Öklid-Elementler-Kitap 1

Transkript

1 Öklid-lementler-Kitap 1 1

2 Çevirenin notu u metin Richard itzpatrick tarafından 2007 yılında yayınlanan uclid s lements of eometry adlı ve internet aracılığıyla indirilebilen İngilizce çeviriden yapılmış bir çeviridir. Öklid in lementler i 13 kitaptan oluşmaktadır. urada yalnızca ilk kitabın çevirisi verilmektedir. İngilizce çeviride eski Yunancada yazılmış olan asıl metin de verilmektedir. Çevirinin doğrudan esas metinden yapılmamış olmasının tek nedeni çeviriyi yapanın eski Yunanca bilmemesidir. Çevirirken, doğal olarak bazı tercihler yapılmıştır. Tercihlerin bazıları alışılmadık olabilir. Örneğin ingilizce proposition karşışığı olarak, önerme değil belit kelimesi, daha önce geometri kitaplarında kullanılan doğru çizgi terimi yerine düz çizgi terimi kullanılmıştır vs. akat isteyenler -değişik metnin içinde isimlerini ve metnin değiştirilmiş olduğunu belirtmek şartıyla- bu metni kendi tercihleri doğrultusunda değiştirebilir. Çevirideki amaçlardan biri de orjinal metnin havasını mümkün olduğu kadar yansıtabilmektir. İngilizce çevirinin yazarı esas metne mümkün olduğu kadar sadık kalmaya çalışıldığını söylemektedir. u çeviride de ingilizce metne mümkün olduğu kadar sadık kalınmaya çalışılmıştır. yrıca cümlelerin sadece anlamını değil, yapısını da bire bir yansıtabilmek için uğraşılmıştır. sas metinde olmadığı için dipnotlar çevrilmemiştir ama parantez içi yazılar muhafaza edilmiştir. akat İngilizce çevirideki bazı hususlar, eski Yunanca ile bu dil arasında büyük bir fark olduğunu düşündürmektedir. İngilizce ve Türkçe arasındaki farkın da büyük olması, orjinal metnin havasının yansıtılması konusunda başarısız olunmuş olabileceğini göstermektedir. Mümkün oldukça diğer kitapların da çevirisinin yapılmasına çalışılacaktır. Ufuk eniz Yar 25 Kasım

3 Terimler belit belli, bellek, belirmek gibi kelimelerin varlığı nedeniyle belmek gibi bir fiilin var olduğu varsayılarak, bu fiilden, yazmak fiilinden yazıt ın türetilmesine benzer şekilde türetilmiştir. ize göre belit kelimesinin, ortaya çıkan ve kaydedilen şey gibi bir anlamı vardır ve burada, artık belli olmuş gerçek/yöntem yada ortaya çıkmış gerçek/yöntem anlamında kullanılmıştır. 1 1 u kelimenin daha önceden, postulat yani doğruluğu baştan kabul edilen tez yada ispata ihtiyaç duymayan gerçek anlamında kullanıldığı anlaşılmaktadır. erçekler çok çeşitli yollarla ortaya çıkabilir yada çıkarılabilir. unlardan biri de kanıtlamadır. Terimin anlamı gerçeklerin nasıl ortaya çıktığından bağımsızdır. olayısıyla bunu, sadece postulatlar için değil, her türlü gerçek/yöntem için kullanabiliriz. 3

4 Karşılıklar rectangle parallelogram rectangular extremity rhombus rhomboid trapezia common notion inclination plane straight-line to postulate coinciding thus therefore so falling across rectilinear the very thing complement to construct to produce to describe equilateral subtend straight-on on dikdörtgen paralelkenar dik açılı bitiş yerleri paralelkare paraleldörtgen yamuk genel geçer eğim düzlem düz çizgi olur kılmak çakışım böylece bu nedenle, bundan dolayı o halde üzerinden geçmek düzgen bu da tam olarak tamamlayıcı, tümleyici oluşturmak, inşa etmek türetmek çizmek eşkenar karşısında doğrultusunda üstünde 4

5 LMNTLR KİTP 1 üz çizgileri kapsayan düzlem geometrisinin temelleri Tanımlar 1. ir nokta parçası olmayandır. 2. Ve bir çizgi, eni olmayan uzunluktır. 3. Ve bir çizginin bitiş yerleri noktalardır. 4. ir düz çizgi, noktalarla, kendi üzerinde düzgün olarak yayılandır Ve bir yüzey, sadece eni ve uzunluğu olandır. 6. Ve bir yüzeyin bitiş yerleri çizgilerdir. 7. ir düzlem, düz çizgilerle, kendi üzerinde düzgün olarak yayılandır. 8. Ve bir düzlem açı, iki çizgi aynı düzlemde birbirleriyle buluşuyor ve bir düz çizgi oluşturmuyorsa bu çizgilerin birbirlerine göre yaptığı eğimdir. 9. Ve eğer bir açıyı kapsayan çizgiler düzse, bu açıya düzgen açı denir. 10. Ve bir (başka) düz çizgi üzerinde duran bir düz çizgi, (diğer çizgiyle) birbirine eşit bitişik açılar yapıyorsa, o açıların herbiri dik açıdır ve bu çizginin üzerinde durduğu diğerine dik olduğu söylenir. 11. ir geniş açı, dik açıdan büyük olandır. 12. Ve bir dar açı, dik açıdan küçük olandır. 13. ir sınır, bir şeyin bitiş yeridir. 14. ir şekil, bir sınır yada sınırların kapsadığı şeydir. 15. ir daire, [çember denilen] bir çizgi tarafından kapsanan bir düzlem şekildir öyle ki şeklin içindeki noktaların birinden [çembere doğru] yayılan bütün düz çizgiler eşit uzunluktadır. 16. Ve bu noktaya dairenin merkezi denir. 17. Ve dairenin bir çapı merkezden geçirerek çizilmiş ve her yönde çemberde sonlandırılmış herhangi bir düz çizgidir. öyle herhangi bir çizgi aynı zamanda çemberi ikiye böler. 18. Ve bir yarım daire, bir çap ve bu çapın bölüp ayırdığı çember tarafından kapsanan şekildir. Ve yarım dairenin merkezi daireninki ile aynıdır. 19. üzgen şekiller düz çizgiler tarafından kapsananlardır: üçgen şekiller üç düz çizgi, dörtgen şekiller dört, ve çokgen şekiller dörtten fazla düz çizgi tarafından kapsananlardan oluşur. 20. Ve üçgen şekillerden: eşkenar bir üçgen üç eşit kenara, ikizkenar bir üçgen iki eşit kenara, ve eşkenarsız bir üçgen eşit olmayan kenarlara sahip olanlardır. 21. Ve üçgen şekillerden biraz daha: bir dik üçgen bir dik açıya, bir geniş üçgen bir geniş açıya ve bir dar üçgen üç dar açıya sahip olandır. 22. Ve dörtgen şekillerden: bir kare dik açılı ve eşit kenarlı, bir dikdörtgen dik açılı fakat eşit kenarlı olmayan, bir paralelkare eşit kenarlı fakat dik açılı olmayan, bir paraleldörtgen karşıt kenarları ve açıları eşit fakat dik açılı ve eşkenarlı olmayandır. Ve bunların dışında kalan diğer dörtgen şekiller yamuk olarak adlandırılır. 23. ynı düzlem üzerinde ve heryönde sonsuza uzatılmış paralel çizgiler, birbirleriyle (bu yönlerin) hiçbirinde buluşmayan düz çizgilerdir. 2 u ifadenin aslı olan straight line is (any) one which lies evenly with points on itself cümlesinin son kısmının..(with points) on itself şeklinde mi,..with (points on itself) şeklinde mi yoksa bambaşka bir şekilde mi okunması gerektiği pek açık değildir. iz ilkinin doğru olduğunu düşünerek, buna göre çevirdik. 5

6 Postulatlar 1. Herhangi bir noktadan herhangi bir noktaya bir düz çizgi çizmek, 2. ve bir düz çizgiden devamla sonlu bir düz çizgi üretmek, 3. ve herhangi bir merkeze ve çapa sahip bir daire çizmek, 4. ve bütün dik açıların birbirine eşit olması, 5. ve iki düz çizginin üstüne düşen bir düz çizgi, (kendisinin) bir tarafında (toplamı) iki dik açıdan küçük iç açılar yapıyorsa, sonsuza kadar uzatılan (diğer) iki düz çizginin, (iç açılar toplamı) iki dik açıdan küçük olan o tarafta buluşması (ve diğer tarafta buluşmaması) olur kılınmış olsun. enel geçerler(en.g.) 1. ynı şeye eşit olan şeyler birbirlerine de eşittir. 2. Ve eğer eşit şeyler eşit şeylere eklenirse toplamlar eşit olur. 3. Ve eğer eşit şeyler eşit şeylerden çıkarılırsa kalanlar eşit olur. 4. Ve birbirleriyle çakışan şeyler birbirlerine eşittir. 5. Ve bütün parçadan büyüktür. elit 1. Verilen bir düz çizgiden bir eşkenar üçgen oluşturmak verilen bir düz çizgi olsun. O halde şimdi çizgisinden bir eşkenar üçgen oluşturulması gerekiyor. merkezli ve yarıçaplı dairesi ile merkezli ve yarıçaplı dairesi çizilmiş olsun [Post. 3]. İki dairenin birbirini kestiği noktasından sırasıyla ve noktalarına ve düz çizgileri çizilmiş olsun [Post 1]. Ve noktası dairesinin merkezi olduğu için ve birbirine eşittir. Yine noktası dairesinin merkezi olduğu için ve birbirine eşittir. akat nın ye eşit olduğu gösterilmişti. u nedenle, ve nin herbiri ye eşittir. akat aynı şeye eşit olan şeyler aynı zamanda birbirine eşittir. u yüzden,, aynı zamanda ye eşittir. O halde üç düz çizgi, ve birbirlerine eşittir. öylece, üçgeni eşkenardır ve verilen sonlu düz çizgisinden türetilmiştir. u da tam yapılması talep edilen şeydir. elit 2. Verilen bir düz çizgiye eşit ve bitim yeri verilen bir nokta olan bir düz çizgi oluşturmak. verilen düz çizgi ve verilen nokta olsun. O halde düz çizgisine eşit bir düz çizgiyi noktasına yerleştirmek gerekiyor. 6

7 K H L noktası ile noktası düz çizgisi ile birleştirilsin [Post. 1] ve bu çizgi temelinde eşkenar üçgeni oluşturulsun [elit 1.1]. Ve ve üzerinden sırasıyla ve düz çizgileri üretilsin [Post. 2]. Ve merkezli ve yarıçaplı H çemberi çizilsin ve yine merkezli ve yarıçaplı KL çemberi çizilsin. u nedenle,, H çemberinin merkezi olduğu için,, ye eşit olur [Tanım 1.15]. Yine, KL çemberinin merkezi olduğu için, L, ye eşit olur [Tanım 1.15]. Ve bunların içinde, ye eşittir. öylece kalan çizgi L, kalan çizgi ye eşittir [en.g. 3]. akat nin ye eşit olduğu gösterilmişti. öylece, L ve her ikisi birden ye eşittir. akat aynı şeye eşit olan şeyler birbirine eşittir [en.g. 1]. öylece, L, aynı zamanda ye eşittir. öylece, ye eşit olan L düz çizgisi noktasına yerleştirilmiştir. u da tam yapılması talep edilen şeydir. elit 3. Verilen ve eşit olmayan iki düz çizginin büyüğünden küçüğüne eşit bir çizgiyi kesip çıkarmak. daha büyük olmak üzere, ve verilen ve eşit olmayan iki düz çizgi olsun. O halde çizgisinden ye eşit bir parçayı kesip çıkarmak gerekmektedir. ye eşit bir düz çizgisi noktasına yerleştirilsin [elit 1.2]. Ve merkezli ve yarıçaplı çemberi çizilsin [Post. 3]. Ve noktası dairesinin merkezi olduğu için,, ye eşittir. akat aynı zamanda, ye eşittir. öylece ve nin ikisi birden ye eşittir. O halde aynı zamanda ye eşittir. öylece, verilen ve eşit olmayan ve düz çizgilerinden, ye eşit olan, den çıkarılmış olur. u da tam yapılması talep edilen şeydir. elit 4. ğer bir üçgenin iki kenarı diğer bir üçgenin iki kenarına eşit ve bu kenarların oluşturduğu açılar birbirine eşitse, o zaman bunların tabanları ve kalan açıları da birbirine eşittir. ve, ve kenarları ve kenarlarına eşit iki üçgen olsun. Yani, ye ve, ye eşit olsun. Ve açısı açısına eşit olsun. O halde tabanının tabanına, üçgeninin üçgenine ve eşit kenarlara tekabül eden diğer açıların da birbirine eşit olduğunu söylüyorum.. Yani, ye ve, ye eşittir. 7

8 ğer üçgeni üçgeniyle çakıştırılırsa, noktası noktasına ve düz çizgisi düz çizgisi üzerine gelirse, nin ye eşit olması sebebiyle, noktası da noktasıyla çakışır. O halde, ile çakıştığı için, açısının açısına eşit olması sebebiyle, düz çizgisi, ile çakışır. O halde yine nin ye eşit olması sebebiyle, noktası noktasıyla çakışır. akat, noktası da elbette noktasıyla çakışır, o halde tabanı tabanıyla çakışır. ğer, ile ve, ile çakıştığı halde,, ile çakışmazsa, bu iki düz çizgi bir alanı çevirir. u ise imkansızdır [Post. 1]. öylece tabanı tabanı ile çakışır ve eşittir [en.g. 4]. O halde üçgeni bir bütün olarak üçgeni ile çakışır ve ona eşittir [en.g. 4]. Ve kalan açılar diğer kalan açılarla çakışır ve birbirlerine eşittir [en.g. 4]. Yani, ye ve, ye [en.g. 4]. O halde eğer bir üçgenin iki kenarı diğer bir üçgenin iki kenarına eşit ve bu kenarların içerdiği açılar birbirine eşitse, o zaman bunların tabanları birbirine, ve bir üçgen diğerine ve eşit kenarlara tutturulmuş diğer açılar da birbirine eşittir. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir.. elit 5. İkizkenar üçgenlerde, taban açıları birbirine eşittir ve eşit kenarlar uzatıldığında tabanın altında kalan açılar birbirine eşit olur. üçgeni, kenarı kenarına eşit olan bir ikizkenar üçgen olsun ve ile çizgileri, sırasıyla ile çizgilerinin devamı olarak çizilmiş olsun. u durumda açısı ile açısının ve açısı ile açısının birbirine eşit olduğunu söylüyorum. çizgisi üzerinde rastgele bir noktası için, düz çizgisine eşit bir düz çizgisi daha büyük olan çizgisinden kesilmiş olsun [elit 1.3]. ynı zamanda, ve çizgileri yerleştirilmiş olsun. erçekte,, ye ve, ye eşit olduğu için ile düz çizgileri sırasıyla ve çizgilerine eşit olur. u çizgiler ayrıca ortak açısını kapsarlar. öylece taban taban ye, üçgeni üçgenine ve kalan açılardan eşit kenarlara bağlanmış olanlar eşit kenarlara bağlanmış olanlara eşit olurlar[elit 1.4]. Yani açısı açısına ve açısı açısına. Ve nin bütünü nin bütününe ve içlerindeki parçası parçasına eşit olduğu için kalan parçası kalan parçasına eşit olur. akat nin ye eşit olduğu gösterilmişti. O halde ile, sırasıyla ile ye eşit ve açısı açısına eşit ve tabanı bunlara ortaktır. öylece üçgeni üçgenine ve eşit kenarlara bağlı açılar eşit kenarlara bağlı açılara eşittir. Yani, açısı açısına ve açısı açısına eşittir. O halde, açısının bütününün açısının bütününe eşit olduğu gösterildiği ve bunların parçası parçasına eşit olduğu için, kalan açısı kalan açısına eşittir. Ve bu açılar üçgeninin taban açılarıdır. Ve açısının açısına sahip olduğu gösterilmişti. Ve bunlar tabanın altındaki açılardır. öylece, ikiz kenar üçgenlerin taban açıları birbirine eşit ve eğer ikiz kenarlar uzatılırsa tabanın altında kalan açılar da birbirine eşit olur. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. elit 6. 8

9 ğer bir üçgenin iki açısı birbirine eşit ise, bu durumda bu açıları oluşturan kenarlar da birbirine eşit olur. üçgeninde, açısı açısına eşit olsun. u durumda kenarının kenarına eşit olduğunu söylüyorum. ğer kenarı kenarına eşit değil ise bunlardan biri diğerinden büyüktür. üyük olan kenarı olsun. Ve küçük olan ye eşit olan düz çizgisi büyük olan den çıkarılmış olsun. Ve düz çizgisi yerleştirilmiş olsun. öylece,, ye eşit ve ortak olduğu için, ile kenarları sırasıyla ile kenarlarına ve açısı açısına eşit olur. öylece, tabanı tabanına, üçgeni üçgenine ve küçük olan büyük olana eşit olur. u kavram saçmadır. O halde nin ye eşit olmadığı doğru değildir. O halde bunlar eşittir. öylece, eğer bir üçgen birbirine eşit iki açıya sahipse, o zaman bunların bağlandığı kenarlarda birbirine eşittir. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. elit 7. ir düz çizginin üstünde çatılmış verili iki düz çizgiye eşit, onlarla aynı uçlara sahip ve aynı yanda olan iki diğer düz çizgi, eşit olduğu çizgilerin buluşmuş olduğu noktadan farklı bir noktada buluşturulamaz. ğer mümkünse, aynı düz çizgisi üzerinde ve ( nin) aynı tarafında oluşturulmuş, ve gibi iki farklı noktada buluşmuş ve ( üzerinde) aynı uçlara sahip olan,, düz çizgileri ile sırasıyla bunlara eşit olan, düz çizgileri olsun. O halde aynı ucuna sahip olan, ya ve aynı ucuna sahip olan, ye eşittir. Ve çizilmiş olsun [Post. 1]. uradan,, ye eşit olduğu için, açısı da açısına eşit olur [elit 1.5]. öylece,, den büyüktür [en.g. 5]. öylece,, den çok daha büyüktür [en.g. 5]. Yine, ye eşit olduğu için açısı aynı zamanda açısına eşit olur [elit 1.5]. akat ilk açının (sonraki açıdan) çok daha büyük olduğu gösterilmişti. u ise tamamen imkansızdır. öylece, bir düz çizginin üstünde çatılmış verili iki düz çizgiye eşit, onlarla aynı uçlara sahip ve aynı yanda olan iki diğer düz çizgi, eşit olduğu çizgilerin buluşmuş olduğu noktadan farklı bir noktada buluşturulamaz. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. elit 8. ğer iki üçgen karşılıklı eşit iki kenara sahipse ve aynı zamanda tabanları birbirine eşitse, o zaman bunların karşılıklı eşit olan kenarlarının kapsadığı açılar da eşittir. ve, ve kenarları sırasıyla ve kenarlarına eşit olan iki üçgen olsun. Yani, ye ve, ye eşit olsun. ynı zamanda bunların tabanı tabanına eşit olsun. Şimdi aynı zamanda açısının açısına eşit olduğunu söylüyorum. 9

10 üçgeni üçgenine uygulandığı, noktası noktası üzerine ve düz çizgisi düz çizgisi üzerine yerleştirildiği takdirde, şayet,, ye eşitse, aynı zamanda noktası ile çakışacaktır. O halde, tabanı tabanı ile çakıştığı için, ve kenarları da sırasıyla ve kenarlarıyla çakışacaktır. Şayet tabanı tabanı ile çakışır, fakat ve kenarları sırasıyla ve ile çakışmazsa, fakat ve gibi (şekilde gösterildiği gibi) olursa, o zaman bir düz çizginin üstünde çatılmış verili iki düz çizgiye eşit, onlarla aynı uçlara sahip ve aynı yanda olan iki diğer düz çizgi, eşit olduğu çizgilerin buluşmuş olduğu noktadan farklı bir noktada buluşturulmuş olur. akat böyle bir şey yapılamaz [elit. 1.7]. öylece tabanı tabanına uygulanırken, ve kenarları (sırasıyla) ve kenarlarıyla çakışamaz. öylece bunlar çakışır. O halde açısı aynı zamanda açısıyla da çakışır ve ona eşittir [en.g. 4]. öylece eğer iki üçgenden birinin iki kenarı sırasıyla diğerinin iki kenarına ve aynı zamanda tabanları birbirine eşitse, o zaman bunlardan birinin iki kenarının kapsadığı açı diğerinin sırasıyla eşit olan iki kenarının kapsadığı açıya eşittir. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. elit 9. üzgen bir açıyı ikiye bölmek. verili düzgen açı olsun. O halde şimdi bunun ikiye bölünmesi gerekir. üzerinde rastgele bir noktası alınsın ve ye eşit olan, den çıkartılmış olsun, ve noktaları arası birleştirilsin. Ve üzerinde eşkenar üçgeni oluşturulmuş ve noktaları arası çizilmiş olsun. açısının düz çizgisi tarafından ikiye bölünmüş olduğunu söylüyorum., ye eşit ve ortak olduğu için ve düz çizgileri sırasıyla ve çizgilerine eşittir. Ve tabanı tabanına eşittir. O halde açısı açısına eşittir [elit 1.8]. öylece, verilen düz açısı düz çizgisi tarafından ikiye bölünmüş olur. u da tam yapılması talep edilen şeydir. elit 10. Verilen sonlu bir düz çizgiyi yarıya bölmek. verilen sonlu düz çizgi olsun. O halde şimdi sonlu düz çizgisini yarıya bölmek gerekmektedir. üzerine eşkenar üçgeni oluşturulmuş olsun ve açısı düz çizgisi ile ikiye bölünmüş olsun. düz çizgisinin noktasında yarıya bölünmüş olduğunu söylüyorum., ye eşit olduğu ve ortak olduğu için, ve düz çizgileri sırasıyla ve düz çizgilerine eşit olur. Ve açısı açısına eşit olur. öylece tabanı tabanına eşittir [elit 1.4]. öylece düz çizgisi, noktasında yarıya bölünmüş olur. u da tam yapılması talep edilen şeydir. 10

11 elit 11. Verilen bir noktadan başlayan ve verilen bir düz çizgiye dik açı yapan bir düz çizgi çizmek. verilen düz çizgi ve bunun üzerindeki verilen bir nokta olsun. O halde noktasından düz çizgisine dik açılı bir düz çizgi çizilmesi gerekmektedir. noktası düz çizgisi üzerinde rastgele alınmış, ve, ye eşit kılınmış, ve eşkenar üçgeni üzerine kurulmuş, ve birleştirilmiş olsun. düz çizgisinin düz çizgisine verilen bir noktasından dik açı yaparak çizildiğini bildiriyorum., ye eşit ve ortak olduğu için,, düz çizgileri, sırasıyla, düz çizgilerine eşittir. Ve tabanı tabanına eşittir. öylece açısı açısına eşittir [elit 1.8], ve birbirlerine bitişiktir. akat ne zaman bir düz çizgi üzerindeki bir düz çizgi bitişik açıları eşit yaparsa, o zaman eşit açıların her biri bir dik açıdır [Tanım 1.10]. O halde ve açılarının herbiri bir dikaçıdır. O halde düz çizgisi düz çizgisine verilen bir noktasından dik açı yaparak çizilmiştir. u da tam yapılması talep edilen şeydir. elit 12. Verilen bir sonsuz düz çizgiye dışından ona dik bir düz çizgi çizmek. verilen sonsuz düz çizgi ve bunun dışındaki verilen nokta olsun. O halde verilen sonsuz düz çizgisine dışındaki noktasından ona dik bir düz çizgi çizilmesi gerekmektedir. H düz çizgisinin noktasının bulunduğu tarafın ters tarafında rastgele bir noktası alınmış, ve merkezli, yarıçaplı çemberi çizilmiş [Post. 3], ve düz çizgisi H noktasında yarıya bölünmüş, ve,h ile düz çizgileri çizilmiş olsun. sonsuz düz çizgisine, dışındaki noktasından ona dik H düz çizgisinin çizilmiş olduğunu bildiriyorum. H, H ye eşit ve H ortak olduğu için, H,H düz çizgileri sırasıyla H,H ye eşittir, ve tabanı tabanına eşittir. öylece H açısı H açısına [elit 1.8] eşittir ve birbirlerine bitişiktir. akat ne zaman bir düz çizgi üzerindeki (diğer) bir düz çizgi bitişik açıları eşit yaparsa, o zaman eşit açıların her biri bir dik açıdır, ve diğer düz çizgi üzerinde durduğu düz çizgiye diktir [Tanım 1.10]. öylece sonsuz düz çizgisine dışındaki noktasından ona dik H düz çizgisi çizilmiştir. u da tam yapılması talep edilen şeydir. elit 13. ir düz çizginin üzerinde dikildiği diğer bir düz çizgiyle yaptığı açılar ya iki dik açıdır yada toplamları iki dik açının toplamına eşittir. düz çizgisi üzerine dikilen düz çizgisi ve açılarını oluştursun. ve açılarının ya dik açılar olduklarını yada toplamlarının iki dik açının toplamına eşit olduklarını söylüyorum. 11

12 erçekte eğer,, ye eşitse o zaman bunlar dik açılardır [Tanım 10]. akat eğer değilse yle dik açı yapan bir çizgisi üzerine yerleştirilsin [elit 1.11]. öylece ve iki dik açı olur. Ve, ve açılarının toplamı kadar olduğu için, ikisine eklensin. öylece ve nin toplamı, üç açının,, ve nin toplamı kadar olur [en.g. 2]. Yine, iki açıya, ve ya eşit olduğu için, her ikisine eklensin. öylece ve nin toplamı, üç açının,, ve nin toplamına eşit olur. akat ve nin toplamının da bu üç açıya eşit olduğu gösterilmişti. Ve aynı şeye eşit olan şeyler aynı zamanda birbirine eşittir [en.g. 1]. öylece, ve nin toplamları da ve nin toplamlarına eşittir. akat ve nin toplamları iki dik açı eder. öylece ve nin toplamları da iki dik açı eder. O halde, bir düz çizginin üzerinde dikildiği diğer bir düz çizgi yaptığı açılar ya iki dik açıdır yada toplamları iki dik açının toplamına eşittir. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. elit 14. ğer iki düz çizginin bir başka çizgi ile, bu çizginin iki tarafında yer almak şartıyla, bir noktada yaptığı açılar iki dik açıya eşitse o zaman bu iki çizgi aynı yönde uzanır. ve düz çizgilerinin, düz çizgisiyle, bu çizginin iki tarafında yer almak şartıyla, noktasında yaptığı ve açılarının toplamı iki dik açıya eşit olsun. nin ile aynı yönde uzandığını söylüyorum. ğer,, ile aynı yönde değilse o zaman düz çizgisi ile aynı yönde olsun. öylece, düz çizgisi, düz çizgisi üzerinde yer aldığı için, ve açılarının toplamı iki dik açıya eşit olur [elit. 1.13]. akat ve açılarının toplamı da iki dik açı eder. O halde ve açılarının toplamı ve açılarının toplamına eşittir [en.g. 1]. açısını her iki toplamdan çıkaralım. öylece kalan, kalan açısına [en.g. 3], yani küçük olan büyüğe eşit olur. u se imkansızdır. O halde, ile aynı yönde uzanmaz. enzer şekilde den başka herhangi bir düz çizgi için aynı şeyi gösterebiliriz. O halde, ile aynı yöndedir. öylece, bir düz çizginin üzerinde dikildiği diğer bir düz çizgiyle yaptığı açılar ya iki dik açıdır yada toplamları iki dik açının toplamına eşittir. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. elit 15. ğer iki düz çizgi birbirini keserse yukarıda ve aşağıda yaptıkları ters açılar birbirine eşit olur. ve düz çizgileri birbirlerini noktasında kessinler. açısının açısına ve açısının açısına eşit olduğunu söylüyorum. 12

13 çizgisi ve açılarını oluşturarak çizgisine oturduğu için, ve açılarının toplamı iki dik açı eder [elit 1.13]. Yine çizgisi ve açılarını oluşturarak çizgisine oturduğu için, ve açılarının toplamı iki dik açı eder [elit 1.13]. akat ve toplamının iki dik açıya eşit olduğu gösterilmişti. öylece ve toplamı ve toplamına eşittir [en.g. 1]. her iki toplamdan çıkarılsın. öylece kalan kalan ye eşit olur [en.g. 3]. enzer şekilde ve nın eşit olduğu gösterilebilir. öylece eğer iki düz çizgi birbirini keserse yukarıda ve aşağıda yaptıkları ters açılar birbirine eşit olur. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. elit 16. Herhangi bir üçgen için, kenarlarından biri uzatıldığında oluşacak dış açı, üçgenin diğer taraflarında kalan iki iç açısının herbirinden büyük olur. bir üçgen olsun ve kenarlarından biri olan, noktasına doğru uzatılsın. dış açısının üçgenin diğer taraflarında kalan iki iç açısı olan ve den daha büyük olduğunu söylüyorum. düz çizgisi noktasında ortasından ikiye bölünsün [elit 1.10]. Ve çizilen çizgisi noktasına kadar uzatılsın. Ve, ye eşit yapılsın [elit 1.3] ve çizgisi çizilsin ve çizgisi ucu noktası olmak üzere uzatılsın. öylece,, ye ve, ye eşit olduğu için ve düz çizgileri sırasıyla ve çizgilerine eşit olur. yrıca birbirlerinin zıttı oldukları için açısı açısına eşittir [elit 1.15]. O halde tabanı tabanına, ve üçgeni üçgenine, ve bir üçgende eşit kenarların karşısında yer alan diğer açılar, diğer üçgendeki karşılık gelen açılara eşit olur [elit 1.4]. O halde,, ye eşit olur. akat, den büyüktür. O halde,, den büyüktür. enzer şekilde yi yarıya bölerek nin-ve aynı zamanda nin- den büyük olduğu gösterilebilir. O halde, herhangi bir üçgen için, kenarlarından biri uzatıldığında oluşacak dış açı, üçgenin diğer taraflarında kalan iki iç açısının herbirinden büyük olur. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. elit 17. Herhangi bir üçgenin herhangi iki açısının toplamı iki dik açıdan küçüktür. bir üçgen olsun. üçgeninin herhangi iki açısının toplamının iki dik açıdan küçük olduğunu söylüyorum., ye doğru uzatılsın. Ve açısı üçgeninin dış açısı olduğu için iç açısından daha büyüktür [elit 1.16]. açısı her ikisine de eklensin. öylece ve toplamı ve toplamından büyüktür. akat ve toplamı iki dik açı eder [elit 1.13]. öylece ve toplamı iki dik açıdan küçük olur. 13

14 enzer şekilde ve toplamının da iki dik açıdan küçük olduğunu gösterebiliriz ve yine ile toplamı da iki dik açıdan küçük olur. öylece, herhangi bir üçgenin herhangi iki açısının toplamı iki dik açıdan küçüktür. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. elit 18. Herhangi bir üçgende daha büyük kenarlar daha büyük açıların karşısında yer alır. kenarı kenarından daha büyük bir üçgeni olsun. açısının da açısından daha büyük olduğunu söylüyorum., den büyük olduğu için, ye eşit bir çizgisi oluşturalım [elit 1.3] ve yi birleştirelim. Ve açısı üçgeninin dış açısı olduğu için iç açısından büyüktür [elit 1.16]. akat, ye eşittir çünkü kenarı kenarına eşittir [elit 1.5]. öylece aynı zamanda den büyüktür. öylece,, den çok daha büyüktür. öylece, herhangi bir üçgende daha büyük kenarlar daha büyük açıların karşısında yer alır. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. elit 19. Herhangi bir üçgende daha büyük açılar daha büyük kenarları karşılar. açısı açısından daha büyük bir üçgeni olsun. kenarının da kenarından daha büyük olduğunu söylüyorum. ğer böyle değilse, ya ye eşittir yada ondan küçüktür. erçekte,, ye eşit değildir. Öyle olsaydı, aynı zamanda, açısı açısına eşit olurdu [elit 1.5]. akat değildir. O halde,, ye eşit değildir. Ne de, gerçekte,, den küçüktür. Öyle olsaydı, açısı da açısından küçük olurdu [elit 1.18]. akat değildir. O halde,, den küçük değildir. akat aynı zamanda nin ye eşit olmadığı gösterilmişti. O halde,, den büyüktür. öylece herhangi bir üçgende daha büyük açılar daha büyük kenarları karşılar. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. elit 20. Herhangi bir üçgende herhangi iki kenarın toplamı kalan kenardan büyüktür. bir üçgen olsun. üçgeninde herhangi iki kenarın toplamının kalan kenardan daha büyük olduğunu söylüyorum. Öyle ki ile, den, ile, den, ve ile, den büyüktür. 14

15 , noktasına doğru uzatılsın, ve, ya eşit olsun [elit 1.3], ve arası çizilsin. öylece,, ye eşit olduğu için, açısı da açısına eşit olur [elit 1.5]. O halde, den büyüktür. Ve, açısı den büyük olan bir üçgen olduğu ve büyük açı büyük kenarın karşısında yer aldığı için [elit 1.19],, den büyüktür.akat, ye eşittir. O halde ile toplamı den büyüktür. enzer şekilde ile toplamının dan büyük olduğunu da gösterebiliriz, ve ile toplamının dan büyük olduğunu da. O halde, herhangi bir üçgende herhangi iki kenarın toplamı diğer kenardan büyüktür. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. elit 21. ğer bir üçgenin bir kenarının iki köşesinden ve üçgenin içinde iki düz çizgi oluşturulursa bunlar üçgenin kalan kenarlarından daha küçük, fakat kapsadıkları açı daha büyük olur. üçgeninin kenarının ve köşesinden sırasıyla ve gibi iki içsel düz çizgi çizilsin. ve çizgilerinin üçgenin diğer kenarları ve den daha küçük fakat kapsadıkları açısının den büyük olduğunu söylüyorum. çizgisi ye doğru çizilsin. Ve herhangi bir üçgende iki kenarın toplamı kalan kenardan büyük olduğu için [elit. 1.20], üçgeninde iki kenar ve böylece den büyüktür. öylece, ile, ile den büyüktür. Yine üçgeninde iki kenar ile, den daha büyük olduğu için, her ikisine katılmış olsun. u durumda ile, ile den büyüktür. akat ile nin ile den büyük olduğu gösterilmişti. öylece, ile, ile den çok daha büyüktür. Yine herhangi bir üçgende dış açılar ters yönlerindeki iç açılardan büyük olduğu için [elit 1.16], üçgenindeki dış açısı açısından büyüktür. enzer şekilde, yine aynı sebepten, üçgeninin dış açısı, den büyüktür. akat nin den büyük olduğu gösterilmişti. O halde,, den çok daha büyüktür. O halda, eğer bir üçgenin bir kenarının iki köşesinden ve üçgenin içinde iki düz çizgi oluşturulursa bunlar üçgenin kalan kenarlarından daha küçük, fakat kapsadıkları açı daha büyük olur. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. elit 22. Verilen üç düz çizgiye eşit düz çizgilerden üçgen oluşturmak. Herhangi bir üçgende herhangi iki kenarın birlikte, kalan kenardan daha büyük oldukları gerçeğine istinaden çizgilerden herhangi iki tanesinin birlikte, kalan çizgiden daha büyük olması gereklidir., ve verilen üç düz çizgi olsun, öyle ki herhangi iki tanesi birlikte, kalan çizgiden büyük olsun. öylece, ile, den, ile, den ve ile, dan büyüktür. O halde, ve ye eşit düz çizgilerden bir üçgen oluşturmak gerekmektedir. 15

16 K H L de sonlanan fakat yönünde sonsuz bir çizgisi oluşturulsun. Ve, ya, ve, ye ve H, ye eşit yapılsın [elit 1.3]. Ve merkezli ve yarıçaplı KL çemberi çizilsin. Yine merkezli ve H yarıçaplı KLH çemberi çizilmiş olsun. Ve K ile K çizilmiş olsun. Üçgen K nin, ve ye eşit düz çizgilerden oluşturulmuş olduğunu söylüyorum. noktası KL çemberinin merkezi olduğu için,, K ye eşittir. akat, ya eşittir. O halde K de ya eşittir. Yine noktası LKH çemberinin merkezi olduğu için, H, K ye eşittir. akat H, ye eşittir. O halde, K de ye eşittir. Ve de ye eşittir. O halde K, ve K düz çizgileri (sırasıyla), ve ye eşittir. O halde K üçgeni, sırasıyla, ve düz çizgilerine eşit olan K, ve K düz çizgilerinden oluşturulmuştur. u da tam yapılması talep edilen şeydir. elit 23. Verilen bir düz çizgi üzerinde, verilen bir noktada, verilen bir düzgen açıya eşit düzgen açı oluşturmak. verilen düz çizgi, bu çizgi üzerinde verilen nokta ve verilen düzgen açı olsun. O halde, verilen düz çizgisi üzerinde, verilen noktasında, verilen düz açısına eşit bir düz açı oluşturmak gerekmektedir. ve (düz çizgileri) üzerinde, (sırasıyla) ve gibi rastgele iki nokta alınsın ve noktaları arası çizilmiş olsun. Ve üçgeni, ve çizgilerine eşit üç düz çizgiden oluşturulmuş olsun, öyleki, ye,, ye ve, ye eşit olsun [elit 1.22]. uradan, (düz çizgiler) ile sırasıyla, (düz çizgiler) ile ye eşit oldukları için ve taban, taban ye eşit olduğu için, açısı böylece açısına eşittir [elit 1.8]. öylece düz açısına eşit bir düz açısı, verilen düz çizgisi üzerindeki verilen noktası üzerinde oluşturulmuş oldu. u da tam yapılması talep edilen şeydir. elit 24. ğer, iki üçgenin karşılıklı eşit iki kenarları varsa, fakat birinin bu eşit karşılıklı kenarlarının kapsadığı açı diğerinin (benzer) açısından daha büyük ise, o zaman bu üçgenin tabanı da diğerininkinden daha büyüktür. ve, birinin ve kenarları sırasıyla diğerinin ve kenarlarına eşit olan iki üçgen olsun. Yani, ye ve, ye eşittir. ynı zamanda, daki açı deki açıdan büyük olsun. tabanının da tabanından büyük olduğunu söylüyorum. 16

17 açısı açısından büyük olduğu için, açısına eşit bir açısı, düz çizgisi üzerinde noktasında oluşturulmuş olsun [elit 1.23]. Ve, yada den birine eşit yapılmış ve ile arası birleştirilmiş olsun. undan dolayı,, ye ve, ye eşit olduğu için, ve düz çizgileri sırasıyla ve düz çizgilerine eşittir. açısı da açısına eşittir. öylece, tabanı tabanına eşittir [elit 1.4]. Yine, ye eşit olduğu için, açısı da, açısına eşittir [elit 1.5]. öylece,, den büyüktür. öylece, den çok daha büyüktür. Ve üçgeni açısından büyük açısına sahip olduğu ve büyük açılar büyük kenarlar tarafından karşılandığı için [elit 1.19], kenarı da böylece kenarından büyüktür. akat, ye eşittir. O halde de den büyüktür. öylece, iki üçgen, diğerinin karşılıklı iki kenarına eşit iki kenara sahipse, fakat birindeki bu eşit karşılıklı kenarların kapsadığı açı diğerindeki (benzer) açıdan daha büyük ise, o zaman bu üçgenin tabanı da diğerininkinden daha büyüktür. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. elit 25. ğer iki üçgen sırasıyla diğerinin iki kanarına eşit iki kenara sahipse, fakat birinin tabanı diğerininkinden büyükse, o zaman bu üçgenin diğerinin kenarlarına eşit kenarlarının kavradığı açı da diğerinin karşılık gelen açısından büyüktür. ve, ve gibi iki kenarın sırasıyla ve gibi iki kenara eşit olduğu iki üçgen olsun, yani, ye,, ye. Ve tabanı tabanından büyük olsun. açısının da açısından büyük olduğunu söylüyorum. ğer değilse, emin olunuz ki ye ya eşittir yada ondan küçüktür. erçekte,, ye eşit değildir. Öyle olsaydı tabanının da tabanına eşit olması gerekirdi [elit 1.4]. akat değildir. O halde, açısı, açısına eşit değildir. Ne de, gerçekten,, den küçüktür. Öyle olsaydı tabanının da tabanından küçük olması gerekirdi [elit 1.24]. akat böyle değildir. O halde, açısı, açısından küçük değildir. akat diğer yandan nin ye eşit olmadığı gösterilmişti. O halde,, den büyüktür. O halde, eğer iki üçgen sırasıyla diğerinin iki kanarına eşit iki kenara sahipse, fakat birinin tabanı diğerininkinden büyükse, o zaman bu üçgenin diğerinin kenarlarına eşit kenarlarının kavradığı açı da diğerinin karşılık gelen açısından büyüktür. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. elit 26. ğer iki üçgende birinin iki açısı sırasıyla bir diğerinin iki açısına eşit, ve bir kenar diğerinin bir kenarınagerçekte eşit açıların kenarları yada eşit açıları karşılayan kenarlar- eşitse, o zaman kalan kenarlar da bir diğerinin karşılık gelen kenarlarına ve kalan açı da bir diğerinin kalan açısına eşit olur. ve, ve açılarının sırasıyla ve açılarına eşit olduğu iki üçgen olsun. Yani, ye ve, ye. Ve aynı zamanda bir kenar diğerinin bir kenarına eşit olsun. Öncelikle, eşit 17

18 açıların kenarları. Yani, ye. Kalan kenarların da karşılık gelen kenarlara eşit olacağını söylüyorum. Yani, ye ve, ye eşit. Ve kalan açı da diğer kalan açıya eşit. Yani, ye eşit. H ğer, ye eşit değilse o zaman biri diğerinden büyüktür. daha büyük olsun ve, ye eşit kılınsın [elit 1.3] ve birleştirilsin. öylece,, ye ve, ye eşit olduğu için ile düz çizgileri sırasıyla ile ye eşit olur. Ve açısı, açısına eşittir. O halde, tabanı, tabanına eşit, ve üçgeni, üçgenine eşit, ve eşit kenarları karşilayan kalan açılar karşılık ğelen kalan açılara eşit olur [elit 1.4]. öylece,, ye eşittir. akat nin, ya eşit olduğu varsayılmıştı. O halde, de, ya eşittir, küçük olan büyük olana. öyle bir şey mümkün değildir. O halde nin ye eşit olmadığı doğru değildir. O halde bunlar eşittir. Ve de, ye eşittir. emek ki ile düz çizgileri sırasıyla ile düz çizgilerine eşittir. Ve açısı, açısına eşittir. O halde, tabanı, tabanına, ve kalan açısı, kalan açısına eşittir [elit 1.4]. akat, gene, eşit açıları karşılayan kenarlar eşit olsun; örneğin, ye eşit olsun. Yine kalan kenarların kalan kenarlara eşit olacağını söylüyorum. Yani, ye ve, ye. aha da ötesi, kalan açısı, kalan açısına eşit olur. ğer, ye eşit değilse biri diğerinden büyüktür. Mümkünse, daha büyük olsun. Ve H, ye eşit kılınsın [elit 1.3] ve H birleştirilmiş olsun. Ve H, ye, ve, ye eşit olduğu için, ile H düz çizgileri sırasıyla ile düz çizgilerine eşittir. Ve bunların çevrelediği açılar da eşittir. O halde, H tabanı, tabanına eşit, ve H üçgeni, üçgenine eşit, ve kalan eşit kenarların karşı açıları karşılık gelen açılara eşit olacaktır [elit 1.4]. O halde, H açısı, açısına eşittir. akat, ya eşittir. emek ki, H üçgeninde, H dış açısı zıt iç açı ya eşittir. öyle bir şey mümkün değildir [elit [1.16]. O halde, nin, ye eşit olmadığı doğru değildir. O halde bunlar eşittir. V de, ye eşittir. emek ki ile düz çizgileri sırasıyla ile düz çizgilerine eşittir. Ve bunlar eşit açıları çevreler. O halde, tabanı, tabanına, ve üçgeni, üçgenine, ve kalan açısı, kalan açısına eşittir [elit 1.4]. öylece, eğer iki üçgende birinin iki açısı sırasıyla bir diğerinin iki açısına eşit, ve bir kenar diğerinin bir kenarına-gerçekte eşit açıların kenarları yada eşit açıları karşılayan kenarlar- eşitse, o zaman kalan kenarlar da bir diğerinin karşılık gelen kenarlarına ve kalan açı da bir diğerinin kalan açısına eşit olur. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. elit 27. ğer iki düz çizgiden geçen bir düz çizginin (bu çizgilerle) yaptığı alternatif açılar birbirine eşitse o zaman bu iki düz çizgi birbirine paraleldir. ve düz çizgilerinden geçen düz çizgisi alternatif açılar ve yi birbirine eşit kılsın. ve nin paralel olduğunu söylüyorum. ğer değilse, uzatıldıklarında, ve kesinlikle buluşacaklardır; ya ve yönünde yada ve yönünde [Tanım 1.23]. Uzatılsınlar ve ve yönünde noktasında buluşsunlar. emek ki, üçgeni için, dış açısı zıt yöndeki iç açısına eşit olur. öyle bir şey mümkün değildir [elit 1.16]. öylece, uzatıldıklarında, ve, ve yönünde buluşmazlar. enzer şekilde, ne de ve yönünde 18

19 buluşmayacakları gösterilebilir. akat ne o yönde ne de bu yönde buluşmayan düz çizgiler paraleldir [Tanım 1.23]. O halde ve paraleldir. öylece eğer iki düz çizgiden geçen bir düz çizginin (bu çizgilerle) yaptığı alternatif açılar birbirine eşitse o zaman bu iki düz çizgi birbirine paraleldir. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. elit 28. ğer iki düz çizgiden geçen bir düz çizgi bir dış açısını, aynı tarafta kalan ve diğer çizgiyle yaptığı iç açıya eşit kılıyorsa, yada aynı tarafta kalan iki iç açısı bir dik açıya eşitse, o zaman bu iki düz çizgi birbirine paraleldir. ve düz çizgilerinden geçen düz çizgisi, dış açısını diğer çizgiyle yaptığı iç açı H ye eşit kılsın, yada aynı kenardaki iç açılar H ve H bir dik açıya eşit olsun. nin ye paralel olduğunu söylüyorum. H irincisi,, H ye eşit olduğu halde,, H ye eşittir [elit 1.15]. H de o halde H ye eşittir. Ve bunlar alternatif açılardır. O halde,, ye paraleldir [elit 1.27]. Yine, ikinci olarak, H ve H bir dik açıya eşit, ve H ve H de bir dik açıya eşit olduğu [elit 1.13] için, H ve H toplamı böylece H ve H toplamına eşittir. H her iki toplamdan çıkarılsın. öylece kalan H, kalan H ye eşit olur. Ve bunlar alternatif açılardır. O halde,, ye paraleldir [elit 1.27]. öylece eğer iki düz çizgiden geçen bir düz çizgi bir dış açısını, aynı tarafta kalan ve diğer çizgiyle yaptığı iç açıya eşit kılıyorsa, yada aynı tarafta kalan iki iç açısı bir dik açıya eşitse, o zaman bu iki düz çizgi birbirine paraleldir. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. elit 29. İki paralel düz çizgiden geçen bir düz çizgi alternatif açılarını birbirine eşit, dış açısını aynı tarafta kalan ve diğer çizgiyle yaptığı iç açıya eşit ve aynı tarafta kalan iki iç açısını bir dik açıya eşit kılar. düz çizgisi, ve paralel düz çizgilerinden geçsin. unun H ile H alternatif açılarını eşit, dış açısını aynı kenarda bulunan ve diğer çizgiyle yaptığı H iç açısına eşit, ve H ve H iç açılarını birlikte bir dik açıya eşit kıldığını söylüyorum. H ğer H, H ye eşit değilse, o zaman bunlardan biri daha büyüktür. H daha büyük olsun. H her ikisine eklenmiş olsun. O halde H ve H toplamı, H ve H toplamından büyüktür. akat H ve H toplamı iki dik açıya eşittir [elit 1.13]. O halde, H ve H toplamı da iki dik açıdan küçüktür. akat iki dik açıdan küçük iç açıları yönünde sonsuza doğru uzatılan düz çizgiler buluşurlar [Post. 5]. O halde sonsuza doğru uzatılan ve buluşacaklardır. akat birbirlerine paralel olduğu varsayımına 19

20 istinaden bunlar buluşmazlar [Tanım 1.23]. O halde H nin H ye eşit olmadığı doğru değildir. O halde eşittirler. akat H, ye eşittir [elit 1.15]. Ve de o halde H ye eşittir. H her ikisine de eklensin. O halde ile H toplamı, H ile H toplamına eşittir. akat ve H iki dik açıya eşittir [elit 1.13]. O halde H ve H toplamı da iki dik açıya eşittir. O halde iki düz çizgiden geçen bir düz çizgi alternatif açılarını birbirine eşit, dış açısını aynı tarafta kalan ve diğer çizgiyle yaptığı iç açıya eşit ve aynı tarafta kalan iki iç açısını bir dik açıya eşit kılar. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. elit 30. ynı düz çizgiye paralel düz çizgiler birbirlerine de paraleldir. ve düz çizgilerinin her biri ye paralel olsun. nin de ye paralel olduğunu söylüyorum. H K K düz çizgisi, ve üzerinden geçsin. Ve K düz çizgisi, ve paralel düz çizgileri üzerinden geçtiği için, K açısı, o halde H açısına eşit olur [elit 1.29]. Yine K düz çizgisi, ve paralel düz çizgileri üzerinden geçtiği için, H açısı, o halde K açısına eşit olur [elit 1.29]. akat K nin de H ye eşit olduğu gösterilmişti. O halde, K de, K ye eşittir. Ve bunlar alternatif açılardır. O halde,, ye paraleldir [elit 1.27]. [O halde aynı düz çizgiye paralel düz çizgiler birbirlerine de paraleldir.] u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. elit 31. Verilen bir düz çizgiye verilen bir noktadan geçen bir düz çizgi çizmek. verilen nokta ve verilen düz çizgi olsun. O halde, düz çizgisine, noktasından geçen paralel bir düz çizgi çizilmesi gerekmektedir. noktası, üzerinde rastgele alınmış ve birleştirilmiş olsun. Ve açısına eşit bir açısı, düz çizgisi üzerindeki noktasında oluşturulmuş olsun [elit 1.23]. Ve ile bir düz çizgi oluşturacak şekilde düz çizgisi üretilsin. Ve ve düz çizgilerinden geçen düz çizgisi alternatif açılar ve yi birbirine eşit kıldığı için böylece ye paralel olur [elit 1.27]. O halde düz çizgisi verilen verilen noktasından geçecek ve verilen düz çisgisine paralel olacak şekilde çizilmiştir. u da tam yapılması talep edilen şeydir. elit 32. Herhangi bir üçgende, eğer kenarlardan biri uzatılırsa oluşan dış açı iki iç ve diğer taraftaki açıya eşit olur,ve üç iç açının toplamı iki dik açı eder. bir üçgen, ve bunun kenarlarından biri olan, ye doğru uzatılmış olsun. ış açı nin iki iç ve zıt yöndeki açılar ve nin toplamına eşit, ve üçgenin üç iç açısının-, ve -iki dik üçgene eşit olduğunu söylüyorum. 20

21 , noktasından itibaren düz çizgisine paralel olacak şekilde çizilmiş bulunsun [elit 1.31]. Ve, ye paralel ve bunların üzerinden geçtiği için, alternatif açılar ve birbirlerine eşittir [elit 1.29]. Yine, ye paralel ve düz çizgisi bunlardan geçtiği için, dış açısı diğer taraftaki iç açısına eşittir [elit 1.29]. akat nin ye eşit olduğu gösterilmişti. O halde açısının bütünü diğer taraftaki iç açılarının toplamına eşittir. her ikisine de eklenmiş olsun. O halde ve toplamı Üç açının,, ve nin toplamına eşittir. akat ile toplamı iki dik açıya eşittir [elit 1.13]. O halde, ve de iki dik açıya eşittir. öylece herhangi bir üçgende, eğer kenarlardan biri uzatılırsa oluşan dış açı iki iç ve diger taraftaki açıya eşit olur ve üç iç açının toplamı iki dik açı eder. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. elit 33. şit ve paralel düz çizgilerin aynı taraflarını birleştiren düz çizgilerin kendileri de eşit ve paraleldir. ve eşit ve paralel olsun ve ile düz çizgileri bunları aynı taraflarından birleştirsin. ve nin de eşit ve paralel olduğunu söylüyorum. birleştirilmiş olsun. Ve, ye paralel ve bunların üzerinden geçtiği için, alternatif açılar ve birbirlerine eşittir [elit 1.29]. Ve, ye eşit ve ortak [kenar] olduğu için, ile düz çizgileri ile düz çizgilerine eşittir. Ve açısı, açısına eşittir. O halde tabanı, tabanına, ve üçgeni, üçgenine ve birindeki eşit kenarların çevrelediği kalan açılar diğerinin karşılık gelen açılarına eşittir [elit 1.4]. O halde, açısı, ye eşittir. Hem de, ile düz çizgilerinden geçen düz çizgisi, alternatif açıları( ve ) birbirine eşit kılmış olduğu için, böylece ye paraleldir [elit 1.27]. Ve nin de ye eşitliği gösterilmişti. O halde eşit ve paralel düz çizgilerin aynı taraflarını birleştiren düz çizgilerin kendileri de eşit ve paraleldir. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. elit 34. Paralelkenar şekillerde zıt kenarlar ve açılar birbirlerine eşittir ve bir köşegen bunları yarıya böler. bir paralelkenar ve onun köşegeni olsun. paralelkenarı için, zıt kenarların ve açıların birbirine eşit ve köşegeninin bunu ikiye böldüğünü söylüyorum. 21

22 , ye paralel olduğu ve düz çizgisi bunların üzerinden geçtiği için, alternatif açılar ve birbirlerine eşittir [elit 1.29]. Yine, ye paralel ve düz çizgisi bunların üzerinden geçtiği için, alternatif açılar ve birbirlerine eşittir [elit 1.29]. u durumda ve, ile açılarının sırasıyla ile açılarına eşit olduğu, ve birinin bir kenarının diğerinin bir kenarına eşit olduğu- eşit açılara bitişik ve ortak olan kenar, - iki üçgendir. O halde, bunlarda, aynı zamanda, birinin kalan kenarları diğerinin karşılık gelen kenarlarına da, ve birinin kalan açısı diğerinin kalan açısına da eşittir [elit 1.26]. O halde, kenarı, kenarına ve, ye eşittir. ahası, açısı açısına eşittir. Ve açısı, ye ve, ye eşit olduğu için, bütün açısı böylece bütün açısına eşittir. Ve nin ye eşit olduğu da gösterilmişti. O halde, paralelkenar şekillerde zıt kenarlar ve açılar birbirine eşittir. Ve bir köşegenin bunları ikiye böldüğünü de söyledim., ye eşit ve ortak olduğu için, ile düz çizgileri sırasıyla ile düz çizgilerine eşittir. Ve açısı, açısına eşittir. O halde tabanı, ye de eşit ve üçgeni, üçgenine eşittir [elit 1.4]. öylece köşegeni, paralelkenarını yarıya keser. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. elit 35. ynı tabana sahip ve aynı paraleller arasındaki paralelkenarlar birbirine eşittir. ve, aynı tabanına sahip ve aynı paraleller, ile arasında olan paralelkenarlar olsun. nin paralelkenarına eşit olduğunu söylüyorum. bir paralelkenar olduğu için,, ye eşittir [elit 1.34]. u durumda, aynı sebeplerden, de ye eşittir. u durumda,, ye de eşittir. Ve ortaktır. öylece, bütün düz çizgisi, bütün düz çizgisine eşittir. Ve, ye de eşittir. O halde ile düz çizgileri sırasıyla, ile düz çizgilerine eşittir. Ve açısı, açısına, dış açı, iç açıya eşittir [elit 1.29]. öylece, tabanı, tabanına eşit olur ve üçgeni, üçgenine eşit olacaktır [elit 1.4]. ikisinden çıkarılmış olsun. öylece kalan yamuk, kalan yamuk ye eşit olur. üçgeni her ikisine eklensin. öylece bütün paralelkenarı, bütün paralelkenarına eşit olur. öylece aynı tabana sahip ve aynı paraleller arasındaki paralelkenarlar birbirine eşittir. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. elit 36. şit tabanlar üzerinde ve aynı paraleller arasındaki paralelkenarlar birbirine eşittir. ile H, eşit tabanlar ile üzerinde, ve aynı paraleller H ile arasındaki paralelkenarlar olsun. paralelkenarının, H ye eşit olduğunu söylüyorum. H ile H birleştirilmiş olsun. Ve, ye, fakat, H ye eşit olduğu [elit1.34] için,, böylece H ye eşittir. Ve bunlar hem de paraleldir, ve ile H bunları birleştirir. akat eşit ve paralel düz çizgileri aynı taraftan birleştiren düz çizgilerin kendileri eşit ve paraleldir [elit 1.33] [böylece ile H de eşit ve paraleldir]. öylece H bir paralelkenar [elit 1.34] ve ye eşittir. ile aynı tabanına 22

23 sahip ve aynı ve H paralelleri arasında olduğu için [elit 1.35]. O halde, aynı nedenlerden dolayı, H de aynı paralelkenara, H ye eşittir. O halde paralelkenarı da H ye eşittir. öylece eşit tabanlar üzerinde ve aynı paraleller arasındaki paralelkenarlar birbirine eşittir. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. elit 37. ynı tabanlar üzerinde ve aynı paraleller arasında bulunan üçgenler birbirine eşittir. ile aynı tabanını üzerinde ve aynı ve paralelleri arasında bulunan üçgenler olsun. üçgeninin üçgenine eşit olduğunu söylüyorum., her iki yönde ile ye doğru uzatılmış, ve ya paralel çizgisi, noktasından geçerek çizilmiş, ve ye paralel çizgisi, noktasından geçerek çizilmiş olsun. öylece, ve nin her ikisi de paralelkenar ve birbirine eşittir. ynı tabanına sahip ve aynı ile paralelleri arasında oldukları için [elit 1.35]. Ve üçgeni, paralelkenarının yarısıdır. köşegeni paralelkenarı yarıya bölduğu için [elit 1.34]. Ve üçgeni, paralelkenarının yarısıdır. köşegeni paralelkenarı yarıya bölduğu için [elit 1.34] [Ve eşit şeylerin yarıları birbirlerine eşit oldukları için]. öylece, üçgeni, üçgenine eşittir. öylece, aynı tabanlar üzerinde ve aynı paraleller arasında bulunan üçgenler birbirine eşittir. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. elit 38. şit tabanlar üzerinde ve aynı paraleller arasında bulunan üçgenler birbirine eşittir. ile, eşit ve tabanları üzerinde ve aynı ve paralelleri arasında bulunan üçgenler olsun. üçgeninin, üçgenine eşit olduğunu söylüyorum. H her iki yönde, ile H ye doğru uzatılmış ve ya paralel çizgisi, noktasından geçerek çizilmiş [elit 1.31] ve ye paralel H çizgisi, noktasından geçerek çizilmiş olsun. öylece, ve H nin her ikisi de paralelkenardır. Ve, H ye eşittir. şit ve tabanı üzerinde ve aynı ile H paralelleri arasında oldukları için [elit 1.36]. Ve üçgeni, paralelkenarının yarısıdır. köşegeni, paralelkenarı yarıya bölduğu için [elit 1.34] [Ve eşit şeylerin yarıları birbirlerine eşit oldukları için]. öylece, üçgeni, üçgenine eşittir. öylece eşit tabanlar üzerinde ve aynı paraleller arasında bulunan üçgenler birbirine eşittir. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. elit 39. ynı tabanlar üzerinde ve aynı taraftaki eşit üçgenler aynı paraleller arasında da bulunurlar. ve, aynı tabanı üzerinde ve aynı taraftaki eşit üçgenler olsun. unların aynı zamanda aynı paraleller arasında bulunduğunu söylüyorum. 23

24 birleştirilmiş olsun. ve nin paralel olduğunu söylüyorum. ğer değilse, ye paralel çizgisi, noktasından geçerek çizilmiş [elit 1.31], ve birleştirilmiş olsun. öylece, Üçgeni, üçgenine eşittir. Onunla aynı tabana sahip, ve aynı paraleller arasında olduğu için [elit 1.37]. akat, ye eşittir. öylece, de, ye, büyük, küçüğe eşittir. u da imkansızdır. öylece,, ye paralel değildir. Ne de den başkasına olduğunu benzer şekilde gösterebiliriz. öylece,, ye paraleldir. öylece, aynı tabanlar üzerinde ve aynı taraftaki eşit üçgenler aynı paraleller arasında da bulunurlar. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. elit 40. şit tabanlar üzerinde ve aynı taraftaki eşit üçgenler aynı paraleller arasında da bulunurlar. ve, sırasıyla eşit tabanlar ve üzerinde ve nin aynı tarafında bulunsunlar. unların aynı paraleller arasında da bulunduğunu söylüyorum. birleştirilmiş olsun. nin, ye paralel olduğunu söylüyorum. ğer değilse, ye paralel, noktasından geçerek çizilmiş [elit 1.31], ve birleştirilmiş olsun. öylece, Üçgeni, üçgenine eşittir. Onunla eşit tabanlara, ve ye sahip, ve aynı paraleller, ve arasında olduğu için [elit 1.37]. akat, ye eşittir. öylece, de, üçgenine, büyük, küçüğe eşittir. u da tam olarak imkansızdır. öylece,, ye paralel değildir. Ne de den başkasına [paralel] olduğunu benzer şekilde gösterebiliriz. öylece,, ye paraleldir. öylece, eşit tabanlar üzerinde ve aynı taraftaki eşit üçgenler aynı paraleller arasında da bulunurlar. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. elit 41. ğer bir paralelkenar bir üçgenle aynı tabana sahip ve aynı paraleller arasında ise paralelkenar üçgenin iki katıdır. paralelkenarı, üçgeniyle aynı tabanına sahip ve aynı paraleller, ile arasında bulunsun. paralelkenarının, üçgeninin iki katı olduğunu söylüyorum. birleştirilmiş olsun. O halde, üçgeni, üçgenine eşittir. ile aynı tabanı üzerinde ve aynı paraleller, ve arasında olduğu için [elit 1.37]. akat paralelkenarı, üçgeninin iki katıdır. köşegeni paralelkenarı yarıya böldüğü için [elit 1.34]. O halde paralelkenarı da üçgeninin iki katıdır. öylece eğer bir paralelkenar bir üçgenle aynı tabana sahip ve aynı paraleller arasında ise paralelkenar üçgenin iki katıdır. u da tam gösterilmesi talep edilen şeydir. 24