Fizikte Veri Analizi

Transkript

1 Fizikte Veri Analizi Ders 1 Ölçme ve Belirsizlik Öğr. Gör. Dr. Mehmet Tarakçı

2 Fizikte Veri Analizi Ölçme Doğruluk ve duyarlılık Belirsizlik Hata kaynakları Sistematik hatalar Anlamlı rakamlar Anlamlı rakamlar ve aritmetik işlemler Öğr. Gör. Dr. Mehmet Tarakçı

3 Ölçme Nedir? Ölçme Ölçme, bir fiziksel niceliğin önceden belirlenmiş bir standarda göre niceliğinin (sayısal değerinin) belirlenmesi işine denir. Önceden belirlenmiş standarda ise birim adı verilir. Fiziksel bir büyüklüğü ölçmek, birim olarak seçilen aynı türden bir büyüklükle karşılaştırmaktır. Ölçme işlemini iki grupta inceleyebiliriz. Direkt ölçme : Ölçü aletleriyle doğrudan yapılan ölçümlerdir. Bir kalemin uzunluğunun cetvel ile ölçülmesi, sıcaklığın termometre ile yapılması, zamanın saat ile ölçülmesi. Dolaylı ölçme : Bir büyüklüğü, doğrudan ölçülebilen başka büyüklükler yardımıyla hesaplanarak yapılan ölçümlerdir. Bir cismin hızının ölçülmesi (Yer ve konum ölçülerek, konum değişiminin zaman değişimine oranlanması), bir cismin yoğunluğunun ölçülmesi (cismin kütlesi ve hacmi ölçülerek, kütlenin hacme oranı).

4 Ölçme Ölçme yaparken üzerinde durulması gereken iki önemli kavram doğruluk (accuracy) ve duyarlılıktır (precision). Doğruluk, ölçülen fiziksel bir niceliğin, gerçek değere ne kadar yakın olduğunu gösterir. Duyarlılık (hassasiyet), aynı büyüklüğün ölçülmesinden elde edilen iki değerin birbirine ne kadar yakın olduğunu gösterir.

5 Belirsizlik (Hatalar) Belirsizlik nedir? ve Neden önemlidir? Hiçbir ölçüm hatasız değildir. Burada hatadan kasıt, yanlış ya da kusur değil, belirsizlik tir. Kullanılan ölçüm aletinin duyarlılığı ve ölçümde izlenilen deneysel metoda bağlı olarak yapılacak ölçümün sonucu belirli bir hata sınırı içerisinde olacaktır. Albert Einstein genel göreleli teoreminde, uzak bir yıldızdan gelen ışığın güneş yakınından geçerken, güneşin yerçekimi alanı tarafından 1.75 arc saniye gibi küçük bir açı ile sapacağını öngörmektedir. Newton fiziğine dayalı bir hesaplamada, bu sapmanın arc saniye olacağını öngörmektedir. Arthur Eddington (29 Mayıs 1919): üç farklı teleskopla yapılan ölçümlerdeki sapma miktarlarını 0.86, 1.61 ve 1.98 arc saniye olarak ölçtü. θ = 1.61 ± 0.30 arc second 1.31 θ 1.91 Eddington, belirsizliğe ilişkin analizine dayanarak Newton yaklaşımının, yaptığı ölçümlerle tutarsız olduğu sonucuna vardı. Genel görelilik teorisi ilk kez deneysel testi geçti ve Albert Einstein şu anki şöhretine kavuştu.

6 Hata Kaynakları Sistematik Hatalar: Kullanılan ölçüm aletlerinden, deneyde izlenilen metottan ve dış etkilerden kaynaklanır. Bu hatalar sonucu tek yönü etkiler. Sistematik hataları, deney yöntemini değiştirerek, daha hassas ölçü aletleri kullanarak ya da deney sonunda gerekli düzeltmeleri yaparak ortadan kaldırabiliriz. Doğruluk, ölçülen değerin gerçek değerden farklılığını ortaya koyan sistematik hata ölçüsüdür.

7 Hata Kaynakları İstatistiksel (Rastgele) Hatalar: Ölçülen fiziksel büyüklüğün doğal davranışından kaynaklanan hatalardır. Bu hatalar sonucu çift yönlü etkiler. Ölçüm sayısını arttırarak istatistiksel hataları azaltabiliriz ve bunların ölçülen büyüklüğün doğruluğu üzerindeki etkisi istatistik analizle hesaplanabilir. Örnek olarak, sıcaklık, elektriksel voltaj, gaz basıncı gibi ölçülen fiziksel niceliklerdeki dalgalanmalar istatistik hatalara sebep olur.

8 Sistematik Hatalar Ölçü aleti ile yapılan direkt ölçmelerdeki sistematik hatalar. cm ile bölmelenmiş bir uzunluk ölçme aletinin duyarlılık sınırı Δ = 0,5 cm dir. L = 12, 7 ± 0, 5 cm mm ile bölmelenmiş bir uzunluk ölçme aletinin duyarlılık sınırı Δ = 0,05 cm dir. L = 12, 57 ± 0, 05 cm Ölçmedeki belirsizlik, bir ölçme aygıtının hassasiyeti, göstergesindeki en yakın iki çizginin yarısı kadardır ve Hata olarak tanımlanmaktadır.

9 Hataların Gösterimi Hataların gösterim şekilleri : t = (34.5 ± 0.7) 10 3 s t = s ± 2% +0.7 x = m e = ± MeV/c 2 m e = MeV/c 2 m e = kg ± 0.3 ppm Burada ppm part per million kısaltmasıdır. Asimetrik hatalar daha sonra ele alınacaktır.

10 Anlamlı Rakamlar (Significant Figures) Bir ölçüm sonucunu belirtmek üzere yazılan, doğru olduğu kesin olarak bilinen ve sonuncusu tahmine dayanan rakamlar anlamlı rakamlardır. Örnek: a- aşağıda verilen cm ölçekli bir cetvelle ölçülen kalemin boyu nedir? L = ± 0. 5 cm b- Kaç anlamlı rakamla ifade edilmelidir? 3 anlamlı rakam vardır. Kırmızı olan hatmin edilen sayıdır.

11 Anlamlı Rakamlar (Significant Figures) Örnek: a- aşağıda verilen cm ölçekli bir cetvelle ölçülen kalemin boyu nedir? L = 12, 57 ± 0, 05 cm b- Kaç anlamlı rakamla ifade edilmelidir? 4 anlamlı rakam vardır. Kırmızı olan 7 rakamı hatmin edilen sayıdır. Milimetre bölmeli bir cetvelle bir kalemin uzunluğu 12,57 cm olarak ölçülmüş olsun. Sonucun 7 rakamı milimetrenin tahmin edilen bir kesridir ve ölçüyü yaparken 8 veya 6 da okunmuş olabilir. Ama bu rakam ölçülen uzunluk hakkında bilgi vermektedir. Bu ölçümün anlamlı rakamlarının sayısı 4 tür Virgülün yerinin anlamlı rakamlar için hiçbir önemi yoktur m 56.5 mm olarak ifade edin anlamlı rakamların sayısı üç tür.

12 Anlamlı Rakamlar (Significant Figures) Bir ölçeme sonucu verilen sayı içindeki 0 haricindeki bütün rakamlar anlamlıdır. Yani bir sayının sonunda sıfırlar yalnızca ondalık noktanın arkasında olursa önemlidir. Aksi takdirde, anlamlı olduklarını söylemek zordur. Örneğin, 8200 ölçüm sonucunda, sıfırların önemli olup olmadığı açık değildir de anlamlı basamakların sayısı en az iki, üç veya dört olabilir. Belirsizliği önlemek için, ondalık işaretin yeri belirtilmelidir veya bilimsel gösterimi kullanılmalıdır dört anlamlı sayı üç anlamlı sayı iki anlamlı sayı

13 Anlamlı Rakamlar ve Aritmetik İşlemler Toplama ve Çıkarma İşlemleri Ölçülen nicelikleri toplarken veya çıkarırken cevabın duyarlılığı, toplam veya farktaki en az duyarlılığa sahip olan terimin duyarlılığı kadar olur. Bu duyarlılık sınırına kadar olan bütün rakamlar anlamlıdır. Örnek 1.1 1/10 cm yakınlıkla verilen cm, 1/100 cm yakınlıkla verilen 0.25 mm ve cm yakınlıkla verilen 7.4 cm yi toplayalım.

14 Anlamlı Rakamlar ve Aritmetik İşlemler Toplama ve Çıkarma İşlemleri Çözüm Verilen sayılar içinde şüpheli rakamı en büyük basamak olan sayı 7.4 cm dir. Bu nedenle işlem sonucu mm yakınlıkla verilmelidir. Yuvarlama işlemi yapılır. Sonuç: 19.1 cm (üç anlamlı rakam vardır) Ölçülen değerler En büyük En küçük ± ± ± < l < Toplama işlemindeki belirsizlik aralığı 1.11 olur. Bu örnekte üçüncü anlamlı rakam bile sorgulanabilir. Toplama ve çıkarma işlemi şüpheli rakam içeren ilk sütundan itibaren yapılır.

15 Anlamlı Rakamlar ve Aritmetik İşlemler Çarpma ve Bölme İşlemleri Çarpma işlemi sonucunda en az duyarlıklı ölçülmüş çarpanın anlamlı rakamları sayısı kadarı (bazı hallerde bir fazlası) korunur. Örnek 1.2 Duyarlılıkları farklı ölçü aletleri ile ölçülen bir kasanın kenar uzunlukları cm, cm ve cm olduğuna göre hacmi nedir?

16 Anlamlı Rakamlar ve Aritmetik İşlemler Çarpma ve Bölme İşlemleri Çözüm Hacim = ( cm) x (30. 5 cm) x ( cm) = cm 3 Çarpanlar içerisinde en küçük anlamlı rakama sahip olan çarpan cm olandır. Buradaki anlamlı rakam sayısı 3 tür. Bu nedenle hacim 3 (veya 4) anlamlı rakamla belirtilmelidir. Hacim = cm 3 = dm 3 Sonuç < V < aralığındadır. İşlem sonundaki kesin olan iki rakam vardır. (7... rakamları) bundan sonra gelen rakamlar belirsizdir. Ama cm 3 almakla, ortalama bir değer almış oluruz.

17 Anlamlı Rakamlar ve Aritmetik İşlemler Problem 1.1 Basit sarkacın periyodu T = 2π l/g ifadesi ile verilir. Sarkacın uzunluğu l = 0.24 m ve yerçekim ivmesi ise g = 9.81 m/s 2 olarak ölçülmüştür. Buna göre T değeri nedir ve kaç anlamlı rakamla ifade edilebilir? Çözüm: T = s T = s Problem 1.2 Küp şeklinde bir alışımın kütlesi m = 51.2 kg ve bir ayrıtının uzunluğu l = 2.2 cm olarak ölçülmüştür. Buna göre cismin yoğunluğu nedir ve kaç anlamlı rakamla ifade edilebilir? Çözüm: d = 4, kg/cm 3 d = 4. 8 kg/cm 3

18 Anlamlı Rakamlar ve Aritmetik İşlemler 1. k = /y ve t = 25 y e kt =? 2. a = 483 br, b = br ve c = br ab c =? 3. x = 48.1 m, y = 77 m ve z = m x + y + z =? 4. m = 25.6 g, n = 21.1 g ve p = 2.43 g m n p =?

19 Hata ve Temel Kavramlar Temel Kavramlar Mutlak Hata : Ölçülen değerin gerçek değerden farkıdır. Bir büyüklüğün gerçek değeri x, ölçülen değeri x ise x = x x Mutlak hatanın tam olarak belirlenmesi çoğu kez mümkün değildir. Çünkü, ölçülen niceliğin gerçek değeri kesin olarak bilinmemektedir. Bir ölçmede yapılan mutlak hatanın en büyük değeri, ölçü aletinin duyarlılığı ile belirlenir. Bağıl Hata : Mutlak hatasının gerçek değere oranıdır. Örnek 1.3 Bağıl hata = x x Şekilde verilen ölçme işlemindeki mutlak hatayı, bağıl hatayı ve ölçme sonucunu ifade ediniz?

20 Ölçüm Sonuçlarının İstatistik Analizleri Tekrarlanan ölçümler, gerçek değer hakkında daha iyi bir fikir edinmenizi sağlamakla kalmaz aynı zamanda ölçüm belirsizliğini karakterize etmenizi sağlar. Tekrarlanan ölçümler, gerçek değer hakkında daha iyi bir fikir edinmenizi sağlamakla kalmaz aynı zamanda ölçüm belirsizliğini karakterize etmenizi sağlar. (Çoğu zaman laboratuvar ortamında N küçüktür, genellikle 5 ila 10'dur.) N küçük için; Ortalama (mean) değer (x ) Aralık (range)(r) Ölçülen değerlerin ortalamasıdır ( en olası değer ). Ölçülen değerlerin dağılım aralığını gösterir. En yüksek değer ile en düşük değerin farkıdır. x = 1 N N i=1 x i R = x mak. x min. Belirsizlik x (uncertainty) Ortalama Belirsizlik Ölçüm sonucu Herhangi bir ölçümdeki belirsizliktir. Ölçüm sonucunun enbüyük ve enküçük değerler arasında olduğu kesindir. Bu durumda bu ölçümdeki belirsizlik x gerçek değeri, x ort çevresindeki bir aralık içinde bir yerde olacaktır. Ölçüm sayısı N arttıkça da bu aralık yavaş 1 N bir şekilde azalır. x ölçümünün nihai sonuç değeri, ortalama değeri hem de ortalamadaki belirsizliği içerir. x = R 2 = x mak. x min. 2 x ort = x N = R 2 N x = x ort ± x ort

21 Ölçüm Sonuçlarının İstatistik Analizleri Örnek 1.3 Bir cismin ağırlığını farklı iki öğrenci 5 er kez ölçülmüştür. İki öğrencinin yaptığı ölçüm sonuçlarını gösteriniz ve sonuçları karşılaştırınız. Ölçümler 1. Öğrenci (kg) 2. Öğrenci (kg) x x x x x

22 Ölçüm Sonuçlarının İstatistik Analizleri 1. öğrenci için; 2. öğrenci için; x ort = = 77.4 kg R = = 23 x = 23 2 = 11.5 x ort = 11.5 = kg 5 x = 77 ± 5 kg x ort = = 80.6 kg R = = 3 x = 3 2 = 1.5 x ort = x = 80.6 ± 0.7 kg = kg 2. öğrencinin yaptığı ölçümler diğer öğrencinin yaptığı ölçümlerden daha duyarlıklıdır < 5.14 dir. Bu nedenle 2. öğrencinin ölçüm sonuçları verilirken anlamlı rakam sayısı 1 arttırılmıştır.

23 Ölçüm Sonuçlarının İstatistik Analizleri function [x_ort Dx_ort] = hata1(veri) N = length(veri); top = 0; % ort = mean(veri); Bu komut MATLAB fonksiyonu olarak var. for i=1:n top = top + veri(i); end X_ort = top / N; R = max(veri) - min(veri); Dx = R/2; Dx_ort = Dx / N^0.5;

24 Ölçüm Sonuçlarının İstatistik Analizleri Eğer rastgele hatalar ölçümü etkiliyorsa, ölçüm sayısı arttırılarak (N ), ölçümlerin dağılımının normal dağıldığı matematiksel olarak gösterilebilir. Bu dağılım, x ort ortalama değerinde bir pik ve standart sapma σ ile verilen genişliğe sahiptir. N için ; Ortalama (mean) değer (x ) Ölçülen değerlerin ortalamasıdır ( en olası değer ). x = 1 N N x i i=1 Belirsizlik x (uncertainty) Herhangi bir ölçümdeki belirsizliktir. Ölçüm sonucunun enbüyük ve enküçük değerler arasında olduğu kesindir. Bu durumda bu ölçümdeki belirsizlik x = σ = 1 N N i=1 x i x 2 Ortalama Belirsizlik x gerçek değeri, x ort çevresindeki bir aralık içinde bir yerde olacaktır. Ölçüm sayısı N arttıkça da bu aralık yavaş 1 N bir şekilde azalır. x ort = σ N Ölçüm sonucu x ölçümünün nihai sonuç değeri, ortalama değeri hem de ortalamadaki belirsizliği içerir. x = x ort ± x ort

25 Ölçüm Sonuçlarının İstatistik Analizleri Örnek 1.1 deki problemi tekrar çözelim. 1. öğrenci için; 2. öğrenci için; x ort = = 77.4 kg x = σ = 8, x ort = = 80.6 kg x = σ = x ort = 8, x = 77 ± 4 kg = kg x ort = x = 80.6 ± 0.5 kg = kg

26 Ölçüm Sonuçlarının İstatistik Analizleri function [x_ort Dx_ort] = hata2(veri) N = length(veri); % ort = mean(veri); Bu komut MATLAB fonksiyonu olarak var. top = 0; for i=1:n top = top + veri(i); end x_ort = top / N; % sigma = std(veri); Bu komut MATLAB fonksiyonu olarak var. sigma = 0; for i=1:n sigma = (veri(i) - x_ort)^2; end sigma = (sigma / N)^0.5; Dx_ort = sigma / N^0.5;

27 Aritmetik İşlemlerde Belirsizlikler Örnek 1.3 Bir cismin ağırlığını farklı iki öğrenci 10 er kez ölçülmüştür. İki öğrencinin yaptığı ölçüm sonuçlarını gösteriniz ve sonuçları karşılaştırınız. Ölçümler 1. Öğrenci (kg) 2. Öğrenci (kg) x x x x x x x x x x Ödev: Yapılan herhangi bir ölçüme ilişkin verileri bilgisayara girilerek, ölçüm sonucunu hesaplayan (N büyük ve küçük değerleri için) MatLab programını yapınız.

28 Aritmetik İşlemlerde Belirsizlikler 1. öğrenci için; 2. öğrenci için; x ort = 76.4 kg x = σ = 7, x ort = 7, x = 77 ± 2 kg = 2, kg x ort = = 80.9 kg 5 x = σ = 1, x ort = 1, x = 80.6 ± 0.6 kg = 0, kg 1/20