Matematik Ders Föyü. Uygulayalım. Terim. Önerme. Doğruluk Değeri. Ortaöğretim Alanı MF - 01 NOT NOT. 1. Aşağıdaki tabloyu tanımlı veya tanımsız

Transkript

1 Ortaöğretim Alanı MF - 01 Matematik Ders Föyü Terim Bir sözcüğün bilim, spor, sanat, meslek vb. içerisinde kazandığı özel anlama terim denir. NOT Küp Matematik Ova Coğrafya Asit Kimya Mercek Fizik Sol taraftaki kelimeler, sağ taraftaki bilim dallarına ait terimlerdir. Başka terimler aracılığı ile tanımlanabilen terimlere tanımlı terim denir. Sadece sezgilerimizle adlandırabildiğimiz terimlere tanımsız terim denir. NOT Tanımlı Terim Tanımsız Terim Kare Nokta Uygulayalım 1. Aşağıdaki tabloyu tanımlı veya tanımsız terim olarak doldurunuz. Küp Çember Açıortay Yanlış Küme Orantı 2. Aşağıda verilen ifadelerden önerme olanlar ile önerme olmayanları belirtiniz. a) = 12 b) İyi günler. c) En küçük asal sayı 1 dir. d) Seni çok seviyorum. e) Ankara, Marmara Bölgesi'ndedir. Ünlem Doğru Önerme Üçgen Düzlem Tek sayı Uzay Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler p, q, r, s gibi harf lerle gösterilir. 3. Aşağıdaki önermelerden kaç tanesinin doğruluk değeri 1 dir? p: Tüm asal sayılar tektir. q: En küçük çift tam sayı 0 dır. r: Türkiye nin başkenti Ankara dır. s: 10 sayısının doğal sayı bölen sayısı 5 tir. Doğruluk Değeri Bir önermenin doğru (D) veya yanlış (Y) olarak ifade edilmesine önermenin doğruluk değeri denir tane farklı önermenin kaç tane farklı doğruluk değeri vardır? Bir önerme doğru (D) ise 1 yanlış (Y) ise 0 ile gösterilir. n tane önermenin doğruluk durum sayısı 2 n dir. 1. tanımlı, tanımlı, tanımlı, tanımsız, tanımlı, tanımlı 2. a) önerme b) önerme değil c) önerme d) önerme degil e) önerme Mat foy BOOK.indb 1 18/08/18 20:24

2 Matematik Ders Föyü 01 Denk Önerme Doğruluk değerleri aynı olan önermelere denk önerme denir. p ile q denk önerme ise p q biçiminde gösterilir. Denk olmayan p ve q önermeleri p _ q biçiminde gösterilir. Bir Önermenin Olumsuzu (Değili) Bir önermenin hükmünün olumsuzu alınarak elde edilen önermeye, o önermenin değil i denir. Uygulayalım 1. p : 1 en küçük pozitif tam sayıdır. q : 1 en büyük negatif tam sayıdır. r : 9 bir rakamdır. s : 5! = 720 dir. Yukarıda verilen önermelere göre, aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. p / q II. p / r III. r / s IV. q / r V. q / s p önermesinin değili p', p ya da ~ p ile gösterilir. p önermesi doğru ise p' önermesi yanlıştır. p önermesi yanlış ise p' önermesi doğrudur. p p ı (p ı ) ı Aşağıdaki tabloda eksik bırakılan yerleri tamamlayınız. p p ı q Köpek, 4 ayaklı bir hayvandır. q ı < 4 r ( 3) 2 = 9 r ı Doğruluk değeri p / (p ı ) ı değili değili değili değili 3. p: 2 en küçük asal sayıdır. q: < 4 r: 0 en küçük doğal sayıdır. önermelerinin doğruluk değeri sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde verilmiştir? A) 1, 0, 1 B) 1, 1, 1 C) 1, 0, 0 D) 0, 1, 1 E) 0, 0, 1 Bileşik Önermeler İki veya daha fazla önermenin ve, veya, ise, ya da, ancak ve ancak gibi bağlaçlarla birbirine bağlanmasıyla oluşan yeni önermelere bileşik önerme denir p: 1, p': Köpek 4 ayaklı bir hayvan değildir. p'=0, q = q : 1, q' = 0, r = 1, r'= ( 3) 2! 9, r' = 0 3. A 2 Mat foy BOOK.indb 2 18/08/18 20:24

3 Matematik Ders Föyü 01 Ve, Veya, Ya Da Bağlaçları p ve q iki önerme olsun. p veya q önermesi p 0 q p ve q önermesi p / q p ya da q önermesi p Q q şeklinde ifade edilir. p q p 0 q p / q p Q q Uygulayalım 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. p / p / p II. p / 0 / 0 III. p 0 p' / 1 IV. p / p' / 0 V. p 0 r / r 0 p VI. p / r / r 0 p A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) Veya ( ) Bağlacının Özellikleri 2. I. 1 0 (0 0 1) / 1 II. 0 0 (0 0 1) / 0 p 0 p / p p 0 q / q 0 p p 0 (q 0 r) / (p 0 q) 0 r p 0 1 / 1 p 0 0 / p p 0 p' / 1 III. (0 0 1) 0 (1 0 0) 0 (0 0 0) / 1 Yukarıda verilen denkliklerden hangisi ya da hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III Ve ( ) Bağlacının Özellikleri p / p / p p / q / q / p p / (q / r) / (p / q) / r p / 1 / p p / 0 / 0 p / p' / 0 Ya Da (Q) Bağlacının Özellikleri p Q q / q Q p p Q p / 0 p Q (q Q r) / (p Q q) Q r p Q q / p' Q q' p Q p' / 1 3. p : 6! 5! = 25. 4! dir. q: 5 farklı önermenin 10 tane doğruluk değeri vardır. 0 r: = 0 dır. 3 Yukarıda verilen önermelere göre aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a) (p 0 q) 0 r b) (p / q) 0 (q 0 r) c) (p Q q) Q (q / r) 1. D 2. E 3. a) 1, b) 1, c) 1 3 Mat foy BOOK.indb 3 18/08/18 20:24

4 Matematik Ders Föyü 01 De Morgan Kuralı (p / q)' / p' 0 q' (p Q q)' / p' Q q / p Q q' (p 0 q)' / p' / q' Bağlaçların Dağılma Özelliği Uygulayalım 1. Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. I. (1 0 0)' / (0 0 1) II. [(0 0 1')' 0 (0 0 0)'] / (1 / 1)' Ve bağlacının Veya bağlacı üzerine dağılma özelliği p / (q 0 r) / (p / q) 0 (p / r) Veya bağlacının Ve bağlacı üzerine dağılma özelliği p 0 (q / r) / (p 0 q) / (p 0 r) 2. (p / q) ı 0 (q / p ı ) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. Totoloji Bir bileşik önerme; kendisini oluşturan önermelerin her değeri için her zaman doğru oluyorsa önermeye totoloji denir. Çelişki Bir bileşik önerme; kendisini oluşturan önermelerin her değeri için her zaman yanlış oluyorsa önermeye çelişki denir. 3. [p ı 0 (q ı 0 p)] / [p / (q / p ı ) bileşik önermesinin doğruluk değerini bulunuz. Örnek (p 1) (p p ı ) önermesinin totoloji ya da çelişki olduğunu gösteriniz. Çözüm (p 1) (p p ı ) = 1 p p 1 = p Totoloji ya da çelişki değildir. p = 1 olduğunda önermenin doğruluk değeri 1, 4. I. p 0 1 II. p 0 0 III. p' 0 p IV. p / p' V. p Q p' önermelerinden kaç tanesi totolojidir? p = 0 olduğunda önermenin doğruluk değeri 0 bulunur. 1. I. 0, II Mat foy BOOK.indb 4 18/08/18 20:24

5 1. I. Hız II. Küme III. Gol IV. Molekül V. Dağ VI. Protein Neler Öğrendik? 1 4. Aşağıdakilerden hangisi doğru bir önermedir? A) "( 2)! = 2 dir." B) "1 + 1 = 2 en küçük asal sayıdır." C) 0 " belirsizdir." 5 D) "( 1) ( 2) ( 3)... ( 10) = 1000 dir." E) " = 10 dur." Yukarıda verilen sözcüklerden kaç tanesi terimdir? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 2. I. Açı II. Sayı III. Eşit IV. Beşgen 5. n tane önerme için 128 farklı doğruluk değeri olduğuna göre, n kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 8 V. Açıortay VI. Düzlem Yukarıda verilen sözcüklerden kaç tanesi tanımsız terimdir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3. Aşağıdakilerden hangisi bir önerme değildir? A) "Bir hafta 8 gündür." B) "Bir saat 1200 saniyedir." 22 C) "r sayısı ye eşittir." 7 D) "Dörtgenin iç açıları toplamı 540 dir." E) "Bugün yağmur yağdı mı?" 6. p : " = " önermesinin değiline denk olan önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) q: "0! = 0" B) 0! + 0! + 0! r: " = 1" 3 C) s: "1 + 3 < 3 + 1" D) 1 1 k: "( ) 3!- " E) r: "10 7 sayısı 7 basamaklıdır." 5 Mat foy BOOK.indb 5 18/08/18 20:24

6 Neler Öğrendik? 7. [(q / p')' 0 r]' bileşik önermesinin denk olduğu önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) q / p' / r' B) p' / q' / r' C) (p' 0 q) 0 r' Q p / 1 0 Q q / 0 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p / 1 B) p' / q / 0 C) p / q / 1 D) q / 1 E) q 0 p / 1 D) q' 0 p 0 r' E) (q' 0 p) / r' 8. I. p: "(3 + 5) 8 = 1" p': "(5 + 3) 8! 1" II. q: "3 + 5 < 8" q': "3 + 5 > 8" III. r: "12 : 4 # 18 : 3" r': "12 : : 3" Yukarıda verilen p, q ve r önermelerinin hangilerinin değilleri doğru yazılmıştır? 11. (p / r) 0 p' önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir? A) p / r B) 1 C) 0 D) p / r' E) p' / r' A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) II ve III 9. p' / (r 0 p) bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 1 B) 0 C) p' D) p 0 r E) p' / r 12. (q' 0 r) 0 (q / r') bileşik önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 0 C) q D) r E) q 0 r Cevaplar 1. A 2. B 3. E 4. B 5. D 6. B 7. A 8. D 9. E 10. B 11. D 12. A 6 Mat foy BOOK.indb 6 18/08/18 20:24

7 Neler Öğrendik? 2 1. p: "15! sayısının sondan üç basamağı 0 dır." q: " 2 irrasyonel bir sayıdır." r: " 5'in küpü 125'tir." önermeleri veriliyor. Buna göre yukarıdaki önermelerden hangileri doğru bir önermedir? 4. [p 0 q]' / [(p 0 q)' / q]' bileşik önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) p' / q' B) p 0 q C) p' 0 q' D) p E) q A) Yalnız p B) Yalnız q C) Yalnız r D) p ve q E) p, q ve r 2. Aşağıdakilerden hangisi tanımsız bir matematik terimidir? A) Nokta B) Kare C) Dikdörtgen D) Denklem E) Çember 5. p 0 [(1 0 0)' / (0 / 1)'] / (1 / 0)' olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p / 0 / 1 B) p 0 p / 0 C) p / 0 D) p / 1 E) (p / p)' / 1 3. p: "15 dakika 900 saniyedir." önermesine denk olan önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) 3 2 = 9 20! B) = C) ( ) 2 < ( ) D) - rasyonel sayı değildir. 5 1 E) 1 : 1 : 1 = 3 6. [(q 0 p') / (r' 0 q)] 0 q' bileşik önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) q B) p' C) r D) 0 E) 1 7 Mat foy BOOK.indb 7 18/08/18 20:24

8 Neler Öğrendik? 7. (n + 5) farklı önermenin 1024 farklı durumu olduğuna göre, n kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) Aşağıdakilerden hangisi doğru bir önermedir? A) r irrasyonel sayı değildir. B) En küçük çift sayı 0 dır. C) Aynı iki reel sayının oranı her zaman 1 dir. D) Asal sayılar tek sayıdır. E) e irrasyonel sayıdır. 8. (q Q q') Q p' bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p B) p' C) q D) q' E) Aşağıdakilerden hangisi totolojidir? A) p / p' B) p Q p' C) p 0 p D) p 0 0 E) p / 1 9. p: " 5 irrasyonel sayıdır." p' Q q' : "0 en küçük doğal sayıdır." olduğuna göre, [(p Q q')' / p'] Q q bileşik önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 1 C) p D) p 0 q E) p / q' [( ) < ( ) / 4!.5! 6!] 2 8 önermesinin olumsuzu aşağıdakilerden hangisidir? 1 1 A) [( ) < ( ) 0 4!. 5! 6!] B) [(- ) $ (- ) 0 4!. 5 = 6!] C) [(- ) $ (- )/ 4!. 5 = 6!] D) [(- ) > (- ) 0 4!. 5 = 6!] E) [(- ) # (- ) 0 4!. 5 = 6!] 2 8 Cevaplar 1. E 2. A 3. B 4. A 5. D 6. E 7. B 8. A 9. A 10. E 11. B 12. B 8 Mat foy BOOK.indb 8 18/08/18 20:24

9 Ortaöğretim Alanı MF - 02 Matematik Ders Föyü Elektrik Devrelerinin Sembolik Mantıkla İlişkisi Bir elektrik devresinden akımın geçmesi veya geçmemesi devre üzerindeki anahtarlarla sağlanır. Kapalı Anahtar 1. Uygulayalım p s q r Anahtar kapalı iken devreden akım geçer ve doğruluk değeri 1 dir. Yukarıda verilen elektrik devresine karşılık gelen bileşik önerme nedir? Açık Anahtar 2. p s Anahtar açık iken devreden akım geçmez ve doğruluk değeri 0 dır. q r k Yukarıda verilen elektrik devresine karşılık gelen bileşik önerme nedir? Seri Bağlama Bu devredeki anahtarlar seri bağlanmış olup p / q ile gösterilir. p q 3. p r q k s Paralel Bağlama Bu devredeki anahtarlar paralel bağlanmış olup p 0 q ile gösterilir. p q Yukarıda verilen elektrik devresine karşılık gelen bileşik önerme nedir? 1. [p (q r)] s 2. [(p q) r] (s k) 3. [(p q) [r (s k)] 1 Mat foy BOOK.indb 1 18/08/18 20:24

10 Matematik Ders Föyü 02 Sembolik Mantık Kümeler Uygulayalım p p ı 1 A A ı E p p ı 0 A A ı p (q r) (p q) (p r) A (B C) = (A B) (A C) (p q) ı p ı q ı (A B) ı = A ı B ı Elektrik Devreleri 1. p s q k m r Paralel Bağlı Anahtarlar p q Yukarıda verilen elektrik devresine karşılık gelen bileşik önermeyi yazınız. p q p v q Ampul Yanar Yanar Yanar Yanmaz 2. q p q' p' Paralel bağlı 2 anahtardan, en az biri KAPALI ise devreden akım geçer. Seri Bağlı Anahtarlar Yukarıda verilen elektrik devresine karşılık gelen bileşik önermeyi yazınız. p q p q p / q Ampul 3. [p 0 (q / r)] 0 [(t / k) 0 m] önermesine karşılık gelen elektrik devresini çiziniz Yanar Yanmaz Yanmaz Yanmaz Seri bağlı 2 anahtardan, ancak her ikisi de KAPALI iken devreden akım geçer. 1. [(p0q)/r] 0[s/(k0m)] 2. p/[q0(q'/p')] 3. p q t r k m 2 Mat foy BOOK.indb 2 18/08/18 20:24

11 Matematik Ders Föyü 02 Kümelerde İşlemler ve Sembolik Mantık Kuralları Kümeler Q E, + A' = Önermeler Mantığı / P' / Koşullu Önermeler Uygulayalım 1. A, B ve C kümeleri sembolik mantıkla sırasıyla p, q ve r önermeleriyle gösterildiğinde, (A' j B)' + (C')' kümesinin sembolik mantıktaki karşılığı ne olur? İse Bağlacı p ve q herhangi iki önerme olmak üzere p doğru q yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğru olan önermeye p ise q bileşik önermesi veya koşullu önerme denir. p ( q veya p $ q şeklinde gösterilir. p q p ( q p: " = 6 dır." q: " = 6 dır." olduğuna göre, aşağıda verilen önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a) p ( q... b) p' ( q... c) p' ( q'... d) q ( p'... p ( q önermesinde p önermesine hipotez, q önermesine hüküm denir. Ayrıca p önermesi, q için yeter koşul; q önermesi, p için gerek koşuldur. p ( q önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu koşullu önermeye gerektirme denir. 3. Aşağıdaki bileşik önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a) 1 0 (1 & 0) b) [(0 & 1) 0 (1 & 0)] / 1 c) [(1 &1) ((0 &1)] & [0&(0 & 0)] p ( q / 1 denkliği "p gerektirir q" diye okunur. Örnek (p 1) ( 0 p) önermesini en sade biçimde yazınız. Çözüm 4. p & (r 0 q) / 0 olduğuna göre, (p & q) & [(p 0 q') / r] bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir? (p 1) /1 123 (0 p) / /1 bulunur. 1. [(p / q') / r] 2. a) 1, b) 1, c) 1, d) 0 3. a) 1, b) 1, c) Mat foy BOOK.indb 3 18/08/18 20:24

12 Matematik Ders Föyü 02 İse Bağlacının Özellikleri p & q / p' 0 q p & p / 1 1. (p' & q) / (q' / p)' Uygulayalım önermesinin en sade şekli nedir? 1 & p / p 0 & p / 1 p & p' / p' p & 1 / 1 p & 0 / p' 2. (q' / p) & (p' & q) önermesinin en sade şekli nedir? Koşullu Önermenin Karşıtı p ve q iki önerme olsun. p & q önermesinin KARŞITI: q & p 3. a) "Bugün salı ise yarın Çarşambadır." b) "Yağmur yağmış ise yerler ıslaktır." önermelerinin karşıtlarını yazınız. Koşullu Önermenin Tersi p ve q iki önerme olsun. p & q önermesinin TERSİ: p' & q' Koşullu Önermenin Karşıt Tersi 4. a) 5 < 6 & 5 2 < 6 2 dır. b) 4! = 24 & 5! = 120 dir. önermelerinin terslerini yazınız. p ve q iki önerme olsun. p & q önermesinin KARŞIT TERSİ: q' & p' Örnek "x tek sayı ise x 3 tek sayıdır." önermesinin karşıtını, tersini ve karşıt tersini bulunuz. 5. a) = 15 ise 7 < 15 tir. b) 0 bir tam sayı ise 5 0 bir tam sayıdır. önermelerinin karşıt terslerini yazınız. Çözüm p: x tek sayı q: x 3 tek sayı p q Karşıtı: q p. x 3 tek sayı ise x tek sayıdır. Tersi: p ı q ı. x tek sayı değil ise x 3 tek sayı değildir. Karşıt tersi: q ı p ı. x 3 tek sayı değil ise x tek sayı değildir. 1. q a) Yarın çarşamba ise bugün salıdır. b) Yerler ıslak ise yağmur yağmıştır. 4. a) 5 $ 6&5 2 $6 2 b) 4! 24 & 5!! a) 7 $15 ise 7+8 ]15 b) 5 0 bir tam sayı değil ise 0 bir tam sayı değildir. 4 Mat foy BOOK.indb 4 18/08/18 20:24

13 Neler Öğrendik? 1 1. p r q s 3. a c b d e f k r Yukarıdaki elektrik devresine karşılık gelen bileşik önerme aşağıdakilerden hangisidir? m n A) [(p 0 q) / r] 0 s B) [(p / q) 0 r] / s C) [(p / q) 0 r] 0 s D) [(p 0 q) 0 r] / s E) [(p / q) / r] / s Yukarıdaki elektrik devresi için; I. Devreden elektrik akımı geçer. II. Ampul yanmaz. III. Devreye karşılık gelen bileşik önerme [[(a / b) 0 (c / d)] / e] 0 [[(f / k) 0 (m / n)]/ r] şeklindedir. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) II ve III E) I ve III 2. p q s r k m 4. c d n a b e f q Yukarıdaki elektrik devresine karşılık gelen bileşik önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) n / p / [(q / r) 0 (s / k)] / m B) n 0 p 0 [(q / r) 0 (s / k)] / m C) n / p 0 [(q / r) 0 (s / k)] / m D) n / p / [(q / r) / (s / k)] / m E) n / p 0 [(q / r) 0 (s 0 k)] 0 m Yukarıdaki elektrik devresine karşılık gelen bileşik önerme aşağıdakilerden hangisidir? A) (a / b) / c / [d 0 (e / f)] / q B) (a 0 b) 0 c 0 [d 0 (e / f)] / q C) (a 0 b) / c / [d / (e / f)] / q D) (a 0 b) / c / [d 0 (e / f)] / q E) (a 0 b) / c 0 [d 0 (e 0 f)] 0 q 5 Mat foy BOOK.indb 5 18/08/18 20:24

14 Neler Öğrendik? 5. p & q koşullu önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? 8. [(1 & p) & 1] Q q önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) 1 C) p D) q E) q' A) p 0 q B) p' 0 q C) p 0 q' D) p' 0 q' E) p' / q 9. "a ve b tek sayı ise a. b tek sayıdır." bileşik önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? 6. (p & q) / (p' & q) önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) p' B) p C) q D) q' E) 1 A) a. b tek sayı değil ise a ve b tek sayı değildir. B) a. b tek sayı ise a ve b tek sayıdır. C) a ve b tek sayı değil ise a. b tek sayı değildir. D) a ve b tek sayı ise a. b tek sayı değildir. E) a. b tek sayı ise a ve b tek sayı değildir. 10. p / [(1 & 0) & 1] 0 [(0 & 0) & (1 & 0)] 7. I. p & 0 / p' II. p & 1 / 0 III. p & p / p IV. p & q / p' 0 q V. 1 & p / 0 Yukarıda verilen denkliklerden kaç tanesi kesinlikle yanlıştır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 q / 0 0 (1 & 0) r / [(1 & 0) 0 (0 & 0)] & 1 Yukarıda verilen önermelere göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) p & q / 0 B) (p & q) 0 r / 0 C) p & r / 0 D) p' & q' / 0 E) p Q r / 1 Cevaplar 1. B 2. A 3. E 4. D 5. B 6. C 7. B 8. E 9. A 10. A 6 Mat foy BOOK.indb 6 18/08/18 20:24

15 Neler Öğrendik? 2 1. (q / p) & (1 0 0) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p B) 1 C) q D) 0 E) p' 0 q' 4. [(q & 1')' & (1' & r)] & p önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p' B) q C) r D) p E) r' 2. [q / (q & r')'] 0 [q & r']' bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) q 0 r B) q / r C) q & r D) r & q E) r' & q 5. Aşağıdakilerden hangisi totolojidir? A) p & q B) (p' & q) 0 p' C) (p & q)' 0 (q 0 p)' D) r & (r & p) E) (p & q) 0 (q' & p') 3. (q & r') / (q & r) bileşik önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) q' B) q C) r D) r' E) 1 6. [r & (p 0 r)]' önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 0 B) 1 C) p / r' D) p / r E) r' 7 Mat foy BOOK.indb 7 18/08/18 20:24

16 Neler Öğrendik? 7. "Bugün sınav yapıldı ve başarılı geçti." önermesinin değili aşağıdakilerden hangisidir? A) Bugün sınav yapıldı ve başarılı geçmedi. B) Bugün sınav yapılmadı veya başarısız geçti. C) Bugün sınav yapıldı ve başarısız geçti. D) Bugün sınav yapılmadı ve başarılı geçti. E) Bugün sınav yapılınca başarılı geçer. 10. p: Ay Dünya'nın uydusudur. q: Dünya gezegenlerin uydusudur. önermeleri veriliyor. Buna göre, q & p' önermesi aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? A) Dünya gezegenlerin uydusu ise Ay Dünya'nın uydusu değildir. B) Dünya gezegenlerin uydusu ise Ay Dünya'nın uydusudur. C) Dünya gezegenlerin uydusu değil ise Ay Dünya'nın uydusudur. D) Ay Dünya'nın gezegeni ise Dünya gezegenlerin uydusudur. E) Ay Dünya'nın gezegeni değil ise Dünya gezegenlerin uydusudur. 8. (a = 6) & (a 3 = 216) koşullu önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) a 3! 216 & a! 6 B) a! 216 & a 3! 6 C) a 3! 216 & a = 6 D) a 3 = 216 & a! 6 E) a! 6 & a 3! "Berkan bugün gelmez ise yarın gelir." koşullu önermesinin karşıtı aşağıdakilerden hangisidir? A) Berkan bugün gelmez ise yarın gelmez. B) Berkan yarın gelir ise bugün gelmez. C) Berkan yarın gelmez ise bugün gelir. D) Berkan bugün gelir ise yarın gelmez. E) Berkan bugün gelir ise yarın da gelir. 9. "Karamel hasta ise veterinere gider." koşullu önermesinin karşıtı aşağıdakilerden hangisidir? A) Karamel hasta ise veterinere gitmez. B) Karamel veterinere giderse hastadır. C) Karamel veterinere giderse hasta değildir. D) Karamel hasta değil ise veterinere gider. E) Karamel hasta değil ise veterinere gitmez. 12. "Bugün yağmur yağar ise fotoğraf çekeceğim." önermesinin karşıt tersi aşağıdakilerden hangisidir? A) Bugün yağmur yağar ise fotoğraf çekmem. B) Bugün yağmur yağmaz ise fotoğraf çekerim. C) Fotoğraf çekmez isem bugün yağmur yağmıştır. D) Fotoğraf çekmez isem bugün yağmur yağmamıştır. E) Fotoğraf çeker isem bugün yağmur yağmıştır. Cevaplar 1. B 2. B 3. A 4. D 5. B 6. A 7. B 8. A 9. B 10. A 11. B 12. D 8 Mat foy BOOK.indb 8 18/08/18 20:24

17 Ortaöğretim Alanı MF - 03 Matematik Ders Föyü İki Yönlü Koşullu Önerme Ancak ve Ancak p ve q iki önerme olmak üzere, p ve q önermeleri aynı değerleri aldığında doğru, farklı değerler aldığında yanlış olan bileşik önermeye iki yönlü koşullu önerme denir ve p + q biçiminde yazılır. p ancak ve ancak q diye okunur. p q p + q Uygulayalım 1. Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a) (1 + 1) + 1 b) (0 + 1) + 1 c) (0 + 0) + 0 d) (1 + 0) Teorem p ve q iki önerme olmak üzere (p & q) ile (q & p) koşullu önermelerinin / işlemi ile birbirlerine bağlanmasından elde edilen (p & q) / (q & p) bileşik önermesi p, q bileşik önermesine denktir. NOT p + q / (p ( q) / (q ( p) 2. Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. a) [(1 + 1) & (1 + 1)] b) [(0 + 1) & (0 + 0)] + 1 c) [0 + 0) + (0 & 0)] + 0 İspat p q p & q q & p p, q p & q q & p [(q + 0) + (q + 1)] + p önermesinin en sade şekli nedir? p, q / (p & q) / (q & p) 1. a) 1 b) 0 c) 0 d) 0 p + q iki yönlü koşullu önermesinin doğruluk değeri 1 ise bu önermeye çift gerektirme denir. 2. a) 1 b) 1 c) 0 3. p 1 Mat foy BOOK.indb 1 18/08/18 20:24

18 Matematik Ders Föyü 03 Ancak ve Ancak Bağlacının Özellikleri p + q / (p & q) / (q & p) p + q / q + p p + q / p' + q' Uygulayalım 1. [(p & q) / (p / q)'] + p önermesinin en sade şekli nedir? (p + q), r / p + (q + r) (p + q)' / (p' + q) / (p + q') p + p / 1 p + p' / 0 p + 1 / p p + 0 / p' 2. (q' & r) 0 p / (1 & 0) olduğuna göre, q 0 (p + r) bileşik önermesinin doğruluk değeri nedir? Örnek (p + q) ^ (q ı + p) bileşik önermesinin denk önermesini bulunuz. Çözüm (p + q) ^ (q ı + p) ; (p + q) ı / p ı + q / p + q ı / (p + q) ^ (p ı + q) / (p + q) ^ (q + p) ı 3. Aşağıdakilerden kaç tanesi çelişkidir? I. p' + 1 II. p + 0 III. p + p' IV. p + r V. q + q / (p + q) ^ (p + q) ı a a ^ ı / 0 bulunur. Açık Önerme İçerisinde en az bir değişken bulunan ve bu değişkenlere verilen değerlere göre doğru ya da yanlış doğruluk değeri alabilen ifadelere açık önerme denir. 4. Doğal sayılar kümesinde "p(x) = 6x 3 + x 2 2x = 0" açık önermesinin doğruluk kümesini bulunuz. Açık önermeyi doğru yapan değerler kümesine açık önermenin doğruluk kü- mesi denir. x değişkenine bağlı olan açık önermeler p(x), q(x), r(x)..., sembollerinden biriyle, x ve y gibi iki değişkene bağlı olan açık önermeler p(x, y), q(x, y), r(x,y),... sembollerinden biriyle gösterilir {0} 2 Mat foy BOOK.indb 2 18/08/18 20:24

19 Matematik Ders Föyü 03 Niceleyiciler Önüne geldiği elemanların niceliğini (çokluğunu) belirten "her" ve "bazı" sözcüklerine niceleyici adı verilir. p(x) açık önermesi A kümesi üzerinde tanımlanmış olsun, A daki her eleman için p(x) doğru bir önerme oluyorsa, Uygulayalım 1. Aşağıdaki önermeleri kurallı bir cümle biçiminde ifade ederek doğruluk değerlerini bulunuz. a) 7x!N, x 3 < 10 b) 7x!R, x 4 + x 2 = 8 (6x! A), p(x) veya 6x, p(x) yazılır. Her biri, hepsi, bütünü anlamına gelen 6 sembolü evrensel niceliyicidir. "6x, p(x)" önermesinin doğru olması için, kümedeki bütün x değerlerinin p(x) önermesini doğrulaması gerekir. p(x) açık önermesi A kümesi üzerinde tanımlanmış olsun. A kümesi p(x)'i doğrulayan en az bir x elemanı varsa, 2. Aşağıdaki önermelerin olumsuzunu bulunuz. a) [(7x, x = 5) / (6x, x>0)] b) [7x!N, 7x 8 < 10] (7x! A), p(x) veya 7x, p(x) yazılır. Bazı, en az bir anlamlarına gelen 7 sembolü varlıksal niceleyicidir. 3. [(7x!R, x 6 = 0) & (6x!R, x + 5> 0)] bileşik önermesinin değilini bulunuz. "7x, p(x)" önermesinin doğru olması için çözüm kümesi boş olmamalıdır. Niceleyicilerin Olumsuzları (#)' / 2 (1)' / $ (=)' /! 6' / 7 4. Aşağıdaki önermeleri niceleme sembolleriyle yazıp doğruluk değerlerini ve kümelerini bulunuz. a) P: "Bazı x doğal sayıları için x 2 x = 0 dır." b) q: "Her x doğal sayısı için x 4 sayısı pozitiftir." c) r: "Bütün tek tam sayıların 8. kuvveti tektir." 7' / 6 (!)' / g [6x, p(x)]' / 7x, p'(x) [7x, p(x)]' / 6x, p'(x) 1. a) D 1 b) D 0 2. a) [(6x, x!5) 0 (7x, x#0)] b) [(6x!N) 7x 8 $10)] 3. (7x!R; x 6 = 0 / 7x!R, x + 5#0) 4. a) D 1 b) D 0 c) Doğru 3 Mat foy BOOK.indb 3 18/08/18 20:24

20 Matematik Ders Föyü 03 Tanım, Aksiyom, Teorem Bir terimi açıklayan önerme her durumda doğru ise bu önerme tanımdır. Doğruluğu ispat etmeye gerek duyulmadan kabul edilen önermelere aksiyom denir. Uygulayalım 1. "x ve y çift sayı ise x. y çift sayıdır." teoremini doğrudan ispat yöntemiyle ispatlayınız. Doğruluğu ispat edilebilen önermelere teorem denir. Bir teorem hipotez ve hükümden oluşur. p & q önermesinde p ye hipotez (varsayım), q ya hüküm (yargı) denir. 2. n bir doğal sayı olmak üzere; İspat Yöntemleri Olmayana Ergi Yöntemi (Dolaylı İspat) "x tek tam sayı ise x n tektir." teoremini olmayana ergi (dolaylı ispat) yöntemiyle ispatlayınız. p & q q' & p' olduğundan q' & p' önermesinin doğru olduğunu ispatlamak, p & q önermesinin de doğru olduğunu ispatlamak için yeterlidir. Bu ispat yöntemi dolaylı (olmayana ergi) yöntemi ile ispattır. Doğrudan (Direkt) İspat Yöntemi 3. "x bir doğal sayı ise x + 10 bir doğal sayıdır." teoremini çelişki yöntemi ile ispatlayınız. p & q gerektirmesinde p önermesinin doğru olduğu kabul edilerek, q önermesinin doğru olduğunu gösterme yöntemi doğrudan ispat yöntemidir. Çelişki Yöntemi Bir teoremde hükmün değilinden hareketle genel bir çelişki elde etme yöntemi çelişki yöntemi ile ispattır. (p & q)' (p' 0 q)' = p / q' denkliğinden yararlanılır. Deneme Yöntemi Bir açık önermede verilen bir kümenin her elemanı ayrı ayrı değişken yerine yazılarak önermenin doğruluğu gösterilebiliyorsa bu yönteme deneme yoluyla ispat denir. Aksine Örnek Vererek İspat Bir teoremin ispatında aksine bir örnek vererek hipotezin olmayacağı ve hükmün doğru olacağı ispat edilebiliyorsa bu yönteme aksine örnek verme yöntemiyle ispat denir. 1. p: (x ve y çift sayılardır.) (Hipotez), q: (x.y) çift sayıdır.) (hüküm) x bir çift sayı ise x = 2n olacak şekilde bir n!n vardır. y bir çift sayı ise x=2m olacak şekilde bir m!n vardır. x.y = 2n.2m=2. ( 2mn)=2k (k!n) olduğundan x.y çarpımı : çift olur. k Böylece p nin doğruluğu kabul edilerek q nun doğru olduğu gösterilir. 2. p &q / q' &p' p : (x tek tam sayı) & p': (x çift tam sayı) q : (x n tek tam sayı) & q': (x n çift tam sayı) q' & p': (x n çift tam sayı) & (x çift tam sayı) q' & p' : (x n çift tam sayı) ise x çift tam sayı olmalıdır. Oysa teoremde x tek tam sayı verildiğinden x çift tam sayı olamaz. Demek ki x n tek tam sayıdır. 3. p: x bir doğal sayıdır. q: x + 10 bir doğal sayıdır. P: Hipotez, q: Hüküm, p &q: Kabul, p &q/1 denkliğini göstermek için (p&q)'/0 denkliği gösterilmelidir. (p &q)'/(p'0q)'/p/q' olduğuna göre, p/q' / "x bir doğal sayıdır ve x+10 bir doğal sayı değildir." önermesinin doğruluk değeri p/q' /1/0/0 olur. (p&q)' /0 ise p&q=1 olur. 4 Mat foy BOOK.indb 4 18/08/18 20:24

21 1. (p & p) + (q ğ q') 4. [p + (p' + p)] 0 q Neler Öğrendik? 1 önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) p' C) p&q D) p/q E) p0q önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) p B) 1 C) 0 D) p' E) p&q 2. (q' 0 p)' + (p & q) önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisinde denktir? A) q' B) p+q C) q D) p E) p&q 5. (p & q) + (p 0 q) önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) p B) p' C) q D) q' E) 1 3. p v q bir çelişki olduğuna göre, (p + q) / (p / 1)' önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 1 B) 0 C) p D) q E) p / q 6. [(p & q) + (q' & p')] / p önermesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir? A) p B) p' C) 1 D) p / q E) q' 5 Mat foy BOOK.indb 5 18/08/18 20:24

22 Neler Öğrendik? 7. p + q önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p & q B) q & p 10. [(p + r) / r] & r önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) 1 B) 0 C) p D) r E) p' C) p + q' D) (p & q) / (q & p) E) (p & q) 0 (q & p) 8. (p / r) + p önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p & r B) r & p C) p D) r E) p + r 11. I. (x = 5) + (x 2 = 25) II. (x = 0) + (x 2 = 0) III. (x = 5) + (x 3 = 125) IV. (2x + 3y = 5) + (x = 1 ve y = 1) bileşik önermelerinden hangileri reel sayılarda bir çift gerektirmedir? A) I ve II B) I ve III C) II ve III D) III ve IV E) I, II, III ve IV 9. (p' + r') 0 (p' + r) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) p B) r C) p' D) 1 E) p / 1 p + (q 0 r) / 0 olduğuna göre, (q & r) / (p' + r) önermesi aşağıdakilerden hangisine denktir? A) q B) q' C) r D) p' E) 0 Cevaplar 1. B 2. A 3. A 4. E 5. C 6. A 7. D 8. A 9. D 10. A 11. C 12. B 6 Mat foy BOOK.indb 6 18/08/18 20:24

23 Neler Öğrendik? 2 1. "x = 10 ( 3x + 5 = 35 tir." teoremini olmayana ergi yöntemiyle ispat ediniz. 3. "Tek bir tam sayı ile çift bir tam sayının çarpımı çift bir tam sayıdır." teoremini deneme yöntemiyle ispatlayınız nin rasyonel sayı almadığını (irrasyonel olduğunu) çelişki yöntemini kullanarak ispat ediniz. 4. "a bir asal sayı ise tektir." önermesinin yanlış olduğunu aksine örnek vererek ispatlayınız. 7 Mat foy BOOK.indb 7 18/08/18 20:24

24 Neler Öğrendik? 5. Dolaylı ispat (olmayana ergi) yönteminde p' v q önermesi yerine aşağıdaki teoremlerden hangisinin ispatı yapılır? A) q' & p' B) p & q C) p' & q' D) p 0 q E) p / q 8. x d R olmak üzere "(x = 5) & (8x + 10 = 50)" teoreminin çelişki yöntemiyle ispatına aşağıdakilerden hangisi ile başlanır? A) (x! 5) ( (8x + 10 = 50) B) x! 5 ( (8x + 10! 50) C) (8x + 10)! 50 ( (x! 5) D) (x! 5) ( (8x + 10 = 50) E) (8x + 10 = 50) / (x! 5) 6. p & q önermesinde p önermesinin doğru olduğu kabul edilerek q önermesinin doğruluğu ispat edilirse p & q teoremi ispat edilmiş olur. Bu şekildeki ispat yöntemi aşağıdakilerden hangisidir? A) Çelişki yöntemi ile ispat B) Doğrudan ispat C) Olmayana ergi yöntemi ile ispat D) Aksine örnek vererek ispat E) Deneme yöntemi ile ispat 9. Teorem: "x = 5 ise 8x + 10 = 50 dır." İspat: I. x = 5 II. 8x = 8. 5 III. 8x + 10 = IV. 8x + 10 = 50 Yukarıdaki ispat yöntemi aşağıdakilerden hangisidir? A) Olmayana ergi yöntemi B) Tümevarım yöntemi C) Deneme yöntemi D) Doğrudan ispat yöntemi E) Çelişki yöntemi 7. Doğruluğu ispat etmeye gerek duyulmadan kabul edilen önermelere... denir. Yukarıda boş bırakılan yere aşağıdakilerden hangisi gelmelidir? A) Aksiyom B) Teorem C) Hipotez D) Hüküm 10. Doğruluğu ispatlanması gereken önermelere... denir. Yukarıda boş bırakılan yere aşağıdakilerden hangisi gelmelidir? A) Totoloji B) Aksiyom C) Teorem D) Hipotez E) Çelişki E) Çelişki Cevaplar 5. A 6. B 7. A 8. E 9. D 10. C 8 03_MAT_AYT_FOY_03.indd 8 18/08/18 21:21

25 Ortaöğretim Alanı MF - 04 Matematik Ders Föyü Bölme A, B ve C pozitif tam sayılar olmak üzere; - A K B C işlemine pozitif tam sayılarda bölme denir. 1. A - B 2 Uygulayalım 40 B Yandaki bölme işleminde A ve B pozitif tam sayılardır. Buna göre A'nın alabileceği en büyük değer kaçtır? A : Bölünen B : Bölen C: Bölüm K: Kalan A = B. C + K 2. A, B, C pozitif tam sayılardır. A B B C olduğuna göre, A nın 12 ile bölümünden kalan kaçtır? 0 G K < B K = 0 ise A sayısı B sayısına tam bölünebilir. K < C ise - A C B K yazılabilir. 3. A doğal sayısının 5 ile bölümünden kalan 2 dir. Buna göre, a) 3. A sayısının 5 ile bölümünden b) A 2 sayısının 5 ile bölümünden c) A 2 + 4A + 2 sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır? A, B, x, m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere; A nın x ile bölümünden kalan m, B nin x ile bölümünden kalan n olsun. Bu durumda; 4. a, b, c sıfırdan farklı pozitif tam sayılar, a 4 b 3 b 3 c 4 olduğuna göre, a'nın c türünden değeri nedir? A. B nin x ile bölümünden kalan m. n dir. A " B nin x ile bölümünden kalan m " n dir. k. A nın x ile bölümünden kalan k. m dir. A k nın x ile bölümünden kalan m k dir a) 1 b) 4 c) c Mat foy BOOK.indb 1 18/08/18 20:24

26 Matematik Ders Föyü 04 Bölünebilme Kuralları 2 ile Bölünebilme Birler basamağı çift sayı olan tam sayılar 2 ile tam bölünür. 3 ile Bölünebilme Rakamları toplamı 3'ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür. Bir tam sayının 3 ile bölümünden kalan, sayının rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir. Örnek 107 sayısının 3 ile bölümünden kalanı; = 8 ve 8 6 = 2, kalan 2 dir. 4 ile Bölünebilme Bir tam sayının son iki basamağı 00, 04 veya 08 ise ya da son iki basamağı 4 ile bölünüyorsa sayı 4 ile tam bölünür. Bir tam sayının 4 ile bölümünden kalan, sayının son iki basamağının 4 ile bölümünden kalana eşittir. Not 1. Beş basamaklı, rakamları farklı 5213a sayısının 2 ile tam bölünebilmesi için a nın alabileceği rakamların toplamı kaçtır? 2. Aşağıdaki sayılardan kaç tanesi 3 ile tam bölünür? a) 3636 b) c) d) Uygulayalım Son iki basamağı (ab) olan bir sayının 4 ile bölümünden kalan (2a+b) dir. 5 ile Bölünebilme Birler basamağı 0 veya 5 olan tüm sayılar 5 ile tam bölünür. 3. Altı basamaklı 12300a sayısı 4 ile bölünebildiğine göre a yerine yazılabilecek kaç farklı rakam vardır? Birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalan, sayının 5 ile bölümünden elde edilen kalana eşittir. 8 ile Bölünebilme Bir sayının son üç basamağındaki sayı 000 ya da 8 in katı ise sayı 8 e tam bölünür. Son üç basamağının 8 ile bölümünden kalan, sayının 8 ile bölümünden elde edilen kalana eşittir. Not n doğal sayısının 5 ile kalansız bölünebilmesi için n yerine yazılabilecek rakamların toplamı kaçtır? Son üç basamağı (abc) olan bir sayının 8 ile bölümünden kalan (4a+2b+c) dir. 9 ile Bölünebilme Rakamları toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür. Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalan eşittir. Örnek 5. 5 basamaklı sayısının 8 ile bölümünden kalan kaçtır? 1253 sayısının 9 ile bölümünden kalan; =11 ( 1+ 1 = 2 dir. 10 ile Bölünebilme Birler basamağı 0 olan sayılar 10 ile tam bölünür. Birler basamağındaki rakam, sayının 10 ile bölümünden kalanı verir Mat foy BOOK.indb 2 18/08/18 20:24

27 Matematik Ders Föyü ile Bölünebilme Verilen sayının rakamlarına en sağdan başlanılarak bir (+) bir ( ) işareti verilir. Elde edilen sayıların işaretlerine göre toplamı 11 ve 11 in katı ise sayı 11 ile tam bölünür Uygulayalım 1. 6 basamaklı 147a54 sayısının 9 ile bölümünden kalan 1 olduğuna göre, a kaçtır? a b c d e f g h (b + d + f +h) (a + c + e + g) = 11.k Sayı 11 ile tam bölünemiyorsa, kalanı bulmak için (+) lı rakamlar ile ( ) li rakamların farkının 11 ile bölümünden kalan bulunur. Sonuç negatif bir sayı ise, sayıya 11 eklenerek pozitif yapılır. Örnek Dört basamaklı x015 sayısı 11 ile tam bölünebilmektedir a4bc yedi basamaklı sayısı 10 ile bölündüğünde 4 kalanını vermektedir. Bu sayı 9 ile tam bölünebildiğine göre, a + b + c toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır? Buna göre, x kaçtır? Çözüm X (0 + 5) (x + 1) = 11.k 5 x 1 = 11.k 4 x = a1 altı basamaklı sayısı 11 ile tam bölünebildiğine göre, a kaçtır? x = 4 tür. Örnek Dört basamaklı 2z67 sayısı 11 ile bölündüğünde 6 kalanını veriyor. Buna göre, z kaçtır? Çözüm 2 z a84b dört basamaklı sayısı 11 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre, kaç farklı (a, b) ikilisi vardır? + + (z + 7) (2 + 6) = 6 z = 6 z 1 = 6 z = 7 bulunur Mat foy BOOK.indb 3 18/08/18 20:24

28 Matematik Ders Föyü 04 Aralarında Asal Sayılarda Bölünebilme Ortak bölenleri yalnız 1 olan sayılar aralarında asal sayılardır. Aralarında asal iki sayıya tam bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür. Uygulayalım 1. Dört basamaklı 3a4b sayısı 12 ile tam bölünebildiğine göre, a + b toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır? Bir sayı; hem 2 ile hem de 3 ile tam bölünüyorsa sayı 6 ya, hem 3 ile hem de 4 ile tam bölünüyorsa sayı 12 ye, hem 3 ile hem de 5 ile tam bölünüyorsa sayı 15 e, 2. Beş basamaklı a457b sayısı 45 ile tam bölünebildiğine göre, (a + b) toplamının en büyük değeri kaçtır? hem 3 ile hem de 8 ile tam bölünüyorsa sayı 24 e, hem 4 ile hem de 5 ile tam bölünüyorsa sayı 20 ye, hem 5 ile hem de 7 ile tam bölünüyorsa sayı 35 e, hem 5 ile hem de 9 ile tam bölünüyorsa sayı 45'e tam bölünür. 3. Beş basamaklı 23a5b sayısının 36 ile bölümünden kalan 18 olduğuna göre a yerine kaç farklı rakam gelebilir? Terim sayısı = Son Terim İlk Terim + 1 Artış Miktarı Not n- r r, (r + x), (r + 2x)..., n = + 1 x Örnek Dört basamaklı 4x6y sayısı 45 ile bölündüğünde 2 kalanını veriyor. Buna göre x'in alacağı değerler toplamı kaçtır? 4. Dört basamaklı 7a2b sayısının 45 ile bölümünden kalan 16 olduğuna göre, a nın alabileceği kaç farklı değer vardır? Çözüm Sayı 45 ile bölündüğünde 2 kalanını veriyorsa, 5 ve 9 ile bölündüğünde de 2 kalanını verir. Sayının 5 ile bölümünden kalanının 2 olması için y'nin 2 veya 7 olması gerekir. 5. İki basamaklı doğal sayılardan kaç tanesi 3 ile tam bölünür? y = 2 için 4x x = 12 + x = 9k x = 8 olmalı y = 7 için 4x x = 17+x = 9k x = 3 olmalı x'in alabileceği değerler toplamı; = 11 bulunur Mat foy BOOK.indb 4 18/08/18 20:24

29 Neler Öğrendik? 1 1. A B - 6B Yukarıdaki bölme işleminde A ve B pozitif tam sayı olmak üzere A en az kaçtır? A) 104 B) 107 C) 108 D) 110 E) A ve B birer pozitif tam sayıdır. A+ 3 B Yukarıdaki bölme işlemine göre, B nin A türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) A D) A B) A E) C) A A x 24 (x böler 24'ü) olduğuna göre, x in kaç farklı doğal sayı değeri vardır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 4 E) B K Yukarıdaki bölme işlemine göre B + K toplamı kaçtır? A) B) C) D) E) A, B, C birer pozitif tam sayıdır. A B B C bölme işlemleri veriliyor. Buna göre, C nin en küçük değeri için A kaçtır? A) 144 B) 148 C) 152 D) 182 E) ab sayısı rakamları toplamına bölündüğünde bölüm 6, kalan 3 oluyor. ba sayısı rakamları toplamına bölündüğünde bölüm 4, kalan 9 olduğuna göre ab sayısı kaçtır? A) 74 B) 75 C) 78 D) 84 E) 89 5 Mat foy BOOK.indb 5 18/08/18 20:24

30 Neler Öğrendik? a x - a 2 Yukarıdaki bölme işleminde a ve x birer doğal sayı olmak üzere, x aşağıdakilerden hangisi olabilir? sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 A) 3 B) 4 C) 7 D) 8 E) a Yukarıdaki bölme işlemine göre, a yerine kaç farklı rakam yazılabilir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) Rakamları farklı 6m54n sayısının 6 eksiği 15 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre, m yerine gelebilecek farklı rakamların toplamı kaçtır? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) A B - C 6 A, B ve C birbirinden farklı doğal sayılar olmak üzere, yukarıdaki bölme işleminde B ile C yer değiştirdiğinde kalan değişmemektedir. Buna göre, A nın alabileceği en küçük değer kaçtır? A) 60 B) 61 C) 62 D) 63 E) A - C B D Yukarıdaki bölme işlemlerine göre, 3. [(C + D) (A + B)] + 7 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 0 B) 1 C) 3 D) 7 E) 8 Cevaplar 1. B 2. A 3. D 4. E 5. A 6. B 7. D 8. C 9. C 10. A 11. B 12. D 6 Mat foy BOOK.indb 6 18/08/18 20:24

31 Neler Öğrendik? mn beş basamaklı sayısı 2, 3 ve 5 ile tam bölünebildiğine göre, m nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) xyz 9-3 Yukarıda verilen bölme işleminde x'i 2 arttırıp, y ve z'yi 3 er azaltarak elde edilen yeni sayının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 2. a, b ve c pozitif tam sayılarının 5 ile bölümünden kalanlar sırayla 3, 2 ve 1 dir. Buna göre, a 2 + b 3 + c 4 sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0 5. xyza dört basamaklı bir sayıdır. y 3z = 0 ve 2z 4 = x olduğuna göre, xyza sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için a kaç olmalıdır? A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 3. [79, 963] (79 ve 963 sayıları dahil) aralığındaki 3 ile tam bölünebilen sayılardan kaç tanesi 5 ile tam bölünebilir? A) 54 B) 55 C) 58 D) 59 E) a bir doğal sayı olmak üzere a < a + 1 < a + 2 < a + 3 < a + 4 tür. Buna göre bu beş doğal sayının çarpımı 5, 6, 7 ve 8 sayılarından kaç tanesine daima tam bölünür? A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0 7 Mat foy BOOK.indb 7 18/08/18 20:24

32 Neler Öğrendik? 7. xyz k ile 125 arasındaki sayılardan kaç tanesi 3 veya 5 ile tam bölünür? A) 40 B) 45 C) 48 D) 50 E) 55 x > y > z koşuluna uygun 9 ile tam bölünebilen kaç tane xyz sayısı vardır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) mn Rakamları farklı 6m45n beş basamaklı sayısının 6 eksiği 15 ile tam bölünebilmektedir. Yukarıdaki bölme işlemine göre m nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 11 B) 12 C) 13 D)14 E) 15 Buna göre m yerine gelebilecek farklı rakamların toplamı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) Üç basamaklı bir doğal sayının 12 ile bölümünden kalan 10 dur. Bu sayının her rakamının sayısal değeri 1 artırılırsa bölüm kaç artar? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) m4n 12 72m4n Yukarıda verilen bölme işlemlerine göre, m nin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 9 B) 12 C) 15 D) 18 E) 21 Cevaplar 1. B 2. B 3. D 4. A 5. E 6. B 7. C 8. A 9. B 10. B 11. D 12. B 8 Mat foy BOOK.indb 8 18/08/18 20:24