 2 x z z x z x 2 x γ yz γ γ zx xy 2 = ( + + ) y z x x y z 2 y γ γ zx xy γ yz 2 = ( + + ) zx y y z x 2 z γ xy γ yz γ zx 2 = ( + + ) x y z z x y (4.35) Yukarıda verilen denklemleri toplu şekilde yazmak için şekil 4.35 de görüldüğü gibi x 1, x 2 ve x 3 eksen takımı alalım. u yer değiştirme vektörü, bileşenleri ise u 1, u 2 ve u 3 olsun; yani u 1 =u, u 2 =v, u 3 =w olsun. Bu durumda şekil değiştirme tansörünün bileşenleri olan 11, 22, 33, 12, 13, 23, 21, 31, 32 aşağıda verilen şekilde yazılır.

16 16 Elastisite 1 u u 1 = ( + ) ( i, = 1,3) veya = ( u + u ) i i i i,, i 2 x xi 2 + = + (4.36) i, kl kl, i ik, l l, ik Yukarıda verilen ikinci bağıntıdan 3 4 =81 adet denklem elde edilir. Bunlardan bazıları özdeş olarak sağlanır, bazıları birbirlerinin tekrarıdır. Geriye 6 bağımsız denklem kalır. Yukarıda verilen bağıntılar (4.34) ve (4.36) bağıntılarının toplu olarak yazılmasıdır. Örneğin: 1 u u u u ( ) = + = = = 2 x1 x1 x1 x 1 u u 1 u v 1 12 = + = + = γ xy ( ) ( ) x2 x1 y x x EKSENLERİN DÖNDÜRÜLMESİ HALİNDE ŞEKİL DEĞİŞTİRME BİLEŞENLERİNİN DEĞİŞMESİ: Şekil 4.35 de görülen s, t ve d eksen takımını göz önüne alalım. Şekil değiştirme tansörünün bu eksen takımında bileşenleri * * * 1 u ( t us ts = + ) 2 s t (4.32) şeklinde yazılır. Burada u t ve u s değerleri, yer değiştirme vektörünün t ve s doğrultularında bileşenleridir. Bu bileşenler x 1, x 2 ve x 3 doğrultularındaki u 1, u 2 ve u 3 cinsinden, bir vektörün dönüşümlerinin gösteren (3.59) bağıntısından 3 3 * * u = u n = u n u = u n = u n (4.33) t t t s s s = 1 = 1 şeklinde elde edilir. Burada n t ve n s değerleri sıra ile t ve s eksenlerinin x 1, x 2 ve x 3 doğrultuları ile yaptıkları açının kosinüsleridir. Bu açıların tanımı daha önce yapılmıştı. Yukarıda (4.33) ile verilen değerler (4.32) de yerlerine konulduğunda

17 Şekil Değiştirme Hali 17 * 1 u ( u ts = nt + ns ) 2 s t (4.34) elde edilir. Bu bağıntıda bulunan kısmi türevleri zincir kuralına göre u u x u u u u k x k =. = nsk =. = s x s x t x t x k k k k n tk (4.35) yazılabilir. Yukarıda bağıntılarda bulunan xk / s= nsk ve xk / t = ntk bağıntılarını ters dönüşüm alınarak elde edilir. (4.35) de elde edilen bağıntılar (4.34) de yerlerine konulduğunda * 1 u ( u ts = nn t sk + nn s tk ) 2 x x k k (4.36) elde edilir. Bu eşitliğin sağ tarafındaki ikinci terimde sessiz indislerden yerine k ve k yerine konursa aşağıda verilen bağıntı bulunur. * 1 u u 1 u k uk = ( n n + n n ) = ( + ) n n = n n 2 x x 2 x x ts t sk sk t sk t k sk t k k (4.37) Yukarıda bulunan dönüşüm bağıntısı daha önce belirtilen bir tansörel dönüşümdür. Dolayısıyla k büyüklüğü tansörel bir büyüklüktür. Bu tansörel büyüklüğün karışık bileşenleri γ i olmayıp γ i /2 dir. Yukarıda (4.37) de verilen bağıntıda n i değerlerini bulunduran N matrisi (3.54) ile verilmiş olup N matrisi ortagonal bir matrisdir. Matrisin bu özellikleri olduğu göz önüne alınarak (4.37) bağıntısı matrisler kullanılarak aşağıda verilen şekilde yazılır. * =.. =.. T 1 N N N N (4.38) Üç eksenli şekil değiştirme halinde, asal şekil değiştirmeler ve doğrultuların bulunuşu ile şekil değiştirme halinin değişmezleri, üç eksenli gerilme halinde izlenen yolların aynısı izlenerek bulunur. Tek değişiklik gerilme tansörü yerine şekil değiştirme tansörü kullanılmasıdır.

18 18 Elastisite x 1, x 2 ve x 3 doğrultuları olarak asal şekil değiştirme doğrultuları alındığında şekil değiştirme tansörünün bileşenlerinin bulunduğu matris köşegendir. Köşegen elemanları ise asal şekil değiştirmeler 1, 2, 3 dir. İkinci eksen takımı olarak birbirlerine dik a, b ve c eksenlerini alalım. Bu eksenlerin x 1, x 2 ve x 3 eksenlerine göre doğrultman kosinüsleri sıra ile λ a, µ a,ν a ; λ b, µ b,ν b; λ c, µ c,ν c olsun. Verilen bilgiler (4.38) bağıntısına uygulandığında daha önce bulunan (4.22) ve (4.23) bağıntıları elde edilir. Hacim değişmesi: Şekil değişimi sonunda bir cisimde hacim değişikliği meydana gelebilir. v hacmindeki bir elemanın şekil değiştirmeden sonra hacmi v* olsun. Hacim değiştirme oranı θ; v* v θ = v (4.24) şeklinde tarif edilir. θ, hacim değiştirme oranını şekil değiştirmeler cinsinden hesaplamak için şekilde görülen kenarları x, y ve z olan bir dikdörtgenler prizmasını göz önüne alalım. Açı değişimlerinin hacim değişimine etkisi ikinci mertebeden olacağı için hacim değişiminde sadece birim uzamalar x, y ve z göz önüne alınacaktır. Şekil değiştirmeden sonra, prizmanın kenarları (1+ x ) x, (1+ y ) y ve (1+ z ) z olacağından, hacim değiştirme oranı θ=(1+ x ).(1+ y ).(1+ z )-1 θ=1+ x y + y z + z x + x y z -1 şeklinde yazılır. Bu ifadede yüksek mertebeden terimler ( ların çarpımları) ihmal edildiğinde birim hacim değişimi aşağıda verilen şekilde elde edilir. θ= x + y + z (4.25)

19 Şekil Değiştirme Hali 19 Bir şekil değiştirmede θ= x + y + z =0 ve γ xy, γ yz, ve γ zx açı değişimlerinden bazıları sıfır değilse bu şekil değiştirmede sadece biçim değişikliği olur; γ xy =γ yz =γ zx =0 ve θ 0 ise bu şekil değiştirmede sadece hacım değişikliği olur, biçim değişikliği olmaz.

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

Dinamik. Fatih ALİBEYOĞLU -10-

Dinamik. Fatih ALİBEYOĞLU -10- 1 Dinamik Fatih ALİBEYOĞLU -10- Giriş & Hareketler 2 Rijit cismi oluşturan çeşitli parçacıkların zaman, konum, hız ve ivmeleri arasında olan ilişkiler incelenecektir. Rijit Cisimlerin hareketleri Ötelenme(Doğrusal,

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ

HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ HAREKET HAREKET KUVVET İLİŞKİSİ Sabit kabul edilen bir noktaya göre bir cismin konumundaki değişikliğe hareket denir. Bu sabit noktaya referans noktası denir. Fizikte hareket üçe ayrılır Ötelenme Hareketi:

Detaylı

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Dönme Hareketinin Dinamiği

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Dönme Hareketinin Dinamiği -Fizik I 2013-2014 Dönme Hareketinin Dinamiği Nurdan Demirci Sankır Ofis: 364, Tel: 2924332 İçerik Vektörel Çarpım ve Tork Katı Cismin Yuvarlanma Hareketi Bir Parçacığın Açısal Momentumu Dönen Katı Cismin

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir.

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir. Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri Düzlemin noktalarını, düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten bir fonksiyona düzlemin bir dönüşümü denir. Öteleme: a =(a 1,a ) ve u =(u 1,u ) olmak

Detaylı

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik

Detaylı

GERİLME HALİ P A. lim A

GERİLME HALİ P A. lim A GERİLME HALİ Şekilde görüldüğü gibi kuvvetler etkisi altında bulunan bir cismi göz önüne alalım ve bu cismi şekildeki gibi bir yüzey ile iki parçaya ayıralım. Ayırma yüzeyleri üzerinde, alana yayılı iç

Detaylı

2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş

2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş 2. KUVVET SİSTEMLERİ 2.1 Giriş Kuvvet: Şiddet (P), doğrultu (θ) ve uygulama noktası (A) ile karakterize edilen ve bir cismin diğerine uyguladığı itme veya çekme olarak tanımlanabilir. Bu parametrelerden

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

11.1 11.2. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti. 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti. 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı

11.1 11.2. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti. 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti. 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı 11.1 11. Tanım Akışkanların Statiği (Hidrostatik) Örnekler Kaldırma Kuvveti 11.3 Örnek Eylemsizlik Momenti 11.4 Eylemsizlik Yarıçapı 11.5 Eksen Takımının Değiştirilmesi 11.6 Asal Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

BÖLÜM 6 GERÇEK AKIŞKANLARIN HAREKETİ

BÖLÜM 6 GERÇEK AKIŞKANLARIN HAREKETİ BÖLÜM 6 GERÇEK AKIŞKANLARIN HAREKETİ Gerçek akışkanın davranışı viskoziteden dolayı meydana gelen ilave etkiler nedeniyle ideal akışkan akımlarına göre daha karmaşık yapıdadır. Gerçek akışkanlar hareket

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ HACETTEPE ASO 1.OSB MESLEK YÜKSEKOKULU HMK 211 CNC TORNA TEKNOLOJİSİ

HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ HACETTEPE ASO 1.OSB MESLEK YÜKSEKOKULU HMK 211 CNC TORNA TEKNOLOJİSİ HACETTEPE ÜNİVERSİTESİ HACETTEPE ASO 1.OSB MESLEK YÜKSEKOKULU HMK 211 CNC TORNA TEKNOLOJİSİ Öğr. Gör. RECEP KÖKÇAN Tel: +90 312 267 30 20 http://yunus.hacettepe.edu.tr/~rkokcan/ E-mail_1: rkokcan@hacettepe.edu.tr

Detaylı

DENEY 1 - SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET

DENEY 1 - SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET AMAÇ: DENEY 1 - SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET Bir nesnenin sabit hızda, net kuvvetin etkisi altında olmadan, düzgün bir hat üzerinde hareket etmesini doğrulamak ve bu hızı hesaplamaktır. GENEL BİLGİLER:

Detaylı

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu FOTOGRAMETRİ I Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi İçerik Tanımlar

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 1.AŞAMA KONU KAPSAMI 6. SINIF 5. SINIF TÜM KONULARI 1.ÜNİTE: Geometrik Şekiller 1) Verileri Düzenleme, Çokgenler ve Süsleme 2) Dörtgenler 3)

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta)

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (2. Hafta) AĞIRLIK MERKEZİ STATİK (2. Hafta) Ağırlık merkezi: Bir cismi oluşturan herbir parçaya etki eden yerçeki kuvvetlerinin bileşkesinin cismin üzerinden geçtiği noktaya Ağırlık Merkezi denir. Şekil. Ağırlık

Detaylı

6.12 Örnekler PROBLEMLER

6.12 Örnekler PROBLEMLER 6.1 6. 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 Çok Parçalı Taşıyıcı Sistemler Kafes Sistemler Kafes Köprüler Kafes Çatılar Tam, Eksik ve Fazla Bağlı Kafes Sistemler Kafes Sistemler İçin Çözüm Yöntemleri Kafes Sistemlerde

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ

AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ AĞIRLIK MERKEZİ VE ALAN ATALET MOMENTLERİ Bu konular denge problemelerinden tamamen bağımsızdır. Alanların ağırlık merkezi ve atalet momenti ismi verilen geometrik

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

INM 308 Zemin Mekaniği

INM 308 Zemin Mekaniği Hafta_3 INM 308 Zemin Mekaniği Zeminlerde Kayma Direnci Kavramı, Yenilme Teorileri Yrd.Doç.Dr. İnan KESKİN inankeskin@karabuk.edu.tr, inankeskin@gmail.com www.inankeskin.com ZEMİN MEKANİĞİ Haftalık Konular

Detaylı

Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir.

Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir. PİRAMİTLER Bir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım. Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir. T noktası piramidin

Detaylı

Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri

Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Resim düzlemi O : İzdüşüm (projeksiyon ) merkezi P : Arazi noktası H : Asal nokta N : Nadir noktası c : Asal uzaklık H OH : Asal eksen (Alım ekseni) P OP :

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

- Gerilme ve Gerinme ikinci dereceden tensörel büyüklüklerdir. (3 puan)

- Gerilme ve Gerinme ikinci dereceden tensörel büyüklüklerdir. (3 puan) MAK437 MT2-GERİLME ÖLÇÜM TEKNİKLERİ SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ I. öğretim II. öğretim A şubesi B şubesi ÖĞRENCİ ADI NO İMZA TARİH 30.11.2013 SORU/PUAN

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE VE İMALAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE VE İMALAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE VE İMALAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MÜHENDİSLİKTE DENEYSEL METOTLAR II ZAMANA BAĞLI ISI İLETİMİ 1.Deneyin Adı: Zamana bağlı ısı iletimi. 2. Deneyin

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

1)Aşağıdaki konum-zaman grafiğine göre bu hareketlinin 0-30 saniyeleri arasındaki ortalama hızı nedir?

1)Aşağıdaki konum-zaman grafiğine göre bu hareketlinin 0-30 saniyeleri arasındaki ortalama hızı nedir? 1)Aşağıdaki konum-zaman grafiğine göre bu hareketlinin 0-30 saniyeleri arasındaki ortalama hızı nedir? A) -1/6 B) 1 C) 1/2 D) 1/5 E) 3 2) Durgun halden harekete geçen bir cismin konum-zaman grafiği şekildeki

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu,

8.04 Kuantum Fiziği Ders IV. Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi. ise, parçacığın dalga fonksiyonu, Geçen Derste Kırınım olayı olarak Heisenberg belirsizlik ilkesi ΔxΔp x 2 Fourier ayrışımı Bugün φ(k) yı nasıl hesaplarız ψ(x) ve φ(k) ın yorumu: olasılık genliği ve olasılık yoğunluğu ölçüm φ ( k)veyahut

Detaylı

BELĐRLĐ BĐR SIKMA KUVVETĐ ETKĐSĐNDE BĐSĐKLET FREN KOLU KUVVET ANALĐZĐNĐN YAPILMASI

BELĐRLĐ BĐR SIKMA KUVVETĐ ETKĐSĐNDE BĐSĐKLET FREN KOLU KUVVET ANALĐZĐNĐN YAPILMASI tasarım BELĐRLĐ BĐR SIKMA KUVVETĐ ETKĐSĐNDE BĐSĐKLET FREN KOLU KUVVET ANALĐZĐNĐN YAPILMASI Nihat GEMALMAYAN, Hüseyin ĐNCEÇAM Gazi Üniversitesi, Makina Mühendisliği Bölümü GĐRĐŞ Đlk bisikletlerde fren sistemi

Detaylı

YILDIZLARIN HAREKETLERİ

YILDIZLARIN HAREKETLERİ Öz Hareket Gezegenlerden ayırdetmek için sabit olarak isimlendirdiğimiz yıldızlar da gerçekte hareketlidirler. Bu, çeşitli yollarla anlaşılır. Bir yıldızın ve sı iki veya üç farklı tarihte çok dikkatle

Detaylı

HAZIRLAYAN: HAMDİ GÖKSU

HAZIRLAYAN: HAMDİ GÖKSU 1. Aşağıdaki grafiklerde A,B,C sıvılarının ve X,Y,Z,T,Q cisimlerinin yoğunlukları verilmiştir. 2.Aşağıdaki şekilleri oluşturan küplerin hacimleri eşittir. A-Yukarıdaki cisimlerden hangilerinin yoğunlukları

Detaylı

3 VEKTÖRLER. Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur?

3 VEKTÖRLER. Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur? 3.1 Koordinat sistemleri 3.2 Kartezyen koordinatlar 3.3 Vektörler 3.4 Vektörlerin bileşenleri 3.5 Vektörlerin toplanması 3.6 Vektörlerin çıkarılması 37Bii 3.7 Birim vektör 3 VEKTÖRLER Pilot uçağın kokpit

Detaylı

15. Bağıntılara Devam:

15. Bağıntılara Devam: 15. Bağıntılara Devam: Yerel Bağıntılardan Örnekler: Doğal sayılar kümesi üzerinde bir küçüğüdür (< 1 ) bağıntısı: < 1 {(x, x+1) x N} {(0,1), (1, 2), } a< 1 b yazıldığında, a doğal sayılarda bir küçüktür

Detaylı

T.C. BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE VE İMALAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MIM331 MÜHENDİSLİKTE DENEYSEL METODLAR DERSİ

T.C. BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE VE İMALAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MIM331 MÜHENDİSLİKTE DENEYSEL METODLAR DERSİ T.C. BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE VE İMALAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MIM331 MÜHENDİSLİKTE DENEYSEL METODLAR DERSİ 3 NOKTA EĞME DENEY FÖYÜ ÖĞRETİM ÜYESİ YRD.DOÇ.DR.ÖMER KADİR

Detaylı

Dişli çark mekanizmaları en geniş kullanım alanı olan, gerek iletilebilen güç gerekse ulaşılabilen çevre hızları bakımından da mekanizmalar içinde

Dişli çark mekanizmaları en geniş kullanım alanı olan, gerek iletilebilen güç gerekse ulaşılabilen çevre hızları bakımından da mekanizmalar içinde DİŞLİ ÇARKLAR Dişli çark mekanizmaları en geniş kullanım alanı olan, gerek iletilebilen güç gerekse ulaşılabilen çevre hızları bakımından da mekanizmalar içinde özel bir yeri bulunan mekanizmalardır. Mekanizmayı

Detaylı

Rijit cisim mekaniği, diyagramdan da görüldüğü üzere statik ve dinamik olarak ikiye ayrılır. Statik dengede bulunan cisimlerle, dinamik hareketteki

Rijit cisim mekaniği, diyagramdan da görüldüğü üzere statik ve dinamik olarak ikiye ayrılır. Statik dengede bulunan cisimlerle, dinamik hareketteki Rijit cisim mekaniği, diyagramdan da görüldüğü üzere statik ve dinamik olarak ikiye ayrılır. Statik dengede bulunan cisimlerle, dinamik hareketteki cisimlerle uğraşır. Statik, kuvvet etkisi altında cisimlerin

Detaylı

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Katı Bir Cismin Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Katı Bir Cismin Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi -Fizik I 2013-2014 Katı Bir Cismin Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi Nurdan Demirci Sankır Ofis: 325, Tel: 2924332 İçerik Açısal Yerdeğiştirme, Hız ve İvme Dönme Kinematiği Açısal ve Doğrusal Nicelikler

Detaylı

AÇI YÖNTEMİ Slope-deflection Method

AÇI YÖNTEMİ Slope-deflection Method SAKARYA ÜNİVERSİTESİ İNŞAAT ÜHENDİSLİĞİ BÖLÜÜ Department of Civil Engineering İN 303 YAPI STATIĞI II AÇI YÖNTEİ Slope-deflection ethod Y.DOÇ.DR. USTAA KUTANİS kutanis@sakarya.edu.tr Sakarya Üniversitesi,

Detaylı

DİNAMİK (2.hafta) Yatay Hareket Formülleri: a x =0 olduğundan ilk hız ile yatay bileşende hareketine devam eder.

DİNAMİK (2.hafta) Yatay Hareket Formülleri: a x =0 olduğundan ilk hız ile yatay bileşende hareketine devam eder. EĞİK ATIŞ Bir merminin serbest uçuş hareketi iki dik bileşen şeklinde, yatay ve dikey hareket olarak incelenir. Bu harekette hava direnci ihmal edilerek çözüm yapılır. Hava direnci ihmal edilince yatay

Detaylı

AERODİNAMİK KUVVETLER

AERODİNAMİK KUVVETLER AERODİNAMİK KUVVETLER Prof.Dr. Mustafa Cavcar Anadolu Üniversitesi, Sivil Havacılık Yüksekokulu, 26470 Eskişehir Bir uçak üzerinde meydana gelen aerodinamik kuvvetlerin bileşkesi ( ); uçağın etrafından

Detaylı

ANALİTİK GEOMETRİ. Matrisler - Determinant Lineer Denklem Sistemleri - Vektörler Uzayda Doğru Denklemi - Uzayda Düzlem Denklemi

ANALİTİK GEOMETRİ. Matrisler - Determinant Lineer Denklem Sistemleri - Vektörler Uzayda Doğru Denklemi - Uzayda Düzlem Denklemi ANALİTİK GEOMETRİ Matrisler - Determinant Lineer Denklem Sistemleri - Vektörler Uzayda Doğru Denklemi - Uzayda Düzlem Denklemi Kutupsal Koordinat Sistemi - Konikler Koordinat Dönüşümleri - Koniklerin Genel

Detaylı

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Statik Denge ve Esneklik

Fizik 101-Fizik I 2013-2014. Statik Denge ve Esneklik 1 -Fizik I 2013-2014 Statik Denge ve Esneklik Nurdan Demirci Sankır Ofis: 364, Tel: 2924332 2 İçerik Denge Şartları Ağırlık Merkezi Statik Dengedeki Katı Cisimlere ler Katıların Esneklik Özellikleri 1

Detaylı

Tabakalı Kompozit Plakların Sonlu Farklar Yöntemi ile Statik Analizi Static Analysis of Laminated Composite Plates by Finite Difference Method

Tabakalı Kompozit Plakların Sonlu Farklar Yöntemi ile Statik Analizi Static Analysis of Laminated Composite Plates by Finite Difference Method Pamukkale Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi Cilt 17, Sayı 1, 2011, Sayfa 51-62 Tabakalı Kompozit Plakların Sonlu Farklar Yöntemi ile Statik Analizi Static Analysis of Laminated Composite Plates

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Newton un ikinci yasası: Bir cisim ivmesi cisim üzerine etki eden toplam kuvvet ile doğru orantılı cismin kütlesi ile ters orantılıdır.

Newton un ikinci yasası: Bir cisim ivmesi cisim üzerine etki eden toplam kuvvet ile doğru orantılı cismin kütlesi ile ters orantılıdır. Bölüm 5: Hareket Yasaları(Özet) Önceki bölümde hareketin temel kavramları olan yerdeğiştirme, hız ve ivme tanımlanmıştır. Bu bölümde ise hareketli cisimlerin farklı hareketlerine sebep olan etkilerin hareketi

Detaylı

TOPOĞRAFYA Temel Ödevler / Poligonasyon

TOPOĞRAFYA Temel Ödevler / Poligonasyon TOPOĞRAFYA Temel Ödevler / Poligonasyon Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ ÇEVRE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ JDF 264/270 TOPOĞRAFYA DERSİ NOTLARI http://geomatik.beun.edu.tr/marangoz http://jeodezi.karaelmas.edu.tr/linkler/akademik/marangoz/marangoz.htm

Detaylı

Dokuz Eylül Üniversitesi Đnşaat Mühendisliği Bölümü YAPI MALZEMESĐ I DERSĐ MEKANĐK. Doç. Dr. Halit YAZICI. http://kisi.deu.edu.tr/halit.

Dokuz Eylül Üniversitesi Đnşaat Mühendisliği Bölümü YAPI MALZEMESĐ I DERSĐ MEKANĐK. Doç. Dr. Halit YAZICI. http://kisi.deu.edu.tr/halit. Dokuz Eylül Üniversitesi Đnşaat Mühendisliği Bölümü YAPI MALZEMESĐ I DERSĐ MEKANĐK ÖZELLĐKLER Doç. Dr. Halit YAZICI http://kisi.deu.edu.tr/halit.yazici/ Dış kuvvetlerin etkisi altında değişik ik zorlamalar

Detaylı

BÖLÜM I GİRİŞ (1.1) y(t) veya y(x) T veya λ. a t veya x. Şekil 1.1 Dalga. a genlik, T peryod (veya λ dalga boyu)

BÖLÜM I GİRİŞ (1.1) y(t) veya y(x) T veya λ. a t veya x. Şekil 1.1 Dalga. a genlik, T peryod (veya λ dalga boyu) BÖLÜM I GİRİŞ 1.1 Sinyal Bir sistemin durum ve davranış bilgilerini taşıyan, bir veya daha fazla değişken ile tanımlanan bir fonksiyon olup veri işlemde dalga olarak adlandırılır. Bir dalga, genliği, dalga

Detaylı

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR Hal Değişkenleri Arasındaki Denklemler Aralarında sıfıra eşitlenebilen en az bir veya daha fazla denklem kurulabilen değişkenler birbirine bağımlıdır. Bu denklemlerden bilinen

Detaylı

Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri

Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Resim düzlemi O : İzdüşüm (projeksiyon ) merkezi P : Arazi noktası H : Asal nokta N : Nadir noktası c : Asal uzaklık H OH : Asal eksen (Alım ekseni) P OP :

Detaylı

BİLGİSAYAR DESTEKLİ TASARIM VE ANALİZ (ANSYS) (4.Hafta)

BİLGİSAYAR DESTEKLİ TASARIM VE ANALİZ (ANSYS) (4.Hafta) BİLGİSAYAR DESTEKLİ TASARIM VE ANALİZ (ANSYS) (4.Hafta) GERİLME KAVRAMI VE KIRILMA HİPOTEZLERİ Gerilme Birim yüzeye düşen yük (kuvvet) miktarı olarak tanımlanabilir. Parçanın içerisinde oluşan zorlanma

Detaylı

Cismin Ağırlığı Düzlemsel Alanda Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi Örnekler Düzlemsel Eğride Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi

Cismin Ağırlığı Düzlemsel Alanda Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi Örnekler Düzlemsel Eğride Ağırlık Merkezi - İntegrasyon Yöntemi 4. 4. Cismin ğırlığı Düzlemsel landa ğırlık erkezi - İntegrasyon Yöntemi Düzlemsel Eğride ğırlık erkezi - İntegrasyon Yöntemi 4.3 Bileşik Plak ve Teller 4.4 Pappus Guldinus Teoremleri 4.5 Üç Boyutlu Cisimlerde

Detaylı

Deneyin Amacı Çekme deneyinin incelenmesi ve metalik bir malzemeye ait çekme deneyinin yapılması.

Deneyin Amacı Çekme deneyinin incelenmesi ve metalik bir malzemeye ait çekme deneyinin yapılması. 1 Deneyin Adı Çekme Deneyi Deneyin Amacı Çekme deneyinin incelenmesi ve metalik bir malzemeye ait çekme deneyinin yapılması. Teorik Bilgi Malzemelerin statik (darbesiz) yük altındaki mukavemet özelliklerini

Detaylı

EKVATORAL KOORDİNAT SİSTEMİ_devam. Serap Ak

EKVATORAL KOORDİNAT SİSTEMİ_devam. Serap Ak EKVATORAL KOORDİNAT SİSTEMİ_devam http://star-www.st-and.ac.uk/~fv/webnotes/chapter5.htm http://star-www.st-and.ac.uk/~fv/webnotes/chapter4.htm Gök küresinde bulunan önemli yıldızların ekvatoral koordinatları

Detaylı

Bilgisayar Grafikleri

Bilgisayar Grafikleri Bilgisayar Grafikleri Konular: Cismin Tanımlanması Bilindiği gibi iki boyutta noktalar x ve y olmak üzere iki boyutun koordinatları şeklinde ifade edilirler. Üç boyutta da üçüncü boyut olan z ekseni üçücü

Detaylı

BAŞKENT ÜNİVERSİTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAK 402 MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ LABORATUVARI DENEY 9A GERİNİM ÖLÇER KULLANARAK GERİLİM ANALİZİ YAPILMASI

BAŞKENT ÜNİVERSİTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAK 402 MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ LABORATUVARI DENEY 9A GERİNİM ÖLÇER KULLANARAK GERİLİM ANALİZİ YAPILMASI BAŞKENT ÜNİVERSİTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAK 40 MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ LABORATUVARI DENEY 9A GERİNİM ÖLÇER KULLANARAK GERİLİM ANALİZİ YAPILMASI TEORİ Bir noktada oluşan gerinim ve gerilme değerlerini

Detaylı

2 Hata Hesabı. Hata Nedir? Mutlak Hata. Bağıl Hata

2 Hata Hesabı. Hata Nedir? Mutlak Hata. Bağıl Hata Hata Hesabı Hata Nedir? Herhangi bir fiziksel büyüklüğün ölçülen değeri ile gerçek değeri arasındaki farka hata denir. Ölçülen bir fiziksel büyüklüğün sayısal değeri, yapılan deneysel hatalardan dolayı

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07 UZY GEMETRİ İÇİNDEKİLER Safa No Test No UZY KSİYMLRI... 001-00... 01-0 UZYD DGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 0-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-01... 0-07 PRİZMLR... 015-0... 08-1 KÜP... 05-00... 1-15 SİLİNDİR...

Detaylı

Bu ders materyali 06.09.2015 23:17:19 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır. Unutmayın bilgi paylaştıkça değerlidir.

Bu ders materyali 06.09.2015 23:17:19 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır. Unutmayın bilgi paylaştıkça değerlidir. -- Bu ders materyali 06.09.05 :7:9 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından UYGULAMA-00 Cevap: x- -x- x- =0 denklemini sağlayan x değeri kaçtır? UYGULAMA-00 Cevap: x x x 5 + = + denklemini

Detaylı

SONLU ELEMANLAR YÖNTEMI ile (SAP2000 UYGULAMASI) 3D Frame Analysis. Reza SHIRZAD REZAEI

SONLU ELEMANLAR YÖNTEMI ile (SAP2000 UYGULAMASI) 3D Frame Analysis. Reza SHIRZAD REZAEI SONLU ELEMANLAR YÖNTEMI ile (SAP2000 UYGULAMASI) 3D Frame Analysis Reza SHIRZAD REZAEI SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ Sonlu Elemanlar (SE)Yöntemi, çesitli mühendislik problemlerine kabul edilebilir bir yaklasımla

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

Genel Bilgi. İz Düşüm Düzlemleri ve Bölgeler. Yrd. Doç. Dr. Garip GENÇ Şekil: İz düşüm düzlemlerine bakış doğrultuları. Page 1.

Genel Bilgi. İz Düşüm Düzlemleri ve Bölgeler. Yrd. Doç. Dr. Garip GENÇ Şekil: İz düşüm düzlemlerine bakış doğrultuları. Page 1. TEKNİK BİLİMLER MESLEK YÜKSEKOKULU Teknik Resim Genel Bilgi Uzaydaki cisimlerin eksiksiz bir anlatımı için, ana boyutlarıyla birlikte parçanın bitmiş hallerinden ve üzerindeki işlemlerle birlikte diğer

Detaylı

V cn V ca. V bc. V bn. V ab. -V bn. V an HATIRLATMALAR. Faz-Faz ve Faz-Nötr Gerilimleri. Yıldız ve Üçgen Bağlı Yüklerde Akım-Gerilim İlişkileri

V cn V ca. V bc. V bn. V ab. -V bn. V an HATIRLATMALAR. Faz-Faz ve Faz-Nötr Gerilimleri. Yıldız ve Üçgen Bağlı Yüklerde Akım-Gerilim İlişkileri HATIRLATMALAR Faz-Faz ve Faz-Nötr Gerilimleri V cn V ca V ab 30 10 V an V aa = V cc = V bb V aa = V bb = V cc V bn V bc V ab 30 -V bn V aa = V aa V bb V aa = V aa cos(30) 30 V an V aa = V aa cos(30) =

Detaylı

Fizik 101: Ders 21 Gündem

Fizik 101: Ders 21 Gündem Fizik 101: Ders 21 Gündem Yer çekimi nedeninden dolayı tork Rotasyon (özet) Statik Bayırda bir araba Statik denge denklemleri Örnekler Asılı tahterevalli Asılı lamba Merdiven Ders 21, Soru 1 Rotasyon Kütleleri

Detaylı

ULUDAĞ ÜNĐVERSĐTESĐ MÜHENDĐSLĐK-MĐMARLIK FAKÜLTESĐ MAKĐNA MÜHENDĐSLĐĞĐ BÖLÜMÜ GENEL MAKĐNE LABORATUARI

ULUDAĞ ÜNĐVERSĐTESĐ MÜHENDĐSLĐK-MĐMARLIK FAKÜLTESĐ MAKĐNA MÜHENDĐSLĐĞĐ BÖLÜMÜ GENEL MAKĐNE LABORATUARI UUDAĞ ÜNĐVRSĐTSĐ MÜNDĐSĐK-MĐMARIK FAKÜTSĐ MAKĐNA MÜNDĐSĐĞĐ BÖÜMÜ GN MAKĐN ABORATUARI STRAĐN GAUG (UZAMA ÖÇR YARDIMI Đ GRĐM ÖÇÜMSĐ DNY GRUBU: ÖĞRNCĐ NO, AD -SOYAD: TSĐM TARĐĐ: DNYĐ YAPTIRAN ÖĞRTĐM MANI:

Detaylı

8.04 Kuantum Fiziği Ders XII

8.04 Kuantum Fiziği Ders XII Enerji ölçümünden sonra Sonucu E i olan enerji ölçümünden sonra parçacık enerji özdurumu u i de olacak ve daha sonraki ardışık tüm enerji ölçümleri E i enerjisini verecektir. Ölçüm yapılmadan önce enerji

Detaylı

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ DİNAMİK

MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ DİNAMİK i MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ DİNAMİK Prof. Dr. Mehmet BAKİOĞLU İstanbul Teknik Üniversitesi (Emekli) Prof. Dr. Ünal ALDEMİR İstanbul Teknik Üniversitesi 2012 ii Yayın No : 2730 Teknik Dizini : 154 1. Baskı Ağustos

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

YGS MATEMATİK SORU BANKASI

YGS MATEMATİK SORU BANKASI YGS MATEMATİK SORU BANKASI Sebahattin ÖLMEZ www.limityayinlari.com Sınavlara Hazırlık Serisi YGS Matematik Soru Bankası ISBN: 978-60-48--9 Copyright Lmt Limit Yayınları Bu kitabın tüm hakları Lmt Limit

Detaylı

Katı Cismin Uç Boyutlu Hareketi

Katı Cismin Uç Boyutlu Hareketi Katı Cismin Uç outlu Haeketi KĐNEMĐK 7/2 Öteleme : a a a ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ / / /, 7/3 Sabit Eksen Etafında Dönme : Hız : wx bwe bwe wx be he x we wx bwe e d b be d be he b h O n n n ɺ ɺ θ θ θ θ θ ( 0 Đme : d d

Detaylı

AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ. Anten Parametrelerinin Temelleri. Samet YALÇIN

AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ. Anten Parametrelerinin Temelleri. Samet YALÇIN AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ Anten Parametrelerinin Temelleri Samet YALÇIN Anten Parametrelerinin Temelleri GİRİŞ: Bir antenin parametrelerini tanımlayabilmek için anten parametreleri gereklidir. Anten performansından

Detaylı

11. SINIF SORU BANKASI. 1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET 8. Konu TORK VE DENGE TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF SORU BANKASI. 1. ÜNİTE: KUVVET VE HAREKET 8. Konu TORK VE DENGE TEST ÇÖZÜMLERİ 11. SINI SRU BANASI 1. ÜNİE: UVVE VE HAREE 8. onu R VE DENE ES ÇÖZÜMERİ 8 ork ve Denge est 1 in Çözümleri. 1 k x 1 k x 1 x 1 x 1. (+) ( ) x 1 k r k x x k x r x k k x noktasına göre tork alalım. oplam tork;

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

ÜNİTELENDİRME ŞEMASI

ÜNİTELENDİRME ŞEMASI LENDİRME ŞEMASI ÜNİTE DOĞRULAR VE AÇILAR. Aynı düzlemde olan üç doğrunun birbirine göre durumlarını belirler ve inşa eder.. Paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açıların eş olanlarını ve bütünler olanlarını

Detaylı

SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ (SAP2000 UYGULAMASI) I. Genel Kavramlar

SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ (SAP2000 UYGULAMASI) I. Genel Kavramlar Deprem ve Yapı Bilimleri GEBZE TEMSİLCİLİĞİ SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ (SAP2000 UYGULAMASI) I. Genel Kavramlar Dr. Yasin Fahjan fahjan@gyte.edu.tr http://www.gyte.edu.tr/deprem/ SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ Sonlu

Detaylı

Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ

Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ Kapalı-döngü denetim sisteminin geçici-durum davranışının temel özellikleri kapalı-döngü kutuplarından belirlenir. Dolayısıyla problemlerin çözümlenmesinde, kapalı-döngü

Detaylı

KAYNAK: Hüseyin (Guseinov), Oktay. 2007. "Skaler ve Vektörel Büyüklükler."

KAYNAK: Hüseyin (Guseinov), Oktay. 2007. Skaler ve Vektörel Büyüklükler. KAYNAK: Hüseyin (Guseinov), Oktay. 2007. "Skaler ve Vektörel Büyüklükler." Eğitişim Dergisi. Sayı: 15 (Mayıs 2007). SKALER VE VEKTÖREL BÜYÜKLÜKLER Prof. Dr. Oktay Hüseyin (Guseinov) Hayvanların en basit

Detaylı

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler

2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler 2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE ÖĞRENME Ay Hafta D.Saati ALANI EYLÜL 2 Geometri 2 3 Geometri 2 Geometri 2 Olasılıkve ALT

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9 OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 015 01 1 Eylül 18 Eylül Kümelerde Temel Kavramlar 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler.

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

BAŞKENT ÜNİVERSİTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAK 402 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ LABORATUVARI DENEY 9B - BURULMA DENEYİ

BAŞKENT ÜNİVERSİTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAK 402 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ LABORATUVARI DENEY 9B - BURULMA DENEYİ BAŞKENT ÜNİVERSİTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MAK 402 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ LABORATUVARI DENEY 9B - BURULMA DENEYİ GİRİŞ Mekanik tasarım yaparken öncelikli olarak tasarımda kullanılması düşünülen malzemelerin

Detaylı

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI

MAK1010 MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI .. MAK MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Polinom MATLAB p=[8 ] d=[ - ] h=[ -] c=[ - ] POLİNOMUN DEĞERİ >> polyval(p, >> fx=[ -..9 -. -.9.88]; >> polyval(fx,9) ans =. >> x=-.:.:.; >> y=polyval(fx,;

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri

Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Küresel Koordinatlar Silindirik Koordinatları Dönel Yüzeylerin Elde Edilmesi

Detaylı