ZAMAN SERİSİ ANALİZ YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI

Transkript

1 EGE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ (YÜKSEK LİSANS TEZİ) ZAMAN SERİSİ ANALİZ YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI Sibel OĞHAN Tez Danışmanı: Prof. Dr. Hülya ATIL Zooekni Anabilim Dalı Bilim Dalı Kodu: Sunuş Tarihi: Bornova- İZMİR 2010

2 ii

3

4

5 v ÖZET ZAMAN SERİSİ ANALİZ YÖNTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRILMASI OĞHAN, Sibel Yüksek Lisans Tezi, Zooekni Bölümü Tez Yöneicisi: Prof. Dr. Hülya ATIL Şuba 2010, 75 sayfa Bu ezde zaman serileri hakkında genel bilgiler verilmiş ve analiz yönemleri incelenmişir yılları arasında Türkiye deki inek süü fiyalarına, Hol Üsel Düzleşirme ve Box-Jenkins yönemleri uygulanmış, seriye ai ahminlemeler yapılmışır. Kullanılan yönemlerden seriye uygun olanını belirlemek için Oralama Mulak Yüzde Haa (MAPE) değerleri karşılaşırılmışır. Her iki yönemin de başarılı ahminler üreiği görülmüşür. Son olarak, Hol üsel düzleşirme ve Box-Jenkins yönemleri ile gelecek üç yılın inek süü fiyaları ahmin edilmişir. Anahar sözcükler: Zaman serisi, ahmin, Box-Jenkins yönemi, Üsel düzleşirme yönemi, sü fiyaları

6

7

8

9 vii ABSTRACT COMPARISON OF TIME SERIES ANALYSIS METHODS OĞHAN, Sibel MSc in Animal Science Supervisor: Prof. Dr. Hülya ATIL February 2010, 75 pages General informaions abou ime series have been given and analysis mehods have been examined in his hesis. The Hol Exponenial Smoohing Mehod and Box-Jenkins Mehod were applied o cow milk prices in Turkey beween he years 1995 and 2008, and forecass belong o series were performed. Mean Absolue Percenage Error (MAPE) values were compared o deermine he mos convenien mehod for he series. Successful forecass were produced by using hese wo mehods. Finally, Price of cow milk for nex hree years have been esimaed wih Hol exponenial smoohing and Box-Jenkins mehods. Keywords: Time series, forecasing, Box-Jenkins mehod, exponenial smoohing mehod, milk prices

10

11 ix TEŞEKKÜR Yüksek öğrenimim süresince çalışmalarımda beni cesarelendiren ve moive eden, her konuda yardımlarını esirgemeyen ve benden hiçbir zaman ümidini yiirmeyen çok değerli hocam Sayın Prof. Dr. Hülya ATIL a, beni her zaman desekleyen, daima yanımda olan aileme ve eşime çok eşekkür ederim.

12

13 xi İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET... v ABSTRACT... vii TEŞEKKÜR... ix ŞEKİLLER DİZİNİ... xv ÇİZELGELER DİZİNİ... xvii SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ... xix 1.GİRİŞ LİTERATÜR BİLDİRİŞLERİ Zaman Serisinin Tanımı Zaman Serilerinin Sınıflandırılması Zaman Serilerinin Uygulama Alanları Zaman Serileri Bileşenleri Uzun Dönemli Genel Tren Mevsimsel Dalgalanmalar Konjonkürel Dalgalanmalar Düzensiz Harekeler Zaman Serileri Analizinin Basamakları... 11

14 xii İÇİNDEKİLER (devam) Sayfa 2.6 Zaman Serileri Analizinde Kullanılan Temel Kavramlar Durağanlık Ookovaryans Fonksiyonu Ookorelasyon Fonksiyonu Kısmi Ookorelasyon Fonksiyonu Korelogram ZAMAN SERİSİ ANALİZ YÖNTEMLERİ Tek Değişkenli Zaman Serisi Analiz Yönemleri Tren Analizi Yönemi Harekeli Oralamalar Yönemi Üsel Düzleşirme Yönemi Uyarlayıcı Arındırma Yönemi Box-Jenkins Tahmin Yönemleri Çok Değişkenli Zaman Serisi Analiz Yönemleri MATERYAL VE YÖNTEM Maeryal Yönem... 50

15 xiii İÇİNDEKİLER (devam) Sayfa 5. BULGULAR Hol Üsel Düzleşirme Yöneminin Uygulanması Box-Jenkins Yöneminin Uygulanması Yönemlerin Karşılaşırılması ve Tahminleme Yapılması SONUÇ VE TARTIŞMA KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ... 75

16

17 xv ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil Sayfa 2.1 Olası ren göserimleri Mevsimsel dalgalanmaların göserimi Konjonkürel dalgalanmaların göserimi Beyaz gürülü süreci Rassal yürüyüş süreci Durbin-Wason poziif ookorelasyon şeması Durbin-Wason negaif ookorelasyon şeması Von-Neumann ookorelasyon şeması Rassal serinin korelogramı Kısa dönemdeki serinin korelogramı Sırayla değişen serinin korelogramı Durağan olmayan serinin korelogramı Mevsimsel serinin korelogramı Box-Jenkins yöneminde modelleme aşamaları İnek süü fiyalarına ai zaman serisi grafiği İnek süü fiyalarına ai ACF ve PACF grafikleri Serinin birinci derece farklarının ACF ve PACF grafikleri... 54

18 xvi ŞEKİLLER DİZİNİ (devam) Şekil Sayfa 5.4 Orijinal seri ile ahmin serisinin birlike grafiği Haa serisinin ACF ve PACF grafikleri Orijinal seri ile ahmin serisinin al ve üs sınırlarının birlike grafiği Haa serisinin ACF ve PACF grafikleri... 63

19 xvii ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge Sayfa 4.1 İnek süü fiyaları Serinin birinci derece farklarının ookorelasyon analizine ai değerler Haa serisinin ookorelasyon analizine ai değerler ARIMA(1,1,1) modeline ai değerler ARIMA(0,1,1) modeline ai değerler ARIMA(1,1,0) modeline ai değerler ARIMA(1,1,1)*(1,0,1) 8 modeline ai değerler Uygulanan yönemlerin ahmin doğrulukları Hol üsel düzleşirme yönemi ile inek süü fiyalarının ahmini değerleri Box-Jenkins Yönemi ile İnek süü fiyalarının ahmini değerleri.. 65

20

21 xix SİMGELER VE KISALTMALAR Simgeler Y T M C e k n Açıklama zamanındaki gözlem zamanındaki rendin ekisi zamanındaki mevsimsel dalgalanmaların ekisi zamanındaki konjonkürel değişmelerin ekisi Haa bileşeni Gecikme sayısı Gözlem sayısı 2 R Belirleme kasayısı µ Populasyon oralaması 2 σ S γ γˆ ρ ρˆ d 2 d L d U v α φ p P θ q Q Populasyon varyansı Örnek varyansı Kovaryans Ookovaryans ahmini Ookorelasyon kasayısı Ookorelasyon ahmini Durbin-Wason es isaisiği Durbin-Wason al sınır değeri (ablo) Durbin-Wason üs sınır değeri (ablo) Von-Neumann es isaisiği Düzleşirme kasayısı Ooregresif modelin parameresi Ooregresif modelin derecesi Mevsimsel ooregresif modelin derecesi Harekeli oralama modelinin parameresi Harekeli oralama modelin derecesi Mevsimsel harekeli oralama modelin derecesi

22 xx SİMGELER VE KISALTMALAR (devam) Simgeler B d D s W 2 χ Açıklama Geri öeleme operaörü Fark alma operaörü Fark alma derecesi Mevsimsel fark alma derecesi Mevsimsel dalgalanmaların zaman aralığı Farkı alınmış seri Ki-kare Kısalmalar ACF AIC AR ARIMA ARMA DF HKO HMO MA MAPE PACF SBC Ookorelasyon fonksiyonu Akaike Bilgi Krieri Ooregresif model Ooregresif inegre harekeli oralama modeli Ooregresif harekeli oralama modeli Dickey-Fuller Tesi Haa kareler oralaması Haanın mulak oralaması Harekeli oralama modeli Mulak Oralama Yüzde Haa Kısmi ookorelasyon fonksiyonu Schwarz Bayes Krieri

23 1 1. GİRİŞ Geçmişen günümüze kadar geçen süreç içerisinde insanlar geleceği sürekli merak emişler ve gelecek hakkında bilgilere ulaşmaya çalışmışlardır. Zaman ilerledikçe yaşam zorlaşmış ve gelecek hakkında bilgilere ulaşmak ihiyaç haline gelmişir. Bu sebeple ülkeler, insanlar ve firmalar geleceğe yönelik araşırmalar yaparak, karşılarına çıkacak olumsuz durumlarda önlem almaya çalışmışlardır. Geleceği ahmin, incelenen bir gözlemin bugünkü ve geçmiş değerlerine bakarak, bu gözlemin geleceke alacağı değerleri espi emeye çalışma işlemidir. Gelecek hakkında bilgi edinebilme ve ahmin yapabilmenin en iyi yollarından birisi zaman serisi analizleridir. Zaman serisi analizleri, isaisik ahmin yönemleri arasında uygulaması kolay olan yönemlerden biridir. Zaman serisi analizleri, zaman serisine uygun gün, hafa, ay, mevsim veya yıl bazındaki verileri analiz emek, grafiksel olarak ifade emek, modelleme ve ahminleme yapabilmek için yaygın şekilde kullanılmakadır. Zaman serisi analizlerinin amacı, birden fazla değişken için oluşurulan zaman serisinden herhangi birinde meydana gelen değişmeleri kullanıp diğer serilerdeki değişmelerin açıklanabilmesi, geleceğe yönelik ahminlerin güvenilir bir şekilde yapılabilmesidir. Tahminlerin doğruluğu, geçmiş gözlemlerin sağlıklı olmasına ve bu verileri yansıan modelin doğruluğuna bağlıdır yılları arasındaki inek süü fiyaları kullanılarak zaman serisi analiz yönemlerinin karşılaşırılması çalışmanın esas amacını oluşurmakadır. Bu amaçla, ikinci bölümde, zaman serisi analizine ilişkin emel kavramlar ve özellikler ayrınılı bir şekilde verilmişir. Üçüncü bölümde ise, zaman serisi analiz yönemlerine değinilmişir. Dördüncü bölümde de zaman serisi analiz yönemleri uygulamalı olarak verilmişir. Uygulamada Türkiye deki inek süü fiyaları kullanılarak ek değişkenli zaman serisi analiz yönemlerinden ren analizi, harekeli oralamalar, uyarlayıcı arındırma, üsel düzleşirme ve Box-Jenkins yönemleri uygulanmışır. Seride rend ve mevsimsel olmayan bir dalgalanma olduğundan Hol üsel düzleşirme ve mevsimsel olmayan Box-Jenkins yönemleri seri için uygun bulunmuşur. Bu yönemler ile analizler yapılmış, gelecek üç yılın ahminlemesi elde edilmiş ve kullanılan yönemler karşılaşırmalı olarak incelenmişir.

24 2 2. LİTERATÜR BİLDİRİŞLERİ 2.1 Zaman Serisinin Tanımı Zaman serisi, zamanı gösermek üzere, Y=f() şeklinde bir fonksiyonel ilişkiyi ifade emekedir. Zaman serisi analizi, belirli zaman aralıklarında gözlemlenen bir olay hakkında geleceğe yönelik ahminlemede kullanılan bir yönemdir. Zamana bağlı olarak gözlemlenen verilere zaman serisi verileri denir. Bu veriler günlük, hafalık, aylık, üç aylık, alı aylık, yıllık veya daha uzun dönemli aralıklarda derlenir. Zaman serileri ile ilgili çalışmalar, isaisik yönemlerinin ve bilgisayarların gelişimi ile geçmişen günümüze kadar hızlı bir ilerleme gösermişir. Zaman serisi analizinin emellerini Yule (1927) ve Slusky (1937) amışır. Yule (1927), ooregresif modelini (AR) kullanmış ve gerçek zaman serisinin dönem uzunluğunun sabi olarak anımlanması gerekiğini söylemişir. Walker (1931), Yule (1927) arafından gelişirilen ooregresif modelini, ikiden fazla geçmiş dönem gözlem değeri üzerinde genelleşirmişir. Slusky (1937) ise, harekeli oralamalar modelini (MA) kullanmışır. Wold (1938), Yule (1927) ve Walker ın (1931) çalışmalarını sürdürmüş ve korelogramın önemini vurgulamışır. Ayrıca, deerminisik ve sokasik yaklaşım anımlamasını yapmışır. Bu anımlamaya göre zaman serilerinin am olarak önceden ahmini yapılabiliyorsa bu yaklaşıma deerminisik yaklaşım denir. Zaman serilerinin çoğu ihimal kurallarına bağlı olduğundan, zaman serilerinin önceden ahminini yapma imkanı yokur. Kolmogorov (1940) yapığı çalışmada, kesikli ve sürekli süreçler için ahmin sorununa çözüm önerisinde bulunmuşur. Kalman and Bucy (1961), durağan olmayan süreçler için ahmin işlemlerini gelişirmişlerdir (Özer, 1996). Zaman serisinin günümüze ulaşması sürecinde Box and Jenkins (1976), zaman serisi modellerinin anımlanmasında, ahmin edilmesinde ve konrolünde yol göserici birçok çalışma yapmışlardır. Bu çalışmaları sırasında ookorelasyon kasayısından yararlanmanın önemine değinmişler, ooregresif (AR) ve harekeli

25 3 oralamalar (MA) modellerinin kombinasyonu olan ooregresif harekeli oralamalar modelini (ARMA) oraya koymuşlardır. Zaman serisinde geçmiş ve bugünkü değerler kullanılarak gelecek döneme ai bilgileri elde eme yaklaşımına sokasik yaklaşım denilmekedir. Bu nedenle zaman serileri incelenirken, bu serilere bir sokasik süreç olarak bakılması ve analiz için sokasik modeller kullanılması gerekmekedir (Box and Jenkins, 1976). 2.2 Zaman Serilerinin Sınıflandırılması Zaman serileri elde edilmelerine göre sürekli zaman serileri ve kesikli zaman serileri olarak ikiye ayrılır. Bir olaya ai olarak ele alınan gözlemler zaman içinde sürekli ise, bu serilere sürekli zaman serileri denilmekedir. Bu ip zaman serileri genellikle zaman içinde eşi olmayan aralıklarda alınan gözlemlerden oluşmakadır. Eğer gözlemler sadece belirli zamanlarda alınıyorsa bu serilere de kesikli zaman serileri adı verilir ve böyle seriler genellikle zaman içinde eşi aralıklarda alınan gözlemlerden oluşmakadır. Kesikli zaman serilerine örnek olarak günlük, hafalık, aylık, üç aylık ve yıllık zaman serileri verilebilir (Chafield, 1989). Zaman serileri geldiği kaynaklara göre ekonomik ve fiziksel olarak da sınıflandırılır. Gözlem değerleri, ekonomik değişkenlerden elde edilmişse ekonomik zaman serileri, fiziksel bilimlerdeki değişkenlerden elde edilmişse fiziksel zaman serileri adı verilir (Kayım, 1985). Zaman serileri gösermiş oldukları periyodik şekillere göre de mevsimlik zaman serileri ve mevsimlik olmayan zaman serileri adını almakadır (Kayım, 1985). İncelenen zaman dönemi boyunca serinin oralaması ve varyansı sisemaik bir değişme gösermiyor, seri periyodik dalgalanmalardan arınmışsa bu serilere durağan zaman serileri denir (Kadılar, 2005). Durağan olmayan serilerde, serinin bazı dönemlerinde büyük dalgalanmalar görülür. Bu ür dalgalanmalar göseren serilere durağan olmayan zaman serileri adı verilir (Kayım, 1985).

26 4 2.3 Zaman Serilerinin Uygulama Alanları Zaman serileri zamana bağlı olarak değişen olayların incelenmesinde kullanılır. Zaman serilerinin uygulama alanları ekonomi (işsizlik oranı, faiz oranları, vb.), icare (envaner, saışlar, fiya, hisse senedi fiyaları, vb.), sosyoloji (suç oranları, boşanma oranları, vb.), meeoroloji (yağış mikarı, sıcaklık, rüzgar hızı, vb.), ekoloji (çevre kirliliği, su kirliliği, vb.), asronomi (güneş harekeleri, yıldızların parlaklığı, vb.), mühendislik (fizik, çevre, gıda, vb.), ıp (kan değerleri, vücu ağırlıkları, ansiyon, vb.) ve arım (hayvancılık, sü verimi, bikisel üreim, vb.) konularında olabilmekedir. Şenyay (1982), çalışmasında zaman serileri analizini ayrınılı olarak açıklamış ve Gensa pake programını kullanarak bir uygulama yapmışır. Türkiye de aylık ihracaların mevsimsel bir hareke gösermesi ve zamanla arışı göz önüne alınarak, yılları arasındaki aylık ihraca verilerine ooregresif inegre harekeli oralamalar modelini (ARIMA) uygulayarak bir sonraki yılın ahminini yapmışır. Tecim (1990), yapığı çalışmada zaman serisi analizlerinin sermaye piyasasında bir uygulamasıyla İsanbul Menkul Kıymeler Borsası (IMKB) endeksi, işlem hacmi ve işlem mikarını analiz emişir Ocak Mayıs dönemi hafalık kapanış verilerine Box-Jenkins modellerini uygulamış ve 10 hafalık ahminler elde emişir. Deluyker e al. (1990), çalışmalarında Siyah Alaca ırkı ineklerin günde üç kez (sekiz saa aralıklarla) alınan sü verim kayılarından, sü üreiminin kısa süreli ahminlemesini yapmak için zaman serileri analizini kullanmışlardır. Analizde 513 ane kısmi veya am lakasyon kaydından faydalanmışlardır. Zaman serisi analiz yönemlerinden, üsel düzleşirme yöneminin hem bireysel sü verimini hem de günlük verimi modellemek için en uygun yönem olduğunu gösermişlerdir. Model paramereleri; lakasyon dönemi, lakasyon sırası, eksik sağım ve hasalık edavilerinden ekilenmişlerdir. Günlük sü verimi ahmin haalarının varyansı, bireysel sü veriminin ahmin haalarının oplam varyansına eşi bulunması nedeniyle; günlük sü veriminin ahmininde kullanılan model aynı zamanda bireysel sü veriminin ahminlenmesinde de kullanılabilmekedir. Wade e al. (1993), 1970 Ocak ile 1985 Nisan dönemleri arasında Wisconsin da bulunan Siyah Alaca ırkı ineklerin sü ve yağ verimleri üzerinde

27 5 çalışmışlardır. Şansa bağlı eki, korelasyon kasayısı ve haa varyansını içeren varyans bileşenlerinin ahmininde birinci dereceden ooregresif modeli AR(1) kullanmışlardır. Yücel ve Topaloğlu (1999), Adana Meeoroloji İsasyonuna ai uzun yıllık ( ) günlük minimum, oralama ve maksimum sıcaklık değerlerini zaman serileri analizi ile incelemişler ve uzun yıllık sıcaklık değerleri ahminlerinin ikinci derece ooregresif model AR(2) ile açıklanabileceğini gösermişlerdir. Okajima e al. (2000), yılları arasında yaş arası erkeklerin aylık vücu ağırlıkları ve ansiyonlarını incelemek için zaman serileri analizini kullanmışlardır. Sonuça, erkeklerin vücu ağırlıkları ve ansiyon değerlerinin yaşa göre değişim göserdiğini ve mevsimsel dalgalanmaların görüldüğünü oraya koymuşlardır. Maccioa e al. (2000), zaman serisi analiz yönemlerini 1200 Sarda ırkı koyununun aylık konrol günü sü verimlerini analiz emek için kullanmışlardır. Ooregresif inegre harekeli oralama modelini (ARIMA) uygulayarak birkaç günlük deneim günü sü verimi kaydından 225 günlük lakasyon sü verimini ahmin emişlerdir. Sonuça ahmin edilen modelin ahmin gücünün yüksek olduğunu belirerek, daha karmaşık yönemlerle lakasyon eğrisi üzerinde çalışılması gerekiğini önermişlerdir. Özalp ve Anagün (2001), gıda seköründe işlem gören iki hisse senedine ilişkin fiya değerlerini ahminlemeye çalışmışlardır Ocak Mar dönemine ai veriler kullanılarak Winers üsel düzleşirme yönemi, Box-Jenkins yönemlerinden ARIMA modelleri ve yapay sinir ağları yönemlerini uygulamışlar ve sonuçları karşılaşırmışlardır. Yapay sinir ağları kullanıldığında elde edilen sonuçların diğer yönemlere göre daha başarılı olduğunu söylemişlerdir. Maccioa e al. (2002), 6000 ade İalyan Simmenal ırkı inek üzerinde yapıkları çalışmalarında zaman serisi analiz yönemlerinden ooregresif harekeli oralama modelini (ARMA) sü ineklerinde sü, yağ ve proein verimi kayılarına uygulayarak, konrol günü verimlerini ahmin emişlerdir. Tahmini değerler ile gerçek değerler arasındaki korelasyonları hesaplamışlar ve korelasyon değerlerini sü, yağ ve proein verimi için sırasıyla 0.85, 0.72 ve 0.80 olarak bulmuşlardır.

28 6 Bircan ve Karagöz (2003), zaman serisi analiz yönemlerinden Box-Jenkins yönemini kullanarak döviz kurları üzerinde uygulama yapmışlardır Ocak ve 2002 Aralık dönemini kapsayan 132 aylık döviz kuru serisi üzerinde uygulanan Box-Jenkins yönemi ile yapılan ahminde döviz kuru serisinin logarimik değerleri alınarak kullanılan modeli ARIMA (2,1,1) olarak espi emişlerdir. Modelin uygunluğu için Ljung and Box (1978) düzelilmiş Q isaisiği hesaplanarak, ahmin haalarının esadüfi olarak dağıldığına ve modelin döviz kuru ahminine uygun olduğuna karar vermişlerdir. Topçuoğlu vd. (2005), yapıkları çalışma ile ARIMA modellerini kullanarak Gediz Havzasının gelecekeki yağış poansiyelini ahmin emeye çalışmışlardır. Bu amaçla Gediz Havzasında bulunan 11 isasyonun yıllarına ai aylık yağış verilerini kullanmışlardır. Gediz Havzası için oluşurulan model sonucu, gelecek 100 yıllık dönem sonunda, havza içindeki yıllık oplam yağışın % 2.4 oranında azalacağını belirmişlerdir. Baran ve Bacanlı (2006), Ceyhan havzasında bulunan Harmansuyu Tanır Akım Gözlem İsasyonu nda gözlenmiş yıllık akım verilerini kullanarak AR(1), AR(2), AR(3), ARMA(1,1), ARMA(1,2) modellerinden uygun olanını belirlemeye çalışmışlardır. Uygun modeli belirleme aşamasında minimum haa varyansına, ookorelasyon (ACF) ve kısmi ookorelasyon (PACF) fonksiyonlarına, Akaike Bilgi Krieri (AIC) değerlerine bakmışlardır. Sonuça, en uygun modelin AR(2) olduğuna karar vermişlerdir. Erdoğan (2006), çalışmasında zaman serilerini genel olarak anımış, zaman serisi analiz yönemlerinden Box- Jenkins in ooregresif inegre harekeli oralama modellerini (ARIMA) eorik olarak anlamışır. Türkiye deki ihala mikarları üzerine uygulama yaparak sonraki dokuz ayın ahminlemesini yapmışır. Sevükekin ve Nargeleçekenler (2007), zaman serileri konusuna kakıda bulunmak için yazdıkları kiapa zaman serileri kalıpları, zaman serileri süreçleri, zaman serileri modelleri ile durağanlık analizlerinden korelogram, birim kök ve yapısal kırılma eslerine ayrınılı şekilde değinmişlerdir. Konu anlaımlarının sonunda EViews pake programı kullanılarak örnekler vermişlerdir. Sancak (2008), yapığı çalışmada ek değişkenli zaman serilerinde, modelin uygunluğunun es edilmesi amacıyla kullanılan Box-Pierce, Lung-Box, McLeod- Li, Moni s ve Li-McLeod eslerini karşılaşırmışır. Mone Carlo simülasyon

29 7 yönemini kullanarak öncelikle eslerin deneysel birinci ip haa (α) sonuçlarını, ardında da esin gücü (1-β) sonuçlarını elde emiş ve bu şekilde karşılaşırma yapmışır. AR(1) modeli, AR(2) modeli, AR(3) modeli, MA(1) modeli, MA(2) modeli, MA(3) modeli ve ARMA(1,1) modellerini kullanmışır. Tesleri birbiri ile karşılaşırdığında, birbirlerine göre çok büyük farklılıklar gösermediklerini gözlemekle beraber, McLeod-Li esinin diğerlerinden daha zayıf olduğunu söylemişir. Uygulama açısından ercih yapılması gerekiğinde diğer dör yönemden birinin seçilmesinin faydalı olacağını belirmişir. Eğer, hassas bir bilgiye gereksinim varsa Ljung-Box ve Moni s eslerinin daha iyi olduğunu vurgulamışır. Ookorelasyon kasayıları ile çalışılıyorsa hesaplamadaki kolaylık açısından Box-Pierce esini, daha hassas bilgi için Ljung-Box esini önermişir. Li-McLeod esinin performans bakımından Ljung-Box esine yakın olmasına rağmen, uygulama bakımından daha zor olduğunu söylemişir. Kısmi ookorelasyon kasayıları ile çalışılıyorsa, Moni s esinin kullanmasını önermişir. Çuhadar vd. (2009), zaman serisi analiz yönemlerinden üsel düzleşirme ve Box-Jenkins yönemleri ile yapay sinir ağı modellerinin ahmin doğruluklarını karşılaşırarak, en yüksek doğruluğu sağlayan modelin belirlenmesi ve belirlenen model yardımıyla Analya iline yönelik aylık dış urizm alebi ahminlerinin yapılmasını amaçlamışlardır. Çalışmalarında 1992 Ocak 2005 Aralık döneminde Analya iline gelen aylık yabancı uris sayısı verilerinden yararlanmışlardır. Yapıkları analizler sonucunda orijinal seri değerlerini kullanarak oluşurdukları 12 gecikmeli yapay sinir ağı modelinin en yüksek doğruluğu sağladığını görmüşler ve elde eikleri model yardımıyla 2009 yılı için Analya iline yönelik aylık dış urizm alebi ahminlerini yapmışlardır. 2.4 Zaman Serileri Bileşenleri Zaman serilerinde düzenli veya düzensiz değişimler meydana gelebilir. Zaman serilerinde ahminleme yapabilmek için seriye düzensiz bir görünüm veren hareke veya dalgalanmaların neden ileri geldiklerini bulup, bunları oraya çıkarmak gerekir (Köksal, 1985). Zaman içerisinde gözlemlerin harekelerini incelemek için yapılan zaman serisi analizlerinde gözlenen harekeler değişik nedenlerden ileri gelebilir (Mann, 1995; Newbold e al., 2003). Bunlar:

30 8 a) Uzun dönemli genel ren b) Mevsimsel dalgalanmalar c) Konjonkürel (devirsel) dalgalanmalar d) Düzensiz harekelerdir Uzun dönemli genel ren Tren analizi, bir zaman serisinin uzun dönemde belirli bir yöne doğru göserdiği değişmedir. Bu analiz uzun dönem analizi olduğundan, verilerin aylık veya mevsimlik olarak verilmiş olması sonucu ekilemeyecekir (Köksal, 1985). Zaman serileri genel olarak karezyen koordinalı bir grafikle göserilir. Grafiğin apsis ekseninde zaman değişkeni, ordina ekseninde gözlem değerleri yer alır. Zaman değişkenine karşılık gelen gözlem değerleri koordina siseminde işarelendiğinde nokalar diyagramı elde edilir. Zaman serilerine ai dağılım diyagramında nokalar ekseriyele bir doğru erafında oplanmışsa rendin yani genel eğilimin doğrusal (lineer) olduğu söylenebilir. Trendin yön ve şiddei her zaman sabi kalmaz. Tren doğrusal ya da eğrisel olabilir. Şekil 2.1 de gerçekleşmesi mümkün olan birkaç doğrusal ve eğrisel ren göserimi verilmişir. Şekil 2.1 Olası ren göserimleri (Mann, 1995).

31 Mevsimsel dalgalanmalar Mevsimsel dalgalanmalar; birbirini izleyen yılların, ayların, günlerin ya da mevsimlerin aynı zaman nokalarında, gözlem değerlerindeki arma veya azalma şeklindeki düzenli değişmelerdir. Mevsimsel dalgalanma göseren zaman serisi grafiği Şekil 2.2 de göserilmişir. Birbirini izleyen iki mevsimsel değişmenin maksimum nokaları arasındaki zaman aralığına dalga uzunluğu, bir mevsimsel değişmenin maksimum ve minimum nokası arasındaki yükseklik farkına da dalga şiddei denilmekedir. Şekil 2.2 Mevsimsel dalgalanmaların göserimi (Sincich, 1996) Konjonkürel (Devirsel) dalgalanmalar Uzun vadede bir ren erafındaki arma veya azalma şeklinde ekrarlanan değişmelerdir. Konjonkürel dalgalanmaları göseren grafik Şekil 2.3 e verilmişir. Konjonkürel dalgalanamalar, ren erafında S şeklinde dalgalanmalar göserir. Bunun en ipik örneği, ekonomideki refah, durgunluk, gerileme ve yeniden refaha dönüş devreleridir. Bu harekeler, mevsimsel dalgalanmalara benzer şekilde periyodik olarak ekrar eseler de periyoların uzunluğu ve sürelerin belirsizliği ile dikkai çeker (Köksal, 1985).

32 10 Şekil 2.3 Konjonkürel dalgalanmaların göserimi (Mann, 1995) Düzensiz harekeler Düzensiz harekeler; belirli fakörler dışında kalan ve varlığı daha önceden ahmin edilemeyen, ekisini devamlı olarak gösermeyen bazı olaylar sonucunda oraya çıkar. Örnek olarak harp, grev, felake ve geçici aılımlar verilebilir (Kayım,1985). Zaman serisi yukarıda anlaılan dör bileşenden oluşmakadır. Zaman serisini bileşenlerine ayırarak her bir bileşen için ahminleri içeren ve bu bileşenlerin ahmininden, zaman serisinin ahminini hesaplayan yöneme ayrışırma yönemi denilmekedir. Bu yönem eorik olarak çok güçlü olmayıp sezgilere dayanmakadır. Daha çok kısa dönemli ahminlemelerde kullanılmakadır (Kadılar, 2005). Zaman serisi modelleri oplamsal ve çarpımsal model olmak üzere iki kısımda incelenir. kabul eder, Toplamsal model; zaman serilerinin, bileşenlerin oplamından oluşuğunu Y = T + M + C + e (2.1) şeklinde göserilir. Bu eşilike,

33 11 Y = zamanındaki gözlem T = zamanındaki rendin ekisi M = zamanındaki mevsimsel dalgalanmaların ekisi C = zamanındaki konjonkürel değişmelerin ekisi e = haa bileşenidir. Toplamsal modellerde mevsimsel dalgalanmaların rendden bağımsız olması nedeniyle mevsimsel bileşenin dalga şiddei ve uzunluğu zaman içinde değişmemeke, yani sabi kalmakadır. Mevsimsel bileşenin dalga uzunluğunun konjonkürel harekelerle değişiği serilerin oluşurduğu model çarpımsal modeldir ve Y = T * M * C * e (2.2) olarak göserilebilir. Bu model için logarimik bir ransformasyon uygun olabilir. log Y = logt + log M + log C + log e (2.3) Eşilik 2.2 ile verilen çarpımsal modele uygun bir serinin logariması alındığında, Eşilik 2.3 eki oplamsal modele uygun bir seriye dönüşür. Toplamsal ve çarpımsal modellerden haa kareler oralaması değeri (HKO) minimum olan modelin seriye daha uyumlu olduğu söylenebilir (Kadılar, 2005) Zaman Serileri Analizinin Basamakları Zaman serileri analizi, serinin anımlama, açıklama, ahmin ve konrol aşamalarını kapsayan dör basamakan oluşmakadır. Zaman serileri analizinin incelenmesinde yapılacak ilk işlem, serinin özelliklerini oraya koymak için gözlemlerin zamana karşı grafiğinin çizilmesi olmalıdır. Zaman serileri grafiği ilk bakışa, bir ya da daha çok serinin en emel özelliklerini örneğin; rendi, konjonkürel değişmeleri, mevsimsel dalgalanmaları,

34 12 vb. görmemizi sağlar. Gözlemlerin grafiği çizilmeden analize başlanırsa, ileri safhalarda bir akım problemlerle karşılaşılabilir. Çizilen grafikle, serinin rende sahip olup olmadığı araşırılır. Zaman serilerinin anımlanmasından sonra serilerin açıklanması aşaması gelmekedir. Bu aşamada, uygun bir zaman serisi modelinin kurulması, modelin verilere uyumunun es edilmesi ve varyasyon kaynaklarının açıklanmasına yer verilmekedir. Zaman serileri analizinin bir diğer basamağı ahminlemedir. Seçilen uygun modele göre gelecek döneme ai ahminler yapılır. Tahminlemede amaç, değişkenlerin belli dönemlerde aldıkları gerçek değerlerine yakın ahminler elde edebilmekir. Zaman serileri analizinin son aşaması, kullanılan modelin seriye uyumunun sağlanıp sağlanmadığının konrol işlemini içermekedir. Eğer kullanılan model ile yapılan ahmin seri için uygun değilse, geriye dönülerek model gözden geçirilip gerekli işlemler ekrar yapılmalıdır. 2.6 Zaman Serileri Analizinde Kullanılan Temel Kavramlar. Zaman serileri analiz yönemlerine geçmeden önce bazı kavramlara değinmek faydalı olacakır. Bu kavramlar, serilerin ilişki ve özelliklerini açıklamaka ve kurulacak olan modelin seçiminde bilgi vererek yardımcı olmakadır. Zaman serileri analizinde kullanılan emel kavramlar aşağıda açıklanmakadır Durağanlık Zaman serilerinin durağan olması, zaman içinde varyansın ve oralamanın sabi kalması ve gecikmeli iki zaman periyodundaki değişkenlerin kovaryansının, değişkenler arasındaki gecikmeye bağlı olup zamana bağlı olmamasıdır (Gujarai, 1995). Zaman serilerinde serinin durağan olup olmaması büyük önem aşımakadır. Granger and Newbold (1974), durağan olmayan zaman serileriyle çalışılması durumunda değişkenler arasındaki ren nedeniyle sahe regresyon problemiyle karşılaşılabileceğini belirmişlerdir. Değişkenler arasında anlamlı ilişkiler elde

35 13 edilebilmesi için analizi yapılan serilerin güçlü bir rende sahip olmaması gerekir. Birçok analizde ele alınan iki serinin de güçlü rende sahip olması nedeniyle, değişkenler arasında anlamlı bir ilişki olmasa bile çoğunlukla yüksek bir R 2 belirleme kasayısı bulunur. Bu durum sahe regresyon sorununa yol açar. Bu durumda regresyon analiziyle elde edilen sonuç, gerçek ilişkiyi yansımayacakır. Bu nedenlerle değişkenlerin durağanlaşırılmaları gerekmekedir (Şahbaz, 2007). Zaman serilerinin durağanlık özelliklerinin araşırılmasında Dickey and Fuller (1979) arafından gelişirilen Dickey-Fuller esi (DF) yaygın olarak kullanılan yönemlerden biridir. Dickey-Fuller esi, bir zaman serisinin durağanlık özelliğinin araşırılması yanında birim köke sahip olup olmadığını es emek amacıyla da kullanılmakadır. Dickey-Fuller esinde, Y değişkeninin bir dönemde aldığı değerin bir önceki dönemde (Y -1 ) aldığı değer ile ilişkisi, Y φ + e (2.4) = Y 1 şeklinde ifade edilir. Bu model birinci dereceden ooregresif modeldir. Modelde φ 1 olduğu göserilebiliyorsa birim kökün varlığından söz edilebilir ve Y = Y 1 + e (2.5) olarak yazılabilir. Y serisinin birinci derece farkı alındığında, Y = (φ 1) Y + e (2.6) 1 olur. Eşilik 2.6 için yeni bir ρ =φ 1 kasayısı belirlenirse, Y = ρ Y + e (2.7) 1 elde edilir. Bu model için, H 0 : ρ=0 (birim kök vardır, seri durağan) H 1 : ρ 0 (birim kök yokur, seri durağan değil)

36 14 hipoezleri es edilir. Zaman serilerinin uygun bir modele ourulabilmesi için bu serinin önce durağan hale geirilmesi gerekir. Durağan ve durağan olmayan zaman serileri aşağıda anlaılmışır Durağan zaman serileri Bir zaman serisinin oralaması, varyansı ve kovaryansı zaman boyunca sabi kalıyorsa, serinin durağan olduğu söylenebilir. Buna göre; Oralama, E Y ) = µ (üm ler için) ( Varyans, 2 Var ( Y ) = σ (üm ler için) Kovaryans, Cov( Y, Y k ) = γ k (üm ler için, k 0) olarak yazılır. En basi durağan zaman serisi Beyaz Gürülü (whie noise) sürecidir. Beyaz gürülü süreci, 2 Y = e IID(0, σ ) e şeklinde göserilir. Beyaz Gürülü sürecinin grafiği Şekil 2.4 de göserilmişir. Şekil 2.4 Beyaz gürülü süreci (Erdoğan, 2006).

37 15 Şekil 2.4 de görüldüğü gibi seri oralaması 0, varyansı aynı dağılımlı rassal değişkenden oluşmuşur. 2 σ olan, bağımsız ve Beyaz gürülü sürecinin durağanlık koşullarından ek farkı kovaryansının sıfır olmasıdır. Buna göre; Oralama, E Y ) = µ (üm ler için) ( Varyans, 2 Var ( Y ) = σ (üm ler için) Kovaryans, Cov ( Y Y, k ) = 0 (üm ler için, k 0) olarak yazılır Durağan olmayan zaman serileri Durağan olmama serinin geçmiş, şimdi ve gelecekeki harekelerinin benzer olmayacağı anlamına gelir. Durağan olmayan zaman serileri durağan serilerden farklı olarak aşağıdaki özelliklere sahipir: i) Serinin değerleri belirli bir değer erafında dağılmaz ve sabi oralamaya sahip değildir. ii) Varyans zamana bağlıdır. azalmaz. iii) Gözlemler arasındaki ilişki, gözlemlerin birbirlerine uzaklığı arıkça Durağan olmayan zaman serilerine örnek olarak rassal yürüyüş (random walk) süreci verilebilir. Mankiw and Mahew (1985), rassal yürüyüş sürecini Y = Y 1 + e (2.8) şeklinde ifade ederek sokasik bir rendi açıklamışır. Burada Y -1, Y serisinin bir gecikmeli değerini, e ise oralaması 0, varyansı 2 σ olan, bağımsız olarak dağılmış esadüfi haa değişkenini gösermekedir. Rassal yürüyüş sürecinin grafiksel göserimi Şekil 2.5 deki gibidir. Şekilde görüldüğü gibi rassal yürüyüş

38 16 süreci sabi bir oralama erafında dağılmaz. Ayrıca serinin varyansı da sabi değildir. Şekil 2.5 Rassal Yürüyüş Süreci (Erdoğan, 2006) Ookovaryans fonksiyonu Bir zaman serisinde k dönem uzaklıkaki gözlem değerleri arasında var olan ilişkiye ookovaryans, bu ilişkinin derecesini ölçen kasayıya ookovaryans kasayısı denir. Ookovaryans kasayılarını k gecikmesine bağlayan fonksiyona ise ookovaryans fonksiyonu adı verilir (Kuay,1989). Aralarında k dönem bulunan fonksiyonu, Y Y + k, değerleri için ookovaryans γ ( k ) cov( Y, Y ) = E[( Y E( Y ))( Y E( Y ))] = E[( Y µ )( Y µ )] (2.9) = + k + k + k + k biçiminde göserilir (Akgül,2003). Ookovaryans fonksiyonu zaman serilerinin modellenmesinde, model ürü ve model derecesinin belirlenmesinde kullanıldığı gibi, serinin durağan olup olmaması hakkında da bilgi vermekedir. Durağanlık anımı gereği ookovaryans zamanın değil, gecikmenin bir fonksiyonu olmakadır. k=0 durumunda ookovaryans fonksiyonu simerik olmakadır. γ ( k) =γ ( k)

39 17 k gecikmeli ookovaryans ahmini olarak adlandırılır ve γˆ k, γˆ k ile göserilir, örneklem ookovaryansı 1 ˆ γ = k=0,1,2,,n (2.10) k n k ( Y Y)( Y+ k Y) n = 1 eşiliği ile hesaplanır (Chafield,1989). Örneklem ookovaryansının güvenilir olabilmesi için gözlemlerin yeerli sayıda olması gerekir. Çünkü gecikme sayısı arıkça ahminde kullanılan gözlem sayısı azalır; bu azalış ahmin haasını arırır. Yeerli bir ookovaryansın belirlenebilmesi için, uygulamada gözlem sayısının en az 50 olmasına dikka edilmelidir (Box and Jenkins, 1976) Ookorelasyon fonksiyonu (ACF) Korelasyon, iki değişken arasındaki ilişkinin yönünü ve derecesini gösermekedir. Ookorelasyon ise, aynı değişkenin değerleriyle çeşili gecikme değerleri arasındaki ilişkiyi incelemekedir. Bu ilişkinin derecesinin ölçülmesinde kullanılan kasayıya ookorelasyon kasayısı denir ve ρ(k) ile göserilir. Farklı değerdeki k gecikmeleri (k=0,1,2,...) için hesaplanan ρ (k) ları k gecikmelerine bağlayan fonksiyona ookorelasyon fonksiyonu denir (Özmen,1986). k gecikmeli ookorelasyon kasayısı ρ (k), ρ( k) = E[( Y µ )( Y E[( Y µ ) 2 + k = 2 + k µ ) ] ( Y µ )] cov( Y, Y σ σ y + k y+ k ) (2.11) olarak ifade edilir. Bir durağan süreç için dönemdeki varyans ile +k dönemdeki varyans aynı olduğundan, Eşilik 2.11 in paydasındaki değer bir sayılarak Eşilik 2.12 deki gibi yazılabilir. E[( Y µ )( Y+ k µ )] γ ( k) ρ( k) = = (2.12) 2 σ γ (0) y Ele alınan durağan bir seride örnekleme ai oralama, varyans ve ookorelasyon değerleri kullanılarak gerçek veri üreen sürecin paramereleri

40 18 ahmin edilebilir. gözleme sahip bir seride µ, örnekleme ai y, 2 σ ˆ, hesaplanır (Akıncı, 2008; Erdoğan,2006). 2 σ, ρ değerleri yerine ρˆ k değerleri kullanılır ve Eşilik deki gibi n y = y = 1 (2.13) n n 2 ( y y) 2 = σ ˆ = 1 n (2.14) n k ( y y)( y+ k y) = 1 ˆρ k = n (2.15) ( y 2 y) = 1 k Ookorelasyon fonksiyonunun genel özellikleri aşağıda sıralanmışır. Ookovaryans fonksiyonunun ahmininde gözlem ve gecikme sayısına ilişkin olarak belirilen durumlar ookorelasyon fonksiyonunda da geçerlidir. Ookorelasyon fonksiyonu gecikmenin simerik bir fonksiyonudur. Yani, korelasyon poziif ve negaif yer değişirmeler için aynıdır. ρ ( k) =ρ( k) Ookorelasyon kasayıları ±1 arasında değerler alır. -1 ρ (k) 1 Bir zaman serisi için uygun modelin belirlenebilmesi, ookorelasyon fonksiyonunun belirli bir gecikme değerinde kesilip kesilmediğinin bilinmesine bağlıdır (Box and Jenkins, 1976). Çok sayıda erimden meydana gelen rassal bir serinin k gecikme değerleri için hesaplanan ookorelasyon kasayılarının örneklem dağılımları normal dağılım yaklaşımı ile elde edilirler ve oralaması sıfır, sandar haası yaklaşık olarak

41 19 1/ n dir. Örneklem ookorelasyonların sandar haaları Eşilik 2.16 ile hesaplanabilir (Box and Jenkins, 1976). n 1 2 ˆ (1+ 2 ˆ ρ ρi ) (2.16) n S k i= 1 Ookorelasyon kasayılarının örneklem dağılımı hakkında verilen bu bilgiler, bir zaman serisinin rassal bir seri olup olmadığını oraya koymada yardımcı olabileceği gibi, hesaplanan ookorelasyon kasayılarının hangi gecikmeden sonra rassal olarak sıfırdan farklı olduğunu belirlemede de yardımcı olur Ookorelasyon analizi Ookorelasyon analizinde, gözlem selerine uygun bir model bulunup ahmin yapıldıkan sonra ahmin haalarının ookorelasyonları hesaplanarak bunların rassal olup olmadıkları incelenir (Kayım,1985). Haa değerlerini ek ek inceleyerek bir karara varmak mümkün olabilse de, haa değerleri yerine ookorelasyonlarının incelenmesi daha büyük yararlar sağlamakadır. Ookorelasyon analizleri serinin durağan olup olmadığını gösermekedir. Eğer incelenen zaman serisi durağan ise bu seri için hesaplanan ookorelasyon değerleri birkaç gecikmeden sonra sıfıra yaklaşacakır. Durağan olmayan zaman serilerinin grafiksel göseriminde ookorelasyon fonksiyonu, gecikmeler büyüdükçe soldan sağ aşağıya doğru giden bir ren göserir. Böyle bir rendin var olması, birbirini izleyen gözlem değerlerinin yüksek derecede ilişkili olduğunu gösermekedir. Eğer seride bir akım sapmalar varsa ookorelasyon fonksiyonu bir doğru boyunca sapmalar göserir, aksi durumda ise bir doğru çizgi görünümünde olacakır. Durağan olmayan serilerde birinci, ikinci veya daha yüksek gecikmelerde ookorelasyon değerleri sıfıra doğru düşme gösermezler. Bu durum, seride sadece rendin değil, daha başka değişim formlarının da bulunabileceğini gösermekedir. Durağan olmayan bir seriyi durağan hale dönüşürmek için öncelikle serinin birinci dereceden farkı alınır ve bu fark serisinin ookorelasyonları incelenir. Eğer ookorelasyon değerleri bir veya ikinci gecikmeden sonra hızlı bir şekilde sıfıra doğru düşüyorsa birinci dereceden farkı alınmış serinin durağan olduğuna karar

42 20 verilir. Aksi halde, eğer birinci dereceden fark serisinin ookorelasyonları ikinci veya üçüncü gecikmeden sonra sıfıra yaklaşmıyorlarsa, bu seride durağanlığa ulaşılmadığı sonucuna varılır. Bu durumda ya birinci dereceden farkı alınmış serinin ekrar farkının alınması veya orijinal serinin ikinci dereceden farkının alınması gerekmekedir Ookorelasyon esleri Ookorelasyonun varlığını es emek için gelişirilmiş en önemli esler Durbin-Wason ve Von-Neumann esleridir. a) Durbin-Wason esi: Durbin and Wason (1951) arafından oraya konulmuş olan es isaisiği birinci dereceden ookorelasyonu araşırır. İleride anlaılacak olan ooregresif modelin birinci derecesi için bu es geçerlidir. Bu es isaisiği büyük örnekler için geçerli olabileceği gibi küçük örnekler için de geçerli olmakadır (Draper ve Smih,1981). Ookorelasyon için yapılan ese, H 0 : ρ=0 (ookorelasyon yokur) H 1 : ρ 0 (ookorelasyon vardır) hipoezleri es edilir. Hipoezlerde kullanılacak Durbin-Wason es isaisiği, e haa erimi olmak üzere d n = 2 = n ( e e 1) = 1 e 2 2 (2.17) şeklinde yazılabilir. Burada n gözlem sayısını, k ise modeldeki oplam paramere sayısını gösermekedir. Bulunan d es değeri, Durbin-Wason kriik değerleri ablosundan bakılarak bulunan (n-k) serbeslik dereceli eorik d değeri ile karşılaşırılır. Tabloda, n ve k ya göre elde edilecek al (d L ) ve üs (d U ) sınır değerleri bulunur.

43 21 Bulunan d değerine bakılarak poziif veya negaif ookorelasyon eslerinden biri yapılır. i) Poziif ookorelasyon esi ρ>0 durumunda yapılan esir. d d U ise poziif ookorelasyon yokur ve H 0 hipoezi red edilemez (ρ=0). d d L ise poziif ookorelasyon vardır ve H 0 hipoezi red edilir (ρ 0). d L < d < d U ise poziif ookorelasyon hakkında kesin bir şey söylenemez ve bu bölge kararsız bölge olarak adlandırılır. Poziif ookorelasyon Şekil 2.6 daki gibi şemaize edilebilir. Poziif Poziif ookorelasyon Kararsız ookorelasyon var bölge yok d L d U Şekil 2.6 Durbin-Wason poziif ookorelasyon şeması. ii) Negaif ookorelasyon esi ρ<0 durumunda yapılan esir. d 4-d U ise negaif ookorelasyon yokur ve H 0 hipoezi red edilemez (ρ=0). d 4-d L ise negaif ookorelasyon vardır ve H 0 hipoezi red edilir (ρ 0 ). 4-d U < d < 4-d L ise negaif ookorelasyon hakkında kesin bir şey söylenemez ve bu bölge kararsız bölge olarak adlandırılır. Negaif ookorelasyon Şekil 2.7 deki gibi şemaize edilebilir.

44 22 Negaif Negaif ookorelasyon Kararsız ookorelasyon yok bölge var 4-d U 4-d L Şekil 2.7 Durbin-Wason negaif ookorelasyon şeması. b) Von-Neumann esi: Durbin-Wason kriik değerleri ablosu, gözlem sayısının 15 en büyük olduğu durumlarda d L ve d u değerlerini vermekedir. Bu nedenle gözlem sayısının 15 en küçük olduğu durumlarda, Von-Neumann esi kullanılmakadır. Von-Neumann es isaisiği (v), Durbin-Wason es isaisiğinin (d) pay ve paydasının serbeslik derecesine bölünmesiyle elde edilir (Kousoyiannis, 1973). Von-Neumann es isaisiği, e haa erimi olmak üzere n 2 ( e e ) /( n 1) 2 1 S = 2 v= = (2.18) 2 n S e 2 e / n = 1 şeklinde yazılabilir. Eşilike 2 S = ilk farkların varyansını 2 S e = haaların varyansını gösermekedir. Durbin-Wason esinde, Durbin-Wason kriik değerleri ablosu kullanılırken; Von-Neumann esinde ise Von-Neumann ablosu kullanılmakadır. Bu ablo, farklı önemlilik derecelerine ve örnek büyüklüklerine göre poziif ve negaif ookorelasyon sınır değerlerini vermekedir. Tabloda bulunacak olan v 1 poziif ookorelasyon sınır değerini, v 2 negaif ookorelasyon sınır değerini gösermekedir. Eğer, v<v 1 ise poziif ookorelasyonun var olduğuna

45 23 v>v 2 ise negaif ookorelasyonun var olduğuna v 1 <v<v 2 ise ookorelasyonun olmadığına karar verilir. Von-Nuemann v oranı, Şekil 2.8 deki gibi şemaize edilebilir (Tecim, 1990). Poziif Negaif ookorelasyon Ookorelasyon ookorelasyon var yok var v 1 v 2 Şekil 2.8 Von-Neumann ookorelasyon şeması Kısmi ookorelasyon fonksiyonu (PACF) Ookorelasyon fonksiyonu zaman serisindeki iki noka arasındaki ilişkiyi incelemekedir. Kısmi ookorelasyon fonksiyonu ise, diğer zaman gecikmelerinin ekisini arındırarak Y ve Y -k arasındaki ilişkinin derecesini ölçmekedir. Kısmi ookorelasyon kasayısı, Y ve Y -k arasındaki ilişkisini diğer gecikmeli değişkenlerin ekisi sabi kalmak şarıyla oraya koymakadır. Kısmi ookorelasyon φ şeklinde göserilmekedir. Ookorelasyon kasayısında olduğu kk gibi, kısmi ookorelasyon kasayısı da -1 φ kk 1 arasında değer alır ve ookorelasyon kasayısı gibi yorumlanır. Gecikmeli olarak hesaplanan kısmi ookorelasyon kasayısı k=1,2,3,... değerleri için φ 11, φ 22,..., φkk sembolleri ile göserilir (Box and Jenkins, 1976). Kısmi ookorelasyon kasayısı, ρ k 1 k j= 1 = k 1 j= 1 φ k 1, j k 1, j ρ k j φ kk (2.19) 1 φ ρ j kj = φk 1, j φkk φk 1, k j φ j=1,2,...,k-1 için (2.20) hesaplanmakadır. Burada,

46 24 ρ k : k gecikmeli ookorelasyon kasayısı φ kj : j inci gecikmeli serinin ekisi yok edildiğinde k gecikmeli kısmi ookorelasyon kasayısıdır Korelogram Ookorelasyon kasayıları ile k gecikme değerlerinin karşılıklı işarelenmesiyle elde edilen grafiklere korelogram denir. Harvey (1993), korelogramın zaman serisi analizinde kullanılan basi bir araç olduğunu, korelogram ile kurulacak modelin paramere espiinin mümkün olabileceğini belirmişir. Grafiksel göserimler, ookorelasyon fonksiyonunun belirli bir şekile sahip olup olmadığını göserir. Ookorelasyon kasayıları kümesinin açıklanması bazen kolay olmayabilir. Bu bakımdan bazı zaman serisi ürlerinin korelogramı aşağıda ele alınacakır (Chafield, 1989) Rassal serilerin korelogramı Zaman serisi amamen şansa bağlı ise ve gözlem sayısı büyükse, k nın sıfır olmayan üm değerleri için ρ k 0 dır. Rassal zaman serilerinde ρ k değerleri oralaması sıfır, sandar sapması 1 / n olan normal dağılım göserir ρ N(0,1/n). Rassal bir seriye ai korelogram Şekil 2.9 da verilmişir. k Şekil 2.9 Rassal serinin korelogramı (Chafield, 1989).

47 Kısa dönemdeki serilerin korelogramı Bu seride ρ k nın ilk değerleri sıfırdan farklı olmakla beraber giikçe küçülür ve daha büyük gecikmeli değerler için ρ k nın değerleri yaklaşık olarak sıfır olur. Kısa dönemdeki bir seriye ai korelogram Şekil 2.10 da verilmişir. Şekil 2.10 Kısa dönemdeki serinin korelogramı (Chafield, 1989) Sırayla değişen (sinüzidial dalgalanma göseren) serilerin korelogramı Bir zaman serisinin birbirini izleyen gözlemleri zaman içinde sırayla değişen bir eğilime sahip ise, korelogram da sırayla değişen bir eğilime sahip olur. Sırayla değişen seriye ai korelogram Şekil 2.11 de verilmişir. Şekil 2.11 Sırayla değişen serinin korelogramı (Chafield, 1989) Durağan olmayan serilerin korelogramı Bir zaman serisine ai gözlem değerleri ren göseriyorsa, bu seri için hesaplanan ρ değerleri k değeri çok büyük olmadıkça sıfır değerine yaklaşmaz. k Durağan olmayan seriye ai korelogram Şekil 2.12 de verilmişir.

48 26 Şekil 2.12 Durağan olmayan serinin korelogramı (Chafield, 1989) Mevsimsel serilerin korelogramı Zaman serisi bir mevsimsel dalgalanma göseriyorsa, korelogramı da aynı sıklıka bir dalgalanma göserir. Mevsimsel seriye ai korelogram Şekil 2.13 de verilmişir. Şekil 2.13 Mevsimsel serinin korelogramı (Chafield, 1989).

49 27 3. ZAMAN SERİSİ ANALİZ YÖNTEMLERİ Zaman serilerinin geçmiş ve şimdiki dönem gözlem değerleri kullanılarak, gelecek dönem gözlem değerlerinin ahminlenmesi için gelişirilmiş birçok yönem vardır. Bu yönemler iki grupa incelenebilir. Bunlar ek değişkenli ve çok değişkenli zaman serileri ile ilgili analiz yönemleridir. 3.1 Tek Değişkenli Zaman Serisi Analiz Yönemleri Tek değişkenli zaman serileri, zamana bağlı bir ek değişkene ai verilerin olması durumunda kullanılan ve geleceğe yönelik ahmin yapmaya yarayan yönemlerdir. Bu yönemlerin dayandığı varsayımlar şunlardır: i) Bir zaman serisinde var olan zaman serisi emenlerinin gelecek dönemde de aynı kalacağı kabul edilmekedir. Bu sayede geçmiş dönem değerlerinden yararlanılarak gelecek dönem ahmin değerleri elde edilebilmekedir. ii) Bu yönemler, zaman serisini meydana geiren emenleri birbirlerinden ve esadüfi emenlerden ayrışırarak serinin geleceke alabileceği değeri ahmin emekedir. iii) Bu yönemler, kesikli zaman serilerine uygulanmakadır. Tek değişkenli zaman serileriyle ilgili yönemler, aşağıda anlaılmakadır Tren analizi yönemi Tek değişkenli zaman serisi analiz yönemleri arasında en eski yönem ren analizi yönemidir. Bu yönemin anlaşılması ve hesaplaması kolay olduğundan, günümüzde ora ve uzun dönem ahminleme yapmak amacıyla sık kullanılmakadır. Tren analizinin esası, zamana bağlı herhangi bir olaya ai değerlerin dağılım grafiğinde gösermiş oldukları serpilmeye uygun bir maemaik fonksiyon belirlemek ve bu fonksiyonla ilgili olayın zamana göre nasıl bir eğilim göserdiğini sapamakır. Biri açıklayıcı değişken (), diğeri açıklanan değişken (Y) kabul edilen iki özellik arasındaki ilişki maemaiksel olarak aşağıdaki gibi ifade edilir (Chambers e al., 1971):

50 28 Y = f() (3.1) Tren analizi yöneminin kullanılabilmesi için en az yedi farklı zamanda alınmış veriye gereksinim vardır (Chafield, 1989). Tren analizi ile elde edilen ahmin değerleri için hesaplanacak olan güven aralıkları, ahminin yapıldığı zaman aralığı ile rendin ahmininde kullanılan verilerin kapsadığı zaman arasındaki farka bağlı olduğundan, uzun dönem ahminleri için hesaplanan güven aralıkları oldukça geniş olacakır. Bu nedenle yapılan ahminlerin güvenilirliği azalmakadır (Makridakis and Whellwrigh, 1978) Harekeli oralamalar yönemi Harekeli oralamalar yönemi, bir zaman serisindeki gözlem değerlerini belirli büyüklükeki kümeler halinde oplamakadır. Toplanan her küme için arimeik oralama hesaplanmaka ve bu oralamayı ai olduğu kümenin en yeni erimini izleyen erimin ahmin değeri olarak kabul emekedir (Whellwrigh and Makridakis, 1973). Harekeli oralamalar yöneminde ahmin 1 Y + 1 = [ Y + Y Y N+ 1] (3.2) N şeklinde yazılmakadır. Harekeli oralamalar yönemi gözlem değerlerinin oluşumunda esadüfîliğin yüksek olduğu, buna karşılık birbirini izleyen gözlem değerleri arasındaki ookorelasyonun düşük olduğu zaman serilerinde uygulanır. Kısa dönem ahmin amacıyla kullanılabilecek olan bu yönemin uygulanabilmesi için çok sayıda gözlem değerine ihiyaç vardır (Chafield, 1989) Üsel düzleşirme yönemi Üsel düzleşirme yöneminin kuramsal esasları ilk olarak Hol (1957) arafından oraya konulmuşur.

51 29 Üsel düzleşirme yönemi deerminisik ve sokasik rende sahip üm serilerde uygulanabilen, verilerdeki son değişim ve sıçramaları dikkae alarak ahminlerin devamlı güncelleşirildiği bir yönemdir. Bu sıçramalar rassal değişimler ve önceden ahmin edilemeyen olaylardan dolayı oraya çıkmakadır (Kadılar,2005). Üsel düzleşirme yöneminde ahmin Yˆ ˆ T + 1 = Y T + α ( e ) (3.3) şeklinde yapılmakadır. Burada Y ˆ T+1 : Gelecek dönemin (T+1 döneminin) ahmini Ŷ T : Son döneme ai ahmin α : düzleşirme kasayısı e : haa erimidir. α önemlilik düzeyi olmayıp, düzleşirme kasayısıdır. α düzleşirme kasayısı, ahmin haasını en küçük; yani haa kareler oralaması değerini (HKO) minimum yapan sabi bir değerdir. Üsel düzleşirme yönemi, basi üsel düzleşirme yönemi, Hol üsel düzleşirme yönemi ve Winers üsel düzleşirme yönemi olmak üzere üç kısımda incelenir Basi üsel düzleşirme yönemi Basi üsel düzleşirme yönemi, rende ve mevsimsel dalgalanmaya sahip olmayan sadece bir oralama düzey erafında hareke eden zaman serileri için uygundur. Basi üsel düzleşirme yöneminde ahmin aşağıdaki gibi yapılmakadır. Yˆ T+ 1 = YT + (1 α ) YT 1 α (3.4) Burada,

52 30 Y ˆ T+1 : (T+1) inci dönemin ahmini Y T : Son dönemin gözlem değeri Y T 1 : Son döneme ai ahmin (Bu ahmin (T-1) inci dönemde yapılır) α : düzleşirme kasayısı ( 0 α 1 ) Üsel düzleşirme yöneminde son dönemin gözlem değeri elde edildiken sonra gelecek döneme ai ahmin yapılabildiğinden bu yönemlerde yerine T kullanılmakadır. Burada T örneklem büyüklüğüdür. Basi üsel düzleşirme yöneminde ahminin güven aralıkları ˆ T+1 Y ± zα / 2HMO T dt (3.5) formülü ile bulunabilir. Burada, Y ˆ T+1 : (T+1) inci dönemin ahmini z α / 2 : Sandar normal dağılım ablo değeri HMO : Son döneme ai haanın mulak oralaması = T T = 1 Y Y ˆ / T d T : düzelme kasayısıdır (Bir dönemlik ahmin için 1,25 değerini almakadır) (Kadılar, 2005) Hol üsel düzleşirme yönemi Hol (1957), rende sahip mevsimsel dalgalanması olmayan serilerin ahmin işleminde kullanılmak üzere Hol üsel düzleşirme yönemini gelişirmişir. Hol üsel düzleşirme yöneminde ahmin, Yˆ T + F = at + bt ( F) (3.6) şeklinde hesaplanmakadır. Eşilikeki a ve b başlangıç değerleridir ve

53 31 a T = α Y T + ( 1 α)( at 1+ b 1 ) b T = γ ( at at 1 ) + (1 γ ) bt 1 şeklinde ifade edilmekedir. Burada, α : Oralama düzeyin düzleşirme kasayısı γ : Eğimin düzleşirme kasayısı F : Tahminin yapılacağı dönem sayısıdır. Bir dönem sonrasının ahmini üzerinde durulduğundan F=1 olmakadır (Kadılar, 2005). Başlangıç değerleri seriye regresyon denklemi uygulanarak elde edilmekedir. Regresyon denklemindeki sabi erim a, regresyon kasayısı da b olmakadır. Hol üsel düzleşirme yöneminde ahminin güven aralıkları, basi üsel düzleşirme yönemindeki gibi hesaplanmakadır. Burada dönem sayısıyla ahminler yapıldığından her yeni dönem için ahminlerin güncellenmesi gerekmekedir. Bu güncelleşirme işlemi, haanın mulak oralaması için de yapılmakadır. Bir dönem önceki haanın mulak oralaması kullanılarak bir dönem sonraki haanın mulak oralaması T * HMOT + et+ 1 HMOT + 1 = (3.7) T + 1 şeklinde hesaplanır (Kadılar, 2005) Winers üsel düzleşirme yönemi Winers üsel düzleşirme yönemi, rende ve mevsimsel dalgalanmaya sahip serilerin ahminlenmesinde kullanılmakadır (Winers,1960). Winers üsel düzleşirme yönemi serinin oralama düzeyine, eğimine ve mevsimsel bileşenine uygulanmakadır. sırasıyla Toplamsal modele uygun serilerde ahminlerin güncelleşirilmesi işlemi

54 32 Oralama düzeyin güncelleşirilmesi a T = ( T T 1+ T 1 α Y M ( T s)) + (1 α )( a b ) (3.8) şeklinde ifade edilmekedir. Burada, a T : T dönemindeki oralama düzey için yeni düzleşirme ahmini α : Oralama düzeyin düzleşirme kasayısı Y M T ( T s) : T dönemindeki mevsimselliken arındırılmış orijinal veriler ahmini a T 1 : (T-1) döneminde oralama düzey için yapılan eski düzleşirme b T 1 : (T-1) döneminde bulunan eğimin eski düzleşirme ahminidir. Eğiminin güncelleşirilmesi b T = ( at at 1 ) + (1 γ ) bt 1 γ (3.9) şeklinde hesaplanmakadır. Burada, b T : T dönemindeki eğimin yeni düzleşirme ahmini γ : Eğimin düzleşirme kasayısı a : Oralama düzeyin yeni ahmini ile eski ahmini arasındaki fark T a T 1 b T 1 : (T-1) döneminde bulunan eğimin eski düzleşirme ahminidir. Mevsimsel bileşeninin güncelleşirilmesi M ( T) = δ ( Y a ) + (1 ) M ( T s) (3.10) T+ S T T δ T şeklindedir. Burada, M T+ S (T) : T dönemindeki mevsimsel bileşen için yeni düzleşirme ahmini

55 33 δ : Mevsimsel bileşenin düzleşirme kasayısı YT a T : Orijinal verilerden oralama düzeyin yeni ahmini çıkarılarak elde edilen verilerdeki mevsimsel değişim M T ( T s) : (T-s) döneminde bulunan mevsimsel bileşeninin eski düzleşirme kasayısıdır (Kadılar, 2005). Toplamsal modelde gözlemin ahmin değerleri Yˆ T+ 1 = at + bt + M T+ 1( T + 1 s) (3.11) şeklinde yapılmakadır. Burada Y ˆ T+1 : (T+1) inci dönemin ahmini a T : T dönemdeki oralama düzeyin düzleşirme ahmini b T : T dönemdeki eğim için düzleşirme ahmini M T + 1( T+ 1 s) : (T+1-s) döneminde yapılan (T+1) dönemi için düzleşirme ahminidir. Çarpımsal modele uygun serilerde ahminlerin güncelleşirilmesi a T YT α (1 )( 1 1) ( ) + α a + T b (3.12) M T T s = T b T = ( at at 1 ) + (1 γ ) bt 1 γ (3.13) M YT ( T ) = δ + (1 ) M T ( T s) (3.14) at T+ S δ şeklinde yapılmakadır. Çarpımsal modelde gözlemin ahmin değerleri Yˆ T+ 1 = ( at + bt ) * M T+ 1( T + 1 s) (3.15)

56 34 şeklinde hesaplanmakadır (Kadılar, 2005). Winers üsel düzleşirme yöneminde a ve b başlangıç değerleri regresyon analizi yönemi veya ayrışırma yönemi kullanılarak elde edilmekedir. Winers üsel düzleşirme yöneminde güven sınırları basi üsel düzleşirme yöneminde olduğu gibi hesaplanmakadır. Üsel düzleşirme yönemlerinde ahminlerin güvenilir sonuçlar verebilmesi için minimum haa kareler oralaması değerini (HKO) veren düzleşirme kasayısı elde edilmelidir. Düzleşirme kasayı değerlerinin konrol edilmesinde sinyal izi ve Chow yönemleri kullanılmakadır (Kadılar,2005). Zaman serilerini meydana geiren büün unsurların dikkae alındığı üsel düzleşirme yönemlerinin, maddi açıdan uygulama maliyei düşükür. Yönemin uygulanabilmesi için de çok fazla zamana ihiyaç yokur. Bu nedenlerle uygun bir yönem olmakadır Uyarlayıcı arındırma yönemi Whellwrigh and Makridakis (1973) arafından gelişirilmiş olan bu yönem kısa dönem ahminleme yapmak amacıyla kullanılmakadır. Uyarlayıcı arındırma yöneminde zamana bağlı bir olayla ilgili ahmin modeli belirlendiken sonra, bu olayı oraya çıkaran unsurlarda meydana gelebilecek değişikliklerin yeni bir ahmin modeli belirlenmesine gerek kalmadan doğrudan ahmin değerlerine yansıılma imkanı vardır. Uyarlayıcı arındırma yönemine ilişkin bu modellere kendi kendini yenileyen modeller denilmekedir. Uyarlayıcı arındırma yönemi yaygın olarak kullanılan bir yönem değildir (Kaya,1995) Box-Jenkins ahmin yönemleri Box-Jenkins ahmin yönemleri, ek değişkenli zaman serilerinin ileriye dönük ahmininde kullanılan yönemlerden biridir. Box and Jenkins (1976), zamana bağlı olayların rassal karakerde olaylar olduğu, bu olaylarla ilgili serilerin sokasik süreç olduğu varsayımına dayanarak

57 35 bu yönemi gelişirmişlerdir. Box-Jenkins ahmin yönemlerinde rassal değişkenin zaman içinde ard arda aldığı değerler arasında mevcu olan iç bağımlılık en ekili bir şekilde dikkae alınır. Bu nedenlerden dolayı söz konusu modellere doğrusal sokasik modeller adı verilmekedir (Özmen, 1986). Box-Jenkins ahmin yönemleri, i) durağan doğrusal sokasik modeller ii) durağan olmayan doğrusal sokasik modeller iii) mevsimsel modeller olmak üzere üç başlık alında incelenecekir Durağan doğrusal sokasik modeller Durağan doğrusal sokasik modeller, isaisiksel bir dengeyi ifade emekedir. Özellikle, gözlem değerleri sabi bir oralama erafında değişim göserdiğinde bu modeller kullanılmakadır (Kayım, 1985). Bu modeller ooregresif (AR), harekeli oralama (MA) ve ooregresif harekeli oralama (ARMA) modelleri olarak adlandırılmakadır. i) Ooregresif modeller (AR) Ooregresif modeller, bir zaman serisinin herhangi bir dönemindeki gözlem değerini, aynı serinin geçmiş dönemlerine ai gözlem değerlerine ve haa erimine bağlı olarak açıklayan modellerdir. Ooregresif modeller içerdikleri geçmiş dönem gözlem değeri sayısına göre isimlendirilirler. Yani bir AR modeli bir ane geçmiş dönem gözlem değeri içeriyorsa birinci dereceden AR (1), iki ane geçmiş dönem gözlem değeri içeriyorsa ikinci dereceden AR (2) ve genel olarak p ane geçmiş dönem gözlem değeri içeriyorsa p inci dereceden AR (p) model olarak isimlendirilirler (Naylor e al., 1972).

58 36 AR(p) modelinin genel göserimi Y + = φ 1 Y 1+ φ2y φ py p e (3.16) şeklindedir. Bu modelde, Y : Küçülülmüş gözlem değeri (Bu değerler her gözlem değerinin µ den farkı alınarak ( Y Y µ gibi) elde edilir). = φ : Modelin parameresi p : Modelin derecesi e : Haa erimidir. Eşilik 3.16 ile verilen model, işlemlerde basilik sağlamak amacıyla zaman serisi değerleri ile haa erimlerinin gecikmiş değerlerine karşılık gelen ve B ile göserilen geri öeleme operaörü kullanılarak da yazılabilir. Buna göre genel AR(p) modeli; 2 p e (1 φ 1B φ2b... φ p B ) = Y (3.17) şeklinde de göserilebilir. AR modellerin geriye doğru öeleme operaörü (B) kullanılarak yazılımı, bu modellerin durağanlık koşulunu sağlayıp sağlamadığını belirlemede yardımcı olan en iyi göserimdir. AR modelinin durağanlık koşulunu sağlaması için Eşilik 3.17 de paranez içerisinde verilen polinomun sıfıra eşilenmesiyle bulunacak olan köklerin birim çemberin dışında kalması gerekir. Birim çember, merkezi orijin ve yarıçapı bir olan çemberdir. Sıfıra eşilenen polinomun kökleri birim çemberin dışında kalıyorsa AR(p) durağan zaman serileri için kullanılabilir (Chafield, 1989). Uygulamada sık kullanılan AR(1) modelinin geriye doğru öeleme operaörü (B) kullanılarak yazılımı,

59 37 e = ) (3.18) ( 1 φ1b Y şeklindedir. Bu modelin durağanlık koşulunu sağlaması için ( 1 φ 1 B) = 0 durumunda bulunan kök durağan ise φ 1 < 1 olur. B =φ birim çemberin dışında olmalıdır. Yani, model 1 1 AR(2) modelinin geriye doğru öeleme operaörü (B) kullanılarak yazılımı, e = (1 φ B B ) (3.19) 2 1 φ 2 Y 2 şeklindedir. Durağanlık için (1 φ B φ B ) 0 polinomun köklerinin birim 1 2 = çemberin dışında kalması, φ 1 ve φ 2 paramerelerinin aşağıdaki eşisizlikleri sağlaması gerekir (Chafield, 1989): φ 2 φ1 < 1 φ 2 +φ1 < 1 φ 2 < 1 ii) Harekeli oralama modeller (MA) Harekeli oralama modeller, bir zaman serisinin herhangi bir dönemindeki gözlem değerini, aynı dönemdeki haa erimi ve daha önceki belirli sayıda dönemin haasına bağlı olarak açıklayan modellerdir. Harekeli oralama modeller içerdikleri geçmiş dönem haa erimi sayısına göre birinci dereceden MA(1), ikinci dereceden MA(2), q inci dereceden MA(q) model olarak isimlendirilirler (Naylor e al., 1972). MA(q) modelinin genel göserimi Y = e θ... θ 1 e 1 θ 2e 2 qe q (3.20) şeklindedir. Modelde, Y : inci döneme ai gözlem değeri

60 38 θ : Modelin parameresi q : Modelin derecesi e : Haa erimidir. MA modellerinin geri öeleme operaörü (B) kullanılarak yazılımı, 2 q Y (1 θ 1B θ 2B... θ q B ) = e (3.21) şeklinde olmakadır. MA modelleri durağanlık koşulunu sağlarlar, ancak ersinirlik koşulunu sağlayıp sağlamadığını anlamanın en basi yolu geri öeleme operaörü (B) kullanılarak göserimidir. Uygulamada sık kullanılan MA(1) modelinin geriye doğru öeleme operaörü (B) kullanılarak yazılımı, Y = ) (3.22) ( 1 θ1b e şeklinde ifade edilir. Bu modelin ersinirlik şarını sağlaması için ( 1 θ 1 B) = 0 durumunda bulunan kök B =θ birim çemberin dışında olmalıdır. MA(1) modeli 1 1 için ersinirlik şarı θ 1 < 1 eşisizliğinin sağlanması ile gerçekleşir. MA(2) modelinin geriye doğru öeleme operaörü (B) kullanılarak yazılımı, Y = (1 θ B B ) (3.23) 2 1 θ 2 e şeklindedir. MA(2) modeli için ersinirlik şarları aşağıdaki eşisizlikler ile sağlanmakadır. θ 1 θ 2 < 1 θ 1 +θ 2 < φ 2 < 1 1

61 39 iii) Ooregresif harekeli oralama modeller (ARMA) Ooregresif harekeli oralama modeller, AR ve MA modellerinin bir kombinasyonudur. Zaman modellenmesinde esneklik sağlamak ve hesaplanacak paramere sayısını en aza indirgemek için gelişirilmişir (Box and Jenkins, 1976). Ooregresif harekeli oralama modellerde bir zaman serisinin herhangi bir dönemine ai gözlem değeri, ondan önceki belirli sayıda gözlem değerlerinin ve haa eriminin doğrusal bileşimi olarak ifade edilmekedir. ARMA modeli p erimli AR ve q erimli MA modelinin bir kombinasyonu olarak alındığında; p+q erim içerir ve ARMA (p, q) şeklinde yazılır. Model Y = φ... θ 1 Y φ py p + e θ1e 1 qe q (3.24) şeklinde yazılmakadır. adeir. ARMA(p,q) modelinde hesaplanması gereken paramere sayısı p+q+2 ARMA modellerinin durağanlık ve ersinirlik koşulunu sağlayıp sağlamadığını belirlemek için bu modelleri geri öeleme operaörü (B) kullanarak yazmak gerekir. ARMA(p,q) modeli B operaörü kullanılarak, φ ( B ) Y = θ ( B) (3.25) e yazılabilir. Buradaki φ (B) (ooregresyon parameresi) ile θ (B) (harekeli oralama parameresi ) sırasıyla p ve q dereceden polinomlardır (Chafield, 1989). 2 φ( B) = 1 φ B φ B... φ 1 2 p p B 2 θ ( B) = 1 θ1 B θ 2B... θ qb q φ (B) polinomunun kökleri ( φ, φ, , φ p ) birim çemberin dışında kalıyorsa model durağandır. θ (B) polinomunun kök değerleri θ, θ,..., θ ) birim ( 1 2 q çemberin dışında kaldığında ise modelin ersinirlik şarını sağladığı ifade edilmekedir (Box and Jenkins, 1976).

62 Durağan olmayan doğrusal sokasik modeller Zaman serisinin durağan olduğu, yani sürecin oralamasının, varyansının ve kovaryansının zamana bağlı olarak değişmediği durumlarda AR, MA veya ARMA modellerinden uygun olanları kullanılmakadır. Ancak zaman serilerinin çoğu, zaman boyunca değişen belirli bir sokasik sürecin özelliklerini aşıması nedeniyle durağan değildir (Pindyck and Rubinfeld, 1998). Durağan olmayan serilerin analiz edilebilmesi için durağan hale dönüşürülmesi gerekmekedir. Durağanlaşırma işlemi, serinin ookorelasyon fonksiyonu (ACF) ve kısmi ookorelasyon fonksiyonunun (PACF) incelenmesi veya uygun dereceden farklarının alınması ile yapılabilmekedir. Durağan olmayan ancak fark alma işlemiyle durağan hale dönüşürülen serilere uygulanan modellere inegre modeller veya durağan olmayan doğrusal sokasik modeller adı verilmekedir. Durağan olmayan doğrusal sokasik modeller, belirli sayıda (d sayıda) farkı alınan serilere uygulanan AR ve MA modellerinin bir kombinasyonudur. Eğer ooregresyon parameresi olan φ(b) nin derecesi p, harekeli oralama parameresi θ(b) nin derecesi de q ise ve d kez fark alma işlemi yapılmışsa, bu modele (p,d,q) dereceden ooregresif inegre harekeli oralama modeli adı verilir ve ARIMA(p,d,q) şeklinde yazılır (Box and Jenkins, 1976). ARIMA(p,d,q) modelinin genel ifadesi W = φ... θ 1 W 1 + φ2w φ pw p + e θ1e 1 θ 2e 2 qe q (3.26) olarak verilmekedir. Bu eşilik, ARMA modelindeki eşilike Y eriminin yerine W eriminin yazılmış şeklidir. Burada, durağan olmayan Y sürecinin d derece farkı alınarak durağanlaşırılması sonucu W süreci elde edilmeke ve d Y = W (3.27) şeklinde ifade edilmekedir. Burada,

63 41 = Fark alma operaörünü d = Fark alma derecesini W = Farkı alınmış seriyi gösermekedir. Birinci farklar (d=1) seriyi durağan hale geiriyorsa fark operaörü nın işleyişi, Y = W = Y Y B) Y (3.28) 1 = (1 şeklinde olmakadır. Serinin durağan hale gelmesi için d defa fark alınmışsa, d d Y = W = ( 1 B) Y (3.29) şeklinde yazılabilir. Fark alma derecesi d=0 olduğunda, yani seri orijinal değerler iibariyle durağan ise bu durumda, ARIMA(p,d,q) modeli AR, MA, ARMA modellerinden birine dönüşmekedir. Bu nedenle ARIMA(p,d,q) modeli esnek bir modeldir. ARIMA(p,d,q) modelinde p veya q sıfır olabilir. p nin sıfır olması durumunda model IMA(d,q), q nun sıfır olması durumunda ise ARI(p,d) model ürüne indirgenir. ARIMA modellerinin durağanlık ve ersinirlik koşulu ARMA modellerinde olduğu gibidir Mevsimsel modeller Mevsimlik değişmeler eşi zaman aralıkları ile ekrarlanan düzenli değişmelerdir. Mevsimsel modellerde birbirini izleyen gözlem değerleri ve birbirini izleyen yılların aynı aylarına ai gözlem değerleri arasında ilişki bulunmakadır. Mevsimsel modellerde, birbirini izleyen gözlem değerleri arasındaki ilişki için ARIMA (p,d,q) modeli kullanılabileceği gibi, birbirini izleyen aynı mevsim gözlem değerleri arasındaki ilişki için de ARIMA (P,D,Q)s modeli

64 42 kullanılabilmekedir. Buradaki s, birbirini izleyen aynı mevsim gözlem değerleri arasındaki zaman aralığıdır. Aylık gözlem değerlerinden meydana gelen serilerde s=12, alı aylık zaman serilerinde s=6 alınmakadır. Mevsimsel zaman serileri modeli kısaca, ARIMA (p,d,q) * (P,D,Q)s şeklinde göserilir. Mevsimsel zaman serilerinin analizinde kullanılan model, s d D s p ( B ) Φ P ( B ) s Y = θ q ( B) ΘQ ( B ) e φ (3.30) şeklinde yazılabilir ve çarpımsal model adını alır. Bu modelde; p q d P Q D Φ Θ P : Mevsimsel olmayan ooregresif model derecesi : Mevsimsel olmayan harekeli oralama model derecesi : Mevsimsel olmayan düzeyde fark alma derecesi : Mevsimsel ooregresif model derecesi : Mevsimsel harekeli oralama model derecesi : Mevsimsel fark alma derecesi : Mevsimsel ooregresyon parameresi : Mevsimsel harekeli oralama parameresi s Φ ( B ) : p dereceden B nin polinomu Θ Q d D s ( B s ) : q dereceden B nin polinomu : Mevsimsel olmayan fark alma operaörü : Mevsimsel fark alma operaörü Zaman serilerinde mevsimlik değişmelerin olup olmadığı ookorelasyon analizi ile oraya konulabilmekedir Modelleme aşaması Box-Jenkins ahmin modellerinin amacı, en az sayıda paramere içeren uygun modeller elde emekir. Box and Jenkins (1976), birbirini amamlayan dör aşamadan geçerek ahmin modellerinin kurulmasını önermekedir.

65 43 Öncelikle amaca yönelik modeller oraya konur. Bundan sonraki aşamalar; belirleme (idenificaion), paramere ahminleri (esimaion of parameers), uygunluk esleri (diagnosic checking) ve ahmin (forecasing) olarak sıralanmakadır. Box-Jenkins modelleme aşaması Şekil 3.1 de şemaik olarak göserilmişir. Uygun Box-Jenkins Model Grubunun Belirlenmesi Model Tipinin Belirlenmesi Belirlenen Modelin Paramerelerinin Tahmini Modelin Uygunluğunun Tesi Model Yeersiz Model Yeerli Modelin Tahmin Amacıyla Kullanımı Şekil 3.1. Box-Jenkins yöneminde modelleme aşamaları (Madalla, 1992). 1. Aşama: Model belirleme: Model belirleme aşamasında ilk yapılacak işlem, serinin grafiğini çizmekir. Eğer grafik sürekli arma ya da azalma yönünde ise serinin durağan olmadığı söylenebilir. Ancak bu yol bazı yanılmalara neden olabilir. Çünkü ilk bakışa durağan gibi algılanan seriler ilerleyen zaman içinde bazı değişiklikler göserebilir. Zaman serilerinde durağanlığı espi emenin yollarından biri serinin ookorelasyon (ACF) ve kısmi ookorelasyon (PACF) grafiklerine bakılmasıdır. Seri durağan değilse, durağanlık sağlanana kadar bir veya iki kez verilerin farkı

66 44 alınır. Durağanlık sağlandıkan sonra seriler için ARMA (p,q) modeli belirlenir. Model belirleme işlemine göre ACF grafiğindeki ilişki mikarlarının azalışı gecikme sayısı arıkça yavaş yavaş oluyorsa ve PACF grafiğinde bu azalma hızlı bir şekilde gerçekleşiyorsa seriye uygun model ooregresif model (AR) olmakadır. Bunun am ersi, PACF grafiğindeki ilişki mikarları yavaş yavaş azalırken ACF grafiğindeki azalış hızlı bir şekilde oluyorsa model harekeli oralama modeli (MA) olmakadır. ACF ve PACF grafiklerindeki ilişki mikarları yavaş yavaş azalıyorsa model ooregresif harekeli oralama modeli (ARMA) olmakadır. Eğer birinci dereceden fark alındığında seri durağan hale gelmemişse ikinci derecen farkının alınması gerekmekedir. Fark alma derecesini göseren d nin değeri durağan serilerde 0, birinci dereceden fark alınarak durağan hale gelen serilerde 1, durağanlık ikinci dereceden fark alma işlemiyle sağlanmışsa 2 olmakadır. İncelenen zaman serisinde mevsimsellik varsa ve seri durağan değilse, mevsimsel fark alınarak seri durağan hale geirilir. Daha sonra ACF ve PACF ilişkilerine göre uygun model belirlenir. 2. Aşama: Paramerelerin ahmini: Zaman serilerinde modelleme aşamasında modelin ipi (AR, MA, vb.) ve derecesi belirlendiken sonra paramereleri ahmin edilir. Paramere ahmini en küçük kareler veya en yüksek olabilirlik yönemleriyle yapılmakadır (Hoff,1983). 3. Aşama: Modelin uygunluk esi: Modelleme aşamasında paramereler ahmin edildiken sonra modelin uygun olup olmadığı konrol edilmelidir. Modelin uygunluğu iki şekilde yapılmakadır. Birincisi, model arafından oluşurulan zaman serisinin ookorelasyon fonksiyonunun, orijinal serinin ookorelasyon fonksiyonu ile karşılaşırılmasıdır. Ookorelasyon fonksiyonları arasındaki fark fazla ise modelin geçerliliği üzerinde şüphe duyulmalı ve belirleme aşamasına geri dönülmelidir. Eğer iki ookorelasyon fonksiyonu arasında belirgin bir farklılık yoksa modelin uygun bir model olduğuna karar verilmelidir. İkinci olarak, zaman serilerinde verilerin modele uygunluğunu es emek için bir es isaisiği oluşurulmalıdır.

67 45 Box and Pierce (1970) ve Ljung and Box (1978) arafından gelişirilmiş dağılımı göseren Q isaisikleri, paramere ahmini yapılmış modelin haa değerlerini es ederek modelin geçerliliği hakkında bilgi vermekedir (Biçen, 2006). 2 χ Box and Pierce (1970) arafından önerilen Q isaisiği, Q= n m k= 1 ρ, 2 k Q χ (3.31) 2 m p q şeklinde anımlanmakadır. Ljung and Box (1978) düzelilmiş Q isaisiğini, Q= n( n+ 2) ρ m 2 k k= 1 n k, Q χ (3.32) 2 m p q olarak önermişlerdir. Eşiliklerde, ρ k : Ookorelasyon kasayısı m : Tahmin edilen haaların sayısı n : Gözlem sayısı p : AR modelinin derecesi q : MA modelin derecesi k : Gecikme uzunluğu (k=1,2,3,,m) olarak anımlanmakadır. m nin değişik değerleri için Q değerleri haa analizleri sırasında hesaplanmakadır. Hesaplanan haalardan bulunan Q isaisiği, m-p-q 2 serbeslik dereceli χ dağılımına sahipir (Pindyck and Rubinfeld, 1998). Modelin uygunluk esi için H 0 : ρ 1 = ρ 2 =... = ρ k = 0

68 46 H 1 : En az bir ρ 0 2 hipoezleri konrol edilir. Eğer hesaplanan Q değeri, Q>χ ise H 0 hipoezi m p q red edilir ve modelin geçerli bir model olmadığına karar verilir. Q değerinin, 2 Q χ olması durumunda H 0 hipoezi red edilemez ve modelin geçerli bir m p q model olduğuna karar verilir. Zaman serileri analizinde, bir serinin modeli olarak birden fazla model uygun bulunabilir. Bu modellerin ahmin serisi ile orijinal serisi arasında bir uyum sağlanabilir. Ayrıca, haa serilerinin de beyaz gürülü sürecinde olduğu görülebilir. Bu durumda seriye en uygun modelin espii için model seçim krierleri kullanılmakadır. Bu krierlerden bazıları, Akaike Bilgi Krieri (AIC ) ve Schwarz Bayes Krieri (SBC) ölçüleridir. Akaike Bilgi Krieri (AIC) değeri, AIC= T lnσ 2 e + 2M (3.33) eşiliği ile hesaplanmakadır. Schwarz Bayes Krieri (SBC) değeri, Akaike Bilgi Krierine alernaif olarak gelişirilmişir. Schwarz Bayes Krieri (SBC) değeri, SBC= T lnσ 2 e + M ln T (3.34) eşiliği ile hesaplanmakadır. Eşiliklerde, M : Modelin paramere sayısı T : Gözlem sayısı 2 σ e : Haa varyansıdır. Her iki eşilikeki modelin paramere sayısı olan M, mevsimsel olmayan Box-Jenkins modelleri için M=p+q; mevsimsel modeller için M=p+q+P+Q

69 47 olmakadır. Eğer modelde sabi erim varsa paramere sayısına bir eklemek gerekmekedir. Eşilik 3.33 deki 2 yerine Eşilik 3.34 de lnt erimi gelmişir. Bu erim küçük örneklemler için (50<T<150 gibi) 4 ile 5 arasında değer almakadır. İki krier arasındaki bu fark Schwarz krierinin Akaike bilgi krierine göre daha az paramere içeren modelleri seçme eğilimli olmasıdır (Kadılar,2005). Seri için uygun görülen modeller içerisinde bu krier değerlerinin en küçüğüne sahip olan model, seriye en uygun model olmakadır. 4. Aşama: Tahmin: Box-Jenkins modellemesinde uygun model anımlanıp, paramereler ahmin edildiken sonra yapılan uygunluk esleriyle modelin ahmin serisi için uygun olduğuna karar verilirse son aşama olan ahminleme aşamasına geçilebilir. Tahminleme, incelenen serinin inci döneme ai gözlem değerini, aynı serinin inci dönemden önceki geçmiş dönem gözlem değerleri ve haa erimlerine bağlı olarak yapılmakır. Tahminlemede amaç, bilinen gözlem değerlerinin anındaki serinin ( l 1) döneminde alacağı gözlem değerini ahmin emekir. + l Box-Jenkins yönemiyle zaman serileri analizi yapılırken kullanılan ARIMA(p,d,q) modelinin ileriye dönük ahmin modeli, Wˆ φ 1 φ φ θ... θ (3.35) + l = W+ l 1 + 2W+ l pw+ l p + e+ l 1e+ l 1 qe+ l q şeklinde verilmekedir. Model için birden fazla analiz yönemi uygulanabilir. Uygulanan yönemlerin ahmin doğruluklarını yapmak ve hangi yönemin modele daha uygun olduğunu belirlemek için Oralama Mulak Yüzde Haa (MAPE) isaisiği kullanılmakadır (Çuhadar vd., 2009). Oralama Mulak Yüzde Haa (MAPE) isaisiği,

70 48 n e = 1 Y MAPE = *100 (3.36) n şeklinde anımlanır. Burada, e = Y Yˆ olmak üzere Y : dönemindeki gözlem değeri Yˆ : dönemi için hesaplanan ahmin değeri n : Tahmin yapılan dönem sayısı e : dönemdeki ahmin haasıdır. Wi and Wi (1992), MAPE değerleri %10 un alında olan ahmin modellerini yüksek doğruluk derecesine sahip, %10 20 arasında olan modelleri ise doğru ahmin modelleri olarak sınıflandırmışlardır. Lewis (1982), MAPE değeri %10 un alında olan modelleri çok iyi, %10 20 arasında olan modelleri iyi, %20 50 arasında olan modelleri kabul edilebilir ve %50 nin üzerinde olan modelleri ise yanlış ve haalı olarak sınıflandırmışır. 3.2 Çok Değişkenli Zaman Serisi Analiz Yönemleri Çok değişkenli zaman serisi analiz yönemleri, iki veya daha fazla zaman serisi arasındaki neden-sonuç ilişkisini anımlandıkan sonra ahminleme ve konrol yapmak amacıyla kullanılan yönemlerdir. Çok değişkenli zaman serisi analiz yönemlerinde zaman serisi kendi geçmiş değerleri ile birlike başka değişkenler ve geçmiş değerlerine de bağlıdır. Çok değişkenli zaman serilerinde emel amaçlardan biri, o serinin bileşenleri arasındaki ilişkinin belirlenmesidir. Tek değişkenli zaman serilerinde olduğu gibi durağanlık en emel kavramlardan biridir. Bazı durumlarda çok değişkenli bir seri durağan olmamasına rağmen, herhangi bir lineer dönüşüm ile durağan hale gelebilir. Bu durumda, bu seriye koinegrasyonludur denmekedir. Eğer

71 49 koinegrasyonu gerçekleşiren birden fazla vekör mevcu ise çok değişkenli yönemler geçerli olmakadır (Balkaya, 2006). Çok değişkenli zaman serilerine en iyi örnek olarak Vekör Ooregresif Seriler (VAR) verilebilir. Birinci dereceden bir vekör ooregresif zaman serisi Y = AY 1 + e =1,2,,n (3.37) şeklinde yazılmakadır. Burada, A : Modelin paramere marisi V : Beyaz gürülü serisinin varyans-kovaryans marisi e : Haa vekörü e WN ( 0, V ) olmakadır (Balkaya, 2006). Tez çalışmamızda çok değişkenli zaman serisi analiz yönemleri kullanılmayıp ek değişkenli zaman serisi analiz yönemleri kullanılmakadır.

72 50 4. MATERYAL VE YÖNTEM 4.1 Maeryal Bu çalışmada Türkiye İsaisik Kurumu (TÜİK) arafından yayınlanan Tarımsal İsaisik Fiyaları nda yer alan Çifçinin Eline Geçen Fiyalardan İnek Süü fiyalarına ilişkin yıllarını kapsayan veriler kullanılmışır. Çifçinin eline geçen fiyalar, çifçinin üreerek piyasaya arz eiği ürünlerin üreici fiyalarını gösermekedir. Kullanılan veriler Türkiye İsaisik Kurumu nun web siesinden emin edilmiş olup Çizelge 4.1 de verilmişir. Çizelge 4.1 İnek Süü Fiyaları (TL). 4.2 Yönem Zaman serileri analiz yönemlerini uygulayabilmek için ilk olarak zaman serisi grafiği çizilmişir. Zaman serisi grafiği ile serinin nasıl bir dağılım göserdiğine bakılmışır. Ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon fonksiyonlarına ilişkin grafikler incelenerek serinin durağan olup olmadığı es edilmişir. Durağan olmayan serilerin durağanlık gerçekleşinceye kadar farkı alınmışır. Durağanlığı sağlanan seriye zaman serileri analiz yönemlerinden ren analizi, harekeli oralamalar, uyarlayıcı arındırma, üsel düzleşirme ve Box- Jenkins yönemlerinden uygun olanı seçilerek analizler yapılmışır. Seri, ren ve