Bölüm 24 Gauss Yasası

Transkript

1 Bölüm 24 Gauss Yasası Elektrik Akısı Gauss Yasası Gauss Yasasının Yüklü Yalıtkanlara Uygulanması Elektrostatik Dengedeki İletkenler Öğr. Gör. Dr. Mehmet Tarakçı

2 Elektrik Akı Şekildeki gibi düzgün bir E elektrik alanını düşünelim. A yüzeyinden geçen elektrik alan çizgi sayısına elektrik akısı (electric flux) denir. (Bu akı tanımı diğer vektör alanlar içinde geçerlidir.) Buna göre Φ E (Greek phi) elektrik akısı : Φ E = EA SI birim sisteminde elektrik akı birimi Φ E N m2 C Bir noktadaki elektrik alan şiddeti, o noktadaki alan çizgi yoğunluğuna (birim yüzeyden geçen alan çizgi sayısına) eşittir.

3 Elektrik Akı Örnek 24.1 /s740 Bir Küreden Geçen Elektrik Akısı Merkezinden μc luk bir yük bulunduran m yarıçaplı bir küreden geçen elektrik akısı ne kadardır? Sonuç : Φ E = Nm 2 /C

4 Elektrik Akı Φ E = EA Φ E = 0 Φ E = EA = EA cos θ Φ E = E A Elektrik akısı, alan vektörü ile elektrik alan vektörünün skaler çarpımıdır. A yüzeyini vektör olarak gösterirsek A = An Burada n, şiddeti bir ve A alanına dik birim vektördür. s = A B = AB cos θ

5 Problem 24.1 Elektrik Akı Elektirk alanın E = 200 N/C olduğu bir bölgede bulunan r = m yarıçaplı bir disk θ = 30 açı ile şekildeki gibi durmaktadır. Disk yüzeyinden geçen elektrik alan akısı nedir? Sonuç : Φ E = 5.44 Nm 2 /C

6 Elektrik Akı Seçtiğimiz yüzey şekildeki gibi ise yüzey küçük A i parçalarına ayrılarak akı her bir yüzey öğesi için alınmalıdır. Daha sonra bu küçük parçaları tek tek toplayarak yapabiliriz. Φ E = E A Φ E = N i=1 E A i n i Eğer seçtiğimiz yüzey alan parçasını A sonsuz olarak küçültürsek, Φ E = E da yüzey Eğer seçtiğimiz yüzey kapalı bir yüzey ise, Φ E = E da yüzey

7 Elektrik Akı Örnek 24.2 /s743 Bir Küpten Geçen Elektrik Akısı Bir E alanına yerleştirilmiş her bir yüzey alanı l 2 olan bir küp düşünelim. Bu küpün yüzeyinden geçen toplam akıyı hesaplayalım. Sonuç : Φ E = 0

8 Problem 24.2 Elektrik Akı Şekilde gösterilen +q yükü, kenar uzunluğu d olan kare şeklindeki yüzeyin merkezinden d/2 kadar yükseğe yerleştirilmiştir. q yükünün bu yüzeyden geçirdiği elektrik akısı nedir?. Sonuç : Φ E = σ 6ε o

9 Problem 24.3 Örnek 24.1'deki kürenin yarıçapı m olarak değiştirildiğini varsayalım. Küre yüzeyinden geçen akının ve küre yüzeyindeki elektrik alanının büyüklüğüne ne olur? (a) Akı ve alanın her ikisi de artar. (b) Akı ve alan her ikisi de azalır. (c) Akı artar ve alan azalır. (d) Akı azalır ve alan artar. (e) Akı aynı kalır ve alan artar. (f) Akı azalır ve alan aynı kalır. Elektrik Akı

10 Problem 24.4 Elektrik Akı İçinde yük olmayan kapalı bir kap elektrik alanına yerleştirelim. Kabın yüzeyinden geçen elektrik akısının sıfır olması, (a) Elektrik alan düzgünse, (b) kabın simetrik olması, (c) kabın belirli bir şekilde olması veya (d) şart yok - toplam elektrik akısı ne olursa olsun sıfırdır.

11 Problem 24.5 Elektrik Akı Eğer yüzey kapalı ise, örneğin küre, küp, silindir veya kendi üzerine kapanan herhangi bir üç boyutlu şekil, bu gibi kapalı yüzeylerden geçen toplam akıyı bulmak için bütün yüzeylerden geçen akıyı hesaplamak gerekir. Aşağıdaki şekilde +q yükünü çevreleyen iki farklı durum için akı değerleri Φ E = E da Φ E = 0 Φ E 0 Eğer kapalı bir yüzeyden geçen elektriksel akı miktarı sıfır ise bu yüzeyin çevrelediği bölge içinde net yük sıfırdır. Bu kapalı yüzeyden geçen net akı sıfırdan farklı ise mutlaka bu yüzey net bir yükü çevreliyor demektir.

12 Negatif ve Pozitif Akı Elektrik Akı Pozitif bir q yükünü içine alan bir Gauss yüzeyinden (dışadoğru) geçen akı pozitiftir. Negatif bir q yükünü içine alan bir Gauss yüzeyinden (içedoğru) geçen akı negatiftir.

13 Gauss Yasası Gauss yasası, Coulomb yasasına alternatiftir ve tamamen ona eşdeğerdir. Gauss Kanunu, kapalı bir yüzeyden (Gauss yüzeyi denir) geçen net elektrik akısıyla yüzey tarafından çevrelenen yük arasındaki ilişkiyi veren bir yasadır. Merkezinde noktasal +q yükü bulunan r yarıçaplı bir küre yüzeyini düşünelim, Carl Friedrich Gauss Elektrik alanın yönü merkezden dışa doğrudur. Bu nedenle bu yükü çevreleyecek şekilde seçilecek küresel bir Gauss yüzeyine elektriksel alan çizgileri her noktada diktir ve değeri Coulomb Yasasına göre, E = k q r 2 r k = 1 4πε o

14 Gauss Yasası Gauss yüzeyinden geçen net elektrik akısı Φ E = E da = q ε o ε o = C 2 Nm 2 k = 1 4πε o = 8, Nm 2 C 2 Not: Gauss Kanunu; yük ve yükler sistemi veya sürekli bir yük dağılımının elektrik alanını bulmak için kullanılabilir. Bununla birlikte, uygulamada bu tür çözümler yalnızca yüksek simetrili sınırlı sayıda durumlar için uygulanabilir. Gauss Kanununu pratikte kullanışlı hale getirmek için Gauss yüzeyini seçerken E yi integral dışına alıp (yüzey alanından bağımsız hale getirip) daha sonra onu çözebilecek biçimde yük dağılımı simetrisinden her zaman faydalanmak gerekir

15 Gauss Yasası Problem 24.4 Şekildeki gibi, -q ve +q yüklerinin (dipol) oluşturduğu sistemi çevreleyen A, B, C, D kapalı yüzeylerinden geçen elektrik akıların durumu için ne söylenebilir? Φ E = E da = q ε o A : +q yükü içeriyor geçen akı dışa doğru ve q/ε o, B : -q yükü içeriyor geçen akı içe doğru ve -q/ε o, C : net yük sıfır olduğundan akıda sıfırdır, D : yük içermediğinden akı sıfırdır. Buna göre eğer bir yüzeyden geçen akı biliniyor ise, bu akıya neden olan yük dağılımı bulunabilir veya tersi olarak verilen bir yük dağılımından bu yükün herhangi bir noktada oluşturacağı elektriksel akı (dolayısı ile elektrik alan) bulunabilir.

16 Problem 24.5 Şekilde görüldüğü gibi q 1, q 2 ve q 3 yükleri S 1, S 2, S 3, S 4 ve S 5 yüzeyleri ile çevrilmiştir. q 1 = C q 2 = C q 3 = C verilenlerine göre yüzeylerden geçen elektrik akısı nedir? Gauss Yasası

17 Gauss Yasası Örnek 24.5 /s747 Küresel Simetrik Yük Dağılımı a yarıçaplı, içi dolu yalıtkan bir kürenin düzgün yük yoğunluğu r ve toplam yükü q dür. A, B ve C noktalarındaki elektrik alan değerlerini veren ifadeleri elde ediniz?

18 Gauss Yasası Örnek 24.6 /s748 İnce Küresel Bir Kabuğun Elektrik Alanı a yarıçapa sahip ince bir küresel kabuk, yüzeyinde düzgün bir şekilde dağılmış olan toplam yüke Q sahiptir. Küresel kabuğun (A) dışında ve (B) içindeki elektrik alanı bulunuz.

19 Gauss Yasası Örnek 24.7 /s748 Silindirik Simetrik Yük Dağılımı Sonsuz uzunlukta doğrusal bir iletken tel λ sabit doğrusal yük yoğunluğuna sahiptir. Telden r kadar uzaktaki bir P noktasında oluşan elektrik alanın değeri nedir? Gauss yüzey seçimi ile hesaplama yapmak zor olduğundan bu problem için küresel Gauss yüzeyi seçimi yanlış olur.

20 Gauss Yasası Örnek 24.8 /s749 Yüklü iletken plaka Yüklü iletken sonsuz büyüklükteki bir plakanın oluşturduğu elektriksel alanın değeri nedir?

21 Gauss Yasası Problem 24.6 İki paralel iletken tabaka arasındaki alan İki büyük düzlem paralel iletken levhaya eşit büyüklük ve zıt yükler ile yüklenir. Plakalarda oluşan yüzey yoğunlukları +σ ve σ'dir. Plakalar arasındaki bölgedeki elektrik alanını bulun. Gerçek durum İdeal durum

22 Elektrostatik Dengedeki İletkenler İletken maddeler içinde net bir yük hareketi olmadığı için madde elektrostatik dengededir. Elektrostatik dengedeki bir iletkenin özellikleri; İletken içinde her yerde elektrik alan sıfırdır, Yalıtılmış bir iletkende bir yük varsa bu yük, iletkenin yüzeyinde bulunur,

23 Elektrostatik Dengedeki İletkenler İçinde küçük iplik parçaları bulunan yağ içine, şekilde görüldüğü gibi yüklü iletken bir plaka ve plakanın yakınına yüklü iletken bir silindir yerleştirilmiştir. Yağ içindeki küçük iplik parçaları elektrik alan yönünde yöneldikleri görülmektedir. Yüklü iletkenler çevresinde oluşan elektrik alan için, 1) alan çizgilerinin her iki iletkene dik olduğu, 2) silindirin (E # 0) içinde çizgi bulunmadığına dikkat edin.

24 Yüklü iletkenler Elektrostatik Dengedeki İletkenler

25 Gauss Yasası Problem 24.6 İçinde bir oyuk olana katı bir iletken toplam nc yük taşır. İletkenden yalıtılmış boşluk içinde nc'lik bir nokta yükü vardır. İletkenin her yüzeyinde (iç ve dış) ne kadar yük toplanır? Sonuç : q iç = 5.00 nc q dış = 2.00 nc

26 Gauss yasasının deneysel testi Gauss Yasası Bu deney İngiliz fizikçi Michael Faraday tarafından 19. yüzyılda yapılmıştır. Bu yüzden Faraday kafesi olarak adlandırılmıştır.

27 Faraday kafesi Gauss Yasası

28 Elektrostatik Dengedeki İletkenler Yüklü bir iletkenin yüzeyindeki elektrik alan Φ E = E da = q ε o E = σ ε o Yüklü bir iletkenin hemen dışındaki elektrik alan, iletken yüzeyine dik ve σ/ε o büyüklüğündedir.

29 Problem 24.7 /Dünya üzerindeki elektrik alan Dünya bir iletkendir ve net bir elektrik yüküne sahiptir. Bu yükün yere yakın yerlerde oluşturduğu ortalama elektrik alan merkeze yönelmiş ve 150 N/C değerindedir. a) Yüzey yük yoğunluğunu ve b) Dünya nın toplam yükü nedir? R = m ε o = C 2 Nm 2 Gauss Yasası Sonuç : σ = C/m 2 = 1.33 nc/m 2 q = C a) b)

30 Gauss Yasası Problem 24.7 /Dünya üzerindeki elektrik alan a yarı çaplı iletken, dolu bir kürede net artı 2Q yükü bulunuyor. İç yarıçapı b, dış yarıçapı c olan iletken küresel bir tabaka, dolu küreyle aynı merkezdedir ve net Q yükü taşımaktadır. Gauss yasasını kullanarak, tüm sistem elektrostatik dengede iken kürenin içinde, küre ile tabaka arasında, tabakanın içinde ve dışındaki elektrik alanını ve küresel yük dağılımını bulunuz.

31 Gauss Yasası

32 Gauss Yasası

33 Konu sonunda kitapta verilen problemler Fen ve Mühendisler için Fizik Raymond A. Serway, Robert J. Beichner ( s )