Öklid in Elemanları. Türkçesi ve notlar Ali Sinan Sertöz. 8 Mayıs 2018 sürümü

Transkript

1 Öklid in lemanları Türkçesi ve notlar li Sinan Sertöz 8 Mayıs 208 sürümü

2 li Sinan Sertöz ilkent Üniversitesi Matematik ölümü nkara 8 Mayıs 208 sürümü u kitap L TX kelime işlemcisi kullanılarak amsbook formatında dizilmiştir. Şekiller TikZ ve tkz-euclide paketleri kullanılarak çizilmiştir.

3 lemanlar 8 Mayıs 208 sürümü İÇİNKİLR Öklid i Okurken v. lemanlar nedir v 2. Kaynak metin v 3. lemanların içeriği vi 4. Öklid in anlatım biçimi vi 5. undan dolayı vs viii 6. Çeviri hakkında x 7. Türkçe de lemanlar xi 8. Oranlar eşit midir aynı mıdır? xii 9. lemanlar mükemmel midir? xiv 0. İyi Okumalar! xv Kitap I Tanımlar elitler Ortak Kavramlar Önermeler Kitap II Tanımlar Önermeler Kitap III Tanımlar Önermeler Kitap IV Tanımlar Önermeler Kitap V Tanımlar Önermeler Kitap VI Tanımlar Önermeler Kitap VII Tanımlar Önermeler Kitap VIII iii

4 8 Mayıs 208 sürümü Öklid. Önermeler Kitap IX Önermeler Kitap X Tanımlar I Önermeler Tanımlar II Önermeler Tanımlar III Önermeler Kitap XI Tanımlar Önermeler Kitap XII Önermeler Kitap XIII Önermeler Tanımlar izini iv

5 Kitap I Nokta, büyüklüğü olmayandır. 2 Çizgi, eni olmayan uzunluktur. 3 ir çizginin uçları noktalardır.. Tanımlar 4 oğru, üzerindeki noktalara göre eşit olarak yatan çizgidir. 5 Yüzey, yalnızca uzunluğu ve eni olandır. 6 ir yüzeyin uçları çizgilerdir. 7 üzlem, üzerindeki doğrulara göre eşit olarak yatan yüzeydir. 8 üzlem açısı, aynı doğru üzerinde olmayan ve birbirine dokunan çizgilerin birbirine göre eğimidir. 9 Ve açıyı oluşturan çizgiler doğru ise açıya düzkenar denir. 0 ir doğruya çizilen bir başka doğru iki komşu açıyı eşit kılıyorsa her iki açıya da dik denir ve bu düz çizgi, üzerine çizildiği düz çizgiye diktir denir. ik açıdan büyük olan açıya geniş açı denir. 2 ik açıdan küçük olan açıya dar açı denir. 3 Herhangi bir şeyin ucuna sınır denir. 4 ir sınır veya sınırlar arasında kalana şekil denir. 5 İçindeki bir noktadan, üzerindeki her noktaya çizilen doğruların birbirine eşit olduğu düzlem şekline çember denir. 6 Ve o noktaya da çemberin merkezi denir. 7 Çemberin merkezinden geçen ve her iki yönde de çemberin çevresi tarafından sınırlanan doğruya çemberin çapı denir, ve bu çeşit her doğru çemberi ikiye böler.

6 Kitap I 8 Mayıs 208 sürümü Öklid 8 Çap ve onun kestiği çevre arasında kalan şekle yarıçember denir. Ve yarıçemberin merkezi çemberin merkeziyle aynıdır. 9 oğrular tarafından sınırlanan şekillere düzkenarlı şekiller denir. Üç doğruyla sınırlananlara üçgen, dört doğruyla sınırlananlara dörtgen, ve çok doğruyla sınırlananlara çokgen denir. 20 Üç kenarlı şekillerden üç kenarı da birbirine eşit olanına eşkenar üçgen, yalnız iki kenarı eşit olanına ikizkenar üçgen ve tüm kenarları farklı olana çeşitkenar üçgen denir. 2 yrıca, üç kenarlı şekillerin bir dik açısı olanına dik üçgen, geniş açısı olanına geniş açılı üçgen, ve üç açısı da dar olanına dar açılı üçgen denir. 22 ört kenarlılara gelince, kenarları birbirine eşit ve dik açılı olanına kare, dik açılı ama kenarları birbirine eşit olmayanına dikdörtgen, kenarları birbirine eşit ama dik açılı olmayanına eşkenar dörtgen, karşılıklı kenarları ve açıları eşit olan ama eşkenar ve dik açılı olmayanına eğik dörtgen denir. Ve bunların dışında kalan dört kenarlılara da yamuk densin. 23 Paralel doğrular aynı düzlemde olan ve iki yöne de istenildiği kadar uzatıldığında birbirlerini kesmeyen doğrulardır. [ Öklid in doğru ve düzlem tanımlarındaki ifadesinin nasıl yorumlanacağı binlerce yıldır tartışılan bir konudur. Kendi yorumlarını çıkarmayı okuyucunun hayal gücüne bırakıyorum. Öklid çember ve daire için aynı kelimeyi kullandığı için ben de bu ayırımın yapılmasını konunun akışına bırakacağım. Özellikle yarıçember dendiğinde bazen yarım çember bazen yarım daire kastedilecek. Öklid eşkenar ve eğik dörtgen tanımlarını hiçbir yerde kullanmaz. Paralel kavramını dörtgenleri sınıflandırdıktan sonra verdiği için paralelkenar tanımı burada yapılmaz. ma ilerde de hiçbir yerde paralelkenar tanımlanmaz, okuyucunun bildiği varsayılır. yrıca Öklid hemen hemen her yerde paralelkenar dediğinde dikdörtgen ile çalışır. ] 2

7 lemanlar 8 Mayıs 208 sürümü Kitap I şağıdakiler kabul edilsin: 2. elitler Herhangi bir noktadan başka herhangi bir noktaya bir doğru çizilebilir. 2 ir doğru istenildiği kadar yine bir doğru olacak şekilde uzatılabilir. 3 Herhangi bir merkez ve bir uzunluk verildiğinde bir çember çizilebilir. 4 ütün dik açılar birbirine eşittir. 5 ğer bir doğru iki doğruyu kestiğinde bu doğrunun aynı tarafındaki iç açılar iki dik açıdan küçükse, bu iki doğru o yönde uzatıldıklarında kesişir. 3. Ortak Kavramlar ynı şeye eşit olan şeyler birbirine de eşittir. 2 ğer eşit olan şeylere eşit şeyler eklenirse, bütünler de eşittir. 3 ğer eşit şeylerden eşit şeyler çıkarılırsa, kalanlar da eşittir. 4 irbiriyle örtüşen şeyler birbirine eşittir. 5 ütün, parçalarından büyüktür. 3

8 Kitap I: Önerme 8 Mayıs 208 sürümü Öklid 4. Önermeler. Önerme: Verilen bir doğru parçası üzerine eşkenar bir üçgen çizmenin yolu. Verilen doğru parçası olsun. öylece doğru parçası üzerine eşkenar bir üçgen çizilmesi istenmektedir. merkezi ve uzunluğuyla çemberi çizilsin; [el. 3] yine, merkezi ve uzunluğuyla çemberi çizilsin; [el. 3] ve çemberlerin birbirini kestiği noktasından, noktalarına, doğruları çizilsin. [el. ] noktası çemberinin merkezi olduğu için, ye eşittir. [Tan. 5] Yine, noktası çemberinin merkezi olduğu için, ya eşittir. [Tan. 5] ma nın da ye eşit olduğu kanıtlanmıştı; böylece ve doğrularının her biri ye eşittir. Ve aynı şeye eşit olan şeyler birbirine de eşittir; [Ort. ] öyleyse, ye de eşittir. undan dolayı üç doğru,, birbirine eşittir. Öyleyse üçgeni eşkenardır ve verilen doğru parçası üzerine çizilmiştir. Tam olarak yapılması istenen de buydu. 4

9 lemanlar 8 Mayıs 208 sürümü Kitap I: Önerme 2 2. Önerme: Verilen bir noktadan başlamak üzere, verilen bir doğruya eşit bir doğru parçası çizmenin yolu. K H G F L Verilen nokta, ve verilen doğru olsun. öylece noktasına, verilen doğrusuna eşit bir doğru yerleştirilmesi isteniyor. noktasından noktasına doğrusu çizilsin; [el. ] ve onun üzerine eşkenar üçgeni çizilsin. [I.], doğruları boyunca, F doğruları uzatılsın; [el. 2] merkezi ve uzaklığıyla GH çemberi çizilsin; [el.3] ve yine, merkezi ve G uzaklığıyla GKL çemberi çizilsin. [el. 3] Sonra, GH çemberinin merkezi olduğu için, eşittir G olur. Yine, GKL çemberinin merkezi olduğu için L eşittir G olur. Ve bunlardan, ye eşittir; bu nedenle kalan L, kalan G ye eşittir. [Ort. 3] ma nin G ye eşit olduğu da kanıtlanmıştı; bu yüzden L, doğrularının her biri G ye eşittir. Ve eşit şeylere eşit olan şeyler birbirine de eşittir; [Ort. ] bundan dolayı L eşittir olur. 5

10 Kitap I: Önerme 3 8 Mayıs 208 sürümü Öklid K H öylece verilen noktasında verilen doğrusuna eşit L doğrusu çizilmiştir. G F Tam olarak yapılması istenen de buydu. L 3. Önerme: Farklı uzunlukta iki doğru verildiğinde uzun olandan kısa olana eşit bir doğru çıkarmanın yolu. Verilen farklı doğrular, olsun, ve büyük olan olsun. öylece büyük olan den küçük olan ye eşit bir doğru kesip çıkarılması isteniyor. F noktasına, doğrusuna eşit doğrusu yerleştirilsin. [I.2] merkezi ve uzunluğuyla F çemberi çizilsin. [el. 3] noktası F çemberinin merkezi olduğu için eşittir olur. [Tan. 5] ma de ye eşittir. u yüzden, doğrularının her biri ye eşittir. u yüzden eşittir olur. [Ort. ] öylece, ve doğruları verildiğinde, büyük olan den küçük olan ye eşit kesilip çıkarılmıştır. Tam olarak yapılması istenen de buydu. 6

11 lemanlar 8 Mayıs 208 sürümü Kitap I: Önerme 4 4. Önerme: ğer iki üçgenin karşılıklı iki kenarı ve bu eşit kenarlar arasındaki açıları birbirine eşitse, üçüncü kenarları da birbirine eşit olur; üçgenler bu durumda eşittir ve kalan açılar da birbirine eşittir, yani eşit kenarların karşılarındaki açılar birbirine eşit olur. F Karşılıklı kenarları,, sırasıyla, F ye eşit olan üçgenler, F olsun, yani, ye ve, F ye, ve açısı F açısına eşit olsun. iyorum ki, taban de taban F ye eşit olur, üçgeni F üçgenine eşit olur, ve diğer açılar da karşılıklı olarak eşittir, yani eşit kenarları gören açılar olarak açısı F açısına, ve açısı F açısına eşittir. Çünkü, üçgeni F üçgeni üzerine yerleştirildiğinde, ve noktası noktasına kondurulduğunda, ve doğrusu da nin üzerine konduğunda,, ye eşit olduğundan noktası ile çakışır., ile çakıştığında doğrusu da F ile çakışır çünkü açısı F açısına eşittir., F ye eşit olduğundan, noktası da F noktasıyla çakışacaktır. ma de ile çakışmıştı. undan dolayı tabanı F tabanıyla çakışacaktır. Çünkü eğer noktası ile, ve noktası F ile çakıştığında, tabanı F tabanıyla çakışmazsa, iki doğru bir alanı çevrelemiş olacaktır ki bu olamaz. olayısıyla, F le çakışacak ve ona eşit olacaktır. [Ort. 4] öylece üçgeninin tamamı F üçgeniyle çakışacak ve ona eşit olacaktır. 7

12 Kitap I: Önerme 5 8 Mayıs 208 sürümü Öklid Ve kalan açılar da çakışacak ve birbirine eşit olacaktır; açısı F açısına ve açısı F açısına. 5. Önerme: İkizkenar üçgenlerde taban açıları birbirine eşittir, ve eğer eşit olan kenarlar uzatılırsa tabanın altında kalan açılar da birbirine eşit olacaktır. F G kenarı kenarına eşit olan bir ikizkenar üçgeni olsun; ve doğrultusunda uzatılan doğrular, olsun. [el. 2] iyorum ki açısı açısına, ve açısı açısına eşittir. Çünkü, üzerinde rastgele bir F noktası alınsın. aha büyük olan den, daha kısa olan F ye eşit G çıkarılmış olsun. [I.3] Ve F, G doğruları çizilsin. [el. ] O zaman, F, G ye ve, ye eşit olduğundan, F, kenarları sırasıyla G, kenarlarına eşit olur, ve FG ortak açısını içerirler. u nedenle F tabanı G tabanına, F üçgeni G üçgenine eşit olur, ve kalan açılar da karşılıklı olarak eşit olacaktır; yani eşit kenarların gördüğü açılar olarak F açısı G açısına, F açısı G açısına eşit olacaktır. [I.4] 8

13 lemanlar 8 Mayıs 208 sürümü Kitap I: Önerme 6 Ve F, G ye eşit olduğundan ve bunların içinde, ye eşit olduğundan, kalan F kalan G ye eşittir. ma F nin G ye eşit olduğu da kanıtlanmıştı. undan dolayı F, F kenarları sırasıyla G, G kenarlarına eşittir, ve F açısı G açısına eşittir ve bu arada tabanı ortaktır. öylece F üçgeni de G üçgenine eşittir ve kalan açılar da karşılıklı eşit olacaktır; yani eşit kenarların gördüğü açılar. u nedenle F açısı G açısına, F açısı da G açısına eşittir. enzer şekilde, G nın açısının F açısına eşit olduğu kanıtlandığından, ve bunların içindeki G açısı F açısına eşit olduğundan, kalan açılar olarak açısı açısına eşittir, ve bunlar da üçgeninin taban açılarıdır. 6. Önerme: ğer bir üçgende iki açı birbirine eşitse, bu eşit açıları gören kenarlar da birbirine eşittir. açısı açısına eşit olan bir üçgeni olsun. iyorum ki kenarı da kenarına eşittir. Çünkü,, ye eşit değilse, biri diğerinden büyük olacaktır. üyük olan olsun, ve büyük olan den küçük olan ye eşit çıkarılsın. doğrusu çizilsin. O zaman,, ye eşit olduğundan ve ortak olduğundan,, kenarları sırasıyla, kenarlarına eşittir ve açısı açısına eşittir. u yüzden tabanı tabanına eşittir, ve küçük olan üçgeni büyük olan üçgenine eşit olacaktır ki bu saçmadır. u yüzden, den farklı olamaz, ona eşittir. 9

14 Kitap I: Önerme 7 8 Mayıs 208 sürümü Öklid 7. Önerme: ir doğru parçasının iki ucundan aynı tarafa doğru iki doğru çizildiğinde bir noktada kesişiyorlarsa, bu doğruların çıktığı noktalardan çıkan, onlara eşit olun ve onların uzatıldığı tarafa uzatılıp da başka bir noktada kesişen başka iki doğru yoktur. Çünkü eğer olsaydı, doğrusunun iki ucundan çizilmiş ve noktasında birleşen iki doğru, verildiğinde, aynı doğrusu üzerinde aynı tarafa çizilmiş ve başka bir noktasında birleşen iki başka doğru, verilsin, ve bunlar ilk doğrulara eşit olsunlar, öyle ki her biri kendisiyle aynı uca sahip doğruya eşit olsun, yani kendisiyle aynı ucuna sahip ya, ve kendisiyle aynı ucuna sahip ye eşit olsun. birleştirilsin. O zaman,, ye eşit olduğu için açısı açısına eşit olur. [I.5] Öyleyse açısı açısından büyüktür. u durumda açısı açısından çok daha büyüktür. Öte yandan,, ye eşit olduğundan, açısı da açısına eşittir. ma onun çok daha büyük olduğu kanıtlanmıştı. u olamaz. 0

15 lemanlar 8 Mayıs 208 sürümü Kitap I: Önerme 8 8. Önerme: ğer iki üçgenin karşılıklı iki kenarları birbirlerine eşitse ve üstelik tabanları da birbirine eşitse, o zaman bu üçgenlerin eşit kenarlar arasında kalan açıları da eşittir. G F Verilen ve F üçgenlerinde karşılıklı kenarlar, sırasıyla, F kenarlarına eşit olsun, yani ile, ve ile F eşit olsun. yrıca bu üçgenlerin tabanları ile F de birbirine eşit olsun. iyorum ki açısı da F açısına eşit olur. Çünkü, eğer üçgeni F üçgeni üzerine yerleştirilirse, ve noktası noktasına, ve doğrusu da F doğrusuna yerleştirilirse, eşittir F olduğundan noktası F ile çakışır. ile F çakıştığından, de, F ile çakışacaktır; çünkü eğer tabanı F tabanıyla çakışır ve, kenarları, F kenarlarıyla çakışmaz ama G, GF olarak yanlarına düşerse, o zaman aynı doğrunun uçlarından çizilmiş ve bir noktada birleşmiş iki doğru verildiğinde o doğrunun uçlarından ve aynı tarafa doğru çizilmiş başka noktada birleşen ve ilk doğrulara sırasıyla eşit, yani her biri aynı ucu paylaştığı doğruya eşit, iki doğru çizilmiş olur. ma böyle doğrular çizilemez. [I.7] O zaman tabanı F tabanının üzerine yerleştirildiğinde, kenarlarının, F kenarlarıyla çakışmaması mümkün değildir. Öyleyse çakışacaklar, ve açısı da F açısıyla çakışacak ve ona eşit olacaktır.

16 Kitap I: Önerme 9 8 Mayıs 208 sürümü Öklid 9. Önerme: ir düzkenarlı açıyı ikiye bölmenin yolu. F Verilen düzkenarlı açı olsun. u açının ikiye bölünmesi isteniyor. üzerinde rastgele bir noktası seçilmiş olsun. üzerinde ye eşit ayrılmış olsun. [I.3] birleştirilsin ve üzerinde F eşkenar üçgeni çizilsin. F birleştirilsin. iyorum ki açısı F doğrusu tarafından ikiye bölünmüştür. Çünkü,, ye eşit olduğundan ve F ortak olduğundan,, F kenarları sırasıyla, F kenarlarına eşittir, ve F tabanı F tabanına eşittir. u durumda F açısı F açısına eşit olur. [I.8] öylece verilen düzkenarlı açı, F doğrusu tarafından ikiye bölünmüştür. Tam olarak yapılması istenen de buydu. 2

17 lemanlar 8 Mayıs 208 sürümü Kitap I: Önerme 0 0. Önerme: Verilen bir sonlu doğruyu ikiye bölmenin yolu. Verilen sonlu doğru olsun. u sonlu doğrusunun ikiye bölünmesi isteniyor. u doğrunun üzerine eşkenar üçgeni çizilsin, [I.] ve açısı doğrusuyla ikiye bölünsün. [I.9] iyorum ki doğrusu noktasında ikiye bölünmüştür. Çünkü, eşittir, ve ortak olduğundan,, kenarları sırasıyla, kenarlarına eşittir. Ve açısı açısına eşittir. u durumda tabanı tabanına eşit olur. [I.4] öylece verilen sonlu doğru, noktasından ikiye bölünmüş olur. Tam olarak yapılması istenen de buydu. 3

18 Kitap I: Önerme 8 Mayıs 208 sürümü Öklid. Önerme: ir doğruya üzerinde verilen bir noktadan dik bir doğru çizmenin yolu. F verilen doğru ve onun üzerinde verilen nokta olsun. öylece noktasından doğrusuyla dik açı yapacak bir doğru çizilmesi isteniyor. üzerinde rastgele bir noktası alınsın. ye eşit olacak şekilde çizilsin. [I.3] üzerine eşkenar F üçgeni çizilsin. Ve F birleştirilsin. iyorum ki F doğrusu doğrusuna noktasında diktir. Çünkü, eşittir, ve F ortak olduğu için,, F kenarları sırasıyla, F kenarlarına eşittir. Ve F tabanı F tabanına eşittir. u yüzden F açısı F açısına eşittir. [I.8] Ve bunlar komşu açılardır. ma ne zaman bir doğruya çizilen bir doğru iki komşu açıyı birbirine eşit kılıyorsa, bu açıların her biri dik açıdır. [Tan. 0] u nedenle F, F açılarının her biri diktir. öylece F doğrusu doğrusuna noktasında dik olacak şekilde çizilmiştir. Tam olarak yapılması istenen de buydu. [I.] 4

19 lemanlar 8 Mayıs 208 sürümü Kitap I: Önerme 2 2. Önerme: ir sonsuz doğruya üzerinde olmayan bir noktadan dik bir doğru çizmenin yolu. F G H verilen sonsuz doğru olsun ve de onun üzerinde olmayan bir nokta olsun. O zaman verilen sonsuz doğrusuna üzerinde olmayan noktasından bir dik doğru çizilmesi isteniyor. doğrusunun öbür tarafında rastgele bir noktası alınsın ve merkezi ve uzaklığıyla FG çemberi çizilsin. [el. 3] G doğrusu H de ikiye bölünsün ve G, H, doğruları çizilsin. [el. ] iyorum ki H doğrusu sonsuz doğrusuna üzerinde olmayan noktasından dik olarak çizilmiştir. Çünkü, GH eşittir H olduğu ve H ortak olduğu için, GH, H kenarları sırasıyla H, H kenarlarına eşittir, ve G tabanı tabanına eşittir. undan dolayı HG açısı H açısına eşittir. [I.8] Ve bunlar komşu açılardır. ma ne zaman bir doğruya çizilen bir doğru iki komşu açıyı birbirine eşit kılıyorsa, bu açıların her biri dik açıdır, ve bu çizilen doğruya diğerine diktir denir. [Tan. 0] öylece verilen sonsuz doğrusuna üzerinde olmayan noktasından H dik olarak çizilmiştir. Tam olarak yapılması istenen de buydu. 5

20 Kitap I: Önerme 3 8 Mayıs 208 sürümü Öklid 3. Önerme: ir doğruya çizilen başka bir doğru eğer açı oluşturuyorsa ya iki dik açı oluşturur ya da iki dik açıya eşit açılar oluşturur. doğrusu doğrusuyla, açılarını yapsın. iyorum ki, açıları ya iki dik açıdır ya da iki dik açıya eşittir. Şimdi, eğer açısı açısına eşitse, bunlar dik açıdır. [Tan. 0] ma değilse, noktasından ye dikmesi çizilsin. [I.] u yüzden, açıları iki dik açıdır. O zaman, açısı, açılarına eşit olduğu için, açısı ikisine de eklensin. undan dolayı, açıları,, açılarına eşittir. [Ort. 2] ynı şekilde, açısı, açılarına eşit olduğundan, açısı her ikisine de eklensin. undan dolayı, açıları,, açılarına eşittir. [Ort. 2] ma, açılarının da aynı üç açıya eşit olduğu kanıtlanmıştı. şit şeylere eşit olan şeyler birbirine de eşittir. [Ort. ] u nedenle, açıları, açılarına da eşittir. ma, açıları iki dik açıdır. Öyleyse, açıları da iki dik açıya eşittir. 6

21 lemanlar 8 Mayıs 208 sürümü Kitap I: Önerme 4 4. Önerme: ğer bir doğru parçasının üzerindeki bir noktadan, bu doğru parçasının aynı tarafında olmayacak şekilde çizilen iki doğrunun bu doğru parçasıyla oluşturdukları açılar iki dik açı ediyorsa, bu iki doğru aynı doğru üzerindedir. doğrusunun üzerindeki noktasından bu doğrunun aynı tarafında olmayacak şekilde çizilen ve doğrularının bu doğruyla yaptıkları komşu açılar, iki dik açıya eşit olsun. iyorum ki ve aynı doğru üzerindedir. Çünkü, eğer, ile aynı doğru üzerinde değile, ile aynı doğrultuda doğrusu çizilsin. O zaman doğrusu doğrusu üzerine çizilmiş olduğundan, açıları iki dik açıya eşittir. [I.3] ma, açıları da iki dik açıya eşittir. u nedenle, açıları, açılarına eşittir. [el. 4 ve Ort. ] Her birinden açısı çıkarılsın. O zaman kalan açısı kalan açısına eşit olur, [Ort. 3] ki küçük olan büyük olana eşit oldu. u olamaz. Öyleyse, ile aynı doğru üzerinde değildir. enzer şekilde kanıtlayabiliriz ki den başka hiç bir doğru da ile aynı doğru üzerinde değildir. Öyleyse, ile aynı doğru üzerindedir. 7

22 Kitap I: Önerme 5 8 Mayıs 208 sürümü Öklid 5. Önerme: Kesişen iki doğrunun oluşturduğu ters köşe açıları eşittir. ve doğruları noktasında kesişsin. iyorum ki açısı açısına, ve açısı açısına eşittir. Çünkü, doğrusu doğrusuna,, açılarını oluşturacak şekilde çizildiğinden,, açılarını iki dik açıya eşittir. [I.3] ynı şekilde, doğrusu doğrusuna,, açılarını oluşturacak şekilde çizildiğinden,, açıları iki dik açıya eşittir. [I.3] ma, açılarının da iki dik açıya eşit olduğu kanıtlanmıştı. u nedenle, açıları, açılarına eşittir. [el. 4 ve Ort. ] Her birinden açısı çıkarılsın. O zaman kalan açısı kalan açısına eşit olur. [Ort. 3] enzer şekilde, açılarının da eşit olduğu gösterilebilir. oğal Sonuç: uradan açıkça görülür ki, eğer iki doğru birbirini keserse, kesişme noktasındaki açıları dört dik açıya eşit kılarlar. 8

23 lemanlar 8 Mayıs 208 sürümü Kitap I: Önerme 6 6. Önerme: ir üçgenin bir kenarı uzatıldığında oluşan dış açı karşı iç açıların ikisinden de büyüktür. F G üçgeninde bir kenarı ye kadar uzatılmış olsun. iyorum ki dış açı karşı iç açılar, nin her birinden büyüktür., noktasından ikiye bölünsün, [I.0] ve birleştirilip bir doğru boyunca F ye kadar uzatılsın. F doğrusu ye eşit olsun, [I.3] F birleştirilsin, [el. ] doğrusu G ye kadar uzatılsın. [el. 2] O zaman, eşittir, ve eşittir F olduğundan,, kenarları sırasıyla, F kenarlarına eşittir, ve karşı açılar oldukları için açısıyla F açısı eşittir. [I.5] u nedenle tabanı F tabanına eşittir, ve üçgeni F üçgenine eşittir, diğer açılar da sırasıyla diğer açılara eşittir, yani eşit kenarların gördüğü açılar. [I.4] olayısıyla açısı F açısına eşittir. ma açısı F açısından büyüktür. [Ort. 5] u nedenle açısı açısından büyüktür. enzer şekilde, eğer ikiye bölünürse, G açısının, yani açısının, [I.5] 9

24 Kitap I: Önerme 7 8 Mayıs 208 sürümü Öklid F açısından büyük olduğu gösterilebilir. G 7. Önerme: ir üçgenin herhangi iki iç açısı iki dik açıdan küçüktür. bir üçgen olsun. iyorum ki üçgeninin rastgele alınan iki iç açısı iki dik açıdan küçüktür. Çünkü, doğrusu ye uzatılsın. [el. 2] O zaman, açısı üçgeninin bir dış açısı olduğundan, karşı iç açı den büyüktür. [I.6] Her ikisine de açısı eklensin. u durumda, açıları, açılarından büyük olur. ma, açıları iki dik açıya eşittir. [I.3] u nedenle, açıları iki dik açıdan küçüktür. enzer şekilde, açılarının, ve aynı nedenle, açılarının, iki dik açıdan küçük olduklarını kanıtlayabiliriz 20

25 lemanlar 8 Mayıs 208 sürümü Kitap I: Önerme 8 8. Önerme: ir üçgende daha büyük kenar daha büyük açıyı görür. üçgeninde kenarı kenarından büyük olsun. iyorum ki açısı da açısından büyük olur. Çünkü, kenarı den büyük olduğundan,, ye eşit çizilsin, [I.3] ve birleştirilsin. O zaman, açısı üçgeninin bir dış açısı olduğundan, karşı iç açı den büyüktür. [I.6] ma kenarı kenarına eşit olduğundan, açısı açısına eşittir. u nedenle açısı açısından da büyüktür. Öyleyse açısı açısından daha da büyüktür. 2

26 Kitap I: Önerme 9 8 Mayıs 208 sürümü Öklid 9. Önerme: ir üçgende daha büyük açı daha büyük kenarı görür. üçgeninde açısı açısından büyük olsun. iyorum ki kenarı da kenarından büyüktür. Çünkü, eğer öyle değilse, doğrusu ye ya eşittir ya da ondan küçüktür. Şimdi,, ye eşit değil; öyle olsaydı açısı da açısına eşit olurdu, [I.5] ama değil; demek ki, ye eşit değil., den küçük de değil; öyle olsaydı açısı açısından küçük olurdu, [I.8] ama değil; demek ki, den küçük değil. Ve eşit olmadığı da kanıtlanmıştı. Öyleyse, den büyüktür. 22

27 lemanlar 8 Mayıs 208 sürümü Kitap I: Önerme Önerme: ir üçgende herhangi iki kenar birlikte diğer kenardan büyüktür. üçgeni verilmiş olsun. iyorum ki üçgeninde herhangi iki kenar birlikte diğer kenardan büyüktür, yani, birlikte den büyük,, birlikte den büyük,, birlikte den büyük olur. Çünkü, doğrusu noktasına uzatılsın, eşittir olsun, ve birleştirilsin. O zaman, eşittir olduğundan, açısı açısına eşittir; [I.5] bu yüzden açısı açısından büyüktür. [Ort. 5] Ve üçgeninde açısı açısından büyük olduğundan, ve daha büyük açı daha büyük kenarı gördüğünden, [I.9], den büyüktür. ma eşittir ; öyleyse, birlikte den büyüktür. enzer şekilde, nin birlikte dan, ve, nın birlikte den büyük olduğunu kanıtlayabiliriz. 23

28 Kitap I: Önerme 2 8 Mayıs 208 sürümü Öklid 2. Önerme: ir üçgenin herhangi bir kenarının uçlarından üçgenin içinde birleşecek şekilde iki doğru çizilirse bu doğrular üçgenin diğer iki kenarından küçük olacak ama daha büyük bir açı içereceklerdir. üçgeninin bir kenarının uçları olan ve noktalarından üçgenin içinde kesişecek şekilde ve doğruları çizilmiş olsun. iyorum ki, kenarları üçgenin diğer iki kenarı olan, den küçüktür, ama içerdikleri açısı açısından büyüktür. Çünkü, ye kadar uzatılsın. Sonra, bir üçgende iki kenar birlikte diğer kenardan büyük olduğundan, [I.20] üçgenindeki iki kenar, birlikte den büyüktür. İki tarafa eklensin; o zaman, kenarları birlikte, den büyük olur. enzer şekilde, üçgeninde, kenarları den büyüktür. İki tarafa eklensin; o zaman, kenarları, den büyük olur. ma, nin, den büyük olduğu kanıtlanmıştı; o nedenle, kenarları, den daha da büyük olur. Öte yandan, bir üçgende bir dış açı karşı iç açıdan büyük olduğundan, [I.6] üçgeninde açısı açısından büyüktür. ynı nedenden dolayı, bundan başka, üçgeninde de dış açısı açısından büyüktür. ma açısının açısından büyük olduğu kanıtlanmıştı; demek ki açısı açısından daha da büyüktür. 24

29 lemanlar 8 Mayıs 208 sürümü Kitap I: Önerme Önerme: Kenarları, verilen üç doğru parçasına eşit olan bir üçgen çizmenin yolu: bu durumda bu üç doğru parçasının herhangi iki tanesinin diğerinden büyük olması gerekir. [I.20] K F G H L Verilen üç doğru,, olsun, ve herhangi iki tanesi diğerinden büyük olsun, yani, birlikte den,, birlikte den,, birlikte dan, büyük olsun. öylece, ve ye eşit üç doğruyla bir üçgen çizilmesi isteniyor. noktasında biten ama doğrultusunda sonsuz uzayan doğrusu olsun, ve ya eşit F, ye eşit FG, ve ye eşit GH çizilsin. [I.3] F merkezi ve F uzunluğuyla KL çemberi çizilsin; benzer şekilde G merkezi ve GH uzunluğuyla KLH çemberi çizilsin; ve KF, KG birleştirilsin. iyorum ki KFG üçgeni,, doğrularına eşit doğrularla çizilmiştir. Çünkü, F noktası KL çemberinin merkezi olduğundan, F eşittir FK olur. ma F eşittir ; bu nedenle KF de ya eşittir. enzer şekilde, G noktası LKH çemberinin merkezi olduğundan, GH eşittir GK olur. ma GH eşittir ; bu nedenle KG de ye eşit olur. Ve FG de ye eşittir; bu nedenle verilen üç doğru,, ye eşit olan KF, FG, GK doğrularıyla KFG üçgeni çizilmiştir. Tam olarak yapılması istenen de buydu. 25

30 Kitap I: Önerme 23 8 Mayıs 208 sürümü Öklid 23. Önerme: ir doğru üzerindeki bir noktadan verilen bir düzkenar açıya eşit bir düzkenar açı çizmenin yolu. F G Verilen doğru olsun, üzerindeki nokta ve verilen düzkenar açı da olsun. öylece verilen doğrusunun üzerindeki noktasında verilen düzkenar açıya eşit bir düzkenar açı çizilmesi isteniyor., doğruları üzerinde, noktaları rastgele seçilsin; birleştirilsin,,, doğrularına eşit üç doğru kullanılarak FG üçgeni, eşittir F, eşittir G ve eşittir FG olacak şekilde çizilsin. [I.22] O zaman,, kenarları sırasıyla F, G kenarlarına eşit olduğundan, ve tabanı da FG tabanına eşit olduğundan, açısı FG açısına eşit olur. [I.8] öylece verilen doğrusuna üzerinde verilen noktasından verilen düzkenar açıya eşit FG düzkenar açısı çizildi. Tam olarak yapılması istenen de buydu. 26

31 lemanlar 8 Mayıs 208 sürümü Kitap I: Önerme Önerme: Karşılıklı ikişer kenarları eşit olan üçgenlerden bu eşit kenarlar arasındaki açısı diğerininkinden büyük olan üçgenin tabanı da diğerinin tabanından büyüktür. ve kenarları sırasıyla ve F kenarlarına eşit olan ve F üçgenleri verilmiş olsun, yani kenarı ye, ve kenarı F ye eşit olsun, ve köşesindeki açı köşesindeki açıdan büyük olsun. iyorum ki tabanı da F tabanından büyüktür. Çünkü, açısı F açısından büyük olduğundan, doğrusuna üzerindeki noktasında, açısına eşit G açısı çizilsin; [I.23] G kenarı ya da F doğrularından birine eşit çizilsin, ve G, FG birleştirilsin. O zaman, eşittir, ve eşittir G olduğundan,, kenarları sırasıyla, G kenarlarına eşittir; ve açısı G açısına eşittir. u nedenle tabanı G tabanına eşittir. [I.4] Öte yandan, F eşittir G olduğundan, GF açısı da FG açısına eşittir. [I.5] u nedenle FG açısı GF açısından büyüktür. emek ki FG açısı GF açısından daha da büyüktür. Ve, FG üçgeninde FG açısı GF açısından büyük olduğundan, ve daha büyük açı daha büyük kenarı gördüğünden, [I.9] G kenarı F kenarından büyüktür. ma G eşittir. Öyleyse de F den büyüktür. G F 27

32 Kitap I: Önerme 25 8 Mayıs 208 sürümü Öklid 25. Önerme: ğer iki üçgenin karşılıklı ikişer kenarları eşit ama birinin tabanı diğerinkinden büyükse, eşit kenarları arasında kalan açısı da diğerinkinden büyük olacaktır. ve kenarları sırasıyla ve F kenarlarına eşit olan ve F üçgenleri verilmiş olsun, yani kenarı ye, ve kenarı F ye eşit olsun, ve tabanı F tabanından büyük olsun. iyorum ki açısı da F açısından büyüktür. Çünkü öyle olmasaydı ya eşit olurdu ya da küçük. Şimdi açısı F açısına eşit değildir; öyle olsaydı tabanı F tabanına eşit olurdu, [I.4] ama değil; demek ki açısı F açısına eşit değil. enzer şekilde açısı F açısından küçük olamaz; çünkü o zaman tabanı F tabanından küçük olurdu, [I.24] ama değil; demek ki açısı F açısından küçük değil. ma eşit olmadığı da kanıtlanmıştı. Öyleyse açısı F açısından büyüktür. F 28

33 lemanlar 8 Mayıs 208 sürümü Kitap I: Önerme Önerme: Karşılıklı ikişer açıları aynı olan üçgenlerde eğer bu açılar arasında kalan kenarlar eşitse, ya da bu eşit açılardan birini gören kenar diğer üçgendeki eşit açılardan birini gören kenara eşitse, bu üçgenlerde diğer kenarlar da eşit olur ve birinin kalan açısı öbürünün kalan açısına eşit olur. G F H ve açıları sırasıyla F ve F açılarına eşit olan ve F üçgenleri verilmiş olsun, yani açısı F açısına, ve açısı F açısına eşit olsun; ve üçgenlerin birer kenarları karşılıklı eşit olsun, önce eşit açıları birleştiren kenarlar, yani kenarı F kenarına eşit olsun. iyorum ki üçgenlerin diğer kenarları da birbirine sırasıyla eşit our, yani kenarı kenarına, ve kenarı F kenarına eşit olur, ve açısı F açısına eşit olur. Çünkü eğer ile eşit değilse, biri büyüktür. üyük olan olsun, ve G, ye eşit çizilsin, G birleştirilsin. O zaman, G, ye ve, F ye eşit olduğundan, G, kenarları sırasıyla, F kenarlarına eşitir; ve G açısı F açısına eşittir; bu nedenle G tabanı F tabanına, ve G üçgeni F üçgenine eşittir. u durumda kalan açılar da birbirine eşit olacaktır, yani eşit kenarları gören açılar. [I.4] Öyleyse G açısı F açısına eşittir, ama F açısının açısına eşit olduğu varsayılmıştı; öyleyse G açısı açısına eşittir, küçük olan büyük olana: bu olamaz. u durumda, den farklı olamaz, öyleyse ona eşittir. ma de F ye eşittir; öyleyse, kenarları sırasıyla, F kenarlarına eşittir, ve açısı F açısına eşittir; öyleyse tabanı F tabanına eşittir, ve kalan açısı kalan F açısına eşittir. [I.4] 29

34 Kitap I: Önerme 26 8 Mayıs 208 sürümü Öklid G F enzer şekilde, eşit açıları gören karşılıklı iki kenar eşit olsun, örneğin kenarı kenarına eşit olsun. H iyorum ki diğer kenarlar da birbirine eşit olur, yani kenarı F kenarına, ve kenarı F kenarına eşit olur, ve dahası kalan diğer açı diğer kalan açı F açısına eşittir. Çünkü eğer ile F eşit değilse, biri büyüktür. Mümkünse büyük olan olsun, ve H, F ye eşit olsun, H birleştirilsin. O zaman, H, F ye ve, ye eşit olduğundan,, H kenarları sırasıyla, F kenarlarına eşittir, ve aralarındaki açılar eşittir; öyleyse H tabanı F tabanına eşittir ve H üçgeni F üçgenine eşittir, ve kalan açılar kalan açılara eşit olacaktır, yani eşit kenarları gören açılar eşit olacaktır. [I.4] Öyleyse H açısı F açısına eşittir. ma F açısı açısına eşittir; bu durumda H üçgeninde, H dış açısı karşı iç açıya eşittir ki bu olamaz. [I.6] u durumda, F den farklı olamaz, öyleyse ona eşittir. ma aynı zamanda ye de eşittir; öyleyse, kenarları sırasıyla, F kenarlarına eşittir, ve aralarındaki açılar eşittir. Öyleyse tabanı F tabanına eşittir ve üçgeni F üçgenine eşittir, ve kalan açısı kalan F açısına eşittir. [I.4] 30

35 lemanlar 8 Mayıs 208 sürümü Kitap I: Önerme Önerme: ğer bir doğru, iki doğruyu kestiğinde oluşan ters iç açılar eşitse, o iki doğru paraleldir. G F F doğrusu ve doğrularını F ve F açılarını eşit kılacak şekilde kessin. iyorum ki doğrusu doğrusuna paraleldir. Çünkü değilse,, doğruları, ya da, yönünde uzatıldıklarında kesişeceklerdir., yönünde uzatılmış ve G noktasında kesişmiş olsunlar. O zaman GF üçgeninde F dış açısı FG karşı iç açısına eşit olur ki bu olamaz. [I.6] u nedenle, doğruları, yönünde uzatıldığında kesişmezler. enzer şekilde, yönünde uzatıldıklarında da kesişmedikleri kanıtlanabilir. ma hangi yönde uzatılırsa uzatılsın kesişmeyen doğrular paraleldir; [Tan. 23] öyleyse doğrusu doğrusuna paraleldir. 3

36 Kitap I: Önerme 28 8 Mayıs 208 sürümü Öklid 28. Önerme: ğer bir doğru, iki doğruyu kestiğinde biriyle yaptığı dış açı diğeriyle aynı tarafta yaptığı karşı iç açıya eşitse, ya da aynı taraftaki iç açılar iki dik açıya eşitse, o iki doğru paraleldir. G H F F doğrusu ve doğrularını kestiğinde G dış açısıyla GH iç açıları eşit olsun, ya da aynı taraftaki GH ve GH açıları iki dik açıya eşit olsun. iyorum ki doğrusu doğrusuna paraleldir. Çünkü G açısı GH açısına eşit olduğundan, ve bu arada G açısı GH açısına eşit olduğundan, [I.5] GH açısı GH açısına eşittir, ve bunlar ters iç açılardır. Öyleyse doğrusu doğrusuna paraleldir. [I.27] Yine, GH, GH açıları iki dik açıya eşit olduğundan, ve GH, GH açıları da iki dik açıya eşit olduğundan, [I.3] GH, GH açıları GH, GH açılarına eşittir. GH açısı her iki taraftan da çıkarılsın; bu durumda kalan GH açısı kalan GH açısına eşittir, ve bunlar da ters iç açılardır. Öyleyse doğrusu doğrusuna paraleldir. [I.27] 32

37 lemanlar 8 Mayıs 208 sürümü Kitap I: Önerme Önerme: ğer iki doğru paralelse bunları kesen bir doğrunun oluşturduğu ters iç açılar eşittir, dış açı karşı iç açıya eşittir, ve aynı taraftaki iç açılar iki dik açıya eşittir. G H, paralel doğrularını F doğrusu kessin. F iyorum ki ters iç açılar GH ve GH eşittir, dış açı G ve karşı iç açı GH eşittir, ve aynı taraftaki iç açılar yani GH, GH, iki dik açıya eşittir. Çünkü, eğer GH açısı GH açısından farklıysa, bunlardan biri büyüktür. GH açısı büyük olsun. Her ikisine de GH açısı eklensin. u durumda GH, GH açıları GH, GH açılarından büyük olur. ma GH, GH açıları iki dik açıya eşittir. [I.3] öyleyse GH, GH açıları iki dik açıdan küçüktür. ma iki dik açıdan küçük açılar yönünde uzatılan doğrular kesişir; [el. 5] demek ki, uzatıldıklarında kesişecekler; ama bunlar kesişmez çünkü paraleldirler. u yüzden GH açısı GH açısından farklı değildir, öyleyse eşittir. Yine, GH açısı G açısına eşittir; [I.5] öyleyse G açısı da GH açısına eşittir. [Ort. ] GH açısı her ikisine de eklensin. bu durumda G, GH açıları GH, GH açılarına eşit olur. [Ort. 2] 33

38 Kitap I: Önerme Mayıs 208 sürümü Öklid G ma G, GH açıları iki dik açıya eşittir. [I.3] H u durumda GH, GH açıları da iki dik açıya eşittir. F 30. Önerme: ynı doğruya paralel olan doğrular birbirlerine de paraleldir. K ve doğrularının her biri F doğrusuna paralel olsun. iyorum ki doğrusu doğrusuna da paraleldir. H Çünkü, GK doğrusu bunları kessin; o zaman GK doğrusu paralel, F doğrularını kestiği için GK açısı GHF açısına eşittir. [I.29] Yine, GK doğrusu F, paralel doğrularını kestiği için GHF açısı GK açısına eşittir. [I.29] ma GK açısının da GHF açısına eşit olduğu kanıtlanmıştı; bu durumda GK açısı GK açısına da eşittir, [Ort. ] ve bunlar ters iç açılardır. Öyleyse doğrusu doğrusuna paraleldir. 3. Önerme: Verilen bir noktadan verilen bir doğruya paralel bir doğru çizmenin yolu. G F [I.27] F 34

39 lemanlar 8 Mayıs 208 sürümü Kitap I: Önerme 32 Verilen nokta ve verilen doğru olsun. öylece noktasından doğrusuna paralel bir doğru çizilmesi istenmekte. üzerinde rastgele bir noktası alınsın, ve birleştirilsin. doğrusuna noktasında açısına eşit açısı çizilsin, [I.23] ve doğrultusunda F doğrusu çizilsin. O zaman,, F doğrularını kesen doğrusu, ters iç açılarını eşit yaptığından, F doğrusu ye paraleldir. [I.27] öylece verilen noktasından verilen doğrusuna paralel F doğrusu çizilmiş oldu. Tam olarak yapılması istenen de buydu. 32. Önerme: ir üçgende kenarlardan biri uzatılırsa, dış açı karşı iki iç açının toplamına eşittir, ve üçgenin iç açıları iki dik açıya eşittir. bir üçgen olsun, ve kenarlardan biri,, noktasına kadar uzatılmış olsun. iyorum ki dış açı, iki karşı iç açı, ye eşittir, ve üç iç açı,, iki dik açıya eşittir. Çünkü, noktasından ye paralel çizilsin; [ I.3] o zaman,, ye paralel olduğundan ve bunları kestiğinden, ters iç açılar, birbirine eşittir. [I.29] enzer şekilde,, ye paralel olduğundan ve doğrusu bunları kestiğinden, dış açı karşı iç açı ye eşittir. [I.29] ma açısının da açısına eşit olduğu kanıtlanmıştı; öyleyse açısının tamamı iki karşı iç açı, ye eşittir. 35

40 Kitap I: Önerme 33 8 Mayıs 208 sürümü Öklid Her iki tarafa açısı eklensin; o durumda, açıları,, açılarına eşittir. ma, açıları iki dik açıya eşittir. [I.3] u nedenle,, açıları iki dik açıya eşittir. 33. Önerme: şit ve paralel doğruları aynı yönlerde birleştiren doğrular da eşit ve paraleldir. ve doğruları eşit ve paralel olsun, ve doğruları da bunların aynı taraftaki uçlarını birleştiren doğrular olsun. iyorum ki, eşit ve paraleldir. birleştirilsin. O zaman,, ye paralel olduğundan, ve bunları kestiğinden, ters iç açılar, birbirine eşittir. [I.29] Ve,, ye eşit olduğundan ve ortak olduğundan,, kenarları sırasıyla, kenarlarına, ve açısı açısına eşittir; bu durumda tabanı tabanına eşittir, ve üçgeni üçgenine eşittir, ve kalan açılar da sırasıyla kalan açılara eşit olacaktır, yani eşit kenarların gördüğü açılar. [I.4] Öyleyse açısı açısına eşittir. ma, doğrularını kesen doğrusu ters iç açıları eşit yaptığından, doğrusu doğrsuna paraleldir. Ve eşit oldukları da kanıtlanmıştı. 36

41 lemanlar 8 Mayıs 208 sürümü Kitap I: Önerme Önerme: ir paralelkenarda karşılıklı kenarlar ve açılar eşittir, ve paralelkenarın köşegeni alanını ikiye böler. bir paralelkenar ve onun bir köşegeni olsun. iyorum ki paralelkenarın karşılıklı kenarları ve açıları eşittir, ve köşegeni paralelkenarı ikiye böler. Çünkü,, ye paralel olduğundan ve onları kestiğinden, ters iç açılar, birbirine eşittir. [I.29] enzer şekilde,, ye paralel olduğundan ve onları kestiğinden, ters iç açılar, birbirine eşittir. [I.29] u durumda, üçgenlerinde, açıları sırasıyla, açılarına eşittir, ve bir kenar bir kenara eşittir, yani eşit açıları birleştiren ve ortak olan ; öyleyse kalan kenarlar da sırasıyla kalan kenarlara eşit olacaktır, ve kalan açı da kalan açıya eşit olacaktır. [I.26] u yüzden eşittir, ve eşittir olur ve hatta açısı açısına eşit olur. Ve açısı açısına, ve açısı açısına eşit olduğundan, açısı açısına eşit olur. [Ort. 2] Ve açısının da açısına eşit olduğu kanıtlanmıştı. Öyleyse paralelkenarlarda karşı kenarlar ve karşı açılar eşittir. Sonra diyorum ki köşegen alanı ikiye böler. Çünkü, ye eşit, ve ortak olduğundan,, kenarları sırasıyla, kenarlarına eşittir, açısı açısına eşittir, öyleyse tabanı tabanına eşittir, ve üçgeni üçgenine eşittir. [I.4] u nedenle köşegeni paralelkenarını ikiye böler. 37

42 Kitap I: Önerme 35 8 Mayıs 208 sürümü Öklid 35. Önerme: ynı taban üzerinde ve aynı paraleller arasında olan paralelkenarlar birbirine eşittir. F G, F, aynı tabanı üzerinde ve aynı F, paralelleri arasında olan iki paralelkenar olsun. iyorum ki paralelkenarı F paralelkenarına eşittir. Çünkü, paralelkenar olduğundan eşittir olur. [I.34] ynı nedenle F, ye eşittir, böylece eşittir F olur; [Ort. ] bu durumda nin tümü F nin tümüne eşit olur. [Ort. 2] ma de ye eşittir; bu durumda, kenarları sırasıyla F, kenarlarına eşittir, ve F dış açısı karşı iç açısına eşittir; [I.29] Öyleyse tabanı F tabanına eşittir, ve üçgeni F üçgenine eşittir. [I.4] Her ikisinden G çıkarılsın; o zaman kalan G yamuğu kalan GF yamuğuna eşittir. [Ort. 3] Her ikisine G üçgeni eklensin; o zaman paralelkenarın tümü F paralelkenarın tümüne eşit olur. [Ort. 2] 38

43 lemanlar 8 Mayıs 208 sürümü Kitap I: Önerme Önerme: şit tabanlar üzerinde ve aynı paraleller arasında olan paralelkenarlar birbirine eşittir. H F G, FGH, eşit, FG tabanları üzerinde ve aynı H, G paralelleri arasında olan paralelkenarlar olsun. iyorum ki paralelkenarı F ye eşittir. Çünkü, H birleştirilsin. Sonra FG, H ye eşitken, FG ye eşit olduğundan, de H ye eşittir. [Ort. ] ma bunlar paraleldir de. Ve, H onları birleştirir; ama eşit ve paralel doğruları aynı yönlerde birleştiren doğrular da eşit ve paraleldir. [I.33] Öyleyse H paralelkenardır. [I.34] Ve aynı tabanı üzerinde ve aynı, H paralelleri arasında olduğundan ye eşittir. [I.35] ynı nedenle FGH de aynı H ye eşittir. u nedenle paralelkenarı FGH ye eşittir. [I.35] 39

44 Kitap I: Önerme Mayıs 208 sürümü Öklid 37. Önerme: ynı taban üzerinde ve aynı paraleller arasında olan üçgenler birbirine eşittir. F,, aynı tabanı üzerinde ve aynı, paralelleri arasında olan üçgenler olsun. iyorum ki üçgeni üçgenine eşittir. her iki yönde, F ye uzatılsın; den ya paralel çizilsin, [I.3] ve den ye paralel F çizilsin. [I.3] O zaman, F şekillerinin herbiri paralelkenardır ve eşittirler, çünkü aynı tabanı üzerinde ve aynı, F paralelleri arasındalar. [I.35] yrıca üçgeni paralelkenarın yarısıdır çünkü köşegeni paralelkenarı ikiye böler. [I.34] Ve üçgeni F paralelkenarın yarısıdır çünkü köşegeni paralelkenarı ikiye böler. [I.34] ma eşit şeylerin yarıları birbirine eşittir. u yüzden üçgeni üçgenine eşittir. 38. Önerme: şit tabanlar üzerinde ve aynı paraleller arasında olan üçgenler birbirine eşittir. G H 40 F

45 lemanlar 8 Mayıs 208 sürümü Kitap I: Önerme 39, F, eşit, F tabanları üzerinde ve aynı F, paralelleri arasında olan üçgenler olsun. iyorum ki üçgeni F üçgenine eşittir. Çünkü her iki yönde G, H ye uzatılsın; den ya paralel G çizilsin, [I.3] ve F den ye paralel FH çizilsin. O zaman G, FH şekillerinin her biri paralelkenardır; ve G, FH ye eşittir çünkü eşit, F tabanları üzerinde ve aynı F, GH paralelleri arasındalar. [I.36] yrıca üçgeni G paralelkenarın yarısıdır çünkü köşegeni paralelkenarı ikiye böler. [I.34] Ve F üçgeni FH paralelkenarın yarısıdır çünkü F köşegeni paralelkenarı ikiye böler. [I.34] ma eşit şeylerin yarıları birbirine eşittir. 39. Önerme: ynı tabanın üzerinde ve aynı tarafında olan eşit üçgenler aynı paralellerin arasındadır., aynı tabanı üzerinde ve onun aynı tarafında olan iki eşit üçgen olsun. Ve birleştirilsin; diyorum ki, ye paraleldir. Çünkü değilse, noktasından ye paralel çizilsin, [I.3] ve birleştirilsin. u durumda üçgeni üçgenine eşittir, çünkü aynı tabanı üzerinde ve aynı paraleller arasında. [I.37] ma, ye eşittir; bu durumda de ye eşittir, [Ort. ] 4

46 Kitap I: Önerme 40 8 Mayıs 208 sürümü Öklid yani büyük olan küçük olana eşit ki bu olamaz. u yüzden, ye paralel değildir. enzer şekilde kanıtlayabiliriz ki dışında hiçbir doğru ye paralel olamaz. Öyleyse, ye paraleldir. 40. Önerme: şit tabanların üzerinde ve aynı tarafında olan eşit üçgenler aynı paralellerin arasındadır. F,, eşit, tabanların üzerinde ve aynı tarafında olan iki eşit üçgen olsun. iyorum ki bunlar aynı paralellerin de arasında kalır. Çünkü birleştirilsin; diyorum ki, ye paraleldir. Çünkü değilse noktasından ye paralel F çizilsin, ve F birleştirilsin. [I.3] u durumda üçgeni F üçgenine eşittir, çünkü eşit, tabanları üzerinde ve aynı, F paralelleri arasındalar. [I.38] ma üçgeni üçgenine eşit; o zaman üçgeni de F üçgenine eşit, [Ort. ] yani büyük olan küçük olana eşit ki bu olamaz. u yüzden F, ye paralel değildir. enzer şeklide kanıtlayabiliriz ki dışında hiç bir doğru ye paralel olamaz. Öyleyse, ye paraleldir. 42

47 lemanlar 8 Mayıs 208 sürümü Kitap I: Önerme 4 4. Önerme: ğer bir paralelkenar bir üçgenle aynı tabana sahipse ve üçgenle aynı paraleller arasındaysa paralelkenar, üçgenin iki katıdır. paralelkenarı üçgeniyle aynı tabanına sahip olsun ve aynı, paralel doğruları arasında olsun. iyorum ki paralelkenarı üçgeninin iki katıdır. Çünkü birleştirilsin; o zaman üçgeni üçgenine eşittir çünkü aynı tabanı üzerinde ve aynı, paralelleri arasındalar. [I.37] ma paralelkenarı üçgeninin iki katıdır çünkü köşegeni paralelkenarı ikiye böler; [I.34] demek ki paralelkenarı üçgeninin iki katıdır. 43

48 Kitap I: Önerme 42 8 Mayıs 208 sürümü Öklid 42. Önerme: üzkenar bir açının içine verilen bir üçgene eşit bir paralelkenar çizmenin yolu. F G Verilen üçgen, ve verilan düzkenar açı olsun; böylece düzkenar açısı içine üçgenine eşit bir paralelkenar çizilmesi isteniyor., de ikiye bölünsün ve birleştirilsin; doğrusu üzerinde noktasında açısına eşit F açısı çizilsin; [I.23] dan ye paralel G çizilsin, [I.3] ve den F ye paralel G çizilsin. u durumda FG bir paralelkenardır. Ve, ye eşit olduğu için üçgeni de üçgenine eşittir, çünkü eşit, tabanları üzerinde ve aynı, G paralelleri arasındalar; [I.38] u durumda üçgeni üçgeninin iki katıdır. ma FG paralelkenarı da üçgeninin iki katıdır, çünkü onunla aynı tabana sahiptir ve aynı paraleller arasındadır.; [I.4] bu durumda FG paralelkenarı üçgenine eşittir. Ve açısına eşit olan F açısına sahiptir. Öyleyse, açısına eşit olan F açısı içine üçgenine eşit FG paralelkenarı çizilmiştir. Tam olarak yapılması istenen de buydu. 44

49 lemanlar 8 Mayıs 208 sürümü Kitap I: Önerme Önerme: Herhangi bir paralelkenarda köşegen üzerindeki paralelkenarların tümleyenleri birbirine eşittir. H K F G bir paralelkenar ve onun köşegeni olsun; ve etrafında H, FG paralelkenarları alınsın, ve K, K onların tümleyenleri olsun. iyorum ki K tümleyeni K tümleyenine eşittir. Çünkü bir paralelkenar ve onun köşegeni olduğundan üçgeni üçgenine eşittir. [I.34] enzer şekilde, H bir paralelkenar ve K onun köşegemi olduğundan K üçgeni HK üçgenine eşittir. ynı nedenden dolayı KF üçgeni KG üçgenine eşittir. Şimdi, K üçgeni HK üçgenine, ve KF, KG ye eşit olduğundan, K üçgeniyle KG üçgeni birlikte HK üçgeniyle KF üçgenine eşittir. [Ort. 2] Ve tüm üçgen de tüm üçgen ye eşittir; öyleyse kalan tümleyen K kalan tümleyen K ye eşittir. [Ort. 3] 45

50 Kitap I: Önerme 44 8 Mayıs 208 sürümü Öklid 44. Önerme: Verilen bir doğru üzerine, verilen bir düzkenar açı içine, verilen bir üçgene eşit bir paralelkenar çizmenin yolu. F K G M H L Verilen doğru, verilen üçgen, ve verilen düzkenar açı olsun; böylece verilen doğrusu üzerine, açısına eşit bir açı içine, verilen üçgenine eşit bir paralelkenar çizilmesi isteniyor. açısına eşit olan G açısı içine, verilen üçgenine eşit FG paralelkenarı çizilsin; [I.42] öyle ki, ile aynı doğru üzerinde olsun. H ye doğru FG uzatılsın, ve dan, G ya da F ye paralel olacak şekilde, H çizilsin. [I.3] H birleştirilsin. HF doğrusu H, F paralellerini kestiği için HF, HF açıları iki dik açıya eşittir. [I.29] Öyleyse HG, GF açıları iki dik açıdan küçüktür; ve iki dik açıdan küçük açılardan uzatılan doğrular kesişir; [el. 5] o yüzden H, F uzatıldığında kesişeceklerdir. Uzatılsınlar ve K de kesişsinler; K den, KL doğrusu ya ya da FH ye paralel çizilsin, [I.3] ve H, G doğruları L, M noktalarına uzatılsın. 46

51 lemanlar 8 Mayıs 208 sürümü Kitap I: Önerme 45 O zaman HLKF bir paralelkenardır, HK köşegenidir; ve L, F paralelkenarları HK etrafındaki G, M paralelkenarlarının tümleyenleridir. u durumda L, F ye eşittir. [I.43] ma F paralelkenarı üçgenine eşittir. O yüzden L de üçgenine eşittir. [Ort. I] Ve G üçgeni M üçgenine eşit olduğundan, [I.5] ve bu arada G açısı açısına eşit olduğundan, M açısı da açısına eşittir. öylece verilen üçgenine eşit L paralelkenarı doğrusu üzerine, ve açısına eşit M açısı içine çizilmiştir. Tam olarak yapılması istenen de buydu. 45. Önerme: ir düzkenar açı içine verilen bir düzkenar şekle eşit bir paralelkenar çizmenin yolu. F G L K H M Verilen düzkenar şekil olsun ve verilen düzkenar açı olsun; böylece açısı içine düzkenar şekline eşit bir paralelkenar çizilmesi istenmektedir. birleştirilsin, ve açısına eşit HKF açısı içine üçgenine eşit FH paralelkenarı çizilsin. [I.42] GH doğrusu üzerine, ye eşit GHM açısı içine, üçgenine eşit GM paralelkenarı çizilsin. [I.44] 47

52 Kitap I: Önerme 45 8 Mayıs 208 sürümü Öklid O zaman, açısı HKF, GHM açılarının herbirine eşit olduğundan, HKF açısı da GHM açısına eşittir. [Ort. ] F G L İkisine de KHG açısı eklensin; bu durumda FKH, KHG açıları KHG, GHM açılarına eşittir. ma FKH, KHG açıları iki dik açıya eşittir; [I.29] öyleyse KHG, GHM açıları da iki dik açıya eşittir. K H M öylece GH doğrusunun üzerindeki H noktasında, onun aynı tarafında olmayan iki doğru KH, HM komşu iki açıyı iki dik açıya eşit kılar; bu durumda KH, HM ile aynı doğru üzerindedir. [I.4] Ve HG doğrusu paralel olan KM, FG doğrularını kestiğinden, ters iç açılar MHG, HGF birbirine eşittir. [I.29] İkisine de HGL açısı eklensin; o zaman MHG, HGL açıları HGF, HGL açılarına eşittir. [Ort. 2] ma MHG, HGL açıları iki dik açıya eşittir; [I.29] bu durumda HGF, HGL açıları da iki dik açıya eşittir. [Ort. ] O zaman FG, GL ile aynı doğru üzerindedir. [I.34] Ve FK, HG ye, ve HG, ML ye eşit ve paralel olduğundan, KF de ML ye eşit ve paraleldir; [Ort., Öne. I.30] ve KM, FL onları uçlarından birleştirir; dolayısıyla KM ile FL de eşit ve paraleldirler. [I.33] u durumda KFLM paralelkenardır. Ve üçgeni FH paralelkenarına, ve üçgeni GM ye eşit olduğundan, düzkenar şeklinin tamamı KFLM paralekenarın tamamına eşittir. öylece KFLM paralelkenarı verilen açısına eşit FKM açısı içine, verilen çokkenar şekle eşit olacak şekilde çizilmiştir. Tam olarak yapılması istenen de buydu. 48

53 lemanlar 8 Mayıs 208 sürümü Kitap I: Önerme Önerme: ir doğru parçası üzerine bir kare çizmenin yolu. Verilen doğru parçası olsun; böylece üzerine bir kare çizilmesi istenmektedir. doğrusuna üzerindeki noktasında dik açı yapacak şekilde doğrusu çizilsin, [I.] ve, ye eşit yapılsın; noktasından ye paralel çizilsin, ve noktasından ye paralel çizilsin. [I.3] u durumda paralelkenardır; öyleyse eşittir, ve eşittir olur. [I.34] ma eşittir ; öyleyse dört doğru,,, birbirine eşittir; bu durmda paralelkenarı eşkenardır. rdından diyorum ki hem de dik açılıdır. Çünkü doğrusu, paralellerini kestiğinden, açıları iki dik açıya eşittir. [I.29] ma açısı diktir; öyleyse açısı da diktir. Ve bir paralelkenarda karşı kenarlar ve açılar birbirine eşittir; o yüzden, karşı açılarının herbiri de diktir. u durumda dik açılıdır. şkenar olduğu da kanıtlanmıştı. öylece bu bir karedir; ve doğrusu üzerine çizilmiştir. [I.34] 49