İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ YAPI MEKANİĞİ

Transkript

1 İnşaat mühendisliği anabilim dalları: İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ YAPI MEKANİĞİ Geoteknik anabilim dalı Hidrolik anabilim dalı Mekanik anabilim dalı Ulaştırma anabilim dalı Yapı anabilim dalı Mekanik: Kuvvetlerin etkisi altında cisimlerin denge ve hareket şartlarını anlatan ve inceleyen bir bilim dalıdır. Fiziksel olayları incelediği için mekanik bilimi fiziğin bir bir dalı olup incelediği cismin özelliklerine göre 4 dala ayrılabilir. Bunlar; 1) Rijit cisim mekaniği 2) Doğal katı cisimler mekaniği 3) Akışkanlar mekaniği dir. Mekaniğin yukarıda verilen her üç dalı da statik ve dinamik olmak üzere iki alt bölüme ayrılabilir. 1) Rijit (Şekil Değiştirmeyen) Cisimler Mekaniği: Rijit cisim mekaniği, üzerine uygulanan yükler etkisi altında şeklini hiç değiştirmeyen ideal cisimlerin mekanik davranışlarını inceler. a) Statik: Dengede bulunan sistemlerle ilgilenir. b) Dinamik: Hareket halindeki sistemlerle ilgilenir. b.1) Kinematik: Hareketleri meydana getiren sebepleri hesaba katmaksızın yer değiştirme, hız, ivme ve zaman arasındaki bağıntıyı kurar. Hareketin geometrisini inceler (örneğin nehirde giden geminin yolunun belirtilmesi). b.2) Kinetik: Harekete neden olan tesirleri inceler. (belirli kuvvetleri etkisi altında bir cismin hareketi veya hareket belli ise cisme etki eden kuvvetlerin bulunması gibi.) 2) Şekil Değiştiren Cisimler Mekaniği (Mukavemet): Rijit cisim mekaniği, birçok probleme çözüm getirememesi nedeniyle cisimlerin mukavemetine gereksinim duyulmaktadır. Rijit cisim mekaniğinin cevap veremediği en önemli iki problemden birisi; cismin mukavemetini nasıl kaybedeceği ikincisi ise cismin yapacağı şekil değiştirmelerin hesabıdır. Bu ve bu gibi konularla ilgili problemlere cisimlerin mukavemeti ile cevap verilmeye çalışılmaktadır. 3) Akışkanlar mekaniği: a) Sıkıştırılabilen Akışkanlar Mekaniği (GAZLAR) b) Sıkıştırılamayan Akışkanlar Mekaniği (SIVILAR) Birçok mühendislik dallarında okutulan mühendislik mekaniği; inşaat mühendisliği, makine mühendisliği, gemi mühendisliği, uçak mühendisliği dallarında ayrı bir öneme sahiptir. İMG Mekanik Sunum Hafta 1 1/14

2 A) Geometrilerine Göre Katı Cisimler: Cisimleri uzayda bir, iki ya da üç boyutlu diye sınıflandırmak oldukça genel bir yaklaşımdır. Bunun yerine, katı cisimler dayanım hesabında kullanılan kuramlara göre sınıflandırılırsa, karşılaşılacak üç grup şu şekilde oluşur: Çubuklar, kablolar Plak, levha ve kabuklar Diğer cisimler Çubuklar ve Kablolar: Boyutlardan biri, diğer ikisinin yanında çok büyük olan cisimlerdir. Şekil 1 de görüldüğü gibi genişliği b, yüksekliği h olan dikdörtgen kesitli, L boyunda bir çubuk düşünelim. Çubuk enkesitini veren b ve h her zaman L den bir mertebe küçüktür. Yani çubuklar ince ve uzun cisimlerdir. Eğer kesit daire olsa idi, kesit çapı d, L den bir mertebe küçük olacaktı. Burada mertebeden anlaşılması gereken; eğer L nin boyutu [m] cinsinden anlamlı bir sayı ise, kesit boyutları b, h ya da d için boyutlar [cm] cinsinden anlamlı bir sayı olmalıdır. Orneğin; L = 3m, b = 20cm gibi. Çubuklar uzayda herhangi bir eğri olabilirler. Bunu belirlerken kullanılan iki büyüklük, çubuk enkesiti ve çubuk ekseni olup, aralarında önemli bir ilişki, çubuk ekseninin enkesitin ağırlık merkezinden geçmesidir. Şekil 1 Şekil 2 Çubuklar kendi içlerinde eksen geometrisine bağlı olarakta; Doğru eksenli çubuklar Eğri eksenli çubuklar olarak ikiye ayrılırlar (bkz Şekil 2). Çubuklar idealize edilirken (modellenirken) gerçek üç boyutlu eleman yerine sadece çubuk ekseni çizilir (bkz Şekil 3). İMG Mekanik Sunum Hafta 1 2/14

3 Şekil 3 Ayrıca kesitlerine bağlı olarak çubuklar; Sabit kesitli çubuklar Değişken kesitli çubuklar diye de sınıflandırılabilirler. Çubuk kesit alanı çubuk ekseni boyunca sabit olabileceği gibi, yavaşça ya da ani olarak da değişebilir (bkz Şekil 4). Doğru eksenli, sabit kesitli çubuklar aynı zamanda prizmatik çubuklar olarak da adlandırılırlar. Kablolar çekmeye çalışan, esnekliği fazla olan tek boyutu taşıyıcı elemanlardır (bkz Şekil 2). Şekil 4 İMG Mekanik Sunum Hafta 1 3/14

4 Plak, Levha ve Kabuklar: Bunlar aynı zamanda yüzeysel taşıyıcılar olarak da bilinirler. Kalınlıkları, diğer iki boyutunun yanında bir mertebe küçüktür. Plak ve levha düzlemsel olup, kabuklarda eğrilikler vardır. Plak ve levha geometrik olarak aynı olup, tek farkları levhanın kendi ortalama düzlemi içinde yüklenmesi, plağın ise kendi ortalama düzlemine dik doğrultuda yük taşımasıdır (bkz Şekil 5). Kabuklar ise, silindirik, küresel, konik, hiperbolik paraboloit, v.s. olabilir. Diğer Cisimler: Bunların üçüncü boyutu da önemli olup, kısaca üç boyutlu katı cisimler diye adlandırılırlar. Çözüm için elastisite kuramından yararlanılır. Şekil 5 İMG Mekanik Sunum Hafta 1 4/14

5 B) Statikte Temel Kavramlar: Statik; kuvvetler etkisi altındaki katı (rijit) cisimlerin denge koşullarını inceleyen bir bilim dalıdır. Rijit cisim mekaniğinde cismin dış kuvvetler etkisinde yeterli dayanıma sahip olup olmadığı araştırılmaz. Rijit Cisim: Dış yükler etkisi altındaki her cisim belli bir ölçüde şeklini değiştirir. Genel olarak bu şekil değiştirmeler çok küçük olup cismin denge durumunda önemli bir değişiklik yapmazlar. Rijit cisim kavramı ideal bir kavram olup, rijit cisimlerin dış yükler etkisi altında hiç şekil değiştirmediği kabul edilir (bkz Şekil 6). Şekil 6 Şekil 6 da rijit cisim ve şekil değiştiren cisim yan yana görülmektedir. Her iki cismin de birer ucu duvarın içine sokularak cisimler taşıyıcı hale getirilmiştir. Boşta kalan diğer uçlarına bir P yükü etki etmektedir. Şekil 6 a da görülen rijit cisim, yüke rağmen şeklini hiç değiştirmez. Şekil 6 b de görülen şekil değiştiren cisim, kuvvetin etkidiği noktada bir miktar çöker ve cisim doğrusal konumunu bırakarak eğri eksenli bir çubuk haline gelir. Özellikle şekil değiştiren cisimler mekaniğinde sık sık karşılaşılan, üç ideal kavram daha vardır. Bunlar tam elastik cisim, tam plastik cisim ve elastoplastik cisim kavramlarıdır. Tam elastik cisim üzerine etkiyen yükler etkisi altında şeklini değiştirir, ancak yükler kaldırıldığında ilk haline geri döner. Tam Plastik cisim yükler etkisi altında şeklini değiştirir, yükler kaldırılsa dahi bu şekil değiştirmeler geri dönmez. Elastoplastik cisim de yükler etkisi altında şeklini değiştirir, yükler kaldırıldığında ise bu şekil değiştirmelerin bir kısmı geri döner, bir kısmı ise kalıcı olur. Kuvvet: Kuvvet, üzerine uygulandığı cismin durumunu değiştirmeye çalışan bir etki olarak tanımlanabilir. Yani kuvvet, hareket halindeki bir cismin hızını değiştirir, durmakta olan bir cismi ise harekete geçirebilir. Kuvvet vektörel bir büyüklük olup, tam olarak belli olabilmesi için; a) Şiddetinin b) Uygulama noktasının c) Doğrultusunun, yani etki çizgisinin ve yönünün bilinmesi gerekir (bkz Şekil 7). İMG Mekanik Sunum Hafta 1 5/14

6 Etki çizgisi (Tesir çizgisi), kuvvetin tatbik noktasından geçen, kuvvetin üzerinde bulunduğu sonsuz uzunluktaki çizgidir (bkz Şekil 7). Kuvvetin yönü ise bir ok ile gösterilir. Hem şiddeti hem de doğrultusu olan büyüklükler vektöre büyüklükler olarak adlandırılır ve grafik olarak vektörlerle gösterilirler. Şekil 7 Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti: Bir F kuvvetinin bir O noktasına göre momenti, bir vektörel büyüklük olup, M rf şeklinde tanımlanır. Burada r, O noktasını F kuvvetinin etki çizgisi üzerindeki herhangi bir noktaya bağlayan bir vektör olup, yer vektörü adını alır (bkz Şekil 8). Moment, kuvvetin etki çizgisi üzerinde seçilen noktadan bağımsızdır. Şekil 8 r2f r1rab F r1f rab F r1f 0 İMG Mekanik Sunum Hafta 1 6/14

7 C) Statiğin prensipleri: Kuvvetler paralelkenarı prensibi: Bir cismin A noktasına F1 ve F2 kuvvetleri etki ediyorsa, bunların etkisi, bu kuvvetler üzerine kurulan paralelkenarın köşegeni olan R kuvetinin etkisine eşdeğerdir. Yani cismin A noktasına etki eden F1 ve F2 kuvvetleri kaldırılıp, bunların yerine cisim üzerine aynı etkiyi yapacak olan R kuvveti yerleştirilebilir. Bunun tersi de doğrudur, cismin A noktasına etki eden R kuvveti kadırılıp bu noktaya F1 ve F2 kuvvetleri yerleştirilebilir (bkz Şekil 9). F1 ve F2 kuvvetlerine R kuvvetinin bileşenleri, R kuvvetine de F 1 ve F2 kuvvetlerinin bileşkesi adı verilir. Şekil 9 Kuvvetlerin dengesi prensibi: İki kuvvetin dengede olabilmesi için; bu kuvvetlerin etki çizgileri ortak, yönleri ters ve şiddetleri eşit olmalıdır (bkz Şekil 10). Şekil 10 Ekleme Çıkarma prensibi: Bir kuvvetler sistemine denge halinde olan iki kuvvet eklenebilir ya da kuvvetler sisteminin içerisinden denge halinde olan iki kuvvet çıkartılabilir. Bu prensip yardımıyla statikte kuvvetlerin etki çizgileri üzerinde kaydırılabileceğini gösterebiliriz. Şekil 11 a da bir cisim ve üzerine etki eden kuvvet sistemi gösterilmiştir. Bu şekilde A noktasına etki eden F kuvveti, Ekleme Çıkarma prensibi yardımıyla B noktasına kaydırılabilir. Dengede olan bir kuvvet sistemi (Yeşil renkli kuvvetler), şekil 11 b de görüldüğü gibi, ekleme çıkarma prensibine göre şekil 11 a daki sisteme eklenmiştir. Şekil 11 b de cismin A noktasına etki eden kuvvetler (bu kuvvetler de denge halindedir) yine ekleme çıkarma prensibi gereğince İMG Mekanik Sunum Hafta 1 7/14

8 kaldırılabilir ve şekil 12 de görülen kuvvet sistemi elde edilir. Yani cismin A noktasına etki eden kırmızı renkli kuvvet kayarak cismin B noktasına gelmiştir (yeşil renkli kuvvet). Şekil 11 Şekil 12 Kuvvetlerin kaydırılması prensibi sadece statik biliminde geçerli bir prensiptir. Mesela bir çubuğun çekme ya da basınç etkisi altında olması çubuğun mukavemeti açısından çok farklı durumlardır. Şekil 13 a da görülen çubuk basınç etkisi altındadır, bu çubuğun uçlarına etkiyen kuvvetlerin kaydırılması ile şekil 13 b de görülen çekme çubuğu elde edilir. Şekil 13 Etki Tepki prensibi: Birbirine değen iki cisim birbiri üzerine etki çizgileri ortak, yönleri ters, şiddetleri eşit kuvvetler uygularlar. Eğer iki cisim arasında sürtünme yoksa, etki tepki kuvvetlerinin tesir çizgisi değme yüzeyine (ortak teğet düzleme) diktir (Şekil 14 a). Cisimler İMG Mekanik Sunum Hafta 1 8/14

9 arasında sürtünme var ise, etki tepki kuvvetlerinin tesir çizgisi (Etki ve tepki kuvvetlerinin üzerinde bulunduğu çizgi) ile değme yüzeyi (ortak teğet düzlem) arasında bir β açısı, etki tepki kuvvetlerinin tesir çizgisi ile değme yüzeyinin normali arasında bir ϕ açısı vardır (Şekil 14 b). Şekil 15 de sürtünmesiz ve sürtünmeli hallerde cisimlerin birbirleri üzerine uyguladığı kuvvetler gösterilmiştir. Mavi renkli cismin yeşil renkli cisim üzerine uyguladığı kuvvet mavi renkli, yeşil renkli cismin mavi renkli cisim üzerine uyguladığı kuvvet yeşil renkli olarak gösterilmiştir. Şekil 14 Şekil 15 D) Statik denge, serbest cisim diyagramı, mesnet çeşitleri: Statik denge: Başlangıçta hareket etmeyen (sabit duran) bir yapı; eğer kuvvet ve/veya momentlerden oluşan bir kuvvet sistemi etki ettiğinde hala hareket etmiyorsa bu yapı sistemi statik dengededir denir. Eğer bir yapı sistemi dengedeyse; bu yapı sistemini oluşturan parçalar ve elemanlar da dengededir. Üç boyutlu bir sistemin dengede olabilmesi için sağlanması gereken şartlar (bkz Şekil 16 a).: İMG Mekanik Sunum Hafta 1 9/14

10 düzlem bir sistemin (x y düzleminde) dengede olabilmesi için sağlanması gereken şartlar ise (bkz Şekil 16 b).: (a) (b) Şekil 16 Serbest Cisim Diyagramı (SCD): Mühendisin ele aldığı bir fizik olayı gözünde kolayca canlandırabilmesi ve çözebilmesi için önündeki kağıda aktardığı şekle serbest cisimd iyagramı denir. Serbest cisim diyagramının çizilmesi, cismin üzerindeki kuvvetlerin, cisme uygulanan momentlerin ve hareket denkleminin belirlenmesine yardım ederek, problemin statik ve dinamik olarak analiz edilmesini sağlar. Gerçek bir fizik probleminde hesaplarda gerekmeyen bir çok gereksiz detay vardır. Aşağıdaki kren sisteminde (Şekil 17) ilk bakışta biraz karışık gibi duran olay bir maddesel noktanın dengesine indirgenebilir. O noktasına dikkatimizi yoğunlaştıralım. Eğer mevcut konumda O noktası dengede ise SCD (b) şıkkındaki gibi çizilir. Şekil 17 İMG Mekanik Sunum Hafta 1 10/14

11 Mesnet Çeşitleri: Eğer dış kuvvetlerin etkisi altında dengede duran bir cisimden bahsediliyorsa, cismin hareket edemeyeceği bir biçimde çeģitli bağlar yardımıyla çevresine tutturulmuş olması gerekir. Bu bağlar içinde; ötelenme serbestliği olanlarına genelde kayıcı ve dönme serbestliği olanların hepsine de mafsallı denir. Birbiriyle bağlantılı iki cisimden biri sabitse, diğerinin ona bağlandığı yere mesnet adı da verilir. Anlam bakımından mesnet dayanılan yada tutturulan yer demektir. Düzlem sistemlerde bulunan mesnet türleri Şekil 18 de gösterilmiştir. Şekil 18 Bunlar içerisinde yapılarda en sık karşılaşılan mesnet çeşitleri kayıcı, sabit, ankastre masfal ve ara mafsaldır. İMG Mekanik Sunum Hafta 1 11/14

12 ankastre mesnet Sabit mafsal Kayıcı mafsal Sabit mafsallar Çelik kafes köprüde kayıcı mafsal İMG Mekanik Sunum Hafta 1 12/14

13 Kafes kirişte ara mafsallar Şekil 19 Örnek Problem 1: Şekil 20 de verilen basit kirişte mesnet reaksiyonlarını bulunuz. Şekil 20 Kirişin serbest cisim diyagramı (SCD) Şekil 21 de verilmiştir. A mesneti Şekil 18 de verilen düzlem mesnet türlerinden sabit mafsal a uymaktadır. Bu nedenle tablonun sondan üçüncü kolonunda verilen bağ kuvvetleri olarak yatayda ve düşeydeki mesnet reaksiyonlarını kirişe etkitmektedir. B mesneti ise kayıcı mafsaldır ve İMG Mekanik Sunum Hafta 1 13/14

14 sadece düşey mesnet reaksiyonu kirişe etkimektedir. Cismin dengede olabilmesi için sağlaması gereken gerek ve yeter şartlar dır. M z momenti düzlemde herhangi bir noktaya göre alınabilir (kirişin üzerinde olmasına gerek yok). Ancak işlem hacmini azaltacağı için A noktasına göre moment alınmıştır (bu durumda A, A mesnet reaksiyonlarının yer vektörleri 0 vektörü olacaktır ve momente x y katkısı olmayacaktır. Bu nedenle hesaplarda gösterilmemiştir) sin 30 4 M A 0 By 25kN z 6 F A kn y x 0 0 y sin F A kn 0 0 x 30 cos Eğer vektörlerin doğrultularının nasıl olacağına karar verilemiyorsa (özellikle moment denkleminde ilk başlarda olabilmekte) bu durumda birim vektörler kullanılabilir. Kartezyen eksen takımımızı A noktasına yerleştirelim (buna göre x ekseni A noktasından sağa doğru pozitif yönü olacak biçimde yatay ekseni oluşturmakta, y ekseni ise A noktasından yukarıya doğru pozitif yönü olacak biçimde düşey ekseni oluşturacak). M A 0rAB By rac 45 rad 30 0 z 6iBy j2i45 j4 i( 30 cos 30 i 30 sin 30 j) 0 6Bk y 90k60k By 25kkNm 0 Fy 0 Ayk 45k 30sin 30 k 25k 0 Ay 35k kn 0 Fx 0 Axi30cos30 i 0 A 26i kn x Elde edilen değerler pozitif olduğundan SCD çiziminde varsayılan yönler doğrudur (eğer eksi değer bulsaydık SCD diyagramında seçilen yönün tersinde kuvvet etkiyecekti). İMG Mekanik Sunum Hafta 1 14/14

15 İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ YAPI MEKANİĞİ HAFTA 2 NOT: Bu haftaki tüm anlatım çubuk elemanlar düşünülerek hazırlanmıştır. A. Mukavemetin tanımı, ilgilendiği konular, ilgili bilim dalları ve bazı tanımlar Mukavemet: Mühendislik öğretiminin temel mühendislik derslerinden biri olan cisimlerin mukavemeti veya kısa adı ile mukavemet mekaniğin şeklini değiştiren cisimler ile uğraşan bir bölümüdür. Mukavemet dersinin ana konusu; makina ve yapı tasarımlarındaki boyutlandırma ve boyut kontrolü problemlerinin çözümüdür. Bu problemlere cevap verilirken çok kez aynı zamanda da sistemin şekil değiştirmelerinin belirli sınırlar içinde kalması ve dengenin de kararlı olması (stabilite) istenir. Bunlara ek olarak, mukavemet dersi öğrencileri bazı meslek derslerine de hazırlar (Yapı Statiği I ve II, Betonarme, Çelik Yapılar gibi). İlgilendiği Konular: Boyutlandırma problemi; tasarlanan sistemin boyutlarının belirlenmesidir. Çoğu kez tasarlanan sistemin bazı boyutları gereksinim veya mimari nedenlerle önceden belirlidir. Diğer boyutların belirlenmesi istenir. Örneğin bir oda döşemesinin iki boyutu mimari nedenlerle önceden bellidir ve döşeme kalınlığı istenir. Boyut kontrolü probleminde ise sistemin boyutları belli olup sistemin verilen yükü verilen belirli bir güvenlik ile taşıması, şekil değiştirmelerin belirli sınırlar içerisinde kalması ve dengenin de kararlı olması istenir. Boyut kontrolü ve boyutlandırma birbirlerine çok benzeyen iki problem olmasına karşın dengenin kararlılığı çok farklı karakterde bir problemdir. Mukavemeti ile ilgili diğer bilim dalları: Mukavemet ile ilgili bilim dallarının başında rijit cisim mekaniği gelir. Rijit cisim mekaniğinden, cismin özellikleri ile ilgili olmayan bilgiler alınır, örneğin denge denklemleri gibi. Cisimlerin şekil değiştirmesi ve kırılması ile ilgili özelliklerinin incelendiği malzemelerin mekanik özelliklerinin bilinmesi gerekir. Bu nedenle mukavemet malzeme bilim dalı ile de ilgilidir. Elastisite ve plastisite teorisi de mukavemetin ilgilendiği konular ile ilgilenir yalnız kullandığı matematik yöntemlerde daha kesinlik vardır. Buna karşın sonuçların elde edilmesi daha uzundur ve ileri düzeyde matematik bilgisi gerektirir. Önemli uygulamalarda veya mukavemetin cevap veremediği problemlerde elastisite, plastisite teorisi kullanılır. Homojen, izotrop ve anizotrop cisim: Mekanik özellikleri noktadan noktaya değişmeyen (tüm noktalarda aynı olan) cisimlere homojen cisim denir. Mekanik özellikleri bütün doğrultularda aynı olan cisimlere izotrop cisim denir (mesela çelik). Bu kavram, kuramda büyük basitleştirmelere sebep olsa da bazı durumlarda gerçeği tam olarak yansıtmaz. Örneğin Şekil 1 deki betonarme çubukta beton ve çelik birlikte kullanıldığından, ikisini birlikte ifade edecek malzeme homojen ve izotrop olamayacağından, bu gibi durumlarda fizik problemi daha iyi açıklayacak başka ideal modeller düşünülür. Mekanik özellikleri doğrultuya göre farklılık gösteren cisimlere ise anizotrop cisim adı verilir (mesela ahşap, bkz Şekil 2). Cismin mukavemetini kaybetmesi: Bir cisim mukavemetini yalnız kırılma ile kaybetmez; başka şekillerde de kaybedebilir. Fazla sehim yapmış kiriş, aşınmış mil, bel vermiş bir kolon, paslanmış bir eleman, mühendislik bakımından artık mukavemetini kaybetmiştir. Bir cismin mukavemetini kaybetme şekilleri beş ana grup altında toplanır. İMG Mekanik Sunum Hafta 2 1/15

16 Şekil 1 Şekil 2 a) Kırılma: Cismin üzerinde yeni yüzeyler oluşarak cismin iki veya daha fazla parçaya ayrılmasıdır. Kırılma çeşitli şekillerde olabilir (bkz Şekil 3a). b) Aşırı şekil değiştirme: Aşırı şekil değiştirme sonucunda bazı aletler düzgün veya hiç çalışmazlar. Binalarda ise aşırı şekil değiştirmeden dolayı sıvalar çatlar, cam, çerçeve kırılır, çatlaklar oluşur. Aşırı şekil değiştirme sonunda elemanlara ön görülmeyen kuvvetler etkir ve sistem işlevini yapamaz. Bu nedenler ile cismin şekil değiştirmelerine bir sınır konulur. Bu sınır aşıldığında cisim mukavemetini kaybeder (bkz Şekil 3b). c) Burkulma: Burkulan cisim tasarlanan denge konumundan başka denge konumuna geçer (stabilite). Örneğin; kolonların burkularak eğri eksenli çubuk haline geçmesi gibi. Bu durumda sistem göçmese bile mukavemetini kaybetmiş kabul edilir (bkz Şekil 3c). d) Aşınma: Bir katı cismin yüzeyinin başka bir cisme sürtünerek aşınmasıdır. Aşınma ile cismin boyutları değişeceği için cisimler işlevlerini düzgün yapamaz. Bu nedenle belirli bir miktardan sonra aşınmaya müsaade edilmez. Aşınma geniş ölçüde temas yüzeylerinin karakterine dolayısıyla sürtünmeye bağlıdır. Cismin bir akışkan tarafından aşındırılmasına erozyon adı verilir. İçinde sert parçacıklar bulunan bir akışkanın yaptığı aşındırma etkisi erozyona bir örnektir. Erozyon için en belirgin örnek yeryüzündeki kara parçalarının sular ve rüzgarlar tarafından aşındırılmasıdır. e) Korozyon: Cisimlerin kimyasal etkiler ile yıpranmasıdır. Cisimler, kendisini korozyana uğratacak dış şartlar altında sürekli bulunuyor ise zaman içinde dayanma sınırları düşer. Paslanma gibi (bkz Şekil 3d). b a İMG Mekanik Sunum Hafta 2 2/15

17 c d Şekil 3 B. Mukavemette kullanılan temel ilkeler Katılaşma ilkesi: Bu ilkeye göre; bir cisim şekil değiştirmesini tamamladıktan sonra rijit cisim olarak göz önüne alınıp denge denklemleri yazılabilir. Bu ilke yardımıyla rijit cisim mekaniği ile şeklini değiştiren cisimler mekaniği arasında köprü kurularak rijit cisim mekaniğinin denge denklemleri kullanılır. Ayırma ilkesi: Bu ilkeye göre; bir cisim düşünsel olarak daha küçük parçalara ayrılıp her parça yeni bir cisim gibi göz önüne alınır. Gerçekten ikiye ayrılmış cisimler için bu ilke aşikardır. Ayırma ilkesine kesit ilkesi adı da verilir. Ayırma ilkesi yardımıyla iç kuvvet kavramı tanımlanır. Bu ilke rijit cisim mekaniğinde, örneğin kafes kirişlerdeki çubukların kesim yöntemi ile hesaplanmasında kullanıldı. İlke ayrıca cismin sürekli bir ortam olduğunu belirtir (bkz Şekil 4). Saint Venan ilkesi: Bu ilkeye göre; elastik bir cismin belirli bir bölgesine etkiyen dış kuvvetlerin static eşdeğerleri alındığında bu bölgeden yeter uzaklıkta bulunan noktalarda gerilmeler ile yer ve şekil değiştirmeler yaklaşık olarak değişmezler (bkz Şekil 5). Serbest uçtaki çökmeler Şekil 4 İMG Mekanik Sunum Hafta 2 3/15

18 Şekil ile kesit dönmeleri 1 2 olsa da, ankastre mesnede yaklaşıldıkça, her iki yükleme sonucu çubuk ekseninde oluşacak çökmeler ve kesit dönmeleri birbirlerine oldukça yakın değerler alır. Yalnız bu durum sadece c L(yani c değerinin L değerine göre çok küçük olması) koşulu altında ve eşdeğer yüklemeden yeteri kadar uzakta kalındığı durumlarda geçerlidir. Birinci mertebe teorisi: Yer ve şekil değiştirmeler küçük olduğunda, cisimlerin şekil değiştirmiş hali ile şekil değiştirmemiş hali arasındaki fark çok küçüktür. Bu nedenle denge denklemleri şekil değiştirmemiş cisim üzerinde yazılabilir. Bu şekilde yapılan hesaplara birinci mertebe teorisi adı verilir. Şekil 6'da görülen ankastre kirişte mesnet momenti hesaplanırken L 1 uzunluğu yerine L uzunluğu alınarak momentin PL olarak hesaplanması birinci mertebe teorisine bir örnektir. Şekil 6 Yer değiştirmelerin büyük olduğu sistemlerde; örneğin yüksek binalar, asma köprüler ve stabilite problemlerinde birinci mertebe teorisi uygun sonuç vermez. Bu durumda yer değiştirmeler küçük kabul edilmeyip denge denklemlerini şekil değiştirmiş cisim üzerinde yazmak gerekir. Bu hesap şekline ikinci mertebe teorisi adı verilir ki yer değiştirmeler baştan bilinmediğinden hesaplar daha uzundur. C. Gerilme Dış etkilere direnen cisimde iç dirençler oluşur. Bunların birim alana yayılı şiddetlerine gerilme denir. Cisimde gerilme durumu bir, iki ya da üç eksenli olabilir. Gerilme iki ana gruba ayrılır; Normal gerilme Kayma gerilmesi İMG Mekanik Sunum Hafta 2 4/15

19 Kuvvet Gerilmenin tanımı birim alana etkiyen kuvvettir. Yani Gerilme. Bir noktaya baskı ya Alan da çekme uygulayan etkilerin neden olduğu iç kuvvetlere normal gerilme, bir düzlemi kaydırmaya zorlayan iç kuvvetlere kayma gerilmesi denir. Genellikle birlikte ortaya çıkan bu iki gerilme durumu ender olarak tek başına gelişir. Çubuk Enkesiti: Çubuk eksenine dik doğrultuda kesim yapılarak elde edilen kesite çubuk enkesiti denir (bkz Şekil 7a). a) b) Şekil 7 Normal Gerilme: Yüzeye dik gelen (yüzey normali doğrultusundaki) gerilme bileşenine normal gerilme denir (bkz Şekil 7b). Normal gerilme simgesi ile gösterilir. İki gruba ayrılır; çekme normal gerilmesi (bkz Şekil 8) ve basınç normal gerilmesi (bkz Şekil 9). Şekil 8 Şekil 9 İMG Mekanik Sunum Hafta 2 5/15

20 Gerilme dağılımı homojen (yani her noktada aynı, Şekil 8 deki gibi) olabileceği gibi gerilmenin şiddeti noktadan noktaya değişebilir (Şekil 9 daki gibi). Homojen gerilme durumunda gerilme formülü ile hesaplanır. P (1) A Örnek 1: Şekil 8a da verilen prizmatik çubuğun enkesiti Şekil 10 da gösterilmiştir. Çubuk P 30kN luk çekme kuvveti altındaysa ve enkesit boyutları b0.2 m, h 0.5m olduğuna göre çubuk enkesitinde oluşacak olan homojen normal gerilmenin değerini hesaplayınız. Çubuk enkesit alanı: F bh m 2 Etkiyen kuvvet: P 30 kn 30 Normal gerilme: P 300 kn/m A Şekil 10 Kayma Gerilmesi: Bir yüzeyin teğet düzlemi içerisinde bulunan gerilme bileşenine kayma gerilmesi denir (bkz Şekil 7b). Kayma gerilmesi simgesi ile gösterilir. Kayma gerilmeleri gerektiğinde bulundukları düzlemde iki bileşene ayrılırlar (bkz Şekil 11). Kayma gerilmesi iki alt indis kullanılarak ifade edilir. Birincisi yüzeyin normalini, ikincisi ise gerilmenin doğrultusunu belirtir. Mesela Şekil 11 de zx gerilmesinin bulunduğu yüzey, düzlem bir yüzeydir ve normali z doğrultusundadır, gerilmenin doğrultusu ise x ekseni doğrultusundadır. Şekil 11 Kayma gerilmelerine Şekil 12a da verilen bulonlu birleşim örnek olarak verilebilir. Bu birleşim dikdörtgen enkesitli düz bir çubuk (A), kenetlenme demiri (C) ile A ve C ile gösterilen parçalarda açılan deliklerden geçerek bu iki parçayı birbirine bağlayan bulondan (B) oluşmaktadır. Bu sisteme örnek olarak Şekil 12f de verilen kabloların birleşim noktası gösterilebilir. Birleşimin şematik gösterimi Şekil 12b de verilmiştir. Bulonun serbest cisim diyagramı Şekil 12c de çizilmiştir. Birleşime P çekme kuvveti uygulandığında düz çubuk ve kenetlenme demiri bulona temas yüzylerinden basınç gerilmesi uygulayacaklardır. Şekil 12c İMG Mekanik Sunum Hafta 2 6/15

21 de 1 ve 3 ile numaralandırılan basınç gerilmeleri kenetlenme demirinin bulona uyguladıkları, 2 ile gösterilen ise düz çubuğun bulona uyguladığı basınç gerilmesidir. Şekil 12c incelendiğinde bulonun mn ve pq enkesitlerinde kesilme (makaslama) eğiliminde olduğu görülür. Şekil 12d de bulonun mnpq kısmının serbest cisim diyagramı verilmiştir. Burada bulonun mn, pq kesim yüzeylerine etkiyen kesme kuvvetleri V gösterilmektedir. V kesme kuvveti Şekil 12e de gösterilen mn ve pq enkesitlerinde bulunan kayma gerilmelerinin bileşkesidir. Kayma gerilmeleri kesim yüzeyine parallel olarak etkimektedir. Şekil 12 Yukarıdaki paragrafta anlatılan kesim yüzeyi net bir biçimde Şekil 13 te verilen test numunesi bulonda açık biçimde görülmektedir. Şekil 13 Üç eksenli gerilme haline ait diyagram Şekil 14 te verilmiştir Şekil 14 İMG Mekanik Sunum Hafta 2 7/15

22 D. Şekil Değiştirme Bu kavram sayesinde, rijit cisim mekaniği ile çözülemeyen problemler çözülür hale gelmektedir. Bir cismin şekil değiştirmesi, üzerine etkiyen dış kuvvetler nedeniyle olduğu gibi başka nedenlerle de olabilir; örneğin sıcaklık değişimi, kimyasal etkiler gibi. Bu etkiler cismin boyutlarını ve/veya biçimini değişir. Bir cismin Şekil 15'de görülen yer değiştirmesini inceleyelim. İnceleme için cisim içinde alınan AB, ve C noktalarını göz önüne alalım. Cismin yer değiştirmesinden sonra bu noktalar A1, B1 ve C 1 konumlarına gelsinler. AA1, BB1 ve CC 1 vektörleri sıra ile AB, ve C noktalarının yer değiştirmelerini gösterir. Bu nedenle bu vektörlere yer değiştirme vektörleri adı verilir. Şekil 15 Bir cismin yer değiştirmesi iki tip yer değiştirmenin toplamıdır: Birinci tip yer değiştirme cismin bir bütün olarak ötelenmesi ve/veya dönmesidir. Bu tip yer değiştirmede cismin noktalarının birbirlerine göre konumları değişmez; yani cismin geometrisi, dolayısıyla cismin boyutları ve şekli değişmez, sadece cisim olduğu gibi yer değiştirir. Bu nedenle, bu tip yer değiştirmelere rijit cisim yer değiştirmeleri veya rijit cisim hareketi adı verilir. Şekil 16a da bir ötelenme tipi yer değiştirme, şekil 16b de bir dönme tipi rijit yer değiştirme görülmek tedir. Şekil 16c de ise rijit ötelenme ve dönmenin toplamından oluşan bir rijit yer değiştirme görülmektedir. Şekil 16 İkinci tip yer değiştirmede ise cismin noktalarının birbirlerine göre konumları değişir. Bu tip yer değiştirmeler cisimde şekil değiştirmeye yol açar. Bu nedenle bu tip yer değiştirmelere şekil değiştirme adı verilir. Şekil 17 da görülen AB, ve C noktaları arasındaki AB, BA, CA İMG Mekanik Sunum Hafta 2 8/15

23 uzaklıklarını ve BAC açısını düşünelim. A, B ve Cnoktaları A1, B1 ve C 1 konumlarına geldiklerinde AB uzunluğu AB 1 1 uzunluğundan farklı ise A noktasının konumu B ye göre değişmiştir ve burada bir şekil değiştirme vardır. Bazı hallerde AB nin uzunluğu AB 1 1 e göre değişmemekle birlikte ABC açısı değişebilir. Bu durum da bir şekil değiştirmedir. Birinci durumdaki şekil değiştirmeye uzama şekil değiştirmesi veya uzunluk şekil değişmesi veya boy değişimi, ikinci durumdaki şekil değiştirmeye ise açısal şekil değişimi veya kayma şekil değiştirmesi adı verilir. Şekil 17a ve 17b de sadece şekil değiştirmeler vardır; rijit yer değiştirmeler bulunmamaktadır. Şekil 17 Rijit cisim yer değiştirmeleri cismin konumunu, şekil değiştirmeler ise cismin geometrisini değiştirir. Rijit cisim yer değiştirmeleri küçük veya büyük olabilir buna karşın şekil değiştirmeler küçüktür. Rijit cisim yer değiştirmelerinin incelenmesi dinamik için, şekil değiştirmelerin incelenmesi ise mukavemet için önemlidir. Belirtildiği gibi, bir cismin şekil değiştirmesi, boyutlarının veya biçiminin değişmesi şeklinde iki tipte olmaktadır. Dolayısıyla şekil değiştirmenin farklı iki elemanı bulunmaktadır. Uzama Şekil Değiştirmesi: Cismin boyutlarının değişmesi, uzunluklarının değişmeleri ile ölçülür. Şekil 18 de görüldüğü gibi x ekseni üzerinde A ve B noktalarını alalım. Şekil değiştirmeden sonra bu noktalar A 1 ve B 1 konumlarına gelsinler. Şekil 18 A B AB AB 1 1 (2) şeklinde tanımlanan boyutsuz büyüklüğe birim uzama veya uzama oranı adı verilir. Bu değer A ve B noktalan arasında ortalama birim uzamadır. Bu büyüklüğün değeri, mühendislikte kullanılan bir çok malzeme için küçüktür. B noktasını A ya yaklaştırıp limite geçildiğinde İMG Mekanik Sunum Hafta 2 9/15

24 lim A B AB AB 1 1 x BA (3) olarak elde edilen büyüklük A noktasında x doğrultusunda uzama şekil değiştirmesini gösterir. değeri artı olduğunda x doğrultusunda boy uzaması, eksi olduğunda ise boy kısalması vardır. Kayma Şekil Değiştirmesi: Cismin biçiminin değişmesi, açılarının değişmesi ile ölçülür. Açısal şekil değişiminin ölçülmesi için Şekil 19 da görüldüğü gibi birbirine dik yönlendirilmiş iki doğrultu alınır. A noktasında açı değişimi açının diklikten sapmasının ölçüsü olarak aşağıdaki şekilde tanımlanır. Şekil 19 lim xy BA CA CAB (4) (4) denkleminde görüldüğü gibi açı değişimi, iki indis ile gösterilmektedir. Göz önüne alınan doğrultular eksenler ile aynı doğrultuda ve açı azalıyor ise xy 0 dır. xy değerine kayma açısı adı da verilir. E. Gerilme Şekil Değiştirme Eğrisi: Malzemenin dayanımı belirlenirken, uygun olmayan şekil değiştirmeler yapmadan ve göçmeden yükü taşımasına bakılır. Bu davranış tamamen statik ya da dinamik esasa dayalı deneysel yöntemlerle belirlenir. Yaygın olarak yapılan deneyler; statik, tekrarlanan, zamana yayılı ya da ani yükleme biçimindedir. Malzemede bazı basit mekanik özellikleri belirlemek için çekme ve basınç deneylerinden yararlanılır. Çekme deneyi Şekil 20 deki deney aletine yerleştirilecek örnek malzeme, aletin içindeki hareketli parçanın ok yönünde hareket etmesi ile numune iki ucundan çekilmeye başlar. Numunede gözlenecek boy L, kesit alanı A ve deney sırasında çubuğu uç larından çekecek kuvvet P olsun. Gerilme ile birim şekil değiştirme arasındaki ilişkiyi görmek için P kuvveti sıfırdan başlayarak yavaşça arttırılır ve her yeni P değeri için yeni çubuk boyu L ölçülür. Eğer bu tek eksenli basit çekme deneyinde çubuk kesitinde bir homojen gerilme dağılımı oluştuğu varsayılırsa, gerilme ile birim şekil değiştirme hesabı, P L ve = (5) A L İMG Mekanik Sunum Hafta 2 10/15

25 Şekil 20 biçiminde yapılır. Burada L L L olup, P kuvvetinin her bir artış değeri için ona karşı gelen yeni ve değerleri bulunur ve böylece, takımında gerilme şekil değiştirme eğrisi grafik olarak çizilir. Yalnız, eğrileri doğrudan malzeme özelliklerine bağlıdır. Gerilme ile birim şekil değiştirme arasında biçiminde uygun bir matematik ifade geliştirilir. Yapı çeliği yada düşük karbonlu çelik, çekme deneyinde Şekil 21 deki gibi bir davranış sergiler. Şekil 21 Gerilmenin H değerine kadar eğri bir doğru parçası gibidir. 0 H aralığında ile arasında bir orantılılık vardır ve buradaki eğime E denirse, bünye bağıntısı ya da gerilme şekil değiştirme ilişkisi, (6) E İMG Mekanik Sunum Hafta 2 11/15

26 olur. (6) denklemi (5) denkleminde yerleştirilirse, çubukta ölçülecek boy değişimi, PL L (7) AE olarak ifade edilir. Malzemeden malzemeye farklılık gösteren E sabitine elastisite modülü (ya da Young modülü) denir. Şekil 21 deki bazı özel değerler şunlardır: : Orantılık sınırını işaret eder ve gerilmenin bu değerine kadar malzeme Hooke H yasasına (yani denklem (6) da verilen gerilme ile şekil değiştirme arasında doğrusal ilişki olması durumu) uyar. : Elastisite sınırını işaret eder ve malzeme buradan sonra elastik özelliğinin E kaybeder. : Akma gerilmesidir. Gerilme bu değere ulaştıktan sonra, kayda değer bir büyüme A göstermese de, uzama artmaya devam eder. Bu sırada malzeme yapısında önemli değişimler ve kaymalar oluşurken, numunede meydana gelen şekil değiştirmeler kalıcıdır ve yük kaldırılsa da artık düzelmezler. : Çekme mukavemeti malzemenin iki kesite bölünmesi aşamasına kadar Ç kaldırabileceği en büyük gerilmedir. : Kopma şekil değiştirmesi olarak bilinir ve çubuk kopuncaya kadar meydana gelen K toplam uzama oranıdır. Yapı çeliğinde sıfırdan başlayarak arttırılan yükleme sonrası orantılık sınırı aşılırsa, birim şekil değiştirmelerdeki büyüme hızlanır. Eğer Şekil 21 deki eğride A noktası aşılmış ise, malzeme akmaya başlar ve A dan B ye doğru gidilirken meydana gelen birim şekil değiştirmelere karşılık dikkati çekecek miktarda gerilme artışı gözlenmez. Çelik ve benzeri malzemelerde B noktasından sonra pekleşme olur ve eğri B den C ye doğru eğim alarak yükselir. Uzama pekleşmesi denen bu durumun altında yatan sebep, malzemenin atomik ve kristal yapısında başlayan değişimdir. C noktasına kadar yük taşıma kapasitesini arttıran malzeme bu noktadan sonra zayıflama gösterir ve nihayet K noktasında malzeme koparak ikiye ayrılır. Çelik için belirgin olan akma sınırı, alüminyum gibi bazı malzemelerde pek belirgin değildir. Yapı çeliği için Şekil 21 deki eğri temsili olup ölçekli değildir. Gerçekte A dan B noktasına kadar ölçülen uzama oranı, O dan A noktasına kadar ölçülen uzama oranının yaklaşık katıdır. Çekme deneyinden çıkan çok önemli bir başka gözlem; çubuk kendi ekseni boyunca uzarken eksene dik enine doğrultularda büzülür. O neden ile başlangıçta ölçülen kesit alanı A çekme sırasında küçülür. Bu durum Şekil 21 deki gerilme şekil değiştirme eğrisinde B noktasına kadar küçük değerlerde seyrederken, B noktası aşıldıktan sonra kesit alanı gözle görülür biçimde azalmaya başlar. İMG Mekanik Sunum Hafta 2 12/15

27 F. Basit Mukavemet Halleri: Şekil 22 Şekil 22 de kesite etkiyen R kuvvet vektörü ile M moment vektörünün biri kesit içinde diğeri kesitin normali doğrultusunda bileşenlerini göz önüne alalım. R kuvvetinin T ve N bileşenlerine sıra ile kesme kuvveti ve normal kuvvet adı verilir. M vektörünün M ve M bileşenlerine de sırası ile eğilme momenti ve burulma momenti adı verilir. Normal kuvvet ile eğilme momenti; normal gerilme meydana getirirler; kesme kuvveti ile burulma momenti ise kayma gerilmesi oluştururlar. Bir kesitte bu dört bileşenden yalnız birinin bulunması haline basit mukavemet hali denir. Dört basit mukavemet halleri şunlardır: Eksenel normal kuvvet hali: Bu basit mukavemet halinde kesitte yalnız N normal kuvveti bulunur. Bu kesit tesiri çubuğu boyuna doğrultuda uzatmaya veya kısaltmaya çalışır. Bu basit mukavemet halinin bir çubuk elemanı üzerine etkisi Şekil 23 te gösterilmektedir. Kesitteki normal kuvvet, kesitin geometrik merkezinden geçmez ise bu duruma dış merkezli (eksantrik) normal kuvvet adı verilir, bu kuvvet kesitin geometrik merkezine indirgendiğinde normal kuvvet ile moment elde edileceğinden, dış merkezli normal kuvvet hali bir basit mukavemet hali değildir. e b Şekil 23 İMG Mekanik Sunum Hafta 2 13/15

28 Kesme hali: Bu basit mukavemet halinde kesitte yalnız T kesme kuvveti; yani yalnız kesit içinde kuvvet bulunmaktadır. Bu basit mukavemet halinin bir çubuk elemanı üzerine etkisi Şekil 24a da görülmektedir. Bu mukavemet halinde kesme kuvveti kesiti bir makas gibi keseceğinden kesme kuvvetine bazen makaslama kuvveti de denilmektedir. Kesme halinde dik kesitler, şekil değiştirmeden sonra düzlem kalmazlar. Kesitler çubuk eksenine dik ötelenmekle birlikte çarpılmaya uğrarlar (Şekil 24b). Şekil 24 Burulma hali: Bu mukavemet halinde kesitte yalnız moment vektörünün, kesitin normali doğrultusunda M burulma momenti bileşeni vardır. Bu bileşeni kesit içinden bir kuvvet çifti b a oluşturur ve kesiti burar. Bu basit mukavemet halinin bir çubuk elemanı üzerine etkisi Şekil 25a da görülmektedir, şekilde burulma momenti dairesel ok ile gösterilmiştir. Şekil 25b de burulmadan dolayı oluşan şekil değiştirme ve Şekil 25c de ise burulma momentinin enkesit içerisinde oluşturduğu gerilme dağılımı gösterilmiştir. b Şekil 25 Eğilme hali: Bu mukavemet halinde kesitte yalnız M e eğilme momenti bulunmaktadır. Moment vektörünün kesit içindeki bileşeni kesiti eğmeye çalışacağından bu hale eğilme hali adı verilmektedir. Bu basit mukavemet halinin bir çubuk elemanı üzerine etkisi Şekil 26a da görülmektedir. Şekilde eğilme momenti dairesel ok ile gösterilmiştir. Şekil 26c de eğilme İMG Mekanik Sunum Hafta 2 14/15

29 momentinden kaynaklanan şekil değişimi, Şekil 26d de ise eğilme momentinden kaynaklanan enkesit üzerindeki gerilme dağılımı verilmiştir. Şekil 26 İMG Mekanik Sunum Hafta 2 15/15