1.1 Üslü İfadeler: Üslü ifadelerle ilgili aşağıdaki kuralların hatırlanması faydalıdır.

Transkript

1 FİNANSAL MATEMATİK ALTYAPI. Üslü İfadeler: Üslü ifadelerle ilgili aşağıdaki kuralların hatırlanması faydalıdır. i-) Toplama: Eşit üslü benzer ifadelerin katsayıları toplanır. 3a 5 +,5a 5 =,5a 5 a 3-7a 3 = -6a 3 na + ma = ( n+m )a Üsleri eşit olmayan benzer ifadeler bu şekilde toplanamaz. ii-) Çarpma: Benzer ifadelerin üsleri toplanır. a 3 a = a 7 a 5 a 6 = a a 3/2 a 2 = a 7/2 a n a m = a n+m iii-) Bölme: Benzer ifadelerden payı teşkil edenin üssünden paydadakinin üssü çıkarılır. a 5 = a3 a2 a = a 3 a7 a n = an m am a 3/ = a7/28 a/7 iv-) Paydan Paydaya veya Paydadan Paya Alınma: Bir kesrin payında üslü bir ifade üssün işareti değiştirilerek paydaya, paydadakinin de üssünün işareti değiştirilerek paya alınabilir. a 3 = a 3 a = a a 5 = a 5 a n a m = an m = a m n v-) Üs almak: Üslü bir ifadeyi, herhangi bir kuvvete yükseltmek/alçaltmak için, yükseltilecek kuvvetin üssü ile çarpılır. (a 5 ) 2 = a 0 (a 3 ) 2 = a 6 (a 3/ ) = a 3 ( a2 b 3) = (a 2 ) (b 3 ) = a 8 b 2 (a n ) m = a nm [(a n ) m ] r = a nmr ( an b m)r = (an ) r anr (b m ) r = b mr

2 vi-) Kök: Üslü bir ifadenin herhangi bir kuvvetten kökünü almak için üs, kök kuvvetine bölünür. a 8 = a 2 6 a 3 = a /2 a3 b /2 = a 3 = a3/ b /2 b /8.2 Neper Sayısı (e): Doğal logaritmanın tabanını teşkil eden (e) sayısı anlık faiz formülünde yer alacağından bu sayının niteliğini ve nasıl elde edildiğini bilmemize ihtiyaç vardır. Neper sayısı, ( + m )m fonksiyonunun m = için limitidir. Bunu e ile ifade edersek: e = lim m ( + m )m olup parantez gerektiği şekilde açılırsa : e = m ( m )0 + m! m- ( m ) + m(m ) 2! m-2 ( m ) m! m! 0 ( m )m () olur. Diziye dikkat edilirse birinci faktörün üssü m den başlayıp sıfıra doğru, ikinci faktörün üssü ise sıfırdan m ye doğru gitmektedir. in her kuvveti e eşit olmakla beraber terimlerin katsayılarındaki düzeni belirtmek için üsler gösterilmiştir. Dizi terimlerinin kat sayılarındaki (! ) işareti << faktoriyal >> anlamındadır. n bir tam sayıyı temsil etmek üzere (n!) n faktoriyal diye okunup den n ye kadar tam sayıların çarpımı demektir. Buna göre örneğin : 5! = = 20 7! = 500 8! = ! = Faktoriyal hesaplarında! = olduğu gibi sıfır faktoriyal da e eşit yani ; 0! = sayılır. ( ) Sayılı eşitlikte sağ taraftaki terimlerin ikinci faktörlerinin payları olduğundan hangi kuvvete yükseltilirse edilirse edilsin paylar daima olup her terimin ikinci faktörünün paydasındaki m ile kat sayısındaki m lerin üsleri aynı dereceden olduklarından m = için ( ) sayılı eşitlik : e = +! + 2! + 3! m! ( 2 ) olduğu zaman terim sayısı da sonsuz olur. Diziye dikkat edilirse sağa gidildikçe terim değerlerinin de hızla küçüldüğü görülür. 2,5 dan büyük olduğu kolayca görülen e nin 3 ten şeklini alır. m = küçük bir değer olduğu, başka bir deyişle m = ispatı yüksek matematik kitaplarında vardır. için ( 2 ) sayılı dizinin bir limiti bulunduğunun e nin gerçek değerinin hesabı mümkün olmamakla beraber istenilen bir seviyeden daha küçük bir hata payı ile yaklaşık değeri hesaplanabilir. e nin yaklaşık değerini bulmak için terimlerin sıra ile toplamını alırken Teriminde durursak ( ki n+ terimin toplamı alınmış demektir ) bulduğumuz n! değerin gerçek e ye göre hatası 3/(n+)! den küçüktür. Örneğin /7! terimi dahil sekiz terimin toplamında hata payı 3/8! = 3/0320 den küçük olur. Bu da e için hesaplanan değerin kesrinin 3.basamağına kadar doğru olduğunu gösterir. 2

3 Şayet 5.basamağa kadar doğru olmak üzere e nin yaklaşık değerini elde etmek istersek 3 < 0, eşitsizliğinden n yi tayin ederiz. Bu eşitsizlikten : (n+)! (n+)! > elde edilir. Öte yandan : 9! = ve 0! = olduğundan e nin yaklaşık değerini 5.ondalığına kadar doğru olarak hesaplayabilmek için /9! Terimine kadar dizinin 0 terimini toplamak yeter. Kesir kısmı 25.basamağına kadar doğru olmak üzere e nin yaklaşık değeri e = olur. Şimdi bir de ( + m )m fonksiyonunun m = olduğu zaman limitinin ne olacağını görelim. lim m ( + t m )tm = lim [( + t t m m )m ] ( 3 ) Olduğu açıktır. Parantezi m yinci kuvvete göre açarsak : ( + t m )m = m + m! m- t m + m(m ) 2! m-2 t2 m m! m! 0 tm m m ( ) m = için gerekli sadeleştirmeler yapılırsa : lim m ( + t m )m = + t + t2 2! + t3 3! tm m! ( 5 ) Öte yandan : lim m ( + t m )m = tm + tm! tm m + tm(tm ) 2! tm 2 m m! ( 6 ) Olup m = için ( 3 ) sayılı eşitliğe göre e t olup sağ yandaki terimlerde gerekli sadeleştirmeler yapılınca : 3

4 lim m ( + m )tm = + t + t2 2! + t3 3! tm m! = et ( 7 ) Olur. Dikkat edilirse 7 sayılı eşitliğin sağ yanındaki terimler sırası ile 5 sayılı eşitliğin sağındaki terimlere eşit olduğundan : lim ( + t m m )m = lim ( + m m )tm = e t elde edilir..3 Logaritma : Logaritma konusunun, sadece mali cebirde ele alacağımız problemlerle ilgili yönlerine değineceğiz. Logaritmanın niteliği : Bir sayının logaritması bir üssüdür/kuvvetidir. Üssü alınan değere taban denir. Logaritmanın niteliğini üslü bir fonksiyon aracılığı ile şöyle ifade edebiliriz : Y = a X Fonksiyonunda x, a tabanına göre Y nin logaritmasıdır. Taban den büyük pozitif herhangi bir değer olabilir. Buna göre örneğin : 8 = 2 3 ifadesini ele alırsak 8 in 2 tabanına göre logaritması 3 deriz. Aynı şekilde 9 = 7 2 olduğundan 9 un 7 tabanına göre logaritması 2 dir. Birinci örnekte a = 2, ikinci örnekte ise a = 7 farzedilmiştir. a > olmak üzere logaritma için istenilen her değerin taban olarak alınması mümkün olmakla beraber uygulamada biri e, öteki 0 tabanına göre olmak üzere hazırlanmış iki çeşit logaritma cetvellerinden faydalanılır. Tabanı e olana Neper logaritması veya tabii logaritma, 0 olana ise Briggs logaritması veya ondalık logaritma denmektedir. Ondalık logaritmada : = = 0 00 = = 0 3 Eşitlikleri göz önünde tutulursa, 0, 00, 000,... gibi den başlayıp onar onar büyüyen sayıların logaritmalarının sırası ile 0,, 2, 3,,... olduğu kolayca anlaşılır. Bunların arasındaki sayıların logaritmaları kesirli bir değerdir. Mesela 26 nın ondalık logaritmasına, 26 = 0 x eşitliğine göre X dersek 0 < 26 < 00 olduğundan 0 < 0 x < 0 2 olur. Yani 26 nın 0 tabanına göre logaritması 0 un logaritması olan den büyük, 00 ün logaritması olan 2 den küçük kesirli bir değere eşittir. Ancak, hazır logaritma cetvellerine başvurmaksızın, adi matematik bilgilerle Y = 0 x denklemini çözüp X in değerinin elde edilmesi mümkün değildir. 26 nın logaritmasının tam sayısını kolayca tayin ettikten sonra kesir kısmını logaritma cetvellerinden buluruz. Logaritmanın tam sayısına karakteristik, kesir kısmına mantis denir. Herhangi bir sayının tam sayı kısmı kaç basamaklı ise karakteristiği, basamak sayısının eksiğine eşittir. Mesela,, 36, 322,5 0,2 sayılarının karakteristikleri sırası ile, 3, 2 ve - dir. Bir ondalık kesrin anlamlı ilk rakamı ( sıfırdan başka bir rakam ) virgülden sonra kaçıncı basamakta ise basamak sayısının negatif işaretlisi kesrin karakteristiğidir. Buna göre, 0,5 0,002 0,0002 kesirlerinin karakteristikleri; sırası ile -, -3, ve - dür. Logaritma cetvelleri sadece pozitif mantislere göre düzenlenmiş bulunduğundan den küçük bir değerin logaritmasında karakteristiğin negatif işareti soluna değil üstüne yazılır. log 0, 23 =,32838 log 0, 002 = 3,3802 gibi.

5 Bir sayının logaritmasının mantisi, sayının tam sayı veya kesir olmasına göre değişmeyip sadece rakamlarına bağlıdır. Mesela : log 23 = 2,32838 log 2, 3 = 0,32838 gibi. Bir sayının logaritması verilirse bunun antilogaritmasını ( yani sayının kendisini ) bulmak için sadece mantis ele alınarak logaritma cetvelinden sayının rakamları belirtilir. Karakteristiğin bir fazlası antilogaritmanın tam sayı kısmının basamak sayısından ibarettir. Antilogaritmanın nasıl aranacağı hakkında logaritma cetvellerinde yeterli açıklama vardır. Taban ne olursa olsun in logaritması daima sıfırdır. İki Tip Logaritma Arasındaki Bağıntı e = 0 M ( 8 ) Eşitliğinde M, Neper sayısının ondalık logaritması olup tabii logaritmaları ondalık logaritmaya çevirmek için çevirme faktörüdür. Öte yandan ( 8 ) sayılı eşitlikten : M = log 0 e = 0,329 0 = e /M ( 9 ) Elde edilir ki buna göre /M, 0 un tabii logaritması olup ondalık logaritmaların tabii logaritmaya çevrilmesinde çevirme faktörüdür. /M = log e 0 = 2,30259 M ve /M çevirme faktörlerinin yaklaşık değerleri, kesir kısmı 25. basamağa kadar çoğu logaritma cetvellerinde vardır. Tabii logaritma için L, ondalık logaritma için log işaretini kullanacağız. Yani Y = e X için X = LY ve Y = 0 X için X = log Y yazacağız. Herhangi Bir Sayının Logaritmasının Hesabı Taylor Formülü ile herhangi bir matematik fonksiyon, terim sayısı sonsuz olan bir diziye çevrilebilir. Başka bir deyişle bir fonksiyon Taylor Formülü ile bir dizi şeklinde geliştirilebilir. Taylor Formülünün nasıl elde edildiğinin ele alınması programımız için söz konusu olamaz. Bununla beraber logaritmaların, başka bir deyişle kesirli üslü ifadelere ilişkin işlemler hakkında genel bir bilgi edinmenin faydalı olacağı kanısındayız. Taylor Formülü ile L ( X+ ) fonksiyonu aşağıdaki diziye çevrilebilir : L ( X+ ) = LX + 2 [ + ( 2X+ 3 2X+ )3 + ( 5 2X+ )5 + ( 7 2X+ )7. ] ( 0 ) 5

6 Bu dizinin incelenmesinden kolayca anlaşılacağına göre bir sayının tabii logaritması bilinince bir sonraki sayının logaritmasının değeri, diziden yeteri kadar terim alınıp toplanmak suretiyle, istenilen bir doğruluk derecesi altında hesaplanabilir. Mesela in logaritmasının 0 olduğu bellidir. 2 nin tabii logaritmasını, büyük parantez içindeki 5 terimle yetinmek şartı ile 0,6935 buluruz. Taylor formülünün özel bir hali olan Maclaurin formülünden faydalanarak da istenilen bir sayının logaritmasını istenilen bir hata payı altında hesaplamak mümkündür. Maclaurin formülüne göre: LX = ( X ) (X )2 2 + (X )3 3 (X ) +... ( ) Bu formüle göre herhangi bir sayının tabii logaritması, yaklaşık olarak, doğrudan doğruya hesaplanır. Ancak, sayılı eşitlikteki terimler, 0 sayılı eşitlikteki gibi hızla küçülen terimler niteliğinde olmadıklarından bir sayının logaritmasının, aynı hata payı altında, yaklaşık değerini elde etmek için 0 sayılı eşitliktekine nazaran çok daha fazla sayıda terimin toplanması gerekir. Mesela L2 değeri için 0 sayılı formülden 5 terimle elde edilen doğruluk derecesi, sayılı formülle 30-0 terimle elde edilir. Logaritmalı İşlemler : Logaritmalı işlemlerle ilgili olarak aşşağıdaki kuralları göz önünde tutmak gerekir. i-) İki veya daha fazla sayıların logaritmaları bilinse bu logaritmalardan sayıların toplamının logaritması hesaplanamaz. ii-) Bir çarpımın logaritması, çarpanların logaritmalarının toplamına eşittir. log(5 28) = log 5 + log 28 = log 0 log abc = log a + log b + log c iii-) Bir bölmenin logaritması, payın logaritmasından paydanın logaritmasının çıkarılması ile elde edilen değere eşittir. log ( 0 ) = log 0 log 2 2 log ( a ) = log a log b b iv-) Üslü bir terimin logaritması, terimin logaritmasının üssü ile çarpımına eşittir. log 25 5 = 5 log 25 log a b = b log a 6

7 v-) değerdir. Köklü bir sayının logaritması, sayının logaritmasını kök kuvvetine bölmekle elde edilen log 28 n log a = = n log 28 log a Bazı değerlerin logaritmaları belli olduğu takdirde, bunlara yukarıdaki eşitliklerden biri ile bağlı bulunan bir değerin logaritması, öteki değerlerin logaritmalarından elde edilebilir. Mesela : log 2 = 0,3003 log 3 = 0,772 log 5 = 0,69897 Değerleri belli olduğu zaman logaritma cetvelini kullanmadan, bazı sayıların logaritmaları bu belli değerlerden elde edilebilir. Mesela ; 20 = 2 0 olduğundan log 20 = log 2 + log 0 eşitliğini göz önünde tutarak : log 20 = 0, =, 3003 elde edilir. Aynı şekilde : 6 = 2 3 log 6 = log 2 + log 3 = 0, ,772 = 0, = log 250 = 3 log 5 + log 2 = 3 0, ,3003 = 2,3979 0,6 = 3 5 log 0, 6 = log 3 log 5 = 0,3003 0,69897 = 0,3979 =,60206 bulunur. 7

8 Logaritma cetveli ile aşağıdaki ifadelerin logaritmalarını hesaplayınız. log 35 =? 2 log 2, 3 =? 3 log 0, 082 =? log(383 x 725) =? 5 log =? 6 log(8 x 26) 0 =? (25 x 9 x 285)3 7 log (2 x 3) 2 =? 5 8 log 380 =? 9 log 23 x =? n 0 log abr (cd) m log 0, =? =? 2 ve inci sorular için bulduğunuz logaritmaların antilogaritmalarını hesaplayınız. 3 log 5 = 0,69897, log 0 =,60206, log 8 =,682 değerleri verildiğine göre bu değerlerden yararlanarak aşağıdaki sayıların logaritmalarını bulunuz. (200), (20), (2), (600), (625), ( 8). Aritmetik ve Geometrik Dizi. Değerleri bir matematik fonksiyona göre beliren sayılar grubuna matematik dizi denir. Bu tariften, matematik dizi çeşitlerinin sonsuz sayıda olacağı kolayca anlaşılabilir. Bununla beraber teorik alanda kendilerinden faydalanılan matematik diziler sınırlı olup bunlardan sadece ikisini, aritmetik ve geometrik diziyi göreceğiz. A. Aritmetik Dizi. Birbirini izleyen terimleri arasındaki farkların eşit bulunduğu bir diziye Aritmetik Dizi denir. Yan yana iki terim arasındaki farka Ortak Fark diyeceğiz. Dizinin terimlerinin genel ifadesini a i, terim sayısını n, ortak farkı r ve n terimin toplamını da S ile gösterip aritmetik dizinin çeşitli özelliklerini inceleyelim. 8

9 İlk önce dizinin terimleri: a, a 2, a 3,,,,,, a n olacaktır. Tarife göre: a 2 a = a 3 a 2 = a p a p = r dir. Aritmetik dizinin başlıca özellikleri şunlardır: i - Bir aritmetik dizide, baştan ve sondan aynı uzaklıkta bulunan iki terimin toplamı sabittir. Bunu ispatlamak için bütün terimleri birinci terimle ortak fark cinsinden yazacağız. Terim sıra numarasını gösteren alt işaretini de atıp birinci terime a dersek dizinin terimlerini: a, (a + r), (a + 2r),..., [a + (n 2)r], [a + (n )r] şeklinde yazabiliriz. AAritmetik dizinin bu özelliğine göre baştan p yinci terimi ile sondan p yinci terimi toplamının birinci ve sonuncu terimlerin toplamına eşit olması gerekir. Bu eşitliği kolayca görebiliriz. Birinci terim a olursa sonuncu terim [a + (n )r], baştan p yinci terim [a + (p )r], sondan p yinci terim [a + (n p)r] dir. Buna göre : [a + (p )r] + [a + (n p)r] = a + [a + (n )r] Olması gerekir. Sol yandaki terimlerin parantezleri açılıp gerekli işlemler yapılarak : a + pr r + a + nr pr = a + [a + (n )r] a + a + nr r = a + [a + (n )r] a + [a + (n )r] = a + [a + (n )r] elde edilir. ii - Aritmetik dizide n terimin değerleri toplamı birinci ve sonuncu terimlerin toplamının n/2 ile çarpımına eşittir. n terimin toplamını S ile gösterirsek : S = a + (a + r) + (a + 2r) + + [a + (n )r] olur. Dizinin terimlerinin sırası değişmekle toplam değişmeyeceğinden bir de : S = [a + (n )r] + [a + (n 2)r] + + a Şeklinde yazıp iki çeşitliği taraf tarafa toplarsak : 2S = {a + [a + (n )r]} + {(a + r) + [a + (n 2)r]} +. + { [a + (n )r + a ]} olur. Son eşitliğin sağ yanında yer alan akülat içindeki terimlere dikkat edilirse hepsinin de baştan ve sonran aynı uzaklıkta iki terim kapsadığı görülür. Bu nitelikte n tane çift terim bulunduğundan bunların toplamı birinci ve sonuncu terim toplamının n katına eşit olur. O halde ; 2S = n {a + [a + (n )r]} S = n 2 {a + [a + (n )r]} Olup gerekli sadeleştirmelerden sonra : S = n [2a+ (n )r] 2 elde edilir. ( 2 ) 9

10 Ortak fark r sıfırdan farklı bir değerdir. ( * ) r > 0 ise, aritmetik dizinin terimleri büyüyerek, r < 0 ise küçülerek gider. Problem. Birinci terimi 7, ortak fark r = olan bir aritmetik dizinin 20. terimi nedir? 2 Birinci terimi 3, 30. terimi 6 olan bir aritmetik dizinin ortak farkı nedir? 3 den 000 e kadar tam sayıların toplamı nedir? Birinci terimi 0, ortak fark ( -8 ) olan bir aritmetik dizinin 5. terimi nedir? 5 Ortak farkı 0,6 olan bir aritmetik dizinin. terimi 35 olursa birinci terimi ne olur? B. Geometrik Dizi Ardıl terimlerinin oranı sabit olan diziye Geometrik Dizi denir. Geometrik diziyi bir de, her terimin değeri, önceki terimin sabit bir q değeri ile çarpımına eşit ise bu terimlerin teşkil ettiği diziye geometrik dizi denir, şeklinde tarif edebiliriz. a, a 2, a 3,,,, a n dizisini alalım. Bu dizide herhangi bir ( i ) yinci birim a i şeklinde gösterilecektir. Birinci tarife göre : a i a i = q olması gerekir. Eşitliğin iki yanı a i ile çarpılırsa : a i = a i q olur ki, bu da ikinci tarife göre yazılacak ifadeden başka bir şey değildir. q ya ortak çarpan denir. Dizinin birinci terimi a, ortak çarpanı q ile gösterirsek geometrik dizinin terimleri : a aq aq 2 aq n olur. ( * ) r = 0 olması halinde bütün terimleri aynı değerde olan bir aritmetik dizi ortaya çıkar. Böyle bir dizi için 2 sayılı eşitliğe ihtiyaç duyulmaz. 0

11 a ve q nün bazı özel değerlerine karşılık dizinin özellikleri: i - a ve q sıfırdan başka bütün değerleri alabilir. a = 0 olursa q nün değeri ne olursa olsun bütün değerler 0 olacağından bir geometrik dizi söz konusu olamaz. a 0 fakat q = 0 olursa ilk terimden sonraki bütün terimler sıfır çıkacağından tarife uygun bir dizi ortaya çıkmaz. ii - q = olursa dizinin bütün terimleri eşit olur. q = - için tek sıra numaralı terimler a ve çift sıra numaralı terimler a olur. iii - q > olursa a n+ > a n olur. ( Büyüyen geometrik dizi ) iv - 0 < q < olursa a n+ < a n olur. ( Küçülen geometrik dizi ) v - a > 0 ise q < - olduğu zaman geometrik dizinin tek sıra numaralı terimleri büyüyerek, çift sıra numaralı terimleri küçülerek gider. a > 0 olup 0 > q > - olursa tek sıra numaralı terimler küçülerek, çift sıra numaralı terimler ise büyüyerek gider. vi - n daima pozitif bir tam sayıyı temsil edip kesirli bir değere eşit olamaz. Geometrik Dizinin Özellikleri i - Bir geometrik dizide her terim, iki yanındaki terimlerin geometrik ortalamasına eşittir. Bunu kolayca görebiliriz. Şöyle ki : aq n = aq n aq n+ = a 2 q 2n = aq n ii - Bir geometrik dizide baştan ve sondan aynı uzaklıkta bulunan iki terimin çarpımı sabittir. Baştan ve sondan i yinci terimlerin çarpımının birinci ve sonuncu birimlerin çarpımına eşit olduğunu ispatlamak bu özelliği doğrulamak için yeterlidir. aq i aq n i = a aq n = a 2 q n Geometrik Dizinin n Teriminin Toplamı. Toplamı S ile gösterirsek : S = a + aq aq n olur. Eşitlik q ile çarpılırsa : Sq = aq + aq aq n elde edilir. Birincisini ikinciden çıkarırsak : Sq = aq + aq aq n ± S = ± a ± aq ± ± aq n S ( q- ) = a ( q n )

12 S = a qn q ( 3 ) elde edilir. q > olduğu zaman n büyüdükçe S toplamının da büyüyeceği açıktır. n = için S = olur. 0 < q < ise sonsuz olduğu zaman ( 3 ) sayılı formül : S = a q şekline girer. q = olursa terimleri eşit değerli bir geometrik dizi elde edilir. 3 sayılı formülde n büyüdükçe q n nin değerini adi aritmetik işlemlerle hesaplamak çok zaman alıcı ve q nün hesaplanması ise imkansız olur. Oysa : X = q n log X = n log q bağıntısı ile q n veya q değeri kolayca hesaplanır. Problem. Birinci terimi, ortak çarpanı 2 olan bir geometrik dizinin 5 inci terimi kaçtır? 2 Birinci terimi 2, onuncu terimi 02 olan bir geometrik dizinin ortak çarpanı nedir? 3 Birinci terimi 3, ortak çarpanı 0,5 olan bir geometrik dizinin 30 teriminin toplamı nedir? Üçünçü terimi /8 ve ilk 0 terimi toplamı 6 olan geometrik dizinin ortak çarpanı nedir? 5 Bir kenarı 2 m olan eşkenar bir üçgenin kenarları orta noktalarının birleştirilmesiyle iç içe çizilebilecek sonsuz sayıdaki eşkenar üçgenlerin kenarları toplamı kaç metredir? 6 Birinci terimi a, ortak çarpanı ( +t ) olan bir geometrik dizinin n terimi toplamı neye eşittir? 2