T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI DAĞILIMLARIN PARAMETRELERİNİN SANSÜRLÜ VE TAM ÖRNEKLEME DAYALI GÜVEN ARALIKLARININ KARŞILAŞTIRILMASI Nagiha ÇÖKEK YÜKSEK LİSANS TEZİ İstatistik Aabili Dalıı Eylül-2016 KONYA Her Hakkı Saklıdır

2

3

4 ÖZET YÜKSEK LİSANS TEZİ BAZI DAĞILIMLARIN PARAMETRELERİNİN SANSÜRLÜ VE TAM ÖRNEKLEME DAYALI GÜVEN ARALIKLARININ KARŞILAŞTIRILMASI Nagiha ÇÖKEK Selçuk Üiversitesi Fe Bilileri Estitüsü İstatistik Aabili Dalı Daışa: Prof.Dr. Coşku KUŞ 2016, 41 Sayfa Jüri Prof. Dr. Coşku KUŞ Doç. Dr. İsail KINACI Yrd. Doç. Dr. Ahet PEKGÖR Bu tez çalışasıda, Wu et al. (2011) tarafıda güve aralığı oluşturak içi ileri sürüle pivot, Weibull, Burr XII ve Gopertz dağılıları içi kullaılıştır. İstatistiksel souç çıkarıı ilerleye tür sasürlee altıda yapılıştır. Pivot eleaı dağılıı Wu et al. (2011) verile tablolar farklı sasür şeaları içi geişletiliştir. Ta örekle duruuda pivot eleaı dağılııı kuatil değerlerii tahi etek içi regresyo odelleri elde ediliştir. Ayrıca üerik öreklerde veriliştir. Aahtar Kelieler: : Burr XII dağılıı, Gopertz dağılıı, Güve aralığı, İlerleye tür sasürlee, Pivot, Weibull dağılıı iv

5 ABSTRACT MS THESIS THE COMPARİSON OF CONFİDENCE INTERVALS FOR PARAMETERS OF SEVERAL DİSTRİBUTİONS BASED ON COMPLETE AND CENSORED SAMPLE Nagiha ÇÖKEK THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN STATISTIC Advisor: Prof.Dr. Coşku KUŞ 2016, 41 Pages Jury Prof. Dr. Coşku KUŞ Assoc. Prof. Dr. İsail KINACI Assist. Prof. Dr. Ahet PEKGÖR I this paper, a pivot itroduced by Wu et al. (2011) is used to costruct the cofidece itervals for Weibull, Burr XII ad Gopertz distributio. Statistical iferece are discussed uder progressive cesorig. The tables for the distributio of pivotal quatity are exteded accordig to tables of Wu et al. (2011) with differet cesorig schees. Regressio odels are estiated to get cut off poit of pivotal quatity for coplete saple. Nuerical exaples are also provided. Keywords: Progressive cesorig, Gopertz distributio, Burr XII distributio, Weibull distributio, pivot, cofidece iterval v

6 ÖNSÖZ Bu çalışaı yürütülesi sırasıda desteğii esirgeeye daışaı Prof.Dr. Coşku Kuş a, sağladığı bilisel destek sebebiyle Arş.Gör. Yuus Akdoğa a, iş ve bili hayatıı bir arada yürütee yardıcı ola üdürü Ahet Kadir Özkurt a, yoğu çalışaları sırasıda sabır göstere eşi, ikizleri ve tü aile fertlerie, katkılarıda dolayı tü hocalarıa ve iş arkadaşlarıa teşekkür ederi. Nagiha ÇÖKEK KONYA-2016 vi

7 İÇİNDEKİLER ÖZET... iv ABSTRACT...v ÖNSÖZ... vi İÇİNDEKİLER... vii 1. GİRİŞ PİVOT ELEMANLARI İÇİN DAĞILIM KUANTİLLERİ SANSÜRLÜ DURUM İÇİN ARALIK TAHMİNİ Weibull Dağılıı Duruu Burr XII Dağılıı Duruu Gopertz Dağılıı Duruu SONUÇLAR VE ÖNERİLER KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ vii

8 1 1. GİRİŞ Güveilirlik aalizide zaa ve aliyet tasarrufu içi sasür şealı yaşa testleri yapılaktadır. E bilie yaşa testi ola Tip-II sasürlee aşağıdaki gibi taılaır: sayıda özdeş bileşei bir sistede yaşa testie tabi tutulduğu düşüülsü. Sistede eydaa gele bozula ile yaşa testi soa erdirilsi. Bu şekilde yapıla sasürleeye Tip-II sağda sasürlee deir (Kale, 2003). X 1: X 2: X :, olasılık yoğuluk foksiyou f ve dağılı foksiyou F ola dağılıda alıa tip-ii sağda sasürlü örekle olak üzere X 1 : X 2:,, X :, i ortak olasılık yoğuluk foksiyou (David, 1970). f 1,2,, buluur. (1.1) da x, x,, x 1 2 foksiyou elde edilir.!! i1 f x 1 Fx, x x i i 1 (1.1) alıırsa bilie sıra istatistiklerii ortak olasılık yoğuluk Tip-II sağda sasürlee, yaşa testii aliyetii ve süresii azaltasıa karşı souç çıkarııı güveilirliğii azaltaktadır. Tip-II sasürleei bir geelleesi ilerleye tür sasürleedir. Bu sasürlee aşağıdaki gibi taılaır: İlerleye tür tip-ii sağda sasürleiş odel (Progressive type-ii right cesorig odel) şu şekilde taılaaktadır (Balakrisha ve Aggarwala, 2000). sayıda özdeş bileşei bir sistede yaşa testie tabi tutulduğu düşüülsü. Sistede eydaa gele 1. bozula ile R 1 sayıda bileşei sistede çekildiğii daha sora geriye kala R 1 1 bileşede, 2. bozula ile R 2 sayıda bileşei sistede çekildiğii ve böylece. bozula ile bileşei bozula zaaı gözleir. Bu şekilde elde edile R sayıda bileşei sistede çekilesiyle hacili öreklee ilerleye tür tip-ii sağda sasürlü örekle deir. Burada biçiidedir ve R, R, 2, R sasür şeası olarak adladırılır. 1 R i 1 R i Şekil 1.1. İlerleye tür tip-ii sağda sasürlü örekle plâı

9 2 R R R X 1: : X 2: : X : : i ortak olasılık yoğuluk foksiyou f X R 1: : R R, X 2: :,, X : : x, 1 x,..., 2 x R x Fx, x x x i c f i 1 i 1 2 (1.2) i1 elde edilir. (1.2) de 0,,0 yoğuluk foksiyou, 0,, R alıırsa bilie sıra istatistiklerii ortak olasılık R alıırsa tip-ii sağda sasürlü sıra istatistiklerii ortak olasılık yoğuluk foksiyou (1.1) elde edilir (Aggarwala ve Balakrisha, 1998). İlerleye tür tip-ii sağda sasürlü öreklee, yaşa zaaı aalizleride veri elde etede öeli bir yötedir. Çalışa parça diğer bir test içi sistede çekilip, deeyi aliyeti ve deey süresi azaltılabilir. Birçok yaşa zaaı dağılıı içi ilerleye tür sasürlee altıda istatistiksel souç çıkarıı tartışılıştır. Bularda bazıları (Ali Mousa ve Jahee, 2002), (Wu, 2002), (Jahee, 2003), (Solia, 2005), (Wu ve ark., 2006), (Asgharzadeh, 2006), (Wu ve ark., 2011), (Wu, 2002) dır. (Che, 1997), Weibull dağılııı şekil paraetresie ait güve aralığı işaa etek içi tip-ii sağda sasürlü öreklee dayalı aşağıdaki pivotu öeriştir: 1 X 1 i: 1 X : / i ;,, / 1 X i 1 i: X : Burada X i: i. sıra istatistiği, örekle hacidir. (Che, 1997), pivotuu dağılııı elde edeeiş ve Mote Carlo siulasyo sayeside bu pivot içi küçük bir dağılı tablosu oluşturuştur. Daha sora, pivot (1.3), ilerleye tür sasürlee içi (Wu ve ark., 2011) tarafıda aşağıdaki gibi geel forda geelleştiriliştir. 1.3 R i1 i i: : R 1 ri / X i1 i: : 1 r X /. 1.4 (Wu ve ark., 2011), İlerleye tür sasürlee altıda, pivot (1.4) i, Che dağılııı şekil paraetresii güve aralığıı işasıda kullaışlardır. (Akdoga ve ark.,

10 3 2013) ayı pivotu Weibull, Burr XII ve Gopertz dağılılarıı paraetrelerii güve aralığıı elde etek içi kullaışlarıdır. Bu tezde, pivot (1.4), Weibull, Burr XII ve Gopertz dağılıları içi (Akdoga ve ark., 2013) daki gibi tekrar ele alııştır. Bölü 2 de, Pivot (1.4) i dağılıı farklı sasür şeaları içi (Wu ve ark., 2011) ve (Akdoga ve ark., 2013) a göre geişletiliştir. Regresyo aalizi ile pivot (2) i dağılııı kuatilleri tahi ediliştir. Bölü 3 de, pivot (1.4) i Weibull, Burr XII ve Gopertz dağılıları içi kullaılabilirliği tartışılıştır. Bölü 4 de, tezle ilgili souçlara yer veriliştir.

11 4 2. PİVOT ELEMANLARI İÇİN DAĞILIM KUANTİLLERİ Bu bölüde, ilerleye tür sasürlee altıda (1.4) de verile pivot eleaı dağılı kuatilleri siülasyo yardııyla elde ediliştir. Aslıda, (Wu ve ark., 2011) bazı tabloları veriş olsa da tez çalışasıda bu tablolar geişletiliştir. Ta örekle duruuda (1.4) de verile pivoutu dağılı kuatillerii tahi etek içi regresyo dekleleri elde ediliştir. Tablo 1 ve Tablo 2 de siülasyo ile tahi ediliş pivot (1.4) i dağılı kuatilleri veriliştir. Tablo 1 ve Tablo 2 yi elde etek içi yazıla Matlab kodu ekte veriliştir. Tablo 3 de, regresyo dekleleri ile pivot (1.4) i ta örekle duruuda tahi ediliş kuatilleri veriliştir. Bu bölüdeki tablolardaki, sağ kuyruk olasılıkları olarak ele alııştır. Tablo 2 ve Tablo 3 karşılaştırıldığıda regresyo dekleleri ile tahi edile kuatilleri siülasyo ile elde edile kuatillere çok yakı olduğu gözükektedir.

12 5 Tablo 1. Farklı sasür şeası altıda pivot eleaı dağılııı kuatilleri R 10 5 (5,,) (,,5) (,5,) (0,5,,0) (,0,5,0) (4,1,,0) (4,0,1,) (4,,0,1) (3,0,2,) (3,,0,2) (2,,0,3) (2,2,1,) (2,,2,1) (1,2,,2) (1,1,1,1,1) (1,4,,0) (1,0,4,) (1,,4,0) (1,,0,4) (3,1,1,) (3,0,1,1,0) (3,,1,1) (1,3,1,)

13 6 Tablo 1. Devaı R 10 8 (2,,,,0) (0,2,,,) (,0,2,,) (,,,2,0) (,,,0,2) (1,1,,,) (1,0,1,,,0) (1,,1,,) (1,,0,1,,0) (1,,,1,) (,,,1,1) (,,0,1,0,1) (,,1,,1) (,0,1,,0,1) Tablo 1. Devaı R 12 5 (7,,) (0,7,,0) (,7,) (,0,7,0) (,,7) (5,2,,0) (0,5,2,) (,5,2,0) (,0,5,2) (5,1,1,) (5,,1,1) (,5,1,1) (2,2,2,1,0) (0,2,2,2,1) (4,1,1,1,0) (4,0,1,1,1) (1,1,1,4,0) (1,1,1,0,4)

14 7 Tablo 1. Devaı R 12 7 (5,,,) (0,5,,,0) (,5,,) (,0,5,,0) (,,5,) (,,,5) (4,1,,,0) (4,,1,,0) (,,0,4,1) (,,0,1,4) (4,,0,1,) (4,,,1,0) (3,2,,,0) (3,,2,,0) (3,,0,2,) (,,0,3,2) (,,0,2,3) (2,,,0,3) (2,3,,,0) (2,,3,,0) (1,1,1,1,1,) (1,4,,,0) (1,,4,,0) (1,,,0,4) (1,,0,4,) (1,,,4,0)

15 8 Tablo 1. Devaı R

16 9 Tablo 1. Devaı R

17 10 Tablo 1. Devaı R 25 6 (19,,,0) (18,1,,) (17,1,1,,0) (16,1,1,1,) (15,1,1,1,1,0) (14,1,1,1,1,1) (,,0,19) (,,1,18) (,0,1,1,17) (,1,1,1,16) (0,1,1,1,1,15) (1,1,1,1,1,14) (9,2,2,2,2,2) (2,9,2,2,2,2) (2,2,9,2,2,2) (2,2,2,9,2,2) (2,2,2,2,9,2) (2,2,2,2,2,9)

18 11 Tablo 1. Devaı R

19 12 Tablo 1. Devaı R 30 8 (22,,,,0) (0,22,,,) (,22,,,0) (,,22,,0) (,,,22,0) (,,,0,22) (20,1,1,,,0) (2,,,1,1) (,,0,20,1,1) (18,1,1,1,1,,0) (18,,0,1,1,1,1) (,0,1,1,1,1,18) (,1,1,1,1,18,0) (18,,0,1,1,1,1) (17,,1,1,1,1,1) (17,1,1,1,1,1,) (,1,1,1,1,1,17) (15,1,1,1,1,1,1,1) (1,1,1,1,1,1,1,15)

20 13 Tablo 1. Devaı R

21 14 Tablo 1. Devaı R

22 15 Tablo 2 de siülasyo ile tahi ediliş pivot (1.4) i ta örekle duruuda dağılı kuatilleri veriliştir. Pivot (1.4) i kuatil değerlerii tahi etek içi Weibull büyüe odeli kullaılış, bağısız değişke olarak örekle haci, bağılı değişke olarak Tablo 2 de verile siülasyo ile elde edile kuatil değerleri alııştır. Weibull büyüe odeli * Y A A B EXP C X D olarak taılaır, burada A, B, C ve D paraetreler, ise hata teriidir. İlerleye tür sasürlee de çok fazla sasür şeası olasıda dolayı regresyo aalizi yai ta örekle duruuda yapılıştır. Aaliz souçları aşağıda Aaliz 1-8 başlıkları altıda veriliştir. Regresyo aalizide, 0.05 içi egatif kuatil değerleri kullaılıştır. Regresyo aalizi souçlarıda ve Tablo 2-3 de pivot (1.4) i kuatillerii kestirek içi Aaliz 1-8 de tahi edile odeller kullaılabilir. Tablo 2. Siülasyo ile elde edile pivot (2) i kuatil değerleri(ta örekle duruu)

23 16 Tablo 2. Devaı

24 17 Tablo 2. Devaı

25 18 Tablo 3. Regresyo aalizi ile elde edile pivot (2) i kuatil değerleri 0,9950 0,9900 0,9750 0,

26 19 Tablo 3. Devaı 0,9950 0,9900 0,9750 0,

27 20 Tablo 3. Devaı 0,9950 0,9900 0,9750 0,

28 21 Aaliz 1: 0.99 içi tahi edile odel aşağıdadır. Tahi edile odelde, örekle haci, C2 ise kestirilecek kuatil değeridir. Depedet Model Tahi Bölüü alpha=0,99 Curve Fit Report Paraetre Paraetre Asiptotik %95 lik %95 lik İsi Tahii Stadard Hata Alt Sıır Üst Sıır A 1, ,918742E-02 1, , B 0, , , C 3,815007E-02 1,810748E-03 3,455377E-02 4,174637E-02 D 0, ,583861E-02 0, , Bağılı C2 Bağısız Model C2=A-(A-B)*EXP(-(C* )^D) R-Kare 0, İterasyo 5 Tahi Edile Model ( )-(( )-( ))*EXP(-(( E-02)*(ABS()))^( )) Probability Plot of Residuals of C2 Residual vs Residuals of C2 Residuals of C2-3,0-1,5 1,5 3,0 25,0 5 75,0 10 Expected Norals 1,5 Plot of C2=A-(A-B)*EXP(-(C* )^D) 1,4 C2 1,3 1,1 1,0 25,0 5 75,0 10

29 22 Aaliz 2: içi tahi edile odel aşağıdadır. Tahi edile odelde, örekle haci, C3 ise kestirilecek kuatil değeridir. Curve Fit Report Depedet alpha=0,975 Model Tahi Bölüü Paraetre Paraetre Asiptotik %95 lik %95 lik İsi Tahii Stadard Hata Alt Sıır Üst Sıır A 1, ,351398E-02 1, , B 0, , , C 4,779498E-02 2,677602E-03 4,247703E-02 5,311292E-02 D 0, ,535855E-02 0, , Bağılı C3 Bağısız Model C3=A-(A-B)*EXP(-(C* )^D) R-Kare 0, İterasyo 5 Tahi Edile Model ( )-(( )-( ))*EXP(-(( E-02)*(ABS()))^( )) Probability Plot of Residuals of C3 Residual vs Residuals of C3 Residuals of C3-3,0-1,5 1,5 3,0 25,0 5 75,0 10 Expected Norals 1,6 Plot of C3=A-(A-B)*EXP(-(C* )^D) 1,5 C3 1,3 1,2 1,0 25,0 5 75,0 10

30 23 Aaliz 3: 0.95 içi tahi edile odel aşağıdadır. Tahi edile odelde, örekle haci, C4 ise kestirilecek kuatil değeridir. Model Tahi Bölüü Paraetre Paraetre Asiptotik %95 lik %95 lik İsi Tahii Stadard Hata Alt Sıır Üst Sıır A 1, ,299179E-02 1, ,66058 B 0, ,827758E-02 0, , C 8,551861E-02 1,058859E-02 6,448875E-02 0, D 0, ,023028E-02 0, , Bağılı C4 Bağısız Model C4=A-(A-B)*EXP(-(C* )^D) R-Kare 0, İterasyo 9 Tahi Edile Model ( )-(( )-( ))*EXP(-(( E-02)*(ABS()))^( )) Probability Plot of Residuals of C4 Residual vs Residuals of C4 Residuals of C4-3,0-1,5 1,5 3,0 25,0 5 75,0 10 Expected Norals 1,6 Plot of C4=A-(A-B)*EXP(-(C* )^D) 1,5 C4 1,3 1,2 1,0 25,0 5 75,0 10

31 24 Aaliz 4: 0.90 içi tahi edile odel aşağıdadır. Tahi edile odelde, örekle haci, C5 ise kestirilecek kuatil değeridir. Model Tahi Bölüü Paraetre Paraetre Asiptotik %95 lik %95 lik İsi Tahii Stadard Hata Alt Sıır Üst Sıır A 1, ,203583E-02 1, , B 6,269884E-02 0, , , C 0, ,260377E-02 0, , D 0, ,701914E-02 0, , Bağılı C5 Bağısız Model C5=A-(A-B)*EXP(-(C* )^D) R-Kare 0, İterasyo 44 Tahi Edile Model ( )-(( )-( E-02))*EXP(-(( )*(ABS()))^( )) Probability Plot of Residuals of C5 Residual vs Residuals of C5 Residuals of C5-3,0-1,5 1,5 3,0 Expected Norals 25,0 5 75,0 10 Plot of C5=A-(A-B)*EXP(-(C* )^D) 1,6 1,5 C5 1,3 1,2 1,0 25,0 5 75,0 10

32 25 Aaliz 5: 0.10 içi tahi edile odel aşağıdadır. Tahi edile odelde, örekle haci, C6 ise kestirilecek kuatil değeridir. Model Tahi Bölüü Paraetre Paraetre Asiptotik %95 lik %95 lik İsi Tahii Stadard Hata Alt Sıır Üst Sıır A -1, ,135232E-02-1, , B -15, , , , C 13, , , ,65457 D 0, ,676172E-02 0, , Bağılı C6 Bağısız Model C6=A-(A-B)*EXP(-(C* )^D) R-Kare 0, İterasyo 239 Tahi Edile Model ( )-(( )-( ))*EXP(-(( )*(ABS()))^( )) Probability Plot of Residuals of C6 Residual vs Residuals of C6 Residuals of C6-3,0-1,5 1,5 3,0 Expected Norals 25,0 5 75,0 10 Plot of C6=A-(A-B)*EXP(-(C* )^D) -2,0-2,3 C6-2,6-2,9-3,2 25,0 5 75,0 10

33 26 Aaliz 6: 0.05 içi tahi edile odel aşağıdadır. Tahi edile odelde, örekle haci, C7 ise kestirilecek kuatil değeridir. Model Tahi Bölüü Paraetre Paraetre Asiptotik %95 lik %95 lik İsi Tahii Stadard Hata Alt Sıır Üst Sıır A -1, ,948557E-02 2, , B -474, , , ,301 C ,036346E+07 1,113512E+07 D 0, ,480658E-02 2,948492E-02 0, Bağılı C7 Bağısız Model C7=A-(A-B)*EXP(-(C* )^D) R-Kare 0, İterasyo 1000 Tahi Edile Model ( )-(( )-( ))*EXP(-((385831)*(ABS()))^( )) Probability Plot of Residuals of C7 Residual vs 0,1 0,1 Residuals of C7-0,1 Residuals of C7-0,1-0,2-3,0-1,5 1,5 3,0 Expected Norals -0,2 25,0 5 75,0 10 Plot of C7=A-(A-B)*EXP(-(C* )^D) -2,0-2,5 C7-3,0-3,5-4,0 25,0 5 75,0 10

34 27 Aaliz 7: içi tahi edile odel aşağıdadır. Tahi edile odelde, örekle haci, C8 ise kestirilecek kuatil değeridir. Model Tahi Bölüü Paraetre Paraetre Asiptotik %95 lik %95 lik İsi Tahii Stadard Hata Alt Sıır Üst Sıır A 2, ,569311E-02 2, , B -974, , , ,292 C , D 0, ,822115E-02-6,710024E-02 0, Bağılı C8 Bağısız Model C8=A-(A-B)*EXP(-(C* )^D) R-Kare 0, İterasyo 1000 Tahi Edile Model ( )-(( )-( ))*EXP(-(( )*(ABS()))^( )) Probability Plot of Residuals of C8 Residual vs 0,2 0,2 0,1 0,1 Residuals of C8-0,1-0,2 Residuals of C8-0,1-0,2-0,3-3,0-1,5 1,5 3,0 Expected Norals -0,3 25,0 5 75,0 10 Plot of C8=A-(A-B)*EXP(-(C* )^D) -2,0-2,8 C8-3,5-4,3-5,0 25,0 5 75,0 10

35 28 Aaliz 8: 0.01 içi tahi edile odel aşağıdadır. Tahi edile odelde, örekle haci, C9 ise kestirilecek kuatil değeridir. Model Tahi Bölüü Paraetre Paraetre Asiptotik %95 lik %95 lik İsi Tahii Stadard Hata Alt Sıır Üst Sıır A 2, ,790014E-02 2, , B -9672, , , ,8 C 3,410865E+07 9,654103E+08-1,88328E+09 1,951497E+09 D 0, , , , Bağılı C9 Bağısız Model C9=A-(A-B)*EXP(-(C* )^D) R-Kare 0, İterasyo 1000 Tahi Edile Model ( )-(( )-( ))*EXP(-(( E+07)*(ABS()))^( )) Probability Plot of Residuals of C9 Residual vs 0,3 0,3 0,2 0,2 Residuals of C9-0,2 Residuals of C9-0,2-0,3-3,0-1,5 1,5 3,0 Expected Norals -0,3 25,0 5 75,0 10 Plot of C9=A-(A-B)*EXP(-(C* )^D) -2,0-3,0 C9-4,0-5,0-6,0 25,0 5 75,0 10

36 29 3. SANSÜRLÜ DURUM İÇİN ARALIK TAHMİNİ Bu bölüde, Weibull, Burr XII ve Gopertz dağılıı içi ilerleye tür sasürleeye dayalı aralık tahii tartışılacaktır Weibull Dağılıı Duruu Weibull dağılııı olasılık yoğuluk ve dağılı foksiyou 1 1 x x exp x, x 0, 0, 0 f 3.1 F olarak verilir. 1 x 1 exp x. 3.2 X X X Weibull dağılııda ilerleye tür sasürlü örekle R R R 1: : 2: : : : olak üzere aşağıdaki döüşü gözöüe alısı. R R X i: : i: :, 1, 2,, Y i K. 3.3 R Kolayca görülebilir ki Y : :, i 1, 2, K, stadart üstel ilerleye tür sasürlü sıra i istatistikleridir. Eşitlik (3.3), Eşitlik (1.4) de yazıldığıda aşağıdaki (3.4) olu eşitlikte verile pivot elde edilir. 1 / X i r i1 i 1 r / i 1 i Yi 1 r / 1 ri / i Y i1 i X i i1 i1 i i 1 r i / X i 1 r X / i1, burada X i ve Y i kısalta içi sırasıyla, X R i: : ve Y R : :, 3.4 i yerie kullaılıştır. Buda soraki kısıda da ayı kısaltalar kullaılacaktır. Pivot (3.4) kullaılarak içi 1 % lık güve aralığı

37 30 olup * * a, P a 1 r X / * * P 1 / 2 / 2 1 i1 i i 1 r i / X i1 i a eşitliğii sağlaya değerdir (Akdoga ve ark., 2013). 3.5 Pivot (3.4), ya göre ciddi ooto ise (3.5) de verile güve aralığıı alt ve üst liit değerleri tek olarak belirleebilir. Bu tezde (3.4) ı ya göre ciddi artalığı gösterileeiştir. Acak farklı data ve sasür şeaları içi (3.4) ı grafikleri Şekil 1-3 de veriliştir. Şekil 1-3 de (3.4) ı ciddi arta olduğu soucu çıkarılabilir fakat bu soucu kesi olduğu alaıa gelez. Şekil 1. Eşitlik (3.4) da verile pivotu xi 0.1,0.3, 2.4,3.2, 8 4 ve R 1,0, 2,1 içi ya göre grafiği Şekil 2. Eşitlik (3.4) da verile pivotu xi 1.2,3.2,6.5,7.8, 8, 4 ve R 1,0, 2,1 içi ya göre grafiği

38 31 Şekil 3. Eşitlik (3.4) da verile pivotu xi 0.1,0.3,0.6,0.9, 8 4 ve R 1,0, 2,1 içi ya göre grafiği Uygulaa 10 ve R r, r, r, r, r 1,1,1,1,1 içi 1 ve 4 paraetreli Weibull dağılııda üretile ilerleye tür sasürlü örekle Tablo 4 de veriliştir. Tablo 4. Weibull dağılıda üretile ilerleye tür sasürlü örekle i x i r i * * Tablo 1 de, ve olarak buluur. Eşitlik (3.5) yardııyla paraetresi içi 90% güve aralığı , şeklide elde edilir.

39 32 Tablo 5. Asiptotik ve kesi güve aralıklarıı kapsaa olasılıkları(noial seviye %95) R Asip. Kesi Aral. uz. Asip. Aral. uz. Kesi 10 8 (2,,,,0) (1,1,,,) (4,,1,,0) (2,3,,,0) Tablo 5 de paraetresi içi MLE tahi edicilerii asiptotik dağılııda(fisher bilgi atriside) faydalaarak oluşturula güve aralıkları ile (3.5) da verile kesi güve aralıkları kapsaa olasılıkları ve aralık uzulukları veriliştir. Tablo 5. de paraetresi içi güve aralığı olarak (3.5) de verile aralığı kullaılasıı daha doğru olacağı soucua varılıştır. Ayrıca, büyük örekle duruuda iki aralığıda perforasları birbirie yaklaşaktadır.

40 Burr XII Dağılıı Duruu Burr XII dağılııı olasılık yoğuluk ve dağılı foksiyou olarak verilir x x x, x 0, 0, 0 f 3.6 x x F X X X Burr XII dağılııda ilerleye tür sasürlü R R R 1: : 2: : : : örekle olak üzere aşağıdaki döüşü gözöüe alısı. R R i: : i: : Y log 1 X, i 1,2,, K 3.8 R Kolayca görülebilir ki Y : :, i 1, 2, K, stadart üstel ilerleye tür sasürlü sıra i istatistikleridir. Eşitlik (3.8), Eşitlik (1.4) de yazıldığıda aşağıdaki (3.9) olu eşitlikte verile pivot elde edilir. 1 r 1 i Yi / 1 i i i i 1 r / i i Y i1 i log 1 X i1 i 1 r 1 i log 1 X i / i 1 r i / log 1 X i 1 r log 1 X / 1 r / i1 Pivot (3.9) kullaılarak içi 1 % lık güve aralığı olup * * a, P a 1 r log 1 X / * * P 1 / 2 / i i i 1 r i / log 1 X i1 i a eşitliğii sağlaya değerdir (Akdoga ve ark., 2013) Pivot (3.9), ya göre ciddi ooto ise (3.10) de verile güve aralığıı alt ve üst liit değerleri tek olarak belirleebilir. Bu tezde (3.9) ı ya göre ciddi artalığı gösterileeiştir. Acak farklı data ve sasür şeaları içi (3.9) i grafikleri Şekil 4-6 de veriliştir. Şekil 4-6 de (3.9) i ciddi arta olduğu soucu çıkarılabilir fakat bu soucu kesi olduğu alaıa gelez.

41 34 Şekil 4. Eşitlik (3.9) de verile pivotu xi 0.1,0.3, 2.4,3.2, 8 4 ve R 1,0, 2,1 içi ya göre grafiği Şekil 5. Eşitlik (3.9) de verile pivotu xi 1.2,3.2,6.5,7.8, 8, 4 ve R 1,0, 2,1 içi ya göre grafiği Şekil 6. Eşitlik (3.9) de verile pivotu xi 0.1,0.3,0.6,0.9, 8 4 ve R 1,0, 2,1 içi ya göre grafiği

42 35 Uygulaa 10 ve R r, r, r, r, r 1,1,1,1,1 içi 2 ve 2 paraetreli Burr XII dağılııda üretile ilerleye tür sasürlü örekle Tablo 6 de veriliştir. Tablo 6. Burr XII dağılıda üretile ilerleye tür sasürlü örekle i x i r i * * Tablo 1 de, ve olarak buluur. Eşitlik (3.10) yardııyla paraetresi içi 90% güve aralığı , şeklide elde edilir Gopertz Dağılıı Duruu Gopertz dağılııı olasılık yoğuluk ve dağılı foksiyou 0 1 f x expxexp exp x 1, x 0, 0, 3.11 F 1 x 1 exp expx olarak verilir. X X X Gopertz dağılııda ilerleye tür sasürlü örekle R R R 1: : 2: : : : olak üzere aşağıdaki döüşü gözöüe alısı. R Y R i: : exp X i: : 1, i 1, 2,, K 3.13 R Kolayca görülebilir ki Y : :, i 1, 2, K, stadart üstel ilerleye tür sasürlü sıra i istatistikleridir. Eşitlik (3.13), Eşitlik (1.4) de yazıldığıda aşağıdaki (3.14) olu eşitlikte verile pivot elde edilir. 1 r e 1 / Xi i 1 r 1 i Yi / i i1 1 ri / 1 r i / Y Xi i1 i e 1 i1 Xi 1 i i 1 r i / Xi e 1 i1 1 r e 1 / 3.14

43 36 Pivot (3.14) kullaılarak içi 1 % lık güve aralığı olup * * a, P a 1 r e 1 / * * P 1 / 2 / 2 1 Xi 1 i i 1 r i / Xi e 1 i1 a eşitliğii sağlaya değerdir (Akdoga ve ark., 2013) 3.15 Pivot (3.14), ya göre ciddi ooto ise (3.15) de verile güve aralığıı alt ve üst liit değerleri tek olarak belirleebilir. Bu tezde (3.14) ı ya göre ciddi artalığı gösterileeiştir. Acak farklı data ve sasür şeaları içi (3.14) ı grafikleri Şekil 7-9 de veriliştir. Şekil 7-9 de (3.14) ü ciddi arta olduğu soucu çıkarılabilir fakat bu soucu kesi olduğu alaıa gelez. Şekil 7. Eşitlik (3.14) da verile pivotu xi 0.1,0.3, 2.4,3.2, 8 4 ve R 1,0, 2,1 içi ya göre grafiği

44 37 Şekil 8. Eşitlik (3.14) da verile pivotu xi 1.2,3.2,6.5,7.8, 8, 4 ve R 1,0, 2,1 içi ya göre grafiği Şekil 9. Eşitlik (3.14) da verile pivotu xi 0.1, 0.3, 0.6, 0.9, 8 4 ve R 1,0, 2,1 içi ya göre grafiği Uygulaa 10 ve R r, r, r, r, r 1,1,1,1,1 içi 2 ve 3 paraetreli Gopertz dağılııda üretile ilerleye tür sasürlü örekle Tablo 7 te veriliştir. Tablo 7. Gopertz dağılıda üretile ilerleye tür sasürlü örekle i x i r i * * Tablo 1 de, ve olarak buluur. Eşitlik (3.15) yardııyla paraetresi içi 90% güve aralığı , şeklide elde edilir.

45 38 4. SONUÇLAR VE ÖNERİLER Bu tez çalışasıda, ilerleye tür sasürlü öreklee dayalı güve aralığı oluşturada kullaıla bir pivotu kuatil değerleri siulasyo yardııyla tablolaştırılıştır. Ta örekle duruuda, kuatil değerlerii kestirek içi regresyo odelleri elde ediliştir. Çalışada ele alıa pivotu ciddi ootoluğu Weibull, Burr XII ve Gopertz dağılıları içi tartışılabilir. Tip-II sasürlü örekle duruuda farklı regresyo odelleri öerilebilir.

46 39 KAYNAKLAR Aggarwala, R. ve Balakrisha, N., 1998, Soe Properties of Progressive Type-II Cesored Order Statistics Fro Arbitrary Ad Uifor Distributios with Applicatios to Iferece Ad Siulatio, J. Statist. Pla., 70, Akdoga, Y., Çalık, A., Altıdağ, I., Kuş, C. ve Kıacı, İ., 2013, Iterval Estiatio for soe Life Distributios Based o Progressively Cesored Saple. XXIX-th Europea Meetig of Statisticias: 29. Ali Mousa, M. A. M. ve Jahee, Z. F., 2002, Statistical Iferece For the Burr Model based o Progressively Cesored Data. Coputers Ad Matheatics with Applicatios, 43, Asgharzadeh, A., 2006, Poit ad iterval estiatio for a geeralized logistic distributio uder progressive type II cesorig., Cou. Statist. Theory Meth.,, 35, Balakrisha, N. ve Aggarwala, R., 2000, Progressive Cesorig: Theory, Methods Ad Applicatios, Bosto., Birkhauser, p. Che, Z., 1997, Statistical Iferece About the Shape Paraeter of the Weibull Distributio., Statistics&Probability Letters, 36, David, H., 1970, Order Statistics, New York, Order Statistics, p. Jahee, Z. F., 2003, Predictio of progressive cesored data fro the gopertz odel, Cou. Statist. Siul. Coput,, 32, Kale, B., 2003, İlerleye Tür Sasürleiş Sıra İstatistikleri:Dağılı Özellikleri Ve Uygulaalar., Akara Üiversitesi Fe Bilileri Estitüsü. Solia, A. A., 2005, Estiatio of paraeters of life fro progressively cesored data usig Burr-XII odel, IEEE Tras.Reliab.,, 54, Wu, S.-F., Wu, C.-C. ve Chou C-H., 2011, Statistical ifereces of a two-paraeter distributio with the bathtub shape based o progressive cesored saple,, LiJoural of Statistical Coputatio ad Siulatio, 81 (3), Wu, S. J., 2002, Estiatio of the Paraeters of the Weibull Distributio with Progressively Cesored Data, J. Japa Statist. Soc, 32 (2),