MANTIK 1 ÖNERMELER- BİLEŞİK ÖNERMELER. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : 9.. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 1/8

Transkript

1 ANI 1 ÖNERELER- İLEŞİ ÖNERELER erim: ir bilim dalı içerisinde konuşma dilinden farklı anlamı olan sözcüklerden her birine o bilim dalının bir terimi denir. Önermeler belirtilirler. p,q,r,s gibi harflerle Örneğin açı bir geometri terimi, toplama bir matematik terimi ve kütle bir fizik terimidir. p: ir yıl 265 gün 6 saattir. r : 2 sayısı irrasyonel bir sayıdır. ir terimin anlamını belirlemeye terimi tanımlamak denir. Örneğin Üç kenarının uzunluğu eşit üçgene eşkenar üçgen denir ifadesi bir tanımdır. ir terimi tanımlamak için o bilim dalı içerisinde daha önce tanımlanmış terim ve kavramlardan yararlanılır. azı terimlerin tanımı yoktur. Örneğin nokta, doğru, küm e gibi terimler tanımsızdır ; bu gibi terimler sezgisel alınır. antık akıl yürütme yöntemlerini inceleyen bilim dalıdır. antığa matematiksel yapıyı kazandıran George oole 1848 yılında "antığın atematik Analizi" adlı bir çalışmayı yayınlamıştır.iki değerli Aristoteles mantığını matematiksel temellere oturtan simgesel mantığı yaratmıştı. (oole mantığı, oole cebiri, matematiksel mantık, simgesel mantık ) Önerme: esin olarak doğru ya da yanlış hüküm içeren ifadelere önerme denir. Örnek...1 : Aşağıdaki ifadelerin önerme olup olmadıklarını belirtiniz. i) Alfabemizde 50 harf vardır ii) ir gün 18 saattir iii) ir üçgenin iç açıları toplamı 180 o dir iv) Ders çalışalım v) Ali çalışkan bir çocuktur. Doğruluk Değeri : ir önermenin doğru ya da yanlış oluşuna, o önermenin doğruluk değeri denir. Herhangi bir öneme için yanlış veya doğru olmak üzere iki durum söz konusudur. Uluslar arası birliğin sağlanması açısından doğru yerine 1 simgesi yanlış yerine 0 simgesi kullanılır. uradaki 1 ve 0 simgelerinin sayısal bir değeri yoktur. Örnek...2 : Herhangi bir P önermesinin doğruluk değerini tablo ile gösteriniz. P önermesinin doğruluk değeri 1 ve 0 olabileceğinden tablo ile gösterirsek (özetlersek) Örnek...3 : Herhangi p ve q önermelerinin doğruluk değerini tablo ile gösteriniz. P Sınıf atematik onu Anlatımı 1/8

2 ANI 1 ÖNERELER- İLEŞİ ÖNERELER Örnek...4 : Herhangi üç p, q ve r önermelerinin doğruluk değerini tablo ile gösteriniz. Örnek...6 : p : 2 asal bir sayıdır. q : 2=3 r : ar beyazdır. s: Antalya Akdeniz bölgesindedir. önermelerinin olumsuzunu (değilllerini) yazınız Denk Önermeler : Doğruluk değeri aynı olan önermelere denk önerme denir. Eğer p ve q gibi iki önerme birbirine denk ise bunu p q biçiminde belirtiriz. Örnek...7 : abloyu doldurunuz P P ı Örnek...5 : p : Van ürkiye nin başkentidir. q : İstanbul un plaka numarası 34' tür. r : onguldak aradeniz ölgesindedir. t : Almanya Avrupa kıtasındadır. s: 3>7 v : 5 asal bir sayı değildir. önermelerinden denk olanları belirtiniz Uyarı (=)' =, (<)' =, (>)' = ileşik Önerme : İki ya da daha fazla önermenin ve, veya, ise, ancak ve ancak bağlaçları ile birleşmesiyle elde edilen yeni önermelere bileşik önerme denir. ir Önermenin Olumsuzu/Değili : ir önermenin hükmünün olumsuzu alınarak yapılan yeni önermeye, o önermenin olumsuzu denir. ir p önermesinin olumsuzu p ı (veya ~p) ile gösterilir. ağlaç Adı veya ve ya da ise ancak ve ancak (gerek ve yeter şart) ağlacı emsil Eden Sembol Verilen bir önermenin olumsuzunu bulmak için önermenin sonuna değil sözcüğü getiririz. p: Ali siyah saçlıdır. r: 3+4=7 önermeleri için bağlaçları kullanarak bileşik önermeler yapınız. 9.. Sınıf atematik onu Anlatımı 2/8

3 ANI 1 ÖNERELER- İLEŞİ ÖNERELER 1. Veya ağlacı : p ile q önermelerinden en az biri doğru ise veya bağlacı ile kurulan p veya q bileşik önermesi doğru, p ile q nun her ikisi de yanlış ise p veya q bileşik önermesi yanlıştır. p veya q bileşik önermesi genellikle p q ile belirtilir. anıma göre p q nun tablosu : p q p q biçimindedir. Örnek...8 : p: 3<7 q: 10 asal bir sayıdır. r: 2=3 s: üzüm bir meyvadır.önermeleri için veya ile bileşik önermeler yapınız. u bileşik önermelerin doğruluk değerini bulunuz. anıma göre p q nun tablosu: p q p q biçimindedir Örnek...9 : p: 3>7 q: 5 tek bir sayıdır. r: 2 3 s: Salı gününden sonra Pazar günü gelir. önermeleri için ve ile bileşik önermeler yapınız. u bileşik önermelerin doğruluk değerini bulunuz. ve işleminin özellikleri p,q ve r birer önerme olsun 1. ek kuvvet özelliği : p önermesi için p p p ve p p p 2.Değişme özelliği : p q q p ve p q q p 3. irleşme özelliği : p (q r) (q p) r ve p (q r) (q p) r 2. Ve ağlacı : p ile q önermelerinin her ikisi de doğru ise ve bağlacı ile kurulan p ve q bileşik önermesi doğru, p ile q nun en az biri yanlış ise p ve q bileşik önermesi yanlıştır. 4. Dağılma özelliği : p (q r) (p q) (p r), (q r) p (q p) (r p) ve p (q r) (p q) (p r), (q r) p (q p) (r p) 5.De organ uralları: (p q) ı p ı q ı ve (p q) ı p ı q ı p ve q bileşik önermesi genellikle p q ile belirtilir. 9.. Sınıf atematik onu Anlatımı 3/8

4 ANI 1 ÖNERELER- İLEŞİ ÖNERELER Örnek...10 : De organ kurallarının varlığını doğruluk tabloları yardımıyla gösterelim. Örnek...13 : Doğruluk tablosu yapmadan aşağıdaki önermelerin doğrulayınız. 1. p [p ı (q p)] p q p q p ı q ı p q (p q) ı p ı q ı 2. [p (q ı p ı )] (p q) p p q p ı q ı p q (p q) ı p ı q ı Örnek...14 : {(p q) (p q ı ) } p ı önermesinin en sade hali nedir? Örnek...11 : p 0,q 1, r ı 1 ise [p ı önermesinin en sade hali nedir? r] (p ı q) ı Örnek...15 : {(p q) (p ı q) } q önermesinin en sade hali nedir? Örnek...12 : p q 0, p ı r 1 veriliyor hangileri doğru olabilir? i) p ii) p r iii) q ı r ı ümelerle yapılan işlemler ve sembolik mantıkta kullanılan sembol, gösterim ve bunlarla ifade edilen işlemler arasında aşağıdakine benzer ilişkilendirmeler yapılabilir. Sembolik mantık 0 1 ı Önermeler cebri : ir denklik doğruluk tablosu yapılmadan bağlaçların özellikleri kullanılarak ta gösterilebilir. u işlemlerin tümüne önermeler cebri denir ümeler E ı = 9.. Sınıf atematik onu Anlatımı 4/8

5 ANI 1 ÖNERELER- İLEŞİ ÖNERELER Örnek...16 : antık işlemlerine karşılık gelen küme ilişkilendirmelerini yazınız Sembolik mantık ümeler A A'=E p q 1 p p' 0 p (q r) (p q) (p r) (p q)' p' q' Örnek...17 : A ve boş olmayan iki küme olmak üzere, (A )'=A ' ' eşitliğini sembolik mantık kurallarından yararlanarak gösteriniz Örnek...18 : p 1=r,q 0 olduğuna göre aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. I. (p q) r II. ( (p q ')' ) q' r III. [(p r ) (r' q) ] q ' 3. ya da ağlacı : p ile q önermeleri denk önermelerken ya da bağlacı ile kurulan p ya da q bileşik önermesi yanlış, aksi taktirde p ya da q bileşik önermesi doğrudur. IV. (p r) [(q r ı ) (r q ı )] p ve q bileşik önermesi genellikle p ile belirtilir. q anıma göre p q nun tablosu : p q p q biçimindedir. Örnek...19 : ı (0 1) p 0 ve q [(0 0 ı ) (1 0)] 0 ise p ve q önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz 1) (1 0) 1? 2) (0 0) 1? 3) (p p') (q q)? 9.. Sınıf atematik onu Anlatımı 5/8

6 ANI 1 ÖNERELER- İLEŞİ ÖNERELER 4. İse bağlacı : p doğru bir önerme q yanlış bir önerme iken ise bağlacı ile yapılan p ise q bileşik önermesi yanlış diğer durumlarda doğrudur. p ise q önermesi genellikle p q ile belirtilir. Örnek...21 : p: 2 tek çift asal sayıdır q: asal sayıların iki tane pozitif böleni vardır önermeleri için p q önermesi gerektirme midir? anıma göre p ise q bileşik önermesinin tablosu p q p q Örnek...22 : p q önermesi verilsin. u önerme için : 1. q p önermesine p q önermesinin karşıtı oşullu öneme : ise bağlacı ile oluşturulan p q bileşik önermesine koşullu önerme denir. p q önermesinde p ye hipotez (varsayım), q ya ise hüküm (yargı) denir. Örnek...20 : p: 2=3 q: Pazar bir hafta sonu günüdür önermeleri için p q ve q p önermelerini yazınız. 2. p ı q ı önermesine p q önermesinin tersi 3. q ı p ı önermesine p q önermesinin karşıt tersi denir Yukarıda verilen tanıma göre, Hava sıcak ise pi rasyonel bir sayıdır. önermesinin : i) karşıtı ii) tersi iii) karşıt tersini iv) değilini yazınız p q doğru ise p q önermesine gerektirme denir ve p gerektirir q şeklinde okunur. p ye gerektirmenin yeter koşulu ( şartı), q ya ise gerektirmenin gerek koşulu denir. Örnek...23 : (p q) q ı p ı olduğunu doğruluk tablosu ile gösteriniz. p q p' q' p q q' p' 9.. Sınıf atematik onu Anlatımı 6/8

7 ANI 1 ÖNERELER- İLEŞİ ÖNERELER Örnek...24 : (p q) p ı q olduğunu doğruluk tablosu ile gösteriniz Örnek...28 : p q (p q) (q p) olduğunu tablo yaparak gösteriniz. p q p q p q q p (p q) (q p) Örnek...25 : (p q ) q bileşik önermesinin en sade hali nedir? Örnek...26 : (p ı q ) (p q ) bileşik önermesinin en sade hali nedir? Örnek...29 : Hangileri kesinlikle doğrudur? i)p p 1 ii)p p ı 0 iii) 1 q 0 iv) p p ı 0 v)0 p 1 vi) p (p q) p vii) p (p q) p 5. Ancak ve ancak ağlacı : p ve q iki önerme olsun. ancak ve ancak bağlacı ile kurulan p ancak ve ancak q önermesi p q ise doğru aksi taktirde yanlıştır. Örnek...30 : (p q)' p ' q olduğunu a) doğruluk tablosu yaparak b) önermeler cebiri kullanarak gösteriniz. p ancak ve ancak q önermesi genellikle p q ile belirtilir. p q önermesine ancak ve ancak bağlacı ile yapılan iki yönlü koşullu önerme denir. p q önermesi doğruysa bu önermeye çift gerektirme de denir. Örnek...27 : p q önermesinin doğruluk tablosunu yapınız. p q p q 9.. Sınıf atematik onu Anlatımı 7/8

8 ANI 1 ÖNERELER- İLEŞİ ÖNERELER DEĞERLENDİRE 1) 4 önerme için bir tablo hazırlandığında bu tabloda en çok ve en az satır sayısı kaç olur? 8) ({p q} q ) p) 1 olduğunu a) doğruluk tablosu yaparak b) önermeler cebiri kullanarak gösteriniz. 2) n farklı önerme için 512 değişik durum mevcutsa, n kaçtır? 3) {(0 1) (1 0)'}' 4) p q 0 ise (p q') (p q) önermesi neye denktir? 9) ir bileşik önerme kendisini oluşturan önermelerin her biri için daima doğru oluyorsa bu bileşik önermeye totoloji ; daima yanlış oluyorsa bu önermeye çelişki denir. una göre, p ve q önermeleri için I. p p ı II p p ı 5) p 1, q 0,r 1,s 1 ve k 0 olduğuna göre {(p q) k') r} (q' s) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz III.p (q p ı ) IV.(p' q ) (q' p) V. (p q) (q p) 6) (p p') (q q q)? önermelerinden totoloji ya da çelişki belirtenleri bulunuz. 7) ise kar beyazdır önermesinin karşıtı, tersi, karşıt tersi ve değili nedir? ( tanımlar için Örnek 22 ye bakınız) 9.. Sınıf atematik onu Anlatımı 8/8

9 ANI 2 AÇI ÖNERELER -NİCELEYİCİLER AÇI ÖNERELER İçerisinde değişken olan ve değişkenin değerlerine göre doğru ya da yanlış olabilen önermelere açık önerme denir. Örnek...4 : P(x,y): x,y birer doğal sayı,3x+2y=30 önermesinin doğruluk kümesini bulunuz. Açık önermeler değişkenine göre P(x),q(a),k(x,y) biçimleriyle gösterilebilirler. Denklemler ve eşitsizlikler açık önermelerdir Örnek...1 : P(x): x bir tamsayı ve x 2 10 önermesi x=-1,3 için doğru x=5 için yanlıştır. Örnek...5 : P(x,y): x,y birer doğal sayı, x+5y=20 önermesi için P(10,k) 1 ise k kaçtır? Doğruluk ümesi : Açık önermeyi doğru yapan değerlerin kümesine doğruluk kümesi denir. ir a değeri, p(x) açık önermesinin doğruluk kümesinin elemanı ise p(a) 1, değil ise p(a) 0 dır. Örnek...2 : P(x): x bir tamsayı ve x 2 10 önermesinin doğruluk kümesi D ise bu kümeyi bulunuz. NİCELEYİCİLER esin olarak doğru veya yanlış hüküm içeren ifadelere önerme denir. atematikte bazı, her, bir tek gibi niceleyicilerle de yapılan önermeler de vardır. Örnek...6 : p: azı doğal sayılar asaldır. q: Her reel sayının karesi 0' dan büyüktür Örnek...3 : P(x): x bir tamsayı,(x-2)(x-1)(2x+3)=0 önermesinin doğruluk kümesini bulunuz. azı niceleyicisi ile yapılan önermelerin doğruluğunu gösterebilmek için en az bir doğru örnek gösterilebilmesi ; her niceleyicisi ile yapılan önermelerin doğru olmadığını gösterebilmek için bir tane yanlış örnek göstermek yeterlidir. Örnek...7 : p: azı Doğal sayılar tektir. q: her reel sayı çifttir. r: her sayı 15 e kalansız olarak bölünebilir. önermelerinin doğruluk değerlerini bulunuz 9.. Sınıf atematik onu Anlatımı 1/2

10 ANI 2 AÇI ÖNERELER -NİCELEYİCİLER atematikte varlıksal niceleyici denen bazı sözcüğü sembolü ile ; evrensel niceleyici denilen her sözcüğü ise sembolü ile ; bir tek niceleyicisi ise! veya sembolü ile belirtilirler. DEĞERLENDİRE 1) t:( x N :x x 1) önermesinin değilini bulunuz azı niceleyicisinin olumsuzu her niceleyicisi ; her niceleyicisinin olumsuzu ise bazı niceleyicisidir. 2) t:( x :4 x 0) ( x N :2-x 3) önermesinin karşıt tersi nedir? Örnek...8 : p: azı sayılar asaldır, önermesinin olumsuzu p ı : Her sayı asal değildir, önermesidir. Her bütün ve tamamı sözcükleri aynı anlamda kullanılabilmektedir n bir doğal sayı olmak üzere, açık önermelerin doğruluk değerini belirtiniz. Verilen bir önermeyi q(x) ve bu önermenin olumsuzunu q ı (x) ile gösteriyorsak q(x) : x : p(x) önermesin olumsuzu q ı (x) : x : p(x) değil önermesi olur. 3) n>3,p (n):n!>3 n Örnek...9 : Önermelerin değillerini bulunuz p: azı doğal sayılar asaldır. q: Her tamsayı 5'e kalansız bölünür. 4) n 0, p(n): 7 n -1 sayısı 2 ile bölünebilir. n: azı günler tatilse her doğal sayı asaldır. r: x R : x 2 +x 0 t:( x R :4 x 0) ( x R :2x > 1) m:( x R :2x 0) ( x R :x > 1) 5) n>0,p (n):n 3 n sayısı 3 ile bölünebilir. 9.. Sınıf atematik onu Anlatımı 2/2

11 ÜELER 1 EEL AVRALAR ÜE AVRAI üme matematiğin tanımsız bir kavramıdır. Ancak kümeyi, iyi tanımlanmış kavram veya nesneler topluluğu diye tarif edebiliriz. ümeler A,, X,,... gibi büyük harflerle gösterilir. ir kümeyi oluşturan nesnelerin herbirine bu kümenin elemanı (öğesi) denir. ümede her eleman bir kez yazılır. Örnek...1 : A={azı kızlar} üme değil ( i y i t a n ı m l a n m a m ı ş ) ={ Güzel renkler} üme değil ( iyi t anı mlanmamı ş ) Aşağıdakiler de küme örneğidir. ={ek tamsayılar} C={Asal negatif tamsayılar} L={x : x, x>0, 2x+9<0} ={ x: x, 8 sayısının pozitif tamsayı bölenidir} D = { x : x, DROGA kelimesinin harfleri } = { 5 ten fazla harf içeren haftanın günleri} LİSE, ORA ÖELLİ VE ŞEA YÖNEİ LİSE YÖNEİ : A={2, 3, 5, 7} = {5, 3, 2, 7} Elemanların farklı sırada yazılması yeni küme oluşturmaz. ŞEA YÖNEİ (VENN ŞEASI): A A A ORA ÖELLİ YÖNEİ : A = {x : x<8 ve x asal sayı} = {x x, rakam olan asal sayı} = {2, 3, 5, 7} Örnek...2 : P = {x x, AEAİ kelimesinin harfleri} kümesini liste biçiminde yazıp şema ile gösteriniz. ELEAN SAYISI A kümesinin eleman sayısı s(a) ile gösterilir. ir a elemanı A kümesine ait ise a A yazılır ve a eleman A diye okunur. ir b elemanı A kümesine ait değilse b A yazılır ve b eleman değil A diye okunur. Örnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız.... {a} A {b, d} A {b, c} A d A {b, c} A b {b, c} {d} A s(a) = OŞ ÜE {{a}, b} A A nın eleman sayısı 7 dir.... Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve ( fi) ya da { } sembollerinden birisi ile gösterilir. UYARI { } gösterimi boş küme belirtmez. SONLU ÜE VE SONSU ÜE ir A kümesinin öğeleri sayısı (nicelik sayısı) bir doğal sayı ise, A' ya sonlu küme denir. S = {Sesli harfler} C = { Yeryüzündeki tüm canlılar kümesi} Sonlu olmayan bir kümeye de sonsuz küme denir. N= {0, 1, 2, 3,...} [ 2, 3) = {x : 2 x <3, x R} (a, a+1] = {x : a < x a+1, a R} Örnek...3 : N={ 2, 1, 1, 2} kümesini ortak özellik yöntemiyle yazınız. 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 1/6

12 ÜELER 1 EEL AVRALAR Örnek...5 : Aşağıdaki kümelerin boş, sonlu ve sonsuz olanlarını belirtiniz. A={Rakamların küm esi} ={ürkiyeni n C harfi ile b aşlay an il isimleri} C = { Sayı do ğrus u üz erind eki n oktalar} D = {Haftanı n günl eri} E={1, 2, 3,...} F = { Asal say ılar} o ş S o n l u S o n s u z AL ÜE ÖELLİLERİ 1) A A dır. ( H e r k ü m e k e n d i s i n i n a l t k ü m e s i d i r. ) 2) A dır. (oş küme her kümenin alt kümesidir.) ÖAL ÜE ir kümenin kendisinden farklı olan her alt kümesine bu kümenin özalt kümesi denir. Örnek...8 : A = { 1, 2, x } kümesinin özalt kümelerini yazınız. AL ÜE A' nın her bir elemanı ' nin de bir elemanı oluyorsa A kümesine kümesinin alt kümesi denir ve A biçiminde gösterilir. A gösterimi, A, ' nin alt kümesidir diye okunur. A gösterimi ise, A yı kapsar diye okunur. A kümesinin bir alt kümesini oluşturmak için A' nın elemanlarından en az sıfır ve en çok A' nın eleman sayısı kadar eleman seçer ve yeni küme oluştururuz. Örnek...6 : A={1,2} kümesinin tüm alt kümelerini kurunuz. 0 elemanlı 1 elemanlı 2 elemanlı AL ÜE VE ÖAL ÜE SAYISI n elemanlı A kümesinin alt kümelerinin sayısı 2 n tanedir. A nın özalt kümeleri sayısı ise 2 n 1 tanedir. Örnek...9 : A = { a, b, {b,c}, (b,c), d } kümesinin kaç tane alt kümesi vardır? Örnek...10 : ir A kümesinin 256 tane alt kümesi olduğun a göre, A kümesi kaç elemanlıdır? Örnek...7 : = { a, b, {c} } kümesinin tüm alt kümelerini yazınız. Örnek...11 : ir kümesinin 511 tane özalt kümesi olduğuna göre, kümesi kaç elemanlıdır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 2/6

13 ÜELER 1 EEL AVRALAR Örnek...12 : A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde, i ) a bulunur? Örnek...13 : A={x:x 2 = 1, x },={x : x 2 4 = 0, x } C={x: x <2, x 0, x } D={x: 2 x =3 } kümelerinden hangileri eşit kümelerdir? ii) iii) a bulunur, f bulunmaz? c ve d birlikte bulunur? Örnek...14 : "ir A kümesinin tüm alt kümelerinin oluşturduğu kümeye A kümesinin kuvvet kümesi denir ve genellikle P( A) ile gösterilir." Yukarıda verilen bilgiye göre, A = { a, b, c } kümesinin kuvvet kümesini yazınız. iv) c veya d bulunur? Örnek...15 : A = { a, b, c } kümesinin kuvvet kümesi olan kümenin alt küme sayısı kaçtır? v) c ya da d bulunur v) En az bir sesli harf bulunur? Örnek...16 : A = { a, b, c, d, e } kümesinin en çok 1 elemanlı kaç alt kümesi vardır? vi) En çok bir sesli harf bulunur? EŞİ ÜE EŞİ ÜE: Elemanlarının tümü aynı olan kümelere denir ve = sembolü ile gösterilir. (A ve A) ise A = dir. Örnek...17 : Doğal sayıların bir alt kümesinin en büyük elemanı 100' dür. kümesinin herhangi bir alt kümesi L olsun. L herhangi iki elemanının toplamını içermediğine göre, L kümesi en çok kaç elemanlıdır? Eşit kümelerin eleman sayıları eşitttir. Eleman sayıları aynı olan kümeler eşit olmak zorunda değildir 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 3/6

14 ÜELER 1 EEL AVRALAR DEĞERLENDİRE 1 1) Aşağıda verilen cümlelerdeki noktalı yerleri doğru bir şekilde doldurunuz. a) üme matematiğin... bir kavramıdır. b) ümeyi oluşturan nesnelerin her birine... denir. c) ümede her eleman... yazılır. d) x elemanı kümesine ait ise... biçiminde yazılır. e) x elemanı kümesine ait değilse... biçiminde yazılır. f) ümeler... farklı şekilde gösterilir. unların isimleri... yöntemi, yöntemi ve yöntemidir. g) A kümesinin eleman sayısı... biçiminde gösterilir. h) Hiç elemanı olmayan kümeye... küme denir,... ya da... şeklinde gösterilir. ı) ir A kümesinin eleman sayısı doğal sayı ise, A ya... küme denir. i) Nicelik sayısı doğal sayı olmayan bir kümeye...küme denir. j) Yalnızca eleman sayıları birbirine eşit olan kümelere...küme denir. A ve kümeleri...ise A... şeklinde yazılır. k) üm elemanları aynı olan kümelere... küme denir. A ve kümeleri... ise A... şeklinde yazılır. l) A kümesinin her elemanı kümesinin de bir elemanı ise... kümesine... kümesinin alt kümesi denir ve şeklinde yazılır. m) A kümesinin her elemanı kümesinin de bir elemanı ise... kümesi... kümesini kapsar denir ve... A şeklinde yazılır. n) A kümesinin tüm alt kümelerinin oluşturduğu kümeye A kümesinin... kümesi denir ve... şeklinde gösterilir. o) ir kümenin kendisinden farklı olan her alt kümesine bu kümenin... kümesi denir. ullanacağınız kelime listesi 2) Aşağıdaki tabloda verilen ifadelerin küme belirtenlerini, belitmeyenlerini ile işaretleyiniz. üme Adayı İfade Doğal sayılar. Güzel filmler. Yeryüzünde yaşayan tüm canlılar. Ankara illi ütüphanedeki bazı kitaplar. Uzaydaki tüm yıldızlar yığını. ir çiftlikteki gagalı canlılar topluluğu. İki rakamlı negatif tam sayılar topluluğu. Ankara illi ütüphanedeki tüm kitaplar. üme 3) Aşağıda verilen bilgilerde noktalı yerlere, doğru ise D, yanlış ise Y yazınız. ir kümede elem anların yerleri d eğişti ğind e kümenin ismi de ğişmez oş küm enin öz alt kümesi yoktur irkümenin alt küm e ve öz alt küme say ıları t oplamı daima as aldı r oş küm enin alt kümesi yok tur an atlı i nsanl ar topluluğu küme b elir tir A={3, 7, 11, 15,......, 91 } ise s(a)= 2 3 t ür sonlu sonsuz eşit A eşit eleman liste boş denk P(A) { } 3 kuvvet özalt = bir defa x A x denk A ortak özellik A Ø tanımsız s(a) Venn şeması 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 4/6

15 ÜELER 1 EEL AVRALAR 4) A = {1, 2, {1,2}, 3, 4, {3,4}, 5} kümesine göre, aşağıda verilen bilgilerde noktalı yerlere, doğru ise D, yanlış ise Y yazınız { 1} A { 1, 2} A ) Aşağıdaki kümelerin eleman sayılarını hesaplayınız. a) A = { x : 13 x 94, x=2k, k } A s(a) = { 3, 4} A { 1, 2} A..... b) = { x : -4 x 105, x=3k, k }..... { 1,2,5} A 2,3,4 A { 1,2} A { 3, 4} A { 2,{3, 4}} A { { 1, 2,5}} A..... c) C = { x : -40<x 85, x=5k, k }..... A nın eleman say ısı 7 dir. 5) Aşağıda ortak özellik yöntemiyle verilen kümelerin elemanlarını liste yöntemiyle yazınız. d) D = { x : x<127, x=5k+2, k + } a) A = {a : (a-2) (a-1) a (2a+1) (a+2)=0, a } b) = {b : b, 10 un katı olan iki basamaklı doğal sayılar } e) E = { x : x=4k-1, 5<k 33, k + } c) C = { c : c-3 =9, c } 8) Aşağıdaki şekilde Venn şeması verilen A ve kümeleri için; d) D = { d : (d 2-16) (d 2 +9)=0, d } 6) Aşağıdaki kümelerin eleman sayıları kaçtır? a) A = { x : 2 x+3 128, x N } a) A ve kümelerini liste yöntemiyle yazınız. b) = { x : x 2 3, x N } b) s(a) s() çarpımı kaçtır? c) C = { x : x-3 3, x } 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 5/6

16 ÜELER 1 EEL AVRALAR DEĞERLENDİRE 2 1) A = { x : x, 12 den küçük 12 nin pozitif bölenleri } kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle yazınız. 2) Aşağıda verilen kümeleri ortak özellik yöntemiyle yazınız. a) A = { 2, 4, 6, 8,... } b) = {...-5, -3, -1, 1, 3, 5,... } 5) A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin 2' yi eleman kabul eden kaç alt kümesi vardır? 6) A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin en az 8 elemanlı kaç alt kümesi vardır? 7) A={x: x bir rakamdır} kümesinin kaç alt kümesinde en az bir asal sayı bulunur? c) C = { 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36 } 3) Aşağıdaki tabloda verilen kümelerin boş küme belirtenlerini, belirtmeyenlerini ile işaretleyiniz. 8) = {x : x < 4, x } kümesinin alt kümelerinin kaçında 0 veya 1 vardır? üme A= {x : x, ne gatif as al sayıl ar} = { x : x = 0, x } C = { x : x+6=0, x } D = {x : x+6=0, x N } = { Ø } oş üme 9) Asal rakamlar kümesinin, alt kümelerinin kaçında ne 2 ne de 3 vardır? 10) Alt kümelerinin sayısı 512 olan A kümesinin iki elemanı 1 ve 2 dir. A kümesinin kaç alt kümesinde 1 eleman olarak bulunurken, 2 bulunmaz? 4) Aşağıdaki kümelerin hangilerinin sonlu ya da sonsuz olduklarını yazınız. üme A = {ir yıl içind eki haft alar kümesi} ={x: x, yılınd a do ğa n çoc uklar} C = { x : 3 < x<4, x R} D o ğ r u p a r ç a s ı ü z e r i n d e k i n o k t a l a r k ü m e s i. D = { } D ü nyadaki tüm canlılar küm esi. N = { 0, 1, 2, 3,... } = { a, b, c, d, e, f } = { x x t am sayı ve 0 x 50 0} N = { x x, 5 il e böl ün ebilen doğ al say ı} Son lu / Sons uz 11) ir kümenin elemanlarını 2 arttırınca alt küme sayısı yüzde kaç artar? 12) 4 elemanlı bir kümenin birbirini kapsamayacak şekilde en çok kaç alt kümesi vardır? 13) A={1,2,3,4,5,6,7} ve ={1,2,3} veriliyor. A koşulunu sağlayan, A ve den farklı kaç kümesi yazılabilir? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 6/6

17 ÜELER 2 ÜELERDE İŞLELER İİ ÜENİN İRLEŞİİ A ve gibi iki kümeden, A' ya veya ' ye ait olan elemanlardan oluşan yeni kümeye A ile ' nin birleşimi denir ve AU ile gösterilir. u gösterim A birleşim diye okunur. Yani AU = { x : x A veya x } dir. A A İİ ÜENİN ESİŞİİ A ve gibi iki kümeden, A' ya ve aynı zamanda ' ye de ait olan elemenlardan oluşan kümeye A ile nin kesişimi (ara kesiti) denir ve A ile gösterilir. u gösterim A kesişim diye okunur. Yani A = { x : x A ve x } dir. Şemada taralı olan bölgeler kesişim ( arakesit) kümeleridir. Örnek...1 : A = { 2, 5, 6, 9 } ve = { 3, 5, 7, 9 } ise AU kümesini liste biçiminde yazınız. Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } kümeleri için s( AU) kaçtır? Örnek...5 : A = { 2, 0, 1, 2, 3 }, = { x : 0 x < 5, x } C = { x : 3 < x 7, x } kümeleri için A, A C, C ve A C kümelerini bulunuz. A = A C = C = Örnek...3 : A = { x : 2 x < 3, x }, = { x 4 < x 2, x } kümeleri için AU kümesini yazınız. A C = Örnek...6 : A = { x : 2 < x < 5, x R }, = { x : x > 3, x R } kümeleri için A kümesini bulunuz. Örnek...4 : A = { x 2 x < 3, x R }, = { x : 4 < x 2, x R } kümeleri için AU kümesini yazınız. Örnek...7 : A = { x : 4 x < 6, x R } = { x : x < 7, x R } C = { x : 3 < x 5, x R } olduğuna göre, (A ) U (A C) kümesini yazınız. 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 1/1010

18 ÜELER 2 ÜELERDE İŞLELER İRLEŞİ VE ESİŞİİN ÖELİLERİ 1) AUØ = A 2) A Ø= Ø 3) ek kuvvet özeliği 4) Değişm e özeliği A A= A A = A A A= A A = A Örnek...11 : A = {x 10 <x<200, x=3k, k N} = {x 10 <x<200, x=4k, k N} s( AU) kaçtır? 5) irleşme özeliği A ( C)=(A ) C A ( C)=( A ) C 6) Dağılma özeliği A ( C )=(A ) (A C) A ( C)=(A ) ( A C) 7) s(au) = s(a)+s() s(a ) 8) s( AUUC)=s( A)+s()+s( C ) s(a ) s( A C) s( C)+s(A C) Örnek...8 : A = {1,2, 3} A = {1,2,3,a,5,7} koşullarını sağlayan kümesinin 1 elemanlı alt kümeleri en çok kaç tanedir? Örnek...12 : s(a )=10, s(a C) = 18 olduğuna göre, s(a (UC)) en çok kaç olabilir? Örnek...9 : A,, C ve D üç küme olmak üzere, A [{DU{( A) C}} A ] ifadesinin en sade hali nedir? Örnek...13 : A x = {x in asal bölenleri} ve x = {x in bir basamaklı bölenleri} ise a) A 4 2 U 3 0 kümesini elemanları ile yazınız. Örnek...10 : b) s( ) s(a 9 6 ) değeri kaçtır? A kümesinin alt kümelerinin sayısı 128, A kümesinin özalt kümelerinin sayısı 15, AU kümesinin alt kümelerinin sayısı 512 dir. una göre, kümesinin e!eman sayısı çift olan alt küme sayısı kaçtır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 2/10

19 ÜELER 2 ÜELERDE İŞLELER EVRENSEL ÜE ütün kümeleri kapsayan ve üzerinde işlem yapılan kümeye evrensel küme denir. Evrensel kümeyi genellikle E ile gösteririz. İR ÜENİN ÜLEYENİ A E olmak üzere, E evrensel kümesinde olup, A da bulunmayan elemanların kümesine A kümesinin tümleyeni denir ve A veya A t ile gösterilir. A = { x : x A ve x E} yazılır. A ' A EVRENSEL ÜE VE ÜLEYEN ÖELLİLERİ 1) E = Ø 2) Ø = E 3) (A ) = A 4) A E = A 5) A U E = E 6) A U A = E 7) A A = Ø 8) A A 9) A E olmak üzere, s(a)+s(a )=s(e) dir. 10) De organ uralları: (A ) ' =A ' ' (A ) ' = A ' ' Örnek...16 : s(a ) = 8, s(e) = 21, s( ) = 15 olduğuna göre, s( A) + s( ) toplamı kaçtır? E Örnek...14 : E = { x : 4 < x < 7, x } evrensel kümesindeki A = { x : x < 3, x } kümesi için A kümesini liste yöntemi ile yazınız. Örnek...17 : A,, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere, s(a) + s( ) = 13 s() + s(a ) = 5 ve s(c ) = 3 ise s(c) kaçtır? Örnek...15 : E = {x : x, Rakam} A = {x : x, Asal rakam} = {x: x, tek rakam} ise A,, (AU) kümelerini yazınız. Örnek...18 : E evrensel kümesi sesli harflerimiz olmak üzere, A={a, e, ı} ise A kümesinin alt kümelerinin kaçında A' dan daha fazla sayıda eleman vardır? Örnek...19 : A, E olmak üzere, A olduğuna göre, A nin eşiti nedir? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 3/10

20 ÜELER 2 ÜELERDE İŞLELER Örnek...20 : A E olmak üzere, s(a)=7 2x ve s(a )=2x+3 olduğuna göre, E evrensel kümesinin asal sayıda eleman içeren kaç alt kümesi vardır? Örnek...21 : A = { 3, 5, 7, 8, 9, 10 }, = { 2, 4, 5, 7, 9 } kümeleri için A, A ve A Δ kümelerini yazınız. İİ ÜENİN FARI A E ve E olmak üzere A' da bulunan fakat ' de bulunmayan elemanların kümesine A fark kümesi denir ve A veya A \ ile gösterilir. Yani A = {x : x A ve x } dir. Fark kümesinin Venn şeması ise Örnek...22 : A, ve C kümelerinin yanda verilen şemasında taralı bölgenin sembolik yazımı nedir? Örnek...23 : (A ) C ve A ( U C) kümelerini aşağıdaki şemalar üzerinde belirtiniz. SİERİ FAR (A ) U ( A) kümesine simetrik fark denir ve AΔ ile gösterilir. Yani AΔ=(A )U( A) dır. FAR İŞLEİNİN ÖELLİLER 1) A = A 2) E A = A Örnek...24 : A = { x : 3 < x < 5, x } ve = {x : 1 < x < 5, x } ise A kümesini yazınız. 3) A A = 4) A = A (A ) 5) (A ) =A U 6) (A ) U = A U 7) A A = Ø 8) Ø A = Ø 9) A E = Ø 10) A Ø = A 11) A için A A 12) A = için A = A = Ø 13) (A ) C=A (UC) Örnek...25 : A = {1, 2} ve AU = {a, b,1, 2, 3, 4, 5} olduğuna göre, kümesini liste biçiminde yazınız. 14) (A ) (C ) = (A ) C = A C 15) s(au) = s(a ) + s( A) + s(a ) 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 4/10

21 ÜELER 2 ÜELERDE İŞLELER Örnek...26 : s(au)=34, s( A)=11 ve s(a )=18 olduğuna göre, A kümesinin eleman sayısı kaçtır? Örnek...29 : s(a ) = 6 ve s(a) = 10 ise A kümesinin en çok 1 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? Örnek...27 : s(a) + s() = 24, s(au)=19 ve s(a ) = 3 olduğuna göre, s( A) kaçtır? Örnek...30 : A kümesinin alt kümelerinden 16 tanesi kümesinin alt kümesi değildir. s(au) = 13, s(a ) = 6 olduğuna göre, s(a ) kaçtır? Örnek...31 : A ve, E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere (AU ) U( A) ifadesinin en sade halini bulunuz? Örnek...28 : A = { Sınıftaki gözlüksüz öğrenciler} = { Sınıftaki esmer öğrenciler} C = { Sınıftaki erkek öğrenciler] D = { Sınıftaki kız öğrenciler} olduğuna göre, (AUD) (AU) kümesi hangi öğrencilerden oluşur? Örnek...32 : A ve,e evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere (A ) [ A ] ifadesinin en sade halini bulunuz? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 5/10

22 ÜELER 2 ÜELERDE İŞLELER DEĞERLENDİRE 1 1) Aşağıda verilen cümlelerdeki noktalı yerleri doğru bir şekilde doldurunuz. a) ütün kümeleri kapsayan ve üzerinde işlem yapılan kümeye... küme denir. b) E evrensel kümesinde olup, A' da bulunmayan elemanların kümesine A kümesinin... denir ve... veya... ile gösterilir. c) A' ya veya ' ye ait olan elemanların oluşturduğu kümeye A ile ' nin... denir ve... ile gösterilir. d) A ve ' ye ait olan elemenlardan oluşan kümeye A ile nin... (...) denir ve... ile gösterilir. e) A kümesi ile A t kümesinin birleşimi... küme oluşturur. f) A' da bulunan ancak ' de bulunmayan elemanların kümesine A... kümesi denir ve... veya... ile gösterilir. ullanacağınız kelime listesi kesişim i birleşimi fark A A tümleyeni arakesiti A A \ evrens el evrens el A t AU 3) Aşağıdaki tabloda noktalı yerleri uygun şekilde doldurunuz. A U Ø=... A A =... AUA =... A Ø =... Ø =... (A ) =... A A =... A U E=... E =... E A=... (AU) =... A U A =... A E=... (A ) =... A =... (A ) =... (A ) C = A... (... C) s( A ) + s( A) + s (A )= (A )U( A)=... s(a) + s() s(a ) =... 4) Aşağıda verilen bilgilerde noktalı yerlere, doğru ise D, yanlış ise Y yazınız.... : A = (A )U( A)... : s(au) = s(a) + s(a ) s() 2) üme İfadesi A ve ' nin ortak elemanlarını içerir. A veya ' nin elemanlarını içerir. A' da bulunan, ' de bulunmayan elemanları içerir. ' de bulunan, A' da bulunmayan elemanları içerir. Evrensel kümede olup A kümesinde olmayan elemaları içerir. irleşim kümesinin arakesit elemanları dışındaki elemanları içerir. Sembolik gösterimi A... : (A U ) = A... : E A = A... : s(auuc)=s(a)+s()+s(c)+s(a ) +s(a C)+s( C) s(a C)... : A = A C ise = C 5) = {1,2,3,{4,5}}, P = {1,2,3,4,5} ve R = {2,4,6} olduğuna göre, aşağıdaki tabloda boş bırakılan yerleri doldurunuz. UP R U(P R) (P R)U( R) LİSE YÖNEİ alt küme sayısı 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 6/10

23 ÜELER 2 ÜELERDE İŞLELER DEĞERLENDİRE 2 1) = {1, 3, 5, 7, 11}, L = {x: x<10, x = 2k+1, k + }, = {x: x 2 32, x } olduğuna göre, \ ( L) kümesinin elemanlarını liste yöntemiyle yazınız. 5) Yandaki şemada verilen sayılar bulundukları bölgedeki eleman sayılarını göstermektedir. s(uruş) = 43 olduğuna göre, Ş kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? 2) s(a) = 9, s() = 15 ve s(a U ) = 18 olduğuna göre, A kümesinin eleman sayısı kaçtır? 6) ve kümeleri için ve olmak üzere, s( U ) = 13 ve s( ) = 6 olduğuna göre, kümesinin eleman sayısı en çok kaç olabilir? 3) A kümesinin alt küme sayısı 1024 ve s(au) = 26 olduğuna göre, s() nin en küçük ve en büyük değerleri toplamı kaçtır? 7) A = {x : 18 < x 105, x N} kümesinin elemanlarının kaç tanesi, 3 ve 5 ile tam bölünebilir? 4) A = ( 7,3], = (6,11) ve C = [3,6) kümeleri aralık olarak veriliyor. Aşağıda verilen küme işlemlerini yapınız. 8) A = {x : 18 < x 105, x N} kümesinin elemanlarının kaç tanesi, 6 veya 9 ile tam bölünebilir? AUC = (AUC) = UC = A C = A t = (AUC) t = 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 7/10

24 ÜELER 2 ÜELERDE İŞLELER DEĞERLENDİRE 3 1) A = {2, 5, 11} ve A C = {2, 3, 7} olmak üzere, A ( U C) kümesinin elemanlarını ortak özellik yöntemiyle yazınız. 6) 2 s(a ) = 3 s(a C) = s( C) s(a) + s() + s(c) = 53 s(a C) = 3, s(auuc) = 34 olduğuna göre, s(a ) kaçtır? 2) Venn şeması ile verilenlere göre, (GU) (GUN) kümesinin elemanlarını liste biçiminde yazınız. 7) A = {x 25<x<200, x=3k, k N} = {x 10<x<170, x=4k, k N} s(a ) kaçtır? 3) s(a) = 3a+4 s(a ) = 2a 3 s() = 8 s(au) = 5a 1 olduğuna göre, a nın değeri kaçtır? 4) A = { x 24< x 156, x = 4k, k } = { x 36 x <144, x =6k, k } olduğuna, s(au) değeri kaçtır? 8) C olmak üzere, s(a )=10, s(a C) = 18 olduğuna göre, s(a (UC)) en az kaç olabilir? 5) s(a ) = s(a ) = s(a) ve s()= olduğuna göre, s(au) kaçtır? 9) s(a) = 6 ve s( \ A) = 4 olduğuna göre, s(au) kaçtır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 8/10

25 ÜELER 2 ÜELERDE İŞLELER DEĞERLENDİRE 4 1) s(e)=25, s(a )=11 ve s(a ) = 5 olduğuna göre, kümesinin eleman sayısı kaçtır? 6) A = {a, b, c, d} = {b, d, e, f, g, h} C = {c, d, g, h, x, y } kümeleri veriliyor. a) Sadece kümesinde bulunan elemanları yazınız. 2) s(a) = 16 ve s(a ) = 7 olduğuna göre, s(a \ ) kaçtır? b) ve C' de bulunup A' da bulunmayan elemanları yazınız. 3) s(a U ) = 22 ve s(a \ ) = 14 olduğuna göre, kümesinin alt küme sayısı kaçtır? c) A veya ' de bulunup C' de bulunmayan elemanları yazınız. 4) (AU) = Ø, s(aua ) = 18, s(a ) = 4 ve s( A) = 7 olduğuna göre, A kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? 7) Şekilde verilen Venn şemasına göre, aşağıdaki tabloyu doldurunuz. A C ={d, a, r} (AUC) ={ } \ C ={ } (A C) \ ={ } A t ={ } (C A) ={ } C A ={ } C \ (AU) ={ } [(A ) U ( A)] C ={ } 5) s(a \ ) = 5 s( \ A) = 8 ve s(a ) = 7 olduğuna göre, s(a U ) kaçtır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 9/10

26 ÜELER 2 ÜELERDE İŞLELER DEĞERLENDİRE 5 1) E evrensel küme ve A, E dir. s(au) = 25 ve s(a ) = 3 2. s(a) = 5. s() ise A \ kümesi kaç elemanlıdır? 5) A ve aynı evrensel kümenin alt kümeleridir. una göre (A ) (A ) ifadesinin en sade halini bulunuz. 2) Aşağıda Venn şeması ile verilen kümelerde taralı bölgeleri ifade eden kümeleri yazınız. 6) E evrensel kümesi 48 elemanlıdır. s[(a\) ] = 32, s() = 18 ve s( \ A) = 14 olduğuna göre, AU nin eleman sayısı kaçtır? 7) A ve,e evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere { [(AUØ) U ( Ø)] } U A ifadesinin en sade halini bulunuz? 3) E = AU, s[ (A ) ] = 22, s[ ( A) ] = 18 ve s(a ) + s( ) = 38 olduğuna göre, AU evrensel kümesinin eleman sayısı kaçtır? 8) A ve kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleridir. s(a) = 5x 8, s(a ) = 2x 3, s() = x 1, s( ) = 2x+2 olduğuna göre, E evrensel kümesinin 1 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? 4) s(a )=12, s[( A) ]=26 ve s(a )=11 olduğuna göre, A kümesinin eleman sayısı kaçtır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 10/10

27 ÜELER 3 ÜE PROLELERİ ÜE PROLELERİNİ ÇÖE İÇİN GENEL SRAEJİ NEDİR? 1) Problemde verilenlere uygun şekil çizilir. 2) ilinen değerler yerlerine yazıldıktan sonra yeteri kadar değişken kullanılarak elde edilen denklemlerle sonuca gidilir. 3) azı sorularda tüm değişkenler bulunamasa da sonuç bulunabilir. Örnek...1 : ir sınıftaki öğrencilerden 16 sı basketbol, 22 si voleybol ve 11 i de her iki oyunu oynuyor. u sınıfta basketbol veya voleybol oynayan kaç kişi vardır? Yandaki Venn şemasında bir toplulukta İngilizce, Fransızca ve Almanca konuşanların kümesi İ, F ve A ile gösterilip kümelerin içine eleman sayıları yazılmıştır. Aşağıdaki tabloda tanımlanan kümelerin sembolik gösterimi ve gösterimi yapılan kümelerin eleman sayıları belirtilmiştir. Örnek...2 : Japonca veya Rusça bilenlerden oluşan bir toplulukta 37 kişi vardır. u toplulukta yalnız Japonca bilenlerin sayısı yalnız Rusça bilenlerin sayısının 2 katıdır. oplulukta 7 kişi her iki dili bildiğine göre, yalnız Japonca bilenler kaç kişidir? anımlanan üme üme Adı Eleman Sayısı Ya l n ı z İ n g i l i z c e k o n u ş a n İ ( F A ) x İ n g i l i z c e k o n u ş a n İ x+a+b+k e k d i l b i l e n l e r? x+y+z İ k i d i l b i l e n l e r? a+b+c Ü ç d i l b i l e n l e r İ F A k F r a n s ı z c a v e A l m a n c a b i l e n l e r Ya l n ı z F r a n s ı z c a v e A l m a n c a b i l e n l e r F r a n s ı z c a b i l m e y e n v e A l m a n c a b i l m e y e n F A ( F A ) ( İ F A ) F A k+c c x+t A l m a n c a b i l m e y e n A x+b+y+t Örnek...3 : 40 kişilik bir turist kafilesinde Almanca, Fransızca ve İngilizce konuşulmaktadır. Yolcuların 3' ü her üç dili de bilmektedir. Yolculardan 7' si Fransızca ve Almanca, 9' u Fransızca ve İngilizce, 5' i yalnız Almanca, 7' si yalnız Fransızca, 6' sı da yalnız İngilizce bilmektedir. Yolculardan her biri bu dillerden en az birini bildiğine göre, yalnız Almanca ve İngilizce bilen kaç kişi vardır? F r a n s ı z c a b i l m e y e n v e İ n g i l i z c e b i l e n l e r F İ x+a H i ç d i l b i l m e y e n ( A F İ ) t E n a z i k i d i l b i l e n l e r? a+ b+c+k E n ç o k i k i d i l b i l e n l e r E ( A F İ ) a+ b+c+x+ y+z+t İ n g i l i z c e v e y a A l m a n c a b i l e n l e r İ n g i l i z c e y a d a A l m a n c a b i l e n l e r İ A (İ A) (A İ) İ Δ A b+x+c+z+ a+k b+x+c+z 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 1/4

28 ÜELER 3 ÜE PROLELERİ Örnek...4 : ir sınıftaki öğrenciler İngilizce ve Almanca dillerinden en az birini bilmektedir. Almanca bilenlerin sayısı, İngilizce bilenlerin sayısının 3 katı ve her iki dili bilenlerin sayısının 8 katıdır. Sınıf mevcudu 29 olduğuna göre, İngilizce bilenler kaç kişidir? Örnek...6 : 34 kişilik bir anadolu lisesi sınıfında, gözlüklü kız öğrenci sayısı 12 dir.gözlüksüz erkeklerin sayısı gözlüksüz kızların sayısının 4 katı ve erkek öğrenci sayısı kız öğrenci sayısının 2 katından 11 eksik ise sınıftaki gözlüksüz kız öğrenci sayısı kaçtır? Örnek...5 : Futbol veya basketbol sporlarının yapıldığı bir grupta, futbol oynayanlar % 60, basketbol oynayanlar % 50 ve sadece basketbol oynayanlar 20 kişi ise sadece futbol oynayanlar kaç kişidir? Örnek...7 : ir gruptaki öğrencilerin 32 si sarışın 21 i esmerdir. Gruptaki sarışın erkekler esmer erkeklerden 5 kişi fazla ise sarışın kızlar, esmer kızlardan kaç fazladır? Sarışın( S) Esmer( ) ız( ) a b Erkek( E) c d Örnek...8 : ir sınıftaki öğrencilerin tümü A,, C seçmeli derslerinden sadece ikisini seçmek zorundadır. A dersini seçen 15, dersini seçen 26, C dersini seçen 13 kişi ise sınıf mevcudu kaçtır? Yukarıdaki tablo bir sınıftaki öğrencilerle ilgili verileri içermektedir. anımlanan üme üme Adı Eleman Sayısı ızların sayısı a+ b Erkeklerin sayısı E d+ c Sarışınların sayısı S a+ c Esmerlerin sayısı b+d ız ve sarışın S a ız veya esmer a+b+d Erkek veya sarışın olmayan EUS c+d+b 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 2/4

29 ÜELER 3 ÜE PROLELERİ Örnek...9 : oş kümeden farklı A ve kümeleri için, 3 s(a ) = 5 s(a ) = 6 s( A) olduğuna göre, AU kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? Örnek...12 : Pozitif tamsayılardan oluşan A = {x x < 76, x = 2k, k + } = {x x < 191, x = 3k, k + } kümeleri veriliyor. una göre, AU kümesinin eleman sayısı kaçtır? Örnek...10 : Yandaki şemada taralı küme aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) A C ) (A ) \ C C) (C ) \ A D) (A C) \ (A C) E) ( (A U C)) \ (A C) Örnek...13 : A Ø olmak üzere, s() = 4 s(a) s( \ A) = 5 s(a \ ) olduğuna göre, kümesi en az kaç elemanlıdır? Örnek...11 : ir sınıfta Çince veya Japonca' dan en az birini bilen 42 öğrenci vardır. Çince bilenlerin sayısı, Japonca bilenlerin sayısının 3 katı, her iki dili bilenlerin sayısının ise 6 katıdır. una göre, sınıfta Çince bilenlerin sayısı kaçtır? Örnek...14 : E kümesi, {1, 3, 5, 7} kümesinin elemanları kullanılarak oluşturulan ve rakamları birbirinden farklı dört basamaklı bütün doğal sayıların kümesidir. E' nin elemanlarından 7 rakamı 1 rakamının solunda olanlar A kümesini, 7 rakamı 3 rakamının sağında olanlar kümesini oluşturuyor. una göre, AU kümesinin eleman sayısı kaçtır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 3/4

30 ÜELER 3 ÜE PROLELERİ DEĞERLENDİRE 1) evcudu 30' dan az olan bir sınıfta gitar çalan herkes, piyano da çalabiliyor. Piyano çalanların sayısı, gitar çalanların sayısının 3 katıdır. Gitar çalamayanlar piyano çalamayanların 2 katı olduğuna göre, bu sınıftaki öğrenci sayısı en çok kaçtır? 4) En az bir zayıfı olan öğrencilerin bulunduğu bir sınıfta, %40' ı fizikten, %70' i biyolojiden kalmıştır.her ikisinden kalan 6 kişi olduğuna göre sınıfta kaç öğrenci vardır? A)30 )40 C)60 D)70 E)110 A)24 )25 C)26 D)27 E)28 2) 30 kişilik bir sınıftaki sarışın ve gözlüklü öğrencilerin sayısı sarışın olmayan gözlüksüz öğrencilerin sayısından 8 fazla, gözlüklü öğrencilerin sayısı, gözlüküz öğrencilerin sayısının 2 katıdır. una göre sarışın olmayan öğrenci sayısı kaçtır? 5) ir sitede oturan ailelerin % 70 inde DVD oynatıcı, % 60 ında bilgisayar vardır. una göre, yalnız DVD oynatıcısı olan aile sayısı en az kaçtır? A)1 )2 C)3 D)4 E)40 A)10 )12 C)15 D)18 E)20 3) İngilizce veya Fransızca dillerinden en az birinin konuşulduğu bir sınıfta ingilizce bilenlerin sayısı her iki dili de bilenlerin sayısının 3 katı, Fransızca bilenlerin sayısı sadece İngilizce bilenlerin sayısının 2 katıdır. Sınıf mevcudu kaç olabilir? 6) 66 kişilik bir sınıfta gözlüklü kızların sayısı gözlüksüz erkeklerin sayısının % 30 udur. Sınıftaki kız öğrenci sayısı erkek öğrenci sayısından 6 eksiktir. Sınıfta 6 tane gözlüklü erkek olduğuna göre, kaç tane gözlüksüz kız öğrenci vardır? A)3 )9 C)21 D)25 E)30 A)7 )10 C)17 D)32 E)36 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 4/4

31 ÜELER 4 AREYEN ÇARPI SIRALI İİLİ a ve b'nin (a,b) biçiminde tek bir eleman olarak yazılmasına sıralı ikili ya da kısaca ikili denir. urada a' ya ikilinin birinci bileşeni, b' ye ise ikinci bileşeni denir. Örneğin ; (4, 3) ve (m, n) bir sıralı ikilidir. UYARI İkilide sıra önemli olduğundan a b için (a, b) (b, a) dır. AREYEN ÇARPI A ve herhangi iki küme olsun. Ax = {(a,b) : a A ve b } kümesine A ve kümelerinin kartezyen çarpımı denir. s(ax) = s(xa) = s(a) s() Örnek...4 : A = {1, 2, 3} ve = {a, b} kümeleri için, Ax ve xa kümelerini liste biçimde yazınız. UYARI ( a, b) ikilisi ile { a, b} kümesi de farklıdır. Yani, (a,b) {a,b} dir. SIRALI İİLİLERİN EŞİLİĞİ İki sıralı ikilinin birinci bileşenleri birbirine ve ikinci bileşenleri birbirine eşitse bu sıralı ikililer eşittir denir. unun karşıtı da doğrudur. Yani, Örnek...5 : A = {x : x ve x < 2} ve = {x : x ve x 2 < 6} kümeleri için, s( A x ) kaçtır? (a,b) = (c,d) (a = c ve b = d) dir. Örnek...1 : (4x 1, y 3) = (19, x 3 +x) olduğuna göre, (x y, x+y) sıralı ikilisini bulunuz. Örnek...6 : A = {a, b, c} kümesi için A x A kümesinin 5 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? Örnek...2 : 2 ( 2x+1, 3y 1 3 ) ( = 3 5, 4 3 ) olduğuna göre, x. y çarpımı kaçtır? Örnek...7 : Ax = {(a, 1), (a, 3), (a, 5)} CxD = {(a, 2), (b, 4), (a, 4), (b, 2)} olduğuna göre, s( xc) kaçtır? Örnek...3 : (2x 3y, x + 2y) = ( 4, 2) olduğuna göre, x. y çarpımı kaçtır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 1/3

32 ÜELER 4 AREYEN ÇARPI AREYEN ÇARPIIN ÖELİLERİ 1) AxA = A 2 2) İRLEŞE ÖELİĞİ AxxC = (Ax)xC = Ax(xC) 3) DEĞİŞE ÖELİĞİ Ax xa (A için) 4) DAĞILA ÖELİĞİ Ax(UC) = (Ax) U (AxC) Ax( C) =(Ax) (AxC) Ax( C)= (Ax) (AxC) Örnek...8 : Ax = {{0, a), (0,b), (0,c), (1,a), (1,c), (1,b)} olduğuna göre, s( AxA) + s( xa) kaçtır? AREYEN ÇARPIIN GRAFİĞİ A ve boştan farklı herhangi iki küme olsun.oordinat düzleminde, yatay eksen üzerine A kümesinin elemanları, düşey eksen üzerine ise kümesinin elemanları işaretlenmek suretiyle oluşturulan sıralı ikililerin kümesi A x çarpımının grafiğini oluşturur. Örnek...11 : A = {1, 2, 3} ve = {a, b} kümeleri için, A x ve x A kümelerinin grafiklerini çiziniz. Örnek...9 : A = {s, o, y, u, t, b, i, r} = {c, e, b, i, r} kümeleri veriliyor. s[(a x C) ( x C)] = 60 olduğuna göre, C kümesinin eleman sayısı kaçtır? Örnek...12 : A = { 1, 0, 1, 2, 3 } = { 2, 3, 4 } kümeleri için, Ax kartezyen çarpım kümesinin grafiğindeki noktaları dışarıda bırakmayan a) en küçük alanlı dikdörtgenin alanı kaç br 2 dir? b) en küçük alanlı dairenin alanı kaç br 2 dir? Örnek...10 : A ={ 1, 2, 3, 4, 5. 6, 7, 8, 9 } kümesinde tanımlı alt kümelerin biri = { (x, y) x + 2y < 14 } ise s(x) kaçtır? Örnek...13 : 5 elemanlı bir kümenin kendisiyle kartezyen çarpımı ile elde edilen kümenin alt kümelerinin kaçında bileşenleri eşit olan ikililer yoktur? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 2/3

33 ÜELER 4 AREYEN ÇARPI DEĞERLENDİRE 1) (3a 7, 9) = (8, 2b 3) sıralı ikilileri eşit olduğuna göre, a b çarpımı kaçtır? 5) A = {a, b, c} ve = {2, 3} olduğuna göre, s(a x x A) değeri kaçtır? 2) (2x 3y, 7) = (51, 2x + y) sıralı ikilileri eşit olduğuna göre, x y çarpımı kaçtır? 6) A = {1, 2, 3, 4} ve = {5, 7} olduğuna göre, A x kümesinin en az 5 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? 3) A x = {(a,3), (a,5), (a,7), (b,3), (b,5), (b,7)} C x D = {(x,2), (x,4), (y,2), (y,4), (z,2), (z,4)} olduğuna göre, x D kümesini liste yöntemiyle yazınız. 4) A x = {(a,3), (a,5), (a,7), (b,3), (b,5), (b,7)} olduğuna göre, x = 2 kümesinin grafiğini çiziniz. 7) A ve boştan farklı iki küme olmak üzere, s(uc) = 8 s(ax) = 35 s[(ax)u(axc)] = 56 olduğuna göre, kümesinin alt küme sayısı kaçtır? 8) A ve gibi iki kümenin arakesitlerinin alt küme sayısı 16' dır. s() = 7 ve s[a x (A U )] = 108 olduğuna göre, A \ kümesinin eleman sayısı kaçtır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 3/3

34 DENLELER VE EŞİSİLİLER 1 SAYI ÜELERİ RAA Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 sembollerine rakam denir. Örnek...1 : a, b ve c birbirlerinden farklı birer rakamdır. a.b+9.b c en çok kaçtır? DOĞAL SAYILAR SAYI ÜELERİ N={0,1,2,3...,n,...} kümesine doğal sayılar kümesi denir. Örnek...5 : a ve b farklı doğal sayılar olmak üzere, a+b=12 ise a.b nin en büyük ve en küçük değerleri çarpımı kaçtır? Örnek...2 : Herhangi bir doğal sayının rakamlarının tersten yazılışı ile oluşan yeni sayı ilk sayıya eşit ise bu şekildeki sayılara palindrom sayı denir. una göre, aşağıdaki sayılardan kaç tanesi palindromdur? Örnek...6 : a, b, c doğal sayılar olmak üzere, a.b=24 ve a.c=36 ise a+b+c nin toplamı kaç farklı değer alır? Örnek...3 : 45 basamaklı sayısı, 234 ile çarpıldığında, elde edilen sayının rakamları toplamı kaçtır? Örnek...4 : n doğal sayı olmak üzere 2 (2n) +1 biçimindeki sayılara Fermat asal sayıları denir. En çok iki basamaklı Fermat asallarının toplamı kaçtır? Örnek...7 : 1 den 99 a kadar olan tamsayılar soldan sağa doğru yan yana yazılarak a = şeklinde 189 basamaklı bir a sayısı oluşturuluyor. una göre, a nın sağdan 126. rakamı kaçtır? UYARI Rakamların çokluk belirtmek için bir arada (veya tek başlarına) kullanılmala rıyla sayılar elde edilir. azı sayılar aynı zamanda rakamdır. UYARI Doğal sayıların iki alt kümesi asal sayılar A={2,3,5,7,11...} ve sayma sayıları S={1, 2, 3,...} kümesi sıklıkla karşımıza çıkar. 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 1/8

35 DENLELER VE EŞİSİLİLER 1 SAYI ÜELERİ Örnek...8 : a ve b doğal sayıları için 5a+b=17 olduğuna göre, i) a ve b asal sayıdır. ii) a çiftse b de çifttir. iii) a ve b nin her ikiside pozitiftir. Örnek...13 : A ve farklı rakamlar ve A ve A iki basamaklı sayılar olmak üzere, A+A++AA toplamı en az ve en çok kaçtır? ifadelerinden hangisi veya hangileri daima doğrudur? A SAYILAR ={..., 2, 1,0,1,2,...,z,...} kümesine tam sayılar kümesi denir. UYARI Örnek...14 : Herbiri en az iki basamklı 8 sayının her birinin birler basamağındaki rakam sayısal değer olarak 3 azaltılır, onlar basamağındaki rakam sayısal değer olarak 2 arttırılırsa sonuç nasıl değişir? kümesinin Ç ={x: x=2k, k }={..., 2,0,2...} ve ={x : x=2k+1,k }={... 1,1,3...} alt kümeleri sıklıkla karşımıza çıkar. Örnek...9 : x tek bir tamsayı ise kaç tanesi daima çifttir? i) x+1 ii)x 1 iii) 8x+6 iv) x 2 +1 v) x 2 +x 3 Örnek...15 : Ardışık 5 tam sayının toplamı 245 ise en büyük sayı kaçtır? Örnek...10 : 12 6: =? Örnek...11 : a {[a 3(b 2a) (a 3b)]+a 2(2b a)}=? Örnek...12 : a, b, c tam sayılar olmak üzere, a.b=60, a.c=48 ise a+b+c nin toplamı en az kaç olur? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 2/8

36 DENLELER VE EŞİSİLİLER 1 SAYI ÜELERİ DEĞERLENDİRE 1 1) Sayı doğrusunda işaretlenmiş a, b, c, d sayılarının toplamı 67 dir. u sayılaradn en küçüğü a olmak üzere, a'nın diğer sayılarına uzaklıkları toplamı 31 ise a kaçtır? 6) abc üç basamaklı sayısı rakamları toplamının x katı, bca 3 basamaklı sayısı rakamları toplamının y katı ise cab 3 basamaklı sayısı rakamları toplamının kaç katıdır? 2) n bir doğal sayı olmak üzere, 1 den n ye kadar olan doğal sayıların toplamı x, 7 dan n ye kadar olan doğal sayıların toplamı y ile gösteriliyor. x + y = 251 olduğuna göre, x in değeri kaçtır? 7) a, b, c tam sayılar olmak üzere, a.b<0, a.c>0, b 2.c>0 ise a, b, c nin işaretleri sırasıyla nedir? 3) ir öğrenciden verilen bir x sayısını 45 ile çarpması istenmiş ve öğrenci cevabı bulmuştur. Fakat işlemi kontrol ederken verilen x sayısının 2 olan onlar basamağını 5 görmüş olduğunun farkına varan bu öğrencinin bulması gereken doğru sonuç kaçtır? 8) =? 4) a ve b doğal sayılar olmak üzere, a.b=60 ise a+b nin en büyük ve en küçük değerleri toplamı kaçtır? 9) a, b, c negatif tam sayılar olmak üzere, 5a=6b, 3a=7c ise a+b+c nin toplamı en çok kaç olur? 5) Üç basamaklı 9ab sayısı iki basamaklı ab sayısının 61 katıdır. una göre, a +b toplamı kaçtır? 10) İki basamaklı ve birbirinden farklı üç tek sayının toplamı kaç farklı değer alır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 3/8

37 DENLELER VE EŞİSİLİLER 1 SAYI ÜELERİ RASYONEL SAYI RASYONEL SAYILARDA İŞLELER a ve b tamsayılar ve b 0 koşuluyla q= a sayısına rasyonel sayı denir. b Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir ve yazılır. Q={ a :a, b, b 0} biçiminde b 1) 2) 3) a b c d = ad bc b.d a b. c d = a.c b.d a b : c d =a.d b.c ESİR ÇEŞİLERİ İşaretlerine bakılmaksızın payı paydasından büyük veya eşit olan kesirlere bileşik kesir denir. Pay mutlak değer olarak paydadan küçükse kesir basit kesir dir. Örnek...1 : a kesri basit kesir ise a nın alabileceği kaç 7 farklı değer vardır? Örnek...4 : 1 2 ( ) =? Örnek...5 : (1 1 5 ).(1 1 6 )...( )=? Örnek...2 : x 2 kesrini tanımsız yapan x değerleri toplamı kaçtır? Örnek...6 : A= ve = türünden eşiti nedir? ise nin A HAIRLAA x bir tamsayı ve a b bir kesir olmak üzere, x+ a b ifadesine bir tamsayılı kesir denir HAIRLAA a b =c d ise a.d=b.c dir. urada a b ve c d kesrine denk kesirler de denir Örnek...3 : x 2 5 =x+1 3 ise x kaçtır? ve bu x a b ile gösterilir. Örneğin; = =18 7 ve = (5+2 3 )= 17 3 olur. Örnek...7 : ( ):( ) =? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 4/8

38 DENLELER VE EŞİSİLİLER 1 SAYI ÜELERİ ONDALI AÇILI x y rasyonel sayısında x in y ile bölünmesiyle elde edilen sayıya x y ondalık açılımı denir. nin DEVİRLİ ONDALI SAYININ ESRE ÇEVRİLESİ 6 25 Örnek...8 : sayısının ondalık açılımı nedir? Örneğin; a, bc d= abcd abc 900 Örnek...9 : (0,728) 2 (0,272) 2 =? Örnek...11 : 4,2 3 sayısını kesre çeviriniz, Örnek...10 : 0,46 0,23 + 4,6 0,23 + 0,6 0,03 0,48 0,4 1 =? Örnek...12 : x=3,4 3 y=3, 43 z=3, sayılarını sıralayınız? UYARI Her rasyonel sayı bir devirli ondalık açılım olarak yazılabilir. Eğer virgülün sağında belli bir yerden sonra tekrar eden kısım var ise bu kısım üzerinde devir çizgisi konarak belirtilir. (0 için devir çizgisi yazılmaz) Örneğin; 7 10 =0, =0,7 0=0,7 1 3 =0,333...=0, =0, =0,4 2 olarak yazılır. 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 5/8

39 DENLELER VE EŞİSİLİLER 1 SAYI ÜELERİ DEĞERLENDİRE 2 1) a 2 2 =3b 2 4 ise 2a 3b+4 kaçtır? 6) x= ise sayısının x türünden eşiti nedir? 2) ( 3 4 : )=? 7) sayısının ondalık açılımı nedir? 3 3) = 2+ 3 işlemi sonsuza kadar devam ediyor. u işlemin sonucu kaçtır? 8) x pozitif bir ondalıklı kesir olmak üzere, x bir tamsayı ise x sayısının virgülden sonraki kısmı nedir? 4) ( 12 ): =? 9) 0,ab a,b + a,0 b 0, a0b =? 5) (1 1 9 ).( ).( )...( ) =? 10) 0, 9+1, 9+2, , 9=? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 6/8

40 DENLELER VE EŞİSİLİLER 1 SAYI ÜELERİ UYARI 2 rasyonel değildir. İSPA : REEL SAYILAR ÜESİ VE OPLAA İŞLEİ 1. APALILI ÖELLİĞİ : Her a,b R için a+b R dir. 2. DEĞİŞE ÖELLİĞİ : Her a,b R için a+b=b+a dir. 3. İRLEŞE ÖELLİĞİ : Her a,b,c R için a+(b+c)=(a+b)+c dir. 4. EİSİ ELEAN ÖELLİĞİ : 0 R ve her a R için a+0=0+a=a ( 0 toplamanın birim ( etkisiz) elemanıdır.) 5.ERS ELEAN ÖELLİĞİ : Örnek...13 : 253 x sayısının bir rasyonel sayı belirtmesini sağlayan kaç x doğal sayı değeri vardır? 0 R etkisiz eleman olmak üzere, her a R için a+( a)=( a)+a=0 olduğundan gerçek sayılar kümesinde her elemanın toplama işlemine göre tersi vardır. 2 SAYISINI SAYI DOĞRUSUNDA GÖSERE İSERSE: Dik kenarları 1 er birim olan dik üçgende hipotenüs uzunluğunda pergelimizi açar ve bu açıklığı sayı doğrusunda sivri uç 0'a gelecek şekide bir yay çizerek bulabiliriz. REEL SAYILAR ÜESİ VE ÇARPA İŞLEİ 1. APALILI ÖELLİĞİ: Her a,b R, a.b R 2. DEĞİŞE ÖELLİĞİ : Her a,b R, a.b=b.a 1 1 2, 3, π =3,14.., e=2,7.. gibi devirli ondalık açılıma sahip olmayan sayılara irrasyonel sayı denir. İrrasyonel sayılar kümesi Q ı ile gösterilir. Rasyonel sayılar ve İrrasyonel sayılar kümelerinin birleşimi reel sayılar kümesini oluşturur. Q Q ı =R İRLEŞE ÖELLİĞİ : Her a,b,c R, a.(b.c)=(a.b).c 4. EİSİ ELEAN ÖELLİĞİ : 1 R ve her a R, a.1=1.a=a (1 çarpmanın birim ( etkisiz) elemanıdır) 5. YUAN ELEAN ÖELLİĞİ : 0 R ve her a R, a.0=0.a=0 ( 0 çarpmanın yutan elemanıdır) 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 7/8

41 DENLELER VE EŞİSİLİLER 1 SAYI ÜELERİ 6.ERS ELEAN ÖELLİĞİ : 1 R, etkisiz eleman olmak üzere ve her a 0 a R, a. 1 a =1. a=1 olduğundan gerçek sayılar a kümesinde her elemanın çarpma işlemine göre tersi vardır. 7.ÇARPANIN OPLAA ÜERİNE DAĞILA ÖELLİĞİ : Her a,b,c R, a.(b+c)= (b+c).a=a.b+a.c olduğundan gerçek sayılar kümesinde çarpma işlemini toplama üzerine sağdan ve soldan dağılma özelliği vardır. iki rayonel sayı arasında en az bir rayonel sayı vardır. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma işlemlerine göre tersi tamsayı olan eleman sadece 1 dir. Örnek...15 : Reel sayılar kümesinde çarpmanın yutan elemanı 3x 7 ise 2x+1 sayısının toplamaya göre tersi nedir? SAYI DOĞRUSU Sayı doğrusu ve gerçek sayılar kümesinin her elemanı, bire bir eşlenebilir. u eşlemede her reel sayıya yalnız bir nokta, her noktaya da bir ve yalnız bir reel sayı karşılık gelir. Gerçek sayılarla gösterilen herhangi bir sıralı ikili de koordinat sisteminde yine bir noktaya kaşılık gelebilir. Örnek...16 : A(3), (0), C( 2) noktalarını sayı doğrusunda; (1, 3) ve L(5,0) noktalarını ise koordinat sisteminde gösteriniz. Örnek...14 : Aşağıdaki önermelerin doğru veya yanlışlığını belirtiniz? Her sayma sayısı bir tamsayıdır. Her tamsayı bir doğal sayıdır. Her irrasyonel sayı bir reel sayıdır. Her denklemin reel sayılarda en az bir çözümü vardır. Gerçek sayılar ile rasyonel sayılar kümesi bire bir eşlenebilir. D Y y x Devirli ondalıklı sayıların bazıları irrasyonel sayıdır. Her reel sayı devirli ondalıklı olarak yazılabilir. 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 8/8

42 DENLELER VE EŞİSİLİLER 2 ARALI AVRAI ARALI AVRAI 1. APALI ARALI {x: a x b, x R } kümesine a ve b sayılarıyla oluşturulan kapalı aralık denir ve [ a, b] ile sembolik olarak gösterilir. [a,b] kapalı aralığı sayı doğrusunda aşağıdaki gibi gösterilebilir. [a,b] 3. YARI AÇI (APALI) ARALI {x: a<x b, x R } veya {x: a x<b, x R } kümesine a ve b sayılarıyla oluşturulan yarı açık (kapalı) aralık denir. Sınır aralığa dahil ise köşeli, değilse normal parentezle belirtilir. Şekli inceleyiniz. a [a,b) b a Örnek...1 : [ 2, 6] kümesini sayı doğrusunda gösteriniz. b Örnek...4 : A=[ 1,9) ve = (1,13] kümelerini sayı doğrusunda çizerek aşağıdaki kümeleri bulunuz a) A b) A c) A Örnek...2 : [ 1,9] [1,13] işleminin sonucunu sayı doğrusunda gösteriniz. 2. AÇI ARALI {x: a<x<b, x R } kümesine a ve b sayılarıyla oluşturulan açık aralık denir ve ( a, b) ile sembolik olarak gösterilir. (a,b) açık aralığı sayı doğrusunda aşağıdaki gibi gösterilebilir. Örnek...5 : A=( 3,9) ve = [1,7) kümeleri veriliyor. (A ) kümesinin eleman sayısı çift olan kaç alt kümesi vardır? (a,b) a b Örnek...3 : ( 5,2) kümesini sayı doğrusunda gösteriniz. 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 1/3

43 DENLELER VE EŞİSİLİLER 2 ARALI AVRAI UYARI ir a reel sayısı ve bu reel sayı ile birlikte bu sayıdan daha büyük olan reel sayıların kümesi [ a, ) ile gösterilir. urada ' ' sembolü sonsuz (veya artı sonsuz) şeklinde okunur. enzer şekilde (, a ]={x: x<a, x R } biçiminde yazılıp şekildeki gibi gösterilebilir. (, a] a Örnek...6 : A=(,4 ) ve =[ 7, ) kümelerini sayı doğrusunda çizerek aşağıda istenen kümeleri bulunuz. a) A b) A c) A d) A ı e) A ı 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 2/3

44 DENLELER VE EŞİSİLİLER 2 ARALI AVRAI DEĞERLENDİRE 1 1) I. a<b olmak üzere a ve b arasındaki tüm tamsayılar (a,b) ile gösterilir. 3) 17 2 x = 299 ise x hangi aralıkta olmalıdır? II. x (a,b) ise a x b dir. III. x [a,b) ise a x<b dir. IV. İki rasyonel sayı arasında en az bir rasyonel sayı vardır. İfadelerinden kaçı kesinlikle doğrudur? 2) A=[0,5] ve = [ 3,1) ise aşağıdaki kümeleri bulunuz? a) A 4) 5<x 2 ve x.y=18 için x artarak 2 olarak değişirken, y nasıl değişir? b) A c) A d) A ı 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 3/3

45 DENLELER VE EŞİSİLİLER 3 İRİNCİ DERECEDEN İR İLİNEYENLİ DENLELER İRİNCİ DERECEDEN İR İLİNEYENLİ DENLELER Örnek...5 : (a+b 3) 24 +(a+7) 12 =0 olduğuna göre, 3a 2b kaçtır? a, b R ve a 0 olmak üzere, ax+b=0 biçimindeki eşitliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. ax + b = 0 denklemini sağlayan x= b a sayısına denklemin kökü denir. Denklemin köklerinden oluşan kümeye de çözüm kümesi denir ve Ç = { b a } şeklinde gösterilir. Örnek...6 : 3x+2y 8=0 olduğuna göre, a) x in y türünden çözümü nedir? Örnek...1 : 4(x 1) + 5x +10 = 5(x + 5) denkleminin çözüm kümesini bulalım. b) y in x türünden çözümü nedir? Örnek...2 : ir sayının 3 eksiğinin 4 katı bu sayının 2 katının 5 fazlasına eşitse bu sayı kaçtır? Örnek...7 : x=3+ 5 y +2 olduğuna göre, a) y nin hangi değeri için x hesaplanamaz? Örnek...3 : 4(m 3x) + 5x=x 1 denkleminin kökü x=1 ise m kaçtır? b) x in hangi değeri için y hesaplanamaz? Örnek...4 : 0, 3. 6 x 5 2, 2x 10 =56 olduğuna göre, x kaçtır? Örnek...8 : 2 x 1 x 2 =4 x ise x kaç olabilir? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 1/4

46 DENLELER VE EŞİSİLİLER 3 İRİNCİ DERECEDEN İR İLİNEYENLİ DENLELER Örnek...9 : 2(x 1) + 3x + 7 = 5x + 5 denkleminin çözüm kümesini bulalım. Örnek...12 : 2(5 x)+3(x+2)=1 3(x+2) denkleminin çözüm kümesinini tamsayılar kümesinde bulunuz. Örnek...10 : 5(x+3) 2(4 3x)+4 = 7(x 2)+4(x+6)+173 denkleminin çözüm kümesini bulalım. Örnek...13 : (3a 12)x+2b 7=13 denklemi her x reel sayısı için sağlanıyorsa ( a, b) ikilisini bulunuz. GENELLEE ax+ b= 0 denkleminde 3 hal kuralı vardır. 1) a 0 için tek çözüm vardır. 2) a=0 ve b=0 için sonsuz çözüm vardır. 3) a=0 ve b 0 için çözüm yoktur. Örnek...14 : 6x+8=a(3x 2) 2b+5 denkleminin çözüm kümesi boş ise b kaç olamaz? (ilinmeyeni x kabul ediniz.) UYARI Çözümün hangi kümede arandığı unutulmamalıdır. Örnek...11 : 2(3 5x)+3x+10 = 7(x+2)+30 denkleminin çözüm kümesinini doğal sayılar kümesinde bulunuz. Örnek...15 : m 2 x 3=m+9x denkleminin çözüm kümesinin boş olmasını sağlayan kaç m değeri vardır? ( ilinmeyeni x kabul ediniz.) 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 2/4

47 DENLELER VE EŞİSİLİLER 3 İRİNCİ DERECEDEN İR İLİNEYENLİ DENLELER DEĞERLENDİRE 1 1) 2.(8 3x)= 4x 5+3.(2 4x) denkleminin çözüm kümesini bulunuz? 5) 14 3.x = x+10 denkleminin kökü, (a 2).x + (x+4).(a 1) = 0 denkleminin de kökü olduğuna göre, a kaçtır? 2) 6.x 5.(5 x) 21 = 2.(x 1) olduğuna göre, x kaçtır? 6) 0,2 x 0, 3x+12 =7 5 4 olduğuna göre, x kaçtır? 3) 4.(m 3x)+5.x= x 1 denkleminin kökü 3 olduğuna göre, x kaçtır? 7) x 2 y+2 = 3 olduğuna göre, x in y türünden 2 çözümü nedir? 4) 4.x + [2 (x 2) 4.x +12] = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? 8) a b = 2 3 kaçtır? ve 8a 3b=35 olduğuna göre, a+b 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 3/4

48 DENLELER VE EŞİSİLİLER 3 İRİNCİ DERECEDEN İR İLİNEYENLİ DENLELER DEĞERLENDİRE 2 1) 5.x 7 m = 2.(x + 1) + n.x eşitliği her x gerçek sayısı için sağlandığına göre, (m,n) ikilsi nedir? 5) a 2 x 4x a+2=0 denkleminin x e göre çözüm kümesi, boş küme olduğuna göre, a kaç olmalıdır? 2) 6.x 8 = a.(2x 11) + b eşitliğini sağlayan hiçbir x gerçek sayısı olmadığına göre, b kaç olamaz kaçtır? 6) y= x 2 olduğuna göre, x in y türünden x+4 değerini bulunuz. 3) (a 2).x 4x 20 = 0 denkleminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, a kaçtır? 7) (1 1 4 )(1 1 9 )( )...(1 1 x 2 )=15 28 ise x kaçtır? 4) k 3.x 343.x a.k+3.a 2=0 denklemi x e göre çözüm kümesi sonsuz elemanlı bir denklemse a kaç olmalıdır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 4/4

49 DENLELER VE EŞİSİLİLER 4 İRİNCİ DERECEDEN EŞİSİLİLER REEL SAYILARDA EŞİSİLİ ÖELLİLERİ Örnek...3 : x 2 <x ise hangileri kesinlikle yanlıştır? i) x>0 ii) x<0 iii) x+x 3 >0 1) a, b, c R olmak üzere, a<b ise a+c < b+c, a c < b c 2) a, b, c R ve c >0 olmak üzere, a<b ise a.c< b.c, a c < b c Örnek...4 : a b >0 a.b.c>0 c 2.b<0 ise a, b ve c nin işaretlerini bulunuz? 3) a, b, c R ve c < 0 olmak üzere, a<b ise a.c > b.c, a c > b c Örnek...5 : x>y ve x.z<y.z ise hangileri kesin doğrudur? 4) a ve b aynı işaretli olmak üzere, i) x>0>y ii) z<0 iii) x z < y z iv) z x < z y a<b ise 1 a > 1 b v) x 2 >y 2 vi) x 2 z<y 2 z vii)x+z < y+z 5) 0<a<b ise m + koşuluyla a m < b m 6) 0<a<b ise m koşuluyla a m > b m 7) a<b ve c<d ise a+c < b+d ( eşitsilikler taraf tarafa toplanabilir AA ÇIARILAA) Örnek...6 : x>y ve x.z<y.z ise hangileri kesin doğrudur? i) x>0>y ii) z<0 iii) x z < y z 8) 0<a<1 koşuluyla n>m ise a n <a m Örnek...1 : 0<x<1 ve y>0 koşuluyla kaç tanesi kesin doğrudur? iv) z x < z y v) x 2 z<y 2 z i) x.y>0 ii)x.y>1 iii) x.y<0 iv) 0<x.y<y Örnek...2 : a <0 ise hangileri kesinlikle yanlıştır? b Örnek...7 : 1 10 < 1 a 2 eşitsizliği sağlanıyorsa a nın kaç 3 farklı tamsayı değeri vardır? i) a.b>0 ii) a.b<0 iii) a+b>0 iv) a b<0 v) 0<a<b vi) a 2 b 2 >0 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 1/5

50 DENLELER VE EŞİSİLİLER 4 İRİNCİ DERECEDEN EŞİSİLİLER 1. DERECEDEN EŞİSİLİLER ax+b>0, ax+b<0, ax+b 0 veya ax+b 0 eşitsizlikleri çözülürken aynı deklemlerde olduğu gibi x i yalnız bırakırız. urada dikkat edilmesi gereken, eşitsizlik kurallarına uyulmasıdır. (Yön değiştirmeler, kuvvvet alınması veya taraf tarafa işlemler gibi) Örnek...11 : 3x 2<5x 7<3x +3 eşitsizliğinin çözüm kümesini sayı doğrusunda gösteriniz? Örnek...8 : 3x 2>6(2 3x) eşitsizliğinin çözüm kümesini sayı doğrusunda gösteriniz? Örnek...12 : 3x 2<13 4x+21 eşitsizliğinin çözüm kümesinini bulunuz? Örnek...9 : 2x 3 5 <3 2x 4 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz? Örnek...13 : 2x+2 L ye alınan bir mal y L ye satılıyor. y=5x 160 ise bu satıştan zarar edilmemesi için satış fiyatı en az kaç olmalıdır? Örnek...10 : 8<2x+4<24 eşitsizliğinin çözüm kümesinini bulunuz? Örnek...14 : 4 x x a <3 2 4 eşitsizliğinin çözüm kümesi ( 3a, ) ise a kaçtır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 2/5

51 DENLELER VE EŞİSİLİLER 4 İRİNCİ DERECEDEN EŞİSİLİLER Örnek...15 : 2x y =5 ve 4<2x+3y<16 ise 4x+3y nin en x+y büyük tamsayı değeri kaçtır? HAIRLAA a<b ve c<d ise a+c < b+d (eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir AA ÇIARILAA) Örnek...19 : 2<x <3 ve 4 y< 1 veriliyor. Aşağıdaki ifadelerin en büyük ve en küçük tamsayı değerlerini bulunuz? a) x+y Örnek...16 : 5<x 2 ve x.y=26 ise x artarak 2 olurken y nasıl değişir? b) 4x+3y c) 5x 3y Örnek...17 : a, b birer tamsayı olmak üzere 6<a<7 ve 8<b<3 ise 2a 3b sayısının en büyük değeri en küçük değerinden kaç fazladır? d) x 2 e) y 2 f) x 3 Örnek...18 : m, n birer doğal sayı olmak üzere, 14<m<5 ve 9<n<21 ise 2m-n sayısının en büyük değeri en küçük değerinden kaç fazladır? g) x.y h) x 2 +4x ı) y 2-2y 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 3/5

52 DENLELER VE EŞİSİLİLER 4 İRİNCİ DERECEDEN EŞİSİLİLER Örnek...20 : 3<x<6 ve 7<y<4 ise x.y değerinin en büyük tamsayı değeri ile en küçük tamsayı değerleri arasındaki fark kaçtır? Örnek...23 : a<a 3 <a 2 ise a sayısı hangi aralıktadır? Örnek...21 : 3<x<4 ve 2<y<5 ise x 3 3.y 2 değerinin en büyük tamsayı değeri ile en küçük tamsayı değerleri arasındaki fark kaçtır? Örnek...24 : 19 x 2 <400 eşitsizliğinin çözüm kümesini tamsayılar kümesinde bulunuz Örnek...22 : a 2 <a ise a sayısı hangi aralıktadır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 4/5

53 DENLELER VE EŞİSİLİLER 4 İRİNCİ DERECEDEN EŞİSİLİLER DEĞERLENDİRE 1 1) 4 <m < 2 ise m 2 ifadesinin en geniş aralığı nedir? 5) a 2 <25 ve a 3b=2 ise b nin kaç farklı tamsayı değeri vardır? 2) 7 x<5 ve 2 y<1 ise 5x 3y tamsayısının en büyük değeri en küçük değerinden kaç fazladır? 6) 2x 4 17 <4+ 17 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 3) a ve b birer tamsayıdır. 6 < a < 7 ve 8 < b < 3 ise (2a 3b) tamsayısının en büyük değeri en küçük değerinden kaç fazladır? 7) I. ir eşitsizlikte her iki tarafa aynı sayı eklenirse eşitsizlik bozulmaz. II. ir eşitsizlikte her iki taraf aynı sayıya bölünürse eşitsizlik yönü bozulmaz. III. Aynı yönlü eşitsizlikler toplanamaz. IV. Aynı yönlü eşitsizlikler çıkarılamaz. 4) 2.(2x 3) 3.(1 x) >19 ile beraber 3x 5<13 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı x tamsayı değeri vardır? V. ir sayının pozitif sırayla artan kuvvetleri alınırsa sayı giderek büyür. ifadelerinden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 5/5

54 DENLELER VE EŞİSİLİLER 5 ULA DEĞER ANI ULA DEĞER ir x reel sayısına karşılık gelen noktanın sayı doğrusunda 0 (sıfır) a olan uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve x şeklinde yazılır. aşka bir deyişle x = { x, x 0 dir. x, x<0 UYARI Uzaklık kavramı taşıyan mutlak değerin eşiti ASLA NEGAİF OLAA. Örnek...6 : x, y ve z pozitif gerçek sayılar olmak üzere 1 x > 1 y > 1 z ifadesinin eşiti nedir? olduğuna göre, x y x z z y Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...2 : =? Örnek...8 : x ( 1 5, 1 3) ise 1 5 x 4 x + 3 x 1 =? UYARI x in EN ÜÇÜ değeri SIFIR dır. Örnek...3 : 2x 3 ifadesinin en küçük değeri için 4x+3y=21 ise x.y çarpımı kaçtır? Örnek...9 : x< x, y 2 <y, a<a 3 <a 2 ise x+a + 1 y x +x y+a =? Örnek...4 : a, b,c,d R olmak üzere, 2a b + (2 c) 2 + d+1 = 0 ise a.b+c-d ifadesi kaça eşittir? ULA DEĞERİN ÖELLİLERİ 1) x 0 2) x = x, x y = y x Örnek...5 : x< 0< y< z ise x y + x z z y 3 y x =? Örnek...10 : x 3 = x+3 y+1 = y+1 ise x in en büyük tamsayı değeri y nin en küçük tamsayı değerinden kaç fazladır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 1/8

55 DENLELER VE EŞİSİLİLER 5 ULA DEĞER Örnek...11 : x 3 + x 5 ifadesinin en küçük değeri kaçtır? Örnek...17 : x 0 olmak üzere, değeri kaçtır? 8 x 2 x 3x 3x kesrinin Örnek...12 : 2x 8 + x 3 ifadesinin en küçük değeri kaçtır? ULA DEĞERLİ DENLELER 6) x =a x=a veya x= a 7) x = y x=y veya x= y Örnek...13 : 120 3x 20 + x 2 ifadesinin en büyük değeri kaçtır? Örnek...18 : 3x 2 =16 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? 3) x 2 = x Örnek...19 : x +14=0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? Örnek...14 : x<0<y olmak üzere, 9 x y 2 x 2 2 xy+y 2 ifadesinin eşiti nedir? Örnek...15 : a 2 4a+4+ b 7 =0 ise a.b çarpımı kaçtır? Örnek...20 : 3 x 1 6 =13 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? Örnek...16 : x 2 8 x+16=12y y 2 36 ise x+y kaçtır? 4) x. y = x. y x y = x y Örnek...21 : x 1 3 x+7 =0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? 5) x y x+y x + y 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 2/8

56 DENLELER VE EŞİSİLİLER 5 ULA DEĞER Örnek...22 : x 5 + 2x 10 =21 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? Örnek...26 : x 5k <4 eşitsizliğinin çözüm kümesi ( n,24) ise k n kaçtır? Örnek...23 : x x =0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? Örnek...27 : 2x eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz? ULA DEĞERLİ EŞİSİLİLER 8) x <a a<x <a Örnek...24 : 4 x 2 <10 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz? 9) x >a x>a veya x< a Örnek...28 : x 2 >10 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz? Örnek...25 : 2x 3 12 eşitsizliğinin tamsayılardaki çözüm kümesini bulunuz? Örnek...29 : 5x 3 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 3/8

57 DENLELER VE EŞİSİLİLER 5 ULA DEĞER Örnek...30 : x 4 + 2x x 32 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz? Örnek...33 : 1 x 2 > 1 8 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz? 10) b< x <a b<x<a veya a<x< b Örnek...34 : x+1 5 x 2 <0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz? Örnek...31 : 3< 4 x 1 <12 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz? Örnek...35 : 9<(2x+1) 2 36 ise x hangi aralıktadır? Örnek...32 : 1< 6 x 13 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz? Örnek...36 : 2x 5 <13 ve 3x+2y 8=0 olduğuna göre y sayısının hangi reel sayı aralığında olduğunu bulunuz? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 4/8

58 DENLELER VE EŞİSİLİLER 5 ULA DEĞER Rİİ NOA 11) x k ifadesinde mutlak değerin kökü olan k sayısına kritik değer denir. UYARI Standart denklem ve eşitsizlik tipine uymayan denklemler veya eşitsizliklerin çözümünde kritik noktayı sıklıkla kullanırız. Örnekte x 5 ifadesi kritik değerine göre parçalanmıştır. İnceleyiniz. Örnek...38 : x 6 +x+3=9 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? Örnek...37 : Aşağıda verilen mutlak değerli ifadeleri kritik noktalarına göre parçalayınız. 1. 3x 12 Örnek...39 : x 5 + x 2 =3 denkleminin çözüm kümesini tam sayılar kümesinde bulunuz? 2. 6+x Örnek...40 : x + 2 x+4 =19 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? 3. 3x x 1 + x+1 Örnek...41 : x+ x =0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 5/8

59 DENLELER VE EŞİSİLİLER 5 ULA DEĞER Örnek...42 : 3x 2 +2 x<28 denkleminin çözüm kümesini bulunuz? UYARI utlak değerli ifadelerin grafiklerinin çizimde de kritik noktadan yararlanırız. Örnek...43 : y= x 3 ifadesinin grafiğini çiziniz. 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 6/8

60 DENLELER VE EŞİSİLİLER 5 ULA DEĞER DEĞERLENDİRE 7) 3 x 1 <11 eşitsizliğini sağlayan tamsayıların toplamı kaçtır? 1) 18 8: =? 2) x= 1 5, y= 7 2, z= 7 5 ise x y z y +1 =? 8) 17< 7 6x eşitsizliğini sağlayan tamsayıların toplamı kaçtır? 3) x 2 <x ise x 1 +3 x 2 +2 x 3 =? 9) 2 2 x+7 <17 eşitsizliğini sağlayan tamsayıların toplamı kaçtır? 4) x, y ve z çeşitkenar üçgenin herhangi üç kenarı olmak üzere, x y z + x y z 2(x y+z) ifadesinin eşiti nedir? 10) x 2 < x+2 eşitsizliğinin çözüm kümesi hangisidir? 5) x 3 =3 x, 1+ y =y+1 ise x in en büyük tamsayı değeri, y nin en küçük tamsayı değerinden kaç fazladır? 11) k sabit bir sayı olmak üzere x 5 k <4 eşitsizliğinin çözüm kümesi (-n,24) ise k-n kaçtır? 6) a sabit bir sayı olmak üzere, 5x 3 =2 x a denkleminin kökler toplamı 0 ise a kaçtır? 12) 1 x 2 > 1 9 ise x in tamsayı değerleri toplamı kaçtır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 7/8

61 DENLELER VE EŞİSİLİLER 5 ULA DEĞER 13) x 2 2x = x 2 ise x in değerleri toplamı kaçtır? 18) x 3 +x+2<7 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 14) m 2 9+ n 3 8 +(p 3) x =0 ise m.n.p.x ifadesinin en küçük değerini aldığında m+n+p+x kaçtır? 19) a 2 4a+4=6b b 2 +9 ise a.b kaçtır? 15) 1800 x x x 4 ifadesinin en büyük değeri kaçtır? 20) a 45 a 35 ifadesi kaç farklı tamsayı değeri alır? 16) a +2 <6 ve a-3b=7 ise b nin alacağı kaç tamsayı değeri vardır? 21) b b=0, a 2 <a, a+c<0 İse a 2 b 2 c 2 +a. b 2 c 2 +c. a 2 b 2 =? 17) x 3 + x+1 =10 denkleminin çözüm kümesi nedir? 22) x 2 4 x+4<49 eşitsizliğinin çözüm kümesinde kaç asal sayı vardır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 8/8

62 DENLELER VE EŞİSİLİLER 6 DENLE SİSELERİ VE EŞİSİLİLER 1. DERECEDEN İİ İLİNEYENLİ DENLELER a, b, c R, a 0, b 0, x ve y değişken olmak üzere, ax+by+c=0 biçimindeki denklemlere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir. ax+by+c=0 denkleminin çözüm kümesi sonsuz tane sıralı ikiliden oluşur. Çözüm kümesi analitik düzlemde bir doğru belirtir. Örnek...3 : 3x+y=5 2x 3 =2 y sistemini sağlayan y değeri kaçtır? İİ İLİNEYENLİ DENLE SİSEİ a 1x + b 1y + c 1= 0 a 2x + b 2y + c 2= 0 sistemine iki bilinmeyenli denklem sistemi denir. u tür denklem sistemlerinin çözüm kümesi (eğer varsa) bulunurken iki farklı çözüm yapılabilir. Örnek...4 : a ve b doğal sayılar olmak üzere, (3a+2).(a+b)=20 ise a+b en çok kaçtır? 1. YO EE YÖNEİ ilinmeyenlerden herhangi birinin katsayıları eşitlenir, taraf tarafa çıkartılır. Örnek...1 : x y=9 2x+y=23 sistemini sağlayan x değeri kaçtır? Örnek...5 : mx (n+2)y = 5 x + (m+n)y = 7 sistemini sağlayan (x,y) ikilisi (2, 3) ise m.n değeri kaçtır? Örnek...2 : (a+b 13) 3 2 +(a b 9) 4 4 =0 ise ( a, b) ikilisini bulunuz. 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 1/8

63 DENLELER VE EŞİSİLİLER 6 DENLE SİSELERİ VE EŞİSİLİLER 2.YERİNE OYA YÖNEİ Denklemlerden herhangi birinde, değişkenlerden biri yalnız bırakılır ve bulunan bu değer, diğer denklemde yerine yazılır Örnek...9 : a+b ab =3 3a 2b =4 ab ise a kaçtır? Örnek...6 : x + y = 11 2x + 5y = 34 sistemini sağlayan x değeri kaçtır? HAIRLAA Örnek...7 : x y = 5 2x+ y =13 sistemini sağlayan y değerleri çarpımı kaçtır? ax + by + c = 0 denkleminin çözüm kümesi sonsuz tane sıralı ikiliden oluşur. Çözüm kümesi analitik düzlemde bir doğru belirtir. u doğru çizilirken iki nokta bulmak yeterlidir. ulunan noktaların birleştirilmesiyle doğru çizilmiş olur. Örnek...10 : Denklemleri verilen doğruların grafiklerini çiziniz. a) 3x 4y 12=0 Örnek...8 : 1 y + 1 x =2 3 y + 2 x =5 ise x kaçtır? b) x+5y=3 c) y= 3x 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 2/8

64 DENLELER VE EŞİSİLİLER 6 DENLE SİSELERİ VE EŞİSİLİLER Örnek...11 : Doğruları verilen koşulla beraber çiziniz. a) x+y=8 ve x>2 GENELLEE a 1x + b 1y + c 1= 0 a 2x + b 2y + c 2= 0 iki bilinmeyenli denklem sisteminde her bir ifade bir doğru belirttiğinden, doğruların durumuna göre çözüm incelenebilir: 1) a 1 b 1 ise doğrular kesişir dolayısıyla a 2 b 2 tek çözüm vardır. a 1 2) = b 1 = c 1 ise doğrular çakışır a 2 b 2 c 2 dolayısıyla sonsuz çözüm vardır. b) 3x 5y=6 y< 2 3) a 1 = b 1 c 1 ise doğrular paraleldir a 2 b 2 c 2 dolayısıyla çözüm yoktur. Örnek...12 : (3m 2)x+4y=12 5x+(n 5)y=16 denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı ise m+ n toplamı kaçtır? c) x 5 y x+3=0 Örnek...13 : x my = 12 3x+5y = 21 sisteminin çözümü boş küme ise m değeri ne olabilir? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 3/8

65 DENLELER VE EŞİSİLİLER 6 DENLE SİSELERİ VE EŞİSİLİLER Örnek...14 : (a+7)x ay=12 2x+3y=25 denklem sisteminin çözüm kümesi tek elemanlı ise a seçimi nasıl olmalıdır? Örnek...17 : m ve n tam sayılar olmak üzere 1 n m + 1 n+m 10 =1 eşitliğini sağlayan m ve n değerlerini bulunuz. UYARI ax + by = 0 denklemi her x ve y değeri için sağlanıyorsa, a=0 ve b = 0 olmalıdır. Örnek...15 : (2x y+5)a + (x+y)b = 0 eşitliği her a, b için doğru ise y kaçtır? Örnek...18 : a+b=2 a+c=7 b+c=9 ise a.b.c kaçtır? Örnek...16 : (m 3)x+(n+1)y=0 denklemi her x ve y reel sayısı için sağlanıyorsa (m,n) ikilisi ne olmalıdır? Örnek...19 : a+2b=3 a+4c=4 b c=5 olduğuna göre, a kaçtır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 4/8

66 DENLELER VE EŞİSİLİLER 6 DENLE SİSELERİ VE EŞİSİLİLER Örnek...20 : a, b, c negatif reel sayılar ve a.b=12 a.c=3 b.c=4 olduğuna göre, a. b. c kaçtır? Örnek...22 : x 5y+ 8 0 eşitsizliğini düzlemde çiziniz. EŞİSİLİ GRAFİLERİ Örnek...23 : x+3 y > 0 eşitsizliğini düzlemde çiziniz ax + by + c < 0 ifadesi koordinat düzleminde gösterilirken: ADI 1 ax + by + c =0 alınarak grafiğe ait noktalar bulunur ADI 2 <,> için kesikli,, için sürekli şekilde grafik çizilir ADI 3 Grafiğe ait olmayan bir nokta denenerek bölge bulunur ADI 4 ulunan bölge taranır. Örnek...21 : 3x 2y 12< 0 eşitsizliğini düzlemde çiziniz Örnek...24 : x 2y+4 0, x 2y 4< 0 eşitsizlik sistemini düzlemde çiziniz 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 5/8

67 DENLELER VE EŞİSİLİLER 6 DENLE SİSELERİ VE EŞİSİLİLER Örnek...25 : 5x 4y+20 0, 2x+3y+8< 0 eşitsizlik sistemini düzlemde çiziniz Örnek...28 : x 4 =3, y 2 =5 eşitsizlik sisteminin 3 düzlemde sınırladığı bölgenin alanını bulunuz Örnek...26 : x 4y+8 >0, 3x+2y 4 < 0 ve y>0 eşitsizlik sisteminin düzlemde sınırladığı bölgenin alanını bulunuz Örnek...29 : x 3 y <1, eşitsizlik sisteminin düzlemde 4 sınırladığı bölgeyi çizerek gösteriniz. Örnek...27 : x 5 + y 4 <1 x 5 y <1 ve x>0 eşitsizlik sisteminin 3 düzlemde sınırladığı bölgenin alanını bulunuz HAIRLAA Şekilde x eksenini A(a,0) ve y eksenini (0,b) noktasında kesen doğrunun denklemi x a + y =1 olarak b yazılabilir. b y a d x 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 6/8

68 DENLELER VE EŞİSİLİLER 6 DENLE SİSELERİ VE EŞİSİLİLER Örnek...30 : akip eden örneklerde taralı bölgeyi eşitsizlik sistemleriyle ifade ediniz. d) y a) 4 y -2 3 x 3 x 2 b) y e) 1 y -4 x x c) y x A(2,-4) 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 7/8

69 DENLELER VE EŞİSİLİLER 6 DENLE SİSELERİ VE EŞİSİLİLER DEĞERLENDİRE - 1 1) 2x y = 8 x + y = 13 olduğuna göre, x y kaçtır? 6) (3m 2)x+4y=12 5x + (n 5)y = 16 denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır? 2) x + 2y = 4 3x + y = 17 denklem sistemini sağlayan (x, y) ikilisi nedir? 7) 2x ay =12 (a + 7)x + 3y =32 denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre, a kaç olabilir? 3) 2x + 3y 28 = 0 3x + 2y 27 = 0 olduğuna göre, x y farkı kaçtır? 8) (3a + 1).x + 3y 8 = 0 5x + y + 12 = 0 denklem sisteminin çözüm kümesinin boş küme olabilmesi için, a kaç olmalıdır? 4) 2x my = 6, nx + 3y = 3 denklem sisteminin çözümü (1,2) ikilisi ise (m,n) ikilisi nedir? 9) (m-3)x+(1+n)y=0 denklemin her (x,y) için sağlanıyorsa (m,n) ikilisi nedir? 5) ax + y + 2 = 0 2x + 3y + b = 0 denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğuna göre, a +b toplamı kaçtır? 10) xy 3y=2 ise x in hangi değeri için y bulunamaz? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 8/8

70 DENLELER VE EŞİSİLİLER 7 ÜSLÜ İFADELER ÜSLÜ İFADELER a bir reel sayı ve n bir doğal sayı olmak üzere, n tane a nın çarpımına a nın n. kuvveti denir ve a n olarak ifade edilir. a n = b üstlü ifadesinde a ya taban, n ye üs, b ye ise üstlü ifadenin değeri denir. Örneğin; 2 5 = =32 dir. Örnek...4 : ( 1 67 )+( 1 66 )+...( 1 42 ) =? ÇARPA ÖLE İŞLEİ 3) a n.a m =a n + m 4) a n.b n =(a.b) n Örnek...1 : işleminin sonucu kaçtır? 5) a n m n =a m a 6) a n b =( a n b) n ÜSLÜ İŞLELERİN ÖELLİLERİ 1) a 0 için a 0 =1 dir. Her a reel sayısı için a 1 =a dır. x 0 için 0 x =0 dır. 0 0 ifadesi tanımsızdır. Örnek...5 : x= 2 ve y=3 olmak üzere x y y x x:y =? UYARI ( 5) 2 =25 iken 5 2 = 25 tir. a<0 için a Ç İ F >0 olur. { ( 5) 2 =25 gibi } a<0 için a E <0 olur. { ( 5) 3 = 125 gibi } Örnek...6 : m ve k tamsayılar ve k 'nın en büyük değeri için, ( x) 3.( x) 8.(x 2 ) 3 =m.x k ise m+k kaçtır? Örnek...2 : ( 2) ( 3) =? NEGAİF UVVE (ÜS) 2) (a) n =( 1 n a ) Örneğin; (5) =( ) veya ( a n b ) =( b a ) Örnek...3 : ( 5) ( 3) ( 4) 3 =? n dir. Örnek...7 : 8 tane tane ifadesinin eşiti nedir? Örnek...8 : 0, sayısı kaç basamaklıdır? 4 0, Sınıf atematik onu Anlatımı 1/6

71 DENLELER VE EŞİSİLİLER 7 ÜSLÜ İFADELER Örnek...9 : sayısının yarısı kaçtır? Örnek...15 : 4.x 1 2. y +5.(x 3 ) 4. y 7(x 2 ) 6. y =m.x n. y olduğuna göre, m.n çarpımı kaçtır? Örnek...10 : 0, =? 4 0,81 OPLAA ÇIARA İŞLEİ Örnek...16 : 5 x =p ise 5 2x + 3 sayısının p türünden eşiti nedir? 7) k.a n +m.a n n.a n =a n (k+m n) Örnek...11 : 6.2 x x 2 2 x =512 ise x kaçtır? Örnek...17 : 3 x 2 =a ise ( 1 81) nedir? 3 x sayısının a türünden eşiti UVVEİN UVVEİ 8) (a n ) m =a n. m dir. : (a n ) m a (nm) a n m (genellikle) Örnek...12 : (3 2 ) 3 +3 (23 ) toplamının eşiti kaçtır? Örnek...18 : 3 x =k, 5 x =n ise 2025 x in k ve n cinsinden değeri nedir? Örnek...13 : (2 2 ) =? ÜSLÜ İFADE EŞİLİĞİ 9) a n =a m ise n=m dir. Örnek...14 : sayısı kaç basamaklıdır? Örnek...19 : 2 4 x 3 =128 x 2 ise x kaçtır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 2/6

72 DENLELER VE EŞİSİLİLER 7 ÜSLÜ İFADELER Örnek...20 : x =343 x 2 ise x kaçtır? Örnek...24 : (2x +1) 2 =( x 2) 2 ise x kaç olabilir? Örnek...21 : 7 a =5 b ise (343) a b nin değeri kaçtır? ÜSLÜ İFADE EŞİSİLİĞİ 11) a>1 ve a x >a y ise x>y olur. Örnek...22 : 4a=b ve a b =27 4 ise a b kaçtır? Örnek...25 : 8 2 5x < 32 2 x 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz? ÜSLÜ İFADE EŞİSİLİĞİ ÜSLÜ İFADE EŞİLİĞİ 10) a n =b n ise n tekse a=b, n çiftse a = b Örnek...23 : (4x 1) 3 =(3x+2) 3 ise x kaç olabilir? 12) 0<a<1 ve a x >a y ise x<y olur. Örnek...26 : ( 2 3) 3 x 2 < ( 2 3) x +5 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 3/6

73 DENLELER VE EŞİSİLİLER 7 ÜSLÜ İFADELER Örnek...27 : ( 3 4) 5 x +1 < ( 64 bulunuz? 27) x 1 eşitsizliğinin çözüm kümesini Örnek...30 : 2 a =12 ve 3 b =72 ise a nın b türünden değeri nedir? 13) a x =1 ise 3 durum mümkün olabilir. i) a=1 ve x her reel değeri alabilir. ii) a = 1 ise x çift tam sayı iii) x= 0 ise a 0 yeterlidir. Örnek...31 : x+ 1 x=15253+y ise y kaçtır? 1+7 Örnek...28 : (x 2) x 2 4 =1 ise x kaç olabilir? 15) Ü stlü sayılarda sıralama sorularında üsler veya tabanlar eşitlendikten sonra karşılaştırma yapılarak sıralanırlar. 14) a n =b m a p =b } ise r n p =m r dir. Örnek...32 : Aşağıdaki sayıları sıralayınız? Örnek...29 : 5 a =49 ve 5 b =343 ise a nın b türünden değeri nedir? i) a=2 4 5, b=4 3 0, c=8 11 ii) x=7 6 0,y=11 4 8, z= Sınıf atematik onu Anlatımı 4/6

74 DENLELER VE EŞİSİLİLER 7 ÜSLÜ İFADELER Örnek...33 : x y =16 olmak üzere, bileşenleri tam sayı olan kaç (x,y) ikilisi vardır? Örnek...37 : x ve y tamsayıları için, 7 3 x + 4 y 4 =9 y x olduğuna göre, x. y çarpımı kaçtır? Örnek...34 : a=3+6 x ve b=4 6 x ise a nın b türünden değeri nedir? 16) a, b + olmak üzere, a x =b eşitliğinde b nin değerini a nın iki kuvveti arasına sıkıştırırsak x in aralığı bulunmuş olur. Örnek...38 : y tamsayısı için, 3 x + 2 = 111 ve y < x < y + 1 olduğuna göre, y nin değeri kaçtır? Örnek...35 : 6 x 6 x =8 olduğuna göre, 36 x +36 x toplamı kaçtır? Örnek...36 : A= olduğuna göre, ifadesinin A türünden eşiti nedir? Örnek...39 : 27=5 x, 1=11 y, 224=15 z ise x, y ve z yi sıralayınız. 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 5/6

75 DENLELER VE EŞİSİLİLER 7 ÜSLÜ İFADELER DEĞERLENDİRE 1) 4 x 4 =512 1 y ise x in y türünden değeri nedir? 5) 8 x =25, 125 y =32 ise x.y çarpımı kaçtır? 2) (2 2 ) 3 +2 (23 ) toplamının eşiti kaçtır? 6) p=3 48, q=9 23, r=27 17 sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız? 3) (x 2) 4 =(x) 2 ise x kaç olabilir? 7) a b =64 olmak üzere, bileşenleri tam sayı olan kaç (a,b) ikilisi vardır? 4) ( 3 4 ) 5 x+1 <( ) x 1 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz? 8) x ve y tamsayıları için, 5 x+3y 6 =6 2x+y+2 olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 6/6

76 DENLELER VE EŞİSİLİLER 8 ÖLÜ İFADELER ÖLÜ SAYILAR n birden büyük bir doğal sayı ve a bir reel sayı olmak üzere a n = b ifadesinde a ya b nin n. kuvvetten kökü denir. Yani a n =b a= n b veya özel olarak a 2 =b a= b a, b nin kareköküne eşittir. ( 2. kuvvetten kökü) a 3 =b 3 b a, b nin küp köküne eşittir. ( 3. kuvvetten kökü) a 4 =b 4 b a ya, b nin 4.kuvvetten kökü denir. UYARI: ÖLÜ İŞLELERİN ÖELLİLERİ ÖELLİ 1 2n a 2n = a,n + 2n+1 a 2n+1 =a, n + Örnek...4 : 5 ( 2) ( 2) 4 3 ( 27) =? Örnek...5 : ( 8) 2 =? Örnek...6 : 3 ( 2 1) 3 + (1 2) 2 =? Her köklü ifade reel sayı belirtmez; kök derecesi çiftken kök içi negatif olursa ifade reel sayı değildir. Yani R ama 13 3 R Örnek...1 : x 3 ifadesinin reel sayı belirtmesi için x kaç olmalıdır? Örnek...7 : ( + ) =? Örnek...8 : 4 ( 2 5) 4 6 (5 2) 6 =? Örnek...2 : 12 8 x+ 4 x x 5 ifadesinin reel sayı belirtmesi için x kaç olmalıdır? Örnek...9 : x>y>0>z ise 40 (z x) 40 5 (z y) 5 +2z y Örnek...3 : x ifadesinin reel sayı belirtmesi için x hangi aralıkta olmalıdır? ifadesinin eşitini bulunuz? Örnek...10 : =? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 1/5

77 DENLELER VE EŞİSİLİLER 8 ÖLÜ İFADELER ÖELLİ 2 m, 1 den büyük bir tamsayı ve a 0 ise n a m =a m n Örnek...11 : Rasyonel kuvvet olarak yazınız. ÖELLİ 4 x. n a= n a.x n Örnek...15 : a=3 5,b=5 2 sayılarını sıralayınız Örnek...12 : x =64 eşitliğine göre, x kaçtır? ÖELLİ 5 (OPLAA VE ÇIARA) x. n a+y. n a z. n a=(x+y z) n a Örnek...16 : =? Örnek...13 : 3 (2) x+2 = 5 (4) 7 2x ise x kaçtır? Örnek...17 : =? ÖELLİ 3 Örnek...18 : =? a>0 ve k>0 olmak üzere, n a m = n.k a m.k = a ( Yani kök dereceleri uygun koşullarda sadeleştirilebilir ve ya genişletilebilir n k m k ) Örnek...14 : x= 5,y= sayılarını sıralayınız ÖELLİ 6 (ÇARPA) (m. n a).(p. n b). n c=m.p n abc Örnek...19 : =? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 2/5

78 DENLELER VE EŞİSİLİLER 8 ÖLÜ İFADELER Örnek...20 : =? Örnek...27 : ( 4,4+ 9,9) 0,1 =? Örnek...21 : ( 6 1).( 6+1) =? Örnek...28 : ( 1,47+ 0,75) 75 =? Örnek...22 : ( 6 2) 2 =? Örnek...29 : =? ÖELLİ 7 (ÖLE ) n a n b a =n b Örnek...30 : a= 3 1, b= 3+1 ise a b + b a =? Örnek...23 : 32 2 =? Örnek...24 : 0,63 0,07 =? 4 Örnek...25 : =? Örnek...26 : =? ÖELLİ 8 (İÇ İÇE Ö DURUU) m n x= p m.n.p x m x. n a= m. n a. x n Örnek...31 : 1024=? 5 Örnek...32 : 3 4 8= y x ise x+y ( x,y ) =? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 3/5

79 DENLELER VE EŞİSİLİLER 8 ÖLÜ İFADELER Örnek...33 : =? Örnek...34 : 3 4 x= ise x kaçtır? ÖELLİ 10 (PAYDANIN( RASYONEL YAPILASI) i) a = = ( a) a a ( a) Örnek...41 : 8 2 =? Örnek...35 : 0<x<2 olduğuna göre x 2 +x+3 x 2 4x+4 ifadesinin eşiti nedir? Örnek...42 : ÖELLİ 9 (x>y) ii) a+ b = a+ b ( a b) = ( a b) a b Örnek...36 : =? Örnek...37 : =? Örnek...43 : =? Örnek...38 : 2+ 3 =? Örnek...44 : =? Örnek...39 : =? Örnek...45 : =? Örnek...40 : =? Örnek...46 : a= 71 70, b= sayılarını sıralayınız. 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 4/5

80 DENLELER VE EŞİSİLİLER 8 ÖLÜ İFADELER DEĞERLENDİRE 1) x+ 4 x 7 3x+5 reel sayısının değeri kaçtır? 7) =? 2) x<0<y<z veriliyor. 3 (x y z) (x y z) 4 + (x y) 2 ifadesinin eşitini bulunuz? 8) =? 3) ( 2) =? 9) a 1, a 2,... a n gibi n tane sayının aritmetik ortalaması a 1 +a a n n geometrik ortalaması G= n a 1.a 2... a n tanımlanmıştır. olarak a) una göre 1, 2 ve 4 sayılarının aritmetik oralaması geometrik ortalamasının kaç katıdır? 4) 3 (2) x+2 = 5 (4) 7 2x ise x kaçtır? b) x ve y negatif olmayan iki sayı olsun. x ve y nin aritmetik ortalaması A. O. ve geometrik ortalaması G. O ise G. O A. O olduğunu ispatlayınız 5) =? 6) ( 6 2) =? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 5/5

81 DENLELER VE EŞİSİLİLER 9 ORANI VE ORALAALAR ORAN ORANI a sayısının 0 dan farklı olan b sayısına a oranı a:b veya olarak gösterilir. b İki veya daha fazla oranın eşitlenmesiyle a oluşan ifadeye orantı denir. b =c d ifadesine ikili orantı denir. ir orantı orantı sabitine eşitlenerek a b = c =k biçiminde de yazılabilir. d Örnek...1 : a=3b ise a+4 b a 2b =? ORANININ ÖELLİLERİ a 1) b =c d a.d=b.c ( içler dışlar çarpımı eşittir) 2) 3) 4) a b =c d a c =b d a b =c d =k b a =d c =1 k a b =c d =k a n b = cn n d n=kn Örnek...4 : a 3 = b 4 = c 5 ve 3a 4b 2c= 68 ise c kaçtır? Örnek...2 : a+4b a+2b = 5 3 ise 2a b a+b =? Örnek...5 : a 1 2 =2b+1 3 =3c 4 ve a+b 2 c=3 ise a kaçtır? UYARI a b =c d =e f ifadesi a: c: e= b: d: f olarak da yazılabilir. Örnek...3 : a:5:c=8:b:12 ise ab+bc kaçtır? Örnek...6 : ir karışımda bulunan a, b ve c maddeleri arasında a b = 2 3, b c =2 ilişkisi olduğu biliniyor. 5 arışımın toplam ağırlığı 1250 gram ise karışımda kaç gram a maddesi vardır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 1/6

82 DENLELER VE EŞİSİLİLER 9 ORANI VE ORALAALAR NO a 1) x =x ifadesinde x' e a ile b nin orta b orantılısı denir. a 2) b =c ifadesinde x sayısına a, b ve c x nin dördüncü orantılısı denir. Örnek...10 : x+ 7 a =11, a+ 7 x =9 ise a x =? Örnek...7 : 2, 3 ve 12 ile dördüncü orantılı olan sayı a ; 3 ve 12 ile orta orantılı olan negatif reel sayı b ise a b kaçtır? Örnek...11 : a b =b c =c d =3 İse d a =? Örnek...12 : x+ y y = y+z z =z+k k =1,3 ise x k =? a 5) b =c d m.a+n.c m.b+n.d =k (m ve n sayılarının her ikisi de sıfır olmamak koşuluyla) örneğin a b =c d a+c b+d =k 1 2 = =1 2 Örnek...8 : a b = c d = 3 8 ise b+d a+c =? Altın Oran: Uç noktları A ve olan bir doğru parçasını üzerindeki P noktasından eşit olamayan iki parçaya bölelim. Eğer parçalardan küçük olanının boyunun büyük olanına oranı,büyük olanının, tüm çubuğun boyuna oranı eşitse çubuk P noktası tarafından altın oranda bölünmüştür ve eşit olan bu oranlara altın oran denir. Altın oran ϕ sembolü ile temsil edilir ve ϕ= 5+1 =1, irrasyonel sayısıdır. 2 Örnek...9 : a 3 =b 5 = 6a+k.b 28 ise k kaçtır? Altın oran terimleri 1,1,2,3,5,8,13,... şeklinde ilerleyen Fiboncci dizisinin terimleri arasındaki oran olarak da karşımıza çıkar. Altın dikdörtgen: enarlarının oranı 1 ϕ olan dikdörtgendir. Altın oran doğada da pek çok defa karşımıza çıkmaktadır. Örneğin, omuzdan parmak ucuna olan mesafe ile dirsekten parmak olan mesafenin oranı, arı kovanındaki dişi arı ile erkek arı sayıları arasındaki oran yaklaşık olarak altın orandır. 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 2/6

83 DENLELER VE EŞİSİLİLER 9 ORANI VE ORALAALAR ORANI ODELLERİ 1. DOĞRU ORANI İki çokluk belirten ifade aynı katlarla artıp aynı katlarla azalıyorsa böyle çoklular ters orantılıdır denir. ısaca y, x ile doğru orantılı ise bu ilişkiyi y=k.x (k>0) ile modelleriz. y y=k.x Örnek...16 : ir aracın duruş mesafesi, frene basıldığı andaki hızının karesi ile orantılıdır. u araç saatte 40 km hızla giderken duruş mesafesi 5 metre olduğuna göre, saatte 80 km hızla giderken duruş mesafesi kaç metre olur? k x y 0 k 2k... 1 x Örnek...17 : ir sınıftaki kız öğrencilerin sayısı 1,8 erkek öğrencilerin sayısı ise 1,5 ile doğru orantılıdır. Sınıf mevcudu en az kaçtır? Örnek...13 : a sayısı b ile doğru orantılı ve a=8 için b=20 ise b=25 için a kaçtır? Örnek...14 : (a 2) sayısı (b+1) ile doğru orantılı ve a=48 için b=5 ise b=59 için a kaçtır? Örnek...18 : Eş güçteki 20 işçi 300 m 2 duvar örebiliyor. una göre aynı güçteki 30 işçi aynı sürede kaç m 2 duvar örer? Örnek...15 : a,b,c sayıları sırasıyla 2,4 ve 5 ile doğru orantılı ve 4a 3b+2c=60 ise b kaçtır? Örnek...19 : ir usta 6 günde 7 sandalye,bir çırak 9 günde 5 sandalye yapabilmektedir. eraber 217 sandalyeyi kaç günde yaparlar? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 3/6

84 DENLELER VE EŞİSİLİLER 9 ORANI VE ORALAALAR 2. ERS ORANI iki çokluktan biri büyürken diğeri aynı oranda küçülüyorsa bu çokluklar ters orantılıdır denir. ısaca y, x ile ters orantılı ise bu ilişkiyi modelleriz. y y= k x (k>0) ile Örnek...23 : Eş güçteki 20 işçi bir işi 30 günde bitirebiliyor. una göre aynı güçteki 25 işçi kaç günde işi bitirir y= k x k 1 Örnek...20 : a sayısı ile b ters orantılı ve a=8 için b=20 ise b=24 için a kaçtır? x x y k k/2... Örnek...24 : 30 kişilik bir topluluğa 20 gün yetecek kadar yemek vardır. 5 gün sonra kaç kişi bu topluluktan ayrılmalıdır ki kalan yemek kalan kişilere 30 gün yetsin? 3. İLEŞİ ORANI Örnek...21 : (x+4) sayısı (y 2) ile ters orantılıdır. x=1 için y=10 ise y=3 için x kaçtır? İçinde üç veya daha fazla oran bulunduran orantılara bileşik orantı denir. ısaca y, x ile doğru, z ile ters orantılı ise bu ilişkiyi y= k.x z (k>0) ile modelleriz. Örnek...25 : a sayısı ile b sayısı doğru, c ters orantılıdır. a=12 için b=16 ve c=20 ise c=12 ve b=10 için a kaçtır? Örnek...22 : a, b, c sayıları sırasıyla 2, 4 ve 5 ile ters orantılı ve 4a 3b+2c 4=260 ise c kaçtır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 4/6

85 DENLELER VE EŞİSİLİLER 9 ORANI VE ORALAALAR Örnek...26 : (x+3) sayısı ile (y+2) sayısı doğru, (z 4) ile ters orantılıdır. x=17 için z=9 ve y=8 ise z=12 ve y=10 için x kaçtır? Örnek...30 : ir yarışta sabit hızlarla yarışan 3 kişiden A yarışı bitirdiğinde nin 50 metre C nin ise 60 metre yolu vardır. yarışı bitirdiğinde ise C nin yarışı bitirmesine 12 metre yolu kaldığına göre pist kaç metredir? Örnek...27 : 225 L 3 ve 4 ile doğru 2 ile ters orantılı parçalanırsa en büyük parça kaç L olur? Örnek...31 : irbirine bağlı üç çarktan birincisi 12 kere döndüğünde ikinci 9 üçüncüsü ise 15 dönüş yapmaktadır. u çarklardaki toplam diş sayısı 2820 ise en küçük çarkın diş sayısı nedir? Örnek...28 : Eşit kapasiteli 9 işçi 15 m 2 halıyı 6 saatte dokuyabiliyorsa aynı kapasitedeki kaç işçi 30 m 2 halıyı 12 saatte dokur? Örnek...32 : ir işi Hakan 12 günde, Onur 24 günde bitiriyor. una göre beraber 3 günde bu işin ne kadarını bitirebilirler? Örnek...33 : ir işi birinci işçi 48 günde, ikinci işçi 16 ve 1 üçüncü işçi ise işin ini 6 günde bitiriyor. 4 una göre beraber bu işin yarısını kaç günde bitirirler? Örnek...29 : Eşit kapasiteli 8 işçi 32 parça işi günde 16 saat çalışarak 18 günde yapabiliyorsa 12 işçi 8 parça işi günde 4 saat çalışarak kaç günde bitirir? Örnek...34 : ir havuzu birinci musluk 45 dakikada ikinci musluk ise 30 dakikada dolduruyor. usluklar beraber açıldıktan kaç saat sonra havuz dolar? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 5/6

86 DENLELER VE EŞİSİLİLER 9 ORANI VE ORALAALAR DEĞERLENDİRE 1) a b =3 5 ise a b a+b =? 6) 328 L yaşları 2,3 ve 7 olan üç çocuğa yaşlarıyla ters orantılı bölüştürülürse en çok alan kaç L alır? 2) ir okulda gözlüklü öğrencilerin gözlüksüz 3 öğrencilere oranı dir. Gözlüklü öğrenci 8 sayısının 150 den fazla oluğu biliniyorsa okul mevcudu en az kaçtır? 7) x+ y = x y = 1 x y 2 olduğuna göre 1 x 1 y kaçtır? 3) a, b, c pozitif sayılar ise b kaçtır? a 3 = b 4 = c 5 ve a2 +b 2 +c 2 =8000 8) p a b c a c =q b =r a+b c+b a+c =5 6 ve 1 a + 1 b + 1 c =8 olduğuna göre p+q+r kaçtır? 4) 3 a.b = 4 b.c = 5 a.c ve b+c 2a=24 ise c kaçtır? 9) ir işi 60 günde yapan erem in hızını dört kat arttır, iş ise üç katına çıkarsa işin bitiş süresi kaç gün olur? 5) 560 L yaşları 5,ve 9 olan kardeşlere yaşlarıyla doğru orantılı olarak paylaştırılırsa fark ne kadar olur? 10) ir usta 5 saatte 7 m 2, çırağı ise 7 satte 5 m 2 duvar boyuyabiliyor. eraber 222 m 2 duvar boyadıklarında çırak kaç m 2 duvar boyamıştır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 6/6

87 DENLELER VE EŞİSİLİLER 10 PROLELER DENLE URA PROLELERİ ir problemi çözerken, soruda yer alan verileri, matematik diline dönüştürmek gerekir. uradaki işleme denklem kurma denir. Denklem kurarken, birbirinden farklı her bilinmeyen için, farklı semboller kullanılır. ilinmeyen sayısı ne kadar az olursa, çözüm daha kolay olacağından, mümkün olduğunca az degişken seçilir. SAYI ESİR PROLELERİ Örnek...1 : Hangi sayının dörtte birinin 4 eksiğinin 2 katı 56 dır? İR PROLEİ ÇÖE AŞAALARI (ALGORİA): 1) ilinmeyenler x, y, z, gibi değişkenler ile ifade edilir. Örnek...2 : oplamları 88 olan üç sayıdan, birincisi ikinciden 4 fazla, üçüncüsü ise ilk iki sayının toplamına eşittir. u sayıların en küçük olanı kaçtır? 2) Problemin ifadesine uygun bir matematiksel ifade yazılır. 3) OIuşturulan denklem çözülür ve sonuç elde edilir. ir sayı : ir sayının 3 katı : ir sayının yarısının 1 fazlası : ir sayının 3 katının 1 fazlasının yarısı : Örnek...3 : ir kişi 3 er 3 er çıktığı merdivenleri, 5 er 5 er inerken 12 adım daha az atmıştır. erdivendeki basamak sayısı kaçtır? ir sayının karesinin yarısının 4 eksiği : ir sayının % 20si : ir sayının %20 si ile %10 unun aritmetik ortası : İki sayının toplamının yarısı : İki sayıdan birincinin üç katı ile ikincinin çarpmaya göre tersinin farkı : Örnek...4 : ir sınıfta öğrenciler sıralara 4erli oturursa 3 sıra boş kalıyor. 3 erli otururlarsa 5 öğrenci ayakta kalıyor. Sınıf mevcudu, sıra sayısından kaç fazladır? 9.Sınıf atematik onu Anlatımı 1/1111

88 DENLELER VE EŞİSİLİLER 10 PROLELER Örnek...5 : 4 yanlışın bir doğruyu götürdüğü 120 sorunun sorulduğu bir sınavda tüm soruları yanıtlayan ve 90 neti olan bir öğrenci kaç soru yanlış cevaplamıştır? Örnek...9 : Pozitif pay ve paydası olan bir kesrin değeri 3 tür. u kesrin payına 1 eklenir ve 4 paydasından 7 çıkarılıra değeri 1 oluyorsa pay ve paydanın toplamı en az kaçtır? Örnek...6 : Hacmi 360 litre olan bir depo 8 lt ve 10 lt iki kova ile toplam 39 seferde boşaltılmıştır. 8 lt lik kova kaç sefer kullanılmıştır? Örnek...10 : ir bardakta bir miktar su vardır ve bu halde bardağın ağırlığı x kg dır. ardaktaki suyun yarısı boşaltılırsa bardağın ağırlığı y kg oluyor. oş bardağın ağırlığı kaç x ve y cinsinden nedir? Örnek...7 : ir bilet kuyruğunda elis baştan 13. Ela sondan 24. ve aralarında 6 kişi varsa kuyruk en az ve en çok kaç kişi olabilir? Örnek...11 : ir tel bir ucundan 1 5 i kadar kesildikten 1 sonra kalan kısmının da diğer uçtan 4 kadar kesiliyor. alan telin orta noktası ilk telin boyunun kaçta kaçı kadar kaymıştır? ü Örnek...8 : 1 4 ü ile 1 6 sayının 10 eksiğinin sı arasındaki farkı 15 olan 1 10 u kaçtır? Örnek...12 : ir kişi borcunun önce 2 7 sini sonra 3 kalanın ini ödüyor. Son olarak da 240 l 5 daha ödeyince geriye 160 l daha borcu kalıyorsa borcun ilk ödediği kısmı ne kadardır? 9.Sınıf atematik onu Anlatımı 2/11

89 DENLELER VE EŞİSİLİLER 10 PROLELER YAŞ PROLELERİ 1) işi er arasmdaki yaş farkl degişmez. 2) a yaşındaki bir kişinin; t yıl önceki yaşı a t, t yıl sonraki yaşı a +t dir. Örnek...5 : Ahmet ehmet'ten 7 yaş büyük Faruk'dan ise 2 yaş küçüktür. 5 yıl sonra bu üç kişinin yaşları toplamı Ahmet'in şimdiki yaşının 2 katından 20 fazla olacaktır. una göre Faruk şimdi kaç yaşındadır? 3) Yaşları toplamı A olan n kişinin; t yıl önceki yaşları toplamı A n.t t yıl sonraki yaşları toplamı A + n.t dir. Örnek...1 : ugünkü yaşları toplamı 21 olan dört kişinin 6 yıl sonra yaşları toplamı kaç olur? Örnek...6 : ir babanın yaşı çocuğunun yaşının 7 katıdır. Çocuk babanın yaşına geldiğinde ikisinin yaşları toplamı 80 olacaksa baba çocuğu doğduğunda kaç yaşındadır? Örnek...2 : Yaşları oranı 3 olan iki kişinin yaşları 4 toplamı 50 den büyükse yaşları farkı en az kaçtır? Örnek...3 : 1978 yılında doğan Haluk'a yaşı sorulduğunda yaşım doğduğum yılın rakamları toplamı demişse konuşma hangi yılda yapılmıştır? Örnek...7 : ir babanın yaşı üç çocuğunun yaşları toplamının üç katına eşittir. 3 yıl sonra babanın yaşı çocukların yaşları toplamının 2 katından 4 fazla olacaksa baba ve çocukların bugünkü yaşları toplamı kaçtır? Örnek...4 : ehmet Sibel den 7 yaş büyüktür. 4 sene önce Sibel in yaşının 3 katı ehmet in yaşının iki katıydı. una göre yaşları toplamı bugün kaçtır? Örnek...8 : erve ile Erdem in yaşları toplamı 45 dir. Erdem erve nin yaşına geldiğinde yaşları toplamı 59 olacaksa erve kaç yaşındadır? 9.Sınıf atematik onu Anlatımı 3/11

90 DENLELER VE EŞİSİLİLER 10 PROLELER HI PROLELERİ Yol=hız.zaman (x=v.t) Uyarı irimler birbirlerine uyacak cinsten olmalıdır. Örnek...1 : Hızı saate 90 km olan bir araç 45 saniyede kaç metre yol alır? irbirine doğru aynı anda harekete geçen araçlar: A V 1.t V 2.t C V 1 V 2 arşılaşma C de olsun. toplam yol t karşılaşma = hızlar toplamı = A V 1 +V 2 Örnek...2 : 90 km/s hızla gittiği yolu dönüşte 60 km/s hızla giderken 5 saat fazla sürede alan bir aracın aldığı toplam yol kaç km dir? Örnek...4 : A 34 km/s 356 km 55 km/s şekildeki hızlarla birbirine doğru harekete geçen araçlar kentinden kaç km uzakta karşılaşır? Örnek...3 : Hızı saatte 80 km olan bir araç bir yolu 9 saatte gitmeyi planlıyor. Yolun yarısına geldiğinde lastiğin patlaması sebebiyle yarım saat duran bu aracın yolu yine aynı sürede tamamlaması için harekete tekrar başladıktan sonraki hızı kaç km/ s olmalıdır? Örnek...5 : Aralarında 480 km olan ve birbirlerine doğru (zıt yönde) hareket eden iki araçtan birinin hızı diğerinin hızının 3 katıdır. arşılaşana kadar hızlı olan araç diğerinden kaç km daha fazla yol alır? 9.Sınıf atematik onu Anlatımı 4/11

91 DENLELER VE EŞİSİLİLER 10 PROLELER UYARI Örnek...8 : irbirine doğru aynı anda harekete geçen araçların durumuyla çember üzerinde birbirine doğru zıt yönlü hareket etme durumu benzer bir mantıkla düşünülebilir. 480 km A 120 km/s 90 km/s C V 1 V 2 t kar = Çember çevresi = Ç hızlar toplamı V 1 +V 2 A =480 km dir.aynı anda harekete geçen şekildeki iki hareketliden hızlı olan yavaş olanı C kentinde yakalıyor. una göre AC yolu kaç km dir? Örnek...6 : Çevresi 480 m olan bir pistte aynı noktadan zıt yönde 18 m/dk ile 6 m/dk hızla hareket eden iki hareketli kaç dk sonra karşılaşır? Örnek...9 : irbirine 560 km mesafede bulunan araçlar aynı anda birbirlerine doğru harekete geçerse 8, aynı yöne hareket ederlerse 14 saat sonra karşılaşıyorlar. Hızları oranı kaçtır? Aynı yöne doğru anda harekete geçen araçlar: ( V 1> V 2 ) A V 1 V 2 V 2.t C UYARI Aynı yöne doğru anda harekete geçen araçların durumuyla çember üzerinde birbiriyle aynı yönlü hareket etme durumu benzer bir mantıkla düşünüle bilir. V 1.t V 2 V 1 toplam yol t yakalama = hızlar farkı = A V 1 V 2 t yak = çevre hızlar farkı = Ç V 1 V 2 A Örnek...7 : 49 km/s 384 km 37 km/s şekildeki hızlarla aynı doğru harekete geçen araçlardan geriden gelen diğerini kaç saat sonra yakalar? Örnek...10 : Şekilde A hareketlisinin hızı dakikada 18 metre, hareketlisinin hızı dakikada 12 metredir.a aracı aracına her 20 dakikada bir tur bindiriyorsa çemberin çevresi kaç metredir? A O 9.Sınıf atematik onu Anlatımı 5/11

92 DENLELER VE EŞİSİLİLER 10 PROLELER Örnek...11 : Şekilde mâo=90o, A belirtilen yönde harekete geçen araçlardan A noktasından harekete başlayan aracın hızı O dakikada 60 metre ve den harekete başlayan aracın hızı dakikada 20 metredir. Çembersel pistin çevresi 1200 m ise 5. karşılaşma kaç dakika sonra olur? Nehir problemlerinde hız yere göre alınmalıdır. V sandal V akıntı V =V sandal + V akıntı Örnek...15 : Saatteki hızı 40 km olan bir tekne 10 km/sa hızla akan bir akıntıya karşı zıt yönde 10 saatte gittiği yolu dönüşte akıntı yönünde hareket ederek kaç saatte alır? toplam yol Ortalama hız= V ort = toplam zaman Örnek...12 : ir araç 2v ile gittiği yolu 4v hızla dönmüşse hareket boyunca ortalama hızı kaç v dir? Örnek...16 : Hızı saatte 180 kilometre olan 400 metre uzunluğundaki bir tren 90 saniyede bir tünelden tamamen çıkıyorsa tünel kaç metredir? Örnek...13 : ir aracın 90 km/s ile gittiği yolda dönerken hızı 120 km/s ise yol boyunca ortalama hızı kaç km/s dir? Örnek...17 : irbiriyle yarışan üç arabanın birincisi bitiş çizgisini geçtiğinde ikincinin 10 km üçüncünün ise 25 km yolu kalmıştır. 2. durumdaki yarışmacı yarışmayı bitirdiğinde üçüncünün 20 km lik yolu kalmışsa pist kaç kilometredir? Örnek...14 : ir aracın 40 km/s ile gittiği yolda dönerken hızı ne olmalıdır ki yol boyunca ortalama hızı 55 km/s olsun? Örnek...18 : Saat de akrep ile yelkovan arasındaki geniş açı kaç derecedir? 9.Sınıf atematik onu Anlatımı 6/11

93 DENLELER VE EŞİSİLİLER 10 PROLELER YÜDE AR ARAR PROLELERİ a 1) ir x sayısının % a sı x. 100 Örnek...5 : ir havuzun %20 si doludur. Havuza 275 Lt su konulunca havuzun % 25 i boş kalıyorsa bu havuz toplam kaç lt su alır? 2) ir X sayısının % a zaltılması x.( 100 a 100 ) 3) ir X sayısının % a arttırılması x.( 100+a 100 ) Örnek...1 : 80 sayısının %40 ı kaçtır? Örnek...6 : ir sınavda başarı sırasına göre yüzde 5'lik dilime ilk giren kişi sınavda kişiyse sınava kaç kişi girmiştir? Örnek...2 : %15 ile %6 sı arasındaki fark 117 olan sayının %60 ı kaçtır? Örnek...3 : Giderlerinin %60 ını kiraya veren bir kişinin giderleri dairesel bir grafikte temsil edilecek olsa kirayı gösteren kısımdaki merkez açı kaç derece olur? Örnek...7 : ir kenarı x olan bir karenin kenarı %20 arttırılınca çevresi 40 cm artıyorsa ilk karenin alanını bulunuz. Örnek...4 : Lokantaya giden bir grup hesabı eşit olarak bölüşecektir. Lakin iki kişi cüzdanlarını yanına almadıklarını fark ediyor ve diğerleri ilk duruma göre %50 daha fazla ödemek zorunda kalıyor ise grup kaç kişidir? Örnek...8 : Yaş üzüm kurutulduğunda ağırlığının %20 sini fire veriyor. Elinde 60 kg kuru üzüm bulunan kişi kaç kg yaş üzüm almıştır? 9.Sınıf atematik onu Anlatımı 7/11

94 DENLELER VE EŞİSİLİLER 10 PROLELER 4) ar veya zarar= satış fiyatı maliyet fiyatı Örnek...12 : %20 karla satılan bir mala %25 indirim yapıldığında satış fiyatı 720 L oluyorsa yapılan indirim kaç L dir? UYARI 1. ar zarar hesaplarında yüzde bulmak için birim maliyet üzerinden elde edilen kar veya zarar oranı için orantı kullanabiliriz. Orantı şu şekildedir u kadar maliyette u kadar kar (zarar) 100 de X kar (zarar) Örnek...13 : ir malın fiyatı % 20 düşürüldüğünde o malın satışı yüzde kaç artmalıdır ki kasaya giren para değişmesi? 2. ar ve zarar hesaplarında yüzde oranları dışında sayılarla uğraşmıyorsak başlangıç miktarını yüz alarak işlemleri kolaylaştırabiliriz. Örnek...9 : 400 tl lik bir mal 480 tl ye satıldığında kar % kaç olur? Örnek...14 : aliyetleri aynı olan iki maldan birinci x L ye satılırsa %60 kar, ikinci y L ye satılırsa x %40 zarar ediliyor. una göre y kaçtır? Örnek...10 : A L ye alınan bir mal %30 kar ile A+21 L ye satılmış ise A kaçtır? Örnek...11 : aliyeti üzerinden % 40 karlı fiyatı 700 tl olan bir maliyeti üzerinden %20 indirimli satış fiyatı kaç tl olur? Örnek...15 : Arka arkaya iki defa %30 zam gelen elektrik fiyatındaki artış toplam yüzde kaç olur? 9.Sınıf atematik onu Anlatımı 8/11

95 DENLELER VE EŞİSİLİLER 10 PROLELER Örnek...16 : iletleri satarken %40 kar yapan bir şirket öğrencilere satış fiyatı üzerinden % 20 indirim yapıyorsa öğrencilerden yüzde kaç kar elde eder? ARIŞI PROLELERİ A gram %a lık tuzlu su ile gram %b lik tuzlu su bir kaba dökülürse son karışımın tuz yüzdesi a (A b 100 ) ( ).100 olur. (A+) ısaca yüzde oranı= (saf madde).100 (toplam) Örnek...17 : ir malın yarısı %20 zararla kalanın yarısı %30 karla satılıyor. Son kalan kısımda %10 karla satılırsa tüm malın satışı sonunda durum ne olur? UYARI uharlaşma kısmında suyun buharlaştığı hesaba katılmalıdır. Örnek...1 : x kg şekere y kg su ve z kg tuz ekleniyor. Son karışımda su yüzde kaçtır? Örnek...18 : aşıma sırasında 1 I kırılan bardaklar için 5 maliyet yüzde kaç oranda artmıştır? Örnek...2 : uz oranı %20 olan 40 lt tuzlu su ile tuz oranı %40 olan 80 lt olan tuzlu su karıştırılırsa son karışımın tuz yüzdesi ne olur? Örnek...19 : ilosu 500 L maliyetle elde edilen çay kurutulunca ağırlığının %25 ini kaybediyor. urutulduktan sonra satıştan %25 kar elde edilmesi için satış fiyatı ne olmalıdır? Örnek...3 : uz oranı %30 olan 40lt tuzlu su ile tuz oranı % 40 olan tuzlu su karıştırılırsa son karışımın tuz yüzdesi 36 oluyorsa ikinci karışımdan kaç lt konmuştur? 9.Sınıf atematik onu Anlatımı 9/11

96 DENLELER VE EŞİSİLİLER 10 PROLELER Örnek...4 : Alkol oranı %30 olan 50lt alkol-su karışımına kaç lt su eklenirse son karışımın alkol oranı %25 olur? GRAFİ PROLELERİ Örnek...1 : Grafik bir bitkinin boyunun zamana göre değişimini vermektedir buna göre bitkinin boyu kaç yıl sonra 45 cm olur? oy (cm) aman (yıl) 9 Örnek...5 : Aynı havuzu klor oranı % 20 olan A musluğu 12 saatte klor oranı % 6 olan musluğu 16 saatte dolduruyor. Havuz dolduğunda havuzun klor yüzdesi nedir? Örnek...2 : Aynı anda harekete başlayan iki araç arası mesafe 13 saat sonra kaç km olur? Yol (km) 150 A aman (saat) Örnek...6 : uz oranı %20 olan tuzlu suyun 1 5 ü dökülüyor ve dökülen miktar kadar su ekleniyor son karışımda tuz yüzde kaç olur? Örnek...3 : Şekilde A ve ülkelerinde nüfusun zaman bağlı değişimi verilmiştir buna göre bu iki ülke nüfusu arasındaki fark 90 milyon olur? Nüfus (milyon) A aman (yıl) Örnek...7 : Su oranı %75 olan 200 kg tuzlu su karışımına ağırlıkça yüzde kaçı buharlaştırılsın ki son tuz oranı % 40 olur? Örnek...4 : Şekildeki O merkezli dairesel grafikte bir okulda okuyan öğrencilerin sınıflara göre dağılımını göstermektedir. u okulda 9. sınıfa giden öğrenciler tüm öğrencilerin % 40 ı dır sını f 10. sınıf 11. O sınıf 12. sınıf ve 11. sınıfa devam eden öğrenci sayısı eşit ve 12. sınıfa devam eden öğrenci sayısının yarısı kadarsa 11. sınıfları gösteren dilimin merkez açısı kaç derecedir? 9.Sınıf atematik onu Anlatımı 10/11 11

97 DENLELER VE EŞİSİLİLER 10 PROLELER Rutin olmayan problemler Örnek...5 : 3 torbada toplam 60 ceviz vardır. Eğer 1.torbadan 2. torbaya 10 ceviz atılır ve sonra 2. torbadan 3. torbaya 4 ceviz atılırsa torbalardaki cevizlerin sayısı eşit oluyor. una göre, başlangıçta 1. torbadaki ceviz sayısının 2 ve 3. torbalardaki toplam ceviz sayısına oranı kaçtır? Örnek...9 : odel üketim iktarı 8,4 lt 4,8 lt Yukarıdaki tabloda bir araba markasının 2014 ve 2017 modellerinin 100 kilometrede harcadığı benzin miktarları gösterilmiştir. 1 litre benzinin 4,8 olduğu dönemde günde ortalama 20 kilometre yol yapan bu araçların 25 günlük sürede benzin sarfiyatları arasındaki fiyat farkının kaç olması beklenir? (Diğer şartların iki araç içinde özdeş olduğu varsayılacaktır.) Örnek...6 : ir çalışan, maaşına 2017 yılının art ve emmuz aylarında sırasıyla 300 ve 200 iki defa zam almıştır. u kişinin yılın ilk 6 ayında aldığı toplam maaş, son 4 ayında aldığı toplam maaştan 4200 fazladır. una göre bu çalışanın Haziran ayı maaşı kaç dir? Örnek...10 : Yıllık öğrenci pasosunun 80 olduğu bir şehirde belediyeye ait otobüslerinde uygulanan fiyatlandırma tarifesi tabloda verilmiştir. İndirimli (pasolu) Sivil 1 biniş 1,1 2 Aylık Örnek...7 : avla turnuvasına hazırlanan Azra erker ve Cavit in birbirleriyle yaptıkları maçlar ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir. En az maç yapan erker dır ve 15 maç yapmıştır. En çok maç yapan Cavittir ve 13 maç yapmıştır. una göre, erker ve Azra kendi aralarında kaç maç yapmıştır? una göre 1 yıllık sürede toplam 720 defa otobüse binen bir öğrencinin ulaşım için ödeyebileceği en çok para ile en az paranın farkı kaç dir? Örnek...11 : Haluk bir kağıda 5,6,7,8 rakamlarınının her birini birer kez kullanarak dört basamaklı (abcd) sayısını yazıyor ve arkadaşlarından birer tahmin yapmalarını istiyor. Yapılan tahminler tablodaki gibidir. Örnek...8 : ek maçlı eleme usulune göre oynanan ve toplam 1600 kişinin katıldığı turnuvada şampiyonluk maçına kadar kaç maç yapılmış olur? Atıf erke Ceren Deniz Ceren,Haluk un tuttuğu sayının sadece onlar basamağındaki rakamı doğru bilmiş, diğer üç kişi ise hiçbir basamağını bilememiştir. una göre Haluk hangi sayıyı tutmuştur? 9.Sınıf atematik onu Anlatımı 11/11

98 PROLELER DEĞERLENDİRELER DEĞERLENDİRE 1 (SAYI - ESİR) 1) oplamları 55 olan iki sayıdan, kuçüğünün üç katı ile büyüğünün iki katı eşittir. u iki sayının toplamı kaçtır? 4) ir kişi borcunun önce 2 7 sini sonra 3 ini ödüyor. 5 Son olarak da 240 daha ödeyince geriye 160 daha borcu kalıyorsa borcun ilk ödediği kısmı kaç dir? 2) ir grup arkadaş yemeğe gidiyor. Hesap geldiğinde 5 kişinin parası olmadığı için herkes kendi payına 1 düşenin ü kadar fazla para veriyorsa grup kaç 4 kişiden oluşmuştur? 5) Yaş üzümün kilosunu 5 den alan bir kişi elinde kalan kısmı 7 ye satarsa zarar elde etmediğine göre üzüm kuruyunca ağırlığının ne kadarını kaybeder? 3) ir çubuk 10 parçaya ayrılıyor. Eğer çubuk 7 parçaya ayrılsaydı her bir parça 45 cm daha uzun olacaktır. u çubuğun boyu kaç cm dir? 6) Ardışık iki sayının karelerinin farkı 261 ise bu sayılardan büyük olanı kaçtır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 1/5

99 PROLELER DEĞERLENDİRELER DEĞERLENDİRE 2 (YAŞ) 1) eş yıl önce yaşları toplamı 36 olan 3 kişinin 3 yıl sonra yaşları ortalaması kaç olur? DEĞERLENDİRE 4 (HI) 1) 740 km lik bir yolun bir kısmı topraktır. Asfalttaki hızı saatte 90 km topraktaki hızı saatte 50 km olan bir araç toplam yolu 10 saatte almışsa yolun toprak kısmı kaç kmdir? 2) 2) ert ve urak ın yaşları toplamı 27 dir. 6 yıl sonra yaşları oranı 6 olacaksa 12 yıl sonra yaşları farkı 7 ne olur? A 74 km/s 267 km 55 km/s şekildeki hızlarla aynı yöne doğru harekete geçen araçlar arası mesafe 17 saat sonra kaç km olur? 3) Yaşları farklı olan bireylerden oluşan bir ailede xy yaşında olan baba. yx yaşında olan anneden çocukların yaşları toplamı kadar büyüktür. una göre büyük çocuk en az kaç yaşındadır? (xy ve yx iki basamaklıdır.) 3) ir araç gideceği yolun 1 ünü 90 km/sa kalanını 4 ise 120 km/sa ile gidiyor ise hareket boyunca ortalama hızı kaç km/sa tir? 4) ir yüzücü akıntıya karşı 12 saatte yüzdüğü mesafeyi dönerken akıntıyla berber 6 saatte dönüyor. u yüzücünün hızının akıntının hızına oranını bulunuz 4) Gabriel, Garcia ve arquez in yaşları toplamı 58 dir. Gabriel Garcia nın yaşına geldiğinde arquez 26 yaşında olacaktır. arquez Gabriel in yaşındayken Garcia 22 yaşındaysa arquez kaç yaşındadır? 5) Saniyedeki hızı 40 m olan bir tren ile aralarında 420 m olan ve yine saniyedeki hızı 30m olan bir tren birbirlerini 13 sn de geçiyorsa trenlerin boyları toplamını bulunuz 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 2/5

100 PROLELER DEĞERLENDİRELER DEĞERLENDİRE 5 (YÜDE AR ARAR) 1) Hangi sayının %20 si 29 dur? 7) aliyeti x L olan bir mal % 10 karla, maliyeti y olan bir mal %20 zararla satılıyor. u iki satışta % 5 kar elde edilmişse x ile y arasındaki bağıntı nedir? 2) ir tel soğutulunca boyu %15 azalıyor. Soğutulduğu zaman boyu 340m olan bir telin ilk boyu ne kadardır? 3) ir bakkal tanesini a tl'ye satmayı düşündüğü y tane yumurtanın k tanesini kırık olduğu için atmak zorunda kalıyor. alan yumurtaları kaç liraya satmalı ki zarar etmesin? 8) %20 indirimli satılan bir malı indirimsiz fiyatından satabilmek için fiyatı yüzde kaç artırılmalıdır? 4) 5 limonu 3 tl den alıp 3 limonu 5 tl den satan bir satıcı kaç limon satarsa 288 tl kâr elde eder? 9) ir malın 1 ü %20 zararla, yarısı %30 karla 4 satılıyor. Son kalan kısmı nasıl satılmalıdır ki son durumda %25 kar yapılsın? 5) 600 L ye satılan bir mal satış fiyatı üzerinden %20 indirimle satılınca 30 L kar elde ediliyorsa indirim yapılmadan önceki kar yüzde kaçtır? 10) aliyeti üzerinden %20 karla satılan bir malın maliyeti %40 düşmüş fakat satış fiyatı değişmemiştir. una göre yapılan kar yüzde kaç olur? 6) ir dikdörtgenin kısa kenarı %20 arttırılır, uzun kenarı %30 kısaltılırsa alanı nasıl değişir? 11) ir fabrikada satılan malların %25 i defolu çıkıyor. Sağlam olanlar %40 karla defolu olanlar ise %20 indirimli fiyatla satılıyorsa bu fabrikanın kar zarar durumu nedir? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 3/5

101 PROLELER DEĞERLENDİRELER DEĞERLENDİRE 6 (ARIŞI) 1) Şeker oranı %25 olan 80 lt şekerli suya 30 lt su 40 lt şeker eklenirse son karışımın su yüzdesi ne olur? 2) Şeker oranı %40 olan bir miktar şekerli suya içindeki kadar su eklenirse son şeker yüzde kaç olur? DEĞERLENDİRE 8 (GRAFİ) 6) Şekil hacmi 240 litre olan bir havuzun tabanındaki bir musluğun açılmasıyla havuzda kalan su miktarının zamana göre değişimi verilmiştir. Havuz doluyken bu musluğa eş bir musluk havuzu boşaltacak şekilde Su iktarı (L) havuzun tam ortasına konulursa havuz haç saatte boşalır? 8 aman (dakika) oy (cm) 3) Şeker oranı %25 olan 160 kg şekerli suya kaç kilo şeker eklenirse son şeker oranı %40 olur? 7) Şekilde aynı anda yakılan mumların boylarının zamana göre değişimi verilmiştir. una göre kaçıncı dakikada bir mumun boyu diğerinin iki katı olur? A 5 12 aman (dakika) 4) Alkol oranı %75 olan 160 kg alkol su karışımına kaç kilo şeker eklenirse son alkol oranı %40 olur? 8) Şekilde bir A maddesinin sıcaklığının zamana göre değişimi veriliyor. u maddenin sıcaklığı kaçıncı dakida 38 derece olur? Sıcaklık (C) aman (dakika) 5) uz oranı %20 olan 150 kg tuzlu suyun 1 3 oranı %75 olan 750 kg tuzlu suyun 1 5 i ü ile su karıştırılırsa son durumda ağırlıkça yüzde kaç tuz olur? 9) Şekilde bir aracın yakıt deposundaki benzinin zamana bağlı değişimi görülmektedir. Hızı saatte 80 km olan bu araç durana kadar kaç km yol alır? Yakıt (L) aman (dakika) 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 4/5

102 PROLELER DEĞERLENDİRELER SÖEL ANI PROLELERİ 1) Azra, atuhan, Cavit,Dursun,Esin,Faruk 1,2,3,4,5,6 numaralı koltuklara aşağıda belirildiği gibi oturmaktadırlar Faruk'un oturduğu numara Cavitin oturduğu numaradan büyüktür atuhan ve Cavit arasında oturan kişi bir kızdır Dursun'un koltuk numarası atuhanın koltuk numarasından küçüktür. ızlar çift numaralı koltuklarda oturmaktadırlar 3) Azra, engü, Cavit,Demet,Emre bir kitapçıdan 4 dergi 3 kitap 2 kalem ve 1 bloknot almıştır. Aşağıdakiler bilinmektedir Cavit dergi almamıştır itap alan herkes dergi de almıştır Azra ve Demet aynı şeyleri almıştır. Aynı tür malzemeden en fala 1 tane olmak koşuluyla herkes tam olarak 2şer şey almıştır Verilenlere göre kimlerin ne aldığı kesin olarak bilinmektedir? Verilenlere göre kaç kişinin oturduğu koltuk kesin olarak belirlidir? 4) rafik ışıklarına bakmakta olan Azra, engü ve Cavit için aşağıdakiler bilinmektedir. Cavit kırmızıyı sarı algılamaktadır Azra sarıyı yeşil, yeşili kırmızı algılamaktadır engü sarıyı da kırmızıyıda yeşil algılamaktadır Verilenlere göre yeşil ışıkta kimler yolun karşısına geçmek için hamle yapar? 2) ir törende sahne alacak Azra, atuhan, Cavit,Demet,Emre,Fatma adlı kişilerin tören de sahneye gelme sıraları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir Demetten hemen sonra bir kadın şiir okumuştur. ir erkek Azra dan sonra ve Cavitten önce konuşma yapmıştır atuhan Fatmadan hemen sonra konuşmuştur. En son sahneye çıkan Cavittir verilenlere göre 4. sırada sahneye kim çıkmıştır? 5) ir futbol turnuvasına katılan A,,C,D,E,F, G,H takımları tek maçlı eleme usulüne göre karşılaşıyorlar. Şampiyonun A olduğu bu turnuvada şunlar biliniyor: 1. turda ile C, E ile G karşılaşmıştır 1. turda D H ile karşılaşmamıştır 2. turda E ile C karşılaşmıştır. D bir maç E iki maç oynamıştır una göre şampiyon kimlerle karşılaşmıştır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 5/5

103 ÖLÜNEİLE ÖLE ÖLÜNEİLE ÖLE İŞLEİ VE ÖELLİLERİ A,, C, doğal sayılar ve 0 olmak üzere, ÖLÜNEN A C ÖLEN ÖLÜ Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm 3 ve kalan 7 dir. x sayısının 6 ile bölümündeki kalan kaçtır? ALAN u bölme işleminde; 1) A=.C+ 2) 0 < 3) =0 ise A sayısı 'ye tam bölünür denir ve A şeklinde yazılır, böler A diye okunur. 4) < C ise ile C yer değiştirilebilir. Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? b a b a 5 b a Örnek...5 : A,, C birbirinden farklı doğal sayıları için, yandaki bölme işleminde ile C nin yer değiştirmesi, sonucu değiştirmediğine göre, A en az kaç olabilir? A 12 C Örnek...2 : A, x, y birer doğal sayı olmak üzere, yandaki bölme işleminde y nin alabileceği değerlerin toplamını bulunuz. A 13 y x Örnek...6 : Yandaki bölme işleminde A ve n birer doğal sayıdır. A nın alabileceği en küçük ve en büyük değerleri bulunuz. ASAL SAYI A 9 2.n+3 Sadece 1 ve kendisine bölünen sayılara asal sayı denir. En küçük asal sayı tek çift asal sayı olan 2 dir. n 1 Örnek...3 : Yandaki bölme işlemlerinde a, b, c sıfırdan farklı pozitif tam sayılar olmak üzere, a' nın c türünden eşiti ne dir? a 3 b 4 b 1 c 3 Örnek...7 : a ve b doğal sayılar olmak üzere a 2 b 2 =13 ise a 2 +b 2 kaçtır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 1/1010

104 ÖLÜNEİLE ÖLE ÖLÜNEİLE ARALARINDA ASAL SAYI Ortak pozitif tam sayı böleni sadece 1 olan sayılara aralarında asal sayılar denir. Örneğin 26 ve 15 aralarında asaldır. Örnek...8 : 5, 12 ve 13 sayıları aralarında asal mıdır? Örnek...12 : 45! sayısının sondan kaç basamağı 0 dır? Örnek...13 : 360.x=y 2 eşitliğini sağlayan en küçük x ve y pozitif tam sayılarını bulunuz? ASAL ÇARPANLARA AYIRA 1 den büyük bir doğal sayının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmasına sayının asal çarpanlara ayrılması denir. x, y farklı asallar olmak üzere, A=x m.y n yazımı A'nın asal çarpanlarına ayrılmış biçimidir. Örnek...14 : 360 sayısının a) kaç asal böleni vardır? b) kaç pozitif tam sayı böleni vardır? c) kaç tam sayı böleni vardır? d) asal olmayan kaç pozitif böleni vardır? Örnek...9 : 360 sayısını asal çarpanlarına ayırınız? İLGİ Örnek...10 : A, x ve y tam sayılar olmak üzere, 80!=2 x.5 y.a ise x ve y en çok kaçtır? Asal çarpanlara ayrılmış biçimi A=x m.y n.z k olan A sayısının (m+1).(n+1).(k+1) çarpımının sonucu kadar pozitif tam sayı böleni vardır. ÖLÜNEİLE URALLARI 2' YE 5' E VE 10' A ÖLÜNEİLE URALLARI : Örnek...11 : 9! sayısını asal çarpanlarına ayırınız? ir doğal sayının birler basamağındaki rakam çiftse, bu sayı 2 ile kalansız (tam) bölünebilir. Eğer tam bölünmüyor ise sayının 2 ye bölümünden kalanı verir. ir doğal sayının birler basamağı 0 veya 5 ise, bu sayı 5 ile kalansız (tam) bölünebilir. Eğer tam bölünmüyor ise sayının 5 e bölümünden kalanı verir. 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 2/10

105 ÖLÜNEİLE ÖLE ÖLÜNEİLE ir doğal sayının birler basamağındaki rakam 0 ise, bu sayı 10 ile kalansız (tam) bölünebilir. Eğer tam bölünmüyor ise sayının 10 a bölümünden kalanı verir. Örnek...15 : Dört basamaklı a74a sayısı 2 ile kalansız bölünebildiğine göre, a kaç farklı değer alabilir? 3' E VE 9' A ÖLÜNEİLE URALLARI : ir doğal sayının rakamlarının sayı değerlerinin toplamı 3 ün ( 9 un) katı ise, bu sayı 3 ile ( 9 ile) kalansız (tam) bölünebilir. Eğer tam bölünmüyor ise sayının 3 e veya 9 a bölümünden kalanı verir. Örnek...19 : 52A3 dört basamaklı sayısının 3 ile kalansız bölünebilmesi için, A yerine yazılabilecek rakamların kümesini bulalım. Örnek...16 : 732a rakamları farklı, dört basamaklı, 2 ile bölündüğü nde 1 kalanı veren doğal sayıdır. a nın alabileceği değerler çarpımı kaçtır? Örnek...20 : A = 2ab54317 sayısının rakamları farklı ve 9 ile bölünebilen bir sayı olduğu bilindiğine göre a. b çarpımı kaç olabilir? Örnek...17 : abcda sayısı den büyük ve ikiye bölündüğünde 1 kalanını veren beş basamaklı bir sayıdır. a' nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? Örnek...21 : 33 basamaklı sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? Örnek...18 : Dört basamaklı 357m sayısının 5 ile bölümünden kalan 2 olduğuna göre, m nin alabileceği değerlerin kümesini bulunuz. Örnek...22 : Dört basamaklı a37b sayısının 10 ile bölümünden kalan 7 dir. u sayı 9 ile kalansız bölünebildiğine göre, a kaçtır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 3/10

106 ÖLÜNEİLE ÖLE ÖLÜNEİLE 4 İLE VE 8 İLE ÖLÜNEİLE URALLARI : ir doğal sayının birler ve onlar basamağındaki rakamlarının oluşturduğu sayı 00 ya da 4 ün katı ise, 4 ile kalansız bölünebilir. Eğer tam bölünmüyor ise sayının 4 e bölümünden kalanı verir. Örnek...27 : Rakamları farklı, üç basamaklı pozitif tam sayıların en büyüğü ve en küçüğünün çarpımlarının 11 ile bölümünden kalan kaçtır? ir doğal sayının birler, onlar yüzler basamağındaki rakamlarının oluşturduğu sayı 000 ya da 8 in katı ise, 8 ile kalansız bölünebilir. Eğer tam bölünmüyor ise sayının 8 e bölümünden kalanı verir. Örnek...23 : beş basamaklı doğal sayının 4 ve 8 ile bölümünden kalanlar çarpımı kaçtır? Örnek...28 : 87xy sayısı 2 ve 11 ile tam bölünebildiğine göre, x' in alacağı değerler toplamı kaçtır? Örnek...24 : Dört basamaklı 735m sayısı, 4 ile bölündüğünde kalan 3 olduğuna göre, m rakamı kaç farklı değer alır? 11 İLE ÖLÜNEİLE URALI : ir doğal sayının basamakları 1' ler basamağından başlanarak sola doğru " +,, +,, +,... " biçiminde işaretlenir. u işaretlerle rakam değerleri çarpılarak toplanır. Elde edilen sonuç 0 veya 11 in katı ise bu sayı 11 ile kalansız bölünebilir. Eğer tam bölünmüyor ise sayının 11 e bölümünden kalanı verir. 7 İLE ÖLÜNEİLE URALI : şeklindeki bir sayı birler basamağından başlanarak üçlü gruplara ( yani bölüklere) ayrılarak sırasıyla "...,, +,, + " şeklinde işaretlenir. İşaretli grupların rakamları soldan sağa 2,3 ve 1 sayılarıyla sırasıyla çarpılır ve sonuç bulunur. u sonuç 7 nin katı ise sayı 7 ye tam bölünür. Eğer tam bölünmüyor ise sayının 7 ye bölümünden kalanı verir. Örnek...29 : sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır? Örnek...25 : Altı basamaklı sayısının 11 ile bölümünden kalan kaçtır? Örnek...30 : sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır? Örnek...26 : Altı basamaklı 3275a7 sayısı 11 ile kalansız bölündüğü ne göre, a kaçtır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 4/10

107 ÖLÜNEİLE ÖLE ÖLÜNEİLE 6, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 45 İLE ÖLÜNEİLE URALLARI : ÖLÜNEİLENİN EEL URALI : Örnek...35 : Altı basamaklı 317a2b sayısı 12 ile bölümünden 7 kalıyor ise a+b toplamı en çok kaç olabilir? m ile n aralarında asal iki sayı olsun, m ve n ile kalansız bölünebilen sayılar m.n çarpımı ile de kalansız bölünür. Dolayısı ile m.n' ye tam bölünebilen bir sayıda hem m' ye hem de n' ye tam bölünebilir. 16 İLE ÖLÜNEİLE URALI : ir sayı 6 ile bölünebiliyorsa hem 2 hem de 3' e tam bölünebilir. ir sayı 24 ile bölünebiliyorsa hem 3 hem de 8' e tam bölünebilir. (Ama hem 6 hem 4 ile bölünemez.) Örnek...31 : ir sayının aşağıdaki sayılara bölünebilmesi için hangi sayılara tam olarak bölünmesi gerekir? ir doğal sayının son dört basamağının oluşturduğu sayı 0000 ya da 16 nın katı ise, bu sayı 16 ile kalansız bölünür. Eğer tam bölünmüyor ise sayının 16 ya bölümünden kalanı verir. 25 İLE ÖLÜNEİLE URALI : ir doğal sayının birler ve onlar basamağının oluşturduğu iki basamaklı sayı 00 ya da 25 in katı ise, o doğal sayı 25 ile kalansız bölünür. Eğer tam bölünmüyor ise sayının 25 e bölümünden kalanı verir. 12 = 15 = 18 = 20 = 30 = 36 = 45 = 55 = 63 = Örnek...32 : Dört basamaklı 634a sayısının 6 ile kalansız bölünebilmesi için, a yerine yazılabilecek rakamların toplamı kaçtır? EO İkisi birden sıfır olmayan a ve b tam sayılarının ikisini birden bölen en büyük pozitif tam sayıya bu sayıların en büyük ortak böleni (EO) denir ve EO( a, b) = x biçiminde gösterilir. Örnek...33 : Dört basamaklı 4a7b sayısı 45 ile kalansız bölündüğüne göre, a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? EO bulunurken sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak asal çarpanlardan en küçük üslülerin çarpımı bu sayıların EO unu verir. Örnek...36 : EO(240,672)=? Örnek...34 : eş basamaklı 847A sayısı 15 ile bölümünden kalan 6 ise A+ kaç olabilir? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 5/10

108 ÖLÜNEİLE ÖLE ÖLÜNEİLE EO ÖELLİLERİ 1) EO(a,b)=EO(b,a)=EO( a,b) 2) EO(a,b+c.a)=EO(a,b) Örnek...39 : 96,112,120 sayılarını tam olarak bölen en büyük doğal sayı kaçtır? 3) EO(a,b) min{ a, b } 4) EO(a,b)=1 ise a ile b aralarında asal sayıdır. EO Sıfırdan farklı a ve b tam sayılarının katlarından en küçük olup ortak olanına bu sayıların En üçük Ortak atı (EO) denir. Örnek...40 : A, a,b,c birer doğal sayıdır. A=24 a+2=15 b+2=18 c+2 olduğuna göre, 1000 den küçük en çok A değeri vardır? EO bulunurken sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak asal çarpanlardan en büyük üslüleri ve ortak olmayan çarpanların çarpımı bu sayıların OE ini verir. Örnek...37 : EO(36,120)=? Örnek...41 : eriç elindeki cevizleri 3 erli 5erli ve 8 erli saydığında her seferinde 2 cevizi artıyor. 500 den fazla cevizi olan eriç in elinde en az kaç ceviz vardır? EO ÖELLİLERİ 1) EO(a,b)=EO(b,a)) 2) EO(a,b) max{ a, b } 3) EO(a,b).EO(a,b)=a.b Örnek...38 : x,y,z birbirlerinden farklı asal sayılardır. A=x 2 y z 3 =x y 3 z 2 olduğuna göre, C=x 4 z EO(A,,C) ifadesinin eşitini bulunuz OE(A,,C) Örnek...42 : 1000 den en küçük hangi doğal sayıyı çıkarırsak elde edilen sayı 12 ve 15 e tam olarak bölünür? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 6/10

109 ÖLÜNEİLE ÖLE ÖLÜNEİLE Örnek...43 : oyu 120 metre eni 72 metre olan dikdörtgen biçimli bir arsanın etrafına eşit aralıklarla ve köşelerine birer tane gelecek şekilde ağaç dikilecektir. u iş için en az kaç ağaç gerekir? Örnek...47 : En küçük ortak katları 80 olan birbirinden farklı 3 sayının toplamı en çok kaçtır? Örnek...44 : oyutları 8 cm,15 cm ve 20 cm olan tuğlalar kullanarak hacmi en küçük ve içi dolu bir küp yapılmak isteniyor. En az kaç küp kullanılır? Örnek...48 : 9 günde bir nöbet tutan bir kişi ilk nöbetini salı günü tutmuştur. 8.nöbetini hangi gün tutar? Örnek...45 : EO(A,)=120 ve EO(A,)=6 ise A+ kaç olabilir? Örnek...49 : Cumartesi gününden 500 gün sonra hangi gün olur? Örnek...46 : En büyük ortak böleni 24 olan birbirinden farklı 3 sayının toplamı en az kaçtır? Örnek...50 : 5 Ocak 2016 nın Salı günü olduğu bir yılda, 27 emmuz hangi güne rastlar? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 7/10

110 ÖLÜNEİLE ÖLE ÖLÜNEİLE Örnek...51 : 6 gün çalışıp 2 gün tatil yapan bir işçi, işe Salı günü başladığına göre, 11. tatil günü hangi gündür? Örnek...54 : eş günde bir nöbet tutan asker, ilk nöbetini salı günü tuttuğuna göre, 25. nöbetini hangi gün tutar? Örnek...52 : 6 ve 15 günde bir aynı limandan sefere çıkan iki gemi Pazar günü beraber sefere çıkmışlardır. undan sonra ikinci defa beraber sefere hangi gün çıkarlar? Örnek...55 : Herhangi bir yılın emmuz ayında 5 tane Pazartesi günü vardır. unlardan üçünün tarihi tek sayı olduğuna göre, 9 emmuz hangi gün olabilir? Örnek...53 : 6 gün çalışıp 2 gün tatil yapan bir işçi, işe Salı günü başladığına göre, 21. tatil günü hangi gündür? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 8/10

111 ÖLÜNEİLE ÖLE ÖLÜNEİLE DEĞERLENDİRE : 6) sayısının karesinin 11' e bölümünden kalan kaçtır? 1) Yanda verilen bölmelerde x, y, z pozitif tam sayı olduğuna göre, x+ y+z 20 5z oranının değeri kaçtır? x 2 y 5 y 3 z 4 7) 23x7y beş basamaklı sayısı 5 ve 11 ile tam bölünebildiğine göre, x in değerleri çarpımı kaçtır? 2) Yandaki bölme işleminde A sayısı en çok kaçtır? A 15 2.n+2 n 2 +n 8) Dört basamaklı 45a2 sayısının 4 ile kalansız bölünebilmesi için, a yerine yazılabilecek rakamların kümesini bulunuz? 3) X sayısının 6 ile bölümünden kalan 5 ve bölüm Y dir. Y nin 5 ile bölümünden kalan 2 ise X in 15 ile bölümünden kalan kaçtır? 9) Dört basamaklı 58x2 sayısı 8 ile kalansız bölünebildiğine göre, x in alacağı değerler çarpımı kaçtır? 4) İkiye tam bölünebilen iki basamaklı doğal sayıların kaç tanesi beşe kalansız bölünebilir? 10) 356x8y altı basamaklı sayısı 36 ile tam bölünebildiğine göre, x lerin toplamı kaçtır? 5) eş basamaklı 57m32 sayısının 9 ile bölümünden kalanın 7 olması için, m kaç olmalıdır? 11) Dört basamaklı 47a5 sayısı 25 ile kalansız bölünebildiğine göre, a kaç farklı değer alır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 9/10

112 ÖLÜNEİLE ÖLE ÖLÜNEİLE 12) 24x78y altı basamaklı çift sayının 45 ile bölümünden kalan 17 olduğuna göre, x kaçtır? 17) En küçük ortak katları 90 olan birbirinden farklı 4 sayının toplamı en çok, en az kaçtır? 13) 478x5y altı basamaklı sayının 30 ile bölümünden kalan 17 olduğuna göre, x lerin çarpımı kaçtır? 18) İNEGRALİNEGRALİNEGRAL... şeklindeki bir yazılışta harf nedir? 14) 48!+49! 1 sayısının sondan kaç basamağı 9 dur? 19) 1 Aralık'ın Pazar günü olduğu bir yılda, yeni yılın ilk günü hangi güne rastlar? 15) EO(A,)=120 ve EO(A,)=6 ise A+ kaç olabilir? 20) Perşembe günü saat 13:00' ı gösteren bir saat, 2010 saat sonra hangi gün ve saati gösterir? 16) En büyük ortak böleni 24 olan birbirinden farklı 3 sayının toplamı en az kaçtır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 10/10

113 ÜÇGENLER-1 ÜÇGENDE AÇILAR DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇI AĞINILARI Örnek...4 : 1. ümler açılar birbirlerini 90 o ye bütünler açılar birbirlerini 180 o ye tamamlar b a z x Örnek...1 : ütünler iki açının oranı 0,6 ise küçük açının tümleri kaç derecedir? bir üçgendir. = =, m^()=45 o, m^()=15 o olduğuna göre x kaç derecedir? 15 o 45 o x A 2. d 1 ve d 2 paralel doğrular ise oluşan açılar için x + y + z = a + b bağıntısı geçerlidir Örnek...2 : Şekilde d 1 // d 2, A // CD dir. Verilen açı ölçülerine göre x kaçtır? A x a y b C z 2 x x o x D d 1 d 2 d 1 d 2 4. Şekilde m^(ec) =x+y+z Örnek...5 : bir üçgendir. m^()=85 o, m^()=116 o m^()=7 o, m^() kaç derecedir? 5. Hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu ayırdığı parçalar kadardır x E y x+y+z 85 o 116 o z 7 o C 3. Üçgende iç açılar toplamı 180 o,dış açılar toplamı 360 o dir. m^(a)+m^()+m^(c)=180 o m^(a')+m^(')+m^(c')=360 o ir dış açı komşu olmayan iki içi açının toplamıdır. m^(c')=m^(a)+m^() A c' C N N N N Örnek...3 : bir üçgendir. m^()=75 o, m^()=68 o m^(g)=85 o ve [EG] açıortay ise m^(ge)=x kaç derecedir? G 85 o 75 o E x 68 o Örnek...6 : N bir üçgendir. [ ] açıortaydır. m^( )=15 o = = ise m(n) ^ kaç derecedir? N x 15 o 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 1/4

114 ÜÇGENLER-1 ÜÇGENDE AÇILAR Örnek...7 : bir dik üçgen m^()=90 o,d noktası [ ] nın orta noktası, E = D, m^(ed)=32 o, m^(ed)=38 o ise m^(e) kaç derecedir? D E Örnek...10 : R bir üçgen m^()=90 o R =, m^(r )=78 o ise m^() kaç derecedir? R 6. ir üçgende İki kenarın orta noktasını birleştiren doğru parçası diğer kenara paralel ve yarısı kadardır. C =2. D Örnek...8 : bir dik üçgen m^()=90 o,d noktası [ ] nın orta noktası, = DE,ise m^(de) kaç derecedir? A x 2x D D C 8. Üçgende iç açıortaylar iç teğet çemberin merkezinde kesişir. Üçgende iki dış ve diğer üçüncü köşenin iç açıortayları üçgenin dışında, dış teğet çemberlerin birinin merkezinde kesişir E 7. ir köşeye ait yükseklik, kenarortay ve açıortaydan herhangi ikisi aynı doğru Yüksekliler ve kenarortaylar da tek noktada kesişir A H A H A C C A H C Örnek...11 : AC bir üçgendir. [] ve [ C] açıortaylardır. m^(c)=x+55, m^(ac)=x olduğuna göre m^(c) kaç derecedir? A C H C parçası ise üçgen en azından ikizkenardır. Örnek...9 : bir dörtgendir. [] [ ],[ L] [], =, L = L olduğuna m^()=112 o m^() kaç derecedir L Örnek...12 : bir üçgendir. [], açısının açıortaydır. m^()=52 o, m^()=64 o olduğuna göre m^() kaç derecedir? 64 o 52 o 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 2/4

115 ÜÇGENLER-1 ÜÇGENDE AÇILAR DEĞERLENDİRE 1 1) N bir üçgendir. [] N açısının açıortaydır. m^(n)=68 o, m^(n)=84 o olduğuna göre m^(n) kaç derecedir? N 4) bir dik üçgen m^()=m^(c)=90 o, m^(l)=20 o ise m^(l) m^(l) kaç derecedir? L C 2) bir üçgendir, m^(a )=50 o, m^(a)=20 o m^()=55 o, m^(a)=10 o m^(a)=x,m^(a)=y ise x-y kaçtır? C A 5) bir üçgendir. [] ve [] açıortayları noktasında kesişiyor.şekilde verilen açı ölçülerine göre m^() kaçtır? x 30 o 115 o 30 o 3) bir dik üçgen, D [] nın orta noktasıdır. m^()=90 o, D = E, [] // [E], m^(de)=44 o ise m^(e) kaç derecedir? D 6) bir üçgendir. Δ ^(RE) R G F E E 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 3/4

116 ÜÇGENLER-1 ÜÇGENDE AÇILAR DEĞERLENDİRE 2 1) bir üçgendir. [], açısının açıortaydır. m^()=50 o, m^()=65 o olduğuna göre m^() kaç derecedir? 65 o 50 o 4) bir üçgen m^(f)=90 o m^()=22 o F =2. =8br ise m^(f) kaç derecedir? 4 F 8 2) bir üçgendir. m^()=40 o m^()=80 o A = = ise m(a ^ ) kaç derecedir? A 40 o 80 o 5) m^(f)=13 o = = F ise m^()=x kaç derecedir? x 13 o F 3) bir dik üçgendir, m^()=32 o, F =4br, =8br ise m^(f) kaç derecedir? 32 o 4 F 6) bir dik üçgen m^()=m^(c)=90 o m^(l)=m^(l), m^(c)=24 o ise m^() kaç derecedir? L C 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 4/4

117 ÜÇGENLER-2 AÇI ENAR AĞINILARI AÇI ENAR AĞINILARI 1. ir üçgenin çizilebilmesi için kenarlar arasında a b <c<a+b a c <b<a+c c b <a<c+b bağıntıları geçerli olmalıdır c A a b C Örnek...3 : AC,EC ve ECD birer üçgendir. Şekilde verilen açı ölçülerine göre en uzun kenar hangi kenardır? A 70 o 55 o E 60 o 85 o 46 o 55 o C D Örnek...1 : bir üçgendir. =6 br, =7br olduğuna göre nin asal sayı değeri toplamı kaçtır? 3. Örnek...2 : bir dörtgendir. Verilen uzunluklara göre köşegeni kaç farklı tamsayı değer alır? Örnek...4 : bir dik üçgen =6br, =8br olduğuna göre kaç farklı tamsayı değeri alır? ir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar bulunur. u önermenin tersi de doğrudur. a<b<c m^(a)<m^()<m^(c) c A a b C Örnek...5 : bir üçgendir. [] ve[] açıortaydır, =6br, =12 br olduğuna göre x in alabileceği tamsayı değerlerini n toplamı kaçtır? 4 7 x 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 1/4

118 ÜÇGENLER-2 AÇI ENAR AĞINILARI 4. A h a C A n N C D A V c C Örnek...7 : Çevresi 29 cm olan bir AC üçgeninin içinde alnan bir noktanın üçgenin köşelerine uzaklıkları toplamı kaç tamsayı değeri alabilir? m^(a)<m^()<m^(c) a<b<c h c <h b <h a V c <V b <V a n C <n <n A Örnek...8 : AC çeşitkenar bir üçgense bir köşede A bir üçgendir. =8br, =13 br, =11br olduğuna göre x+y+z nin kaç farklı tamsayı değeri vardır? 8 y z 11 x 13 h a v a h a <n A <V a sıralaması vardır. H N V C Örnek...6 : Çeşitkenar bir üçgende h a=n =v c bağıntısı geçerliyse bu üçgende açı sıralaması nasıl olmalıdır? Ü ç g e n Ç i z i m l e r i ir üçgeni çizeb ilmek için, en az biri uzunluk o lm ak üzere, üç el eman ve rilm elidir. Ver ilen el emanlar a göre, önce bir tasl ak üçgen ç izilir; as ıl ü çgenin nasıl çiz ilebileceği, bu t as lak üzer inde b elirlenir. Ç izim i çin perg el, c etve l ve iletki kullanılır. Ü çgenin çizil ebilm esi i çin en az biri uzunluk ve iki açı bilinmelidir Uyarı : Ortadaki şekilde AC de kenar uzunlukları arasında a > b > c ilişkisi varsa a +b > x+y+z > b+c olur 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 2/4

119 ÜÇGENLER-2 AÇI ENAR AĞINILARI DEĞERLENDİRE 1 1) bir üçgendir. =2x+1br, =x 1br =7br, olduğuna göre kaç farklı tam sayı değeri alır? 4) bir üçgendir. [ A] ve[ A] açıortaydır, A =8br, A =6br ise kaç farklı tamsayı değeri alır? 8 A 6 2) bir dörtgendir. Verilen uzunluklara 6 göre köşegeni kaç farklı tamsayı değer alır? ) bir üçgendir. G =12 br =16 br ve G noktası [] nın orta noktası ise kaç farklı tamsayı değeri alır? G ) bir üçgendir. m^()=90 o, =6br, =14 br olduğuna göre x= kaç farklı tamsayı olabilir? 6 14 x 6) bir üçgendir., =6br, =10 br, =9br, =14 br olduğuna göre x kaç farklı tamsayı olabilir? x 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 3/4

120 ÜÇGENLER-2 AÇI ENAR AĞINILARI DEĞERLENDİRE 2 1) bir üçgendir. [] ve[] açıortaydır, =6br, =12 br olduğuna göre x kaç farklı tamsayı olabilir? 6 12 x 4) bir üçgendir. [H] [ ] H =13 br, =21 br, =18br ise S =x kaç farklı tamsayı değeri alır? x H 18 S 2),, S birer üçgendir. Şekilde verilen açı ve uzunluklara göre kenar uzunluklarını küçükten büyüğe sıralayınız. p 65 o m 63 o 64o 55 o S n m p y x 5) bir üçgendir., =a, =b, =2 x, =5 x olduğuna göre =5x Ç() tamsayı olarak en çok kaç olabilir? 2x a 42 5x b 3) enar uzunlukları tamsayı olan çeşitkenar bir üçgenin çevresi 42 birimdir. u üçgende en büyük kenar uzunluğu kaç farklı değer alır? 6) Çeşitkenar bir üçgende V a=h b=n C bağıntısı geçerliyse bu üçgende kenar sıralaması nasıl olmalıdır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 4/4

121 ÜÇGENLER-3 AÇIORAY AÇIORAY ir açının ölçüsünü eş iki parçaya ayıran ışına açıortay denir. A Şekilde [ O, ^AO nın P açıortayıdır. Açıortay üzerinde alınan noktanın O açının kollarına uzaklığı eşittir. P [ O, AP = P ve O = AO Örnek...3 : bir üçgendir. D =3 br, D =5br, ise kaç Ç( ) kaç birimdir? 3 D 10 5 Örnek...1 : bir üçgendir. [D], açısının açıortayı HD =3br D =5br olduğuna göre H kaç birimdir? H 3 D Örnek...4 : bir üçgendir. =3 D,Ç()=60 br ise ise + D kaç birimdir? D Örnek...2 : OL dik üçgen O =8br, O =5br ise L kaç birimdir? ÜÇGENDE AÇIORAY ÖELLİLERİ O 135 o L Örnek...5 : bir dörtgen, [] ve [L] açıortaylardır. Şekilde verilen uzunluklara göre L kaç birimdir? x L Üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişir. esiştikleri bu nokta üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir. P L Şekilde O iç teğet çemberin merkezidir 2. iç açıortay teoremi bir üçgen ve [E] bu üçgenin açıortayı ise a b =x y O a x d E y b 3. Üçgende İki dış açıortay ve diğer iç açının açıortayı bir noktada kesişir. esiştikleri bu nokta üçgenin dış teğet çemberlerinden birinin merkezidir. E O 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 1/4

122 ÜÇGENLER-3 AÇIORAY 4. Dış açıortay teoremi bir üçgen ve [E] bu üçgenin açıortayı ise b c = y y+x c D b d Örnek...9 : bir üçgendir. Şekilde [] ve [] açıortaylar = +1=6br, G =2br ise kaç birimdir? G x E y Örnek...6 : üçgendir. G =4br, EG =3br =12br [G],E açısının, [], ED açısının açıortaylarıdır. una göre G kaçtır? D 12 Örnek...10 : bir üçgen m(^)=m(^)=60 o 2. = =6br ise =x kaç birimdir? 60 o 60 o 6 3 x E 3 G4 HAIRLAA Örnek...7 : bir üçgendir. m(^f)=m(^rf) Şekilde F =12br, R =15 br RF =4br ise R kaç birimdir? R F Örnek...11 : Şekilde dörtgen,[ ] açıortay, 2m(^)=m(^)=72 o m(^) kaç derecedir? ise Örnek...8 : bir üçgendir. Şekilde [] ve [] açıortaylar =3. P, P =24 br ise kaç birimdir? P Örnek...12 : üçgen,[], [ L] açıortaylardır. [ ] [] [L]={P } m(^)=60 o, m(^l)=42 o ise m(^) kaç derecedir? L 42 o P 60 o 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 2/4

123 ÜÇGENLER-3 AÇIORAY DEĞERLENDİRE 1 1) bir üçgendir. HD =3br, D =5br, D =3 2br, [D], açısının açıortayı olduğuna göre =x kaçtır? H 3 5 D x 4) üçgendir. G =4br, EG =3br =16br, [G],^E nın, [],^ED nın açıortaylarıdır. una göre x+y kaçtır? 16 4 G 3 D E x y 2) bir üçgen [F] [] dir. = 3 4, m^()=m^() =6 br, F =x kaç birimdir? 6 D F x 5) üçgendir. EG =4br, E =9br, [G],^E nın, [], ^ED nın açıortaylarıdır. una göre x.y kaçtır? y D x G 4 E 9 3) bir üçgen ve R içteğet çemberin merkezidir. =16 cm, =24cm ve 4 F =5 R 16 olduğuna göre Ç() kaç cm dir? R 24 F 6) bir üçgen ve R içteğet çemberin merkezidir. []//[GF], =18br, =20 br ise GF üçgeninin çevresi kaç birimdir? G R F 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 3/4

124 ÜÇGENLER-3 AÇIORAY DEĞERLENDİRE 2 1) bir dik üçgendir. m^(g)=m^(g), G =6br, G =8br olduğuna göre G kaç birimdir? 4) bir üçgen, R içteğet çemberin,f ise dış teğet çemberin merkezidir. m^()=76 o İse m^(r) m^(f) kaç derecedir? R G 6 8 F 2) bir üçgendir. Şekilde F =16 br=4. RF, R =14 br ise R kaç birimdir? 16 4 R 14 F 5) bir üçgendir., m^(e)=m^(e), m^(rf)=m^(re) =16 br ve =12 br ise göre R ER kaçtır? 16 R E F 3) bir üçgendir. =8br, R =6br, iç teğet çemberin merkezidir. R // ve =21 br İse Ç() kaçtır? 21 R 6) bir üçgen m^()=2. m^() ise kaç birimdir? Sınıf atematik onu Anlatımı 4/4

125 ÜÇGENLER-4 ENARORAY ENARORAY ir üçgende bir köşe ile karşı A kenarın orta noktasını birleştiren doğru parçasına kenarortay denir. a kenarına ait kenarortayı V a ile gösteririrz V a D C Örnek...3 : bir üçgen G = G, GH = HP = P olduğuna göre HF R oranı kaçtır? G F H R P Üçgende kenarortaylar bir noktada kesişir. u noktaya ağırlık merkezi denir ve genellikle G harfi ile gösterilir. E 2z A y 2x z G x D F 2y C [F] ve [CE] kenarortaylar ise [FE]//[C] ve 2. EF = C ([EF] orta tabandır) A D Ayrıca kenarotayın parçaları arasında 2. A =6. G =3. DG bağıntısı vardır. E 3x x G 2x F C Ağırlık merkezi,kenarortayı, köşeye iki, kenara bir birim olacak şekilde böler. ir köşeden karşı kenara çizilen doğru parçası, başka bir köşeden çizilen kenarortayı köşeden iki ve kenardan bir birim olacak şekilde bölüyorsa kenarortaydır Örnek...1 : Örnek...4 : üçgen, G ağırlık merkezidir. [V ] [H]={G} ve,r,g,f doğrusal noktalardır. G =24 br una göre F kaç birimdir? V R G F H bir üçgen, [R] ve [ F] kenarortaylardır. [R] [ F]={H}, H =14 br, HF =5br, R + F kaçtır? H R F Örnek...5 : üçgendir. =6br, =8br, = una göre kaç birimdir? 6 8 Örnek...2 : bir üçgen [F] [] dir. D ağırlık merkezi ve =12 br, F =18 ise, kaç birimdir? D F Hipotenüse ait kenarortay uzunluğu hipotenüs uzunluğunu n yarısıdır. AD = D = DC Ayrıca 5V a 2 = V b 2 +V c 2 A 5 V a D bağıntısı geçerlidir. 5 C 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 1/4

126 ÜÇGENLER-4 ENARORAY Örnek...6 : bir üçgen D ağırlık merkezidir D =3cm, ise V 2 2 z + V m kaç cm 2 dir? D 3 R G AC üçgeninin ağırlık merkezi ve ['] d [GG'] d [CC'] d d ' G G' A A' C' C AA '+ '+ CC '=3. G 'G Örnek...7 : G bir üçgen. [] [F]. x Şekilde D, D üçgeninin ağırlık merkezi ve,[g] nın orta noktasıdır. G =48cm ise x kaçtır? F 48 G Örnek...9 : AC bir üçgen G ağırlık merkezidir G 'G =12 cm, ve 6. CC '=2. AA '=3. ' olduğuna göre [ A] nın orta noktasının d doğrusuna uzaklığı kaç birimdir? d ' G G' A A' C' C G AC üçgeninin ağırlık merkezi ve [D] //[ EA] // [FC] ise d D AE = D + CE E A G F C Örnek...8 : bir üçgendir, G ağırlık merkezidir. [R] // [E]// [F]. F =x 2 br E =2 xbr, R =24 br ise E kaç birimdir? R F G E 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 2/4

127 ÜÇGENLER-4 ENARORAY DEĞERLENDİRE 1 1) bir üçgen, [R] ve [F] kenarortaylardır. [R] [ F]={H}, 4. HR = H =16 br, R + F kaçtır? 16 H 4 R F 4) üçgen, G ağırlık merkezidir. [V ] [H]={G} ve,r,g,f doğrusal noktalardır. FG =12br una göre F kaç birimdir? V R G F H 2) bir üçgen D ağırlık merkezidir D =8cm, ise kaç cm dir? D 8 R 5) üçgendir. =8br, = una göre kaç farklı tamsayı değeri alabilir? ) bir üçgen [F] [] dir. D ağırlık merkezi ve =6br, F =8 ise, kaç birimdir? D F 6) bir üçgen, G,R,F üzerinde bulunduğu kenarların orta noktalarıdır. Ç()=22 cm ise GRF üçgeninin çevresi kaç birimdir? G R F 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 3/4

128 ÜÇGENLER-4 ENARORAY DEĞERLENDİRE 2 1) bir üçgen [F] [] dir. G ağırlık merkezi ve FG = 9 br ve 2 G =6br ise, G kaç birimdir? N G 6 F 4) bir üçgen, D noktası [ ] nın orta noktasıdır. [F] [ ]. 2. = =12 br, =15 br ise FD kaç birimdir? 6 12 F D 2) bir üçgen D ağırlık merkezidir Şekilde R =12br, H =9br ise kaç birimdir? H D R 5) R, üçgeninin ağırlık merkezidir. m^(rf)=m^(re) ER =6br ise F kaç birimdir? R 6 E F 3) bir üçgendir. R =7br, E =5br, G ağırlık merkezidir. [R] // [E]// [F] ise F kaçtır? 7 R F G E 5 6) bir dik üçgen D ağırlık merkezidir. [RG] // [E], [GR] // [E]. Şekilde =24 br, RG kaç birimdir? H D E G, R 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 4/4

129 ÜÇGENLER-5 ENAR ORA DİE-DİLİ ERE ENAR ORA DİE Üçgenin herhangi bir kenarının orta noktasından geçen ve bu kenara dik olan doğru parçasına kenar orta dikme denir. ir üçgende kenar orta dikmeler bir noktada kesişir. u nokta çevrel çemberin merkezidir. Çevrel çemberin merkezi üçgenin açı çeşidine göre farklı bölgelere ait olabilir. Durum1 Dar açılı üçgende diklik merkezi üçgenin içindedir. [OF] [], [OL] [], [O] [], F L F = F, =, O L = L Durum 2 Dik açılı üçgende kenar orta dikmeler hipotenüs üzerinde kesişir F O Uyarı ir doğru parçasının orta dikmesi üzerinde alınan her nokta, doğru parçasının uç noktalarına eşit uzaklıktadır ve bunun karşıtı da doğrudur. Şekilde [AD], LA = L, A =, A = Örnek...2 : bir üçgen, [ P] [], [LP] [], m(pl)=34 o, m(p)=26 o, olduğuna göre m( P) kaç derecedir? A L H P L L Durum 3 Geniş açılı üçgende kenar orta dikmelerinşekillerde O noktası kenar orta dikmelerin kesişim noktasıdır. ( çevrel çemberin merkezidir) kesişim noktası üçgenin dış bölgesindedir. Şekillerde O noktası kenar orta dikmelerin kesişim noktasıdır. (çevrel çemberin merkezidir) F L O Örnek...3 : O noktası üçgeninin kenar orta dikmelerinin kesim noktasıdır. =12 br, =6 br dir.una göre kaç farklı tamsayı değeri alır? 12 O 6 Örnek...1 : Şekilde bir üçgen, O noktası kenar orta dikmelerin kesim noktasıdır. F =7 br, =5 br, L =6 birim olduğuna göre Ç( ) kaç birimdir? 7 F O L 6 5 Uyarı kenarorta dikmelerin kesişme noktasının üçgenin köşelerine uzaklıkları eşittir. Şekilde O noktası kenar A orta dikmelerin kesişim noktası, AO = O = OC dir. C O 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 1/7

130 ÜÇGENLER-5 ENAR ORA DİE-DİLİ ERE YÜSELİ Örnek...4 : ir üçgende herhangi bir köşeden karşı kenara veya karşı kenarın uzantısına dik olarak indirilen doğru parçasına o kenara ait yükseklik denir. Şekilde [ H], [ ] nın yüksekliğidir. Şekilde =2 br, = 6br dir. noktası, üçgeninin diklik merkezi ise kaç birimdir? 2 6 H noktasına dikme ayağı denir. enar m olarak gösterildiğinde H = h m ile gösterilir. ir üçgende yükseklikleri tek noktada kesişir. u nokta diklik merkezidir. Diklik merkezi üçgenin açı çeşidine göre farklı bölgelere ait olabilir. Durum 1 Dar açılı üçgende diklik merkezi üçgenin içindedir. Durum 2 Dik açılı üçgende diklik merkezi üçgende dik kenarların birleştiği köşedir H h z L h t h t H h m H E h z Örnek...5 : Şekilde =6 br, = 4 br dir. noktası, üçgeninin diklik merkezi ise nin alabileceği kaç farklı tamsayı değeri vardır? Örnek...6 : Şekilde bir üçgen, [] [L], [] [L]={P} dir. una göre m(p) kaç derecedir? 6 P 4 L 20 o 36 o h m Durum 2 Geniş açılı üçgende diklik merkezi üçgenin dış bölgesindedir. h m H Şekillerde H noktası diklik merkezidir h t L F h z Örnek...7 : Şekilde, m()=28 o,m()=34 o una göre üçgenin diklik merkezi hangi bölgededir? o 3 34 o Sınıf atematik onu Anlatımı 2/7

131 ÜÇGENLER-5 ENAR ORA DİE-DİLİ ERE İİENAR ÜÇGEN Herhangi iki kenarı birbirine eşit olan üçgendir. A aban aban Açısı epe Açısı C =, H taban üzerinde alınan rastgele bir nokta ve [HS]//[], [H]//[] ise HS + H = = olur S H aban açıları eşittir. m^()=m^(c) Eşit kenarlara ait yükseklikler, iç açıortaylar ve kenarortaylar eştir h b =h c, V b =V c, n =n C Yandaki ikizkenar üçgende A = AC ve buradan eşlik kullanarak şu sonuçları çıkarabiliriz m^(a)=m^(acl), C = L, LH = H Örnek...8 : bir üçgendir. = =, m^()=42 o m^()=15 o olduğuna göre x kaç derecedir? L 15 o A H x 42 o C Örnek...9 : bir ikizkenar üçgen HS + H =13 br ve H + H =10 br ise üçgeninin alanı kaç birim karedir? =, H taban üzerinde alınan rastgele bir nokta ve [HS] [ ] [H] [] ise h 1 +h 2 =h t =h z olur =, H taban uzantısında alınan rastgele bir nokta ve [HS] [ ] [H] ise S H S =h 1 h 2 =h t =h z olur 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 3/7

132 ÜÇGENLER-5 ENAR ORA DİE-DİLİ ERE Örnek...10 : Yandaki üçgeninde [HS] [ ] [H] [] H =2br HS =8br, m^()=67,5 o olduğuna göre = kaç birimdir? Örnek...11 : R bir üçgen R = m^(r)=90 o ve m^(r)=63 o ise m^() kaç derecedir? R A = AC ise A köşesinden indirilen dikme aynı zamanda açıortay ve kenarortaydır. A H C Örnek...12 : R bir üçgen R =, R =, m^()=90 o, m^(r)=120 o ve =20 br ise A( ) kaç birim karedir? R ir köşeye ait yükseklik, açıortay veya kenarortaydan herhangi ikisi aynı ise üçgen en azından ikizkenardır A H C A A H A H C C H C Örnek...13 : R bir üçgen R = R =6br, =4br, =3br ise x kaç birimdir? 6 R 4 x 3 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 4/7

133 ÜÇGENLER-5 ENAR ORA DİE-DİLİ ERE DEĞERLENDİRE 1 1),HF birer dik üçgendir. H =6 br, F = F =4br H kaç birimdir? x H 6 4 F 4) F ikizkenar, dik üçgendir. [] [], = F =8br olduğuna göre =x kaç birimdir? x 8 30 o F 2) bir üçgen ikizikenar üçgen, [SH] [ ], [H] [] 2. SH = H =8cm, ise kaç cm dir? S 4 H 30 o 8 5) bir üçgendir. F [], = F =15 br, m^(f)=2.m^(f), =20br. una göre F kaç birimdir? F 3) bir dik üçgen = dir. =12br, F =14 br ise, F kaç birimdir? F 6) bir üçgen, [D] [D ], =, [D] açıortay, 2. =3. =48 cm ise D kaç birimdir? D 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 5/7

134 ÜÇGENLER-5 ENAR ORA DİE-DİLİ ERE EŞENAR ÜÇGEN Üç kenar uzunluğu eşit olan üçgendir. m^(a)=m^()=m^(c)=60 o Yükseklikler, iç açıortaylar ve kenarortaylar eştir h a =h b =h c = V a =V b =V c =n A =n =n C = a 3 2 a A 60 o 60 o 60 o a a C Örnek...2 : bir ikizkenar üçgen HS + HE + H =12 br ise üçgeninin alanı kaç birim karedir? E H S Ç(AC)=3a A(AC)= a2 3 4 Örnek...1 : bir üçgen, m^()=2.m^()=80 o, = = A ise m^(a) kaç derecedir? 80 o A 40 o eşkenar üçgen, H üçgenin iç bölgesinde alınan rastgele bir nokta ve [HS] [ ] [H] [] [HE] [ ] ise h 1 +h 2 +h 3 =h z olur S L h 1 h 3 E H h 2 Örnek...3 : eşkenar üçgen, H üçgenin iç bölgesinde alınan rastgele bir nokta ve ve [HS]//[], [H]//[], [HE]//[] ise E H S eşkenar üçgen, H üçgenin iç bölgesinde alınan rastgele bir nokta ve [HS] [ ] [H] [] [HE] [ ] dir. m^(l)=15 o ise L kaç birimdir? S H E L HS + HE + H = olur 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 6/7

135 ÜÇGENLER-5 ENAR ORA DİE-DİLİ ERE DEĞERLENDİRE 2 1) AC bir eşkenar üçgen [FP] [AC], [F] [C], [FL] [A] dir. FP +3 3= F +2 3= FL =7 3br ise,ac üçgeninin bir kenarı kaç birimdir? 4) AC bir eşkenar üçgen, 4. A = =8br, ise C kaç birimdir? A C 2 8 2) AC bir eşkenar üçgen [FP] // [C], [F] // [A], [FL] [A] dir FP =5br F =6br FL =4 3br ise, AC üçgeninin çevresi kaç birimdir? P C F 5) bir dörtgendir. m()=90 ^ o, m()=m ^ ()=60 ^ o 2. = =12 br ise kaç birimdir? A L 3) bir dik üçgen FD bir eşkenar üçgendir. F = F ve D =10 br, A(FD) kaç birim karedir? D 10 6) AC bir eşkenar üçgen [FP] [AC], [F] [C], [FL] [A] dir. FP + F =6 3, FL =2 3br ise,ac üçgeninin alanı kaç birim karedir? F 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 7/7

136 ÜÇGENLER-6 EŞLİ EŞLİ AC ve üçgenleri arasında bire bir eşleme kurulduğunda; karşılıklı kenarlar ve karşılıklı açılar eş ise AC ve üçgenleri eştir denir. Δ AC Δ İle bu eşlik gösterilir. 1. Açı kenar- açı eşlik teoremi Örnek...1 :,C,D doğrusal noktalardır. m()=90 ^ o CD =3br, C =4br Δ AC CDE ise AE kaç birimdir? Δ A C E D Örnek...3 : D ACD kare, AE ve AD dik üçgenlerdir. E =2br, A =6br ise Ç( ACD) kaç birimdir? A E C 2. enar - açı - kenar eşlik teoremi Örnek...4 : AGN eşkenar üçgendir. AD = GF ve m^(agd)=19 o ise m^(fnd) kaç derecedir? G L F A D N 3. enar kenar- kenar eşlik teoremi Örnek...2 : AFC ve DFE ikizkenar dik üçgenlerdir. m(cfa)=m ^ (DFE)=90 ^ o ise m^(cgd) kaç birimdir? C G A F D E 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 1/2

137 ÜÇGENLER-6 EŞLİ DEĞERLENDİRE 1) bir üçgendir. EF = F, E = olduğuna göre m^(ef) kaç derecedir? 25 o E F 65 o 4) bir üçgendir. m^(h)=90 o = LH, = H, [] // [H], [] // [HL] ise m^(l) kaç derecedir? G L H 2) bir üçgendir. [] // [HL] = H, = HL, m^(hl)=64 o m^(hlg) kaç derecedir? ise G H L 5) bir dörtgendir. m^()=134 o, = H, L =, HL =, [] [H] olduğuna göre m^(h) kaç derecedir? H L 3) bir karedir. = F, olduğuna göre m^(lf)=x kaç derecedir? L x F 6) bir dörtgendir. =, L = L m^()=138 o olduğuna m^() kaç derecedir? L 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 2/2

138 ÜÇGENLER-7 ENERLİ ENERLİ ir şekli belirli oranlarda büyüterek veya küçülterek benzerleri elde edilebilir. ENERLİ EORELERİ 1. Açı - açı benzerliği uradaki belirli orana enzerlik Oranı denir. İki doğru parçası, iki eşkenar üçgen, iki kare, iki çember, iki küp, iki küre... gibi şekil ve cisimlerin uzunlukları arasında daima bir oran vardır. u nedenle bunların her zaman birbirine benzer olduklarını söyleyebiliriz. ÜÇGENLERİN ENERLİĞİ AC ve üçgenleri arasında bire bir eşleme kurulduğunda; birinin kenarları diğerinin kenarlarının k katı ise, AC ve üçgenleri benzerdir denir ve bu benzerlik biçiminde gösterilir. ( k R) Örnek...1 :,C,D doğrusal noktalardır. m()=m ^ (D)=m^(CDE)=90 ^ o 6. CD =4. A =3 ED =12br AC kaç birimdir? A C D E A C Ayrıca, İki üçgenin benzerlik oranı olarak, 1) arşılıklı kenarlar oranı, 2) arşılıklı kenarortaylar oranı, 3) arşılıklı açıortaylar oranı, 4) arşılıklı yükseklikler oranı, 5) arşılıklı iç teğet çember yarıçapları oranı, 6) arşılıklı dış teğet çember yarıçapları oranı, 7) arşılıklı çevrel çember yarıçapları oranı, 8) arşılıklı çevre uzunlukları oranı da alınabilir Örnek...2 : V,, doğrusal noktalardır.,, D doğrusal noktalardır. [VD] // [] dir. Verilen uzunluklara göre x+y kaçtır? V x 16 D y 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 1/6

139 ÜÇGENLER-7 ENERLİ EEL ORANI EOREİ ir üçgenin bir kenarına paralel olan bir doğru üçgenin diğer kenarlarını farklı noktalarda keserse, bu doğru kenarlar üzerinde orantılı parçalar ayırır // NL ise NL Örnek...5 : dörtgeninde // Verilen uzunluklara göre kaç birimdir? N = L = NL 3. enar - kenar - kenar benzerlik teoremi N = L N L Örnek...3 : bir üçgendir. [DF] // [] dir. Verilen uzunluklara göre x+y kaçtır? D y x F 4 enzer iki şekilde karşılıklı uzunlukların oranı benzerlik oranına eşittir enzer iki şeklin alanlarının oranı benzerlik oranının karesine eşittir 2. enar - açı - kenar benzerlik teoremi enzer iki şeklin hacimlerinin oranı benzerlik oranının küpüne eşittir Örnek...6 : bir üçgendir. [DF] // [] dir. 3. D =2. D. A(AC)=250 br 2 ise A(DF) kaç birim karedir? D F Örnek...4 : AC ve ADF birer üçgendir. Verilen uzunluklara göre C kaçtır? D Pantograf, verilen bir Şeklin daha büyüğünü daha küçüğünü ya da eşini çizmeye yarayan mekanik bir alettir. A 4 F 2 C 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 2/6

140 ÜÇGENLER-7 ENERLİ DEĞERLENDİRE 1 1) bir üçgendir. L =6br, =5br, LF =4br, =12 br, m(l)=m ^ () ^ olduğuna göre x+y kaçtır? L x F y 5) R bir üçgendir. R m^(r)=43 o, m^()=100 o ise m^() kaç derecedir? R 2) V,, doğrusal noktalardır.,,d doğrusal noktalardır. [VD] // [] dir. Verilen uzunluklara göre x+y kaçtır? V x D y 6) bir eşkenar üçgendir. m(^e)=120 o, E =4br, E =5br,, ve doğrusal noktalar olduğuna göre eşkenar üçgenin bir kenarı kaç birimdir? 4 E 5 3) bir üçgendir. [FD] // [] dir. Verilen uzunluklara göre x+y kaçtır? D y x F x+3 7) L, A birer üçgendir. m^(a)=m^(l), verilen uzunluklara göre a kaçtır? a 4 3 L 6 A 4) ve G birer üçgendir. [FD] // [], [LF] // [G] dir. Verilen uzunluklara göre x kaçtır? 4 D 6 x F 20 G L 8) bir üçgendir. Şekilde [L] // [], [] // [] dir. L =20 br ve L =12 br ise x kaçtır? L x 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 3/6

141 ÜÇGENLER-7 ENERLİ DEĞERLENDİRE bir üçgen dir. [EG] [], [E] [], [] [H], H =5br EH =4br, ve Ç()=60 br ise kaç birimdir? 4 5 E 6 H G D 2. PLCD bir dikdörtgendir. [PH] [H]. Verilen uzunluklara göre x.y kaçtır? P 6 y 8 C x H 4 L günün belli bir anında boyu 5m olan bir ağacın gölgesi 7m omaktadır. una göre aynı anda boyu 1,8 m olan kişiinin gölgesinin uzunluğu kaç cm dir? 6. Şekildeki 3. ve birer üçgendir., m^()=m^(), verilen uzunluklara göre x kaçtır? krokide A CD ve EF yolları paraleldir. C =400 km, CF =640km ve DE =800 km olduğuna göre A ve D şehirleri arası mesafe kaç kilometredir? 24 x 4. bir üçgendir. [RP] // [] dir. 3. P =2. =12 br. A(PR)=32 br 2 ise A() kaç birim karedir? R P 7. Şekilde yeşil renkli binanın yüksekliği 90 metre, bordo renkli binanın yüksekliği 60 metredir. A noktasından bakan bir göz, aradaki mavi bina sebebiyle bordo renkli binanın yüzde 80 ini görebiliyor. una göre, noktasından bakan bir göz yeşil binanın kaç metresini görebilir? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 4/6

142 ÜÇGENLER-7 ENERLİ ÖEL EORELER 1. hales eoremi irbirine paralel olan doğruların, herhangi iki kesen üzerinde ayırdığı karşılıklı doğru d 1 d 2 parçalarının uzunlukları A E orantılıdır. F Şekilde e 1 // e 2 // e 3 ve buradan A C = EF FG C G e 1 e 2 e 3 Örnek...2 : AG üçgen CF = FE C G,[CE] [ AG]={F }. CG =2br, G =5br, AE =x br, E =1+x br verilen uzunluklara göre x kaçtır? C F 2 x G E 5 x+1 Örnek...1 : Örnek...3 : Şekildeki [AE]//[L]//[F]//[CG], 3. EL =2. LF = FG A + C =70 br olduğuna göre AC kaç birimdir? A C E L F G RHP dik üçgeninde RH =6br, HS =3br, SP =5br R = P ise =x kaç birimdir? 6 R x H 3 S 5 P 2. enelaus eoremi AC bir üçgen olsun. Üçgenin bir kenarının uzantısından alınan D noktasından çizilen ışın diğer iki kenarı iki noktada kesiyorsa yandaki bağıntılar geçerlidir 3. Ceva eoremi Üçgenin köşelerinden çıkıp karşı kenara çizilen doğru parçaları üçgenin içinde kesişiyorsa yandaki bağıntı geçerlidir. Örnek...4 : Şekildeki ACüçgeninde A, ve C den çıkan doğru parçaları F de kesişiyor. Üçgenin çevresi verilen uzunluklara göre kaç birimdir 9 D C 6 F 9 G E Sınıf atematik onu Anlatımı 5/6

143 ÜÇGENLER-7 ENERLİ 4. Carnot eoremi AC bir üçgen ve P iç bölgede herhangi bir nokta olsun. u noktadan kenarlara indirilen dikmeler için G A P F 6. [A] // [FE] // [DC] 1 a =1 y + 1 x x A a F y D H C E C AG 2 + H 2 + CF 2 = G 2 + HC 2 + AF 2 bağıntısı geçerlidir. Örnek...5 : Şekilde AC bir üçgen P iç bölgede bir nokta [PH] [C] [PF] [ AC], [PG] [A] verilen uzunluklara göre x kaçtır? 4 G A 5 x+1 P x H 1 F 3 C Örnek...7 : Şekilde [A] // [FE] // [DC] olduğuna göre DC kaç birimdir? D x+2 C A F 6x x E 5. Stewart eoremi AC üçgeninde G [C] için aşağıdaki bağıntı geçerlidir c b x x 2 = m. b2 +n. c 2 m.n m+n m n Örnek...6 : AC bir üçgen, [ C] verilen uzunluklara göre A kaç birimdir? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 6/6

144 ÜÇGENLER -8 Dİ ÜÇGEN-ÖLİD-EEL RİGONOERİ PİSAGOR AĞINISI Örnek...2 : bir üçgen ve [] [ ] ise kenarlar arasında = 2 eşitliği geçerlidir. Dik kenar Hipotenüs bir dik üçgen F = F dir. F =5br, =8 ise, kaç birimdir? 8 F 5 Dik kenar Örnek...1 : N bir dik üçgen, [] [P], =4br, N =10 br, N =8 br ve P =2 P ise P kaç birimdir? N Örnek...3 : bir dik üçgendir. D = D, =16br, PD =10 br, P =15br P kaç birimdir? P D 15 ÖŞEGENLERİ Dİ ESİŞEN DÖRGENLER HİPOENÜSE Aİ ENARORAY N, hipotenüsün orta noktası ise N = N = N eşitliği geçerlidir N bir dörtgen ve [] [ ] ise a 2 +b 2 =x 2 +y 2 a x H b y bir iç bükey dörtgen ve [] ise a 2 +b 2 =x 2 +y 2 a x H b y Örnek...4 : [] [ ] ve [] [ ] verilen uzunluklara göre a kaçtır? H 13 a 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 1/5

145 ÜÇGENLER -8 Dİ ÜÇGEN-ÖLİD-EEL RİGONOERİ ÖLİ AĞINILARI AÇILARINA GÖRE ÖEL ÜÇGENLER AC bir dik üçgen ve [AH ] [C], AH =h, H =k, CH =p ise h 2 =p. k b 2 =p.(k+p) b C h p H k a a 45 o 45 o a 2a 30 o c 2 =k.(k +p) bağıntıları geçerlidir Örnek...5 : Şekilde G dik üçgen m^(g)=m^(dg)=90 o Şekilde G =3. D =12br, ise G =x kaç birimdir? x A G D c 4 12 a 120o a x a 30 o 30 o H x a H 15 o 4a 22,5 o Örnek...6 : Şekilde m^(g)=m^()=m^(dg)=90 o Şekilde D =2. DV =4br, ise G kaç birimdir? G Örnek...7 : bir üçgen m^()=30 o m^()=45 o dir. =8br ise, kaç birimdir? 8 30 o D 45 o V 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 2/5

146 ÜÇGENLER -8 Dİ ÜÇGEN-ÖLİD-EEL RİGONOERİ Örnek...8 : bir dik üçgendir. [] // [F], =12br, F =20 br, m^(f)=m^()=15 o una göre kaç birimdir? 12 L 15 o F Örnek...10 : x dar bir açı olmak üzere, cos(x)= 2 3 sin 2 (x) tan 2 (x) kaçtır? ise Örnek...11 : bir dik üçgen m^()=90 o =m^()=90 o =6br, = 4br ise cos() kaçtır? 6 4 Dİ ÜÇGENDE RİGONOERİ AĞINILAR 0 o <θ<90 o olmak üzere cos(θ)= x r, sin(θ)= y r tan(θ)= y x, r y Örnek...12 : x dar bir açı olmak üzere, cos 2 x+sin 2 x=1 olduğunu gösteriniz. cot(θ)= x y Ayrıca sin (θ) tan(θ)= cos(θ) elde edilir. ve cot(θ)= cos(θ) sin(θ) x bağıntıları Örnek...13 : bir üçgendir. m()=45 ^ o =4br, =3br, olduğuna göre tan() kaç olabilir? 4 45 o 3 Örnek...9 : Değerleri üçgenleri kullanarak bulunuz a cos45= sin 45= a 45 o 45 o cos30= sin30= a 2a 30 o cos60= sin60= Örnek...14 : Şekilde boyu 5 m olan merdiven duvara dayalı olarak durmaktadır. sin α=0,6 olduğuna göre, merdivenin zemine değdiği noktanın duvara olan uzaklığı kaç cmdir? tan 45= cot 45= tan30= cot 30= tan 60= cot 60= 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 3/5

147 ÜÇGENLER -8 Dİ ÜÇGEN-ÖLİD-EEL RİGONOERİ DEĞERLENDİRE 1 1) ve N birer dik üçgendir. 2 8 N 4) N bir üçgen, [N] [], N = 4. N = =8 cm ise kaç birimdir? 8 4 N 2 4. =2. = N =8br ise N kaç birimdir? 2) bir üçgen D ağırlık merkezidir D =8cm, ise kaç cm dir? D 8 R 5) bir üçgen, m^=135 o Şekilde =7br, =5 2br ise kaç birimdir? 135 o A 3) ve A birer üçgen, [A] [] [] // [A], A =2. A +1=17br, =20 br una göre kaç birimdir? 6) bir dik üçgen, 2. D = D =8 br, D =12 br ise kaç birimdir? 4 D Sınıf atematik onu Anlatımı 4/5

148 ÜÇGENLER -8 Dİ ÜÇGEN-ÖLİD-EEL RİGONOERİ DEĞERLENDİRE 2 1) bir üçgen m^=150 o dir. =8br, =6 3br ise, kaç birimdir? 150 o 5) bir dik üçgen, 2. D = =12br, D m^()=27 o ise m( ^) kaç derecedir? o 2) bir dik üçgendir. F = F ve D =10 br, D =34br, FD kaç birimdir? 34 x D 10 6) bir dik üçgendir. =6+6 2 br, kaç birimdir? F 67,5 o 3) bir üçgen D ağırlık merkezidir. [RG] // [E], Şekilde =24 br, RG kaç birimdir? H D E G 7) bir dörtgendir. [] [ ], [] []. = A, =6br A =3br, A kaç birimdir? R A 4) bir dik üçgendir. D = Ve D =9br, D =8br, kaç birimdir? D 8) bir dik üçgendir. = =12 br, m^()=22,5 o ise noktasının [] na uzaklığı kaç birimdir? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 5/5

149 ÜÇGENLER-9 ÜÇGENDE ALAN ÜÇGENDE ALAN AĞINILARI ir üçgenin alanı bu üçgenin herhangi bir kenarı ve bu kenara ait L yüksekliğin çarpımının yarısıdır h t H h m h z Örnek...4 : bir dik üçgendir. [R] [P]={}, m^()=90 o verilen uzunluklara göre A(PR) kaç birim karedir? P R Üçgenin yükseklikleri tek noktada kesişir. u nokta diklik merkezidir. erkez üçgensel bölgeye ait olmayabilir. E A ()= m. h m 2 =z. h z 2 = t.h t 2 Örnek...1 : bir üçgendir. HD =3br, =8br, [D], açısının açıortayı olduğuna göre A(D) kaç birim karedir? H 3 D 8 Örnek...5 : bir üçgen m^(gv)=m^(dg)=90 o, DV =4br, D =6br dir. una göre,a(gv) kaç birim karedir? G 6 D 4 V Örnek...2 : bir üçgen, =6br, =12 br, E =8 br ise kaç birimdir? Örnek...3 : bir üçgendir. =8 2br, =6br, m ^ ()=45 o ise bu üçgenin alanı kaç birim karedir? H E 45 o 6 Örnek...6 : bir üçgendir. =6br, =11 br, =7br olduğuna göre A() kaç birim karedir? Sınıf atematik onu Anlatımı 1/5

150 ÜÇGENLER-9 ÜÇGENDE ALAN Yükseklikleri aynı olan üçgenlerde, alanlar tabanlarla doğru S 1 S 2 orantılıdır A() p r A () =p r abanlar aynıysa alanlar yüksekliklerle doğru orantılıdır. Örnek...7 : bir üçgendir., =4br ise, kaçtır? A(L) A () =6br 6 4 ezer iki üçgenin alanları oranı benerlik oranının karesine eşittir. Örnek...10 : bir üçgendir. L = LF =4br, 2 F =4br, =12 br, m(l)=m ^ () ^ olduğuna göre 4 A( FL) kaçtır? L F L Örnek...8 : bir üçgendir. 6. S =3. L =6. S =12 br 2S ve 10S verilen bölgelerin alanı ise, x kaçtır? 2 S 6 2S 4 10S L H x Örnek...11 : Örnek...9 : bir üçgendir. {S }=[ V] [ G], 2. V = V = ve 2. SV = S göre A(SV) A () kaçtır? Alanı 16 3 br 2 olan eşkenar üçgenin yüksekliği kaç birimdir? S V G 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 2/5

151 ÜÇGENLER-9 ÜÇGENDE ALAN DEĞERLENDİRE 1) bir üçgendir. =12 br, m()=30 ^ o bu üçgenin alanı 60 birim kare ise =x kaç birimdir? o x 4) V bir dik üçgen D =8br DV =12br dir. D = V ise,a(d) kaç birim karedir? 8 D 12 V 2) bir üçgendir. 2 = =8br, =6 olduğuna göre A() kaç birim karedir? ) bir dik üçgendir. S =6br, D =8 ise A(DS) kaç birimdir? D 8 S 6 3) bir üçgendir. m^()=90 o, m^()=18 o m^()=12 o, =6br, =2 19br olduğuna göre A() birimdir? 6 6) bir üçgen m^=120 o dir. =8 br, =6 3br ise,a() kaç birim karedir? 120 o 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 3/5

152 ÜÇGENLER-9 ÜÇGENDE ALAN 7) bir üçgen m^()=60 o m^()=45 o dir. =8br ise, A() kaç birim karedir? 60 o 8 45 o 10) bir üçgendir. Verilen uzunluklara göre A(A) kaç birim karedir? A 2 8) bir dik üçgendir. =12 2br, m^()=67,5 o ise A() kaç birim karedir? 11) bir üçgendir. 2 G = G =6br, 2 G = =8br ise Alan() kaç birimdir? 3 G ,5 o 9) bir dik üçgendir. [] // [F], F =16br, m^(f)=m^()=15 o una göre A(F) kaç birim karedir? L 15 o F 12) L, A birer üçgendir. [ ],L [A] A ()=A(LA), verilen uzunluklara göre a kaçtır? 2 a 3 L 6 A 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 4/5

153 ÜÇGENLER-9 ÜÇGENDE ALAN 13) bir dik üçgen ve G noktası bu üçgenin ağırlık merkezidir. D =6, D =8 ise A(G) kaç birimdir? 16) Alanı 9 3 br 2 olan eşkenar üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı kaç birimdir? G S, 14) P bir üçgendir. G = G, 3. L =2. ve L noktaları [P] nı üç eş parçaya ayırıyorsa taralı alan P üçgeninin alanının yüzde kaçıdır? P G L 15) bir üçgendir. =8br, =12 br, m^()=30 o, olduğuna göre A() kaçtır? 8 30 o Sınıf atematik onu Anlatımı 5/5

154 İSAİSİ VERİ İSAİSİ ir sonuç çıkarmak ya da çözüme ulaşabilmek için gözlem, deney, araştırma gibi yöntemlerle toplanan bilgiye veri adı verilir. Örnek...4 : İlk iki sınavında 75 ve 82 alan bir öğrencinin bu dersin ortalamasını 5 yapabilmek için son sınavdan kaç alması gerekmektedir? oplumsal nitelikteki olaylarla ilgili sayısal (kantitatif) verileri toplamak, bu verileri analiz etmek ve bunlardan sonuçlar çıkarılmasında kullanılan matematiğe dayalı bilim dalına istatistik denir. Sosyal bilimler, biyoloji ve tıp alanlarında kullanılır. oplum olaylarıyla onları etkileyen değişkenler arasındaki ilişkiler hakkında genellemeler yapılmasına imkan verir. EREİ EĞİLİ ÖLÇÜLERİ erkezi eğilim ölçüleri mod, medyan ve aritmetik ortalamadır. erkezi eğilim ölçüleri, bir konuda toplanan verilerin hangi değer etrafında toplandığı hakkında yorum yapmaya yarayan değerlerdir. 1) ARİEİ ORALAA ir dizide terimler toplamının toplam veri adetine bölerek buluruz. Örnek...1 : 1, 2, 41, 18, 2, 8 verilerinin aritmetik ortalaması nedir? Örnek...2 : 2,4,4,7,7,7,8,8 verilerinin aritmetik ortalaması nedir? Örnek...3 : ir otoparktaki araç sayısının günlere göre dağılımı tabloda özetlenmiştir. Günler P.tesi Sah Çrş. Prş. Cuma C.tesi Pazar Duraktaki araç sayısı una göre günde ortalama kaç araç bu parkta bulunmaktadır? 2) EDYAN (ORANCA) Dizinin terimleri büyükten küçü ğe ya da küçükten büyüğe doğru sıralandığında baştan ve sondan eşit uzaklıktaki sayıya medyan ( ortanca ) denir. Eğer veri dizisi tek elemanlıysa ortadaki veri medyandır. Eğer veri dizisi çift elemanlıysa ortada bulunan iki verinin aritmetik ortalamasıdır. Alıştırma 1) 21,15,34,15,24,15,67 verilerinin medyanı nedir? Çözüm Veriler düzenlenirse 15,15,15,21,24,34,67 dolayısıyla medyan 21 olur. 2) 1,5,154,25,20,21 verilerinin medyanı nedir? Çözüm Veriler düzenlenirse 1,5,20,21,25, dolayısıyla medyan =20,5 olur. 2 Örnek...5 : 12,16, 60, 17, 7, 81,12 verileri için medyan nedir? Örnek...6 : 52, 26, 6, 7, 8, 12 verileri için medyan nedir? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 1/6

155 İSAİSİ VERİ Örnek...7 : x, 51, 8, 8, 12 verileri için medyan x ise x kaç farklı tamsayı değeri alabilir? 2. od ( ve medyan) anormal terimlerin etkisi altında kalmaz. Örneğin bir gruba grup ortalamasının çok üzerinde yaşa sahip yeni bir birey katılması modu değiştirmez. 3) OD (EPE DEĞER) ir dizide en çok tekrarlanan sayıya mod (tepe değeri) denir. 3.. Aritmetik ortalama ve medyan sayısal veriler için hesaplanabilirken, tepe değer hem sayısal hem de nitel veriler için hesaplanabilir. Veri grubunda her değer farklı ise mod bulunmaz. Aynı sayıda birden çok tekrar eden veri varsa birden çok tepe değeri vardır. Veri grubund a bir terimin tekrar sayısına o terimin frekansı denir. Örnek...8 : 2, 5, 8, 11, 24, 15, 67 verilerinin modu nedir? EREİ DAĞILI (YAYILI ) ÖLÇÜLERİ Dizideki terimlerin birbirine yakınlığı ya da uzaklığı hakkında bilgi veren ölçülerdir. Verinin nasıl dağıldığının ölçüsüdür denilebilir. 1) ÜS UÇ DEĞER Verilerin en büyük olanıdır. 2) AL UÇ DEĞER Örnek...9 : 1,1,3,5,1,3,67 verilerinin modu nedir? Verilerin en küçük olanıdır 3) AÇILI (ARALI,RANJ) Örnek...10 : 78, 17, 3, 3, 4, 5, 5 verilerinin modu nedir? Örnek...11 : 8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 13 verileri için mod nedir? Veri grubundaki en büyük ve en küçük değer arasındaki farktır Örnek...12 : 78,17,3,3,4,5,5,78 verilerinin açıklığı nedir? Örnek...13 : UYARILAR 1. od uygulamada farkına varılmadan en çok başvurulan ortalamalardan biridir. Örneğin, giyim eşyası üretiminde en çok satılan numaralar ve bedenler dikkate alınır ki, bu,mod hesabı anlamını taşır. 1,2,3,3,3,3,4,4,5,7,7,7,8,9,10 verilerinin açıklığı nedir? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 2/6

156 İSAİSİ VERİ 4) VARYANS VE SANDAR SAPA Standart sapma dizideki her bir değerin aritmetik ortalamaya yakınlığını gösterir. Standart sapmanın küçük olması aritmetik ortalamadan sapmaların az olduğunu ve riskin az olduğunu, standart sapmanın büyük olması ise aritmetik ortalamadan sapmaların çok olduğunu ve riskin de fazla olduğunu gösterir. ir veri grubunun varyans ve standart sapma aşağıdaki gibi bulunur. b) 1,2,3,3,3,4,4,5,7,7 c) 10,22,38,26,4 I. Veri grubunu n aritmetik ortalaması bulunur. II. Her verinin aritmetik ortalama ile farkının kareleri alınıp toplanır. III. ulunan toplam, veri sayısının 1 eksiğine bölünür bu değer varyanstır IV. Varyansın karekökü alınır. u değer standart sapmadır. Sembolik olarak x i ler veri ve x ortalama olmak üzere varyans= n ( x x i ) 2 i=1 n 1 standart sapma= varyans (UYARI ullanılan Yığın ise paydada n, örneklem ise n- 1 kullanılır) Örnek...14 : 4, 8, 12 verilerinin standart sapmasını bulalım UYARI Aritmetik ortalama dağılımın yaygınlığı hakkında bir bilgi vermez. İki dağılımın aritmetik ortalamaları aynı iken yayılımı farklı olabilir. esela 3, 6, 9 sayılarının aritmetik ortalaması ile 1, 2,15 sayılarının aritmetik ortalamaları 6 dır. irinci dizideki değerler aritmetik ortalamaya çok yakınken ikinci dizideki değerler aritmetik ortalamadan uzaktır. ir dağılımda aritmetik ortalamadan uzaklaştıkça dağılımın yaygınlığı artar. Dağılımın yaygınlığını gösteren terimlerden biri de standart sapmadır. UYARI Aritmetik ortalama, ortanca (medyan), tepe değeri (mod) 'merkezi eğilim"; Örnek...15 : Aşağıdaki verilerinin standart sapmalarını bulunuz a) 1,2,3,4,5 açıklık, çeyrekler açıklığı standart sapma ise " merkezi yayılma" ölçüleridir Alıştırma I. orsada riskin az olduğu yatırım araçlarını bulmak için standart sapma II. ir sınıfta öğrencilerin en sevdiği rengi bulmak için mod III. ir okuldaki en başarılı öğrenciyi bulmak için aritmetik ortalama kullanılabilir. 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 3/6

157 İSAİSİ VERİ İSAİSİİ ESİL İÇİLERİ Grafikler sayesinde sayısal verileri daha hızlı ve kolay yorumlayabiliriz. Grafikler verileri görsel hale getirir ve sonuçları daha çabuk ve sağlıklı ulaşmamızı sağlar ESİLİ VE SÜRELİ VERİLER esikli veri sayılarak elde edilen tam sayılı değerlerdir. elirli bir aralıktaki her gerçek sayı değerini alamayan veri türüdür. Nüfus, bir evdeki insan sayısı gibi. Sürekli veri reel sayı değeri alabilen nicel verilerdir. oy, kütle gibi. Sürekli veriler ölçümle belirtilirler. una göre histogram grafiği şekildeki gibidir işi Sayısı Yaş Aralığı Örnek...17 : Sınıf srkadaşlarına anket yapan urak, arkadaşlarına haftada kaç saatlerini bilgisayar başında geçirdiklerini sormuştur. Arkadaşlarının verdiği cevaplar: 14, 10, 8, 10, 6, 9, 15, 4, 16, 12, 20, 17, 18, 16, 15, 10, 11,12,15,14 olarak verilmiştir. u verilerin 5 gruplu histogram grafiğini oluşturunuz HİSOGRA GRAFİĞİ Verilerin gruplandırılarak sütun grafiği şeklinde gösterilmesine histogram denir. Histogram Grafiği oluşturulurken Adım 1. Veriler küçükten büyüğe doğru sıralanır. Adım 2. Açıklık bulunur. Adım 3. İstenilen grup sayısı belirlenir. Açıklık Adım 4. Grup genişliği Grup sayısı oranından büyük, en küçük doğal sayıdır. Örnek...16 : ir yaz okulunda kampına katılan 18 öğrencinin yaşları 13, 12, 14, 10, 16, 12, 11, 13, 16, 15, 15, 8, 9, 11, 13, 17, 16, 9 olarak verilmiştir. u verileri 4 gruplu histogram grafiğini oluşturalım Adım 1. verileri küçükten büyüğe dizelim: 8,9,9,10,11,11,12,12,13,13,13,14,15,15,16,16,16,17 Adım 2. Açıklık 17-8=9 Adım 3. Genişlik 9 =2,25 olduğundan 3 4 Adım 4. Yaş Aralığı işi Sayısı Örnek...18 : Aslı arkadaşlarına haftada kaç saat kitap okuduklarını sormuş ve topladığı verilere göre grafiği oluşturmuştur. una göre verilerin, açıklık,ortanca, tepe değeri ve aritmetik ortalamasını bulunuz. işi Sayısı Süre (saat) 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 4/6

158 İSAİSİ VERİ GRAFİ ÜRLERİ 1.ÇİGİ GRAFİĞİ ir niteliğin belirli zaman aralıkları içindeki değişimini incelemek için kullanılır. Sürekli verilerin yatay ve düşey eksendeki değerleri işaretlenerek bulunan noktaların düz çizgilerle birleştirilmesi sonucunda elde edilen grafik türüdür. Örnek...21 : Rejim yapan bir kişinin aylara göre ağırlıkları tablodaki gibidir. una göre verilerin çizgi grafiğini yapınız. Ocak 75 Şubat 73 art 70 Nisan 68 ayıs 67 Haziran 64 emmuz 62 Örnek...19 : Aşağıdaki tabloda bir gezegendeki yüzey sıcaklığının ( o C) yıllara göre değişimi verilmiştir. İnceleyiniz , , , ,9 2.SÜUN GRAFİĞİ Nicelikleri karşılaştırmak için kullanılır Sıcaklık o C Örnek...20 : Yıllar Örnek...22 : Aşağıdaki tabloda bir araç parkında günlere göre park eden araçların sayısı verilmiştir. Pazartesi 40 Salı 45 Çarşamba 35 Perşembe 50 Cuma 55 Cumartesi 60 Pazar 80 Yukarıdaki grafik havadaki nem oranın arka arkaya 5 gündeki değerlerini yüzde olarak vermektedir. 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 5/6

159 İSAİSİ VERİ Örnek...23 : Aşağıdaki tabloda bir ülkede yıllara göre üretilen sebze miktarı (milyon ton olarak) verilmiştir , , ,6 3. DAİRE GRAFİĞİ Daire grafiği bir bütünün parçalarını karşılaştırmak için kullanılır Örnek...26 : Aşağıdaki tabloda bir manavda bir günde günlere göre satılan meyve miktarı (kg olarak) verilmiştir Elma 10 Armut 20 uz 25 ayısı 30 Çilek 15 Vişne 20 Çilek 15 Vişne 20 uz 25 Elma 10 ayısı 30 Armut 20 Örnek...24 : Yukarıdaki grafik bir galerinin günlere göre sattığı araba miktarını göstermektedir. Grafiğe göre a) satışların % kaçı 2. Gün yapılmıştır? b) günde ortlama kaç araba satılmıştır? Örnek...25 : Örnek...27 : Yukarıdaki grafik bir matematik test kitabındaki soruların 9,10,11 ve 12 sınıflara göre dağılımını göstermektedir. una göre 10. sınıf sorularının diliminin merkez açısının ölçüsü kaç derece olur? Yukarıdaki grafik beş okulda okuyan kız öğrenci yüzdelerini göstermektedir. Grafiğe göre kızlar tüm öğrencilerin yüzde kaçıdır? 9. Sınıf atematik onu Anlatımı 6/6