SORU 1: Herbir A R kümesi için A G ve λ (A) = λ (G) olacak şekilde. ÇÖZÜM 1: B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ (B) = 0 gerçeklenir.

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "SORU 1: Herbir A R kümesi için A G ve λ (A) = λ (G) olacak şekilde. ÇÖZÜM 1: B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ (B) = 0 gerçeklenir."

Engin Şener
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 2.4 Lebesgue Dış Ölçüsü ve Lebesgue Ölçüsü SORU : Herbir A R kümesi için A G ve λ (A) = λ (G) olacak şekilde G R kümesinin varlığınıgösteriniz? ÇÖZÜM : B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ (B) = 0 gerçeklenir. G = A B olarak tanımlayalım. A A B olduğu dikkate alınırsa λ (A) λ (A B) λ (A) + λ (B) = λ (A) olur. Bu ifade aşağıda kullanırsa λ (A) λ (A B) λ (A) elde edilir. O halde λ (A) = λ (G) sağlanır. SORU 2: B R alt kümesinin Lebesgue ölçülebilir olmasıiçin gerek ve yeter koşul I R açık aralığıiçin λ (I) = λ (I B) + λ ( I B t) olmasıdır. Gösteriniz. ÇÖZÜM 2:(= ) B R Lebesgue ölçülebilir olsun. A R herhangi bir kümesini dikkate alalım. A = (A B) ( A B t)

2 olarak yazılabilir. Bu durumda λ (A) = λ (A B) + λ ( A B t) gerçeklenir. Özel olarak A = I alınırsa istenilen elde edilir. ( =) Kabul edelim ki I R aralığıiçin λ (I) = λ (I B) + λ ( I B t) olsun. Hatırlatmak gerekirse "B R Lebesgue ölçülebilir E R için λ (E) λ (E B) + λ (E B t )". λ (E) = için eşitsizlik geçerlidir. λ (E) < olduğunu kabul edelim. λ Lebesgue dış ölçüsünün tanımından ve infimum özelliğinden ɛ > 0 için (I n ) = ((a n, b n )) τ E vardır öyle ki gerçeklenir. E l (I n ) < λ (E) + ɛ () (a n, b n ) olduğundan E B E B t [(a n, b n ) B] [ (an, b n ) B t] yazılabilir. λ Lebesgue dış ölçüsünün özelliğinden λ (E B) λ λ ( E B t) λ ) [(a n, b n ) B] λ ((a n, b n ) B) [ (an, b n ) B t]) λ ( (a n, b n ) B t) 2

3 eşitsizlikleri elde edilir. Hipotez ve () ifadesi kullanılırsa ɛ > 0 için λ (E B) + λ ( E B t) λ ((a n, b n ) B) + λ ( (a n, b n ) B t) = λ ((a n, b n )) = l ((a n, b n )) = l (I n ) < λ (E) + ɛ yazılabilir. Sol taraf ɛ dan bağımsız olduğundan istenilen λ (E) λ (E B) + λ ( E B t) eşitsizliği elde edilir. SORU 3: X bir küme; µ dönüşümü P (X) üzerinde dış ölçü olsun. A, B P (X) ve µ (B) = 0 olduğunda (a) µ (A B) = 0. (b) µ (A B) = µ (A). (c) B kümesi µ ölçülebilirdir. Gösteriniz. ÇÖZÜM 3: (a) A B B olduğundan µ (A B) µ (B) = 0 sağlanıp µ (A B) = 0 bulunur. (b) A A B olduğundan µ (A) µ (A B) µ (A) + µ (B) = µ (A) olup bu eşitsizlikten µ (A B) = µ (A) elde edilir. 3

4 (c) F X için µ (F ) µ (F B) + µ (F B t ) eşitsizliğinin gerçeklendiğini göstermek yeterlidir. F B t F olduğu kullanılırsa µ ( F B t) µ (F ) olur. µ (F B) = 0 olduğu dikkate alınırsa µ (F B) + µ ( F B t) µ (F ) elde edilir. Dolayısıyla B kümesi µ ölçülebilirdir. SORU 4: λ Lebesgue dış ölçüsü olmak üzere A R kümesi λ ölçülebilir olsun. (a) λ (A + x) = λ (A) ( x R) (b) A + x := a + x : a A kümesi λ ölçülebilirdir. Gösteriniz. ÇÖZÜM 4: (a) τ A := olduğunu biliyoruz. τ A+x := (I k ) = ((a k, b k )) : A (a k, b k ) olmak üzere λ (A) = inf l (I k ) : (I k ) τ A = inf (b k a k ) : (I k ) τ A (I k + x) = ((a k + x, b k + x)) : A + x (a k + x, b k + x) 4

5 olup λ (A + x) = inf l ((a k + x, b k + x)) : ((a k + x, b k + x)) τ A+x = inf (b k a k ) : ((a k, b k )) τ A = λ (A) elde edilir. (b) A + x kümesinin λ ölçülebilir olmasıiçin E R için λ (E) = λ (E (A + x)) + λ ( E (A + x) t) olduğu gösterilmelidir. Hatırlatmak gerekirse E (A + x) = [(E x) A] + x E (A + x) t = [ (E x) A t] + x eşitlikleri gerçeklenir. Gerçekten bu eşitliklerden birincisini elde edelim: y [E (A + x)] y E y A + x y E y x A y x E x y x A y x (E x) A y [(E x) A] + x 5

6 bulunur. (a) şıkkındaki ifade kullanılırsa λ (E (A + x)) = λ ([(E x) A] + x) = λ ((E x) A) ve λ ( E (A + x) t) = λ ([ (E x) A t] + x ) = λ ( (E x) A t) elde edilir. Buradan A kümesinin Lebesgue ölçülebilir olmasıkullanılarak λ (E (A + x)) + λ ( E (A + x) t) = λ ((E x) A) + λ ( (E x) A t) = λ (E x) = λ (E) gerçeklenir. Yani sonuç olarak A + x kümesi λ ölçülebilirdir. SORU 5: α > 0 olmak üzere A R için αa := αa : a A olsun. Bu durumda λ (αa) = αλ (A) olduğunu gösteriniz. 6

7 ÇÖZÜM 5: (I n ) = ( α J n) olmak üzere λ (αa) = inf l (J n ) : (J n ) τ αa = inf l (J n ) : αa J n, (J n ) = ((c n, d n )) = inf l (J n ) : = inf l (αi n ) : = α inf l (I n ) : = αλ (A) A α J n, (J n ) = ((c n, d n )) ( ) A I n, (I n ) = α J n A I n, (I n ) τ A elde edilir. SORU 6: Cantor kümesinin Lebesgue ölçülebilir olduğunu gösteriniz. Lebesgue ölçüsünün sıfır olacağınıbulunuz. Sayılamayan fakat ölçüsü sıfır olan kümeler var mıdır? 7

8 ÇÖZÜM 6: Şekil. Cantor Kümesi Cantor kümesi C := C i dir. Herbir C i Lebesgue ölçülebilir olduğundan C i= Cantor kümesi de Lebesgue ölçülebilirdir. λ (C ) = λ (C 2 ) = 3 olup λ (C 3 ) = λ (C 4 ) = λ (C) = 2 n 3 n = = 0 bulunur. Ayrıca belirtmek gerekirse C Cantor kümesi sayılamayan küme olup λ (C) = 0 dır. 8

9 SORU 7: Aşağıdaki kümelerin Lebesgue ölçülerini bulunuz. (a) A := (b) B := (c) C := (d) D := (e) E := (f) F := (g) G := x R : x < k+ k x R : a < x < a+ k k x R : 2 k+ x < 2 k x R : 0 < x < 3 k x R : 0 < x < 3 k x R : < x < + k k x R : 2 + < x < 5 k k ÇÖZÜM 7: (a) I k := x R : k+ x < k diyelim. Ik kümeleri Borel kümesi olduğundan λ Lebesgue dış ölçüsüne göre ölçülebilirdir. Lebesgue dış ölçüsüne göre ölçülebilen A R kümelerinin sınıfım (R, λ ) ile gösterilirse λ Lebesgue dış ölçüsünün M (R, λ ) σ cebirine kısıtlaması ölçüdür. Bu ölçüye Lebesgue ölçüsü adıverilir. (I k ) ayrık kümelerin bir dizisi olduğundan ) λ (A) = λ I k = λ (I k ) = ( k ) = k + 9

10 bulunur. (b) k N için I k := x R : a < x < a+ k k olsun. Dikkat edilirse (Ik ) kümelerin azalan dizisidir. Bunun yardımıyla gerçeklenir. λ (B) = λ ) ( a + I k = lim λ (I k ) = lim a ) = 0 k k k k (c) k N için I k := x R : 2 k+ x < 2 k olsun. (Ik ) ayrık kümelerin dizisi olup ) λ (C) = λ I k = λ (I k ) = ( 2 ) = k 2 k+ 2 bulunur. (d) k N için I k := x R : 0 < x < 3 k olsun. (Ik ) kümelerin azalan dizisidir. O halde elde edilir. λ (D) = λ ) I k = lim λ (I k ) = lim k k 3 = 0 k (e) k N için I k := x R : 0 < x < 3 k olsun. (Ik ) kümelerin azalan dizisi olup λ (E) = λ ) (( I k = λ 0, )) = 3 3 0

11 bulunur. (f) k N için I k := x R : k < x < + k olsun. (Ik ) kümelerin azalan dizisidir. Buna göre bulunur. λ (F ) = λ ) 2 I k = lim λ (I k ) = lim k k k = 0 (g) k N için I k := x R : 2 + k < x < 5 k kümelerini tanımlayalım. (I k ) kümelerin artan dizisidir. Böylece elde edilir. λ (G) = λ ) ( I k = lim λ (I k ) = lim 3 2 ) = 0 k k k SORU 8: µ dönüşümü X üzerinde dış ölçü olsun. E X kümesi µ ölçülebilir ise A X için µ (E A) + µ (E A) = µ (E) + µ (A) olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM 8: E kümesi µ ölçülebilir olduğundan A X için µ (A) = µ (A E) + µ ( A E t) (2) dır. (2) ifadesi A X için gerçeklendiğinden A E X için de geçerlidir.

12 Yani, µ (A E) = µ ((A E) E) + µ ( (A E) E t) = µ (E) + µ ( A E t) yazılabilir. Bu ifade (2) ifadesinde dikkate alınırsa µ (A) = µ (A E) + µ (E A) µ (E) istenileni elde edilir. 2

Benzer belgeler

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve