p 2 p Üçgen levha eleman, düzlem şekil değiştirme durumu

Transkript

1 Üçgen levha eleman düzlem şekil değiştirme durumu Üçgen levha eleman düzlem şekil değiştirme durumu İstinat duvarı basınçlı uzun boru tünel ağırlık barajı gibi yapılar düzlem levha gibi davranırlar Uzun doğrultuda yer ve şekil değiştirme olmaz şekil değiştirmeler düzlem içinde kalır Aşağıdaki şekilde görülen örneklerde x doğrultusunda yer ve şekil değiştirme olmaz ama bu doğrultuda gerilme oluşur Analiz için yapıdan birim kalınlıkta düzlem bir dilim çıkartılır ve levha olarak çözülür levha düzlemindedir X 2 X 2 X X X G p 2 p İstinat duvarı Birim kalınlıkta dilim Yükler levha düzlemi içindedir doğrultusunda yük yoktur Sadece ve doğrultusunda yer değiştirme vardır: ( ve ( Düzlem şekil değiştirme varsayımları ve bağıntıları için bak: Bölüm 2 Düzlem şekil değiştirme durumu söz konusudur ( ( ( ( gerilmeleri oluşur Üçgen levha elemanın bağıntıları Levha sistemin ijk düğümlerine bağlı i elemanı sistemden çıkarılarak şekil de gösterilmiştir Düğüm numaraları ijk saatin ters yönündedir sistemin tüm elemanları bu kurala göre numaralanmalıdır Genel ve yerel koordinat sistemi birbirine paraleldir Transformasyon matrisi birim matris olduğundan genel ve yerel rijitlik matrisi aynı olacaktır Bağıntılar genel koordinat sisteminde yazılacaktır Düğüm serbestlik derecesi 2 elemanın serbestlik derecesi 2 = dır: yer değiştirmeleri yönünde tanımlı fakat şekilde gösterilmemiş =2 genel kuvvetleri vardır Levha probleminde düğüm kuvvetleri değil eleman içindeki ( ( ( ve ( gerilmeleri hesaplanır İfadeleri basitleştirmek için elemanlara ait büyüklüklerde i indisi kullanılmayacaktır E elastisite modülü 5: Poisson oranı i noktasında yönünde genel yer değiştirme ( : i noktasının ( : j noktasının ( : k noktasının genel koordinatları yükler ve mesnet koşulları biliniyor varsayılmaktadır Tüm elemanların kalınlığı sabit ve dir i = j k ( * + xˆ xˆ 2 xˆ i noktasında yönünde genel yer değiştirme i noktasında yönünde genel yer değiştirme j noktasında yönünde genel yer değiştirme j noktasında yönünde genel yer değiştirme k noktasında yönünde genel yer değiştirme k noktasında yönünde genel yer değiştirme Elemanın yer değiştirme fonksiyonları(ritz fonksiyonları: Elemanın ( ve ( yer değiştirmeleri için seçilecek Ritz fonksiyonlarının her biri parametreli olabilir çünkü serbestlik derecesi dır Yer değiştirme fonksiyonları: ( = + + ( = + + ( doğrusal olarak seçilebilir Eleman geometrisi ve yer değiştirme fonksiyonu 2 ile aynı olduğundan düzlem gerilme durumuna ait 222 arasındaki tüm bağıntılar düzlem şekil değiştirme durumunda da geçerlidir Şekil değiştirme yer değiştirme bağıntıları: * " =0 (2 #$$$$$$%$$$$$$& ' ( + = =/ (2a Ahmet TOPÇU Sonlu Elemanlar Metodu Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Sayfa 2

2 Üçgen levha eleman düzlem şekil değiştirme durumu Gerilme şekil değiştirme bağıntıları: Düzlem şekil değiştirme durumu için 29 a göre #%& = " (9:(;: ;: #$$$$$$$$$%$$$$$$$$$& 0 0 < Düzlem şekil değiştirme durumunda elastisite matrisi ( dır 2 ile #%& 7 #%& 7 * = " " (9:(;: ;: #$$$$$$$$$%$$$$$$$$$& 0 0 #$$$$$$%$$$$$$& < ' ( + ( 5 5 ( 5 5 ( 5 5 * = = 5 ( 5 5 ( 5 5 ( 5 > (9:(;: =5 +5 (a ;: ;: ;: ;: ;: ;: #$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$%$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$& < ' ( + =? / (b 2 e göre büyüklükleri sabit sayılardır A E 5 ve u nun terimleri de sabit sayılardır(x ve x 2 den bağımsız Bunun anlamı 2 den hesaplanan şekil değiştirmelerin ve a dan hesaplanan gerilmelerin de eleman içindeki her noktada sabit olacağıdır Bu nedenle bu elemana CST(Constant Strain Triangle veya Contant Stress Triangle denilmektedir Elemanın rijitlik matrisi: 29a bağıntısı geçerlidir sadece E matrisi farklıdır ve t=(birim dilim /? / ( /? /= B * " (9:(;: ;: 0 ( 0 + #$$$$$$$$$$%$$$$$$$$$$& 0 0 < #$$$$%$$$$& ' D " #$$$$$$%$$$$$$& ' Çarpım sonucu oldukça karmaşık terimlidir Basitleştirmek rijitlik matrisini iki matrisin toplamı ile ifade etmek uygun E normal gerilmelere F kayma gerilmelerine ait rijitlik terimlerini içermektedir E E = (9:(;: Elemanın rijitlik matrisi * ( 5 5 ( 5 5 ( ( 5 5 ( 5 5 ( 5 ( 5 5 ( 5 5 ( ( 5 5 ( 5 5 ( 5 ( 5 5 ( 5 5 ( 5 5 ( 5 ( 5 5 ( 5 5 ( 5 + Normal gerilmelere ait rijitlikler (a F = G(9: * ( + Kayma gerilmelerine ait rijitlikler Ahmet TOPÇU Sonlu Elemanlar Metodu Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Sayfa 27

3 Sayısal örnek : Üçgen levha eleman düzlem şekil değiştirme durumu 00 N/mm 2 iç basınç etkisinde olan kalın cidarlı bir borudan çıkartılan mm kalınlığında bir dilimin kesiti şekil de verilmiştir Elastisite modülü E=0 5 N/mm 2 Poisson oranı 5=025 dir En büyük gerilmenin ve yarıçaptaki değişme miktarının (=A noktasındaki yatay veya B noktasındaki düşey yer değiştirme hesaplanması istenmektedir B X 2 X A 00 N/mm 2 Model mm 00 Şekil : Çözülmesi istenen levha sistem Teorik çözüm: A noktasının yatay yer değiştirmesi=055 mm Max Gerilme=20 N/mm 2 Levhada düzlem şekil değiştirme durumu vardır Kesit hem x hem de x 2 eksenine göre simetriktir kesitin ¼ ile hesap yapılabilir Çözüm için Model Model 2 Model veya benzer daha başka bir model kullanılabilir Şekillerden görüldüğü gibi eleman sayısı arttıkça geometri yükler ve mesnet koşulları gerçeğe daha yakın olmaktadır Model ve Model 2 nin SEM205 sonuçları aşağıda verilmiştir Yarıçaptaki değişme miktarı Nokta yükler(n: P =75 P 2=522 P =02 P 2=02 P 5=522 P 52=75 Not: P 2= P 5=522 kuvvetleri doğrudan mesnete gittiğinden şekilde gösterilmemiştir Koordinatlar(mm: Nokta X X En büyük gerilme İnan M Düzlemde elastisite teorisi İTÜ yayını Sayfa 5 99 Ahmet TOPÇU Sonlu Elemanlar Metodu Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Sayfa 2

4 Üçgen levha eleman düzlem şekil değiştirme durumu Yarıçaptaki değişme miktarı Nokta yükler(n: P =205 P 2=7 P =50 P 2=5 P 5=52 P 52=205 P 7=9 P 72=9 P 9=205 P 92=52 P =5 P 2=50 P =7 P 2=205 Not: P 2= P =7 kuvvetleri doğrudan mesnete gittiğinden şekilde gösterilmemiştir Koordinatlar(mm: Nokta X X En büyük gerilme Yarıçaptaki değişim(mm En büyük gerilme(n/mm 2 Teorik Model 07 (Hata % 79 (Hata %2 Model (Hata % (Hata % Ek bilgi : Bir noktanın koordinatları ve noktanın eşdeğer tekil kuvvetleri nasıl hesaplanıyor(model in noktasında örnekleme 5 5 r=200 mm α= mm 00 Model p=00 N/mm 2 β=75 0 α= mm 00 Model noktasının koordinatları: =J KLM=200 KL5=2 OO =J PQRM =200 PQR5=2 OO noktasının koordinatları: =J KLM=00 KL5=22 OO =J PQRM =00 PQR5=22 OO noktasında eşdeğer yatay kuvvet: X Z T =U J V KLM WM=U KLM WM Y noktasında eşdeğer düşey kuvvet: X Y Z T =U J V PQRM WM=U PQRM WM =20000 PQRM Z =02 ] = KL Z =02 ] Ahmet TOPÇU Sonlu Elemanlar Metodu Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Sayfa 29

5 Ek bilgi 2: Üçgen elemana özgü davranış Üçgen levha eleman düzlem şekil değiştirme durumu Üçgen eleman izotropik değildir yani elemanın yönü değiştiğinde sonuç biraz değişir Örneğin yukarıda sonuçları verilen Model in elemanlarının yönünü değiştirerek yeni sonucu görelim Sadece elemanların yönü değiştirilmiş Model N mm 00 Model Elemanların yönü farklı Model in sonuçları ile karşılaştırılırsa farklı olduğu görülür Eleman sayısı arttıkça fark azalır Üçgen elemanın izotropik olmamasının nedeni yön değiştiğinde elemanın ağırlık merkezinin levhanın farklı noktasına kayması ile açıklanabilir Sayısal örnek 2: C0/7 betonu ile inşa edilmesi düşünülen bir istinat duvarından alınan m kalınlığındaki bir dilimin kesiti ve modeli Şekil 2 de görülmektedir Verilen yükler için SEM5 çözümü verilecektir 05 m kn/m 2 20 kn/m 2 00 kn/m m Şekil 2: Çözülmesi istenen levha sistem m kn m Model 2 kn 2 E=2 0 kn/m 2 5=020 A= O Koordinatlar: Nokta X (m X 2 (m Ahmet TOPÇU Sonlu Elemanlar Metodu Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Sayfa 0

6 Üçgen levha eleman düzlem şekil değiştirme durumu Ahmet TOPÇU Sonlu Elemanlar Metodu Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Sayfa