İÇİNDEKİLER. Ön Söz Saymanın Temel Kuralları Permütasyon (Sıralama) Kombinasyon (Gruplama) Binom Açılımı...

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "İÇİNDEKİLER. Ön Söz Saymanın Temel Kuralları Permütasyon (Sıralama) Kombinasyon (Gruplama) Binom Açılımı..."

Canan Demirtaş
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 İÇİNDEKİLER Ön Söz... Saymanın Temel Kuralları... Permütasyon (Sıralama)... 8 Kombinasyon (Gruplama)... 6 Binom Açılımı... Olasılık... 9 İstatistik Dağılımlar... 5 Genel Tarama Sınavı... 6

2 RASTGELE DEĞİŞKENLER Bir deney sonucu ile değeri belirtilen değişkene rastgele değişken denir. Rastgele değişkenler X, Y, Z,... gibi büyük harflerle, belirtilen değerleri ise, y, z gibi küçük harflerle gösterilir. X rastgele değişken olmak üzere, PX i olarak tanımlanan f i fonksiyonuna olasılık yoğunluk fonksiyonu ya da kısaca olasılık fonksiyonu denir.. Sürekli Rastgele Değişken: Rastgele değişken bir ya da birden fazla aralıkta her değeri alabiliyorsa buna sürekli rastgele denir. X sürekli rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu f() ise, i) f dır. ii) f d dir.. Kesikli Rastgele Değişken: Bir rastgele değişkenin alabileceği değerlerin sayısı sonlu veya sayılabilir sonsuzlukta ise buna kesikli rastgele değişken denir. Not: X kesikli rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu f ise, i) f dır. N ii) f i i dir. Örnek: Bir zarın atılması deneyinde, X sürekli rastgele değişkeninin a ile b arasında bulunma olasılığı b P a X b f d a tir. için f 6 6 f i f f... f 6 i Dağılım Fonksiyonu: X rastlantı değişkeninin e eşit yada ten küçük olma durumlarında olasılık dağılım fonksiyonu kullanılır ve dağılım fonksiyonu F() ile gösterilir. X kesikli rastgele değişkeni için dağılım fonksiyonu F f n n dir.

3 X sürekli rastgele değişkeni için dağılım fonksiyonu Örnek: dir. F f tdt f,, diğer ler için Özellikleri F F i) lim f, lim f ii) P X F F iii) X sürekli ya da kesikli rastlantı değişkeni olsun. PX PX iv) Kesikli rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu da kesiklidir. v) Sürekli rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu da süreklidir. X sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f() ve dağılım fonksiyonu da F() olsun. Bu durumda tüm değerlerinde diferansiyellenebilir bir F fonksiyonu için, d f F d tir. fonksiyonunun olasılık yoğunluk fonksiyonu olduğunu gösterelim. i), için f dır. ii) f d d Örnek: X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 8 f, diğer ler için olduğuna göre, a) P X b) P X c) P X olasılıklarını bulalım.

4 a) P X d 8 6 b) P X d c) P X d 8 6 Örnek: X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,,,,...,8 6 f, diğer durumlarda a) F fonksiyonunu b) P X, P X, P 5 ve P 5 n a) F n6 7 b) PX F 7 6 PX F 7 8 P X 5 P X 5 F 5 F P X 5 P X F Örnek: X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f,, diğer ler için olduğuna göre dağılım fonksiyonunu bulalım. olasılıklarını bulalım. 5

5 F f t dt Örnek: Hilesiz bir zarın atılması deneyinde üst yüze gelen sayıların beklenen değerini bulalım. t dt t t, ise, ise, ise. f i E X 6 i Rastgele Değişkenin Beklenen Değeri Örnek: Olasılık yoğunluk fonksiyonu X rastgele değişkeninin beklenen değeri denemenin her yinelenmesinde ortalama sonucu vermesi bakımından yararlıdır ve E X ile gösterilir. X kesikli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f( i) olmak üzere, beklenen değeri, n E X i i dir..f i X sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f() olmak üzere, beklenen değeri,, f, diğer ler için olan X rastgele değişkeninin beklenen değerini bulalım. E X d E X.f d tir. X rastgele değişkeninin ortalaması beklenen değere eşittir. E X 6

6 Teorem: X rastlantı değişkeninin beklenen değeri E(X) ve a, b olsun. n n mn E X f i i) E g X h X E g X E h X ifadesine X in n. mertebeden momenti denir. ii) E ax a.ex iii) E X b E X b iv) E ax b a.e X b Örnek: X rastgele değişkeninin beklenen değeri E(X) = 5 olduğuna göre, Y X rastgele değişkeninin beklenen değerini bulalım. E Y E X E X.5 t t m t E e e f ifadesine X in moment çıkaran fonksiyonu denir. X sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f() olsun. n n mn E f d ifadesine X in n. mertebeden momenti denir. t t m t Ee e f d Momentler Terimlerin belli değerden sapmalarının farklı kuvvetlerinin beklenen değerine moment denir. Beklenen değere göre momentlere merkezi momentler denir ve X rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu E n m t olsun. r d m dt r t t, E t dt t dm t d m t E dt n Mn E X E X İle gösterilir. Ortalamaya göre alınan momentlerde = alınırsa orijine göre moment bulunmuş olur. X kesikli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f() olsun. 7

7 Örnek: X rastlantı değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu, X sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f() olmak üzere, varyansı m t t e Var X f d olduğuna göre, beklenen değerini bulalım. tir. dm E dt t t t t e e. t Teorem: X rastgele değişken ve a olsun. i) Var X E X E X a.var X ii) Var ax iii) Var X a Var X Varyans ve Standart Sapma Beklenen değere göre momentlere merkezi momentler denir ve n mn E X E X ile gösterilir. İkinci mertebeden merkezi momente X rastgele değişkeninin varyansı denir ve Var (X) ya da ile gösterilir. Varyansın kareköküne de standart sapma denir. X kesikli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f() olmak üzere, varyansı Örnek: X rastlantı değişkenine ait varyans Var X olduğuna göre, Y X 5 değişkeninin varyansını ve standart sapmasını bulalım. Var Y Var X 5 Var X.Var X i Var X f i tir. 8

8 Kovaryans ve Korelasyon Örnek: X ve Y rastlantı değişkenlerinin bileşik dağılımı Kovaryans X ile Y rastlantı değişkenleri arasındaki değişimi ifade eder ve Cov X, Y ile gösterilir. Cov X, Y E XY E X.E Y X Y 5 Toplam Korelasyon katsayısı iki değişken arasındaki ilişkinin yönünü ve gücünü gösterir. Korelasyon katsayısı X, Y ile gösterilir. Cov X, Y X, Y. y Toplam Teorem: X ve Y bağımsız rastlantı değişkenleri olsun. i) EX.EY E XY biçiminde veriliyor. Buna göre Cov X, Y yi bulalım. ii) Var X Y Var X Var Y iii) Cov X, Y 5 EX.. EY. 5. EX.Y Cov X, Y E XY E X.E Y 5. 9

9 KONU TESTİ. X rastgele değişkenin olasılık fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir.. X rastlantı değişkeninin aritmetik ortalaması M ise aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) E X M B) E X M P X 5 Buna göre, E X kaçtır? 5 C) E X M E X D) E) E X M EX E X M M A) B) 5 C) 7 6 D) E) 5. X rastgele değişkeninin beklenen değeri olduğuna göre, Y X değişkeninin beklenen değeri kaçtır?., 5, 8, değerlerini alan bir z değişkeninin aldığı tüm değerlere eklenirse beklenen değeri kaç olur? A) B) C) D) 8 E) A) 7 B) 8 C) D) 5 E) 9 6. X rastlantı değişkeninin varyansı olduğuna göre, Y 5 değişkenin varyansı kaçtır?. a, b A) B) C) 5 D) 5 E) 5 I. E X E X II. E ax b a.e X b III. E b b Yargılarından hangileri daima doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III 7. X rastgele değişkenin varyansı olduğuna göre, Y 5 değişkenin standart sapması kaçtır? A) B) 5 C) 8 D) 5 E) 5

10 KONU TESTİ 8. X rastgele değişkeninin ortalaması M ve varyansı olduğuna göre, X M Y değiş- keninin beklenen değeri ve varyansı aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?. X in beklenen değeri kaçtır? A),6 B),9 C) D), E), A) C) M, B) M, M, D) M, E) M, M. X in varyansı kaçtır? A),5 B),6 C),9 D),6 E),8 9. X rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu, a, ise f, diğer ler için. X in standart sapması kaçtır? A),5 B),6 C),7 D),8 E),9 olduğuna göre a kaçtır? A) 6 B) C) D) E). X sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f() ve dağılım fonksiyonu F() olmak üzere, I. P X F II. P X P X.. Soruları aşağıdaki bilgiden yararlanarak çözünüz. X kesikli rastgele değişkeni,, değerlerini, ve 5 olasılıklarıyla almaktadır. d III. f F d yargılarından hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III 5

11 KONU TESTİ. Bir X rastgele değişkeni için, Y X E X Var X olduğuna göre, Y rastgele değişkeninin ortalaması (beklenen değeri) kaçtır? A) 5 B) 55 C) 58 D) 6 E) 6 7. X rastgele değişkeninin ortalama etrafındaki ikinci momenti aşağıdakilerden hangisidir? A) M B) EX M C) E X M D) E) E M E M 5. Bir X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, f,, biçiminde tanımlanıyor. 8. X rastlantı değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu, m t t e olduğuna göre beklenen değeri kaçtır? Buna göre P,5 X olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) A) 8 B) C) 5 D) E) 6. X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,, f, diğer ler için olduğuna göre varyansı kaçtır? A) B) C) D) E) CEVAP ANAHTARI. E. C. E. A 5. C 6. D 7. E 8. A 9. D. B. C. C. E. B 5. C 6. A 7. E 8. D 5

12 KONU TARAMA SINAVI. X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir. P X Buna göre Var(X) kaçtır?. X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,,,,,...,6 f, diğer ler için olduğuna göre, P 5 olasılığı kaçtır? A) B) C) 7 D) 7 E) 7 A) B) C) D) 5 E) 5. Bir X rastgele değişkeni için,. X rastgele değişkeninin beklenen değeri 5 olduğuna göre, Y X değişkeninin beklenen değeri kaçtır? A) B) 6 C) 7 D) E) Y X E X Var X 5 olduğuna göre, Y rastgele değişkeninin beklenen değeri kaçtır? A) 7 B) 9 C) D) E) 6. I. X rastlantı değişkeni için PX PX tir. II. Kesikli rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu da kesiklidir.. X ve Y bağımsız rastgele değişkenleri olsun. Bu durumda, I. E X.Y E X.E Y II. Var X Y Var X Var Y III. Cov X, Y Yargılarından hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III III. Sürekli rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu da süreklidir. Yargılarından hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III CEVAP ANAHTARI.B.E.E.E 5.B 6.E 5

Benzer belgeler

UYGULAMALI MATEMATİK KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ÖABT UYGULAMALI MATEMATİK KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT UYGULAMALI MATEMATİK KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni