ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ DÖNÜŞÜMLERLE GEOMETRİ

Transkript

1 ÜNİVERSİTEYE HZIRLIK. SINIF KUL YRDIMCI KNU NLTIMLI SRU NKSI GEMETRİ ÇEMERİN NLİTİK İNCELENMESİ DÖNÜŞÜMLERLE GEMETRİ ÇEMERİN NLİTİK İNCELENMESİ Çemberin Standart Denklemi Çemberin Genel Denklemi Nokta ile Çember Doğru ile Çember DÖNÜŞÜMLERLE GEMETRİ Öteleme Dönüşümü Dönme Dönüşümü Yansıma Dönüşümü

2 ÜNİVERSİTEYE HZIRLIK. SINIF KUL YRDIMCI KNU NLTIMLI SRU NKSI SUNU Sevgili Öğrenciler, ISN Dizgi ÇP Dizgi irimi Kapak Tasarım Özgür FLZ. askı ğustos 08 İLETİŞİM ÇP YYINLRI stim Mah. 07 Sokak No: 3/C D stim / nkara Tel: Fa: bilgi@capainlari.com.tr twitter.com/capainlari facebook.com/capainlari instagram.com/capainlari Gelecekteki haatınızı şekillendirmek, düşlediğiniz bir aşamı kurmak için üniversite sınavını başarıla atlatmanız gerektiğini biliorsunuz. u bilinçle oğun bir ders çalışma sürecinden geçmektesiniz. ölesine önemli bir sınavı başarıla atlatmanın en temel şartlarından biri sınavın ruhunu anlamak ve bu çizgide hazırlanmış kitaplardan eterince fadalanmaktır. izlerde garetlerinize destek olmak, çalışmalarınızı daha verimli hâle getirmek amacıla sınav ruhuna ugun elinizdeki fasikülleri hazırladık. Kitaplarımız, Talim Terbie Kurulu nun en son aımladığı öğretim programında er alan kazanımlar dikkate alınarak hazırlanmıştır. Özgün bir aklaşım ve titiz bir çalışmanın ürünü olan eserlerimizin ana apısı şu şekildedir: Kazanımlara ait bilgiler konu safasında verilmiştir. Özet konu anlatımından sonra örnek çözümlerine geçilmiş ve bu bölüm standart sorular ve çözümleri ile ÖSYM tarzı sorular ve çözümleri olmak üzere iki kısımdan oluşturulmuştur. uradaki amacımız konu ile ilgili soru çeşitlerine hâkim olduktan sonra ÖSYM'nin son ıllarda sorduğu ve sınavlarda çıkma olasılığı üksek soru türlerine er vermektir. Örnek çözümlerinden sonra da pekiştirme testleri bulunmaktadır. ölümün tamamı bittiğinde ise tüm ünitenin özetini bulabilirsiniz. Konuu özetledikten sonra cemi, matör, Uzman ve Profesonel adı altında dört farklı zorluk düzeinde çoktan seçmeli soruların bulunduğu karma testlere er verilmiştir. rkasından ÖSYM'den Seçmeler adı altında geçmiş ıllarda üniversite giriş sınavlarında sorulmuş seçme sorular er almaktadır. Kitabımızdaki testlerin tamamını VİDE ÇÖZÜMLÜ hazırladık. Yaınevimize ait olan akıllı telefon ugulamasını (çpp) kullanarak video çözümlerine ulaşabilirsiniz. Kitaplarımızın eğitim öğretim faalietlerinizde sizlere fadalı olması ümidile, hepinize başarılı, sağlıklı ve mutlu bir gelecek dileriz. ÇP YYINLRI u kitabın her hakkı Çap Yaınları na aittir ve 936 saılı Fikir ve Sanat Eserleri Yasası na göre Çap Yaınları nın azılı izni olmaksızın, kitabın tamamı vea bir kısmı herhangi bir öntemle basılamaz, aınlanamaz, bilgisaarda depolanamaz, çoğaltılamaz ve dağıtım apılamaz.

3 KİTIMIZI TNIYLIM KNU 7 ÖSYMʼden SEÇMELER ÖSYM çıkmış sınav sorularından seçilen ve işlenen konularla paralel, ıl sıralamasına göre oluşturulan alan Konua ilişkin bilgilerin özet halinde verildiği, klında lsun, Hatırlatma, Uarı gibi pratik notların da olduğu alan STNDRT SRULR VE ÇÖZÜMLERİ İşlenen konula ilgili standart soru tiplerinin görülebileceği, çözümlü soruların olduğu alan KRM TESTLER Dört arı zorluk düzeine göre düzenlenmiş, cemi, matör, Uzman ve Profesonel sevielerinde tüm ünite ile ilgili karma, özgün soruların olduğu alan ÖSYM TRZI SRULR VE ÇÖZÜMLERİ Son ıllarda ÖSYMʼnin sınavlarında sorduğu soru tarzları; sınavlarda çıkabilecek seçici ve aırt edici soruların olduğu alan 3 6 ÜNİTE ÖZETİ Konunun tamamının özelliklerini, formüllerini özet halinde bir arada bulabileceğiniz alan PEKİŞTİRME TESTLERİ Hem standart hem de ÖSYM tarzı sorulardan oluşan, kendinizi sınamanızı sağlaan, konuu iice kavramanıza ardımcı özgün soruların olduğu alan 5 4

4 İÇİNDEKİLER ÖLÜM : ÇEMERİN NLİTİK İNCELENMESİ Çemberin Standart Denklemi... 6 Standart Sorular ve Çözümleri... 8 ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri... Konu Pekiştirme,... 5 Çemberin Genel Denklemi... 9 Standart Sorular ve Çözümleri... 0 ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri... 4 Konu Pekiştirme 3, ir Nokta ile ir Çemberin Konumları... 3 Standart Sorular ve Çözümleri ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri Konu Pekiştirme ir Doğru ile ir Çemberin irbirine Göre Konumları Standart Sorular ve Çözümleri ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri Konu Pekiştirme Ünite Özeti cemi Testleri, matör Testleri,, Uzman Testleri,, Profesonel Testleri... 6 ÖSYM'den Seçmeler ÖLÜM : DÖNÜŞÜMLERLE GEMETRİ Öteleme Dönüşümü Standart Sorular ve Çözümleri ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri... 7 Konu Pekiştirme... 7 Düzlemde Dönme Dönüşümü Standart Sorular ve Çözümleri ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri Konu Pekiştirme, Yansıma (Simetri) Dönüşümü Standart Sorular ve Çözümleri ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri... 9 Konu Pekiştirme Ünite Özeti cemi Testi matör Testleri, Uzman Testleri, Profesonel Testleri ÖSYM'den Seçmeler... 09

5 ÇEMERİN NLİTİK İNCELENMESİ ÖLÜM Değerli hocalarımız; Hasibe KILIÇ, Kamil ŞEN, rhan EKTŞ ve Turan KIRŞ'a katkılarından dolaı teşekkür ederiz. ÇEMER NLİTİK İNCELENMESİ KNUSUNUN ÖSYM SINVLRINDKİ SRU DĞILIMI YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS TYT YT

6 KNU Çemberin Standart Denklemi Düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu kümee çember denir. KLIND LSUN Sabit noktaa çemberin merkezi ve sabit uzaklığa da çemberin arıçapı denir. r r C ir çemberin denklemini azabilmek için, ) Merkezinin koordinatlarını Yandaki şekilde; M noktası çemberin merkezi ve M = M = MC = r çemberin arıçapıdır. M r ) Yarıçapının uzunluğunu bilmeliiz. HTIRLTM ) (, ) ve (, ) noktaları arasındaki uzaklık; = ( ) + ( ) şeklinde bulunur. nalitik düzlemde M(a,b) merkezli ve r arıçaplı çember üzerinde P(,) noktası P(,) alalım. r İki nokta arasındaki uzaklık formülünden, b M(a,b) MP = ( - a) + ( -b) r = ( - a) + ( -b) a elde edilir. ( a) + ( b) = r denklemine M(a,b) merkezli, r arıçaplı çemberin standart denklemi denir. Örneğin; M(,) merkezli, r = 3 birim arıçaplı çemberin standart denklemi ( ) + ( ) = 9 dur. ) (, ) (, ) C(, ) [] nin orta noktasının koordinatları, + + C (,) = Cc, mdir. Örneğin; ( + ) + ( 3) = 4 denklemi ile verilen çemberin; merkezi M(, 3), arıçapı r = dir. Merkezil Çember UYRI Merkezi orjinde olup arı- Merkezi başlangıç noktası olan çembere merkezil çember denir. Merkezil çemberin standart denklemi ( 0) + ( 0) = r ise + = r dir. r r 0(0, 0) r çapı birim olan çembere birim çember denir. Örneğin; Merkezi, analitik düzlemin başlangıç noktasında olan ve r = 4 birim arıçaplı r 6 çemberin standart denklemi + = 6 dır. GEMETRİ

7 Standart Sorular ve Çözümleri 0. Merkezinin koordinatları M(, ) olan ve P(4, 5) noktasından geçen çemberin denklemi aşağıdakilerden ) ( ) + ( ) = 8 ) ( 4) + ( 5) = 9 C) ( ) + ( + ) = 8 D) ( 4) + ( 5) = 8 E) ( ) + ( ) = 9 M(, ) P(4, 5) M(,) merkezli çember P(4, 5) noktasından geçtiğine göre, çemberin arıçapı MP dir. İki nokta arasındaki uzaklık formülünden; MP = r = ( 4- ) + ( 5- ) = 9+ 9 = 3 br hâlde çemberin denklemi, ( ) + ( ) = 8 dir. Yanıt 0. 3 (, 3) ve ( 4, ) olmak üzere, [] çaplı çemberin denklemi aşağıdakilerden ) ( + ) + ( + ) = 3 ) ( + ) + ( + ) = 3 C) ( + ) + ( ) = 6 D) ( + ) + ( ) = 6 E) ( ) + ( + ) = 3 (, 3) ( 4, ) M Mc, m M(, ) olur. rıca M = M = r olduğundan M = r = ((-) - ) + ((-) -(-3)) = (- 3) + = 9+ 4 = 3 [] nin orta noktası çemberin merkezi olur. Çemberin denklemi ( + ) + ( + ) = 3 olur. Yanıt 8 0. (, m ) noktası ( ) + ( 3) = 37 çemberinin üzerinde olduğuna göre, m'nin alabileceği değerler çarpımı kaçtır? ) 36 ) 30 C) 0 D) 4 E) 8 noktası çemberin üzerinde ise bu noktanın koordinatları çember denklemini sağlar. ( ) + (m 3) = 37 + (m 4) = 37 (m 4) = 36 m 4 = 6 vea m 4 = 6 m = 0 m = Değerler çarpımı 0.( ) = 0 olur. Yanıt C 0. 4 Merkezi 3 = 6 ve + 3 = 3 doğruları üzerinde ve arıçapı birim olan çemberin denklemi aşağıdakilerden ) + ( 3) = 4 ) ( + 3) + = 4 C) + = 4 D) + ( + 3) = 4 E) ( 3) + = 4 Çemberin merkezi, doğruların kesim noktasıdır. 3 = 6 Taraf tarafa toplaalım = = 9 3 = 9 = 3 = 3 için + 3 = 3 denkleminde erine azalım = 3 & 3 = 0 & = 0 halde çemberin merkezi M(3, 0) ve arıçapı r = dir. Çemberin denklemi ise ( 3) + ( 0) = ( 3) + = 4 olur. Yanıt E GEMETRİ

8 ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri 3 ve kümeleri = {(, ) 0,, ŒR} = {(, ) + 4 0,, ŒR} olduğuna göre, / kümesi aşağıdaki taralı bölgelerden ) ) C) D) 4 Dik koordinat düzleminde (4,0) noktasından geçen bir çember eksenine (0,8) noktasında teğettir. una göre, bu çemberin arıçapı kaç birimdir? ) 6 ) 8 C) 0 D) E) 5 8 r r 8 4 r 4 Şekildeki gibi koordinat düzleminde çemberi çizdiğimizde oluşturduğumuz dik üçgende pisagor aparak arıçapı bulalım. = 8 + ( r-4) 8r = 80 & r = 0 buluruz. Yanıt C 5 r r = 64 + r - 8r+ 6 E) Yarıçapı 3 birim, merkezi = doğrusu üzerinde bulunan ve koordinat eksenlerine teğet olan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisi olabilir? ) ( 3) + ( 3) = 9 ) ( + 3) + ( + 3) = 9 C) ( 3) + ( 3) = 3 kümesi ( ) = parabolünün alt tarafıdır. ifadesi den küçük olduğundan parabolün alt bölgesini gösterir. kümesi, merkezi orijin ve arıçapı birim olan çemberin iç bölgesidir. D) ( + 3) + ( 3) = 9 E) ( + 3) + ( 3) = 3 = M(a,b) b 3 Çember koordinat eksenlerine teğet olarak çizilirse andaki gibi şekiller elde edilir. + / kümesi kümesinin elemanı olup kümesinin elemanı olmaan bölgedir. Dolaısıla bu bölge alnız azan bölge olduğundan anıt D dir. Yanıt D a Çemberin merkezi olan M(a,b) noktası = doğrusu üzerinde olduğundan a ve b nin işaretleri tersi işaretli olmak zorundadır. Seçenekler incelendiğinde a = 3 ve b = 3 olacak şekilde II. bölgede M( 3, 3) ve r = 3 br arıçaplı çember elde edilir. Dolaısıla çemberin denklemi ( + 3) + ( 3) = 9 dur. Yanıt D GEMETRİ

9 Konu Pekiştirme -. Merkezi, M( 3, 4) olan ve orijinden geçen çemberin denklemi aşağıdakilerden ) ( + 3) + ( 4) = 9 ) ( + 3) + ( 4) = 6 C) ( 3) + ( + 4) = 6 D) ( + 3) + ( 4) = 5 E) ( 3) + ( 4) = 5. Merkezi, M(, 3) olan ve eksenine teğet olan çemberin denklemi aşağıdakilerden ) ( ) + ( + 3) = 9 ) ( ) + ( + 3) = 4 C) ( ) + ( 3) = 9 D) ( + ) + ( + 3) = 4 E) ( + ) + ( 3) = = 0 doğrusunun eksenleri kestiği noktalar ve dir. una göre, [] çaplı çemberin denklemi aşağıdakilerden ) ( 3) + ( 4) = 9 ) ( 3) + ( 4) = 6 C) ( 3) + ( 4) = 5 D) ( + 3) + ( + 4) = 6 E) ( + 3) + ( + 4) = ( 3) = 9 denklemi ile verilen çember için aşağıdakilerden hangisi anlıştır? 3. Yarıçarı r birim olan ve eksenlere teğet olan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisi olamaz? ) ( r) + ( r) = r ) ( + r) + ( r) = r C) ( + r) + ( + r) = r D) ( r) + ( + r) = r E) + = r 7. ) Merkezi - ekseni üzerindedir. ) - eksenine teğettir. C) Yarıçapı 3 birimdir. D) Merkezi M(0, 3) noktasıdır. E) eksenine teğettir. 4. M( 4, 0) ( 8, 4) Merkezi ekseni üzerindeki M( 4, 0) noktası olan çemberin grafiği verilmiştir. Çember (, 0) noktasından geçmektedir. 6@ = 6@ ve ( 8, 4) olduğuna göre, [] çaplı çemberin denklemi aşağıdakilerden ) ( + 4) + = 6 ) ( + 5) + = 5 C) ( + 4) + = 5 D) ( + 8) + = 5 una göre, aşağıdakilerden hangisi anlıştır? ) Yarıçapı birimdir. ) = 6 doğrusuna teğettir. C) = doğrusuna teğettir. D) Çemberin orijine en uzak noktası 6 birim uzaklıktadır. E) = 3 doğrusu çemberi iki noktada keser. E) ( + 5) + = 6 5 Çemberin nalitiği

10 ÜNİTE ÖZETİ ) ÇEMERİN STNDRT DENKLEMİ b a M P(, ) Merkezi M(a, b), arıçapı r birim olan çemberin standart denklemi iki nokta arasındaki uzaklık formülünden ( a) + ( b) = r dir. ) MERKEZİL ÇEMER r M Merkezi orjinde olan çembere merkezil çember denir. r r Yani M(0, 0) ve arıçapı r birim olan çemberin r denklemi + = r dir. Yarıçapı birim olan merkezil çembere birim çember denir. Denklemi + = dir. 3) - EKSENİNE TEĞET LN ÇEMERİN DENKLEMİ 4) - EKSENİNE TEĞET LN ÇEMERİN DENKLEMİ r M Merkezi m(a, r) ve arıçapı r birim olan çemberin denklemi ( a) + ( r) = r dir. b M Merkezi M(r, b) ve arıçapı r birim olan çemberin denklemi ( r) + ( b) = r dir. a r 5) EKSENLERE TEĞET LN ÇEMERLERİN DENKLEMİ Merkezi M ( r, r) M (r, r). ölgede ( r) + ( r) = r, M (r, r). ölgede ( + r) + ( r) = r, M ( r, r) M 3 ( r, r) M 4 (r, r) 3. ölgede ( + r) + ( + r) = r, M 3 ( r, r) 4. ölgede ( r) + ( + r) = r, M 4 (r, r) 44 6) ÇEMERİN GENEL DENKLEMİ Merkezi M(a, b), arıçapı r birim olan çemberin denklemi ( a) + ( b) = r idi. u denklemde kare açılımlarını aparsak ( a) + ( b) = r + a b + a + b r = 0 a = D, b = E ve a + b r = F olsun. Dolaısıla genel denklem; + + D + E + F = 0 dır. Genel denklemi verilen çemberin, Merkezi Mc- D,- E m, arıçapı r = D + E -4Fdir. GEMETRİ 7) ÜÇ NKTSI İLİNEN ÇEMER DENKLEMİ C( 3, 3 ) (, ) (, ), ve C noktalarından geçen çember denklemini bulmak için noktalar tek tek + + D + E + F = 0 dekleminde erine azılarak D, E ve F katsaı bulunur ve çember denklemi oluşur.

11 CEMİ TEST. nalitik düzlemde, (, 3) noktasına birim uzaklıktaki noktaların geometrik er denklemi aşağıdakilerden ) ( ) + ( + 3) = ) ( ) + ( + 3) = m = 0 çemberinin arıçapı 3 birim olduğuna göre, m değeri kaçtır? ) ) C) 3 D) 4 E) 5 C) ( + ) + ( 3) = D) ( + ) + ( 3) = 4 E) ( ) + ( 3) = 4. (, ) noktasından geçen ve merkezi (0, 3) noktası olan çemberin denklemi aşağıdakilerden ) ( + ) + ( + ) = ) ( + ) + ( + ) = 6 C) + ( + 3) = D) + ( + 3) = 6 E) ( + 3) + = 6. nalitik düzlemde merkezi M(, 5) olup eksenine teğet olan çemberin denklemi aşağıdakilerden ) ( ) + ( + 5) = 5 ) ( ) + ( + 5) = 4 C) ( + ) + ( 5) = 5 D) ( + ) + ( + 5) = 5 E) ( + ) + ( 5) = = 0 çemberinin arıçapı kaç birimdir? ) ) C) 3 D) 4 E) K(, 3) ve L(3, ) noktaları bir çemberin üzerindeki en uzak iki nokta olduğuna göre, çemberin denklemi aşağıdakilerden ) ( + ) + ( ) = 8 ) ( + ) + ( 3) = 3 C) ( + ) + ( + ) = 8 D) ( ) + ( ) = 3 E) ( ) + ( ) = 8 7. ( 4, 0) (0, 6) ) ( + ) + ( + 3) = 5 ) ( + ) + ( + 3) = 3 C) ( ) + ( 3) = 5 D) ( ) + ( 3) = 3 E) ( + 4) + ( + 6) = 3 Şekildeki dik koordinat sisteminde, ( 4, 0), (0, 6) ve orijinden geçen çemberin denklemi aşağıdakilerden GEMETRİ

12 MTÖR TEST. Merkezi M(6, 3) olan çember = doğrusuna teğet olduğuna göre, bu çemberin çevresi kaç birimdir? ) 4 ) 8 C) 4r D) 8r E) 6r m = 0 denklemi bir sanal çember belirttiğine göre, m'nin alabileceği en küçük tam saı değeri kaçtır? ) ) C) 3 D) 4 E) 5. = + doğrusunun, + = 5 çemberi üzerinde aırdığı kirişi çap kabul eden çemberin arıçapı kaç birimdir? ) 7 ) 7 C) 7 D) 7 E) 7 6. (, ) noktası m = 0 çemberinin dış bölgesinde olduğuna göre, m'nin değer aralığı aşağıdakilerden ) ^9, 3h ) ^-3,9h C) ^6, 3h D) (9, 6) E) ^-3,6h 3. Merkezi = ve = 4 doğruları üzerinde olan ve (3, ) noktasından geçen çemberin denklemi aşağıdakilerden ) ( 4) + ( 4) = 6 ) ( 4) + = 6 C) ( 3) + ( + ) = 0 D) ( 3) + ( + ) = 6 E) ( 4) + ( 4) = 0 7. d M nalitik düzlemde bir çember, eksenini ( 0, 0) ve (, 0) noktalarında; eksenini (0, 4) noktasında kesmektedir. una göre, çemberin eksenleri kestiği noktaları köşe kabul eden dörtgenin alanı kaç br dir? ) 46 ) 48 C) 50 D) 5 E) 54 Yukarıdaki şekilde d doğrusu M merkezli çembere (, 4) noktasında teğettir. M merkezli çember - eksenine teğet olduğuna göre, sin(m ) değeri kaçtır? ) ) C) D) E) GEMETRİ

13 UZMN TEST. nalitik düzlemde verilen (b + ) + (a + b 6) + (a 3) 3 = 0 denklemi reel çember belirttiğine göre, a. b çarpımı kaçtır? ) 0 ) 9 C) 8 D) 6 E) 5 5. D C nalitik düzlemde verilen çember C doğrusuna ve - eksenine ve noktalarında teğettir. ( 3 +, 0), C(0, 3), D(, 0). nalitik düzlemde, ( ) + ( + 3) = 6 çemberinin 4 birim uzunluğundaki kirişlerinin orta noktalarının geometrik er denklemi aşağıdakilerden Yukarıdaki verilere göre, çemberin arıçapı kaç birimdir? ) 3 ) C) D) 3 E) ) ( + ) + ( 3) = ) ( 4) + ( + ) = 6 C) ( ) + ( + 3) = D) ( + 4) + ( + ) = 6 E) ( ) + ( + 3) = 9 3. ( 3, p) noktası arıçapı 4 birim olan, merkezi II. bölgede bulunan ve her iki eksene de teğet olan çemberin üzerinde olduğuna göre, p aşağıdakilerden hangisi olabilir? 6. ( + ) + ( ) = 4 çemberine üzerindeki noktalardan çizilen teğetlerin değme noktalarından birim uzaklıktaki noktaların geometrik eri aşağıdakilerden hangisi olabilir? ) 3 = ) ( + ) + ( ) = 3 C) ( + ) + ( ) = D) ( + ) + ( ) = E) 3 + = ) æ5 ) 4 æ5 C) æ5 D) + æ5 E) æ m = 0 denklemi reel çember belirtmediğine göre, m'nin alabileceği değer aralığı aşağıdakilerden ) [ 4, 4] ) " 4, 4, C) ( 4, 4) D) [ 3, 3] E) ( 3, 3) = 0 çemberinin P(, 3 3) noktasından geçen en kısa kirişini üzerinde bulunduran doğrunun denklemi aşağıdakilerden ) = 0 ) = C) = 0 D) = 3 E) = 3 3 GEMETRİ

14 PRFESYNEL TEST. 4 T 4 d Şekildeki d ve d doğrularının kesim noktası çemberin merkezidir. 4. C D M(3,0) E 8 d Çember T noktasında - eksenine teğet olduğuna göre, denklemi aşağıdakilerden ) ( 3) + ( + ) = 4 ) ( 3) + ( + ) = C) ( ) + ( + 3) = 9 D) ( + 3) + ( ) = 4 E) ( + ) + ( 3) = 9 Yukarıdaki şekle göre ( - 3) + 9 eşitsizlik sistemini sağlaan (, ) ikililerine karşılık gelen noktalardan biri aşağıdakilerden ) ) C) C D) D E) E. M(3,0) ve M merkez olmak üzere, dik koordinat sisteminde verilen çember denklemlerine göre, taralı bölgei gösteren eşitsizlik sistemi aşağıdakilerden ) + < 9 ) + 9 ( 3) + < 9 ( 3) Dik koordinat sisteminde dört adet birim çember eksenlere teğettir. una göre bu çemberlere teğet olan en büük çemberin arıçapının en küçük çemberin arıçapına oranı kaçtır? ) + ) + C) + C) + 9 D) + 9 ( 3) + 9 ( 3) + 9 D) + E) E) + 9 ( 3) = 0 denklemi ile verilen çemberin merkezinin, m + (m + ) 6 = 0 doğrularına göre simetriklerinin geometrik er denklemi aşağıdakilerden ) ( + ) + ( 3) = 36 ) ( + 6) + ( 6) = 5 C) ( + ) + ( 3) = 5 D) ( + 6) + ( 6) = 36 E) ( 6) + ( + 6) = 5 6. Şekildeki çemberlerin III I denklemleri E D I = 0 C II. F = 0 G III = 0 II olduğuna göre, (0, 0), P(3, ) ve K(, ) noktaları harflerle belirlenen bölgelerden hangilerinde bulunur? ), C ve E ), C ve D C), F ve G D), ve C E), D ve G GEMETRİ

15 ÖSYM den SEÇMELER. Dik koordinat düzleminde birinin merkezi (,0) noktası, diğerinin merkezi ise (0,9) noktası olan iki çember sadece (4,6) noktasında kesişmektedir. u çemberlerin orijine en akın olan noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? ) 5 ) æ0 C) æ3 D) 5 E) æ0 08 / YT. Dik koordinat düzleminde, + = 6 çemberinin 6 birim uzunluğundaki kirişlerinin orta noktalarının geometrik er denklemi aşağıdakilerden ) + = ) + = 4 C) + = 7 D) + = 0 E) + = 3 06 / LYS 3. Dik koordinat düzleminde merkezleri sırasıla (9, 0) ve (3, 0) noktaları olan ve orijinden geçen iki çember verilior. Sonra; büük çemberin küçük çembere teğet ve eksenine paralel olan kirişi çizilior. u kirişin uzunluğu kaç birimdir? ) 8 ) 0 C) D) E) 4 05 / LYS 5. Dik koordinat düzleminde, = 3 ve = 4 doğrularının + = 5 çemberini kestiği noktaları köşe kabul eden kirişler dörtgeninin alanı kaç birim karedir? ) 4 ) 48 C) 49 D) 50 E) / LYS 6. Dik koordinat düzleminde, merkezi = doğrusu üzerinde olan bir çemberin eksenini kestiği noktalar arasındaki uzaklık 3 birim olduğuna göre, bu çemberin çevresi kaç birimdir? ) r ) 3 r C) 5 r 7. = + = + 0 D) 3 r E) 3r 0 / YGS parabollerinin kesim noktalarını birleştiren doğru parçalarını çap kabul eden çemberin denklemi aşağıdakilerden ) 9 ( ) + ( ) = 4 ) 5 ( + ) + ( 4) = 4 C) 9 ( + ) + ( + 4) = 4 D) 9 ( ) + ( ) = 4 4 E) 5 ( + ) + ( + ) = / LYS 8. Merkezi (3, 4) noktası ve arıçapı 4 birim olan çembere dıştan teğet olan 3 birim arıçaplı çemberlerin merkezlerinin geometrik erinin denklemi aşağıdakilerden = ( ) parabolü ile ( ) + ( a) = 9 çemberi üç farklı noktada kesişior. una göre, a kaçtır? ) ) 3 C) 4 D) 5 E) 6 04 / LYS ) + ( 4) = 6 ) ( 3) + = 36 C) ( 3) + ( ) = 6 D) ( 3) + ( 4) = 9 E) ( 3) + ( 4) = 49 0 / LYS GEMETRİ

16 DÖNÜŞÜMLERLE GEMETRİ ÖLÜM DÖNÜŞÜMLERLE GEMETRİ KNUSUNUN ÖSYM SINVLRINDKİ SRU DĞILIMI YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS YGS LYS TYT YT

17 KNU Öteleme Dönüşümü Düzlemde bir nesnee ait tüm noktaları bir erden başka bir ere belirli bir ön ve doğrultuda taşıma işlemine öteleme dönüşümü denir. nalitik düzlemde (a,b) noktasının ekseni bounda pozitif önde sağa k birim ötelenmesi '(a + k, b) ile bulunur. ekseni bounca negatif önde sola k birim ötelenmesi '(a k, b) ile bulunur. ekseni bounca pozitif önde ukarı k birim ötelenmesi '(a, b + k) ile bulunur. ekseni bounca negatif önde aşağı k birim ötelenmesi '(a, b k) ile bulunur. azı temel öteleme dönüşümleri ' C' C D C ' D' C' ' ' Denklemi verilen bir fonksiona öteleme dönüşümü apılırken; ekseni bounca k birim sağa ötelenmesi isteniliorsa, denklemde erine k azılır. ekseni bounca k birim sola ötelenmesi isteniliorsa, denklemde erine + k azılır. ekseni bounca k birim ukarı (pozitif önde) ötelenmesi isteniliorsa, denklemde erine k azılır. ekseni bounca k birim aşağı (negatif önde) ötelenmesi isteniliorsa, denklemde erine + k azılır. 68 GEMETRİ

18 Standart Sorular ve Çözümleri 0. nalitik düzlemde (, 3) noktasının ekseni bounca pozitif önde 5 birim, ekseni bounca pozitif önde birim ötelenmesi ile elde edilen nokta aşağıdakilerden ) (8, ) ) (4, 3) C) ( 7, ) D) (3, 4) E) (, 7) 0. 3 (3, 4) noktasına aşağıdaki ötelemelerden hangisi ugulanırsa '(, ) noktası elde edilir? ) ekseni bounca negatif önde 5 birim ekseni bounca negatif önde 3 birim ) ekseni bounca pozitif önde 5 birim ekseni bounca pozitif önde 3 birim (- 3, ) + ( 5, ) = (- + 5, 3+ ) = ( 34, ) tür. Yanıt D C) ekseni bounca negatif önde 5 birim ekseni bounca pozitif önde 3 birim D) ekseni bounca pozitif önde 5 birim ekseni bounca negatif önde 3 birim E) ekseni bounca negatif önde 3 birim ekseni bounca negatif önde 5 birim 0. nalitik düzlemde ( 3, ) noktasının ekseni bounca 7 birim sağa ve ekseni bounca 4 birim ukarı ötelenmesi sonucunda elde edilen nokta aşağıdakilerden ) (5, ) ) (4, 6) C) (4, ) D) (, 4) E) (5, ) noktasının apsisi 3 ve ' noktasının apsisi olduğundan; 3 + a = a = 5 tir. noktası, ekseni bounca negatif önde 5 birim ötelenmiş demektir. noktasının ordinatı 4 ve ' noktasının ordinatı olduğundan; 4 + b = Ş b = 3 tür. ' noktası ekseni bounca negatif önde 3 birim ötelenmiş demektir. Yanıt 0. 4 "(4, ) ( 4, 5) noktasının ekseni bounca negatif birim önde art arda üç defa 3 birim ötelenmesi sonucu elde edilen noktanın koordinatları toplamı kaçtır? 7 birim ' ) ) 5 C) 6 D) 8 E) 0 ( 3, ) noktası ekseni bounca 7 br sağa ötelenirse elde edilen nokta; '( 3 + 7, ) = '(4, ) olur. '(4, ) noktası ekseni bounca 4 birim ukarı ötelenirse; ''(4, + 4) = ''(4, ) noktası elde edilir. Yanıt C noktası. kez ötelenirse; '( 4 3, 5) = '( 7, 5) elde edilir. ' noktası tekrar ötelenirse ''( 7 3, 5) = ''( 0, 5) elde edilir. '' noktası son kez ötelenirse '''( 0 3, 5) = ''( 3, 5) noktası elde edilir. Koordinatları toplamı = 8 olur. Yanıt D 69 Dönüşümlerle Geometri

19 ÖSYM Tarzı Sorular ve Çözümleri = 0 doğrusunun eksenleri kestiği noktalar K ve L; + = 0 doğrusunun - eksenini kestiği nokta M dir. una göre KLM üçgeninin diklik merkezinin koordinatlarının (0, 0) olabilmesi için KLM üçgenine aşağıdaki ötelemelerden hangisinin ugulanması gerekir? ) ekseni bounca pozitif önde br ekseni bounca pozitif önde br ) ekseni bounca pozitif önde br C) ekseni bounca negatif önde br D) ekseni bounca pozitif önde br E) ekseni bounca negatif önde br = 0 için = + = 0 = 0 için = C Yukarıdaki şekilde verilen C dörtgeninin köşesine aşağıdaki ötelemelerden hangisi ugulanırsa 'C dörtgeni bir amuk olur? ) ekseni bounca negatif önde 3 birim ) ekseni bounca pozitif önde 3 birim C) ekseni bounca pozitif önde 3 birim D) ekseni bounca negatif önde 3 birim E) Hem hem de eksenleri bounca negatif önde 3 birim = 0 için = + = 0 = 0 için = Doğruların grafiklerini çizelim. C ' K M L Doğruların eksenleri kestiği noktalar ile oluşan KLM üçgeninde m(kapple) = 90 olduğundan diklik merkezi K(0, ) olan noktasıdır. u noktanın orijin olabilmesi için KLM üçgeninin - ekseni bounca birim aşağı ötelenmesi gerekir. Yanıt C 'C dörtgeninin amuk olabilmesi için [] // ['C] olmalıdır. [] // ['C] olacağından eğimleri eşittir. Yani m = m 'C dir. m = Dike Yata = 6 = 3 olur. m = C ' 3 olacağından m = Dike k Yata = C ' 3k olacaktır. noktası 3 birim aşağı ötelendiğinde m = C ' 3 olur. Dolaısıla noktası ekseni bounca negatif önde 3 birim aşağı ötelenmelidir. Yanıt 7 Dönüşümlerle Geometri

20 Konu Pekiştirme -. (k,) noktasının ekseni bounca pozitif önde birim ve ekseni bounca negatif önde 5 birim ötelenmesi sonucunda oluşan nokta ekseni üzerinde olduğuna göre, k kaçtır? ) 3 ) C) D) E) 3 4. Köşelerinin koordinatları (, ), (3, ) ve C(, 5) olan C üçgeni, ekseni bounca negatif önde br ve ekseni bounca pozitif önde br ötelenerek ' ' C' üçgeni elde edilior. una göre, ' ' C' üçgeninin köşelerinin ordinatlar toplamı kaçtır? ) ) 0 C) D) E) nalitik düzlemde ekseni ekseni bounca D(3,6) C(k,8) (5,t) birim ukarı ötelenerek ekseni, ekseni ise ekseni bounca birim sağa ötelenerek ekseni elde edilior. (,) 3 5 una göre, düzlemindeki koordinatları (3, 3) olan noktanın ' ' düzlemindeki koordinatları aşağıdakilerden ) (0, ) ) (6, ) C) (3, ) Yukarıdaki şekilde verilen CD paralalkenarının ağırlık merkezinin orijin olabilmesi için bu paralelkenara aşağıdaki ötelemelerden hangisinin ugulanması gerekir? D) (, 5) E) (, 6) ) ve eksenleri bounca negatif önde sırasıla 3 br ve br ) ve eksenleri bounca negatif önde sırasıla br ve 6 br C) ve eksenleri bounca negatif önde sırasıla 6. (4, 0) D(4, 5) (6, 0) E G 4 br ve 5 br D) ve eksenleri bounca negatif önde sırasıla C(4, 4) 5 br 7 E) ve eksenleri bounca negatif önde sırasıla 4 br ve 7 br 3. f() = + 3 parabölü ile bu parabolün ekseni bounca negatif önde 4 birim ve ekseni bounca negatif önde birim ötelenmesi ile oluşan parabolün tepe noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? ) 3 ) 4 C) 6 D) æ7 E) æ3 Yukarıdaki koordinat düzlemindeki G ükü, uzunluğu sabit bir ip ile noktasında bulunan, büüklüğü önemsiz bir makara ardımıla asılıor. İpin başlangıç noktası C noktası iken, C noktası D noktasına ötelenior. una göre, son durumda E noktasına aşağıdaki ötelemelerden hangisi ugulanmış olur? ) ekseni bounca negatif önde br ) ekseni bounca negatif önde 0 br C) ekseni bounca negatif önde 3 br D) ekseni bounca negatif önde 7 br E) ekseni bounca negatif önde 8 br GEMETRİ

21 ÜNİTE ÖZETİ ÖTELEME DÖNÜŞÜMÜ nalitik düzlemde (,) noktasının ekseni bounca pozitif önde a birim ötelenmiş hali '( + a, ) noktasıdır. nalitik düzlemde (, ) noktasının ekseni bounca negatif önde a birim ötelenmiş hâli '( a, ) noktasıdır. nalitik düzlemde (, ) noktasının ekseni bounca pozitif önde b birim ötelenmiş hâli '(, + b) noktasıdır. nalitik düzlemde (, ) noktasının ekseni bounca negatif önde b birim ötelenmiş hâli '(, b) noktasıdır. YNSIM DÖNÜŞÜMÜ Düzlemde noktasının noktasına göre ansıması S () ansıma dönüşümü ile ifade edilir. (, ) noktasının (a, b) noktasına göre ansıması '(a, b ) dir. rijine göre ansıması '(, )dir. (, ) noktasının eksenine göre ansıması '(, ) eksenine göre ansıması '(, ) DÖNME DÖNÜŞÜMÜ (, ) noktasının orijin etrafında pozitif önde a açısı kadar dönmesi R (,) a = (. Cosa. Sina,. Sina +. Cosa) dır. = a doğrusuna göre ansıması '(a, ) = b doğrusuna göre ansıması '(, b ) = doğrusuna göre ansıması '(, ) = doğrusuna göre ansıması '(, ) R 90 (, ) = (, ) R 80 (, ) = (, ) R 70 (, ) = (, ) (R a o R q ) (, ) = R a + q (, ) dir. a + b + c = 0 doğrusunun (, ) noktasına göre ansıması a.( ) + b ( ) + c = 0 dır. 96 GEMETRİ

22 TEST CEMİ. (5, ) noktasının orijin etrafında pozitif önde 90 döndürülmesi ile elde edilen noktanın koordinatları aşağıdakilerden ) (, 5) ) (5, ) C) (, 5) D) (, 5) E) ( 5, ) 5. nalitik düzlemde köşelerinin koordinatları (4, 3), (, 5) ve C(k, ) olan C üçgeninin orijin etrafında pozitif önde 80 döndürülmesi ile elde edilen ''C' üçgeninin ağırlık merkezi ekseni üzerinde olduğuna göre, k kaçtır? ) 4 ) 3 C) D) E) 3. nalitik düzlemde K(m, n) noktasının ekseni bounca 4 birim sola, ekseni bounca 3 birim ukarı ötelenmesi sonucu oluşan nokta L( 6, 5) olduğuna göre, m. n çarpımı kaçtır? ) 6 ) 5 C) 9 D) 4 E) 6. (, ) noktasının = 0 doğrusuna göre ansıması + + 3p = 0 doğrusu üzerinde olduğuna göre, + + 3p = 0 doğrusunun eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır? ) 3 ) C) 3 D) E) nalitik düzlemde (4, 0) noktasının R () 0 dönüşümü altındaki görüntüsü aşağıdakilerden ) (, 3) ) ( 3, ) C) ( 3, ) D) (, 3) E) ( 3, ) 7. (3, k) noktasının (0, ) noktasına göre ansıması ile elde edilen nokta ekseni üzerinde olduğuna göre, k kaçtır? ) ) C) 0 D) E) 4. (, 5) noktası orijin etrafında pozitif önde 30 derece döndürüldükten sonra orijin etrafında negatif önde 40 daha döndürülüor. Elde edilen nokta aşağıdakilerden ) (, 5) ) (5, ) C) ( 5, ) D) ( 5, ) E) (5, ) 8. (5, ) noktasının orijine göre ansıması, noktasının = 0 doğrusuna göre ansıması C noktası olduğuna göre, C kaç br dir? ) 3 ) 3 C) 5 D) 6 E) 5 97 Dönüşümlerle Geometri

23 TEST MTÖR. ( 3, 4) noktasının ekseni bounca pozitif 5. önde 4 br ve ekseni bounca negatif önde 3 br ötelendikten sonra elde edilen noktanın D C R 90 dönme dönüşümü altındaki görüntüsü analitik düzlemde kaçıncı bölgededir? ) I. ölge ) II. ölge C) III. ölge ( 3, 0) D) IV. ölge E) rijin =. Şekildeki CD karesinin D köşesi orijin etrafında pozitif önde 90 döndürülürse aşağıdaki D C(6, ) noktalardan hangisi elde edilir? (, 4) (6, 4) ) ( 6, 3) ) ( 3, 6) C) (3, 6) D) ( 6, 3) E) ( 3, 6) 6. (3, 4) Yukarıda koordinat düzleminde verilen CD dikdörtgeninin köşesi orijine ötelendiğinde elde edilen eni dikdörtgenin simetri merkezi aşağıdakilerden ) ( 4, 3) ) (, 4) C) ( 3, 4) (4, 3) D)( 3, ) E) ( 4, ) 3. (, ) noktasının = doğrusuna göre ansıması, = doğrusuna göre ansıması C olduğuna göre, C uzunluğu kaç birimdir? ) 3 ) æ5 C) 4 D) 5 E) 6 Yukarıdaki koordinat düzleminde verilen üçgeni için aşağıdakilerden hangisi anlıştır? ) üçgeni ikizkenardır. ) ve noktaları = doğrusuna göre simetriktir. C) noktası orijin etrafında pozitif önde 90 döndürülürse ( 3, 4) noktası elde edilir. D) noktası ve eksenleri bounca negatif önlerde sırasıla 3 br ve 4 br ötelenirse orijin elde edilir. E) [] ve [] i taşıan doğruların eğimleri çarpımı dir. 4. (k, ) noktasının orijin etrafında negatif önde 90 döndürülmesile elde edilen nokta = 0 doğrusu üzerinde olduğuna göre, k kaçtır? ) ) C) 0 D) E) = 0 doğrusunun (, k) noktasına göre ansıması olan doğru orijinden geçtiğine göre, k kaçtır? 5 ) 0 ) C) D) E) Dönüşümlerle Geometri

24 TEST UZMN. (0,7) 4. = = V C 7 3 IV I III II Yukarıdaki koordinat düzleminde verilen C üçgeni ekseni bounca pozitif önde 3 br ve ekseni bounca pozitif önde br ötelendiğinde I. bölgede kalan alanın II. bölgede kalan alana oranı kaç olur? ) ) C) D) E) Yukarıdaki şekilde = ve = doğrularının grafikleri verilmiştir. ( 3, ) noktasının = doğrusuna göre ansıması grafikteki bölgelerden hangisinde bulunur? ) I ) II C) III D) IV E) V. 5. Verilen bir C eşkanar üçgeni için aşağıdaki adımlar izlenior. I. dım: [C] kenarı üzerinde m( D) = olarak şekilde D noktası alınıor. (4, 0) (4, 4) II. dım: D üçgeninin [D] doğru parçası bounca ansıması alınarak D üçgeni elde edilior. III. dım: 6C@ + = " E, işaretlenior. una göre, m(e C) kaç derecedir? Yukarıdaki koordinat düzleminde verilen [] doğru parçası orijin etrafında pozitif vea negatif önde en az kaç derece döndürülürse ekseni ile ortak bir noktası olur? ) 5 ) 45 C) 60 D) 90 E) ) ) 04 C) 96 D) 88 E) 8 (, ) G (3, 4) C(, 6) 3. Dik koordinat sisteminde ağırlık merkezi orijinde bulunan ve bir köşesinin koordinatları (, ) olan karenin orijin etrafında 90 döndürülmesi ile karenin tüm köşelerinin aldığı toplam ol kaç birimdir? ) 4 ) C) 4p D) p E) 4p Şekildeki C üçgeninde G ağırlık merkezidir. G noktasının noktasına göre ansıması ' G noktasının noktasına göre ansıması ' G noktasının C noktasına göre ansıması C' olduğuna göre, ''C' üçgeninin alanı kaç birimkaredir? ) 8 ) 0 C) D) 4 E) 6 03 Dönüşümlerle Geometri

25 TEST PRFESYNEL. 4. (5, 4) C N = E ( 4, 3) K L D M K Koordinat düzleminde ekseni üzerinde değişken bir K noktası ve = doğrusu üzerinde değişken bir N noktası alınıor. (5, 4) ve ( 4, 3) olduğuna göre, K + KN + N toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır? ) 6 ) 9 C) D) 9 E) 5 Yukarıda birim karelere arılmış analitik düzlemde noktasının = 3 doğrusuna göre ansıması, = doğrusuna göre ansıması C noktasıdır. una göre, düzlemin orijini aşağıdakilerden ) ) E C) K D) L E) M. Düzlemde (3, ) ve (3, 6) olmak üzere, [] doğru parçası orijin etrafında 80 döndürülerek görüntüsü olan [' '] doğru parçası elde edilior. una göre, '' dörtgenin alanı kaç br dir? ) ) 6 C) 8 D) 0 E) 4 5. Koordinat düzleminde (5, 8) ve (, 3) noktaları verilior. noktasının noktası etrafında negatif önde 90 döndürülmesile elde edilen nokta aşağıdakilerden 3. C ) (3, 4) ) (3, ) C) (, 4) D) (4, 3) E) (3, 3) 6 Koordinat düzleminde alanı 48 br olan C dikdörtgeni ekseni bounca negatif önde 4 br ve ekseni bounca pozitif önde br ötelenerek '''C' dikdörtgeni elde edilior. una göre, oluşan arakesitin alanı kaç br dir? ) 9 ) 0 C) D) 5 E) 8 6. nalitik düzlemde verilen ( 3, 5) noktası orijin etrafında negatif önde 30 döndürüldükten sonra dik koordinat sistemi de pozitif önde 60 döndürülüor. una göre, son durumda elde edilen noktanın eni koordinat düzlemindeki koordinatları aşağıdakilerden ) (3, 5) ) (5, 3) C) ( 5, 3) D) ( 5, 3) E) (3, 5) 07 Dönüşümlerle Geometri

26 ÖSYM den SEÇMELER. Dik koordinat düzleminde köşe noktalarının koordinatları (, ), (, ), C(, ), D(,) olan CD karesi aşağıda verilmiştir, 4. P(a,) 0 u karee sırasıla orijin etrafında saat önünün tersine 45 döndürme, -eksenine göre ansıma, orijin etrafında saat önünde 45 döndürme dönüşümleri ugulanıor. Son durumda bu karenin koordinatları değişmeen köşe noktaları aşağıdakilerden ) ve ) ve C C) ve D D) ve C E) C ve D Dik koordinat düzleminde verilen P(a, ) noktasıla orijini birleştiren doğru parçası şekilde gösterilmiştir. P noktasının = a doğrusuna göre simetriği olan R noktası işaretlenior. % una göre, PR açısının ölçüsü kaç derecedir? ) 80 ) 90 C) 00 D) 0 E) / LYS 08 / YT. Dik koordinat düzleminde (6, 3) noktasının = doğrusuna göre simetriği olan noktası işaretlenior. rdından noktasının = doğrusuna göre simetriği C noktası işaretlenior. una göre C noktasının koordinatları toplamı kaçtır? ) 5 ) 4 C) 3 D) E) 06 / LYS 5. Eşit alanlı R, S ve T üçgensel kartonları aşağıdaki gibi dik koordinat düzlemine erleştirilior. R S T 3. Dik koordinat düzleminde (0, ), (4, ), ve (4, 4) noktalarında bulunan üç karınca birer doğrultu seçip anı anda ve eşit hızlarla ürümee başlıor. ir süre sonra bu üç karınca anı anda bir P noktasında buluşuor. una göre, P noktasının koordinatları toplamı kaçtır? ) 3 ) 4 C) 5 D) 6 E) 7 06 / LYS u kartonlar, koordinat düzleminde kalacak biçimde noktası etrafında 360 döndürülüor. Kartonların taradıkları bölgelerin alanları sırasıla R, S ve T olduğuna göre, bunlar arasındaki ilişki aşağıdakilerden hagisidir? ) R < T < S ) R < S = T C) R = T < S D) R < S < T E) R = S = T 04 / LYS 09 "ÖSYM'den Seçmeler"