DOĞRUSAL PROGRAMLAMA İLE PORTFÖY OPTİMİZASYONU VE İMKB VERİLERİNE UYGULANMASI ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA

Transkript

1 DOĞRUSAL PROGRAMLAMA İLE PORTFÖY OPTİMİZASYONU VE İMKB VERİLERİNE UYGULANMASI ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA Filiz KARDİYEN (*) Özet: Portföy seçim problemi içi klasik bir yaklaşım ola karesel programlama yötemi, işlem zorlukları, fazla zama gerektirmesi ve ormal dağılım ve yatırımcıı riskte kaçtığı varsayımlarıa dayaması gibi sebeplerle bu modele alteratif birçok model öerilmiştir. Bu çalışmada, bu alteratif modellerde biri ola ve optimal portföyü basit bir doğrusal programlama problemii çözümü ile elde etmeye dayaa Ortalama Mutlak Sapma Modeli ele alımıştır. Model teorik alamda taıtılmış ve avatalarıa değiilmiştir. Uygulama çalışmasıda, İstabul Mekul Kıymetler Borsası (İMKB) verileri kullaılarak modele ait souçlar değerledirilmiştir. Aahtar Kelimeler: Portföy Optimizasyou, Doğrusal Programlama, Ortalama Mutlak Sapma Modeli, Sharpe Edeksi. Abstract: Markowitz Model, a classical approach for portfolio optimizatio problem, has bee wated to be improved because of its computatioal complexity, problem of cosumig to much time ad ormality ad risk aversio assumptios, ad a umber of alterative models have bee proposed. I this study, oe of these alterative models Mea Absolute Deviatio Model which is based o trasformig the problem of portfolio optimizatio to the liear programmig model, is discussed. Model is teorically preseted ad its advatages are also discussed. Results obtaied from the Mea Absolute Deviatio Model usig IMKB data are aalyzed. Keywords: Portfolio Optimizatio, Liear Programmig, Mea Absolute Deviatio Model, Sharpe Idex. I. Giriş Geleeksel portföy optimizasyou problemi, mekul kıymetler içi getiri oraı ve risk arasıda makul bir tercih ile bir yatırım plaı oluşturmaktır. Markowitz i Ortalama-Varyas modeli, miimum riskli, belirli bir ortalama getiri oraıı sağlaya portföy elde etmek içi tek periyotlu statik bir modeldir. Markowitz i çalışması temel alıarak, ayı problem içi çok sayıda alteratif model öerilmiştir. Bu alteratif modelleri temel amacı, oriial karesel programlama problemie ait hesaplama karmaşıklığıı üsteside gelmektir (Kim vd., 2005: 93). Bu çalışmada ele alıa Ortalama Mutlak Sapma (MAD) modeli bu modellerde biridir. Markowitz i 950 li yıllarda doktora tezi olarak başladığı ve daha sora portföy yöetimii temel taşlarıda biri ola çalışması ile portföy yöetimi alayışıda köklü değişiklikler olmuştur. Daha öceleri portföy yöetimide esas ağırlık bireysel varlık seçimi üzerideyke, Markowitz ile beraber risk-getiri değişimi çerçeveside varlıkları birbirleriyle ilişkisi ortaya (*) Arş.Gör. Gazi Üiversitesi, Fe-Edebiyat Fakültesi, İstatistik Bölümü

2 6 Filiz KARDİYEN koulmuş dolayısıyla çeşitledirme ve portföyü tümüü değerledirilmesi güdeme gelmiştir (Özçam, 997: 5). Markowitz i portföy optimizasyo modeli, teorik alamdaki üüe rağme büyük boyutlu (large-scale) portföyleri oluşturmada yaygı olarak kullaılmamaktadır. Buu e öemli edei büyük boyutlu bir karesel problemi çözümüde karşılaşıla hesaplama zorluklarıdır. Ayrıca büyük boyutlu portföyler içi, optimal çözümü yorumlaması kousuda da zorluklarla karşılaşılmaktadır. 960 lı yıllarda itibare birçok araştırmacı (Sharpe 967, Stoe 973), Markowitz i Ortalama-Varyas Modelii bahsedile dezavatalarıı hafifletmek amacıyla çeşitli modeller geliştirmişlerdir. Ayrıca hisse seedi fiyatlarıı etkileye faktörleri dikkate alıdığı ideks modelleri kullaımı, araştırmacılara işlem miktarıı azaltma imkaı vermiştir. Sermaye varlıklarıı fiyatlama ve arbitra fiyatlama gibi varlık fiyatlarıı açıklamaya yöelik dege modelleri ise oldukça popüler olmuştur. Sermaye varlıklarıı fiyatlama modeli, Markowitz i kuramıa dayamaktadır acak iki model arasıda öemli farklar bulumaktadır. Özellikle, dege modelleri pazar portföyü ile varlıkları getiri oraları arasıdaki basit ilişkiyi elde etmek içi gerçekçi olmaya varsayımlar gerektirmektedir (Koo ve Yamazaki, 99: 59). Koo ve Yamazaki (99) Markowitz i Ortalama-Varyas portföy seçim modelie alteratif olarak, bir portföy optimizasyo modeli ola ortalama mutlak sapma (MAD) modelii öermişlerdir. MAD Modeli, Ortalama-Varyas Modelideki amaç foksiyouda miimize edilmek üzere ele alıa varyas yerie ortalama mutlak sapmayı kullamıştır. Böylece, portföy seçim problemi bir karesel programda doğrusal programa döüşmüştür ( Simaa, 997: 437). Bu çalışmada, Koo ve Yamazaki tarafıda (99) Markowitz i klasik ortalama-varyas modeli ile çözülemeye büyük boyutlu portföy optimizasyo problemlerii çözümü içi öerile MAD modelii taıtmak ve bazı öemli özelliklerii icelemek amaçlamıştır. Uygulama bölümüde MAD modelii İMKB de işlem göre mekul kıymetler içi kullaıldığıda elde edile etki portföyleri performasları icelemiş ve souçlar yorumlamıştır. II. Ortalama Mutlak Sapma (Mad) Modeli MAD modeli, Markowitz i klasik formülasyouu, mutlak sapmayı bir risk ölçüsü olarak kullaarak basitleştire alteratif bir metottur. İki ölçü matematiksel alamda heme heme dekse de, hesaplama alamıda bakıldığıda aralarıda öemli fark vardır. Riski varyasla ölçme yaklaşımı problemi karesel programlama problemie döüştürürke, mutlak sapma yaklaşımı, problemi doğrusal programlama problemie idirger (Koo ve Koshizuka, 2005: 893). Varlık getirilerii ortak olasılık dağılımı çok değişkeli Normal dağılım ise, portföy getirileri tek değişkeli Normal dağılıma sahip olacaktır.

3 İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt: 2 Hazira 2007 Sayı: 2 7 Koo ve Yamazaki Normal dağılımı ortalama mutlak sapmasıı, stadart sapması ile oratılı olduğuu göstermişlerdir. Souç olarak, varlık getirilerii çok değişkeli Normalliği altıda, MAD Modeli ile Markowitz Modeli ayı etki seti vermektedir. Bu, ( R, R 2,..., R ) getirileri, çok değişkeli Normal dağılıma sahip iseler iki ölçü ayıdır. Yai ( R, R 2,..., R ) getirileri çok değişkeli Normal dağıldıklarıda, w (x) foksiyouu miimize etmei, σ(x) foksiyouu miimize etmek olduğu alamıa gelmektedir (Simaa, 997: 437). Ayrıca Rudolf, Wolter ve Zimmerma (999) ortalama sapmayı e küçük yapmaı, riskte kaçma durumuda beklee faydayı e büyük yapmakla dek olduğuu göstermiştir. (Rudolf vd., 999: 85 03). A. Matematiksel Model R, ( =,2,..., ) x, ( =,2,..., ), varlığıı getirisii temsil ede rasgele değişke ve, varlığıa yatırılacak ora olmak üzere, tae varlıkta oluşa portföyü getirisi aşağıdaki gibi gösterilir: R(x) = R x () = Burada varlığıı getirisi, F t ; varlığı döem sou fiyatı, Ft ; varlığı döem başı fiyatı olmak üzere R (F F ) t t = (2) Ft şeklide hesaplaır. Stadart portföy aalizide varyas ve riski ölçüsü olarak kullaıla stadart sapma ise aşağıdaki gibi hesaplaır: V(x) 2 [( R( x) E[ R( x) ]) ] = E (3) ( ) σ ( x) = V x (4) Modelde riski ölçüsü olarak kullaıla ortalama mutlak sapma, aşağıdaki gibi taımlaır:

4 8 Filiz KARDİYEN w(x) = E R x E R x = = (5) Bu foksiyo ayı zamada e küçük yapılacak ola amaç foksiyoudur (Koo, Koshizuka, 2005: 894). Ortalama Sapma Varyas Şekil : Varyas ve Ortalama Mutlak Sapmaı Geometrik Gösterimi mi imize w(x) = E R x E R x = = = = ( ) s.t. E R x x = ρ (6) 0 x, =,2,..., ρ : yatırımcıı istediği miimal getiri r ; t zama periyodu, ( t,...,t) t =, içi elde edile getiridir ve bu getirii geçmiş verilerde veya bazı gelecek ile ilgili tahmilerde elde edilebilir olduğu ayrıca, rasgele değişkei beklee değerii bu verilerde elde edile ortalamaya yakısayacağı varsayılır.

5 İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt: 2 Hazira 2007 Sayı: 2 9 T ( ) = olsu. w(x)ise aşağıdaki gibi yakısatılır; r = E R r T (7) t= T E R x E R x = ( rt r ) x (8) = = = = T t a t = rt r ; =,..., ; t =,...,T olsu. Bu durumda problem aşağıdaki e küçükleme problemie döüşür : t T mi imize w(x) = a x T t= = t s.t. = = r x x = ρ (9) 0 x, =,2,..., Taımlamalar sayeside amaç foksiyou doğrusallaşmıştır. Bu model bir doğrusal programlama modelie dektir:

6 20 Filiz KARDİYEN T mi imize w(x) = y T t= t s.t. y + a x 0, t =,2,...,T t t = y a x 0, t =,2,...,T t t = (0) = rx ρ 0 x, =,2,..., = x = (Koo ve Yamazaki, 99: ). B. MAD Modelii Avataları Modeli kurmak içi varyas-kovaryas matrisi hesaplamak zoruda değildir. Ayrıca, yei veriler eklediğide, modeli gücellemek oldukça kolaydır. Doğrusal bir programı çözmek diğerlerie göre daha kolaydır. Ayrıca modelde içerile mekul kıymet sayısı e olursa olsu, foksiyoel kısıtları sayısı sabit kalır. Böylece bide fazla varlık içi problem çözülebilir (Koo ve Yamazaki, 99: ). MAD modeli, getiriler içi herhagi bir dağılım varsayımı gerektirmez (Masii vd., 2003: 89). Optimal çözüm 2T+2 de daha fazla mekul kıymet içeremez. Bu edele portföydeki varlık sayısıı kısıtlamak istediğimizde, T kotrol değişkei olarak kullaılabilir. Bütü mümkü mekul kıymetler, ayı periyot boyuca egatif getiri getirseler bile her zama çözüm vardır. Sabit veya değişke maliyetler dikkate alıdığı durumlarda model, bir tamsayılı doğrusal programlama modeli olarak yeide formüle edilebilir (Papahristodoulou ve Dotzauer, 2004: 6).

7 İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt: 2 Hazira 2007 Sayı: 2 2 Ortalama sapma zarar riskii bir ölçüsü olarak düşüüldüğüde, MAD modeli, zarar riski modeli gibi daha özel bir modele döüşebilme avataıa sahiptir. MAD modelii etki sıırıdaki e optimal çözümü, getirileri dağılımı asıl olursa olsu beklee faydayı e büyük yapma presibii sağlar (Yu vd., 2006: 3). Modeli bu avatalarıı yaı sıra, varyas-kovaryas matrisii görmezde gelmei faydasıda çok, büyük tahmi risklerie yol açtığı görüşleri de yer almaktadır. III. Uygulama Bu bölümde, MAD Modeli İMKB de elde edile gerçek bir veri setie uygulaarak, modeli portföy seçimideki performasları icelemiştir. A. Veriler ve Hesaplama Souçları Gerçek veri çalışmasıda, Ocak 2000-Aralık 2004 arasıda İMKB-00 edekside yer ala hisse seetleride 0 taesi seçilerek, bu hisse seetlerii aylık getirileri kullaılmış ve bu getiri verilerie MAD Modeli uygulamıştır. Ayrıca, Ocak 2005-Eylül 2005 aralığıdaki aylık getiri gözlemleri portföyleri gerçek performaslarıı test edebilmek içi modeli uygulama aşamasıda dışarıda bırakılmış, gerçek performas hesaplamalarıda kullaılmıştır. Hesaplamalar çeşitli aylık hedef beklee getiri değerleri içi yapılmıştır. Yatırımcıları portföylerii tamame riskli yatırımlarla oluşturacakları düşüülmüş, risksiz yatırım ve açığa satışa izi verilmemiştir. MAD Modelii verilere uygulaması, MATLAB paket programıda program yazılarak gerçekleştirilmiştir. Çalışmada kullaıla hisse seetleri; Ak Sigorta (AKGRT), Afyo Çimeto (AFYON), Bosh Fre Sistemleri (BFREN), Deva Holdig (DEVA), Doğa Holdig (DOHOL), Ereğli Demir Çelik (EREGL), Ford Otosa (FROTO), Kardemir (KRDMA), Şişecam (SİSE), Petrol Ofisi (PTOFS) dir. Tablo de bu 0 hisse seedie ait betimsel istatistikler yer almaktadır

8 22 Filiz KARDİYEN Tablo: Portföylerde Yer Ala 0 Mekul Kıymete İlişki Betimsel İstatistikler Mekul Ortalama Stadart Mi Max Çarpıklık Basıklık kıymet (sembol) (%) Sapma (%) (%) AKGRT 3,5 7,52-37,04 40,44 0,02-0,40 AFYON 2,72 25,22-54,04 77,67 0,94 2,03 BFREN 2,99 6,39-38,37 49,55 0,42 0,88 DEVA 4,02 7,55-37,63 60,00 0,60,55 DOHOL 3,89 6,70-28,57 47,50 0,43 0,49 EREGL 4,34 72,64-67,65 389,78 4,54 2,73 FROTO 4,67 24,87-43,2 95,06,08 2,45 KRDMA 2,77 7,33-35,53 38,6-0,09-0,3 SİSE,43 9,22-36,67 83,78,4 5,2 PTOFS 9,6 46,0-45,65 245,75 3,22 3,24 Tablo icelediğide, ele alıa hisse seetlerii 9 taesii pozitif çarpıklığa, yalız bir taesii egatif çarpıklığa sahip olduğu görülecektir. Ayrıca, 8 hisse seedi sivri dağılıma sahipke, yalız 2 taesi basık dağılıma sahiptir. Değişik hedef getiriler içi, MAD Modelie göre yatırım yapacak ola bir yatırımcıı portföyüe hagi hisse seedide e orada alması gerektiği Tablo 2 de verilmiştir. Tablo 2: Farklı Hedef Getirilere Göre Hisse Seetlerii Portföylerde Yer Alma Oraları ρ (%) HİSSE AKGRT DOHOL EREGLİ FROTO AFYON BFREN DEVA SİSE PTOFS KRDMA

9 İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt: 2 Hazira 2007 Sayı: 2 23 Tablo 2 (devam): Farklı Hedef Getirilere Göre Hisse Seetlerii Portföylerde Yer Alma Oraları ρ (%) HİSSE AKGRT DOHOL EREGLİ FROTO AFYON BFREN DEVA SİSE PTOFS KRDMA MAD Modeli kullaılarak farklı getiriler içi elde edile bu etki portföyleri beklee getiri ve varyasları Tablo 3 te yer almaktadır. Tablo 3: MAD Modeli Elde Edile Etki Portföyleri Beklee Getiri ve Varyasları ρ Beklee Varyas (%) Getiri (%) (%)

10 24 Filiz KARDİYEN olur. MAD Modeli ile portföyler içi elde edile etki sıır şekil 2 deki gibi Beklee Getiri(%) Portföy Varyası (Risk) (%) Şekil 2: Farklı Beklee Getiriler içi MAD Modeli ile Elde Edile Etki Portföyleri Risk-Getiri Grafiği B. Portföyleri Örek Dışı Performasları Bu bölümde, örekte yer ala yılları arasıdaki veriler ile yapıla uygulama souçları, kestirim amaçlı kullaılacak ve portföyleri gerçek performasları değerledirilecektir. Bu amaçla, Ocak-Eylül 2005 döemideki aylık getiriler, örek dışı veri olarak ele alımış ve bu veriler portföyleri piyasaya göre performasıı değerledirmek amacıyla kullaılmıştır. Yatırımcıı 2004 yılı aralık ayı souda elideki parayı MAD modeli ile elde edile etki portföylere yatırdığı ve bu portföyleri, 9 ay boyuca elide tuttuğu varsayılacaktır. Piyasa koşullarıa göre portföyleri durumuu görsel olarak ifade etmek içi portföyleri ve İMKB-00 edeksii getiri ve riskleri aşağıdaki grafiklerde verilmiştir. Pi (i=,2,,3) paratez içide belirtile hedef getiri içi elde edile etki portföyleri göstermektedir.

11 İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt: 2 Hazira 2007 Sayı: 2 25 Tablo 4: MAD Modeli ile Elde Edile Etki Portföyleri ve İMKB-00 Edeksii Getiriler Grafiği getiri 30,00 25,00 20,00 5,00 0,00 5,00 0,00 (5,00) (0,00) (5,00) (20,00) (25,00) zama P (%3) P2 (%4) P3 (%5) P4 (%6) P5 (%7) P6 (%8) İMKB-00 Tablo 4 (devam): MAD Modeli ile Elde Edile Etki Portföyleri ve İMKB-00 Edeksii Getiriler Grafiği 60,00 getiri 50,00 40,00 30,00 20,00 0,00 0,00 (0,00) (20,00) P7 (%9) P8 (%0) P9 (%) P0 (%2) P (%3) P2 (%4) P3 (%5) İMK-00 (30,00) zama Tablo 5: MAD Modeli ile Elde Edile Etki Portföyleri ve İMKB-00 Edeksii Ortalama Mutlak Sapma Grafiği 20 ortalama mutlak sapma portföyler P (%3) P2 (%4) P3 (%5) P4 (%6) P5 (%7) P6 (%8) P7 (%9) P8 (%0) P9 (%) P0 (%2) P (%3) P2 (%4) P3 (%3) İMKB-00

12 26 Filiz KARDİYEN Tablo 4 icelediğide, MAD Modeli ile elde edile portföyleri, İMKB-00 edeksie göre zama zama daha fazla getiri getirebilmesie rağme, ortalama mutlak sapmaları göstere Tablo 5 de portföyleri ortalama mutlak sapmalarıı bütü hedeflee getiriler içi İMKB-00 edeksii ortalama mutlak sapmasıda daha büyük olduğu görülebilir. Portföyler ve edeks arasıdaki karşılaştırmayı daha sağlıklı yapabilmek içi Sharpe Edeksi kullaılacaktır. Sharpe Edeksi, portföyleri performaslarıı ölçmekte kullaıla tek parametreli risk/getiri ölçütleride e çok bilieidir ve örek tahmii ( ) P Ŝ = r r σ p P F r şeklide hesaplaır. Burada r P ; belirli zama periyoduda portföyü ortalama getirisi, r F ; belirli zama periyoduda ortalama risksiz faiz oraı (hazie boosuu faiz oraı olarak kabul edilir), σ r P ; belirli zama periyoduda portföy getirisii stadart sapmasıdır. Portföyü başarısı, portföyü Sharpe Edeks değeri ile pazarı Sharpe Edeks değeri karşılaştırılarak yorumlaır. Portföyü, pazarda daha yüksek Sharpe Edeks değerie sahip olması, pazarda daha iyi performas sergilediğii, daha düşük Sharpe Edeks değerie sahip olması, pazarda daha kötü performas sergilediğii gösterir (Hauge, 200: 280). 9 ay souda elde ettiği gerçek kazacı piyasa koşullarıa göre değerledirmesii yapmak içi her bir hedef getiri içi portföyleri Sharpe Edeksleri hesaplamış ve Tablo 6 daki souçlar elde edilmiştir. Tablo 6: Portföyleri Farklı Hedef Getirileri içi Sharpe Edeks Değerleri (%) ρ Sharpe Edeks Değeri ρ (%) Sharpe Edeks Değeri , Karşılaştırma yapabilmek içi Sharpe Edeksi, İMKB-00 fiyat edeksi içi de hesaplamış ve değeri 0.26 olarak bulumuş, risksiz faiz oraı olarak ihale tarihli hazie boosuu ortalama faiz oraı (%.605)

13 İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt: 2 Hazira 2007 Sayı: 2 27 alımıştır. Tablo 4 teki souçlara göre % 0 da küçük ρ değerleri içi, yai yatırımcı %9 ve daha az getiri hedeflediğide MAD modeli ile kurula portföyler, piyasaya orala daha üstü performas sergilemektedirler. %9 de daha fazla hedef getiriler içi durum tam tersidir. IV. Souç Markowitz i portföy yöetimi alayışıda köklü değişiklikler yarata Ortalama-Varyas Modeli risk-getiri değişimi çerçeveside varlıkları birbirleriyle ilişkisii ortaya koya, dolayısıyla çeşitledirme ve portföyü tümüü değerledirilmesi güdeme getire ve güümüzde hale kullaılabilirliği ola bir karesel programlama modelidir. Bu modeli büyük boyutlu portföyler içi kullaımıdaki zorlukları aşmak içi zama içide öerile bir çok modelde biri de Koo ve Yamazaki tarafıda öerile MAD Modelidir. MAD Modeli, riski varyas yerie ortalamada mutlak sapma ile ifade edildiği bir doğrusal programlama modelidir. Bu çalışmada, MAD modeli teorik olarak taıtılmış ve öemli avatalarıa değiilmiştir. Gerçek veri çalışmasıda, İMKB-00 edekside yer ala hisse seetleride 0 taesii Aralık 2000 Aralık 2004 döemleri arasıdaki aylık getiri değerleri kullaılmış ve modeli uygulaması ile değişik hedef getiriler içi portföyler elde edilmiştir. Elde edile bu portföylere yatırım yapa bir yatırımcıı, 9 ay sorasıda elde ettiği gerçek getirii ve katladığı riski piyasa koşullarıyla karşılaştırılması içi Sharpe edeksi kullaılmıştır. Karşılaştırma soucuda, MAD modelii belirli hedef getiriler içi piyasaya orala daha üstü performas gösterdiği gözlemiştir. Ele alıa hisse seetlerii dağılımlarıı çarpık oldukları da düşüüldüğüde, MAD modeli bua rağme iyi bir performas sergilemiştir. Ayrıca, MAD modeli çözümlemeleri bilgisayar ile yalızca 0,9375 saiye sürmüştür. MAD modeli, klasik portföy optimizasyou problemie yei bir yaklaşım getirmiş, risk ölçüsüü ortalamada mutlak sapma ile taımlayarak, problemi doğrusal programlama problemie döüştürmüştür. Bu sayede model, işlem kolaylığı, zamada tasarrufu yaı sıra dağılım varsayımı gerektirmemesi, modeli değişik kısıtlar içi yeide formüle edilebilir olması gibi bir çok avataı beraberide getirmektedir. MAD modelii literatürde rastlaa tek dezavataı, kovaryas matrisii göz ardı etmesi edeiyle tahmi hatasıa yol açabileceğidir. Modeli teorik faydaları ve uygulamadaki performası beraber değerledirildiğide tercih edilebilir bir portföy optimizasyo modeli olarak karşımıza çıkmaktadır.

14 28 Filiz KARDİYEN Kayaklar Hauge R.A. (200), Moder Ivestmet Theory, Pretice Hall, USA. Kim J.S., Kim Y.C. ve Shi K.Y. (2005) A Algorithm for Portfolio Optimizatio Problem, Iformatica, 6 (), ss Koo H. ve Yamazaki H. (99) Mea-Absolute Deviatio Portfolio Optimizatio Model ad Its Applicatios to Tokyo Stock Market, Maagemet Sciece, 37 (5), ss Koo H. ve Koshizuka T. (2005) Mea-Absolute Deviatio Model, IIE Trasactios, 37, ss Masii R., Ogryczaki W. ve Speraza M. G. (2003) LP Solvable Models for Portfolio Optimizatio: A Classificatio ad Computatioal Compariso, IMA Joural of Maagemet Mathematics, 4, ss Özçam, M. (997), Varlık Fiyatlama Modelleri Aracılığıyla Diamik Portföy Yöetimi, Sermaye Piyasası Kurulu Yayıları, Akara. Papahristodoulou C. ve Dotzauer E. (2004) Optimal Portfolios usig Liear Programmig Models, Joural of the Opretaioal Research Society, 55, ss Rudolf M., Wolter H.J. ve Zimmerma H. (999) A Liear Model for Trackig Error Miimizatio, Joural of Bakig ad Fiace, 23, ss Sharpe W. F. (967) A Simplified Model for Portfolio Aalysis, Maagemet Sciece, 9 (2), ss Simaa Y.(997) Estimatio Risk i Portfolio Selectio: The Mea Variace Model Versus the Mea Absolute Deviatio Model, Maagemet Sciece, 43 (0), ss Stoe B. (973) A Liear Programmig Formulatio of the Geeral Portfolio Selectio Model, Joural of Fiacial ad Quatative Aalysis,8, ss Yu M., Ioue H. ve Shi J. (2006) Chia Iteratioal Coferece i Fiace. İMKB. (2006), İMKB Şirketleri Aylık Fiyat ve Getiri Verileri, ( ).