A, A, A ) vektör bileşenleri

Transkript

1 Elektromnetik Teori hr Dönemi VEKTÖR VE SKLER KVRMI Mühendislik, fiik ve geometri ugulmlrınd iki türlü büüklük kullnılır: skler ve vektör. Skler, sdece büüklüğü oln niceliklerdir. elli bir ölçeği vrdır. Örnek olrk uunluk, mn, kütle, elektriksel potnsiel ve sıcklık verilebilir. Vektör ise sklerden frklıdır. Vektörlerin hem önü hem de büüklüğü vrdır. Vektörlere örnek olrk hı, kuvvet, er değiştirme, elektrik ve mnetik lnlr verilebilir. Vektörleri bu derste ve klın hrflerle göstereceği. Genel olrk vektörler,, r, r şeklinde gösterilir. Gösterimlerden dolı şşırmını, sdece bilmeni gereken vektörle d sklerle işlem ptığınıın frkınd olmnıdır. i bu derste vektörleri şğıdki biçimde göstereceği. + + (,, ) vektör bileşenleri ir vektörün bou norm olrk dlndırılır (Euclidin normu) ve ve şeklinde gösterilir. Eğer bir vektörün bou bir ise bu vektör birim vektör olrk isimlendirilir. Herhngi bir vektör birim vektör cinsinden ılbilir. Q P Şekil 1. Sğ el koordint sistemi. KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği ölümü, İmit 1

2 Elektromnetik Teori hr Dönemi VEKTÖRLER Ud P ve Q noktlrı düşünelim. u noktlrın koordintlrı P ( 1, 1, 1) ve Q (,, ) olsun. P vektörün bşlngıç noktsı ve Q vektörün bitiş noktsı olmk üere 1, ve 1 1 şeklinde tnımlnırs, + + şeklinde gösterilir. ir vektörün bounu bulmk için şğıdki bğıntı kullnılır. + + (1) ğıntı dikkt edilirse, ud iki nokt rsındki uklığı vermektedir. nı mnd bu bğıntı şu şekilde orumlnbilir. Verilen iki nokt rsındki en kıs uklıktır. irim vektör bou bir oln vektöre denir. Herhngi bir vektör birim vektör şeklinde şu şekilde ılbilir. br Vektörlerle İşlemler ve iki vektör olmk üere vektörlerde toplm ve çıkrm işlemleri ( ±, ± ± ) ±, şeklindedir. Vektörlerin Öellikleri, ve C vektör; m ve n skler olmk üere vektörlerin şğıdki öellikleri vrdır (+C)(+)+C 3. mm KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği ölümü, İmit

3 Elektromnetik Teori hr Dönemi 4. m(n)(mn) 5. (m+n)m+n 6. m(+)m+m 7. +(-)0, +00+, 1, 00, (-1)- Örnekler: Q (,, ) (skler, sbit) 3 Q(,, ) (skler fonksion) V (,, ) + (sbit vektörel ln) V( 5 7 3,, ) + 3 (vektörel ln) Problem 1: Eğer ve + ise () vektörünün bileşeni gösterini, (b) 3- nin bounu bulunu, (c) + işlemi sonucund bulduğunu vektörün birim vektörünü bulunu. Çöüm: () -4 (b) 3-3 ( )-( + ) 3(10,-4,6)-(,1,0) (30,-1,18)-(,1,0) (8,-13,18) ( 13) + (18) (c) C+(10,-4,6)+(4,,0)(14,-,6) br Ödev: ( 14,,6) C C 14 + ( ) + 6 Verilen + 3 ve vektörleri için () + KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği ölümü, İmit 3

4 Elektromnetik Teori hr Dönemi (b) 5- (c) vektörünün bileşeni (d) 3+ vektörüne prlel oln birim vektörü bulunu ( irim vektörü bulunu). Problem : P ve Q noktlrının koordintlrı P(0,,4) ve Q(-3,1,5) olduğun göre () P er vektörünü ını. (b) P ve Q noktlrı rsındki vektörü bulunu. (c) P ve Q noktlrı rsındki uklığı hesplını. Çöüm: () r P (b) r r r ( 3,1,5) (0,,4) ( 3, 1,1 ) PQ Q P r PQ 3 + (c) d r PQ ve d ( ) + ( ) + ( ) Q P Q P Q P Problem 3: şlngıç noktsı P(3,1,4) ve bitiş noktsı Q(1,-,4) oln iki noktnın belirttiği vektörün bounu hesplını. Çöüm: P(3,1,4) ve Q(1,-,4), 1 3, 1 1 3, , 1 ile (, ) (, 3,0), ve burdn vektörün bou + + KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği ölümü, İmit 4

5 Elektromnetik Teori hr Dönemi ( ) + ( 3) + (0) 13 şeklinde hesplnbilir. Problem 4: Verilen vektörü için birim vektörünü ve birim vektörün bounun bir olduğunu gösterini. Çöüm: 3 + 4, 3 br +, ( ) br 1. VEKTÖRLERDE ÇRPIM İŞLEMLERİ Verilen iki vektörün çrpımlrı sonucu skler ve vektör olmsı ne tür çrpım pıldığın bğlıdır. 1. Skler çrpım (nokt çrpım). Vektör çrpım 3. ( C) 4. ( C) ve gibi iki vektörün skler çrpımı Skler Çrpım (dot product) cosθ KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği ölümü, İmit 5

6 Elektromnetik Teori hr Dönemi burd θ iki vektör rsındki küçük çıı göstermektedir. Skler vektörün geometrik nlmı vektörünün vektörü üerindeki projeksionudur. ve vektörleri (,, ) ve (,, ) olmk üere + + ve vektörlerinin bileşenlerinin çrpımı şeklindedir. Skler çrpımın sonucu sklerdir. Skler çrpımın öellikleri:, ve C vektör olmk üere 1), ) ( + C) + C, 3). irim vektörlerin öellikleri ise 0 1 ve gibi iki vektörün vektörel çrpımı Vektör Çrpım (cross product) burd sinθ n birim norml ( ve vektörlerinin bulunduğu düleme dik) vektördür. n n θ Şekil. ve vektörlerinin vektör çrpımı. Sonuç vektörü ve nin bulunduğu düleme diktir. nin önü sğ el kurlın göre bulunur. KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği ölümü, İmit 6

7 Elektromnetik Teori hr Dönemi Vektör çrpımın sonucu vektördür. (,, ) ve (,, ) olmk üere vektör çrpım ( ) ( ) ( ) + + Vektör çrpımın öellikleri, ve C vektör olmk üere vektör çrpımın öellikleri şğıdki şekildedir. 1) ) 3) ( ( ) C 4) ( + C) + C 5) 0 unlr ek olrk birim vektörün öellikleri şu şekildedir. Şekil 3. irim vektörlerin vektör çrpımınd sonuç vektörü bulmk için kullnıln permütson kurlı (st ibresile nı önlü). KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği ölümü, İmit 7

8 Elektromnetik Teori hr Dönemi Şekil 4. irim vektörlerin vektör çrpımınd sonuç vektörü bulmk için kullnıln permütson kurlı (st ibresile ters ölü). ( C) ( C ) C ( ) ı Vektör öellikleri Skler Üçlü çrpım (sclr triple product) Eğer (,, ), (,, ) ve C ( C, C, C ) ise ( C) C C C Vektör Üçlü çrpım (vektör triple product) ( C) ( C) C( ) LIŞTIRMLR 1) Verilen ve 5 iki vektör rsındki küçük çıı bulunu. Çöüm: KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği ölümü, İmit 8

9 Elektromnetik Teori hr Dönemi cosθ formülü rdımıl bu problemi çöebiliri. ( 3,4,1 ) ( 0,, 5) ( 5) 9 3 cos θ (6)(9) θ cos 1 (0.109) o Diğer bir öntemle nı problem çöülebilir. sinθ ( 0 ) + ( ) + ( 6 0) (,15,6) (,15,6) ( ) sin θ (6)(9) θ sin 1 (0.994) o ) Verilen P, Q + ve R 3 + üç vektör için şğıdki işlemleri pını. ) (P+Q) (P-Q) b) Q.(R P) c) P. (Q R) KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği ölümü, İmit 9

10 Elektromnetik Teori hr Dönemi sin θ d) QR e) P (Q R) Çöüm: () ( P + Q) ( P Q) P (P Q) + Q (P Q) P P P Q + Q P Q Q 0 + Q P + Q P + 0 Q P (4 + ) + (0 + ) ( ) (b) Q ( R P) ve (, 1,) - 3 0, 1, 3,4, ( ) ( ) ( R P) Q Yukrıd 3 3 boutund bir mtrisin determintı nsıl hesp edileceği gösterilmiştir. (c) P ( Q R) Q. ( R P) 14 KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği ölümü, İmit 10

11 Elektromnetik Teori hr Dönemi ( Q R) (,0, 1) ( 5,, 4) P (d) ( 5,, 4) (, 1, )(, 3,1 ) Q R 45 sin θ QR Q R 3 14 (e) P ( Q R) (,0, 1) ( 5,, 4) (,3,4) ve P ( Q R) Q(P R) R(P Q) (, 1,)( ) (, 3,1)(4 + 0 ) (,3,4) KYNK Sdiku, M. N. O., 1995, Elements of Electromgnetics, Oford Universit Press, 81 sf. KOÜ, Mühendislik Fkültesi, Jeofiik Mühendisliği ölümü, İmit 11