ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BLEIMANN, BUTZER VE HAHN OPERATÖRÜNÜN BAZI ÖZELLİKLERİ.

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BLEIMANN, BUTZER VE HAHN OPERATÖRÜNÜN BAZI ÖZELLİKLERİ Dile SÖYLEMEZ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 009 Her haı salıdır

2 ÖZET Yüse Lisas Tezi BLEIMANN, BUTZER VE HAHN OPERATÖRÜNÜN BAZI ÖZELL IKLER I Dile SÖYLEMEZ Aara Üiversiesi Fe Bilimleri Esiüsü Maemai Aabilim Dal Da şma: Doç.Dr. Güle TUNCA Bu ez dör bölümde oluşmaad r. Il bölüm giriş sm a ayr lm ş r. Iici bölümde, ez içide ulla laca emel avramlar verilmişir. Üçücü bölümde, Öce C B [0; ) uzay bir al uzay ola H! uzay a mla p Bleima, Buzer ve Hah operaör dizisii H! uzay dai osiyolar içi [0; ) aral ¼g da düzgü ya sal ¼g icelemişir. Daha sora bu operaörü ye göre mooolu¼gu bölümüş arlar yard m yla verilmişir. Dördücü bölümde, q- amsay s a dayal Bleima, Buzer ve Hah operaorlerii a m verilip bu operaör dizisii düzgü ya sal ¼g icelemişir, ayr ca yalaş m h z ; öce osiyou sürelili modülü ile, ard da, Lipschiz ipli masimal osiyolar uzay dai osiyolar içi hesaplam ş r. So olara operaörü ye göre mooolu¼gu verilmişir. Temmuz 009, 55 saya Aahar Kelimeler : Lieer pozii operaör, Bleima Buzer ve Hah operaörü, Sürelili modülü, Bölümüş arlar, Korovi eoremi. i

3 ABSTRACT Maser Thesis SOME PROPERTIES OF THE BLEIMANN, BUTZER VE HAHN OPERATOR Dile SÖYLEMEZ Aara Uiversiy Graduae School o Naural Ad Applied Scieces Deparme o Mahemaics Supervisor: Ass. Pro. Dr. Güle TUNCA This hesis cosiss o our chapers. The rs chaper is devoed o he iroducio. The secod chaper, basic coseps which will be used i urher chapers are give. I he hird chaper, previously, H! space which is a subspace o C B [0; ) has bee de ed, laer, uiorm covergecy o he sequece o Bleima, Buzer ad Hah operaors o [0; ) or hose ucios belogig o H! space is ivesigaed. Moreover moooiciy o BBH operaor has bee obaied wih he help o divided di ereces. I he las chaper, he de iio o Bleima, Buzer ve Hah operaor based o q-ieger has bee give, moreover uiorm covergecy o he sequece o hese operaors has bee eamied, moreover, he rae o covergece has bee calculaed rsly, by meas o modulus o coiuiy o he ucio ad subsequely, or he ucios i he space o Lipschiz ype maimal ucios. Fially moooiciy o he operaor wih respec o has bee give. July 009, 55 pages Key Words: Liear posiive operaor, Bleima Buzer ad Hah operaor, Modulus o coiuiy, Divided di ereces, Korovi s heorem. ii

4 TEŞEKKÜR Bu çal şma ousuu baa vere ve araş rmalar m her aşamas da e ya ilgi ve öerileriyle bei yöledire da şma hocam, Say Doç. Dr. Güle TUNCA (Aara Üiversiesi Fe Faülesi) ya e içe sayg ve mielerimi suar m. Çal şmalar m esas da ö¼gredi¼gim bilgiler üm ariyerim boyuca baa ş uaca r. Haal çal şmalar m zda bulua ve bilgileride aydalad ¼g m hocalar m Say Yrd. Doç. Dr. H. Gül ILARSLAN(Gazi Üiversiesi Fe Faülesi) a ve Say Doç. Dr. Fama YEŞ ILDAL(Aara Üiversiesi Fe Faülesi) a ve baa her zama dese ola aileme e içe eşeürlerimi suar m. Bu ez çal şmas "TÜB ITAK-0 Yüse Lisas Burs Program " ara da deselemişir. TÜB ITAK a e içe eşeürlerimi suar m. Dile SÖYLEMEZ Aara, Temmuz 009. iii

5 IÇ INDEK ILER ÖZET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR iii S IMGELER D IZ IN I v. G IR IŞ TEMEL KAVRAMLAR Lieer Pozii Operaör Korovi Teoremi Lipschiz S Sürelili Modülü Bölümüş Farlar BLEIMANN, BUTZER VE HAHN OPERATÖRLER I 4 3. BBH Operaörlerii Ta m 4 3. H! Uzay BBH Operaör Dizisii Düzgü Ya sal ¼g BBH Operaörlerii Mooolu Özelli¼gi q-tamsayisina DAYALI BLEIMANN, BUTZER VE HAHN OPERATÖRLER I q-bbh Operaörleri q-bbh Operaör Dizisii Düzgü Ya sal ¼g Sürelili Modülü Fosiyou ile Yalas m H z Lipschiz Tipli Masimal Fosiyolar Uzay da..... Yalaş m H z q- BBH Operaörlerii Mooolu Özelli¼gi KAYNAKLAR ÖZGEÇM IŞ iv

6 S IMGELER D IZ IN I C [a; b] [a; b] aral ¼g dai süreli, reel de¼gerli osiyolar uzay. C B [0; ) [0; ) aral ¼g dai s rl, süreli reel de¼gerli osiyolar uzay.!(; ) osiyouu sürelili modülü. N do¼gal say lar ümesi R reel say lar ümesi L (; ) yici BBH operaörü L ;q (; ) yici q BBH operaörü d (; E) oas E ümesie uzal ¼g L (; ) L operaörüü osiyoua uygulamas. Lip M () Lipschiz s. [ 0 ; ;:::; ; ] osiyou 0 ; ;:::; p oalar dai -yici bölümüş ar. v

7 . G IR IŞ Bleima, Buzer ve Hah (980), [0; ) aral ¼g da a ml, reel de¼gerli osiyolar içi lieer pozii L operaörlerii L (; ) ( + ) şelide a mlam şlard r. 0 + ; N, [0; ) Bu operaörü [0; ) aral ¼g da düzgü ya sal ¼g, C B [0; ) uzay bir al s dai osiyolar içi Gadjiev ve Çaar (999) elde emişlerdir. Bir ço lieer pozii operaör dizisii, oves osiyolar içi mooo azalara ya sa oldu¼gu bilimeedir. (Bu do¼gruluda, e ve ço de¼gişeli operaörler içi, öre¼gi Cheey ve Sharma (964) ve Cao, Dig ve Xu (005) u çal şmalar a ba labilir). Bleima, Buzer ve Hah (BBH) operaörlerii s rl ve oves osiyo içi ye göre mooolu¼guu Della Vecciha (99) icelemişir. So zamalarda Philips (997), Bersei poliomlar q-amsay lara dayal geelleşirmesii işa emiş ve bu operaörler içi, yalaş m eorisii baz lasi problemlerii icelemişir. Aral ve Do¼gru (007) Bleima, Buzer ve Hah operaörlerii q-geelleşirmesii a mlam şlar (q-bbh) ve Gadjiev ve Çaar (999) çal şmas bu operaörlere geişlemişlerdir. q-bbh operaörlerii ye göre mooolu¼guu Do¼gru ve Gupa (005) gösermişlerdir. Bu ezde, BBH ve q-bbh operaör dizilerii yuar da bahsei¼gimiz; düzgü ya sama, mooolu gibi özellilerii iceleyece¼giz. Yuar dai çal şmalara e olara, Bleima, Buzer ve Hah operaörleri ile ilgili aşa¼g dai öemli çal şmalar aya olara verebiliriz. (999) Adell, De la Cal ve Sa Miguel(994), Kha (988), Abel, Iva

8 . TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde öcelile lieer pozii operaörler a laca ve sa¼glad ¼g emel özelliler iceleeceir. Ayr ca daha sorai bölümlerde ulla laca ola baz a mlar verilip, Korovi eoremi iade ve ispa edileceir.. Lieer Pozii Operaör Ta m... X ve Y lieer osiyo uzaylar olma üzere L : X! Y şelidei L operaörü e¼ger, her ; g X ve her ; R içi L ( + g) L () + L (g) eşili¼gii sa¼gl yorsa L ye lieer operaör deir. Şimdi, I reel esei bir aral ¼g gösersi. I da a ml, reel de¼gerli üm osiyolar uzay F (I) ile göserelim. X, F (I) i lieer bir al uzay olma üzere L : X! F (I) lieer operaörüü X, I içi L (; ) (L ()) () olara yazaca¼g z ve L içi aşa¼g dai a m ve ard da L i emel özellilerii gösere ii emel lemmay verece¼giz. Ta m... Her X içi 0 ie L () 0 oluyorsa L ye pozii operaör deir.

9 L, ay zamada lieerli şar da sa¼gl yorsa L ye lieer pozii operaör deir. Lemma... L Lieer pozii operaörü, ; g X içi g ie L () L (g) eşisizli¼gii gerçeler. Ispa: ; g X içi g oldu¼guu abul edelim. Bu durumda g 0 olaca¼g da ve L operaörü pozii oldu¼guda L (g ) 0 (..) yaz labilir. Di¼ger araa L operaörü lieer oldu¼guda L (g ) L (g) L () olup buu (::) de ulla lmas yla ispa amamla r. Lemma... L lieer pozii operaörü; ; jj X içi jl ()j L (jj) eşisizli¼gii gerçeler. Ispa: Herhagi bir osiyou içi jj jj (..) 3

10 gerçeleir. Lemma.. ve (::) de L ( jj) L () L (jj) (..3) yaz labilir. L lieer oldu¼guda L ( jj) L (jj) gerçeleir. So eşili¼gi (::3) de ulla lmas yla L (jj) L () L (jj) elde edilir, böylece jl ()j L (jj) oldu¼guda ispa amamla r. Çal şma boyuca, C [0; ) ve C B [0; ), s ras ile C [0; ) : [0; )! R, sürelig ve C B [0; ) C [0; ) : s rl g uzaylar gösereceir. C B dei orm, CB sup j ()j 0 ile verilebilir. Teorem... C [a; b] uzay elemalar da oluşa bir g dizisii ay uzay bir elema a C [a; b] uzay da ya samas içi gere ve yeer oşul g dizisii ye [a; b] aral ¼g da düzgü ya samas d r. 4

11 Şimdi, bir yo¼gulu eoremi ola aşa¼g dai eoremi verelim.. Korovi Teoremi L g, C [a; b] de C [a; b] ye gide lieer pozii operaörleri bir dizisi olma üzere, i 0; ; içi lim L i ; i (..)! ya samas [a; b] de düzgü olsu. Bu durumda her C [a; b] içi lim L (; ) ()! ya samas [a; b] aral ¼g da düzgüdür. Ispa: [a; b] de süreli oldu¼guda düzgü süreli ve s rl d r. pozii say s a arş l j j Bu durumda her ie j () ()j < olaca şeilde bir () say s vard r. j j > oldu¼guda ise s rl oldu¼guda ve üçge eşisizli¼gide, M pozii sabi olma üzere, j () ()j j ()j + j ()j M (..) yaz labilir. Di¼ger araa e¼ger, j j > ise j j > 5

12 olaca¼g da sa¼gla r. (::) ve (::3) de ( ) > (..3) ( ) j () ()j M yaz labilir. Bu durumda j j içi j () ()j < ( ) j j > içi j () ()j M elde edilir. Dolay s yla her R ve her [a; b] içi ( ) j () ()j + M (..4) gerçeleir. E¼ger, (::) oşullar sa¼glaya L g operaör dizisii lim L ()! C[a;b] 0 limiii sa¼glad ¼g göserilirse Teorem.. de ispa amamla r. 6

13 Lemma.. de ve üçge eşisizli¼gide jl ( () ; ) ()j jl ( () ; ) () + L ( () ; ) + L ( () ; )j jl ( () ; ) L ( () ; ) + L ( () ; ) ()j jl (( () ()) ; ) + () (L (; ) )j jl (( () ()) ; )j + j ()j j(l (; ) )j L (j () ()j ; ) + j ()j j(l (; ) )j buluur. (::4) de ve s rl oldu¼guda yuar dai eşisizlie jl ( () ; ) ()j L + M elde edilir.! ( ) ; + M j(l (; ) )j (..5) 7

14 Di¼ger araa L + M! ( ) ; L (; ) + L M! ( ) ; L (; ) + M L + ; L (; ) + M [L ; + L (; ) + L (; )] L (; ) + M [ L ; + (L (; ) ) + (L (; ) )] yaz labilir. So bulua iadei (::5) de ulla lmas yla jl ( () ; ) ()j L (; ) + M [ L ; + (L (; ) ) + (L (; ) )] +M j(l (; ) )j (..6) elde edilir. (::) oşullar (::6) da ulla lmas yla jl ( () ; ) ()j < 8

15 buluur. Böylece lim ma jl ( () ; ) ()j 0! ab gerçeleir. Bu da ispa amamlar..3 Lipschiz S Ta m.3.., A R ümeside a ml, süreli ve reel de¼gerli bir osiyo olsu. E¼ger, her ; y A içi (0; ] olma üzere j () (y)j M j yj eşisizli¼gi sa¼glaaca şeilde bir M > 0 say s varsa ye y c basamaa Lipschiz süreli osiyo deir. y c basamaa Lipschiz süreli osiyolar s Lip M () ile göserilir (Cao, Dig ad Xu 005)..4 Sürelili Modülü Ta m..4.. C [a; b] olsu, her > 0 içi! (; ) sup ;[a;b] j j j () ()j ile a mlaa! osiyoua osiyouu sürelili modülü deir. osiyouu sürelili modülü aşa¼g dai özellileri sa¼glar: i.! (; ) 0 ii. ise! (; )! (; ) yai;! (; ) ya göre azalmayad r. iii. m N içi! (; m) m! (; ) iv. R + içi! (; ) ( + )! (; ) v. lim! (; ) 0!0 + vi. j () ()j! (; j j) j j vii. j () ()j +! (; ) Ispa: 9

16 i. i sürelili modülü, a m gere¼gice bir mula de¼geri supremumu oldu¼guda ispa aç r. ii. içi j j bölgesii j j bölgeside daha büyü oldu¼gu aç r. Bölge büyüdüçe al a supremum büyüyece¼gide ispa amamla r. iii. Sürelili modülüü a m da dolay! (; m) sup ;[a;b] j jm j () ()j yaz labilir. j j m ise m + m olup + mh seçimiyle jhj ve! (; m) sup [a;b] jhj j ( + mh) ()j şelide yaz labilir. sup [a;b] jhj j ( + mh) Di¼ger araa ()j sup [a;b] jhj olup sa¼g araa üçge eşisizli¼gi uygula rsa m X [ ( + ( + ) h) ( + h)] 0 sup [a;b] jhj j ( + mh) ()j mx 0 sup [a;b] jhj j ( + ( + ) h) ( + h)j! (; ) + ::: +! (; ) m! (; ) 0

17 elde edilir. iv. R + say s am sm [jj] ile göserilirse bu durumda [jj] < < [jj] + eşisizlilerii geçerli oldu¼gu aç r. Şimdi bu eşisizlilerde ve (ii) de! (; )! (; ([jj] + ) ) eşisizli¼gi yaz labilir. [jj] pozii bir amsay oldu¼guda üsei eşisizli¼gi sa¼g ara a (iii) özelli¼gii uygulayabiliriz. Bu durumda! (; ([jj] + ) ) ([jj] + )! (; ) eşisizli¼gi elde edilir. Ayr ca her R + içi [jj] + < + oldu¼guda buluur ve souç olara! (; ([jj] + ) ) ( + )! (; )! (; ) ( + )! (; ) yaz labilir i bu da ispa amamlar. v. j j eşisizli¼gidei s ra yalaşmas! olmas alam a gelir. osiyou süreli oldu¼guda sürelili a m a göre! içi j () ()j! 0 oldu¼guda ispa aç r. vi.! (; ) iadeside j j seçilirse! (; j j) sup j () [a;b] ()j

18 elde edilir. O halde j () ()j leri supremumu! (; j j) olaca¼g da ispa aç r. vii. (vi) de j () ()j! ; j j yaz labilir. (iv) de j () j ()j j +! (; ) buluur böylece ispa amamla r. Ta m.4..!, [0; ) aral ¼g da a ml, süreli, egai olmaya reel de¼gerli bir osiyo olsu. E¼ger!, a) azalmaya, yai her ie! ( )! ( ) ; b) al oplamsal, yai! ( + )! ( ) +! ( ), c) lim!0 +! () 0 ise! ya sürelili modülü osiyou deir..5 Bölümüş Farlar Ta m.5.. solu bir [a; b] apal aral ¼g da a mlam ş bir osiyo, 0; ; ; :::; ler de 0< < ::: < olaca şeilde bu aral ¼g ey oalar olsular. ( 0 ) [ 0 ; ] ; de¼gerie osiyouu s r c bölümüş ar deir. Ayr ca [ 0 ; ; ] ( ) ( 0 ) 0 iadesie osiyouu birici bölümüş ar deir. Bezer olara [ 0 ; ; ; ] [ 0; ; ] [ ; ; ] 0

19 iadesie osiyouu iici bölümüş ar, bu şeilde devam edilirse [ 0 ; ;..., ; ] [ 0;,..., ; ] [ ; ;..., ; ] 0 iadesie osiyouu yici bölümüş ar deir (Lorez 953) : Ta m.5.. [0; ) aral ¼g da süreli bir osiyo olsu herhagi ; :::; [0; ) ve egai olmaya ;..., say lar içi + ::: + olma üzere! i i i ( i ) i i şar sa¼gla yorsa ye [0; ) da ovesir deir. 3

20 3. BLEIMANN BUTZER VE HAHN OPERATÖRLER I Bu bölümde öcelile BBH operaörlerii a m verilece ve C B [0; ) u bir al uzay ola H! uzay a laca r. Daha sora pozii yar m esede lieer pozii operaör dizileri içi Korovi ipli bir eorem verilip, ard da Bleima, Buzer ve Hah (BBH) operaör dizisii düzgü ya sal ¼g, bu eoreme göre iceleeceir. So olara bölümüş arlar ulla lara operaör dizisii mooolu özelli¼gi iceleeceir. 3. BBH Operaörlerii Ta m 980 y l da Bleima, Buzer ve Hah, [0; ) aral ¼g da a ml, reel de¼gerli her hagi bir osiyo içi L (; ) ( + ) 0 + ; N, [0; ) (3..) şelidei lieer, pozii L operaörlerii a mlam şlard r. C [0; ) içi! ie L (; ) i () e, [0; ) aral ¼g da oasal, [0; ) aral ¼g her ompa al aral ¼g da düzgü ya sad ¼g ispa emişlerdir (Bleima, Buzer ve Hah 980). Çal şma boyuca, L ; N; ile göserile operaör ile (3::) de a mlaa Bleima, Buzer ve Hah operaörü alaş laca r 3. H! Uzay!; sürelili modülü osiyou olsu. Her ; y [0; ) içi j () (y)j! + y + y (3..) şar sa¼glaya osiyolar s H! ile göserelim. Ta m.4. de, H! uzay dai her osiyo [0; ) aral ¼g üzeride sürelidir, ayr ca her 0 içi j ()j j (0)j +! () (3..) eşisizli¼gii sa¼glar. Dolay s ile her H! osiyou [0; ) aral ¼g üzeride s rl d r. 4

21 Böylece H! C B [0; ) apsamas gerçeleir. H! uzay da ola osiyolara öre olara aşa¼g dai osiyouu verebiliriz:! () ie () + + :! () M ; 0 < olmas durumuda H! uzay H ile göserece¼giz. Bu durumda j () (y)j! + y + y M + y + y j yj M ( + ) ( + y) oldu¼guda H Lip M () gerçeleir (Gadjiev ad Çaar 999). 3.3 BBH Operaör Dizisii Düzgü Ya sal ¼g Bu s mda BBH operaör dizisii, C B [0; ) uzay baz al s ar da ola osiyolar içi [0; ) aral ¼g da düzgü ya sal ¼g, Gadjiev ve Çaar ara da ispalaa aşa¼g dai Korovi ipli eorem ile iceleeceir. Teorem A g ; H! da C B [0; ) uzay a gide lieer pozii operaörleri bir dizisi olsu. E¼ger v 0; ; içi, e v () olma üzere v + lim A (e v ) e v! CB 0 (3.3.) 5

22 oşullar sa¼gla rsa, her H! içi lim A ()! CB 0 (3.3.) gerçeleir (Gadjiev ad Çaar 999). Ispa: H! olsu. Bu durumda (3::) de her > 0 içi + + < ie j () ()j < (3.3.3) olaca şeilde bir > 0 say s vard r. Çüü; + + < ie (3::) ve Ta m.4. i (a) ş da j () ()j! + + <! () gerçeleir ve Ta m.4. i (c) ş da j () ()j < olur. Ay zamada s rl oldu¼guda + + ie j () ()j < M (3.3.4) ( + ) ( + ) olaca şeilde pozii bir M sabii vard r. Gerçee, e¼ger, + + ise ( + ) ( + ) olaca¼g da; ( + ) ( + ) (3.3.5) 6

23 sa¼gla r, ayr ca s rl oldu¼guda; j () ()j j ()j + j ()j M (3.3.6) eşisizli¼gi vard r. Böylece (3:3:5) ve (3:3:6) da j () ()j < M ( + ) ( + ) oldu¼guda eşisizli vard r. Bu durumda her ; [0; ) içi (3:3:3) ve (3:3:4) de j () ()j < + M (3.3.7) ( + ) ( + ) yaz labilir. Şimdi (3:3:) şarlar da;! ie! 0 olma üzere A () CB < A (e ) e CB < (3.3.8) A (e ) e CB < yazabiliriz. Bu eşisizlileri ullaara, C; de ba¼g ms z sabi olma üzere, aşa¼g dai eşisizli¼gi elde ederiz.! A ; < C ( + ) ( + ) : (3.3.9) CB Gerçee, A! ; ( + ) ( + ) CB sup 0 A +! ; + 7

24 olara yaz labilir. Di¼ger araa Lemma... de A +! ; + A + + A ;! + ;! + A + ; + A (; ) (3.3.0) + şelide yaz labilir. (3:3:0) da eleyip ç aral m A lieer pozii operaör oldu¼guda ve + üçge eşisizli¼gide, A + + ;!! A ; + + A (A (; ) ) + ; + buluur. (3:3:8) de (3:3:9) eşisizli¼gii sa¼glad ¼g görülür. O halde lim A ()! CB 0 oldu¼guu göserirse ispa amamla r. Lemma.. ve Lemma.. diae al ara 8

25 A () CB sup ja ( () () ; ) + () A (; ) ()j 0 sup (ja (( () ()) ; )j + j ()j j[a (; ) ]j) 0 A (j () ()j ; ) CB + CB A (; ) CB I + I m buluur. CB M oldu¼guda ve (3:3:8) de lim I m 0! gerçeleir. (3:3:7) eşisizli¼gii I de diae al rsa ve (3:3:9) u ulla rsa I A (j () ()j ; ) CB < A + M! ; ( + ) ( + ) CB < A (; ) CB + M! A ; ( + ) ( + ) CB < A (; ) + CB + M C A () CB + + M C < ( + ) + M C 9

26 buluur. Böylece lim I 0! gerçeleir. Bu durumda ispa amamla r. Teorem 3.3. i ullaara Bleima, Buzer ve Hah operaör dizisii düzgü ya sal ¼g elde edebiliriz, çüü H! C B oldu¼guda L, N; operaörleri C B uzay da C B uzay a a ml ie ay zamada H! uzay da C B uzay a a ml d r. Şimdi her H! osiyou içi L (; )g dizisii [0; ) aral ¼g da () e düzgü ya sal ¼g aşa¼g dai eorem ile verelim. Teorem Her H! içi lim L ()! CB 0 gerçeleir (Gadjiev ad Çaar 999). Ispa: Teorem 3:3: i ullaara (3:3:8) şarlar L içi sa¼glad ¼g göserme v yeerli olaca r yai; e v () olma üzere v 0; ; içi + lim L (e v ) e v! CB 0 oldu¼guu gösermeliyiz. ( + ) i Biom aç l m da ( + ) 0 (3.3.) buluur. Böylece (3:3:) de L (; ) (3.3.) olur Dolay s yla lim L ()! CB 0 olur v 0 içi (3:3:8) şar sa¼glam ş oldu. v içi sa¼glad ¼g göserme içi 0

27 her [0; ) içi + < (3.3.3) eşisizli¼gii do¼gru oldu¼guu göz öüde buludural m. Di¼ger araa L ; + ( + ) ( + ) ( + ) + + +! + ( )!! 0 ( )! + ( )! ( )! + ( + ) (3.3.4) elde edilir. (3:3:4) de yerie + yazarsa oldu¼guda L ; + X + ( + ) X ( + ) 0 (3.3.5) L (e ) e CB sup sup buluur. (3:3:3) de L (e ) e CB + (3.3.6)

28 oldu¼guda lim L (e ) e! CB 0 gerçeleir. So olara v durumuu iceleyelim ve ( göz öüde buludural m L ;! + ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ) + eşili¼gii (3.3.7) elde edilir (3:3:7) i sa¼g ara dai il oplamda yerie + ; iici oplamda yerie + al rsa L ;! + ( ) X ( + ) ( + ) 0 X + ( + ) ( + ) ( ) X ( + ) + ( + ) 0 X + ( + ) + ( + ) ( ) ( + ) ( + ) +

29 buluur. Bu durumda L (e ) e CB sup 0 ( ) ( + ) + ( + ) eşili¼gi elde edilir. Di¼ger araa ( ) ( + ) + + buluur. (3:3:3) de ( + ) + + (3 + ) + ( + ) + ( + ) + ( ) ( + ) + + ( + ) + + (3 + ) ( + ) + ( + ) 4 + ( + ) yazabiliriz. Böylece buluur. Bu durumda L (e ) e CB 4 + ( + ) (3.3.8) lim L (e ) e! CB 0 elde edilir. (3:3:6), (3:3:8) eşisizlileri ve (3:3:) eşili¼gi, (3:3:8) oşullar sa¼glad ¼g göserir ve eorem 3.3. de ispa amamla r. H uzay içi aşa¼g dai soucu verebiliriz. Souç Her H ; 0 < ; içi lim L ()! CB 0 3

30 gerçeleir (Gadjiev ad Çaar 999). Şimdi, geel yalaş m eoremi ola Teorem 3.3. i C B [0; ) uzay dai büü osiyolar içi geçerli olmad ¼g gösere bir eorem verelim. Teorem lim A (? )?! CB > 0 olaca şeilde, C B [0; ) uzay da ay uzaya döüşüm yapa ve (3:3:8) oşullar sa¼glaya bir A g lieer pozii operaör dizisi ve bir? C B [0; ) osiyou vard r (Gadjiev ad Çaar 999). Ispa: 8 >< A (; ) () ( + ) () ; 0 >: () ; > olsu. Öcelile A operaörlerii (3:3:8) oşullar sa¼glad ¼g göserelim. > içi A operaörlerii (3:3:8) oşullar sa¼glad ¼g aç r. 0 içi iceleyelim A (; ) ( + ) + ( + ) oldu¼guda A () CB sup 0 ( + ) (3.3.9) Di¼ger araa 0 ie ( + ) ( + ) ( + ) (3.3.0) 4

31 elde edilir. (3:3:0) dei eşisizli (3:3:9) da ulla l rsa A () CB ( + ) yaz labilir böylece lim A ()! CB 0 sa¼gla r. Di¼ger araa A + ; ( + ) " ( + ) # + elde edilir. (3:3:0) de A (e ) e CB sup 0 ( + ) ( + ) buluur, bu durumda lim A (e ) e! CB 0 gerçeleir. So olara A ;! ! ( + ) ( + ) 4 ( + ) (3.3.) 5

32 buluur. (3:3:) de g () ( + ) + 3 al rsa g 0 () > 0 oldu¼guda g; her [0; ) içi mooo ara osiyodur. dolay s ile lim g ()!, ve bu eşisizli¼gi (3:3:) de ullaara; g ()! A ; + + ( + ) eşisizli¼gii yazabiliriz (3:3:0) de A (e ) e CB ( + ) eşisizli¼gi buluur, burada! ie limie geçilirse olur. lim A (e ) e! CB 0 Böylece A operaörüü 0 içi de (3:3:8) oşullar sa¼glad ¼g gösermiş oldu. Şimdi? () cos 6

33 osiyouu diae al rsa, 0 içi? C B [0; ) dur ve A? ()? () cos cos ( + ) + ( + ) cos buluur. Norma geçilere cos ( cos ) A (? )? CB sup + 5 jcos j jcos j eşisizli¼gi elde edilir. Bu da ispa amamlar. 3.4 BBH Operaörlerii Mooolu Özelli¼gi Bu s mda amac m z L ; N operaörüü bölümüş arlar yard m yla ye göre mooolu¼guu gösermeir. Bu amaç içi aşa¼g dai a m ve eoremleri ve bölümüş arlar ulla lara yap la ovesli a m verelim. Ta m 3.4.., [0; ) da a ml, reel de¼gerli bir osiyo olma üzere i [0; ) dai ayr üç oadai ( 0 < < ). bölümüş ar egai olmaya ise oves (oav olmaya ) osiyodur. Teorem , ve + olma üzere e¼ger, g oves ve s rl ise g armayad r,! 0 ve X ( + ) 0 serisi oplam 0 lim dir (Zygmud 959). 7

34 Teorem E¼ger, [0; ) aral ¼g üzeride oves bir osiyo ve ayr ca () sb; N (3.4.) ise her 0 ve her N içi L (; ) L + (; ) gerçeleir (Della Vecchia 99). Ispa: (3::) de L + (; ) aşa¼g dai gibi yaz l r: X+ + L + (; ) ( + ) + (3.4.) + 0 (3:4:) dei operaörü + : erimi ç ar lara L + (; ) + ( + ) + ( + ) + ( + )

35 elde edilir. Böylece L + (; ) L (; ) + + ( + ) ( + ) + ( + ) + ( + ) + +! + + ( )!! ( + ) + + ( + ) ( + ) + ( + ) + 0 ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) A + (3.4.3) + olara yaz labilir. Di¼ger araa (3:4:3) iadesidei so oplamda : erim ç ar l p 9

36 yerie al rsa + + () ( + ) + ( + ) () ( + ) + ( + ) (3.4.4) elde edilir ve (3:4:4) ü (3:4:3) de yerie yaz lmas yla L + (; ) L (; ) ( + ) [ ( + ) ()] ( + ) buluur. Gereli düzelemeler yap lara yuar dai eşili 30

37 L + (; ) L (; ) + ( + ) + ( + ) ( + ) [ ( + ) ()] ( + ) + ( + ) ; ( + ) ( + ) + ; + ; [ ( + ) ()] (3.4.5) ( + ) şelie idirgeir. Teorem 3.4. de ispa amamla r. 3

38 4. q-tamsayisina DAYALI BLEIMANN, BUTZER VE HAHN OPERATÖRLER I Bu bölümde öcelile Aral ve Do¼gru ara da işa edile Bleima, Buzer ve Hah operaörlerii q- amsay s a dayal yei bir geelleşirilmesi verileceir (q-bbh). Daha sora, Korovi ipli bir eorem ile bu operaör dizisii düzgü ya sal ¼g iceleip, ard da yalaş m h z ; öce sürelili modülü osiyou ile, sora Lipschiz ipli masimal osiyolar uzay dai osiyolar içi hesaplaaca r. So olara q-bbh operaörüü mooolu özelli¼gi araş r laca r. 4. q-bbh Operaörleri Bu s mda, öcelile q-amsay s ile ilgili baz emel bilgiler verilip, ard da q-bbh operaörleri a laca r. q > 0 seçilmiş her hagi bir reel say ve r, egai olmaya bir amsay olma üzere, r say s q-amsay s 8 < [r] : q r q ; q 6 r ; q (4..) olara a mla r. q-aoriyel Ayr ca [0] 0 d r. 8 < [r] [r ] ::: [] ; r ; ; :::; [r]! : ; r 0 (4..) ve r 0 amsay lar içi q-biom asay lar r []! [r]! [ r]! (4..3) olara a mla r. Şimdi, aşa¼g dai Euler özdeşli¼gii diae alal m. Y + q q ( ) ; (4..4) 0 0 burada; q oldu¼gu zama, q-biom asay lar bilie biom asay lar a idirgedi¼gi aç r. q-bbh operaörleri Aral ve Do¼gru (007) ara da aşa¼g dai 3

39 şeilde a mlam ş r: [0; ) ve N olma üzere [0; ) aral ¼g da a ml reel de¼gerli osiyolar içi q-amsay lara dayal Bleima, Buzer ve Hah o- peraörleri (q-bbh) L ;q ile göserilir ve L ;q (; ) ` () ile a mla r, buradai ` (); 0 [] [ + ] q q ( ) (4..5) Y ` () ( + q s ) (4..6) s0 şelidedir. Çal şma boyuca L ;q, (4::5) de a mlaa q-bbh operaörlerii [] [] gösereceir. yerie alara q-amsay s a dayal geel Bleima, Buzer ve Hah operaörlerii elde ederiz. Faa bu [ + ] q [ + ] durumda, v ve v, + v 0; ; içi aç ormülleri elde eme imas zd r. E¼ger Bleima, Buzer ve Hah ipli operaörler (4::5) dei gibi a mla rsa aç ormülleri elde edilebilir. v, + v 0; ; içi q-amsay s a m (4::) diae al ara q [ + ] [ + ] [] ; q [ ] [] (4..7) eşilileri aşa¼g dai şeilde buluabilir: q q [ + ] q + q q q + + q q+ q q q [ + ] [] 33

40 q q [ ] q q q q + q q q [] : (4::4) ; (4::5) ve (4::7) de L ;q (; ) ` () 0 q ( ) 0 0 q ( q ( ) ) (4..8) ve L ;q ; + ` () [] ) q( [ + ] ` () [] [ ]! [ + ] [ ]! [ ]! q( ) [] [ + ] ` () q ( ) (4..9) 34

41 buluur, (4::9) da yerie + yaz l p (4::4) diae al ara L ;q ; + [] X q (+) + [ + ] ` () 0 [] X q ( ` () [ + ] 0 ) (q) elde edilir. verilebilir: Şimdi, L ;q [] [ + ] + ; Y 0 + q (q) Y ( + q s ) s0 [] + [ + ] (4..0) durumuda ulla laca ola aşa¼g dai eşili [] q q q q q q q q + q q q q q q q q q + q [] [ ] + [] : (4..) 35

42 Böylece (4::) diae al ara L ;q ;! + ` () ` () + ` () [] [ + ] q( ) q [] [ ] ( ) [ + ] q [] [ + ] q( ) ` () q [] [ ] [ + ] q ( ) []! [ ]! []! + ` () [] [ ] [ + ] ` () + [] [ + ] ` () [] [ + ] q( ) []! [ ]! []! qq ( ) q ( ) (4..) elde edilir. (4::) i sa¼g ara dai il oplamda yerie + ve iici oplamda yerie + al rsa 36

43 L ;q ;! + q [] [ ] X [ + ] q ( ) ` () 0 0 [] X + [ + ] q ( ) (q) ` () q q [] [ ] [ + ] [] + [ + ] Y Y q (q ) Y ( + q s ) s0 + q (q) Y ( + q s ) s0 [] [ ] [ + ] q ( + ) ( + q) + [] [ + ] + (4..3) olara buluur. E¼ger, q seçilirse, L ;q operaörleri lasi Bleima, Buzer ve Hah operaörlerie döüşür. Ayr ca L ;q g operaör dizisii ya sal ¼g garaileme içi q q ; N, 0 < q <, al p q i! ie q! oşuluu sa¼glaya bir dizi olara abul edece¼giz. 4. q-bbh Operaör Dizisii Düzgü Ya sal ¼g Bu s mda L ;q g operaör dizisii C B [0; ) uzay bir al uzay dai osiyolar içi [0; ) da düzgü ya sal ¼g iceleyece¼giz. Bu amaç içi, Aral ve Do¼gru (007) (3:) de verile H! uzay ullam şlard r!; sürelili modülü ipli bir osiyo olsu. H!, her ; y [0; ) içi (3::) oşuluu sa¼glaya osiyolar s gösersi, bu durumda H! C B [0; ) 37

44 oldu¼guu daha öce görmüşü. Ta m.4. i (b) oşuluda, N içi!;! ()! () (4..) eşisizli¼gii sa¼glar ve > 0 içi Ta m.4. i (a) oşuluda ve (4::) de! ()! ( + [jj] ) ( + )! () (4..) buluur, buradai [jj] ; am de¼gerii gösermeedir. Uyar : L ;q ; N, H! uzay da C B [0; ) a döüşüm yapa lieer pozii süreli operaörlerdir. Teorem < q < olma üzere q q ; N; alal m ve! ie q! olsu. Her H! içi, lim L ;q ()! CB 0 (4..3) gerçeleir (Aral ve Do¼gru 007). Ispa: Teorem 3:3: i ullaara (3:3:8) oşullar L ;q ; N operaörleri içi sa¼glad ¼g göserilmesi yeerlidir yai; v 0; ; içi, e v () + v olma üzere lim L ;q (e v ) e v! CB 0 olmal d r. (4::8) de lim L ;q ()! CB 0 38

45 buluur, böylece v 0 durumuu sa¼glad ¼g aç r. L ;q (e ) e CB sup 0 [] [ + ] + v içi (3:3:3) de + sup 0 [] [ + ] + [] [ + ] q q [ + ] (4..4) elde edilir.! ie q! ve [ + ]! oldu¼guda, v içi de (3:3:8) oşulu sa¼gla r. So olara v durumuu iceleyelim. Buu içi, öce aşa¼g dai eşilileri verelim: oldu¼gu aç r. Ayr ca + sup 0 + q q (4..5) [] [ ] [ + ] q 3 + q [ + ] + + q [ + ] (4..6) eşili¼gii göserme içi (4::7) diae al ara [] q [ ] + ; (4..7) [ + ] q [] + (4..8) yaz labilir. (4::7) ve (4::8) de [ ] [ + ] q q 39

46 buluur, burada da [] [ ] [ + ] q 3 [+] q [+] q [ + ] q! [ + ] [ + ] q [ + ] + + q [ + ] q 3 + q [ + ] + + q [ + ] : Böylece (4::6) eşili¼gi elde edilir. Şimdi v durumuu göserelim. (3:3:3) ve (4::5) de L ;q (e ) e CB sup 0 sup 0 [] [ ] [ + ] q ( + ) ( + q) + [] [ + ] [] [ ] + [ + ] q + q + [] [ + ] + [] [ ] [ + ] q + [] q [ + ] (4..9) buluur. (4::6) ve (4::8) ; (4::9) da ulla l rsa L ;q (e ) e CB q q [ + ] + [ + ] (4..0) eşisizli¼gie ulaş l r.! ie q!, [ + ]! oldu¼guda v içi de (3:3:8) oşulu sa¼glam ş olur. Teorem 3:3: de ispa amamla r. 4.3 Sürelili Modülü ile Yalaş m H z Bu s mda sürelili modülü osiyou ulla lara q-bbh operaör dizisii yalaş m h z iceleeceir. Teorem < q < olma üzere q q ve! ie q! olsu. Her 40

47 bir 0 ve herhagi bir H! içi p jl ;q (; ) ()j! () (4.3.) eşisizli¼gi gerçeleir, buradai () () [] [] [ ] [ + ] [ + ] q + q + [] [ + ] + (4.3.) şelidedir (Aral ve Do¼gru 007). Ispa: L ;q (; ) oldu¼guda () L ;q ( () ; ) yaz labilir, burada ve Lemma.. de jl ;q (; ) ()j jl ;q (( () ()) ; )j L ;q (j () ()j ; ) (4.3.3) eşisizli¼gi elde edilir. Di¼ger araa (3::) ve (4::) eşisizlileri diae al ara j () ()j! ! +!! () (4.3.4) elde edilir. 4

48 (4:3:4) eşisizli¼gi diae al ara (4:3:3) jl ;q (; ) ()j! () + L ;q + + ; (4.3.5) şelie idirgeir. Cauchy-Schwarz eşisizli¼gide L ;q + " + ; L ;q +!# ; (4.3.6) + buluur. (4:3:6) diae al ara (4:3:5) jl ;q (; ) 0 ()j! + " L ;q +!# ; A (4.3.7) + eşisizli¼gie idirgeir. L ;q + ;! + (4:3:7) i sa¼g ara (4::8) (4::9) ve (4::3) de L ;q ;! + +L ;q ;! + + L ;q + ; [] [ ] ( + ) [ + ] q ( + ) ( + q) ( + ) + [] [ + ] + [] + [ + ] [] [] [ ] [ + ] [ + ] q + q + [] [ + ] + 4

49 olara elde edilir. () (4:3:) ile verile osiyo olma üzere, so eşilie L ;q + ;! + () yaz labilir. Böylece p () al ara (4:3:5) (4:3:6) ve (4:3:7) de p jl ;q (; ) ()j! () elde edilir. (3:3:3) ve (4::5) i ullaara ve [ ] q + [] ve [ + ] [] q < oldu¼guu göz öüde buludurara, yeerice büyü ler içi sup () [] 0 [ + ] + [] [ + ] ([ ] q + ) [ + ] [] [ + ] [ + ] (4.3.8) elde edilir. Böylece Teorem 4.3. i oşullar al da (4::5) ile verile L ;q g q-bbh operaör dizisii ye yalaşma h z [+] dir ve bu, e iyi durumda lasi BBH operaör dizisiide oldu¼gu gibi (+) dir. Öre¼gi e¼ger, q + al rsa lim! q e oldu¼guda, h z; q (+) buluur, yai; q-geelleşirmede q g dizisii seçimie ba¼gl olara orol edilebile bir durum oraya ç maad r. 4.4 Lipschiz Tipli Masimal Fosiyolar Uzay da Yalaş m H z Bu s mda öcelile W;E uzay a mlaara, bu uzaydai osiyolar içi L ;qg operaör dizisii yalaş m h z hesaplaaca r. Şimdi, yalaş m h z ile ilgili ola bir eşisizli verelim. Bu do¼gruluda; E [0; ) üzeride W;E ile göserile, geel Lipschiz ipli masimal osiyolar uzay aşa¼g dai gibi a mlamaad r: W ;E : sup ( + ) (; y) M ( + y) ; 0; y E (4.4.) buradai ; [0; ) aral ¼g üzeride s rl ve süreli bir osiyo, M pozii sabi, 43

50 0 < ve ; (; ) j () ()j j j (4.4.) ile a mlaa osiyodur. Ayr ca d (; E) ; i E ümesie ola uzal ¼g gösersi yai; d (; E) i j yj ; y Eg (4.4.3) (Aral ve Do¼gru 007). Teorem L ;q, N, operaörleri ve () (4:3:) ile verile osiyo olma üzere her W;E içi jl ;q (; ) ()j M () + d (; E) (4.4.4) eşisizli¼gii gerçeler (Aral ve Do¼gru 007). Ispa: E; E ümesii apa ş gösersi. Bu durumda [0; ) ie j 0 j d (; E) olaca şeilde bir 0 E vard r. Şimdi, j () ()j j () ( 0 )j + j ( 0 ) ()j (4.4.5) şelide bir eşisizli yazal m. oldu¼guda (4:4:5) ; eşisizli¼gi ulla lara N içi L ;q lieer, pozii operaör ve W ;E jl ;q (; ) ()j L ;q (j () ()j ; ) L ;q (j () ( 0 )j ; ) + L ;q (j ( 0 ) ()j ; ) L ;q (j () ( 0 )j ; ) + j ( 0 ) ()j (4.4.6) buluur. Şimdi, W ;E oldu¼gu diae al ara aşa¼g dai eşisizliler elde 44

51 edilebilir: (4:4:) ve (4:4:) de ( + 0 ) j () ( 0 )j j 0 j M ( + ) j 0 j j () ( 0 )j M ( + 0 ) ( + ) M (4.4.7) eşisizli¼gi buluur. Bezer olara j ( 0 ) j 0 j ()j M ( + 0 ) ( + ) (4.4.8) vard r. (4:4:7) ve (4:4:8) i (4:4:6) da yerie yaz lmas yla jl ;q (; ) ()j ML ;q ; +M elde edilir. 0 < olma üzere a 0 ve b 0 içi j 0 j ( + 0 ) ( + ) (4.4.9) (a + b) a + b eşisizli¼gi göz öüde buludurulara [0; ) içi (4.4.0) yaz labilir. L ;q + Souç olara ; L ;q + + ; + j 0 j ( + 0 ) ( + ) yaz labilir. L ;q (; ) oldu¼guda üsei eşisizli¼ge p ve q ( ) olma üzere Hölder eşi- 45

52 sizli¼gi uygulaara L ;q + + ; L ;q + + ;! j 0 j + ( + 0 ) ( + ) elde edilir ve so iade (4:4:9) da diae al rsa jl ;q (; ) ()j ML ;q +! ; + M + j 0 j ( + 0 ) ( + ) j 0 j +M ( + 0 ) ( + ) (4.4.) soucua ulaş l r. (4:3:) ve (4:4:3) de (4:4:) jl ;q (; ) ()j M () + d (; E) şelide iade edilebilir, böylece ispa amamla r. Teorem 4.4. i özel bir durumuu alara E [0; ) ie aşa¼g dai souç vard r: Souç E¼ger, W ;[0;) ise (), (4:3:) ile verile osiyo olma üzere jl ;q (; ) ()j M () eşisizli¼gi gerçeleir (Aral ve Do¼gru 007). 46

53 4.5 q-bbh Operaörlerii Mooolu Özelli¼gi Bu s mda L ;q operaörlerii ye göre mooolu¼gu iceleeceir. Öce (4::) de + + [ + ] [] [ ] [ + ] [] [ ] (4.5.) + [] [ + ] eşilileri yaz labilir. Şimdi, bu s mdai as l eoremi ispa da ulla laca ola aşa¼g dai lemmay verelim. Lemma q [ + ] ; [ + ] [ ] [ + ] ; [] [ + ] q ; ve [ + ] [ ] q + olma üzere 0, 0 ve + (4.5.) dir. Ayr ca [ + ] [ + ] q + + (4.5.3) gerçeleir (Do¼gru ad Gupa 005). Ispa: (4::) de [ + ] q+ q ; [ ] q q (4.5.4) 47

54 gerçeleir ve böylece + q [ + ] + [ ] [ + ] q + q + q q q [ + ] q + q [ + ] elde edilir. Di¼ger araa + q [ + ] [ + ] q [ + ] [ + ] [] [ ] [ + ] + [ + ] q [ + ] [ ] q + [] [ + ] + [ + ] q [ + ] q + Ayr ca (4::) ulla lara [ + ] q + [] [ + ] q + [ + ] + [ + ] [ + ] q + q + [] + [ + ] [ + ] (4.5.5) q q + [] + [ + ] q + + q q + q q+ q [ + ] (4.5.6) buluur ve (4:5:6) (4:5:5) e yerie oulmas yla (4:5:3) elde edilir bu durumda 48

55 ispa amamla r. Şimdi, L ;q u mooolu¼guu iceleyelim: Teorem E¼ger, [0; ) da oves ve armaya osiyo ise L ;q her 0 ve her N içi L ;q (; ) L +;q (; ) gerçeleir (Do¼gru ad Gupa 005). Ispa: L +;q (; ) L ;q (; ) `+ () 0 X+ [] [ + ] q + q ( ) ` () 0 [] [ + ] q q ( ) (4.5.7) (4:5:7) iadeside eşili¼gi sa¼g ara dai iadei iici oplam + q ile çarp l p bölüürse L +;q (; ) L ;q (; ) `+ () 0 X+ [] [ + ] q + q ( ) `+ () 0 [] [ + ] q q ( ) `+ () 0 [] q ( ) q [ +]q + (4.5.8) elde edilir ve (4:5:8) iadeside eşili¼gi sa¼g ara da birici ve üçücü oplam so erimleri ile birici ve iici oplam 0: erimleri ç ar lara 49

56 L +;q (; ) L ;q (; ) `+ () q(+) + [ + ] q + [] q + `+ () [] [ + ] q + q ( ) `+ () [] [ + ] q q ( ) `+ () 0 X [] [ + ] q q ( ) q + buluur ve eşili¼gi sa¼g a dai birici ve iici oplamda yerie + al rsa L +;q (; ) L ;q (; ) `+ () q(+) + [ + ] q + [] q + `+ () 0 X [ + ] [ + ] q + + q ( ) q + + `+ () 0 X [] [ + ] q q ( ) q + `+ () 0 X [ + ] [ ] q + q ( ) q + + elde edilir. 50

57 (4:5:) eşilileri ulla lara aşa¼g dai eşili yaz labilir L +;q (; ) L ;q (; ) `+ () q(+) + + X `+ () 0 [ + ] q + [ + ] [ + ] q + q [ + ] [] [ + ] [ + ] q [ ] [ + ] [ + ] [ ] q + q [ + ] [] + [ ] [ + ] [] q (4.5.9) [ + ] q + [] q 0 ve armaya osiyo oldu¼guda q+ [ + ] q + [] 0 (4.5.0) q gerçeleir ve oves oldu¼guda (4:5:) ve(4:5:3) de [ + ] [ + ] q + q [ + ] [] [ + ] [ + ] q [ ] [ + ] [ + ] [ ] q + 0 (4.5.) eşisizli¼gi vard r. (4:5:0) ve (4:5:) (4:5:9) da ulla lara ispa amamla r. E¼ger lieer ise [ + ] [ + ] q + q [ + ] [] [ + ] [ + ] q [ ] [ + ] [ + ] [ ] q + 0 (4.5.) 5

58 eşili¼gi vard r. (4:5:) iadesii ullaara aşa¼g dai souç yaz labilir Souç (4::5) de a mlam ş L ;q ; N, operaörleri içi aşa¼g dai mooolu özellileri i ve ii de verildi¼gi gibidir. i. E¼ger lieer ve armaya osiyo ise her 0 içi L ;q da ye göre armayad r. ii. E¼ger lieer ve azalmaya osiyo ise her 0 içi L ;q da ye göre azalmayad r (Do¼gru ad Gupa 005). 5

59 KAYNAKLAR Abel, U. ad Iva, M Some ideiies or he operaor o Bleima, Buzer ve Hah ivolvig divided di ereces, Calcolo 36, o.3, pp Adell, J.A., de la Cal, J. ad Sa Miguel, M Iverse Bea ad Geeralized Bleima, Buzer ad Hah operaors, Jour. Appro. Theory. 76, Aral, A. ad Do¼gru, O Bleima, Buzer ad Hah Operaors Based o he q-iegers, Hidawi Publishig Corporaio Jour. o Ieq. ad Appl. Vol 007, Aricle I D Bleima, G., Buzer, P. L. ad Hah, L A Bersei-ype operaor approimaig coiuous ucios o he semi aes. Proc. Neherl. Sc. 83 (Idag. Mah: 4) Cao, F., Dig, C. ad Xu, Z O mulivariae Basaov operaor, J. Mah. Aal. Appl. 307 o., Cheey, E. W. ad Charma, A Bersei power series, Ca. J. Mah Della Vecciha, B. 99. Some Properies o a Raioal Operaor o Bersei- Type, Isiuo per Applicazioi della Maemaica-C.N.R. Via P. Casellio -803 Napoli, Ialy. Do¼gru, O. ad Gupa, V Moooiciy ad he asympoic esimae o Bleima Buzer ad Hah Operaors Based O q-iegers, Georgia Mah. Jour. Vol, o. 3, Gadjiev, A. D. ad Çaar, Ö O uiorm approimaio by Bleima, Buzer ad Hah operaors o all posiive semiais, Trasacios o AS Azerbaija. Series o Physical Techical ad Mahemaical Scieces, vol 9, o. 5, pp. -6. Kha, R.A A oe o a Bersei-ype operaor o Bleima, Buzer ad Hah, Jour. Appro. Theory. 53, Lorez, G.G Bersei Polyomials, Uiversiy o Toroo Press. Philips, G. M Bersei polyomials based o he q-iegers, Aals o Numerical Mahemaics, vol 4, o. -4, pp

60 Zygmud, A Trigoomeric Series, Vol., Cambridge Uiv. Press, Cambridge, UK. 54

61 ÖZGEÇM IŞ Ad Soyad : Dile SÖYLEMEZ Do¼gum Yeri : Sivas Do¼gum Tarihi : Medei Hali : Bear Yabac Dili : Igilizce E¼giim Durumu (Kurum ve Y l) Lise : Sivas Lisesi (00) Lisas : Aara Üiversiesi Fe Faülesi Maemai Bölümü (007) Yüse Lisas : Aara Üiversiesi Fe Bilimleri Esiüsü Maemai Aabilim Dal (Eylül 007 Temmuz 009) 55