EZGİ GÜLERYÜZ

Transkript

1 Türev ile Hız Arasındaki İlişki...5 Türev ve Teğetin Eğimi Arasındaki İlişki Diferansiel Kavramı... 6 Türevin Tanımı...6 Türev Alma Kuralları... 7 Sabitin Türevi... 7 Toplam vea Farkın Türevi... 7 Çarpımın Türevi... 7 Bir Fonksionun Kuvvetinin Türevi... 7 Bölümün Türevi... 8 Parametrik Fonksionların Türevi... 8 Kapalı İfadelerin Türevleri... 8 Trigonometrik Fonksionların Türevleri... 8 Logaritma Fonksionunun Türevi Üstel Fonksionun Türevi Bileşke Fonksionun Türevi... 9 Ters Fonksionun Türevi... 9 Ardışık Türev (Yüksek Sıradan Türev) Ters Trigonometrik Fonksionların Türevi Mutlak Değerli Fonksionların Türevi Parametrik Denklemlerde İkinci Mertebe Türevi... Türevin Limit Hesabında Kullanılması... L'Hospital Kuralı... Türevin Geometrik Anlamı... 7 Teğet Denklemi... 8 Normal Denklemi... 8 Artan ve Azalan Fonksionlar... 7 Ekstremum Noktaları... 9 Türevin Anlamı... 9 Dönüm Noktası... İkinci Türev ve Yerel Ekstremum Noktası... 5 Mutlak Maksimum Mutlak Minimum... 5 Polinom Fonksionlarının Grafikleri Asimptotlar... 7 Kesirli Fonksionların Grafikleri... 7 Üstel Fonksionların Grafikleri f() a a TÜREV KAVRAMI Logaritmalı Fonksionların Grafikleri c 5 c c f(ah) c c f(a) a a a 5 p a ah q A(a, f(a))

2 KAVRAMSAL ADIM. BÖLÜM ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK Bir doğru bounca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu S(metre), zamanın t(sanie) bir fonksionu olarak S S(t) t t ile verilsin. a) Bu cisim ilk sn'de kaç m ol alır? b) Bu cisim ilk 6 sn'de kaç m ol alır? c) Bu cisim. sn ile 6. sn arasında kaç m ol alır? d) Bu cismin. sn ile 6. sn arasındaki ortalama hızı kaç m/sn dir? Matematiğin en önemli konularından biri türev kavramıdır. Bu kavramı birçok şekilde açıklamak mümkündür. Bu kitapta türev konusu öğrencinin hislerine en çok hitap edecek bir öntemle açıklanmıştır. Türev tanımına geçmeden önce bazı kavramları hatırlaıp bu kavramlara daanan tanımlar vereceğiz.. Türev ile Hız Arasındaki ilişki Bir doğru üzerinde f() denklemine göre hareket eden bir hareketlinin anındaki hızını tanımlaalım. anının akınlarında bir alınırsa hareketlinin ortalama hızı, alınan ol f() f( ) ve geçen süre olduğundan V ort f ^ h - f ^ h - dır. f( ) f() ın akınlarında seçilen her için bu olla değişik ortalama hızlar elde edilebilir. Biz anındaki hızı aradığımız için olmak üzere elde edilen tüm ortalama hızların limiti olarak f ^ h - f ^ h lim " - limiti varsa, bu limite anındaki anlık hız denir. ÖRNEK e) Bu hareketlinin.sn deki anlık hızı kaç m/sn dir? Bir hareketlinin t saatte aldığı ol S(t) t t fonksionu ile verilsin. Yukarıdaki tanıma göre bu hareketlinin [t, t ] aralığındaki ortalama hızı V ort S^t S t h- ^ h t - t dir. Bu hareketlinin [,6] aralığındaki ortalama hızını bulalım. 5

3 KAVRAMSAL ADIM ÜNİTE ETKİNLİK Kan Şekeri Konsantrasonu: Nisan 988'de insan gücüle çalışan Daedalus uçağı Yunanistan'ın günedoğusunda Ege Denizi'ndeki Girit'ten adasından Santorini'e 9 km'lik rekor bir uçuş aptı. Uçuştan önceki 6 saatlik daanıklılık testlerinde araştırmacılar pilot adalarının kan şekeri konsantrasonlarını ölçtü. Atlet pilotlardan birinin konstantrason grafiği şekil a da görülüor. Konsantrason miligram/desilitre ve zaman saat olarak verilmiştir. E im A A' 5 (a)'daki f() grafiğinin eğimlerini işaretleerek (b)'deki f'()'in grafiğini çizdik. Mesela, B'nin dike koordinatı B'deki eğimdir. f' nün grafiği f'nin eğiminin ile nasıl değiştiğinin görsel bir kadıdır. E im B E im C D E im -birim 5 5 E im f() E im 8 birim/ birim E f'() E' D' 5 5 B' C' Dike koordinat 8 -birim (a) (b) V ort S^6h- S^h ^6. 6h- ^. h V ort 8 km/sa olur. Hareketlinin [,6] aralığındaki ortalama hızını bulalım. V ort S^6h- S^h ^6. 6h- ^. h V ort km/sa olur. Hareketlinin [5,6] aralığındaki ortalama hızı V ort S^6h- S^5h ^6. 6h- ^5. 5h 6-5 V ort km/sa olur. Hareketlinin [5.9, 6] aralığındaki ortalama hızı S^6h- S^5, 9h V ort 6-5, 9 ^6. 6h - 6 ^5, 9h. ^5, 9h@, 66 (, 8 59),,9 km/sa olur. Hareketlinin [6, 6.] aralığındaki ortalama hızı V ort S^6, h- S^6h 6 ^6, h. - ^6. 6h 6, - 6, 67, 66, ^7, 6h -^66h,, km/sa olur. Hareketlinin [6, 7] aralığındaki ortalama hızı V ort S^7h- S^6h ^7. 7h- ^6. 6h km/sa olur. Bu sonuçları bir tabloda gösterelim. [t,t ] [, 6] [, 6] [5, 6] [5.9, 6] [6, 6.] [6, 7] V ort 9,9, 5

4 KAVRAMSAL ADIM Grafik veri noktalarını birleştiren doğru parçalarından apılmıştır. Her parçanın sabit eğimi ölçümler arasındaki konsantrasonu verir. Her parçanın eğimi hesaplanarak şekil b deki grafik çizilmiştir. Örneğin, ilk saat için çizim apılırken konsantrasonun 79 mg/dl den 9 mg/dl e arttığı gözlemlenior. (Şekil c) Net artma Δ 9 79 mg/dl dir. Bunu Δt saat ile bölerek, ortalama değişim oranını buluruz. Δ mg/dl/saat Δt Konsantrasonun bir köşesinin bulunduğu ve eğiminin olmadığı t,,...,5 zamanlarında konsantrasonun değişim oranı hakkında bir tahminde bulunamaız. Türev fonksionu (şekil d) bu zamanlarda tanımlı değildir. 9 8 konsantrason mg/dl 5 6 (c) Bu hareketlinin 6. saatte hız sınırını geçtiğini varsaalım. Bu hareketlinin 6. saatteki hızı (anlık hızı) h R olmak üzere, h için [6, 6 h] vea [6 h, 6] aralığında ortalama ardımıla bulunur. S^6 hh -S^6h Anl k h z lim h " 6 h -6 ^6 hh. ^6 hh- ^6. 6h lim h " h 6 h h 6 h-66 lim h " h h h lim h " h lim ^h h vea h " km/sa S^6h -S^6-hh Anl k h z lim h " 6-^6-hh ^6. 6h -6^6 - hh ^6 -hh@ lim h h " h h 6 -h@ lim h h " h- h lim h " h lim^ - hh h " sa km/sa bulunur. [6, 6h] aralığında hesaplanan anlık hız t 6 noktasındaki sağdan türevi, [6 h, 6] aralığında hesaplanan anlık hız t 6 noktasındaki soldan türevi ifade eder. Anlık hız için sağdan türevin, soldan türeve eşit olduğuna dikkat ediniz. ÜNİTE konsantrason de iflim oranı mg/dl/saat 5 Düzlemde Doğrunun Denklemi ve Doğrunun Eğimi sa Koordinat düzleminde P (a, b ), P (a, b ) noktalarını alalım. P ve P den geçen doğrunun denklemini B B Y P P P bulmak için bu doğrua ait ve koordinatları (d) (, ) olan bir P noktasını gözönüne alalım. X A A 55

5 ÜNİTE P, P ve P noktalarının eksenler üzerindeki dik izdüşümleri sırasıla X, A, A ve Y, B, B olsun. Tales teoremi ardımıla BY A X BB A A azılabilir. Bu aşamada koordinatlara geçerek - b b - b - a a - a Bu eşitlikten çekilerek, b a şeklinde azılabilir. - b a b a b ^h - a a - a elde edilir. () deki bağıntıa P ve P noktalarından geçen doğrunun denklemi denir. Doğrua bir fonksion gözüle bakılırsa () denklemi b f ^ h a - b - a a b $ a - a b - a şeklindedir. Bu son azılıştan f(a ) b, f(a ) b olur. O halde doğrunun denklemi fa ^ fa a f a a f a h- ^ h $ ^ h- $ ^ h ( ) a - a a - a b a KAVRAMSAL ADIM - b - a fa ^ fa h ^ h a - a şeklini alır. saısına doğrunun eğimi denir. Bu saı doğrunun O ekseni ile pozitif önde oluşturduğu α açısının tanjantına eşittir. Yani b Bağımsız (Serbest) Değişkenin Artış Miktarı, Fonksionun Artış Miktarı f() fonksionunda ʼe bağımsız değişken, ʼe bağımlı değişken denir. Eğer ve, değişkeninin iki değeri ve f() ve f( ) bu değerlere karşılık fonksionun aldığı değerler ise bu durumda Δ değerine (, ) aralığı üzerinde değişkeninin artış miktarı ve Δ vea Δ f( ) f() f( Δ) f() değerine de anı aralıkta fonksionunun artış miktarı denir. Değişim Oranı a d: a b d oranına, değişkeni ten Δ e kadar değiştiğinde nin ʼe göre ortalama değişim oranı denir. n n m d: m n d b tan a a O halde, - b - a m ( ) a $ f a a f a ^ h- $ ^ h n a - a denilirse () denklemi azılabilir. Bir Fonksionun Grafiğinin Teğeti f bir fonksion olsun. f nin tanımlı olduğu (p, q) aralığını gözönüne alalım. Aralığa ait herhangi bir a değeri seçildikten sonra f fonksionunun grafiği üzerinde bulunan (a, f(a)) noktasına A dielim. p q m n () şeklini alır. 56

6 Merkezi A(a, f(a)) olan doğru demetine ait doğrulardan bazıları f fonksionunun grafiğini oluşturan eğri parçasını A noktası dışında ikinci bir noktada keser. Bu tür doğrulara eğrinin A noktasından geçen kesen vea kirişleri denir. Şimdi a değerini h kadar arttıralım. a h noktasına grafik üzerinde (a h, f(a h)) noktası karşılık gelir. (a, f(a)) ve (a h, f(a h)) noktalarından geçen doğrunun denklemi () denkleminde olduğu gibi azılabilir ve bu doğrunun eğimi () bağıntısına göre; mh ( ) KAVRAMSAL ADIM f(a) A p a q p f(ah) f(a) A(a, f(a)) f^a hh -f^ah f^a hh -f^ah a h-a h şeklindedir. a ve a h noktaları arasındaki artma miktarı (h) küçültülürse, ani h ile gösterilen büüklük sıfıra aklaştırılacak olursa (a, f(a)) ve (ah, f(ah)) noktaları birbirine aklaşır. Geometrik olarak (ah, f(ah)) noktasının (a, f(a)) noktasına aklaşarak çakışması halinde kesen doğrunun limit durumuna, f fonksionunun grafiğinin A noktasındaki teğet doğrusu denir. Teğet doğruu elde etme işlemini fonksionlara indirgeerek, A noktasından geçen doğrunun denklemi () bağıntısına göre, a ah f^a hh f^ah ^a h $ f a a$ f a h $ h ^ h - ^ h h h q ifadesinin limiti alınabilir. Bu limitin sonucu olarak elde edilen saıı eğim olarak kabul eder ve A noktasından geçen doğrunun eğimini azma olanağı, fonksionlar için limit kavramının varlığından dolaı vardır. Ölese f fonksionunun grafiğinin A noktasındaki teğet, fonksionlardaki limit kavramını ugulamak suretile bulunabilir. Teğet Çiziminde Ortaa Çıkabilecek Zorluklar fa ( h) fa ( ) Teğet problemlerinde ortaa çıkan oranının limitini h bulmak her zaman mümkün olmaabilir. Değişkenin a değeri için fonksion sürekli değilse böle bir teğet çizmek mümkün olmaacaktır. ÖRNEK, < ise f ( ) *, ise fonksionunun grafiğine noktasında teğet çizmek mümkün değildir. Fonksionun sürekli olması halinde bile sürekli olduğu her noktada teğetinin olması mümkün olmaabilir. ÖRNEK f() fonksionunu gözönüne alalım. f() fonksionu noktasında sürekli olduğu halde bu noktada bir teğet çizmek mümkün değildir. A k A (,) ÜNİTE f^a hh - f^ah f a h -f a. ^ h ^ h - $ a f^ah h h şeklinde azılır. O halde (a h, f(a h)) noktasının (a, f(a)) noktasına aklaşması halinde kesen doğrular için aranan limit erine h saısının sıfıra aklaşması halinde kesen doğrunun eğimi olan, fa ( h) fa ( ) h A A' ve A'' noktaları k doğrusu kendine paralel kalacak şekilde A noktasına aklaştırılabilir. Buna göre, başlangıçtan geçen ve k gibi her doğrua paralel kalan doğru noktası için teğet kabul edilebilir. Şu halde verilen fonksionun noktasındaki teğetleri merkezi O noktası olan ve fonksionu belirtilen iki doğru ile sınırlanmış 9 lik açıı dolduran doğru demetini oluştururlar. 57

7 ÜNİTE. Türev ve Teğetin Eğimi Arasındaki İlişki f() fonksionunun grafiğine A(, ) noktasında çizilen teğetin eğimini araştıralım. Düzlemde A(, ) ve B(, ) noktalarından geçen doğrunun eğiminin olduğunu biliorsunuz. eğrisi üzerindeki A(, ) noktasına akın B(, ) noktası için, m m Şimdi eğrisi üzerinde A(, ) noktasına akın (.9, (.9) ) noktası için m AB AB AC KAVRAMSAL ADIM - m AB - Δ deki de iflim Δ deki de iflim bulunur. - Δ deki de iflim Δ deki de iflim A(, ) eğrisi üzerinde A noktasına akın E(, ) noktası için m AE Δ deki de iflim Δ deki de iflim bulunur. - Elde edilen bu sonuçları tabloda gösterelim. f() fonksionunun grafiğine A(, ) noktasında çizilen teğetin eğimini bulalım. h R olmak üzere, h için A ve B ( h, f( h)) B ( h, ( h) ) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım. lim m Nokta E im AB h " " ^ hh - lim h ^ hh - 6h h lim h " h lim ^6 hh 6 d r. h " (, ) 5 (.9,(.9) ) (.,(.) ) 5,9 6, (h) A B (h,(h) ) h (, ) 7 ^9, h - 8, , bulunur. 9, - -, Bu değer f() türevidir. fonksionunun noktasındaki sağdan eğrisi üzerinde A noktasına akın D(., (.) ) noktası için, m AD Δ deki de iflim Δ deki de iflim ^, h - 96, - 9 6, bulunur., -, C (( h), f( h)) C ( h, ( h) ) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım. ^-hh - lim m lim AC h h -h - " " ^ h A ( h) C ( h,( h) ) - 6h h lim h " -h h lim ^6 - hh 6 h " 58

8 KAVRAMSAL ADIM Bu değer f() fonksionunun noktasındaki soldan türevidir. ETKİNLİK ÜNİTE Bir fonksionun bir noktadaki türevi, fonksionun o noktadaki teğetinin eğimidir. f() fonksionun grafiğine A(, ) noktasında çizilen teğetin eğimi 6 dır. NOT Bir fonksionun grafiğine ait bir noktadaki teğetin eğimi için o noktadaki sağdan ve soldan türevin eşit olduğuna dikkat ediniz. UYARI Bir fonksionun grafiğine a noktasında çizilen teğetin eğimi (sıfır) ise teğet doğru eksenine paraleldir. Eğim m tanα eşitliğinde α açısı teğet doğrunun ekseninin pozitif önüle aptığı açıdır. < α < 9 ise m tanα > 9 < α < 8 ise m tanα < Yani f fonksionunun noktasındaki türevinin değeri noktasındaki teğetinin eğimi m f'( ) tan α > ise α dar açı, m f'( ) tan α < ise α geniş açıdır. a) f() fonksionunun noktasındaki soldan ve sağdan türevini bulunuz. b) f() fonksionunun noktasındaki soldan ve sağdan türevini bulunuz. c) f() fonksionunun noktasındaki soldan ve sağdan türevini bulunuz. f' ( ) E im s f r < a < 9, f' ( ) > (E im pozitif) 9 < a < 8, f' ( ) < (E im negatif) 59

9 ÜNİTE. Bir hareketlinin t saatte aldığı ol S(t) t 5t fonksionu ile verilsin. Bu hareketlinin [,] aralığındaki ortalama hızını bulunuz. S^h- S^h V ort - ^ 5. h- ^ 5. h km / sa olur fonksionu verilior. değişkeninin aşağıdaki değerlerine karşılık gelen Δ ve Δ değerlerini bulunuz. a) den,ʼ e b) ten e a) Δ,, Δ f( ) f( ) f(,) f() [(,) 5(,)6] [ 5.6],9 b) Δ Δ f( ) f( ) f() f() ( 5. 6) ( 5. 6) bulunur.. f ^ h hiperbolünün Af, p ve Bf, p noktalarından geçen keseninin (kirişinin) eğimini bulunuz., Δ 7 Δ f( ) f( ) m AB Δ deki de iflim Δ teki de iflim 7 - m - dur. AB UYGULAMA ADIMI olup eğim,. f() fonksionu verilior. değişkeninin aşağıdaki değerlerine karşılık gelen Δ ve Δ değerlerini bulunuz. a) den ʼ e b) den, e a) Δ Δ f( ) f( ) f() f() (. ) (. ) ( 7) 6 b) Δ,, Δ f( ) f( ) f(,) f() (.(,) ) (. ) [.(,)] ( ),, bulunur. 5. f() fonksionunun grafiği ve apsisli noktasındaki teğeti verilior. Buna göre f'() kaçtır? f'(), d doğrusunun eğimidir. m olup, f tü r. d l^ h 6. Şekilde f() eğrisinin grafiği ve apsisli noktadaki teğeti verilior. fl^h- ve B(9,) olduğuna göre, A noktasının ordinatı kaçtır? d doğrusunun eğimi OA fl^h m - d OB (eğim açısı geniş açı) OA 6 dır. O halde, A noktasının ordinatı 6 dır. OA 9 A T B 9 f() d f() d 6

10 KAVRAMSAL ADIM. Diferansiel Kavramı f, noktasında türevli bir fonksion olsun. d f^h& fl^h& d fl^hd d Burada d e f nin noktasındaki diferansieli denir. Yaklaşık Değer Hesabında Diferansielin Kullanılması d doğrusu f nin grafiğine P noktasında teğettir. Şekilden Δ f(δ) f() ve Δ için, (Δ d) Δ, d olduğundan, d, f( Δ) f() olur. O halde, f( Δ), f() d diferansiel elde edilir. Bu ifade aklaşık değer hesaplamasında kulanılır. ÖRNEK 5, 8 f( ) f() saısının aklaşık değerini bulalım. P Δ Δ d, Δ d d ÖRNEK ETKİNLİK 6 f: R R, f() fonksionu verilior. a) için aşağıdaki tablou tamamlaınız. Δ b) Herhangi bir için lim limitini hesaplaınız. Δ $ Δ,,,,,,,, saısının aklaşık değerini hesaplaalım. f( ) f() ÜNİTE f() alalım. f ^ Δh, f ^ h d Δ, d 5 ve Δ d, 8 alınırsa, 8, 5, 8 5, 8, , 8, 5 5, 8dr. i f^h alalım. f ^ Δh, f ^ h d Δ, d^ h d Δ,. 6, Δ d alınır. ^-h 6 -, 6. ^6h 6, ,, 979 olur. 8 6

11 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK tan 8 nin aklaşık değerini bulalım. f() tan f( Δ), f() d f( Δ), f() f'() d tan( Δ), tan (tan X). d 5 ve Δ d π 6 alınır. tan^5 h, tan 5 ^ tan 5 h 5 π tan 8, ^ h$ 6 π tan 8, olur. ETKİNLİK ETKİNLİK $ saısını aklaşık olarak hesaplaınız. π 6. Türevin Tanımı (Bir Noktada Türev) A R ve f: A R fonksionu verilmiş olsun. A olmak üzere; f ^ h - f ^ h lim " ifadesi bir reel saı ise, bu limite, f fonksionunun noktasındaki türevi denir ve ile gösterilir. Bu durumda f fonksionu noktasında türevlenebilir denir. f fonksionu A kümesinin her noktasında türevlenebiliorsa, f fonksionuna A kümesinde türevlenebilir denir. f' : A R fonksionuna f fonksionunun A tanım kümesindeki türev fonksionu denir. f fonksionunun noktasındaki türevi f l^ df,, simgelerinden biri ile gösterilir. h d ^ h ^ h a h olsun, a h olup f fonksionunun a noktasındaki türevi biçiminde de azılabilir. ETKİNLİK - fl^ h f ^ h - f ^ h lim " - fa ^ hh-fa ^ h fl^ah lim h h" ln(e e ) nin aklaşık değerini bulalım. f() ln, e, Δ d e alalım. f( Δ), f() d f( Δ), f() f'()d ln^ Δh, ln d ln^e e h, ln e $ e e ln^e e h,. e dir f() a b fonksionunun R noktasındaki türevini bulunuz. f ^ h- f ^ h fl^ lim h " - ^a bh- ^a b h f l^ lim h " - a ^ - h lim a " - fl^h a bulunur. 6

12 . f: R R, f() biçiminde tanımlı f fonksionunun a noktasındaki türevi nedir?. f ^ h fonksionunun noktasındaki türevini bulunur. f ^ h- fa ^ h - a fl^ah lim lim " a a " a - a ^- ah^ ah lim " a ^- ah lim^ ah bulunuz. flf p lim lim " lim " " lim lim f ^ h - ff p " a a bulunur. f - p f p lim. " - f " " ile genifllettikp - f- pf p UYGULAMA ADIMI. f: R R, f() fonksionunun noktasındaki türevi nedir? f ^ h- f^h ^ -h-^ -h fl^h lim lim " - " - - lim " - ^- h^ h lim " ^ - h lim^ h π. f: R R, f() sin fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. " bulunur. Trigonometrik fonksionların türevini bulmak için, π π fc hm-fc m π flc m lim olunu kullanmak kolalık sağlar. h" h Türev alırken p q p-q sin p- sin q cos $ sin eşitliğini kullanacağız. π π sinc hm sin π flc m lim h " h π π π h h π f p f. cos $ sin lim h h " π h h. cosf p$ sin lim h " h h sin π h lim cos f p$ lim h" h" h π cos $ bulunur. p ÜNİTE 6

13 ÜNİTE. Hareket fonksionu S S(t) t t 5 olan bir hareketlinin [,5] aralığındaki ortalama hızı kaçtır? (t sanie, S cm) PEKİŞTİRME ADIMI. f() fonksionunda neden sadece Δ 5 verildiğinde Δ bulunabilior da bu durum f() fonksionunda geçerli olmuor? 5 cm / sn. f() fonksionunun den e kadar Δ ve Δ değerlerini bulunuz. Δ Δ. f() fonksionu için aşağıdaki değerlere göre Δ i hesaplaınız. a), Δ, b) 8, Δ 9 c) a, Δ h a için f() a b lineer fonksion olduğundan bu durum geçerli,. ve daha üksek dereceli polinom fonksionlarda gerçeli değildir. Δ 5. Aşağıdaki fonksionlar için Δ artış miktarını ve değişim oranını bulunuz. Δ a), ve Δ, için ^ - h b), ve Δ, c) log, 6, Δ 9. 5 a) 6 ; 56 b), ; c) ;, 6. parabolünün kesim noktalarının ve apsisleri aşağıda verilmiş olan kesenlerinin (kirişlerinin) eğimlerini bulunuz. a), b),,9 c), h a), b) - c) a h - a a) b), c) h 6

14 PEKİŞTİRME ADIMI 7. Δ. Bir nokta vea eksen etrafında dönmenin t anındaki, eğrisinin [,5] kapalı aralığındaki oranını bulunuz. b) ani hızı Δ a) ortalama hızı nee eşittir? (t anındaki dönme açısı: α) ÜNİTE 7, 5 8. fonksionunun kapalı aralığındaki değişiminin ortalama hızı nedir?. Isıtılmış bir cisim ısısı daha az olan bir ortamda eniden soğuacaktır. (ısı kabedecektir) Aşağıdaki ifadelerden ne anlaşılır? a) Ortalama soğuma hızı a) b) b) Verilen bir andaki soğuma hızı (t anındaki ısı I) Δa Δt lim Δt " Δa Δt ΔI a) Δt ΔI b) lim Δt Δt " Δ 9. f() eğrisi için [, Δ] kapalı aralığında oranının değeri Δ nedir?. Kimasal reaksion halindeki bir maddenin reaksion hızından ne anlaşılır? (Q, t anındaki madde miktarı) f ^ Δh -f ^ h Δ lim Δt " ΔQ Δ t 65

15 ÜNİTE. f: R R, f() fonksionunun a) noktasındaki türevini bulunuz. b) noktasındaki türevini bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI π 6. f() cos fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz.. f: R R, f() fonksionunun a), b), c) noktalarındaki türevini bulunuz. 5. f: R R, f() fonksionunun a) 6 b) a) b) 7 c) 7. f ^ h fonksionunun a), b), c) noktalarındaki türevini bulunuz. a) 5 b) 7 c) 7 a), b), c) noktalarındaki türevini bulunuz. 8. f ^ h fonksionunun 8 noktasındaki türevini bulunuz. a) - b) - c) - 66

16 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK Grafikten ararlanarak 5. Türevin Tanımı () (Soldan ve Sağdan Türev) A R ve f : A R fonksionu verilsin. a A ve p R olmak üzere, ÜNİTE f() a a a c 5 c c c c a a 5 f ^ h- fa ^ h lim p a " a - limitine, f fonksionunun a noktasındaki soldan türevi denir ve f'(a ) ile gösterilir. q R olmak üzere, a) f fonksionunun limitinin olmadığı noktaları bulunuz. b) f fonksionunun süreksiz olduğu noktaları bulunuz. c) f fonksionu hangi noktalarda türevli değildir? d) f fonksionunun sürekli olup türevli olmadığı nokta var mıdır? f ^ h- fa ^ h lim q " a a - limitine de fonksionun a noktasındaki sağdan türevi denir ve f'(a ) ile gösterilir. UYARI. Bir f fonksionunun a noktasında türevinin olması için gerek ve eter koşul f nin a noktasında sürekli ve f nin a noktasında soldan ve sağdan türevlerinin eşit olmasıdır.. Bir f fonksionu a noktasında türevli ise f, bu noktada süreklidir. Ya da buna denk olarak, f fonksionu a noktasında sürekli değil ise f bu noktada türevli değildir. f() f() de f() süreksiz de türevi ok. de f() süreksiz de türevi ok. e) lim f( )?, f( a )? a $ f'(a )? 67

17 ÜNİTE. f: R R, f() fonksionu verilior. a) f'( ) b) f'( ) c) f'() değerlerini (varsa) bulunuz. a) fl^ b) fl^ - h lim " lim " - lim lim - " " " f ^ h- f^h - - lim - ^ h - " - c) f'( ) f'( ) olduğundan f'() oktur.. f: R R, f() fonksionu verilior. a) f, da sürekli midir? - - -^- h. ^ h lim - h lim " lim " lim " f ^ h- f^h ^- h. ^ h lim - " lim ^ h " UYGULAMA ADIMI b) fl^ lim - - fl^ h lim - fl^ - h h lim lim f'( ) f'( ) olduğundan f nin noktasında türevi oktur. Şekli inceleiniz. da fonksionun belirli bir teğetinin olmadığına dikkat ediniz.. f: R R Z -, < ise ] f ^ h [, ise ] -, > ise \ ile tanımlı fonksionun noktasındaki a) sürekliliğini inceleiniz. b) türevini (varsa) bulunuz. f ^ h- f^h - lim - " " " f ^ h- f^h - lim - " " " b) f, da türevli midir? a) f nin sürekli olması için noktasındaki soldan ve sağdan limitlerinin f()ʼa eşit olması gerekir. lim f ^ h lim lim ^- h " " " lim f^h lim f( ) f^holupf^h " " fonksionu da süreklidir. a) lim f ^ h lim ^- h - " " lim f^h lim ^- h. - " " ve f() olduğundan lim f^h f^h olup " f, de süreklidir. 68

18 . b) fl^ - dir. f'( ) f'( ) olduğundan f fonksionunun noktasında türevi oktur. fonksionunun noktasındaki türevini (varsa) bulunuz. f ^ h- f^h - - h lim lim " " -^ -h lim - - " f ^ h- f^h ^ -h- f l^ h lim lim - - " " ^ - h lim - ", # fr : " R, f ^ h * - -, f ^ h- f^h - - fl^ h lim lim " - " - ^- h^ h lim " ^ - h lim - ^ h - f ^ h- f^h - - f l^ h lim lim - " " - -^ -h lim - - " " olup f'( ) f'( ) olduğundan noktasında fonksion türevlidir ve türevi f'() dir. UYGULAMA ADIMI a) > olduğundan f'() için f() 6 dır. f ^ h- f^h ^ -h-^. -6h fl^h lim lim - - " " b) kritik nokta olduğundan sağdan ve soldan türevleri bulunmalıdır. fl^ fl^ - ^ h lim " " " f'( ) f'( ) olduğundan f'() oktur. 6. f() 6 fonksionu için eğer varsa, a) f'() türevini bulalım. b) f'() türevini bulalım. - - lim - ^ - 9h lim " - ^- h^ h lim ( - ) ". ^ h 8 h- ^ h - ^- h^ h lim - ( ) ^ -6h-^. -6h h lim - " ^ - h^ h lim - " $ ^ h ÜNİTE 5. Z, ise ] fr : " R, f ^ h [ 6, ise ] \ - 6, ise fonksionu için eğer varsa a) f'() değerini bulalım. b) f'() değerini bulalım. a), f() 6 fonksionu için bir kritik nokta olmadığından ^6 - h -^6-9h fl^h lim - " ^ h^ h lim lim - ( - ) " " -6 d r. 69

19 ÜNİTE b) noktası f() 6 fonksionunun bir kritik noktasıdır. Bu nedenle sağdan ve soldan türevlere bakılır. fl^ fl^ - h f'( ) f'( ) olduğundan f'() oktur. 7. R de tanımlı f() fonksionunun deki türevi kaçtır? f ^ h- f^h ^ -6h-^ -6h lim lim - - " " Polinom fonksionlar her erde sürekli olduğundan de f fonksionu süreklidir. noktası fonksion için bir kritik nokta olmadığından sol sağ türevi bulmaa gerek oktur. Doğrudan türevi bulabiliriz. ^- h^ h lim ( - ) " 8 f ^ h- f^h ^6 - h-^6 - h h lim lim - - " " -( - )( ) lim -8 - ( - ) " UYGULAMA ADIMI dir. 8. f() ise, f'() kaçtır? kritik nokta olduğundan sağdan ve soldan türevlere bakılır. fl^ h - f l^ h f'( ) f'( ) olup, f'() dır. 9. f: R R, f(), < *, fonksionunun deki türevini bulunuz. ^$ ^h h - ^ h lim - " - lim lim " " ^^- h h- ^$ h lim - " - - lim lim (- ) " " noktası bu fonksion için kritik nokta değildir. in komşuluğunda fonksion f() ile ifade edilmektedir. f() sürekli olduğundan hemen türevini hesaplaabiliriz. f ( ) f( ) f'( ) lim $ ( ) f ( ) f( ) f'( ) lim $ ( ) lim $ ( ) ( 6) lim $ lim $ lim $ ( )( ) lim $ ( ).( ) lim $ lim $ ( ) bulunur. lim ( ) dir. $ 7

20 . f() fonksionunun noktasında türevini (varsa) bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI. a b, # f ^ h * a, fonksionunun noktasında türevli olması için a ve b değerleri ne olmalıdır? ÜNİTE., # f ^ h *, şeklinde tanımlanan f fonksionu için f'() değerini (varsa) bulunuz.. f ( ) fonksionunun noktasında türevini (varsa) bulunuz f() 6. fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. Z a b, ] f ^ h [ c, # ] d, $ \ fonksionu ve de türevli olduğuna göre, a, b, c, d değerlerini bulunuz. 5 a, b 6 Türev oktur. a, b 7 c 6, d 9 7

21 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM 6. Türev Alma Kuralları D R ve f, g, h fonksionları D kümesinde türevli olsunlar.. Sabitin Türevi c R ve f() c & f'() dır. (Sabit fonksionun türevi sıfırdır.) ETKİNLİK Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a) 6 ÖRNEK f() 5, f(), f() fonksionlarının türevi nedir? f() 5 & f'() f() & f'() f() & f'() dır. c) ( ).( ). n Q, c R olmak üzere, f() c. n f'() c.n. n dir. ÖRNEK f() 5, f() f ^ h, f ^ h fonksionlarının türevini bulunuz. b) 6 7/ 5/ d) ( ) f() 5 & f'() e) f() & f'() f f ^ h & l^ h $ f() & f'(). ( ) 8 olur. 7

22 KAVRAMSAL ADIM. Toplam vea Farkın Türevi F() f() ± g() & F'() f'() ± g'() tir. II. Yol: Çarpımın türevinde verilen kural ugulanırsa, ÜNİTE ÖRNEK f() 5 fonksionunun türevini bulalım. f() 5 & & & f'() ( 5 )' f'() ( )' ( )' (5 )' f'() 9 olur. ÖRNEK f(). () fonksionu verildiğine göre, f'() ifadesini bulunuz. f'()..()..() 6 bulunur. ÖRNEK a, b olmak üzere; f() ( a) ( b) fonksionu verilior. f'() denkleminin çözüm kümesini bulunuz. f() ( a) ( b) & f'() ( a)'( b) ( a)( b)'.( b) ( a).. Çarpımın Türevi (ab). F() f(). g() ise F'() f'(). g() f(). g'() f'() & (ab) & a b. F() f().g(). h() ise a b F'() f'().g(). h() f(). g'(). h() f(). g(). h'() tir. & dir. ÖRNEK m, n Z olmak üzere; f() m n ise, f'() f'( ) toplamı nedir? I. Yol: f() () ise f() olup f'().. 6 olur. f() m n & f'() m m n n olur. f'() m n f'( ) m( ) m n( ) n m( ) n( ) (mn) ve f'() f'( ) m n (m n) bulunur. 7

23 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM 5. Bir Fonksionun Kuvvetinin Türevi n Q ve F() [f()] n & F'() n.[f()] n. f'() tir. ÖRNEK f() ( ) fonksionunun türevi nedir? 6. Bölümün Türevi g() olmak üzere, f ^ h fl( ). g( ) - f^h. gl^h F ^ h & Fl ( ) g ^ h 6 g ^ h@ f() ( ) ÖRNEK f ( ) ^ h f ^ h ^ h f'().( ). ( )' & f'().( ) 9.( )'.( ) 9...( ) 9 olur. fonksionu için f'( ) nedir? & f ^ h ^ h ÖRNEK f ^ h ÖRNEK pozitif olduğuna göre, f'() ifadesini bulunuz. ^ hl. ^ h- ^ h. ^ hl fl^h ^ h ^ h ^ h ^ h ^ h f ^ h i ise, f'( ) cosi açısı kaç derecedir? bulunur. eşitliğini sağlaan en küçük. ( ). X. olup ^ h. ^ h f'( ) ^^- h h 6 bulunur. f ^ h ise. ^ h. ^h f l^h ^ h ^ h. ^ h fl^ h cos i ^ ^ h h i 6 dir. ise 7

24 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK KOLAYLIK a, b, c, d R olmak üzere, a b ad - bc f ^ h ise f l^ h dir. c d ^c dh ÖRNEK f() ( ) ise, f'() nedir? f'() ( ).( ) Vea ( ) te u olsun. u du d bulunur. d & u du olur. d d du. ( ).( ) d du d 5 f ^ h fonksionunun türevini bulalım - ETKİNLİK f ( ) düzenlenirse UYARI fonksionunun türevini bulalım. ( )( ) ( )( ) f'( ) ( ) 6 f'( ) ( ) a b c f ( ) m n p türevi f'( ) a b c m n p a m bulunur. ise katsaıları azılarak b n a c m p ( m n p) a b ; an bm dir. E m n bulunur. Buna göre bir önceki örneği çözelim. Katsaıları f'( ) olur. b n c p ( ) 6 f'( ) ( ) ÜNİTE 5. ^-h -5. f ^ h & fl^h - ^ - h --5 ^ - h ETKİNLİK f ( ) 5 fonksionunun deki türevini bulunuz. -9 ^ - h dir. 75

25 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK ÖRNEK a f ^ h ve fl^h ^ h ^ h f ^ h ^ h. ^ h -. ^ h fl^h ^ h ^ hl ise f ^ h & fl^h ^ h6 ^ h-@ ^ h^ h - a ^ h ^ h ise a - dir. ÖRNEK m m R olmak üzere f ^ h fonksionunun türevi sıfır ise, m kaçtır? m m ^ h ^m h f ^ h & fl^h ^ h m - fl^h & & m - ^ h & m & m " ise, a kaçtır? f ^ h ise, fl^h nedir? dir. ve ÖRNEK f ^ h isef ^ h. fl^h nedir? Her iki tarafın karesini alalım. f ^ h & f^h olur. Şimdi de her iki tarafın türevini alalım.. f^h. fl^h & f^h. fl^h dir. ÖRNEK f ^ h - ise, f'() kaçtır? dir. 7. Köklü İfadelerin Türevi gl ^h a) f ^ h g ^ h & fl^h g ^ h n b) f ^ h g ^ h & fl^h n. n gl ^h 6 g^h@ n - dir. - f ^ h - & fl^h - - fl^h & fl^h tü. r 76

26 KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK ETKİNLİK a, b, c R f ( ) fonksionunun türevi f ^ h a b c, f^h ve f().f'() ise, f'() kaçtır? f^h a b c ise f ^h a b c b f ^ h. fl^h a b& f ^ h. fl^h a ve b f ^ h. fl^h & a b & a, & b 6 d r. f^h & f^h c & c ve f ^ h 6 dir. f^h. 6. f ^ h. fl^h & f^h. fl^h. &. fl^h 7 7 & fl^h ÖRNEK dir. Bu tip fonksionlarda türev alınırken önceden sadeleştirme apılırsa f() /6 X / X / 76 / / / f'( ) 6 biçiminde bulunur. ETKİNLİK. a) f ( ) fonksionunun türevini bulunuz. ÜNİTE f(). ise, f'() değerini bulunuz. b) f() ise, f'() değerini bulunuz. f ( ) f'( ) f'( ). olur. 77

27 ÜNİTE UYGULAMA ADIMI. f(). f() m ve f'() 6 olduğuna göre, 6 fonksionu için, flf p değeri kaçtır? m kaçtır? f ^ h 6 isefl^h 6 & flf p. 6 7 dir. f() m ise f'() m & f'(). m & m 5 & m - bulunur.. f(). g() fonksionu için g( ), g'( ) olduğuna göre, f'( ) kaçtır? f().g() & f (). g(). g'() için, f'( ) ( ). g( ) ( ). g'( ). Ugun koşullarda f'( ). bulunur. f ^ h. f ^ h koşulunu sağlaan f fonksionu için f() ise f'() değeri kaçtır? f ^ h. f ^ h ise fl^h fl ^h 6. f^h. f ^ h iç in, fl^h fl ^h 6.. f^h.. f^h. fl^h f l^h 6 fl^h $ fl^h & fl^h- fl^h fl^h & fl^h 5 bulunur. 5. f ^ h ise, f'() değeri kaçtır? 6. f ^ h fonksionuna apsisi olan noktadan - çizilen teğetin eğimi kaçtır? ^ h. ^ h- ^ h. ^ h fl^h ^ h ^. h^. h- ^. h. ^. h f l^h ^. h f'() istenmektedir. bulunur. ^ hl. ^ -h- ^ h. ^ -hl fl ( ) ^ -h ^ h. ^ -h- ^ h. ^ h f l^h ^ -h ^ h. ^ -h- ^ h. ^ h f l^h ^ -h 5-8 fl^h - bulunur. 78

28 a 7. f ^ h fonksionu için, fl^h olduğuna göre, a kaçtır? a a. ^ h- $ ^a h f ^ h & fl^h ^ h a$ - $ ^a h & fl^h ^$ h UYGULAMA ADIMI. f() a fonksionunun grafiğine apsisli noktada çizilen teğetin eğimi 6 olduğuna göre, a kaçtır? f'() 6 olmalıdır. f'() a olup f'(). a 6 & 6 a & a dir. ÜNİTE a - 6 & a & a 9 bulunur. 8. f().g() f'(), g'() olduğuna göre, g() kaçtır? f(). g() f'() 6. ( ) bulunur. f'(). g(). g'() 6 & f'().. g().. g'(). 6. f'() ve g'() olduğundan. g(). 9.g() g() bulunur.. f() ( ) ise, f'() nedir? f() ( ) & f'() ( ). ( )' f'(). ( ).. f( 5) olduğuna göre, f'() f() kaçtır? f( 5) & f'( 5). 9. f() (6 ) fonksionu için f'( ) değeri kaçtır? f() (6 ) & f'() (6 ).(6 )' (6 ). ( ) için; f'( ) (6. ( ).( ) ). (( )). 5. ( ) 75 bulunur. & f'(. 5).. & f'(). 9 & f'() f( 5) & f(. 5). & f() 9 O halde, f'() f() 9 bulunur. 79

29 ÜNİTE. f() 5 ise, f'() i bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI 5. f(). () fonksionu için f'( ) değeri kaçtır?. f() ise, f'( ) değeri kaçtır?. f().g() ve g( ), g'( ) olduğuna göre, f'( ) değeri kaçtır? - 6. f ^ h fonksionunun - noktasında (varsa) türevini bulunuz. 7. f ^ h fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. oktur 7. f ^ h fonksionu için flf p değeri kaçtır? 8. ^ - h f ^ h fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. 5 8

30 KAVRAMSAL ADIM 8. Parametrik Fonksionların Türevi D f R ve f: D R fonksionu (bağıntısı) f() kuralıla verildi ği gibi, t ortak değişkenine bağlı olarak f(t) ve g(t) kuralıla da verilebilir. Burada t e parametre, f(t) ve g(t) ifadesine parametrik fonksion denir. f(t) ve g(t) fonksionları t e göre türevli olmak üzere, nin değişkenine göre türevi: d d dt $ d dt d l t Bu türev kısaca l biçiminde gösterilir. l ÖRNEK t, t t ise, d dt d dt d t & t dt dir. t d d d t t & t olup dt d d d dt dt t $ d dt d d t dt ifadesi nedir? dir. d d dt t - d d t - t dt d d t - 9. Kapalı İfadelerin Türevleri F(,) denkleminden, f() gibi nin e bağlı fonksionu elde edilebiliorsa türev Ancak çoğu kez, f(,) denkleminde f() gibi bir fonksion bulmak olanaksızdır. Bu durumda verilen denklemin her teriminin e göre türevi alınarak türevi bulunur. d d ÖRNEK d fl^h tir. d ise, bulunur. d d ifadesi nedir? ÜNİTE ÖRNEK t t ve t t ise, d d türevinin t noktasındaki değeri nedir? d t - t & t -t dt d t - t & t- dt ve eşitliğinde her terimin 'e göre türevi alınırsa, &.. ' &.' &.' & ' - & d d - bulunur. 8

31 ÜNİTE ÖRNEK 5 ise, Önce d i bulalım: d d d Her terimin ʼe göre türevi alınırsa:. X..'..' d d ve KAVRAMSAL ADIM d d '( ) KOLAYLIK d l - d değeri kaçtır?. bulunur.. F(,) denkleminin l d türevi şöle de bulunabilir. d sabit düşünülerek değişkenine göre F' (,), sabit düşünülerek değişkenine göre F' (,) bulunarak d Fl ^, h l - azılır. d Fl ^, h F(,) F' (,) 6 F' (,) olup d Fl ^, h 6 - d Fl ^, h ETKİNLİK -. Trigonometrik Fonksionların Türevleri:. a) f() sin & f'() cos dir. sin (π) cos ( ) & '? b) f() sing() & f'() g'(). cosg() c) f() sin n & f'() n.sin n. (sin)' n.sin n.cos ÖRNEK f() sin ise, f'() nedir? ÖRNEK ise, d d ifadesini bulunuz. f() sin ise, f'() ()'. cos & f'().cos tir. 8

32 KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK f() sin ise, kaçtır? f() sin ise, f'() sin. (sin)' sin. cos sin ve π flc m sin. π sin π dir. ÖRNEK f() a.sin b.sin ve π fl ( ). cos. cos ise fc m f() a.sin b.sin ise f'() a.cos b.cos cos cos olup bu eşitlikten π flc m a, b & b bulunur. O halde, f() sin sin olup, π π π fc m sin sin. - kaçtır? bulunur. f() sin sin ise f'()..sin.(cos)..sin.(cos)...sin.cos..sin.cos. (sin6 sin8) olup. a) f() cos & f'() sin π π. csin sin m $ f b) f() cosg() & f'() g'().sing() c) f() cos n & f'() n.cos n.(cos)' ÖRNEK π π π f' c m. csin 6 $ sin 8 $ m cos f ^ h ise, f l^ h nedir? n.cos n.sin 6^ h cos f ^ h ise. sin. sin fl^h ^hl sin olur. p tü. r ÜNİTE ÖRNEK ÖRNEK f().sin.sin ise, π flc m nedir? f() cos π cos türevinin 6 noktasındaki değeri nedir? 8

33 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM f() cos cos ise f'().cos.sin sin ÖRNEK sin sin sin π π π flc m. sin $ - $ sin $ dir. f() sin π cos π. π. f ^ h sin π cos ise olduğuna göre, f'( ) kaçtır? r r r f'() π.sinπ.cosπ. cos. sin π π fl^- h.π. sin^-π h. cos^-πh-π. cosc- m. sinc- m olur.. a) f ^ h tan & fl^h tan cos sec b) f ^ h tan g ^ h& fl^h ^ tan g ^ hh. gl^h $ gl ^h cos g ^ h sec g^h. gl ^h n n- c) f ^ h tan & fl^h n$ tan $ ^ tan h n - n$ tan $ cos n - n$ tan $ sec ÖRNEK f() tan ise, f' () ifadesinin eşiti nedir? f() tan ise f'().(tan X) 6(tan ) ÖRNEK f() tan cos ise, f() tan cos ise 6sec vea 6 cos tir. π flc m değeri nedir? fl ^h $ tan $ f p$ -cos $ sin cos π π π π flc m $ ftan p $ cos $ sin π fcos p $ ^ h $ - $ $ f- p 6 $ - dir.. a) f ^ h cot & fl^h- ^ cot h - -cosec sin b) f ^ h cot g ^ h& fl^h gl^h^ cot g ^ hh gl^h - sin g ^ h -gl^h$ cosec g^h n n- c) f ^ h cot & fl^h- n. cot $ ^ cot h n - -n$ cot $ sin n - -n$ cot $ cosec 8

34 KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK f() cot cot ise, f'() ifadesini bulunuz. f() cot cot ise f'() cot.( cot ). ( cot X) 8cotX 8cot X cot X olur. ÖRNEK π f ^ h tan cot ise, flc m ^ tan h- ^ cot h f' ^h tan cot π c tan m- c cot π f lc m π π tan cot. π m kaçtır? f ^ h- f^h f ^ h- f^h lim lim " - " ^- h^ h ÖRNEK f ^ h- f^h lim $ lim - " " fl^h$ fl^h ve π π π fl^h tan $ c tan m $ oldu undan π π π tan tan f l^ h ; c $ m$ c me π π bulunur. tan t ve cot t ise, d d türevi nedir? d tan t & tan t dt cos t d cot t & - ^ cot th- olup dt sin t d d dt cos t sin t -tan t bulunur. d d cos t dt sin t ^ h- ^ h Logaritma Fonksionunun Türevi ÜNİTE 7 7 dir. fl^h a. F() ln(f()) & F'() tir. f ^ h ÖRNEK π f ^ h- f^h f ^ h tan ise, lim " - ifadesinin değeri nedir? b. F() log a (f()) & F'() (a R {}) dir. fl^h $ f ^ h ln a fl^h log f ^ h a e 85

35 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulalım. a) f() ln d) g() log b) g() ln e) h() log 5 (sin) c) h() ln f) k() log (ln) ^hl a) fl^h b) g'() ()'. ln. (ln)' ln., n c) h(), n,n, n ^ hl d) g'() alog l $ log e k ^sin hl e) hl ^h alog ^sin l $ log e 5 hk sin 5 ^, nhl f) kl^h alog, n l $ log e ^ hk, n ^hl hl ( ) $. tir log e $ $ ln cos $ log e cot $ sin 5 ln 5 $ log e $ dir., n n,, n ETKİNLİK. Üstel Fonksionun Türevi a ifadesinin her iki anının doğal logaritmasını alalım: a & ln lna & ln lna olur. Her iki anının türevi alınırsa l. lna & l. lna & l a. lna bulunur. O halde f(), n u, n(, n) u' f'() u dersek f'( )., n & u' a) a & ' a.lna ise türevini bulalım. olur. tir. O halde f() log ( ) ise türevini bulalım. f'() loge. tür., n f(),n( sin ) ise türevini bulalım.. cos f'().cot olur. sin b) a f() & ' a f().f'().lna dır. ÖRNEK ETKİNLİK f(), n( sin ) için f' a r k? 6 Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulalım. a) f() d) f ^ h b) g ^ h a e) g() sin c) h ^ h - f) h ^ h 5 86

36 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK a) f() & f'(). ()'. ln. ln b) g ^ h a & gl^h a $ ^ hl $, na $ a., na - - c) h ^ h & hl^h $ ^-hl $, n $ $, n -$ $ $, n - -$ $, n d) f ^ h ise - - fl^h ^- hl $, n $ ^ h, n -$ $, n UYARI a fonksionunda a e(e,788...) alınırsa e olur. e ' e.lne e. e tir. e) g() sin & g'() sin. (sin)'ln O halde cos. sin. ln e f() ' e f().f'() f) h ^ h 5 & hl^h 5 ^ hl $, n5 5 $ $,n5 tir. ÖRNEK Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulalım. ETKİNLİK a) f() e d) f() e sin a) f ( ) sin( e ) ise, f'( )? f ( ) e ise, f'() i bulalım. f'( ). e b) g() e e) g() olur. e c) h() e f) h() e e a) f'() e.()' e olur. ÜNİTE b) g'() ()'.e. (e )'.e.e.( )' e e e (-) b) f ( ) e cos ise, f'( )? c) h'() ( )'e (e )' e e e ( ) d) f'() (e sin )' e sin.(sin)' cos.e sin e) gl e e. e ^ h ^ hl $ ^ hl $ tir f) h'() (e e )' (e )' (e )' e e.( )' e e tir. 87

37 ÜNİTE. Parametrik denklemi t t t t olan f() fonksionu için değeri kaçtır? d d dt t t d d 9t dt. UYGULAMA ADIMI türevinin t noktasındaki eşitliğile verilen f() fonksionunun ' türevini bulunuz. F l - F. bağıntısıla verilen f() fonksionunun apsisli noktasındaki türevini bulunuz. t l - dir. d d.. 9. bağıntısında 7 bulunur.. f() sin π fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. f ^ h sin & fl^h. sin $ cos 5. f() cos π cot fonksionunun - apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? f() cos. cot π π π & flc m. sin $ cos.. bulunur. f'().. cos. ( sin) cot. [ (cot )] π π π flc- m-6. cosc- m$ sinc- m π π π cotc- m $ c- m$ ;- c cot c- mme π -6$ $ f- p- $ - π π bulunur. 6. sin - cos π f ^ h fonksionunun sin cos apsisli noktasındaki teğetinin eğimini bulunuz. için.( ) ( ). ( ). olup, A(, ) noktasındaki türev soruluor. 6 ' ifadesinde, azılırsa 6$ ^ h $ ^-h$ ^- h ^-h$ l - ^- h ^-h bulunur. - - sin - cos f^h sin cos ^cos sin h$ ^sin cos h-^sin - cos h$ ^cos - sin h & fl^h ^sin cos h π π ccos sin m - & fl^r/ h bulunur. π π csin cos m O halde, m T dir. 88

38 sin 7. f ^ h fonksionunun noktasındaki türevinin - cos değeri kaçtır? sin f ^ h - cos ^ cos h$ ^-cos h- ^ sin h$ ^ sin h f l^h ^- cos h ^ cos h$ ^-cos h- ^ sin h$ ^ sin h f l^h ^- cos h ^ h^-h-$ - - bulunur. ^-h 8. f().tan π fonksionunun noktasındaki teğetinin eğimini bulunuz. f ^ h. tan & fl^h. tan $ $ tan $ ^ tan h π π π π π fl tan tan tan c m $ $ $ c m π ^ h π bulunur. UYGULAMA ADIMI. f ^ h log ise, f 9 kaçtır? 5 f p l^ h f p ' f ^ h log & f $ log e 5f p l^ h 5 f p. f() log( ) ise, f'() kaçtır? f() log( ) ise ^ hl fl^h $ log f l^h $ ln $ ^ h- ^ h$ ^ h & fl^h $ log e 5 f p & fl^h $ f p$ ^ h ln 5 l f l^h $ ^ h^ h ln 5 l fl^9h $ tir.. ln 5 ln 5 e ÜNİTE fl^h $ dur. ln ln ln 9. f() ln( ) ise, f'() kaçtır? ^ hl f ^ h ln^ h & fl^h $ ln e f l^h. fl^h dir.. f() ln(tan) ise, f'() nedir? ^tan hl f ^ h ln^tan h isefl^h tan tan fl^h tan tan tan fl^h cot tan olur. 89

39 ÜNİTE. f() ln(ln) ise, flf p kaçtır? e ^, nhl f ^ h, n^, nh & fl^h, n & fl^h, n n, e e & flf p - e dir. e e n, ne - $, e. ise,, ' nedir? &, n, n &, n, n l & ^, nhl l &,n $ & l $ ^n, h & l ^n, h. & ' (, n ) UYGULAMA ADIMI 6. f() ln( sin ) ise, f'() nedir? ^sin hl cos^ h. ^ hl f ^ h ln^sin h & fl^h sin sin $ cos f l^h sin cot fl^h tir. 7. (ln) ln ise, ' nedir?, n, ^, nh &, n, n6^, nh &, n, n., n(, n) ' ' ( ) n n n ^, nh,,,, n & ' ;, n(, n) E, n ' (, n). 6, ( ) n, 8. ln ise, f'(e) nedir? f^h n l,, n f^h & fl^h f p $ $, n, n 5. cos ise, ' nedir? cos & ln ln cos & ln cos $ ln l & ^cos $ ln hl l & - sin $ ln cos f p & l $ f- sin ln cos p 6 ^, l$ - fl^h -^, nh $ $ fl ( e) - e -^, neh $ $, n, n., n ln $, n, ne $ $ $, n e cos & l $ f- sin $ ln cos p olur. -, n e dir. 9

40 PEKİŞTİRME ADIMI π. f() sin tan fonksionunun r apsisli noktasındaki. f() cos fonksionunun apsisli noktasındaki türevini bulunuz. türevini bulunuz. ÜNİTE sin. f() fonksionunun apsisli noktasındaki cos türevini bulunuz. π - 5. eşitliğile verilen f() fonksionu için π d türevini bulunuz. d d - l - d - -. Parametrik denklemi t 5t t t olan f() fonksionu için, d d türevini bulunuz. π 6. f() sin sin fonksionu için flc m değeri kaçtır? 6t t - 5 9

41 ÜNİTE PEKİŞTİRME ADIMI 7. f() sin(cos) ise, f' () fonksionunu bulunuz.. f ^ h olduğuna göre, flf p değerini bulunuz., n e sin. cos(cos) 8. f() sin (sin) fonksionunun türevini bulunuz.. f() e sin π olduğuna göre, flc m değeri kaçtır? sin (sin).cos(sin).cos 9. f().ln ise, f'(e) değeri kaçtır?. f().e fonksionu için f'() değeri kaçtır? e 8e 9

42 e. f ^ h fonksionu için f'() değeri kaçtır? - e PEKİŞTİRME ADIMI, n 6. f ^ h fonksionunun apsisli noktasındaki türevini bulunuz. ÜNİTE. f() e tan π fonksionu için flc m değeri kaçtır? 7. f().5 fonksionu için f'() değeri kaçtır? π e ( ) 7ln, n^5eh 5 cos sin π 5. f ^ h - fonksionunun apsisli noktadaki türevini bulunuz. 8. f(). olduğuna göre, f'( ) değeri kaçtır? -.,n ^, n h- 9

43 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM. Bileşke Fonksionun Türevi (Zincir Kuralı): D R, E R olmak üzere; f: D E fonksionu a D noktasında, g: E R fonksionu f(a) E noktasında türevlenebiliorsa; gof: D R fonksionu da a noktasında türevlenebilirdir ve (gof)' (a) g'(f(a)). f'(a) dır. f(), z g() alınırsa z g(f()) (gof)() olur. ETKİNLİK f ( ), n, g ( ) ise (fog)() fonksionunun türevini bulalım. ( fog)( ), n( ) olur. ( fog)'( ) n ' a, k bulunur. dz dz d ^gofhl^ h $ ani zl zl $ l d d d (gof)'() g'(f()). f'() olur. ÖRNEK f: R R, f() g: R R, g() ise, (gof)'() nedir? I. Yol: (gof)'() g'(f()). f'() olduğundan g() & g'() f() & f'(), f() ve f'(). ise g'(f()) g'() 8 olduğundan (gof)'() 8. 6 dır. II. Yol: (gof) () g(f()) ( ) ( ) (gof)'() ( ) olup (gof)'() (..).8 6 dır.. Ters Fonksionun Türevi: A R, B R olmak üzere; f: A B bire bir ve örten fonksionunun ters fonksionu f : B A olsun. A için f() B ise ters fonksion tanımından B için f () A dır. f () eşitliğinin her iki anının ʼe göre türevi alınırsa; ^ f hl ^h$ l vea ( f ) l^h tir. l l fl^h fl^f ^hh oldu undan ^f hl^ h a da fl ^f ( ) h ^f ÖRNEK f:(,) R, f() fonksionu verilior. (f )' () nedir? hl^ h olur. fl^f ( ) h ÖRNEK f, g ve fog fonksionları türevlenebilir fonksionlardır. g( ), g'( ) ve f'() olduğuna göre, (fog)'( ) kaçtır? (fog)'( ) f'(g( )).g'( ) f'().. dir. I. Yol: f fonksionu (,) aralığında bire bir ve örten olduğundan ters fonksionu vardır. & & ( ) ( ) & ve (,) olduğundan > dir. 9

44 - - ise ve f ( ) dir. Ohalde, f ^h dir. ^ f hl ^h & ^f hl^ h olur. II. Yol: f() III. Yol: ise f ^h ( bulundu.) ^f ^f KAVRAMSAL ADIM hl^ h fl^h ^ - hl - ^ -h hl^ h olur.. f() (f & )' () olduğunu görmüştünüz. (f )'() için fl^h e karşılık gelen değerini bulmalıız. f() & & ETKİNLİK f() 5 eşitliği ile tanımlanan f : R R fonksionu verilior. (f )'()? 5. Ardışık Türev (Yüksek Sıradan Türev): D R ve f: D R fonksionu D kümesinde türevli ise; ifadesine f fonksionunun. sıradan türevi denir. Eğer f' türev fonksionu da, E D olmak üzere E kümesinde türevli ise dl d m fm^h ^fl^hhl d d. sıradan türevi denir. Benzer düşünüşle d l fl^h d dm d n fn^h ^fm^hhl d d ifadesine f fonksionunun ifadesine f fonksionunun. sıradan türevi denir. Genel olarak n N ve n > için ÜNİTE & ( ) ( ) ve tür. z (,) ve (,) olup için tür. O halde, ^n - h ^nh ^nh d d f ^h d n d ifadesine f fonksionunun n. sıradan türevi denir. n ^f h^h & ^f hl^ h fl^h fl^h ve f() & f'() olduğundan fl ^h. - ve^f hl^h fl^h bulunur. ÖRNEK f() fonksionunun. sıradan türevini bulalım. 95

45 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ise ' 6 " (')' 6 6 dır. ÖRNEK f() sin sin fonksionunun. sıradan türevini bulalım. sin sin ise ' sin. cos sin. cos sin sin. cos " (')' cos.(sin. cos). cos sin. ( sin) ÖRNEK cos sin. cos sin bulunur. f() 5 fonksionunun. sıradan türevini bulalım. 5 ise ' 5 n sıradan türev sorulduğunda önce, verilen fonksionun birkaç sıradan türevi bulunur. Bu türevlerden ararlanarak n. sıradan türev bulunur. ' n. n " n.(n ) n "' n.(n ). (n ). n... (n) n.(n ). (n )..[n (n )] n n (n) n.(n ). (n ). (n )... (n) n! bulunur. ÖRNEK ' ( ). fonksionunun n. sıradan türevi nedir? & l dir. '' ( ) ( )... '''..( ).... (n) ( ) n... n. (n) (n) ( ) n n!. n bulunur. " (')' '" tür. UYARI f(), n. dereceden polinom fonksion ise, f fonksionunun n. sıradan türevi sabit, daha üksek türevleri sıfırdır. ETKİNLİK f() Arccosa k fonksionunun türevini bulalım. f ( ) Arccos & f'( ) 9 ÖRNEK n N olmak üzere f() n fonksionunun n. sıradan türevi nedir? f'( ) 9 9 bulunur. 96

46 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK ) f : R R, e) f ^ h arctan & fl^h ÜNİTE f() ise, f () ()? ve f () ()? f) g) gl^h f ^ h arctan g ^ h& fl^h 6 g ^ h@ - f ^ h arccot & fl^h 6. Ters Trigonometrik Fonksionların Türevi a) f ^ h arcsin & fl^h - h) gl ^h f ^ h arccot g ^ h& fl^h- 6 g ^ h@ olduğunu hatırlaınız. ETKİNLİK ) sin, cos fonksionlarının n. sıradan türevlerini, n doğal r 5 saısına bağlı olarak veren formüller bulunuz. f() sin c Arc tan m 'nin saısal değerini bulalım. cos NOT: tan 5 5 c m cos & cos bulunur. tür. r sina ak cos a olduğundan f ( ) cos tan r ve sina ak cos a b) f ^ h arcsin g ^ h& fl^h gl ^h - 6 g ^ h@ ETKİNLİK f() Arccos fonksionu için f'() ın değerini c) d) f ^ h arccos & fl^h- f ^ h arccos g ^ h& f' ^h- - gl^h - 6 g ^ h@ bulalım. f'( ). f'() bulunur. 97

47 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK ÖRNEK f ^ h arcsin fl^h ÖRNEK f() arccos bulunuz. l f p - f p ise, f'() nedir? ( > ) - f ^ h arccos ise, fl^h fonksionunun türevsiz olduğu en geniş kümei - olur. - olup f ^ h arctan f ^ h arctan ise ^ hl fl^h ^ h fl^h ETKİNLİK ise, f'() kaçtır? bulunur. f() Arcsin(π/) fonksionunun noktasındaki türevini bulunuz. r f() Arcsin a k & f'( ) f'( ). f'( ) bulunur. dir. için tanımsızdır. & ± dir. - f' nün tanımlı olmadığı erlerde f' süreksiz olduğundan türevsizdir. O halde (, ], [, ) kümesinde f() arccos fonksionu türevsizdir. ETKİNLİK f() Arccot fonksionu verilior. Buna göre, f'() in değerini bulalım. f ( ) Arccot f'( ). f'( ) bulunur. 98

48 7. Mutlak Değerli Fonksionların Türevi D R ve f, D kümesinde türevli bir fonksion olsun. F() f() ise fl^h. f^h fl^h, f^h ise Fl^h * f ^ h -fl^h, f^h ise dir. KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK f() 8 fonksionunun türevi nedir? 8 & dir. ^- 8hl. 8! için fl^h - 8 ÖRNEK f() fonksionunun noktasındaki türevi nedir? ^ - h - dir. UYARI Mutlak değerin içini pozitif apan değerler için, doğrudan içinin tü-revi alınır. Negatif apan değerler için, içinin türevi ile çarpılır. ETKİNLİK f : R R f() olduğuna göre, f() f'() ün değerini bulalım. f() & f() f'().( ) & f'() f() f'() ETKİNLİK bulunur. f() fonksionu için f'(), f'( ) ve f'(5) değerlerini bulalım. Buna göre f(), f( ) olduğundan f'( ) ve f'() oktur. f(5) > & f() & f'() f'(5) olur. ( ) ÜNİTE & ( ) ( ) & ve ʼtür. f() ( ) < olup f() & f'() ve f'(). olur. ÖRNEK f: R $ [,] f() cos fonksionu verilor. π π π π a) flc m b) flc m c) flf p d) f' c m 6 ifadelerini hesaplaınız. 99

49 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM π π a) cos oldu undan flc m oktur. π b) cos > oldu undan π π flc m - sin - dir. π c) cos - oldu undan π π flf p. f sin p dir. d) π cos oldu undan 6 π π flc m - sin ÖRNEK f() 5 k ve f'() ise, k nedir? dir. 8. Parametrik Denklemlerde g() t h() t İkinci Mertebe Türevlerin Hesaplanması parametrik denklemlerinden türevini hesaplaalım. Yerine azılırsa a da bulunur. d d d' d d d d' dt d c m ve l d d d d d d dt d d d d $ - $ dl dt dt dt dt dt d f p dt dir. d d d d l d $ - $ d dt dt dt dt dt d d d d dt f p $ f p dt dt d d d d $ - $ d dt dt dt dt d d f p dt d ". ' ' " d ^' h bulunur. ikinci mertebe d dt d dt olduğundan 5 &, 5 tir. ETKİNLİK t [, π] parametresine bağlı olarak 5 5 cost sin t için 5X < olduğundan f() 5 k & f() 5 k ile verilen fonksion için d d r t? f'() 5 k & f'(). 5 k & 5 k & k dir.

50 . f() ve g() ise, a) (fog)'() nedir? b) (gof)'() nedir? a) I. Yol: (fog)() f(g()) () (fog)() (fog)'() II. Yol: (fog)'() f'(g()). g'(). b) I. Yol: (gof)() g(f()) II. Yol: ( ) (gof)'() (gof)'() g'(f()). f'(). olur.. f: R R, f() 5 ise, (f )'() değeri kaçtır? UYGULAMA ADIMI II. Yol: Fonksionun tersini bulmadan f () a & f(a) & a 5 f() 5 & f'() ( f )'( ) fl^ h. f: [, ] [ 9, ) a a dir. f'( ). ( ) olur. f() 5 ise, (f )'( 5) kaçtır? ^f hl^ 5h fl^f ^ 5hh f ( 5) a & f(a) 5 olur. tir. a a 5 5 & a V a f [, ) olduğundan a tür. ( [, )) f'() & f'(). tür. ^f hl^ - 5h fl^f ^ 5hh fl^h olur. ÜNİTE I. Yol: f () ʻ i bulup türev alalım. 5 & 5 & -5 & & & f ^h -5 ^ f hl^h. ^ - 5h ^ f hl^ h. ^- 5h dür.. f() 5 ise, f''() nedir? f() 5 ise f'() f''() 6 dur.

51 ÜNİTE 5. f() 5 ise, f (5) () nedir? 6. f'() 5 f''() 5.. f'''() 5... f () () 5... f (5) () !, ^h f ( ) e ise f ^h nedir? olur. d ^e h 7. e $ f ifadesinin eşiti nedir? p d fl^h e e e fm^h $ $ e fn^h $ $ $ e e... f^ h^h f $ $ p$ e $ e dir. UYGULAMA ADIMI 8. $ sin t d cos t d I. Yol: II. Yol: nin efliti nedir? d d dt sin t. sin t. cos t - - d d cos t. cos t dt d - sin t d df- sin tp -. cos t d - d d. cos t 9 dt dur. d ''' ''' d ^' h _ ' cos t b b '' -sin t b d cos t$ ^-cos th-^-$ sin th$ ^-sin th ` ' -sin t b d ^ cos th b '' -. cos tb a - $ cos t$ cos t-6 sin t$ sin t 7. cos t -. cos t$ cos t-6 sin t$ sin t$ cos t 7. cos t$ cos t - $ ^cos t -cos th 9 $ cos t d ^$ e h d d ^ $ e f d d d d e ^ e d h p h - e e e ^cos t- sin t -cos th - $ 9 cos t bulunur. 9 e - e e d ^ e h $ e $ ^- e e d - tir. h

52 9. sin t cost cos t sint d π olmak üzere, nin t için değeri kaçtır? d dir. d d dt cos t$ ^- sin th cos t - sin t cos t d d sin t$ cos t- sin t sin t- sin t dt d d d d - sin t cos t c m c m d d d d sin t- sin t d - sin t cos t f p dt sin t- sin t d dt d - sin t cos t f p dt sin t- sin t sin t$ cos t- sin t ^-cos t - sin th$ ^sin t - sin th-^- sin t cos th$ ^cos t - cos th ^sin t - sin th $ ^sin t - sin th d d π t π r π π π π π π - $ cos $ sin $ sin - sin - - sin cos $ cos $ - cos π π π π csin $ - sin m $ csin $ - sin m c m c m c m c m ^^-h$ ^-h-h$ ^-h- ^ h$ ^.( ) h ^-h $ ^-h $ ^-h - ^-h - - UYGULAMA ADIMI. (a b) n fonksionunda n bir tam saı olmak üzere, n nin eşiti nedir? ' n.(a b) n.a '' n(n ).(a b) n.a ''' n(n )(n ).(a b) n.a... (n) n. (n )(n ) [n (n )]. (a b) n n. a n n n!. a n dir...e ise (n) nin eşitini bulalım. ' e e e () '' e. () e. e () ''' e. () e. e ()... (n) e. (n) dir.. e ise, e d d f - p ifadesinin eşiti nedir? d d d e & l e. e e ^ h d d e. e ' e ' ^ lhl ^ h ^ h ^. e hl d e l e e. e ÜNİTE e ^ h dir.

53 ÜNİTE.. Ölese, e - d d - f - p e 6e ^ h- e ^ h@ d d - e 6e ^ --h@ bulunur.. sin i d ile verilen f() fonksionu için 5. cos i d bulalım. d d di 5 sin i $ tan i d d cos i di dl - 5 $ ^ tan ih di bulalım. bulunur. dir. d' 5 - $ ^ tan ih d di d d.cosi di - 5 $ 9 cos i t t d ile verilen f() fonksionu için t - t d ve UYGULAMA ADIMI türevini türevini t 5. e d ile verilen f() fonksionu için t t d bulalım. d d dt t d d t e dt t dl t $ e - ^t h $ e dt t ^e h t dl t e - ^t he d t dt e d d t e dt t d e ^t t h t d e e t (t t ) bulunur. 6. t t d ile verilen f() fonksionu için t t d bulalım. d d dt 9t d d t dt dl 8t$ ^t h - ^9t h $ 8t 8t-8 dt ^t h ^t h t t türevini türevini d d dt t - ^t - h d d t dt dl dt ve dl d dt d d t ^t h dt bulunur. dl 8t 8t-8 d dt ^t h 8t 8t-8 tür. d d ^t h ^t h dt Diğer taraftan, dm d d d d dt f p m d d d d d dt olup,

54 7. dm ^6t 8h$ ^t h - ^8t 8t- 8h $ ^t h $ dt 6 ^t h ^t h 68.( t ) $ ^t h- ^8t 8t-8h $ 6@ 6 ^t h dm d dm dt d d d dt 8( t ) - ^8t 8t-8h d ^t h d ^t h d 6t 6t 9 5 d ^t h bulalım. bulunur. sin t d ile verilen f() fonksionu için cos t d d d dt sin t l - -tan t d d cos t dt dl d dm dt - ^ tan th - d d d cos t cos t dt dm d d d dm dt f p d d d d d dt dm - sin t $ cos t $ ^-sin th - dt cos t dm - sin t d dt cos t sin t - d d cos t 5 cos t dt bulunur. UYGULAMA ADIMI türevini 8. f,. sıradan türevlenebilir bir fonksion, a R ve f'(a) ise, fl^h fl^ah lim ifadesinin eşiti nedir? " a f ^ h- fa ^ h lim dır. 9. f() arctan ise, f'() kaçtır?. f() arctan ise, f'( ) kaçtır? f' ^h- f' ^ah lim f ^ h- fa ^ h " a " a f''( a) f'( a) f' ^h- f' ^ah - a f ^ h- fa ^ h - a $ ln f ( ) arctan & fl^h $ ln & fl^h. ln ln bulunur. l f p - f ^ h arctan & fl^h f p f l^h - & f l^-h - - dir. ÜNİTE 5

55 ÜNİTE. f() arccot( sin π ) ise, flc m kaçtır? ^ sin h' f ( ) arccot^ sin h & fl^h - ^ sin h π. < < olmak üzere, arcsin fonksionunun noktasındaki türevinin değeri kaçtır? sin $ cos & fl^h ^ sin h sin & fl^h ^ sin h π sinc $ m π & flc m π c sin m f p tü r. UYGULAMA ADIMI. f() arccot ise f' ( ) kaçtır? arccot arccot f ^ h & fl^h ^arccot hl $ $ ln bulunur.. f'().arcsin ise, f'( ) kaçtır? f'().arcsin. π f'() arcsin f'( ) arcsin( ) 5. f() a a Arcsin (a > ) fonksionunun türevini a bulunuz. arccot & fl^h f- $ $ ln p arccot - & fl ( ) - $ ^ h > H $.ln ^ h π & fl^ h - $ $ ln π - - $ ln dir. arcsin & ' f'( ) & f'( ).( ). ( ) b l.( ).. ( ) b l dır. a. a f'( ) a a f'( ) a a a a a. a a f'( ) a a a a bulunur. 6

56 . f, g ve gof fonksionları türevlenebilir fonksionlardır. f(), f'() 5 ve g'() olduğuna göre, (gof)'() ifadesinin değeri kaçtır? PEKİŞTİRME ADIMI. f: R (, ), f() olduğuna göre, (f )'() fonksionunu bulunuz. ÜNİTE. f: R R, f() g: R R, u g() du fonksionları verilior. d ifadesini bulunuz..( ).( ) 5. f: (, 7] R, f() fonksionu verilior. (f )'() değerini bulunuz. 6. f: R R, f() 5 olduğuna göre, f () ters fonksionunun türevini bulunuz. 6. f() fonksionunun. sıradan türevini bulunuz. 7

57 ÜNİTE PEKİŞTİRME ADIMI. ise () türevini bulunuz. 7. fonksionunun n. sıradan türevini bulunuz. ^-h. n! n n 8. f() e fonksionu için f''( ) değerini bulunuz.. fonksionu için (5) () değeri kaçtır?! - 5! f p 6 9. t t olduğuna göre, t için t -t değerini bulunuz. d d ikinci türevinin..e fonksionu için () türevini bulunuz. 8.e 8

58 . f() arcsin olduğuna göre, f'() türev fonksionunu bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI 6. f() e arcsin olduğuna göre, flf p değerini bulunuz. ÜNİTE f() fonksionu için, a) f'() b) f'() c) f'( ). f ^ h arccos olduğuna göre, f'() türev fonksionunu değerlerini bulunuz. bulunuz e π 6 a) b) Yoktur c) 6 5. f(). arctan ise, f'( )değerini bulunuz. 8. f: R [, ], f() sin fonksionu için, π 7π a) flc m b) f'(π) c) flf p 6 değerlerini bulunuz. a) b) Yoktur π - f p c) 9

59 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK f() e tan olduğuna göre, π f ( ) fa k lim π " r limitinin değerini bulalım. π f ( ) fa k π lim f' π " r a k tür. f() e tan ETKİNLİK & f'() (tan)'.e tan f'( ). cos e tan π π r iç in fa k. etan cos π.e e bulunur. c m Gerçel saılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksionu için f( ) f() f() ve fh ( ) lim h" h olduğuna göre, f'()'i bulunuz. TÜREVİN LİMİT HESABINDA KULLANILMASI L HOSPİTAL KURALI Limit problemlerinde birçok kez Bu tür durumlarda LʼHospital kuralı kolalık sağlar. f ve g türevlenebilir fonksionlar olsunlar. lim f ^ h g h lim f' ^h " g ' ^ h ugulanır. a da " a ^ f ^ h fl^h lim lim " a g ^ h " a gl^h a da oluorsa ve tir. a a da belirsizliklerile karşılaşılır. fl^h lim limiti (sonlu ve sonsuz) varsa " a g l^ h belirsizliği devam ediorsa LʼHospital kuralı ine fl^h Eğer lim limiti oksa bu kural ugulanamaz. " a g l^ h,, BELİRSİZLİKLERİ [f()] [g()] biçimindeki ifadelerin limitleri bulunurken bu tür belirsizliklerle karşılaşılır. Bu tür belirsizlikleri kaldırmak için e ln eşitliğinden ararlanılır. Yani [f()] g() e ln f() g() e g()ln[f()] ve lim 6 f ^ h@ g ^ h lim e " a $ a g ( ), nf ( ) lim e $ a, nf( ) g ( ) olur. Bu son limitte vea belirsizliği vardır.

60 . lim limitinin değeri nedir? "- - 5 azılırsa 5 $ ^ h $ ^- h - ^-h - - olur. UYGULAMA ADIMI - cos a. lim limitinin değeri nedir? " için belirsizliği vardır. Kurala göre, - cos a a$ lim lim sin a a. lim sin a " " " ÜNİTE LʼHospital kuralı ugulanırsa lim 5 $ ^ h. ^-h 9 $ ^-h lim limitini hesaplaınız. " - için 5 5 lim 9 - " - "- lim 9 olur. 9 belirsizliği var. LʼHospital Kuralına göre, lim " " olur. a. lim sin a a a $ a $ $ a dir. a n " - a 5. lim limitinin değeri nedir? " a n a n - n aiçin belirsizliği vardır. Kurala göre n - a n lim - a n. -n n n lim " a n n " a n - -n a n $ $ n a n a n n -n - n n n a n - a n $ $ n n olur. e 6. lim limitinin değeri nedir? ". lim limitinin değeri nedir? " - " için belirsizliği vardır. Kural gereğince, $ ln lim lim bulunur. - " - " - $ ln " için lim e d r. belirsizliği vardır. Kurala göre, e lim " "

61 ÜNİTE π - arctan 7. lim limitinin değeri nedir? " " için π - arctan lim lim " " belirsizliği vardır. Buna göre, a - b 8. lim limitinin değeri nedir? " (a >, b > ) " lim için a ln a- ln b ln dir. b - lim bulunur. " belirsizliği vardır. Kurala göre, a - b a $ ln a- b ln b lim " " UYGULAMA ADIMI m. lim. sin limitinin değeri ise, m kaçtır? " m " iç in. sin. sin. m sin m lim. sin lim " " O halde, -m m $ cos lim - " " azılırsa h. lim limitinin değeri nedir? h " h m lim m. cos m. cos h lim f'( ) dir. h " h & m. & m dir. f() & f'()., n olur. belirsizliği vardır. biçimine dönüşür. arcsin 9. lim limitinin değeri nedir? arcsin 8 ". lim " limitinin değeri nedir? için belirsizliği vardır. lim " dır. Pa ve padaı çarpanlarına aıralım. arcsin lim lim arcsin 8 " " dir. ( )( ) lim ( )( ) " bulunur.

62 . lim c m limitinin değeri kaçtır? ". belirsizliği vardır. lim c m e $ e olduğundan LʼHospital Kuralı ugulanırsa; limitinin değeri kaçtır? belirsizliği vardır., n lim $. ^ h. ^ h lim $ ^ h$ " e ^ h lim - " e e bulunur. lim $ lim $, n lim " e limitinde LʼHospital kuralı ugulanırsa; lim " e e dir. UYARI g ^ h lim6f ^ h@ ifadesin de lim f ( ), " a " a lim g ^ h ise " a g ^ h lim6f ^ h@ lim" 6f ^ h-@, " a " a lim' 6 ^f ^ hh@ " a f ^ h- ( f ( ) ). g ( ), n olduğundan g ^ h UYGULAMA ADIMI sin - a. limf p limitinin değeri kaçtır? " a sin a - -. limf p limitinin değeri kaçtır? - sin lim ve " a sin a lim " a - a sin limf p " a sin a e e olur. lim sin - sin a cos a " a - a sin limf p " a sin a " - a e sin- sina lim $ > H " a sin a - a sin- sina $ lim $ > H sina " a - a cosa - a sina olup lim sin > - H " a - a sina e e -. - lim -. - " lim " - oldu undan cota olduğundan belirsizliği vardır. lim - lim " f p e - " d r. - $ > - H ^ -h lim $ f p lim $ e e $ $ ÜNİTE e limg ^ h. 6f ^ " a dir. e lim $ - - e dir.

63 ÜNİTE -. lim k ise, k R saısı kaçtır? - " PEKİŞTİRME ADIMI e cos. lim limitinin değeri kaçtır? " -. limf limitinin değeri kaçtır? - - p - " 5. lim cos limitinin değeri kaçtır? $ - sin. lim limitinin değeri kaçtır? π cos " 6. lim f. sin limitinin değeri kaçtır? " p

64 sin - 7. lim limitinin değeri kaçtır? cos - " PEKİŞTİRME ADIMI a - a 5. lim mvem mt t eşitliklerini - " - a sağlaan m ve t değerleri için t m farkı kaçtır? ÜNİTE sin^π. sin h 6. lim limitinin değeri kaçtır? π sin " tan -. lim limitinin değeri kaçtır? sin " e e - 9. lim f p limitinin değeri kaçtır? " e e -. lim ^sec i- tan ih limitinin değeri kaçtır? π i $ 5

65 ÜNİTE PEKİŞTİRME ADIMI sin a- sin.! için lim ise, kaçtır? 6. a" - a lim ^ sin h " limitinin değeri kaçtır? cos i- sin i. lim limitinin değeri kaçtır? π cot i i " π 7. lim limitinin değeri kaçtır? $ e e - 5. lim f p limitinin değeri kaçtır? " 8. lim > - limitinin değeri kaçtır? H $ e - e 6 6

66 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK ) eğrisine, apsisli noktasından çizilen teğetin denklemini bulunuz. Normalin denklemini bulunuz. ) sin eğrisine r a) apsisli noktasından çizilen teğet ve 6 normalin denklemini r b) apsisli noktasından çizilen teğet ve normalin denklemini azınız. TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI D R ve D olmak üzere; f: D R, f() fonksionu noktasında türevli olsun. f fonksionunun grafiği üzerinde M(, f( )) ve N(, f()) noktalarını alalım. MN doğrusunun eğimi, ( aklaşırken) N noktası M noktasına β açısı α açısına ve MN doğrusu MT teğetine aklaşır. O halde NT teğeri için MN kirişinin limit durumu olup MT teğetinin eğimi, MN doğrusunun eğiminin için limitidir. Ölese MT teğetinin eğimi ÖRNEK T f α β f() f( ) M f ( ) f ( ) mmn tan b tan_ % NMHi f( ) N H d r. f ( ) f ( ) mte et tan a lim tan b lim " " SONUÇ f() f( ) olur. noktasında türevli f fonksionunun M(, f( )) noktasındaki teğetinin eğimi, fonksionunun noktasındaki türevine eşittir. Yani m t f'( ) dır. Te et ÜNİTE f ( ) fonksionunun noktasındaki teğetinin eğim açısı kaç derecedir? ) cos ve sin eğrileri kaç derecelik açı altında kesişirler? ( )'( ) ( )' f'( ) ( ).( ) ( ) ( ) f'( ) ( ) olup tanα & α 5 tir. 7

67 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK f() fonksionu verilior. f' fonksionunun noktasındaki teğetinin eğimi nedir? TEĞET DENKLEMİ f() fonksionunun M(, f( )) noktasındaki teğetinin denklemi f( ) f'( ).( ) ÖRNEK dır. f() eğrisinin noktasındaki teğetinin denklemi nedir? fʼ() olup f' nün noktasındaki teğetinin eğimi f"( ) tü r. f"() 6 & "( ). f 6 olur. F(, ) ise d F (, ) d F (, ) d.. (, ) & m d.. O halde teğetin denklemi m( ) & ( ) & dir. UYARI NORMAL DENKLEMİ f() fonksionunun M(, f( )) noktasındaki normal doğrusunun eğimi MN dır. f '( ) O halde M(, f( )) noktasındaki normalinin denklemi f( ). ( ) f'( ) dır. dir. f fonksionu noktasında sürekli değilse bu noktada teğetten söz edilemez. Ancak, f nin sürekli olması teğetin varlığını garanti etmez. f() ise f'() f'(). dir. f(). olup teğet denklemi f() f'().( ) &.( ) & dir. ÖRNEK eğrisinin M(, ) noktasındaki teğet denklemi nedir? ÖRNEK k eğrisinin apsisli noktasındaki normali 6 5 doğrusuna paralel olduğuna göre, k kaçtır? 6 5 doğrusunun eğimi 6 dır. Normal ile bu doğru paralel olduklarından eğimleri eşittir. Normalin eğimi m N 6 ve teğetin eğimi m dır. T m 6 ' k N ve m T '() k dır. Buradan k & k 6 8 bulunur. 8

68 . f() sin eğrisinin r apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? f() sin eğrisinin r apsisli noktasındaki teğetinin r eğimi f'( ) tür. f() sin & f'() cos ve r r f'( ) cos dir.. f ( ) fonksionunun grafiğine apsisli noktada çizilen teğetin eğimi kaçtır? f'( ) soruluor. ( )( ).( ) f ( ) & f'( ) ( ) (.( ) )( ) [( ).( )] f'( ) ( ) f'( ) bulunur.. f().cos fonksionunun grafiğine π apsisli noktasından çizilen teğetin ekseninin pozitif önüle aptığı açı α ise, tanα kaçtır? tanα f'(π) dir. f().cos & f'().cos.( sin) f'(π) π.cosπ π.sinπ π( ) π. π bulunur. UYGULAMA ADIMI r. f ( ) fonksionunun grafiğine apsisli noktasından çizilen teğetin eğim açısı kaç sin derecedir? 5.. sin. cos f ( ) & f'( ) sin sin tanα & α 5 dir. Şekilde f() eğrisinin A(, ) noktasındaki teğeti verilior. g ( ) f( ) şeklinde tanımlanan g fonksionu için, f ( ) g'() değeri kaçtır? g fonksionunun apsisli noktasındaki teğetinin eğimi soruluor. azılırsa Şekilden f(), f'() tanα azılırsa bulunur. r r r r sin. cos tan a f'( ) sin r g ( ) f( ) f ( ) α A(, ).() f f.'() & g'( ).().'() f f f ( ) f( ) f'( ) g'( ).( f ).'( f ) f ( ) g'( ) α f() A(, ) olup erlerine f() ÜNİTE 9

69 ÜNİTE 6. f() k 6 fonksionu verilior. f'() fonksionunun grafiğine apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi olduğuna göre, k reel saısı kaçtır? 7. f() k 6 fonksionu verilmiş. f'() in grafiğine apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi olduğuna göre, f''( ) tür. O halde f'() k f''() 6 k f"( ) 6.( ) k & k 6 5 bulunur. Şekilde grafiği verilen f() fonksionuna üzerindeki A(, ) noktasından çizilen teğeti ekseni ile 5 lik açı aptığına göre, teğetin eğimi kaçtır? Teğetin ekseninin pozitif önüle aptığı açı 8 5 dir. Teğetin eğimi tan O k olur. A UYGULAMA ADIMI f() 9. Teğetin eğimi sıfırdır. Teğetin denklemi: f( ) f'( ) ( ) ( ).( ( )) tür. f'( ) olduğundan bulunan teğetin eksenine paralel olduğuna dikkat ediniz. Şekilde f() ile f e A(, ) noktasında teğet olan g() k doğrusu verilior. h().f ().g() şeklinde tanımlı h fonksionuna apsisli noktadan çizilen teğetin denklemi nedir? A(, ) noktası g() k doğrusu üzerinde olduğundan g() & k & k dir. h().f ().g() f() f ().( ) g() k h'()..f().f'().( ).f (). h'().f().f'().( ).f () g() ve f() in A noktasındaki teğeti g() olduğundan A f'() dir. (g() in eğimi dir.) 8. f() fonksionuna apsisli noktasından çizilen teğetinin denklemi nedir? f( ) ( ).( ) olup, A(, ) noktasından çizilen teğetin denklemi istenior. Teğetin eğimi f'( ) dir. f() & f'() & f'( ).( ) dır. Şekilden f() olup erine azılırsa h'() h().f ().g().. 5 olup h() fonksionunun apsisli noktasındaki teğetinin denklemi h() h'().( ) 5 5.( ) 5 5 bulunur.

70 . f: R { } R m f ( ) fonksionunun, apsisi olan noktasındaki teğeti, denklemi olan doğrua paralel ise, m kaçtır? doğrusunun eğimi Bu doğrua paralel olan teğetin eğimi de tür. (Paralel doğruların eğimleri eşittir.) Teğetin eğimi o noktadaki türevin değeri olduğundan ( m)( ) ( m ). f'( ) ( ) ( m)( ) ( m ) f'( ) ( ) 6 m m 9 m 8 9 & 6m 8 & 6 m 6 & m dir.. f() 6 eğrisinin hangi noktasındaki teğeti 8 doğrusuna paraleldir? m d olur. İstenen noktanın apsisi olsun. Paralel doğruların eğimleri eşit olacağından istenen teğetin eğimi 8 olmalıdır. ( m n doğrusunun eğimi m dir.) O halde f'( ) 8 denklemini sağlaan değeri istenior. f() 6 f'() 6 & f'( ) olup için f( ) 6 olur. O halde istenen nokta (, ) olur. m t UYGULAMA ADIMI. f() eğrisinin hangi noktalarındaki teğetleri doğrusuna paraleldir? İstenen noktanın apsisi olsun. Paralel doğruların eğimleri eşit olacağından istenen teğetlerin eğimi 5 olmalıdır. O halde f'( ) 5 eşitliğini sağlaan değerlerini bulmalıız. f() & f'() & f'( ) & f( ) f(). 8 olur. & f( ) f( ) ( ).( ) olup istenen noktalar (, 8) ve (, ) dur.. f() eğrisinin orijinden geçen teğetlerinin denklemlerini bulunuz. f() eğrisinin orijinden geçen teğetleri eğrie T ve T noktalarında teğet olsun. T (, ) ise T (, ( ) ) T (, ) olur. T noktasındaki teğetin eğimi f'( ) olduğundan f() & f'() & f'( ) dır. T noktasındaki teğetin denklemi f( ) f'( ) ( ) ( ).( ). olup T teğeti O(, ) noktasından geçtiğinden ve azılırsa 5 & & 7& 9 & vea T T f() ÜNİTE

71 ÜNİTE.. & vea bulunur. & f( ) f() 8 & T (, 8) & f( ) f( ) ( ) 8 & T (, 8) dir. T noktasındaki teğetin eğimi T noktasındaki teğetin denklemi f() mt.( ) 8 ( ) T noktasındaki teğetin eğimi T noktasındaki teğetin denklemi f( ) mt [ ( )] 8 ( ) bulunur.. f() eğrisine A(, ) noktasından çizilen teğetlerin değme noktalarını bulunuz. f() eğrisine A(, ) noktasından çizilen teğetlerin değme noktaları T ve T olsun. T ve T nin koordinatları istenior. İstenen noktanın apsisi olsun. T (, ) dir. f() & f'() olduğundan T noktasındaki teğetin eğimi T noktasındaki teğetin denklemi f( ) f'( ).( ).( ). mt. mt.( ) mt dır. olup T den geçen teğet A(, ) noktasından da geçtiğinden T UYGULAMA ADIMI T A(,) ve azılırsa. & vea olur. & f( ) & T (, ) & f( ) & T (, 9) bulunur. 5. f() e eğrisinin orijinden geçen teğetinin denklemini bulunuz. f() e fonksionunun eğrisine apsisli noktadan çizilen teğeti orijinden geçsin. f() e T(, e ) dır. & f'() e & f'( ) dır. Teğetin eğimi m T f'( ) dır. T(, e ) noktasındaki teğetin denklemi f( ) f'( ).( ) e e e ( )... ( ) ve teğet orijinden geçtiğinden ve değerleri ( ) da erine azılırsa e e ( ) e e. e olduğundan dir. O halde Teğetin değme noktası T(, e) Teğetin eğimi m T e olup istenen denklem e e( ) e. bulunur. f() e e T(,e )

72 6. f() a b eğrisi noktasında eksenine teğet ise (a, b) ikilisi nedir? Eğri noktasında eksenine teğet ise fonksionun bu noktadaki teğetinin eğimi sıfırdır. Çünkü ekseni üzerindeki bir noktanın ordinatı ve ekseninin eğimi sıfırdır. O halde f() ve f'() olacağından f() a. b & a b... () f'() a & f'() a. & a & a... () () de a azılırsa b & b ve ( ab, ) b, l olur. 7. f() eğrisine apsisli noktada çizilen normalin denklemini bulunuz. Teğetin eğimi m T ve normalin eğimi m N ise, m T.m N dir. f() & f'() ve apsisli noktadaki teğetin eğimi m T f'(). 6 olup 6.m N & m N dır. 6 f(). 8 olup normalin denklemi f() m.( ) T 8 ( ) 6 ( 9) bulunur. 6 UYGULAMA ADIMI 8. çemberine A(, ) noktasından çizilen normalin denklemini bulunuz. F(, ) dielim. F F olduğundan F F'(, )... ( ) F olup teğetin eğimi Normalin eğimi mt F'(, ) O halde normalin denklemi mn( ) olur. mn m T F '(, ) ( ) bulunur. olur. 9. f() eğrisinin doğrusuna dik teğetlerinin denklemleri nedir? d: olsun. f() ise f'() olup P(, ) noktasındaki teğetinin eğimi m p ve diklik koşulundan m m p dir. d d: olduğundan m d ve mp dir. O halde & & &, dir. için f(). ve m p olduğundan. teğet denklemi: ( ).( ) & 5 için f( ) ( ).( ) 5 ve m p olduğundan. teğet denklemi: 5.( ( )) & 7 bulunur. ÜNİTE

73 ÜNİTE a b. f ( ) eğrisinin noktasındaki teğeti eksenine paralel ise, a ile b arasında hangi bağıntı vardır? noktasındaki teğetin eksenine paralel olması için eğimi sıfır olmalıdır. ise a b a b a ( ) ( a b) f ( ) & f'( ) ( ) & a b olur. a b ( ). f() b c fonksionuna noktasında teğeti çizilior. (, ) f ise, b kaçtır? Eğrinin noktasındaki teğeti ise doğrusunun eğimi ile fonksionun noktasındaki türevinin değeri eşittir. d: ise m d dir. f'() b c ise f'( ).( ).b.( ) c c b... () ve (, ) f ise f() olur. f() b c ise b c... () dir. () ve () den b & b bulunur. UYARI f() fonksionunun noktasındaki teğetinin eğimi m, noktasındaki teğetinin eğimi m ve bu teğetler arasındaki m m açılardan biri α ise, tan a dir. m. m. f() a eğrisinin ve apsisli noktalardaki teğetlerinin oluşturduğu açının tanjantı ise, a kaçtır? f() a eğrisinin ve noktalarındaki teğetlerinin eğimi bu noktalarda türev fonksionunun aldığı değerdir. UYGULAMA ADIMI f'() a ve f'() a m m m f'() a m olur. tanα m. m a a tanα ( a ). a ise a a & a a olup (a ).(a ) & a, a dir. m m tanα m. m oktur. eşitliğini sağlaan a reel saısı. f() 6 fonksionunun noktasındaki normal doğrusunun denklemi nedir? f() 6 ise f'() 8 6 dır. f'() f() 6 dır. O halde normalin denklemi f( ).( ) f '( ) ( ) ( & ) tir Denklemi olan eğrinin M(, ) noktasındaki normal doğrusunun denklemi nedir? F(, ) olsun. d F (, ) ' d F (, ) d ( ) (, ) & M d. N Normal denklemi ( ( )) M N ( ) ve & tir.

74 . f() eğrisine apsisli noktasından çizilen teğetin eğimini bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI 5. f ( ) fonksionunun grafiğine apsisli noktasından çizilen teğetin denklemi nedir? ÜNİTE. f() eğrisine apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi kaçtır?. f() eğrisine apsisi olan noktasından çizilen teğetin denklemi nedir? 6 6. f(), n eğrisinin orijinden geçen teğetinin denklemini bulunuz. e 7. e eğrisinin apsisli noktasındaki teğetinin denklemini bulunuz. ( ) e. f() eğrisine apsisli noktasından çizilen teğetin eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır? 8. eğrisine apsisli noktasından çizilen teğetin denklemini bulunuz. 5

75 ÜNİTE PEKİŞTİRME ADIMI 9. f(), n eğrisine e apsisli noktasından çizilen. f ( ) eğrisine A(, ) noktasından çizilen teğetin normalinin eğimi nedir? denklemini bulunuz. e. f() eğrisine apsisli noktasından çizilen normalin denklemi nedir? ( ). f() e eğrisine apsisli noktasından çizilen normalinin eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır? e e a. f ( ) fonksionunun apsisli noktasındaki teğetinin eğimi olduğuna göre, a kaçtır? 5. f ( ). g ( ) şeklinde tanımlanıor. g() in apsisli noktasındaki teğetinin ekseninin pozitif önüle aptığı açı 5 ve g() 8 olduğuna göre, f() in apsisli noktadaki teğetinin denklemi nedir? 9. Şekilde f() eğrisinin A(, ) noktasındaki teğeti verilior. h().f() şeklinde tanımlanan h fonksionunun apsisli noktasındaki teğetinin eğimini bulunuz. A 5 f() 6. Şekilde f() eğrisinin T(, ) noktasındaki teğeti ekseni ile 5 lik açı apıor. g().f () şeklinde tanımlı g() fonksionu için, g'() kaçtır? f() 5 T(,) 6

76 KAVRAMSAL ADIM ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR c) h() 6 5 & h'() ÜNİTE. ARTAN FONKSİYON TANIM f() fonksionu [a, b] aralığında sürekli ve her, [a, b] için < iken f( ) < f( ) vea > iken f( ) > f( ) ise f fonksionuna [a, b] aralığında artan fonksion denir. Bir fonksion hangi aralıkta artan ise, fonksi-onun birinci türevi o aralıkta pozitiftir. Bunun karşıtı da doğrudur. Yani, bir fonksionun birinci türevi bir aralıkta pozitif ise fonksion bu aralıkta artandır. ÖRNEK Aşağıdaki fonksionların artan oldukları küme nedir? a) f() 5 b) g() 5 6 c) h() 6 5 f( ) f( ) f() & ( ), h'() h() 5 7 h() 5 5 h() dir. h fonksionu (, ) ve (, ) aralıklarında artandır. ETKİNLİK f() fonksionunun artan azalan olduğu aralıkları bulunuz. a) f() 5 & f'() 5 > olduğundan f, R de artandır. b) g() & g'() 5 ise dir. 5 g'() g() gb l b l g fonksionu 5 b, l aralığında artandır. olup. AZALAN FONKSİYON TANIM f() fonksionu [a, b] aralığında sürekli ve her, [a, b] için < iken f( ) > f( ) vea > iken f( ) < f( ) ise f fonksionuna [a, b] aralığında azalan fonksion denir. 7

77 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM Bir fonksion hangi aralıkta azalan ise fonksi-onun birinci türevi, o aralıkta negatiftir. Bunun karşıtı da doğrudur. Yani bir fonksionun birinci türevi bir aralıkta negatif ise fonksion bu aralıkta azalandır. f( ) f( ) f() ÖRNEK f: R {k} R ve a olmak üzere; a b f ( ) fonksionunun daima azalan olması için k hangi k koşulu sağlamalıdır? ÖRNEK Aşağıdaki fonksionların azalan oldukları küme nedir? a) f() b) f() 6 9 c) f() 5 a) f() & f'() < olduğundan f fonksionu R de azalandır. b) f() 6 9 & f'() 6 6 & f'() f() f fonksionu (, ) kümesinde azalandır. c) f() 5 ise f'() 8 5 & ( )( 5) &, 5 tür. 5 f'() f() 6! R { k} Sabit Fonksion için f'() < olmalıdır. a.( k) ( a b). f ( ) < ( k) ak b & ( k) < & ak b < ak < b ak > b b k > a olmal d r. k a b f, [a, b] aralığında sürekli olsun. Her, [a, b] ve < için f( ) f( ) k ise f fonksionuna [a, b] aralığında sabit fonksion denir. f() fonksionunun [a, b] aralığında sabit olması için gerek ve eter koşul her [a, b] için f'() olmasıdır. Örneğin, f() fonksionu için f'() olduğundan f() sabit fonksiondur. f(), f() π, f() e fonksionları sabit fonksionlardır. 5 f fonksionu (, ) ve (, ) kümelerinde azalandır. 8

78 KAVRAMSAL ADIM Bir Fonksionun Yerel Maksimum ve Yerel Noktaları Ekstremum (Ektremum Noktaları). Maksimum Noktası f() fonksionunda için alınan f( ) değeri, ın solundaki h noktası için f( h) ve ın sağındaki h için f( h) değerinden büükse f( ) değerine için fonksionun erel maksimum değeri, M(, f( )) noktasına da fonksionun erel maksimum noktası denir. Şekilde f( ) > f( h) ve f( ) > f( h) olduğundan f( ), için fonksionun erel maksimum değeridir. için fonksionun erel maksimumu varsa ın solundaki h için fonksion artan ve f'() >, ın sağında h için fonksion azalan ve f'() < dır. için ise f'( ) dır. Bunun karşıtı da doğrudur. Yani, bir fonksionun birinci türevi A B M O h h h için f'( h) > C D ÖRNEK f() 5 6 fonksionunun erel maksimum noktasını (varsa) bulalım. f'() 5 f'() & 5 & 5 Tablo: 5 f'() 5 h iç in f'( ) > 5 iç in f'( ) noktasında fonksi- 5 5 h iç in f'( ) < olduğundan on erel maksimum değerine ulaşır f( ) olup M(, ) noktası erel maksimum noktasıdır.. Minimum Noktası ÜNİTE için f'( ) A D h için f'( ) < koşullarını sağlıorsa için fonksionun erel maksimumu vardır. O B h M C h UYARI Yerel maksimum noktasındaki teğet eksenine paralel olur. M nın ordinatı f( ) B nin ordinatı f( h) C nin ordinatı f( h) 9

79 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM f() fonksionunda için alınan f( ) değeri, ın solundaki h noktası için f( h) ve ın sağındaki h için f( h) değerinden küçükse f( ) değerine için f fonksionunun erel minimum değeri, M(, f( )) noktasına da fonksionun erel minimum noktası denir. Şekilde f( ) < f( h) ve f( ) < f( h) olduğundan f( ), için fonksionun bir erel minimum değeridir. için fonksionun erel minimumu varsa ın solundaki h için fonksion azalan ve f'() < ın sağındaki h için fonksion artan ve f'() > ve için f'() dır. Bunun karşıtı da doğrudur. Yani, bir fonksionun birinci türevi h için f'( h) < için f'( ) h için f'( h) > koşullarını sağlıorsa için fonksionun erel minimumu vardır. ÖRNEK f: R R, f() fonksionunun erel ekstremum noktalarını bulalım. 8 fonksionun Bu değer O halde ETKİNLİK için f'() türev fonksionu den a geçtiğinden 8 için bir erel minimumu vardır fb l b l. b l ( ) Bb, l 7 dır. noktası erel minimum noktasıdır. ) f() fonksionunun erel ekstremum noktasını bulunuz. f'() 8 ve f'() & 8 ) f() n fonksionunun de erel ekstremumu olduğuna göre, n kaçtır? 8 8 & ( ) &, olur. 8 f'() 56 7 noktasında f'() türev fonksionu dan e geçtiğinden için fonksionun bir erel maksimumu vardır. Bu değer f() dır. O halde A(, ) noktası f nin maksimum noktasıdır.

80 . f() fonksionunun artan vea azalan olduğu kümeleri bulunuz. f() & f'() Tablo apılırsa; f'() & f'() f() artan azalan artan ( )( ) vea 6! b, l,, için f'() > olduğundan f fonksionu b, l,, kümesinde artandır. ^ h ^ h 6! b, l için f'() < olduğundan f fonksionu b, l kümesinde azalandır.. f() fonksionu (a, b) aralığında pozitif ve artan olduğuna göre aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. g().f() anı aralıkta artandır. II. g() f () anı aralıkta azalandır. III. g() f () anı aralıkta artandır. IV. g() f () anı aralıkta azalandır. V. g() anı aralıkta azalandır. f ( ) I. g'() f'( ) > olduğundan I deki fonksion artandır. X II. g'() f ( ). f'( ) < olduğundan II deki fonksion azalandır. W U III. g'() f( ). f'( ) > olduğundan III teki fonksion artandır. Y X IV. g'() f ( ). f'( ) > olduğundan IV teki fonksion W X artandır. UYGULAMA ADIMI V. C f'( ) g'() f( ) Y < olduğundan V teki fonksion azalandır. O halde I II III V te verilenler doğrudur.. f ( ) fonksionunun artan vea azalan olduğu kümeleri bulalım. ( ) ( ) f ( ) f'( ) & ( ) & (, ) aralığında f azalan (, ) aralığında f artandır.. f() ( )e fonksionunun artan vea azalan olduğu kümeleri bulunuz. f'() ( ).e ( ).e e ( ) ( ) f'() f() 6! R azalan artan için e > olduğundan e.( ) & Δ ÜNİTE

81 ÜNİTE f'() f() artan azalan artan 6! ^, h, ^, h için f() ( ) e artan, 6! ^, h iç in f( ) ^ he fonksiondur. UYGULAMA ADIMI azalan bir O halde 6! b, e l için f'() < olduğundan b, f(), n fonksionu azalandır. e l aralığında aralı- 6! b e, l için f'() > olduğundan b e, l ğında f(), n fonksionu artandır. 5. f()., n fonksionunun artan vea azalan olduğu kümeleri bulunuz. f(), n & f'(), n e dir. Tablo apılırsa; f'() &, n e f'() f() azalan artan, n olup f'(), n türev fonksionunun kökü e olduğundan e den büük değerler için örneğin, e için '( ) f e, n e, n, ne, n> e için '( ) f e, n e, n, ne, n> e den küçük değerler için Örneğin, iç in f'( ) n n ne e e, e,, < iç in f'( ) n n ne e e, e,, < 6. f() ( ) ( ) ( ) fonksionunun artan vea azalan olduğu aralıkları bulunuz. f'() ( ) ( ) ( ) 6 f'' (, ) için f'() < olduğundan (, ) de f azalandır. (, ) için f'() > olduğundan f, (, ) de artandır. 7. f() ( a) ( a) fonksionunun artan vea azalan olduğu aralıkları bulunuz. f'() ( a) ( a) a a 6 & f'() (, ) aralığında f azalan, (, ) aralığında f artandır.

82 8. f() fonksionunun erel maksimum değeri kaçtır? f'() ve f'() & vea tür. için f'() > için f() & ( )( ) h için f'() < olup için fonksion maksimum değerini alır. Ölese f'() h maks min için maksimum değer fb l b l b l olur. 7 UYGULAMA ADIMI. Şekilde verilen f fonksionunun türevinin grafiğine göre, f()'in maksimum ve minimum noktasının apsisi nedir? a m a n m b c b f() in maksimum değer alması için f'()'in pozitif değerden, negatif değere geçmesi gerekir. Buna göre b'de f() in maksimum değeri vardır. f() in minimum değeri için, türev negatif değerden pozitif değere geçmelidir. O halde a ve c noktalarında f()'in minimum değerleri vardır.. f() fonksionunun de bir ekstremumu m varsa, m kaçtır? n c f'() f'() ÜNİTE 9. a, b R ve f: R R f() a b fonksionu için ve erel ekstremum noktalarının apsisleri ise, (a, b) ilikisini bulalım. f'() a b f'( ) a b... f'() a b... ve den a, b bulunur. (a, b) (, ) tür. f() fonksionunun de bir ekstremumu varsa f'( ) olmalıdır. ise m m ( ) m ( ) m m m ' ( m ) ( m ) f'( ) & & m 6 bulunur. 8m m m ( m )

83 ÜNİTE. UYGULAMA ADIMI Verilen grafik incelendiğinde f() A (, ) için f() azalan, ani f'() < ve f'( ) ; a b O c (, ) aralığında f() artan, ani f'() > ve f'() dır. B (, ) aralığında f() azalan, ani; f'() < ; (, ) aralığında f() artan ani, f'() > olduğundan bu koşulları f() 9 fonksionunun grafiği verildiğine göre, sağlaan grafik (B) seçeneğindedir. AB kaç birimdir?. A noktası erel maksimum noktasının ordinatı, B noktası da erel minimum noktasının ordinatıdır. f'() 9 9 & f'() &! O halde a ; b olur. f( ) ( ) 9( ) 9 6 f() dır. Buna göre AB 6 ( 6) bulunur. f() Şekilde verilen f() fonksionunun grafiği için, f'() türev fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B). Şekilde f() fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre, f() fonksionu için aşağıdakilerden hangisi anlıştır? A) Yerel minimum değerlerinden biri sıfırdır. B) Yerel maksimum değerlerinden biri dir. C) Yerel maksimum değerlerinden biri dir. D) Yerel minimum değerlerinden biri dir. E) tane maksimum değeri vardır. O f() Grafik incelenirse f() fonksionunun ve apsisli noktalarda erel minimumu, ve apsisli noktalarda erel maksimumu vardır. Bu nedenle A, B, C ve D seçenekleri doğru E seçeneği anlıştır. C) D) 5. f() 6 fonksionunun erel minimum ve erel maksimum değerlerini bulalım. E) f() 6 ise f'() &,

84 Tablo apılırsa: f'() f() erel maks. erel min. Türev fonksionunun işareti incelenirse f fonksionu (, ) aralığında 'e kadar türev fonksionunun işareti incelenirse f fonksionu (, ) aralığında e kadar pozitif ve f'( ) olduğundan f() in maksimum değeri f( ) 6 8 dir. (, ) aralığında e kadar negatif ve f'() olduğundan f() in minimum değeri f() 6 tür. 6. f() fonksionunun [, ] aralığındaki erel ekstremum değerlerinin toplamı kaçtır? f() & f'() olup [, ] olduğundan bir kritik noktadır. f'() f() erel maks. erel min. erel min. için f(). (Yerel maksimum) için f(). (Yerel minimum) için f(). (Yerel minimum) O halde, erel ekstremum değerlerinin toplamı ( ) ( ) olur. 7. Aşağıdaki fonksionların verilen aralıklardaki en küçük ve en büük değerlerini bulalım. a) f() 5 [, ] b) f(),n [, e) c) f() e [, ] d) f() ( )( ) [, ] UYGULAMA ADIMI a) Önce f'() in kritik noktaları bulunur. f'() & 6 6 & 5 ve, [, ] dir. 5 [a, b] [, ] olup f(a), f(b), f( ), f( ) bulunur. f( ), _ b f( ) 8, b 5 f nin [, ] aralığındaki en küçük f() 9 ` b 5 değeri 9, en büük değeri 8 dir. f( ) 6 b a b) f'() n &,. (, n ),, n & e g [, e] olduğundan sadece f() ve f(e) e bakılır. e f() ve f(e) e f() en küçük değer, f(e) e en büük değerdir. c) f'() & e e e ( ), e, [, ) f() e, f() f( ) e lim lim " " e L' Hospital kuralı ugulanırsa ( )' lim lim " $ ( e ) $ e En küçük değer : En büük değer : e dir..( ) ( ). d) f'() ( ).( ) 8 & ( ),,,, [, ] dir. f( ), f( ), f( ) En küçük değer:, f( ), f( ) En büük değer: dir. ÜNİTE 5

85 ÜNİTE. f() 6 fonksionunun artan vea azalan oldukları kümeleri bulunuz. a, PEKİŞTİRME ADIMI k da artan. f() 6 fonksionu verilior. f'() türev fonksionunun artan vea azalan olduğu kümeleri bulunuz. a, k da arzalan. f() fonksionunun artan vea azalan olduğu kümeleri bulunuz. b, l,, da artan ^ h b, de azalan l 5. f() k fonksionunun R de artan olması için k hangi koşulu sağlamalıdır? 6. (a, b) aralığında şekildeki gibi tanımlı f fonksionu verilior. Buna göre, aşağıda tanımlanan fonksionların hangilerinin artan, hangilerinin azalan olduklarını belirtiniz. ^, h de artan ^, h da azalan a f b. f(), n fonksionunun artan vea azalan olduğu kümeleri bulunuz. a) g( ) f ( ) ct ) ( ) f( ) b) h( ) f( ) d) R( ) f( ) (, ) (, ) da azalan (, ) te artan a) g azalan b) h azalan c) T artan d) R artan 6

86 7. f() fonksionunun [, ] aralığındaki erel ekstremum değerlerinin toplamı kaçtır? 8. f: [, ] R, f() 6 fonksionunun erel ekstremum değerlerinin toplamını bulunuz Şekilde f() fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre, bu fonksion için aşağıdakilerden hangisi anlıştır? A) 5 te erel minimum değeri vardır. B) de erel minimum değeri vardır. C) tane erel maksimum değeri vardır. D) te erel maksimum değeri vardır. E) 5 te erel minimum değeri vardır. 5 f() 6 7 PEKİŞTİRME ADIMI. f() a fonksionunun apsisli noktasında erel minimumu olduğuna göre, a nın değeri kaçtır?. Şekilde f() fonksionunun f'() türevinin grafiği verilmiştir. f() in erel maksimum ve erel minimum noktalarının apsislerini bulunuz. a b a, c de erel maksimum; b, d de erel minimum var.. f() a b fonksionunun apsisi olan noktası erel minimum noktasıdır. Bu noktadaki minimum değeri olduğuna göre, a.b kaçtır? c d f'() ÜNİTE E 7

87 ÜNİTE.. f'() f() fonksionunun türevinin grafiği çizilmiştir. f() fonksionunun hangi değeri için minimumu vardır? a c d b f: [a, b] R; f() ile tanımlı fonksionun grafiği şekildeki gibidir. f'() fonksionuna ait grafik aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) B) f() C) PEKİŞTİRME ADIMI Şekilde türevinin grafiği verilmiş olan f() fonksionunun erel maksimum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır? 5 7 Şekilde türevinin grafiği verilmiş olan f() fonksionunun erel minimum noktalarının apsislerinin toplamının erel maksimum noktalarının apsislerinin toplamına oranı kaçtır? f'() f'() D) a c d b E) a c d b a c d b a c d b a c d b ( k ) 7. f ( ) fonksionunun noktasında bir erel ekstremumunun olması için, k kaç olmalıdır? C 8

88 KAVRAMSAL ADIM TÜREVİN ANLAMI ÜNİTE Hareketli bir cismin t zamanda aldığı S olunu t zamanının bir fonksionu olarak S f(t) ile gösterelim. Cismin t t anında aldığı ol S f(t ) t t anında aldığı ol S f(t ) olur. S S ft ( ) ft ( ) t < t ise t t oranına cismin [t, t ] aralığındaki ortalama hızı denir ve V ort ile gösterilir. Yani t t V f(t ) f(t ) ort dir. t t f'(t ) değeri varsa bu değere cismin t t anındaki anlık (anı) hızı denir. Cismin hız fonksionu V(t) ile gösterilirse V(t) f'(t) olur. Başka bir deişle olun zamana göre türevi hızı verir. Cismin ivmesi a ise ivme zamanın bir fonksionudur. Yani a(t) V'(t) dir. Bu hızın zamana göre türevi ivmei verir şeklinde orumlanır. ÖRNEK Hareket denklemi f(t) t t olan bir cismin t ve t sanieleri arasındaki ortalama hızı kaç m/sn dir? ft ( ) ft ( ) Vort t t idi. t için f(). 9 t için f() vort m/ sn dir. 7 V(t) f'(t) t a(t) V'(t) (t )' 6t olup a() 6. m/sn bulunur. ÖRNEK f(t) t 9t t denklemile bir doğru üzerinde hareket eden bir cismin hızı hangi zaman aralığında azalır? V(t) f'(t) t 8t f'(t) & t 8t t 6t 8 (t )(t ) V(t) Tablodan görüldüğü gibi cismin hızı (, ) aralığında azalır ETKİNLİK Hareket denklemleri S t ve S t k olan iki cisim buluştukları anda hızları anıdır. S ve S cisimlerin erden üksekliğini gösterdiğine göre, k kaçtır? Cisimlerin hız fonksionları V (t) t V (t) tür. Hızlar eşit olacağından t & t olur. Buluştukları anda iki cisim de erden anı ükseklikte olacağından S S olmalıdır. O zaman t için ÖRNEK Hareket denklemi f(t) t olan hareketlinin t 'nci saniedeki ivmesi kaç m/sn dir? S 5 S k bulunur. k 5 & k 9

89 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM KONVEKSLİK VE TÜREV İLİŞKİSİ ETKİNLİK Hareket denklemi S t t olan cismin t.nci saniedeki anlık hızını bulunuz. f: A R fonksionu verilsin. f nin grafiği üzerinde a < b olmak üzere a ve b noktaları f V(t) S'(t) 6t olduğundan t deki anlık hız V() m/sn dir. ETKİNLİK alınsın. β f '( a ) tan b < α olup a < b a f'( b) tan a > iken f'(a) < f'(b) ani f' artandır. f'() artan olduğundan f'' > dır. b f ( h) f ( ) Arıca f'() lim h" h olduğundan erine a azılırsa, f'(a) fa ( h) fa ( ) lim h" h f nin a noktasındaki türevi idi. e denklemile verilen aralığı bulalım. Burada a h denirse h a dır. ' e & " e tir. 6! R için " e > olduğundan her erde eğri konkavdır. h için a olur. ( ) ( ) f'( a) f fa lim " a a olur. Grafikten a < b iken f'(a) < f'(b) idi f'( b) f'( a) > f'( b) f'( a) lim > b a> b" a b a f''( a ) > d r. e O halde, f iki kez türevlenebilen bir fonksion olsun. (a, b) & f''() > ise f konveks (çukur) bir fonksiondur. f() konveks ise, e f() konvekstir. UYARI f iki kez türevlenebilen bir fonksion olsun. f() bir polinom olsun. ) m Z olmak üzere f(), ( a) m ile bölünebiliorsa, f'(), ( a) m ile bölünebilir. β a b f α ) Eğer f'(), ( a) m ile bölünebilorsa ve f(a) ise, f(), ( a) m ile bölünebilir. ) f(), ( a) m ile bölünebiliorsa f (m ) (a) dır. a < b olsun f'(a) tanβ > f'(b) tanα < a < b iken (a, b) de f'(a) > f'(b) dir. Yani (a, b) de f' azalandır. f' azalan ise, f''() < dır.

90 KAVRAMSAL ADIM Diğer bir ifadele Aşağıdaki şekilleri inceleiniz. a < b iken f'(a) > f'(b) olduğundan f'(b) f'(a) < f()a b a > f'( b) f'( a) < b a f'( b) f'( a) lim < b " a b a f''( a) < O halde, 6! ( a, b) için f''() < & f konkavdır. (tümsek) f konveks & f konkavdır. Sonuçlar. f: [a, b] R fonksionu, [a, b] aralığında sürekli ve (a, b) aralığında. ve. türevleri alınabilsin. (a, b) aralığında, f() fonksionunun eğrisi tüm teğetlerinin üstünde kalıorsa, f fonksionunun eğrisinin çukurluğu ukarı (konveks) denir. Bu durumda 6! ( a, b) iç in f''( ) > Bunun karşıtı da doğrudur. Yani 6 (a, b) için f''() > ise f fonksionunun eğrisinin çukurluğu (a, b) aralığında ukarı doğrudur.. f: [a, b] R fonksionu [a, b] aralığında sürekli ve (a, b) aralığında. ve. türevleri var olsun. f() a b < a < f() a konveks f()a < a < f() a konveks f() n f() n konkav f() (a, b) aralığında f() fonksionunun eğrisi tüm teğetlerinin altında kalıorsa f fonksionunun eğrisinin çukurluğu aşağı (konkav) denir. Bu durumda 6! ( a, b) için f''() < dır. Bunun karşıtı da doğrudur. Yani 6! ( a, b) için f''() < ise, f fonksionunun eğrisinin çukurluğu aşağı doğrudur. f() fonksionu (, ) aralı ında konveks, (, ) aralı ında konkav. ÜNİTE a b f()

91 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK denklemile tanımlanan eğrinin konveksliğini inceleelim. ' & " 6 tir. "6 konveks konkav Dönüm Noktası Bir eğrinin çukurluğunun ön değiştirdiği noktaa eğrinin dönüm noktası denir. D R ve f: D R fonksionu verilsin. D olmak üzere M(, f( )) noktasında f tanımlı, sürekli ve f' türevli olsun. < için " <, > için " > dır. < için eğri konveks > için eğri konkavdır. ETKİNLİK f() fonksionunun konkavitesini inceleiniz. f() f'() f''() 6 6 & Tablo: f"() f''( ) ve ın solunda ve sağında f'' türev fonksionu zıt işaretli ise M(, f( )) noktası f nin bir dönüm noktasıdır. ''<. f() fonksionunda için f'( ) vea f'( ), f''( ) ve ın solunda ve sağında f'' zıt işaretli ise, noktası bir dönüm noktasıdır. Aşağıdaki şekilleri inceleiniz. A α M dönüm noktası ''> B f() konkav D.N. konveks C D < için f() konkav, α > için f() konvekstir. Şekillerde A, B, C ve D noktaları birer dönüm noktasıdır.

92 KAVRAMSAL ADIM. f() fonksionunda için f'( ) ve ın ÖRNEK solunda ve sağında f'' zıt işaretli ise noktası bir dönüm noktasıdır. Aşağıdaki şekilleri inceleiniz. f: R R, f() noktası mıdır? fonksionu için noktası bir dönüm E E Şekillerde E ve F noktası birer dönüm noktasıdır. ETKİNLİK f() fonksionunun dönüm noktasının apsisini bulalım. f() f'() f''() f''() & & dır. Fakat (, ) noktası bir dönüm noktası değildir. Eğrinin çukurluk önünden değişmediğine dikkat ediniz. f f'() 9 ÖRNEK f"() 8 f"() & 8 & 9 bulunur. f: R R, f() fonksionunun dönüm noktası nedir? UYARI noktası f fonksionunun bir dönüm noktası ise, f' türev fonksionu bu noktada işaret değiştirmez. Yani ın solunda ve sağında f' birinci türev fonksionu anı işarete sahiptir. Fakat ın solunda ve sağında f'' ikinci türev fonksionu zıt işaretlidir. f'() 6 6 f''() 6 f''() & 6 & dir. f'' için işaret tablosu apılırsa: fc m c m c m f''.. 8 ÜNİTE UYARI f''( ) < f''( ) > f fonksionunun noktasında. ve. türevleri var olsun. f''( ) olması (, f( )) noktasının bir dönüm noktası olmasını gerektirmez. olup b, l noktası fonksionun dönüm noktasıdır.

93 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK f() sin fonksionunun (, π) aralığındaki dönüm noktası nedir? f'() cos, f''() sin ETKİNLİK sin cos fonksionunun artan, azalan oldukları aralık ve ekstremum, dönüm noktalarını [, π) aralığında belirtelim. ' cos sin olup köklerini bulalım. sin cos sin & sin cos & cos f''() & sin & kπ (k Z) ve k için π dir. Tablo: π f'' O halde, π noktası f() sin fonksionunun dönüm noktasıdır. ÖRNEK f() a fonksionu için M(, ) noktası bir dönüm noktası ise, a kaçtır? f''() < M(, ) bir dönüm noktası ise f''() ve f'() a f''() 6 a f''() > f''() & 6. a & a tür. r r 5r & tan &, r ekstremum noktalarını verir. Aırt etmek için ikinci türevin bu noktalarındaki işaretini inceleelim. " sin cos olup r iç in " " < dır. Maksimum oluşur. 5r Dolaısıla te minimum elde edilir. Dönüm noktasını bulmak için ikinci türevi sıfırlaalım. " sin cos & sin cos sin & cos r tan & π π/ ve r 7r r noktaları dönüm noktasıdır. Artan ve azalan olduğu aralıkları bulmak için türev işaret tablosunu apalım. ETKİNLİK f() fonksionunun dönüm noktasının apsisini bulunuz. π/ 5π/ π ' ma min Tabloa göre r c, m te fonksion artan, r 5r 5r c, m te azalan, c, rm de artandır.

94 . f() 5 7 fonksionunun eğrisinin konveks vea konkav olduğu kümeleri bulunuz. f'() 7 f''() 6 olur. 5 f''() & 6 & tür. 5 f''() f() 5 (, ) 5 (, ) aralığında f nin çukurluğu aşağı doğru (konkav), aralığında f nin çukurluğu ukarı doğrudur. (konveks). Aşağıdaki grafikler (, ) aralığında f() fonksionuna aittir. Aşağıdakilerden hangisinde f() > ; f'() > ; f''() < koşullarının her üçü de sağlanır? A) B). f: [a, b] R f() fonksionunun grafiği verilmiştir. 6! ( a, b) için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) f'() > B) f'() > C) f'() > f''() < f''() > f''() D) f'() < E) f'() < f''() > f''() < Grafik incelenirse 6! ( a, b) için f() artandır. Dolaısıla f'() > dır. Arıca f() fonksionunun grafiği a b 6! ( a, b) için tüm teğetlerinin üstünde olduğundan f konvekstir. Yani f'() > dır. O halde, doğru cevap B dir.. Aşağıda grafikleri çizilen f() fonksionlarından hangisinde verilen aralıklarda f'() <, f''() > koşulları sağlanır? A) B) C) D) UYGULAMA ADIMI a b a b a b ÜNİTE C) D) E) a b a b E) f() > olması grafiğin ekseninin üst kısmında olduğunu, f'() > olması f nin artan olduğunu, f''() < olması da f nin konkav olduğunu söler. Bu üç koşulu sağlaan grafik C dedir. 6! ( a, b) a b için f'() < olması f nin (a, b) aralığında azalan olduğunu, f''() > olması da f nin (a, b) aralığında konveks olduğunu gösterir. O halde, doğru cevap C dir. 5

95 ÜNİTE 5. Şekilde g() fonksionuna ait f'() ve f''() türev fonksionlarının grafikleri verilmiştir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi anlıştır? A) f''(b) < dır. B) > d için f() artandır. C) f(), (b, d) aralığında azalandır. D) c için f() in dönüm noktası vardır. E) f'().f''() f'() f''() Grafiğe göre tablou oluşturalım. f'(). türev fonksionu (, b) ve (d, ) aralıklarında pozitif olduğundan bu aralıklarda f artan, (b, d) aralığında negatif olduğundan bu aralıkta f azalandır. f''() fonksionu c de eksenini kestiğinden ve c nin solunda ve sağında f''() fonksionunun işareti farklı olduğundan c de f nin bir dönüm noktası vardır. f'() a, f''() e olup a >, e < olup a.e dır. O halde tablodan, A) f''(b) < önermesi doğrudur. B) > d için f() artandır. C) f() (b, d) aradığında azalandır. D) c için f() in dönüm noktası vardır. E) f'().f''() önermesi anlıştır. a e b c b c d f'() f() f''() d UYGULAMA ADIMI 6. f:r R, f() ( 5) fonksionunun dönüm noktasının koordinatlarının toplamını bulalım. 7. f() ( 5) ise f'() ( 5). ( 5) 5 (çift katlı kök) f''() 6( 5) & 5 tir. Tablou oluşturalım. 5 f' f'' İkinci türev fonksionunun kökü 5 tir. 5 in solunda ve sağında f''() fonksionunun işaretleri farklı olduğundan 5 dönüm noktasının apsisidir. O halde 5 için f(5) (5 5) olup D(5, ) dönüm noktasıdır. Dönüm noktasının koordinatlarının toplamı 5 ( ) bulunur. f'() Şekilde türevinin grafiği verilen f fonksionunun dönüm noktalarının apsislerinin toplamı kaçtır? Grafikten f'( ) f'( ) f'(6) dır. Arıca (f')'( ) f''( ) (f')'() f''() dır. f'() türev fonksionu ün solunda artan sağında azalan olduğundan f''() fonksionunun te bir dönüm noktası vardır. Benzer şekilde f'() türev fonksionu ün solunda azalan, sağında artan olduğundan, f''() fonksionunun te bir dönüm noktası vardır. O halde, f nin dönüm noktalarının apsislerinin toplamı dir. 6 6

96 8. Yukarıdaki grafik f() a b c d fonksionuna aittir. Aşağıdakilerden hangisi anlıştır? A) f( ).f'( ) B) f'().f''() > C) f' b l. f'' b l > D) f' b l. fb l< E) f'() f''() < Grafik incelenirse; k (, ) olmak üzere k noktası dönüm noktasının apsisidir. Yani f''(k) dır. Buradan (, k) aralığında f''() >, (k, ) aralığında f''() < dır. Arıca (, ) ve (, ) aralıklarında f fonksionu azalan olduğundan f'() < dır. Grafikten ve ukarıda elde edilen bilgiler ardımıla, A) f( ) olduğundan f( ).f'( ) önermesi doğrudur. B) f'() < ve f''() < olduğundan f'().f''() > önermesi doğrudur. C) f' ( ) < ve f'' ( ) > olduğundan f'( ). f''( ) > önermesi anlıştır. D) f'( ) >, f( ) < olduğundan f'( ). f( ) < önermesi doğrudur. E) f'() ve f''() < olduğundan f'() f''() < önermesi doğrudur. Doğru cevap C dir. k f() f() UYGULAMA ADIMI 9. P() a b c polinomu ( ) ile tam bölünebildiğine göre, a b c toplamını bulalım. ( ) & dir. _ P( ) b P'( ) ` sistemini çözmeliiz. P''( ) b a P( ).( ) a.( ) b.( ) c a b c a b c... () P() a b c & P'() a b P'( ).( ).a.( ) b a b 8... () P''() a P''( ).( ) a a 8 a... () () ten a değeri () de erine azılırsa.() b 8 & b 8 olur. a ve b 8 değeri () de erine azılırsa..8 c & c bulunur. O halde a b c 8 tür.. b c fonksionunda apsisi olan nokta dönüm (büküm) noktasıdır. Fonksionun bu noktadaki teğetinin eğimi olduğuna göre, c nin değeri kaçtır? ' b c '' 6 b için dönüm noktası olduğundan f''() olmalıdır. & 6 b & b bulunur. & ' 6 c olur. de teğetin eğimi olduğundan f'() olmalıdır. & 6 c & c olur. ÜNİTE 7

97 ÜNİTE. Üçüncü dereceden bir polinom fonksionda bir ve alnız bir dönüm noktası vardır. Neden? Üçüncü dereceden bir polinomun ikinci türevi birinci dereceden bir fonksiondur. Birinci derece denklemlerinin bir ve alnız bir kökü vardır. Bu nedenle üçüncü dereceden bir polinom fonksionun bir ve alnız bir dönüm noktası vardır.. Hareket denklemi S(t) 6 t t olan hareketlinin ivme zaman grafiğini çiziniz. S'(t) 6t a(t) S''(t) 6 olur. Buna göre, hareket sabit ivmelidir. Grafik aşağıdaki gibi olur. 6 a(t). Hareket denklemi zamanın. dereceden bir fonksionu olan hareketlinin ivmesini grafik çizerek açıklaınız. S(t) at bt ct d S'(t) at bt c a(t) 6at b olur. Bu bir doğru denklemidir. a > ise ivme düzgün artan, a < ise ivme düzgün azalandır. a >, b > için grafik aşağıdadır. 6ab b a(t) UYGULAMA ADIMI. Sin Cos fonksionunun konkav ve konveks olduğu aralıkları bulunuz. ' Cos Sin & '' Sin Cos & Sin Cos & Cos Sin & r Cos Cos a k & r r k. r V a k k. r & r r k. r V k. r anlams z r kr Buna göre, noktaları dönüm noktalarıdır. e e 5. fonksionunun konkav ve konveks olduğu aralıkları bulunuz. e e e e olur. Bu denklemin çözümü oktur. O halde, dönüm noktası oktur. Üstelik, konvekstir. UYARI ''Cos Sin Sin Cos r k. r π... ( π) ( π π) π ( π π) ( π π) D.N konkav D.N e e e e ' & '' & e e & & e e 6! R iç in '' > D.N D.N konveks konkav konveks D.N olduğundan her erde e e fonksionunun grafiği aşağıdadır. (, ) noktası bir minimumdur. Her erde konveks olduğu görülür. e e 8

98 . f() fonksionunun dönüm noktasını bulunuz.. f() ( ) ( ) fonksionunun dönüm noktasının apsislerinin toplamı kaçtır?. k f() PEKİŞTİRME ADIMI D(, ). f: [a, b] R için f() <, f'() < ve f''() > koşullarını sağlaan fonksionun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) C) a a b b 5. Şekilde grafiği verilen f() f() fonksionu için aşağıdakilerden hangisi anlıştır? 5 E) a b B) D) a a b b D ÜNİTE f() fonksionunun grafiği verilmiştir. Aşağıdakilerden hangisi anlıştır? A) f'(k) B) f'() > C) f'() < D) f''( ) > E) f''(k) > A) f'() > B) f''() < C) f'( ) D) f'() E) f'() < E C 9

99 ÜNİTE 6. P() a b c polinomu ( ) ile tam olarak bölündüğüne göre, a b c toplamı kaçtır? PEKİŞTİRME ADIMI 6 8. f() ( ) fonksionunun dönüm noktası var mıdır? Yoktur 7. Doğrusal bir örünge bounca hareket eden bir cismin hareket denklemi St () t tür. Bu cismin ivme zaman grafiği aşağıdakilerden hangisidir? (Zaman birimi sanie, konum birimi metredir.) A) C) a(m/sn ) a(m/sn ) E) 8/ / t(sn) t(sn) a(m/sn ) B) D) a(m/sn ) a(m/sn ) t(sn) t(sn) t(sn) 9. a, b, c reel saıları arasında a < b < c bağıntısı vardır. f: R R, f() ( a)( b)( c) fonksionu verilior. Aşağıdakilerden hangisi anlıştır? A) f'(a) > B) f''(a) < C) f'(c) > D) f''(c) < E) f'(b) <. Yandaki şekil. dereceden bir f() polinomunun grafiği olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi anlıştır? A) için f() 'dır. B) için f'() < 'dır. C) için f() 'dir. D) için f() 'dır. E) için f'() 'dır. D C B 5

100 KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK ) a b c fonksionunun de maksimumu, te minimumu olması için a ve b ne olmalıdır? a b c fonksionu, türevlenebilen bir fonksion olduğundan erel maksimum minimum noktalarında türevi sıfır olmalıdır. ' a b dir. de maksimum olduğundan, '( ) a b te minimum olduğundan, '() 7 6a b olur. a b 7 6a b denklem sisteminden a, b 9 bulunur. ) ekseni üzerinde sabit M, M..., M n noktaları alınıor. Eksen üzerinde öle bir N noktası bulunuz ki diğer noktalara uzaklıklarının kareleri toplamı minimum olsun. İkinci Türev ve Yerel Ekstremum Noktası Eğrinin maksimum noktasında çukurluğun önü aşağı doğru olduğundan, f'( ) f''( )< maksimum noktada ikinci türev negatiftir. Yani f'( ) iken f''( ) < ise, noktası f fonksionu için bir erel maksi- f'( ) f''( )> O mum noktasıdır. Eğrinin minimum noktasında çukurluğun önü ukarı doğru olduğundan minimum noktada ikinci türev pozitiftir. Yani: f'( ) iken f''( ) > ise, noktası f fonksionu için bir erel minimum noktadır. f fonksionunun (a, b) aralığında f (n) türevi mevcut ve (a, b) aralığının bir c noktasında, f'(c) f''(c)... f (n ) (c) ve f (n) (c) olsun. Anı zamanda f (n) fonksionu c'de sürekli olur. ) Eğer; n çift ve f (n) (c) > ise f nin c de bir erel minimumu vardır. ) Eğer; n çift ve f (n) (c) < ise f nin c de bir erel maksimumu vardır. ) Eğer; n tek ise c de f nin ne erel minimumu ne de erel maksimumu vardır. ETKİNLİK Asıl bou a olan bir aın bou, b kadar bastırılıp bırakıldıktan sonra, zamanın fonksionu olarak L a b.sin(t kπ) olmaktadır. Yaın hareket hızının maksimum ve minimum olduğu anları bulunuz. (a ve b pozitif reel saılar, k Z dir.) Hız denkleminin türevini sıfır apan t değerleri, hızın en düşük vea en büük olduğu anları gösterir. (Hızın türevi ivmedir. Demek ki ivmenin sıfır olduğu anlarda hız ekstremum değerdedir.) V(t) L' b.cos(t kπ) V'(t) L'' b.sin(t kπ) olur. b.sin(t k.π) & Sin(t k.π) denklemi bulunur. & t k.π k.π V t kπ π k.π & t k.π V t π k.π & t k.π V t (k )π Bu değerleri, hızın ikinci türevinde erine azalım. V''(t) L''' b.cos(t kπ) V''(t ) b.cos(kπ kπ) b.cos(.kπ) b. b < V''(t ) b.cos[(k )π kπ] b.cos(π kπ) b.( ) b > ÜNİTE 5

101 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ETKİNLİK ) denklemile verilen eğrinin maksimum minimumlarını araştıralım. için ( ) > için ( ) olduğundan, fonksionu *,, > biçiminde parçalı olarak azalım. Grafikten görüldüğü gibi apsisli noktada fonksion maksimum değerini almaktadır ve maksimum değeri dir. Osa;, < ' *, > ve '( ), '( ) olduğundan '( ) türevi oktur. UYARI. Çevreleri eşit olan dörtgenler içinde alanı maksimum olan karedir.. Çevreleri eşit olan üçgenler içinde alanı maksimum olan eşkenar üçgendir. Buna göre, V'(t ) ve V''(t ) < olduğundan, t kπ anlarında hız maksimumdur. V'(t ) ve V''(t ) > olduğundan, t (k )π anlarında hız minimumdur. UYARI t ve t değerleri için Sin(kπ t) olacağından, bu anlarda aın bou L a dır. Bu değer ise, aın denge konumundaki boudur. Denge konumunda hem maksimum hem de minimum hızın olması, hızlardan biri sıkışma için diğeri de gevşeme için demektir. (Bu hızların büüklükleri eşittir. Biri pozitif, diğeri negatiftir.) Yaın bounun L a b olması anında hız sıfırdır. Hız önlü bir kavram olduğu için sıfır hız minimum hız olmaz. MUTLAK MAKSİMUM MUTLAK MİNİMUM Bir fonksionun görüntü kümesindeki (varsa) en büük elemana o fonksionun mutlak maksimum değeri, en küçük elemana (varsa) mutlak minimum değeri denir. Bir fonksionun mutlak maksimum, mutlak minimum değerlerine o fonksionun mutlak ekstremum değerleri denir. Mutlak maks. Mutlak min O a b f() [a, b] de grafiği verilen f() fonksionunun de mutlak maksimumu de mutlak minimumu vardır. f'( ), f'( ) Mutlak min. Mutlak Maks. a O b f() [a, b] de grafiği verilen f() fonksionunun de mutlak minimumu de mutlak maksimumu vardır. f'( ) tanımlı değil. f'( ). Çevreleri eşit olan n kenarlı çokgenlerden, alanı en büük olanı düzgün çokgen olanıdır. Mutlak maks.. Toplamları sabit olan iki saının çarpımlarının maksimum olması için bu saılar eşit olmalıdır. Mutlak min. O a b 5