30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )
|
|
- Adem Saylan
- 8 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II DERSİ ÖDEV 4 Soru I: Aşağıda verilen dönüşümlerin lineer olup olmadığını gösteriniz. ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x 4, x + x 3x 3 ) ) L : R 4 R 3, L(x, x, x 3, x 4 ) = (x x 3 + x 4, x 3x 3 + x 4, x + x + x 3 ) 3) L : P x R 3, L(a + a x + a x ) = (a, a, a ) 4) L : P n x R, L(a + a x + a ( x a n x) n + a n x n ) = x(a + a x (n )a n x n + na n x n ) + a 5) L : R R x x, L = (x x 3 x + x 4, x + x 3 ) 4 Çözüm: ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x, x + x 3x 3 ) Verilen dönüşümün lineer olduğunu göstermek için her x = (x, x, x 3 ), y = (y, y, y 3 ) R 3 vektörleri ve a, b R skalerleri için L(ax + by) = al(x) + bl(y) olduğunu gösterecğiz. al(x) = a( 3x + x 3 4x, x + x 3x 3 ) = ( a3x + ax 3 4ax, ax + ax 3ax 3 ) bl(y) = b( 3y + y 3 4y, y + y 3y 3 ) = ( b3y + by 3 4by, by + by 3by 3 ) al(x) + bl(y) = ( a3x + ax 3 4ax 3by + by 3 4by, ax + ax 3ax 3 by + by 3by 3 ) () L(ax + by) = ( a3x + ax 3 4ax b3y + by 3 4by, ax + ax 3ax 3 by + by 3by 3 ) () () ve () denklemleri eşit olduğundan verilen dönüşüm lineerdir. ) L : R 4 R 3, L(x, x, x 3, x 4 ) = (x x 3 + x 4, x 3x 3 + x 4, x + x + x 3 ) Verilen dönüşümün lineer olduğunu göstermek için her x = (x, x, x 3, x 4 ), y = (y, y, y 3, y 4 ) R 3 vektörleri ve a, b R skalerleri için L(ax + by) = al(x) + bl(y) olduğunu gösterecğiz. al(x) = a(x x 3 + x 4, x 3x 3 + x 4, x + x + x 3 ) = (ax ax 3 + ax 4, ax 3ax 3 + ax 4, ax + ax + ax 3 ) bl(y) = b(y y 3 + y 4, y 3y 3 + y 4, y + y + y 3 ) = (by by 3 + by 4, by 3by 3 + by 4, by + by + by 3 ) al(x) + bl(y) = (ax ax 3 + ax 4 + by by 3 + by 4, ax 3ax 3 + ax 4 by 3by 3 + by 4, ax + ax + ax 3 + by + by + by 3 ) L(ax + by) = ( a3x + ax 3 4ax 4 b3y + by 3 4by 4, (4) ax + ax 3ax 3 by + by 3by 3 ) (3) ve (4) denklemleri eşit olduğundan verilen dönüşüm lineerdir. 3) L : P x R 3, L(a + a x + a x ) = (a, a, a ) Verilen dönüşümün lineer olduğunu göstermek için her f(x) = a + a x + a x, g(x) = b + b x + b x P x vektörleri ve A, B R skalerleri için L(Af(x) + Bg(x)) = AL(f(x)) + BL(g(x)) olduğunu gösterecğiz. AL(f(x)) = A(a, a, a ) = (Aa, Aa, Aa ) BL(g(x)) = B(b, b, b ) = (Bb, Bb, Bb ) AL(f(x)) + BL(g(x)) = (Aa + Bb, Aa + Bb, Aa + Bb ) (5) L(Af(x) + Bg(x)) = L(Aa + Bb + Aa x + Bb x + Aa x + Bb x ) = (Aa + Bb, Aa + Bb, Aa + Bb ) (6) (3)
2 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II D (5) ve (6) denklemleri eşit olduğundan verilen dönüşüm lineerdir. 4) L : P n x R, L(a + a x + a x a n x n + a n x n ) = x(a + a x (n )a n x n + na n x n ) + a Verilen dönüşümün lineer olduğunu göstermek için her f(x) = a + a x + a x a n x n + a n x n, g(x) = b + b x + b x b n x n + b n x n P n x vektörleri ve A, B R skalerleri için L(Af(x) + Bg(x)) = AL(f(x)) + BL(g(x)) olduğunu gösterecğiz. AL(f(x)) = A(x(a + a x (n )a n x n + na n x n ) + a ) = Ax(a + a x (n )a n x n + na n x n ) + a BL(g(x)) = B(x(b +b x+...+(n )b n x n +nb n x n )+b ) = Bx(b +b x+...+(n )b n x n + nb n x n ) + b AL(f(x)) + BL(g(x)) = Ax(a + a x (n )a n x n + na n x n ) + a +Bx(b + b x (n )b n x n + nb n x n ) + b (7) L(Af(x) + Bg(x)) = L(A(a + a x + a x a n x n + a n x n ) + B(b + b x + b x b n x n + b n x n )) = L(Aa + Bb + (Aa + Bb )x + (Aa + Bb )x (Aa n + Bb n )x n + (Aa n + Bb n )x n ) = xaa + Bb + (Aa + Bb )x Ana n + Bnb n )x n + Aa + Bb (8) (7) ve (8) denklemleri ( eşit olduğundan ) verilen dönüşüm lineerdir. 5) L : R R x x, L = (x x 3 x + x 4, x + x 3 ) 4 x x Verilen dönüşümün lineer olduğunu göstermek için her A = x 3 x 4, B = ve a, b R skalerleri için L(Aa + Bb) = al(a) + bl(b) olduğunu gösterecğiz. al(a) = a(x + x 4, x + x 3 ) = (ax + ax 4, ax + ax 3 ) bl(b) = b(y + y 4, y + y 3 ) = (by + by 4, by + by 3 ) L(aA + bb) y y matrisleri y 3 y 4 al(a) + bl(b) = (ax + ax 4 + by + by 4, ax + ax 3 + by + by 3 ) (9) ( ) ax ax = L by by + = (ax ax 3 ax 4 by 3 by + by + ax 4 + by 4, ax + by + ax 3 + by 3 ) () 4 (9) ve () denklemleri eşit olduğundan verilen dönüşüm lineerdir. Soru II: Aşağıda verilen lineer dönüşümlerin a) Çekirdeğini, çekirdeğinin bir bazını (tabanını ) ve sıfırlığını (dim Ker L) yi bulunuz. b) Görüntü kümesini, görüntü kümesinin bir bazını (tabanını ) ve rankını (dim Im L) yi bulunuz. c) Tanım kümesinin boyutunu bulunuz. Bu dönüşümler (bire bir) ve örten midir? ) k R + olmak üzere L : R R ile tanımlı L(x, x ) = (kx, kx ) fonksiyonu ) L : R 3 R 3 ile tanimlı L(x, x, x 3 ) = (x x 3, x + x 3, x ) fonksiyonu 3) A = 3 olmak üzere L : R 3 R 3 ile tanimlı L(x) = Ax fonksiyonu 6 4) A = 3 olmak üzere L : R R 3 ile tanimlı L(x) = Ax fonksiyonu 5 5) Düzlemin her bir noktasını bu noktanın y eksenine göre simetriğine dönüstüren fonksiyon L : R R 6) Düzlemin her bir noktasını O noktası çevresinde θ radyan döndüren L : R R ile tanımlı L(x, x ) = (x cos θ x sin θ, x sin θ + x cos θ) fonksiyonu. (A = olmak üzere bu dönüşüm L(x) = Ax şeklinde de tanımlanır.) Çözüm: ) k R + olmak üzere L : R R ile tanımlı L(x, x ) = (kx, kx ) fonksiyonu
3 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYARMATEMATİK BÖLÜMÜLİNEER CEBİR-II DE a) KerL = {x R L(x) = R }, R = (, ) ve L(x) = (kx, kx ) = (, ) olacağından (x, x ) = (, ) dır. Yani çekirdek uzayı sadece sıfır elemanından oluşur. Çekirdek uzayını üreten bir küme yoktur, yani çekirdek uzayının bir tabanı B =. Çekirdek uzayının boyutu=l nin sıfırlığı = dimkerl =. b) ImL = {y R x R öyle ki L(x) = y} L(x) = (kx, kx ) = (y, y ) y = kx, y = kx, x, x R olacağından sistemin genel çözümü y = x y + x dir. v =, v = vektörleri görüntü uzayını üretirler. Ayrıca c v + c v = denklemi sadece c = c = için sağlandığından v, v vektörleri lineer bağımsızdır, yani B = {v, v } kümesi görüntü uzayının bir bazını (tabanını) oluştururlar. Bu durumda Görüntü kümesinin boyutu=im L nin boyutu= dim ImL = c) Tanım kümesinin boyutu= dim R = dim KerL + dim ImL = + = dir. L dönüşümü dir çünkü KerL = dır. L dönüşümü örtendir çünkü dim R = dim ImL dir. ) L : R 3 R 3 ile tanimlı L(x, x, x 3 ) = (x x 3, x + x 3, x ) fonksiyonu a) KerL = {x R 3 L(x) = R 3} R 3 = (,, ) ve L(x) = (x x 3, x + x 3, x ) = (,, ) olacağından (x, x, x 3 ) = (,, ) dır. Yani çekirdek uzayı sadece sıfır elemanından oluşur. Çekirdek uzayını üreten bir küme yoktur, yani çekirdek uzayının bir tabanı B =. Çekirdek uzayının boyutu=l nin sıfırlığı = dimkerl =. b) ImL = {y R 3 x R 3 öyle ki L(x) = y} L(x) = (x x 3, x + x 3, x ) = (y, y, y 3 ) y = x x 3, y = x + x 3, y 3 = x, x, x, x 3 R olacağından sistemin genel çözümü y y = x + x + x 3 dir. y 3 v =, v =, v 3 = vektörleri görüntü uzayını üretirler. Ayrıca c v + c v + c 3 = denklemi sadece c = c = c 3 = için sağlandığından v, v, v 3 vektörleri lineer bağımsızdır, yani B = {v, v, v 3 } kümesi görüntü uzayının bir bazını (tabanını) oluştururlar. Bu durumda Görüntü kümesinin boyutu=im L nin boyutu= dim ImL = 3 c) Tanım kümesinin boyutu= dim R 3 = dim KerL + dim ImL = + 3 = 3 dir. L dönüşümü dir çünkü KerL = dır. L dönüşümü örtendir çünkü dim R 3 = dim ImL dir. 3) A = 3 olmak üzere L : R 3 R 3 ile tanimlı L(x) = Ax fonksiyonu 6 a) KerL = {x = (x, x, x 3 ) R 3 L(x) = R 3} R 3 = (,, ) ve L(x) = Ax = 3 x x = x x 3 x + x + 3x 3 = 6 x 3 x + x + 6x 3 çözümü x x = dır. x 3 = x 3 5 olacağından sistemin genel v = 5, vektörü çekirdek uzayını üretir. Ayrıca v vektörü lineer bağımsızdır, yani B = {v } kümesi çekirdek uzayının bir bazını (tabanını) oluşturur. Bu durumda Çekirdek uzayının boyutu=l nin sıfırlığı = dim KerL = b) ImL = {y R 3 x R 3 öyle ki L(x) = y}
4 4 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II D y = L(x) = Ax = genel çözümü y y = x y x x x x 3 + x 3 6 = dir. x x 3 x + x + 3x 3 x + x + 6x 3 = y y y 3 olacağından sistemin v =, v =, v 3 = vektörleri görüntü uzayını üretirler. Ayrıca sadece v, v 6 lineer bağımsızdır, yani B = {v, v } kümesi görüntü uzayının bir bazını (tabanını) oluştururlar. Bu durumda Görüntü kümesinin boyutu=im L nin boyutu= dim ImL = Dikkat edilirse görüntü uzayının bir üreteci {v, v, v 3 }, verilen A matrisinin sütunlarıdır. Görüntü uzayının bir tabanı {v, v } ise, verilen A matrisinin lineer bağımsız sütunlarıdır. c) Tanım kümesinin boyutu= dim R 3 = dim KerL + dim ImL = + = 3 dir. L dönüşümü değildir çünkü KerL dır. L dönüşümü örten değildir çünkü dim = 3 = R 3 dim ImL = dir. 4) A = 3 olmak üzere L : R R 3 ile tanimlı L(x) = Ax fonksiyonu 5 a) KerL = {x = (x, x ) R L(x) = R 3} R 3 = (,, ) ve L(x) = Ax = 3 x = x + x 3x x = olacağından sistemin genel çözümü 5 5x x x = = dır. x Yani çekirdek uzayı sadece sıfır elemanından oluşur. Çekirdek uzayını üreten bir küme yoktur, yani çekirdek uzayının bir tabanı B =. Bu durumda Çekirdek uzayının boyutu=l nin sıfırlığı = dim KerL = b) ImL = {y R 3 x R 3 öyle ki L(x) = y} y = L(x) = Ax = 3 x = x 5 y y = x x x + x 3x 5x x = y y y 3 olacağından sistemin genel çözümü dir. v = 3, v = vektörleri görüntü uzayını üretirler. y 3 5 Yani görüntü uzayının bir üreteci {v, v }, verilen A matrisinin sütunlarıdır. Görüntü uzayının bir tabanı {v, v }, verilen A matrisinin lineer bağımsız sütunlarıdır. Görüntü kümesinin boyutu=im L nin boyutu= dim ImL = c) Tanım kümesinin boyutu= dim R = dim KerL + dim ImL = + = dir. L dönüşümü dir çünkü KerL = dır. L dönüşümü örten değildir çünkü dim R 3 dim ImL dir. 5) Düzlemin her bir noktasını bu noktanın y eksenine göre simetriğine dönüştüren fonksiyon L : R R, her x = (x, x ) R için L(x) = L(x, x ) = ( x, x ) dir. a) KerL = {x = (x, x ) R L(x) = R } R = (, ) ve L(x) = L(x, x ) = ( x, x ) = (, ) olacağından (x, x ) = (, ) Yani çekirdek uzayı sadece sıfır elemanından oluşur. Çekirdek uzayını üreten bir küme yoktur, yani çekirdek uzayının bir tabanı B =. Bu durumda Çekirdek uzayının boyutu=l nin sıfırlığı = dim KerL = b) ImL = {y R x R öyle ki L(x) = y} y = L(x) = ( x, x ) = (y, y ) olacağından sistemin genel çözümü y = x y + x dir. v =, v = vektörleri görüntü uzayını üretirler. Ayrıca c v + c v = denklemi sadece c = c = için sağladığından v, v lineer bağımsızdırlar. Yani görüntü uzayının bir tabanı {v, v } dır. Görüntü kümesinin boyutu=im L nin boyutu= dim ImL =
5 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYARMATEMATİK BÖLÜMÜLİNEER CEBİR-II DE c) Tanım kümesinin boyutu= dim R = dim KerL + dim ImL = + = dir. L dönüşümü dir çünkü KerL = dır. L dönüşümü örtendir çünkü dim R = dim ImL dir. 6) Düzlemin her bir noktasını O noktası çevresinde θ radyan döndüren L : R R ile tanımlı L(x, x ) = (x cos θ x sin θ, x sin θ + x cos θ) fonksiyonu. (A = olmak üzere bu dönüşüm L(x) = Ax şeklinde de tanımlanır.) a) KerL = {x = (x, x ) R L(x) = R } R = (, ) ve Her θ R için L(x) = L(x, x ) = (x cos θ x sin θ, x sin θ+x cos θ) = (, ) olacağından (x, x ) = (, ) x x cos θ x. Yol: L(x) = L(x, x ) = Ax = = sin θ = ise x x sin θ + x cos θ x = x Yani çekirdek uzayı sadece sıfır elemanından oluşur. Çekirdek uzayını üreten bir küme yoktur, yani çekirdek uzayının tabanı B =. Bu durumda Çekirdek uzayının boyutu=l nin sıfırlığı = dim KerL = b) ImL = {y R x R öyle ki L(x) = y} y = L(x) = (x cos θ x sin θ, x sin θ + x cos θ) = Ax = (y, y ) olacağından cosθ sinθ v =, v sinθ = vektörleri görüntü uzayını üretirler. Ayrıca c cosθ v +c v = denklemi sadece c = c = için sağladığından v, v lineer bağımsızdırlar. Yani görüntü uzayının bir tabanı {v, v } dır. Görüntü kümesinin boyutu=im L nin boyutu= dim ImL = c) Tanım kümesinin boyutu= dim R = dim KerL + dim ImL = + = dir. L dönüşümü dir çünkü KerL = dır. L dönüşümü örtendir çünkü dim R = dim ImL dir. Soru III: Aşağıda verilen lineer dönüşümlerin verilen tabanlara göre matrislerini bulunuz. ) k R + olmak üzere L : R R ile tanimlı L(x, x ) = (kx, kx ) fonksiyonu b) B = {(, 3), (4, 5)} ve C = {(, ), (, 3)} tabanlarına göre ) L : R 3 R 3 ile tanimlı L(x, x, x 3 ) = (x x 3, x + x 3, x ) fonksiyonu b) B = {(,, 3), (4, 5, 6), (,, 6)} ve C = {(,, 3), (4,, 6), (,, )} tabanlarına göre 3) A = 3 olmak üzere L : R 3 R 3 ile tanimlı L(x) = Ax fonksiyonu 6 b) B = {(,, 3), (4, 5, 6), (,, 6)} ve C = {(,, 3), (4,, 6), (,, )} tabanlarına göre 4) A = 3 olmak üzere L : R R 3 ile tanimlı L(x) = Ax fonksiyonu 5 b) B = {(, ), (4, 5)} ve C = {(,, 3), (4,, 6), (,, )} tabanlarına göre 5) Düzlemin her bir noktasını bu noktanın y eksenine göre simetriğine dönüstüren fonksiyon L : R R b) B = {(, ), (4, 5)} ve C = {(, ), (, 6)} tabanlarına göre 6) Düzlemin her bir noktasını O noktası çevresinde θ radyan döndüren L : R R ile tanımlı L(x, x ) = (x cos θ x sin θ, x sin θ + x cos θ) fonksiyonu. (A = olmak üzere bu dönüşüm L(x) = Ax şeklinde de tanımlanır.) b) B = {(4, 6), (, 6)} ve C = {(, 3), (, )} tabanlarına göre Çözüm: ) k R + olmak üzere L : R R ile tanimlı L(x, x ) = (kx, kx ) fonksiyonu
6 6 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II D a) R nin standart tabanı B = {e = (, ), e = (, )} = C dir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüsümü altındaki görüntülerini bulalım. L(e ) = L(, ) = (k, ) = γ ve L(e ) = L(, ) = (, k) = γ dir. Şimdi γ, γ vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c e + c e ya da bu sisteme denk olarak γ = d e + d e k sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matris birim matris olduğundan sağ taraftaki k matris aradığımız A matrisidir. b) Tanım uzayının bir tabanı B = {(, 3), (4, 5)} ve görüntü uzayının bir tabanı C = {(, ), (, 3)} olarak verilmiştir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüsümü altındaki görüntülerini bulalım. L(, 3) = (k, 3k) = γ, L(4, 5) = (4k, 5k) = γ dir. Şimdi γ, γ vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c (, ) + c (, 3) γ = d (, ) + d (, 3) k 4k sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matrisi satır işlemleri uygulayarak 3 3k 5k birim matrise indirgeyeceğiz ve bu işlemler sonunda sağ tarafta oluşan matris aradığımız A matrisidir. k 4k R R k 4k R +R R k 4k 3 3k 5k 3 3k 5k 3 7k 3k R /3 R k 4k 7k/3 3k/3 k 4k C D I A olduğundan A = dir. 7k/3 3k/3 ) L : R 3 R 3 ile tanimlı L(x, x, x 3 ) = (x x 3, x + x 3, x ) fonksiyonu a) R 3 nin standart tabanı B = {e = (,, ), e = (,, ), e 3 = (,, )} = C dir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüşümü altındaki görüntülerini bulalım. L(e ) = L(,, ) = (,, ) = γ, L(e ) = L(,, ) = (,, ) = γ ve L(e 3 ) = L(,, ) = (,, ) dir. Şimdi γ, γ, γ 3 vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c e + c e + c 3 e 3 γ = d e + d e + d 3 e 3 γ 3 = f e + f e + f 3 e 3 sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matris birim matris olduğundan sağ taraftaki matris aradığımız A matrisidir. b) Tanım uzayının bir tabanı B = {(,, 3), (4, 5, 6), (,, 6)} ve görüntü uzayının bir tabanı C = {(,, 3), (4,, 6), (,, )} olarak verilmiştir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüsümü altındaki görüntülerini bulalım. L(,, 3) = (,, ) = γ, L(4, 5, 6) = (,, 4) = γ, L(,, 6) = ( 5, 4, ) = γ 3 dir. Şimdi γ, γ, γ 3 vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c (,, 3) + c (4,, 6) + c 3 (,, ) γ = d (,, 3) + d (4,, 6) + d 3 (,, ) γ 3 = f (,, 3) + f (4,, 6) + f 3 (,, ) sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matrisi satır işlemleri uygulayarak birim matrise indirgeyeceğiz ve bu işlemler sonunda sağ tarafta oluşan matris aradığımız A matrisidir. 3) A = 3 olmak üzere L : R 3 R 3 ile tanimlı L(x) = Ax fonksiyonu 6 a) R 3 nin standart tabanı B = {e = (,, ), e = (,, ), e 3 = (,, )} = C dir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüşümü altındaki görüntülerini bulalım.
7 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYARMATEMATİK BÖLÜMÜLİNEER CEBİR-II DE L(e ) = Ae = (,, ) = γ, L(e ) = Ae = (,, ) = γ, dir. L(e 3 ) = Ae 3 = (, 3, 6) = γ 3 Şimdi γ, γ, γ 3 vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c e + c e + c 3 e 3 γ = d e + d e + d 3 e 3 γ 3 = f e + f e + f 3 e 3 3 sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matris birim matris olduğundan 6 sağ taraftaki matris aradığımız A matrisidir. Diğer bir deyişle, eğer L lineer dönüşümü bir K matrisi yardımıyla ve görüntü uzayı standart taban ile veriliyor ise bu dönüşümün matrisi A = K dır. b) Tanım uzayının bir tabanı B = {(,, 3), (4, 5, 6), (,, 6)} ve görüntü uzayının bir tabanı C = {(,, 3), (4,, 6), (,, )} olarak verilmiştir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüşümü altındaki görüntülerini bulalım. L(,, 3) = A(,, 3) = ( 4,, 4) = γ, L(4, 5, 6) = A(4, 5, 6) = ( 7, 7, 54) = γ, L(,, 6) = A(,, 6) = (,, 4) = γ 3 dir. Şimdi γ, γ, γ 3 vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c (,, 3) + c (4,, 6) + c 3 (,, ) γ = d (,, 3) + d (4,, 6) + d 3 (,, ) γ 3 = f (,, 3) + f (4,, 6) + f 3 (,, ) sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matrisi satır işlemleri uygulayarak birim matrise indirgeyeceğiz ve bu işlemler sonunda sağ tarafta oluşan matris aradığımız A matrisidir. 4) A = 3 olmak üzere L : R R 3 ile tanimlı L(x) = Ax fonksiyonu 5 a) R 3 nin standart tabanı B = {e = (,, ), e = (,, ), e 3 = (,, )} = C dir. Verilen L lineer dönüşümü bir K matrisi yardımıyla ve görüntü uzayı standart taban ile verildiğinden bu dönüşümün matrisi A = K dır. b) Tanım uzayının bir tabanı B = {(, ), (4, 5)} ve görüntü uzayının bir tabanı C = {(,, 3), (4,, 6), (,, olarak verilmiştir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüşümü altındaki görüntülerini bulalım. L(, ) = A(, ) = (4, 3, ) = γ, L(4, 5) = A(4, 5) = (3,, ) = γ, dir. Şimdi γ, γ vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c (,, 3) + c (4,, 6) + c 3 (,, ) γ = d (,, 3) + d (4,, 6) + d 3 (,, ) sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matrisi satır işlemleri uygulayarak 3 6 birim matrise indirgeyeceğiz ve bu işlemler sonunda sağ tarafta oluşan matris aradığımız A matrisidir. 5) L : R R dönüşümü her x = (x, x ) için L(x) = L(x, x ) = ( x, x ) olarak tanımlanıyor. a) R nin standart tabanı B = {e = (, ), e = (, )} = C dir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüsümü altındaki görüntülerini bulalım. L(e ) = L(, ) = (, ) = γ ve L(e ) = L(, ) = (, ) = γ dir. Şimdi γ, γ vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c e + c e γ = d e + d e ya da bu sisteme denk olarak
8 8 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II D sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matris birim matris olduğundan sağ taraftaki matris aradığımız A matrisidir. Yani L(x) = Ax dir. b) Tanım uzayının bir tabanı B = {(, ), (4, 5)} ve görüntü uzayının bir tabanı C = {(, ), (, 6)} olarak verilmiştir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüsümü altındaki görüntülerini bulalım. L(, ) = (, ) = γ, L(4, 5) = ( 4, 5) = γ dir. Şimdi γ, γ vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c (, ) + c (, 6) γ = d (, ) + d (, 6) 4 sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matrisi satır işlemleri uygulayarak 6 5 birim matrise indirgeyeceğiz ve bu işlemler sonunda sağ tarafta oluşan matris aradığımız A matrisidir. 4 R +R R 4 R R R / 4+R R 9/4 R /4 R 9/ /4 9/4 C D I A olduğundan A = dir. Yani L(x) = Ax dır. 3/4 6) Düzlemin her bir noktasını O noktası çevresinde θ radyan döndüren L : R R ile tanımlı L(x, x ) = (x cos θ x sin θ, x sin θ + x cos θ) fonksiyonu. (A = olmak üzere bu dönüşüm L(x) = Ax şeklinde de tanımlanır.) a) R nin standart tabanı B = {e = (, ), e = (, )} = C dir. Verilen L lineer dönüşümü K = matrisiyle ve görüntü uzayı standart taban ile verildiğinden bu dönüşümün matrisi A = K dır. b) B = {(4, 6), (, 6)} ve C = {(, 3), (, )} tabanlarına göre Tanım uzayının bir tabanı B = {(4, 6), (, 6)} ve görüntü uzayının bir tabanı C = {(, 3), (, )} olarak verilmiştir. Şimdi tanım uzayının taban elemanlarının L dönüsümü altındaki görüntülerini bulalım. L(, ) = (cos θ sin θ, sin θ + cos θ) = γ, L(4, 5) = (4 cos θ 5 sin θ, 4 sin θ + 5 cos θ) = γ dir. Şimdi γ, γ vektörlerinin görüntü uzayının taban elemanlarının lineer bileşimi şeklinde yazalım. γ = c (, 3) + c (, ) γ = d (, 3) + d (, ) cos θ 5 sin θ sistemini yazabiliriz. Burada sol taraftaki matrisi satır 3 sin θ + cos θ 4 sin θ + 5 cos θ işlemleri uygulayarak birim matrise indirgeyeceğiz ve bu işlemler sonunda sağ tarafta oluşan matris aradığımız A matrisidir. cos θ 5 sin θ 3R +R R cos θ 5 sin θ 3 sin θ + cos θ 4 sin θ + 5 cos θ 3 cos θ + 7 sin θ cos θ + 9 sin θ R /3+R R 3 cos θ + 3 sin θ 5 3 cos θ sin θ 3 cos θ + 7 sin θ cos θ + 9 sin θ R / 3 R 3 cos θ + 3 sin θ 5 3 cos θ sin θ 3 cos θ sin θ 3 cos θ sin θ C D I A olduğundan A = 3 cos θ + 3 sin θ 5 3 cos θ sin θ 3 cos θ sin θ 3 cos θ sin θ dir. Yani L(x) = Ax dır.
Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
DetaylıDers: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1.
Ders: MAT6 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri. A = matrisi bulunuz.. A = a b c d e f ve B = ÇALIŞMA SORULARI- olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X matrisi satır basamak hale getirildiğinde en fazla
Detaylı1 Vektör Uzayları 2. Lineer Cebir. David Pierce. Matematik Bölümü, MSGSÜ mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/
Vektör Uzayları Lineer Cebir David Pierce 5 Mayıs 2017 Matematik Bölümü, MSGSÜ dpierce@msgsu.edu.tr mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Bu notlarda, alıştırma olarak her teorem, sonuç, ve örnek kanıtlanabilir;
DetaylıŞimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak
10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.
DetaylıLYS MATEMATİK DENEME - 1
LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte
DetaylıVEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI
DetaylıMATRİS - DETERMİNANT Test -1
MRİS - DEERMİNN est - x y x 3., B olmak üzere, y y = B olduğuna göre, y x farkı kaçtır? 5. 5 4 0, B 4 3 7 3 matrisleri veriliyor. + B matrisi aşağıdakilerden hangisidir? 3 4 5 6 5 3 0 8 5 6 6 5 0 5 6 0
DetaylıMath 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı
Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı 6 Kasım 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 3: Bitiş Saati: 4: Toplam Süre: 6 Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı
Detaylı18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
Detaylıİç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN
İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.
DetaylıHOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
DetaylıÖzdeğer ve Özvektörler
Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye
DetaylıMath 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı
Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 3 Araliık 7 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: : Bitiş Saati: 3:4 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı
DetaylıMATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri
DetaylıMath 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı
Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 8 Ocak 8 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 4: Bitiş Saati: 5:5 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı
DetaylıÖABT Lineer Cebir KONU TESTİ Matris Cebiri
ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Matris Cebiri. i, j,, i için j i j a j i j a. j i j a. i için j i j a 4 6 j i j a 4 j i j a. 6. 0 0 0 4 0 0 0. 4 6 n 0 0 n 6 Cevap: D Cevap:. I. I I I 0 I 0 0 0..I I I 00 0 0 0
Detaylı(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
DetaylıCebirsel Fonksiyonlar
Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş
DetaylıBÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ
BÖLÜM - KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR - KARMAŞIK SAYILAR VE ÖELLİKLERİ ax + bx +c ikinci derece denkleminin < iken reel köklerinin olmadığını biliyoruz. Örneğin x + denkleminin reel sayılar kümesinde çözümü
Detaylı1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
Detaylı13. Karakteristik kökler ve özvektörler
13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik
DetaylıDers 8: Konikler - Doğrularla kesişim
Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu
DetaylıLİNEER CEBİR ve MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI (MEH111) Dersi Final Sınavı 1.Ö
LİNEER CEBİR ve MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI (MEH) Dersi Final Sınavı.Ö. 02.0.207 Ad Soyad : (25p) 2(25p) 3(25p) 4(25p) Toplam Numara : İmza : Kitap ve notlar kapalıdır. Yalnızca kalem, silgi, sınav kağıdı
DetaylıÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER
ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler
DetaylıGEO182 Lineer Cebir. Matrisler. Matrisler. Dersi Veren: Dr. İlke Deniz Derse Devam: %70. Vize Sayısı: 1
GEO182 Lineer Cebir Dersi Veren: Dr. İlke Deniz 2018 GEO182 Lineer Cebir Derse Devam: %70 Vize Sayısı: 1 Başarı Notu: Yıl içi Başarı Notu %40 + Final Sınavı Notu %60 GEO182 Lineer Cebir GEO182 Lineer Cebir
DetaylıLineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar
Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)
DetaylıTUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.
UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ LİNEER CEBİR DERSİ 0 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.İNAN ÜNAL www.inanunal.com UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ
DetaylıÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır.
ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI. vektör uzayında yer alan w=(9 7) vektörünün, u=( -), v=(6 ) vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olduğunu ve z=( - 8) vektörünün ise bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu
DetaylıYAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK
YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki
DetaylıParametrik doğru denklemleri 1
Parametrik doğru denklemleri 1 A noktasından geçen, doğrultman (doğrultu) vektörü w olan d doğrusunun, k parametresine göre parametrik denklemi: AP k w P A k w P A k w P A k W (P değişken nokta) A w P
DetaylıMath 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı
Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 3 Araliık 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 2: Bitiş Saati: 3:4 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı
DetaylıÇalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x
Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: 4x > 9 b) x 4 < - c)
DetaylıÇalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x
Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 4x > 9 b) x 4
Detaylı6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016
6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği
DetaylıLineer Denklem Sistemleri
Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin
DetaylıYönlü doğru parçası: Zıt yönlü doğru parçaları: Eş yönlü doğru parçaları: Örnek-1. Paralel yönlü doğru parçaları:
Yönlü doğru parçası: Zıt yönlü doğru parçaları: Eş yönlü doğru parçaları: Örnek-1 Paralel yönlü doğru parçaları: 1 Örnek-2 Vektör: Örnek-3 Sıfır vektörü: Eşit vektörler: Örnek-4 Bir vektörü bir reel sayı
DetaylıKUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu
KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.
Detaylıii) S 2LW 2WH 2LW 2WH S 2WH 2LW S 3( x 1) 5( x 2) 5 3x 3 5x x Maliye Bölümü EKON 103 Matematik I / Mart 2018 Proje 2 CEVAPLAR C.1) C.
C.1) x1 x 1 4 4( x1) x 6 4x 4 x 6 x 46 x Maliye Bölümü EKON 10 Matematik I / Mart 018 Proje CEVAPLAR C.) i) S LW WH LW WH S LW WH S W W W S L H W ii) S LW WH WH LW S WH LW S W W W S H L W C.) ( x1) 5(
DetaylıMATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.
MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu
DetaylıMatematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3
Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =
DetaylıDENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ
DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS LİNEER CEBİR FEB-221 2/2. YY 3+0+0 3 3 Dersin Dili Dersin Seviyesi Dersin
DetaylıProf.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR
MAT 114 LİNEER CEBİR ( İSTATİSTİK, ASTRONOMİ ve UZAY BİLİMLERİ) Hafta 7: Lineer Dönüşümlerde Görüntü Uzayıve Çekirdek Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.İsmail GÖK 2017-2018 BAHAR Lineer
DetaylıOrtak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI
Ortak Akıl LYS MATEMATİK DENEME SINAVI 0505- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barbaros GÜR Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN
Detaylı1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77
UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir
Detaylı7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;
İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit
DetaylıBu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz.
Bölüm 3 Gruplar Bu bölümde ilk olarak bir küme üzerinde tanımlı işlem kavramını ele alıp işlemlerin bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Daha sonra kümeler ve üzerinde tanımlı işlemlerden oluşan cebirsel
Detaylısonlu altörtüsü varsa bu topolojik uzaya tıkız diyoruz.
Ders 1: Önbilgiler Bu derste türev fonksiyonunun geometrik anlamını tartışıp, yalnız R n nin bir açık altkümesinde değil, daha genel uzaylarda tanımlı bir fonksiyonun türevi ve özel noktalarının nasıl
DetaylıARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav
Detaylı2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.
ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var
DetaylıFONKSİYONLAR BÖLÜM 8. Örnek...3 : Örnek...1 : f(x)=2x+5 fonksiyonu artan mıdır? Örnek...4 :
FONKSİYONLAR BÖLÜM 8 Örnek...3 : ARTAN AZALAN FONKSİYONLAR ARTAN FONKSİYON f : A R R fonksionu verilsin. Her i B A için 1 < 2 f ( 1 )
DetaylıMath 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı
Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 8 Ocak 28 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 4: Bitiş Saati: 5:5 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı
DetaylıNokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.
Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıLineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık
Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin
DetaylıYÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Quadratic Programming Bir karesel programlama modeli aşağıdaki gibi tanımlanır. Amaç fonksiyonu: Maks.(veya Min.) z
DetaylıDOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-
DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıÜç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi
Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.
DetaylıGrup Homomorfizmaları ve
Bölüm 7 Grup Homomorfizmaları ve İzomorfizmalar Bu bölümde verilen gruplar arasında grup işlemlerini koruyan fonksiyonları ele alacağız. Bu fonksiyonlar yardımıyla verilen grupların cebirsel yapılarının
DetaylıÇ NDEK LER II. C LT KONULAR Sayfa Öz De er Öz Vektör.. 2. Lineer Cebir ve Sistem Analizi...
ÇNDEKLER II. CLT KONULAR 1. Öz Deer Öz Vektör.. 1 Kare Matrisin Öz Deeri ve Öz Vektörleri... 21 Matrisin Karakteristik Denklemi : Cayley Hamilton Teoremi.. 26 Öz Deer - Öz Vektör ve Lineer Transformasyon
DetaylıUzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi
Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse
DetaylıÖSYM. 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz AYT/Matematik
MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. 2. a bir gerçel sayı olmak üzere, karmaşık sayılarda eşitliği veriliyor.
DetaylıFİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ FİNAL SORULARI 25-26 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... SINAV TARİHİ VE SAATİ : A A A A A A A Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav süresi 9 dakikadır.
DetaylıÖnsöz. Mustafa Özdemir Antalya 2016
Önsöz Bu kitap üniversitelerimizin Mühendislik Fakültelerinde, Doğrusal Cebir veya Lineer Cebir adıyla okutulan lisans dersine yardımcı bir kaynak olması amacıyla hazırlanmıştır. Konular, teorik anlatımdan
DetaylıCebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona
, 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler
Detaylı2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı
1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna
DetaylıA COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS
. Sayı Mayıs 6 A COMMTATIVE MLTIPLICATION OF DAL NMBER TRIPLETS L.KLA * & Y.YAYLI * *Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Matematik Bölümü 6 Tandoğan-Ankara, Türkiye ABSTRACT Pfaff [] using quaternion product
DetaylıBir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.
ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı
Detaylı1. Hafta Uygulama Soruları
. Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında
DetaylıMath 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı
Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı 9 Kasım 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 3: Bitiş Saati: 4:5 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı
Detaylı1991 ÖYS. 9. Parasının 7. ünü kardeşine veren Ali nin geriye lirası kalmıştır. Buna göre, Ali nin başlangıçtaki parası kaç liradır?
99 ÖYS.,8 + (, + ), işleminin sonucu kaçtır? B) 7 D) 86 987 B) D). a, b, c birer pozitif gerçel sayı ve a=b b=c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı( ) ( ) { } ( ] f(x) = sinx fonksiyonunun x=0 için türevi aşağıdakilerden hangisidir. 3 ün (mod 7) ye göre denk olduğu sayı aşağıdakilerden
. 4 ün (mod 7) ye göre denk olduğu sayı aşağıdakilerden hangisidir? B) 4 E ) (mod 7) (mod 7) 6 (mod 7) 6 4 (mod 7) 4 (mod 7). R R olduğuna göre f : f() = - fonksiyonunun tanım kümesi nedir? { :-< < } B)
Detaylı. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer
11.Gram-Schmidt metodu 11.1. Ortonormal baz 11.1.Teorem: { }, V Öklid uzayı için bir ortonormal baz olsun. Bu durumda olmak üzere. 1.Ö.: { }, de bir ortonormal baz olsun. Burada. vektörünü S deki vektörlerin
DetaylıKAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının
DetaylıAralıklar, Eşitsizlikler, Mutlak Değer
ARALIKLAR Gerçel sayıların, aralık olarak adlandırılan bazı kümeleri kalkülüste sık sık kullanılır ve geometrik olarak doğru parçalarına karşılık gelir. Örneğin, a < b ise, a dan b ye açık aralık, a ile
DetaylıDERSİN ADI: MATEMATİK II MAT II (12) KUTUPSAL KOORDİNATLAR VE UYGULAMALARI 1. KUTUPSAL KOORDİNATLAR 2. EĞRİ ÇİZİMLERİ
DERSİN ADI: MATEMATİK II MAT II (1) ÜNİTE: KUTUPSAL KOORDİNATLAR VE UYGULAMALARI 1. KUTUPSAL KOORDİNATLAR. EĞRİ ÇİZİMLERİ GEREKLİ ÖN BİLGİLER 1. Trigonometrik fonksiyonlar. İntegral formülleri KONU ANLATIMI
Detaylı18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
Detaylı2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu
.SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade
Detaylı3. BÖLÜM MATRİSLER 1
3. BÖLÜM MATRİSLER 1 2 11 21 1 m1 a a a v 12 22 2 m2 a a a v 1 2 n n n mn a a a v gibi n tane vektörün oluşturduğu, şeklindeki sıralanışına matris denir. 1 2 n A v v v Matris A a a a a a a a a a 11 12
DetaylıKABA KÜME TEORİSİ (Rough Set Theory) Dr. Sedat TELÇEKEN
KABA KÜME TEORİSİ (Rough Set Theory) Dr. Sedat TELÇEKEN Giriş Bilgi teknolojisindeki gelişmeler ve verilerin dijital ortamda saklanmaya başlanması ile yeryüzündeki bilgi miktarı her 20 ayda iki katına
DetaylıLineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler
Lineer Cebir Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Bölüm 1 - Lineer Eşitlikler 1.1. Lineer Eşitliklerin Tanımı x 1, x 2,..., x
DetaylıŞayet bir lineer sistemin en az bir çözümü varsa tutarlı denir.
GAZI UNIVERSITY ENGINEERING FACULTY INDUSTRIAL ENGINEERING DEPARTMENT ENM 205 LINEAR ALGEBRA COURSE ENGLISH-TURKISH GLOSSARY Linear equation: a 1, a 2, a 3,.,a n ; b sabitler ve x 1, x 2,...x n ler değişkenler
DetaylıMatematik I: Analiz und Lineer Cebir I Sömestr Ders Saati D 2 U 2 L 1 AKTS 6 Lisans/ Yüksek Lisans Lisans Dersin Kodu MAT 106 Sömestr 2
Dersin Adı Matematik I: Analiz und Lineer Cebir I Sömestr Ders Saati D 2 U 2 L 1 AKTS 6 Lisans/ Yüksek Lisans Lisans Dersin Kodu MAT 106 Sömestr 2 Dersin Dili Almanca Dersi Veren(ler) Yrd. Doç. Dr. Adnan
DetaylıCEBİR ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
ÖABT CEBİR ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT CEBİR ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)
7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile
Detaylı1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500
984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)
DetaylıDERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin BİLGİÇ. Kahramanmaraş Sütçü İmam Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ağustos 2015
www.matematikce.com 'dan indirilmiştir. LİNEER CEBİR DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Kahramanmaraş Sütçü İmam Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ağustos 5 e-posta: h_bilgic@hotmail.com ÖNSÖZ
DetaylıFONKSİYONLAR. Örnek: (2x-2,y-3)=(10,-3) olduğuna göre x ve y sayılarını bulunuz.
1 FONKSİYONLAR Sıralı İkili: A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, aa ve bb iken (a, b) ifadesine bir sıralı ikili denir. Burada a ya, sıralı ikilinin birinci bileşeni, b ye de ikinci bileşeni denir.
DetaylıProf.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR
MAT 114 LİNEER CEBİR ( İSTATİSTİK, ASTRONOMİ ve UZAY BİLİMLERİ) Hafta 8: İç Çarpım Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.İsmail GÖK 2017-2018 BAHAR İç Çarpım Tanım 23: V bir reel vektör
Detaylı9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı
9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,
DetaylıKPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1
SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
DetaylıÇözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3
p ve q iki önerme olsun p q q p dir. p: = 3 ve q: y< 8 alınırsa I ve III ün denk olduğu görülür. Yanıt B Z 3 = 7 = 7CiS( +k ) k Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = k=1 için z 1 = 3 k = için z = Yanıt A
DetaylıDERS: MATEMATİK I MAT101(04)
DERS: MATEMATİK I MAT0(0) ÜNİTE: FONKSİYONLAR KONU:. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR Öncelikle açı ölçü birimlerine göz atalım: Bilindiği gibi bir tam açının ölçüsü 0 derecedir. Diğer bir açı ölçü birimi de
DetaylıÜç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi
Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.
Detaylı