FİZ Titreşimler ve Dalgalar
|
|
- Emin Sunay
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 FİZ Titreşimler ve Dalgalar Güz dönemi ders notları* Prof. Dr. Hüseyin Çelik *Bu ders notları esas olarak aşağıda verilen kaynak kitaplar kullanılarak hazırlanmıştır. 1. Titreşimler ve Dalgalar; A. P. French. 2. Vibrations and Waves; George C. King 3. The Physics of Vibrations and Waves; H. J. Pain 4. Dalgalar, Berkeley Fizik Dersleri, Cilt 3; Frank S. Crawford, Jr. 5. University Physics, Sears and Zemansky 6. Fundamental Physics, Halliday, D., Resnick, R.,and Walker, J. 7. Calculus and analytic geometry; George B. Thomas, Jr. 1
2 Dersin içeriği Periyodik hareketler; Periyodik hareketlerin üst üste gelmesi; Fiziksel sistemlerin serbest salınımları; Sönümlü harmonik hareketler; Zorlamalı salınımlar ve rezonans kavramı; Çiftlenimli salınımlar ve normal modları; Zorlamalı çiftlenimli osilatörler ve rezonans olayı; N kütleli enine ve boyuna çiftlenimli osilatörler ve normal modları; Sürekli sistemlerin normal modları ve Fourier analizi; Gerilmiş bir ip üzerinde normal modların üst üste gelmesi; Gerilmiş ipin zorlamalı titreşimleri; Bir çubuğun boyuna titreşimleri; Hava borularında boyuna titreşimler ve ses dalgaları; İki ve üç boyutlu sistemlerin normal modları; İlerleyen dalgalar; Tek boyutta dalga denkleminin türetilmesi; Tek boyutta dalga denkleminin değişkenlerine ayırma yöntemiyle çözümü; İlerleyen dalgaların üst üste binmesi; Duran dalgalar; Dispersiyon, faz hızı ve grup hızı; Mekanik dalgaların enerjsi ve bir dalga tarafından taşınan enerji; İki ve üç boyutta dalga denklemi ve değişkenlerine ayırma yöntemiyle çözümleri; Elektromanyetik dalga denkleminin türetilmesi ve düzlem dalga çözümleri; Elektromanyetik dalganın enerjisi ve Poynting vektörü; Elektromanyetik dalgaların kutuplanması. Düzlem dalgalarının yansıması, kırınımı ve girişimi. Sınavlar: 1. Ara Sınavı: 16 Kasım 2014 (PAZAR) Ara Sınavı: 28 Aralık 2014 (PAZAR) Başarı notunun hesabı: 1. Ara sınav 25%, 2. Ara sınav 25% ve Genel sınav 50% alınır. Öğrencinin başarılı sayılması için genel sınavda en az 40/100 almalıdır. Bu hesabın yapılması ve başarı notunun verilmesinde öğrenci yönetmeliğinin 23. ve 24. maddeleri uygulanır. 2
3 Ders yılı ders günleri Tarih Salı Perşembe X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 3
4 HAFTALARA GÖRE İŞLENECEK KONULAR (Tahmini) Haftalar Tartışılacak işlenecek konular: 1. Hafta Periyodik hareketler.basit harmonik hareketin dönme vektörü ve kompleks üstel fonksiyonla tanımlanması Periyodik hareketlerin üst üste gelmesi. 2. Hafta Aynı frekanslı iki dalganın tek boyutta üst üste gelmesi.farklı frekanslı iki dalgaların tek boyutta üst üste gelmesi, vurular. Aynı frekanslı birçok titreşimin üst üste gelmesi. Aynı ve farklı frekanslı dik titreşimlerin üst üste gelmesi. Lissajous eğrileri. 3. Hafta Fiziksel sistemlerin serbest salınımları. Basit sarkaç Kompleks üstel fonksiyon kullanarak harmonik osilatör denkleminin çözümü. Burulma sarkacı; Fiziksel sarkaç; Elektrik devrelerinde osilasyonlar. 4. Hafta Sönümlü harmonik hareket denklemi: Kritik üstü, kritik ve kritik altı sönüm durumlarının incelenmesi. Sönümlü harekette enerji kayıp oranı. Sönümlü harmonik harekette kalite faktörü. Sönümlü elektriksel osilasyonlar. 5. Hafta Sönümlü ve sönümsüz osilasyonlar için zorlamalı harmonik hareketin denklemi. Zorlamalı osilasyon süresince güç soğrulması. Elektrik devrelerinde rezonans. Geçiş olayı. Kompleks fonksiyonların sönümlü zorlanmalı osilasyonlarıda kullanımı. 6. Hafta Çiftlenimli salınıcıların fiziksel karakteristikleri. Sarmal yaylarla çiftlenimli yapılmış kütlelerin salınımı. Normal modların üst üste gelmesi. Çiftlenimli salınıcıların zorlanımlı titreşimi ve rezonans. 7. Hafta N-tane kütleden oluşan çiftlenimli salınıcılar ve normal modlarının bulunması.. Enine ve boyuna salınımlar. N nin çok büyük olma durumu. Bir Kristal örgünün normal modları. 8. Hafta Sürekli sistemlerin tanımı. Bir boyutlu dalga denkleminin türetilmesi. Bu denklemin değişkenlerine ayırma yöntemiyle çözümü. Gerilmiş ip üzerinde modların üst üste gelmesi. Gerilmiş ipin zorlanımlı harmonik hareketi. 9. Hafta Young modülü, ve hacim modülü kavramları.bir çubuğun boyuna titreşimlerinin incelenmesi.hava borusunun boyuna titreşimleri ve ses dalgası. İki ve üç boyutlu sistemlerin titreşimi modları.fourier serilerinin titreşim modlarının incelenmesinde kullanımı. 10. Hafta İlerleyen sinüzoida dalgalar. Dalgaların sınıflandırılması. İlerleyen dalgalar ve normal modları. Bir yönde ilerleyen dalgalar. Dalga atmaları. Dalga atmalarının üst üste gelmesi. Dispersiyon; faz hızı ve grup hızları. Mekaniksel dalgaların enerjisi ve bir dalga tarafından taşınan enerji. 11. Hafta Maxwell denklemlerinin integral ve diferansiyel biçimleri.elektromanyetik dalga denklemi ve düzlem dalga çözümleri. 12. Hafta Elektromanyetik dalgalarda enerji., Elektromanyetik dalgalarda enerji akışı ve Poynting vektörü. Düzlem elektromanyetik dalgaların kutuplanması. 13. Hafta Sınır etkileri ve girişim: Dalga pulslarının yansıması, yansıma ve geçme katsayıları. Huygens ilkesi. Huygens ilkesi ve yansıma. Huygens ilkesi ve kırılma. 14. Hafta Girişim, çift yarıkta girişim. İnce filmlerde girişim. Çok yarıkta girişim. Kırınım, tek ve çok yarıklı sistemlerde kırınım. NOT: Ders notlarına adresinden ulaşabilirsiniz. 4
5 1.1 PERİYODİK HAREKETLER BÖLÜM-1 Bu derste sık kullanacağımız bazı tanımlamalar aşağıda verilmiştir. Belirli aralıklarla tekrarlanan harekete periyodik hareket denir. Sabit bir nokta etrafında, bir doğru boyunca, periyodik hareket yapan cismin hareketine titreşim hareketi denir. Genellikle zamanın sinüs veya kosinüs fonksiyonları olarak ifade edilen periyodik hareketlere harmonik hareket denir. Böyle hareket yapan bir parçacığın hiçbir kuvvetin (bileşke kuvvet) etkisinde kalmadığı konuma denge konumu denir. Herhangi bir andaki konumun denge konumuna olan uzaklığına uzanım denir. Uzanımın maksimum değerine genlik denir. Parçacığı denge konumuna geri getirmeye çalışan kuvvet, uzanımla orantılı ise bu titreşim hareketine basit harmonik hareket (kısaca BHH) denir. Basit harmonik harekette uzanımın zamanla değişimi basit sinüs (veya kosinüs) fonksiyonu şeklindedir. Bu nedenle basit harmonik harekete sinüzoidal hareket denir. Titreşim, denge konumu etrafındaki zamana bağlı salınımlardır. Titreşim hareketi zamana bağlı y(t) gibi bir fonksiyonla ifade edilebilir. Dalga hareketinin oluşumunun ana kaynağı titreşimdir. Ancak her titreşim dalga hareketi oluşturmayabilir. Dalga titreşimin bir yerden başka bir yere taşınmasıdır. Bu harekette hem zaman ve hem de konum değişir. Bu nedenle dalga hareketi hem konuma ve hem de zamana bağlı harekettir ve y(x, t) şeklinde bir fonksiyonla ifade edilebilir. 5
6 1.2 BASİT HARMONİK HAREKETİN DÖNME VEKTÖRÜ İLE TANIMLANMASI Burada kısaca basit harmonik hareket ile düzgün dairesel hareket arasındaki ilişkiye değineceğiz. Şekil-1 de xy-düzleminde merkezi orijinde olan A yarıçaplı bir çember üzerinde düzgün dairesel hareket yapan bir parçacık gösterilmiştir. Şekil-1.1 Parçacık t = 0 anında çember üzerindeki P 0 noktasından sabit açısal hızı ile harekete başladığını kabul edelim. OP 0 vektörünün x-ekseninin pozitif tarafı ile yapmış olduğu açı olsun. Parçacığın t kadar zaman sonra çember üzerinde bulunduğu yeri belirleyen OP vektörünün x-ekseninin pozitif tarafıyla yapmış olduğu açısı ise θ = ωt + α (1.1) ifadesi ile verilecektir. Parçacık çember üzerinde sabit açısal hızla dönmesine devam ederse, OP vektörünün x-ekeni üzerindeki izdüşüm ayağı olan Q noktası ise +A ile A arasında basit harmonik hareket (BHH) yapar. Bu durumda Q noktasının yerini x = Acos(ωt + α) (1.2) 6
7 ifadesi ile belirleyebiliriz. Bu bağıntı basit harmonik hareketin denklemidir. Burada A hareketin genliği, açısal frekansı ve faz sabitidir. Benzer şekilde P noktasının y-ekseni üzerindeki izdüşümü için ise y = Asin(ωt + α) (1.3) yazabiliriz. Yani y-ekseni üzerindeki izdüşüm de basit harmonik hareket yapar. Orijinden parçacığın bulunduğu P noktasına giden OP vektörüne yer (veya konum) vektörü dendiğini biliyorsunuz. Bu vektörün boyunu r, x-ekseninin pozitif tarafıyla yaptığı açıyı ile gösterirsek, parçacığın bulunduğu P noktasının yerini (r, ) polar koordinatlar ile de belirleyebiliriz. Şekil-1.2 Dairesel hareket yapan cismin dik koordinatları ile polar koordinatları arasındaki ilişki. Dik koordinatlar ile polar koordinatlar arasındaki ilişkinin x = rcosθ ve y = rsinθ (1.4) ifadeleri ile verildiğini biliyoruz. Bu durumda OP vektörünü şeklinde yazabiliriz. OP = xi + yj = rcosθi + rsinθj (1.5) 7
8 Şimdi bu ifadeyi başka bir şekilde ifade etmeye çalışalım: r = x + iy (1.6) Eşitlik-1.6 nın aşağıda söylenenleri temsil ettiği varsayılacaktır: x gibi bir yer değiştirme herhangi bir sınırlayıcı faktör olmaksızın x- ekenine paralel yapılmalıdır. iy teriminin y-eksenine paralel bir yönde y yer değiştirmesi yaptırması gerektiği anlaşılmalıdır. Gerçekte x e iy nin ilavesi olarak anlaşılan z ifadesi yukarıda tanımlanan r ile aynı olmalıdır yani z = x + iy (1.7) i sembolüne eskiden ne anlama gelirse gelsin burada saat ibrelerinin tersi yönünde 90 0 lik (= π/2 radyan) dönme yaptıran bir nicelik olarak bakacağız. ib niceliğini oluşturmak için, x-ekseni boyunca b kadarlık bir mesafe ilerlenir ve sonra y-ekseni boyunca b uzunluğundaki bir yer değiştirme ile bitmek için 90 0 dönülür. i 2 b niceliğini oluşturmak için önce ib oluşturulur ve ona 90 0 lik bir dönme uygulanır. Çünkü i 2 b niceliği i(ib) şeklinde yazılabilir. Burada arka arkaya iki dönmenin b yer değiştirmesini b yer değiştirmesine döndüreceği anlaşılır. Böylece cebirsel bir eşitlik elde ederiz: i 2 = 1 (1.8) i niceligini cebirsel olarak konuşmak gerekirse -1 nin kare kökü olarak bakabiliriz. Başka bir deyişle i niceliği gerçek (reel) bir değer değildir. i niceliği sanal (imajiner) bir değerdir. Bu durumda Eşitlik-1.7 kompleks bir değeri temsil etmektedir. Şimdi y bileşeninin uzunluğu b, x bileşeninin uzunluğu a olan bir z vektörünü ele alalım (Burada z vektörünün kompleks uzayda bir vektör olduğunu unutmayalım) ve "iz nedir? sorusunu yanıtlayalım. olduğuna göre (Şekil-1.3a) z = a + ib (1.9) 8
9 iz = ia + i 2 b = ia b (1.10) yazabiliriz. Bu vektörün bileşenleri Şekil-1.3b de gösterilmiştir. Burada iz vektörü, z vektörünün 90 0 lik bir ilave dönme ile meydana getirildiğine dikkat ediniz. Şekil-1.3 (a) Kompleks düzlemde z vektörünün gösterimi. (b) z vektörünün i ile çarpımından elde edilen iz vektörü (Bu iki vektörün dik olduklarına dikkat ediniz) Bu çeşit bir analiz cebir ile geometri arasında uygun bir köprü kurar. Eğer a ve b nicelikleri gerçek (reel) sayılar ise z = a + ib (1.11) toplamı kompleks bir sayı olacaktır. Fakat geometrik olarak Şekil-1.3a dan da açıkça görüleceği gibi tanθ = b/a olacak şekilde x-ekseninden itibaren belli bir θ açısı yapan eksen boyunca bir yer değiştirme söz konusudur. Bir kompleks sayı ile bir vektörü bu şekilde temsil ederek BHH i analiz etmek için fiziksel olarak uygun bir yönteme sahip olduğumuza dikkat ediniz. Bu yöntemle bir titreşim hareketi problemini çözdükten sonra, a ve b değerleri gerçek olan z = a + ib şeklinde bir sonuç elde edilir. 9
10 1.3 e iθ KOMPLEKS ÜSTEL FONKSİYONU ve BU FONKSİYONLA BHH in TANIMLANMASI Biraz önceki tartışma daha önceki analizlerimize fazla bir katkıda bulunmuş gibi gözükmüyor. Şimdi tanımlayacağımız kompleks üstel fonksiyon, ele alınan titreşim problemlerini kolaylaştırması bakımından önemlidir. Titreşimlerin analizinde, periyodik yer değiştirme ve bu yer değiştirmenin zamana göre birinci türevi olan hız ve ikinci türevi olan ivme ile ilgileneceğiz. Hareketi tanımlayan yer değiştirme, hız ve ivme ifadeleri sinüs ve kosinüs fonksiyonları içerir. Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının seriye açılımları yapılırsa sinθ = θ θ3 3! + θ5 5! (1.12a) cosθ = 1 θ2 2! + θ4 4! (1.12b) ifadeleri elde edilir (Bunun için Calculus and analytic geometry; George B. Thomas, Jr. kitabına bakınız). Bu iki ifade kullanılarak cosθ + isinθ toplamı için cosθ + isinθ = 1 + iθ θ2 2! θ3 i + θ4 θ5 + i (1.13) 3! 4! 5! ifadesini elde ederiz. Bu ifadede -1 yerine i 2 yazılarak yeniden düzenlenirse, cosθ + isinθ = 1 + iθ + (iθ)2 2! + (iθ)3 3! + (iθ)4 4! + (iθ)5 5! + + (iθ)n n! ifadesi elde edilir. Bu eşitliğin sağ tarafı e iθ nın seri açılımıdır. Bu durumda eşitlik (1.14) cosθ + isinθ = e iθ (1.15) şeklinde yazılabilir. Trigonometrik fonksiyonlarla kompleks üstel fonksiyonlar arasındaki ilişkiyi gösteren bu ifade Leonhard EULER tarafından 1748 de elde edilmiştir ve onun adıyla anılır. Genellikle e iθ ile bir z kompleks sayısının çarpımı, z nin uzunluğunu değiştirmeden açısı kadar dönmesini tanımlar. 10
11 Harmonik hareketi tanımlayan yer değiştirme (x), hız (v) ve ivme (a) ifadeleri sinüs ve kosinüs fonksiyonlarını içerir. Örneğin BHH için, x = Acos( t + α) ve y = Asin( t + α) v = dx dt = Asin( t + α) (1.16b) a = dv dt = d2 x dt 2 = 2 Acos( t + α) = 2 x ifadelerinin geçerli olduğunu biliyoruz (Bu konuya daha sonra tekrar döneceğiz). Diğer taraftan, x ve y nin x+iy şeklindeki bir toplamı ile ilgileniyorsak aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz, (1.16a) (1.16c) z = Acos( t + α) + iasin( t + α) = Ae i( t+α) (1.17) Bu ifadede z nin reel kısmı x i göstermektedir. Hız ve ivmeye karşılık gelecek vektörler için ifadelerini yazabiliriz. Bu üç vektör Şekil-1.4 de gösterilmiştir. dz dt = i Aei( t+α) = i z d 2 z dt 2 = (i )2 Ae i( t+α) = 2 z (1.18a) (1.18b) Şekil-1.4 (a) Kompleks yer değiştirme vektörü z ve onun reel bileşeni x. Hız vektörü dz dt ve onun reel bileşeni dx/dt. (c) İvme vektörü d2 z/dt 2 ve onun reel bileşeni d 2 x/dt 2. (b) 11
12 Üç vektör arasındaki faz ilişkisi ilk bakışta görülür. Burada i nin her uygulanması faz açısında /2 kadarlık bir artışa karşılık geldiğine yani saat ibrelerinin tersi yönde /2 kadarlık dönüler sağladığına dikkat ediniz. 1.4 de MOİVRE FORMÜLÜ (Teoremi) İlerideki analizlerimizde faydalanacağımız bir formülü de kısaca tanıtmakta fayda vardır. de Moivre tarafından kompleks üstel fonksiyonların kuvvetlerinin ve köklerinin nasıl alınacağını gösteren çok kullanışlı bir formül olup kendi adı ile anılmaktadır. ifadesinin n.inci kuvveti için yazılabilir. z = re iθ (1.19) z n = r n e inθ = r n (cosnθ + isinnθ) (1.20) Benzer şekilde, z 1/n de bulunur. Bunun için kutupsal yazılıma, gerektiği kadar 2 ekleyelim, Şimdi z 1/n için z = r[cos(θ + 2kπ) + isin(θ + 2kπ)] = re i(θ+2kπ) (1.21) z 1/n n = r [cos ( θ+2kπ n ) + isin ( θ+2kπ )] (1.22) ifadesini yazabiliriz. Burada k=0,1,2,3,...,n-1 değerlerini alabilir. Şu halde tüm kompleks sayılar için z 1/n ifadesinin n tane farklı kökü vardır. Kompleks sayılar, çağdaş mühendislikte yer alan titreşimsel hareketler, harmonik salınımlar, sönümlü titreşimler, alternatif akımlar ve dalga olaylarının incelenmesinde uygun bir matematik dilidir. n Burada kompleks sayıların, sık sık kullanacağımız, bazı özelliklerini kısaca hatırlatmada fayda vardır: z 1 = x 1 + iy 1 ve z 2 = x 2 + iy 2 gibi iki kompleks sayı verilmiş ise, 12
13 Eşitlik: z 1 = z 2 ise x 1 = x 2 ve y 1 = y 2 Toplama: z 1 + z 2 = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ) Çarpma: z 1 z 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2 )+i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) Bölme : z 1 z 2 = x 1+iy 1 x 2 +iy 2 = x 1+iy 1 x 2 iy 2 = (x 1x 2 +y 1 y 2 )+i((x 2 y 1 x 1 y 2 ) (x 2 +iy 2 )( x 2 iy 2 ) x 2 2 +y2 2 x: z in gerçel (reel) kısmıdır ve x=rez ile gösterilir. y: z in sanal (imajiner) kısmıdır ve y=imz ile gösterilir. z = x 2 + y 2, z nin mutlak değeri veya normu veya büyüklüğü olarak adlandırılır. z = x iy, z nin kompleks eşleniği olarak adlandırılır. x = z+z 2, y = z z 2i (z 1 + z 2 ) = z 1 + z 2 (z 1 z 2 ) =z 1 z 2 cosθ = eiθ +e iθ 2 sinθ = eiθ e iθ yazabiliriz. 2i ÖRNEK-1 z 1 = a + ib, z 2 = c + id olan z = z 1 z 2 ifadesi ile verilen bir z vektörünü göz önüne alınız (i = 1). a) z 1 ve z 2 nin büyüklükleri çarpımının z nin büyüklüğüne eşit olduğunu gösteriniz. b) x-ekseni ile z nin yapmış olduğu açının, z 1 ve z 2 nin x-ekseni ile ayrı ayrı yapmış oldukları açıların toplamı olduğunu gösteriniz (French p 1.1) Çözüm: a) z 1 = a 2 + b 2, z 2 = c 2 + d 2 olduğunu biliyoruz. Buradan z 1 z 2 = (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 yazabiliriz. Benzer şekilde 13
14 z = z 1 z 2 =( a + ib)( c + id) = ac + iad + ibc + i 2 bd = (ac bd) + i(ad + bc) z = (ac bd) 2 + (ad + bc) 2 = a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 buradan z = z 1 z 2 yazabiliriz. b) z 1 = a + ib vektörünün x-ekseni ile yaptığı açı θ 1 ise tanθ 1 = b a veya b = atanθ 1 ; z 2 = c + id vektörünün x-ekseni ile yaptığı açı θ 2 ise tanθ 2 = d c veya d = ctanθ 2 yazılabilir. Benzer şekilde z vektörünün x-ekseni ile yaptığı açı θ olsun z = (ac bd) + i(ad + bc) tanθ = ad+bc ac bd = actanθ 2+actanθ 1 ac actanθ 1 tanθ 2 = tanθ 2+tanθ 1 1 tanθ 1 tanθ 2 = tan (θ 1 + θ 2 ) yazabiliriz. Buradan θ = θ 1 + θ 2 olacağı açıktır. ÖRNEK-2 z = 1 i ise z 10 hesaplayınız. Çözüm: z kompleks sayısını polar formda yazabiliriz: z = ( 1) 2 = 2 ve tan θ = ( 1 ) veya θ = π olduğundan 1 4 z = 2 [cos ( π 4 ) + isin( π 4 )] Burada de Moiver formülünü kullanarak z 10 = ( 2) 10 [cos 10 ( π ) + isin10( π 4 4 )]=25 [cos ( 10π 10π ) + isin( )] 4 4 = 32 [cos ( 5π ) + isin( 5π )] = 32 [cos ( 5π + 2π) + isin( 5π + 2π)] = 32 [cos ( π ) + isin( π )] = 32[0 i] = 32i 2 2 sonucu elde edilir. z 10 = 32i 14
15 ÖRNEK-3 e iθ ile z gibi bir kompleks sayının çarpımının z nin boyunda bir değişme olmaksızın θ kadarlık bir pozitif dönmeye karşılık geldiğini gösteriniz (Frenchp1.3) Çözüm: z = a + ib olsun. Kompleks uzayda z vektörünün x ekseninin pozitif tarafıyla yaptığı açıyı φ ile gösterelim. Bu durumda z vektörünü z = a + ib = rcosφ + irsinφ şeklinde ifade edebiliriz. Burada a = rcosφ ve b = rsinφ dir. Bu durumda Euler formülünü kullanarak z = re iφ yazabiliriz. Şimdi z i e iθ ile çarpalım e iθ z = e iθ re iφ = re i(θ+φ) = r[cos(θ + φ) + isin(θ + φ)] e iθ z = r cos 2 (θ + φ) + sin 2 (θ + φ) 1/2 = r Elde edilen yeni vektörün boyu z ile aynıdır. Ancak yeni vektörün argümanı (θ + φ) ya eşittir. Başka bir deyişle z vektörünü e iθ ile çarpmak, vektörün boyu değişmeksizin saat ibrelerinin tersi yönünde θ kadar döndürmeye eşdeğerdir. ÖRNEK-4 Euler eşitliğinde e iθ = cosθ + isinθ dir. a) e iθ nın geometrik gösterimini, b) cosθ nın üstel gösterimini, c) sinθ nın üstel gösterimini bulunuz. (French-p1.6) 15
16 Çözüm: a) e iθ = cos( θ) + isin( θ) = cosθ isinθ yazabiliriz. Bu vektörün geometrik gösterimi aşağıda verilmiştir. b) Taraf tarafa toplayarak ve buradan sonucunu elde ederiz. c) Taraf tarafa çıkararak ve buradan sonucunu elde ederiz e iθ = cosθ + isinθ e iθ = cosθ isinθ e iθ + e iθ = 2cosθ cosθ = eiθ + e iθ 2 e iθ = cosθ + isinθ e iθ = cosθ isinθ e iθ e iθ = 2isinθ sinθ = eiθ e iθ 2i ÖRNEK-5 sinθ ve cosθ nın üstel ifadelerini kullanarak aşağıdaki trigonometrik bağıntıların gerçekleştiğini gösteriniz. a) cos 2 θ sin 2 θ = cos2θ b) 2 sinθcosθ = sin2θ 16
17 Çözüm: a) sinθ = eiθ e iθ ve cosθ = eiθ +e iθ ifadelerini türetmiştik. Buradan 2i yazabiliriz. Buradan 2 sin 2 θ = ei2θ + e i2θ 2 4 cos 2 θ = ei2θ + e i2θ cos 2 θ sin 2 θ = ei2θ + e i2θ = 2ei2θ + 2e i2θ 4 ei2θ + e i2θ 2 4 = ei2θ + e i2θ 2 = cos2θ b) 2 sinθcosθ = 2 eiθ e iθ e iθ +e iθ 2i 2 = ei2θ e i2θ 2i = sin2θ ÖRNEK-6 27i kompleks sayısının tüm kompleks küp köklerini bulunuz. Çözüm: 27i syısın küp kökünü aramak z 3 = 27i olacak z sayılarını bulmak demektir. 27i sayısının normu (büyüklüğü), i = = 27 ve argümanı ise π 2 dir. Bu durumda 27i sayısını polar formda 27i = 27(cos π + isin π ) 2 2 şeklinde yazılır. Aranan z sayısını polar formda z = r(cosθ + isinθ) alalım. Bu ifade z 3 = 27i eşitliğinde kullanılırsa [r(cosθ + isinθ)] 3 = 27(cos π + isin π ) 2 2 yazılır. Burada de Moivre formülü de kullanılırsa r 3 (cos3θ + isin3θ) = 27(cos π + isin π )
18 yazılır. Buradan r = 3 olacağı açıktır. Ancak θ nın alabileceği değerler nedir? Burada cos3θ = cos π ve sin3θ = sin π 2 2 olmalıdır. Bu eşitliklerden 3θ = π 2 + 2πk yazılabilir. Burada k nın alabileceği değerler k=0,1,2 olabilir. i) k=0 için θ = π 6 olacaktır. Bu durumda köklerden birincisi z 1 = 3 (cos π 6 + isin π 6 ) = 3 ( i 1 2 ) = i ii) k=1 için θ = 5π 6 olacaktır. Bu durumda köklerden ikincisi z 2 = 3 (cos 5π 6 + isin 5π 6 iii) k=2 için θ = 9π 6 = 3π 2 ) = 3 ( i 1 2 ) = i olacaktır. Bu durumda köklerden üçüncüsü z 3 = 3 (cos 3π 2 olacaktır. + isin 3π ) = 3(0 + i( 1)) = 3i 2 Burada k=3 durumunda 3θ = π + 6π ve θ = π + 2π olur. Bu sonuç k=0 2 6 olma durumuna özdeştir. Sonuç olarak 27i kompleks sayısının olası küp kökleri ve bunların grafiksel gösterimi aşağıda özetlenmiştir. z 1 = i, z 2 = i ve z 3 = 3i 18
19 d 2 y ÖRNEK-7 d 2 y dx 2 = k2 y diferansiyel denkleminin y = Acoskx + Bsinkx şeklinde bir çözüme sahip olduğunu gösteriniz. Burada A ve B keyfi sabitlerdir. Aynı zamanda bu eşitliğin y = Ccos(kx + α) = CRe[e i(kx+α) ] = Re[Ce iα e ikx ] şeklinde de yazılabileceğini gösteriniz. C ve α yı A ve B nin fonksiyonları olarak ifade ediniz.(french-p1.10) Çözüm: a) Önerilen y = Acoskx + Bsinkx ifadesinin x göre ikinci türevini dy = Aksinkx + Bkcoskx dx = dx 2 Ak2 coskx Bk 2 sinkx = k 2 (Acoskx + Bsinkx = k 2 y sonucunu elde ederiz. Bu ise verilen diferansiyel denklemin aynısıdır. Dolaysıyla verilen y = Acoskx + Bsinkx fonksiyonu verilen diferansiyel denklemin bir çözümüdür. b) A ile B sabitleri aşağıdaki dik üçgenin dik kenarları olduğunu düşünelim: Bu dik üçgenden A = A 2 + B 2 cosθ ve B = A 2 + B 2 sinθ yazabiliriz. Bunları önerilen çözüm ifadesinde yerine yazalım y = Acoskx + Bsinkx = y = A 2 + B 2 cosθcoskx + A 2 + B 2 sinθsinkx = A 2 + B 2 [cosθcoskx + sinθsinkx] = A 2 + B 2 [cos (kx θ)] Elde ederiz. Burada θ = α ve A 2 + B 2 = C diyelim. Bu durumda y = Acoskx + Bsinkx = A 2 + B 2 [cos (kx θ)] = Ccos(kx + α) yazabiliriz. Bu ifadenin şeklinde yazılacağı açıktır. y = CRe[e i(kx+α) ] = Re[Ce iα e ikx ] Burada C = A 2 + B 2 ve α = θ = arctan ( B A ) dir. 19
FİZ-217-01. Titreşimler ve Dalgalar
FİZ-217-01 Titreşimler ve Dalgalar 2015-2016 Güz dönemi ders notları* Prof. Dr. Hüseyin Çelik *Bu ders notları esas olarak aşağıda verilen kaynak kitaplar kullanılarak hazırlanmıştır. 1.! Titreşimler ve
DetaylıTİTREŞİM VE DALGALAR BÖLÜM PERİYODİK HAREKET
TİTREŞİM VE DALGALAR Periyodik Hareketler: Belirli aralıklarla tekrarlanan harekete periyodik hareket denir. Sabit bir nokta etrafında periyodik hareket yapan cismin hareketine titreşim hareketi denir.
DetaylıMAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 2. yapılırsa bu durumda θ ya z nin esas argümenti denir ve Argz ile gösterilir. argz = Argz + 2nπ, n Z
MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 1.. Kutupsal Formda Gösterim z x + iy vektörünün pozitif reel eksenle yaptığı açıya θ diyelim. cos θ x, sin θ y ve buradan tan θ y θ arctan y olup θ ya z z
DetaylıBÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ
BÖLÜM - KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR - KARMAŞIK SAYILAR VE ÖELLİKLERİ ax + bx +c ikinci derece denkleminin < iken reel köklerinin olmadığını biliyoruz. Örneğin x + denkleminin reel sayılar kümesinde çözümü
DetaylıLeyla Yıldırım Bölüm BÖLÜM 2
BÖLÜM 2 PERİYODİK HAREKETLERİN ÜSTÜSTE GELMESİ Birçok fiziksel durum, aynı sistemde iki veya daha fazla harmonik titreşimin aynı anda uygulanmasını gerektirir. Burada aşağıdaki temel kabule bağlı olarak
DetaylıFİZİK 4. Ders 10: Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi
FİZİK 4 Ders 10: Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi Beklenen Değer Kuyu İçindeki Parçacık Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi Kare Kuyu Tünel Olayı Basit Harmonik Salınıcı
DetaylıBÖLÜM-2. Sabit katsayılı çizgisel homojen diferansiyel denklem örneği olarak
BÖLÜM-2 2.1 PERİYODİK TİTREŞİMLERİN ÜST ÜSTE GELMESİ (Süperpozisyon) Kütle-yay problemlerini geri çağırıcı kuvvetin sadece x ile orantılı olduğu durumlar için inceleyeceğiz, yani Hook yasasının ( ) geçerli
DetaylıFİZ217 TİTREŞİMLER VE DALGALAR DERSİNİN 2. ARA SINAV SORU CEVAPLARI
1) Gerilmiş bir ipte enine titreşimler denklemi ile tanımlıdır. Değişkenlerine ayırma yöntemiyle çözüm yapıldığında için [ ] [ ] ifadesi verilmiştir. 1.a) İpin enine titreşimlerinin n.ci modunu tanımlayan
DetaylıMatematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.
- 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle
DetaylıMAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri
1. KOMPLEKS SAYILAR 1.1. Kompleks Sayıların Cebirsel ve Geometrik Özellikleri Tanım 1. x, y R olmak üzere (x, y) sıralı ikililerine kompleks sayı denir. Burada x, z nin reel kısmı, ve y, z nin imajiner
DetaylıBölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri
ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik
DetaylıFizik Dr. Murat Aydemir
Fizik-1 2017-2018 Dr. Murat Aydemir Ankara University, Physics Engineering, Bsc Durham University, Physics, PhD University of Oxford, Researcher, Post-Doc Ofis No: 35 Merkezi Derslikler Binasi murat.aydemir@erzurum.edu.tr
DetaylıBölüm-4. İki Boyutta Hareket
Bölüm-4 İki Boyutta Hareket Bölüm 4: İki Boyutta Hareket Konu İçeriği 4-1 Yer değiştirme, Hız ve İvme Vektörleri 4-2 Sabit İvmeli İki Boyutlu Hareket 4-3 Eğik Atış Hareketi 4-4 Bağıl Hız ve Bağıl İvme
DetaylıMekanik Titreşimler ve Kontrolü. Makine Mühendisliği Bölümü
Mekanik Titreşimler ve Kontrolü Makine Mühendisliği Bölümü s.selim@gtu.edu.tr 10.10.018 Titreşim sinyalinin özellikleri Daimi sinyal Daimi olmayan sinyal Herhangi bir sistemden elde edilen titreşim sinyalinin
Detaylı5.DENEY. d F. ma m m dt. d y. d y. -kx. Araç. Basit. denge (1) (2) (3) denklemi yazılabilir. (4)
YAYLI ve BASİ SARKAÇ 5.DENEY. Amaç: i) Bir spiral yayın yay sabitinin belirlenmesi vee basit harmonik hareket yapan bir cisminn periyodununn incelenmesi. ii) Basit sarkaç kullanılarak yerçekimi ivmesininn
Detaylı7.1 Karmaşık Sayılar. x 2 = 1. denkleminin çözümü olarak +i ve i sayıları tanımlanır. Tanım 7.1.
Bölüm 7 Karmaşık Sayılar Karmaşık sayılar gerçel sayıların genişlemesiyle elde edilen daha büyük bir kümedier. Genişleme şu gereksemeden doğmuştur: x 2 = +1 denklemimin çözümü +1, 1 sayılarıdır ve R içindedir.
DetaylıElektromanyetik Dalga Teorisi
Elektromanyetik Dalga Teorisi Ders-2 Dalga Denkleminin Çözümü Düzlem Elektromanyetik Dalgalar Enine Elektromanyetik Dalgalar Kayıplı Ortamda Düzlem Dalgalar Düzlem Dalgaların Polarizasyonu Dalga Denkleminin
DetaylıDERSİN ADI: MATEMATİK II MAT II (12) KUTUPSAL KOORDİNATLAR VE UYGULAMALARI 1. KUTUPSAL KOORDİNATLAR 2. EĞRİ ÇİZİMLERİ
DERSİN ADI: MATEMATİK II MAT II (1) ÜNİTE: KUTUPSAL KOORDİNATLAR VE UYGULAMALARI 1. KUTUPSAL KOORDİNATLAR. EĞRİ ÇİZİMLERİ GEREKLİ ÖN BİLGİLER 1. Trigonometrik fonksiyonlar. İntegral formülleri KONU ANLATIMI
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 2 Kuvvet Vektörleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö.Soyuçok. 2 Kuvvet Vektörleri Bu bölümde,
DetaylıÖrnek...3 : β θ. Örnek...1 : Örnek...2 : KARMAŞIK SAYILAR 4. w i. = n z { i=0,1,2,...,(n 1) } Adım 1. Adım 2. Adım 3
KARMAŞIK SAYININ ORJİN ETRAFINDA DÖNDÜRÜLMESİ z = a + bi karmaşık sayısını, uzunluğunu değiştirmeden orijin etrafında pozitif yönde β kadar döndürülmesiyle elde edilen yeni karm aşık sa yı w olsun. İm
Detaylı3-1 Koordinat Sistemleri Bir cismin konumunu tanımlamak için bir yönteme gereksinim duyarız. Bu konum tanımlaması koordinat kullanımı ile sağlanır.
Bölüm 3 VEKTÖRLER Bölüm 3: Vektörler Konu İçeriği Sunuş 3-1 Koordinat Sistemleri 3-2 Vektör ve Skaler nicelikler 3-3 Vektörlerin Bazı Özellikleri 3-4 Bir Vektörün Bileşenleri ve Birim Vektörler Sunuş Fizikte
DetaylıRİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ
RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ MUTLAK GENEL DÜZLEMSEL HAREKET: Genel düzlemsel hareket yapan bir karı cisim öteleme ve dönme hareketini eşzamanlı yapar. Eğer cisim ince bir levha olarak gösterilirse,
DetaylıKUTUPLANMA (Polarizasyon) Düzlem elektromanyetik dalgaların kutuplanması
KUTUPLANMA (Polarizasyon) Kutuplanma enine dalgaların bir özelliğidir. Ancak burada mekanik dalgaların kutuplanmasını ele almayacağız. Elektromanyetik dalgaların kutuplanmasını inceleyeceğiz. Elektromanyetik
DetaylıELASTİK DALGA YAYINIMI
18.0.016 ELASTİK DALGA YAYINIMI Prof.Dr. Eşref YALÇINKAYA (016-1. DERS 1 Zaman ve Yer Ders saati : 10:0 13:00 Ara : 11:15 11:30 Ders yeri : D-331 1 18.0.016 Sizden beklenen Derse devamın sağlanması çok
DetaylıMAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM
TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. 10+10 p.) 2. 15 p.) 3. 7+8 p.) 4. 15+10 p.) 5. 15+10 p.) TOPLAM 1. a) NOT: Tam
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel
DetaylıManyetik Alanlar. Benzer bir durum hareketli yükler içinde geçerli olup bu yüklerin etrafını elektrik alana ek olarak bir manyetik alan sarmaktadır.
Manyetik Alanlar Manyetik Alanlar Duran ya da hareket eden yüklü parçacığın etrafını bir elektrik alanın sardığı biliyoruz. Hatta elektrik alan konusunda şu sonuç oraya konulmuştur. Durgun bir deneme yükü
DetaylıMADDESEL NOKTANIN EĞRİSEL HAREKETİ
Silindirik Koordinatlar: Bazı mühendislik problemlerinde, parçacığın hareketinin yörüngesi silindirik koordinatlarda r, θ ve z tanımlanması uygun olacaktır. Eğer parçacığın hareketi iki eksende oluşmaktaysa
DetaylıFizik 101: Ders 23 Gündem
Fizik 101: Ders 3 Gündem Basit Harmonik Hereket Yatay yay ve kütle Sinus ve cosinus lerin anlamı Düşey yay ve kütle Enerji yaklaşımı Basit sarkaç Çubuk sarkaç Basit Harmonik Hareket (BHH) Ucunda bir kütle
DetaylıAralıklar, Eşitsizlikler, Mutlak Değer
ARALIKLAR Gerçel sayıların, aralık olarak adlandırılan bazı kümeleri kalkülüste sık sık kullanılır ve geometrik olarak doğru parçalarına karşılık gelir. Örneğin, a < b ise, a dan b ye açık aralık, a ile
DetaylıLYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal
DetaylıFiz Ders 10 Katı Cismin Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi
Fiz 1011 - Ders 10 Katı Cismin Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi Açısal Yerdeğiştirme, Hız ve İvme Dönme Kinematiği: Sabit Açısal İvmeli Dönme Hareketi Açısal ve Doğrusal Nicelikler Dönme Enerjisi Eylemsizlik
DetaylıELEKTRİKSEL POTANSİYEL
ELEKTRİKSEL POTANSİYEL Elektriksel Potansiyel Enerji Elektriksel potansiyel enerji kavramına geçmeden önce Fizik-1 dersinizde görmüş olduğunuz iş, potansiyel enerji ve enerjinin korunumu kavramları ile
DetaylıDiverjans teoremi ise bir F vektörüne ait hacim ve yüzey İntegralleri arasındaki ilişkiyi ortaya koyar ve. biçiminde ifade edilir.
Maxwell denklemlerini intagral bicimlerinin elde edilmesinde Stokes ve Diverjans Teoremlerinden yararlanilir. Stokes Teoremiaşağıdaki gibi ifade edilir, bir F vektörüne ait yüzey integrali ile çizgi integrali
DetaylıTEMEL MEKANİK 5. Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü
TEMEL MEKANİK 5 Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü Ders Kitapları: Mühendisler İçin Vektör Mekaniği, Statik, Yazarlar:
Detaylı( ) ( ) ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. Cevap D. Cevap C. noktası y ekseni üzerinde ise, a + 4 = 0 A 0, 5 = 1+
ÖABT Analitik Geometri KONU TESTİ Noktanın Analitik İncelemesi. a+ = b 4. a = b 0+ a b a b = b a+ b = 0. A ( a + 4, a) noktası y ekseni üzerinde ise, ( + ) a + 4 = 0 A 0, 5 a = 4 B b, b 0 noktası x ekseni
DetaylıElektromanyetik Dalga Teorisi Ders-3
Elektromanyetik Dalga Teorisi Ders-3 Faz ve Grup Hızı Güç ve Enerji Düzlem Dalgaların Düzlem Sınırlara Dik Gelişi Düzlem Dalgaların Düzlem Sınırlara Eğik Gelişi Dik Kutuplama Paralel Kutuplama Faz ve Grup
DetaylıKaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.
Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini
DetaylıÖzet: Açısal momentumun türetimi. Açısal momentum değiştirme bağıntıları. Artırıcı ve Eksiltici İşlemciler Kuantum Fiziği Ders XXI
Özet: Açısal momentumun türetimi Açısal momentum değiştirme bağıntıları Levi- Civita simgesi Genel olarak, L x, L y, L z, nin eşzamanlı özdurumları yoktur L 2 ve bir bileşeni (L z ) nin eşzamanlı özdurumlarıdır.
DetaylıPOLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.
POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?
DetaylıMAK 308 MAKİNA DİNAMİĞİ Bahar Dr. Nurdan Bilgin
MAK 308 MAKİNA DİNAMİĞİ 017-018 Bahar Dr. Nurdan Bilgin EŞDEĞER ATALET MOMENTİ Geçen ders, hız ve ivme etki katsayılarını elde ederek; mekanizmanın hareketinin sadece bir bağımsız değişkene bağlı olarak
Detaylı18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
Detaylı1. Hafta Uygulama Soruları
. Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında
DetaylıKATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ:
KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ: Genel düzlemsel hareket yapmakta olan katı cisim üzerinde bulunan iki noktanın ivmeleri aralarındaki ilişki, bağıl hız v A = v B + v B A ifadesinin zamana göre türevi
DetaylıBÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ
BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini
DetaylıSTATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN. Behcet DAĞHAN
Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri DAĞHAN MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ STATİK İÇİNDEKİLE 1. GİİŞ - Skalerler ve ektörler - Newton Kanunları 2. KUET SİSTEMLEİ - İki Boyutlu
DetaylıBÖLÜM 1: Matematiğe Genel Bakış 1. BÖLÜM:2 Fizik ve Ölçme 13. BÖLÜM 3: Bir Boyutta Hareket 20. BÖLÜM 4: Düzlemde Hareket 35
BÖLÜM 1: Matematiğe Genel Bakış 1 1.1. Semboller, Bilimsel Gösterimler ve Anlamlı Rakamlar 1.2. Cebir 1.3. Geometri ve Trigometri 1.4. Vektörler 1.5. Seriler ve Yaklaşıklıklar 1.6. Matematik BÖLÜM:2 Fizik
DetaylıMühendislik Mekaniği Dinamik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Dinamik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 17 Rijit Cismin Düzlemsel Kinetiği; Kuvvet ve İvme Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Dinamik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.
DetaylıBÖLÜM I GİRİŞ (1.1) y(t) veya y(x) T veya λ. a t veya x. Şekil 1.1 Dalga. a genlik, T peryod (veya λ dalga boyu)
BÖLÜM I GİRİŞ 1.1 Sinyal Bir sistemin durum ve davranış bilgilerini taşıyan, bir veya daha fazla değişken ile tanımlanan bir fonksiyon olup veri işlemde dalga olarak adlandırılır. Bir dalga, genliği, dalga
Detaylıİşaret ve Sistemler. Ders 3: Periyodik İşaretlerin Frekans Spektrumu
İşaret ve Sistemler Ders 3: Periyodik İşaretlerin Frekans Spektrumu Fourier Serileri Periyodik işaretlerin spektral analizini yapabilmek için periyodik işaretler sinüzoidal işaretlerin toplamına dönüştürülür
DetaylıİÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel
Detaylı28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31
SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.
DetaylıELEKTROMANYETİK DALGALAR
ELEKTROMANYETİK DALGALAR Hareket eden bir yük manyetik alan oluşturur. Yük sabit hızla hareket ederse, sabit bir akım ve sabit bir manyetik alan oluşturur. Yük osilasyon hareketi yaparsa değişken bir manyetik
Detaylıθ x Örnek...1 : Örnek...2 : KARMAŞIK SAYILAR 3 Alıştırmalar KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ 1) z = 1 + i 2) z = 1 i
KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ z = a + bi y karmaşık sayısının kartezyen bi koordinatları z=(a, b) dir. Ya da görüntüsü A noktasıdır. A Alıştırmalar Karmaş ık sa yıs ın ın kutupsal
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25
İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70
DetaylıKATI CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ
KATI CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ Bu bölümde, düzlemsel kinematik, veya bir rijit cismin düzlemsel hareketinin geometrisi incelenecektir. Bu inceleme, dişli, kam ve makinelerin yaptığı birçok işlemde
DetaylıNoktasal Cismin Dengesi
Noktasal Cismin Dengesi Bu bölümde; Kuvvetleri bieşenlerine ayırma ve kartezyen vektör şeklinde ifade etme yöntemleri noktasal cismin dengesini içeren problemleri çözmede kullanılacaktır. Bölüm 3 DOÇ.DR.
DetaylıDüzgün olmayan dairesel hareket
Düzgün olmayan dairesel hareket Dairesel harekette cisim üzerine etki eden net kuvvet merkeze doğru yönelmişse cismin hızı sabit kalır. Eğer net kuvvet merkeze doğru yönelmemişse, kuvvet teğetsel ve radyal
Detaylı2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ ALT ÖĞRENME. Örüntü ve Süslemeler
2013 2014 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI 8. SINIF MATEMATİK DERSİ KONULARININ ÇALIŞMA TAKVİMİNE GÖRE DAĞILIM ÇİZELGESİ SÜRE ÖĞRENME Ay Hafta D.Saati ALANI EYLÜL 2 Geometri 2 3 Geometri 2 Geometri 2 Olasılıkve ALT
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıMassachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü
Massachusetts Teknoloji Enstitüsü-Fizik Bölümü Fizik 8.01 Ödev # 7 Güz, 1999 ÇÖZÜMLER Dru Renner dru@mit.edu 7 Kasım 1999 Saat: 21.50 Problem 7.1 (Ohanian, sayfa 271, problem 55) Bu problem boyunca roket
DetaylıKUTUPSAL KOORDİNATLAR
KUTUPSAL KOORDİNATLAR Geometride, bir noktanın konumunu belirtmek için değişik yöntemler uygulanır. Örnek olarak çok kullanılan Kartezyen (Dik ) Koordinat sistemini anımsatarak çalışmamıza başlayalım.
DetaylıLeyla Yıldırım Bölüm BÖLÜM 3 FİZİKSEL SİSTEMLERİN SERBEST SALINIMLARI BASİT HARMONİK HAREKET (BHH)
BÖLÜM 3 FİZİKSEL SİSTEMLERİN SERBEST SALINIMLARI BASİT HARMONİK HAREKET (BHH) Cisimlerin elastik özellikleri ile ilgili olarak kuvvet-yer değiştirme ilişkisi Robert Hooke tarafından basit bir şekilde ifade
Detaylı1. HAFTA. Statik, uzayda kuvvetler etkisi altındaki cisimlerin denge koşullarını inceler.
1. HAFTA Statik, uzayda kuvvetler etkisi altındaki cisimlerin denge koşullarını inceler. Statikte üç temel büyüklük vardır. Uzay: Fiziksel olayların meydana geldiği geometrik bir bölgedir. İncelenen problemin
DetaylıÖdev 1. Ödev1: 600N luk kuvveti u ve v eksenlerinde bileşenlerine ayırınız. 600 N
Ödev 1 Ödev1: 600N luk kuvveti u ve v eksenlerinde bileşenlerine ayırınız. 600 N 1 600 N 600 N 600 N u sin120 600 N sin 30 u 1039N v sin 30 600 N sin 30 v 600N 2 Ödev 2 Ödev2: 2 kuvvetinin şiddetini, yönünü
DetaylıSORULAR. x=l. Şekil-1
FİZ-217-01-02 Titreşimler ve Dalgalar: Dönem Sonu Sınavı 13 Ocak 2012; Sınav süresi: 150 dakika Adı-Soyadı: No: Şubesi: İmza: Soru Puan 1 18: a=12, b=6 2 18: a=6,b=12 3 18: a=4,b=4,c=4,d=6 4 18: a=4,b=6,c=6,d=2
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıDiferansiyel denklemler uygulama soruları
. Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,
DetaylıTrigonometrik Fonksiyonlar
Trigonometrik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 6 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; açı kavramını hatırlayacak, açıların derece ölçümünü radyan ölçümüne ve tersine çevirebilecek, trigonometrik
Detaylı+ i. i. i. Z =, Z 1 olarak verilmiştir. A B grafiğini çizin. Z 2 = Z sistemini sağlayan. = ise. Argz. B = Z olduğuna göre, Arg
ĐFL Karmaşık Sayılar Çalışma Soruları: (Ekim 7) (+i) -(-i) +(+i) +(+i) + i + i +? + i i i + i?? i (+i) +(x-yi) +y ise x+y bir karmaşık sayı olmak üere, -ii(i-) olduğuna göre, Re() 7 Şekildeki kompleks
DetaylıDİNAMİK (3.hafta) EĞRİSEL HAREKET-2: Kutupsal /Polar Koordinatlar (r,θ) A-Polar Koordinatlarda (r,θ) Hareket Denkemleri
DİNAMİK (3.hafta) EĞRİSEL HAREKET-2: Kutupsal /Polar Koordinatlar (r,θ) Şekildeki gibi dönen bir çubuk üzerinde ilerleyen bilezik hem dönme hareketi hemde merkezden uzaklaşma hareketi yapar. Bu durumda
Detaylı8.04 Kuantum Fiziği DersXIX
Bu takdirde yani, 1 = a ˆ 0 de bir enerji özdurumudur, ancak 0 için enerjisi 1hω yerine 3 hω dir. 2 2 Benzer şekilde, 2 = a ˆ 1 inde bir enerji özdurumu olduğunu fakat enerjisinin 5 hω, vs. 2 söyleyebiliriz.
DetaylıA COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS
. Sayı Mayıs 6 A COMMTATIVE MLTIPLICATION OF DAL NMBER TRIPLETS L.KLA * & Y.YAYLI * *Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Matematik Bölümü 6 Tandoğan-Ankara, Türkiye ABSTRACT Pfaff [] using quaternion product
DetaylıTRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY
TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY A. AÇI Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir. B. YÖNLÜ AÇI
DetaylıEnerji Sistemleri Mühendisliği Bölümü
YALOVA ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ Enerji Sistemleri Mühendisliği Bölümü ESM 413 Enerji Sistemleri Laboratuvarı-II RL, RC ve RLC DEVRELERİNİN AC ANALİZİ Puanlandırma Sistemi: Hazırlık Soruları:
DetaylıÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV
- 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını
DetaylıPERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR
2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve
DetaylıAKDENİZ ÜNİVERSİTESİ. Anten Parametrelerinin Temelleri. Samet YALÇIN
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ Anten Parametrelerinin Temelleri Samet YALÇIN Anten Parametrelerinin Temelleri GİRİŞ: Bir antenin parametrelerini tanımlayabilmek için anten parametreleri gereklidir. Anten performansından
DetaylıMat Matematik II / Calculus II
Mat - Matematik II / Calculus II Çalışma Soruları Çok Değişkenli Fonksiyonlar: Seviye eğri ve yüzeyler, Limit ve süreklilik wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için: x
Detaylı8.04 Kuantum Fiziği Ders XII
Enerji ölçümünden sonra Sonucu E i olan enerji ölçümünden sonra parçacık enerji özdurumu u i de olacak ve daha sonraki ardışık tüm enerji ölçümleri E i enerjisini verecektir. Ölçüm yapılmadan önce enerji
DetaylıBÖLÜM 9 ÇÖZÜLMESİ ÖNERİLEN ÖRNEK VE PROBLEMLER
BÖLÜM 9 ÇÖZÜLMESİ ÖNERİLEN ÖRNEK VE PROBLEMLER b) İkinci süreç eğik atış hareketine karşılık geliyor. Orada örendiğin problem çözüm adımlarını kullanarak topun sopadan ayrıldığı andaki hızını bağıntı olarak
Detaylı( t) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
İİ DDDDD IIII NN NN A MM MM KKK KK DD DD II NNN NN AAA MMM MMM İİİİ KK KK DD DD II NNNN NN AA AA MMMMMMM İİ KK KK DD DD II NNNNNNN AA AA MMMMMMM İİ KK KK DD DD II NN NNNN AA AA MM M MM İİ KKKK DD DD II
Detaylı7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;
İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit
DetaylıTORK VE DENGE. İçindekiler TORK VE DENGE 01 TORK VE DENGE 02 TORK VE DENGE 03 TORK VE DENGE 04. Torkun Tanımı ve Yönü
İçindekiler TORK VE DENGE TORK VE DENGE 01 Torkun Tanımı ve Yönü Torka Sebep Olan ve Olmayan Kuvvetler Tork Bulurken İzlenen Yöntemler Çubuğa Uygulanan Kuvvet Dik Değilse 1) Kuvveti bileşenlerine ayırma
DetaylıHOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
DetaylıŞekil-1. Doğru ve Alternatif Akım dalga şekilleri
2. Alternatif Akım =AC (Alternating Current) Değeri ve yönü zamana göre belirli bir düzen içerisinde değişen akıma AC denir. En çok bilinen AC dalga biçimi Sinüs dalgasıdır. Bununla birlikte farklı uygulamalarda
DetaylıJFM 301 SİSMOLOJİ ELASTİSİTE TEORİSİ Elastisite teorisi yer içinde dalga yayılımını incelerken çok yararlı olmuştur.
JFM 301 SİSMOLOJİ ELASTİSİTE TEORİSİ Elastisite teorisi yer içinde dalga yayılımını incelerken çok yararlı olmuştur. Prof. Dr. Gündüz Horasan Deprem dalgalarını incelerken, yeryuvarının esnek, homojen
Detaylı1. Mekanizma tekniğinde temel kavramlar, 2. Mekanizmaların serbestlik derecesi 3. Mekanizmaların konum analizi
1. Mekanizma tekniğinde temel kavramlar, 2. Mekanizmaların serbestlik derecesi 3. Mekanizmaların konum analizi Öğretim Üyesi: Yrd. Doç. Dr. Nurdan Bilgin Ders Kitabı: Mekanizma Tekniği, Prof. Dr. Eres
DetaylıMATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.
MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı
DetaylıALTERNATİF AKIMIN TEMEL ESASLARI
ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİNE GİRİŞ DERSİ ALTERNATİF AKIMIN TEMEL ESASLARI Dr. Öğr. Üyesi Ahmet ÇİFCİ Elektrik enerjisi, alternatif akım ve doğru akım olarak
DetaylıYapı Sistemlerinin Hesabı İçin. Matris Metotları. Prof.Dr. Engin ORAKDÖĞEN Doç.Dr. Ercan YÜKSEL Bahar Yarıyılı
Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları 2015-2016 Bahar Yarıyılı Prof.Dr. Engin ORAKDÖĞEN Doç.Dr. Ercan YÜKSEL 1 BÖLÜM VIII YAPI SİSTEMLERİNİN DİNAMİK DIŞ ETKİLERE GÖRE HESABI 2 Bu bölümün hazırlanmasında
DetaylıCahit Arf Matematik Günleri 10
Cahit Arf Matematik Günleri 0. Aşama Sınavı 9 Mart 0 Süre: 3 saat. Eğer n, den büyük bir tamsayı ise n 4 + 4 n sayısının asal olamayacağını gösteriniz.. Çözüm: Eğer n çiftse n 4 +4 n ifadesi de çift ve
Detaylı18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
Detaylı1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri
Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki
DetaylıNokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.
Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak
DetaylıİÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER
İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 1.1. Fiziksel Kanunlar ve Diferensiyel Denklemler Arasındaki İlişki... 1 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Sınıflandırılması ve Terminoloji...
DetaylıMAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 3
1.3. Kompleks Düzlemin Topolojisi Tanım 1. D ε (z 0 ) = {z C : z z 0 < ε} kümesine z 0 ın bir ε komşuluğu denir. Tanım 2. Bir A C kümesi verilsin. z 0 ın sadece A nın elemanlarından oluşan bir komşuluğu
DetaylıDÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ
3 DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ Gerilme Kavramı Dış kuvvetlerin etkisi altında dengedeki elastik bir cismi matematiksel bir yüzeyle rasgele bir noktadan hayali bir yüzeyle ikiye ayıracak olursak, F 3 F
Detaylır r r F İŞ : Şekil yörüngesinde hareket eden bir parçacık üzerine kuvvetini göstermektedir. Parçacık A noktasından
İŞ : Şekil yörüngesinde hareket eden bir parçacık üzerine etkiyenf r kuvvetini göstermektedir. Parçacık A noktasından r r geçerken konum vektörü uygun bir O orijininden ölçülmektedir ve d r A dan A ne
Detaylı