DİNAMİK. Ders_9. Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü. Ders notları için: GÜZ

Transkript

1 DİNAMİK Ders_9 Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü Ders notları için: GÜZ RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ: ÖTELENME&DÖNME Bugünün Hedefleri : 1. Sabit bir eksende düzlemsel öteleme veya dönme yapan rijit bir cismin kinematik analizi. Ders Etkinliği : Sözel Yoklama Uygulamalar Rijit Cisim Hareket türleri Düzlemsel Öteleme Sabit Bir Eksende Etrafında Dönme Kavramsal Yoklama Örnek Problem Çözümü Dikkat Yoklaması 9-2 / 30 1

2 SÖZEL YOKLAMA 1. Bir rijit cisim sadece öteleme hareketi yaparsa, rijit cisim üzerindeki A ve B noktalarının hızları. A) genellikle farklıdır B) her zaman aynıdır C) konumlarına bağlıdır D) birbirlerine göre konumlarına bağlıdır 2. Rijit bir cisim bir eksen etrafında sabit açısal hızla dönüyorsa, cisim üzerindeki bir P noktasının hız vektörü olur. A) r p B) r p C) dr p /dt D) yukarıdakilerin hepsi. 9-3 / 30 UYGULAMALAR Lunapark aracındaki yolcular, araç dairesel bir yörünge izlediği halde hep baş-yukarı kaldıklarından, eğrisel bir ötelemeye maruz kalırlar. Dönen kolların açısal hareketinin bilinmesi durumunda yolcuların maruz kaldığı hız ve ivmeyi nasıl hesaplarız? Bu değerleri neden bilmemiz gerekir? Her yolcu aynı ivmeyi mi hisseder? 9-4 / 30 2

3 UYGULAMALAR (devam) Makinalar içerisindeki hareketi oluşturmak ve kuvvetleri iletmek için genellikle sabit bir eksen etrafında dönen dişliler, makaralar ve kasnaklar kullanılır. Bu bileşenlerin açısal hareketi, sistemin uygun bir şekilde tasarlanabilmesi için iyice anlaşılmalıdır. Bu tasarımı yapmak için, farklı sabit eksenler etrafında dönen temas halindeki cisimlerin açısal hareketlerini ilişkilendirmek gerekir. Bunun, önceki bölümlerde yaptığımız analizlerden farkı nedir? 9-5 / 30 RİJİT CİSMİN HAREKETİ (Bölüm 16.1) Bir nesneyi parçacık olarak inceleyemeyeceğimiz durumlar vardır. Böyle durumlarda cisme ait boyut veya şeklin dikkate alınması zorunludur. Cismin kendi kütle merkezi etrafındaki dönmesi farklı bir yaklaşım gerektirir. Örneğin, makina ya da mekanizmalarda kullanılan dişli, kam ve zincirlerin tasarımında cismin yaptığı dönme, hareketin analizinde önemli bir husustur. Şimdi, rijit cismin hareketini incelemeye başlayabiliriz. Yapılacak analiz bu aşamada düzlemsel hareket ile sınırlandırılacaktır. Bir cismin tüm parçaları sabit bir düzlemden eşit uzaklıktaki noktalardan oluşan yörüngeler boyunca hareket ediyorsa, cismin düzlemsel bir hareket yaptığı söylenebilir. 9-6 / 30 3

4 RİJİT CİSMİN DÜZLEMSEL HAREKETİ Düzlemsel rijit cisim hareketinin üç türü vardır. I Doğrusal ötelenme yörüngesi II Eğrisel ötelenme yörüngesi III Sabit bir eksen etrafında dönme Genel düzlemsel hareket 9-7 / 30 RİJİT CİSMİN DÜZLEMSEL HAREKETİ (devam) Doğrusal ötelenme yörüngesi Eğrisel ötelenme yörüngesi Ötelenme: Eğer hareket sırasında, cisim üzerinde işaretli çizgi başlangıçtaki orijinal doğrultusuna paralel kalıyorsa bu durumda ötelenme oluşur. Eğer tüm noktalar düz bir çizgi boyunca hareket ediyorsa, bu hareket doğrusal ötelenme olarak adlandırılır. Eğer hareketin yörüngesi eğrisel bir çizgiyi takip ediyorsa bu durumda hareket eğrisel ötelenme olarak adlandırılır. 9-8 / 30 4

5 RİJİT CİSMİN DÜZLEMSEL HAREKETİ (devam) Sabit bir eksen etrafında dönme Sabit bir eksen etrafında dönme: Bu durumda, dönme ekseni üzerinde olan noktalar hariç, cisim üzerindeki diğer tüm noktalar dönme eksenine dik düzlemler üzerinde dairesel bir yörünge izlerler. Genel düzlemsel hareket Genel Düzlemsel Hareket: Bu durumda, cisim hem dönme hem de ötelenme hareketi yapar. Öteleme hareketi düzlemin içinde, dönme ise bu düzleme dik bir eksen etrafında oluşur. 9-9 / 30 RİJİT CİSMİN DÜZLEMSEL HAREKETİ (devam) Youtube: mechanisms anahtar sözcüğü ile videolar bulun!! Bu mekanizmada cisimlerin üç tür hareketine de birer örnek görülmektedir. Genel düzlemsel hareket Eğrisel ötelenme Doğrusal ötelenme Sabit eksen etrafında dönme Tekerlek ve en sağdaki kol (krank) sabit birer eksen etrafında dönme yapmaktadır. Her iki dönme ekseni de sabit mesnet üzerinde ve şekil düzlemine diktir. Düz bir çizgi boyunca kaymaya zorlandığından dolayı piston doğrusal ötelenme yapar. Disk ve krank arasındaki bağlantı çubuğu, dairesel yörüngedeki hareketi boyunca yataylığını koruduğundan, eğrisel ötelenme yapar. Disk ve piston arasındaki bağlantı çubuğu hem dönme hem de ötelenme yaptığından genel düzlemsel hareket içindedir / 30 5

6 RİJİT CİSMİN HAREKETİ: ÖTELEME (Bölüm 16.2) Sabit koordinat sistemi Cisimle birlikte ötelenen koordinat sistemi Doğrusal veya eğrisel ötelenen bir cisim üzerindeki A ve B noktalarının konumu şu şekilde ilişkilendirilebilir; r B = r A + r B/A burada r A ve r B, sabit x-y koordinat sisteminde tanımlı mutlak konum vektörleri, r B/A ise B ve A noktaları arasındaki rölatif konum vektörüdür. B nin hızı v B = v A + dr B/A /dt. Cisim rijit olduğundan r B/A sabittir; dr B/A /dt = 0 dır. Böylece, v B =v A, ve benzer bir yaklaşımla, a B = a A. Ötelenme yapan rijit bir cisim üzerindeki tüm noktalar aynı hız ve ivme ile hareket eder. Bu durumda noktasal parçacık için çıkarılan kinematik ilişkiler, rijit bir cisim üzerindeki bir nokta için de geçerlidir / 30 RİJİT CİSMİN HAREKETİ: SABİT BİR EKSEN ETRAFINDA DÖNME (Bölüm 16.3) Bir cisim sabit bir eksen etrafında döndüğünde, cisim üzerindeki herhangi bir P noktası, dairesel yörüngede hareket eder. P nin açısal konumu ile tanımlanır Açısal konumdaki değişim, d, açısal yer değiştirme olarak adlandırılır, yönü sağ el kuralına göre + veya olarak bulunur, birimi radyan ya da devir olabilir. Aralarında şu ilişki bulunur: 1 devir = (2) radyan Açısal hız,, açısal yer değiştirmenin zamana göre değişim oranıdır (zamana göre türev al): = d/dt (rad/s) + Açısal ivme, açısal hızın zamana göre değişim oranıdır: = d 2 /dt 2 = d/dt veya = (d/d) rad/s / 30 6

7 RİJİT CİSMİN HAREKETİ: SABİT BİR EKSEN ETRAFINDA DÖNME (devam) Eğer cismin açısal ivmesi sabitse, yani = C ise, açısal hız ve ivme denklemleri integre edilerek aşağıdaki cebrik denklemler elde edilebilir. = 0 + C t = t + C t 2 2 = ( 0 ) C ( 0 ) 0 ve 0, cismin başlangıç açısal konum ve açısal hız değerleridir. Dikkat edilirse bu denklemler, doğrusal hareket yapan bir parçacık için çıkarılan sabit ivmeli hareket bağıntılarıyla benzerdir / 30 Parmaklar ω dan r p ye kapanıyor! RİJİT CİSMİN DÖNMESİ: P NOKTASININ HIZI Açısal hareket incelendi, şimdi P nin hareketi incelenecek! Şekildeki rijit cisim döndüğünde, P noktası yarıçapı r ve merkezi O olan dairesel bir yörüngede döner (koyu renkli daire). P nin konumu r vektörü ile tanımlanır. Cisim dθ kadar dönerse ds= r dθ kadar yerdeğiştirir (dt ye bölünürse?). P nin hızının şiddeti v=r dir. Hızın yönü, P nin dairesel yörüngesine teğettir. Vektörel gösterimde ise, v nin şiddeti ve yönü, ve r p nin vektörel çarpımı ile hesaplanabilir. Burada r p, dönme ekseni üzerindeki herhangi bir noktadan P ye olan konum vektördür. v = r p = r v nin yönü sağ el kuralı ile belirlenir / 30 7

8 RİJİT CİSMİN DÖNMESİ : P NOKTASININ İVMESİ P nin ivmesi normal (a n ) ve teğetsel (a t ) bileşenleri cinsinden ifade edilir. Skaler formda bunlar; a t = r ve a n = 2 r. (a t = dv/dt, a n = v 2 /r, v = r, = d/dt) Teğetsel bileşen, a t, hızın şiddetinin zamana göre değişim oranını ifade eder. Hareketin yörüngesine teğettir. Normal bileşen, a n, hızın yönünün zamana göre değişim oranını ifade eder. Dairesel yörüngenin merkezine doğru yönelmiş durumdadır / 30 RİJİT CİSMİN DÖNMESİ : P NOKTASININ İVMESİ (devam) Vektörel form kullanılarak, P nin ivmesi hızın türevi kullanılarak da elde edilebilir (v = r p ). a = dv/dt = d/dt r P + dr P /dt = r P + ( r P ) dr P /dt = v = r P Bu denklem aşağıdaki gibi sadeleştirilebilir. a = r 2 r = a t + a n (a n -r yönündedir) İvme vektörünün şiddeti; a= a a Dikkat edilirse α ve ω biliniyorsa rijit cisim üzerindeki herhangi bir noktanın hız ve ivmesi bulunabilir / 30 8

9 SABİT BİR EKSEN ETRAFINDA DÖNME: İŞLEM SIRASI Dönme ekseni boyunca bir işaret yönü kabul edin. Eğer herhangi iki değişken arasında (,,, veya t arasında) bilinen bir ilişki varsa, diğer değişkenler şu denklemlerle elde edilebilir: = d/dt = d/dt d = d sabitse, sabit açısal ivme ile ilgili denklemleri kullanın. Bir noktanın hareketini hesaplamak için şu skaler denklemler kullanılabilir: v = r, a t = r, a n = 2 r ve a = a a Alternatif olarak, denklemlerin vektör formları da kullanılabilir (i, j, k bileşenleri ile). v = r P = r a = a t + a n = r P + ( r P ) = r 2 r (Bu vektörler Kartezyen formda ifade edilmelidir.) 9-17 / 30 ÖRNEK Verilen: Motor, başlangıçta durağan haldeki A dişlisini sabit açısal ivme; A = 4.5 rad/s 2 ile döndürmektedir. İp, B dişlisine merkezden tutturulmuş durumdaki D makarasına sarılmaktadır. İstenen: C silindirinin hızı ve 3 saniyede aldığı mesafe. Plan: 1) B dişlisinin (ve D makarasının) açısal ivmesi ile A ilişkilendirilebilir. 2) C silindirinin ivmesi a c, P noktasındaki ivme (a t ) D ile aynı olduğundan, dönen cisim üzerindeki P noktasının hareket denklemleri ile hesaplanır. 3) C nin hızı ve mesafesi, sabit ivme denklemleri kullanılarak bulunabilir / 30 9

10 ÖRNEK (devam) Çözüm: 1) A ve B dişlisi birleştikleri noktada aynı hız ve teğetsel ivmeye sahiptir. Buna göre, a t = A r A = B r B (4.5)(75) = B (225) B = 1.5 rad/s 2 B dişlisi ve D makarası birlikte döndüklerinden, D = B = 1.5 rad/s 2 2) D makarasına bağlanan ipin esnemediği ve kaymadığı kabul edilerek, C silindirinin hızı ve ivmesi, D makarasının hızı ve ivmesinin teğetsel bileşeni ile aynı olacaktır. a C = (a t ) D = D r D = (1.5)(0.125) = m/s / 30 ÖRNEK (devam) 3) A sabit olduğundan, D ve a C sabit olacaktır. Sabit ivmeli doğrusal hareket denklemi kullanılarak C silindirinin t = 3 s (s 0 =v 0 = 0) anındaki hızı ve yer değiştirmesi hesaplanabilir: v c = v 0 +a C t = (3) = m/s s c = s 0 +v 0 t + (0.5) a C t 2 = (0.5) (3) 2 = m 9-20 / 30 10

11 KAVRAMSAL YOKLAMA 1. Disk 4 rad/s ile dönmektedir. Diske 2 rad/s 2 sabit açısal ivme uygulanırsa B deki ivmeyi hesaplayın. A) (4 i + 32 j) m/s 2 B) (4 i - 32 j) m/s 2 y O 2 m 2 rad/s 2 A x C) (- 4 i + 32 j) m/s 2 D) (- 4 i -32 j) m/s 2 B 2. Havaya atılan ve sağa doğru eğrisel bir yörünge izleyen bir frizbi nasıl bir hareket yapmaktadır? A) Doğrusal öteleme. B) Eğrisel öteleme. C) Yalın dönme. D) Genel hareket / 30 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ Verilen: A dişlisine A = 4t 3 rad/s 2 açısal ivmesi verilmiştir (t saniye biriminde ) ve ( A ) 0 = 20 rad/s dir. İstenen: t=2 s anında B dişlisinin açısal hız ve açısal yer değiştirmesi Plan: 1) A dişlisinin açısal hızını bulmak için değişken açısal ivme için çıkarılmış kinematik denklemi uygulayın. 2) A ve B dişlileri arasındaki açısal hareket ilişkisini zaman cinsinden bulun ve t=2 s için hesaplayın / 30 11

12 Çözüm: 1) A dişlisinin hareketi: kinematik denklem uygulanarak: dω α dt ω 204t dt t ω t 20 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam) d ω dt t 20dt 1 5 t 20 t t=2 s anında, ω = 36 rad/s ve = 46.4 rad / 30 ÖRNEK PROBLEM ÇÖZÜMÜ (devam) 2) B dişlisinin A dişlisine temas ettiği yerde, A r A = B r B B = A (r A / r B ) = A (0.05 / 0.15) Benzer olarak, B = A (0.05 / 0.15) t = 2 s anında ω = 36 rad/s ve = 46.4 rad olduğundan, B = 36 (0.05 / 0.15) = 12 rad/s B = 46.4 (0.05 / 0.15) = 15.5 rad 9-24 / 30 12

13 DİKKAT YOKLAMASI 1. Pervane aniden 2 rad/s 2 lik bir açısal ivmeye maruz kalmıştır. Eğer bıçaklar 4 rad/s lik başlangıç açısal hızı ile dönmekte ise, bıçaklar toplam iki devir yaptığında P noktasının hızını hesaplayın. A) 14.2 m/s B) 17.7 m/s 1.75 m C) 23.1 m/s D) 26.7 m/s (rad/s iken) 2. Pervane iki devir yaptığı anda P deki ivmenin şiddetini bulun. A) 0 m/s 2 B) 3.5 m/s 2 C) m/s 2 D) 116 m/s / 30 ÖRNEK (ders dışında incelenecektir) A noktasına bağlı makara, durağan durumdan α A = 2 rad/s 2 sabit ivmesiyle dönmeye başlarsa, makara iki tam tur attıktan sonra tekerlek üzerindeki P noktasının hız ve ivmesini bulunuz / 30 13

14 ÖRNEK (devam) ω A = 9-27 / 30 ÖRNEK (devam) 9-28 / 30 14

15 ÖRNEK (devam) 9-29 / / 30 15