3. AKIŞKANLARIN KĐNEMATĐĞĐ. Kinematik: Akışkan hareketini kuvvetleri göz önüne almadan yerdeğiştirmeler, hızlar ve ivmeler cinsinden ifade eder.

Transkript

1 3. AKIŞKANLARIN KĐNEMATĐĞĐ Kinematik: Akışkan hareketini kvvetleri göz önüne almadan yerdeğiştirmeler, hızlar ve ivmeler cinsinden ifade eder. 3. Akışkan Hareketinin Matematiksel Tanımı Akışkan hareketinin matematiksel olarak tanımlanmasındaki zorlklar akışkan arçacıklarının rölatif hareketlerinin zaman göre değişiminden kaynaklanmaktadır. Akım alanı içinde her bir arçacık yere ve zamana göre değişen hız ve ivmeye sahi olabilir. Ayrıca akışkan arçacıkları bir noktadan diğer bir noktaya giderken deforme olr ve/veya dönmeye marz kalabilir. Akışkan hareketinin tanımlanmasında iki yol mevcttr: - Lagrange Tanımlama Yöntemi - Eler Tanımlama Yöntemi 3.. Lagrange Tanımlama Yöntemi Lagrange tanımlamasına göre akım alanındaki her bir arçacığın bir zaman başlangıcındaki yer koordinatları (x 0, y 0, z 0 ) belirlenir ve arçacıkların yörünge, yoğnlk, hız ve diğer karakteristikleri başlangıç koordinatları ve zamanın fonksiyon cinsinden ifade edilir. t 0 zamanında bir arçacığın başlangıç koordinatı (x 0, y 0, z 0 ) olsn. Bna göre arçacığın herhangi bir t anındaki koordinatları: x = x(x 0, y 0, z 0, t), y = y(x 0, y 0, z 0, t), z = z(x 0, y 0, z 0, t)

2 3.. Eler Tanımlama Yöntemi Eler tanımlamasına göre akım alanında hız, ivme ve diğer değişkenler, yerin ve zamanın fonksiyon olarak ifade edilir. Örnek olarak hız alanının bileşenleri aşağıdaki gibi yazılır: = (x,y,z,t) v = v (x,y,z,t) w = w (x,y,z,t) Akışkan hareketinin tanımlanmasında Eler yöntemi daha fazla tercih edilen bir tanımlama biçimidir. B derste de Eler yöntemi esas alınmıştır. FARK: Lagrange bakış açısı, akışkan arçacıklarının teker teker hareketini inceliyor. Elerde akışkan arçacığının akım alanının her noktasında hızın, basıncın yere ve zamana göre değişimini inceliyor. 3. Zamanla Değişen ve Zamanla Değişmeyen Akım Bir noktada akımlarla ilgili büyüklükler (hız) zamanla değişmiyorsa, bir başka noktada da yine aynı drm var ise böyle bir akıma Zamanla Değişmeyen Akım (ermenant akım) denir. Eğer akımla ilgili büyüklükler zamanla değişiyorsa, böyle bir akıma da Zamanla Değişen (ermanan olmayan) Akım denir. 3.3 Akım Çizgisi ve Akım Bors Akım Çizgisi: Herhangi bir anda akışkan arçacıklarının hız vektörlerine teğet olan hayali çizgilerdir. B şekilde akım alanını, herhangi bir andaki akış yönünü göstermek üzere sınırsız sayıda akım çizgileri ile temsil etmek mümkündür.

3 xyz zayında akım çizgilerinin denklemi : dx dy dz = = v w Akım alanındaki sınır yüzeyler birer akım çizgisidir. Akım Yol (Yörünge): Akım alanı içinde bir akışkan arçacığının belirli bir zaman aralığında taki ettiği yoldr. Aşağıdaki şekilde akışkanın A dan B ye giderken üzerinden geçtiği yörüngedir. Yörünge denklemi: = dy dx dz,v=,w= dt dt dt 3

4 Akım çizgisi ile yörünge çakışır mı? B akımın zamanla değişi değişmemesine bağlıdır. - Eğer akım ermanant ise akım çizgisi ile yörünge üst üste düşer. - Zamanla değişen akım drmnda bnlar farklı farklı şeylerdir. Akım Bors (akım tüü): akımda kaalı bir eğri üzerinden geçen akım çizgilerinin olştrdğ bordr. Akım çizgileri hız vektörlerine teğettir. O halde b yüzeyde dışarıdan içeriye, içeriden dışarıya geçiş yoktr. B bornn çeeri akım çizgilerinden olşmştr. Sonsz küçük kesitli bir akım bors bir akım çizgisi gibi düşünülebilir. 4

5 3.4 Bir, Đki ve Üç Boytl Akımlar Bir boytl akımda hız, basınç vb. akım özellikleri, akım borsnn kesiti içinde konmdan konma değişmez; değişiklik ancak tek boytta, yani akım bors boynca olr. Akım özelliklerinin değişimi bir boytta oldğ için, b akımlara bir boytl akımlar denir. Sonsz küçük kesitli bir akım bors içerisindeki akım, tam anlamı ile bir boytl akımdır. Akım borsnn kesit alanı o kadar küçüktür ki hız, basınç vb. akım özelliklerinin kesit içerisindeki değişimi ihmal edilebilir. Hidrolikte herhangi bir bor hattındaki hız dağılımında ortalama hız kllanılır. Đki boytl akımlarda hız, basınç gibi akım özellikleri, şekil düzlemi üzerinde konmdan konma değişir. Akım özellikleri sadece iki boytta değiştiği için b akımlara iki boytl akımlar denir. Üç boytl akımda hız basınç gibi akım özellikleri zay içerisinde konmdan konma üç boytta değişir. 5

6 4. BĐR BOYUTLU AKIMLARIN TEMEL DENKLEMLERĐ 4. Süreklilik Denklemi Kabller:. Sıkışmayan akışkan (ρ=sbt). Permanan hareket (hız zamanla değişmiyor) 3. Akım bors sonsz küçük (akım içiği) Akım borsnn - kesitindeki kesit alanı da, - kesitindeki kesit alanı da olsn. Kesit alanı sonsz küçük ise hız ve basınç gibi akım özelliklerinin kesit içerisindeki değişimi ihmal edilebilir, dolayısı ile akım borsnn bir kesiti için, bir tek hızdan ve bir tek basınçtan söz edilir. Akım borsnn - kesiti için hız, basınç ve - kesiti için hız, basınç olsn. Hareket sırasında, bir t anında hacmini işgal eden akışkan t+dt anında hacmini işgal edecektir. 6

7 Kütlenin kornm ifadesine göre; t anındaki akışkanın kütlesi = (t+dt) anındaki akışkanın kütlesi (4.) m + m = m + m (4.) ρ.da.ds = ρ.da.ds (4.3) ds =.dt ve ds =.dt ise.da.dt =.da.dt.da =.da (4.4) B denklem sıkışmayan akışkanlar için süreklilik denklemidir. 4. Enerji Denklemi t anında hacmini işgal eden akışkanın yüzeylerine etkiyen gerilmeler: - da ve da kesitlerine etkiyen ve basınç gerilmeleri - akım borsnn yanal yüzeylerine etkiyen sürtünme gerilmeleridir. t anında konmnda blnan akışkan, t+dt anındaki konmna gelirken, b gerilmeler birer iş yaacaktır. Enerjinin kornm ilkesine göre, t anında + dt zaman aralığında = (t+dt) anında sistemin enerjisi yaılan iş sistemin enerjisi E t + Basınç gerilmelerinin + Sürtünme gerilmelerinin = E t+dt yatığı iş yatığı iş db: dt zaman zarfında basınç gerilmelerinin yatığı iş ds: Sürtünme gerilmelerinin yatığı iş E t + db - ds = E t+dt (4.5) E + E + db - ds = E + E (4.6) E = ρdsda + ρdsdagz (4.7) m m Kinetik Enerji dads Potansiyel Enerji db = ρ (4.8) E ' = ρds da + ρds da gz (4.9) m m 4 Kinetik Enerji Potansiyel Enerji 7

8 ρds da + ρdsdagz + dads = ρds da + ρds da gz + da ds + ds (4.0) Bütün terimler dt ye bölünürse: dt = ρ.g.dt da + daz + da g = da g + da z + + B ifadedeki bütün terimlerde.da ya bölünürse: da ds dt (4.) ds + z z + = ENERJĐ DENKLEMĐ (4.) g g da..dt Enerji kaybı (ısıya harcanan enerji), : ve kesitinden birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın kinetik enerjisi g g z, z : ve kesitinden birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın otansiyel enerjisi, : ve kesitinden birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın basınç enerjisi 4.3 Đmls Momentm Denklemi Momentmn kornm denklemi (Newton n ikinci denklemi): r d r ΣF = (mv) (4.3) dt Momentmda birim zamandaki değişim dış kvvetlere eşittir. ΣF r : m kütlesine etkiyen kvvetlerin tolamı v r : m kütlesinin hızı mv r : momentm ΣFdt r : imls 8

9 t anındaki sistemin momentm = t + dt anındaki sistemin momentm M r ' + M r ' = M r ' + M r ' (4.4) r r ρdsda = ρds da (4.5) r r r Momentmdaki değişim : dm = ρds da -ρdsda (4.6) B ifadenin zamana göre değişimi dış kvvetleri verir. r r dm r r ΣF = = ρ da -ρda ĐMPULS MOMENTUM DENKLEMĐ (4.7) dt 9

10 5. ĐDEAL AKIŞKANLARIN BĐR BOYUTLU AKIMLARI Đdeal Akışkan : Sürtünmesiz akışkan, dolayısı ile viskozitesi sıfırdır(µ=0), kayma gerilmeleri (τ=0) olşmaz. Mükemmel akışkan da denir. Hız enkesit içinde değişmiyor, sabittir. (d/dy= 0) Kabller:. Sonl kestili bir akım bors. Đdeal akışkan 5. Süreklilik Denklemi.dA =.da (sonsz küçük kesitli akım bors) da = da (5.) A A - kesitin de = v = sabit (ideal akışkan, sürtünme yok) (5.) - kesitin de = v = sabit (5.3) b ifadeler (5.) bağıntısında yerine konrsa v da = v A A da 0

11 v.a = v.a (5.4) Debi Tanımı: - kesitinden birim zamanda geçen akışkanın hacmi Q = A ds = A (v.) = v.a (5.5) (5.4) ve (5.5) denklemelerinden Q = v.a = v.a (5.6) Debi, bir kesitten birim zamanda geçen akışkan hacmidir. 5. Enerji Denklemi 5.. Denklem (Bernolli Denklemi) Sonsz küçük kesitli akım bors için enerji denklemi da + daz + da = da + da z + da + g g ds dt ideal akışkan, sürtünme yok, (ds/dt) = 0, enerji kaybı yoktr. Bna göre enerji denklemi = da + z + da + z + (5.7) g g.da =.da oldğna göre g = + + z + + z g (5.8) Đdeal akışkanda hız kesit içerisinde değişmez. Yani; - kesitinde = v =sabit (5.9) - kesitinde = v =sabit (5.0) B değerler (5.8) bağıntısında yerine konrsa

12 v g v = + + z + + z g BERNOULLĐ DENKLEMĐ (5.) B (5.) bağıntısına denir. - Akışkan ideal, - ρ= sabit (sıkışmayan akışkan) - Akım ermanan - Sonl kesitli akım bors B koşllar altında elde edilen enerji denklemine BERNOULLĐ DENKLEMĐ denir. v g v = + + z + + z g Bernolli denkleminde görülen her bir terim znlk boytndadır. v v, : hız yüksekliği g g, : basınç yüksekliği BERNOULLĐ DENKLEMĐNĐN GEOMETRĐK ANLAMI z, z : geometrik kot adı verilir. Bernolli Denkleminin FĐZĐKSEL ANLAMI; v v, : bir kesitten birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın KĐNETĐK enerjisi g g, : bir kesitten birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın BASINÇ enerjisi z, z : bir kesitten birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın POTANSĐYEL enerjisi

13 v = + z H + g (5.) H : - kesitinden birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın tolam enerjisi H : - kesitinden birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın tolam enerjisidir. 5.. Bernolli Denkleminin Pratikteki Uyglamaları 5... Ventri Ölçeği (Ventrimetre) Ventri ölçeği, bir bor içerisindeki akımın debisini ölçmeye yarayan bir sistemdir. Çalışma ilkesi Bernolli Denklemine dayanır. -- ve - kesitleri birbirine çok yakın, sürtünmeler ve enerji kaybı ihmal, ideal akışkan 3

14 - ve - kesitleri arasında Bernolli Denklemi v v + = + (kıyas düzlemi bor ekseni seçildiği için z = z = 0) (5.3) g g Manometre ve hortm bağlantıları için akışkanlar statiği kannları geçerlidir. = (h+z), = z = h (5.4) Q Q Süreklilik denklemi : Q = v.a = v.a v =, v = (5.5) A A (5.4) ve (5.5) ifadeleri(5.3) de yerine konacak olrsa: gh Q = A (5.6) A A bağıntısı elde edilir.a ve A belli, h ölçülür. Gerçek akışkanda enerji kaybı meydana geleceğinden debi C d (debi) katsayısı ile çarılarak blnr. gh Q = Cd A (5.7) A A C d katsayısı e çok yakın fakat den küçük bir sayıdır Bir Kabın Dibindeki Delikten Akış - kab s seviyesi sabit - Enerji kaybı ihmal, ideal akışkan - ve - kesitleri arasında Bernolli Denklemi v g + + z v = g + + z - ve - kesitleri atmosfere açık = = 0 = Atmosfer Basıncı, z z = h, v = 0 (çünkü s seviyesi sabit) dır. B değerler (5.8) ifadesinde yerine konrsa (5.8) 4

15 v = gh (5.9) bağıntısı elde edilir. B (5.9) bağıntısı Toricelli Bağıntısı olarak bilinir. Gerçekte sürtünme etkisi dolayısı ile φ < olmak üzere v = φ ghşeklindedir Kabarma Basıncı Bir akım içerisine bir cisim konrsa, cismin brnnda ikiye ayrılan akım çizgisi görülür. ve noktası akım çizgisi üzerinde iki nokta olsn. noktası noktasına oldkça yakın bir noktadır. Dolayısı ile b iki nokta arasında meydana gelen enerji kaybı ihmal edilebilir. O halde Bernolli Denklemi: v v + = + (kıyas düzlemi bor ekseni seçildiği için z = z = 0) (5.0) g g Tam noktasında hız sıfırdır (v = 0) O halde (5.0) denklemi ρv = (5.) + Bağıntısına dönüşür. B bağıntıya göre noktasındaki basınç e göre (ρv /) kadar yükselmiştir. Bna kabarma basıncı denir. noktasına kabarma noktası denir Pitot Bors Bradaki basınç kabarma basıncına eşittir. Yani I.borda v v = 0 = 0 g E.Ç = P.Ç S enerji çizgisine kadar yükselecek Akımı değiştirmemesi için iki tane çok ince bor akım ortamına daldırılıyor. I.bornn ağzı : akıma dik II.bornn ağzı : akıma aralel Pitot borsnn brn bir kabarma noktasıdır. ρv + e eşittir. II.borda v 0 s P.Ç ne kadar yükselecek 5

16 Akışkanlar statiğinde biliyorz ki bir nivo yüzeyi üzerinde basınç sabittir. ρv + = (h + z) (5.) =.z (5.3) ρv h = v = gh (5.4) B bağıntıdan yararlanarak manometre borlarındaki seviye farkı, yani h ölçmke sreti ile bir noktadaki v hesalanır. Pitot bors, laboratarda gerek s gerek hava akımlarında, noktasal hızları ölçmek amacı ile kllanılan bir araçtır Bir Bornn Mhtelif Noktalarındaki Basınç 6