Akışkanlar Mekaniği. Bölüm-II. Akışkanların Statiği

Transkript

1 Akışkanlar Mekaniği Bölüm-II Akışkanların Statiği 1

2 2. AKIŞKANLARIN STATİĞİ 2.1. Akışkanlara Etki Eden Kuvvetler Birinci tip kuvvetler kütle (hacim) kuvvetleri ve ikinci tip kuvvetler yüzey kuvvetleri olmak üzere, akışkan sistemlerini ilgilendiren iki çeşit kuvvet bulunmaktadır. Kütle (hacim) kuvvetleri, sistemin kütlesi veya hacmi nedeniyle etki eden kuvvetlerdir. Yerçekimi kuvveti, elektrik, potansiyel kuvveti gibi kuvvetler bu grubu oluşturur. Yüzey kuvvetleri ise, akışkan sistemin yüzeyinde ve yüzeyin büyüklüğü ile orantılı olarak etki eden kuvvetlerdir. Bütün yüzey kuvvetleri yüzeye dik ve yüzeye teğet bileşenlere ayrılabilir. Yüzeye teğet kuvvetler kayma kuvvetleri, yüzeye dik kuvvetler ise basınç kuvvetlerini oluşturur Hidrostatik Denge Hareketsiz, statik bir akışkan sistemine etki eden kuvvetlerin bileşke değeri sıfırdır. Bu şartlardaki sistem hidrostatik denge halindedir ve herhangi bir yön için F = 0 dır. Bir sıvı tankında yatay konumlu yüzeye paralel yüzen bir silindir için silindirin iki ucuna etki eden basınçlar birbirine eşittir. Silindir hareketsiz olduğu için etki eden kuvvetlerin bileşkesi sıfırdır. Bu durum bize, yüzeye paralel konumlu noktalarda akışkan içindeki basıncın aynı olduğunu göstermektedir ve sıvının içinde bulunduğu kabın şekline bağlı değildir. z Şekil.2.1. Akışkan içinde kontrol hacim elemanı. Durgun bir akışkan içinde, kartezyen koordinatlarda bir hacim elementi alındığında uygulanan kuvvetlerin, yüzey kuvvetleri olarak basınç kuvvetleri ve kütlesel kuvvet olarak da yer çekimi kuvvetlerinin olduğu bilinmektedir. Akışkan durgun olduğundan kayma kuvvetleri yoktur. z- yönünde kuvvet denkliği yazıldığında aşağıdaki eşitlikler elde edilir, Bu ifade kontrol elementinin hacmi olan hareketle aşağıdaki diferansiyel denklem elde edilir. değerine bölünür ve limit tanımından 2

3 Eşitlik (2.2) akışkan statiğinin temel denklemi olarak bilinir. Bu denkleme göre akışkan içinde basınç yüksekliğe bağlıdır ve yükseklik "+z" yönünde arttıkça basınç azalmaktadır. Sıvılar çoğunlukla sıkıştırılamayan akışkanlar ( sabit) olduğundan, akışkan statiğinin temel denklemi kolayca uygulanabilir. Za, Pa Zb, Pb Şekil 2.2. Hacim elementinde basıncın yükseklikle değişimi. Z = 0 Sıkıştırılabilen akışkanlar için (gazlar) yoğunluk basınçla değiştiğinden (2.2) eşitliğinin uygulanması için öncelikle yoğunluk basınca bağlı olarak yazılır ve ideal gaz denklemi yardımıyla işlemler yapılır. Buna göre, Değerini (2.2) eşitliğinde yazarsak, Sıcaklık sabit alınarak bu denklemin belli sınırlar içinde integrali alınır ve basınç-yükseklik ilişkisi elde edilir. Örnek.2.1. Malatya nın deniz seviyesinden yüksekliği yaklaşık 970 m olduğuna göre sıcaklığın 30 o C olduğu durgun havalı bir günde Malatya daki açık hava basıncını hesaplayınız. M hava = 29 g/mol, R = 8314 Pa.m 3 /kmol K. Çözüm.2.1. Hava bir gaz olduğu için (2.5) eşitliği kullanılarak çözüm yapılmalıdır. 3

4 2.3. Doğrusal Yörünge Üzerinde İvmeli Hareket Bazı durumlarda, akışkan içinde bulunduğu kaba göre hareketsiz olduğu halde kabın hareket etmesiyle akışkan da yığın halde (katı parçası gibi) hareket eder. Asansörle yukarı doğru çekilen bir sıvı, belli bir doğrultuda hareket eden bir yakıt tankeri, sıvı ile dolu silindirik bir kabın belli bir açısal hızla dönmesi buna örnek olarak verilebilir. Benzer şekilde, serbest düşen bir cisim yerçekimi etkisi ile ivmelenir ve hava direnci ihmal edildiğinde cismin ivmesi yerçekimi ivmesine eşit olur. Cismin z-doğrultusunda düştüğünü farzedersek, a x = a y = 0, a z = -g olacaktır. Düz bir yolda hareket eden (x-doğrultusu) sıvı taşıyan atmosfere açık bir tankerdeki sıvı, araç belli bir a x -ivmesi ile hareket halinde olduğu için aracın arkasına doğru belli bir - açısı ile eğik bir yüzey oluşturacaktır. Sıvının herhangi bir noktasında x- ve z-doğrultularında kuvvet denklikleri yazılarak matematiksel olarak olay aydınlatılabilir (Şekil.2.3). (a) (b) Şekil.2.3. (a) Bir sıvının serbest düşmesi ve bir sıvının yukarı doğru ivmeli hareketi, (b) Belli bir ivme ile hareket eden atmosfere açık bir tankta sıvı yüzeyinin görünümü. x-, y- ve z-yönlerinde basınç değişimleri, Basıncın konumla değişiminin toplam türevi aşağıdaki gibi yazılır ve gerekli düzenlemeler yapılır. Yoğunluk sabit alındığından sonlu büyüklükler cinsinden iki nokta arasındaki basınç farkı aşağıdaki şekilde hesaplanır; x = 0 ve z = 0 (orijin) noktasındaki basınç P o alınırsa herhangi bir noktadaki basınç dağılımı aşağıdaki gibi bulunur. 4

5 olması halinde (1 ve 2 noktaları serbest yüzeyde) (2.8) eşitliğinde aşağıdaki düzenleme yapılarak sıvı yüzeyinin yatayla yapacağı açı bulunabilir. Şekil.2.3b ye göre (2.10) eşitliğinin sağ tarafı sıvı yüzeyinin yatayla yaptığı açının tangentini verir ve açının sayısal değeri hesaplanır. Örnek.2.2. Yandaki şekilde 80 cm yüksekliğinde ve 2m 0.6 m kesit alanında kısmen suyla doldurulmuş bulunan bir balık tankı bir kamyonun arkasında taşınacaktır. Tank başlangıçtan 90 km/h hıza 10 saniyede ivmelenmektedir. Bu ivmelenme sırasında tanktan su boşalması istenmediğine göre, tanktaki başlangıç su yüksekliğini belirleyiniz. (g = 9.81 m/s 2 ) Çözüm.2.2. Tankerin sadece x-yönünde ivmelendiği görülüyor,. Buna göre ivmenin sayısal değeri hesaplanabilir. Şekil.2.4. Örnek.2.2. gösterimi. Uzun kenar hareket doğrultusunda, Kısa kenar hareket doğrultusunda, Buna göre, kısa kenar hareket doğrultusunda seçilerek suyun tanktan boşalması engellenebilir. 5

6 2.4. Silindirik Bir Kapta Düşey Eksen Etrafında Dönme Düşey bir eksen etrafında dönme sırasında durum biraz daha karmaşık haldedir. Silindirik bir kap açısal hızıyla dönen bir levha üzerine yerleştirildiğinde aynı açısal hızla dönmeye başlar. Başlangıçta düzgün olan sıvı yüzeyi dönmenin etkisiyle silindirik kabın cidarlarına doğru yükselmeye başlayacak ve yüzey eğimli bir hal alacaktır (Şekil.2.4). kabın şekli silindirik olduğundan, problem silindirik koordinatlarda (r,, z) çözümlenebilir. Sıvı içinde merkezden "r" kadar mesafede ve sabit açısal hızı ile dönen bir akışkan parçacığının merkezcil ivmesi kadar olur. Dönme ekseni olan z- ekseni etrafında simetri vardır ve bu yüzden ya bağımlılık yoktur ve a z = 0 dır. Buna göre dönen akışkanlara ait hareket denklemleri aşağıdakigibi yazılır; Silindirik koordinatlarda basıncın toplam türevi yarıçap (r) ve konum (z) ile aşağıdaki gibi ilişkilidir. (2.12) eşitliğindeki diferansiyel değerler (2.13) denkleminde yazılarak basınç dağılımı elde edilir. Buna göre, Şekil.2.4. Dönen sıvı dolu bir kap. Sabit basınç yüzeylerinin denklemi dp = 0 olacağından (2.14) denklemi üzerinde aşağıdaki düzenleme yapılarak ve diferansiyel ifadenin integrali alınarak yüzey geometrisini veren parabol denklemi elde edilir. r= 0, z s = h c olduğundan, C1 = h c olur ve integralin son hali serbest yüzeyin denklemini verir. Yüzey atmosfere açık olduğunda, parabol denklemi şeklinde elde edilir. olacağı için (2.15) eşitliği yüzey için aşağıdaki gibi bir Bu eşitlikteki, r-yarıçapı uzaklıkta serbest yüzeyin kap tabanından olan yüksekliğidir. r-yarıçapı uzaklıkta, yüksekliğinde ve dr kalınlığındaki silindirik bir kabuğun hacmi (V) aşağıdaki gibi yazılabilir; 6

7 Kütlenin korunduğunu ve yoğunluğun sabit olduğunu bildiğimize göre bu hacim değeri, başlangıçta kapta bulunan hacim kadar olmak zorundadır. Bu iki hacim değeri eşitlenerek, dönme sırasında eksen boyunca olan sıvı yüksekliği bulunur. Buna göre serbest yüzeyin parabolik denklemi, Maksimum yükseklik farkı, ; Yoğunluk sabit olduğundan akışkan içindeki 1 ve 2 noktaları arasında basınç farkı (2.14) ifadesinin integrali alınarak bulunabilir. 1-noktası basıncın P o olduğu orjin noktası ve 2 noktası akışkan içerisindeki herhangi bir nokta olmak üzere basınç dağılımı aşağıdaki gibi bulunur. Örnek.2.3. Yandaki şekilde görülen 20 cm çapında, 60 cm yüksekliğindeki düşey bir silindir, yoğunluğu 850 kg/m 3 olan sıvıyla 50 cm yüksekliğine kadar kısmen doldurulmuştur. Silindir sabit bir hızla döndürüldüğünde sıvının taşmaması için gerekli dönme hızını hesaplayınız. Çözüm.2.3. Dönen düşey silindir tabanının merkezi orijin (r = 0, z = 0) alındığında sıvı serbest yüzeyine (2.19) denklemi uygulanır. r= 0.10 m; z = 60 cm = 0.60 m, h c = z o = 50 cm = 0.50 m Kap kenarında (r = R) sıvı yüksekliği, 7

8 Bu değer 1 dev = dönüşümü ile dakikadaki devir sayısına dönüştürülebilir. Üstü atmosfere açık olan H derinliğinde bir tankta bulunan sıvı, tankın duvarına (duvar kalınlığı W, Şekil.2.5) ve tabanına farklı basınçlar uygular. Sıvı içinde herhangi bir h derinliğindeki basınç aşağıdaki gibi verilir. Suyun duvara uyguladığı toplam kuvvet aşağıdaki gibi verilir; Şekil.2.5. Düşey bir yüzeyle temasta olan sıvı görüntüsü. Duvarın atmosfere açık olan tarafından da bir hava basıncı ( duvara etki eden net kuvvet aşağıdaki gibi bulunur. ) uygulanacağı için Örnek.2.4. Yandaki şekilde üstü atmosfere açık bir tankta 8 m yüksekliğinde ve 900 kg/m 3 yoğunluğunda bir sıvı bulunmaktadır. Tankın tabanındaki basıncı ve tankın yan duvarına etki eden net kuvveti hesaplayınız (P atm = 1 atm). Çözüm.2.4. (2.25) eşitliğinden kabın tabanındaki basınç hesaplanır. 8

9 Tankın yan duvarına etkiyen net kuvvet için ise silindirik tank için alan ifadesi da = Ddh kullanılarak eşitlik (2.26) integre edilir. Buna göre; Bu ifadenin integrali alındığında (2.29) a benzer şekilde aşağıdaki eşitlik elde edilir ve sayısal işlem yapılır Eğik Bir Yüzeye Uygulanan Kuvvet Yandaki sistemde (Şekil 2.6) olduğu gibi, "L" uzunluğunda ve "W" genişliğinde eğik bir duvar ile temasta olan sıvının yaptığı basınç hesaplanabilir. Duvarın herhangi bir "l" mesafsinde ve yüzeyden "h" kadar bir derinlikte alınan hacim elemanı üzerinde x- ve z-yönlerinde aşağıdaki kuvvet dengeleri yazılabilir. Şekil.2.6. Eğik bir yüzeyle temas halinde olan sıvınn duvara yaptığı etkiler. Eğik duvarın sağ tarafı atmosfere açık olduğundan etkiyen net kuvvet aşağıdaki gibi olur. Burada, şeklinde tanımlanır. 9

10 2.6. Kaldırma Kuvveti Bir akışkan içinde yüzen veya batık bir cisme akışkan tarafından uygulanan kaldırma kuvveti, F B, basınç kuvvetinin düşey bileşeninin bütün yüzey boyunca integrali alınarak hesaplanabilir. Eşitlik (2.30) da verilen düşey bileşenin basınç kuvveti eşitliğinde açısı için aşağıdaki eşitlikler yazılabilir. Şekil.2.7. Bir sıvıya daldırılan bir cisim farklı konumlarda durabilir. (2.31) Yan yüzeyler için; = 90 o, 270 o ==> cos90 o = 0 Üst yüzey için; = 0 o ==> cos0 o = 1 Alt yüzey için; = 180 o, ==> cos180 o = -1 Bu değer (2.35) eşitliğinde yazılırsa, Burada, V sıvı : Cisim nedeniyle yer değiştiren sıvının hacmi, V hava : Cisim nedeniyle yer değiştiren havanın hacmi, olarak bilinir. (2.35) eşitliği Archimedes Prensibi olarak bilinir. Buna göre, bir akışkan içerisine daldırılan bir cisme etki eden kaldırma kuvveti, bu cisim tarafından yeri değiştirilen akışkanın ağırlığına eşittir ve bu kuvvet, yer değiştiren hacmin kütle merkezi boyunca yukarı doğru etki eder. 10

11 2.7. Manometreler Bir akışkan ortamın iki farklı noktasındaki basınç farkını ölçmek için kullanılan "U" tüpü veya eğik manometre şeklinde bulunurlar. Manometreler küçük ve orta ölçekteki basınçları okumak için kullanılırlar. Yoğunluğu, basıncı ölçülecek akışkandan daha büyük olan bir sıvı, manometre sıvısı olarak kullanılır. Manometreler, manometre sıvısı olarak, civa, su, alkol veya yağ gibi içerisinde bir veya daha fazla sıvı akışkan bulunan cam veya plastik bir U borusundan oluşurlar. Akışkan içerisinde z kadarlık bir yükseklik farkı, P/ g büyüklüğüne karşılık gelir. Büyük basınçlar için yükseklikten tasarruf etmek amacıyla civa gibi yoğun akışkanlar kullanılır. Şekil.2.8. Bir manometrenin farklı gösterimleri. Şekil.2.8 de sol taraftaki manometre kesiti için aşağıdaki eşitlikler yazılabilir. Sol kol için; Bağıntıların sağ tarafı birleştirilirse aşağıdaki eşitlik elde edilir. Sağ kol için, (2.36) ve (2.37) eşitlikleri birleştirildiğinde (1) ve (5) noktaları arasındaki basınç farkı (P a - P b ) aşağıdaki gibi elde edilir. İçerisinde birden fazla akışkanın olduğu veya birden fazla manometrenin birleşiminden oluşan sistemlerde; 11

12 h yüksekliğindeki akışkan sütununun bir ucu ile diğer ucu arasındaki basınç değişimi, kadardır, Akışkan sütunu içinde aşağıya inildikçe basınç artar, yukarı doğru çıkıldıkça basınç azalır, Durgun akışkan içerisinde aynı yükseklikte bulunan iki noktanın basınçları birbirine eşittir (Pascal prensibi). Şekil.2.9. Bir diferansiyel manometrede basınç farkının ölçülmesi. Şekil.2.9 daki sistem için basınç denkliği aşağıdaki gibi yazılabilir; 1 noktasından başlanarak manometre içinden 2 noktasına gelinir. Bu esnada inerken (+) çıkarken (-) işaret kullanılarak basınç farkı hesaplanır. Bu düzenekte yoğunluğu olan akışkan gaz veya sıvı olabilir, manometre sıvısının yoğunluğu ve akışkan sütunu yüksekliği farkı h kadardır. Borudaki akışkan gaz ise, 2 >> 1 ve P 1 -P 2 = gh olur. Manometre kolları arasındaki fark küçük olduğunda okuma hatalarını en aza indirmek için manometrenin basıncı küçük olan tarafı aşağıdaki (Şekil.2.9) gibi belli bir açı ile eğik yapılabilir. Bu düzenekler eğik manometre olarak bilinir. Şekil.2.9. Eğik manometre. 12

13 Örnek.2.5. Şekildeki sistemde, kaptaki gazın basıncını belirlemek amacıyla içinde su olan bir manometre kullanılmaktadır. Manometredeki diferansiyel basınç farkı 40 cmsu olarak ölçülmüştür. Tanktaki gazın yoğunluğu 1.15 kg/m 3, sıcaklık 20 o C ve atmoserik basınç 685 mmhg olduğuna göre tanktaki gazın basıncını (P) hesaplayınız (suyun yoğunluğunu 1000 kg/m 3 olarak alınız). Çözüm.2.5. Şekil Çok Tabakalı Akışkanlar P gh gh gh P

14 Barometreler açık hava basıncını ölçmede kullanılır. Bu yüzden barometre basıncına atmosfer basıncı da denir. C noktasındaki civa buharının basıncı çok küçüktür ve sıfır alınabilir. Dolayısıyla akışkan sütununun ağırlığı alttan etkiyen atmosferik basınç kuvveti ile dengelenmelidir. Atmosfer basıncı yükseklere çıkıldıkça düşer ve bunun birçok etkisi olur: pişirme süresi, burun kanaması, motor performansı, uçakların performansı vb.. P gh P P C atm gh atm (2.41) Hidrometre Archimedes in kaldırma kuvveti prensibine dayanarak sıvıların yoğunluğunu belirlemede kullanılan basit araçlardır. Bu işlem hidrometenin suya daldırılması ve daha sonra başka bir sıvıya daldırılması ile batan hacim ölçümü ile gerçekleştirilir. Suya daldırıldığında; Yağa daldırıldığında; 14

15 UYGULAMA-II Problem.2.1. Aşağıdaki şekilde gösterilen bir manometre, bir orifizdeki basınç düşüşünü ölçmek için kullanılmaktadır. A sıvısı bağıl yoğunluğu 13.6 olan civa, orifizden akıp manometreyi dolduran B akışkanı ise tuzlu su olup bağıl yoğunluğu 1.26 dır. Uçlardaki basınçlar eşit olduğu zaman manometredeki Hg seviyesi orifiz uçlarından m aşağıdadır. Çalışma şartlarında, üst akım tarafındaki basınç atmg ve alt akım tarafındaki basınç ise atmosfer basıncından 25.4 cmhg daha aşağıdadır. Manometrenin ölçtüğü basıncı (R m ) mm olarak hesaplayınız. kg/cm 2 kg/cm 2 1 Zm 5 4 Rm 2 3 Çözüm.2.1. Atmosfer basıncına sıfır dersek yukarıdaki ikinci eşitlikte değerleri yerine yazarak, 15

16 Problem.2.2. Üstü atmosfere açık olan bir sıvı tankı toprak seviyesinden z yüksekliğe kadar bir sıvı ile doludur. Tankın yan yüzeylerine etki eden ortalama basıncın alt ve üst basınçların aritmetik ortalamasına eşit olduğunu gösteriniz. Çözüm.2.2. P a Z a = z Z P b Z b = 0 (1) ve (2) ifadeleri (A) denkleminde yazılırsa; Problem.2.3. Yandaki sistemde, bir orifize civa ile doldurulmuş U şeklinde bir manometre bağlanmıştır. Manometre sıvısı olan civanın (B sıvısı) üzerinde bağıl yoğunluğu 1.6 olan CCI 4 (A sıvısı) bulunmaktadır. Manometreden okunan değer 8.3 in olduğuna göre manometre kollarına etkiyen basınç farkını inh 2 O olarak hesaplayınız. Çözüm.2.3. Basınç denkliği yazılırsa; 16

17 Problem.2.4. Aşağıdaki sistemde P A basıncının değerini hesaplayınız. P atm = 1.013*10 6 dyn/cm 2 R m = cm, g = 980 cm/s 2 X = cm, Y = cm, N g/cm 3, g C = 1 Çözüm.2.4. a ve b noktalarındaki basınç eşit alınarak çözüme gidilir. Buna göre, 17

18 Problem.2.5. İçlerinden su akan A ve B borularına şekilde görüldüğü gibi bir manometre bağlanmıştır. Manometre kollarının altında bağıl yoğunluğu 13.6 olan civa, ters dönmüş U kısmında ise bağıl yoğunluğu 0.80 olan bir yağ bulunmaktadır. İki boru bağlantıları arasındaki basınç farkını (P A - P B ) lb f /in 2 olarak hesaplayınız. h 1 = 10, h 2 = 3, h 3 = 4, h 4 = 5, h 5 = 8, h 6 = 4 Çözüm

19 Problem.2.6. Aşağıdaki sistemde bir orifizdeki basınç düşüşünü ölçmek için sisteme bir manometre bağlanmıştır. Bu sistemde manometre kolları arasındaki seviye farkı kaç cmhg ve buna karşılık gelen basınç kaç atm olur? Çözüm.2.6. g C = 1 gcm/dyn s 2 = 1 kgm/ns 2 19

20 Problem.2.7. Aşağıdaki sistemde içinden su akan yatay bir borunun A ve B en kesitlerine bir diferansiyel manometre bağlanmıştır. Civa seviyeleri arasındaki fark 0.60 m ve manometrenin A ya yakın olan kolundaki seviye daha düşüktür. A ve B kesitleri arasındaki basınç farkını Pascal (N/m 2 ) olarak hesaplayınız. Çözüm.2.7. Problem.2.8. Bir hava borusuna şekildeki gibi bağlanan çift akışlı bir manometrede, akışkanlardan birinin bağıl yoğunluğu, 13,55 olduğuna göre verilen hava basıncı için diğer akışkanın yoğunluğunu hesaplayınız. (Suyun yoğunluğu 1000 kg/m 3, P atm = 100 kpa). Çözüm.2.8. Sistemde basınç denkliği yazılısa, Spesifik gravite (bağıl yoğunluk) cinsinden yukarıdaki eşitliği yeniden yazarsak, 20

21 Problem.2.9. Yandaki sistemde tanktaki tanktaki havanın etkin 65 kpa olarak ölçüldüğüne göre, civa sütununun fark yüksekliğini (h Hg ) hesaplayınız. (h Su = 30 cm, h Yağ = 75 cm, 1000 kg/m 3, 0.72, 13.6) 1 Çözüm.2.9. Sistemde basınç denkliği yazılısa, Spesifik gravite (bağıl yoğunluk) cinsinden yukarıdaki eşitliği yeniden yazarsak, 21

22 Problem İçinden akışkanın aktığı bir boruda, yapılan çalışmalarda, burunun iki ucu arasındaki basınç farkının borunun çapına (D), borunun uzunluğuna (L), akışkanın ortalam hızına (v), akışkanın yoğunluğuna ( ) ve akışkanın viskozitesine ( ) bağlı olduğu belirlenmiştir. Boyut analizi yaparak basınç düşmesi ( P) ile değişkenler arasındaki matematiksel ifadeyi türetiniz. Çözüm Bu sistemde bağımlı değişken basınç düşmesidir (- P), bağımsız değişkenler ise, borunun çapı (D), boru uzunluğu (L), akışkanın ortalama hızı ( ), akışkanın yoğunluğu ( ) ve akışkanın viskozitesi ( ) olarak (5 tane değişken) sıralanır. Bağımlı ve bağımsız değişkenler arasında matematiksel bir eşitlik türetmek için, bir fonksiyon oluşturulur, fonksiyon oluşturulurken bağımsız değişkenler üstel olarak yazılır ve üs değerlerin belirlenmesine çalışılır daha sonra bu fonksiyon eşitlik haline getirilirken bir sabit (k) ile çarpılır. (1) (2) Eşitliğin her iki tarafındaki bileşenlerin boyutları (kg, M; uzunluk ve çap, L; zaman, t) yazılır. Bu boyutlar genel eşitlikte yazılır, (3) (4) Benzer boyutların üs değerleri eşitlenir, Diğer değişkenler b ve e cinsinden hesaplanırsa, Bulunan değerler (3) eşitliğinde yerine yazılır ve daha sonra üssü b, e ve sayı olanlar ayrı ayrı toplanır. Denklemin her iki tarafındaki gruplar da boyutsuz formda bulunmaktadır. Sağ taraftaki ikinci grup Reynolds Sayısı (Re) olarak bilinir. 22

23 (5) nolu eşitlikte bulunan b ve e sayıları deneysel çalışmalarla elde edilir ve yapılan çalışmaların büyük bir kısmı b 1 olduğunu göstermiştir. Buna göre (5) ifadesi yeniden düzenlenirse, Fanning sürtünme katsayısı (f) ile aşağıdaki gibi ilişkili olduğu görülür. Problem Isı aktarım problemlerinde Calborn eşitliği olarak bilinen denklem aşağıda verilmiştir. bu denklemdeki h (film ısı transfer katsayısı) nın boyutunu bulunuz. Burada; : Akışkanın özgül ısısı, Btu/lb m o F; : Akışkanın viskozitesi, lb m /ft s; D: Boru çapı, ft G: Kütlesel hız, lb m /h ft 2 k: Isıl iletkenlik katsayısı, lb m /h ft 2 o F Çözüm Bu büyüklüklerin boyutları genel denklemde yazılarak h ın boyutu belirlenmeye çalışılır. 23