1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.

Transkript

1 Sorular ve Çözümleri 1. GRUPLAR 1) G bir grup olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri gösteriiz. i) e G birim elema olmak üzere e 1 = e. ii) a G olmak üzere (a 1 ) 1 = a. iii) a 1, a 2,, a G içi (a 1 a 2 a ) 1 = a 1 a a 1. i) ee = e olduğuda e 1 = e olur. ii) a(a 1 ) = (a 1 )a = e olduğuda (a 1 ) 1 = a dır. iii) a 1, a 2,, a G içi (a 1 a 2 a )(a 1 a 1 1 a 1 1 ) = a 1 a 2 (a a 1 )a 1 1 a 1 1 = e ve (a 1 a 1 1 a 1 1 )(a 1 a 2 a ) = a 1 a 1 1 gösterilmiş olur. (a 1 1 a 1 )a 2 a = e olduğuda (a 1 a 2 a ) 1 = a 1 a a 1 eşitliği 2) Aşağıdaki kümeleri verile işlem altıda bir grup olup olmadığıı belirleyiiz. i) Z tamsayılar kümesi ve G = {2: Z} olmak üzere (G, +), ii) R reel sayılar kümesi ve a. b = a + b + 1 olmak üzere (R,. ), iii) R + pozitif reel sayılar kümesi a b = ab olmak üzere (R +, ). i) Gruptur. i) Her 2, 2m G içi 2 + 2m = 2( + m) G (kapalılık) ii) Her 2, 2m, 2k G içi (2 + 2m) + 2k = 2(( + m) + k) = 2( + (m + k)) = 2 + (2m + 2k) (birleşme) iii) Her 2 G içi = = 2 olduğuda 0 = 2.0 G birim elemadır. iv) Her 2 G içi 2 + ( 2) = ( 2) + 2 = 0 olduğuda (2) 1 = ( 2) = 2( ) G ters elema olarak buluur. Şu halde (G, +) bir gruptur. ii) Gruptur. i) Her a, b R içi a. b = a + b + 1 R (kapalılık) ii) Her a, b, c R içi (a. b). c = (a + b + 1) + c + 1 = a + b + c + 2 = a + (b + c + 1) + 1 = a. (b. c) (birleşme) iii) Her a R içi a. e = a + e + 1 = a ve e. a = e + a + 1 = a olacak şekilde e = 1 R birim elemadır. 1

2 iv) Her a R içi a. x = a + x + 1 = e = 1 ve x. a = x + a + 1 = e = 1 olacak şekilde a 1 = x = a 2 R ters elemadır. Burada (R,. ) ı bir grup olduğu görülür. iii) Değildir. R + pozitif reel sayılar kümeside a b = ab olmak üzere (R +, ) bir grup oluşturmaz. Buu ispatlamak içi grup aksiyomlarıda e az birii sağlamadığıı bir örekle göstermek yeterlidir. Öreği a = 2, b = 3, c = 5 içi 2 (3 5) = 2 15 ike (2 3) 5 = 5 6 olduğuda 2 (3 5) (2 3) 5 birleşme özelliği sağlamaz. 3) R reel sayılar olmak üzere R ={(a 1, a 2,, a ): a 1, a 2,, a R} olmak üzere (a 1, a 2,, a ) + (b 1, b 2,, b ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,, a + b ) işlemi altıda (R, +) ı bir grup olduğuu gösteriiz. i) (a 1, a 2,, a ), (b 1, b 2,, b ) R içi (a 1, a 2,, a ) + (b 1, b 2,, b ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,, a + b ) R (kapalılık) ii) (a 1, a 2,, a ), (b 1, b 2,, b ), (c 1, c 2,, c ) R içi [(a 1, a 2,, a ) + (b 1, b 2,, b )] + (c 1, c 2,, c ) = ((a 1 + b 1 ) + c 1,, (a + b ) + c ) = (a 1, a 2,, a ) + [(b 1, b 2,, b ) + (c 1, c 2,, c )] (birleşme) iii) (a 1, a 2,, a ) R içi (a 1, a 2,, a ) + (0,, 0) = (0,, 0) + (a 1, a 2,, a ) = (a 1, a 2,, a ) gerçeklediğide (0,, 0) birim elemadır. iv) (a 1, a 2,, a ) R içi (a 1, a 2,, a ) + ( a 1,, a ) = ( a 1,, a ) + (a 1, a 2,, a ) = (0,, 0) sağladığıda (a 1, a 2,, a ) 1 = ( a 1,, a ) dir. (ters elema) Dolayısıyla (R, +) ı bir grup olduğu gösterilmiş olur. 4) S = R { 1} ve a b = a + b + ab olmak üzere (S, ) i bir grup olup olmadığıı iceleyiiz. i) Her a, b R içi a b = a + b + ab R sağlaır. a 1 ve b 1 ike a b = 1 olsa a b = a + b + ab = 1 de (a + 1)(b + 1) = 0 olup, burada a = 1 2

3 veya b = 1 çelişkisie varılır. O halde a b R { 1} = S olup kapalılık koşulu sağlaır. ii) Her a, b, c S içi (a b) c = (a + b + ab) + c + (a + b + ab)c = a + b + ab + c + ac + bc + abc ve a (b c) = a + (b + c + bc) + a(b + c + bc) = a + b + c + bc + ab + ac + abc olduğuda birleşme özelliği sağlamış olur. iii) Her a S içi a e = a + e + ae = a ve e a = e + a + ea = a ise e(1 + a) = 0 olup, a 1 kabulu gereğice e = 0 S birim elema olarak elde edilir. iv) Her a S içi a t = a + t + at = e = 0 ve t a = t + a + ta = e = 0 olacak şekilde t(a + 1) = a olup a 1 = t = açıktır). Böylece (S, ) i bir grup olduğu görülür. a (a+1) S ters elemadır (t 1 olduğu 5) G = {a + b 5 a, b Q, a 0 veya b 0} kümesi kompleks sayılardaki çarpma işlemie göre bir gruptur. Gösteriiz. i) a + b 5, c + d 5 G içi (a + b 5 )( c + d 5 ) = (ac 5bd) + (ad + bc) 5 G ii) ii) G C {0} ve (C {0},. ) grubu birleşme özelliğie sahip olduğuda G de ayı işleme göre birleşme özelliğie sahiptir. iii) a + b 5 G içi (a + b 5 )( ) = ( )(a + b 5 ) = (a + b 5 ) olduğuda ( ) G birim elemadır. iv) (a + b 5 )(t + s 5 ) = ( ) ve (t + s 5 )(a + b 5 ) = ( ) ise (a + b 5 ) 1 = (t + s 5 ) = 1 a+b 5 = a a 2 +5b 2 + ( b a 2 +5b ters elema olarak elde edilir. Böylece G i bir grup olduğu gösterilmiş olur. 2) 5 G 6) R reel sayılar olmak üzere (a, b) R 2 = R R olsu. (x, y) (x + a, y + b) ile T a,b : R 2 R 2 döüşümüü taımlayalım. T(R 2 ) ={T a,b : a, b R} kümesii bileşke işlemi altıda bir grup olduğuu gösteriiz. 3

4 i) Her T a,b, T c,d T(R 2 ) içi (T a,b T c,d )(x, y) = T a,b (x + c, y + d) = ((x + c) + a, (y + d) + b) = (x + (c + a), y + (d + b)) = T a+c,b+d (x, y) olacak şekilde T a+c,b+d T(R 2 ) dır. (kapalılık) ii) ii) Her T a,b, T c,d, T e,f T(R 2 ) içi, (T a,b T c,d ) T e,f = T (a+c)+e,(b+d)+f = T a+(c+e),b+(d+f) = T a,b (T c,d T e,f ) (birleşme) iii) Her T a,b T(R 2 ) içi (T a,b T 0,0 ) = (T 0,0 T a,b ) = T a,b olduğuda T 0,0 T(R 2 ) birim elemadır. iv) Her T a,b T(R 2 ) içi (T a,b T a, b ) = (T a, b T a,b ) = T 0,0 olduğuda (T a,b ) 1 = T a, b T(R 2 ) ters elemaı buluur. O halde (T(R 2 ), ) bir grup oluşturur. 7) Q rasyoel sayılar kümesi a b = ab 2 olmak üzere (Q {0}, ) bir grup mudur? i) Her a, b Q {0} içi a b = ab 2 Q {0} (kapalılık) ii) ii) Her a, b, c Q {0} içi a (b c) = abc = (a b) c (birleşme) iii) Her a Q {0} içi a 2 = 2 a = a olduğuda 2 Q {0} birim elema, iv) Her a Q {0} içi a t = t a = at = 2 ise 2 a 1 = t = 4 Q {0} ters a elemadır. Burada (Q {0}, ) bir gruptur. 4 8) Aşağıdaki kümeleri verile işlem altıda bir grup olup olmadığıı belirleyiiz. i) Matrislerde toplama işlemie göre lik reel matrisleri kümesi ii) Matrislerde çarpma işlemie göre lik reel matrisleri kümesi iii) Matrislerde çarpma işlemie göre lik reel değerli köşege matrisleri kümesi lik reel matrisleri kümesii M ile gösterelim. i) Matrislerde toplama işlemie göre lik reel matrisleri kümesi : i) Her (a ij ),(b ij ) M içi (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ) M (kapalılık) ii) Her (a ij ), (b ij ), (c ij ) M içi ((a ij ) + (b ij )) + (c ij ) = ((a ij + b ij ) + c ij )= (a ij + (b ij + c ij )) = (a ij ) + ((b ij ) + (c ij )) (birleşme) 4

5 iii) Her (a ij ) M içi (a ij ) + 0 = 0 + (a ij ) = (a ij ) olduğuda 0 M birim elemadır. iv) Her (a ij ) M içi (a ij ) + ( a ij ) = ( a ij ) + (a ij ) = 0 olduğuda (a ij ) 1 = ( a ij ) ters elema olarak buluur. Souç olarak (M, +) bir grup oluşturur. ii) lik reel bir matrisi çarpma işlemie göre tersii olması içi gerek ve yeter koşul determiatıı sıfırda farklı olmasıdır. Dolayısıyla determiatı sıfır ola matrisleri tersleri yoktur. Burada (M,. ) bir grup değildir. Öreği = 2 içi 2 2 lik reel bir matris ola ( 1 0 ) matrisii tersi mevcut değildir. 0 0 iii) Bezer şekilde determiatı sıfır ola ( 1 0 ) köşege matrisii tersi mevcut 0 0 olmadığıda lik reel değerli köşege matrisleri kümesi bir grup oluşturmaz. a b 9) SL(2, R) = {( ) : a, b, c, d R, ad bc = 1} kümesii matris çarpımıa göre bir c d grup oluşturduğuu gösteriiz. Bu kümeyi SL(2, R) = {A 2x2 : A = 1} şeklide yeide yazabiliriz. i) Kapalılık: A, B SL(2, R) alalım. O halde A = B = 1 olur. Determiatı özellikleride AB = A. B = 1 ve böylece AB SL(2, R) olur. ii) Birleşme: Matrislerde çarpım birleşme özelliğie sahip olduğuda özel olarak her A, B, C SL(2, R) içi A. (B. C) = (A. B). C olur iii) Birim Elema: I 2x2 = 1 olduğuda birim matris SL(2, R) i elemaı olur. Birim matrisi birim elema olduğu açıktır (A. I = I. A = A). iv) Ters Elema: A SL(2, R) alalım. A = 1 0 olduğuda A ı matrislerde çarpma işlemie göre tersi vardır. A ı tersie A 1 diyelim. Determiat özellikleride A 1 = 1 A 1 SL(2, R) dir. A = 1 ve böylece 10) G = {( 1 ) : Z } kümesii matris çarpımıa göre bir grup oluşturduğuu gösteriiz. 0 1 Ayrıca G deki birimde farklı her elemaı mertebesii sosuz olduğuu görüüz. i) Kapalılık: Her g 1, g 2 G içi g 1. g 2 G olup olmadığıı araştıralım. g 1, g 2 G olduğuda g 1 = ( ) olacak şekilde 1 Z vardır. Bezer şekilde 5

6 g 2 = ( ) olacak şekilde 2 Z vardır. g 1. g 2 = ( ). ( ) = ( ) ve Z olduğuda g 1. g 2 G sağlaır. ii) Birleşme: Her g 1, g 2, g 3 G içi g 1 (g 2 g 3 ) = (g 1 g 2 )g 3 olduğu kolayca görülebilir. iii) Birim elema: Her g = ( 1 e e ) G içi (1 ) (1 ) = (1 ) ( ) = ( 1 e ) deklemii sağlaya elema ( ) = (1 0 ) G dir. 0 1 iv) Ters Elema: Her g = ( 1 x x ) G içi (1 ) (1 ) = (1 ) ( ) = ( 1 0 x 1 ) deklemii sağlaya elema (1 ) = ( ) 1 = ( 0 1 ) dir. Şimdi birimde farklı her elemaı mertebesii sosuz olduğuu gösterelim: k N olmak üzere, her g = ( ) G ( 0) içi gk = ( ) k = ( 1 k ) olur. Dolayısıyla her k N 0 1 içi g k ( 1 0 ) olacağıda her elemaı mertebesii sosuzdur ) GL(2, R) grubuda [ 2 3 ] elemaıı varsa tersii buluuz. 2 4 [ ] GL(2, R) olduğuda tersi vardır. [1 ] elemaı GL(2, R) i birim elemaı olduğuda [ 2 3 y y ] [x ] = [x 2 4 z t z t ] [ ] = [1 0 ] deklemi çözüldüğüde verile 0 1 elemaı tersi [ 2 3 x y 2 4 ] 1 = [ z t ] = [ 2 3/2 ] olarak buluur ) G = {(a, b, 3): a, b Z} kümesii (a, b, 3) (c, d, 3) = (a + c, b + d, 3) ikili işlemi ile birlikte bir değişmeli grup olduğuu gösteriiz. Grup olduğu Çözüm 3 e bezer olarak kolayca yapılabilir. Değişmeli olduğuu gösterelim : Her g 1, g 2 G içi g 1 g 2 = g 2 g 1 olduğuu gösterelim. g 1 G olduğuda g 1 =(a 1, b 1, 3) olacak şekilde a 1, b 1 Z vardır. Bezer şekilde g 2 G olduğuda g 2 =(a 2, b 2, 3) olacak şekilde a 2, b 2 Z vardır. g 1 g 2 = (a 1, b 1, 3) (a 2, b 2, 3) = (a 1 + a 2, b 1 + b 2, 3) 6

7 = (a 2 + a 1, b 2 + b 1, 3) = (a 2, b 2, 3) (a 1, b 1, 3) = g 2 g 1 olduğuda değişmelidir. 13) G = Z Z = {(a, b): a, b Z} kümesii (a, b) (c, d) = (a + c, ( 1) c b + d) şeklide taımlaa * işleme göre bir grup olup olmadığıı iceleyiiz. i) Kapalılık: Her g 1, g 2 G içi g 1 g 2 G olup olmadığıı araştıralım. g 1 G olduğuda g 1 = (a 1, b 1 ) olacak şekilde a 1, b 1 Z vardır. Bezer şekilde g 2 = (a 2, b 2 ) olacak şekilde a 2, b 2 Z vardır. g 1 g 2 = (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = (a 1 + a 2, ( 1) a 2b 1 + b 2 ) olur. a 1 + a 2 ve ( 1) a 2b 1 + b 2 Z olduğuda g 1 g 2 G sağlaır. ii) Birleşme: Her g 1, g 2, g 3 G içi g 1 (g 2 g 3 ) = (g 1 g 2 )g 3 olduğu kolayca görülebilir. iii) Birim elema: Her g G içi g e = e g = g olacak şekilde e G bulalım. g G olduğu içi g = (a, b) olacak şekilde a, b Z vardır. e = (e 1, e 2 ) olmak üzere g e = (a, b) (e 1, e 2 ) = (a + e 1, ( 1) e 1b + e 2 )= (a, b) deklemi çözülürse e = (e 1, e 2 ) = (0, 0) buluur. iv) Ters Elema: Her g G içi g x = x g = e olacak şekilde g 1 = x G bulalım. a, b, x 1, x 2 Z olmak üzere g = (a, b) ve x = (x 1, x 2 ) alalım. g x = (a, b) (x 1, x 2 ) = (x 1, x 2 ) (a, b) = (0, 0) olmalıdır. (a, b) (x 1, x 2 ) = (a + x 1, ( 1) x 1b + x 2 ) = (0, 0) deklemi çözülürse x 1 = a ve x 2 = ( 1) a b buluur. Dolayısıyla a tek tam sayı ise g 1 = x = (x 1, x 2 ) = ( a, b) a çift tam sayı ise g 1 = x = (x 1, x 2 ) = ( a, b) buluur. 14) X boş olmaya bir küme P(X), X i tüm alt kümelerii ailesi (kuvvet kümesi) olmak üzere aşağıda verile ikili işlemlere göre P(X) i bir grup olup olmadığıı belirleyiiz. A, B P(X) olsu. (a) A B = A B (b) A B = A B (c) A B = (A B) (A B) (a) Ters elema özelliği sağlamaz. (b) Ters elema özelliği sağlamaz. 7

8 (c) P(X) kuvvet kümesi simetrik fark işlemiyle birlikte bir değişmeli grup oluşturur. i) Kapalılık: A, B P(X) alalım. O halde A, B X olur. Bu durumda A B = (A B) (A B) X olduğuda A B P(X) olur. ii)birleşme: Her A, B, C P(X) içi A (B C) = (A (B C)) (A B C) (B (C A)) (C (B A)) = (A B) C olur. iii)birim Elema: P(X) elemaı birim elemadır, gerçekte her A P(X) içi A = (A ) (A ) = A olur. (iv) Ters Elema: Her A P(X) içi A A = (A A) (A A) = olduğuda A 1 = A olur. 15) (G, ) bir grup ve a, b G olsu. a b = b a 1 ve b a = a b 1 ise a 4 = b 4 = e olduğuu gösteriiz. a b = b a 1...(1) b a = a b 1...(2) olsu. a b = b a 1 (a b) a = b a (b a) = b. Burada (2) yardımıyla a (a b 1 ) = b elde edilir. a (a b 1 ) = b a a = b b a 2 = b 2 a 4 = b 4. Şimdi a 4 = e olduğuu gösterelim. (1) ve (2) de (a b) (b a) = b a 1 a b 1 = e olur. Öte yada (a b) (b a) = a b 2 a = a a 2 a = a 4 elde edilir. Burada a 4 = e dir. 16) G bir grup olmak üzere a G içi a 2 = e ise, G grubuu değişmeli olduğuu gösteriiz. Her g 1, g 2 G içi g 1 g 2 = g 2 g 1 olduğuu göstermeliyiz. G bir grup olduğuda g 1 g 2 G olur. O halde (g 1 g 2 ) 2 = e dir. Yai (g 1 g 2 )(g 1 g 2 ) = e elde edilir. (g 1 g 2 )(g 1 g 2 ) 2 = e g 1 g 2 g 1 g 2 = g 1 e g 2 g 1 g 2 = g 1 g 2 g 1 g 2 2 = g 1 g 2 g 2 g 1 e = g 1 g 2 8

9 17) Bir G grubuda (ab) 2 = a 2 b 2 ise ab = ba olduğuu gösteriiz. (ab) 2 = abab = a 2 b 2 deklemi solda a ı sağda da b i tersi ile çarpıldığıda ab = ba elde edilir. 18) (G, ) bir grup ve a, b G olsu. (a b) 1 = a 1 b 1 olması içi gerek ve yeter koşul a b = b a olmasıdır, gösteriiz. ( ): a, b G içi (a b) 1 = a 1 b 1 olsu. ((a b) 1 ) 1 = (a 1 b 1 ) 1 her g G içi (g 1 ) 1 = g olduğuda a b = (b 1 ) 1 (a 1 ) 1 burada da a b = b a olur. ( ): a, b G içi a b = b a olsu. (a b) 1 = (b a) 1 (a b) 1 = a 1 b 1 sağlaır. 19) Elema sayısı çift ola bir grupta, tersi kedisie eşit ola birimde farklı bir elema var olduğuu ispatlayıız. Bir G grubuda çift sayıda elema olsu. Birim elemaı tersi kedisidir. Birimde farklı bir elemaıda da tersi kedisidir. Aksi halde birim dışıdaki elemaları tersleri ile ikişerli grupladırdığımızda G i elema sayısı tek olur. 20) Q( 2) = {a + b 2 a, b Q} olmak üzere (Q( 2), +) ve (Q( 2) {0},. ) i değişmeli grup olduğuu gösteriiz. (Q( 2), +) ı grup olduğuu gösterelim: i) a + b 2, c + d 2 Q( 2) olmak üzere (a + b 2) + (c + d 2) = (a + c) + (b + d) 2 Q( 2) olduğuda kapalıdır. ii) a + b 2, c + d 2, e + f 2 Q( 2) olmak üzere [(a + b 2) + (c + d 2)] + (e + f 2) = [(a + c) + (b + d) 2] + (e + f 2) = ((a + c) + e) + ((b + d) + f) 2 = (a + (c + e)) + (b + (d + f)) 2 = (a + b 2) + [(c + e) + (d + f) 2)] = (a + b 2) + [(c + d 2) + (e + f 2)] olduğuda birleşme özelliği vardır. 9

10 iii) Her a + b 2 Q( 2) içi (a + b 2) + (x + y 2) = a + b 2 ve (x + y 2) + (a + b 2) = a + b 2 olacak şekilde x + y 2 Q( 2) var mı? (a + b 2) + (x + y 2) = (a + x) + (b + y) 2=(a + b 2) dir. Burada a + x = a ve b + y = b deklemleride x = 0 ve y = 0 elde edilir. Bezer şekilde (x + y 2) + (a + b 2) = (x + a) + (y + b) 2 = a + b 2 deklemide x = 0 ve y = 0 elde edilir. Birim elemaı 0 dır. iv) Her a + b 2 Q( 2) tersi var mı? (a + b 2) + (x + y 2) = 0 da (a + x) + (b + y) 2 = 0 elde edilir. Burada a + x = 0 ve b + y = 0 deklemleride x = a ve y = b elde edilir. (x + y 2) + (a + b 2) = 0 da da x = a ve y = b elde edilir. Yai a + b 2 tersi a b 2 dir. (Q( 2) {0},. ) ı grup olduğuu gösterelim: i) a + b 2, c + d 2 Q( 2) olmak üzere (a + b 2). (c + d 2) = (ac + 2bd) + (ad + bc) 2 Q( 2) olduğuda kapalıdır. ii) a + b 2, c + d 2, e + f 2 Q( 2) olmak üzere [(a + b 2). (c + d 2)]. (e + f 2) = (a + b 2). [(c + d 2). (e + f 2)] olduğuu gösterelim: [(a + b 2). (c + d 2)]. (e + f 2) = [(ac + 2bd) + (ad + bc) 2]. (e + f 2) = [(ac + 2bd)e + 2(ad + bc)f] + [(ac + 2bd)f + (ad + bc)e] 2 = (ace + 2bde + 2adf + 2bcf) + (acf + 2bdf + ade + bce) 2 (a + b 2). [(c + d 2). (e + f 2)] = (a + b 2). [(ce + 2df) + (cf + de) 2] = (a(ce + 2df) + 2b(cf + de)) + (a(cf + de) + b(ce + 2df)) 2 = (ace + 2adf + 2bcf + 2bde) + (acf + ade + bce + 2bdf) 2 olduğuda birleşme özelliği vardır. iii) Her a + b 2 Q( 2) içi (a + b 2). (x + y 2) = a + b 2 ve (x + y 2). (a + b 2) = a + b 2 olacak şekilde x + y 2 Q( 2) var mı? (a + b 2). (x + y 2) = (ax + 2by) + (ay + bx) 2 = a + b 2 dir. Burada, ax + 2by = a ve ay + bx = b deklemleride x = 1 ve y = 0 elde edilir. Bezer şekilde (x + y 2). (a + b 2) = (xa + 2yb) + (xb + yb) 2 = a + b 2 de x = 1 ve y = 0 elde edilir. Yai, birim elemaı 1 dir. 10

11 iv) Her a + b 2 Q( 2) tersi var mı? (a + b 2). (x + y 2) = 1 de (ax + 2by) + (ay + bx) 2 = 1 elde edilir. Burada, ax + 2by = 1 ve ay + bx = 0 deklemleride x = (x + y 2). (a + b 2) = 1 de de x = a a 2 2b a a 2 b 2 ve y = b 2 ve y = b a 2 2b a 2 b 2 elde edilir. 2 elde edilir. 21 ) (G, ) bir grup ve a, b G olsu. Şu halde, a x = b ve y a = b deklemlerii G içide bir tek çözümü olduğuu ispatlayıız. a, b G içi a x = b ve y a = b olsu. a x = b deklemi solda a ı tersi ile y a = b deklemi sağda a ı tersi ile işleme sokulduğuda x = a 1 b ve y = b a 1 elde edilir. a x = b deklemii x ve x gibi iki çözümü olsu. a x = b ve a x = b deklemleride a x = a x elde edilir. Kısaltma özelliğide x = x elde edilir. y a = b deklemii de bezer şekilde bir tek çözümü olduğu gösterilir. 22) 1 olmak üzere {cos k.360 k i si k = 0,1,2,, 1} (x 1 i kompleks kökleri ) kümesii çarpım altıda bir grup olduğuu gösteriiz. e k360 i = cos k i si k.360 G = {e k360 i k = 0, 1, 2,, 1} olduğuda kümeyi şöyle yazabiliriz: i) e k 1360 i, e k 2360 i G olmak üzere e k 1360 i. e k 2360 i = e (k 1+k2)60 i = e k360 i G dir. (k 1 + k 2 k(), 0 k 1.) ii) e k 1360 i, e k 2360 i, e k 3360 i G olmak üzere (e k 1360 i. e k 2360 i ). e k 3360 i = e (k 1+k 2 )360 i. e k 3360 i = e ((k 1+k 2 )+k 3 )360 i = e (k 1+(k 2 +k 3 ))360 iii) Her e k360 var t = 0 içi e k360 = e k 1360 i. e (k 2+k 3 )360 i = e k 1360 i. (e k 2360 i. e k 3360 i ) i G içi e k360 i. e t360 i = e k360 i ve e t360 i. e k360 i = e k360 i olacak şekilde e t360 i G birim elema 1 dir. iv) Her e k360 i. e 0i = e k360 i. 1 = e k360 i ve e 0i. e k360 i = 1. e k360 i = e k360 i dir. Burada i G i tersi var mı? e k360 i. e t360 i = 1 ve e t360 i. e k360 i = 1 de e (k+t)360 i = 1 elde edilir. Bu ise k + t = 0 veya k + t = olduğu durumda sağlaır. k + t = 0 olması t = k olduğuda sağlaır. Bu 0 t 1 olması ile çelişir. O halde k + t = dir, yai i mı? 11

12 t = k dır. Yai e k360 i i tersi e ( k)360 (G,. ) bir gruptur. i dır. 23) (Z 1000, +) 1000 elemalı toplamsal bir gruptur. Ayrıca (Z 100 Z 10, +) da 1000 elemalı toplamsal bir gruptur. Böyle bir çok grup öreği verilebilir. 24) Aşağıdaki ifadeler doğru/ yalış mıdır? Doğru ise ispatlayıız, yalış ise edeii bir örekle açıklayıız. i) Bir grupta birde fazla birim elema buluabilir. ii) G solu bir grup, a G olsu. a = e olacak şekilde bir N vardır. iii) (G, ) grup ise a x b = c deklemi G de tek türlü çözüme sahiptir. iv) (G, ) bir grup ve a, b, c G olsu. a b c = e ise b c a = e dir. v) (G, ) bir grup ve a, b G olsu. (a b) 1 = a 1 b 1 dir. vi) G grubu iki elemalı ise Abel grubudur. vii) (G, ) bir grup ve a, b G olsu. (a b) 2 = a 2 b 2 dir. viii) Bir grupta her lieer deklemi çözümü vardır. i) (Yalış) (G, ) grubuu e ve e gibi iki tae birim elemaı olsaydı e birim olduğuda e e = e e = e ve e birim olduğuda e e = e e = e buluur. Yai, e = e dür. ii) (Doğru) a G olsu. G kapalı olduğuda a 2 = aa G, a 3 = a 2 a G,, a m G, G solu bir grup olduğuda a ı bütü kuvvetleri farklı olamaz. Yai, a = e olacak şekilde bir N vardır. i) (Doğru) a x b = c deklemi solda a ı sağda b i tersi ile çarpılırsa x = a 1 cb 1 elde edilir. Bu deklemi x ve x gibi iki çözümü olsaydı, kısaltma özelliği kullaılarak x = x buluurdu. ii) (Doğru) a, b, c G içi a b c = e olsu. Eşitliği solda a 1 ile çarparsak b c = a 1 e = a 1 elde edilir ve böylece b c a = a 1 a = e buluur. i) (Yalış) Q =< i, j, k i 2 = j 2 = k 2 = ijk = 1 > quaterio grubuu düşüelim: (ij) 1 = k 1 = k fakat i 1 j 1 = ( i)( j) = ij = k dir. ii) (Doğru) G = {e, a} olmak üzere (G, ) bir grup olsu. G i işlem tablosu, grup aksiyomları gereğice şöyle olmak zorudadır: 12

13 e a e e a a a e Yukarıdaki tabloda grubu Abel (değişmeli) olduğu alaşılır. iii) (Yalış) Q =< i, j, k i 2 = j 2 = k 2 = ijk = 1 > quaterio grubuu düşüelim: (ij) 2 = k 2 = 1 fakat i 2 j 2 = ( 1)( 1) = 1 dir. iv) (Doğru) G bir grup olsu. Bir grupta bir bilimeyeli lieer deklem x bilimeye ve a, b G olmak üzere a x = b biçimidedir. Eşitliği solda a 1 ile çarparsak x = a 1 b buluur. 13