kpss Önce biz sorduk 50 Soruda SORU Güncellenmiş Yeni Baskı ÖABT LİSE MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER

Transkript

1 Önce biz sorduk kpss Soruda 30 SORU Güncellenmiş Yeni Baskı ÖABT LİSE MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER

2 Fikret Hemek ÖABT Lise Matematik Analiz-Diferansiyel Denklemler ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. 5.Baskı: 018, Ankara Proje-Yayın: Çağla Bardakçıoğlu Dizgi-Grafik Tasarım: Ünal Tuncel Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Vadi Grup Basım A.Ş. İvedik Organize Sanayi 8. Cadde 84 Sokak No:105 Yenimahalle/ANKARA ( ) Yayıncı Sertifika No: Matbaa Sertifika No: 6687 İletişim Karanfil Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: Yayınevi Belgeç: Dağıtım: Dağıtım Belgeç: Hazırlık Kursları: İnternet: E-ileti: pegem@pegem.net

3 ÖN SÖZ Sevgili Öğretmen Adayları, ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği 1. Kitap" adlı yayınımız Analiz ve Diferansiyel Denklemler bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır. Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir. Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir. Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitaba ilişkin sorularınızı adresine e-posta yoluyla ya da numarasına WhatsApp üzerinden iletmeniz yeterli olacaktır. Sorunuz en kısa sürede yazarlarımız tarafından cevaplandırılacaktır. Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle... Başarılar...

4 MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir. Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir. Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası Alan Bilgisi Testi % a. Analiz b. Cebir c. Geometri d. Uygulamalı Matematik % 4 % 16 % 16 % 4 Alan Eğitimi Testi % Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.

5 İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... III 1. KISIM ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR PARÇALI TANIMLI FONKSİYONLAR... 5 MUTLAK DEĞER FONKSİYONU... 6 MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER VE DENKLEMLER... 8 SİGNUM (İŞARET) FONKSİYONU İŞARET FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ... 1 TAM DEĞER VE TAM DEĞER FONKSİYONU TAM DEĞER FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ TAM DEĞER FONKSİYONUNUN GRAFİKLERİ FONKSİYONLARIN EN GENİŞ TANIM KÜMESİ LİMİT LİMİT... 7 SAĞ SOL LİMİT... 7 GENİŞLETİLMİŞ REEL SAYILAR KÜMESİ... 9 LİMİT İLE İLGİLİ TEOREMLER ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTİ... 3 MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN LİMİTİ SİGNUM FONKSİYONUNUN LİMİTİ TAM DEĞER FONKSİYONLARININ LİMİTİ BELİRSİZ DURUMLAR 0/0 BELİRSİZLİĞİ TRİGONOMETRİK 0/0 BELİRSİZLİĞİ / BELİRSİZLİĞİ BELİRSİZLİĞİ BELİRSİZLİĞİ ÜSLÜ, ÜSTEL BELİRSİZLİKLERİN / FORMU SÜREKLİLİK SÜREKLİLİK TEOREMLERİ SÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİ Kaldırılabilir Süreksizlik Sıçrama Süreksizliği Sonsuz Süreksizliği Balzano Teoremi DÜZGÜN SÜREKLİLİK TÜREV TÜREV SAĞ SOL TÜREV LİMİT SÜREKLİLİK TÜREV İLİŞKİSİ TÜREV ALMA KURALLARI YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVİ Parçalı Fonksiyonların Türevi MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ SİGNUM FONKSİYONUNUN TÜREVİ TAM DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ... 81

6 vi TÜREVİN UYGULAMALARI L'Hospital Kuralı ÜSTEL BELİRSİZLİKLER , 0 0, 0 Belirsizlikleri TÜREVİN FİZİKSEL YORUMU POLİNOM TÜREV İLİŞKİSİ DİFERANSİYEL UYGULAMALARI MAKSİMUM MİNİMUM PROBLEMLERİ Maksimum Minimum Problemlerinde Kullanılabilecek Kısayollar TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU Teğet Eğim Türev İlişkisi ARTAN AZALAN FONKSİYONLAR YEREL EKSTREMUM DEĞERLER Mutlak Maksimum ve Mutlak Minimum Noktası TÜREV EKSTREMUM İLİŞKİSİ Grafikte Maksimum ve Minimum Nokta Yorumu TÜREVLENEBİLİR BİR FONKSİYONUN EĞRİLİK YÖNÜ ASİMPTOT KAVRAMI Düşey Asimptot FONKSİYONUN GRAFİKLERİ TÜREVLE İLGİLİ TEOREMLER İNTEGRAL BELİRSİZ İNTEGRAL TEMEL İNTEGRAL ALMA KURALLARI İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ Değişken Değiştirme Yöntemi ÖZEL DÖNÜŞÜMLER a - x İfadesini İçeren İntegraller RASYONEL (KESİRLİ) İFADELERİN İNTEGRALİ TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ İndirgeme Bağıntıları KISMİ İNTEGRASYON BELİRLİ İNTEGRAL Reimann Kavramları İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMLERİ Belirli İntegralin Özellikleri ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ İNTEGRALDE ALAN İNTEGRALDE HACİM Kabuk Yöntemi Dönel Yüzeyin Alanı Pappus Guldin Teoremi ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR TANIM VE GÖRÜNTÜ KÜMESİ Seviye Eğrileri Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Limit ve Süreklilik Süreklilik Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Türev (Kısmi Türev) Çok Değişkenli Fonksiyonların. Türevi... 09

7 vii Zincir Kuralı Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Teğet Düzlem Denklemi ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA MAKSİMUM MİNİMUM... 1 Yerel Maksimum... 1 Yerel Minimum... 1 Kritik Nokta Eyer Nokta... 1 Kritik Nokta İçin. Türev Testi Maksimum Minumum Problemleri ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA İNTEGRAL Çift Katlı İntegral Sınır Değiştirme Bölge Değiştirme Dönüşüm Jakobiyeni (Fonksiyonel Determinantı)... 0 İki Katlı İntegralin Uygulamaları... 1 Hacim Hesabı... 4 ORTALAMA DEĞER TEOREMİ... 6 Kütle Hesabı... 6 AĞIRLIK MERKEZİ... 7 ÜÇ KATLI İNTEGRALLER... 7 KUTUPSAL KOORDİNATLAR KUTUPSAL KOORDİNATLAR KARDİYOİD EĞRİSİ Gül Eğrilerinin Çizimi DİZİLER SERİLER DİZİ Sonlu Dizi Sabit Dizi EŞİT DİZİLER ALT DİZİ DİZİLERDE DÖRT İŞLEM DİZİLERDE SINIRLILIK DİZİLERDE MONOTONLUK ARİTMETİK VE GEOMETRİK DİZİLER Aritmetik Dizi Geometrik Dizi DİZİLERDE LİMİT Dizilerde Limit ile İlgili Özellikler Dizilerde En Büyük Alt Sınır (Ebas) En Küçük Üst Sınır (Eküs) Kavramları... 6 SERİLER Geometrik Seri Pozitif Terimli Seriler İçin Yakınsaklık Testleri Genel Terim Testi İntegral Testi p Testi Karşılaştırma Testi Karşılaştırma Testinin Limit Formu Cauchy Kök Testi D'alambert Oran Testi Alterne Seriler... 7

8 viii Mutlak Yakınsaklık Yakınsaklık İlişkisi... 7 KUVVET SERİLERİ Yakınsaklık Yarıçapı Yakınsaklık Aralığında Türevlenebilme ve İntegrasyon Taylor ve Maclaurin Serileri Önemli Maclaurin Seri Açılımları ÇÖZÜMLÜ TESTLER KISIM DİFERANSİYEL DENKLEMLER DİFERANSİYEL DENKLEMLER Giriş Diferansiyel Denklemlerin Çözümü Genel ve Özel Çözümler Bir Eğri Ailesinin Diferansiyel Denkleminin Oluşturulması DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR DENKLEMLER DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR DENKLEMLER DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR HÂLE GETİRİLEBİLEN DENKLEMLER HOMOJEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER Homojen Diferansiyel Denklemlerin Çözümü HOMOJEN HÂLE DÖNÜŞTÜRÜLEBİLİR DİFERANSİYEL DENKLEMLER TAM DİFERANSİYEL DENKLEMLER İNTEGRASYON ÇARPANI YARDIMI İLE DİFERANSİYEL DENKLEM ÇÖZÜMÜ LİNEER DENKLEMLER Lineer Diferansiyel Denklemin Çözüm Yöntemi BERNOULLİ DENKLEMLERİ RİCCATİ DENKLEMİ BİRİNCİ MERTEBEDEN n. DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER BİRİNCİ MERTEBEDEN n. DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER Türeve, x'e veya y'ye Göre Çözülebilen Denklemler Türeve Göre Çözülebilen Denklemler x'e Göre Çözülebilen Denklemler y'ye Göre Çözülebilen Denklemler CLAİRAUT DENKLEMİ LAGRANGE DENKLEMİ İNDİRGENEBİLİR İKİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER Mertebe İndirgeme Sabit Katsayılı Denklemler Farklı Reel Kökler Katlı Reel Kökler Kompleks Kök Homojen Olmayan (. Yanlı) Lineer Diferansiyel Denklemler Belirsiz Katsayılar Yöntemi PARAMETRELERİN DEĞİŞİM YÖNTEMİ CAUCHY EULER DENKLEMİ ÇÖZÜMLÜ TESTLER

9 1. KISIM

10

11 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR

12

13 5 PARÇALI TANIMLI FONKSİYONLAR Bir fonksiyonun tanım kümesi alt kümelere ayrılarak o kümelerde farklı kuralları olan fonksiyonlara parçalı tanımlı fonksiyon denir. Z f ( x), x # a 1 fx ( ) = ] [ f ( x), a 1 x < b ] f ( x), b # x 3 \ şeklinde yazılabilen f(x) parçalı tanımlı fonksiyondur. b > a olmak üzere; x = a ve x = b değerlerine f nin kritik noktaları adı verilir. Parçalı fonksiyonların grafikleri çizilirken alt aralıklara ait kuralların grafikleri çizilir ve sadece o aralıktaki kısımları alınır. y = f^xh+ k, k 0, y = fx ^ hin y ekseninde k birim pozitif yönde ötelenmişidir. y = f^xh- k, k 0, y = fx ^ hin y ekseninde k birim negatif yönde ötelenmişidir. y = f^x+ kh, k 0 ise y = f^xh in x ekseninde k birim sola ötelenmişidir. y = f^x+ kh, k 1 0 ise y = f^xh in x ekseninde k birim sağa ötelenmişidir. y =- f^xh, y = fx ^ h x eksenine göre simetriğidir. Uyarı! y = f^- xh, y = fx ^ hin y eksenine göre simetriğidir. x-3, x < -1 fx ( - ) = * ise f(x) in grafiğini çizelim. x, x $ -1 y -1 3 x y=f(x) Çözüm f(x - ) fonksiyonunda x x + için; x-1, x < -1 fx ( ) = * olup; ( x+ ), x $ -1 y y = ^x + h y = x - 1 y = f^xhin grafiği verilmiştir. Buna göre y =- f^x+ 1h fonksiyonunun grafiğini çizelim. Çözüm y = f^x+1h ; f^xhin x ekseninde 1 birim sola ötelenmişidir. y x olur x y=f(x+1) - Buradan y y=-f(x+1) - -1 x - elde edilir.

14 6 Tek - Çift Fonksiyonlar f A " B için x! A iken - x! A olsun. f^- xh= fx ^ h eşitliğini sağlayan fonksiyonlara çift fonksiyon adı verilir. f^- xh=-fx ^ h eşitliğini sağlayan fonksiyonlara tek fonksiyon adı verilir. MUTLAK DEĞER FONKSİYONU Z fx ^ h ; fx ^ h 0 ] fx ^ h = [ 0 ; fx ^ h = 0 ]-fx ^ h ; fx ^ h 1 0 \ şekilde tanımlanan fonksiyonlara mutlak değer fonksiyonu adı verilir. Tek fonksiyonlar orijin noktasına göre simetriktir. Çift fonksiyonlar y eksenine göre simetriktir. Uyarı! Mutlak değer fonksiyonlarının grafikleri çizilirken, önce mutlak değer yokmuş gibi fonksiyonun grafiği çizilir ve daha sonra x ekseninin altında kalan grafiklerin x eksenine göre simetriği alınarak çizim tamamlanır. NOT Hem tek, hem de çift olan sadece sıfır fonksiyondur. İki tek fonksiyonun çarpımı veya bölümü çift fonksiyondur. Bir fonksiyon çift veya tek olmak zorunda değildir. NOT fx ^ h = x -3 fonksiyonunun grafiğini çizelim: 3 y = x- 3 iinx ç = 0 & y =- 3 vey= 0 & x = olur. y y=x x $ x tan x fx ^ h = fonksiyonu için; 3 ^1 - x h oldu- ^-xh $ tan$ ^- xh -x $ tan x f^- xh = = =-fx ^ h 1 x 3 3 _ -^- h i ^1 - x h ğundan fx ^ h tektir. Bu grafikten y 3 4 cos x$ x gx ^ h = fonksiyonu için; 1 + x 3 f^xh = x oldu- cos ^-xh $ ^-xh cos x$ x g^- xh = = 1 + ^-xh 1 + x ğundan gx ^ h çifttir. = gx ^ h 3 x grafiği elde edilir.

15 7 y=f(x) -4 1 Çözüm y = x & y = x ve y =-xtir. y y=x x y=-x y=f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, y =- f^xh grafiğini çizelim. Çözüm y = f^xh& y = fx ^ h, fx ^ h in mutlak değer fonksiyonu olup y =- f^xh fonksiyonunun grafiği ise y = f^xh in x eksenine göre simetriğidir. x $ y = 4 bağıntısının grafiğinde koordinatları tam sayı olan noktaların sayısını bulunuz. -4 y = f^xh 1 x $ y = 4 Buradan -4 1 grafiği elde edilir. y =- f^xh şeklinde bir grafiği vardır. Şekilden de görüleceği gibi I. bölgede kaç farklı tamsayılı koordinat varsa bağıntıyı sağlayan noktalar bunun 4 katı kadardır. 4 ün pozitif bölen sayısı; 4 = $ 3 & 4$ = 8 olduğundan koordinatları tam sayı olan 8$ 4 = 3 farklı nokta vardır. 3 y = x bağıntısının grafiğini çizelim.

16 Önce biz sorduk kpss Soruda 30 SORU Güncellenmiş Yeni Baskı ÖABT LİSE MATEMATİK SOYUT CEBİR LİNEER CEBİR

17 Komisyon ÖABT Lise Matematik Soyut Cebir - Lineer Cebir Konu Anlatımlı ISBN: Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. 5. Baskı: 018, Ankara Proje-Yayın: Çağla Bardakcıoğlu Dizgi-Grafik Tasarım: Ünal Tuncel Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Vadi Grup Basım A.Ş. İvedik Organize Sanayi 8. Cadde 84 Sokak No:105 Yenimahalle/ANKARA ( ) Yayıncı Sertifika No: Matbaa Sertifika No: 6687 İletişim Karanfil Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: Yayınevi Belgeç: Dağıtım: Dağıtım Belgeç: Hazırlık Kursları: İnternet: E-ileti: pegem@pegem.net

18 ÖN SÖZ Sevgili Öğretmen Adayları, ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği Soyut Cebir - Lineer Cebir. Kitap" adlı yayınımız Soyut Cebir - Lineer Cebir bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır. Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir. Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir. Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitaba ilişkin sorularınızı pegem@pegem.net adresine e-posta yoluyla ya da numarasına WhatsApp üzerinden iletmeniz yeterli olacaktır. Sorunuz en kısa sürede yazarlarımız tarafından cevaplandırılacaktır. Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle... Başarılar...

19 MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir. Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir. Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası Alan Bilgisi Testi % a. Analiz b. Cebir c. Geometri d. Uygulamalı Matematik % 8 % 18 % 18 % 16 Alan Eğitimi Testi % Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.

20 İÇİNDEKİLER SOYUT CEBİR 1. Sayılar ve Özellikleri Rakam Sayma Sayıları Doğal Sayılar Tam Sayılar Aralarında Asallık Rasyonel Sayılar İrrasyonel Sayılar Reel Sayılar Tek ve Çift Sayılar Ardışık Sayılar Negatif ve Pozitif Sayılar ile İlgili Özellikler Tam Sayılarda Bölünebilme En Büyük Ortak Bölen En Küçük Ortak Kat...7. Lineer Diophant Denklemleri ve Pozitif Bölenler Euler {-Fonksiyonu...11 {-Fonksiyonunun Bazı Özellikleri Kongrüanslar...13 Tam Sayılar ve Modüler Aritmetik Lineer Kongrüanslar ve Lineer Diophant Denklemleri...17 İki veya Daha Fazla Değişkenli Lineer Kongrüanslar İkinci Dereceden Kalanlar...19 İkinci Dereceden Kongüranslar Gruplar Tek İşlemli Cebirsel Yapı Türleri Mertebe Alt Gruplar Normal Alt Gruplar Simetrik (Permütasyon) ve Alterne Gruplar Gruplarda Homomorfizm ve İzomorfizm Homomorfizma İzomorfizma Bölüm Grupları Devirli Gruplar Devirli Grupların Alt Grupları Üreteç Sayısı Çarpım Grupları...41 İzomorf olmayan Abelyan Gruplar...4

21 vi 14. Halka, Cisim ve Tamlık Bölgesi Alt Halka Sıfır Bölenler ve Tamlık Bölgesi Bölüm Halkası İdeal Nilpotent Eleman Polinom Halkası Cisim Cebirsel Sayı Transandant Sayı Sayılabilir Küme...46 Çözümlü Test Çözümler...49 Çözümlü Test...51 Çözümler...53 Çözümlü Test Çözümler...57 Çözümlü Test Çözümler...61 LİNEER CEBİR 1. Vektör Uzayları Tanım ve Aksiyomlar Alt Vektör Uzayı Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık İç Çarpım Uzayları İç Çarpım Norm Ortonormal Baz Direkt Toplam Uzayı İç Çarpım Uzaylarının Alt Uzayları Lineer Dönüşümler Matrisler ve Matris Uzayları Matris Toplamı Skaler ile Matris Çarpımı Matris Çarpımı Bir Matrisin Transpozu Kare Matrisler Bir Matrisin Tersi Elemanter Operasyonlar (Basit İşlemler) Determinantlar Sarrus Kuralı Minör ve Kofaktör...114

22 vii 11. Alterne ve Çok Lineer Fonksiyonlar n-lineer Fonksiyonlar Bir Lineer Dönüşümün Determinantı ve İzi...11 Determinantlarda Alan ve Hacim Hesabı Matrislerin Polinomu Karakteristik Değerler ve Karakteristik Vektörler Karakteristik Uzay Karakteristik Polinom ve Karakteristik Denklem...15 Çözümlü Test Çözümler Çözümlü Test Çözümler Çözümlü Test Çözümler Çözümlü Test Çözümler Çözümlü Test Çözümler...148

23

24 SOYUT CEBİR

25

26 3 SOYUT CEBİR 1. Sayılar ve Özellikleri 1.1 Rakam Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Kullandığımız onluk sistemdeki rakamların kümesi {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dur. Rakamlarla oluşturulan ifadelere sayı denir. 1. Sayma Sayıları {1,, 3, 4,...} kümesi sayma sayıları kümesidir. 1.3 Doğal Sayılar N = {0, 1,, 3,...} kümesidir. N + pozitif doğal sayılar kümesini ifade eder. 1.4 Tam Sayılar Z = {...,, 1, 0, 1,, 3,...} kümesidir. Tam sayılar kümesi üç ana bölümden oluşur. Negatif tam sayılar (Z ), pozitif tam sayılar (Z + ) ve {0} kümesidir. Ayrıca Z = Z {0} Z + dır. 1.5 Aralarında Asallık p ve q sıfırdan farklı iki pozitif tam sayı olsun. p ve q sayılarını ortak olarak bölen en büyük pozitif tam sayı 1 ise p ve q aralarında asaldır denir. 1.6 Rasyonel Sayılar Q = {p/q: p ve q aralarında asal, q 0} kümesidir. 1.7 İrrasyonel Sayılar I = Q sembolleriyle gösterilir yukarıda tanımlanan p/q tipinde yazılamayan sayılardan oluşur. Yani rasyonel olmayan reel sayılara irrasyonel sayı denir. 1.8 Reel Sayılar Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşim kümesidir. R ile gösterilir. R = Q Q dür. a, b, c N olmak üzere 3a + 6b c = 4 eşitliğini sağlayan a, b ve c değerleri için a + b + c toplamının en küçük değeri kaçtır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 Katsayısı büyük olana büyük değer verilir. Sayılar aynı olabileceğinden a = 0 = c seçilirse b = 4 bulunur. a + b + c = 4 olur. a ve b doğal sayılardır. 56. a = b 3 eşitliğini sağlayan en küçük b değeri kaçtır? Önce sayı asal çarpanlarına ayrılır. 56 = a = 3.7.a = b 3 tür. Buradan a = 7 seçilirse b =.7 = 14 bulunur. x, y, z Z olmak üzere, x. y = 1, y. z = 4 ve x. z = 3 eşitliklerini sağlayan x, y, z sayılarının en büyük toplamı en küçük toplamından kaç fazladır? A) 1 B) 14 C) 16 D) 18 E) 0 xy. 1 x = & = 3 & x = 3. z bulunur. yz. 4 z Bu ifade x. z = 3 eşitliğinde yerine yazılırsa 3z = 3 z = "1 bulunur. z = 1 için x = 3 ve y = 4 olup x + y + z = 8 z = 1 için x = 3 ve y = 4 olup x + y + z = 8 bulunur. 8 ( 8) = 16'dır. Doğru seçenek C olarak elde edilir. 1.9 Tek ve Çift Sayılar ile kalansız bölünebilen tam sayılara çift tam sayı, ile tam bölünemeyen tam sayılara tek tam sayı denir. Çift sayılar n, tek tam sayılar n 1 ile gösterilir (n Z) Tek ve Çift Tam Sayılar İle İlgili Özellikler 1) T " T = Ç 5) Ç. Ç = Ç ) Ç " Ç = Ç 6) T. T = T 3) T " Ç = T 7) n N olmak üzere T n = T 4) T. Ç = Ç 8) n N + olmak üzere Ç n = Ç'dir. Tek ve çift sayılarda bölme işlemine ait kural tanımlanamaz. Örneğin 40 çift sayıdır = Ç, = T, sayısı ne tek ne de çifttir

27 Ardışık Sayılar n Z olmak üzere n, n + 1, n +,... sayılarına ardışık tam sayılar denir. Kural: n Z + için n. `n+ 1j n = dir. n Z olmak üzere n 1, n + 1, n + 3,... sayılarına ardışık tek sayılar denir. Kural: n Z + için n 1 = n dir. n Z olmak üzere n, n +, n + 4,... sayılarına ardışık çift sayılar denir. Kural: n Z + için n = n(n + 1) dir. Kural: Ardışık terimleri arasındaki artış miktarı eşit olan dizide Son Terim İlk Terim Terim Sayısı = Artış miktarı + 1 ve Terim Toplamı = dir. Terim Sayısı. (Son terim + İlk terim) 1.11 Negatif ve Pozitif Sayılar İle İlgili Özellikler 1) ( ). ( ) = (+) 5) ( ) / ( ) = (+) ) ( ). (+) = ( ) 6) ( ) / (+) = ( ) 3) (+). (+) = (+) 7) (+) / (+) = (+) 4) (+). ( ) = ( ) 8) (+) / ( ) = ( ) 9) n N olmak üzere ( ) n = (+) dır. 10) n N olmak üzere ( ) n 1 = ( ) dir. 11) n N olmak üzere (+) n = (+) dır. 1.1 Tam Sayılarda Bölünebilme m, n, r Z olmak üzere m. n = r olsun. Bu durumda m ve n'ye r'nin bölenleri (çarpanları) r'ye de m ve n'nin bir katı denir. m, r'nin bir böleni ise bu durum m r ile, aksi takdirde m ) r ile gösterilir ile bölünebilme: Çift tam sayılar ile tam bölünür ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları toplamı 3 veya 3'ün katı ise sayı 3 ile tam bölünür ile bölünebilme: Verilen sayının son iki basamağı (birler ve onlar basamağı) 4 ile tam bölünebiliyor ise verilen sayı 4 ile tam bölünür ile bölünebilme: Verilen sayının birler basamağı 0 veya 5 ise sayı 5 ile tam bölünür ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları altına sağdan sola doğru sırasıyla 3,, 1 sayıları yazılır. Bu rakamlar altlarına yazdığımız sayılar ile çarpılır. Daha sonra sağdan sola üçerli gruplar hâlinde alınıp bu gruplar (+), ( ) ile çarpılıp toplanır. Sonuç 7 veya 7'nin katı ise verilen sayı 7 ile tam bölünür ile bölünebilme: Verilen sayının son üç basamağı (birler, onlar ve yüzler basamağı) 8 ile bölünebiliyor ise sayı 8'e tam bölünür ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları toplamı 9 veya 9'un katı ise sayı 9 ile tam bölünür ile bölünebilme: Verilen sayının birler basamağı 0 ise verilen sayı 10 ile tam bölünür ile bölünebilme: Verilen sayı sağdan sola doğru sırası ile (+), ( ) ile çarpılıp toplanır. Sonuç 11 veya 11'in katı ise verilen sayı 11 ile tam bölünür. Verilen bağıntılarda sayı istenilen sayıya tam bölünmüyorsa kalan kolaylıkla bulunur. Örneğin 56 sayısının 5 ile bölümünden kalan 6'nın 5 ile bölümünden kalana eşit ve 1'dir. Hangi n doğal sayıları için (n + 1) (n + 1) dir. n 1 = (n 1)(n + 1) olduğundan n N için (n + 1) (n 1) dir. NOT (n + 1) (n + 1) ve (n + 1) (n 1) olduğundan n + 1 [(n + 1) (n 1)] n + 1 olur. n N olduğundan ve n + 1 olması gerektiğinden n = 0, 1 elde edilir. Kural: [1, x] aralığında n ile bölünebilen doğal sayıların sayısı x & 0 dir. n Kural: a Z ve m, n N olsun. n < m için a Kural: n + 1 dir. m 1 a n olmak üzere n ve k iki doğal sayı olsun. n 1 n k 1 dir.

28 5 Kural: Teorem: n bir doğal sayı ve k bir tek sayı olsun. m, n ve r tam sayı olmak üzere, ( n) k (1 + k nk) i) m Z iken al0 dır. ii) m Z için ±1lm ve ±mlm dir. iii) ml ±1 iv) ml n ise ±ml±n dir. v) ml n ve nlr ise mlr dir. vi) ml n ve nlm ise m = ±n dir. vii) c 0 olmak üzere cmlcn ise mln dir. dır. Kural: a, b Z olsun. a sayısı b ile bölündüğünde kalan r ise a 1 sayısı b 1 ile bölündüğünde kalan r 1'dir. {1,,..., 600} dizisinde 13 ile bölünebilen kaç tane doğal sayı vardır? m1 viii) ml ix) ' = 46 adettir. 13 n m = " 1 dir. n1 ve m n ise m 1.m n 1.n dir. ve mlr ise mln+r dir. Çıkmış Sorular k m gösterimi k sayısının m sayısını tam bölündüğünü ifade eder. Buna göre a, b ve c tam sayıları için, 1000'den küçük kaç doğal sayı 17 ile bölünür? I. c a $ b ise c a ve c b 'dir. II. a $ b c ise a c ve b c 'dir. III. a b ve b c ise a c 'dir. yargılarından hangileri daima doğrudur? A) Yalnız I [1, 1000] kümesinde B) I ve II D) II ve III 1000 ) 3 = 58 ve 0 N için C) I ve III E) Yalnız III olup toplam = 59 adet sayı 17 ile tam bölünür. c sayısı a b yi bölüyor ise 6 $3 N = n(n + 1) sayısının 41 ile bölünebilmesi için n en az kaç olmalıdır? tür ama 6 ve 63 ca ve cb doğru olmayabilir, yanlıştır. II ve III. öncül doğrudur. Cevap D Tanım: (Asal Sayı) : n > 1 tam sayısının kendisinden ve birden başka pozitif böleni yoksa n'ye asal (= prime) sayı denir. Tanım: N = n(n + 1) = (1 + 1) + ( + ) (n + n) = ( n) + ( n) = n ` n + 1 j` n + 1 j 6 n ` n + 1 j` n + j = 3 + n. ` n + 1 j sayısının 41 ile bölünebilmesi için n(n + 1) (n + ) çarpanlarından en az biri 41'e bölünmelidir. n + = 41 n = 39 olmalıdır. (Bileşik Sayı): Asal olmayan sayılara bileşik (= combined) sayı denir. Tanım: Aralarındaki fark iki olan asal sayılara ikiz asallar denir. Teorem: Her bileşik sayının en az bir asal çarpanı vardır. Teorem (Euclid): Asal sayıların sayısı sonsuzdur.

29 Önce biz sorduk kpss Soruda 30 SORU Güncellenmiş Yeni Baskı ÖABT LİSE MATEMATİK GEOMETRİ İSTATİSTİK ve OLASILIK

30 Komisyon ÖABT Lise Matematik Geometri - İstatistik ve Olasılık Konu Anlatımlı ISBN: Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. 5. Baskı: 018, Ankara Proje-Yayın: Çağla Bardakcıoğlu Dizgi-Grafik Tasarım: Kezban Yanık Kapak Tasarımı: Pegem Akademi Baskı: Vadi Grup Basım A.Ş. İvedik Organize Sanayi 8. Cadde 84 Sokak No:105 Yenimahalle/ANKARA ( ) Yayıncı Sertifika No: Matbaa Sertifika No: 6687 İletişim Karanfil Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: Yayınevi Belgeç: Dağıtım: Dağıtım Belgeç: Hazırlık Kursları: İnternet: E-ileti: pegem@pegem.net

31 ÖN SÖZ Sevgili Öğretmen Adayları, ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği Geometri-İstatistik ve Olasılık 3. Kitap" adlı yayınımız Geometri - İstatistik ve Olasılık bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır. Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir. Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir. Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitaba ilişkin sorularınızı pegem@pegem.net adresine e-posta yoluyla ya da numarasına WhatsApp üzerinden iletmeniz yeterli olacaktır. Sorunuz en kısa sürede yazarlarımız tarafından cevaplandırılacaktır. Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle... Başarılar...

32 MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir. Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir. Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası Alan Bilgisi Testi % a. Analiz b. Cebir c. Geometri d. Uygulamalı Matematik % 8 % 18 % 18 % 16 Alan Eğitimi Testi % Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.

33 İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM UZAYDA VEKTÖRLER UZAYDA VEKTÖRLER...5 İki Vektörün Paralelliği...6 Vektörlerin Lineer Bileşimi...6 Lineer Bağımlılık Lineer Bağımsızlık...6 Standart Birim Vektörleri...6 Vektörlerin İç (Skaler) Çarpımı...6 İki Vektör Arasındaki Açı...7 Dik İzdüşüm Vektörü...7 Vektörel (Çapraz) Çarpım...8 Paralelkenarın Alanı...9 Paralelyüzün Hacmi...10 Çözümlü Test...13 Çözümler...15 UZAYDA DOĞRU ve DÜZLEM DENKLEMİ UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM DENKLEMİ...17 İki Noktası Belli Olan Doğru Denklemi...19 Düzlem...0 Çözümlü Sorular - I... Bir Noktanın Düzleme Uzaklığı...5 Çözümlü Sorular - II...5 Uzayda İki Doğrunun Birbirlerine Göre Durumları ve Kesişme Noktasının Bulunması...8 Bir Noktanın Bir Doğruya Olan Uzaklığı...9 Çözümlü Sorular...30 İki Düzlemin Birbirlerine Göre Konumu ve İki Düzlem Arasındaki Açı...34 Bir Düzlem ile Bir Doğru Arasındaki Açı...34 İki Düzlemin Açıortay Düzlemi...34 Çözümlü Sorular...34 Bir Doğrudan Geçen Düzlem Demeti...36 Uzayda Simetri...37 Çözümlü Sorular...38 Çözümlü Test Çözümler...45 Çözümlü Test Çözümler...49

34 vi YÜZEYLER E 3 DE YÜZEY...55 KÜRE...55 Küre Olma Koşulları...56 Kürenin Parametrik Denklemi...57 Kürenin Teğet Düzlemi...57 SİLİNDİR...57 KONİ...59 Bazı Kuadratik Yüzeyler...63 Çözümlü Sorular...63 Silindirin İsimlendirilmesi...64 Dönel Yüzeyler...66 SİLİNDİRİK KOORDİNATLAR...68 KÜRESEL KOORDİNATLAR...68 Çözümlü Test...69 Çözümler...71 KONİKLER TANIM...75 Genel Konik Denkleminde x.y li Terimi Yok Etme...75 ELİPS - HİPERBOL - PARABOL ELİPS...79 Elipsin Denklemi...79 Elipsin Teğet ve Normal Denklemleri...80 Elipsin Parametrik Denklemi...81 HİPERBOL...83 Hiperbolün Denklemi...83 PARABOL...86 Parabolün Denklemi...86 Çözümlü Test...89 Çözümler...91 Karma Test Çözümler...95 Karma Test Çözümler...99

35 vii. BÖLÜM İSTATİSTİK VE OLASILIK TEMEL KAVRAMLAR Sayısal Bilgi, Veri, Ölçüm Değişken ve Türleri Fonksiyon Evren ve Örneklem İstatistik ve Parametre Çözümlü Test Çözümler VERİNİN DÜZENLENMESİ VE MERKEZE EĞİLME ÖLÇÜLERİ VERİNİN DÜZENLENMESİ Grafik Çizme Merkeze Eğilme (Yığılma) Ölçüleri Mod (Tepedeğer) Medyan (Ortanca) Aritmetik Ortalama Mod, Medyan ve Ortalamanın Karşılaştırılması Ağırlıklı Ortalama DEĞİŞME (DAĞILMA) ÖLÇÜLERİ Ranj (Açıklık) Mutlak Kayma Varyans ve Standart Kayma Bağıl Değişkenlik Katsayısı...10 STANDARTLAŞTIRMA (z ve T PUANLARI)...10 z Puanı...10 T Puanı...10 Çözümlü Test...1 Çözümler...15

36 viii OLASILIK TEMEL KAVRAMLAR...19 Olasılık Birleşik Olayların Olasılığı Ayrık İki Olayın Birleşiminin Olasılığı Olaylar Arasındaki Bağıntılar...13 Bağımsız Olaylar TESADÜFÎ DEĞİŞKEN, OLASILIK FONKSİYONU VE BEKLENEN DEĞER Tesadüfî Değişkenin Beklenen Değeri...14 Varyansın Hesabı Momentler Çözümlü Test Çözümler OLASILIK DAĞILIMLARI OLASILIK Binom Olasılık Dağılımı Poisson Olasılık Dağılımı Hipergometrik Olasılık Dağılımı Normal Olasılık Dağılımı Standart Normal Olasılık Dağılımı Çözümlü Test Çözümler Çözümlü Deneme Çözümler Çözümlü Deneme Çözümler...193

37 1. BÖLÜM

38

39 UZAYDA VEKTÖRLER

40

41 5 UZAYDA VEKTÖRLER R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} kümesine 3 boyutlu vektör uzayı denir. Vektörlerin başlangıç noktası orijin olmak üzere, R 3 ün her noktasına bir vektör karşılık gelir. z AB = `1, 3, 7j AC = `m 10,, 4j AB = AC & AB $ AC = 0 dr ı. 1`m 1j+ ` 3j$ 0+ ` 7j` 4j= 0 m + 7 = 0 m = 7 olur. Cevap A x 0 P(a, b, c) y Örnek A(1, 1, 1) ve B(, a, 3) noktaları veriliyor. AB = 6 br olduğuna göre a sayısının alabileceği değerleri bulunuz. OP = `abc,, j ise a, b, c sayılarına OP yer vektörünün bileşenleri denir. P noktasının orijine olan uzaklığına, OP vektörünün normu (uzunluğu) denir ve OP ile gösterilir. OP = `abc,, j& OP = P = a + b + c dir. AB vektörüne eş, başlangıç noktası orijin olan OP vektörüne, AB vektörünün yer vektörü denir. A(x 1, y 1, z 1 ) ve B(x, y, z ) ise; AB = `x x1, y y1, z z1j OP = AB = `x x1j + `y y1j + `z z1j Normu 1 olan vektöre birim vektör denir. z A(x 1, y 1,z 1 ) B(x, y,z ) AB = `1, a + 1, 4j AB = 6 & 1 + `a + 1j + ` 4j = 6 & `a + 1j + 17 = 6 & `a + 1j = 9 & a+ 1 = 3 & a = veya a = 4 Çıkmış Sorular Dik koordinat düzleminde verilen u ve v vektörleri için u$ v = 8, u+ v + u v = 16 olduğuna göre u+ v değeri kaçtır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 1 E) 13 P(x x 1, y y 1, z z 1 ) x 0 Çıkmış Sorular Uzayda A(1,, 3), B(, -1, -4) ve C(m,, -1) noktaları veriliyor. AB = AC olduğuna göre m kaçtır? A) -7 B) -9 C) 14 D) 9 E) 7 y u+ v = u + v + $ u$ v u v = u + v + $ u$ v & u+ v u v = 4 $ u$ v olur. Buna göre; ` u+ v + u v j$ ` u+ v u v j= 4$ u+ v u v = + u+ v + u+ v =+ 16 u+ v = 9 olur. Cevap B

42 6 İki Vektörün Paralelliği 3 a, bd R, k! 0, a! 0, b! 0 olmak üzere, a = k. b + a// b dir. a = `x, y, z j ve b = `x, y, z j olmaküzere a// b x1 y1 z1 + = = dir. x y z V = & V1, V,... Vn0, IR 3 uzayının bir alt kümesi olmak üzere detbv 1, V,... V n l = A olsun. I. A = 0 V kümesi lineer bağımlı, II. A 0 V kümesi lineer bağımsızdır denir. Uyarı Örnek A(, 4, ) ve B(6,, 4) noktaları ile v = `x yx, + y, 1j vektörü veriliyor. AB // v olduğuna göre, (x, y) ikilisini bulunuz. Standart Birim Vektörleri z e 3 = `0,0,1j Çözüm AB = `4,, j v = `x y, x+ y, 1j 0 e 1 = `1,0,0j e = `0,1,0j y x y x+ y 1 AB// v & = = 4 x y = 4 & `xy, j = `1, 1j olur. x+ y = 1 x R 3 vektör uzayında üzerinde bulunduğu eksen ile pozitif yönlü birim vektörlere, standart birim vektörler denir. e1 = i = `100,, j e = j = `010,, j Vektörlerin Lineer Bileşimi 3 V 1, V, V 3,..., V n dr vek1, k, k3,..., k n dr olmak üzere, u = k1. V1 + k. V+ k3. V kn. Vn vektörüne, V 1, V, V 3,..., V n vektörlerinin lineer bileşimi denir. Lineer Bağımlılık Lineer Bağımsızlık 3 IR de V1, V, V3,... V n vektörleri verilsin. c1. V1+ c. V+ c3. V cn. Vn = 0 denklemi yalnız c = c = c... = c = 0 için sağlanırsa bu vektörlere lineer 1 3 n bağımsız; c 1 = c = c 3... = c n = 0 değerlerinden en az biri sıfırdan farklı olacak şekilde sağlanırsa bu vektörlere lineer bağımlıdır denir. e3 = k = `001,, j Vektörlerin İç (Skaler) Çarpımı 3 Her A, B! R için; A = `x1, y1, z1j ve B = `x, y, zj olmak üzere, A$ B = < AB, > = x1$ x+ y1$ y+ z1$ z şeklinde tanımlanan işleme, "R 3 de Öklid iç çarpım işlemi" denir. Özellikleri 1. A = A$ A, A = A$ A. A$ B = B$ A (değişme özelliği) 3. A$ `B+ Cj = A$ B+ A$ C (çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği)

43 7 Örnek A = `3, a, j ve B = `a, 10, j vektörleri veriliyor. A$ B = 5 olduğuna göre a sayısının kaç olacağını bulunuz. Çözüm AB. = 5 3a+ a. 10 = 5 5a = 5 a = 5 İki Vektör Arasındaki Açı 3 A, B! R verilsin. A ve B vektörleri arasındaki açının ölçüsü a olmak üzere, A$ B = A $ B $ cos a olur. A = B ise α = 90 için cosα = 0 olduğundan A = B + A. B = 0 olur. Örnek A ile B vektörleri arasındaki açının ölçüsü 45, A = ve B = 3 olduğuna göre, `A+ Bj. `3A Bj iç çarpımının sonucunu bulunuz. Çözüm `A+ Bj. `3A Bj= 3. AA AB. AB.. BB. = 3. A + A. B. B = cos = = 1 olur. Örnek A = ` 13,, jve B = `1, 1, j vektörleri arasındaki açının cosinüsünü bulunuz. Dik İzdüşüm Vektörü A Çözüm AB. = A. B. cos i = ` 1j ` 1j +. cos i 3 3 cos i = = Örnek A = `11,, j ve B = ` 3 1, 3 14, j vektörleri arasındaki açının cosinüsünü bulunuz. Çözüm cos i = AB. A. B AB. = = 6 A = ( 1) + ( 1) + ( ) = 16 B = ` 3 1j + ` 3 1j + 4 = = 4 = 6 cos i = olur. 1 cos i = 0 H u A = `x1, y1, z1j, B = `x, y, zj vektörleri verilsin. A vektörünün B vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü OH = u olsun. A ile B arasındaki açı α olmak üzere; cosa = A. B dir. cos a = u yazılırsa A. B A u = A. B & u AB. = dik izdüşüm vektörünün A A. B B uzunluğudur. u = u. B olacağından B AB. u =. B dik izdüşüm vektörünü verir. B B

44 Önce biz sorduk kpss Soruda 30 SORU Güncellenmiş Yeni Baskı ÖABT LİSE MATEMATİK ALAN EĞİTİMİ

45 Komisyon ÖABT Lise Matematik Alan Eğitimi Konu Anlatımlı ISBN Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. 5. Baskı: 018, Ankara Proje-Yayın: Çağla Bardakcıoğlu Dizgi-Grafik Tasarım: Ünal Tuncel Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Vadi Grup Basım A.Ş. İvedik Organize Sanayi 8. Cadde Yenimahalle/ANKARA Tel : Yayıncı Sertifika No: Matbaa Sertifika No: 6687 İletişim Karanfil Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: Yayınevi Belgeç: Dağıtım: Dağıtım Belgeç: Hazırlık Kursları: İnternet: E-ileti: pegem@pegem.net

46 Sevgili Öğretmen Adayları, ÖN SÖZ ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği Alan Eğitimi 4. Kitap" adlı yayınımız Alan Eğitimi bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Eğitimi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır. Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir. Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir. Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitapla ilgili görüş ve önerilerinizi adresini kullanarak bizimle paylaşabilirsiniz. Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle... Başarılar...

47 MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir. Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenliği Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir. Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası 1) Alan Bilgisi Testi % a) Analiz b) Cebir c) Geometri d) Uygulamalı Matematik % 4 % 16 % 16 % 4 ) Alan Eğitimi Testi % Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler ÖABT MATEMATİK ÖABT Sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.

48 İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM: MATEMATİK NEDİR? Matematik Nedir?...3 Mutlakçılar...3 Yarı Deneyselciler...4 Teorik-Uygulamalı Matematik...4 Klasik-Modern Matematik...4 Akademik-Okul Matematiği...4 Çözümlü Test...7 Çözümler...9. BÖLÜM: MATEMATİĞİ ÖĞRENME VE ÖĞRETME Matematiği Öğrenme ve Öğretme...13 Bilişsel Öğrenme Alanı...13 Duyuşsal Öğrenme Alanı...13 Devinişsel Öğrenme Alanı...13 Davranışçı Yaklaşım...13 Klasik Koşullanma...13 Edimsel Koşullanma...14 Bütünlükçü (Gestaltçı) Yaklaşım...14 Fonksiyonalist Yaklaşım...14 Bilişsel Gelişmeci Yaklaşım...14 Yapılandırmacı Yaklaşım...14 Buluş Yoluyla Öğrenme...15 Okulda Öğrenme (Tam Öğrenme)...16 Bilgi-İşlem Yaklaşımı...16 Anlamlı Öğrenme (Sunuş Yoluyla Öğretim)...16 Gerçekçi Matematik Eğitimi...16 Çoklu Zekâ Kuramı...17 Öğrenme Stilleri...17 Matematik Öğretimi Yöntemleri...17 Düz Anlatım Yöntemi...17 Tanımlar Yardımıyla Öğretim...17 Buluş Yoluyla Öğretim...17 Analizle Öğretim...18 Senaryo ile Öğretim...18 Gösterip Yaptırma Yöntemiyle Öğretim...18 Kurallar Yardımıyla Öğretim...18 Deneysel Etkinliklerle Öğretim...18 Oyunlarla Öğretim...18 Çözümlü Test...19 Çözümler BÖLÜM: MATEMATİK DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMI Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı Programın Özellikleri Eğitim Sistemi...5 Öğretim Programının Genel Amaçları...6 Öğretim Programının Öğrenme-Öğretme Yaklaşımı...7 Öğretim Programının Ölçme ve Değerlendirme Yaklaşımı...7

49 vi Öğretim Programında Yeterlilik ve Beceriler...8 Öğretim Programında Değerler Eğitimi...9 Öğretim Programının Uygulanmasında Dikkat Edilecek Hususlar...9 Öğretim Programının Yapısı...9 Çözümlü Test...35 Çözümler BÖLÜM: PROBLEM ÇÖZME Problem Çözme...41 Problem Nedir?...41 Problem Çözme...41 Problemi Anlama...41 Çözüm İçin Plan Yapma...41 Planın Uygulanması...41 Değerlendirme...41 Problem Çözme Öğretimi...43 Sistematik Liste Yapma...43 Tahmin ve Kontrol...43 Diyagram Çizme...43 Bağıntı Bulma...44 Değişken Kullanma...44 Benzer Problemlerin Çözümünden Yararlanma...44 Geriye Doğru Çalışma...44 Eleme...44 Tablo Yapma...44 Muhakeme etme...44 Problem Kurma...45 Matematiksel İfadeye Uygun Problem Kurma...45 Şekil veya Tabloya Uygun Problem Kurma...45 Cevabı Zihinde Tutarak Problem Kurma...46 Matematik Eğitiminde Problem Çözme...46 Problem Çözme İçin Öğretim...46 Problem Çözmeye İlişkin Öğretim...46 Problem Çözme ile Öğretim...46 Çözümlü Test...47 Çözümler BÖLÜM: MANTIK ÖĞRETİMİ Mantık Öğretimi...53 Temel Kavramların Öğretimi...53 Önerme Kavramı...53 Önermenin Olumsuzu (Değili)...54 Bileşik Önermeler...54 Veya Bağlacı ( ) (Dahili Birleşim)...55 Ve Bağlacı ( )...55 Koşullu Önerme ( )...55 İki Yönlü Koşullu Önerme ( )...55 Bileşik Önermelerin Özellikleri...56 Tek Kuvvet Özelliği...56 Değişme Özelliği...56 Birleşme Özelliği...56

50 vii Dağılma Özelliği 56 Totoloji ve Çelişki 57 Açık Önermeler 57 Evrensel ve Varlıksal Niceleyiciler 57 Çözümlü Test 59 Çözümler BÖLÜM: KÜMELER ÖĞRETİMİ Kümeler Öğretimi 65 Temel Kavramların Öğretimi 65 Kümeler Arasındaki İlişkilerin Öğretimi 66 Kümelerle İşlemlerin Öğretimi 67 Birleşim İşlemi 67 Kesişim İşlemi 68 Fark İşlemi 68 Kartezyen Çarpım 68 Çözümlü Test 70 Çözümler 7 7. BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR VE DÖRT İŞLEM ÖĞRETİMİ Gerçek Sayılar Öğretimi 75 Karekök Kavramı 76 Toplama ve Çıkarma İşlemi Öğretimi 77 İşlem Özelliklerinin Öğretimi 77 Çarpma İşlemi Öğretimi 77 İşlem Özelliklerinin Öğretimi 78 Bölme İşlemi Öğretimi 78 Gerçek Sayılar 79 Eşitlik Özellikleri 79 Eşitsizlik Özellikleri 80 Asal Sayılar 81 Bölünebilme Kuralları 8 En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK) 84 Aralıklar...84 Denklem Çözümü...85 Çözümlü Test...86 Çözümler BÖLÜM: ÜSLÜ VE KÖKLÜ İFADELER ÖĞRETİMİ Üslü ve Köklü İfadeler Öğretimi...93 Üslü İfadeler Öğretimi 93 Üslü Denklemler 94 Köklü İfadeler Öğretimi 94 Çözümlü Test 97 Çözümler BÖLÜM: POLİNOMLAR ÖĞRETİMİ Polinomlar Öğretimi Polinomlar Öğretimi 103 Polinomlar Kümesinde İşlemler Öğretimi 104 Toplama ve Çıkarma Öğretimi 104

51 viii Çarpma Öğretimi Bölme Öğretimi Çarpanlara Ayırma Öğretimi Ortak Çarpan Parantezine Alma Gruplandırma Tam Kare İfadelerin Çarpanlara Ayrılması a + ab + b İfadesinin Çarpanlara Ayrılması a - ab + b İfadesinin Çarpanlara Ayrılması a + b + c + (ab + ac + bc) İfadesinin Çarpanlara Ayrılması a - b İfadesinin Çarpanlara Ayrılması a 3 + 3a b + 3ab + b 3 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması x 3 - a 3 İfadesinin Çarpanlara Ayrılması ax + bx + c Polinomunun Çarpanlara Ayrılması Rasyonel İfadeler ve Denklemler Öğretimi Çözümlü Test Çözümler BÖLÜM: İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER,, EŞİTSİZLİKLER VE FONKSİYONLAR ÖĞRETİMİ İkinci Dereceden Denklemler, Eşitsizlikler ve Fonksiyonlar Öğretimi 119 İkinci Dereceden Denklemler Öğretimi...10 Eşitsizlikler Öğretimi...13 İkinci Dereceden Fonksiyonlar Öğretimi...16 Çözümlü Test...18 Çözümler BÖLÜM: OLASILIK VE İSTATİSTİK ÖĞRETİMİ Olasılık ve İstatistik Öğretimi 133 Olasılık Öğretimi Toplama Yoluyla Sayma İlkesi Çarpma Yoluyla Sayma İlkesi Permütasyon Tekrarlı Permütasyon Kombinasyon Binom Açılımı Olasılıkla İlgili Temel Kavramlar Olay Çeşitleri Kesin ve İmkânsız Olaylar Tümleyen Olay Ayrık ve Ayrık Olmayan Olaylar Bağımlı ve Bağımsız Olaylar Koşullu Olasılık Olasılık Çeşitleri İstatistik Öğretimi...14 Veri Toplama...14 Tablo ve Grafikler...14 Merkezî Eğilim ve Yayılma Ölçüleri Aritmetik Ortalama Tepe Değer (Mod) Ortanca (Medyan) Açıklık (Ranj) Standart Sapma...145

52 ix Çözümlü Test Çözümler BÖLÜM: TRİGONOMETRİ ÖĞRETİMİ Trigonometri Öğretimi Yönlü Açılar Öğretimi Trigonometrik Fonksiyonlar Öğretimi Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri Ters Trigonometrik Fonksiyonların Öğretimi Üçgende Trigonometrik Bağıntıların Öğretimi Toplam ve Fark Formüllerinin Öğretimi Yarım Açı Formüllerinin Öğretimi Trigonometrik Denklemlerin Öğretimi Çözümlü Test...16 Çözümler BÖLÜM: KARMAŞIK SAYILAR ÖĞRETİMİ Karmaşık Sayılar Öğretimi 167 Karmaşık Sayılar Öğretimi Karmaşık Kökler Çözümlü Test Çözümler BÖLÜM: ÜSTEL FONKSİYON VE LOGARİTMA ÖĞRETİMİ Üstel Fonksiyon ve Logaritma Öğretimi 173 Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu Onluk ve Doğal Logaritma Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri Üslü ve Logaritmalı Denklemler ve Eşitsizlikler Çözümlü Test Çözümler BÖLÜM: DİZİLER ÖĞRETİMİ Diziler Öğretimi Toplam Sembolü Diziler Monoton Diziler Aritmetik Dizi Geometrik Dizi Çözümlü Test Çözümler BÖLÜM: FONKSİYON ÖĞRETİMİ Fonksiyon Öğretimi Fonksiyon Kavramı Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi Venn Şeması ile Gösterim Liste Biçiminde Gösterim Grafiklerle Gösterim...195

53 x Cebirsel Gösterim Fonksiyonların Grafiği Fonksiyon Türleri Ters Fonksiyon Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyonlar Çift ve Tek Fonksiyon Fonksiyonlarda İşlemler Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi...00 Fonksiyonların En Geniş Tanım Kümesi...01 Parçalı Fonksiyonlar...01 Mutlak Değer Fonksiyonu...01 Çözümlü Test...03 Çözümler BÖLÜM: LİMİT VE SÜREKLİLİK ÖĞRETİMİ Limit ve Süreklilik Öğretimi...09 Limit...09 Süreklilik Çözümlü Test...13 Çözümler BÖLÜM: TÜREV VE İNTEGRAL ÖĞRETİMİ Türev ve İntegral Öğretimi...19 Türev...0 Türevin Uygulamaları...1 Belirli İntegral...3 Belirsiz İntegral...4 Belirli İntegralin Uygulamaları...4 Çözümlü Test...6 Çözümler BÖLÜM: GEOMETRİ ÖĞRETİMİ Geometri Öğretimi...31 Çocuklarda Geometrik Düşünmenin Gelişimi...3 Üçgenlerde Eşlik ve Benzerlik Öğretimi...37 Üçgenin Yardımcı Elemanları...39 Pisagor Bağıntısı...39 Trigonometrik Oranlar...39 Analitik Geometri...40 Çember ve Daire...40 Geometrik Cisimler...41 Dönüşüm Geometrisi...43 Uzay Geometri...46 Çözümlü Test...47 Çözümler...48 Kaynaklar...49