Standart Model (SM) Lagrange Yoğunluğu. u, d, c, s, t, b. e,, Şimdilik nötrinoları kütlesiz Kabul edeceğiz. Kuark çiftlerini gösterelim.

Transkript

1 SM de yer alacak fermyonlar Standart Model (SM) agrange Yoğunluğu u s t d c b u, d, c, s, t, b e e e,, Şmdlk nötrnoları kütlesz Kabul edeceğz. Kuark çftlern gösterelm. u, c ve t y u (=1,,) olarak gösterelm. Benzer şeklde sağ ell leptonları da e SU() U(1) elller se Y SU() Fermyonların olarak belrlenmştr. Sol ell fermyonlar U(1) Y altında değşmezler. altındak yüklern Y f d, s ve b Q, lepton çftlern y se d (=1,,) le olarak olarak gösterelm. SM nn ayar grubu SU() olarak belrleyelm, yan altında çftler oluştururlar, sağ Y,Y,Y,Y...(farklı Q u d alelern, brbrlernn kopyası olduğunu varsaydık. Dolayısıyla farklı alelern hperyükler aynıdır). Bu durumda yazılablecek ayar teors agrange yoğunluğu Q DQ D u Du d Dd e De 1 1 BB 4 4 n W Wn olarak yazılablr. Burada B ve n W, U(1) Y ve SU() ayar bozonlarının şddet tensörlerdr. B B B W W W W W n n n nlm l m olarak verlr. Kovaryant türevler se 1

2 Y D Q g W g B Q n n Q 1 Y D g W g B Yu Du g1b u Y d Dd g1b d Y e De g1b e n n 1 olarak tanımlanır. Fermyonların kütle termler m ( ) Olarak yazılır ( eğer fermyonların yükler varsa, tek olasılık budur, eğer yükler yoksa, T gb, C gb de kütle term yazılablr. Bunlara Majorana kütles denr). Ancak sol ell fermyonlar le sağ ell fermyonlar SU() altında farklı davrandığından, bu termler altında nvarant değldr. Dolayısıyla agrange yoğunluğuna eklenemez. Br Hggs klsnn olduğunu varsayalım: SU() Ve SU() altında fermyon kller gb dönüşsün, klsnden, * * C * 1 * * 1 1 klsn tanımlayablrz. (hper yüküne) Y h dyelm SU() altında bu kl de gb dönüşecektr. nn U(1) Y yüküne bu durumda agrange yoğunluğuna;

3 D V( ) Q d Q u e h.c Y j j C j j j j d u e termlern eklersek, elde edeceğmz agrange yoğunluğu da Bu termler eklememzdek amaca gelnce; SU() altında değşmez olacaktır. Eğer V( ) v 4! Olarak seçersek potansyeln mnmumu Bu koşulu sağlayan bütün noktaları v koşulunu sağlayan bütün noktalar olacaktır. n n e v Olarak yazablrz. Evren bu mnmum noktalardan brn seçecektr. Bu mnmumu uygun br ayar dönüşümü le benzedğne bakalım; Yukava Termler ( Y ) v yapablrz. Bu mnmum da agrange yoğunluğunun neye Y j j v j j j j Q dd Q uu ee h.c. v v vd d vu u ve e h.c. Y j j j j j j j j d u u Bu termler fermyonların kütle termnden başka brşey değldr. Dolayısıyla, evrenn mnmumundan baktığımızda evrendek fermyonlar (nötrnolar harç) kütlel görünecektr. Hggs Knetk Term olduğunu kullanırsak Y D g W g B n n 1 h

4 1 g W W W Y h D g 1 1B W W W v 1 v gw W v gw D Y hg1b gw Yh g1b gw olacaktır. Dolayısıyla alanının knetk term v D g W W Y g B g W 4 h 1 haln alır. Burada WW term W bozonlarının kütle termdr. Z Y g B g h 1 g W Y g h 1 ve A Yh g1w gb g Y g h 1 olarak tanımlarsak knetk term olarak yazablrz. Burada 1 1 D m W W m Z m A w Z gv mw v m g Y g Z h 1 m Yan, potansyeln mnmumunda W kütlesz görünecektr. ve Z bozonları kütlel bozonlar olarak görünür. A se Eğer yazdığımız agrange yoğunluğu doğayı açıklayacak se A yü elektromanyetk potansyel olarak belrlemelyz. Ancak bu durumda A nün dğer parçacıklarla etkleşmesne de bakmamız lazım. 4

5 Genellkle cos sn w w g g g Y g h 1 gy 1 h Y g h 1 olarak tanımlanır. Bu durumda A B B cos w sn A w cos w sn w Z sn w cos w W W sn w cos w Z olarak yazılablr. Özellkle m g m g Y g w cos w Z h 1 olarak yazılablr. A yü elektromanyetk alan olarak belrlemek çn A nün dğer alanlarla etkleşmna bakmak lazım. Etkleşm termler kovaryant türevlerden gelecektr. Fermyonların knetk termlern sadece lgl kısımlarını yazarsak: Q DQ D u Du d Dd e De Y g B g W Q 1 Q Q... Yh g1b gw u YQg 1B gw u d YQg 1B gw d YQ g1b gw e YQg 1B gw e u Yu g 1Bu d Yd g 1Bd e Yd g 1Be Bu fade de B CwA SwZ ve W CwA SwZ, (Cw Cos w,sw Sn w) yazarsak 5

6 u u YQg 1Cw gsw d d YQg 1B gsw A YQg 1Cw gsw e e YQg 1Cw gsw u u Y g C d d Y g C e e Y g C Z... u 1 w d 1 w d 1 w elde ederz. Eğer A yü elektromanyetk alan olarak belrleyecek sek, bu fadennn 1 ea u u u u d d d d 1 e e e e Z... Şeklnde yazılablyor olması gerekr. Bu koşullardan yola çıkarak parçacıkların hperyüklern bulablrz. Nötrnoların elektrk yükler olmadığından YQ g1cw gsw olması gerekr. Eğer C w ve S w fadelern yerlerne yerleştrrsek Y Y h koşulunu elde ederz. Yne C w ve S w lern açık fadelernden Y g Cos g Sn h 1 w w olduğunu göreblrz. Bunu kullanırsak, A nün etkleşmler çn buluruz. Eğer u u YQ Yh d d YQ Yh e e Y Yh Ag1Cw u uyu d dyd e ey e e g C 1 w gg 1 g (g Y ) 1 h 6

7 olarak tanımlarsak, ve yukarıdak fadey fotonun etkleşm le kıyaslarsak buluruz. Daha önce bulduğumuz koşulu le de brleştrrsek 1 1 YQ Y h Yu YQ Y h Yd 1 1 Y Yh 1 Ye 1 1 Y Y h 1 YQ Y 1 h e Y 1 4 Yu Yd Y olarak buluruz. Burada dkkat edersenz teornn başında hperyükler herhang br değer alablyordu. Ancak gözlemledğmz elektrk yüklern açıklayablmek çn bell değerler almak zorunda kaldılar. Hperyüklern neden sadece bu değerler aldığı Standart Modeln açıklayamadığı sorulardan brdr!!!!. Fermyon Kütleler vd d vu u ve e h.c. Y j j j j j j j j d u u Termnn fermyonların kütlelern veren term olduğunu söylemştk. Termler açık şeklde yazacak olursak, ve j ler üzernden toplamlar v d d v s s v b b Y 11 d d d v d s v s d d d 7

8 olarak yazablrz. Her ne kadar brnc sıradak termlern katsayıları termlern katsayılarını d, s ve b kuarkların kütleler olarak belrlemek akla gelse de, knc sıradak termler gb farklı kuarkları brbrne bağlayan termlern varlığı buna zn vermez. Öncelkle alanlarımızı yenden tanımlayarak, bu termlerden kurtulmamız gerekr. Bundan önce tanımladığımız alanları bundan böyle O le gösterelm. Bu şeklde Yukawa termn Y o j oj o j oj o j oj d u e d M d u M u e M e... olarak yazablrz. Burada j j M v ( d, u,e) olarak tanımlanmıştır. Bu şeklde tanımlanan M u,m d,me matrslernn hermtsel, ünter vs. olmak gb herhang br özellkler yoktur. Böyle matrsler, kl ünter dönüşümler kullanarak, öz değerler reel olacak şeklde köşegenleştreblrz. Başka br deyşle, öyle ünter matrsler bulablrz k M D dag(m,m,m )D d d s b M U dag(m,m,m )U u u c t M E dag(m,m,m )E d e D,D,U,U,E,E şeklnde yazablrz. Burada a dag(a, b, c) b c dr. yen alanlarımızı olarak tanımlarsak, Yukawa termn d, d, u, u, s, D, s,, c, U, c,,... b, b t,, t, Y muuu mddd mccc msss mt tt mbbb m e e m m h.c. e olarak yazablrz. Artık operatörlern katsayılarını karşılık geldkler parçacıkların kütleler olarak belrleyeblrz. 8

9 Bundan sonra yapmamız gereken, agrange yoğunluğundak dğer termler de tanımladığımız yen alanlar cnsnden yazmaktır. Knetk Termler Öncelkle sadece u, lern knetk termlerne bakalım. u, lern knetk term u, u, Olarak yazılır. u, u, c, U, c, t t,, Olarak tanımladığından ve u, ünter olduğundan u u c U, c t t,, olur. Bleşenler cnsnden yazarsak u u, U, c t, olur. Knetk term de yerne yerleştrrsek j * k j k k u u u U U u j k,,,,,, =u U U u j,,,, j jk k,,,, =u U U u =u u dolayısıyla, yen alanlar cnsnden yazıldığında da knetk termler değşmez. j, jk j, 9

10 Her ne kadar bunu sadece u, kuarkları çn göstermş olsak da, dğer fermyonlar çnde aynı sonucun elde edleceğ gösterleblr. Dolayısıyla, knetk termlern yen alanlar cnsnden fades le esk alanlar cnsnden fades le aynıdır. Knetk termn değşmemesnn sebeb sadece u le u o nn ve u le u çermesdr. Dolayısıyla yen alanlar tanımladığımızda bu termler UU le değşt ve olduğundan, bu termler değşmed. Foton ve Z Etkleşmler B ve W etkleşmlerne baktığımızda, bunlarda sadece B W u le u o o nn ve nn çarpımları A u le u U U 1 çarpımlarının çerrler. Dolayısıyla ve etkleşmler ( ve dolayısıyla ve Z )şekl olarak alanları yenden tanımlamamızdan etklenmezler. Dolayısıyla f alanları cnsnden parçacıkları türlern değştrmedğ çn (farklı değerlernn çarpımını çermezler) yenden tanımlamadan sonra da parçacık türlern değştrmezler. Dolayısıyla, standart model de ağaç sevyesnde (Tree-level) çeşn (flavour) değştren yüksüz akımlar yoktur. W - fermyon Etkleşmler W fermyon etkleşmler kovaryant türevlerden gelr. Sadece lgl termler alacak olursak Q DQ D o o o o o g W o o g W o Q Q W W g g g g u W d d W u W e e W o o o o o o o o gw u d e gw d u e o o o o o o o o o o o o gw u d e h.c. Yen kuark alanları cnsnden yazarsak j j j gw u (UD )d E e şmdye kadar nötrnolar çn herhang br dönüşüm tanımlamadık. Bunun sebeb nötrnoların kütlesz olmasıdır. Kütlesz olduklarından nötrnoları stedğmz gb tanımlayablrz. Bu serbestlğmz kullanarak, o nn 1

11 e E o e o o olarak tanımlarsak W etkleşmler j j j gw u (UD ) d e CKM matrsn V U D CKM olarak tanımlarsak CKM matrs ünter br matrstr; g W u d V e j j j CKM g W u 5 j j 5 j (1 )d V CKM (1 )e V V D U U D D D 1 CKM CKM. 11

12 Detaylı blg çn Prof. Dr. Altuğ Özpnec ye danışınız Ulaş Özdem. 1