Matematik Ders Föyü. Uygulayalım. Terim. Önerme. Doğruluk Değeri. Ortaöğretim Alanı MF - 01 NOT NOT. 1. Aşağıdaki tabloyu tanımlı veya tanımsız

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Matematik Ders Föyü. Uygulayalım. Terim. Önerme. Doğruluk Değeri. Ortaöğretim Alanı MF - 01 NOT NOT. 1. Aşağıdaki tabloyu tanımlı veya tanımsız"

Transkript

1 Ortaöğretim Alanı MF - 01 Matematik Ders Föyü Terim Bir sözcüğün bilim, spor, sanat, meslek vb. içerisinde kazandığı özel anlama terim denir. NOT Küp Matematik Ova Coğrafya Asit Kimya Mercek Fizik Sol taraftaki kelimeler, sağ taraftaki bilim dallarına ait terimlerdir. Başka terimler aracılığı ile tanımlanabilen terimlere tanımlı terim denir. Sadece sezgilerimizle adlandırabildiğimiz terimlere tanımsız terim denir. NOT Tanımlı Terim Tanımsız Terim Kare Nokta Uygulayalım 1. Aşağıdaki tabloyu tanımlı veya tanımsız terim olarak doldurunuz. Küp Çember Açıortay Yanlış Küme Orantı. Aşağıda verilen ifadelerden önerme olanlar ile önerme olmayanları belirtiniz. a) = 1 b) İyi günler. c) En küçük asal sayı 1 dir. d) Seni çok seviyorum. e) Ankara, Marmara Bölgesi'ndedir. Ünlem Doğru Önerme Üçgen Düzlem Tek sayı Uzay Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler p, q, r, s gibi harf lerle gösterilir. 3. Aşağıdaki önermelerden kaç tanesinin doğruluk değeri 1 dir? p: Tüm asal sayılar tektir. q: En küçük çift tam sayı 0 dır. r: Türkiye nin başkenti Ankara dır. s: 10 sayısının doğal sayı bölen sayısı 5 tir. Doğruluk Değeri Bir önermenin doğru (D) veya yanlış (Y) olarak ifade edilmesine önermenin doğruluk değeri denir tane farklı önermenin kaç tane farklı doğruluk değeri vardır? Bir önerme doğru (D) ise 1 yanlış (Y) ise 0 ile gösterilir. n tane önermenin doğruluk durum sayısı n dir. 1. tanımlı, tanımlı, tanımlı, tanımsız, tanımlı, tanımlı. a) önerme b) önerme değil c) önerme d) önerme degil e) önerme Book 1.indb 1 01/09/18 0:

2 Matematik Ders Föyü 01 Denk Önerme Doğruluk değerleri aynı olan önermelere denk önerme denir. p ile q denk önerme ise p q biçiminde gösterilir. Denk olmayan p ve q önermeleri p _ q biçiminde gösterilir. Bir Önermenin Olumsuzu (Değili) Bir önermenin hükmünün olumsuzu alınarak elde edilen önermeye, o önermenin değil i denir. Uygulayalım 1. p : 1 en küçük pozitif tam sayıdır. q : 1 en büyük negatif tam sayıdır. r : 9 bir rakamdır. s : 5! = 70 dir. Yukarıda verilen önermelere göre, aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. p / q II. p / r III. r / s IV. q / r V. q / s p önermesinin değili p', p ya da ~ p ile gösterilir. p önermesi doğru ise p' önermesi yanlıştır. p önermesi yanlış ise p' önermesi doğrudur. p p ı (p ı ) ı Aşağıdaki tabloda eksik bırakılan yerleri tamamlayınız. p p ı q Köpek, 4 ayaklı bir hayvandır. q ı 3 + < 4 r ( 3) = 9 r ı Doğruluk değeri p / (p ı ) ı değili değili değili değili 3. p: en küçük asal sayıdır. q: < 4 r: 0 en küçük doğal sayıdır. önermelerinin doğruluk değeri sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde verilmiştir? A) 1, 0, 1 B) 1, 1, 1 C) 1, 0, 0 D) 0, 1, 1 E) 0, 0, 1 Bileşik Önermeler İki veya daha fazla önermenin ve, veya, ise, ya da, ancak ve ancak gibi bağlaçlarla birbirine bağlanmasıyla oluşan yeni önermelere bileşik önerme denir p: 1, p': Köpek 4 ayaklı bir hayvan değildir. p'=0, q = q : 1, q' = 0, r = 1, r'= ( 3)! 9, r' = 0 3. A Book 1.indb 01/09/18 0:

3 Matematik Ders Föyü 01 Ve, Veya, Ya Da Bağlaçları p ve q iki önerme olsun. p veya q önermesi p 0 q p ve q önermesi p / q p ya da q önermesi p Q q şeklinde ifade edilir. p q p 0 q p / q p Q q Uygulayalım 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. p / p / p II. p / 0 / 0 III. p 0 p' / 1 IV. p / p' / 0 V. p 0 r / r 0 p VI. p / r / r 0 p A) B) 3 C) 4 D) 5 E) Veya ( ) Bağlacının Özellikleri. I. 1 0 (0 0 1) / 1 II. 0 0 (0 0 1) / 0 p 0 p / p p 0 q / q 0 p p 0 (q 0 r) / (p 0 q) 0 r p 0 1 / 1 p 0 0 / p p 0 p' / 1 III. (0 0 1) 0 (1 0 0) 0 (0 0 0) / 1 Yukarıda verilen denkliklerden hangisi ya da hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III Ve ( ) Bağlacının Özellikleri p / p / p p / q / q / p p / (q / r) / (p / q) / r p / 1 / p p / 0 / 0 p / p' / 0 Ya Da (Q) Bağlacının Özellikleri p Q q / q Q p p Q p / 0 p Q (q Q r) / (p Q q) Q r p Q q / p' Q q' p Q p' / 1 3. p : 6! 5! = 5. 4! dir. q: 5 farklı önermenin 10 tane doğruluk değeri vardır. 0 r: = 0 dır. 3 Yukarıda verilen önermelere göre aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a) (p 0 q) 0 r b) (p / q) 0 (q 0 r) c) (p Q q) Q (q / r) 1. D. E 3. a) 1, b) 1, c) 1 3 Book 1.indb 3 01/09/18 0:

4 Matematik Ders Föyü 01 De Morgan Kuralı (p / q)' / p' 0 q' (p Q q)' / p' Q q / p Q q' (p 0 q)' / p' / q' Bağlaçların Dağılma Özelliği Uygulayalım 1. Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. I. (1 0 0)' / (0 0 1) II. [(0 0 1')' 0 (0 0 0)'] / (1 / 1)' Ve bağlacının Veya bağlacı üzerine dağılma özelliği p / (q 0 r) / (p / q) 0 (p / r) Veya bağlacının Ve bağlacı üzerine dağılma özelliği p 0 (q / r) / (p 0 q) / (p 0 r). (p / q) ı 0 (q / p ı ) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. Totoloji Bir bileşik önerme; kendisini oluşturan önermelerin her değeri için her zaman doğru oluyorsa önermeye totoloji denir. Çelişki Bir bileşik önerme; kendisini oluşturan önermelerin her değeri için her zaman yanlış oluyorsa önermeye çelişki denir. 3. [p ı 0 (q ı 0 p)] / [p / (q / p ı ) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. Örnek (p 1) (p p ı ) önermesinin totoloji ya da çelişki olduğunu gösteriniz. Çözüm (p 1) (p p ı ) = 1 p p 1 = p Totoloji ya da çelişki değildir. p = 1 olduğunda önermenin doğruluk değeri 1, 4. I. p 0 1 II. p 0 0 III. p' 0 p IV. p / p' V. p Q p' önermelerinden kaç tanesi totolojidir? p = 0 olduğunda önermenin doğruluk değeri 0 bulunur. 1. I. 0, II Book 1.indb 4 01/09/18 0:

5 1. I. Hız II. Küme III. Gol IV. Molekül V. Dağ VI. Protein Neler Öğrendik? 1 4. Aşağıdakilerden hangisi doğru bir önermedir? A) "( )! = dir." B) "1 + 1 = en küçük asal sayıdır." C) 0 " belirsizdir." 5 D) "( 1) ( ) ( 3)... ( 10) = 1000 dir." E) " = 10 dur." Yukarıda verilen sözcüklerden kaç tanesi terimdir? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E). I. Açı II. Sayı III. Eşit IV. Beşgen 5. n tane önerme için 18 farklı doğruluk değeri olduğuna göre, n kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 8 V. Açıortay VI. Düzlem Yukarıda verilen sözcüklerden kaç tanesi tanımsız terimdir? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 3. Aşağıdakilerden hangisi bir önerme değildir? A) "Bir hafta 8 gündür." B) "Bir saat 100 saniyedir." C) "r sayısı ye eşittir." 7 D) "Dörtgenin iç açıları toplamı 540 dir." E) "Bugün yağmur yağdı mı?" 6. p : " = " önermesinin değiline denk olan önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) q: "0! = 0" B) 0! + 0! + 0! r: " = 1" 3 C) s: "1 + 3 < 3 + 1" D) 1 1 k: "( ) 3!- " 3 E) r: "10 7 sayısı 7 basamaklıdır." 5 Book 1.indb 5 01/09/18 0:

6 Neler Öğrendik? 7. [(q / p')' 0 r]' bileşik önermesinin denk olduğu önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) q / p' / r' B) p' / q' / r' C) (p' 0 q) 0 r' Q p / 1 0 Q q / 0 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p / 1 B) p' / q / 0 C) p / q / 1 D) q / 1 E) q 0 p / 1 D) q' 0 p 0 r' E) (q' 0 p) / r' 8. I. p: "(3 + 5) 8 = 1" p': "(5 + 3) 8! 1" II. q: "3 + 5 < 8" q': "3 + 5 > 8" III. r: "1 : 4 # 18 : 3" r': "1 : 4 18 : 3" Yukarıda verilen p, q ve r önermelerinin hangilerinin değilleri doğru yazılmıştır? 11. (p / r) 0 p' önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir? A) p / r B) 1 C) 0 D) p / r' E) p' / r' A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) II ve III 9. p' / (r 0 p) bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 1 B) 0 C) p' D) p 0 r E) p' / r 1. (q' 0 r) 0 (q / r') bileşik önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 0 C) q D) r E) q 0 r Cevaplar 1. A. B 3. E 4. B 5. D 6. B 7. A 8. D 9. E 10. B 11. D 1. A 6 Book 1.indb 6 01/09/18 0:

7 Neler Öğrendik? 1 1. p: "15! sayısının sondan üç basamağı 0 dır." q: " irrasyonel bir sayıdır." r: " 5'in küpü 15'tir." önermeleri veriliyor. Buna göre yukarıdaki önermelerden hangileri doğru bir önermedir? 4. [p 0 q]' / [(p 0 q)' / q]' bileşik önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) p' / q' B) p 0 q C) p' 0 q' D) p E) q A) Yalnız p B) Yalnız q C) Yalnız r D) p ve q E) p, q ve r. Aşağıdakilerden hangisi tanımsız bir matematik terimidir? A) Nokta B) Kare C) Dikdörtgen D) Denklem E) Çember 5. p 0 [(1 0 0)' / (0 / 1)'] / (1 / 0)' olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p / 0 / 1 B) p 0 p / 0 C) p / 0 D) p / 1 E) (p / p)' / 1 3. p: "15 dakika 900 saniyedir." önermesine denk olan önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 = 9 0! B) = C) ( ) < ( ) D) - rasyonel sayı değildir. 5 1 E) 1 : 1 : 1 = 3 6. [(q 0 p') / (r' 0 q)] 0 q' bileşik önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) q B) p' C) r D) 0 E) 1 7 Book 1.indb 7 01/09/18 0:

8 Neler Öğrendik? 7. (n + 5) farklı önermenin 104 farklı durumu olduğuna göre, n kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) Aşağıdakilerden hangisi doğru bir önermedir? A) r irrasyonel sayı değildir. B) En küçük çift sayı 0 dır. C) Aynı iki reel sayının oranı her zaman 1 dir. D) Asal sayılar tek sayıdır. E) e irrasyonel sayıdır. 8. (q Q q') Q p' bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p B) p' C) q D) q' E) Aşağıdakilerden hangisi totolojidir? A) p / p' B) p Q p' C) p 0 p D) p 0 0 E) p / 1 9. p: " 5 irrasyonel sayıdır." p' Q q' : "0 en küçük doğal sayıdır." olduğuna göre, [(p Q q')' / p'] Q q bileşik önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 1 C) p D) p 0 q E) p / q' [( ) < ( ) / 4!.5! 6!] 8 önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir? 1 1 A) [( ) < ( ) 0 4!. 5! 6!] B) [(- ) $ (- ) 0 4!. 5 = 6!] C) [(- ) $ (- )/ 4!. 5 = 6!] D) [(- ) > (- ) 0 4!. 5 = 6!] E) [(- ) # (- ) 0 4!. 5 = 6!] 8 Cevaplar 1. E. A 3. B 4. A 5. D 6. E 7. B 8. A 9. A 10. E 11. B 1. B 8 Book 1.indb 8 01/09/18 0:

9 Ortaöğretim Alanı MF - 0 Matematik Ders Föyü Elektrik Devrelerinin Sembolik Mantıkla İlişkisi Bir elektrik devresinden akımın geçmesi veya geçmemesi devre üzerindeki anahtarlarla sağlanır. Kapalı Anahtar 1. Uygulayalım p s q r Anahtar kapalı iken devreden akım geçer ve doğruluk değeri 1 dir. Yukarıda verilen elektrik devresine karşılık gelen bileşik önerme nedir? Açık Anahtar. p s Anahtar açık iken devreden akım geçmez ve doğruluk değeri 0 dır. q r k Yukarıda verilen elektrik devresine karşılık gelen bileşik önerme nedir? Seri Bağlama Bu devredeki anahtarlar seri bağlanmış olup p / q ile gösterilir. p q 3. p r q k s Paralel Bağlama Bu devredeki anahtarlar paralel bağlanmış olup p 0 q ile gösterilir. p q Yukarıda verilen elektrik devresine karşılık gelen bileşik önerme nedir? 1. [p (q r)] s. [(p q) r] (s k) 3. [(p q) [r (s k)] 9 Book 1.indb 9 01/09/18 0:

10 Matematik Ders Föyü 0 Sembolik Mantık Kümeler Uygulayalım p p ı 1 A A ı E p p ı 0 A A ı p (q r) (p q) (p r) A (B C) = (A B) (A C) (p q) ı p ı q ı (A B) ı = A ı B ı Elektrik Devreleri 1. p s q k m r Paralel Bağlı Anahtarlar p q Yukarıda verilen elektrik devresine karşılık gelen bileşik önermeyi yazınız. p q p v q Ampul Yanar Yanar Yanar Yanmaz. q p q' p' Paralel bağlı anahtardan, en az biri KAPALI ise devreden akım geçer. Seri Bağlı Anahtarlar Yukarıda verilen elektrik devresine karşılık gelen bileşik önermeyi yazınız. p q p q p / q Ampul 3. [p 0 (q / r)] 0 [(t / k) 0 m] önermesine karşılık gelen elektrik devresini çiziniz Yanar Yanmaz Yanmaz Yanmaz Seri bağlı anahtardan, ancak her ikisi de KAPALI iken devreden akım geçer. 1. [(p0q)/r] 0[s/(k0m)]. p/[q0(q'/p')] 3. p q t r k m 10 Book 1.indb 10 01/09/18 0:

11 Matematik Ders Föyü 0 Kümelerde İşlemler ve Sembolik Mantık Kuralları Kümeler Q E, + A' = Önermeler Mantığı / P' / Koşullu Önermeler Uygulayalım 1. A, B ve C kümeleri sembolik mantıkla sırasıyla p, q ve r önermeleriyle gösterildiğinde, (A' j B)' + (C')' kümesinin sembolik mantıktaki karşılığı ne olur? İse Bağlacı p ve q herhangi iki önerme olmak üzere p doğru q yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğru olan önermeye p ise q bileşik önermesi veya koşullu önerme denir. p ( q veya p $ q şeklinde gösterilir. p q p ( q p: " = 6 dır." q: "1.. 3 = 6 dır." olduğuna göre, aşağıda verilen önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a) p ( q... b) p' ( q... c) p' ( q'... d) q ( p'... p ( q önermesinde p önermesine hipotez, q önermesine hüküm denir. Ayrıca p önermesi, q için yeter koşul; q önermesi, p için gerek koşuldur. p ( q önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu koşullu önermeye gerektirme denir. 3. Aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a) 1 0 (1 & 0) b) [(0 & 1) 0 (1 & 0)] / 1 c) [(1 &1) ((0 &1)] & [0&(0 & 0)] p ( q / 1 denkliği "p gerektirir q" diye okunur. Örnek (p 1) ( 0 p) önermesini en sade biçimde yazınız. Çözüm 4. p & (r 0 q) / 0 olduğuna göre, (p & q) & [(p 0 q') / r] bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir? (p 1) /1 13 (0 p) / /1 bulunur. 1. [(p / q') / r]. a) 1, b) 1, c) 1, d) 0 3. a) 1, b) 1, c) Book 1.indb 11 01/09/18 0:

12 Matematik Ders Föyü 0 İse Bağlacının Özellikleri p & q / p' 0 q p & p / 1 1. (p' & q) / (q' / p)' Uygulayalım önermesinin en sade şekli nedir? 1 & p / p 0 & p / 1 p & p' / p' p & 1 / 1 p & 0 / p'. (q' / p) & (p' & q) önermesinin en sade şekli nedir? Koşullu Önermenin Karşıtı p ve q iki önerme olsun. p & q önermesinin KARŞITI: q & p 3. a) "Bugün salı ise yarın Çarşambadır." b) "Yağmur yağmış ise yerler ıslaktır." önermelerinin karşıtlarını yazınız. Koşullu Önermenin Tersi p ve q iki önerme olsun. p & q önermesinin TERSİ: p' & q' Koşullu Önermenin Karşıt Tersi 4. a) 5 < 6 & 5 < 6 dır. b) 4! = 4 & 5! = 10 dir. önermelerinin terslerini yazınız. p ve q iki önerme olsun. p & q önermesinin KARŞIT TERSİ: q' & p' Örnek "x tek sayı ise x 3 tek sayıdır." önermesinin karşıtını, tersini ve karşıt tersini bulunuz. 5. a) = 15 ise 7 < 15 tir. b) 0 bir tam sayı ise 5 0 bir tam sayıdır. önermelerinin karşıt terslerini yazınız. Çözüm p: x tek sayı q: x 3 tek sayı p q Karşıtı: q p. x 3 tek sayı ise x tek sayıdır. Tersi: p ı q ı. x tek sayı değil ise x 3 tek sayı değildir. Karşıt tersi: q ı p ı. x 3 tek sayı değil ise x tek sayı değildir. 1. q a) Yarın çarşamba ise bugün salıdır. b) Yerler ıslak ise yağmur yağmıştır. 4. a) 5 $ 6&5 $6 b) 4! 4 & 5!!10 5. a) 7 $15 ise 7+8 ]15 b) 5 0 bir tam sayı değil ise 0 bir tam sayı değildir. 1 Book 1.indb 1 01/09/18 0:

13 Neler Öğrendik? 1. p r q s 3. a c b d e f k r Yukarıdaki elektrik devresine karşılık gelen bileşik önerme aşağıdakilerden hangisidir? m n A) [(p 0 q) / r] 0 s B) [(p / q) 0 r] / s C) [(p / q) 0 r] 0 s D) [(p 0 q) 0 r] / s E) [(p / q) / r] / s Yukarıdaki elektrik devresi için; I. Devreden elektrik akımı geçer. II. Ampul yanmaz. III. Devreye karşılık gelen bileşik önerme [[(a / b) 0 (c / d)] / e] 0 [[(f / k) 0 (m / n)]/ r] şeklindedir. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) II ve III E) I ve III. p q s r k m 4. c d n a b e f q Yukarıdaki elektrik devresine karşılık gelen bileşik önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) n / p / [(q / r) 0 (s / k)] / m B) n 0 p 0 [(q / r) 0 (s / k)] / m C) n / p 0 [(q / r) 0 (s / k)] / m D) n / p / [(q / r) / (s / k)] / m E) n / p 0 [(q / r) 0 (s 0 k)] 0 m Yukarıdaki elektrik devresine karşılık gelen bileşik önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) (a / b) / c / [d 0 (e / f)] / q B) (a 0 b) 0 c 0 [d 0 (e / f)] / q C) (a 0 b) / c / [d / (e / f)] / q D) (a 0 b) / c / [d 0 (e / f)] / q E) (a 0 b) / c 0 [d 0 (e 0 f)] 0 q 13 Book 1.indb 13 01/09/18 0:

14 Neler Öğrendik? 5. p & q koşullu önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? 8. [(1 & p) & 1] Q q önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) 1 C) p D) q E) q' A) p 0 q B) p' 0 q C) p 0 q' D) p' 0 q' E) p' / q 9. "a ve b tek sayı ise a. b tek sayıdır." bileşik önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? 6. (p & q) / (p' & q) önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) p' B) p C) q D) q' E) 1 A) a. b tek sayı değil ise a ve b tek sayı değildir. B) a. b tek sayı ise a ve b tek sayıdır. C) a ve b tek sayı değil ise a. b tek sayı değildir. D) a ve b tek sayı ise a. b tek sayı değildir. E) a. b tek sayı ise a ve b tek sayı değildir. 10. p / [(1 & 0) & 1] 0 [(0 & 0) & (1 & 0)] 7. I. p & 0 / p' II. p & 1 / 0 III. p & p / p IV. p & q / p' 0 q V. 1 & p / 0 Yukarıda verilen denkliklerden kaç tanesi kesinlikle yanlıştır? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 q / 0 0 (1 & 0) r / [(1 & 0) 0 (0 & 0)] & 1 Yukarıda verilen önermelere göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p & q / 0 B) (p & q) 0 r / 0 C) p & r / 0 D) p' & q' / 0 E) p Q r / 1 Cevaplar 1. B. A 3. E 4. D 5. B 6. C 7. B 8. E 9. A 10. A 14 Book 1.indb 14 01/09/18 0:

15 Neler Öğrendik? 1. (q / p) & (1 0 0) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p B) 1 C) q D) 0 E) p' 0 q' 4. [(q & 1')' & (1' & r)] & p önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p' B) q C) r D) p E) r'. [q / (q & r')'] 0 [q & r']' bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) q 0 r B) q / r C) q & r D) r & q E) r' & q 5. Aşağıdakilerden hangisi totolojidir? A) p & q B) (p' & q) 0 p' C) (p & q)' 0 (q 0 p)' D) r & (r & p) E) (p & q) 0 (q' & p') 3. (q & r') / (q & r) bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) q' B) q C) r D) r' E) 1 6. [r & (p 0 r)]' önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) 1 C) p / r' D) p / r E) r' 15 Book 1.indb 15 01/09/18 0:

16 Neler Öğrendik? 7. "Bugün sınav yapıldı ve başarılı geçti." önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir? A) Bugün sınav yapıldı ve başarılı geçmedi. B) Bugün sınav yapılmadı veya başarısız geçti. C) Bugün sınav yapıldı ve başarısız geçti. D) Bugün sınav yapılmadı ve başarılı geçti. E) Bugün sınav yapılınca başarılı geçer. 10. p: Ay Dünya'nın uydusudur. q: Dünya gezegenlerin uydusudur. önermeleri veriliyor. Buna göre, q & p' önermesi aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? A) Dünya gezegenlerin uydusu ise Ay Dünya'nın uydusu değildir. B) Dünya gezegenlerin uydusu ise Ay Dünya'nın uydusudur. C) Dünya gezegenlerin uydusu değil ise Ay Dünya'nın uydusudur. D) Ay Dünya'nın gezegeni ise Dünya gezegenlerin uydusudur. E) Ay Dünya'nın gezegeni değil ise Dünya gezegenlerin uydusudur. 8. (a = 6) & (a 3 = 16) koşullu önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) a 3! 16 & a! 6 B) a! 16 & a 3! 6 C) a 3! 16 & a = 6 D) a 3 = 16 & a! 6 E) a! 6 & a 3! "Berkan bugün gelmez ise yarın gelir." koşullu önermesinin karşıtı aşağıdakilerden hangisidir? A) Berkan bugün gelmez ise yarın gelmez. B) Berkan yarın gelir ise bugün gelmez. C) Berkan yarın gelmez ise bugün gelir. D) Berkan bugün gelir ise yarın gelmez. E) Berkan bugün gelir ise yarın da gelir. 9. "Karamel hasta ise veterinere gider." koşullu önermesinin karşıtı aşağıdakilerden hangisidir? A) Karamel hasta ise veterinere gitmez. B) Karamel veterinere giderse hastadır. C) Karamel veterinere giderse hasta değildir. D) Karamel hasta değil ise veterinere gider. E) Karamel hasta değil ise veterinere gitmez. 1. "Bugün yağmur yağar ise fotoğraf çekeceğim." önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) Bugün yağmur yağar ise fotoğraf çekmem. B) Bugün yağmur yağmaz ise fotoğraf çekerim. C) Fotoğraf çekmez isem bugün yağmur yağmıştır. D) Fotoğraf çekmez isem bugün yağmur yağmamıştır. E) Fotoğraf çeker isem bugün yağmur yağmıştır. Cevaplar 1. B. B 3. A 4. D 5. B 6. A 7. B 8. A 9. B 10. A 11. B 1. D 16 Book 1.indb 16 01/09/18 0:

17 Ortaöğretim Alanı MF - 03 Matematik Ders Föyü İki Yönlü Koşullu Önerme Ancak ve Ancak p ve q iki önerme olmak üzere, p ve q önermeleri aynı değerleri aldığında doğru, farklı değerler aldığında yanlış olan bileşik önermeye iki yönlü koşullu önerme denir ve p + q biçiminde yazılır. p ancak ve ancak q diye okunur. p q p + q Uygulayalım 1. Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a) (1 + 1) + 1 b) (0 + 1) + 1 c) (0 + 0) + 0 d) (1 + 0) Teorem p ve q iki önerme olmak üzere (p & q) ile (q & p) koşullu önermelerinin / işlemi ile birbirlerine bağlanmasından elde edilen (p & q) / (q & p) bileşik önermesi p, q bileşik önermesine denktir. NOT p + q / (p ( q) / (q ( p). Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a) [(1 + 1) & (1 + 1)] b) [(0 + 1) & (0 + 0)] + 1 c) [0 + 0) + (0 & 0)] + 0 İspat p q p & q q & p p, q p & q q & p [(q + 0) + (q + 1)] + p önermesinin en sade şekli nedir? p, q / (p & q) / (q & p) 1. a) 1 b) 0 c) 0 d) 0 p + q iki yönlü koşullu önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu önermeye çift gerektirme denir.. a) 1 b) 1 c) 0 3. p 17 Book 1.indb 17 01/09/18 0:

18 Matematik Ders Föyü 03 Ancak ve Ancak Bağlacının Özellikleri p + q / (p & q) / (q & p) p + q / q + p p + q / p' + q' Uygulayalım 1. [(p & q) / (p / q)'] + p önermesinin en sade şekli nedir? (p + q), r / p + (q + r) (p + q)' / (p' + q) / (p + q') p + p / 1 p + p' / 0 p + 1 / p p + 0 / p'. (q' & r) 0 p / (1 & 0) olduğuna göre, q 0 (p + r) bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir? Örnek (p + q) ^ (q ı + p) bileşik önermesinin denk önermesini bulunuz. Çözüm (p + q) ^ (q ı + p) ; (p + q) ı / p ı + q / p + q ı / (p + q) ^ (p ı + q) / (p + q) ^ (q + p) ı 3. Aşağıdakilerden kaç tanesi çelişkidir? I. p' + 1 II. p + 0 III. p + p' IV. p + r V. q + q / (p + q) ^ (p + q) ı a a ^ ı / 0 bulunur. Açık Önerme İçerisinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlere verilen değerlere göre doğru ya da yanlış doğruluk değeri alabilen ifadelere açık önerme denir. 4. Doğal sayılar kümesinde "p(x) = 6x 3 + x x = 0" açık önermesinin doğruluk kümesini bulunuz. Açık önermeyi doğru yapan değerler kümesine açık önermenin doğruluk kü- mesi denir. x değişkenine bağlı olan açık önermeler p(x), q(x), r(x)..., sembollerinden biriyle, x ve y gibi iki değişkene bağlı olan açık önermeler p(x, y), q(x, y), r(x,y),... sembollerinden biriyle gösterilir {0} 18 Book 1.indb 18 01/09/18 0:

19 Matematik Ders Föyü 03 Niceleyiciler Önüne geldiği elemanların niceliğini (çokluğunu) belirten "her" ve "bazı" sözcüklerine niceleyici adı verilir. p(x) açık önermesi A kümesi üzerinde tanımlanmış olsun, A daki her eleman için p(x) doğru bir önerme oluyorsa, Uygulayalım 1. Aşağıdaki önermeleri kurallı bir cümle biçiminde ifade ederek doğruluk değerlerini bulunuz. a) 7x!N, x 3 < 10 b) 7x!R, x 4 + x = 8 (6x! A), p(x) veya 6x, p(x) yazılır. Her biri, hepsi, bütünü anlamına gelen 6 sembolü evrensel niceliyicidir. "6x, p(x)" önermesinin doğru olması için, kümedeki bütün x değerlerinin p(x) önermesini doğrulaması gerekir. p(x) açık önermesi A kümesi üzerinde tanımlanmış olsun. A kümesi p(x)'i doğrulayan en az bir x elemanı varsa,. Aşağıdaki önermelerin olumsuzunu bulunuz. a) [(7x, x = 5) / (6x, x>0)] b) [7x!N, 7x 8 < 10] (7x! A), p(x) veya 7x, p(x) yazılır. Bazı, en az bir anlamlarına gelen 7 sembolü varlıksal niceleyicidir. 3. [(7x!R, x 6 = 0) & (6x!R, x + 5> 0)] bileşik önermesinin değilini bulunuz. "7x, p(x)" önermesinin doğru olması için çözüm kümesi boş olmamalıdır. Niceleyicilerin Olumsuzları (#)' / (1)' / $ (=)' /! 6' / 7 4. Aşağıdaki önermeleri niceleme sembolleriyle yazıp doğruluk değerlerini ve kümelerini bulunuz. a) P: "Bazı x doğal sayıları için x x = 0 dır." b) q: "Her x doğal sayısı için x 4 sayısı pozitiftir." c) r: "Bütün tek tam sayıların 8. kuvveti tektir." 7' / 6 (!)' / g [6x, p(x)]' / 7x, p'(x) [7x, p(x)]' / 6x, p'(x) 1. a) D 1 b) D 0. a) [(6x, x!5) 0 (7x, x#0)] b) [(6x!N) 7x 8 $10)] 3. (7x!R; x 6 = 0 / 7x!R, x + 5#0) 4. a) D 1 b) D 0 c) Doğru 19 Book 1.indb 19 01/09/18 0:

20 Matematik Ders Föyü 03 Tanım, Aksiyom, Teorem Bir terimi açıklayan önerme her durumda doğru ise bu önerme tanımdır. Doğruluğu ispat etmeye gerek duyulmadan kabul edilen önermelere aksiyom denir. Uygulayalım 1. "x ve y çift sayı ise x. y çift sayıdır." teoremini doğrudan ispat yöntemiyle ispatlayınız. Doğruluğu ispat edilebilen önermelere teorem denir. Bir teorem hipotez ve hükümden oluşur. p & q önermesinde p ye hipotez (varsayım), q ya hüküm (yargı) denir.. n bir doğal sayı olmak üzere; İspat Yöntemleri Olmayana Ergi Yöntemi (Dolaylı İspat) "x tek tam sayı ise x n tektir." teoremini olmayana ergi (dolaylı ispat) yöntemiyle ispatlayınız. p & q q' & p' olduğundan q' & p' önermesinin doğru olduğunu ispatlamak, p & q önermesinin de doğru olduğunu ispatlamak için yeterlidir. Bu ispat yöntemi dolaylı (olmayana ergi) yöntemi ile ispattır. Doğrudan (Direkt) İspat Yöntemi 3. "x bir doğal sayı ise x + 10 bir doğal sayıdır." teoremini çelişki yöntemi ile ispatlayınız. p & q gerektirmesinde p önermesinin doğru olduğu kabul edilerek, q önermesinin doğru olduğunu gösterme yöntemi doğrudan ispat yöntemidir. Çelişki Yöntemi Bir teoremde hükmün değilinden hareketle genel bir çelişki elde etme yöntemi çelişki yöntemi ile ispattır. (p & q)' (p' 0 q)' = p / q' denkliğinden yararlanılır. Deneme Yöntemi Bir açık önermede verilen bir kümenin her elemanı ayrı ayrı değişken yerine yazılarak önermenin doğruluğu gösterilebiliyorsa bu yönteme deneme yoluyla ispat denir. Aksine Örnek Vererek İspat Bir teoremin ispatında aksine bir örnek vererek hipotezin olmayacağı ve hükmün doğru olacağı ispat edilebiliyorsa bu yönteme aksine örnek verme yöntemiyle ispat denir. 1. p: (x ve y çift sayılardır.) (Hipotez), q: (x.y) çift sayıdır.) (hüküm) x bir çift sayı ise x = n olacak şekilde bir n!n vardır. y bir çift sayı ise x=m olacak şekilde bir m!n vardır. x.y = n.m=. ( mn)=k (k!n) olduğundan x.y çarpımı : çift olur. k Böylece p nin doğruluğu kabul edilerek q nun doğru olduğu gösterilir.. p &q / q' &p' p : (x tek tam sayı) & p': (x çift tam sayı) q : (x n tek tam sayı) & q': (x n çift tam sayı) q' & p': (x n çift tam sayı) & (x çift tam sayı) q' & p' : (x n çift tam sayı) ise x çift tam sayı olmalıdır. Oysa teoremde x tek tam sayı verildiğinden x çift tam sayı olamaz. Demek ki x n tek tam sayıdır. 3. p: x bir doğal sayıdır. q: x + 10 bir doğal sayıdır. P: Hipotez, q: Hüküm, p &q: Kabul, p &q/1 denkliğini göstermek için (p&q)'/0 denkliği gösterilmelidir. (p &q)'/(p'0q)'/p/q' olduğuna göre, p/q' / "x bir doğal sayıdır ve x+10 bir doğal sayı değildir." önermesinin doğruluk değeri p/q' /1/0/0 olur. (p&q)' /0 ise p&q=1 olur. 0 Book 1.indb 0 01/09/18 0:

21 1. (p & p) + (q ğ q') 4. [p + (p' + p)] 0 q Neler Öğrendik? 3 önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) p' C) p&q D) p/q E) p0q önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) p B) 1 C) 0 D) p' E) p&q. (q' 0 p)' + (p & q) önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisinde denktir? A) q' B) p+q C) q D) p E) p&q 5. (p & q) + (p 0 q) önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) p B) p' C) q D) q' E) 1 3. p v q bir çelişki olduğuna göre, (p + q) / (p / 1)' önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 1 B) 0 C) p D) q E) p / q 6. [(p & q) + (q' & p')] / p önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) p B) p' C) 1 D) p / q E) q' 1 Book 1.indb 1 01/09/18 0:

22 Neler Öğrendik? 7. p + q önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p & q B) q & p 10. [(p + r) / r] & r önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 1 B) 0 C) p D) r E) p' C) p + q' D) (p & q) / (q & p) E) (p & q) 0 (q & p) 8. (p / r) + p önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p & r B) r & p C) p D) r E) p + r 11. I. (x = 5) + (x = 5) II. (x = 0) + (x = 0) III. (x = 5) + (x 3 = 15) IV. (x + 3y = 5) + (x = 1 ve y = 1) bileşik önermelerinden hangileri reel sayılarda bir çift gerektirmedir? A) I ve II B) I ve III C) II ve III D) III ve IV E) I, II, III ve IV 9. (p' + r') 0 (p' + r) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p B) r C) p' D) 1 E) 0 1. p / 1 p + (q 0 r) / 0 olduğuna göre, (q & r) / (p' + r) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) q B) q' C) r D) p' E) 0 Cevaplar 1. B. A 3. A 4. E 5. C 6. A 7. D 8. A 9. D 10. A 11. C 1. B Book 1.indb 01/09/18 0:

23 Neler Öğrendik? 3 1. "x = 10 ( 3x + 5 = 35 tir." teoremini olmayana ergi yöntemiyle ispat ediniz. 3. "Tek bir tam sayı ile çift bir tam sayının çarpımı çift bir tam sayıdır." teoremini deneme yöntemiyle ispatlayınız.. nin rasyonel sayı almadığını (irrasyonel olduğunu) çelişki yöntemini kullanarak ispat ediniz. 4. "a bir asal sayı ise tektir." önermesinin yanlış olduğunu aksine örnek vererek ispatlayınız. 3 Book 1.indb 3 01/09/18 0:

24 Neler Öğrendik? 5. Dolaylı ispat (olmayana ergi) yönteminde p' v q önermesi yerine aşağıdaki teoremlerden hangisinin ispatı yapılır? A) q' & p' B) p & q C) p' & q' D) p 0 q E) p / q 8. x d R olmak üzere "(x = 5) & (8x + 10 = 50)" teoreminin çelişki yöntemiyle ispatına aşağıdakilerden hangisi ile başlanır? A) (x! 5) ( (8x + 10 = 50) B) x! 5 ( (8x + 10! 50) C) (8x + 10)! 50 ( (x! 5) D) (x! 5) ( (8x + 10 = 50) E) (8x + 10 = 50) / (x! 5) 6. p & q önermesinde p önermesinin doğru olduğu kabul edilerek q önermesinin doğruluğu ispat edilirse p & q teoremi ispat edilmiş olur. Bu şekildeki ispat yöntemi aşağıdakilerden hangisidir? A) Çelişki yöntemi ile ispat B) Doğrudan ispat C) Olmayana ergi yöntemi ile ispat D) Aksine örnek vererek ispat E) Deneme yöntemi ile ispat 9. Teorem: "x = 5 ise 8x + 10 = 50 dır." İspat: I. x = 5 II. 8x = 8. 5 III. 8x + 10 = IV. 8x + 10 = 50 Yukarıdaki ispat yöntemi aşağıdakilerden hangisidir? A) Olmayana ergi yöntemi B) Tümevarım yöntemi C) Deneme yöntemi D) Doğrudan ispat yöntemi E) Çelişki yöntemi 7. Doğruluğu ispat etmeye gerek duyulmadan kabul edilen önermelere... denir. Yukarıda boş bırakılan yere aşağıdakilerden hangisi gelmelidir? A) Aksiyom B) Teorem C) Hipotez D) Hüküm 10. Doğruluğu ispatlanması gereken önermelere... denir. Yukarıda boş bırakılan yere aşağıdakilerden hangisi gelmelidir? A) Totoloji B) Aksiyom C) Teorem D) Hipotez E) Çelişki E) Çelişki Cevaplar 5. A 6. B 7. A 8. E 9. D 10. C 4 Book 1.indb 4 01/09/18 0:

25 Ortaöğretim Alanı MF - 04 Matematik Ders Föyü KÜME Belirli bir özelliği sağlayan, iyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Kümeler büyük harflerle, elemanlar ise genellikle küçük harflerle, sayılarla ya da sembollerle gösterilir. Küme içinde her bir eleman bir defa yazılır. Kümenin içinde elemanların yer değiştirmesi kümeyi değiştirmez. Uygulayalım 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi bir küme belirtir? I. "Ankara'nın ilçeleri" II. "Sınıfımızdaki en yakışıklı öğrenci" III. "Haftanın P ile başlayan günleri" IV. "13456 sayısının rakamları" Bir A kümesinin eleman sayısı s(a) ile gösterilir. a elemanı A kümesinin elemanı ise a! A şeklinde gösterilir. a elemanı A kümesinin elemanı değil ise a! A şeklinde gösterilir. Kümelerin Gösterimi. A = " Q, " 1,, " 3,, 1,, 3, kümesinin eleman sayısı kaçtır? 1. Liste Yöntemi Kümeye ait elemanlar " ", " parantezi içine, birbirinden virgül ile ayrılarak yazılır. A = " 1,, 3, a, b,. Venn Şeması Yöntemi 3. Aşağıdaki kümelerin eleman sayılarını bulunuz.. I. A = " MATEMATIK, II. B = " 35796, III. C = " x: 4 < x < 30, x asal sayi, IV. D = "( x, y): x+ y = 8 vex, y! N, Elemanların kapalı bir şekil içinde yazıldığı yöntemdir. A 1 3 b a 4. A = " 1,, " a, b,, a, " b,, kümesi için aşağıdakilerden kaç tanesi yanlıştır? 3. Ortak Özellik Yöntemi Elemanların ortak özelliklerinin belirtildiği gösterim şeklidir. I. " a,! A II. " 1,,! A III. " a, b,! A IV. " b,! A V. " a, " b,,! A A = " x: n+ 1, n! N, "İki ile bölümünden kalanı bir olan doğal sayılar kümesi" , 1, 8, Book 1.indb 5 01/09/18 0:

26 Matematik Ders Föyü 04 Sonlu Küme Elemanları sayılarak sonlandırabilen kümeye sonlu küme denir. Örnek A = "( x, y) : y+ x = 5, x ve y doğal sayı, kümesinin bir sonlu küme olduğunu gösterelim. Çözüm y+ x = 5 & x = 5-y y = 5 için x = 0 y = 3 için x = y & x = y = 1 için x = bulunur. Bu durumda A = "( 0, 5), ( 1, 3), (, 1), olup A kümesi sonlu bir kümedir. Sonsuz Küme Uygulayalım 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi sonlu kümedir? A = "( x, y): 3x+ y = 1, xve y doğal sayı, B = " x: x-4 > 4, x! R, C = " x: x-4 G 4, x! N, x D = " x: 8 = 3, x! R,. Aşağıdakilerden kaç tanesi sonsuz kümedir? A = # x: x = 7n- 3, x! Z - B = " x: x > 10, x! N, C = #( x, y) : x- y = y, ( x, y)! R - D = #( xy, ): x -y > 0,( xy, )! R - + Elemanları sayılarak sonlandırılamayan kümeye sonsuz küme denir. Örnek A = " x: x- < 3, x! R, kümesinin sonsuz bir küme olduğunu gösterelim. Çözüm x- < 3 & -3 < x- < 3 & & & - 3+ < x < < x < 5 (-1, 5) 3. Aşağıdaki kümelerden kaç tanesi boş kümedir? A = " x: x-5 > -7, x! R, x 1 B = ' x: 3 <, x! R1 9 C = " Q, x D = ) x: < 0, x! R3 x - 5 Bu durumda x! R olduğundan bu aralıkta sayılamayacak kadar gerçel sayı vardır. Dolayısıyla A kümesi sonsuz kümedir. Boş Küme Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme "Q" veya ""," şeklinde gösterilir. Evrensel Küme 4. Aşağıdakilerden hangisi A = " 468,,,, kümesine ait evrensel küme olamaz? I. E = " 0,, 468,,, II. E = " Çift rakamlar, III. E = " 0, 1, ,,,,,,, IV. E = " 15' ten küçükdoğal sayılar, Üzerinde işlemler yapılan tüm kümeleri kapsadığı kabul edilen kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme "E" harfi ile gösterilir III 6 Book 1.indb 6 01/09/18 0:3

27 Matematik Ders Föyü 04 Eşit Kümeler Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. A kümesi B kümesine eşitse " A = B" şeklinde, eşit değil ise " A =Y B" şeklinde gösterilir. Uygulayalım 1. A = " 1345,,,,, kümesine eşit olan kümeler aşağıdakilerden hangileridir? I. B = " k,, lmnp,,, II. C = "-1,-,-3,-4, -5, Örnek A = " ,,,,,,,, B = " x: x G 7, x! N, III. D = " 6' dan küçük sayma sayiları, IV. E = " x: 0 < x G 5, x! N, olduğuna göre A = B olduğunu gösterelim. Çözüm B kümesi için x G 7 vex! N olduğuna göre, B = " 0, 1, 34567,,,,,, dir. Bu durumda A = Bdir '. 3. A = # x: x < 9, x! N- B = " x: - 7 < x < 4, x! N, C = # x: x + 1 < 0, x! R- D = ", Yukarıda verilenlere göre, aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. A = B II. C = D III. sd ( ) = 0 IV. sb ( ) = 10 V. B kümesi sonlu bir kümedir. Örnek "boş küme", "sonlu küme" ve "sonsuz küme" Yukarıda verilen küme çeşitlerini boşluklara uygun biçimde yerleştiriniz. A = " x 5 < x G 8, x! N, ise A ' dir. B = " x 5 < x G 8, x! R, ise B ' dir. C = " x 5 < x < 9, x! N, ise C ' dir. D = " x 13x = 91, x! R, ise D ' dir. 3. A = " x: -3 G x < 1, x! N, kümesi veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden kaç tanesi A kümesine eşittir? I. B = # x: x - x = 0, x! N- II. C = # x: x = 16, x! Z- III. D = # x: x = -4, x! R- Çözüm A = " 678,,, olduğundan, sonlu kümedir. B kümesi sayılamayacak kadar çok elemana sahip olduğundan, sonsuz kümedir. C kümesini oluşturacak bir doğal sayı olmadığından, boş kümedir. 13x = 91 & x = 7 & 7! R Bu durumda D kümesi sonlu bir kümedir. 4. A = " 1567,,,, a, 9, B = " 61,, b, 7910,,, kümeleri için A = B olduğuna göre a+ b toplamı kaçtır? 1. III, IV Book 1.indb 7 01/09/18 0:3

28 Matematik Ders Föyü 04 Alt Küme A ve B herhangi iki küme olmak üzere, A kümesinin her elemanı B kümesinin de bir elemanı ise A kümesine B kümesinin alt kümesi denir. " A 1 B" ile gösterilir. A kümesinin en az bir elemanı B kümesinin elemanı değil ise A kümesi B kümesinin alt kümesi değildir denir. " A 1Y B" ile gösterilir. Alt Kümenin Özellikleri 1. A = " abc,,, Uygulayalım B = " a, bcd,,, C = " a, bcd5,,,, kümeleri için aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I) Q 1 A II) A 1 B III) A 1 C IV) A 1 A V) B 1 C VI) A 1 C Boş küme her kümenin alt kümesidir. Q 1 A, Q 1 B Her küme kendisinin alt kümesidir. A 1 A, B 1 B, Q 1 Q ( A 1 B ve B 1 C), A 1 C ( A 1 B ve B 1 A), A = B. A = # x: _ x - 1i _ x + xi= 0, x! Z- B = " x: - < x <, x! Z, C = " x: -1 x 1, x! N, D = # x: x 1, x! R- Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır? A) Q! A B) Q 1 A C) " Q, 1 A D) " Q, kmn,,, 1 A E) "" Q,m,, 1 A Örnek A = " x 10' luk sayma sisteminin rakamlari, B = " x: x- < 0, x asal sayi, kümeleri veriliyor. Buna göre; A = " ,,,,,,,,,, B = " 357,,,, olduğundan A B veya B 1 Adr ' I. 3. A = " 3, Q, 45,," 35,,, kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) " 3, 1 A B) " Q, 1 A C) " 35,, 1 A D) " 35,, " 35,,, 1 A E) " 45,,! A Bu durumu Venn şeması ile gösterecek olursak; 0 1 A B A = " Q,,, l ider,,, olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır? A) Q! A B) " e, 1 A C) " Iir,,, 1 A D) " Q,, ie, 1 A E) "" Q, r,, 1 A E 3. E 4. E 8 Book 1.indb 8 01/09/18 0:3

29 Neler Öğrendik? 4 1. I) "Sınıfımızdaki bazı öğrenciler." II) "Sınıfımızdaki uzun boylu öğrenciler." III) "Sınıfımızdaki iyi öğrenciler." IV) "Sınıfımızdaki akıllı öğrenciler." V) "Sınıfımızda bulunan ve doğum yeri Aydın olan öğrenciler." Yukarıdaki ifadelerden kaç tanesi bir küme belirtir? A) 5 B) 4 C) 3 D) E) 1 4. A = " 71941,,, B = " 41, 48, 50, C = " 50, 55, 60, kümeleri veriliyor. Buna göre, sa ( ) + sb ( ) + sc ( ) toplamı kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) a! " a, bc,,. A = "-45, " 4545,, 4, -5,-54, olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi A kümesinin bir elemanı değildir? A) -5 B) -54 C) " 4545, D) -45 E) 4545 B) 8 g " 357,,, C) Q! " Q, D) A = " LiDER, & s( A) = 1 E) " Q,! " Q, 3. A = " x: x, KARAKARTAL kelimesindeki bir harf, kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 1 B) 5 C) 7 D) 9 E) Elemanları; kalem, kâğıt, silgi, defter olan kümenin kaç tane elemanı vardır? A) 0 B) 4 C) 8 D) 10 E) 15 9 Book 1.indb 9 01/09/18 0:3

30 7. Neler Öğrendik? I) A = " x -8 < x < -, x! N, II) A = " x x < 0, x! Z, III) A = " x 1 < x < 13, x! N, IV) A = " x -350 < x < 1, x! R, V) A = " MATEMATiK, Yukarıdaki kümelerden kaç tanesi sonsuz kümedir? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) A bugün ders çalış Yukarıda Venn şeması ile verilen A kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 1 8. I) A = " abcde,,,,, kümesi sonlu bir kümedir. II) A = " 13f,,,, n, f, kümesi sonsuz bir kümedir. III) A = "&, ise sa ( ) = 1' dir. IV) A = # x x = 169, x! N- sonlu bir kümedir. Yukarıdakilerden kaç tanesi doğrudur? A) 4 B) 3 C) D) 1 E) I) A = ", II) A = Q III) A = " x x < 0, x! N, IV) A = " x x < 0, x asal sayi, V) A = # x x G -7, x! R - Yukarıdakilerden kaç tanesi boş kümedir? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) A = " MayIs, Mart, kümesinin ortak özellik yöntemiyle gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? A) YKış ayları^ B) Y4 harften oluşan aylar^ C) YM ile başlayan aylar^ D) YYılın en sıcak ayları^ E) YYılın 30 gün süren ayları^ I) Ğ harfi ile başlayan illerimiz II) Beş kulaklı insanlar III) K ile başlayan haftanın günleri IV) İnsan nüfusu 10 milyardan fazla olan illerimiz V) Üç basamaklı rakamlar Yukarıdakilerden kaç tanesi boş küme belirtir? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 Cevaplar 1. E. E 3. B 4. D 5. E 6. B 7. B 8. A 9. C 10. D 11. E 1. E 30 Book 1.indb 30 01/09/18 0:3

31 Neler Öğrendik? 4 1. Aşağıdaki kümelerden hangisi A = "-1, 0, 1, kümesine eşittir? A) " abc,,, B) "-1, 0, 1, C) "-101, D) " x - 1 G x G 1, x! Z, E) " x: G x < 5, x! R, 4. A = " 94_,,, a, B = " Yln II mevsimleri, C = " x: 8 G x G 11, x! N, kümeleri veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A = B B) B = C C) s(a) s(c) D) s(a) = s(b) E) sb ( ) = 4 5. A = " a, " 1,,, 3, " 4, 5,, kümesi veriliyor. I) sa ( ) = 6 II) a! A. A = " x: x-1 G 3, x! R, B = " x: - G x G 4, x! R, C = " x: -3 < x < 5, x! N, D = " 6' dan küçük asal saylar I, Yukarıda verilen kümeler için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? III) " a, " 1,, 1 A IV) " 1, 1 A V) " 45,,! A Buna göre yukarıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 A) A = B B) A = C C) B = C D) C = D E) B = D 6. A B 1 a 3 C b d 4 5 A, B ve C kümeleri için yukarıdaki Venn şeması veriliyor. I) C 1 A 3. A = " 1,, " 3,," 345,,,, 5, 6, kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 II) C 1 B III) B 1Y A IV) sb ( ) + sc ( ) = 6 V) s( A) + s( B) + s( C) = 13 Buna göre, yukarıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 31 Book 1.indb 31 01/09/18 0:3

32 Neler Öğrendik? 7. A = " 13,,, " a, b,, a, bc,, " Q,, kümesi veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi A kümesinin hem alt kümesi hem de bir elemanıdır? A) " 1,, B) " ac,, C) " Q, D) "" ab,,, E) " ab,, 10. Aşağıdakilerden hangisi A = "" 1,,, Q, 4, " 56,,, kümesinin bir alt kümesidir? A) " 1,, B) "" Q,,4, C) " Q, " 1,,, D) " Q, " 4,, E) " 4, Q,, 8. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Q 1 " ade,,, B) Q! " Q, C) " 7, 1 " 7, D) " 69,, 1 "" 69,,, E) Q 1 Q 11. Aşağıdakilerden hangisi boş küme belirtir? A) #( xy, )! R : xy- y = 0- B) (( xy, )! R : x- y = 0 ve 1 1 -! 0,( xy, )! R x y C) " x! N: x < 0, x! N, D) # x! R: x G 0, x! R- 4 E) #( xy, )! R : x - y = 0 ve x- y! 0-9. A = " a, " b,, " a, b,, c, Q, kümesi için I) " a,! A II) " ac,, Q, 1 A III) " ab,,! A IV) " abc,,, 1 A V) Q! A VI) " Q, 1 A ifadelerden kaç tanesi yanlıştır? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1. Aşağıdaki kümelerden hangisinin eleman sayısı diğerlerinden daha azdır? x+ y A) ( x: = 1, ( x, y)! Z xy B) # x: x - x < 0, x! R- C) #( xy, ): x = 3y, ( x, y)! Z - D) #( xy, ): 3x + 6y = 18, ( x, y)! Z - 3 E) # x: x - x < 0, x! R- Cevaplar 1. D. A 3. A 4. D 5. C 6. C 7. E 8. D 9. B 10. C 11. C 1. A 3 Book 1.indb 3 01/09/18 0:3

Matematik Ders Föyü. Uygulayalım. Terim. Önerme. Doğruluk Değeri. Ortaöğretim Alanı MF - 01 NOT NOT. 1. Aşağıdaki tabloyu tanımlı veya tanımsız

Matematik Ders Föyü. Uygulayalım. Terim. Önerme. Doğruluk Değeri. Ortaöğretim Alanı MF - 01 NOT NOT. 1. Aşağıdaki tabloyu tanımlı veya tanımsız Ortaöğretim Alanı MF - 01 Matematik Ders Föyü Terim Bir sözcüğün bilim, spor, sanat, meslek vb. içerisinde kazandığı özel anlama terim denir. NOT Küp Matematik Ova Coğrafya Asit Kimya Mercek Fizik Sol

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48 İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri

Detaylı

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. w w w. m a t b a z. c o m ÖNERMELER- BİLEŞİK ÖNERMELER

Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. w w w. m a t b a z. c o m ÖNERMELER- BİLEŞİK ÖNERMELER Terim: Bir bilim dalı içerisinde konuşma dilinden farklı anlamı olan sözcüklerden her birine o bilim dalının bir terimi denir. Önermeler belirtilirler. p,q,r,s gibi harflerle Örneğin açı bir geometri terimi,

Detaylı

MATEMATİK ADF. Önermeler - I ÜNİTE 1: MANTIK. Önerme. örnek 2. Bir önermenin değili (olumsuzu) örnek 3. Doğruluk Tablosu. örnek 1.

MATEMATİK ADF. Önermeler - I ÜNİTE 1: MANTIK. Önerme. örnek 2. Bir önermenin değili (olumsuzu) örnek 3. Doğruluk Tablosu. örnek 1. MATEMATİK ÜNİTE 1: MANTIK Önermeler - I ADF 01 Önerme Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere... denir. R Doğru hüküm bildiren önermeye..., Yanlış hüküm bildiren önermeye... denir. R Önermelerin

Detaylı

LİSE 1 MANTIK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ

LİSE 1 MANTIK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ LİSE 1 MANTIK KONU ANLATIM FASİKÜLÜ 1 ÖNERMELER Kesin olarak doğru ya da yanlış hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler p ve q gibi harflerle ifade edilirler.bir önerme doğru ise, doğruluk değeri

Detaylı

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER Sunum ve Sistematik. ÜNİTE: MANTIK KONU ÖZETİ Bu başlık altında, ünitenin en can alıcı bilgileri, kazanım sırasına göre en alt başlıklara ayrılarak hap bilgi niteliğinde konu özeti olarak sunulmuştur..

Detaylı

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler . ÜNİTE: MANTIK . ÜNİTE: MANTIK... Önerme Tanım (Önerme) BÖLÜM.. - Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı veriler. Örneğin Bir hafta 7 gündür. (Doğru) Eskişehir Türkiye'nin başkentidir.

Detaylı

A { x 3 x 9, x } kümesinin eleman sayısı A { x : x 1 3,x } kümesinin eleman sayısı KÜMELER

A { x 3 x 9, x } kümesinin eleman sayısı A { x : x 1 3,x } kümesinin eleman sayısı KÜMELER KÜMELER Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış bir listesidir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine kümenin elemanı denir. Kümeler genellikle A, B, C,... gibi büyük harflerle gösterilir. x nesnesi A kümesinin

Detaylı

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER MANTIK MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER İçerisinde değişken olan ve değişkenin değerlerine göre doğru ya da yanlış olabilen önermelere açık önerme denir. Açık önermeler değişkenine göre P( x), Q( a)

Detaylı

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler

1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS sınavlarında matematik

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 1.KONU Sembolik Mantık; Önermeler, Niceyiciler, Olumsuzluk, İspat yöntemleri KAYNAKLAR 1. Akkaş, S., Hacısalihoğlu, H.H., Özel, Z., Sabuncuoğlu, A.,

Detaylı

YAYINLARI. ISBN:

YAYINLARI.   ISBN: YAYINLARI www.alpaslanceran.com.tr ISBN: - - - - Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayınlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemi

Detaylı

Saygın KIRILMAZ, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN

Saygın KIRILMAZ, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYIN KURULU Hazırlayanlar Saygın KIRILMAZ, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK &

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

ÜNİTE 11 ÜNİTE 9 MATEMATİK. Kümeler. 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler. 9. Sınıf Matematik

ÜNİTE 11 ÜNİTE 9 MATEMATİK. Kümeler. 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler. 9. Sınıf Matematik ÜNİTE 11 ÜNİTE Kümeler 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler 9 MATEMATİK 1. ÜNİTEDE HEDEFLENEN KAZANIMLAR 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR Kazanım 9.1.1.1: Küme kavramını

Detaylı

Örnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız.

Örnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız. KÜME KAVRAMI Küme matematiğin tanımsız bir kavramıdır. Ancak kümeyi, iyi tanımlanmış kavram veya nesneler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

L İ S E S İ MATEMATİK. Kümeler. Üzerine Kısa Çalışmalar

L İ S E S İ MATEMATİK. Kümeler. Üzerine Kısa Çalışmalar MTEMTİK T T Ü R K N D O L U L İ S E S İ M T E M T İ K Üzerine Kısa Çalışmalar KONY \ SELÇUKLU 017 MTEMTİK KÜMELER (CÜMLELER).1 Küme (Cümle) Kavramı Matematiğin dili mantıktır., matematiğin kendisini anlatabilmesini

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84

TEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84 N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde

Detaylı

ÜNİTE 1: TEMEL KAVRAMLAR

ÜNİTE 1: TEMEL KAVRAMLAR MATEMATİK ÜNİTE : TEMEL KAVRAMLAR Temel Kavramlar ADF 0 RAKAM Sayı oluşturmak için kullanılan sembollere... denir. 0 luk sayma düzenindeki rakamlar 0,,,... 8 ve 9 olup 0 tanedir. örnek a, b, c sıfırdan

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 9. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI MATEMATİK MANTIK - KÜMELER

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 9. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI MATEMATİK MANTIK - KÜMELER ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 9. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI MATEMATİK MANTIK - KÜMELER ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK 9. SINIF OKULA YARDIMCI KONU ANLATIMLI SORU BANKASI ISBN 978 605 2273-66 - Editörler

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

9SINIF MATEMATİK. Mantık Kümeler

9SINIF MATEMATİK. Mantık Kümeler 9SINIF MATEMATİK Mantık Kümeler YAYIN KOORDİNATÖRÜ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Hazal ÖZNAR - Uğurcan AYDIN DİZGİ Muhammed KARATAŞ SAYFA TASARIM - KAPAK F. Özgür OFLAZ Eğer bir gün sözlerim bilim ile ters düşerse,

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

MANTIK. 3. p 0, q 1 ve r 1 iken aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. p q q. q b. ( ) ' c. ( p q) r

MANTIK. 3. p 0, q 1 ve r 1 iken aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. p q q. q b. ( ) ' c. ( p q) r MANTIK 1. p : Ali esmerdir., q : Ali bir avukattır. Önermeleri verildiğine göre, sembolik olarak gösterilen aşağıdaki ifadeleri yazıya çeviriniz. a. p b. p q c. p q d. p q e. p q. p 1 ve q iken aşağıdaki

Detaylı

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde

{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde 1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve

Detaylı

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR

SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR 1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Kümeler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Kümeler Kümeler Ayrık Matematiğin en temel konularından biridir Sayma problemleri için önemli Programlama dillerinin

Detaylı

KÜMELER. İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Bir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. Bu nesneler somut veya soyut olabilir.

KÜMELER. İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Bir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. Bu nesneler somut veya soyut olabilir. 1 KÜMELER İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. ir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. u nesneler somut veya soyut olabilir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine eleman(öğe) denir.

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR

KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR KÜMELER VE MANTIK KESİLİ MATEMATİKSEL YAPILAR Kümeler Koşullu ve Mantıksal Denklik Kümeler Kümeler Ayrık Kümeler De-Morgan Kuralı Z (Zahlen; alm.) tamsayılar kümesi Z negatif tamsayılar kümesi, Z nonneg

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

harfi almanca kökenli (Zahlen) Z X bir sonlu küme ise, X = X deki öğelerin sayısını gösterir

harfi almanca kökenli (Zahlen) Z X bir sonlu küme ise, X = X deki öğelerin sayısını gösterir BÖLÜM 1 Kümeler harfi almanca kökenli (Zahlen) Z X bir sonlu küme ise, X = X deki öğelerin sayısını gösterir Tanım 1.1.1: X ve Y herhangi iki küme olsunlar. Eğer X Y= ise, X ve Y kümelerine ayrıktırlar

Detaylı

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler 9. SINIF SONUÇ YYINLRI 9. Sınıf Kümeler Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması,

Detaylı

Mustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü

Mustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü * Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

Küme Temel Kavramları

Küme Temel Kavramları Kümeler Kümeler Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanabilir. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir; fakat her ne olursa

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç Not: Starboard programında dosya aç kısmından dosyayı seçerek açabilirsiniz. Yazı karakterlerinde bozulma oluyorsa program kapatılıp tekrar açıldığında yazı düzelecektir. Ben yaptığımda düzelmişti. Andropi

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Mantık Kurallarının Elektrik Devrelerine Uygulanması... 14

İÇİNDEKİLER. Mantık Kurallarının Elektrik Devrelerine Uygulanması... 14 İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM MANTIK Giriş... 1 Genel Olarak Mantık... 1 Mantığın Tarihçesi ve Modern Mantığın Doğuşu... 1 Mantık Öğretimin Önemi ve Amacı... 2 Önerme... 3 VE İşlemi (Birlikte Evetleme, Mantıksal

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır?

Örnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır? KÜMELER 2 İKİ KÜMENİN BİRLEŞİMİ A ve B gibi iki kümeden, A' ya veya B' ye ait olan elemanlardan oluşan yeni kümeye A ile B' nin birleşimi denir ve AUB ile gösterilir. Bu gösterim A birleşim B di ye okunur.

Detaylı

Matematik A A ile B nin Kartezyen Çarpımı: A Kümesinden B nin Farkı: A Kümesinden B ye Fonksiyon: Açı: Açık Önerme: Açıortay: Açısal Bölge: Aksiyom:

Matematik A A ile B nin Kartezyen Çarpımı: A Kümesinden B nin Farkı: A Kümesinden B ye Fonksiyon: Açı: Açık Önerme: Açıortay: Açısal Bölge: Aksiyom: Matematik A A ile B nin Kartezyen Çarpımı: Birinci bileşeni A dan, ikinci bileşeni B den alınarak elde edilen ikililerin kümesidir. A Kümesinden B nin Farkı: A kümesinin B kümesi ile ortak olmayan elemanlarından

Detaylı

SERİMYA II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

SERİMYA II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI SERİMYA - 4 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI. 4? 4 4. A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 6 B) 8 C) D)

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif tamsayılar

Detaylı

TAM SAYILARLA TOPLAMA ÇIKARMA

TAM SAYILARLA TOPLAMA ÇIKARMA 7. Kazanım Tam sayılarla toplama çıkarma işlemlerini yapar. SINIF MATEMATİK tam SAYILAR TAM SAYILARLA TOPLAMA ÇIKARMA ( + 6) + ( + ) ( + 8) ( ) + ( ) ( 9) 8 Aynı işaretli sayılarda toplama yapılırken,

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1 SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

7. Aşağıda verilen önermelerin değillerini yazınız. a. p: Bazı aylar 30 gündür. p : Bazı aylar 30 gün değildir.

7. Aşağıda verilen önermelerin değillerini yazınız. a. p: Bazı aylar 30 gündür. p : Bazı aylar 30 gün değildir. ADIM 0. Aşağıdaki ifadelerin bir önerme olup olmadığını belirtiniz. a. Asal sayıların hepsi tek sayıdır. önerme b. Türkiye 7 farklı coğrafi bölgeden oluşur. önerme c. Çay içmeye gelen var mı? önerme değil.

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

Atatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar

Atatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 01 MATEMATİK 1. TEMEL KAVRAMLAR 1.1. RAKAM Sayıların yazılmasında kullanılan sembollere rakam denir. Onluk

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır. 1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A 1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir n-genin çevre uzunluğunun alanına oranı 4 3 ise, n kaçtır? 3 a) 3 b) 4 c) 5 d)

Detaylı

YZM 3217 YAPAY ZEKA DERS#6: MANTIK

YZM 3217 YAPAY ZEKA DERS#6: MANTIK YZM 3217 YAPAY ZEKA DERS#6: MANTIK Önermeler Doğru veya yanlış değer alabilen ifadelerdir Bir önerme hem doğru hem de yanlış olamaz Bir önerme kısmen doğru yada kısmen yanlış olamaz Örnekler: Dünya yuvarlaktır.

Detaylı

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR A: SAYI Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Ör: 0,1,2,3,4,5,6 Rakamların çokluk belirtecek şekilde bir araya getirilmesiyle oluşturulan ifadeler ifadesine sayı denir.

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek:

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek: MODÜLER ARİTMETİK Bir doğal sayının ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,, } dir. ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,,, } tür. Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan {( x, y)

Detaylı

9. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları

9. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları 9. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter KÜMELER - 1 Altın Kalem Yayınları Küme: B rb r nden farklı nesneler n oluşturduğu topluluklar küme şekl nde adlandırılır. Kümey oluşturan nesneler n y bel rlenm ş

Detaylı

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER

AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 2015-2016 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI TEKNİKLER AKSARAY KANUNİ ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ 015-01 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI MATEMATİK DERSİ 11.SINIFLAR ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI SÜRE: MANTIK(30) ÖNERMELER VE BİLEŞİK ÖNERMELER(18) 1. Önermeyi, önermenin

Detaylı

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI

2004 II. MATEMATİK YARIŞMASI I. AŞAMA SORULARI 4 II MATEMATİK YARIŞMASI I AŞAMA SORULARI 4? 4 4 A B denkleminde A ve B birbirinden farklı pozitif tam sayılar olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? 5 A) B) C) - D) E) - 8 4 x x

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 10. OKULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIFLAR SORULARI 0 KULLARARASI MATEMATİK YARIŞMASI 0 SINIFLAR SRULARI (5xy) dört basamaklı sayıdır 5 x y 6 - a 3 Yukarıdaki bölme işlemine göre y nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? 4 m pozitif bir tamsayı olmak üzere;

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı

ÖSYM M TEMEL MATEMATİK TESTİ YGS / MAT. Diğer sayfaya geçiniz. 1. Bu testte 40 soru vardır.

ÖSYM M TEMEL MATEMATİK TESTİ YGS / MAT. Diğer sayfaya geçiniz. 1. Bu testte 40 soru vardır. TEMEL MATEMATİK TESTİ 2011 - YGS / MAT M9991.01001 1. Bu testte 40 soru vardır. 1. 2. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. işleminin sonucu kaçtır?

Detaylı

YAZILI ÇALIŞMA TEKNİKLERİ. w w w. g e o m e t r i g o r m e t e k n i k l e r i. c o m. { } : boþ küme demek deðildir. ÇÖZÜMÜ:

YAZILI ÇALIŞMA TEKNİKLERİ. w w w. g e o m e t r i g o r m e t e k n i k l e r i. c o m. { } : boþ küme demek deðildir. ÇÖZÜMÜ: KONU BİLGİSİ 1.KÜME TNIMI VE GÖSTERÝM ÞEKÝLLERÝ Belli özellikleri saðlayan nesneler topluluðuna küme denir. Kümede tüm elemanlar net olmalýdýr. Kümeler büyük harflerle gösterilir. Bir kümede bir eleman

Detaylı

için Örnek 7.1. simetri grubunu göz önüne alalım. Şu halde dür. Şimdi kalan sınıflarını göz önüne alalım. Eğer ve olarak alırsak işlemini kullanarak

için Örnek 7.1. simetri grubunu göz önüne alalım. Şu halde dür. Şimdi kalan sınıflarını göz önüne alalım. Eğer ve olarak alırsak işlemini kullanarak 7. Bölüm Grupları olmak üzere grubunu nasıl inşa ettiğimizi hatırlayalım. grubunun alt grubu grubu tüm olacak şekilde tüm sınıflardan oluşmuştur. Sınıfların toplamını ile, yani ile tanımlamıştık. Şimdi

Detaylı

1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR, KÜMELERDE İŞLEMLER BÖLÜM: KARTEZYEN ÇARPIM, KÜME PROBLEMLERİ BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR...

1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR, KÜMELERDE İŞLEMLER BÖLÜM: KARTEZYEN ÇARPIM, KÜME PROBLEMLERİ BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR... İçindekiler 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KVRMLR, KÜMELERDE İŞLEMLER... 10. KÜMELERDE TEMEL KVRMLR... 10 B. SONLU, SONSUZ VE BOŞ KÜME... 12 C. KÜMELERİN EŞİTLİĞİ... 14 D. LT KÜME, ÖZ LT KÜME... 14 E. KÜMELERDE

Detaylı

T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları

T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları T. C. Manisa Celal Bayar Üniversitesi Kırkağaç Meslek Yüksekokulu 016-017 Öğretim Yılı Güz Yarıyılı MATEMATİK Dersi Final Sınavı Çalışma Soruları 1) 3. [15 3(8: )] 9 =? a) 16 b) 14 c) 0 d) 14 e) 16 6)

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK Test -4

MODÜLER ARİTMETİK Test -4 MODÜLER ARİTMETİK Test -4 1. A doğal sayısının 7 ye bölümündeki kalan 4, B doğal sayısının 7 ye bölümündeki kalan 5 tir. Buna göre, A toplamının 7 ye bölümündeki kalan 3B A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 4 5. I. 1

Detaylı

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır.

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır. KÜMELER Kümelerin birleşimi (A B ): Kümelerin bütün elemanlarından oluşur. Kümelerin kesişimi (A B): Kümelerin ortak elemanlarından oluşur. Kümelerin Farkı (A \ B ) veya (A - B ): Birinci kümede olup ikinci

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: ve iki grup ve f : G H bir fonksiyon

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

TEOG. Kümeler KÜME VE ELEMAN KAVRAMI ÖRNEK KÜMELERİN GÖSTERİMİ ÖRNEK ÖRNEK KÜMENİN ELEMAN SAYISI ÖRNEK 3. ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ 1.

TEOG. Kümeler KÜME VE ELEMAN KAVRAMI ÖRNEK KÜMELERİN GÖSTERİMİ ÖRNEK ÖRNEK KÜMENİN ELEMAN SAYISI ÖRNEK 3. ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ 1. TEOG ümeler ÜE VE EEN VRI Elemanları belirlenebilen, belirli bir anlam taşıyan canlı ya da cansız varlıkların veya kavramların oluşturduğu topluluğa küme denir. ümeyi oluşturan varlıkların, kavramların

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

9. SINIF MATEMATİK SORU BANKASI. Sinan YILMAZ Dr. Sefa YILDIZ UĞURLU Ertan GÜLER

9. SINIF MATEMATİK SORU BANKASI. Sinan YILMAZ Dr. Sefa YILDIZ UĞURLU Ertan GÜLER 9. SINIF MTEMTİK SORU NKSI Sinan YILMZ r. Sefa YILIZ UĞURLU Ertan GÜLER Nitelik Yayınları /8 9. Sınıf Matematik Soru ankası / Sinan YILMZ - r. Sefa YILIZ UĞURLU - Ertan GÜLER Yayına Hazırlama NİTELİK izgi-grafik

Detaylı

Bu kitabın tüm basım ve yayın hakları Ömer ALSAN a. aittir. Kısmen de olsa alıntı yapılamaz. Metin ve sorular,

Bu kitabın tüm basım ve yayın hakları Ömer ALSAN a. aittir. Kısmen de olsa alıntı yapılamaz. Metin ve sorular, Bu kitabın tüm basım ve aın hakları Ömer ALSAN a aittir. Kısmen de olsa alıntı apılamaz. Metin ve sorular, Ömer ALSAN ın önceden izni olmaksızı n elektronik, mekanik, fotokopi a da herhangi bir kaıt sistemile

Detaylı

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :.

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. SAYILAR BASAMAK KAVRAMI İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. Üç basamaklı rakamları farklı en küçük sayı :. SORU 5 MATEMATİK KAF03 TEMEL KAVRAM 01 Üç basamaklı birbirinden

Detaylı

1. Ünite - ÜTT. 1. Ünite. Aşağıdaki karşılaştırmalardan hangisi yanlıştır? Aşağıdakilerden hangisi 256 sayısına eşit değildir? 1 57 < < 3 4

1. Ünite - ÜTT. 1. Ünite. Aşağıdaki karşılaştırmalardan hangisi yanlıştır? Aşağıdakilerden hangisi 256 sayısına eşit değildir? 1 57 < < 3 4 . Ünite - ÜTT. Ünite. şağıdakilerden hangisi 6 sayısına eşit değildir?. şağıdaki karşılaştırmalardan hangisi yanlıştır? < 6 < 3 = 6 3 > 3. ir postacı, her gün tane eve birer adet fatura bırakmaktadır.

Detaylı

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun. 11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar

Detaylı

26 Nisan 2009 Pazar,

26 Nisan 2009 Pazar, TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 17. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2009 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 26 Nisan 2009 Pazar, 13.00-15.30

Detaylı

2011 YGS MATEMATİK Soruları

2011 YGS MATEMATİK Soruları 0 YGS MTEMTİK Soruları. + + ) 8 ) 0 ) 6 ) E). a = 6 b = ( a)b olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? ) ) 6 ) 9 ) 8 E). (.0 ) ) 0, ) 0, ) 0, ) E) 6. x = y = 8 z = 6 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan

Detaylı

Sembolik gösterim matematiğin yarısıdır. Bertrand Russef

Sembolik gösterim matematiğin yarısıdır. Bertrand Russef MANTIK İnsanlık, tarihi boyunca doğru düşünmenin ve doğru sonuca ulaşmanın yol ve yöntemlerini araştırmıştır. Bu araştırmalar sonucunda farklı sistematik yaılar oluşmuştur. Oluşan sistematik yaıların başında

Detaylı

9SINIF MATEMATİK. Denklemler ve Eşitsizlikler

9SINIF MATEMATİK. Denklemler ve Eşitsizlikler 9SINIF MATEMATİK Denklemler ve Eşitsizlikler YAYIN KOORDİNATÖRÜ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Hazal ÖZNAR - Uğurcan AYDIN DİZGİ Muhammed KARATAŞ SAYFA TASARIM - KAPAK F. Özgür OFLAZ Eğer bir gün sözlerim bilim ile

Detaylı

ÖZEL ÇORUM ADA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK 3 BİLİM GRUBU ÇERÇEVE PROGRAMI

ÖZEL ÇORUM ADA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK 3 BİLİM GRUBU ÇERÇEVE PROGRAMI ÖZEL ÇORUM ADA ÖZEL ÖĞRETİM KURSU MATEMATİK 3 BİLİM GRUBU ÇERÇEVE PROGRAMI 1.KURUM ADI: Özel Çorum Ada Özel Öğretim Kursu 2. KURUMUN ADRESİ: Yavruturna Mah. Kavukçu Sok. No:46/A ÇORUM/MERKEZ 3. KURUCUNUN

Detaylı

1 MATEMATİKSEL MANTIK

1 MATEMATİKSEL MANTIK 1 MATEMATİKSEL MANTIK Bu bölümde ilk olarak önerne tanımıverilip ispatlarda kullanılan düşünce biçimi incelenecektir. Tanım 1 Bir hüküm bildiren ve hakkında doğru veya yanlış denilmesi anlamlı olan ifadelere

Detaylı

10. DİREKT ÇARPIMLAR

10. DİREKT ÇARPIMLAR 10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü

Detaylı

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?

Örnek...1 : Yandaki bölme işlemin de bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...4 : x sayısının y ile bölümündeki bölüm 2 ve kalan 5 tir. y sayısının z ile bölümündeki bölüm

Detaylı